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Junho 2002 - Madrid FEUP / AFAssociados 1

Alvaro F. M. Azevedo *

A. Adão da Fonseca */+

Rui Oliveira +

* Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto+ AFAssociados - Projectos de Engenharia, SA

Portugal

OPTIMIZAÇÃO DA FORMA DEUMA PONTE METÁLICA


PROBLEMA

• Minimizar o custo de uma ponte metálica

• Optimização da forma e dimensionamento das secções

5.14 m

36.0 m

4.0 m


COMPORTAMENTO ESTRUTURAL

• Elástico linear

• Encurvadura local das barras

• Nós fixos na direcção normal ao plano da treliça

• Regulamentação em vigor


MODELO DE OPTIMIZAÇÃO

• Programação não linear

• Aproximação de segunda ordem

• Formulação integrada

• Todas as variáveis do problema estão presentes no

programa não linear

• Não é efectuada a clássica análise de sensibilidades


SOFTWARE DE OPTIMIZAÇÃO

• NEWTOP

• Optimização genérica

• Método de Lagrange-Newton

• Manipulação simbólica de todas as funções


PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR

• Variáveis / funções reais e contínuas

• Todas as funções são polinómios generalizados, tais como:

M inim ize

f x( )~

subject to

g x~ ~ ~

( )

≤ 0 → =g x si i( ) + ~

2 0

h x~ ~ ~

( )

= 0

f x x x x x x x( ) . . . .~

= − + −− −5 9 3 1 2 7 1 812

43

2 11

3 52


• São simbolicamente manipulados

• São facilmente interpretados e avaliados

• É também simples calcular primeiras e segundas derivadas

• Todas estas operações são realizadas com elevada eficiência

POLINÓMIOS GENERALIZADOS

f x x x x x x x( ) . . . .~

= − + −− −5 9 3 1 2 7 1 812

43

2 11

3 52


LAGRANGEANO

( ) ( ) ( ) ( )L X f x g x s h xkg

k kk

m

kh

kk

p

~ ~ ~ ~= + +

+= =∑ ∑λ λ2

1 1

VARIÁVEIS

( )X s xg h

~ ~ ~ ~ ~, , ,= λ λ

SOLUÇÃO• Ponto estacionário do Lagrangeano


SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

2 0si igλ = ( )i m= 1, ... ,

( )∇ = ⇒L X~ ~

0

g si i+ =2 0 ( )i m= 1, ... ,

∂∂

λ ∂∂

λ ∂∂

f

x

g

x

h

xikg

k

mk

ik

h

k

pk

i

+ + == =∑ ∑

1 1

0 ( )i n= 1, ... ,

hi = 0 ( )i p= 1,... ,

• Para que a sua solução seja um ponto KKT é necessário que:

λ g

~≥ 0


MÉTODO DE LAGRANGE-NEWTON

∇ =L X( )~ ~

0

• O sistema de equações não lineares

é resolvido pelo método de Newton

( ) ( )H X X L Xq q q

~ ~ ~ ~ ~

− −+ ∇ =1 1 0∆

• Em cada iteração, o seguinte sistema de equações linearestem de ser resolvido


SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

• Eliminação de Gauss

• Gradientes conjugados

LINE SEARCH

X X Xq q q

~ ~ ~= +−1 α ∆


• Dimensionamento das áreas das secções transversais

• Optimização da forma: modificação das coordenadas dos nós

OPTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS

• Minimização do custo (foi substituída pela

minimização do volume de material)

Simultaneamente


VARIÁVEIS

• Formulação integrada

• As variáveis de projecto e as variáveis de comportamento são incluídas no programa matemático

Dimensões da secção transversal (e.g., largura, espessura, área)

Algumas coordenades de nós

Deslocamentos dos nós

B

w

w

B


PROGRAMA NÃO LINEAR

• Função objectivo: custo f x c A Lii

NB

i i( )~

==∑

1

• Restrições igualdade:

♦ Equações de compatibilidade (substituídas)

♦ Relações constitutivas (substituídas)

♦ Equações de equilíbrio (explícitas)


• Restrições desigualdade:

♦ Espessura mínimaminww ≥

♦ Tensão admissível (em tracção e em compressão)

♦ Encurvadura local de cada barra

♦ Posição dos nós limitada x x xim in m ax≤ ≤


PONTE METÁLICA

B

w

w

B

• Secção constante nas barras do banzo inferior

Peso próprio + carga vertical uniformemente distribuída

5.14 m

36.0 m

4.0 m

• B fixo• W variável

Solução inicial


SOLUÇÃO ÓPTIMA

Geometria


SOLUÇÃO ÓPTIMA

Secções das barras


SOLUÇÃO ÓPTIMA


PONTE CONSTRUÍDA


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CONCLUSÕES

• Significativa economia (10 a 15%)

• Solução agradável em termos estéticos

• Interface do software com o utilizador

• Limitações nas coordenadas dos nós requerem alguma

intervenção do utilizador

• A estrutura optimizada é fácil de construir

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