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1
Pilares
Prof. Romel Dias VanderleiNotas de Aulas
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Cap
ítulo
3
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.º Semestre de 2008
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Bibliografia:
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de aula – USP –EESC – SET. Fevereiro de 2008ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003. Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São Carlos, 2002.FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São Paulo, 1976.MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón armado. Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, 2007.PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado: Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP, 1987.
2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Sumário (2ª Parte)
3.11- Exemplos3.11.1- Pilar Interno – P53.11.2- Pilar de Extremidade – P43.11.3- Pilar de Canto – P1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11- Exemplos
Projetar os pilares:P5 - pilar interno;P4 - pilar de
extremidade;P1 - pilar de canto.
3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11- Exemplos
Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício:
Para a determinação dos efeitos de 2ª ordem, emprega-se:Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
4
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:Nk = 2.720kNNd = 1,4 x 2.720 = 3.808kNMk = 0kN e Md = 0kN
1- Características GeométricasComprimentos equivalentes:
⎩⎨⎧ +
≤l
hlle
0
Na direção x:
cmlcml
cmhll
cmlcmhl
cml
exx
xxex
x
xx
x
533560
533560
5333549849862560
0
0
0
=⇒⎩⎨⎧
==+
≤
==+=+
=−=
5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
cmlcml
cmhll
cml
cmhl
cml
eyy
yyey
y
yy
y
560560
568
560
56860508
50852560
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
3,3260
1256012=
⋅=
⋅==
y
ey
y
eyy h
lil
λ
Índices de Esbeltez:Na direção x:
8,5235
1253312=
⋅=
⋅==
x
ex
x
exx h
lil
λ
6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Como os momentos nas seções de extremidades (topo e Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades iniciais também são nulas.
2- Excentricidades:Excentricidade Inicial
d
topotopoi N
Me =,
d
basebasei N
Me =,d
meiomeioi N
Me =,
0808.30
, ==topoie 0808.30
, ==baseie0808.30
, ==meioie
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Sendo:
2- Excentricidades:Excentricidades acidentais:
radl
radl
ey
ex
00423,060,5100
1100
1
00433,033,5100
1100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
eyy
exx
le
le
⋅=
⋅=
θ
θ
7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
rad00333,0300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00423,0(OK) 00433,0
min,11y
min,11x
θθθθ
>=
>=
radrad
Logo:
Excentricidades acidentais:Onde:
cml
e
cmle
eyy
exx
18,12
56000423,02
15,12
53300433,02
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
ee
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:Excentricidades mínimas:
cmecme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015 )(55,235,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
8
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmecme
y
x
30,3 55,2
1
1
==
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(0
55,2)(0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeeecmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(18,118,1055,2)(15,115,10
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:Seções de extremidades (topo e base)
cmecme
y
x
30,3 55,2
1
1
==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
9035 e 5,1225
1b
1
1 ≤≤⋅+
= λαα
λb
he
cmhehe
xxixb
x
xi
x 35 0 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 250,1
3505,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=⋅+
=
x
xb
x
xi
xhe
λ
λα
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =xbα
9
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmhehe
yyiyb
y
yi
y 60 0 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==
⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 250,1
6005,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
yhe
λ
λα
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
358,52 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, énecessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
353,32 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.
10
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmlcmkNeNMM
xe
xmíndmíndAd
b
533.4,710.955,2808.3)(0
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥==α
Adxe
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2,
,1,1
10≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximadaDireção x:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
85,0
4,10,3)6035(
808.3=
⋅⋅=
⋅=
cdc
sd
fAN
ν
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,05,0
005,01≤
+=
ν
( )55 103,14
35005,01058,10
5,085,035005,01 −− ⋅=<⋅=+
=r
(OK)
11
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximadaDireção x:
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
4,134.21
4,710.91058,1010
533808.34,710.90,1
,
52
,
Adxe
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2,
,1,1
10≥⋅⋅+⋅= α
cmNM
ed
totdxtot 55,5
808.34,134.21,
, ===
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P53- Situações de Projeto e de Cálculo:
12
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmNM
e
cmkNMkNN
d
totdx
totd
d
55,5808.3
4,134.21
4,134.21808.3
,
,
===
⋅==
4- Dimensionamento das armaduras a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária
Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.
cmeekNN
yy
d
30,3808.3
1 ===
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais:
Direção x:
13,03555,585,0
85,0
4,10,36035
808.3
=×=⋅=
=××
=⋅
=
x
xddx
cdc
dd
heν
fAN
μ
ν
13
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais:
Direção y:
05,06030,385,0
85,0
4,10,36035
808.3
=×=⋅=
=××
=⋅
=
y
yddy
cdc
dd
he
ν
fAN
μ
ν
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:- Flexão composta normal;- Armadura distribuída paralela ao eixo y;- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,36
13,085,0
10,011,035
0,4
==
≅==′
dx
d
x
x
hd
μν
14
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
ω = 0,36
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Área das barras:
Escolha das barras:- 12φ20 - As,efe = 37,68cm2;- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
226,3715,1
504,1
0,3)6035(36,0 cm
ffAAyd
cdcs =
×××=
⋅⋅= ω
15
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Escolha do Ábaco:- Flexão composta normal;- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18
[d’/h=0,10]
- Taxa de armadura: ω = 0,13
05,085,0
07,060
0,4
==
==′
dy
d
y
y
hd
μν
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Como ωx = 0,36 > ωy = 0,13:- O arranjo para a direção “x” (12φ20 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;
16
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK) 75,438
3502010
810
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
%4,0%63,085,015,1
504,1
0,315,0
%4,015,015,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
mínsmín f
fff
fAN
AA
ρ
νρ
%79,101794,0603568,37
==×
==c
s
AA
ρ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,42%0,8
==máxρ
17
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
mma
mmcmdmm
mma
agremáx
l
23
2328,29,12,12,120
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅=≥ φ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cmacm
cmba
máx
máx
4040
703522
≤⎩⎨⎧ =×=⋅
≤
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
mmmm
mmtlt 5
54
204
5=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
==≥ φφφ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cmscm
cms t
l
t 20 242,01212
35cmseção da dimensãomenor 20
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅=≤
φ
Adotar φ5 c/20
18
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 404,83,2
4,816
0,265,025,2260122
cmacmacma
cma
nncha
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−⋅−
=φφ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).
5- DetalhamentoArmadura Transversal
Como (a+ φl) =10,4cm ≈ 20φt = 10cm, é necessário proteção contra flambagem apenas nas duas barras centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
19
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( )( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,223525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )( ) cml
lcbl
s
gtnoms
400,525,2235
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
)180( 20/ 529
29120
5601
cshl
Nt
vigao
φ
=+=++
=
e) Número de estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]40 20/ 5292 cφ×
180
20
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Desenho da seção transversal
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅≥=⋅⋅=
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅≥≥⋅⋅=
mm
llll
mm
ll
AA
ll
b
bbnecb
b
befs
calcsbnecb
10010
3,00,10,1
10010
3,0
,
min,,
,1,
φ
φα
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅≥≥=
mm
llll
b
ocnecboc
20015
6,0
min,, φ
5- DetalhamentoComprimento das esperas
21
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- DetalhamentoComprimento das esperas
bd
ydb f
fl ⋅=
4φ
32
32
3375,0
21,00,10,125,2
321
ckbd
c
ckbd
ctdbd
ff
ff
ff
⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
γ
ηηη
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎩⎨⎧
≥=mm
ll boc 20015φ
5- DetalhamentoComprimento das esperas
32
32 35,13375,04 ck
yd
ck
ydb f
ff
fl
⋅⋅=
⋅⋅= φφ
22
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmcml
ff
l
b
ck
ydb
7071,663035,115,1
5000,2
35,1
32
32
≈=⋅
⋅=
⋅⋅= φ
5- DetalhamentoComprimento das esperas
Logo:
⎩⎨⎧ =×=
≥==mm
cmcmll boc 200
300,2151570
φ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cml
lhll ocviga
63070 560
)( 0
=+=
++=
5- DetalhamentoComprimento total das barras longitudinais
23
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- DetalhamentoDesenho do Pilar P5:
630
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
24
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
460
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:Nk = 1.670kNNd = 1,4 x 1.670 = 2.338kN
Na direção x:
⎩⎨⎧ +
≤l
hlle
0
cmlcml
cmhll
cmlcmhl
cml
exx
xxex
x
xx
x
423460
423460
4232539839862460
0
0
0
=⇒⎩⎨⎧
==+
≤
==+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilara) Características Geométricas
Comprimentos equivalentes do Pilar:
25
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
cmlcml
cmhll
cmlcmhl
cml
eyy
yyey
y
yy
y
460460
478
46047870408
40852460
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
Comprimentos equivalentes do Pilar:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Vão efetivo da Viga V2:
cml
aall
viga
vigaovigaef
5702
35225600,0
21,,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P4:
cmacmha
cmh
a
V
Px
5,126,18623,03,0
5,12225
2 1
2,21
4,1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
26
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Vão efetivo da Viga V2:
A medida a2 relativa ao pilar P5:
cmacmha
cmh
a
V
Px
5,176,18623,03,0
5,172
352 2
2,22
5,2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
viga
vigaovigaef
6005,175,12570,0
21,,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V2:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:Modelo Simplificado NBR 6118:2003:
27
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
3
3
supsup 293.1
42321
1225703
213
cml
Ir pilar =
⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1293cm3
Rigidez da viga:
3
3
648.2600
12622044
cmlI
rviga
vigaviga =
⋅⋅=
⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
cmkNkNmlqg
M vigaeng ⋅==
⋅=
⋅+= 700.557
120,619
12)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkNrrr
rMM
vigaeng ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++⋅= 408.1
293.1293.1648.2293.1700.5
infsup
supsup
28
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:
Minf = Msup = 1.408kN.cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
8,2270
1246012=
⋅=
⋅==
y
ey
y
eyy h
lil
λ
Índices de Esbeltez:Na direção x:
6,5825
1242312=
⋅=
⋅==
x
ex
x
exx h
lilλ
29
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
2- Excentricidades:Excentricidade InicialNa direção x:
cmNM
eed
Adbaseixtopoix 84,0
338.2408.14,1,
,, =⋅
===
cmecmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
34,034,084,04,017,0)84,0(4,084,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Na direção y: cmNM
eeed
Adymeioiybaseiytopoiy 0,0
338.20,0,
,,, =====
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Sendo:
2- Excentricidades:Excentricidades acidentais:
radl
radl
ey
ex
00466,060,4100
1100
1
00486,023,4100
1100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
eyy
exx
le
le
⋅=
⋅=
θ
θ
30
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
rad00333,0300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00466,0(OK) 00486,0
min,11y
min,11x
θθθθ
>=
>=
radrad
Logo:
Excentricidades acidentais:Onde:
cml
e
cmle
eyy
exx
07,12
46000466,02
03,12
42300486,02
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
ee
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:Excentricidades mínimas:
cmecme
y
x
60,370,003,0015,00,03h0,015 )(25,225,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
31
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
kNcmeNMkNcmeNM
yiddy
xiddx
8,416.860,3338.2)(5,260.525,2338.2)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Excentricidades acidentais:Momentos mínimos:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmecme
y
x
60,3 25,2
1
1
==
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
60,3)(0
25,2)(84,0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeeecmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
60,3)(07,107,1025,2)(37,103,134,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:Seções de extremidades (topo e base)
cmecme
y
x
60,3 25,2
1
1
==
32
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
9035 e 5,1225
1b
1 ≤≤⋅+
= λαα
λb
i
he
cmhehe
xxixb
x
xi
x 25 84,0 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 4,250,1
2584,05,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=⋅+
=
x
xb
x
xi
xhe
λ
λα
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.971,2kNcm < M1dx,mín = 5.260,5kNcm 0,1, =xbα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmhehe
yyiyb
y
yi
y 70 0 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 250,1
7005,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=⋅+
=
y
yb
y
yi
y
he
λ
λα
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
33
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, énecessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
358,22 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmlcmkNeNMcmkNM
xe
xmíndmíndAd
b
423.5,260.525,2338.2)(2,971.1
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥⋅==α
Adxe
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2,
,1,1
10≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximadaDireção x:
34
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
62,0
4,10,3)7025(
338.2=
⋅⋅=
⋅=
cdc
sd
fANν
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,05,0
005,01≤
+=
ν
( )44 100,2
25005,01079,1
5,062,025005,01 −− ⋅=<⋅=+
=r
(OK)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com curvatura aproximadaDireção x:
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
7,748.12
5,260.51079,110
423338.25,260.50,1
,
42
,
Adxe
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2,
,1,1
10≥⋅⋅+⋅= α
cmNM
ed
totdxtot 45,5
338.27,748.12,
, ===
35
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P43- Situações de Projeto e de Cálculo:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmNM
e
cmkNMkNN
d
totdx
totd
d
45,5338.2
7,748.12
7,748.12338.2
,
,
===
⋅==
4- Dimensionamento das armaduras a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta
Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua
cmee
cmeekNN
yy
topoixx
d
60,3
84,0338.2
1
,
==
===
36
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais:
Direção x:
14,02545,562,0
62,0
4,10,37025
338.2
=×=⋅=
=××
=⋅
=
x
xddx
cdc
dd
he
ν
fAN
μ
ν
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais:
Direção y:
03,0032,07060,362,0
02,0021,02584,062,0
62,0
4,10,37025
338.2
≅=×=⋅=
≅=×=⋅=
=××
=⋅
=
y
yddy
x
xddx
cdc
dd
he
ν
heν
fAN
μ
μ
ν
37
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:- Flexão composta normal;- Armadura distribuída paralela ao eixo y;- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,25
14,062,0
15,016,025
0,4
==
≅==′
dx
d
x
x
hd
μν
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
ω = 0,25
38
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Área das barras:
Escolha das barras:- 12φ16 - As,efe = 24,12cm2;- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
252,2115,1
504,1
0,3)7025(25,0 cm
ffA
Ayd
cdcs =
×××=
⋅⋅= ω
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
03,0032,07060,362,0
02,0021,02584,062,0
62,0
15,016,025
0,4
05,006,070
0,4
≅=⋅=⋅=
≅=⋅=⋅=
=
≅==′
≅==′
y
yddy
x
xddx
d
x
x
y
y
hehe
hd
hd
νμ
νμ
ν
39
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:- Flexão oblíqua;- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;- Como não há arranjo para 12φ, escolhe-se os ábaco A-16
[20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994)
- Taxa de armadura: ω = 0,0
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
40
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Como ωx = 0,25 > ωy = 0,0:- O arranjo para a direção “x” (12φ16 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK) 25,318
2501610
810
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
41
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
%4,0%46,062,015,1
504,1
0,315,0
%4,015,015,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
mínsmín f
fff
fAN
AA
ρ
νρ
%38,10138,07025
12,24==
×==
c
s
AA
ρ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,42%0,8
==máxρ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mma
mmcmdmm
mma
agremáx
l
23
2328,29,12,12,116
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅=≥ φ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cmacm
cmba
máx
máx
4040
502522
≤⎩⎨⎧ =×=⋅
≤
42
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mmmm
mmtlt 5
44
164
5=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
==≥ φφφ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cmscm
cms t
l
t 19 2,191,61212
25cmseção da dimensãomenor 20
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅=≤
φ
Adotar φ5 c/19
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 409,103,2
9,1016
6,165,025,2270122
cmacmacma
cma
nnch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−⋅−
=φφ
43
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).
5- DetalhamentoArmadura Transversal
Como (a+ φl) =12,5cm > 20φt = 10cm, é necessário proteção contra flambagem em todas as barras centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( )( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,222525,22702
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
44
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
)180( 19/ 525
251194601
cshl
Nt
vigao
φ
=+=++
=
e) Número de estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]30 19/ 5254 cφ×
180C/19
C/19
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Desenho da seção transversal
45
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmcml
f
fl
b
ck
ydb
5537,533035,115,1
5006,1
35,1
32
32
≈=⋅
⋅=
⋅⋅= φ
5- DetalhamentoComprimento das esperas
Logo:
⎩⎨⎧ =×=
≥==mm
cmcmll boc 200
246,1151555
φ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cml
lhll ocviga
51555 460
)( 0
=+=
++=
5- DetalhamentoComprimento total das barras longitudinais
46
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- DetalhamentoDesenho do Pilar P4:
180
515
C/19
C/19
C/1
9
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
47
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:Nk = 1.230kNNd = 1,4 x 1.230 = 1.722kN
Na direção x:
⎩⎨⎧ +
≤l
hlle
0
cmlcml
cmhll
cmlcmhl
cml
exx
xxex
x
xx
x
423460
423460
4232539839862460
0
0
0
=⇒⎩⎨⎧
==+
≤
==+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilara) Características Geométricas
Comprimentos equivalentes do Pilar:
48
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
cmlcml
cmhll
cmlcmhl
cml
eyy
yyey
y
yy
y
460460
468
46046860408
40852460
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
Comprimentos equivalentes do Pilar:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Vão efetivo das Vigas V1 e V4:a) Viga V1:
cml
aall
V
VoVef
5,5572
602256001,0
211,1,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cmacmha
cmh
a
V
Px
5,126,18623,03,0
5,12225
2 1
11
1,1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
49
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
a) Viga V1:
A medida a2 relativa ao pilar P2:
cmacmha
cmh
a
V
Px
6,186,18623,03,0
0,302
602 2
12
2,2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
6,5886,185,125,5571,
211,1,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V1:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
cml
aall
V
VoVef
0,3152
70602204004,0
214,4,
=−−+=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cmacmha
cmh
a
V
Py
6,156,15523,03,0
0,302
602 1
41
1,1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
50
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
A medida a2 relativa ao pilar P4:
cmacmha
cmh
a
V
Py
6,156,15523,03,0
0,352
702 2
42
4,2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
2,3466,156,150,3154,
214,4,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V4:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:Eixo “x”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
51
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
3
3
supsup 108.1
42321
1225603
213
cml
Ir pilar =
⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1.108cm3
Rigidez da viga:
3
3
699.26,588
12622044
cmlI
rviga
vigaviga =
⋅⋅
=⋅
=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
cmkNkNmlqg
M vigaeng ⋅==
⋅=
⋅+= 774.574,57
12886,520
12)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkNrrr
rMMM
vigaeng ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++⋅== 302.1
108.1108.1699.2108.1774.5
infsup
supinfsup
52
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:Eixo “y”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
3
3
supsup 870.5
46021
1260253
213
cml
Ir pilar =
⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 5.870cm3
Rigidez da viga:
3
3
625.12,346
12521244
cmlI
rviga
vigaviga =
⋅⋅
=⋅
=
53
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
cmkNkNmlqg
M vigaeng ⋅==
⋅=
⋅+= 598.198,15
12462,316
12)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkNrrr
rMMM
vigaeng ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++⋅== 702
870.5870.5625.1870.5598.1
infsup
supinfsup
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar P1
54
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
6,2660
1246012=
⋅=
⋅==
y
ey
y
eyy h
lil
λ
Índices de Esbeltez:Na direção x:
6,5825
1242312=
⋅=
⋅==
x
ex
x
exx h
lil
λ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:Excentricidade InicialNa direção x:
cmNM
eed
Adbaseixtopoix 06,1
722.1302.14,1,
,, =⋅
===
cmecmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
42,042,006,14,021,0)06,1(4,006,16,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
55
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:Excentricidade InicialNa direção y:
cmNM
eed
Adbaseiytopoiy 57,0
722.17024,1,
,, =⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioiy
meioiy
iyiyiymeioiy
23,0
23,057,04,011,0)57,0(4,057,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Sendo:
2- Excentricidades:Excentricidades acidentais:
radl
radl
ey
ex
00466,060,4100
1100
1
00486,023,4100
1100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
eyy
exx
le
le
⋅=
⋅=
θ
θ
56
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
rad00333,0300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00466,0(OK) 00486,0
min,11y
min,11x
θθθθ
>=
>=
radrad
Logo:
Excentricidades acidentais:Onde:
cml
e
cmle
eyy
exx
07,12
46000466,02
03,12
42300486,02
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
ee
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:Excentricidades mínimas:
cmecme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015 )(25,225,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
57
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
kNcmeNMkNcmeNM
yiddy
xiddx
6,682.530,3722.1)(5,874.325,2722.1)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Excentricidades acidentais:Momentos mínimos:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmecme
y
x
30,3 25,2
1
1
==
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(57,0
25,2)(06,1
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeeecmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(30,107,123,025,2)(45,103,142,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:Seções de extremidades (topo e base)
cmecme
y
x
30,3 25,2
1
1
==
58
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
9035 e 5,1225
1b
1
1 ≤≤⋅+
= λαα
λb
he
cmhehe
xxixb
x
xi
x 25 06,1 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 5,250,1
2506,15,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=⋅+
=
x
xb
x
xi
xhe
λ
λα
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.822,8kNcm < M1dx,mín = 3.874,5kNcm 0,1, =xbα
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmhehe
yyiyb
y
yi
y 60 57,0 :onde 5,1225
,,
,
,1 ==
⋅+
=α
λ
35
9035 que sendo 1,250,1
600575,12255,1225
,1
1,
,
,1
=
≤≤=⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
yhe
λ
λα
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:Esbeltez Limite:
como MA,d = 982,8 < M1dy,mín = 5.682,6kNcm 0,1, =ybα
59
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, énecessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
356,26 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário considerar o efeito de 2ª ordem na direção y.
Para pilares sob flexão oblíqua, se em pelo menos uma direção for necessário considerar o efeito de 2ªordem, deve-se considerar o efeito de 2ª ordem nas duas direções principais.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
⋅−
⋅=
min,1
,12
,1,
1201 d
AdAdbtotd M
MMM
νκ
λ
ανκ ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅=d
totd
NhM ,5132
Solução única:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
acabbM totd ⋅⋅⋅−+−
=2
42
,
Addb
Adbd
d
MNhc
MNhNhb
a
,1
,1
2
2,019200
2,0
1
⋅⋅⋅⋅−=
⋅−⋅⋅
−⋅⋅=
=
α
αλ
60
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNMmkNcmkNM
kNNmcmh
míndx
Adx
d
x
x
bx
⋅==
⋅=⋅==
====
75,38.0,875.323,180,823.1
722.125,025
6,580,1
,1
,1
λαDireção x:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
6,569.123,18722.125,00,12,02,0
126,923,180,119200
722.125,06,58722.125,02,0
192002,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
−=⋅−⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−⋅⋅
−⋅⋅=
=
cMNhc
b
MNh
Nhb
a
Adxdxbx
Adxbxdxx
dx
α
αλ
61
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=
⋅=>⋅=⋅=
⋅−⋅⋅−−+−−
=
⋅⋅⋅−+−
=
mkNMmkNM
cmkNmkNM
M
acabbM
dx
Adxtotdx
totdx
totdx
875.3823.1
3,444.4443,44
0,126,569.10,14126,9126,9
24
min,1
,1,
2
,
2
,
cmNM
ed
totdxxtot 58,2
722.13,444.4,
, ===
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNM
mkNcmkNMkNN
mcmh
mínyd
Ayd
d
y
y
bx
⋅==
⋅=⋅==
==
==
83,56.683.5
83,9983722.1
60,060
6,260,1
,1
,1
λαDireção y:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
62
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
3,031.283,9722.160,00,12,02,0
73,15883,90,119200
722.160,06,26722.160,02,0
192002,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
=⋅−⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−⋅⋅
−⋅⋅=
=
cMNhc
b
MNh
Nhb
a
Adxdxbx
Adybydyy
dy
α
αλ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
Efeitos de 2ª ordem:Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( )
cmkNM
cmkNMcmkNM
cmkNmkNM
M
acabbM
totdy
dx
Adxtotdy
totdy
totdy
⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=
⋅=≥⋅=⋅=
⋅−⋅⋅−+−
=
⋅⋅⋅−+−
=
683.5
683.5983
4,190.1904,11
0,123,031.20,1473,15873,158
24
,
min,1
,1,
2
,
2
,
cmNM
ed
totdyytot 30,3
722.1683.5,
, ===
63
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmecmekNN
y
x
d
30,358,2722.1
===
cmecmekNN
y
x
d
57,025,2722.1
===
4- Dimensionamento das armaduras a) Situação de cálculo:
Seção Intermediária – Flexão obíqua
Seção Extremidade – Flexão oblíquaDireção x: Direção y:
cmecmekNN
y
x
d
30,306,1
722.1
===
Situação mais desfavorável
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
4- Dimensionamento das armaduras b) Equações adimensionais:
03,06030,354,0
06,02558,254,0
54,0
4,10,36025
722.1
=×=⋅=
=×=⋅=
=××
=⋅
=
y
yddy
x
xddx
cdc
dd
he
ν
he
ν
fAN
μ
μ
ν
64
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
15,016,025
0,4
05,007,060
0,4
≅==′
≅==′
x
x
y
y
hd
hd
4- Dimensionamento das armaduras c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:- Flexão oblíqua;- Armadura distribuída paralela ao eixo y;- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [Pimheiro, 1994]
- Taxa de armadura: ω = 0,0
03,06030,354,0
06,02558,254,0
54,0
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=
y
yddy
x
xddx
d
hehe
νμ
νμ
ν
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
65
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Área das barras:
A seção precisa ser armada com armadura mínima.
20,0 cmffA
Ayd
cdcs =
⋅⋅= ω
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
22, 00,66025004,0%4,094,5
15,150
722.115,015,0 cmAcmfN
A cyd
dmíns =××=≥=⋅=⋅=
%0,42%0,8%5,0
602536,7
==<=×
== máxc
s
AA
ρρ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
a) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
Escolha das barras:- 6φ12,5 - As,efe = 7,36cm2;- 3 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
20,6 cmAs =
66
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
b) Diâmetro das barras
(OK) 25,318
2505,1210
810
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mma
mmcmdmm
mma
agremáx
l
23
2328,29,12,12,15,12
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅=≥ φ
5- DetalhamentoArmadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cmacm
cmba
máx
máx
4040
502522
≤⎩⎨⎧ =×=⋅
≤
67
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mmmm
mmtlt 5
1,34
5,124
5=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
==≥ φφφ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cmscm
cms t
l
t 15 151,251212
25cmseção da dimensãomenor 20
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅=≤
φ
Adotar φ5 c/15
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- DetalhamentoArmadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 4013,253,2
13,2513
25,135,025,2260122
cmacmacma
cma
nnch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−⋅−⋅−⋅−
=φφ
68
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).
5- DetalhamentoArmadura Transversal
Como (a+ φl) =26,4cm > 20φt = 10cm, é necessário proteção contra flambagem na barra central (estribo suplementar)
d) Comprimento dos estribos
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
( ) ( )( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1600,525,222525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
69
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
)160( 15/ 532
321154601
cshl
Nt
vigao
φ
=+=++
=
e) Número de estribos suplementares
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Número de estribos
( )30 15/ 532 cφ
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
55
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- DetalhamentoArmadura Transversal
f) Desenho da seção transversal
6 φ 12,5 mm
26,4 cm
70
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmcml
f
fl
b
ck
ydb
4570,413035,115,1
50025,1
35,1
32
32
≈=⋅
⋅=
⋅⋅= φ
5- DetalhamentoComprimento das esperas
Logo:
⎩⎨⎧ =×=
≥==mm
cmcmll boc 200
75,1825,1151545
φ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cml
lhll ocviga
50545 460
)( 0
=+=
++=
5- DetalhamentoComprimento total das barras longitudinais
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