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Halliday

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Fundamentos de Física

Volume 3

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Capítulo 24

Potencial Elétrico

Potencial Elétrico

Em 2012, Após quatro horas fumando maconha sem parar, uma jovemde 21 anos da região de Zlin, na República Tcheca, subiu no alto de umtorre de eletricidade de 12,2 metros de altura. Segundo o jornal "DailyMail", a moça estava sofrendo alucinações, e pensou que estivesseatravessando uma ponte.

Como é possível que a moça tenha permanecido sobre os cabos de altatensão sem ser eletrocutada?

FONTE: http://www.dailymail.co.uk/news/article-2162558/Czech-woman-scales-electricity-pylon-hallucinating-super-strength-skunk-cannabis.html

Potencial Elétrico

Os físicos e engenheiros descobriram

experimentalmente que a força elétrica é

conservativa e que, portanto, é possível associar

à força elétrica uma energia potencial elétrica.

A motivação para associar uma energia potencial

a uma força é o fato de que isso permite aplicar a

lei de conservação da energia mecânica a

sistemas fechados que envolvam a força.

FONTE:

http://www.science.marshall.edu/foltzc/10914t6.htm

FONTE:

https://pythonmatplotlibtips.blogspot.com.br/2017/12/draw-

electric-field-lines-with-changing-color.html

Quando uma força eletrostática age entre duas ou mais partículas de um

sistema, podemos associar uma energia potencial elétrica U ao sistema.

Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado

final f, a força eletrostática realiza um trabalho W sobre as partículas. A

variação de energia potencial associada é dada por

Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado pela

força eletrostática é independente da trajetória.

Em geral é usado, como configuração de referência de um sistema de

partículas carregadas, a configuração na qual a distância entre as partículas é

infinita e definimos a energia potencial de referência como sendo zero. Logo

O que leva a

Energia Potencial Elétrica

O Potencial Elétrico é definido como a energia potencia por unidade

de carga, sendo assim, essa é uma grandeza que independe da carga de

teste

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é igual à

diferença entre os potenciais elétricos dos dois pontos.Assim,

Potencial Elétrico

Logo, sendo U0 = 0 no infinito

(Definição de Potencial)

A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V).

A unidade SI para o campo elétrico também pode se redefinida a partir

do volt (V).

Podemos também definir uma unidade de energia que é conveniente

para medições de energia nos domínios atômico e subatômico: um

elétron-volt (eV) é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar

uma única carga elementar e, através de uma diferença de potencial de

um volt.

Se uma partícula de carga q é transportada do ponto i para o ponto f, na presença de

um campo elétrico, através da aplicação de uma força, a força aplicada realiza um

trabalho Wap sobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a

mesma carga. A variação K da energia cinética da partícula é dadapor

Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso,

Kf = Ki = 0 e

Relacionando o trabalho realizado pela força à variação da energia potencial da

partícula durante o deslocamento, obtemos:

Podemos também relacionar Wap à diferença de potencial elétrico V entre as posições

inicial e final da partícula:

ou

Potencial Elétrico: Trabalho Realizado por uma Força Aplicada

Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície

equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real.

Quando uma partícula carregada é deslocada de um ponto para outro de uma

superfície equipotencial, o trabalho total realizado pelo campo elétrico é sempre nulo.

Superfícies Equipotenciais

Superfícies Equipotenciais

FONTE: https://uwphysics115helper.wordpress.com/2015/02/15/chapter-20-electric-potential-and-electric-potential-energy/

FONTE: http://www.edtech.engineering.utoronto.ca/object/equipotential-surface

FONTE:

https://www.wolfram.com/mathematica/new-

in-9/built-in-symbolic-tensors/electric-

potential-and-field-of-a-dipole.html

Cálculo do Potencial a Partir do Campo

Logo obtemos:

Assim, a diferença de potencial Vf - Vi entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual

ao negativo da integral de linha do ponto i até o ponto f. Como a força eletrostática é conservativa, todas

as trajetórias levam ao mesmo resultado.

Se Vi = 0, temos:

Esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no ponto i. Se o ponto i está no infinito,

esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao infinito.

Dividindo por q0, temos uma função que independe da carga

de teste

Aplicando a definição

Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico

Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico (continuação)

Potencial Produzido por uma Carga Pontual

Uma partícula positivamente carregada produz um potencial

elétrico positivo. Uma partícula negativamente carregada produz

um potencial elétrico negativo.

Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa

de carga positiva q. Imagine que uma carga de prova positiva q0 é

deslocada do ponto P até o infinito. Como a trajetória seguida pela

carga de prova é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma

reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito.

Nesse caso, temos:

Fazendo ds = dr e q = 0°, obtemos

Onde o módulo do campo elétrico E produzido por uma carga pontual é

dado pela expressão

Potencial Produzido por uma Carga Pontual

Substituindo R por r, finalmente obtemos

Aplicando os limites da integração, temos

Se Vf = 0 (no ∞) e Vi = V (em R). Assim, aplicando o módulo do campo

elétrico no ponto onde se encontra a carga de prova temos

Logo

Uma partícula positivamente carregada

produz um potencial elétrico positivo.

Uma partícula negativamente carregada

produz um potencial elétrico negativo.

Potencial Elétrico devido uma

carga pontual

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais

Podemos calcular o potencial produzido em um ponto do espaço por

um grupo de cargas pontuais usando o princípio de superposição.

Para isso, calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas

cargas no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de n cargas,

o potencial é dado por

Potencial devido a n cargas

pontuais

Exemplo: Potencial Total de Várias Partículas Carregadas

Exemplo: O Potencial Não é um Vetor

No ponto P, a carga pontual positiva (que está a uma distância r(+)) produz um

potencial V(+) e a carga negativa (que está a uma distância r(-)) produz um potencial

V(-). Assim, o potencial total no ponto P é

Os dipolos que ocorrem naturalmente têm dimensões reduzidas. Assim,

normalmente estamos interessados em pontos distantes do dipolo, tais que r >> d,

onde d é a distância entre as cargas. Nesse caso, se p = qd,

Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico

Potencial devido a um

dipolo elétrico

Momento Dipolar Induzido

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Para uma distribuição contínua de cargas, podemos obter uma expressão para o

potencial elétrico num ponto P diferenciando o objeto em elementos infinitesimais de

volume. Cada infinitésimo de volume portará uma fração dq da carga q distribuída no

volume total do objeto. O potencial elétrico produzido no ponto P poderá ser

calculado através da superposição do potencial gerado por cada um dos elementos

infinitesimais.

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

(a) Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial elétrico V no ponto

P. (b) Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula. (c) O potencial

produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r. Precisamos

somar os potenciais produzidos por todos os elementos da carga, da extremidade

esquerda (d) à extremidade direita (e) da barra.

Se é a carga por unidade de

comprimento, a carga em dx

é

dq = dx.

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Aplicando a substituição trigonométrica temos , logo

Aplicando a identidade trigonométrica

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Assim obtemos os valores A e B

Aplicando uma nova substituição de modo que temos

Esta última integral pode ser resolvida através do método das frações parciais, logo

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Dessa forma, a integral se torna

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Logo, temos

Retornando a para a variável x podemos finalmente aplicar os limites de integração

Aplicando os limites de integração, obtemos

Logo

Potencial devido uma linha

de carga

Na Figura, considere um elemento de

área constituído por um anel de raio R’ e

largura radial dR’. A carga desse

elemento é dada por

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas

Potencial devido

um disco

carregado

Fazendo uma mudança para variável u do tipo

Se tomamos o eixo s como sendo,

sucessivamente, os eixos x, y e z, as

componentes do campo elétrico

passam a ser, respectivamente

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial

Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra

um deslocamento de uma superfície equipotencial

para a superfície vizinha. O trabalho realizado

pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante

o deslocamento é

O trabalho realizado pelo campo elétrico também

pode ser escrito como o produto escalar

Assim,

Exemplo: Cálculo do Campo a Partir do Potencial

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais

A Figura mostra duas cargas pontuais, q1 e q2, separadas por uma distância r. Quando

trazemos a carga q1 do infinito e a colocamos no lugar, não realizamos trabalho porque

não existe uma força eletrostática agindo sobre q1. Quando, porém, trazemos q2 do

infinito e a colocamos no lugar, realizamos um trabalho, já que q1 exerce uma força

eletrostática sobre q2 durante o deslocamento.

O trabalho realizado é q2V, onde V é o potencial criado por q1 no ponto onde

colocamos q2.

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é

igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para

montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita

umas das outras.

Exemplo: Energia Potencial de um Sistema de Três Partículas Carregadas

Exemplo: Conversão de Energia Cinética em Energia Potencial Elétrica

Sabemos que .

Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos de um condutor, Vf = Vi para

qualquer par de pontos i e f do condutor.

Potencial de um Condutor Carregado

Centelhamento de um Condutor Carregado

As centelhas, como o cabelo em pé, podem ser um sinal de que um relâmpago está para

acontecer. Nessas circunstâncias, é mais prudente abrigar-se no interior de uma casca

condutora, local onde o campo elétrico com certeza é zero. Um carro (a menos que se

trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico) constitui uma proteção

quase ideal.

Nos condutores não esféricos, uma

carga superficial não se distribui

uniformemente na superfície do

condutor. Em vértices e arestas, a

densidade de cargas superficiais (e,

portanto, o campo elétrico externo,

que é proporcional à densidade de

cargas superficiais) pode atingir

valores muito elevados (poder das

pontas). Nas vizinhanças desses

vértices e arestas, o ar pode se ionizar,

produzindo as centelhas que golfistas

e montanhistas observam na ponta de

arbustos, tacos de golfe e martelos de

alpinismo quando o céu está

carregado.

Condutor em um Campo Elétrico

Se um objeto feito de um material

condutor é submetido a um campo

elétrico externo, como mostrado na

Figura, o potencial continua a ser o

mesmo em todos os pontos do objeto.

Os elétrons de condução se

distribuem na superfície de tal forma

que o campo elétrico que produzem

no interior do objeto cancela o campo

elétrico externo.

Além disso, a distribuição de elétrons faz com que o campo elétrico total

seja perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície. Se

houvesse um meio de remover o condutor da Figura deixando as cargas

superficiais no lugar, a configuração de campo elétrico permaneceria

exatamente a mesma, tanto para os pontos externos como para os pontos

internos.