CURSO DElgebra LinearAntonio Cndido FaleirosCentro de Matemtica, Computao e CognioUniversidade Federal do ABCSanto Andr, SP24 de maro de 20122Sumrio1 Sistemas de equaes lineares 91.1 O conjunto Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Retas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Planos no espao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Equaes algbricas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Sistema escalonado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Operaes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Mtodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 O mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.11 Operaes matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.12 Multiplicao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.13 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14 Matrizes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.15 Um mtodo para inverter matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 401.16 Forma matricial de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . 421.17 Potncia de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.18 Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Determinantes 512.1 Denio de determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Propriedades do determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Determinantes e operaes elementares . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Determinante do produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 602.5 Cofatora, adjunta clssica e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 622.6 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 Espao vetorial 673.1 O espao vetorial das nuplas ordenadas . . . . . . . . . . . . . 713.2 Outros espaos vetoriais relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . 7234 SUMRIO3.3 Subespaos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4 Combinao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Espao gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6 Dependncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7 Dependncia linear de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8 Base e dimenso de um espao vetorial . . . . . . . . . . . . . . 853.9 Matriz de mudana de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.10 Espao linha e espao coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.11 Equao matricial linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.12 O espao nulo de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034 Transformao linear 1114.1 Transformao linear e bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2 Transformaes lineares da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3 Composio e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Matriz de uma transformao linear . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5 Matriz da composta e da inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.6 Matrizes semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7 Ncleo e imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305 Produto interno 1335.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2 Norma e distncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4 ngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.5 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.6 Coordenadas numa base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.7 Obtendo bases ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.8 Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.9 Decomposio QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.10 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.11 Projeo ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.12 Mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.13 Solues de mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.14 Teorema sobre matriz inversvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586 Autovalores e autovetores 1616.1 Autovalor e autovetor de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2 Autovalor e autovetor de um operador linear . . . . . . . . . . . 1646.3 Diagonalizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4 Polinmio matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169SUMRIO 56.5 Diagonalizao ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716 SUMRIOPrefcioEstas notas de aula se basearam, inicialmente, no livro de Anton e Rorres,lgebra Linear com Aplicaes. Depois elas foram inuenciadas por outrosexcelentes livros:lgebra Linear e Aplicaes do Calioli, Domingues e Costa;lgebra Linear do Boldrini, Costa, Figueiredo e Wetzler;lgebra Linear do Nicholson.Certamente estas notas possuem um toque pessoal.Antonio Cndido FaleirosNotas de aula do Professor Faleiros8 SUMRIONotas de aula do Professor FaleirosCaptulo 1Sistemas de equaes linearesNeste captulo vamos estudar equaes algbricas lineares do tipo2r + 3. = 4e sistemas de equaes algbricas lineares, formados por duas ou mais equaeslineares, comor + = 52r = 1As letras r. e . destes exemplos designam as incgnitas das equaes. Oque se pretende determinar a existncia de nmeros reais r. e . que satis-fazem as equaes e, concluindo pela existncia, descrever tcnicas capazes dedetermin-los. A razo deste objetivo reside na ampla gama de aplicaes dossistemas lineares na cincia.1.1 O conjunto R:Quando se dene igualdade entre conjuntos, se diz que o conjunto igualao conjunto 1 quando est contido em 1 e 1 est contido em . De acordocom tal denio, o conjunto 1. 2 igual ao conjunto 2. 1. A ordem comque se escrevem os elementos do conjunto no o modica. Existem ocasiesem que a ordem relevante e gostaramos de introduzir uma notao paradiferenciar conjuntos ordenados daqueles no ordenados.Quando escrevemos (1. 2) entre parntesis, a ordem em que os nmerosaparecem relavante de modo que (1. 2) no igual a (2. 1). Sendo c e /nmeros reais, (c. /) chamado de par ordenado de nmeros reais. Doispares ordenados (c1. c2) e (/1. /2) so iguais se e somente se c1 = /1 e c2 = /2.O R2 o conjunto de todos os pares ordenados de nmeros reais.Notas de aula do Professor Faleiros10 Sistemas de equaes linearesUm conjunto ordenado de : nmeros reais chamado de :-upla (leia-senupla). Por serem conjuntos ordenados, duas :-uplas (c1. . . . . cn) e (/1. . . . ./n) so iguais se c1 = /1. c2 = /2. . . . . cn = /n. O Rn o conjunto de todasas :-uplas ordenadas.Em particular, quando : = 2 temos pares ordenados,quando : = 3 temos ternos ordenados ou trincas ordenadas e assim por diante,quadras, quinas, senas ordenadas, etc.Como exemplos apresentamos o par (6. 3). a trinca (1. 2. 3). a quadra (2.0. 1. 6). a quina (4. 6. 5. 2. 8).1.2 Retas no planoQuando estudamos Geometria Analtica Plana aprendemos que as coordenadascartesianas ortogonais (r. ) de qualquer ponto de uma reta no plano cartesianosatisfazem a uma equao do tipocr + / = c.onde c. / e c so nmeros reais e, dentre os dois nmeros c e /. pelo menosum deles no nulo. Esta a denominada equao geral da reta. Quandodissermos a reta cr + / = c, estaremos nos referindo reta cuja equaogeral cr + / = c. Como exemplos de retas temos (a) 2r + 3 = 6. (b) r = 0. (c) r = 1. Nesta ltima, o / = 0. Dada a reta cr + / = c o ponto doplano cujas coordenadas cartesianas ortogonais so (r1. 1) pertence a ela se,e s se, cr1 + /1 = c. Para simplicar, se fala no ponto (r. ) em lugar dese falar no ponto de plano cujas coordenadas cartesianas ortogonais so (r.). O ponto (2. 5) do plano cartesiano pertence reta 3r = 1 pois 3 2 5 = 1.1.3 Planos no espaoNa Geometria Analtica Espacial as coordenadas cartesianas ortogonais (r. ..) dos pontos de um plano satisfazem a uma equao da formacr + / + c. = donde c. /. c. d so nmeros reais e, dos trs nmeros c. / e c. pelo menos um no nulo. Esta a denominada equao geral do plano. Por simplicidade, svezes diremos a reta cr + / + c. = d, em lugar de dizer a reta cuja equaogeral cr + / + c. = d. Como exemplo de planos podemos apresentar (a)r + + . = 1. (b) 3r 2 = 6 (neste exemplo o c = 0). (c) . = 4 (nestecaso, c e / so iguais a zero). Dado o plano cr + / + c. = d. um ponto deNotas de aula do Professor Faleiros1.4 Equaes algbricas lineares 11coordenadas cartezianas ortogonais (r1. 1. .1) pertence a ele se, e s se, cr1+ /1 + c.1 = d. No caso espacial tambm comum substituir o texto pontocom coordenadas cartesianas ortogonais (r. . .) por ponto (r. . .). Oponto (r1. r2. r3) = (2. 1. 1) do espao cartesiano pertence ao plano cujaequao geral 4r1+ 3r2 2r3 = 3.Poderamos pensar que os exemplos (b) e (c) fornecem retas como naGeometria Plana, onde estas equaes esto relacionadas a retas. Entretanto,devemos nos lembrar que estamos trabalhando com Geometria Espacial ondeas equaes da forma cr + / + c. = d so equaes de planos.No espaocartesiano, r1 + r2 = 5 a equao geral de um plano, e no de uma reta,como poderamos pensar num primeiro momento. A ausncia do r3 se deve aofato de, nesta equao, ele estar multiplicado por zero.No espao, as retas so dadas pela interseo de dois planos. Como exem-plo, podemos considerar a reta formada pelos pontos (r. . .) do espao queesto, simultanemanente, nos planos r 2 + . = 4 e r = 0. Um outromodo de designar uma reta no espao se faz mediante o uso de suas equaesparamtricas. Como exemplo citamos as equaes paramtricas da reta ante-rior so r = t. = t e . = 4 + t. onde o parmetro t percorre o conjunto dosnmeros reais. Observe que, se substituirmos estas equaes paramtricas nasduas equaes de plano r 2 + . = 4 e r = 0. ambas sero satisfeitas.1.4 Equaes algbricas linearesPodemos nos esquecer da geometria e nos ater algebra das equaes geraisde retas e planos. Seja : um nmero inteiro maior do que zero e c1. . . . . cn e/ nmeros reais. Uma equao do tipoc1r1 + + cnrn = / (1.1) denominada equao algbrica linear ou equao linear nas : incg-nitas r1. . . . . rn. Os nmeros reais c1. c2. . . . . cn so os coecientes e / otermo constante da equao. Como exemplo apresentamosr14r2 + 6r3 = 12.Um dos seu pontos (12. 0. 0). outro (0. 3. 0) e um terceiro (0. 0. 2).Todo plano possui uma innidade de pontos.Dados dois nmeros reais r2 er3 quaisquer, basta tomar r1 = 12 + 4r2 6r3 para obter um ponto (r1. r2.r3) do plano r1 4r2 + 6r3 = 12.Se c1. . . . . cn forem nmeros reais tais quec1c1 + + cncn = /.Notas de aula do Professor Faleiros12 Sistemas de equaes linearesdiremos que r1 = c1. . . . . rn = cn soluo da equao linear (1.1). Tambmse pode escrever a soluo de (1.1) na forma(r1. . . . . rn) = (c1. . . . . cn).ou ainda dizer que a :upla (leia-se nupla) (c1. c2. . . . . cn) soluo de(1.1).A equao0r1 + + 0rn = /onde todos os coecientes so nulos, chamada de degenerada. Quando/ ,= 0. ela no possui soluo e a nica equao linear sem soluo. Quando/ = 0. qualquer nupla (c1. c2. . . . . cn) de nmeros reais soluo da equaodegenerada.Quando c1 for diferente de zero, um modo sistemtico para obter soluesda equao c1r1 + + cnrn = /. consiste em explicitar r1r1 = 1c1 (/ c2r2 cnrn)e, atribuindo valores a r2. . . . . rn. podemos calcular r1 usando a expressoanterior e obter uma soluo (r1. . . . . rn) desta equao.Na equao anterior r1 recebe o nome de varivel dependente e as de-mais recebem o nome de variveis independentes ou livres. As incgnitasrecebem tambm o nome de varivel pois r2. . . . . rn podem variar livrementeenquanto r1 varia de acordo com a dependncia estabelecida. Sendo cj ,= 0pode-se explicitar a varivel rj. que passa a ser a varivel dependente, sendoas incgnitas restantes as variveis independentes.Exemplo 1.1 Para obter uma soluo de 3r1 5r2 = 1. podemos explicitarr2 para obter r2 = 1,5(3r1 1). Escolhendo r1 = 12 obtemos r2 = 7. Assim,(r1. r2) = (12. 7) soluo da equao. Esta equao linear possui innitassolues. Basta escolher o valor de r1 e calcular r2 usando a expresso 1,5(3r1 1). Nesta equao tambm possvel explicitar r1. quando obtemos r1 = (1+5r2),3. Atribuindo um valor r2 calculamos r1. Fazendo r2 = 1. obtemos r1 =2. Logo, (r1. r2) = (2. 1) soluo da equao 3r15r2 = 1.As equaes lineares degeneradas com termo constante diferente de zero nopossuem soluo. As demais, com uma varivel, possui uma nica soluo e,aquelas com duas ou mais variveis, possuem innitas solues. O conjunto detodas elas denominado de conjunto soluo ou soluo geral da equao.Para obter o conjunto soluo da equao linear c1r1 ++ cnrn = / nodegenerada, basta explicitar uma incgnita em funo das demais. Se c1 ,= 0.Notas de aula do Professor Faleiros1.4 Equaes algbricas lineares 13o conjunto soluo ser (r1. . . . . rn) : r1 = 1c1 (/ c2r2 cnrn) com r2. . . . . rn R Para obter solues particulares, basta escolher os valores de r2. . . . . rn ecalcular r1 usando a expresso (/ c2r2 cnrn),c1.Exemplo 1.2 Explicitando o r2 na equao linear 5r1r2 = 1 obtm-se r2 =5r11 e a soluo geral da equao linear original (r1. r2) : r2 = 5r11 com r1 R .Aproveitando o exemplo anterior, vamos observar que a soluo geral dosistema pode ser apresentada de modo que as incgnitas r1 e r2 sejam tratadasem p de igualdade usando uma terceira varivel. Se introduzirmos uma novavarivel t denida por t = r1. ento r2 = 5t 1 e o conjunto soluo passa ater o formato ( t. 5t 1 ) : t R.A varivel t denominada de parmetro da soluo geral. Emlugar de expres-sar a soluo geral na forma de um conjunto pode-se simplesmente escrev-lana forma r1 = t e r2 = 5t 1. destacando que t um parmetro que percorre oconjunto de nmeros reais. Aqui se subentende que o conjunto formado pelospares (r1. r2) onde r1 = t e r2 = 5t 1. com t R. o conjunto soluo daequao.As equaes r1 = t e r2 = 5t 1. com t percorrendo os reais, sodenominadas de equaes paramtricas da soluo geral.Exemplo 1.3 Explicite r na equao r4 +7. = 5. para obter r = 5+ 47.. Decorre da que a soluo geral de r 4 + 7. = 5 (r. . .) : r = 5 + 4 7.. com e . percorrendo os reais Denindo os parmetros : e : por : = e : = .. obtemos a soluo geral naforma paramtricar = 5 4: + 7: = :. = :onde os parmetros : e : podem assumir qualquer valor real. A cada valoratribudo a : e a : obtemos uma soluo (r. . .) da equao.Notas de aula do Professor Faleiros14 Sistemas de equaes lineares1.5 Sistemas de equaes linearesNa Geometria Analtica Plana, duas retas cujas equaes gerais soc1r + /1 = c1c2r + /2 = c2podemser (a) coincidentes, (b) paralelas e distintas ou (c) concorrentes. Quandoforem coincidentes, existe uma innidade de pontos do plano cujas coordenadas(r. ) satisfazem s duas equaes. Quando forem paralelas e distintas, as re-tas no possuem pontos em comum, de modo que nenhum par ordenado (r. )de nmeros reais satisfaz s duas equaes simultaneamente. Quando foremconcorrentes, a interseo das duas possui um nico ponto e um nico par (r.) de nmeros reais satisfaz s duas equaes.Ainda na Geometria Analtica Plana, ao estudar a posio relativa de trsou mais retas, elas podem ser (a) paralelas e pelo menos uma distinta dasdemais, (b) todas as retas podem ser coincidentes, (c) elas so distintas maspassam por um ponto comum e (d) so distintas e a interseo das retas vazia.No caso (a) no h par (r. ) de nmeros reais que solucione as equaes detodas as retas ao mesmo tempo; no caso (b) h uma innidade de pares (r.) de nmeros reais que solucionam as equaes de todas as retas ao mesmotempo; no caso (c) h um nico par (r. ) de nmeros reais que satisfaz sequaes de todos os planos ao mesmo tempo; no caso (d) nenhum par (r. )de nmeros reais soluo simultnea das equaes de todas as retas.Na Geometria Analtica Espacial, dois planos cujas equaes gerais soc1r + /1 + c1. = /1c2r + /2 + c2. = /2podem ser (a) coincidentes, (b) paralelos e distintos, ou (c) a interseo deles uma reta.Se os planos forem coincidentes ou se a interseo for uma reta,haver uma innidade de trincas ordenadas (r. . .) de nmeros reais solucio-nando as duas equaes. Se os planos forem paralelos e distintos, no havertrinca ordenada (r. . .) de nmeros reais satisfazendo s duas equaes.Trs planos no espao podero (a) ser coincidentes, (b) possuir uma retacomum aos trs, (c) possuir um nico ponto comum ou (d) possuir interseovazia,. Se suas equaes gerais foremc1r + /1 + c1. = d1c2r + /2 + c2. = d2c3r + /3 + c3. = d3Notas de aula do Professor Faleiros1.5 Sistemas de equaes lineares 15Nos casos (a) e (b) existem innitas trincas ordenadas (r. . .) que so soluesdas trs equaes das retas; no caso (c) as trs equaes das retas possuirouma nica soluo comum; no caso (d) no existe trinca ordenada que resolvas trs equaes simultaneamente.Estes exemplos nos mostram a importncia de estudar solues comuns aduas ou mais equaes como as que surgem no estudo de retas e planos. Toimportante quanto o fato de que o estudo de solues simultneas de duasou mais equaes dessa natureza surgem no contexto do Clculo Numrico eso de extrema importncia para as aplicaes da Matemtica na Engenharia,na Fsica, na Qumica, na Biologia, na Economia. H problemas que con-duzem a centenas ou milhares de equaes lineares com centenas ou milharesde variveis.As equaes gerais de retas e planos so equaes lineares. Quando nosdeparamos com mais de uma equao linear, dizemos estar diante de um sis-tema de equaes lineares. Passemos a estudar tais sistemas em sua formageral.Sejam : e : nmeros inteiros positivos. Sejam cij e /i nmeros reais, ondeos ndices i e , so nmeros inteiros, com i percorrendo o intervalo de 1 a : e, percorrendo o intervalo que vai de 1 a :. O conjunto de : equaes linearesc11r1 + c12r2 + + c1nrn = /1c21r1 + c22r2 + + c2nrn = /2(1.2)

cm1r1 + cm2r2 + + cmnrx = /mnas incgnitas r1. . . . . rn. chamado de sistema de equaes algbricaslineares (ou apenas sistema linear para simplicar) com : equaes e :incgnitas.Uma nupla (c1. . . . . cn) soluo do sistema (1.2) se for soluo detodas as equaes. Tambm escreveremos a soluo sob a forma r1 = c1. r2 =c2. . . . . rn = cn ou(r1. . . . . rn) = (c1. . . . . cn).Exemplo 1.4 A quadra ordenada (1. 2. 1. 1) uma soluo do sistema2r1r2 + 3r3r4 = 4r1 + 3r2 + 5r3 + 2r4 = 4r1 + 2r2 + r3 + 3r4 = 7Tambm pode-se dizer que r1 = 1. r2 = 2. r3 = 1 e r4 = 1 uma soluo dosistema ou que (r1. r2. r3. r4) = (1. 2. 1. 1) soluo dos sistema. Todasestas formas de indicar a soluo so permitidas.Notas de aula do Professor Faleiros16 Sistemas de equaes linearesUm sistema de equaes lineares pode ter soluo ou no. Quando umaequao do sistema for degenerada,0r1 + + 0rn = /.onde todos os coecientes so nulos e / diferente de zero, j podemos armarque o sistema no possui soluo pois esta equao degenerada no possuisoluo.Exemplo 1.5 O sistemar1 + r2 = 10r1 + 0r2 = 2no tem soluo pois a segunda equao degenerada e seu termo constante diferente de zero. O sistemar1 + r2 = 1r1 + r2 = 2no possui soluo pois a soma r1 +r2 no pode ser igual a 1 e a 2 ao mesmotempo. J o sistemar1 + r2 = 20r1 + 0r2 = 0possui innitas solues pois a segunda equao satisfeita por qualquer par(r1. r2) de nmeros reais. A primeira satisfeita sempre que r1 = 2 r2. Osistemar1r2 = 2r1 + r2 = 4tem uma nica soluo (r1. r2) = (3. 1) que pode ser obtida observando que,ao adicionar as duas equaes obtemos 2r1 = 6 e, ao subtrair a primeira dasegunda, obtemos 2r2 = 2.Um sistema de equaes lineares consistente ou compatvel quandopossuir ao menos uma soluo e inconsistente ou incompatvel quando nopossuir soluo. O conjunto de todas as solues chamado de conjuntosoluo ou soluo geral do sistema.Notas de aula do Professor Faleiros1.6 Matriz 17Exemplo 1.6 Para obter todas as solues do sistemar13r2 + r3 = 0r2r3 = 1explicitamos r1 e r2 nas duas equaesr1 = 3r2r3r2 = 1 + r3e usamos a segunda equao para eliminar r2 da primeira, obtendor1 = 3 + 2r3r2 = 1 + r3Podemos obter as solues do sistema atribuindo qualquer valor a r3 e usar asequaes acima para obter os valores correspondentes a r1 e r2. O conjuntosoluo (r1. r2. r3) : r1 = 3 + 2r3. r2 = 1 + r3 com r3 R .O r3 pode variar livremente em R e, por este motivo, recebe o nome de varivelindependente. Os valores de r1 e r2 dependem de r3 e, por este motivo, se dizque r1 e r2 so variveis dependentes.1.6 MatrizPara determinar a soluo de um sistema precisamos apenas dos seus coe-cientes e de suas constantes. Estes coecientes e constantes podem ser dispos-tos em uma matriz que uma coleo de nmeros colocados em uma tabelaretangular delimitada por colchetes, tal como em__c11c12c1nc21c22c2n............cm1cm2cmn__onde cij o nmero inserido na linha i coluna , da tabela e so denominadosentradas ou elementos da matriz. As linhas e as colunas da tabela seroas linhas e as colunas da matriz. Fila o termo usado para designar umalinha ou coluna da matriz. Uma matriz de tamanho :: aquela que possui: linhas e : colunas. A matriz pode ser representada de forma abreviada porNotas de aula do Professor Faleiros18 Sistemas de equaes lineares[cij] ou por [cij]mn quando for desejvel indicar explicitamente o seu tamanho.Usaremos letras minsculas com subndices para designar suas entradas. Emgeral usaremos uma letra maiscula para designar a matriz, como em = [cij]e comum designar a entrada cij por ()ij .Os elementos c11. c22. c33. . . . para os quais o nmero da linha igualao nmero da coluna, pertencem diagonal principal da matriz tambmdenominada de diagonal da matriz. Os elementos c1n. c2;n1. c3;n2. . . . paraos quais a soma do nmero da linha com o nmero da coluna igual a : + 1.so elementos da diagonal secundria da matriz. Uma matriz onde apenasos elementos da diagonal principal so diferentes de zero chamada de matrizdiagonal.Quando o nmero de linhas for igual ao nmero de colunas se diz quea matriz quadrada. Uma matriz quadrada :: chamada matriz deordem :. Matrizes com um nica coluna so denominadas matrizes colunaou vetores coluna. Matrizes com uma nica linha so denominadas matrizeslinha ou vetores linha.Uma matriz quadrada na qual todas as entradas acima da diagonal princi-pal so zeros, chamada triangular inferior e uma matriz quadrada na qualtodas as entradas abaixo da diagonal principal so zeros, chamada triangu-lar superior. Podemos dizer que uma matriz triangular se for triangularinferior ou triangular superior.Duas matrizes = [cij] e 1 = [/ij] so iguais quando possuem o mesmotamanho e suas entradas correspondentes so iguais, isto , cij = /ij. para ie , percorrendo todas as linhas e todas as colunas de e 1. Quando duasmatrizes e 1 forem iguais, escreveremos = 1.Como enfatizamos no incio desta seo, as matrizes mostraram-se muitoteis na representao de sistemas lineares. Dado o sistema linearc11r1 + c12r2 + + c1nrn = /1c21r1 + c22r2 + + c2nrn = /2

cm1r1 + cm2r2 + + cmnrx = /mcom : equaes e : incgnitas, a tabela retangular de nmeros =__c11c12c1nc21c22c2n............cm1cm2cmn__Notas de aula do Professor Faleiros1.7 Sistema escalonado 19 chamada de matriz dos coecientes do sistema e1 =__ /1.../m__ a matriz das constantes do sistema. Ao acrescentar a coluna 1 direitade . obtemos a matriz aumentada ou matriz completa do sistema__c11c12c1n/1c21c22c2n/2...............cm1cm2cmn/m__que ser denotada por [ [ 1].Exemplo 1.7 A matriz completa do sistemar + + 2. = 92r + 4 3. = 13r + 6 5. = 0__ 1 1 2 92 4 3 13 6 5 0__.As matrizes simplicama notao e proporcionamuma ferramenta matemticaeciente no estudo terico e numrico dos sistemas, mormente no estudo dossistemas de grande porte, que so aqueles com muitas equaes e muitas in-cgnitas.1.7 Sistema escalonado muito simples obter a soluo geral de alguns sistemas especiais e, dentreeles, se destacam os sistemas escalonados. Uma matriz escalonada aquelaem que1. se existirem linhas nulas (linhas cujas entradas so todas iguais a zero),elas cam agrupadas na parte inferior da matriz;2. nas linhas no nulas, o primeiro elemento no nulo da esquerda para adireita o nmero 1. Este nmero o lder ou piv da linha;Notas de aula do Professor Faleiros20 Sistemas de equaes lineares3. a partir da segunda linha, o elemento lder ca direita do lder da linhaacima.Uma matriz escalonada reduzida se1. for escalonada e2. o lder o nico elemento no nulo de sua coluna.Exemplo 1.8 As matrizes__ 0 1 2 3 40 0 0 1 20 0 0 0 0__e__ 1 2 3 4 50 0 1 2 30 0 0 1 2__so escalonadas e__1 2 0 4 0 60 0 1 2 0 40 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0__ escalonada reduzida.Um sistema linear escalonado quando sua matriz completa for escalon-ada e escalonado reduzido quando sua matriz completa for escalonada re-duzida.Exemplo 1.9 O sistemar1 + 2r2 + 3r3 + 4r4 = 5r2 + 2r3 + 3r4 = 4r4 = 2 escalonado er1 r3= 5r2+ 2r3= 6r4= 7 escalonado reduzido.Um sistema escalonado no possui soluo quando uma de suas equaesfor degenerada,0r1 + 0r2 + + 0rn = /com / diferente de zero.Nos demais casos, o sistema escalonado ser consis-tente e podemos obter sua soluo geral com o procedimento descrito abaixo.Notas de aula do Professor Faleiros1.7 Sistema escalonado 21Inicialmente explicita-se em cada equao a incgnita que est multipli-cada pelo piv que chamamos de incgnitas lderes do sistema. Em seguida,segue-se um procedimento conhecido por substituio reversa. A expressoque est do lado direito da ltima equao usada para eliminar a ltima incg-nita lider das equaes acima. A expresso que est do lado direito da penl-tima equao usada para eliminar a penltima incgnita lder das equaesacima. Este procedimento continuado at eliminar todas as incgnitas lderesdo lado direito das equaes que formam o sistema.Num sistema escalonado consistente, as incgnitas que restarem do ladodireito depois da substituio reversa, so denominadas de variveis inde-pendentes ou variveis livres. O termo varivel tem sua origem no fatode podermos atribuir a elas qualquer valor real para obter uma soluo dosistema. As incgnitas lderes que permaneceram do lado esquerdo passam adepender das variveis livres e recebem o nome de variveis dependentesou variveis lderes.Encerrada a substituio reversa, havendo equao degenerada com termoconstante no nulo, o sistema no tem soluo. Nos demais casos o sistematem soluo. Existindo variveis livres, pode-se atribuir a elas qualquer valorpara obter uma soluo e o sistema possui innitas solues. Se no houvervarivel livre, o sistema ter uma nica soluo.Para sistemas escalonados reduzidos,a etapa de substituio reversa desnecessria pois, ao explicitar as variveis lderes, restaro apenas as var-iveis independentes no lado direito das equaes.Exemplo 1.10 Para resolver o sistema escalonador1r2 + 2r3 = 3r2r3 = 1r3 = 2Explicitamos as variveis dependentes r1. r2 e r3. que so as variveis dospivs da matriz completa do sistemar1 = r22r3 + 3r2 = r31r3 = 2Podemos eliminar as as variveis dependentes do lado direito das equaes,usando substituio reversa. A ltima equao usada para eliminar r3 dolado direito das equaes acima. Depois, a penltima equao usada paraeliminar r2 do lado direito da equao acima. Usando este procedimento,Notas de aula do Professor Faleiros22 Sistemas de equaes lineareschegamos ar3 = 2r2 = r31 = 2 1 = 1r1 = r22r3 + 3 = 1 4 + 3 = 0e conclumos que a nica soluo deste sistema (r1. r2. r3) = (0. 1. 2).Exemplo 1.11 Para resolver o sistema escalonador1 + 2r2r3 = 1r2 + r3 = 2explicitamos as variveis dependentes r1 e r2.r1 = 2r2 + r3 + 1r2 = 2 r3e usamos a segunda equao para eliminar o r2 da primeira equao. Simpli-cando obtemosr1 = 3r33r2 = 2 r3Este sistema possui innitas solues pois r3 uma varivel livre. Sua soluogeral formada pelas trincas ordenadas (r1. r2. r3) onde r3 pode assumirqualquer valor real. Fixado o valor de r3 as outras variveis assumem osvalores dados por r1 = 3r33 e r2 = 2 r3. Se desejarmos tratar r1. r2 e r3em p de igualdade, basta introduzir uma nova varivel t. denindo-a por t =r3. Da se escreve a soluo geral na forma paramtricar1 = 3t 3. r2 = 2 t. r3 = t.com t percorrendo o conjunto dos nmeros reais. A nova varivel t recebe onome de parmetro.Exemplo 1.12 Para resolver o sistema escalonado reduzidor12r2 + 3r3 + r4 = 1r33r4 = 2explicitamos as variveis dependentes r1 e r3r1 = 1 + 2r23r3r4r3 = 2 + 3r4Notas de aula do Professor Faleiros1.7 Sistema escalonado 23Usamos a segunda equao para eliminar a varivel dependente r3 do ladodireito da primeira equao e obterr1 = 2r210r45r3 = 2 + 3r4As variveis r2 e r4 so livres, sendo r1 e r2 dependentes delas atravs dasequaes acima.A soluo geral do sistema formado por todas as quadras ordenadas (r1.r2. r3. r4) de nmeros reais para as quais r1 = 2r2 10r4 5 e r3 = 2 +3r4 podendo r2 e r4 variar livremente nos reais.Querendo tratar as quatro variveis em p de igualdade na soluo geral,pode-se introduzir duas novas variveis : e :. denindo-as por : = r2 e : =r4. Agora a soluo geral poder ser escrita na forma paramtricar1 = 2: 10c 5r2 = :r3 = 2 + 3:r4 = :onde os parmetros : e : podem assumir qualquer valor real.Exemplo 1.13 Para resolver o sistema escalonador1 + 2r2r3 + r4 = 1r2 + 2r3r4 = 2r3 + r4 = 1explicitamos as variveis lderesr1 = 1 2r2 + r3r4r2 = 2 2r3 + r4r3 = 1 r4e usamos substituio reversa para eliminar as variveis lderes do lado direitodas equaes, indo da ltima equao para a primeirar1 = 1 2(3r4) + (1 r4) r4 = 2 8r4r2 = 2 2(1 r4) + r4 = 3r4r3 = 1 r4Notas de aula do Professor Faleiros24 Sistemas de equaes linearesA soluo geral r1 = 2 8r4r2 = 3r4r3 = 1 r4onde r4 varivel independente.Quando houver uma varivel independente a soluo geral uniparamtrica,com duas variveis independentes a soluo biparamtrica, existindo trsvariveis independentes, triparamtrica. Quando a soluo geral possuirmais do que trs variveis livres, podemos usar os prexos tetra, penta, hexaou cham-la de poliparamtrica.1.8 Operaes elementaresNos resta agora discutir a soluo de sistemas genricos. Veremos como aplicartransformaes ao sistema original at chegar a um sistema escalonado quepossui a mesma soluo geral que o sistema inicial. Quando dois sistemas deequaes lineares possurem a mesma soluo geral, diremos que so equiva-lentes.A transformao de um sistema em outro equivalente realizada por meiode operaes elementares sobre as equaes do sistema que so de trs tipos:1. Trocar de posio duas equaes, levando cada uma para a posio daoutra.2. Multiplicar uma equao por uma constante no nula.3. Adicionar a uma equao um mltiplo de outra.Quando se multiplica uma equao por um nmero real, a equao obtida denominada de mltiplo da equao original. As operaes elementarespodem ser executadas diretamente sobre a matriz completa do sistema. Nestamatriz, as operaes elementares equivalentes quelas aplicadas ao sistemaso:1. Trocar de posio duas linhas, levando cada uma para a posio da outra.2. Multiplicar uma linha por uma constante no nula.3. Adicionar a uma linha um mltiplo de outra linha.Notas de aula do Professor Faleiros1.8 Operaes elementares 25Essas operaes so reversveis. Isto signica que, se a matriz 1 foi obtidaao aplicar uma operao elementar sobre a matriz . possvel recuper-laaplicando outra operao elementar sobre a matriz 1. Se 1 for obtida de permutando suas linhas : e :. podemos recuperar permutando as linhas :e : de 1. Se 1 for obtida multiplicando a linha i de por um nmero real` diferente de zero, multiplicando a linha i de 1 por `1recuperamos . Se1 for obtida adicionando linha : de a sua linha : multiplicada por `.adicionando linha : de 1 sua linha : multiplicada por `. recuperamos .Exemplo 1.14 Partindo da matriz =__ 1 1 12 2 23 3 3__.levando sua primeira linha para a posio da terceira e trazendo a terceiralinha para a posio da primeira, obtemos1 =__ 3 3 32 2 21 1 1__.Se levarmos a primeira linha de 1 para a posio da terceira e trouxermos aterceira linha para a posio da primeira, recuperamos .Multiplicando a primeira linha da matriz =__ 1 1 12 2 23 3 3__por 3 obtemos a matriz1 =__ 3 3 32 2 23 3 3__Multiplicando a primeira linha de 1 por 1,3 recuperamos .Adicionando segunda linha de =__ 1 1 12 2 23 3 3__a sua primeira linha multiplicada por 4. obtemos1 =__ 1 1 16 6 63 3 3__Notas de aula do Professor Faleiros26 Sistemas de equaes linearesPodemos recuperar se adicionarmos segunda linha 1 sua primeira linhamultiplicada por 4.1.9 Mtodo de GaussVamos descrever nesta seo uma tcnica atribuda a Gauss para resolver sis-temas de equaes lineares, levando-o forma escalonada aplicando-lhe umasequncia de operaes elementares. Quando se modica o sistema usandouma operao elementar, a soluo geral permanece inalterada e o sistemamodicado equivalente ao original. Chegando ao sistema escalonado, pode-se resolv-lo usando substituio reversa.Ao descrever o mtodo, iremos trabalhar com a matriz completa do sistemaque designaremos por C. Iremos aplicar a ela uma sucesso de operaes ele-mentares at chegar a uma matriz escalonada 1 que ser chamada de formaescalonada da matriz C. Se 1 for escalonada reduzida, diremos que 1 aforma escalonada reduzida da matriz C. A forma escalonada de uma ma-triz no nica. Todavia, a forma escalonada reduzida nica e no dependeda sequncia de operaes elementares realizadas para obt-la.Para chegar matriz escalonada, o mtodo de Gauss percorre as linhasde cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. A cada passoo algoritmo se xa numa linha, que chamaremos linha de referncia. Se oprimeiro elemento no nulo da linha de referncia car direita do primeiroelemento no nulo de uma linha debaixo, haver a troca das linhas, levandouma para a posio da outra. Divide-se a linha de referncia por sua primeiraentrada no nula e com isto obter o piv igual a 1. Em seguida, medianteoperaes elementares, zeram-se as entradas que cam na mesma coluna enas linhas abaixo deste piv. Para zerar as entradas abaixo do piv, bastamultiplicar a linha do piv pela entrada que se pretende zerar e subtrair oresultado da linha cuja entrada se pretende zerar.Antes de prosseguir, faamos duas observaes.1. Uma linha nula na matriz completa corresponde a uma equao degen-erada do tipo0r1 + + 0rn = 0que satisfeita por toda :upla de nmeros reais. Logo,qualquersoluo das outras equaes do sistema ser soluo desta degeneradae podemos desconsider-la no processo de busca das solues.2. Se no processo de escalonamento todas entradas de uma linha, com ex-ceo da ltima entrada, forem iguais a zero, esta linha corresponder aNotas de aula do Professor Faleiros1.9 Mtodo de Gauss 27uma equao degenerado do tipo0r1 + + 0rn = /onde / ,= 0. que no possui soluo. Chegando a uma equao deste tipopode-se armar que o sistema no possui soluo.Voltemo-nos para a descrio detalhada do algoritmo de Gauss. Seja C amatriz completa de um sistema de equaes algbricas lineares com: equaese : incgnitas, de modo que C possui : linhas e :+1 colunas. O algoritmo aser seguido ir realizar operaes elementares sobre esta matriz, com o intuitode torn-la escalonada, sem modicar a soluo geral do sistema que ela rep-resenta. Iremos denotar por cij a entrada atual da linha i coluna , da matrizque est sendo modicada pelo algoritmo.1. Faa i = 1 e , = 1. Isto signica que se deve comear na primeira linhae primeira coluna da matriz.2. Repita o procedimento abaixo at o item que antecede o ponto 3 doalgoritmo, enquanto i < : e , _ : + 1 :(a) Se cij = 0 e crj = 0 para todo :i. v para a prxima colunafazendo , igual a , + 1 e retorne ao ponto 2 do algoritmo. Emoutras palavras, se forem nulas todas as entradas da coluna , desdea linha i at a linha :. passe para a prxima coluna, fazendo , iguala , + 1 e retorne ao ponto 2 do algoritmo.(b) Se cij = 0 mas crj ,= 0 para algum :i. troque as linhas i e: de posio, levando uma para a posio da outra. Em outraspalavras, se a entrada da linha i coluna , for igual a zero e houveruma entrada no nula nesta mesma coluna e numa linha : abaixoda linha i. troque as posies das linhas i e : para trazer o pivpara cima, na linha i. Neste ponto, a entrada da linha i coluna , damatriz resultante diferente de zero, ou seja, cij ,= 0.(c) Divida a linha i da matriz por cij. Esta etapa nos fornece o pivunitrio da linha i.(d) Para : = i + 1. . . . . :. multiplique a linha i por crj e adicioneo resultado linha :. Este procedimento zera todas as entradas dacoluna , que cam abaixo da linha i.(e) Faa i igual a i + 1. O que signica: Passe para a prxima linha.3. Se a ltima linha possuir entrada diferente de zero, divida-a por suaprimeira entrada no nula da esquerda para a direita.Notas de aula do Professor Faleiros28 Sistemas de equaes linearesAo nal deste processo chega-se matriz completa de um sistema escalon-ado equivalente ao original. Se uma equao deste sistema for degenerada einconsistente, ele no ter soluo.Se todas as equaes do sistema escalon-ado forem consistentes e no houver varivel livre, o sistema ter uma nicasoluo. Caso contrrio, havendo varivel livre, o sistema ter innitas solues.Exemplo 1.15 Vamos usar o mtodo de Gauss para resolver o sistema nasvariveis r1. r2. r3. r4. r5 cuja matriz completa C =__ 0 0 2 0 7 122 4 10 6 12 282 4 5 6 5 1__.Como o elemento c11 = 0 devemos trocar de posio as duas primeiras colunasobtendoC1 =__ 2 4 10 6 12 280 0 2 0 7 122 4 5 6 5 1__e dividimos a primeira linha por 2 para obter o piv da primeira linhaC2 =__ 1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 122 4 5 6 5 1__.multiplicamos a primeira coluna por 2 e a adicionamos terceira linhaC2 =__ 1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 120 0 5 0 17 29__.dividimos a segunda linha por 2C3 =__ 1 2 5 3 6 140 0 1 0 7,2 60 0 5 0 17 29__.multiplicamos a segunda linha por 5 e a adicionamos terceira,C4 =__ 1 2 5 3 6 140 0 1 0 7,2 60 0 0 0 1,2 1__e, multiplicando a terceira linha por 2. chegamos matriz escalonadaC5 =__ 1 2 5 3 6 140 0 1 0 7,2 60 0 0 0 1 2__.Notas de aula do Professor Faleiros1.9 Mtodo de Gauss 29As variveis r1. r3. r5 so dependentes e r2. r4 so livres, indicando que osistema possui innitas solues. Explicitando as variveis dependentes r1. r3e r5 em funo das variveis livres r2 e r4 seguer1 = 14 2r2 + 5r33r46r5r3 = 6 + 7r5,2r5 = 2Usando substituio reversa, obtemos a soluo geralr5 = 2r3 = 1r1 = 7 2r23r4onde r2 e r4 so variveis livres e podem assumir qualquer valor real.Exemplo 1.16 Usando o mtodo de Gauss para resolver o sistema nas var-iveis r1. r2. r3. r4 cuja matriz completa __1 2 2 1 91 2 1 0 41 2 2 1 7__chegamos matriz escalonada__ 1 2 2 1 90 0 1 1 50 0 0 0 2__Como a ltima linha corresponde equao degenerada inconsistente0r1 + 0r2 + 0r3 + 0r4 = 2.o sistema no possui soluo.Exemplo 1.17 Para determinar a consistncia do sistema linearr1+r2+2r3= /1r1+r3= /22r1+r2+3r3= /3basta realizar operaes elementares na matriz completa do sistema para obter__ 1 1 2 /10 1 1 /1/20 0 0 /3/2/1__Notas de aula do Professor Faleiros30 Sistemas de equaes linearesO sistema ser consistente se e s se /3/2/1 = 0 ou /3 = /2+ /1. ou seja,quando 1 for igual a1 =__ /1/2/1 + /2__ = /1__ 101__+ /2__ 011__ = /111 + /212.Tomando 1 = 11 + 12. obtido fazendo /1 = /2 = 1. o sistema tem soluo esua soluo geral pode ser obtida pelo mtodos de Gaussr1 = 1 e r2 = r3com r3 percorrendo o conjunto dos nmeros reais. Quando1 =__ 103__o sistema no possui soluo pois este 1 no da forma /111 + /212.Exemplo 1.18 Escalonando a matriz completa do sistemar1+2r2+3r3= /12r1+5r2+3r3= /2r1+8r3= /3chega-se a__ 1 2 3 /10 1 3 /22/10 0 1 /3 + 3/12/2__quando ento se percebe que o sistema sempre consistente, no havendo re-stries sobre /1. /2 e /3.1.10 O mtodo de Gauss-JordanA eliminao de Gauss-Jordan consiste na utilizao de operaes elementaressobre a matriz completa at transform-la numa matriz escalonada reduzida.Escalonando a matriz completa do sistema linear usando o mtodo deGauss, pode-se continuar o processo de aplicao de operaes elementaressobre esta matriz transformando-a numa matriz escalonada reduzida. Paratanto, basta zerar os coecientes acima dos pivs, comeando com os pivs daslinhas de baixo e subindo at a primeira linha.Notas de aula do Professor Faleiros1.10 O mtodo de Gauss-Jordan 31Lembre-se que a forma escalonada reduzida de uma matriz nica, sejaqual for o caminho percorrido.Quando se chega matriz escalonada reduzida, para obter a soluo geraldo sistema, basta explicitar as variveis dependentes, que so aquelas corre-spondentes aos pivs de cada linha.O mtodo de Gauss com substituio reversa e o de Gauss-Jordan exigem omesmo esforo computacional para resolver um sistema de equaes algbricaslineares.Exemplo 1.19 Considere o sistema linear cuja matriz completa na formaescalonada __ 1 2 5 3 6 140 0 1 0 7,2 60 0 0 0 1 2__.Vamos continuar aplicando operaes elementares para zerar as entradas acimados pivs. Comece zerando as entradas acima do piv da terceira linha. Mul-tiplique a terceira linha por 7,2 e adicione o resultado segunda linha emseguida, multiplique a terceira linha por 6 e adicione o resultado primeiralinha para obter__ 1 2 5 3 0 20 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2__.Agora, multiplique a segunda linha por 5 e adicione o resultado primeiralinha e obter__ 1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2__que corresponde ao sistemar1 + 2r2 + 0r3 + 3r4 + 0r5 = 7r3 + 0r4 + 0r5 = 1r5 = 2cuja soluo geral r1 = 7 2r23r4r3 = 1r5 = 2onde r2 e r4 so variveis livres e podem assumir qualquer valor real.Notas de aula do Professor Faleiros32 Sistemas de equaes linearesExemplo 1.20 Resolva por eliminao de Gauss-Jordanr1+3r2 2r3+2r5= 02r1+6r2 5r32r4+4r53r6= 15r3+10r4+15r6= 52r1+6r2+8r4+4r5+18r6= 6Resoluo. A matriz completa do sistema __1 3 2 0 2 0 02 6 5 2 4 3 10 0 5 10 0 15 52 6 0 8 4 18 6__Aplicando o mtodo de Gauss, chegamos matriz escalonada__1 3 2 0 2 0 00 0 1 2 0 3 10 0 0 0 0 1 1,30 0 0 0 0 0 0__Continuando com as operaes elementares, zeramos as entradas acima do pivda terceira linha e, em seguida, zeramos as entradas acima do piv da segundalinha quando ento se chega matriz escalonada reduzida__1 3 0 4 2 0 00 0 1 2 0 0 00 0 0 0 0 1130 0 0 0 0 0 0__que nos fornece imediatamente a soluo geral do sistemar1 = 3r24r42r5r3 = r4r6 = 1,3onde r2. r4 e r5 so variveis livres e podem assumir qualquer valor real. Quando o sistema escalonado for consistente e possuir : equaes nonulas e : incgnitas, ele possuir uma nica soluo quando : = : e innitassolues quando : < :. Um sistema escalonado no possui soluo apenasquando uma de suas equaes for degenerada e o termo constante for diferentede zero.Notas de aula do Professor Faleiros1.11 Operaes matriciais 33Podemos resolver simultaneamente / sistemas x = b1. . . . . x = bk emque as matrizes dos coecientes so idnticas, realizando operaes elementaressobre a matriz aumentada [[ b1[[ bk] . usando o mtodo de Gauss parareduzi-la forma escalonada e resolver todos os sistemas de uma s vez usandoa substituio reversa ou ainda, usar o mtodo de Gauss-Jordan, reduzindo amatriz aumentada sua forma escalonada reduzida.1.11 Operaes matriciaisMultiplicao de uma matriz por um nmero realSeja = [cij] uma matriz :: e c um nmero real. A multiplicao de c por a operao que resulta na matriz c = [ccij] de tamanho :: chamadade mltiplo de por c. Observe que cada entrada de c igual a c vezes aentrada correspondente de .Adio de matrizes e multiplicao por um nmero realSejam = [cij] e 1 = [/ij] duas matrizes : :. A adio de com 1 aoperao que resulta na matriz soma +1 = [cij]. de tamanho ::. ondecij = cij+ /ij para i = 1. . . . . : e , = 1. . . . . :. A matriz oposta de 1 =[/ij] . a matriz (1)1. denotada por 1. cuja entrada da linha i coluna , /ij. A diferena 1 a matriz +(1). obtida subtraindo das entradasde as entradas correspondentes de 1. Matrizes de tamanhos distintos nopodem ser adicionadas nem subtradas. Matrizes de mesmo tamanho so ditasconformes para a adio.Propriedades das operaes matriciaisNeste momento destacamos a matriz nula ou matriz zero0 =__ 00.........00__onde todas as entradas so nulas. Adicionando uma matriz com a matriznula de mesmo tamanho, obtemos a matriz . Por este motivo, a matriz nula chamada de elemento neutro da adio.Sendo . 1 e C matrizes de mesmo tamanho, r e nmeros reais e 1 aunidade real, valem as propriedades:1. + 1 = 1 + (Comutatividade da adio)Notas de aula do Professor Faleiros34 Sistemas de equaes lineares2. + (1 + C) = ( + 1) + C (Associatividade da adio)3. + 0 = 0 + = (A matriz nula o elemento neutro da adio)4. 1 + (1) = (1) + 1 = 0 (A matriz 1 a matriz oposta de 1)5. (r) = r() (Associatividade da multiplicao por um real)6. r( + 1) = r + r1 (Distributividade)7. (r + ) = r + (Distributividade)8. 1 = 1.12 Multiplicao de matrizesDenio 1.21 Seja = [cik] uma matriz :j e 1 = [/kj] uma matrizj :. A multiplicao das matrizes e 1 a operao que leva e 1 namatriz 1 = [cij] de tamanho ::. ondecij =p

k=1cik/kjpara i = 1. . . . . : e , = 1. . . . . :. A matriz 1 denominada de produtode por 1. Para obter a entrada cij da linha i e coluna , de 1. destaque alinha i de e a coluna , de 1. Multiplique cik por /kj. para / = 1. 2. . . . . j eadicione os resultados para obter cij.Para ser possvel multiplicar a matriz pela matriz 1. o nmero de colunasda primeira deve ser igual ao nmero de linhas da segunda, quando ento sediz que so conformes para a multiplicao.Quando possvel calcular o produto 1. nem sempre possvel calcular1. Quando e 1 forem quadradas e de mesmo tamanho, possvel calcular1 e 1 mas nem sempre 1 igual a 1 pois o produto de matrizes no comutativo. Em casos excepcionais, quando 1 = 1 se diz que as matrizescomutam.O produto de matrizes triangulares superiores uma matriz triangularsuperior e o produto de matrizes triangulares inferiores uma matriz triangularinferiorExemplo 1.22 O produto 1 das matrizes = _ 8 6 43 9 5_e 1 =__ 2 3 09 1 35 2 7__Notas de aula do Professor Faleiros1.12 Multiplicao de matrizes 351 = _ 58 26 1050 10 62_.O produto 1 no est denido para estas matrizes, uma vez que o nmerode colunas de 1 diferente do nmero de linhas de .Se A for um vetor coluna com : linhas e 1 um vetor linha com : colunas,ento A1 uma matriz ::. Quando : = :. 1 A uma matriz 11.Toda matriz 1 1. com uma nica entrada, tal como [:] . ela identicada aonmero real : e pode-se retirar o colchete da matriz [:] e escrever apenas :.Exemplo 1.23 SendoA = _ 12_e 1 = _ 3 4 entoA1 = _ 3 46 8_e 1 A = [11] .Propriedades da multiplicao de matrizesEm cada uma das propriedades abaixo, r um nmero real. As matrizes e1 e as matrizes 1 e C so conformes para a multiplicao. As matrizes . 1e 2 bem como as matrizes 1. 11 e 12 so conformes para a adio.1. (1C) = (1)C (Associatividade da multiplicao)2. (11 + 12) = 11 + 12 (Distributividade esquerda)3. (1 + 2)1 = 11 + 21 (Distributividade direita)4. (r1)C = r(1C) = 1(rC) (Associatividade em relao ao produto porum nmero real)No vale a lei do cancelamento. A igualdade 1 = 11 no implica,necessariamente, em = 1. mesmo quando 1 for diferente de zero. Para asmatrizes = _ 1 32 4_. 1 = _ 5 36 4_e 1 = _ 0 01 2_.vale a igualdade 1 = 11 enquanto ,= 1.Quando estamos no corpo dos nmeros reais, quando o produto de doisdeles for igual a zero, pelo menos um dos fatores igual a zero. Isto no ocorrecom o produto de matrizes. Mesmo quando as matrizes e 1 forem diferentesNotas de aula do Professor Faleiros36 Sistemas de equaes linearesda matriz nula, possvel obter 1 = 0. como nos mostra este exemplo: Asmatrizes = _ 0 10 2_e 1 = _ 3 40 0_so diferentes da matriz nula ao passo que 1 = 0. Logo, 1 = 0 no implicaem = 0 ou 1 = 0.1.13 Matriz inversaNeste momento destacamos a matriz identidade, uma matriz quadrada,1n =__1 00 00 10 0...............0 01 00 00 1__que possui todas as entradas da diagonal iguais a 1 e as demais iguais a zero.Sendo uma matriz : : e 1 uma matriz :j. ento 1n = e 1n1 =1. Quando for : :. ento1n = 1n = .No havendo a necessidade de informar o tamanho da matriz identidade,podemos indic-la to somente por 1. A matriz identidade o elemento neu-tro da multiplicao de matrizes quadradas.Denio 1.24 Uma matriz quadrada invertvel quando houver umamatriz quadrada 1 tal que1 = 1 = 1.onde 1 a matriz identidade. A matriz 1 chamada de inversa de . Umamatriz quadrada no invertvel denominada singular.Quando uma matriz invertvel, sua inversa nica, sendo denotada por1. De acordo com a denio, se 1 a inversa de ento a inversa de1 ou, em outras palavras, = _1_1.Uma matriz diagonal, como1 =__d10 00 d20............0 0 dn__Notas de aula do Professor Faleiros1.13 Matriz inversa 37 invertvel se e s se todos os reais d1. d2. . . . . dn forem todos diferentes dezero, e sua inversa 11=__d11000 d12 0............0 0d1n__.Uma matriz triangular invertvel se, e s se, todos os elementos da diagonalprincipal forem diferentes de zero. A inversa de uma matriz triangular superior uma matriz triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular inferior uma matriz triangular superior.A matriz = _ c /c d_ invertvel se e s se cd /c ,= 0 e1=1cd /c_d /c c_ a sua inversa.Exemplo 1.25 A matriz 1 = _ 3 51 2_ a inversa de = _2 51 3_.Toda matriz quadrada com uma coluna nula singular pois, para qual-quer matriz 1 de mesmo tamanho, a mesma coluna de 1 ser nula.Logo,1 ,= 1 para toda matriz 1.Toda matriz quadrada com uma linha nula singular pois, para qualquermatriz quadrada 1 de mesmo tamanho, a mesma linha de 1 ser nula eassim, 1 ,= 1.Propriedades da matriz inversaSejam e 1 matrizes invertveis de mesmo tamanho.1. Sendo / um nmero real no nulo, a matriz / invertvel e (/)1=/11.2. A matriz 1 invertvel e(1)1= 111.Se as matrizes 1. 2. . . . . n forem todas invertveis e do mesmo tamanho,ento o produto 12 n invertvel e(1 n)1= 1n11.Notas de aula do Professor Faleiros38 Sistemas de equaes lineares1.14 Matrizes elementaresDenio 1.26 Uma matriz quadrada elementar quando for obtida a par-tir da matriz identidade mediante uma nica operao elementar.As matrizes abaixo so elementares_ 1 00 3_ __1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0____ 1 0 30 1 00 0 1____ 1 0 00 1 00 0 1__A ltima matriz a identidade. Ela uma matriz elementar pois pode serobtida da identidade multiplicando sua primeira linha por 1.As matrizes elementares so invertveis. A matriz inversa da matriz elemen-tar obtida permutando as posies das linhas : e : ela mesma. A inversa damatriz elementar obtida multiplicando a linha i da identidade por um nmeroreal r no nulo a matriz obtida multiplicando a linha i da identidade porr1. A inversa da matriz elementar obtida multiplicando a linha : da matrizidentidade por r e adicionando o resultdo linha : a matriz obtida multipli-cando a linha : da matriz identidade por r e adicionando o resultado linha:.Denotemos por 1(1i 1j) a matriz elementar obtida da identidade per-mutando as posies das linhas i e ,. Denotemos por 1(r1i 1i) a ma-triz elementar obtida da identidade multiplicando sua linha i por um realr no nulo. Denotemos por 1(1i + r1j 1i) a matriz elementar obtidada identidade multiplicando sua linha , por r e adicionando o resultado linha i. A inversa de 1(1i 1j) ela mesma. A inversa da matriz el-ementar 1(r1i 1i) 1(r11i 1i). A inversa da matriz elementar1(1i + r1j 1i) 1(1ir1j 1i).Observe os produtos abaixo, todos da forma 1 = 1. onde 1 uma matrizelementar__ 0 1 01 0 00 0 1____ 1 1 12 2 23 3 3__ =__ 2 2 21 1 13 3 3____ r 0 00 1 00 0 1____ 1 1 12 2 23 3 3__ =__ r r r2 2 23 3 3____ 1 0 00 1 04 0 1____ 1 1 12 2 23 3 3__ =__ 1 1 12 2 27 7 7__Notas de aula do Professor Faleiros1.14 Matrizes elementares 39Em cada um dos produtos, a matriz 1 pode ser obtida realizando em amesma operao elementar realizada sobre a matriz identidade para obter 1.Isto signica que, se 1 for uma matriz elementar, a matriz 1 igual matrizobtida quando se realiza sobre a mesma operao efetuada sobre a matrizidentidade para obter 1.No processo de obter a forma escalonada reduzida de uma matriz . apli-camos a ela uma sequncia de operaes elementares 11. 12. . . . . 1s at chegar forma escalonada reduzida 1. Pelos comentrios feitos, a forma escalonadareduzida de o produto1 = 1s 1211.Quando uma matriz quadrada, sua forma escalonada reduzida 1 tambm quadrada e existem duas possibilidades: ou 1 a matriz identidade ou sualtima linha nula. Se for invertvel, ento 1 invertvel e, portanto,s pode ser a matriz identidade. Se for singular, ento 1 singular (seno fosse, seria invertvel) e, portanto, pelo menos sua ltima linha nula.Provamos o seguinte teorema:Teorema 1.27 1. Uma matriz quadrada invertvel se e s se sua formaescalonada reduzida a matriz identidade.2. Uma matriz quadrada singular se e s se pelo menos a ltima linhade sua forma escalonada reduzida nula.Sistemas equivalentes e matrizes elementaresSejam e 1 matrizes ::. C e 1 matrizes coluna :1. Sendo A a matrizcoluna :1 das incgnitas, os sistemas lineares A = C e 1A = 1 soequivalentes se possurem a mesma soluo geral. Para serem equivalentes, asmatrizes ampliadas [[ C] e [1[ 1] devem possuir a mesma forma escalonadareduzida [1[ o] onde o tamanho de 1 :: e o de o :1. Logo, existemmatrizes elementares 11. . . . . 1k e 1

1. . . . . 1

p tais que[1[ o] = 1k 11 [[ C] e [1[ o] = 1

p 1

1 [1[ C]de onde se obtm[[ C] = 11111k1

p 1

1 [1[ 1] .Nota-se assim que dois sistemas lineares com o mesmo nmero de equaese o mesmo nmero de incgnitas so equivalentes quando for possvel levar amatriz completa de um na matriz completa do outro mediante uma sequncianita de operaes elementares. Note ainda que = 11111k1

p 1

11Notas de aula do Professor Faleiros40 Sistemas de equaes linearesou seja, a matriz dos coecientes de um sistema pode ser levado no outromediante operaes elementares.1.15 Um mtodo para inverter matrizesPara obter a forma escalonada reduzida de uma matriz aplica-se a ela umasucesso de operaes elementares. Quando a matriz for quadrada, sua formaescalonada reduzida a matriz identidade ou uma matriz cuja ltima linha nula, isto , todas as entradas desta linha so iguais a zero. No primeiro caso,a matriz invertvel e, no segundo caso, singular.Se invertvel, realizando operaes elementares sobre ela, chegamos matriz identidade, que sua forma escalonada reduzida.Isto signica queexistem matrizes elementares 1r. . . . . 11 tais que1r 11 = 1e assim o produto 1r 11 a matriz inversa de . Logo,1= 1r 11 = 1r 111.Segue ento que, se1r 11 = 1 ento 1r 111 = 1.Observe:Realizando sobre 1 as mesmas operaes elementares que levam na matriz identidade, chega-se inversa de . Tal observao sugere um dis-positivo prtico para determinar a inversa de uma matriz.Coloque a matrizidentidade direita de obtendo a matriz ampliada [[ 1]. Efetue operaeselementares sobre esta matriz ampliada at obter a matriz [1 [ 1]. quando amatriz original se transformou na identidade e a matriz identidade se trans-formou na matriz 1. Esta matriz 1 , exatamente, a inversa de .Se a matriz no for invertvel, sua forma escalonada reduzida conteruma linha nula. Se em algum momento do processo de escalonamento damatriz ampliada [[ 1] uma linha de se anular, pode encerr-lo, armandoque no possui inversa. Neste ponto no h como continuar o processo deescalonamento e obter a matriz identidade no lugar de .Exemplo 1.28 Calcule a inversa de =__ 1 2 32 5 31 0 8__.Notas de aula do Professor Faleiros1.15 Um mtodo para inverter matrizes 41Resoluo. Justapomos as matrizes e 1 formando a matriz ampliada[[ 1] e realizamos operaes elementares sobre ela, at transformar em 1.Quando isto acontecer, a matriz 1 ter se transformado em 1. Partindo de__ 1 2 32 5 31 0 81 0 00 1 00 0 1__multiplicando a primeira linha por 2 e adicioando o resultado segunda linha,multiplicando a primeira linha por 1 e adicioando o resultado terceira linha,__ 1 2 30 1 30 2 51 0 02 1 01 0 1__multiplicando a segunda linha por 2 e adicioando o resultado terceira linha__ 1 2 30 1 30 0 11 0 02 1 05 2 1__multiplicando a terceira linha por 1__ 1 2 30 1 30 0 11 0 02 1 05 2 1__multiplicando a terceira linha por 3 e adicionando o resultado segunda linha,multiplicando a terceira linha por 3 e adicionando o resultado primeiralinha,__ 1 2 00 1 00 0 114 6 313 5 35 2 1__multiplicando a segunda linha por 2 e adicionando o resultado primeiralinha,__ 1 0 00 1 00 0 140 16 913 5 35 2 1__.Como a matriz foi reduzida matriz identidade, sua inversa a matriz 33 direita1=__ 40 16 913 5 35 2 1__.

Notas de aula do Professor Faleiros42 Sistemas de equaes linearesExemplo 1.29 Vamos vericar que a matriz =__ 1 2 11 0 22 6 1__no invertvel. A matriz ampliada [ [ 1 ] __ 1 2 11 0 22 6 11 0 00 1 00 0 1__Multiplicando a primeira linha por 1 e adicioando o resultado segunda linha,multiplicando a primeira linha por 2 e adicioando o resultado terceira linha,__ 1 2 10 2 10 2 11 0 01 1 02 0 1__Adicionando a segunda linha terceira,__ 1 2 10 2 10 0 01 0 01 1 03 1 1__Observe que as entradas das trs primeiras colunas da terceira linha so nulas.No h como continuar o escalonamento e se chegar matriz identidade naparte esquerda da matriz ampliada.1.16 Forma matricial de um sistema linearO sistema de equaes algbricas linearesc11r1 + c12r2 + + c1nrn = /1c21r1 + c22r2 + + c2nrn = /2

cm1r1 + cm2r2 + + cmnrx = /mnas incgnitas r1. . . . . rn pode ser escrito na forma de uma equao matriciallinearA = 1Notas de aula do Professor Faleiros1.16 Forma matricial de um sistema linear 43onde =__c11c12c1nc21c22c2n............cm1cm2cmn__ . 1 =__/1/2.../m__e A =__r1r2...rn__Denomina-se de matriz dos coecientes do sistema, 1 de matriz dascontantes e A de matriz das incgnitas do sistema. Uma matriz coluna o uma soluo de A = 1 quando o = 1. Quando o soluo, tambmse diz que A = o soluo de A = 1. O conjunto de todas as solues daequao matricial A = 1 chamado de soluo geral do sistema. Umaequao matricial linear compatvel ou consistente quando possuir pelomenos uma soluo. Como uma equao matricial linear corresponde a umsistema de equaes algbricas lineares, as tcnicas utilizadas para resolver umse aplica para resolver o outro.Exemplo 1.30 A matriz [2 1]T soluo da equao matricial_ 1 32 0_ _ r1r2_ = _ 54_.Tambm lcito dizer que _ r1r2_ = _ 21_ soluo da equao matricial.Produto matricial como combinao linearSejam `1. . . . . `n matrizes de mesmo tamanho e r1. . . . . rn nmeros reais.A matriz` = r1`1 + + rn`n denominada de combinao linear das matrizes `1. . . . . `n com coe-cientes r1. r2. . . . . rn.Considere as matrizes =__c11c12c1nc21c22c2n.........cm1cm2cmn__e A =__r1r2...rn__Notas de aula do Professor Faleiros44 Sistemas de equaes linearesAs colunas de .1 =__c11c21...cm1__ . 2 =__c12c22...cm2__ . . . . . n =__c1nc2n...cmn__ao serem colocadas uma ao lado da outra reconstrem e escrevemos = [1[ 2 [[ n]. A combinao linear r11 ++ rn ,n igual ao produtoAA = r11 + r22 + + rnne, desta igualdade tiramos uma lio que vamos enunciar como teorema.Teorema 1.31 O sistema A = 1 possui soluo se, e s se, 1 for igual auma combinao linear das colunas de .A equao homogneaSeja uma matriz :: e 0 a matriz coluna :1. A equao A = 0 denominada de equao matricial linear homognea. Ela sempre admitea soluo A = 0 (este 0 a matriz coluna :1) denominada soluo trivial.Alm da trivial, as equaes homogneas podem ter ou no outras soluesalm da trivial. Quando a equao matricial homognea possuir uma soluono trivial A = o. para todo nmero real `. a matriz `o ser outra soluoda equao homognea. Isto prova que, quando a equao homognea possuiruma soluo no trivial, ter innitas solues. Provamos o seguinte teorema:Teorema 1.32 De duas, uma: ou a equao A = 0 possui apenas a soluotrivial A = 0. ou possui innitas solues.Quando possui mais colunas do que linhas, A = 0 corresponde a umsistema de equaes algbricas lineares com mais incgnitas do que equaes.Quando o escalonamos sempre restaro variveis livres e o sistema homogneopossuir innitas solues.Exemplo 1.33 Se a matriz completa de um sistema homogneo for__2 2 1 0 1 01 1 2 3 1 01 1 2 0 1 00 0 1 1 1 0__Notas de aula do Professor Faleiros1.16 Forma matricial de um sistema linear 45sua forma escalonada reduzida __1 1 0 0 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0__de onde se tira a soluo geral do sistemar1 = r2r5r3 = r5r4 = 0As variveis r2 e r5 so livres e podem assumir qualquer valor real.Sendo 1 uma matriz coluna no nula, a equao homognea A = 0 denominada equao homognea associada equao A = 1. Se A0 forsoluo no trivial de A = 0 e A1 for soluo de A = 1. ento A0 + A1tambm soluo de A = 1. Da ca fcil provar o seguinte teorema:Teorema 1.34 1. Se A = 1 possuir uma nica soluo, ento A = 0possuir apenas a soluo trivial.2.Se A = 1 for compatvel e A = 0 tiver soluo no trivial, entoA = 1 possuir innitas solues.3. Se o1 for uma soluo de A = 1. qualquer outra soluo do tipo o0+ o1 onde o0 soluo de A = 0.Teorema 1.35 Armaes equivalentes para uma matriz quadrada .(1) invertvel.(2) O sistema homogneo A = 0 tem somente a soluo trivial.(3) A forma escalonada reduzida de a matriz identidade 1.(4) pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.Prova. (1) == (2): Se invertvel e A= 0. ento A= 1A=(1) A = 1(A) = 10 = 0. mostrando que a equao homogneaA = 0 possui apenas a soluo trivial.(2) ==(3) Se a nica soluo do sistema A = 0 for a trivial, ele equiv-alente ao sistema 1A = 0. onde 1 a matriz identidade. Neste caso, podemoslevar em 1 por meio de uma sucesso de operaes elementares. Como 1 uma matriz escalonada reduzida, ela a forma escalonada reduzida de . Maisdo que isto, 1 a nica forma escalonada reduzida de .Notas de aula do Professor Faleiros46 Sistemas de equaes lineares(3) = (4) Se a forma escalonada de . for 1. ento existem matrizes ele-mentares 11. . . . . 1k tais que1k 11 = 1e assim = 11111kprovando que igual ao produto de matrizes elementares.(4) =(1) Sendo um produto de matrizes elementares, que so invertveis,ela invertvel. Corolrio 1.36 Sejam e 1 duas matrizes quadradas de mesmo tamanho etais que 1 = 1. ento e 1 so invertveis, com = 11e 1 = 1.Prova. Vamos dividir a prova em duas partes.Na primeira, provaremosque 1 invertvel e, na segunda, que invertvel. (a) Vamos provar que 1 invertvel. Se 1 = 1 e 1A = 0. ento A = 1A = (1)A = (1A) =0 = 0. Logo, o sistema homogneo 1A = 0 possui apenas a soluo trivial,donde se conclui que 1 invertvel. Multiplicando os dois membros de 1 =1 pela direita por 11segue = 11.(b) Vamos provar que invertvel. Quando 1 = 1. pelo item anterior,1 invertvel e = 11. A matriz invertvel pois a inversa de 1 o queimplica em 1 ser a inversa de . Corolrio 1.37 Sejam e 1 matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se for singular, ento 1 e 1 so singulares.Prova. (a) Vamos provar que 1 singular. Sendo singular, a equaomatricial A = 0 possui soluo no trivial C. Da, (1)C = 1(C) = 10 =0. mostrando que 1 singular pois a equao homognea (1)A = 0 possuisoluo no trivial.(b) Vamos mostrar que a matriz 1 tambm singular. Sendo singular,pelo menos a ltima linha de sua forma escalonada reduzida 1 nula. Sabemosexistirem matrizes elementares 11. . . . . 1k tais que 1 = 1k11 . Se 1fosse invertvel, 11 = 1k 11 (1) seria invertvel por ser um produtode matrizes invertveis.Entretanto, isto no pode ocorrer pois pelo menos altima linha de 11 nula. Corolrio 1.38 Se e 1 forem matrizes quadradas do mesmo tamanho com1 invertvel, ento e 1 so invertveis.Notas de aula do Professor Faleiros1.17 Potncia de uma matriz 47Prova. Se uma das matrizes ou 1 for singular o corolrio anteriorgarante que 1 singular. Corolrio 1.39 Seja 1 uma matriz coluna :1. Uma matriz quadrada de tamanho : : invertvel se e s se a equao A = 1 tiver uma nicasoluo. Esta nica soluo A = 11.Prova. Se invertvel, ento 11 uma soluo de A = 1. Se C1e C2 forem solues da equao A = 1. ento (C1 C2) = 0 e, como aequao homognea A = 0 possui apenas a soluo trivial, C1 = C2. Logo,A = 1 possui uma nica soluo dada por A = 11.Se A = 1 tem uma nica soluo, ento A = 0 s possui a soluotrivial pois, se tivesse uma soluo no trivial, A = 1 teria innitas solues.Possuindo A = 0 apenas a soluo trivial, invertvel. Exemplo 1.40 Como consequncia da invertibilidade da matriz =__ 1 2 32 5 31 0 8__o sistema homogneor1+2r2+3r3= 02r1+5r2+3r3= 0r1+8r3= 0possui apenas a soluo trivial.1.17 Potncia de uma matrizSeja uma matriz quadrada e : um nmero inteiro maior do que zero. Den-imos as potncias inteiras no negativas de por0= 1. n= n1Se for invertvel, ento(1)n= (n)1e denimos as potncias negativas de porn= (1)n= (n)1.Notas de aula do Professor Faleiros48 Sistemas de equaes linearesPropriedadesSejam e 1 matrizes quadradas com o mesmo tamanho, : e : nmeros inteirosno negativos. Ento1. rs= r+s2. (r)s= rs3. Se 1 = 1. ento (1)r= r1r.Quando e 1 forem invertveis, as identidades acima valem quando : e :forem nmeros inteiros negativos.1.18 Matriz transpostaSe = [cij] uma matriz ::. A matriz [/ij] de tamanho : :. onde /ij =cji. para todo i e todo ,. chamada de transposta de e denotada por T.Exemplo 1.41 A transposta de = _ 1 23 4_ T= _ 1 32 4_.Se e 1 forem matrizes de mesmo tamanho e / for um nmero real, valemas propriedades abaixo.1. (T)T= 2. ( + 1)T= T+ 1T3. (/)T= /T4. (T)1= (1)TSe e 1 forem matrizes conforme para a multiplicao,(1)T= 1TTQuando os tamanhos de 1. . . . . n forem tais que o produto 1 npode ser efetuado, ento(1 n)T= TnT1onde se deve observar com ateno a inverso da ordem dos fatores.Quando for quadrada e : for um inteiro positivo, ento(n)T= _T_n.Quando for quadrada e invertvel, o : pode ser qualquer inteiro na pro-priedade acima.Notas de aula do Professor Faleiros1.18 Matriz transposta 49Denio 1.42 Uma matriz quadrada simtrica quando T= .Para qualquer matriz retangular . as matrizes Te T so quadradase simtricas.Teorema 1.43 Sejam e 1 matrizes simtricas de mesma ordem e c umreal. Ento(a) T simtrica.(b) + 1 e 1 so simtricas.(c) c simtrica.(d) Se for invertvel, ento 1 simtrica.(e) Se invertvel ento Te T invertvel.Nem sempre o produto de matrizes simtricas uma matriz simtrica.O produto de duas matrizes simtricas e 1 simtrica se e s se e 1comutarem, isto , 1 = 1.Teorema 1.44 Se uma matriz invertvel, ento tanto Tquanto Tso invertveis.Prova. Como invertvel, tambm o T. Logo, Te T tambmso invertveis por serem o produto de matrizes invertveis. Notas de aula do Professor Faleiros50 Sistemas de equaes linearesNotas de aula do Professor FaleirosCaptulo 2DeterminantesPara resolver um sistema de duas equaes com duas incgnitas r1. r2. comoc11r1 + c12r2 = /1c21r1 + c22r2 = /2onde cij e /i so nmeros reais, podemos usar o mtodo de eliminao daincgnitas. Multiplicando a primeira equao por c22. a segunda por c12 esubtraindo a segunda equao da primeira, obtemos uma equao sem a in-cgnita r2(c11c22c12c21)r1 = (/1c22/2c12).As expresses entre parntesis esquerda e direita envolvem as entradas dasmatrizes = _ c11c12c21c22_e 11 = _ /1c12/2c22_.Por este motivo, denominou-se o nmero real (c11c22 c12c21) de determi-nante de e (/1c22 /2c12) de determinante de 11. Os dois seguem a mesmaregra: subtrai-se do produto das entradas da diagonal principal o produto dasentradas da diagonal secundria. O determinante de uma matriz quadrada denotado por det() er1 det() = det(12)De modo semelhante podemos eliminar r1 do sistema para obterr2 det() = det(12).onde12 = _ c11/1c21/2_.Notas de aula do Professor Faleiros52 DeterminantesQuando det() ,= 0. o sistema possuir uma nica soluor1 = det(11)det()e r2 = det(12)det() .Quando det() = 0 o sistema poder ter ou no soluo. Tudo depender de1 = [/1 /2]Tser ou no uma combinao linear das colunas de .Os matemticos vericaram que este procedimento poderia ser estendidopara sistemas com mais do que duas variveis. Por exemplo, para sistemascom trs equaes e trs incgnitas,c11r1 + c12r2 + c13r3 = /1c21r1 + c22r2 + c23r3 = /2c31r1 + c32r2 + c33r3 = /3 possvel explicitar r2 e r3 em funo de r1 usando a segunda e a terceiraequaes. Usando as expresses obtidas para r2 e r3 para elimin-las daprimeira equao, obtemosr1 det() = det(11)onde agora det() e det(11) so determinantes das matrizes =__ c11c12c13c21c22c23c31c32c33__ . 11 =__ /1c12c13/2c22c23/3c32c33__O determinante de uma matriz 33 obtido a partir dos determinantes dematrizes 2 2. Sendo = [cij] uma matriz 3 3. dene-sedet() = c11 det(11) c12 det(12) + c13 det(13)sendo11 = _ c22c23c32c33_ . 12 = _ c21c23c31c33_e 13 = _ c21c22c31c32_onde se precebe que ij obtida de eliminando sua linha i e sua coluna ,.Desenvolvendo os determinantes de 11. 12 e 13 obtemosdet() = c11 (c22c33c23c32) c12 (c21c33c23c31) + c13 (c21c32c22c31)= (c11c22c33 + c12c23c31 + c13c21c32) (c11c23c32 + c12c21c33 + c13c22c31)Do mesmo modo se mostra quer2 det() = det(12) e r3 det() = det(13)Notas de aula do Professor Faleiros2.1 Denio de determinante 53onde12 =__ c11/1c13c21/2c23c31/3c33__ . 13 =__ c11c12/1c21c22/2c31c32/3__.Se det() ,= 0. o sistema 3 3 possuir uma nica soluor2 = det(12)det() . r2 = det(12)det()e r3 = det(13)det() .Se det() = 0. o sistema 33 poder ter ou no solues.Tudo dependerde 1 = [/1 /2 /3]Tser ou no uma combinao linear das colunas de .2.1 Denio de determinanteO procedimento descrito na seo anterior para resolver sistemas lineares 22e 3 3 se aplica para o caso geral de sistemas com : equaes e : incgnitas,quando surge a idia de determinantes de matrizes de tamanho ::. Odeterminante de uma matriz ::. para :2. um nmero real denidode modo recursivo, em termos de determinantes de matrizes quadradas detamanho menor.Quando = [c] uma matriz 1 1. dene-sedet = c.Quando = _ c11c12c21c22_ uma matriz quadrada 2 2. denimosdet() = c11c22c12c21.Para denir o determinante de uma matriz quadrada ::. quando : 2. precisamos estabelecer uma notao preparatria. Se for uma matrizquadrada ::. denote por ij a matriz de tamanho (:1)(:1) obtidaao eliminar a linha i e a coluna , de . O cofator (i. ,) de o nmero realcij = (1)i+jdet(ij).O determinante de o nmero real denido pordet() = c11c11 + c12c12 + + c1nc1n =n

j=1c1jc1j.Notas de aula do Professor Faleiros54 DeterminantesEsta frmula denominada de desenvolvimento do determinante porcofatores ao longo da primeira linha ou desenvolvimento de Laplace dodeterminante ao longo da primeira linha.Usando apenas a denio, podemos armar que o deteminante da matriznula igual a 0. o determinante da matriz identidade igual a 1.O determinantede uma matriz triangular inferior,__c1100c21c220............cn1cn2cnn__. o produto c11 c22 cnn dos elementos de sua diagonal, o mesmo acontecendocom o determinante de uma matriz triangular superior. Em particular, odeterminante de uma matriz diagonal__d10 00 d20............0 0 dn__ igual ao produto d1d2 dn das entradas da diagonal.Exemplo 2.1 Para calcular o determinante da matriz =__ 1 2 32 1 08 4 1__usamos o desenvolvimento de Laplacedet() = 1 det_ 1 04 1_(2) det_ 2 08 1_+ 3 det_ 2 18 4_= 1 (1) + 2 (2) + 3 0 = 5Vamos apenas armar, sem prova, que o determinante tambm pode sercalculado desenvolvendo-o por cofatores ao longo da linha i. tambm conhecidocomo desenvolvimento de Laplace do determinante pela linha idet() = ci1ci1 + ci2ci2 + + cincin =n

j=1cijcij.Notas de aula do Professor Faleiros2.1 Denio de determinante 55e ainda pode-se usar o desenvolvido por cofatores ao longo da coluna ,det() = c1jc1j + c2jc2j + + cnjcnj =n

i=1cijcijOs dois ltimos so conhecidos por desenvolvimento de Laplace do determi-nante pela linha i e pela linha ,. respectivamente. Vamos mostrar como calcularo determinante de algumas matrizes especiais.Se a matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determinate iguala zero.Exemplo 2.2 Os determinantes das matrizes__2 1 03 7 04 2 0__e__ 1 4 52 0 30 0 0__so iguais a zero pois ambos possuem uma la nula. Para vericar esta ar-mao basta desenvolver o determinante da primeira matriz pela terceira col-una e da segunda matriz pela terceira linha.Exemplo 2.3 Para calcular o determinante de uma matriz 33. pode-se usara regra de Sarrus. Aplica-se esta regra do seguinte modo: Acrescente as duasprimeiras colunas direita da matriz obtendo__ c11c12c13c11c12c21c22c23c21c22c31c32c33c31c32__Multiplique as entradas ao longo de cada uma das trs diagonais principais,aquelas que vo da esquerda para a direita e de cima para baixo, que iniciamnas entradas c11. c12 e c13. Adicione os resultados. Multiplique as entradas aolongo de cada uma das trs diagonais secundrias, aquelas que vo da direitapara a esquerda e de cima para baixo, que iniciam nas entradas c13; c11 e c12.Adicione estes produtos. Subtraia esta soma da soma anterior para obterdet() = c11c22c33 + c12c23c31 + c13c21c32(c13c22c31 + c11c23c32 + c12c21c33).Se as matrizes no possurem caractersticas especiais, calcular o determi-nante de matrizes ::. para :3. usando apenas a denio, exige umbom trabalho. Para simplicar, precisamos de alternativas mais ecientes queapenas a denio para calcular um determinante.Notas de aula do Professor Faleiros56 Determinantes2.2 Propriedades do determinanteTeorema 2.4 Seja uma matriz quadrada : :.1. Se Tfor a matriz transposta de . entodet () = det(T).2. Se 1 for obtida permutando duas linhas de . entodet(1) = det().3. Se 1 for obtida adicionando a uma linha de um mltiplo de outra linhade . ento det(1) = det().4. Se 1 for obtida adicionando a uma linha de uma combinao lineardas outras linhas de . entodet(1) = det().5. Se 1 for obtida multiplicando uma linha de por um nmero real /.entodet(1) = / det().6. Sendo uma matriz : : e / um nmero real, det(/) = /ndet().Como det() = det_T_. as propriedades 2, 3, 4 e 5 continuam ver-dadeiras se trocamos a palavra linha por coluna. Vamos provar as propriedadeselencadas no teoremaProva. 1. A vericao de que esta propriedade vale para matrizes 1 1 e22 imediata. Como hiptese de induo, vamos supor que esta propriedadevale para matrizes (:1)(:1). Sendo uma matriz :: vamos denotarpor 1 sua transposta. Sendo cij a entrada da linha i coluna , de e /ij aentrada da linha i coluna , de 1. vale a igualdade cij = /ji. Sendo ij e 1ij asmatrizes obtidas de e de 1 retirando a linha i e a coluna ,. vale a igualdadeij = (1ji)T. O determinante de . desenvolvimento pela primeira linha det() = c11 det(11) c12 det(12) + + (1)1+nc1n det(1n)Como cij = /ji e ij = (1ji)T. seguedet() = /11 det (111)T/21 det (121)T+ + (1)1+n/n1 det (1n1)TNotas de aula do Professor Faleiros2.2 Propriedades do determinante 57Como 1ij so matrizes (:1)(:1). vale a hiptese de induo det (1ij)T= det (1ij) e assim,det() = /11 det (111) /21 det (121) + + (1)1+n/n1 det (1n1) .O lado direito o determinante de 1 desenvolvido pela primeira coluna. Sendo1 = T. provamos a igualdade desejada det() = det(T).2. A propriedade vale para matrizes quadradas 22. Supondo a pro-priedade vlida para matrizes quadradas (: 1) (: 1) vamos mostrar queela vale para uma matriz quadrada ::. Fixemos uma linha i que no foipermutada na passagem de para 1. Sejam, respectivamente, ij e 1ij asmatrizes obtidas de e 1. eliminando em cada uma a linha i e a coluna ,. Amatriz 1ij pode ser obtida de ij permutando as mesmas linhas que levaram em 1. Pela hiptese de induo, det(1ij) = det(ij). Desenvolvendo odeterminante de 1 em cofatores ao longo da linha i. lembrando que a linha iem 1 igual linha i em det(1) = (1)i+1ci1 det(1i1) + + (1)i+ncin det(1in)= (1)i+1ci1 det(i1) (1)i+ncin det(in) = det().3. Suponha que 1 foi obtida de adicionando linha i um mltiplo / dalinha :. Assim, ao longo de toda a linha i de 1./ij = cij + / crj.As outras linhas de 1 so iguais s linhas de . Desenvolvendo o determinantede 1 pela linha i.det(1) =n

j=1(cij + /crj)cij =n

j=1cijcij + /n

j=1crjcij = det()pois o somatrio na segunda parcela igual a zero uma vez que correspondeao determinante de uma matriz cuja linha i igual linha :.4. uma consequncia da propriedade 4. Se 1 for obtida adicionandoa uma linha de uma combinao linear das outras linhas de . ento elafoi obtida de adicionando seguidamente a uma de suas linhas multiplos dasoutras. Pela propriedade 4, o determinantes no se modicam durante esteprocesso.5. Se 1 for obtida multiplicando a linha i de por um nmero real /.ento /ij = /cij. para , = 1. . . . . :. Desenvolvendo o determinante de 1 pelalinha i.det(1) = (1)i+1/i1 det(i1) + (1)i+2/i2 det(i2) + + (1)i+n/in det(in)= /_(1)i+1ci1 det(i1) + (1)i+2ci2 det(i2) + + (1)i+ncin det(in)= / det()Notas de aula do Professor Faleiros58 Determinantes6. Quando multiplicamos uma matriz quadrada de tamanho : : por umnmero real /. multiplicamos todas as suas linhas por /. Como cada linha de. ao ser multiplicada por /. multiplica o determinante de por /. Como :linhas so multiplicadas por /.det(/) = /ndet().

Reuniremos no prximo teorema algumas condies sob as quais o deter-minante de uma matriz igual a zero.Teorema 2.5 Seja uma matriz quadrada.1. Se uma linha de for nula, det() = 0.2. Se duas linhas de forem iguais, det() = 0.3. Se duas linhas de forem proporcionais, det() = 0.4. Se uma linha de for igual a uma combinao linear das demais, det()= 0.Prova. 1. Desenvolvendo o determinante pela linha nula, obtemos det()= 0.2. Se possui duas linhas iguais, permutando as posies destas duaslinhas a matriz no se modica.Ento det() = det(). o que implicaem 2 det() = 0. que leva igualdade desejada det() = 0.3. Seja uma matriz cuja linha i igual a / vezes a linha :. para algum: ,= i. Seja 1 a matriz obtida de adicionando sua linha i. o mltiplo /da linha :. A linha i de 1 nula e det() = det(1) = 0.4.Vamos supor, sem perda de generalidade, que a primeira linha de uma combinao linear das suas demais linhas. Se 11. 12. . . . . 1n designaremas linhas de . existem nmeros reais c2. c3. . . . . cn tais que11 = c212 + c313 + + cn1n.Podemos obter, a partir de . uma matriz 1 com uma linha nula e com omesmo determinante de . o que prova que det() = 0. Para chegar matriz1. basta fazer a seguinte operao sobre a primeira linha de 11(c212 + c313 + + cn1n) 11.Notas de aula do Professor Faleiros2.3 Determinantes e operaes elementares 59Esta operao corresponde a uma sequncia de operaes elementares11c212 1111c313 11

11cn1n 11sobre a primeira linha de que no alteram o determinante. Como det() =det(1) e a matriz 1 possui uma linha igual a zero, det() = det(1) = 0. 2.3 Determinantes e operaes elementaresPode-se calcular o determinante de uma matriz realizando operaes elementaresem suas linhas e suas colunas at transform-la numa matriz triangular supe-rior ou inferior. Outra possibilidade: realize operaes elementares sobre amatriz para anular todas as entradas de uma la, excesso de uma. Emseguida, desenvolva o determinante por aquela la. Repita o procedimento atchegar ao determinante de uma matriz 3 3 ou 2 2 que pode ser facilmentecalculada.Exemplo 2.6 Vamos calcular o determinante abaixo efetuando operaes el-ementares sobre as suas linhas com o objetivo de tornar iguais a zero todas asentradas de uma la, excesso de uma.Em seguida, usamos o desenvolvi-mento por las para reduzir a ordem da matriz cujo determinante se pretendecalcular. No exemplo, observamos que a segunda linha [3 6 9] o triplo de[1 2 3]. Usaremos este fato para fazer uma primeira simplicao no deter-minante, colocando o 3 em evidncia.d = det__ 0 1 53 6 92 6 1__ = 3 det__ 0 1 51 2 32 6 1__.Agora, vamos multiplicar a segunda colun por 5 e adicion-la terceira parazerar o elemento da primeira linha segunda coluna. Em seguida, desenvolver-emos o determinante pela primeira linha.d = 3 det__ 0 1 01 2 132 6 29__ = 3 (1) det_ 1 132 29_ = 3(29 26) = 165.Notas de aula do Professor Faleiros60 DeterminantesExemplo 2.7 Vamos calcular o determinante abaixo, multiplicamos a primeirlinha por 3 e adicionamos o resultado terceira linha, obtendo numa ma-triz triangular cujo determinante igual ao produto das entradas da diagonalprincipal da matrizdet__1 0 0 32 7 0 60 6 3 07 3 1 5__ = det__1 0 0 02 7 0 00 6 3 07 3 1 26__ = 1 7 3 (26) = 546.2.4 Determinante do produto de matrizesVamos mostrar nesta seo que, se e 1 forem matrizes quadradas de mesmotamanho, ento det(1) = det() det(1). Inicialmente provaremos que estapropriedade vale quando uma matriz elementar.Determinante das matrizes elementaresExistem trs tipos de matrizes elementares. Aquelas obtidas multiplicandouma linha da matriz identidade por um nmero real / diferente de zero, aque-las obtidas permutando duas linhas da matriz identidade e aquelas obtidasadicionando a uma linha da matriz identidade um mltiplo de outra linha damatriz identidade.Exemplo 2.8 1. Se 1 foi obtida multiplicando uma linha da matriz iden-tidade por um nmero real / diferente de zero, ento det(1) = /.2. Se 1 foi obtida permutando duas linhas da matriz identidade, entodet(1) = 1.3. Se 1 foi obtida adicionando a uma linha da matriz identidade um mlti-plo de outra linha, ento det(1) = 1.Lema 2.9 (Produto de uma matriz elementar por uma matriz quadradaqualquer)1. Se 1 for uma matriz elementar e 1 uma matriz quadrada qualquer,ambas de mesmo tamanho, entodet(11) = det(1) det(1)2. Se 11. . . . . 1k forem matrizes elementares de tamanho : :. entodet(11 1k1) = det(11)det(1k) det(1)Notas de aula do Professor Faleiros2.4 Determinante do produto de matrizes 61Prova. 1.Vamos dividir a prova em trs etapas, uma para cada tipo dematriz elementar.(a) Se 1 foi obtida multiplicando uma linha da matriz identidade por umnmero real / diferente de zero, ento det(1) = / e a matriz 11 igual matriz 1 com uma linha multiplicada por /. ento det(11) = / det(1) =det(1) det(1).(b) Se 1 foi obtida permutando duas linhas da matriz identidade, entodet(1) = 1 e a matriz 11 igual matriz 1 onde duas linhas forampermutadas uma pela outra. Com isto, det(11) = det(1) = det(1) det(1).(c) Se 1 foi obtida adicionando a uma linha da matriz identidade ummltiplo de outra linha, ento det(1) = 1 e a matriz 11 igual matriz 1onde se adicionou a uma das linhas um mltiplo de outra. Logo, det(11) =det(1) = det(1) det(1).Isto completa a prova da primeira parte.2. Vamos provar no caso de / = 3. usando sucessivamente a primeira parteque assegura a igualdade det(11) = det(1) det(1). sempre que 1 for umamatriz elementar. Assim,det(1112131) = det(11) det(12131)= det(11) det(12) det(131)= det(11) det(12) det(13) det(1)= det(11) det(1213) det(1)= det(111213) det(1)Para um / genrico, a prova feita por induo em /. Lema 2.10 Se invertvel ento det() ,= 0.Prova. Se for invertvel, ento podemos escrev-la como um produto dematrizes elementares = 11 1k. Assim,det = det 11 det 1k ,= 0.

Lema 2.11 Se for singular ento det() = 0.Prova. Quando singular, sua forma escalonada reduzida 1 possui aomenos uma linha nula, de modo que o determinante de 1 igual a zero. Comoexistem matrizes elementares 11. . . . . 1k tais que = 11 1k 1. obtemosNotas de aula do Professor Faleiros62 Determinantesdet() = det(111k 1) = det(11)det(1k) det(1) = 0. Dos dois lemas anteriores, podemos enunciarTeorema 2.12 Uma matriz quadrada invertvel se, e s se, det() ,= 0.Agora estamos aptos a provar o teorema central desta seo.Teorema 2.13 Se e 1 forem matrizes quadradas de mesmo tamanho, entodet(1) = det() det(1).Prova. Se for singular, 1 singular. Da, det = 0 e det(1) = 0.o que resulta na igualdade det(1) = det() det(1).Se for invertvel, existem matrizes elementares 11. . . . . 1k tais que =111k. Da, det(1) = det(111k1) = det(11)det(1k) det(1) =det(111k) det 1 = det det 1. Nota 2.14 Em geral, o det( + 1) diferente do det() + det(1).Corolrio 2.15 Se for invertvel, ento det(1) = (det )1.Prova. Sendo invertvel, 1 = 1 e det() det(1) = det(1) =1. o que completa a prova. 2.5 Cofatora, adjunta clssica e inversaSendo cij o cofator do elemento cij da matriz = [cij] de tamanho ::. amatrizco,() =__ c11. . . c1n.........cn1. . . cnn__ denominada de matriz de cofatores de . A transposta da matriz cofatorade cd,() = co,()T=__ c11. . . cn1.........c1n. . . cnn__Notas de aula do Professor Faleiros2.6 Regra de Cramer 63 chamada de adjunta clssica de . Sabemos quen

k=1cikCik = det()observe que, quando : ,= i.n

k=1crkCik = 0pois este ltimo somatrio corresponde ao determinante de uma matriz em quea linha i foi substituda pela linha :. de modo que as linhas i e : so iguais.Juntando numa nica as duas igualdades acima, podemos escrevern

k=1cikCjk = det()oijpara todo i e todo , no conjunto 1. 2. . . . . :. o que implica na igualdadematricialcd,() = det()1 ou cd,()det() = 1quando det() for diferente de zero. Conclumos da que1=1det()cd,().Esta frmula raramente usada na prtica para calcular a inversa da matrizembora seja til no estudo terico da inversa.2.6 Regra de CramerNo incio deste captulo comeamos resolvendo sistemas lineares pelo processode eliminao de variveis com o intuito de motivar a denio de determi-nantes. Agora vamos mostrar que aquelas frmulas obtidas para sistemas com: equaes com : incgnitas nos casos em que : = 2 e 3. se aplica ao casogeral.Seja uma matriz quadrada invertvel de tamanho ::. Seu determinante diferente de zero. Para cada vetor coluna 1 com : linhas, o sistema A = 1tem soluo nica dada por A = 11. Vamos mostrar a regra de Cramer,segundo a qual, sendo A = [r1. . . . . rn]Tuma soluo de A = 1. entoNotas de aula do Professor Faleiros64 Determinantesrj = det(1j)det()onde 1j a matriz obtida de substitundo a sua coluna , por 11j =__ c11. . . /1. . . c1n.........c1n. . . /n. . . cnn__"Coluna j.Para provar a regra de Cramer precisaremos de um resultado anterior que oseguinte: Sejam 1. 2. . . . . n as colunas de . de modo que = [ 1[ 2[[ n ] .Dadas duas matrizes coluna C = [ci] e 1 = [di] de tamanho : 1. dados doisnmeros reais r e . vale a igualdadedet [ r C + 1[ 2[[ n ] = r det [C [ 2[[ n ]+ det [ 1[ 2[[ n ] .De fato, desenvolvendo o determinante pela primeira coluna, seguedet [ rC + 1[ 2[[ n ] =n

i=1(r ci + di) det__(i)2 [[ (i)n__onde (i)2 . . . . . (i)nso as colunas de sem a linha i. Prosseguindo,det [ r C + 1[ 2[[ n ] =rn

i=1ci det__(i)2 [[ (i)n__+ n

i=1di det__(i)2 [[ (i)n__ =r det [C [ 2[[ n ] + det [ 1[ 2[[ n ].Usando a identidade que acabamos de demonstrar, tomemos sistema de equaeslineares cuja forma matricial A = 1. onde a matriz :: dos coe-cientes, 1 a matriz coluna : 1 das constantes e A = [r1. . . . . rn]Ta matrizcoluna das incgnitas. Sendo j a coluna , de e A uma soluo da equaomatricial A = 1. ento1 = r11 + + rnn.Notas de aula do Professor Faleiros2.6 Regra de Cramer 65Assim,det([1[ 2[[ n]) =det([r11 + r22 + + rnn[ 2[[ n]) =r1 det([1[ 2[[ n]) + r2 det([2[ 2[[ n]) + + rn det([n[ 2[[ n]) =r1 det([1[ 2[[ n]) = r1 det().uma vez que os determinantes da matrizes [2[ 2[[ n]. . . . . [n[ 2[[ n]so iguais a zero, pois cada uma delas tem duas colunas iguais. Logo,r1 = det(11)det()onde 11 = [1[ 2[[ n] a matriz obtida de substituindo a primeiracoluna por 1. De modo semelhante se prova quer2 = det(12)det()onde 12 = [1[ 1[[ n]. e assim por diante.Hoje a regra de Cramer tem apenas interesse terico. O mtodo da elimi-nao de Gauss muito mais eciente para calcular a soluo de um sistemalinear. Quando o sistema possuir muitas equaes e muitas incgnitas, algocomo algumas dezenas de milhar, o mtodo de Gauss passa a ser ineciente. Apartir da preciso usar outros processos de soluo. Este um tema que fogeao escopo deste curso e foi citado apenas para aguar a curiosidade do leitor.Notas de aula do Professor Faleiros66 DeterminantesNotas de aula do Professor FaleirosCaptulo 3Espao vetorialUmcorpo uma estrutura matemtica formada por um conjunto Kque possuipelo menos dois elementos e duas operaes, denominadas adio e multi-plicao, descritas a seguir. Os elementos do conjunto K so denominadosescalares. A adio uma operao que atua sobre dois escalares c e / de Ke os leva num escalar c +/ de K denominado soma de c e /. A multiplicao uma operao que atua sobre dois escalares c e / de K e os leva num escalarc / em K. tambm denotado por c/. denominado produto de c e /. Comoc+/ e c/ pertencem a K. se diz que as duas operaes possuem a propriedadedo fechamento. Quando se disser que K um corpo, entenda-se que K um conjunto munido de duas operaes e esta estrutura toda que constituio corpo.Para que K com as operaes de adio e multiplicao seja um corpo preciso que as propriedades abaixo sejam satisfeitas:1. Comutatividade. Dados dois escalares c e / em K.c + / = / + cc/ = /c2. Associatividade. Dados trs escalares c. / e c em K.c + (/ + c) = (c + /) + cc(/c) = (c/)c3. Elemento neutro. Existem dois escalares 0 e 1 em K tais que, paratodo escalar c em K.c + 0 = 0 + c = cc1 = 1c = cNotas de aula do Professor Faleiros68 Espao vetorialO 0 (zero) o elemento neutro da adio e o 1 (um) o elemento neutroda multiplicao.4. Elemento simtrico.(a) Para cada escalar c em K. existe um outro escalar em K. denotadopor c. e chamado de simtrico aditivo ou oposto de c para oqualc + (c) = (c) + c = 0.(b) Para cada escalar c em K diferente do zero, existe um outro escalarem K. denotado por c1. e chamado de simtrico multiplicativoou inverso de c para o qualc(c1) = (c1)c = 1.5. Distributividade. Dados trs escalares c. / e c em K.c(/ + c) = c/ + cc.Exemplo 3.1 O conjunto dos nmeros racionais Q com as operaes usuaisde adio e multiplicao um corpo. Tambm so corpos os conjuntos dosnmeros reais R e o dos complexos C com suas operaes usuais de adio emultiplicao.Exemplo 3.2 Existem corpos com um nmero nito de elementos. Tais cor-pos possuem um nmero primo de elementos ou uma potncia inteira de umnmero primo de elementos. Sendo j um nmero primo, o conjunto Zp =0. 1. . . . . j 1 com as operaes de adio e multiplicao mdulo j umcorpo nito. Lembramos que as operaes de adio e muliplicao mdulo j.denotadas por (c +/) mod j e (c/) mod j so denidas realizando as operaesusuais de c com / nos inteiros e tomando o resto da diviso inteira do resul-tado por j. Os corpos nitos cujo nmero de elementos uma potncia inteirade nmeros primos possuem uma representao em termos de polinmios comcoecientes em Zp. Os corpos nitos so muito utilizados em Criptograa.Um espao vetorial uma estrutura matemtica formada por um con-junto no vazio \. cujos elementos so denominados de vetores, um corpoK. cujos elementos so denominados escalares, e duas operaes, sendo umadelas a adio de vetores e a outra a multiplicao de um vetor porum escalar. As duas operaes sero descritas em seguida. Por simplicidade,frequentemente se diz apenas que \ um espao vetorial. Todavia no sedeve esquecer que o espao vetorial um estrutura formada pelo conjunto \.Notas de aula do Professor Faleiros69pelo corpo K e pelas duas operaes em \. Para enfatizar o papel do corpo naestrutura do espao vetorial tambm usual dizer que \