algebraii

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Destino: MatemáticaÁlgebra II

AtividAdes pArA

impressão

Gerente de projeto: Paulo Fernando Silvestre Júnior

Editora: Olivia Maria Neto

Tradutora: Mariana Braga de Milani

Editora assistente: Marília Rodela Oliveira

Preparadora de texto: Salvine Maciel

Assessoria em Matemática: Maria Ângela de Camargo (coordenação)

Edson Ferreira (revisão)

Marcos Antônio Silva (revisão)

Willian Seigui Tamashiro (revisão)

Projeto gráfico e diagramação: Casa Paulistana de Comunicação

O uSO dESTE PROduTO é OBJETO dE RESTRiçõES E liMiTAçõES dE gARANTiA CONFORME O CONTRATO dE liCENçA.

Copyright © Saraiva S/A livreiros Editores. Todos os direitos reservados.

Copyright © Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Todos os direitos reservados.

Riverdeep inc., uma afiliada da Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, concedeu à Saraiva S/A livreiros Editores o

direito intransferível de localizar, produzir, comercializar e distribuir o destination Math (destino: Matemática), destination

Reading e o destination learning Management com exclusividade no território nacional. destination Math, destination

Reading e destination learning Management são marcas registradas da Riverdeep interactive learning limited, uma

afiliada da Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Saraiva e destino: Matemática são marcas registradas da

Saraiva S/A livreiros Editores. Todas as outras marcas registradas são propriedades dos respectivos detentores.

Bem-vindo às Atividades para impressão do Destino: Matemática.

O material tem o objetivo de auxiliar os alunos na compreensão dos conceitos e na

aquisição e desenvolvimento de habilidades à medida que progridem no curso.

Estas atividades foram elaboradas com a finalidade de:

• manterosalunosfocadosnaapresentaçãodosconceitos;

• daroportunidadeaosalunosderegistrarinformaçõesapresentadasno

programaerefletirsobreoconteúdodostutoriais;

• permitirquetenhamoportunidadedepraticaroqueaprenderamem

cadasequência;

• oferecerumaavaliaçãodeconceitosmaisamplaemcadasequência;

• proporproblemasutilizandosituaçõesreaisecomasquaisosalunos

possam identificar-se.

Paraajudá-lonaconduçãodotrabalho,sãopropostasduasseçõesquevisam

servir de suporte às sequências:

• Vamos registrar: enquanto os alunos assistem aos tutoriais, são

convidadosaregistrarinformaçõeseareforçaracompreensãodosconceitos.

Também pode servir como um guia dos conteúdos de revisão para que

os alunos possam alcançar completo domínio dos conceitos algébricos.

• Agora é sua vez!: oferece atividades adicionais para cada sequência. Elas

foram elaboradas de modo que os alunos possam realizá-las sem o uso do

computador e tenham oportunidade de reforçar os conceitos que estudaram.

Alémdisso,asAtividadesparaimpressãocontamcomoutrasduasseçõesem

cada unidade:

• Investigando: páginas projetadas para explorar um conceito algébrico que

serve como tema de cada unidade. Pode ser utilizada como exploração inicial

ou como atividade de culminância.

• Avaliação da unidade: verificação de todas as habilidades e conceitos da

unidade. Podem servir também como avaliação diagnóstica, ajudando a determinar

o conhecimento preexistente do aluno sobre as habilidades e conceitos.

As atividades podem ser facilmente adaptadas ao currículo da escola, de

acordo com a necessidade dos alunos, com o andamento da aprendizagem coletiva, com

o programa de Matemática e estilo pedagógico de cada professor.

Palavra ao professor

4

Sumário1 Números reais

1.1 Números racioNais e irracioNais

1.1.1 Definindo os números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 A função raiz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Potências e polinômios

2.1 operações com poliNômios

2.1.1 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Somando e subtraindo polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Multiplicando polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 FaToraNDo poliNômios

2.2.1 Encontrando fatores comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Fatorando trinômios do 20 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 A função quadrática

3.1 FuNções QuaDráTicas: GráFicos e FuNções

3.1.1 Traçando parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Investigando as propriedades das parábolas . . . . . . . 393.1.3 Resolvendo equações do 20 grau por

meio de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 soluções alGébricas De eQuações Do 20 Grau

3.2.1 Fatoração e teorema do produto nulo . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 A propriedade da raiz quadrada e o método de

completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Fórmula para resolver equações do 20 grau:

a fórmula de Bhaskara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Expressões algébricas e funções polinomiais

4.1 eQuações irracioNais e FuNção raiz QuaDraDa

4.1.1 Resolvendo equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2 A inversa da função raiz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Frações alGébricas, eQuações e FuNções

4.2.1 Operações com frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2 Funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.3 Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 Organizando informações5.1 exibiNDo iNFormações

em GráFicos

5.1.1 Diagramas de ramos e folhas e diagramas de caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.2 Diagramas de dispersão e retas de regressão . . . . . . 77

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Palavras-chave: Número inteiro Número natural Número racional Raiz Propriedade da

densidade Número irracional Número real

Objetivos de aprendizagem: Defi nir números

reais. Defi nir números

racionais. Defi nir números

irracionais. Usar o teorema de

Pitágoras para provar a existência de números irracionais. Arredondar o valor

de uma raiz quadrada dos números reais e localizá-los na reta numerada.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 1: DefininDo os núMeros reais

Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial

1. Número racional: um número na forma pq

, em que p e q são ________________________,

e q é diferente de ________________.

2. Um número racional, quando expresso como decimal, pode ser _______________________

ou ____________________________________________.

3. A propriedade da densidade declara que entre quaisquer ____________________ números,

terá sempre outro _________________.

4. Um número irracional é aquele que não pode ser representado como uma _____________

entre ______________________________________.

5. Quando expresso na forma decimal, um número irracional não é ______________________

nem ______________________________________.

6. A propriedade da densidade é verdadeira tanto para números ________________________

quanto para ________________________.

7. Juntos, os conjuntos dos números racionais e irracionais formam o conjunto dos números

____________________.

8. O símbolo expressa uma ___________________________________ de qualquer número.

9. Então, 5 é um número irracional e pode ser representado usando um _______________.

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Agora é sua vez!Agora ésua vez!

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 1: DefininDo os núMeros reais

1. Escreva cada número racional de três maneiras diferentes utilizando razões equivalentes.

a) –6 = ___________; ________; _________.

b) 15

= _________; ________; _________.

c) – 83

= _________; ________; _________.

d) 2 14

= ________; ________; _________.

2. Escreva cada número racional na forma decimal. Se for uma dízima periódica, use um

tracinho sobre a parte que se repete.

a) 14

= ___________________ c) 72

= ___________________

b) 92

= ___________________ d) 57

= ___________________

3. Que número racional está no ponto médio entre 1,22234 e 1,222346?

_____________________________________________________________________________

4. Dê um exemplo de um número irracional expresso na forma radical e na forma decimal.

____________________ e ____________________

5. Aproxime a raiz quadrada de cada um dos números reais a seguir para

o milésimo mais próximo. Depois, marque as respostas na reta numerada.

a) 7 <________________ c) 22 <______________

b) 35 <______________ d) 14 <______________

A-C5-1.1-S1-2a

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Palavras-chave: Quadrado perfeito Raiz quadrada Radical Radicando Racionalizar

Objetivos de aprendizagem: Calcular a raiz

quadrada de um quadrado perfeito. Simplifi car a raiz

quadrada do produto. Simplifi car a divisão

de duas raízes. Racionalizar o

denominador de uma expressão envolvendo raízes. Somar ou subtrair

expressões envolvendo raízes, utilizando a propriedade distributiva.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 2: raDicais


1. Na fórmula do comprimento da circunferência, C = 2 r, o número irracional é

aproximadamente igual a _____________.

2. Na fórmula da velocidade de uma onda, v = 3,1 p , o valor de p pode ser racional ou

irracional, dependendo do valor de ___________, que representa a ____________________

da água.

3. A expressão sob o símbolo de radical é chamada __________________________________.

4. Escreva os primeiros cinco quadrados perfeitos não nulos: ________, ________, ________,

________ e ________.

5. A propriedade dos quadrados perfeitos declara que, se a > 0, então __________________.

6. A raiz quadrada de um número real não negativo é um número real ____________________

___________.

7. Complete a afi rmação: a × b = __________________________.

8. O radicando 250 pode ser simplifi cado como _______________.

9. Complete a afi rmação, considerando a > 0 e b > 0.

ab

=__________

10. ______________________ signifi ca converter o _____________________ de uma fração que

está sob o radical em um número___________________.

11. Para somar ou subtrair raízes, _________________ os radicandos, simplifi cando as raízes,

e _________________ as raízes equivalentes.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 2: raDicais

1. Use a propriedade dos quadrados perfeitos para completar cada expressão.

a) 81 = ( — )2 = _____________

b) _______ = 252 = ___________

c) _______ = ( — )2 = 12

2. Escreva os cinco primeiros quadrados perfeitos consecutivos maiores que 100.

________; ________; ________; ________ e ________.

3. Expresse cada radical na forma reduzida.

a) 160 = ____________ b) 5 108 = ____________ c) – 114

490 = ____________

4. Simplifique o produto (3 43) (– 2 28). _______________

5. Simplifique a expressão 3

832

. __________________

6. Racionalize cada denominador.

a) 16

= ___________ b) 311

= ___________ c) 27

= ___________

7. Simplifique estas expressões racionalizando os denominadores.

a) 8 32 2 50

= ___________ b) 1000 8

= ___________ c) 3627

= ___________

8. Simplifique a expressão 7 2 + 3 18. _______________

9. A fórmula t = 2d9,8

informa o tempo, em segundos, que um objeto parado leva para

percorrer d metros em queda, onde 9,8 é a aceleração da gravidade, em metros

por segundo ao quadrado. Quantos segundos leverá para um objeto percorrer 58,8 m

em queda? Escreva a resposta na forma reduzida.

___________________

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Palavras-chave: Raiz quadrada Domínio Imagem Interpolação Extrapolação Parâmetro Função não afi m

Objetivos de aprendizagem: Construir o gráfi co

de um conjunto fi nito de pares ( , ). Construir o gráfi co da

função raiz quadrada. Identifi car o domínio,

a imagem e a lei da função raiz quadrada. Analisar o coefi ciente a

no gráfi co de = a .

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 3: a função raiz quaDraDa


1. Se representa a área de um quadrado, então _________________________ representa o

comprimento de seu lado.

2. Explique como você sabe que a função raiz quadrada não é linear.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3. Por que a relação da raiz quadrada é uma função?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

4. _______________________ é determinar o valor de uma função entre dois valores

conhecidos do _______________________.

5. _______________________ é inferir o valor de uma função em um intervalo não observado

a partir de valores em um intervalo já _______________________.

6. Qual conjunto de números descreve o domínio da função raiz quadrada?

_______________________________________________________________________________

7. Qual conjunto de números descreve a imagem da função raiz quadrada?

_______________________________________________________________________________

8. Na equação = 3,1 , o coefi ciente 3,1 é chamado _______________________________

.

9. Em gráfi cos de funções na forma = a , o valor de a afeta a _______________________

do gráfi co e determina o _______________________ pelo qual passa o gráfi co.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 3: a função raiz quaDraDa

1. Complete a tabela a seguir, arredondando os valores de para duas casas decimais.

0 1,3 2,0 2,7 3,4 4,8 5,2 5,9

��

2. Marque os pontos da tabela no gráfico.

0,50 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6

1

2

3��

3. Faça o gráfico da função raiz quadrada = para valores de de 0 a 25.

� �� 20 4 6 8 10 122 4 6 8

246

14 16 18 20 22 24 26

�

4. Identifique o gráfico correspondente de cada equação.

a) = 0,7 ______________________

b) = – 23

____________________

c) = 2,4 _______________________

d) = 3 _________________________

e) = – 3 ________________________

x

y

0

1 2

3

4

5

�

�

��

�

�

�

��

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Avaliaçãode unidadeAvaliaçãoda unidade

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais

1. Identifique cada número como racional ou irracional. Justifique sua resposta.

a) 0,35621 _________________________________________

b) 12,57

_____________________________________________

c) 5 _______________________________________________

d) 0,552552 ________________________________________

e) – 9 _____________________________________________

f) 8 _______________________________________________

g) 12,3145

_________________________________________

h) 2,121121112 _____________________________________

2. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número racional pode ser expresso na

forma de decimal exato?______________________________

3. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número irracional pode ser expresso na

forma de número não decimal? ________________________

4. Em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de

comprimento c, o teorema de Pitágoras declara que a² + b² = c². Determine se o

comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados medem

4 unidades e 5 unidades é um número racional ou irracional. Explique sua resposta.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5. Cada par de números a seguir representa os comprimentos dos lados de um

triângulo retângulo. Quais pares representam os catetos de um triângulo retângulo cujo

comprimento da hipotenusa é um número irracional? Circule as respostas.

a) (12, 5) b) (12, 13) c) (8, 15) d) (2, 4)

6. Marque cada número irracional a seguir na reta numerada.

a) 0,2 b) 17 c) 3 d) 1,4

0 1 2 3 4 5➤➤

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7. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras se a > b e b > 0? Circule a resposta.

a) a + b = a + b c) a × b = a × b

b) a – b = a – b d) ab

=

ab , b 0

8. Escreva cada expressão na forma reduzida.

a) 75 = ___________________________ f) 968

= _____________________________

b) 0,0036 = __________________________ g) 180 – 45 = _____________________

c) 5 × 85 = ____________________ __ h) 3 12 + 4 108 = ___________________

d) 98 × 14 = ___________________________ i) 95

= ___________________________

e) 962

= ______________ ____________ j) 2

10 × 5

2 = _______________ ________

9. Quais dos pares ordenados a seguir descrevem pontos que estão no gráfico de

= ? Circule as respostas.

a) (1,8, 1,34) b) (2, 4) c) (16, 4) d) (4,90, 24)

10. Identifique o gráfico correspondente a cada equação.

a) = – 125

__________________

b) = 3–2

____________________

c) = 13

____________________

d) = – 112

__________________

e) = 74

____________________ �

x0

1

2

3

45

y�

�

��

�

�

�

�

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InvestigandoInvestigando


Explorando a vista de uma aeronave

Ao voar em um dia claro, é possível avistar objetos até o horizonte. Entretanto, como

a Terra é quase uma esfera, não é possível avistar além do horizonte, mesmo utilizando

binóculos ou um telescópio.

A distância aproximada, em milhas, até o horizonte é dada pela fórmula d = 1,22 ,

em que representa a altitude em pés.

1. Faça o gráfico desta função, criando uma escala no eixo horizontal com valores de 0 a

35 000 e no eixo vertical com valores de 0 a 300.

Altitude (pés)0

��

�

�

Dis

tânc

ia d

o ho

rizon

te

(milh

as)

2. Informe as coordenadas de cinco pontos de referência do gráfico ___________________,

__________________, __________________, __________________ e __________________.

3. O que representa o ponto cuja coordenada é zero?

_______________________________________________________________________________

4. Use o gráfico para determinar a distância aproximada para a dezena mais próxima, entre o

horizonte e uma aeronave que voa a uma altitude de 30 000 pés.

________________________________________________________________________________

5. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma

aeronave cuja distância do horizonte é de 100 milhas.

_______________________________________________________________________________

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6. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma

aeronave cuja distância do horizonte é de 200 milhas.

_______________________________________________________________________________

7. Calcule, até a dezena mais próxima, a alteração da distância do horizonte conforme a

altitude do avião aumenta de 35 000 pés para 25 000 pés. Demonstre seu raciocínio.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

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Palavras-chave: Potência Base Expoente

Objetivos de aprendizagem: Simplifi car expressões

contendo expoentes negativos e zero. Simplifi car expressões

envolvendo produto e divisão de potências. Simplifi car expressões

envolvendo potência de potências. Simplifi car expressões

envolvendo potência de produtos e frações.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 1: Potências


1. Um ________________________ indica o número de vezes que a _____________ é utilizada

como fator.

2. Qualquer número real diferente de zero elevado a zero é igual a ______________.

3. a–n =______________, onde a 0 e n é um número inteiro.

4. Um número não nulo elevado a um expoente é igual ao _________________ desse número

elevado ao _________________ desse expoente.

5. No exemplo 1011 × 10², você pode multiplicar essas duas expressões porque os fatores

têm a mesma ______________.

6. Para qualquer número real não nulo a, ar × as = _____________, onde r e s são

_________________________________.

7. Para qualquer número real não nulo a, ar ÷ as = _____________, onde r e s são

_________________________________.

8. Para qualquer número real não nulo a, (ar)s = _______________, onde r e s são

_________________________________.

9. Para quaisquer números reais não nulos a e b, (ab)n = ___________, onde n é um

_________________________________.

10. Para quaisquer números reais não nulos a e b, ( ab

)n = __________, onde n é um

_________________________________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 1: Potências

1. Expresse cada número a seguir como uma potência com uma base formada

por um número primo.

a) 9 = _______________________ c) 35–1 = ______________________

b) 19

= _____________________ d) 13–2

= _______________________

2. 850 = ________________.

3. Aplique as propriedades das potências e simplifique as expressões a seguir:

a) b–3 × b8 = _________________ d) 33 × (32)–2 = _________________

b) –(c4) (3c–2)c = _____________ e) (2 3 4)5 = ___________________

c) 250

25–6 = _____________________ f)(5

2 )4 = ______________________

4. A tabela a seguir apresenta a distância aproximada, em quilômetros, entre o Sol e alguns

planetas do Sistema Solar. Complete a tabela utilizando notação científica.

Planeta Distância aproximada (km) Distância em notação científica

Mercúrio

Terra

Marte

Saturno

58 000 000

150 000 000

230 000 000

1 400 000 000

5. Um quilômetro é igual a 1 000 m ou 10³ m. Use notação científica para expressar a

distância, em metros, de Saturno ao Sol. __________________________________________

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Palavras-chave: Monômio Binômio Trinômio Polinômio Ordem decrescente Ordem crescente Inverso da adição

(oposto) de um polinômio

Objetivos de aprendizagem: Explorar as

defi nições relacionadas às expressões polinomiais. Organizar os termos

de um polinômio em ordem crescente e decrescente. Encontrar a soma e a

diferença entre dois ou mais polinômios.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 2: soManDo e subtrainDo PolinôMios


1. A área de um quadrado com lados de tamanho pode ser expressa como ____________.

2. Monômio em uma variável é um termo na forma ____________, onde a é um ___________

________________________, é uma _____________________ e n é um ________________

________________________.

3. _____________________ é um monômio ou uma soma fi nita de monômios.

4. A expressão ² + 2 + 1 é um ________________________________, porque é formada por

______________________________________________.

5. Quando os termos de um polinômio são organizados de forma que os expoentes da

variável diminuem da ________________ para a ________________, podemos dizer que o

polinômio está organizado em ___________________________________________________.

6. Quando os termos do polinômio são organizados de forma que os expoentes da

variável aumentam da ________________ para a ________________, podemos dizer que o

polinômio está organizado em ___________________________________________________.

7. Para determinar se a soma de dois polinômios está certa, substitua valor por um valor

____________________________. Se você _________________________ as expressões e o

resultado for uma _________________________, a soma está correta.

8. Por que ² e 2 não são termos semelhantes?

______________________________________________________________________________.

9. Complete cada quadro com um exemplo de cada tipo de expressão.

Monômio Binômio Trinômio

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 2: soManDo e subtrainDo PolinôMios

1. 2 –3 é um monômio? Explique sua resposta utilizando a definição de monômio.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2. Simplifique as expressões a seguir e, depois, indique se a expressão resultante é um

monômio, binômio ou trinômio.

a) –6 + 2 ² + 9 + – 3 = ________________________________________________________

b) 4s23 + 15s – 7s17 – 16s = _____________________________________________________

3. Some os polinômios a seguir e escreva cada soma em ordem decrescente.

a) (5 ² – 3 + 7) + (2 ³ + 5 ² + + 5) = ___________________________________________

b) (–3b4 + b² – b) + (b4 – b² + 4) = ________________________________________________

c) (9c² + 3c – 2) + (7c³ – 3c² – 3c) = ______________________________________________

4. Subtraia os polinômios a seguir e escreva cada diferença em ordem crescente.

a) (7a³ – a) – (–4a³ + 2a) = ______________________________________________________

b) (8 ³ – 2 ² + 1) – (4 ² + – 2) = ________________________________________________

c) (b² + b – 4) – (b³ – 2b² – 4) = __________________________________________________

5. O painel central de uma janela com três partes tem sua área representada pelo trinômio

2n² + 5n + 3. Cada painel lateral tem área representada pelo binômio n² + 2n.

a) Qual é a área total dos dois painéis laterais em termos de n?_______________________

b) Qual é a área do painel central mais a área de um painel lateral em termos de n?

______________________________

c) Qual é a área total dos três painéis da janela em termos de n? _____________________

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Palavras-chave: Produto Fator Binômio Trinômio Trinômio quadrado

perfeito

Objetivos de aprendizagem: Usar um modelo

de área para representar o produto entre dois binômios. Usar a propriedade

distributiva para determinar o produto de dois polinômios. Reconhecer o

quadrado de um binômio como um trinômio quadrado perfeito. Reconhecer o

produto da soma pela diferença de dois monômios como uma diferença entre dois quadrados.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 3: MultiPlicanDo PolinôMios


1. A largura da parte frontal de um folheto é representada pelo binômio _________________.

2. Para a parte frontal do folheto, a expressão que demonstra a aplicação da propriedade

distributiva a (n + 10) (n + 1) é _____________________.

3. O resultado da multiplicação de dois binômios é a __________________________________

dos quatro ____________________.

4. Para verifi car se um produto está certo, _____________________ a variável por um valor e

veja se o resultado é uma _____________________.

5. Para todos os números reais a e b, (a + b)² = ______________________________________.

6. Para todos os números reais a e b, (a – b)² é igual ao trinômio _______________________.

7. Para todos os números reais a e b, (a + b)(a – b) = _________________________________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 3: MultiPlicanDo PolinôMios

1. Expresse a área de cada retângulo deste diagrama como o produto de seu comprimento

por sua largura e como um trinômio em termos de n.

B

A

D F H

n + 2

n + 8

n n -- 1

C E G

a) Retângulo ABDC _____________________=______________________

b) Retângulo CDFE ___________________ ___=______________________

c) Retângulo EFHG ______________________=______________________

d) Retângulo ABHG ______________________=______________________

2. Multiplique (n + 3)(4n – 2) aplicando a propriedade distributiva e, depois, simplifique.

3. Determine o quadrado dos binômios a seguir. Verifique se suas respostas estão certas

substituindo a variável por –2.

a) (3b + 2)²

b) (5 + 3)²

4. ( + 4)( – 4) = ___________________________.

5. O comprimento de uma metade de um cartão comemorativo é n, e sua largura é n + 8.

Se esse cartão tem duas metades iguais, qual é sua área em termos de n? Explique

como chegou a essa resposta. ___________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios

1. Quais das expressões a seguir são equivalentes a 14–2

? Circule a(s) resposta(s).

a) 4–2 b) 4² c) 16 d) 18

2. Simplifique as expressões a seguir.

a) –(8a–6) (4a9) = ____________________________

b) 15r3r–5

= ___________________________________

c) 45 × (4³)–3 = ______________________________

d) (–2 0 ³)4 = _______________________________

e) (2sn+2)³ = _________________________________

f) (4r7s

)³ = ___________________________________

3. Um ácaro adulto pode medir 0,038 mm. Expresse esse número em notação científica.

_______________________________________________________________________________

4. Os trinômios a seguir representam as áreas de três tapetes retangulares.

A: 4n² + 11n – 3 B: 3n² – n – 2 C: 2n² + 14n + 12

a) Que polinômio representa a área de piso coberta pelos tapetes A e B?

_______________________________________________________________________________

b) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete C em relação ao tapete A?

_______________________________________________________________________________

c) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete B em relação ao tapete C?

_______________________________________________________________________________

d) Que polinômio representa a área do piso coberta pelos três tapetes?

_______________________________________________________________________________

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5. Multiplique os binômios (2n + 3)(3n – 4) aplicando a propriedade distributiva nos

primeiros termos, nos extremos, nos intermos e nos últimos.

6. Qual é o produto de ( – 5 ) ( + 5)? Circule a resposta.

a) ² + 10 – 25 c) ² + 25

b) ² –10 – 25 d) ² – 25

7. Verifique se a resposta que você escolheu na questão 6 está correta, considerando = 3.

Demonstre seu raciocínio.

8. O diagrama a seguir representa um jardim retangular com uma fonte retangular no centro.

Complete as sentenças expressando as respostas em termos de n.

n – 1

3n + 1

n

2

2

nn + 4

a) O binômio _______________________________ representa a área da fonte.

b) O trinômio _______________________________ representa a área total necessária para

colocar as flores e a fonte.

c) O trinômio _______________________________ representa a área onde as flores podem

ser plantadas.

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Área

Uma empresa pretende construir um novo shopping center que ocupará uma área retangular,

com um pátio interno destinado ao lazer dos clientes. Três lojas de departamentos já se

interessaram em alugar espaço no shopping. Faça o projeto para este shopping com base nas

especificações a seguir.

O comprimento do shopping é três vezes sua largura.

A área mínima que pode ser ocupada pelo shopping é de 30 000 m2.

A área máxima que pode ser ocupada pelo shopping é de 120 000 m2.

A maior loja chama-se Moda Tropical.

As outras duas lojas de departamentos têm a mesma área, porém, com dimensões

diferentes, e são menores que a loja Moda Tropical.

A área do átrio retangular é igual à metade da área da loja Moda Tropical.

O shopping precisa ter, no mínimo, 6 lojas para cobrir os custos de construção.

O número máximo de lojas no shopping é 10.

1. Complete o diagrama a seguir com seu projeto para o shopping.

Pátio central

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2. Utilizando a variável , escreva as expressões algébricas para cada dimensão e área a seguir.

a) Moda Tropical:

Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________

b) Loja de departamentos 1


c) Loja de departamentos 2


d) Comprimento do átrio


e) Outras lojas do shopping:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3. Qual será a área do shopping dentro dos limites estabelecidos? ______________________

4. Com base na área, quais são as dimensões do shopping?

Comprimento: ________________ Largura: _______________

5. O custo do metro quadrado de construção das lojas e do átrio é de R$ 50,00.

a) Qual será o custo para construir o shopping que você projetou? _____________________

b) Se o orçamento inicial da construção é de R$ 5.000.000,00, será possível construir o

shopping que você projetou? _____________________________________________________

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Palavras-chave: Fator Número primo Número composto Máximo divisor

comum Grau de um monômio Grau de um polinômio Polinômio primo Fator comum Teorema fundamental

da Aritmética

Objetivos de aprendizagem: Identifi car diferenças

entre números primos e compostos. Identifi car o máximo

divisor comum de dois ou mais monômios. Fatorar um polinômio

para encontrar o máximo divisor comum. Fatorar um polinômio

para encontrar um binômio em comum.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 1: encontranDo fatores coMuns


1. Números primos são ____________________________________________ com apenas dois

fatores: __________________ e __________________.

2. Por que 1 não é número primo?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3. Um número inteiro positivo que não é primo nem igual a 1 é um ______________________

__________________________.

4. Para determinar o máximo divisor comum de dois números, encontre os _______________

__________________________ que eles têm em comum e calcule o ____________________

desses números.

5. Para determinar o máximo divisor comum de dois monômios de mesma base, __________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________.

6. O expoente da variável de um monômio em uma variável é o _____________ do monômio.

7. Qual é o máximo divisor comum de 24n³ e 60n²? _____________

8. Fatorar um polinômio signifi ca expressá-lo como o __________________________________

______________________________________________________________________________.

9. O grau de um polinômio é o ______________________ grau dos _______________________

que fazem parte dele.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 1: encontranDo fatores coMuns

1. Escreva a fatoração de cada monômio a seguir:

a) 60 = _________________________ ______ ou ____________________________

b) 155 = ____________________________________________________________

c) 144n² = ____________________________ ou ____________________________

2. Determine o máximo divisor comum de cada conjunto de monômios a seguir:

a) 72 4, 40 3: ____________________________

b) 4a5, –12a4, 28a³: _______________________

3. Considere o polinômio 6 ² + 3 .

a) Desenhe ou use figuras algébricas como e ², como as exibidas abaixo, para fazer

uma representação geométrica da área retangular expressa por esse polinômio.

2

b) Use seu desenho para expressar esse polinômio como produto de dois polinômios.

_____________________________________________________________________________

c) Verifique se o produto dos dois fatores representa 6 ² + 3 substituindo por 4.

4. Fatore completamente os polinômios a seguir.

a) 12n³ + 20n __________________________________________________

b) 72 4 +40 ³ ___________________________________________________

c) ² + 2 + 5 + 10 _____________________________________________

d) 3m² + 21m + 6m + 42 ________________________________________

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Palavras-chave: Binômio Trinômio Termo do 20 grau Termo linear Termo constante Forma padrão de uma

expressão do 20 grau

Objetivos de aprendizagem: Fatorar um trinômio

do 20 grau da forma 1 ² + b + c, em que c > 0. Fatorar um trinômio

do 20 grau da forma 1 ² + b + c, em que c < 0. Fatorar um

trinômio do 20 grau da forma a ² + b + c, em que a 1.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 2: fatoranDo trinôMios Do 20 grau


1. Ao fatorar o trinômio ² + 10 + 24, você está procurando um par de fatores numéricos

cujo produto é _____ e cuja soma é ______.

2. Quais são os binômios para ² + 10 + 24? ______________________________________

3. Um monômio cujo grau é 2 é chamado __________________________________________.

4. ____________________________ é um monômio cujo grau é 1.

5. ____________________________ é outro nome para o monômio cujo grau é 0.

6. A expressão do 20 grau ² + 10 + 24 está escrita na forma geral?

Explique sua resposta. ________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

7. Se a constante em polinômios do 20 grau que pode ser fatorada é negativa, então os

sinais das constantes dos binômios são _______________________.

8. Quais são os binômios de ² + 7 – 12? _________________________________________

9. Represente a expressão 2r² + 7r + 6 como o produto de dois binômios.

_____________________________________________________________________________

10. Represente a expressão 6n² + 11n – 10 como o produto de dois binômios.

_____________________________________________________________________________

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 2: fatoranDo trinôMios Do 20 grau

1. Considere o trinômio 2g² + 9g + 10.

a) Desenhe ou use figuras algébricas para completar um retângulo

cuja área é 2g² + 9g + 10.

g2g

1

b) Use o modelo para expressar o trinômio como o produto de dois binômios

_____________________________________________________________________________

c) Verifique seus fatores substituindo g por 2 nos fatores e no polinômio original.

2. Dado o trinômio 5s + s² + 1:

a) escreva a expressão do 20 grau na ordem decrescente; __________________________

b) identifique o termo do 20 grau; ________________________________________________

c) identifique o termo linear; ____________________________________________________

d) identifique o termo constante. ________________________________________________

3. Fatore completamente cada polinômio abaixo.

a) ² + 5 + 6 ________________________________________________________________

b) d² – 4d – 32 _______________________________________________________________

c) 2p² + 7p + 3 _______________________________________________________________

d) 3 ² – 7 + 4 _______________________________________________________________

e) 3f² + 3f + 18 _______________________________________________________________

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Palavras-chave: Trinômio quadrado

perfeito Termo do 20 grau Termo linear Termo constante Polinômio do 30 grau

Objetivos de aprendizagem: Reconhecer e fatorar

um trinômio quadrado perfeito: a² + 2ab + b². Reconhecer e fatorar

a diferença entre dois quadrados: a² – b². Fatorar completamente

um polinômio dado.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 3: casos esPeciais


1. Se um trinômio está na forma a² + 2ab + b², então é um quadrado perfeito e é igual a

__________________.

2. O polinômio a² – b² é conhecido como _________________ entre ____________________.

3. Quais são os binômios de 4 ² – 9? ______________________________________________

4. Se a e b são números reais,

a² – b² = _____________________________________________________________________

5. Fatore 25k² – 144.

_____________________________________________________________________________

6. O polinômio 4 – 64 é um exemplo da diferença entre dois quadrados?

Explique sua resposta.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

7. Fatore completamente 4 – 64. _________________________________________________

8. Um polinômio que não pode ser fatorado é __________________.

9. Para fatorar um polinômio, você deve:

a) primeiro, verifi car quais são os ___________________________ e aplicar a propriedade

________________________ para simplifi car a expressão;

b) depois, procurar no polinômio restante algum padrão como um ___________________

_______________________________ou uma ______________________________________.

10. Se a e b são números reais e não têm fatores comuns, então a² + b² é um __________

_________________________________________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 3: casos esPeciais

1. Complete a tabela a seguir.

Forma fatorada Trinômio Caso especialx2 + 18x + 81

x2 --- 6x + 9

x2 -- 25

x2 -- ________

x2 + 81

4x2 -- 80x + 400

(2 +10)2

( +7) (__________) Diferença de dois quadrados

Soma de dois quadrados

2. O que significa “quadrado da diferença” e “diferença entre dois quadrados”?

Dê um exemplo de cada.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

3. Use a substituição numérica para verificar se os exemplos que você deu na questão a

são equivalentes.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios

1. Na primeira etapa de sua técnica para identificar números primos, Eratóstenes

eliminava todos os números maiores que 2 múltiplos de 2. Descreva as outras etapas

que ele utilizava para identificar os outros números primos menores que 100.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Fatore o número 24 em seus fatores primos. _____________________________________

ou ___________________________________________

3. a) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número composto

_________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________.

b) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número primo.

_________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________.

4. Qual é o máximo divisor comum de b4 e b7? ______________________________________

5. Escreva o máximo divisor comum de cada termo abaixo.

Termos Máximo divisor comum16, 24

64m, 32m, 96m

42x2, 18x3

6. Use o conjunto de figuras algébricas

exibido à direita para fazer esta atividade.

a) Escreva uma identidade mostrando

que o produto de dois binômios é igual a

um trinômio.

_______________________________________

______________________________________

b) Verifique sua resposta utilizando a

substituição numérica.

1

1

1

1

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7. Fatore:

a) g² – 10g + 2g – 20 ______________ ____________________________________________

b) k² + 12k + 36 ______________________________________________________________

c) p² – 6p – 16 _______________________________________________________________

d) 4 ² + 16 + 15 _____________________________________________________________

e) ² + 64 ___________________________________________________________________

f) 16a² – 25 __________________________________________________________________

8. Um fábrica produz porta-retratos retangulares de vários tamanhos. A borda de um

porta-retrato padrão mede 2 cm. As expressões a seguir representam as dimensões em

centímetros de quatro fotos retangulares. Determine a expressão fatorada para a área

da borda em torno de cada foto.

a) p por p ____________________________ c) d por 2d ___________________________

b) h por 12 ___________________________ d) ² por ² – 12 _____________________ _

� �

2cm

2cm � �2cm

2cm

�

�

�

�

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Plantas baixas

O proprietário de uma casa quer acarpetar uma sala quadrada cujas dimensões são s

metros por s metros. Em dois lados adjacentes dessa sala, ele quer colocar 2 m de lajotas

em vez de carpete.

1. Utilizando c para representar o comprimento do carpete em metros, desenhe a

planta baixa dessa sala. Identifique as partes que serão acarpetadas e as partes que

serão cobertas por lajotas.

2. Identifique seu desenho em termos de c e s.

3. Use esses desenhos para ajudá-lo a escrever um polinômio que represente a área

total da região quadrada a ser acarpetada e revestida com lajotas. A seguir, escreva o

polinômio também na forma fatorada.

Polinômio: ___________________________________________________________________

Forma fatorada: _______________________________________________________________

4. Suponha que o proprietário quer a mesma distribuição de carpete, mas com n metros

de lajotas em vez de 2 m.

a) No espaço acima, represente a nova planta baixa e identifique todas as partes em

termos de c e n.

b) Escreva um polinômio que represente a nova área da região revestida de lajotas e da

região acarpetada e, depois, escreva-o também na forma fatorada.

Polinômio: ___________________________________________________________________

Forma fatorada: _______________________________________________________________

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5. Que caso especial de polinômio é representado quando a largura de área revestida

por lajotas é igual nas duas paredes?

_____________________________________________________________________________

6. Desenhe um exemplo de um piso retangular com carpete e lajotas cuja área total é

igual ao produto de dois binômios.

7. Represente a área total do piso, incluindo carpete e lajotas, como um polinômio e,

a seguir, na forma fatorada.

Polinômio: ____________________________________________________________________

Forma fatorada: _______________________________________________________________

8. Qual é a vantagem de fatorar um polinômio que representa a área de um piso

retangular? ___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

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Palavras-chave: Função quadrática Parábola Função parabólica Valor mínimo de

uma parábola Valor máximo de

uma parábola Simetria/Eixo de

simetria Vértice de uma

parábola Função par

Objetivos de aprendizagem: Reconhecer que o

gráfi co de uma equação do 20 grau = a ² é uma função. Identifi car o domínio

e a imagem da função = a ². Descrever os efeitos

do coefi ciente a sobre uma curva do gráfi co de uma função na forma = a ². Determinar o valor

mínimo e o valor máximo da função quadrática na forma = a ². Determinar a equação

do eixo de simetria da função quadrática na forma = a ². Determinar as

coordenadas do vértice da função quadrática na forma = a ².

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 1: traçanDo Parábolas


1. O que é uma função quadrática? ________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Na função = a ², o ___________________________ pode ser qualquer número real e o

____________________________ tem que ser maior ou igual a zero.

3. Quando o coefi ciente a em = a ² é positivo, a parábola tem concavidade

____________________________.

4. Quando o coefi ciente a em = a ² é negativo, a parábola tem concavidade

____________________________.

5. Qual é o valor mínimo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor

de a for positivo?

_____________________________________________________________________________

6. Qual é o valor máximo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor

de a for negativo?

_____________________________________________________________________________

7. ____________________________ é uma reta que divide uma fi gura de forma que, quando

dobrada, os dois lados da fi gura coincidem.

8. Qual é a equação do eixo de simetria para uma parábola cuja equação está na forma

= a ²? ____________________________

9. A intersecção de uma parábola com seu eixo de simetria é chamada

____________________________ da parábola.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 1: traçanDo Parábolas

1. Qual(is) da(s) equação(ões) a seguir representam funções parabólicas?

Circule a(s) resposta(s).

a) = 3 2 b) = 2 c) d = 16 2

2. Determine se as parábolas representadas pelas equações a seguir têm concavidade

para cima ou para baixo.

a) = –8 ² __________ b) d = 6t² __________ c) a = 25b² __________

3. a) Quais das parábolas da questão anterior têm um mínimo? _______________________

b) Quais das parábolas da questão anterior têm um máximo?_______________________

c) Qual das parábolas da questão anterior é mais fechada? _________________________

4. Construa um gráfico da função = 2 ² e responda as questões a seguir.

a) Qual é o domínio e a imagem desta função?

______________________________________________________________________________

b) Qual é a equação do eixo de simetria?

______________________________________________________________________________

c) Quais são as coordenadas do vértice desta parábola?

______________________________________________________________________________

d) A parábola tem concavidade para cima ou para baixo?

______________________________________________________________________________

e) Qual é o mínimo ou o máximo da parábola?

______________________________________________________________________________

�

�

5

–3 –2 –1 0 1 2 3

10

15

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Palavras-chave: Função quadrática Parábola Valor mínimo de

uma parábola. Valor máximo de

uma parábola. Simetria/Eixo de

simetria. Vértice de uma

parábola. Forma reduzida de uma

equação do 20 grau. Forma incompleta de

uma equação do 20 grau em duas variáveis.

Objetivos de aprendizagem: Examinar as

propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + c, em que c 0. Reconhecer que a

constante c em uma função quadrática na forma = a ² + b + c é o ponto de intersecção em de uma parábola. Examinar as

propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + b . Examinar as

propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + b + c, em que b 0, c 0.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 2: investiganDo as ProPrieDaDes Das Parábolas


1. O que a constante 1000 na equação = – 4,9 ² + 1000 representa?

_____________________________________________________________________________

2. A parábola defi nida pela equação do 20 grau = – 4,9 ² + 1000 tem concavidade

________________ e tem um ________________ cuja coordenada é ________________.

3. A forma reduzida de uma função quadrática em duas variáveis é = a ² + b + c, onde

a 0, e a, b e c são ______________________.

4. A equação h = – 4,9t2 + vt é uma equação do 20 grau _____________________ em duas

variáveis porque a constante c é igual a ______________________.

5. Para determinar o máximo da parábola h = – 4,9t² + 44,1t, primeiro determine o

_____________________________ entre os pontos de intersecção da parábola com a

horizontal, depois substitua t por esse valor na equação para determinar o valor da

_____________________________.

6. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t é ___________________.

7. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t ocorre quando

t = _________.

8. Se b = 0, então o gráfi co de = a ² + c é uma ________________________ cujo eixo de

simetria é o _________________________ e cujo _________________________ é (0, c).

9. Se c = 0, o gráfi co de = a ² + b tem uma intersecção em e duas _______________

___________________________, uma das quais é sempre ________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 2: investiganDo as ProPrieDaDes Das Parábolas

1. Qual é a intersecção em cada parábola a seguir?

a) = 3 ² – 8 – 5 ____________

b) h = 4,9t² + 16t ___________ __

c) d = –4,9t² + 67 ____________

2. Quais dessas equações representam parábolas que têm = 0 como eixo de simetria?

Circule-as.

a) = –8 ² + 2 + 16 c) d = 24,9 t² + 125

b) h = 4,9 t² d) h = 4,9 t² + 2t

3. Use os eixos à direita para

desenhar uma parábola com

as seguintes propriedades:

com concavidade para cima,

com eixo de simetria cuja

equação é = –2 e com um

valor mínimo de –3.

4. Qual é o vértice de uma parábola que tem concavidade para baixo se a equação de seu

eixo de simetria é = 8 e seu máximo é 15? _____________________________________

5. Uma pedra é lançada de um penhasco. A distância entre a pedra e o solo em qualquer

momento t pode ser calculada utilizando d = – 4,9t2 + 400.

a) Qual é o máximo da parábola representada pela equação d = – 4,9 t2 + 400? _______.

b) O que o máximo representa?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

�x

�

�

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2-3-4-5-6-7-8-9

y

�

-10

-3

9

7

5

3

1

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Palavras-chave: Função quadrática Trajetória Forma reduzida de

uma equação do 20 grau em uma variável Intersecção em

de um gráfi co Solução de uma

equação do 20 grau em uma variável Raiz de uma equação

Objetivos de aprendizagem: Analisar uma

parábola na forma = a 2 + b + c com duas intersecções no eixo , e perceber que a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, tem duas soluções reais. Descobrir que as

equações do 20 grau têm, no máximo, duas soluções reais. Analisar uma parábola

com apenas uma intersecção no eixo e perceber que a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, tem uma solução real. Perceber que, se

uma parábola não tem intersecção com o eixo , a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, não tem solução real.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 3: resolvenDo eQuações Do 20 grau Por Meio De gráFicos


1. Somar a constante – 6 no lado direito da equação h = –0,036d² + 1,29d não afeta o

termo ___________________ e o termo ___________________ da equação; apenas altera

a intersecção vertical do gráfi co de ________ para ________.

2. O eixo de simetria intersecta a parábola no seu ___________________.

3. A _________________ ou ________________ de uma equação é um número que, quando

colocado no lugar da variável, satisfaz a equação.

4. As ___________________________________________ de uma função são as soluções da

equação correspondente quando o valor da ordenada é igual a zero.

5. Qual é o máximo da parábola cuja equação é h = – 0,036d² + 1,29d – 6, arredondado

para o décimo mais próximo? ________

6. Se uma função quadrática tem duas intersecções em , a equação do 20 grau

correspondente quando a ordenada é zero tem duas ______________________________.

7. Se uma função quadrática tem apenas uma intersecção em , a

equação do 20 grau correspondente quando a ordenada é zero tem exatamente uma

___________________________________.

8. Se uma função quadrática não tem __________________________, a equação do 20 grau

correspondente quando a ordenada é zero não tem solução real.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 3: resolvenDo eQuações Do 20 grau Por Meio De gráFicos

1. Um jogador de golfe arremessa uma bola, que atinge o chão a uma distância

horizontal de 7,6 m de onde foi arremessada. Sua trajetória pode ser representada pela

equação h = – 0,06d² + 1,3d + 5, onde h é a altura da bola em cada instante e d é a

distância horizontal de onde ela foi arremessada.

a) A que altura do solo estava a bola

quando foi arremessada? ____________

b) Qual a altura máxima alcançada

por ela?____________________________

c) Faça o gráfico da parábola cuja

equação é h = –0,06d² + 1,3d + 5.

Qual parte deste gráfico corresponde à

trajetória da bola? (Dica: Lembre-se que

a distância, d, é sempre não negativa.)

___________________________________

2. Analise as equações da tabela para determinar se a parábola correspondente a cada

equação tem uma, nenhuma ou duas intersecções horizontais; se tem concavidade

para cima ou para baixo; e se tem um valor máximo ou mínimo.

�d

�

�

�10 �5�5

5 10 15 20 25

h �

20

25

15

10

5

Equação Raízes Concavidade Max./Mín.h = 0,5d2 + 1y = –3 2 + 6

= 4 2 + 4 – 35d = –1,9t2

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções

1. Dada a equação = 3 ² + 5x – 7.

a) Qual é o termo do 20 grau? __________________

b) Qual é o termo linear? ______________________

c) Qual é o termo constante? ___________________

d) Como você sabe se a equação representa uma parábola? ________________________

e) Qual parâmetro da equação do 20 grau determina a abertura da parábola?

_____________________________________________________________________________

f) Qual parâmetro da equação determina se a parábola correspondente tem

concavidade para cima ou para baixo? ___________________________________________

_____________________________________________________________________________

g) Qual parâmetro da equação é a intersecção em da parábola?

_______________________

2. Determine se as parábolas que correspondem a cada equação têm um valor

mínimo ou máximo.

a) h = –4,9t²__________________________________

b) = 5 ² – 2x – 4 ____________________________

c) h = 0,5d² + 1,2d + 2 ________________________

3. Combine cada parábola a seguir com a equação correspondente: = ² – 1, = – ² + 1.

a) b)

��

x

y

�

�2�1 1 2 3 40

12345

–5–4–3–2–1

�

��

x

y

�

�2�1 1 2 3 40

12345

–5–4–3–2–1

�

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4. Analise as equações destas parábolas para determinar o número de soluções reais das

equações do 20 grau correspondentes.

a) d = 2t2 + 6t ________________________________

b) = 5 ² + 17_______________________________

c) h = 4,9t² + 5t – 6____________________________

d) = ² _____________________________________

Um carro acelera em uma estrada. Se a aceleração for constante, a distância

percorrida por ele depois de qualquer intervalo de tempo pode ser calculada utilizando

a equação d = 2t²+ vt, onde t é o tempo em segundos, v é a velocidade inicial, em metros

por segundo, e d é a distância em metros.

5. Faça o gráfico da função

d = 2t² + 4t, com t no eixo

horizontal e d no eixo vertical.

6. Suponha que um carro

percorre uma estrada com

uma velocidade inicial

de 4 m/s e acelera por

5 segundos. Qual é o domínio

da função que representa

o movimento do carro

durante este período?

________________________

________________________

7. Qual é a imagem da função

no intervalo de 5 segundos?

_________________________


�–10

–10

–5 0

10

5

15

20

25

30

35

40

45

50

–5

–10

5 10

�

d

t

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Movimento uniformemente acelerado

1. Dois alunos estão estudando o movimento de objetos em queda. Um aluno solta

uma bola do alto de um prédio, a 50 m do solo. O outro joga uma bola do alto do

mesmo prédio. A bola que foi jogada tem velocidade inicial vertical de 10 m/s.

As tabelas abaixo apresentam as alturas h1 e h2 de cada bola, b1 e b2, em vários

momentos t, medidos em segundos.

a) Marque, neste par de eixos, os pontos que estão na trajetória de cada bola.

b) Desenhe e nomeie uma curva com cada conjunto de pontos para representar

a trajetória de cada bola.

c) Qual bola passou mais tempo no ar? Explique.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

b t h

0 50

1 45,1

1,5 39

2 30,4

2,5 19,4

3 5,9

3,2 0

1

1 b t h

0 50

1 55,1

1,5 54

2 50,4

2,5 44,4

3 35,9

3,2 0

2

2

Tempo (s)

� �

�

�

1 2 3 4

t

h

Dis

tânc

ia (

m)

50

40

30

20

10

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d) Use o gráfico e calcule a altura máxima alcançada por b2. _______________________

e) Depois de quantos segundos b2 atingiu a altura máxima? ________________________

f) Qual foi a altura máxima de b1? ______________________________________________

2. As equações das parábolas que representam a trajetória de cada bola são:

h1= – 4,9t² + 50 e h2 = – 4,9t² + 10t + 50.

a) O que representa o coeficiente do termo linear na equação de h2?

_____________________________________________________________________________

b) O que representa a constante em cada equação? _______________________________

c) Qual é a velocidade inicial de b1?_____________________________________________

3. A fórmula para determinar a distância horizontal percorrida por um objeto é d = vt,

onde d é a distância, v é a velocidade horizontal do objeto e t é o tempo. Supondo que

a bola b2 tenha sido lançada com uma velocidade horizontal de 5 m/s, a quantos

metros da base do prédio cada bola caiu ao atingir o solo?

b1: _____________________ b2:_____________________

4. Use a fórmula da questão anterior e complete a tabela para calcular a distância

horizontal entre b2, ao atingir o solo, e a base do prédio. Usando os eixos a seguir,

marque os pontos e desenhe o gráfico de d = vt.

5. O que a forma do gráfico nos diz sobre o movimento da bola? ______________________

_____________________________________________________________________________

Tempo (s)

� �

�

�

1 2 3 4

t

d

Dis

tânc

ia (

m)

25

20

15

10

5

0

bt

0

1,0

2,0

3,0

4,0

4,4

2

d2

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 1: Fatoração e teoreMa Do ProDuto nulo


1. Segundo o __________________________________________ , se a e b são números reais

e ab = 0, então a = 0 ou b = 0.

2. Em uma equação onde o produto de dois binômios é igual a zero, como em

0 = (0,4 + 2) (0,4 – 2), há ______________________ valores possíveis para a variável .

3. Se uma equação do 20 grau em uma variável, , tem duas raízes, o gráfi co da equação

em duas variáveis tem duas ___________________________________________________ .

4. Uma vez que você saiba os valores das intersecções em , é possível determinar

o ____________________________________e o _________________________da parábola.

5. Se 0 = ( + 20), então = __________________ ou + 20 = _____________________ .

6. Como o gráfi co da função = ( ² + 20 ) representa a área, , da coroa circular em

função de sua largura, , faz sentido selecionar pontos no quadrante ________________ .

7. Se + 22 = 0 ou – 2 = 0, então = _________________ ou = ___________________ .

8. Se a fatoração de uma equação do 20 grau na forma a ² + b + c = 0 é igual ao quadrado

de um binômio linear, então essa equação tem ____________________________________.

9. As soluções reais da equação do 20 grau a ² + b + c = 0 são as ______________________

da ___________________________________ correspondente = a ² + b + c.

Palavras-chave: Teorema do

produto nulo Raiz dupla de uma

equação do 20 grau

Objetivos de aprendizagem: Identifi car que a solução de uma equação do 20 grau está na intersecção em da função correspondente.

Resolver fatorando pela diferença entre dois quadrados, uma equação do 20 grau completa em uma variável.

Resolver, por fatoração, uma equação do 20 grau completa em uma variável.

Resolver fatorando, por um trinômio quadrado perfeito, uma equação do 20 grau completa em uma variável.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 1: Fatoração e teoreMa Do ProDuto nulo

1. A função quadrática = 0,25 ² – 4 é

representada pela parábola ao lado.

a) Com base no gráfico, quantas intersecções

em a parábola tem? _______________________

b) Resolva a equação do 20 grau algebricamente

com = 0. Demonstre seu raciocínio.

2. Fatore a expressão ² + 4 .

__________________________________________

3. Use a equação = – 3 ² + 6 , para responder as

questões a seguir.

a) Quais são as intersecções em da parábola

correspondente? __________________________________

b) Quais são as coordenadas do vértice da parábola?

_________________________________________________

c) Usando essa informação, faça o gráfico da parábola.

4. Uma parábola é definida pela equação do 20 grau = 36 ² + 24 + 4.

a) Fatore 36 ² + 24 + 4. _____________________________________________________

b) Qual é o valor de quando = 0? ___________________________________________

c) Quantas intersecções em a parábola correspondente tem? ____________________

�5�6 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6�1

�2

�3

�4

�5

5

4

3

2

1

�

�

�

�

�3 �2 �1 1 2 3 4 5

–20

–25

–30

10

5

0–5

–10

–15

�

�

�

�

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 2: a ProPrieDaDe Da raiz QuaDraDa e o MétoDo De coMPletar QuaDraDos


1. Segundo a __________________________________________________________ , se n² = k,

então n = k para qualquer número real k, onde k ≥ 0.

2. A propriedade dos números opostos estabelece que para qualquer número real a,

____________________________________ e ______________________________________ .

3. Os dois números 65

e – 65

são opostos, porque sua ______________________ é zero.

4. Uma forma de calcular em uma equação como ² + 10 = 39 é somar um

número nos dois lados da equação para obter um _________________________________

_______________________________no lado esquerdo.

5. Se ( + 5)² = 64, então = _______________________ ou = ______________________ .

6. Qual constante deve ser somada a cada lado da equação –1 = ² – 4 para que o lado

direito se torne um trinômio quadrado perfeito? ______________.

7. A equação – 2 = 3 signifi ca que ___________________ ou ______________________ .

8. Para determinar as raízes de uma equação do 20 grau na forma = a ² + c quando

= 0, você pode aplicar a ____________________________________________________ .

9. Para resolver uma equação do 20 grau na forma a ² + b + c = 0, onde a = 1 e b e c

são números racionais, use o método de ________________________________________ .

10. Se a expressão do 20 grau na equação original é prima, as soluções reais serão __________

_______________________________.

______________________________________ .

é zero.

número nos dois lados da equação para obter um _________________________________

______________________ .

______________________ .

____________________________________________________ .

Palavras-chave: Propriedade da raiz

quadrada Método de completar

o quadrado Símbolo Propriedade do

elemento neutro da soma Propriedade dos

números opostos

Objetivos de aprendizagem: Encontrar as raízes reais de uma equação do 20 grau usando a propriedade da raiz quadrada.

Encontrar as raízes racionais de uma equação do 20 grau usando o método de completar o quadrado.

Encontrar as raízes irracionais de uma equação do 20 grau usando o método de completar o quadrado.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 2: a ProPrieDaDe Da raiz QuaDraDa e o MétoDo De coMPletar QuaDraDos

1. Quantas soluções reais existem para a equação do 20 grau 2 = 9?

_____________________________________________________________________________

2. Determine as raízes das equações a seguir aplicando a propriedade da raiz quadrada.

a) 2 2 – 18 = 0 _________________

b) 15 2 – 15 = 0 ________________

c) 13 2 – 52 = 0 ________________

3. Que termo deve ser adicionado à expressão 2 + 2b para torná-la um trinômio

quadrado perfeito? ____________________________________________________________

4. Que termo deve ser adicionado a cada expressão a seguir para que o resultado seja um

trinômio quadrado perfeito?

a) 2 + 12 : ____________________

b) 2 + 20 : ____________________

c) 2 + 3 : ________________<<<______

5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2 + 4 – 5 = 0.


Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2 – 10 + 18 = 0.


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VamosregistrarVamos

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 2o grau – seQuência 3: FórMula Para resolver eQuações Do 2o grau: a FórMula De bhaskara


1. A fórmula de Bhaskara declara que as soluções de a ² + b + c = 0, onde a, b e c são

números reais e a 0 são: ________________________

2. Na equação do 20 grau 2 ² + 8 – 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________.

3. Expresse na forma radical fatorada. ____________________________________________

4. Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola

correspondente não tem intersecções em , então ela não tem ______________________

_________________________ .

5. O discriminante na fórmula de Bhaskara é a expressão ___________________________.

6. Na fórmula de Bhaskara, o discriminante é o ____________________________________.

7. Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________.

8. Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________

___________________________________.

9. Se o discriminante for positivo, a equação tem ____________________________________

___________________________________.

– 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________.

____________________________________________

Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola

, então ela não tem ______________________

___________________________.

____________________________________.

Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________.

Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________

Palavras-chave: Fórmula de Bhaskara Discriminante

Objetivos de aprendizagem: Reconhecer os passos para a demonstração da fórmula de Baskhara e interpretar seus signifi cados.

Encontrar as raízes reais de uma equação do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.

Usar a fórmula de Bhaskara para identifi car se uma equação do 2o grau não tem raízes reais.

Usar o discriminante para identifi car a natureza das raízes de uma equação do 2o grau em uma variável.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 3: FórMula Para resolver eQuações Do 2o grau: a FórMula De bhaskara

1. Escreva o método, a propriedade ou o teorema utilizado para passar de uma etapa para

outra em cada uma das equações a seguir.

a) ² = 8; = 8 ___________________________________________________________

b) ² + 6 = 5; ² + 6 + 9 = 5 + 9 ____________________________________________

c) ( + 3) = 0; = 0 ou + 3 = 0 ____________________________________________

2. Na equação fg² + hg + j = 0, g é a variável e f, h e j são números reais. Use a fórmula

de Bhaskara e expresse o valor de g em termos de f, h e j.

_____________________________________________________________________________

3. Para se aplicar a fórmula de Bhaskara, a equação precisa estar na forma a ² + b + c = 0.

Use as propriedades de igualdade para escrever cada uma das equações a seguir nessa

forma e identificar os valores de a, b e c.

a) ² + 12 = 18 ________________________________

a = ____________ b = ____________ c = ____________

b) 3 ² + 51 = 2 _______________________________

a = ____________ b = ____________ c = ____________

c) 2 – 27 = 8 ² ________________________________

a = ____________ b = ____________ c = ____________

d) + + 2 ² – 2 = –3 + ² ______________________

a = ____________ b = ____________ c = ____________

4. Use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 5 ² –5 + 1 = 0.


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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau

1. Este gráfico representa o salto

de um filhote de canguru. A variável

representa a distância horizontal

do salto, em metros, e o eixo

representa a altura do salto,

em metros. A equação da

parábola que o representa é

= – 0,25x² + 0,5x.

a) Quantas soluções tem quando = 0? Por que isso faz sentido quando estamos

descrevendo o salto de um canguru? ____________________________________________

____________________________________________________________________________

b) Qual(is) o(s) valor(es) de quando = 0? __________________

c) Qual foi a distância do salto? _____________________________

d) Qual foi a altura do salto? _______________________________

2. Resolva a equação do 20 grau 0 = m² – 81.


3. Resolva a equação 20 grau 0 = s (s – 99).


4. Para usar o método de completar o quadrado para resolver a equação do 20 grau na

forma ² + b = c, que termo deve ser somado nos dois lados da equação?

____________________________________________________________________________

5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação a ² + 18 – 19 = 0.


�1 1 2 3–0,5

–0,75–1

10,75

0,5

0

0,25

–0,25

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6. Use a fórmula do 20 grau para resolver a equação 0 = ² + 7 + 5.


7. O que o discriminante informa sobre as soluções de uma equação do 20 grau?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

8. Calcule o discriminante de cada uma das equações do 20 grau a seguir e, depois,

descreva a natureza das soluções.

Equação Discriminante Natureza das soluções

a) 5 ² + 6 + 5 = 0

b) 6 ² + 6 + 7 = 0

c) 2 ² + 8 + 2 = 0

d) 8 ² + 3 – 4 = 0

9. Quais das equações a seguir correspondem a parábolas com exatamente uma

intersecção em ? Circule-as.

a) = 5 ² + 10 + 5

b) = 0,25 ² + 2 + 4

c) = 4 ² + 3 + 4

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O movimento uniformemente acelerado

1. A gravidade afeta todos os objetos em queda. A equação h = 12

gt² + c representa a

posição de um objeto em queda, onde as variáveis t e h representam o tempo, medido

em segundos, e a distância percorrida na queda, medida em metros. As constantes da

equação são g e c, onde g é a aceleração constante, – 9,8m/s², e c é a altura da qual

o objeto caiu.

a) Suponha que um pedregulho cai do topo de um penhasco de 60 m de altura. Que

equação você pode escrever para representar a queda do pedregulho em termos de t e h?

h =________ t² + _______

b) Use a equação da questão anterior e complete a tabela a seguir. Arredonde os

valores de h para o número inteiro mais próximo.

t 0 1 2 3 4

h

c) Entre quais dois valores de t o pedregulho atingirá o solo? Explique.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

d) Nos eixos ao lado, marque os

pontos calculados para a tabela do

item b e desenhe a parábola que

representa a queda do pedregulho.

e) Qual foi a altura máxima, em

metros, do pedregulho?

________________________________

f) Calcule o valor de t, para o décimo mais próximo, quando o pedregulho atingiu o solo.


1 2 3 40

20

40

60

h

t

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2. Dois meninos, João e Marcos, estão sobre uma plataforma e atiram bolas para ver quem

consegue jogá-las mais longe. A equação que representa a trajetória da bola arremessada

por João é = 0,2 ² + + 2. A equação que representa a trajetória da bola arremessada

por Marcos é = 0,25 ² + 1,18 + 2. Em cada equação, representa a distância

horizontal entre a bola e um menino e representa a altura da bola acima do solo.

a) Qual é a altura inicial da bola arremessada pelos meninos?

João: __________________ Marcos: ________________

b) Use as duas equações acima e, para cada valor de , calcule os valores de

João e Marcos, arredondados para o décimo mais próximo.

0 1 3 5 6 7

João

Marcos

c) Marque os pontos calculados para tabela e desenhe a trajetória de cada bola.

d) Use o gráfico e informe qual menino

arremessou a bola mais alto. ____________

e) Use o gráfico e aproxime a

distância horizontal a que cada jogador

arremessou a bola.

João: __________________

Marcos: ________________

f) Use a fórmula de Bhaskara e calcule, no espaço abaixo, a maior distância percorrida

pela bola. Arredonde a resposta para o décimo mais próximo.

1 2 3 4 5 60

2

1

4

3

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Palavras-chave: Equação irracional Falsa raiz

Objetivos de aprendizagem: Reconhecer e

resolver uma equação irracional simples. Determinar se

uma equação irracional tem uma solução real. Resolver uma

equação irracional algebricamente. Determinar se uma

equação irracional tem uma falsa raiz.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 1: resolvenDo equações irracionais

Faça estas atividades enquantointerage com o Tutorial

1. ____________________________________ é uma equação em que uma variável

está dentro do radical.

2. Se a e b são números reais e a = b, então ____________________.

3. A ____________________ de um número pode ser representada por um

expoente igual a ___________.

4. Outra forma de resolver uma equação irracional é reescrever a expressão

utilizando o expoente 12

; depois, elevar ao _________________ ambos os lados

da equação.

5. Explique como o gráfi co do sistema de equações = e = 2 pode ser

utilizado para verifi car a solução da equação irracional = 2. _______________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

6. ____________________________ é uma solução da equação irracional elevada

ao quadrado, mas que não é uma solução da equação irracional inicial.

7. Escreva na forma exponencial: =_________, se ≥ 0.

8. “Uma equação irracional pode não ter solução, ter uma solução ou duas

soluções.” Essa afi rmação é ________________.

9. Devemos sempre conferir as soluções de uma equação irracional, para não

incluir __________________________ no conjunto solução da equação irracional.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 1: resolvenDo equações irracionais

1. Calcule o valor de na equação = 5.

_____________________________________________________________________________

2. Faz sentido tentar resolver a equação irracional m = – 49? Explique.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

3. Calcule o valor de r e verifique o resultado da equação r – 5 – 8 = 0.


4. Considere as funções = + 2 e = .

a) Crie uma escala e construa o gráfico das duas

funções no mesmo plano cartesiano. De acordo com

o gráfico, quantas soluções você espera para a

equação + 2 = ? __________________________

b) Resolva a equação irracional + 2 =

e demonstre seu raciocínio.

c) Qual é a solução da equação + 2 = ? ____________________

d) Qual é a falsa raiz (caso haja uma)?____________________________

� �

��

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 2: a inversa Da Função raiz quaDraDa


1. Função ___________________ é uma função em que cada valor de no contradomínio

corresponde a um e somente um valor de no domínio da função.

2. A função __________________________ é obtida pela inversão de duas variáveis

da função bijetora.

3. Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora,

a relação obtida também é uma _______________, que é a _______________ da

função inicial.

4. A inversa de f( ) é representada pela notação ________. Lê-se “função

inversa de .”

5. Se f( ) = , então o domínio de f –1( ) é a ______________ da função f( ).

6. Se f( ) = , então a imagem de f –1( ) é o ______________ de f( ).

7. A equação da reta de simetria de uma função bijetora e sua função inversa é

_______________.

8. A inversa da função = ² não é uma _______________, porque, para cada valor

não nulo de , há _______ valores correspondentes para .

9. A relação entre os pontos ( , ) no gráfi co da inversa de = ² é

________________.

10. Você pode investigar a inversa de uma função que não é bijetora restringindo

seu ________________.

variáveis

Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora,

_______________, que é a _______________ da

Palavras-chave: Função inversa Função bijetora

Objetivos de aprendizagem: Representar

grafi camente a inversa de uma função irracional e determinar esta equação. Determinar a equação

da reta de simetria entre uma função irracional e sua função inversa. Verifi car a função

inversa de uma parábola restringindo seu domínio.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 2: a inversa Da Função raiz quaDraDa

1. A função do gráfico é bijetora? Explique.

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

2. a) Crie uma escala e um gráfico da função

f( ) = – 1

b) Qual é o domínio de f( )?_________________

c) Qual é a imagem de f( )?_________________

d) Qual é a f-1( )?__________________________

e) Qual é o domínio de f-1( )?______ __________

f) Construa o gráfico de f-1( ) nos mesmos eixos apresentados acima.

g) Construa o gráfico da reta de simetria entre o gráfico de f( ) e o gráfico de

f-1( ) e escreva sua equação.________________

� �

��

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� ��

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa

Resolva e faça a verificação das equações a seguir. Demonstre seu raciocínio.

Identifique todas as soluções e quais raízes são falsas – se houver. Se uma equação

não tiver solução, escreva “sem solução”.

1. a = 12

2. k + 2 = 0

3. d – 15 = 0

4. z = z + 7 + 5

5. Construa gráficos para = + 3 e = + 1

nos eixos ao lado. Com base em sua

construção, quantas soluções existem para

a equação + 3 = + 1?

Qual é a solução? ________________ � �

��

�

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6. Resolva e verifique suas soluções – 1 – 1 = 5

. Demonstre seu raciocínio.

7. A função exibida neste gráfico é bijetora?

Explique. ________________________________

_________________________________________

_________________________________________

8. Considere a função f( ) = + 2 .

a) Qual é o domínio de f( )?

______________________________________________________________________

b) Qual é a imagem? ___________________________________________________

c) Qual é a f-1( )? _______________________________________________________

d) Qual é o domínio de f-1( )? ____________________________________________

e) Qual é a imagem de f-1( )? ____________________________________________

f) Faça o gráfico de f( ) e f-1( ) nos eixos acima e a reta de simetria entre os gráficos.

� �0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

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A gravidadeAs propriedades das equações irracionais podem ser aplicadas para descobrir

como certos objetos se comportam sob o efeito da gravidade. Suponha que uma

grande pedra caia de um penhasco de 100 m.

A equação t = d5

pode ser usada para determinar quanto tempo a pedra

levará para atingir uma determinada distância. Na equação, a variável t representa

o tempo em segundos em que o objeto cai, e a variável d representa a altura do

objeto, em metros, do chão.

1. Qual é a distância entre a pedra e o chão após 2 s? Justifique sua resposta.

2. Exatamente 3 segundos depois de a pedra cair, um pássaro voa a uma altura de 60 m

do chão através do trajeto vertical da pedra. Ele está em perigo? Por quê?


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3. Desenhe o gráfico de t = d5

4. Uma vez que d representa a altura acima do chão em metros, ele tem valores restritos.

Qual conjunto de valores é apropriado para d?

_____________________________________________________________________________

5. Em que momento t a pedra está na metade do trajeto até o chão?

Arredonde a resposta para o décimo mais próximo. Justifique a resposta.

6. Em que momento t a pedra atinge o solo? Justifique a resposta.

7. Qual é a imagem da função para os valores de d de 0 a 100? Justifique a resposta.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

8. A função é uma função bijetora? Explique.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 1: operações coM Frações algébricas


1. Uma __________________________________ é toda fração em que o

numerador e o denominador são polinômios, e cujo grau do denominador seja

pelo menos ___________.

2. Se a, b, c e d forem números reais, e c e d não forem iguais a zero,

a x cc x d =

3. Se a for um número real não nulo, ____________será indefi nido.

4. Qualquer valor da variável que anule o denominador é uma _________________________

para a variável da fração algébrica.

5. Ao encontrar o quociente de duas frações algébricas, utilizamos as mesmas regras

da divisão de frações? Justifi que a resposta. _____________________________________

_____________________________________________________________________________

6. Se a, b e c são números reais e b ≠ 0, então:

ab +

cb =

7. Se a, b, c e d são números reais, e b e d são diferentes de zero, então:

ab +

cd =

8. Para encontrar a restrição algébrica de em uma fração, iguale o ___________________

a 0 e encontre o(s) valor(res) de _________.

9. Se a, b, c e d são números reais, e b, c e d ≠ 0, então:

ac 4

bd = a

c ×

Qualquer valor da variável que anule o denominador é uma _________________________

da divisão de frações? Justifi que a resposta. _____________________________________

_____________________________________________________________________________

Palavras-chave: Razão Fração algébrica Valores excluídos

Objetivos de aprendizagem: Identifi car o(s) valor(es)

de para o(s) qual(is) uma fração algébrica não é defi nida. Reduzir uma fração

algébrica removendo fatores monomiais comuns. Encontrar o produto

ou o quociente de duas frações algébricas e expressá-las na forma irredutível. Identifi car o mínimo

múltiplo comum de duas frações algébricas. Encontrar a soma

ou a diferença de duas frações algébricas e expressá-las na forma irredutível.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 1: operações coM Frações algébricas

1. Encontre as restrições para cada fração algébrica.

a) 4a + 4a + 2

=

b) n2 + 3n + 26n

=

c) t – 53t + 3

=

d) 3 – 2 + 5 + 2

2 – 4 =

2. Determine as restrições das variáveis para cada fração algébrica e depois simplifique-a.

a) b + 2b2

× 5bb2 – 4

b) c2 – 95c

4 c – 320

c) 12d2

– 54d

d) 2h – 6

– 1h

e) k – 1k

– 3k – 2

+ 4

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 2: Funções racionais

Palavras-chave: Função racional Hipérbole Assíntota Função contínua Função não contínua

Objetivos de aprendizagem: Reconhecer o

gráfi co da função f( ) = 1/ . Identifi car o domínio e

a imagem de f( ) = 1/ . Identifi car as equações

das assíntotas e da função inversa de f( ) = 1/ . Examinar o efeito das

alterações dos parâmetros a e b no gráfi co de f( ) = a ( - b).


1. Uma ____________________________ é aquela em que pelo menos um dos termos

é uma fração algébrica.

2. Uma curva plana cuja equação pode ser representada por = a – b

é chamada ______________________.

3. Se zero não está incluído nem no domínio nem na imagem de uma função, o

gráfi co não pode intersectar nem o _________________________________ nem o

_____________________________.

4. Use os símbolos para completar estas expressões para a função de = 1 .

a) Quando 0+, _____________ c) Quando + ∞, _____________

b) Quando 0_, _____________ d) Quando – ∞, _____________

5. A reta da qual uma hipérbole se aproxima, sem nunca intersectar é chamada

________________ da hipérbole.

6. O domínio de = 1 não inclui o zero, porém inclui números em ambos os lados do

zero. Portanto, é uma função _____________________________.

7. Para qualquer função fracionária na forma = a – b , b representa o valor que

devemos excluir do ____________________ da expressão fracionária e = b é a

equação da _________________________________.

8. Para qualquer função fracionária = a – b , uma alteração do valor de b faz com que a

hipérbole se desloque ____________________.

9. Para qualquer função fracionária = a – b , o parâmetro a aproxima ou afasta a

hipérbole da ___________________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 2: Funções racionais

1. Use os símbolos <, > ou = para completar cada afirmação a respeito do gráfico

correspondente, que representa a equação = a – b .

a) a _____ 0 c) b _____ 0

b) a _____ 0 d) b _____ 0

2. Cada intervalo nos eixos representa 1 unidade.

Qual é a equação da assíntota vertical para esta hipérbole?

3. Desenhe o gráfico da hipérbole que representa cada equação, incluindo a assíntota

vertical e a equação

a) = 4 – 2

b) = 4 – (–2)

� �

��

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��

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VamosregistrarVamos

registrar

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 3: equações Fracionárias


1. Para encontrar o valor de na equação 3 = 1

– 2 , primeiro vamos encontrar as

restrições e, depois, encontrar um ______________________________________________.

2. Qual é a solução da expressão racional 3 = 1

– 2 ? _____________________________.

3. Os gráfi cos de = 3 e =

1 – 2 se intersectam em um ponto cuja abscissa é

______________.

4. A fórmula para o trabalho realizado é

_____________________________________ × _____________________________________.

5. Qual é o menor denominador comum de 57 e 5

? ________________________________

6. Se d = vt, qual equação representa o tempo em função da distância e da velocidade?

_____________________________________

7. Uma ______________________ é a solução de uma equação do 20 grau que não é uma

solução válida para uma equação fracionária.

8. Antes de resolver a equação fracionária, identifi que as _____________________________

para a variável.

9. Uma maneira de resolver uma _______________________________________ é multiplicar

cada termo da equação pelo menor denominador comum não nulo para simplifi car

fatores semelhantes.

? _____________________________.

? ________________________________

Palavras-chave: Equação fracionária Mínimo múltiplo

comum/Menor denominador comum Falsa raiz

Objetivos de aprendizagem: Resolver uma

equação fracionária usando o menor denominador comum. Analisar e resolver

um problema de tarefas compartilhadas. Analisar e resolver

um problema de movimento uniforme. Determinar se

a raiz de uma equação fracionária é falsa.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções – sequência 3: equações Fracionárias

1. Encontre o menor denominador comum das frações em cada equação.

a) 52k

= 3k + 4

+ 4 _________________________________________________________

b) 2 + w12w

= 2w – 3

__________________________________________________________

c) 4pp2 – 5p + 6

= 14p – 3

_____________________________________________________

2. Qual o valor de p nesta equação fracionária?

4pp2 – 5p + 6

= 14p – 3

_______________________________________________________

3. Uma pessoa pode cortar um gramado em 2 horas. Duas pessoas trabalhando juntas

podem cortar o mesmo gramado em 1 hora e 15 minutos. Quantas horas levaria para a

outra pessoa cortar o gramado sozinha?

____________________________________________________________________________

4. Dois ônibus aguardam o horário de partida, o primeiro deixa a estação às 7h30 da

manhã, outro, expresso, parte da estação 20 minutos depois. Ele faz o mesmo trajeto

e chega à parada final 10 minutos antes do primeiro ônibus.

a) Use a fórmula v = d/t e escreva uma expressão em termos de v e t do primeiro

ônibus para encontrar a velocidade do ônibus expresso.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

b) Se a velocidade média do primeiro ônibus é 20 km/h, e a velocidade média do

segundo é 50 km/h, a que horas este chegou à parada final?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

5. Um estudante pode levar 10 minutos menos para ir ao colégio se ele for de bicicleta

em vez de ir andando. De bicicleta ele alcança uma velocidade quatro vezes maior que

a pé. Quanto tempo o estudante levará para ir ao colégio de bicicleta?

____________________________________________________________________________

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 2: Frações algébricas, equações e Funções

1. Encontre a restrição para cada fração algébrica:

a) 6h – 22h2

, h _____________________________

b) 4g3 + g

, g _____________________________

c) d + 2d – 2

, d _____________________________

2. Simplifique cada expressão:

a) 3ww – 2

× 2w + 63w

_________________________

b) 2zz – 1

+ 3z + 1

_________________________

c) 4 – u12u

4 3u

____________________________

d) 8y + 2

– y + 36

_________________________

3. Complete a tabela de valores para a função f( ) = ( 2 + 3

).

f( )– 4– 3– 2– 1

01234

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4. Desenhe o gráfico de cada função e indique cada assíntota vertical.

a) f( ) = 2 – 6

b) f( ) = 1 + 1

5. Um pintor pode pintar um quarto em 6 h. Se um assistente o ajudar, eles

podem pintar esse quarto em 4 h. Quanto tempo levaria para o assistente pintar

o mesmo quarto sozinho?

____________________________________________________________________________

6. Um atleta começa a correr a uma velocidade de 6 km/h.

a) Depois de meia hora, ele aumenta a velocidade para 8 km/h e corre mais

15 minutos. Qual é a distância total que o atleta percorre?

____________________________________________________________________________

b) Suponha que esse atleta mantenha uma velocidade estável de 6 km/h.

Seu técnico sai de bicicleta 30 minutos depois e o alcança em 15 minutos.

A que velocidade o técnico pedalou?

____________________________________________________________________________

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As ondas

A frequência de uma onda — como as ondas do som, eletromagnética ou

mecânica — é representada pela equação f = 1t , onde f é a frequência da onda, e t é o

tempo necessário para ela ter um ciclo completo, que é chamado período.

1. Faça o gráfico da função f = 1t e responda as questões a seguir.

2. Conforme a frequência das ondas aumenta, o que acontece com o seu período?

_____________________________________________________________________________

3. Conforme a frequência da onda aumenta, o que acontece com a sua frequência?

_____________________________________________________________________________

4. O movimento de uma criança em um balanço pode ser representado como um

movimento ondulatório. Desenhe o gráfico de f = 1t

para encontrar a frequência da

onda caso o balanço tenha um ciclo em 2 s.

5. Use o gráfico para encontrar o período da onda se em um parque de diversão um

brinquedo completa quatro ciclos a cada segundo.

_____________________________________________________________________________

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6. A velocidade da onda é representada por v = λt , onde v é a velocidade da onda,

e

t

λ é a constante que representa o comprimento dela. Faça o gráfico da função com

um comprimento de onda de 2,0 m.

7. Nos mesmos eixos, desenhe um gráfico de uma onda com comprimento de 2,5 m.

8. De acordo com os gráficos, como o aumento do comprimento de uma onda afetaria o

tempo necessário para um ciclo completo?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

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VamosregistrarVamos

registrar

Palavras-chave: Estatística Dados Média aritmética Mediana Histograma Valor discrepante Quartil Distribuição de dados Diagrama de

ramos e folhas Amplitude de dados Dados assimétricos Diagrama de caixa Intervalo interquartil

(IQR)

Objetivos de aprendizagem: Criar e analisar

um diagrama de ramos e folhas. Calcular a amplitude

e a mediana de um conjunto de dados. Construir um

diagrama de caixa. Analisar as

infomações em um diagrama de caixa.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 5: organizanDo inforMações – uniDaDe 1: exibinDo inforMações eM gráficos – sequência 1: DiagraMas De raMos e folhas e DiagraMas De caixa

Faça estas atividades enquantointerage com o Tutorial

1. Estatística é o estudo matemático da _______________, ___________________________

e __________________ de dados.

2. Um ___________________ é um tipo de gráfi co de ______________ que representa uma

série de dados, em que as alturas das barras são proporcionais às _________________

______________.

3. Pode-se representar valores de uma distribuição por meio de um diagrama de

_______________ e _______________.

4. A amplitude dos dados é a __________________________ entre o valor máximo e o valor

mínimo em um conjunto de dados.

5. A distribuição de dados que se apresenta de maneira irregular é chamada

_____________________.

6. A _________________ é o termo central de um conjunto de dados ordenados.

7. Quartis são os três valores que dividem um conjunto de dados em _________________

partes iguais.

8. A mediana dos dados é o ___________________________________.

9. Um ________________________________________________ é uma representação gráfi ca

que divide um conjunto de dados em quartis.

10. O intervalo interquartil é a diferença entre o _______________ e __________________

quartil de uma distribuição.

11. _____________________________ é um valor que não caracteriza um conjunto de dados.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 5: organizanDo inforMações – uniDaDe 1: exibinDo inforMações eM gráficos – sequência 1: DiagraMas De raMos e folhas e DiagraMas De caixa

Use os dados da tabela ao lado para responder

às questões de 1 a 8.

1. Os dados na tabela mostram a porcentagem

de trabalhadores que utilizam o transporte

público diariamente. Use os dados para criar

um diagrama de ramos e folhas e inclua uma notação.

2. Use o diagrama de ramos e folhas para determinar as seguintes estatísticas para este

conjunto de dados.

a) Valor mínimo: _____________ c) média: _____________

b) Valor máximo: _____________ d) mediana: _____________

3. Nesse conjunto de dados, identifique o:

primeiro quartil: _______________

segundo quartil: _______________

terceiro quartil: ________________

4. Qual é o intervalo interquartil da distribuição de dados? ______________

5. Crie um diagrama de caixa para esses dados. Na reta numerada a seguir.

6. Identifique o ponto discrepante nesses dados. ______________

Cidade PorcentagemA 29,7B 6,7C 10,7D 6,5E 10,5F 53,4G 28,7H 3,3I 4,9J 4,2

% de trabalhadores

Notação:____________

��

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

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registrar

Palavras-chave: Dados Mediana Ponto discrepante Diagrama de dispersão Reta de regressão Reta de regressão

das medianas

Objetivos de aprendizagem: Encontrar uma reta

de regressão por um conjunto de pontos em um diagrama de dispersão. Calcular e interpretar

a reta das medianas para um conjunto de dados em um diagrama de dispersão. Usar uma reta de

regressão para prever um valor futuro. Comparar valores reais

e previstos utilizando uma reta de regressão.

Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 5: organizanDo inforMações – uniDaDe 1: exibinDo inforMações eM gráficos – sequência 2: DiagraMas De Dispersão e retas De regressão


1. O diagrama de dispersão pode ser usado para representar os dados em _____________

dimensões.

2. A reta que melhor representa a relação entre os pontos em um diagrama de dispersão

é chamada reta de _______________.

3. A reta traçada sobre um diagrama de dispersão que utiliza três pontos baseados nas

medianas das variáveis organizadas em três grupos de dados ordenados é chamada

_______________________________________________.

4. A reta que passa pelos pontos M1 e M3 representa todos os pontos? Por quê?

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5. A reta de regressão é ________________ às retas que passam por M1M3 e por M2,

e deve estar a _________ de distância da reta M1M3 e _______ de distância da reta

que passa por M2.

6. Uma reta de regressão sugere apenas uma ________________ geral na relação entre

duas variáveis.

7. A equação de uma reta de regressão para um conjunto de dados pode ser usada

para fazer __________________.

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Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 5: organizanDo inforMações – uniDaDe 1: exibinDo inforMações eM gráficos – sequência 2: DiagraMas De Dispersão e retas De regressão

1. A tabela ao lado lista os melhores tempos do 100 m

livres de nadadores durante os Jogos Olímpicos de

1924 a 1988. Faça o gráfico dessa relação em um

diagrama de dispersão. Classifique os eixos e coloque

a variável independente no eixo vertical.

2. Divida os dados no gráfico em três grupos iguais.

Encontre as coordenadas medianas para cada grupo

e classifique os pontos como:

M1 =_______________

M2 =_______________

M3 =_______________

3. Encontre a equação para cada uma das seguintes retas:

a) a que passa pelos pontos M1 e M3: ___________________________

b) a que passa por M2 e é paralela à reta M1M3: ______________________________

c) a de regressão das medianas: _______________________________

4. Use a equação das retas medianas para estimar o melhor tempo de 1992.

________________________

1924 59,0

1928 58,6

1932 58,2

1936 57,6

1948 57,3

1952 57,4

1956 55,4

1960 55,2

1964 53,4

1968 52,2

1972 51,22

1976 49,99

1980 50,40

1984 49,80

1988 48,63

Ano Tempo (s)

�

�

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Nome: __________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ / ____


Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 5: organizanDo inforMações – uniDaDe 1: exibinDo inforMações eM gráficos

1. Os dados da tabela ao lado mostram a média de

velocidade em quilômetros por hora de vários

animais. Use os dados para criar o diagrama de

ramos e folhas e inclua uma notação.

a) Qual é a média dos dados? _____________________________________

b) Qual é o ponto discrepante? ____________________________________

c) Qual é a mediana destes dados? _________________________________

d) A média representa uma medida válida de tendência central nesse conjunto de

dados? Explique sua resposta.

_______________________________________________________________

2. a) Determine os quartis inferior, central e superior para os dados da tabela da questão

1. ___________________________________________________________________________

Depois, use a informação para criar um diagrama de caixa dos dados.

Q1 =_______________

Q2 =_______________

Q3 =_______________

b) Qual é o intervalo interquartil dos dados? ______________________________________

c) O que o intervalo interquartil diz sobre os dados? _______________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

leopardo 112

coiote 69

elefante 40

alce 72

girafa 51

raposa 67

urso 48

leão 80rena 51

zebra 64

Animal Velocidade (km/h)

�

0 10 20 30 40 50 60 70 80 �

90 100 110 120

Velocidade média (km/h)

Notação:

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3. Indique se os seguintes tipos de representações gráficas são usados para mostrar

dados com uma ou duas dimensões.

a) Diagrama de ramos e folhas: ________________________________________

b) Diagrama de caixa: ________________________________________________

c) Diagrama de dispersão: _____________________________________________

4. A tabela ao lado mostra a expectativa de vida

em anos para mulheres, entre os anos de 1930

a 1990. Sem colocar os dados em gráfico,

responda às questões a seguir.

a) Divida os dados em três grupos de 4,5 e 4

elementos e encontre as coordenadas M1, M2 e M3.

M1 =__________

M2 =__________

M3 =__________.

b) Calcule o coeficiente angular da reta de regressão

das medianas. ________________________________

c) Qual é a equação da reta de regressão?

_____________________________________________

d) Use a reta das medianas para estimar a expectativa de vida das mulheres em 1995.

______________________________________________

1930 61,6

1935 63,9

1940 65,2

1945 67,9

1950 71,1

1955 72,8

1960 73,1

1965 73,7

1970 74,8

1975 76,6

1980 77,4

1985 78,2

1990 78,8

Ano Expectativade vida (anos)

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As horas diante da televisão

1. A tabela ao lado mostra os resultados de

uma pesquisa com 12 crianças e o número

de horas que cada uma gasta assistindo

à TV por mês. Identifique e apresente

um tipo de distribuição de dados que mostre

o intervalo de horas que represente 50%

dos dados centrais. Depois, calcule esse

intervalo e identifique qualquer ponto

discrepante nos dados.

Ana 28

Bruno 75

Cátia 35

Karina 28

Gustavo 80

Guilherme 70

Maria 93

Pedro 37

Ricardo 84Sílvia 5lara 127Juliana 80

Nome Tempo (h)

82

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2. Usando a tabela da questão 1, identifique e apresente o tipo de distribuição de dados

que mostre quantas horas cada criança assiste à TV. Identifique o mínimo e o máximo

de horas e explique se a média dos dados representa ou não a medida mais adequada

da tendência central no conjunto de dados. Demonstre seu raciocínio.

3. A tabela ao lado mostra o número total de visitantes

de um determinado parque de diversões em 10 anos.

Crie um gráfico que mostre se há uma tendência

geral nos dados. Use o que você aprendeu sobre a

reta de regressão e estime o número de visitantes

para o ano 2020. Explique se a estimativa é razoável

ou não. Demonstre seu raciocínio.

2008 57 700

2007 50 000

2006 60 200

2005 58 800

2004 45 879

2003 36 566

2002 26 630

2001 18 830

2000 13 919

1999 4 538

Ano Número deVisitantes

respostas

Respostas Álgebra II Respostas Álgebra II

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Respostas Álgebra II1 Números reais1.1 Números racionais e irracionais1.1.1 Definindo os números reais

Vamos registrar1. números inteiros; zero2. exato; dízima periódica3. dois; número4. razão; números inteiros5. exato; dízima periódica6. racionais; irracionais7. reais8. raiz quadrada9. radical

Agora é sua vez!1. Há várias respostas, por exemplo: a) 12

–2 ; –18

3 ; 30

–5 b) 2

10 ; –3

–15 ; 4

20

c) –166

; –249

; 32–12

d) 94

; –9–4

; 188

2. a) 0,375 b) 0,222... c) 3,5 d)0, 3. 1,2223434. Há várias respostas, por exemplo:

7e 2,645751...; 2e 1,414213...;

3e 1,732050...5. a) 2,646 b) 5,916 c) 4,690 d) 3,742

.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a d c b. . .

1.1.2 Radicais

Vamos registrar1. 3,142. p; profundidade3. radicando4. 1, 4, 9, 16 e 255. a2 = a 6. não negativo7. a × b 8. 5 10 9. a

b 10. Racionalizar; denominador; racional11. fatore; agrupe

Agora é sua vez!1. a) 9; 9 b) 625; 25 c) 144; 122. 121, 144, 169, 196 e 2253. a) 4 10 b) 30 3 c) – 1

2 10

4. –96 105.

6

6. a) 66

b) 3311

c) 147

7. a) 165

b) 5 5 c) 2 33

8. 16 29. 2 3 s

1.1.3 A função raiz quadrada

Vamos registrar1. 2. Há várias respostas, por exemplo: Escolhendo

três pontos da função e formando com eles dois segmentos consecutivos. A fórmula do coeficiente angular pode ser utilizada para demonstrar que os coeficientes angulares entre os dois segmentos consecutivos quaisquer não são iguais.

3. Porque para cada número real não negativo há uma, e apenas uma, raiz quadrada.

4. Interpolar; domínio5. Extrapolar; observado6. Números reais não negativos7. Números reais não negativos8. parâmetro9. inclinação; quadrante

Agora é sua vez!1.

00

1,3 2,0 2,7 3,4 4,8 5,2 5,91,14 1,41 1,64 1,84 2,19 2,28 2,43

2.

0,50 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6

1

2

3

0, 0

(1,3, 1,14)(2,1,4)(2,7, 1,64)

(3,4, 1,84)

(4,8, 2,19)(5,2, 2,28)

(5,9, 2,43)

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Respostas Álgebra II Respostas Álgebra IIRespostas Álgebra II Respostas Álgebra II

3.

20 4 6 8 10 122 4 6 8

24

14 16 18 20 22 24

4. a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

Avaliação da unidade1. a) Racional; decimal exato. b) Racional; pode ser escrito na forma 25

14 .

c) Irracional; dízima não periódica. d) Racional; dízima periódica. e) Racional; pode ser escrito na forma –3. f) Irracional; dízima não periódica. g) Racional; dízima periódica. h) Irracional; dízima não periódica.2. Às vezes.3. Sempre.4. Irracional; pelo teorema de Pitágoras, o comprimento

da hipotenusa é dado pela raiz quadrada de 4² × 5², ou a raiz quadrada de 41. Nenhum número racional ao quadrado é igual a 41, então o comprimento da hipotenusa é um número irracional.

5. b e d. Em b: c2 = 122 + 132 = 144 + 169 = 311 c = 311 é irracional. Em d: c2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 c = 20 = 2 5 é irracional.6.

0 1 2 3 4 5

0,2 1,4 173

7. c e d. 8. a) 5 3 b) 0,06 c) 5 17 d) 14 7 e) 4 3 f) 2 3 g) 3 5 h) 30 3 i) 3 5

5

j) 59. a e c.10. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1

Investigando1.

Altitude (pés)

50100150

10 000 20 000 30 000

200250300

0��

�

�Dis

tânc

ia d

o ho

rizon

te(m

ilhas

)

2. Há várias respostas, por exemplo: (0, 0); (5 000, 86,26 ...); (15 000, 149,41...); (25 000, 192,89 ...) e (35 000, 228,24 ...).

3. A distância do horizonte quando o avião está no chão.4. Cerca de 210 milhas.5. Cerca de 7000 pés.6. Cerca de 27 000 pés.7. Observando o gráfico, verifica-se que a distância do

horizonte que corresponde à altura de 35 000 pés é de 230 milhas, e a correspondente a 25 000 pés é de 190 milhas. Assim, a alteração de distância é: 230 – 190 = 40 milhas.

2 Potências e polinômios2.1 Operações com polinômios2.1.1 Potências

Vamos registrar1. expoente; base2. 13. 1

an

4. inverso; oposto5. base6. ar+s; números inteiros7. ar–s; números inteiros8. ar×s; números inteiros9. an × bn; número inteiro10. an

bn ; número inteiro

Agora é sua vez!1. a) 3² b) 3–² c) 34 d) 3²2. 13. a) b5 b) –3c3 c) 256

d) 13

e) 32 15 20 f) 625 4

16 4

4.

Planeta Distância aproximada (km)

Distância em notação científica

Mercúrio

Terra

Marte

Saturno

58 000 000

150 000 000

230 000 000

1 400 000 000

5,8 × 107

1,5 × 108

2,3 × 108

1,4 × 109

5. 1,4 × 1012


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nfor

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cont

rato


2.1.2 Somando e subtraindo polinômios

Vamos registrar1. ²2. a n; número real; variável; número natural3. Polinômio4. trinômio; três monômios5. esquerda; direita; ordem decrescente6. esquerda; direita; ordem crescente7. não nulo; simplificar; identidade8. Porque seus expoentes são diferentes.9. Há várias respostas, por exemplo:

Monômio Binômio Trinômio�

3�3

�2

� + 15� – 2�2 – 1

�2 + 2� + 1�2 – � + 9�2 – 2� + 3

Agora é sua vez!1. Não. Por definição, um monômio é um termo na

forma axn, em que n é um número natural. Na expressão 2 –3, n é um número inteiro negativo, portanto, esta expressão não é um monômio.

2. a) 2 2 + ; binômio b) 4s23 + 7s17 – s; trinômio3. a) 2 3 + 10 2 – 2 + 12 b) – 2b4 – b + 4 c) 7c3 + 6c2 – 24. a) – 3a + 11a3 b) 3 – – 6 2 + 8 3 c) b + 3b2 – b3

5. a) 2n2 + 4n b) 3n2 + 7n + 3 c) 4n2 + 9n + 3

2.1.3 Multiplicando polinômios

Vamos registrar1. n + 12. (n + 10)n + (n + 10)13. soma; produtos4. substitua; identidade5. a2 + 2ab + b2

6. a2 – 2ab + b2

7. a2 – b2

Agora é sua vez!1. a) (n + 2)(n + 8); n2 + 10n + 16 b) n(n + 8); n2 + 8n + 0 c) (n + 1)(n + 8); n2 + 7n + 8 d) (3n + 1)(n + 8); 3n2 + 25n + 8

2. (n+ 3)(4n – 2); 4n2 – 2n + 12n – 6; 4n2 + 10n – 63. a) (3b + 2)2 = 9b2 + 12b + 4 (3 (– 2) + 2)2 = 9(–2)2 –12 (–2) + 4 16 = 16 b) (5 + 3)2 = 25 2 + 30 + 9 (5 (–2)+3)2 = 25(–2)2+ 30(–2) + 9 49 = 494. 2 – 165. 2n2 – 16n; Há várias respostas, por exemplo: a

área de um painel é n(n + 8) ou n2 + 8n. Esta área, multiplicada por 2, é igual a 2n2 – 16n.

Avaliação da unidade1. b e c.2. a) –32a3 b) 5r6 c) 4–4

d) 16 12 e) 8s3n + 6 f) 64r3

743s3 3. 3,8 × 10–2

4. a) 7n2 + 10n – 5 b) –2n2 + 3n + 15 c) n2 – 15n – 14 d) 9n2 + 24n + 75. (2n + 3) (3n – 4) = = 6n2 – 8n + 9n – 12 = = 6n2 + n2 + 26. d7. (3 – 5)(3 + 5) = 32 – 52

(–2)(8) = 9 – 25 –16 = –168. a) n2 – n b) 3n2 + 13n + 4 c) 2n2 + 14n + 4

Investigando1.

Pátio centralModaTropical

Loja (de departamento) 1

Loja (de departamento)

2

Loja 3Loja 5Loja 4

2

4

4

2

22. a) ; ; 2. b) 2 ;

4 ;

2

2 .

c) ; 2

; 2

2 .

d) ; 2

; 2

2 .

e) Há várias respostas; loja 3:

4 ;

2 ;

2

8 .

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3. Área: 3 × = 3 2

4. Considerando = 100 m; comprimento: 300 m; largura: 100 m.

5. O custo será de R$ 1.500.000,00. b) Sim.

2.2 Fatorando polinômios2.2.1 Encontrando fatores comuns

Vamos registrar1. números naturais; 1; ele mesmo2. Porque ele tem apenas um divisor: ele mesmo.3. número composto4. fatores primos; produto5. calcule o máximo divisor comum dos coeficientes e

multiplique o máximo divisor comum das variáveis.6. grau7. 12n2

8. produto de dois ou mais polinômios.9. maior; monômios

Agora é sua vez!1. a) 2 × 2 × 3 × 5 ou 23 × 3 × 5 b) 5 × 31 × × c) 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × n × n ou 24 × 32 n2

2. a) 8 3 b) 4a3

3. a)

1

b) 3 (2 – 1) c) 3(4)(2(4) + 1) = 6(4)2 – 3(4) 12(8 + 1) = 6 × 16 – 12 12 × 9 = 96 – 12 108 = 1084. a) 4n(3n2 + 5) b) 8 3(9 + 5) c) ( + 2)( + 5) d) 3(m + 7)(m + 2)

2.2.2 Fatorando trinômios do 20 grau

Vamos registrar1. 24; 102. ( + 4)( + 6)3. termo do 20 grau4. Termo linear5. Termo constante6. Sim. É a forma a 2 + b + c, na qual a, b e c

equivalem a 1, 10 e 24 respectivamente.

7. opostos8. ( + 3)( + 4)9. (2r + 3)(r + 2)10. (2n + 5)(3n – 2)

Agora é sua vez!1. a)

g

11

g g 1 1 1 1 1

b) (g + 2)(2g + 5) c) 2(2)2 + 9(2) + 10 = (2 × 2 + 5)(2 + 2) 8 + 18 + 10 = 9 × 4 36 = 362. a) s2 + 5s + 1 b) s2

c) 5s d) – 13. a) ( + 2)( + 3) b) (d – 8)(d + 4) c) (2p + 1)(p + 3) d) (3 – 4)( – 1) e) 3(f + 2)(f – 3)

2.2.3 Casos especiais

Vamos registrar1. (a + b)2

2. diferença; dois quadrados3. (2 + 3)(2 – 3)4. (a + b)(a – b)5. (5k + 12)(5k – 12)6. Sim. 4 é ( 2)2, e 64 é 82.7. ( 2 + 8)( 2 – 8)8. primo9. a) fatores comuns; distributiva b) trinômio quadrado perfeito; diferença de

dois quadrados10. polinômio primo


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Agora é sua vez!1.

Forma fatorada

Trinômio Caso especial

x2 + 18x + 81

4x2 + 40x + 100

x2 --- 6x + 9

x2 -- 25

x2 -- 49

x2 + 81

4x2 -- 80x + 400

Trinômio quadrado perfeito



Diferença de dois quadrados

Diferença de dois quadrados

Soma de dois quadradosFator comum e trinômio quadrado perfeito

( + 9)2

2 + 8

( + 5)( -– 3)2

( -– 5)( + 7) ( -– 7)

(2 + 10)2

4( + 10)2

2. (a – b)2 é o quadrado da diferença e é igual a a2 – 2ab + b2.

a2 – b2 é a diferença entre dois quadrados e é fatorada como: (a + b)(a – b).

3. Há várias respostas, por exemplo: Se a = 1 e b = 2:

(a – b)2 = (1 – 2)2 = 1 e (a2 – b2) = 12 – 22 = –3

Avaliação da unidade1. Ele eliminava todos os múltiplos de 3 maiores

que 3; depois todos os múltiplos de 5 maiores que 5, e assim por diante. Os números restantes não são múltiplos de nenhum precedente e, portanto, são primos.

2. 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ou 23 × 33. a) Há várias respostas, por exemplo: 8 e 12, cujo mdc é 4; 30 e 42, cujo mdc é 6. b) Há várias respostas, por exemplo: 15 e 18, cujo mdc é 3; 21 e 14, cujo mdc é 7; 25

e 40, cujo mdc é 5.4. b4

5.

Termos

16,24

42x2, 18x3

64m, 32m, 96m

Máximo divisor comum

8

6x2

32m

6. a) ( + 3)( + 1) = 2 + 4 + 3 b) Há várias respostas, por exemplo: = 5: (5 + 3)(5 + 1) = 52 + 4 × 5 + 3 8 × 6 = 25 + 20 + 3 48 = 487. a) (g – 10)(g + 2) b) (k + 6)2

c) (p – 8)(p + 2) d) (2 + 3)(2 + 5) e) primo f) (4a + 5)(4a – 5)8. a) 8(p + 2) b) 4(h + 16) c) 4(3d + 4) d) 8( – 2)( + 2)

Investigando1.

2

2

c

s

c }s

2.

2

2

c

2

s

c

2c

3. Polinômio: c2 + 4c + 4; Forma fatorada: (c + 2)2

4. a)

n cn

c n

c n

c

n

c

b) Polinômio: c2 + 2nc + n2; Forma fatorada: (c + n)2

5. Trinômio quadrado perfeito6. Há várias respostas, por exemplo:

2{

3

{

7. Há várias respostas, por exemplo: Para o exemplo anterior, temos:

Polinômio: 2 + 5 + 6; Forma fatorada: ( + 2)( + 3).8. A forma fatorada fornece as dimensões da sala e

os comprimentos da região acarpetada e da região coberta por lajotas.

3 A função quadrática3.1 Funções quadráticas: gráficos e funções3.1.1 Traçando parábolas

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rato


Vamos registrar1. É uma função polinomial do 20 grau.2. valor de ; valor de 3. para cima4. para baixo5. O valor mínimo de é zero.6. O valor máximo de é zero.7. Eixo de simetria8. = 09. vértice

Agora é sua vez!1. a e c.2. a) para baixo b) para cima c) para cima3. a) b e c. b) a c) c4.

�

�

5

–3 –2 –1 0 1 2 3

10

15

A curva é côncava e deve passar pelos pontos: (0, 0), (1, 2), (–1, 2), (2, 8), (–2, 8), (3, 18), (–3, 18) etc.

a) domínio: = todos os números reais; imagem: > 0 b) = 0

c) a origem; (0, 0) d) para cima e) = 0 (mínimo)

3.1.2 Investigando as propriedades das parábolas

Vamos registrar1. A altura inicial do paraquedista.2. para baixo; vértice; 1 0003. números reais4. incompleta; 0 (zero)5. ponto médio; altura máxima6. 240,17. 78. parábola; eixo ; vértice9. intersecções com o eixo ; 0 (zero)

Agora é sua vez!1. a) –5 b) 0 c) 672. b e c.3. Há várias respostas. Elas devem mostrar parábolas

com valor mínimo de = –3, eixo de simetria = –2 e podem ter qualquer largura, desde que as

condições sejam satisfeitas. Exemplo:

�–7–6–5–4–3–2 –1 0

1

–1

–3

3

5

7

9

11

1 2 3

�

4. (8, 15)5. a) 400 b) A altura do penhasco, ou a distância entre

o penhasco e o solo.

3.1.3 Resolvendo equações do 20 grau por meio de gráficos

Vamos registrar1. do 20 grau; linear; 0; –62. vértice3. raiz; solução4. intersecções em 5. 5,66. soluções reais7. solução real8. intersecção em

Agora é sua vez!1. a) 5 m

b) 12 m c)

�d

�

�

�10 �5 5 10 15 20 25

h �

�5

20

15

10

5

Uma vez que d não pode ser negativo neste problema, apenas a curva no quadrante I e as intersecções nos eixos correspondem à trajetória da bola.


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2.

Equação Raízes Concavidade Max./Mín.h = 0,5d2 + 1

y = –3 2 + 6

y = 4 2 + 4 – 35

d = –1,9t2

0

2

2

1

1

3

–36

0

para cima

para baixo

para cima

para baixo

Avaliação da unidade1. a) 3 2

b) 5 c) –7

d) A equação está na forma: y = a 2 + b + c e) O coeficiente do termo do 20 grau, 3 f) O sinal do termo do 20 grau. Se for positivo, a

parábola será côncava para cima; se for negativo, a parábola será côncava para baixo.

g) O termo constante, –7.2. a) máximo

b) mínimo c) mínimo

3. a) = 2 – 1 b) = – 2 + 14. a) Duas raízes reais. b) Nenhuma raiz real. c) Duas raízes reais. d) 1 raiz real.5.

�–10 –5 0

10

5

15

20

25

30

35

40

45

50

–5

–10

5 10

�

6. O domínio é 0 < t < 5.7. A imagem é 0 < t < 70.

Investigando1. a) e b):

Tempo (s)

50

40

30

20

10

�

�

1 2 3 4

t

Dis

tânc

ia (

m)

d

c) b2. A primeira bola, que foi largada, atingiu o solo depois de 3,2 s; a segunda, que foi jogada, atingiu o solo depois de 4,4 s.

d) Mais ou menos 55 m. e) Aproximadamente 1 s. f) 50 m2. a) A velocidade inicial vertical da bola quando ela foi jogada. b) A altura do prédio acima do solo: 50 m. c) 0 m/s3. b1: 0 e b2: 22 m4.

Tempo (s)

20

15

10

5

0 1 2 3 4

Dis

tânc

ia h

oriz

onta

l (m

)

t

�

�

d

22

4,4

5. O movimento da bola b2 em relação à horizontal é uniforme.

3.2 Soluções algébricas de equações do 20 grau3.2.1 Fatoração e teorema do produto nulo

Vamos registrar1. teorema do produto zero2. dois3. intersecções em 4. eixo de simetria, vértice5. 0, 06. l7. 22; 2

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8. uma raiz dupla9. intersecções em ; função quadrática

Agora é sua vez!1. a) duas b) 0 = 0,25 2 – 4 0 = (0,5 + 2)(0,5 – 2) 0 = 0,5 + 2 ou 0 = 0,5 – 2 –2 = 0,5 ou 2 = 0,5 –4 = ou 4 = 2. ( + 4)3. a) 0, 2 b) (1, 3) c)

�3 �2 �1 1 2 3 4 5

–20

–25

–30

10

5

0

–5

–10

–15

�

�

�

�

4. a) (6 + 2) (6 + 2) ou 4(3 + 1)2

b) = – 13

c) Uma.

3.2.2 A propriedade da raiz quadrada

e o método de completar quadrados

Vamos registrar1. propriedade da raiz quadrada2. a + (–a) = 0; (–a) + a = 03. soma4. trinômio quadrado perfeito5. 3; –136. 47. – 2 = 3 ou – 2 = – 3 (ou ( – 2)2 = 3)8. propriedade da raiz quadrada9. completar o quadrado10. irracionais

Agora é sua vez!1. Duas.2. a) = 3 ou = – 3 b) = 1 ou = – 1 c) = 2 ou = – 23. b2

4. a) 36 b) 100 c) 94 5. 2 + 4 – 5 = 0

2 + 4 = 5 2 + 4 + 4 = 5 + 4 ( + 2)2 = 9 + 2 = 3 + 2 = 3 ou + 2 = – 3 = 1 ou x = – 56. 2 – 10 + 18 = 0 2 – 10 + 25 = – 18 + 25 ( – 5)2 = 7 – 5 = 7 = 5 = 7

3.2.3 Fórmula para resolver equações do 20 grau: a fórmula de Bhaskara

Vamos registrar1. = –b b2 – 4ac

2a 2. 2; 8; –133. 2 42 4. solução real5. b2 – 4ac6. radicando7. reais8. uma solução real9. duas soluções reais

Agora é sua vez!1. a) propriedade da raiz quadrada b) completar o quadrado c) teorema do produto zero2. g = –h h2 – 4fj

2f

3. a) 2 + 12 – 18 = 0; 1; 12; –18 b) 3 2 – 2 + 51 = 0; 3; –2; 51 c) 8 2 – 2 + 27 = 0; 8; –2; 27 ou – 8 2 + 2 – 27 = 0; – 8; 2; –27 d) 2 + 5 – 2 = 0; 1; 5; –2

4. –b b2 – 4ac 2a

= – (–5) (–5)2 – 4 × 5 × 1 2 × 5

= 5 5 10

= 5 + 5 10

ou = 5 – 5 10


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Avaliação da unidade1. a) A equação tem duas soluções. Isso faz sentido

porque o canguru toca o chão ( = 0) em dois pontos: aquele em que ele dá o pulo e aquele onde ele aterriza.

b) = 0 ou = 2 c) 2 m d) 0,25 m2. 0 = m2 – 81 0 = (m + 9) (m – 9) m = 9 = 0 ou m – 9 = 0 m = 9 de m = –93. 0 = s(s – 99) s = 0 ou s – 99 = 0 s = 0 ou s = 994. Deve ser somado o termo b2

4 .

5. 2 + 18 – 19 = 0 2 + 18 = 19 2 + 18 + 81 = 19 + 81 ( + 9)2 = 100 + 9 = 100 = 10 + 9 = 10 ou + 9 = –10 = 1 ou = –196. 0 = 2 + 7 + 5; a = 1; b = 7; c = 5;

= – b b2 – 4 ac 2a

–7 72 – 4 × 1 × 5

2 × 1

–7 49 – 20 2

= – 7 + 29 2

ou = – 7 – 29 2

7. O discriminante informa o número de raízes reais

da equação: se for positivo, haverá duas raízes reais; se for zero, haverá uma raiz real dupla; se for negativo, não haverá raízes reais; se a raiz quadrada do discriminante for racional, as soluções da equação serão racionais.

8. a) – 64; não tem solução real b) – 132; não tem solução real c) 48; duas soluções reais d) 137; duas soluções reais9. a e b.

Investigando1. a) h = –4,9t2 + 60 b)

t 0 1 2 3 4h 60 55,1 40,4 15,9 -18,4

c) Entre t = 3s e t = 4s. O valor de h, quando t é 3, é positivo. Um segundo depois o valor de h é negativo. Assim, em algum lugar entre 3 e 4, o valor de h tem de ser 0.

d)

t�0 1 2 3 4

h

�

20

40

60

e) 60 f) Resolvendo a equação para t quando h

é igual a 0, temos: – 4,9 t2 + 60 = 0 60 = 4,9t2 600 = 49t2 600

49 t2 t =

60049

t = 10 6 7

3,5 s

2. a) João: 2; Marcos: 2. A posição inicial da bola ocorre quando = 0. Portanto, uma vez que é a altura em metros acima do solo, quando = 0, = 2 em cada equação.

b)

0x 1 3 5 6 72 João

Marcos2,8 3,2 2 0,8 0

2 2,9 3,3 1,6 0,1 –0,1

c)

�0 1 2 3 4 5 6

JoãoMarcos

�

1

2

3

4

d) Marcos e) João: 6 m; Marcos: 6,5 m. f) Resolvendo a equação quando = 0, temos: – 0,2 2 + + 2 = 0 –1 12 – 4 (–0,2) × 2

2 (–0,2)

–1 2,6 –0,4

= 6,5m ou = –1,5m (inválido)

94

Perm

itida

a r

epro

duçã

o so

men

te a

os li

cenc

iado

s co

nfor

me

cont

rato


4 Expressões algébricas efunções polinomiais4.1 Equações irracionais e função raiz quadrada4.1.1 Resolvendo equações irracionais

Vamos registrar1. Equação irracional2. a² = b²3. raiz quadrada; 1

2

4. quadrado5. Se os dois gráficos se intersectam,

a abscissa do ponto de intersecção deverá ser a solução desta equação.

6. Falsa raiz7. 0,5

8. verdadeira9. falsa(s) raíz(es)

Agora é sua vez!1. = 252. Não. O símbolo m indica uma raiz não negativa,

portanto m não pode ser um número negativo.3. r – 5 – 8 = 0 r – 5 – 8 + 8 = 0 + 8 r – 5 – 8 = 8 [(r – 5)

12 ]2 = 82

r – 5 = 64 r = 69 Verificação: 69 – 5 – 8 = 0 64 – 8 = 0 8 – 8 = 04. a) uma solução:

� �

��

�

(2, 2)

�

�

b) + 2 = [( + 2)

12 ]² = ²

+ 2 = ² 0 = + ² – – 2 = ( + 1) ( – 2) 0 = + 1 ou 0 = – 2 – 1 = ou 2 = c) = 2 d) = –1

4.1.2 A inversa da função raiz quadrada

Vamos registrar1. bijetora2. inversa3. inversão; função; inversa4. f –1 ( )5. imagem6. domínio7. = 8. função; dois9. = 10. domínio

Agora é sua vez!1. Sim. Para cada ponto no gráfico, cada valor de

corresponde a um, e somente um valor de , e cada valor de corresponde a um, e somente

um, valor de .2. a)

� �

��

�

f ( )

�

f –1( )

b) ≥1. c) f ( ) ≥ 0. d) f –1( ) = 2 + 1 e) ≥ 0. f) Veja o gráfico acima g) Veja o gráfico acima; =

Avaliação da unidade1. a= 12 ( a)² = 12² a = 144 Verificação: 144 = 12 12 = 122. k + 2 = 0 k = – 2. Sem solução.3. d – 15– 5 = 0 d – 15 = 5 ( d – 15)2 = 52 d – 15 = 25 d = 40 Verificação: 40 – 15 – 5 = 0 25 – 5 = 0 5 – 5 = 0 0 = 0


95

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te a

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iado

s co

nfor

me

cont

rato


4. z = z + 7 + 5 z – 5 = z + 7 (z – 5)2 = ( z + 7 )2 z2 – 10z + 25 = z + 7 z2 – 11z + 18 = 0 (z – 2)(z – 9) = 0 z – 2 = 0 ou z – 9 = 0 z = 2 ou z = 9 Verificação: 2 = ( 2 + 7) + 5 2 = 9 + 5 2 = 3 + 5 2 = 8 (falsa!) 9 = 9 + 7 + 5 9 = 16 + 5 9 = 4 + 5 9 = 9 (verdadeira!)5. uma solução; = 1

� �

��

� �

�

11

= + 1

�

�

6. – 1 – 1 = 5

– 1 =

5 + 1

( – 1 )2 = (

5 + 1)²

( – 1) = 2

25 + 2

4 + 1

25 – 25 = 2 + 10 + 25 0 = 2 – 15 + 50 0 = ( – 5)( – 10) 0 = – 5 ou 0 = – 10 5 = ou 10 = 7. Não, porque cada valor não nulo de corresponde

a dois valores de .8. a) ≥ – 2. b) ≥ 0. c) f –1( ) = 2 – 2 d) ≥ 0 e) f–1( ) ≥ – 2

f)

–3

–2

–1

1–2 –1 2 3

1

2

3 y =

f( )(2,2)

(–2,0)

(0,–2)

f –1( )

0 �

�

�

� �

�Investigando1. 80 m. Substituindo t = 2 na fórmula dada, temos: 2 = 20 – d

15

(2)2 = 20 – d15

2

4 = 20 – 15

d

–16 = – 15

d

80 = d2. Não. Após 3 segundos, a pedra estará 55 m acima do

solo. Substituindo t = 3 na fórmula dada, temos: 3 = 20 –

d5

32 = 20 – d5

2

9 = 20 – d5

– 11 = – d5

d = 55 Como o pássaro está voando a uma altura de 60 m, ele está acima da pedra. 3.

d

t

0 20 40 60 80

3

4

2

1

4. 0 < d < 100

96

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cont

rato


5. 3,2 s d = 256

2 = 12

t = 20 – 50 =15

= 20 – =505

= 20 – 10 = = 10 = = 3,26. A pedra atinge o solo quando d = 0, então:

t = 20 – d 15

= 20 – (0) =15

= 20 × 0 = = 20 4,5s = 3,2Assim, a pedra atinge o solo depois de 4,5 s.7. Uma vez que o domínio da função é 0 ≤ d ≤ 100,

a imagem da função é 0 ≤ t ≤ 4,5.8. Sim. As respostas podem variar, mas os estudantes

devem indicar que a função é uma função bijetora, porque neste domínio para cada valor de d há um, e somente um, valor para t.

4.2 Frações algébricas, equações e funções4.2.1 Operações com frações algébricas

Vamos registrar1. fração algébrica; um2. a

c × b

d

3. a0

4. restrição5. Sim, o quociente de duas expressões

fracionárias pode ser expresso como o produto de duas expressões fracionárias.

6. a + cb

7. ad + bcbd

8. denominador; 9. d

b

Agora é sua vez!1. a) a –2 c) t –1 b) n 0 d) x 22. a) b –2, 0, 2; 5

b(b – 2)

b) c 0; 4c + 12

c

c) d 0; 2 – 5d

4d2

d) h 0, 6; h + 6

h (h – 6)

e) k 0, 2; 5k – 14k + 2

k (k – 2)

4.2.2 Funções racionais

Vamos registrar1. equação fracionária2. hipérbole3. eixo vertical, eixo horizontal4. a) ( + ∞ c) ( 0+ – ∞ b) – ∞ d) 0–

5. assíntota6. descontínua7. domínio, assíntota vertical8. horizontalmente9. assíntota

Agora é sua vez!1. a) > b) < c) > d) <2. = 13. a)

� �

��

�

�

�

�

�

= 2

b)

–4

–3

–2

–1

1–2–3 –1

= 2

–4–5–6–7 2 3 4 5

1

2

3

4

0 �

�

�

�

�

�

�

�


97

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rato


4.2.3 Equações fracionárias

Vamos registrar1. denominador comum2. = 33. 34. velocidade de trabalho; tempo de trabalho5. 76. t = d

r

7. falsa raiz8. restrições9. equação fracionária

Agora é sua vez!1. a) 2k2 + 8k ou 2k(k + 4) b) 12w2 – 36w ou 12w(w – 3) c) p2 – 5p + 6 ou (p – 3)(p – 2)2. p = 2,83. 3 1

3 h

4. a) Para o primeiro ônibus, temos: v = d/t v × t O segundo ônibus percorre a mesma distância d, em

um tempo t – 0,5 (considerando o tempo em horas). Portanto, a velocidade do segundo ônibus é:

v2 = dt – 0,5

v2 = vtt – 0,5

b) Substituindo os valores das velocidades na

equação acima, temos: v2 = 20t

t – 0,5 50 (t – 0,5) = 20t

50t – 25 = 20t 30t = 25

t = 2530

= 56

h = 50 min O tempo do segundo ônibus é então: 50 min – 30 min = 20 min Então, ele partiu às 7h50min e chegou às 8h10min.5. 3 1

3 min

Avaliação da unidade1. a) 0 b) – 3 c) 22. a) 2(w + 3)

w – 2

b) 2z2 + 5z – 3

(z + 1)(z – 1)

c) 3(4 – u)

36

d) – 2 – 5 + 42

6( + 2)

3.

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

– 2

Indefinido

2

1

f( )

232425

12

ou

2627

13

ou

4. a)

� �

��

�

�

�

�

� = 6

b)

� �

��

�

�

�

�

�

= 1

5. t6

+ th

= 1, assim se t = 4, h = 12 h

6. a) 5 km b) 18 km/h

Investigando1.

0,5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6 t

f

98

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nfor

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cont

rato


2. Diminui.3. Diminui.4. 1

2 movimento por segundo.

0,5

0,5

1

1,52

2,5

3

3,54

4,5

0 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6

(2, )12

t

f

5. 14

s

0,5

0,5

1

1,52

2,5

3

3,54

4,5

0 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6

1( , 4)4

t

f

6.

0,5

0,5

1

1,52

2,5

3

3,54

4,5

0 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6 t

v

7. O gráfico é a parte da hipérbole no quadrante I, e mudando de posição para mais longe do eixo do que o outro gráfico.

8. Para uma dada velocidade, o tempo necessário para completar um ciclo aumenta ao aumentar o comprimento da onda.

0,5

0,5

1

1,52

2,5

3

3,54

4,5

0 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6

2,5v = t2v = t

t

v

5 Organizando informações5.1 Exibindo informações em gráficos5.1.1 Diagramas de ramos e folhas e diagramas de caixa

Vamos registrar1. coleta; apresentação; análise2. histograma; barras; frequências absolutas3. ramos; folhas4. diferença5. assimétrica6. mediana7. quatro8. segundo quartil9. diagrama de caixas 10. terceiro; primeiro11. Ponto discrepante

Agora é sua vez!1.

3 3

4 2 , 9

6 5 , 7

10 5 , 7

28 7

29 7

53 4

% de trabalhadores

Notação: (exemplo) 33

= 3,3%


99

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cont

rato


2. a) 3,3 b) 53,4 c) 15,86 d) 8,63. 4,9; 8,6; 28,74. 23,85.

��

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

4,9 8,6 28,7

6. 53,4

5.1.2 Diagramas de dispersão e retas de regressão

Vamos registrar1. duas2. regressão3. reta das medianas4. Não, porque a maioria dos pontos do conjunto

central está entre a reta M1M3 e sua paralela que passa pelo ponto M2.

5. paralela; 13

; 23

6. tendência7. previsões

Agora é sua vez!1.

�

�

Tem

pos

(s)

Ano

52

50

48

46

58

56

54

60

1920

1924

1928

19321936

1940

1944

1948

1952

1956

1960

19641968

1972

1976

19801984

1988

2. M1 = (1932; 58,2) M2 = (1960; 55,2) M3 = (1980; 49,99)

3. a) = – 0,17t + 388,65 b) = – 0,17t + 390,44 c) = – 0,17t + 389,244. t = 50,6

Avaliação da unidade1.

4 0 8

5 1 1

6 4 7 9

7 2

8 0

11 2

Velocidade média (km/h)

Notação: (exemplo) 4

0 = 40 km/h

a) 65,4 km/h b) 112 km/h c) 65,5 km/h d) Sim; porque a média é quase igual à mediana.2. a) Q1 = 51 Q2 = 65,5 Q3 = 72

��

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 120

49,5 65,5 76

b) 21 c) O intervalo interquartil mostra que

aproximadamente 50% dos animais listados na tabela têm velocidade média entre 51 km/h e 72 km/h.

3. a) uma dimensão b) uma dimensão c) duas dimensões4. a) M1 = (1 937,5; 64,55) M2 = (1960, 73,1) M3 = (1982,5; 77,8) b) m = 0,294 c) = 0,294 – 505,64 d) 80,9 anos

Investigando1. Um diagrama de caixa é a melhor maneira de

representar a informação desejada. O intervalo de horas que representa a metade (50%) do número de horas é o intervalo interquartil. Para encontrar esse intervalo, cada quartil deve ser determinado:

Q1 = 28 + 35

2 = 31,5

Q2 = 70 + 752

= 72,5

Q3 = 80 + 842

= 82

100

Perm

itida

a r

epro

duçã

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men

te a

os li

cenc

iado

s co

nfor

me

cont

rato


O intervalo interquartil é: Q3 – Q1 = 82,0 – 31,5 = 50,5.

Pontos discrepantes: Sílvia (5 h) e Iara (127 h).

��

0 50 100 150

5 31,5 72,5 82 127

2. Um diagrama da ramos e folhas é a melhor maneira de representar a informação desejada. O máximo é de 127 h, e o mínimo é de 5 h. A média dos dados é 61,8. Há 5 valores abaixo da média e 7 valores acima dela. Além disso, o valor da média (61,8) está um pouco afastado da mediana (72,5). Portanto, os dados são pouco discrepantes, e a média não representa uma medida adequada da tendência central.

0 5

2 8 , 8

3 5 , 7

7 0 , 5

8 0 , 0 4

9 3

12 7

Número de horas

Notação: 2

8 = 28 h

3. Um diagrama de dispersão é a melhor maneira de ver se há uma tendência geral nos dados.

Equação da reta de regressão é: = 5 154,43 – 10 291 850,64 Substituindo por 2020, calculamos que o número

previsto para esse ano é de 120 095 visitantes.

Ano

Nº

de

visi

tant

es1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

10 000

0

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

A estimativa pode não ser razoável, porque durante os dois últimos anos o número de visitantes foi flutuante.

algebraii

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