Sustancias que funcionan como superprotenas e impermeabilizante natural, a partir de determinantes.

Instrucciones:Lee los problemas que se te presentan y al final efecta lo que se te pide.Problema 1

Un grupo de ingenieros en biotecnologa realizaron una investigacin para crear una sustancia que funcionara como una superprotena en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo es hacer dichos microorganismos ms resistentes y, en el caso de que existiera algn derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigacin, se presentaron muchas dificultades, se tenan previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarroll una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenan las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que result de la combinacin de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente cientfico.Despus de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contena su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que haba en el contenedor.

Despus de esto, todos se dieron cuenta de que nadie saba exactamente cunto fue lo que deposit de su respectiva sustancia, pero tenan el recipiente en el que sealaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y de esta manera encontraran los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso ms de la tercera obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos ms de la tercera, obteniendo 12 litros.

Para resolver este problema, realiza lo siguiente: Integra, en este archivo la solucin que diste al problema por el mtodo de Gauss-Jordan. Incluye los determinantes que obtuvieron en la actividad Regla de Cramer. Utiliza el mtodo de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se coloc en cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia. Comprueba tus resultados por alguno de los mtodos de comprobacin.

Nota: Para encontrar lo que se te pide supn que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repeticin del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.Problema 2Un grupo de ingenieros realiza el proyecto de mostrar en las escuelas la manera en que se debe elaborar impermeabilizante natural con baba de nopal. Para cubrir una superficie de 1 m se requieren los siguientes materiales: - 1/2 kilo de calidra, - 1/2 kilo de cemento blanco, - 1/3 de kilo de pega azulejo, - 1/2 kilo de arena gris (cernida), - 2/3 de barra de jabn de pasta, - 1/6 de kilo de alumbre en piedra, y- 1/2 nopal de penca.

En la escuela secundaria Adolfo Lpez Mateos, los alumnos tienen que impermeabilizar el techo de la biblioteca que mide 40 m, el auditorio de 50 m, 15 salones de 20 m cada uno, 20 cubculos y la direccin de la escuela que mide 35 m.

Los gastos en material fueron los siguientes: de la direccin 1,067 pesos con 50 centavos, de los salones 9,150 pesos, de la biblioteca 1,220 pesos, de los cubculos 5,490 pesos, y del auditorio 1,525 pesos.

Cada nopal vale 1 peso y la barra de jabn est a 9 pesos. Cul es el costo por kilo de cada uno de los otros materiales? Cuntos metros cuadrados mide cada uno de los cubculos que impermeabilizaron?

Para solucionar este problema, realiza lo siguiente:

Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar impermeabilizante natural. Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este problema en la evidencia de la unidad 2. Integra adems la solucin que diste al problema por el mtodo que hayas elegido en la evidencia de la unidad 2. Obtn los determinantes asociados a cada una de las variables del sistema de ecuaciones. Resuelve el problema por el mtodo de Cramer. Comprueba tus resultados por alguno de los mtodos que aprendiste. Responde la siguiente pregunta: Tus respuestas a las preguntas a partir del mtodo de Cramer son iguales a las que obtuviste en la evidencia de la unidad 2? Explica por qu.

2

Integra, en este archivo la solucin que diste al problema por el mtodo de Gauss-Jordan.26 Mtodo Gauss-Jordan

1 1 1/29/4Multiplicamos elrengln 1 por 4 6 312

6 9 7 m

Sumamos 4veces el rengln1 al 1 1 1/29/4Rengln 30 2 136 9 7m

1 1 1/29/4Sumamos -6 veces rengln 1 0 2 130 3 4m - 27/2

1 1 9/4 Multiplicamos el rengln 2 por 0 2 1 30 3 4 m 27/2

Sumamos -1 vez el rengln 21 0 0

Al rengln 10 1 3/2 0 3 4m 27/2

Sumamos -3 veces el rengln 21 0 03/4

0 1 1/23/2

0 0 5/2m - 18

Multiplicamos el rengln 3 por el1 0 03/4

0 1 1/23/2

0 0 12/5 m 36/5

lgebra

Sumamos veces el rengln 3 1 0 0 Al rengln 2 0 1 050/10 1/5 m0 0 12/5 m - 36/5

Hemos reducido la matriz a su forma escalonada por renglones encontrando a si la solucin

1X1+ 0X2 +0X3 = 0X1+1X2 + 0X3 = 51/10 1/5 m0X1 +0X2 + 1X3 =2/5 m 3/5 Sustituyendo los resultados para un valor de 20 litros nos queda + 0X2 +0X3 = 0X1+11/10 + 0X3 = 11/100X1 +0X2 + 4/5 =4/5

2x1 + 2x2 + x3 = 9/2x1 =3/4X2 = 11/10 =x2 = 11/10X3=4/5x3 = 4/5

Se incluyen los determinantes que se obtuvieron en la regla de cramer Se utilizara la ecuacin original

2x1 + 2x2 +1x3 = 4.54x1 + 6x2 + 3x3 = 126x1 + 9x2 + 7 x3= 20

2 2 1 9/2de esta matriz2 2 1x1 9/24 6 3 12 sacaremos4 6 3 x2 126 9 7 206 9 7 x3 = 20

A X = bSiguiendo el procedimiento de la regla de cramer iremos sustituyendo las columnas por la columna formada por el vector V

9/2 2 22 9/2 2Ahora debemos encontrar el12 6 3 4 12 3 el determinante de la matriz 30 9 7A1 6 9 7principal A

2 2 9/22 2 2A 34 6 12A=4 6 36 9 76 9 7

Usaremos los menores y los factores

2 2 1Procederemos IAI 4 6 3aSacar los menores

2 2IAI = 14 63

Vamos a desarrollar el determinante de A utilizando los menores y cofactores de A para eso primero obtendremos los menores.

M11 = 6 3 M12= 4 3 M 13= 4 6 9 7 6 7 6 9

Una vez que tenemos los menors vamos a obtener el determinante de cada uno de ellos de la siguiente manera M11= (6*7) (3*9) = 42 - 27 = 15M12 = (4*7) (6*3) = 28 18 =10M13 = (4*9) (6*6) = 36 36 = 0

Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores vamos a obtener los cofactores correspondientes a dichos menores y como se muestra a continuacin.Aij = (-1)ij IMijIA11 = (-1)2 (15) = 15A12= (-1)3 (10) = -10A13 = (-1)4 (0) = 0Una vez que obtenemos los cofactores aplicamos el mtodo de expansin por cofactores para encontrar el determinantede A.Primero colocamos la ecuacin para calcular el determinante de A, a partir de sus cofactores, la cual es la siguiente:

IAI = a11A11 +a12A12+a13A13

nicamente se toman cuatro elementos debido a que A es una matriz de 3 x 3, la forma de expansin por cofactores serefiere a una matriz de n x n y en este caso n = 3, de ah que suceda esto

Entonces los elementos que hacen faltapara aplicar la frmula anterior son:

IAI =2*(15) +2*(-10)+1*(0) =30-20+0= 10

Para las dems matrices que son parte de este forma de obtencin de incgnitas no ser explicito.

Utilizare el mtodo de Cramer para encontrar la cantidad en litros que se colocen cada vaso de la primera, segunda y tercera sustancia

9/2 2 2 2 9/2 2 2 2 9/2A2=D2= A3=D3=A1=D1= 12 6 3 4 12 3 4 6 12 30 9 7 6 9 7 6 9 7Seguimos aplicando la regla de menores y cofactores a estosdeterminantes y solo hare unocomo ejemplo en forma desarrollado

2 26 12 4 12 9/2 9 20 6 20 4 6 12

MENORES Y COFACTORES 6 9 20

A3 = D= 2 (+1) + (-1)4 6ID3I = (2)(12) + (-2)(8)+(4.5)(0)=8 4.5(+1)6 9 = 24-16+0=8 ID1I= 7.5

ID2I=11Entonces X1=D1/D =7.5/10 = X2=D2/D = 11/10X3=D3/D =8/10=4/5Ahora se resolver con el mtodo de Gauss, paracomprobar los resultados

Es lamatriz principal o de coeficientes 2 2 1 4.5 en donde 2 2 1 4 6 3 12 4 6 3 6 9 7 m 6 9 7

Es la matriz de constantes4.512M

Sumo -2 veces el rengln 2 de la matriz inicial y resulta esta otra matriz 2 2 2 9/20 2 1 36 9 7 M

Sumo -3 veces el rengln 1 al rengln 3 lo que nos resulta esta matriz2 2 1 9/20 2 1 3

Se usa operaciones con quebrados0 3 4 M-(27/2)

Sumo 3/2 veces el rengln 2 al rengln 3 lo que resulta en esta matriz2 2 1 9/20 2 1 30 0 5/2 M-18

La ecuacinFinal nos quedara asi2x1 + 2x2 + 2x3 = 9/2 2x2 + x3 =3 5/2 x3 =M-18

Como lo resolvimos en forma generalizada al no darle valor al m ahora le dar el valor de 20litros, queda claro que es un valor arbitrario

Paso 1 -2 veces el rengln 1 al rengln 2 2X1 + 2X2 +1X3 =4.52 2 1 9/2 en su forma4X1 + 6X2 + 3X3 = 124 6 3 12 matrcial6X1 + 9X2 + 7X3 = 206 9 7 20

Resolviendo pr renglones segn el mtodo Gauus

Paso 2 -3 veces el rengln 1 al rengln 32 2 1 9/20 2 1 3

Quedando a si el sistema de ecuaciones lineales0 3 4 13/2

2X1 + 2X2 + X3= 9/2 2X2 + X3 = 3 5/2 X3 = 2

Resolviendo el valor de las incgnitas con los datos que tenemos de la solucin matricial nos queda de esta manera

2X1 + 2X2 + X3= 9/2 X1= 3/4 X2 = 11/10 X2 = 11/10 X3 = 4/5 X3= 4/5

Es de esta manera queresolviendo la matriz resultante escalonada inferiorel valor de lasincgnitas en elcaso hipottico que el volumen del recipiente que contuvo losexperimentos tenga un valor de ms de 20litros o que tenga 20 litros.Lo que queda demostrado que ambosmtodos nos arrojan los mismos resultados y eso es de esperarse, la complejidad de unoy la sencillez delotro no cambia los resultados, un mtodo es ms complejo pero a mijuicio es ms completo ya que es ms fcil para resolver ecuaciones de mayor tamao y el ms sencillo (Cramer) es ms sencillo en sistemas ms pequeosno as en sistemas grandes

PROBLEMA 2

Construye el vector que represente los materiales utilizados para fabricar el impermeabilizante natural

VECTORES QUE REPRESENTAN YA CON LOS VALORES DE LOS MATERIALES DEPENDIENDO DE LA SUPERFICIE 90X1 90X2 60X3 90X4 30X520X1 20X2 40/3X3 20X4 20/3X525X1 25X2 50/3X3 25X4 25/3X5

1 mts2= Calidra +1/2 cemento blanco +1/3 pega azulejo +1/2 arena gris +2/3 jabn +1/6alumbre +1/2 penca de nopal

X1 +1/2 X2 +1/3 X3 +1/2 X4+2/3 X5 1/6 X6 +1/2 X7 =1 metrocuadrado

Con estos datos estamos listospara elaborar la matriz que resolveremos pero antes debemos plantear las ecuaciones lineales, para lo cual es necesario tomar en cuenta elvalor de cada uno de los elementos y lacantidad de metros cuadrados.

1 mts2 = Calidra +1/2 cemento blanco +1/3 pega azulejo +1/2 arena gris +2/3 jabn +1/6alumbre +1/2 penca de nopal

2/3 de jabnresultan ser $ 6.00pesos pencade nopalresulta ser $0.50pesosAhora ya podemos plantear las ecuaciones lineales dndole incgnitas de x(s) a cada elemento de construccin delimpermeabilizante Ecuacin que corresponder a los20 cubculos en donde ya incluimos el valor dealgunos materiales

a) 5490 = 180 (1/2*x1+1/2*x2+1/3x3+1/2x4+$6.50+1/6*x5)

Valor de las incognitas x6 y x7 que suman 650Metros cuadrados que requiere la superficie

Al realizar la operacin de las multiplicaciones y sumas nos queda, el valornumrico de la derecha para a la izquierda restando que esen realidad dinero que se lerestara a el valorinicial

4320= 90x1+90x2 +60x3 +90x4 +30x5

primer ecuacin lineal para incluir en la matriz

Incluye el sistema de ecuaciones lineales que obtuviste para este problema en la evidencia de launidad 2.

Analizando el ejercicio y los datos proporcionados se generaesta ecuacin general o modelo

(1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (2/3) 9 + (1/6) s6 + (1/2)1 = 1

Se coloca el valor del precio de la sustancias 5 y 6 proporcionados como datos en el problema

6.49999

1/2) s1+ (1/2) s2 + (1/3) s3 + (1/2) s4 + (1/6) s6 + 6.5 = 1

Apoyndonos enla ecuacin del planteamientogeneral empezamos elaborarnuestro sistema deecuaciones yacon unaconstante de6.5 equivalente alos2datos conocidoss5y s7.Y para poder relacionar metros con costo en las ecuaciones solo van cambiando los coeficientes segn los metros cuadrados que se impermeabilizara por cada seccin. Ecuacin 1: .Biblioteca

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 1220

Ecuacin 2: Auditorio50(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) s7 = 1525

Ecuacin 3: 15 salones de 20 mts cada uno =300 mts300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) =9150

Ecuacin 4: 20 cubculos35---------------- 1067.5X------------------ 5490X= 180180 (1/2) s1+ 180(1/2) s2 + 180 (1/3) s3+ 180 (1/2) s4+ 180 (1/6) s6 +180 (6.5)= 5490Ecuacin5:ladireccindelaescuela

35(1/2) s1+ 35(1/2)s2 +35(1/3) s3+ 35(1/2) s4+ 35(1/6) s6+ 35(6.5)= 1067.5Entonces ya nos quedara un sistema con 5 ecuaciones y5 incgnitas

40(1/2) s1+ 40(1/2) s2 + 40(1/3) s3 + 40(1/2) s4 + 40(1/6) s6 + 40(6.5) = 122050(1/2) s1+ 50(1/2) s2 + 50(1/3) s3 + 50(1/2) s4 + 50(1/6) s6 + 50(6.5) = 1525300(1/2) s1+ 300(1/2) s2 + 300(1/3) s3 + 300(1/2) s4 + 300(1/6) s6 + 300(6.5) = 9150180 (1/2) s1+ 180 (1/2) s2 + 180 (1/3) s3 + 180 (1/2) s4 + 180 (1/6) s6 + 180 (6.5) = 549035(1/2) s1+ 35(1/2) s2 + 35(1/3) s3 + 35(1/2) s4 + 35(1/6) s6 + 35(6.5) = 1067.5Simplificando las ecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 + 260 = 122025 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 + 325 = 1525150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 + 1950 = 915090 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 + 1170 = 549017.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 + 227.5 = 1067.5Continuamossimplificandoms lasecuaciones:

20 s1+ 20 s2 + 13.33 s3 + 20 s4 + 6.66 s6 = 96025 s1+ 25 s2 + 16.66 s3 + 25 s4 +8.33 s6 = 1200150 s1+ 150 s2 + 99.99 s3 + 150 s4 + 49.99 s6 = 720090 s1+ 90 s2 + 59.99 s3 + 90 s4 + 29.99 s6 = 432017.5 s1+ 17.5 s2 + 11.66 s3 + 17.5 s4 + 5.83 s6 = 840

Representacin matricial de este sistema quedara de la sig. Manera:Matriz ampliada:

20 20 13.33 20 6.66 96025 25 16.66 25 8.33 1200150 150 99.99 150 49.99 720090 90 59.99 90 29.99 432017.5 17.5 11.66 17.5 5.83 840

Tus respuestas a las preguntas a partir del mtodo de Cramer son iguales a las que obtuviste en la evidencia de la unidad 2?Explica por qu

.Si, ya que ambos problemas se resolvieron a partir de la siguiente matriz

2 2 1 4.54 6 3 126 9 7