alunos: emerson shigueo sugimoto rodrigo cirino andrade vagner vengue
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FORMA NORMALBSI
Alunos:
Emerson Shigueo Sugimoto
Rodrigo Cirino Andrade
Vagner Vengue
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FORMA NORMAL
Uma fórmula normal são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido.
2 principais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva,
exemplos:H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V).G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).
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FNC - Forma Normal Conjuntiva (Clausal)
• PROLOG – inferência resolução;
• Elemento Básico: Literal (p ou ¬p);
• Cláusula = disjunção (V) de literais - L1 V L2 V ... Ln (exemplo: p V q)
LEIS DE MORGAN
1. Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”:(X → Y)
2. Empurrar as negações para o interior por meio de:
¬ (X V Y) ¬ ¬ (X Λ Y)
3. Eliminação da dupla negação:¬¬ X
4. Distributividade de V sobre Λ:X V (Y Λ Z)
Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 4 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X1 Λ X2), que poderá gerar uma nova duplicação.(¬X V Y)
X Λ ¬Y¬X V ¬Y
X
(X V Y) Λ (X V Z)
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TABELAS VERDADE - LEIS
X ¬X Y X → Y (¬X V Y)0 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 0 01 0 1 1 1
(X → Y) (¬X V Y)
X ¬X Y ¬Y X V Y ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y0 1 0 1 0 1 10 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 0 0
¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y
¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y
X ¬X Y ¬Y X Λ Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y0 1 0 1 0 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 11 0 1 0 1 0 0
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TABELAS VERDADE - LEIS
¬¬ X XX ¬X ¬¬X0 1 01 0 1
X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z)X Y Z Y Λ Z X V (Y Λ Z) X V Y X V Z (X V Y) Λ (X V Z)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
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TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS1. Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”:
(X → Y) (¬X V Y)
2. Empurrar as negações para o interior por meio de:
¬ (X V Y) ¬ X Λ ¬Y¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y
3. Eliminação da dupla negação:¬¬ X X
4. Inserção de novo átomo p:X V (Y Λ Z) (X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V
¬Z V p)
Repare no conectivo de conjunção Λ:
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Estudo p ↔ (Y Λ Z)
Introduzido p, onde p ↔ (Y Λ Z) (↔ = bi-implicação)
1. Desmembrando ↔ em dois (desmembrando p ↔ (Y Λ Z) ):
(p → (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z → p)
2. Eliminando “→”, aplicando a redefinição de “→” em termos de “V” e “¬” (X → Y) (¬X V Y):
(¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p)
3. Leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ):
(¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p).
O 2º elemento esta já está no FNC, no 1º elemento aplicado a distribuição de V sobre Λ:
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VANTAGEM FNC
Representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula.
Por exemplo, para satisfazer a fórmula (¬p V Y) Λ (¬p V Z):
VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z)
E para falsificá-la:
VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z)
p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z)0 1 11 0 1 1 1
p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z)0 1 0 00 1 0 01 0 0
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CONVERSÃO COM TABELAS VERDADEConsidere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é:
TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R)
As linhas que interpretam (I) a fórmula (P → Q) Λ R como Falsa são as linhas 2,3,4,6 e 8.
De acordo com a linha 2, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=F}, na elaboração da FNC I[P] = T, considera-se ¬P e I[R] = F, considera-se R (I = interpretação). Assim:
2ª linha: ¬P V ¬Q V R3ª linha: ¬P V Q V ¬R4ª linha: ¬P V Q V R6ª linha: P V ¬Q V R8ª linha: P V Q V R
A FNC de (P → Q) Λ R é:
(¬P V ¬Q V R) Λ (¬P V Q V ¬R) Λ (¬P V Q V R) Λ (P V ¬Q V R) Λ (P V Q V R)
Linhas P Q R (P → Q) Λ R1 T T T T2 T T F F3 T F T F4 T F F F5 F T T T6 F T F F7 F F T T8 F F F F
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CLÁUSULAS DE HORN
As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo.
Exemplo:
¬ p V ¬ q V. . . V r
Tipos de cláusulas:
1. Fatos
2. Regras
3. Consultas ou Restrições
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FATOS
Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido.
Exemplos:
{ p },
{ q },
{ r }
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REGRAS
Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo.
Exemplos:
¬ p V ¬ q V r
¬ r V s
¬ A V b
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CONSULTAS OU RESTRIÇÕES
Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos.
Exemplos:
¬ p V ¬ q V ¬ r
¬ r V ¬ s
¬ (p Λ q Λ r)
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FÓRMULAS DE HORN
Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva.
Exemplos:
(¬ p V q) Λ (r V ¬ s) Λ (a V ¬a) Λ (a V ¬b)
(¬ r V B) Λ (A V ¬ g)
(p) Λ (¬ r V s)
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CLÁUSULAS DE HORN E RESOLUÇÃO
Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução:
Duas cláusulas de Horn inferem uma nova cláusula de Horn:
R V p ¬ p V S
______________________________
R V S
Sendo uma das bases para programação lógica.
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Forma Normal Disjuntiva (FND)
Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais.
Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de:
A1 Λ A2 Λ...Λ An
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Metodos de resolução.
Toda fórmula proposicional podemos transformar em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como :Lei da Dupla NegaçãoLeis de Morgan, eDistributividade de átomos.
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A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira.
Repare que a disjunção também é comutativa:
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Veja essas proposições:
Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M )
Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M )
Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples:
«Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M
Logo sabemos que há:A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V).A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)
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Exemplos de forma normal disjuntiva:
Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND:
— NÃO é o operador mais extremo
— um OU está aninhado com um E
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De acordo com o que vemos nas leis de Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos:
¬(P Λ Q) <-> (¬P V ¬Q)
Podemos aferir o contrário pela bi-implicação, obtendo uma formula disjuntiva:
(¬P V ¬Q) <-> ¬(P Λ Q)
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Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é :
Apartir das três linhas (1, 5 e 7), obtêm-se:
P Λ Q Λ R, ¬P Λ Q Λ R e ¬P Λ ¬Q Λ R
Convertendo a fórmula (P → Q) Λ R em FND, fica:
(P Λ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ R) V (¬P Λ ¬Q Λ R).
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TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOSEntrada: Uma fórmula B.
Saída: Uma fórmula A na FND, B ≡ A.
1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça2: Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”:
(X → Y) (¬X V Y)3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan:
¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y
4: Eliminação da dupla negação:¬¬ X X
5: distributividade de Λ sobre V :X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)
6: fim para7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis.
Repare no conectivo de disjunção V:
X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)
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CONCLUSÃO
FORMAS NORMAIS
Conjuntiva:
(X V Y) Λ (X V Z) Disjuntiva:
(X Λ Y) V (X Λ Z)
CLÁUSULAS DE HORN
{P V ¬q}, {¬ r V s}, {¬ Y V ¬ X V z}