algoritmo de aproximação para o problema ... -...

Algoritmo de Aproximacao para o Problema deLocalizacao de Facilidades

Gustavo Henrique Czaikoski

[email protected] Estadual de Campinas

Instituto de Computacao

18 de Novembro de 2015

Gustavo Henrique Czaikoski (LOCo IC UNICAMP) Algoritmos de Aproximacao 18 de Novembro de 2015 1 / 32

Roteiro

1 Introducao

2 Definicao do Problema

3 Formulacao do Problema com Programacao Linear Inteira

4 Formulacao do Problema Primal

5 Formulacao do Problema Dual

6 Algoritmo de Aproximacao


Introducao

Baseando-se em [Williamson and Shmoys 2011], mais precisamenteno capıtulo 12.1, esse trabalho mostra um algoritmo de aproximacaopara o Problema de Localizacao de Facilidades apresentado pelo autordo livro.


Definicao do Problema

Conjunto de clientes C e um conjunto de facilidades F ;

Para cada cliente j ∈ C e facilidade i ∈ F , existe um custo cij daatribuicao do cliente j para a facilidade i ;

Custo fi para cada facilidade i ∈ F ;

Objetivo: encontrar um subconjunto F ′ ∈ F tal que minimize o custototal das facilidades em F ′ e o custo de atribuicao de cada clientej ∈ C para a facilidade mais proxima em F ′.


Formulacao do Problema

yi ∈ {0, 1} para cada facilidade i ∈ F ;

xij ∈ {0, 1} ∀i ∈ F ,∀j ∈ C .

Funcao Objetivo:

min∑

i∈F fiyi +∑

i∈F∑

j∈C cijxij .


Formulacao do Problema

Restricoes:∑i∈F xij = 1, ∀j ∈ C ;

xij ≤ yi ,∀i ∈ F ∀j ∈ C .

Formulacao Completa:

min∑

i∈F fiyi +∑

i∈F∑

j∈C cijxijs.a.

∑i∈F xij = 1 ,∀j ∈ C

xij ≤ yi ,∀i ∈ F ∀j ∈ Cyi ∈ {0, 1} ,∀i ∈ F

xij ∈ {0, 1} ,∀i ∈ F , ∀j ∈ C


Formulacao do Problema Primal

A formulacao do problema primal e dada pela relaxacao das variaveisbinarias do PLI, gerando assim, a seguinte formulacao:

min∑

i∈F fiyi +∑

i∈F∑

j∈C cijxijs.a.

∑i∈F xij = 1 ,∀j ∈ C (1)

xij ≤ yi ,∀i ∈ F ∀j ∈ C (2)yi ≥ 0 ,∀i ∈ F

xij ≥ 0 ,∀i ∈ F , ∀j ∈ C


Formulacao do Problema Dual

variaveis vj ,∀j ∈ C para a restricao (1);

variaveis wij ,∀i ∈ F e ∀j ∈ C para restricoes do tipo (2).

Formulacao Dual:

max∑

j∈C vjs.a.

∑j∈C wij ≤ fi ,∀i ∈ F

vj − wij ≤ cij ,∀i ∈ F ∀j ∈ Cwij ≥ 0 ,∀i ∈ F , ∀j ∈ C


Definicoes importantes - Vizinhanca

Dada uma solucao otima (x∗, y∗) para o problema primal, um cliente jtem como vizinho uma facilidade i se x∗ij > 0. Portanto o conjunto N(j)de facilidades vizinhas de um cliente j e dado por:

N(j) = {i ∈ F : x∗ij > 0}

N2(j) = {k ∈ C : k vizinha alguma i ∈ N(j)}


Definicoes importantes - Vizinhanca


Definicoes importantes

Lema 1: Se (x∗, y∗) e a solucao otima para o problema primal, e (v∗,w∗)a solucao otima do problema dual, x∗ij > 0 implica que v∗j ≥ cij .

Prova: por complementariedade de folga, pois x∗ij > 0 implica quev∗j − w∗ij = cij .



Decidimos abrir cada facilidade i com probabilidade y∗i , o custo esperadoda abertura das facilidades e

∑i∈F fiy

∗i e possui valor menor do que OPT .

Se um vizinho de um cliente j e aberto, o custo de atendimento do clientej e no maximo v∗j pelo Lema 1. Caso todos os clientes tenham um vizinhoaberto, o custo total obtido e:∑

i∈F fiy∗i +

∑j∈C v∗j ≤ 2OPT



E possivel que nenhum vizinho de j seja aberto. Usando como 1− y aprobabilidade de que nenhum vizinho de j seja aberto:∏

i∈N(j) 1− y∗i ≤∏

i∈N(j) e−y∗i



A principal ideia do algoritmo e utilizar arredondamentos feitos de maneiraaleatoria para definir qual falididade sera aberta. Caso nenhum vizinho deum cliente j seja aberto, sabe-se que existe uma facilidade proxima quepode ser aberta.



Precisamos de uma solucao bem especıfica para o problema primal, umasolucao completa. A solucao e completa se x∗ij = y∗i sempre que x∗ij > 0. Epossıvel tranformar uma solucao otima do problema primal em umasolucao completa equivalente que possui o mesmo valor na funcao objetivo.


Algoritmo


Demonstracao da Aproximacao

A probabilidade de uma facilidade ser aberta e dependente daprobabilidade de outras facilidades serem abertas;



Lema 2: Dado um cliente j ∈ C qualquer, a probabilidade de que nenhumvizinho de j esteja aberto e no maximo 1

e .Prova:

Consideramos como Xk as facilidades em N(j) na k-esima iteracao doalgoritmo, e as facilidades que restam estao em um conjunto Xs .Denotamos por Ek o evento de alguma facilidade em Xk ser aberta;



Lema 2: Dado um cliente j ∈ C qualquer, a probabilidade de que nenhumvizinho de j esteja aberto e no maximo 1

e .Prova:

A probabilidade do evento Ek acontecer e Y ∗k =∑

i∈Xky∗i = Pr [Ek ],

e como as solucoes para os programas lineares sao completas, temosque: ∑

k Y∗i =

∑k

∑i∈Xk

y∗i =∑

k

∑i∈Xk

x∗i

Pela restricao (2) do problema primal:∑k Y∗i =

∑k

∑i∈Xk

x∗i =∑

i∈F x∗i = 1

Seguindo a ideia da probabilidade utilizada, temos:

Pr [nenhum vizinho de j aberto] =∏

k(1− Y ∗i ) ≤∏

k e−Y∗i∏

k e−Y∗i = e−

∑k Y

∗i = e−1



Teorema 1: Dado um cliente j ∈ C qualquer, se algum vizinho de j naofoi aberto, podemos atribuir o cliente j a uma facilidade aberta com custono maximo 3v∗j .

Teorema 2: O Algoritmo e uma (1 + 3e )-aproximacao para o problema de

localizacao de facilidades




localizacao de facilidadesDemonstracao:

Na iteracao k , o custo esperado da facilidade aberta e∑i∈N(jk ) fix

∗ij ≤

∑i∈N(jk ) fiy

∗i , utilizando a restricao (2) (xij ≤ yi ) da

formulacao primal. Desse modo, o custo esperado das facilidadesabertas e: ∑

k

∑i∈N(jk ) fiy

∗i





Como tambem abrimos as facilidades restantes com probabilidade y∗i ,o custo total esperado da abertura das facilidades e dado por:∑

i∈F fiy∗i





Segundo o teorema 1, dado um cliente j qualquer, se nenhum vizinhode j e aberto, podemos atribuir o cliente j a uma facilidade abertacom custo no maximo 3v∗j ;

Para qualquer facilidade i ∈ N(j), a probabilidade de abrir a facilidadei e y∗i , e mesmo que a probabilidade de abertura das outrasfacilidades i ∈ N(j) sejam dependentes, o custo esperado paraatribuir um cliente j a uma facilidade i ∈ N(j) aberta e:∑

i∈N(j) cijx∗ij =

∑i∈N(j) cijy

∗i





Temos que o custo de atribuicao esperado de j :

Pr [vizinho de j aberto]× CUSTOATRIB.+Pr [¬ vizinho de j aberto]× CUSTOATRIB.

≤ 1∑

i∈N(j) cijx∗ij + 1

e .(3v∗j )





Portanto, o custo total de atribuicao de todos os clientes nao passa de∑i∈F

∑j∈C cijxij

∗ + 3e

∑j∈C v∗j ,





O custo total de uma solucao e no maximo:∑i∈F fiyi

∗ +∑

i∈F∑

j∈C cijxij∗ + 3

e

∑j∈C v∗j ≤ OPT + 3

eOPT


Extra

Dado que C ∗j =∑i∈F

cijx∗ij , se escolhermos o cliente j na iteracao k

minimizando v∗j + C ∗j , o algoritmo se torna uma 1 + 2e -aproximacao.

Teorema 3: Dado um cliente j ∈ C qualquer, se algum vizinho de j naofoi aberto, podemos atribuir o cliente j a uma facilidade aberta com custono maximo 2v∗j + C ∗j .


Referencias

Williamson, D. P. and Shmoys, D. B. (2011). The Design ofApproximation Algorithms. Cambridge University Press, New York, NY,USA, 1st edition.


Obrigado!


Perguntas

1 - Baseando-se no algoritmo apresentado, com qual probabilidadeas facilidades podem ser abertas?


Perguntas

2 - Construa um exemplo de entrada para o Problema deLocalizacao de Facilidades, nomeie todos os clientes e as facilidades,escolha um cliente qualquer e determine o conjuntos N(j) e N2(j).


Perguntas

3 - Qual e a caracterıstica especıfica de uma solucao completa paraa formulacao primal do Problema de Localizacao de Facilidades?


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