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AE-712 AEROELASTICIDADE

Roberto GIL Annes da Silva

(gil@ita.br), R: 6482 - IAE/ALA-L

(Túnel de Vento)

Modelos Aeroelásticos naBase Modal

• Problema geral: Estruturas com múltiplos graus de liberdade

Exemplo: Modelo em elementos finitos de uma semi-asa de aeronave comercial

• Os sistemas de engenharia, em sua maioria, são contínuos e têm infinitos graus

de liberdade;

• Tais sistemas requerem soluções de equações diferenciais parciais;

• Essas soluções são difíceis e em casos mais complexos não existem;

Sistemas com vários graus de liberdade

Introdução

• A análise de sistemas com muitos graus de liberdade requer a solução de um

conjunto de equações diferenciais ordinárias, o que é relativamente simples;

• Para simplificar a análise, sistemas contínuos são freqüentemente aproximados

como sistemas com vários graus de liberdade.

Usa-se métodos de aproximação de um sistema contínuo em discreto, a saber:

• Substituir a massa ou a inércia distribuídas do sistema por um número

finito de massas concentradas ou corpos rígidos.

• Substituir a geometria do sistema por um grande número de pequenos

elementos (elementos finitos).

Modelagem de sistemas contínuos como sistemas com vários graus de liberdade

• Determine as coordenadas adequadas para descrever as posições das várias

massa pontuais e corpos rígidos no sistema;

• Determine a configuração do sistema em equilíbrio estático e meça os

deslocamentos das massas e corpos rígidos em relação as respectivas posições

de equilíbrio estático;

• Desenhe o diagrama de corpo livre do sistema;

• Aplique a segunda lei de Newton.

Utilização da segunda lei de Newton para deduzir equações de movimento

• Coeficiente de influência de rigidez

• É definido como a força no ponto i a um deslocamento unitário no ponto j quanto

a todos os outros pontos, exceto o ponto j.

Coeficientes de influência

• Coeficiente de influência de rigidez

• Na forma matricial

• Coeficiente de influência de inérciaÉ definido como a deflexão no ponto i provocada por uma carga unitária no ponto j.

Na forma matricial

, 1, 2, ,n

i ij jj

x a F i n

[ ]x a F

• Coeficiente de influência de inérciaÉ definido como os impulsos aplicados nos ponto i que provocam uma velocidade unitária no ponto j.

Na forma matricial

Energia potencial elástica

Para a i-ésima mola

A total é:

Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial

Energia potencial elásticaComo:

Então:

Na forma matricial:

Energia cinética

Para a i-ésima massa:

A total é:

Na forma matricial:

Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial

Equação de Lagrange:

Para sistemas conservativos .

Utilização de equações de Lagrange para deduzir equações de movimento:

( ) 0njQ =

Coordenadas generalizadas de forças generalizadasEnergia cinética

• É um conjunto de n coordenadas independentes, designadas por .

• Podem ser comprimentos, ângulos ou qualquer outro conjunto de números

que defina a configuração do sistema exclusivamente a qualquer instante.

Equação de Lagrange:

Energias cinética e potencial:

Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial

Derivando, temos:

Substituindo na equação de Lagrange:

Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial

Problemas de autovalor:

Seja a solução da equação acima:

onde: – forma modal1

Então:

A equação característica é:

Com o autovalor2w

Solução da equação característica:

Tem-se

Solução do problema de autovalor

1[ ] [ ] [ ]D k m-=

matriz dinâmica.

Ortogonalidade dos modos normais:2 ( ) ( )[ ] [ ]j jj m X k X

( ) ( )

[ ] 0,

X m X i j

X k X i j

Se for um vetor arbitrário no espaço n-dimensional, então:

Pré-multiplicando por , tem-se que:

Teorema da expansão

Normalizando:

e dependem das condições iniciais.

Vibração livre de sistemas não amortecidos

Autoproblema:

definindo:

Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal

E normalizando os modos, temos:

Cuja solução é:

Função de dissipação de Rayleigh

Equação de Lagrange

Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso

Determinando T, V e R para um sistema amortecido, temos:

A equação anterior pode ser reescrita como:

Fazendo

Temos:

Isto é:

a w b zw

A solução do sistema para , é:1iz < 2

( ) cos sen (0)1

1sen (0)

1( ) sen ( )

t ii di di i

t ti di

q t e t t q

Q e t d

21di i i

Em vários sistemas amortecidos o atrito resulta em amortecimento negativo que

leva a instabilidade (ou vibração auto-excitada).

Em geral, tem-se:

Auto-excitação e análise de estabilidade

Seja a solução é do tipo:

Substituindo a solução na equação de movimento, temos:

A solução não trivial é:

Tem-se o polinômio característico.

Com m = 2n

A estabilidade ou instabilidade dependem das raízes de D(s) .Seja:

Se é decrescente, é um sistema estável

Se pelo menos um valor de é crescente, é um sistema instável.

Se é oscilatório, é um sistema marginalmente estável.

Se o sistema possuir raízes múltiplas do tipo imaginárias , a solução é do

tipo , é um sistema instável.

0 jb tjb e< Þ Þ

0 jb tjb e> Þ Þ

ji tj js i e ww= Þ Þ

j js iw=2, , ,j j ji t i t i te te t ew w w ÞK

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