Algumas estratégias de resolução de problemas

Como já vimos, quando começas a resolver um problema, o essencial

é que compreendas o seu enunciado e o que o problema pede. Se

não tiveres a certeza se compreendeste bem ou não, podes, por

exemplo, tentar explicar a um amigo por palavras tuas. Isto ajuda-te

a perceber se não tens dúvidas quanto à interpretação do problema ou

a identificar onde tens dúvidas para melhor as poderes superar.

A forma como interpretas o problema, os dados que

retiras do enunciado e os esquemas que desenvolves

para traduzir o enunciado são muito importantes. É

necessário que compreendas o que te é pedido, de que

forma podes relacioná-lo com os dados do problema e

com os teus conhecimentos matemáticos, para que

consigas encontrar uma estratégia para resolver o

problema.

Para resolveres um problema deves escolher uma forma adequada de expressares

e relacionares a informação que dele retiraste, por exemplo, através de desenhos,

diagramas, tabelas, etc. Na verdade, estas várias representações ajudam-te tanto na

interpretação do problema como na sua resolução!

Vamos partilhar contigo algumas estratégias de resolução de problemas e que te

podem ajudar na tua participação no Vilhenas15. Estas estratégias, para além de te

ajudarem a atacar os problemas, também contribuem para melhor compreenderes

os seus enunciados e, assim, facilitar todo o processo de resolução de problemas.

Algumas estratégias de resolução de problemas:

Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico

Até encher o tanque

O Sr. Bonifácio tem um tanque na sua horta que precisa de encher regularmente,

podendo usar duas torneiras com caudais diferentes. Uma das torneiras enche um

tanque em 6 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas. Logo pela

manhã, o Sr. Bonifácio viu o tanque vazio e abriu a primeira torneira (que deita

menos). Quando o tanque estava a meio da sua capacidade, decidiu abrir também a

segunda torneira (que deita mais) para ser mais rápido. Quanto tempo demorou o

tanque a encher, desde que ele abriu a primeira torneira?

Problema 3 da edição de 2011/2012 do SUB14 – Campeonato de resolução de problemas

organizado pela Universidade do Algarve.

Uma possível estratégia para resolver este problema é desenhar um esquema que

represente a quantidade de água que sai de cada uma das torneiras e o tempo que

demora a encher o tanque. Mostramos-te a seguir duas resoluções que fazem uso de

esquemas.

A 1ª torneira enche, numa hora, 1/6 da quantidade de água necessária para encher o

tanque. A 2ª torneira enche, numa hora, 2/6 da quantidade de água necessária para

encher o tanque. Logo, ao todo são necessárias quatro horas para encher o tanque.

Resolução de um participante no SUB14

A torneira A enche o tanque em 6 horas e a torneira B enche o tanque em 3 horas. Os

traços vermelhos são o que a torneira A acrescentou ao tanque no tempo referido a

vermelho. Os traços azuis são o que a torneira B acrescentou ao tanque no tempo

referido a azul. Ou seja, numa hora, a torneira A encheu 1/6 do tanque, enquanto que

a torneira B encheu 1/3 do tanque. O espaço pintado a verde é o que está preenchido

até aí.

Resolução de um participante no SUB14

B

B

Utilizar as operações matemáticas elementares ou uma expressão

algébrica para traduzir a situação do problema

Mesa com toalha

A Sílvia tem uma mesa na sala de jantar com um tampo quadrado e duas abas que se

podem levantar para aumentar o tampo. No fim de semana vai ter visitas para jantar e

terá de abrir a mesa para caberem todos. A mesa aberta com as abas fica com um

comprimento igual ao dobro da largura. A toalha que ela vai colocar cai 40 cm de cada

lado quando a mesa está fechada e cai 10 cm de cada topo com aba quando a mesa

está aberta. Quais são as dimensões da toalha que ela vai usar?

Problema 5 da edição de 2011/2012 do SUB12 – Campeonato de resolução de problemas

organizado pela Universidade do Algarve.

Uma possível estratégia para resolver este problema é utilizar as operações básicas

elementares, realizando pequenos cálculos para obter o comprimento e a largura da

toalha.

Resolução de um participante no SUB12

Outra possível estratégia para resolver este problema é traduzi-lo através de

expressões algébricas que representem o comprimento e a largura da toalha.

Resolução de um participante no SUB12

Unidos e cortados

Considera uma sequência de quadrados de lados 1, 2, 3, 4... centímetros, dispostos

de modo a ficarem unidos uns aos outros, como ilustra a figura. Depois de juntos,

cortam-se todos os quadrados segundo uma linha que parte do vértice inferior

esquerdo do quadrado menor até ao vértice superior direito do quadrado maior.

Qual é a área que fica acima da linha do corte se a sequência tiver 8 quadrados?

Problema 5 da edição de 2011/2012 do SUB14 – Campeonato de resolução de problemas

organizado pela Universidade do Algarve.

Uma possível estratégia para resolver este problema é traduzi-lo em pequenos

cálculos que representem a área de cada quadrado.

A área de um quadrado é igual a Consideremos que o índice da área é igual ao

comprimento do lado do quadrado. Assim,

Portanto, a soma total da área da sequência é igual a

Ao cortarmos a figura pelo segmento de reta desenhado a laranja, verificamos que a

parte representada abaixo da linha é um triângulo retângulo, com altura igual à altura

do quadrado 8 e a base igual à soma dos comprimentos de um lado de cada um dos 8

quadrados, como mostra a figura.

Assim sendo, como

Então:

=

Resolução de um participante no SUB14

Procurar um problema semelhante

Os alunos do conservatório

Os alunos de um conservatório de música vão fazer uma apresentação no próximo

sábado. O grupo é formado por 20 pessoas que tocam violino ou violão.

Sabendo-se que um violão tem 6 cordas, um violino tem 4 cordas e o número total de

cordas desse grupo é 104, quantos violões e quantos violinos estarão em palco?

Neves, M. A. (2013). Preparação para a Prova Final 2014 - Matemática - 9.º Ano (Porto Editora)

Uma possível estratégia para resolver este problema é procurar um problema análogo

a este – “O parque de estacionamento” – para o qual já conheçamos a solução.

O parque de estacionamento

No parque de estacionamento de uma escola, estão 60 veículos, entre bicicletas e automóveis. Tendo-se contado 220 rodas, quantos veículos de cada tipo estão estacionados no parque da escola?

Neves, M. Augusta, Preparação para a Prova Final 2014 - Matemática - 9.º Ano (Porto Editora)

Seja

- o número de bicicletas

- o número de automóveis

Uma forma de traduzir o problema é através de um sistema de equações que respeite

as duas condições do problema:

{

⇔{

⇔{

⇔{

⇔

{

⇔{

⇔{

⇔{

⇔{

Estão estacionados no parque da escola 10 bicicletas e 50 automóveis.

Supondo que conhecemos esta resolução do problema “O parque de estacionamento”,

e reconhecendo as analogias entre este problema e o problema “Os alunos do

conservatório”, podemos transferir a estratégia e encontrar a solução deste último

problema.

Seja

- o número de violões

- o número de violinos

Uma forma de traduzir o problema é através de um sistema de equações que respeite

as duas condições do problema:

{

⇔{

⇔{

⇔{

⇔

{

⇔{

⇔{

⇔{

⇔{

Estarão em palco 8 violinos e 12 violões.

Trabalhar do fim para o princípio

As maçãs douradas

A princesa Alice foi colher maçãs douradas num jardim encantado. Quando

regressava ao palácio, já com o cesto cheio, um duende mal-encarado disse-lhe:

- Só te deixo passar se me deres metade e mais uma das maçãs que levas nesse

cesto.

A princesa deu-lhe as maçãs que ele pediu e continuou o passeio. Mais adiante,

apanhou um susto quando um segundo duende lhe disse:

- Só te deixo passar se me deres metade e mais uma das maçãs que levas nesse

cesto.

A princesa deu-lhe as maçãs que ele pediu e continuou o passeio. Quando estava

mesmo a chegar ao portão do jardim, apareceu um terceiro duende que lhe disse:

-Só te deixo entrar se me deres metade e mais uma das maçãs que levas nesse cesto.

A princesa deu-lhas e voltou para o palácio muito triste porque já só tinha duas maçãs.

Quantas maçãs douradas tinha colhido a princesa?

Lopes, A. V., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J. M., Oliveira, M. J., Delgado, M. D., Bastos, R.

& Graça, T (1996). Actividades matemáticas na sala de aula. Texto Editora (3ª edição).

Pode-se resolver este problema através de esquemas ou utilizando expressões

algébricas – ambas as estratégias são válidas e corretas. No entanto, as resoluções

através de esquemas podem tornar-se mais eficazes e, muitas vezes, ajudam a evitar

erros em problemas deste tipo.

Vamos mostrar-te uma resolução algébrica para este problema, para que

compreendas melhor o que te dizemos.

Quando a princesa parte do palácio tem maçãs. Ao passar pelo 1º duende, divide

essas maçãs em duas partes iguais, ficando apenas com

e, dessa quantidade,

ainda lhe dá mais uma, ou seja, fica com

maçãs.

Quando encontra o 2º duende, a princesa tem de dividir com este as maçãs que tem,

em partes iguais; ou seja, fica com

(

).

E, dessas com que fica, ainda lhe dá mais uma maçã, pelo que no total fica com

(

) .

Ao encontrar o 3º duende volta a acontecer exatamente a mesma coisa. A princesa é

obrigada a dar-lhe metade das maçãs que traz consigo mais uma, ou seja, passa a ter

(

(

) ) .

Quando chega ao palácio, a princesa só tem duas maçãs. Assim, resolvendo a

equação

(

(

) )

ficamos, a saber, quantas maçãs tinha inicialmente a princesa.

(

(

) )

⇔

(

(

) )

⇔

(

)

⇔

(

)

⇔

⇔

⇔

⇔

A princesa tinha 30 maçãs inicialmente.

Seguindo esta estratégia facilmente se cometem erros de cálculo. Uma forma

igualmente eficaz de resolver este problema, e que não dá tanto azo a que se

cometam erros de cálculo, é partir do número de maçãs com que a princesa ficou no

final. Assim, resolvemos o problema do fim para o princípio, fazendo as operações

inversas do que foi acontecendo às maçãs da princesa, até descobrir o número de

maçãs iniciais. Vamos então apresentar-te duas resoluções com recurso a esquemas

e seguindo esta estratégia.

Vamos começar pelo fim da história!

“A princesa deu-lhas e voltou para o palácio muito triste porque já só tinha duas

maçãs. “

“Quando estava mesmo a chegar ao portão do jardim, apareceu o 3º duende que lhe

disse: -Só te deixo entrar se me deres metade e mais uma das maçãs que levas nesse

cesto.” Antes disso, a princesa tinha então

( ) ( )

porque

e .

Ora, antes de encontrar o 2º duende, a princesa tinha 6 maçãs, mas para passar, teve

de lhe dar metade das maçãs que tinha mais uma. Logo, antes disso teria

porque

e .

Por fim, antes de encontrar o 1º duende, a princesa tinha 14 maçãs, mas para passar,

teve de lhe dar metade das maçãs que tinha mais uma. Logo,

porque

e .

A princesa tinha então colhido 30 maçãs douradas.

Comecemos por exemplificar o que acontece sempre que a princesa passa por um

duende:

Ela parte com uma quantidade inicial de maçãs. Ao passar pelo 1º duente divide essa

quantidade em duas partes iguais e ainda lhe dá mais uma maçã das restantes,

ficando assim com metade menos uma maçã.

Ao passar pelo segundo e terceiro duendes faz exatamente a mesma coisa. No

entanto, não conhecemos a quantidade de maçãs inicial.

Mas, fazendo as operações no sentido contrário, temos

A princesa tinha colhido 30 maçãs douradas.

14 6 𝟏

𝟐 30 𝟐 𝟐

𝟏

𝟏

Simplificar o problema e/ou explorar casos particulares

Preço da TV

O preço da TV aumentou 25%. Qual a percentagem de redução que o novo preço

precisa de ter para que o televisor volte a ter o preço inicial?

Adaptado de uma tarefa do site http://nrich.maths.org

Uma estratégia para resolver o problema é atribuir um preço fixo à televisão. Partindo

deste caso particular podemos compreender o caso geral e posteriormente resolver o

problema.

Suponhamos que inicialmente a televisão custava .

Se o preço aumentou , então a televisão passou a custar , porque de

é

Queremos agora descobrir que percentagem de redução o novo preço precisa de ter,

para que a televisão volte a ter o preço inicial.

Como, para isso, tem de haver uma redução de euros no seu preço ( euros),

vamos ver a que percentagem do novo preço da televisão corresponde este valor que

precisamos reduzir.

Assim, temos

O preço tem de ser reduzido 20%.

NOTA: Os problemas propostos no âmbito do SUB12 ou SUB14 (Campeonato de resolução de

problemas organizado pela Universidade do Algarve) bem como as várias resoluções de

participantes que partilhamos aqui podem ser encontrados em

http://fctec.ualg.pt/matematica/5estrelas/.

Bibliografia:

-Jacinto, H., & Carreira, S. (2012). Estratégias de resolução de problemas de matemática: que lugar no

desenvolvimento do currículo? Comunicação apresentada no XIX Colóquio Internacional da AFIRSE. Instituto de

Educação da Universidade de Lisboa, 2-4 fevereiro.

-Pólya, G. (1945). How to solve it: A new aspect of the mathematical method. Universidade de Princeton: EUA.

-Nobre, S., Amado, N., & Carreira, S. (2009). Manifestações do pensamento algébrico na resolução de problemas. Atas

do XX SIEM (pp. 321-338). Viana do Castelo, 1-2 setembro: APM.