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BCC 101– Matemática Discreta

Predicados, Quantificadores

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Lógica de PredicadosConsidere o seguinte argumento:

H1: Todo homem é mortal

H2: Sócrates é homem C: Sócrates é mortal

Esse parece ser um raciocínio válido.Como podemos representá-lo?

H1, H2 ⊢ CVemos que não é possível deduzir C de

H1 e H2, usando a lógica proposional…. mas o argumento parece correto

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Lógica de Predicados

A lógica proposcional não é capaz de representar adequadamente informações contendo “todos”, “algum”, “somente um” …

Afirmações desse tipo ocorrem frequentemente em matemática: Todo número primo, exceto 2, é impar Todo múltiplo de 4 é par Todo número inteiro maior que 1 ou é

primo ou é um produto de primos

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Lógica de PredicadosA Lógica de Predicados estende a

Lógica proposicional, possibilitando abstração e quantificação sobre variáveis.

Considere as seguintes proposições: 2 é primo 3 é primo 4 é primo

Vamos estender nossa linguagem da lógica de modo que possamos escrever: P(x) : x é primo

P(2) P(3) P(4)

P(x) é um predicado

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O que é um Predicado?Um predicado especifica uma propriedade

de um objeto ou uma relação entre objetos:P(x) : x é um número primoD(x,y) : x é divisível por y

Um predicado pode ser visto como uma coleção parametrizada de proposições

Uma proposição diferente para cada combinação de valores para as variáveis

Universo de discurso: valores que as variáveis podem ter

P(x) = x é primo Universo de discurso: N = {0,1,2,…} Qual o significado de P(3) ? E de P(10) ?

D(x,y) = x é divisível por y Universo de discurso: N x N Qual o significado de D(10,4) ? D(10,2)? D(12,3) ?

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Exemplos

Analise a forma lógica das seguintes sentenças:

x é um número primo e y ou z é divisível por x P(x) ( D(y,x) D(z,x) )

x é homem e y é mulher e x gosta de y, mas y não gosta de x H(x) M(y) G(x,y) G(x,y)

O quadrado de x é menor que 9 e maior que 3 x2 < 9 x2 > 3

Note que y { x | x2 < 9 } é o mesmo que y2 < 9

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— Quantificador Universal, Para todo

x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é

uma fórmula

x.f(x) é verdadeira se f(x) é verdadeira para todo valor de x no universo de discurso

x.f(x) é falsa se existe algum valor de x no universo de discurso para o qual f(x) é falsa

É equivalente a formar o E lógico de todos os f(x)’s

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— Quantificador Universal, Para todo

Exemplo – Seja P(x) = x é primo

Considere o universo de discurso {2, 5, 17}x.P(x) é equivalente a P(2) P(5) P(17)x.P(x) é verdadeiro

Suponha que o universo de discurso é todo o conjunto de números naturais: {0,1,2,3,4, … }Existem valores que x pode assumir no

universo de discurso, para os quais P(x) é falso: por exemplo, P(4) é falso

Portanto, x.P(x) é falso

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— Quantificador Existencial, Existe

x.f(x) Se f(x) é uma fórmula, então x.f(x) é

uma fórmula.

x.f(x) é verdadeira se existe pelo menos um valor de x no universo de discurso para o qual a fórmula f(x) é verdadeira.

x.f(x) é falsa se x.f(x) é verdadeira.

É equivalente a formar o Ou Lógico de todos os f(x)’s

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— Quantificador Existencial, Existe

Exemplo – Seja H(x) = x é homem

Considere o universo {Maria, Paulo, João}x.H(x) é equivalente a H(Maria) H(Paulo)

H(João)x.H(x) é verdadeira

Considere que um universo que consiste apenas de mulheresNesse caso, não existe nenhum valor de x

para o qual P(x) é verdadeiro Portanto, x.H(x) é falso

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Universo Vazio

Qual o significado de x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é verdadeira Isso é compatível com o fato de que o é

uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true.

Qual o significado de ∃x.f(x) se o universo de discurso é vazio? Convenciona-se que a fórmula é falsa Isso é compatível com o fato de que o ∃ é

uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.

Exercícios

Seja P(x) = x == x2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

P(0) P(1) P(2) P(-1) P(y) x.P(x) x.P(x) x. P(x)

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Fórmulas com vários quantificadores

Seja N o universo de discurso N = {0, 1, 2, 3, … }

e seja R (x,y ) = “x < y ”.

Q1: O que significa x y R (x,y ) ? Todo número x admite um número

maior y Verdadeiro ou falso?

Q2: O que significa y x R (x,y ) ? Algum número y é maior que todo x Verdadeiro ou falso? 13

Quantificadores aninhados

Fórmula Quando é verdadeira Quando é falsa

x. y. P(x,y)y. x. P(x,y)

P(x,y) é verdadeira, para todo par de valores (x,y)

Existe um par de valores (x,y) para o qual P(x,y) é falso

x. y. P(x,y) Para cada x existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro

Existe um x para o qual P(x,y) é falso, para todo y

y. x. P(x,y) Existe um y tal que P(x,y) é verdadeiro para todo x

Para todo y existe um x tal que P(x,y) é falso

x. y. P(x,y) y. x. P(x,y)

Existe um par (x,y) tal que P(x,y) é verdadeiro

P(x,y) é falso para todo par de valores (x,y)

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Exercícios Traduza as seguintes frases para fórmulas da

Lógica de Predicados, supondo:

G(x,y) = x gosta de y

João gosta de todo mundo

Todo mundo gosta de João

Maria gosta de alguém

Maria não gosta de ninguém

João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta

Todo mundo gosta de alguém

Ninguém gosta de todo mundo15

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Variáveis livres e variáveis ligadas

Uma ocorrência de variável em uma fórmula é dita livre, se ela não ocorre no escopo de nenhum quantificador. Caso contrário, a ocorrência da variável é dita ligada.

(x. (∃y. G(x,z) H(y))) x e y são variáveis ligadas e z é uma variável livre(x. F(x, y) G(y)) K(x) a ocorrência de x em F(x,y) é ligada e em K(x) é livre

O significado de uma fórmula depende apenas do significado de suas variáveis livres

Variáveis livres e ligadas

variáveis ligadas podem ser renomeadas sem que isso altere o valor da expressão

(∀x. x > 0 ∨ x < 0 ⇒ x2 > 0) = (∀y. y > 0 ∨ y < 0 ⇒ y2 > 0)

um nome de variável ligada pode ser reusado em diferentes escopos:

(∀k . 0 ≤ k < 3 ⇒ k ≤ 2)∧(∃k .1 ≤ k < 5 ⇒ k2 = 4)

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Lógica de Predicados – sintaxe formal

A sintaxe da linguagem da Lógica de Predicados é dividida em 2 categorias: Termos: denotam objetos do universo

de discurso Fórmulas: denotam valores lógicos (T

ou F)

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Lógica de Predicados – termos

O conjunto de termos T é definido como: Seja V um conjunto de variáveis que

denotam objetos do universo de discurso. Então V ⊆ T;

Seja c uma constante que denota um objeto do universo de discurso. Então c ∈T;

Seja f uma função n-ária sobre termos, e sejam t1, … tn termos. Então f(t1,…,tn) ∈ T

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Lógica de Predicados – termos

Seja um universo que consiste de todos os estados e cidades brasileiras. Então Ouro Preto é uma constante que

representa um objeto desse universo. Se capital é uma função que retorna a

capital de um estado, então capital(Minas Gerais) representa o mesmo que Belo Horizonte.

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Lógica de Predicados – fórmulas

O conjunto de termos F é definido como: true, false ∈ F ; Se p é um predicado n-ário e sejam t1, … tn

termos. Então p(t1,…,tn) ∈ F Se f ∈ F então ¬f∈ F Se f1, f2 ∈ F então f1 ∘ f2∈ F, onde

∘ ∈ {∧,∨, ➝, =} Se x∈V e f ∈ F então ∀x.f∈ F e ∃x.f∈ F

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Lógica de Predicados – Semântica

Para dar semântica para uma fórmula devemos interpretá-la de acordo com o universo de discurso.

∃x.∀y. M(x,f(y)) é verdadeira?

Qual é o universo de discurso? Qual é a interpretação para a função f? Qual é o significado do predicado M?

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Exercícios

Q(1,1) P(2,0) y.Q(1,y) x.Q(x,2) y.Q(2,y)

x.Q(x,y) ?

x. y. Q(x,y) x. y.Q(x,y) x. y. Q(x,y) y. x. Q(x,y) y. x. Q(x,y) x. y. Q(x,y)

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Seja Q(x,y) = x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

Exercícios

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Considere o universo de discurso N e os seguintes predicados e funções: par(x): x é um número par impar(x): x é um número impar s: N -> N retorna o sucessor do número

dado

Qual é o valor verdade das seguintes fórmulas:

∀n. par(n) ∨ impar(n) ∀n. par(n) ➝ impar(s(n)) ¬∃n. par(n) ∧ impar(n)

O Arquipélago dos Knights e Knaves

Abercombie visitou uma vez o arquipélago de ilhas dos

Knights e Knaves, onde todos os Knights sempre falam

verdade e todos os Knaves sempre mentem.

Na primeira ilha que Abercombie visitou, todos os

habitantes disseram a mesma coisa: "Todos nós desta

ilha somos do mesmo tipo". O que você pode concluir

sobre o tipo dos habitantes da ilha?

CS 1813 Discrete Mathematics, Univ OklahomaCopyright © 2000 by Rex Page

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