2 - circuito com r_l_c
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Circuitos Contendo Resistência,
Indutância, Capacitância
Prof.: Welbert Rodrigues
Coltec - UFMG
Welbert Rodrigues 2
Introdução
Serão estudadas as relações existentes
entre as tensões e as correntes alternadas
senoidais nos Resistores, nos Capacitores
e nos Indutores e sua forma de
representação matemática.
Além de como a freqüência dos sinais
senoidais afeta as características de
comportamento desses elementos.
Welbert Rodrigues 3
Introdução
A forma de onda senoidal é a única forma
de onda alternada cuja forma não é
afetada pelas características de respostas
dos elementos resistivos, indutivos e
capacitivos.
Welbert Rodrigues 4
Resistor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
Circuito resistivo
VR
I=
( ) ( )p Vv t V sen tω θ= +
Welbert Rodrigues 5
Resistor em Corrente Alternada
Corrente no resistor:
( )( )( ) ( )p V p
R V
V sen t Vv ti t sen t
R R R
ω θω θ
+= = = +
pP
VI
R=
( ) ( )R p Vi t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
Welbert Rodrigues 6
Resistor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no resistor:
( ) ( )R p Vv t V sen tω θ= +
( ) ( )R p Ii t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
Welbert Rodrigues 7
Resistor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente em fase
Welbert Rodrigues 8
Resistor em Corrente Alternada
Nos terminais de um resistor, a corrente
está sempre em fase com a tensão.
No domínio fasorial:
R
R
VR
I
•
•=
Welbert Rodrigues 9
Resistor em Corrente Alternada
Exercício: A um resistor de 6Ω é aplicada uma tensão de
senoidal de 12Vef , 60Hz e ângulo de fase inicial zero.
a) Determine a expressão trigonométrica e o fasor
para a tensão;
b) Determine a expressão trigonométrica e o fasorpara a corrente;
c) Trace as formas de onda para v(t) e i(t);
d) Trace o diagrama fasorial para a tensão e corrente.
Welbert Rodrigues 10
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
a)
Expressão trigonométrica:
Fasor da tensão:
Welbert Rodrigues 11
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
b) Fasor da Corrente:
Corrente Instantânea:
Welbert Rodrigues 12
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
c)
Welbert Rodrigues 13
Resistor em Corrente Alternada
Solução:
d) Diagrama Fasorial:
Welbert Rodrigues 14
Indutor em Corrente Alternada
Indutância: é capacidade de um condutor possui de induzir tensão em si mesmo quando a
corrente varia.
Um indutor armazena energia na forma de
campo magnético.
LvL
i t=
∆ ∆
Welbert Rodrigues 15
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:
Qual a indutância de uma bobina que induz 20V
quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 A em 2s?
Resposta: L=5H.
Welbert Rodrigues 16
Indutor em Corrente Alternada
Reatância Indutiva(XL): é a oposição àcorrente ca devida à indutância do circuito.
Tensão no Indutor:
Energia do Indutor:
2LX L fLω π= =
L
iV L
t
∆=∆
21
2E LI=
Welbert Rodrigues 17
Indutor em Corrente Alternada
Indutores em série:
Indutores em Paralelo:
1 2 3 ...T nL L L L L= + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1...
T nL L L L L= + + + +
Welbert Rodrigues 18
Indutor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Indutor:
Em um indutor num circuito CA, a corrente estará
sempre atrasada de 90º em relação à tensão.
Welbert Rodrigues 19
Indutor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
.L L LV X I=
Welbert Rodrigues 20
Indutor em Corrente Alternada
Corrente no indutor:
Na forma fasorial:
( ) ( )L p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )L p iv t V sen tω θ= ± +
L ef iI I θ•
= ∠
90ºL ef iV V θ•
= ∠ +
Welbert Rodrigues 21
Indutor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
90º| | 90º | | .ef iL
L L Lef i
L
VVX X X j
II
θθ
•
•
∠ += = = ∠ + =
∠
Welbert Rodrigues 22
Indutor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Indutor
Welbert Rodrigues 23
Indutor em Corrente Alternada
O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito
em corrente contínua e como uma reatância elétrica
em corrente alternada - XL (se opõe à variação de corrente).
Para freqüências muito altas, o indutor comporta-se
praticamente como um circuito aberto.
Welbert Rodrigues 24
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula, é
aplicada aos terminais de um indutor de 15mH.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão
aplicada ao indutor;
b) Determine o valor da reatância desse indutor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma
trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial.
Welbert Rodrigues 25
Indutor em Corrente Alternada
Solução:a)
b)
Welbert Rodrigues 26
Indutor em Corrente Alternada
Solução:c)
d)
Welbert Rodrigues 27
Indutor em Corrente Alternada
Impedância:Para dois terminais A e B de um circuito, cuja tensão e corrente é
conhecido. A impedância (Z) é dada por:
Welbert Rodrigues 28
Indutor em Corrente Alternada
Como os fasores e são números complexos, a
impedância Z é também um número complexo, mas
não é um fasor.
Para um circuito resistivo puro:
Para um circuito indutivo puro:
V•
I•
Welbert Rodrigues 29
Indutor em Corrente Alternada
Em um Resistor a impedância é um real positivo.
Welbert Rodrigues 30
Indutor em Corrente Alternada
Em um Indutor a impedância é um imaginário positivo.
Welbert Rodrigues 31
Indutor em Corrente Alternada
Em um circuito misto, por exemplo RL a impedância é
um número complexo.
Welbert Rodrigues 32
Indutor em Corrente Alternada
Associação de Impedância (Série/Paralelo)
Welbert Rodrigues 33
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias
Um diagrama de impedância é um gráfico auxiliar
para se entender a impedância.
O Triângulo de Impedância é geralmente uma
representação gráfica mais conveniente.
Welbert Rodrigues 34
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias Triângulo de Impedâncias
Welbert Rodrigues 35
Indutor em Corrente Alternada
Circuito RL série
Welbert Rodrigues 36
Indutor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um sinal senoidal éaplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em
série com um indutor ideal de 25mH.
a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 2.200. (2000. )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 37
Indutor em Corrente Alternada
d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
Welbert Rodrigues 38
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
a) R=25Ω
b)
Welbert Rodrigues 39
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
Triângulo de Impedâncias
Welbert Rodrigues 40
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
c)
Welbert Rodrigues 41
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
d) Tensão no resistor:
Tensão no indutor:
Welbert Rodrigues 42
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
e)
Welbert Rodrigues 43
Indutor em Corrente Alternada
Solução:
f)
Welbert Rodrigues 44
Capacitor em Corrente Alternada
Capacitância: é relação entre a quantidade de carga armazenada e a tensão admitida entre as
placas de um capacitor.
Welbert Rodrigues 45
Capacitor em Corrente Alternada
Um capacitor carregado comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua constante,
mas permite a condução de corrente no circuito
para tensão variável;
Corrente no capacitor:
c
vi C
t
∆=∆
Welbert Rodrigues 46
Capacitor em Corrente Alternada
Reatância Capacitiva(XC): é a medida da oposição que um capacitor oferece à variação da
tensão entre seus terminais.
O capacitor armazenar energia no campo elétrico.
1 1
2CXC fCω π
= =
Welbert Rodrigues 47
Capacitor em Corrente Alternada
Capacitores em série:
Capacitores em Paralelo:
1 2 3
1 1 1 1 1...
T nC C C C C= + + + +
1 2 3 ...T nC C C C C= + + + +
Welbert Rodrigues 48
Capacitor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Capacitor:
Em um capacitor num circuito CA, a corrente estará
sempre adiantada de 90º em relação à tensão.
Welbert Rodrigues 49
Capacitor em Corrente Alternada
Corrente no capacitor:
Na forma fasorial:
( ) ( )C p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )C p iv t V sen tω θ= ± −
C ef iI I θ•
= ∠
90ºC ef iV V θ•
= ∠ −
Welbert Rodrigues 50
Capacitor em Corrente Alternada
Lei de Ohm
90º| | 90º . | |ef iC
C C Cef i
C
VVX X j X
II
θθ
•
•
∠ −= = = ∠ − = −
∠
Welbert Rodrigues 51
Capacitor em Corrente Alternada
Tensão e Corrente no Capacitor:
Welbert Rodrigues 52
Capacitor em Corrente Alternada
O capacitor ideal comporta-se como um circuito aberto em corrente contínua (freqüência zero)
E como uma reatância elétrica (Xc) em corrente alternada, pois se opõe à variação de tensão.
Para freqüências muito altas, o capacitor comporta-se praticamente como um curto-
circuito.
Welbert Rodrigues 53
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula,
é aplicada aos terminais de um capacitor de 620µF.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão aplicada ao capacitor;
b) Determine o valor da reatância desse capacitor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
Welbert Rodrigues 54
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
a)
Welbert Rodrigues 55
Capacitor em Corrente Alternada
b)
c)
Welbert Rodrigues 56
Capacitor em Corrente Alternada
d)
Welbert Rodrigues 57
Capacitor em Corrente Alternada
Circuito RC série
Welbert Rodrigues 58
Capacitor em Corrente Alternada
Exemplo:
Um sinal senoidal é aplicado a um
resistor ideal de 25Ω associado em série com um capacitor ideal de 20µF.
a) Determine o valor dos componentes no domínio
fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 59
Capacitor em Corrente Alternada
d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;
e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
Welbert Rodrigues 60
Capacitor em Corrente Alternada
Solução:
a) R=25Ω
b)
Welbert Rodrigues 61
Capacitor em Corrente Alternada
c)
Welbert Rodrigues 62
Capacitor em Corrente Alternada
d)
Welbert Rodrigues 63
Capacitor em Corrente Alternada
e)
Welbert Rodrigues 64
Capacitor em Corrente Alternada
f)
Welbert Rodrigues 65
Análise de Circuito em CA
Circuito RLC série
Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em série com um
indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de
20µF.
a) Determine a impedância equivalente;
b) Determine as correntes nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 66
Análise de Circuito em CA
c) Determine as tensões nos três elementos do circuito,
nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
Welbert Rodrigues 67
Análise de Circuito em CA
Solução:
a)
Welbert Rodrigues 68
Análise de Circuito em CA
b)
c)
Welbert Rodrigues 69
Análise de Circuito em CA
Welbert Rodrigues 70
Análise de Circuito em CA
d)
Welbert Rodrigues 71
Análise de Circuito em CA
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Exercício
Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de
25Ω é associado, como mostra a figura abaixo, com um indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de
20µF. A tensão da fonte é:
Welbert Rodrigues 72
Análise de Circuito em CA
a) Determine a impedância equivalente, o triângulo de
impedâncias;
b) Determine as correntes nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
c) Determine as tensões nos três elementos do
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três
elementos;
Welbert Rodrigues 73
Análise de Circuito em CA
a)
Welbert Rodrigues 74
Análise de Circuito em CA
b)
Welbert Rodrigues 75
Análise de Circuito em CA
Forma trigonométrica das correntes:
Welbert Rodrigues 76
Análise de Circuito em CA
c) A tensão no capacitor é a mesma da fonte:
A tensão no Resistor:
Welbert Rodrigues 77
Análise de Circuito em CA
A tensão no Indutor:
Welbert Rodrigues 78
Análise de Circuito em CA
d)
Welbert Rodrigues 79
Análise de Circuito em CA
Admitância
Definimos Admitância Y como sendo o inverso da
impedância Z.
Lei de Ohm:
I YV=
1Y
Z=
Welbert Rodrigues 80
Análise de Circuito em CA
Admitância Y é o inverso da Impedância Z
Condutância G é o inverso da Resistência R
Susceptância B é o inverso da Reatância X
Welbert Rodrigues 81
Análise de Circuito em CA
Associação de Admitância:
1) Série
2) Paralelo
Welbert Rodrigues 82
Análise de Circuito em CA
Tabela de Impedância e Reatância
Welbert Rodrigues 83
Análise de Circuito em CA
Tabela de Admitância e Susceptância
Welbert Rodrigues 84
Análise de Circuito em CA
Circuitos Ressonantes
A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual um circuito RLC se comporta como um circuito
resistivo.
A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, paralelos ou mistos.
O circuito série é ressonante quando:
| | | |C LX X=
Welbert Rodrigues 85
Análise de Circuito em CA
Freqüência de Ressonância RLC Série:
Freqüência de Ressonância RLC Paralelo:
0
1
LCω =
0
1
LCω =
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