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2ª Edição – Revisada
Florianópolis, 2011
Álgebra IOscar Ricardo JaneschInder Jeet Taneja
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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.
Ficha Catalográfica J35a Janesch, Oscar Ricardo Álgebra I / Oscar Ricardo Janesch , Inder Jeet Taneja. – 2. ed. rev. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. 215 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN xxx 1. Álgebra. I. Taneja, Inder Jeet. II. Título. CDU 519.6
Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786
Sumário
Apresentação ............................................................................. 7
Introdução .................................................................................. 9
1. Anéis, Domínios e Corpos ................................................ 131.1 Introdução ................................................................................... 151.2 Anel, domínio e corpo ............................................................... 181.3 Propriedades dos anéis .............................................................. 25Resumo .............................................................................................. 32
2. Alguns Anéis Especiais .................................................... 332.1 Anéis de funções ........................................................................ 352.2 Anéis de matrizes ...................................................................... 382.3 Anéis n ....................................................................................... 432.4 Anel produto direto ................................................................... 55Resumo .............................................................................................. 60
3. Subanéis, Elementos Notáveis e Divisibilidade ........... 613.1 Subanéis, subdomínios e subcorpos ........................................ 633.2 Elementos notáveis de um anel ................................................ 733.3 Divisibilidade, elementos primos
e elementos irredutíveis ............................................................ 82Resumo .............................................................................................. 94
4. Ideais e Anéis Quociente .................................................. 954.1 Ideais ............................................................................................ 974.2 Aritmética de ideais ..................................................................1074.3 Ideais primos e ideais maximais .............................................1134.4 Anel quociente .......................................................................... 120Resumo ............................................................................................ 134
5. Homomorfismos e Isomorfismos ................................... 1355.1 Homomorfismo de anéis ..........................................................1375.2 Propriedades dos homomorfismos .........................................1455.3 Isomorfismos de anéis ............................................................. 153Resumo .............................................................................................168
6. O Corpo dos Números Complexos ................................ 1696.1 O corpo .................................................................................. 1716.2 Conjugado e norma .................................................................. 1806.3 Forma trigonométrica e potências ......................................... 1886.4 Raiz n-ésima complexa ............................................................ 1956.5 Alguns subdomínios de ...................................................... 208Resumo .............................................................................................214
ApresentaçãoEste material foi elaborado para o curso de ensino à distância de Álgebra I. Os objetivos principais desta disciplina são o estudo de estruturas algébricas e das propriedades dos elementos de cada estrutura algébrica.
O conteúdo está dividido em seis capítulos. Cada capítulo está dividido em seções, de acordo com os assuntos abordados, e ter-mina com um resumo.
Os capítulos 1, 2 e 3 são menos extensos, e os exercícios referentes a cada um destes capítulos aparecem no final do respectivo capí-tulo. Os capítulo 4, 5 e 6 têm mais conteúdo e por isso os exercí-cios destes capítulos são colocados no final de cada seção.
Os exercícios integram ao texto. É indispensável resolvê-los. As dúvidas que surgirem podem ser sanadas com os colegas de cur-so, com os tutores ou com o professor da disciplina.
O programa da disciplina foi desenvolvido de forma que inicias-se com os conceitos básicos e exigisse o mínimo de pré-requisitos. Todas as seções, com exceção da primeira, utilizam conceitos e re-sultados das seções anteriores. Desta forma, nenhuma parte deste material pode ser deixada de lado sem a possibilidade de prejuízo de aprendizado.
Todo o material deste livro é de responsabilidade do Professor Oscar Ricardo Janesch.
Oscar Ricardo Janesch
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IntroduçãoAtualmente, quando estudamos conjuntos numéricos, temos in-teresse em conhecer propriedades das operações e relações nestes conjuntos. Esta maneira de tratar com conjuntos numéricos teve início com os trabalhos de Pitágoras de Samos, que viveu no sé-culo VI a.C..
Pitágoras tinha conhecimento que os egípcios e babilônios faziam cálculos usando regras que eram passadas de geração a geração. Analisando tais regras, ele passou a considerar os números como elementos abstratos (que não eram necessariamente associados a problemas práticos que envolvessem medidas ou quantidades), e deduziu propriedades das operações entre estes elementos.
Para ter certeza dos resultados obtidos, Pitágoras aperfeiçoou a prova científica ou prova matemática, que também chamamos simplesmente de demonstração. A demonstração matemática ini-cia com uma “verdade aceita” e através de argumentação lógica chega a uma conclusão inegável. Esta é a ferramenta fundamental para o estudo da matemática.
Os conhecimentos sobre várias áreas da matemática são forma-lizados através do método axiomático, que consiste de conceitos primitivos e axiomas. Os conceitos primitivos são termos aceitos sem explicação formal, e os axiomas são proposições, envolvendo os conceitos primitivos, tomadas como verdadeiras por estarem baseadas na intuição elementar. A partir dos axiomas provam-se novas proposições, e a partir dos axiomas e das novas propo-sições provam-se outras proposições, e assim sucessivamente se constrói a teoria sobre determinado assunto.
A geometria foi o primeiro ramo da matemática que teve sua teo-ria construída de forma axiomática. Isto se deve aos trabalhos de Euclides (século III a.C.) publicados na obra Elementos.
A axiomatização da álgebra ocorreu bem mais tarde. A primeira tentativa foi feita pelo inglês Benjamin Peacok (1791-1858) em 1830, mas não se mostrou consistente. Nesta época poucos matemáticos
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se dedicavam à tentativa de axiomatizar operações em conjuntos de forma geral, pois o objetivo principal era obter a axiomatização dos conjuntos numéricos , , , e .
O conjunto dos números complexos foi o primeiro a ter sua cons-trução descrita pelo método axiomático. Isso ocorreu em 1833, com trabalhos de Willian R. Hamilton (1805-1865). O último foi o conjun-to dos números naturais em 1899, graças aos estudos de Giuseppe Peano.
Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados de estruturas algébricas. O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatiza-ção da álgebra, surgiu como conseqüência da sistematização dos conjuntos numéricos. A definição formal de anel foi elaborada em 1914 pelo alemão A. Fraenkel (1891-1965).
A estrutura algébrica chamada anel é o assunto do curso de Álgebra I. Veremos que um anel é um conjunto não vazio onde estão de-finidas operações que satisfazem propriedades bem determinadas. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros , com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel.
A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjun-tos temos boas propriedades aritméticas que permitem fazer contas. De outra forma, o conceito de anel está relacionado com as seguintes perguntas: Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em , a partir do qual é possível demonstrar as de-mais propriedades de ? Quais propriedades as operações de um conjunto A devem satisfazer para que possamos fazer contas em A de forma semelhante a que fazemos em ?
As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em (e de qualquer outro conjunto com duas operações) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades.
Seja A um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfa-zem os seis axiomas de anel. Chamaremos A de anel. Suponha que
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a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais. Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para A , mas para todo conjunto com duas operações que satisfaçam os seis axiomas de anel.
Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estu-dar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e pas-samos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos.
Existem várias outras estruturas algébricas, mas neste curso trata-remos apenas com estruturas algébricas que são anéis, ou que são anéis e satisfazem novos axiomas. Especificamente estudaremos as estruturas algébricas chamadas anéis comutativos, anéis com uni-dade, anéis comutativos com unidade, domínios e corpos.
No Capítulo I definiremos formalmente as estruturas algébricas ci-tadas acima, veremos alguns exemplos e provaremos propriedades aritméticas comuns aos anéis. O Capítulo seguinte trata de anéis específicos. A saber, os anéis de funções, os anéis de matrizes, os anéis n e os anéis produto direto. No Capítulo III estudaremos subanéis como uma ferramenta para produzir novos anéis, e tra-taremos de elementos especiais em anéis. O Capítulo IV aborda os ideais como a família de subanéis para a qual é possível construir um anel quociente. As funções que relacionam anéis, chamadas de homomorfismos de anéis, serão tratadas no Capítulo V. O último Capítulo traz um estudo do corpo dos números complexos, e de alguns subanéis de .
Capítulo 1Anéis, Domínios e Corpos
Capítulo 1Anéis, Domínios e Corpos
Neste capítulo definiremos formalmente as estruturas algébricas chamadas anel, anel comutativo, anel com unidade, anel comutativo com unidade, domínio e cor-po. Apresentaremos alguns exemplos e provaremos pro-priedades aritméticas dos anéis.
1.1 IntroduçãoIniciaremos com conceitos e resultados conhecidos sobre o con-
junto dos números inteiros . O objetivo é apresentar como um exemplo que motive a definição formal de anel.
As operações usuais de adição e multiplicação de números in-teiros são indicadas respectivamente por
:+ × → e :⋅ × →
( , )a b a b+ ( , )a b a b⋅ .
Essa notação é usada para deixar claro que a adição e a multi-plicação são funções de × em . Assim, a operação de adi-ção associa a cada par ( , )a b ∈ × um único elemento a b+ ∈ . Analogamente, a operação de multiplicação associa a cada par ( , )a b ∈ × um único elemento a b⋅ ∈ .
É claro que existem outras operações em . Vejamos dois exemplos:
:− × → •( , )a b a b− .
:∗ × → •( , ) 2 5a b a b a b∗ = + .
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Para indicar que consideramos no conjunto as operações usuais de adição ( )+ e multiplicação ( )⋅ , escrevemos ( , , )+ ⋅ .
Nosso interesse é por propriedades das operações de ( , , )+ ⋅ . Existem muitas, mas vamos destacar seis delas, que chamaremos de axiomas de anel:
(i) Comutatividade da adição:, ,a b b a a b+ = + ∀ ∈ .
(ii) Associatividade da adição: ( ) ( ), , ,a b c a b c a b c+ + = + + ∀ ∈ .
(iii) Existência de elemento neutro para a adição: 0 0 ,a a a a+ = + = ∀ ∈ .
(iv) Existência de elemento simétrico em relação à adição: Dado a∈ , existe ( )a− ∈ tal que ( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = .
(v) Associatividade da multiplicação: ( ) ( ), , ,a b c a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈ .
(vi) Distributividade da multiplicação em relação à adição: ( ) , , ,a b c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ∀ ∈• ;
( ) , , ,a b c a c b c a b c+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∀ ∈• .
Pelo fato de ( , , )+ ⋅ satisfazer os axiomas acima, dizemos que ( , , )+ ⋅ é um anel.
É evidente que existem outros conjuntos munidos de duas ope-rações que satisfazem os axiomas de anel. Por exemplo, ( , , )+ ⋅ , ( , , )+ ⋅ e ( , , )+ ⋅ com operações usuais. Veremos neste capítu-lo que existem muitos outros. Na verdade existem infinitos con-juntos munidos de duas operações que satisfazem os axiomas de anel. Em analogia ao que fizemos com ( , , )+ ⋅ , cada um desses conjuntos com suas operações será chamado de anel.
É claro que ( , , )+ ⋅ também satisfaz outros axiomas, mas no momento estamos interessados apenas nos axiomas (i)-(vi) citados acima. A importância desses seis axiomas está no fato de forma-rem o menor conjunto de axiomas, a partir dos quais é possível provar as propriedades operacionais básicas de ( , , )+ ⋅ .
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Para ilustrar de que maneira os axiomas de anel podem ser usados para provar propriedades operacionais de ( , , )+ ⋅ , va-mos provar um fato bem conhecido:
0 0,a a⋅ = ∀ ∈ .
Pelo axioma (iii): 0 0 0= + .
Multiplicando por a: 0 (0 0)a a⋅ = ⋅ + .
Pelo axioma (vi): 0 0 0a a a⋅ = ⋅ + ⋅ .
Pelo axioma (iv), existe um simétrico ( .0)x a= − para 0a ⋅ . Somando x em ambos os lados da igualdade acima: 0 ( 0 0)a x a a x⋅ + = ⋅ + ⋅ + .
Pelo axioma (ii): 0 0 ( 0 )a x a a x⋅ + = ⋅ + ⋅ + .
Como x é simétrico de 0a ⋅ : 0 0 0a= ⋅ + .
Pelo axioma (iii): 0 0a= ⋅ .
Note que na demonstração acima não foi relevante o fato de trabalharmos com números inteiros, mas sim o fato de valerem os axiomas de anel. Isso leva à conclusão seguinte:
Qualquer conjunto não vazio A, com duas operações que satisfazem os axiomas de anel, tem a propriedade a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
De forma mais geral:
Toda propriedade provada a partir dos axiomas de anel vale para qualquer conjunto que satisfaz os axiomas de anel.
Isso leva a uma mudança de enfoque. A saber, estudar um con-junto não pela natureza de seus elementos, mas sim pelas pro-priedades de suas operações. Esse novo enfoque começou a ser
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usado na primeira metade do século passado, e alguns autores o chamam de “Álgebra Moderna”. Neste contexto a ênfase está na estrutura algébrica do conjunto, isto é, nos axiomas satisfeitos pelas operações do conjunto.
A vantagem da abordagem acima está no fato de obtermos pro-priedade para muitos conjuntos de uma só vez. Claro que estes conjuntos devem ter operações que satisfaçam axiomas previa-mente estabelecidos. Em nosso caso, queremos conhecer proprie-dades obtidas através dos axiomas de anel e conhecer conjuntos que satisfaçam estes axiomas. Iniciaremos este trabalho na próxi-ma seção.
1.2 Anel, domínio e corpoDefinição 1.2.1. Um anel é um conjunto A ≠ φ no qual estão definidas duas operações, + e ⋅ , satisfazendo os seguintes axiomas:
(i) , ,a b b a a b A+ = + ∀ ∈ .
(ii) ( ) ( ), , ,a b c a b c a b c A+ + = + + ∀ ∈ .
(iii) Existe 0A A∈ tal que 0 0 ,A Aa a a a A+ = = + ∀ ∈ .
(iv) Dado a A∈ , existe ( )a A− ∈ tal que ( ) ( ) 0Aa a a a+ − = − + = .
(v) ( ) ( ) , , ,a b c a b c a b c A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈
(vi) ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ , ,a b c A∀ ∈ .
( ) , , ,a b c a c b c a b c A+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∀ ∈ .
Observação 1.2.1. Os símbolos + e · indicam operações em A, isto é,
: A A A+ × → e : A A A⋅ × →( , )a b a b+ ( , )a b a b⋅ ,
são funções de A A× em A .
Observação 1.2.2. A escolha dos símbolos + e ⋅ para indicar as operações do anel A é apenas uma notação. Poderíamos, por exemplo, representar as operações do anel A por ∗ e ∆ .
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Observação 1.2.3. Por indicar que o conjunto A é anel, em relação às operações ∗ e ∆ , escrevemos ( , , )A ∗ ∆ . A primeira operação ∗ , na notação ( , , )A ∗ ∆ , é chamada de adição. A segunda operação ∆ é chamada de multiplicação. Quando não houver possibilida-de de confusão sobre as operações consideradas, podemos nos referir simplesmente ao anel A , sem mencionar as operações.
Observação 1.2.4. O elemento 0A do axioma (iii) é chamado de elemento neutro ou zero da adição do anel A . Quando apenas o anel A for considerado denota-se 0A simplesmente por 0 .
Observação 1.2.5. O elemento a A− ∈ , visto no axioma (iv), é chamado de simétrico de a . Note que o axioma (iv) garante que todo elemento de A tem simétrico em A . Assim, se ,a b A∈ en-tão ,a b A− ∈ e podemos efetuar a operação ( )a b+ − . Para facili-tar a escrita, usamos a notação a b− para indicar ( )a b+ − , isto é,
( )a b a b+ − = − . Chamamos de operação subtração em A a opera-ção que a cada ( , )a b A A∈ × associa o elemento a b A− ∈ .
Observação 1.2.6. Ao efetuarmos a multiplicação dos elementos a e b do anel ( , , )A + ⋅ , é comum omitir o símbolo ⋅ que indica a operação. Isto é, a b ab⋅ = .
Observação 1.2.7. Os axiomas (i)-(vi) são chamados de axiomas de anel.
Antes de apresentar exemplos de anel, veremos que anéis cujas operações satisfazem novos axiomas têm denominação especial. Lembre que quando dizemos que A é um anel, fica subentendida a existência de duas operações que satisfazem os axiomas de anel.
Definição 1.2.2. O anel A é comutativo quando:(vii) , ,ab ba a b A= ∀ ∈ .
Definição 1.2.3. O anel A é unitário ou com unidade quando:(viii) Existe 1A A∈ tal que 1 1 ,A Aa a a a A⋅ = ⋅ = ∀ ∈ .
Observação 1.2.8. O elemento 1A da definição acima é chamado de unidade do anel A . Quando não houver possibilidade de con-
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fusão sobre o anel considerado, escrevemos apenas 1 para indicar a unidade do anel A .
Observação 1.2.9. Um elemento a do anel A é chamado divi-sor de zero quando 0a ≠ e existe b A∈ , 0b ≠ , tal que 0ab = ou
0b a = .
Definição 1.2.4. Dizemos que o anel A é um anel sem divisores de zero quando:
(ix) ,a b A∈ e 0 0 ou 0ab a b= ⇒ = = .
Definição 1.2.5. Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Observação 1.2.10. Um domínio de integridade também é cha-mado de anel de integridade ou simplesmente domínio.
Definição 1.2.6. Um corpo é um anel unitário e comutativo K que satisfaz:
(x) a K∈ e 0 ; 1a x K a x≠ ⇒ ∃ ∈ = .
Observação 1.2.11. O elemento x da definição acima é chamado de inverso do elemento a K∈ , e denotado por 1a− . Assim, um corpo é um anel unitário e comutativo no qual todo elemento diferente de zero tem inverso.
Observação 1.2.12. A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axio-mas satisfeitos pelas operações. Nosso interesse é pelas estruturas algébricas de anel (anel comutativo e anel com unidade), domínio e corpo.
Segue das definições acima que:
Todo domínio é anel;•
Todo corpo é um anel.•
Veremos agora que todo corpo é um domínio. Por isso, usa-remos o lema abaixo, cuja demonstração é cópia do que fizemos para verificar que 0 0,a a⋅ = ∀ ∈ .
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Lema 1.2.1. Se A é um anel, então 0 0 0a a⋅ = ⋅ = , para todo a A∈ .
Demonstração. Seja a A∈ . Verificaremos que 0 0a ⋅ = . A igual-dade 0 0a⋅ = se prova de forma análoga. Pelo axioma (iii) temos:
0 0 0= + (Multiplique por a à esquerda)
(Use o axioma (vi))
(Some o simétrico x de .0a , que.0 .0 .0a a a= + existe pelo axioma (iv))
.0 ( .0 .0)a x a a x+ = + + (Use o axioma (ii))
( .0 0a x+ = )
0 .0 0a= + ( .0 0 .0a a+ = )
0 0a= ⋅ .
Proposição 1.2.1. Se K é corpo, então K é domínio.
Demonstração. Como K é corpo, temos que K é anel unitário e comutativo que satisfaz o axioma (x). Assim, para provar que K é domínio só faltar verificar que K não tem divisores de zero, isto é, verificar o axioma (ix).
Sejam ,a b K∈ tais que 0ab = .
Se 0a = a demonstração acabou.
Se 0a ≠ , usamos o axioma (x), pois K é corpo, para obter 1a K− ∈ tal que 1 1a a− ⋅ = .
Agora,
0ab = (multiplique por 1a− à esquerda)
1 1( ) 0a ab a− −= ⋅ (use o Lema 1.2.1)
1( ) 0a ab− = (use o axioma (v))
1( ) 0a a b− =
1 0b⋅ =
0b = .
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Portanto, quando 0ab = devemos ter 0a = ou 0b = . Isso asse-gura que K é um domínio.
Passemos aos exemplos de anéis. Note que o Exemplo 1.2.1 abaixo mostra que não vale a recíproca da Proposição 1.2.1, isto é, existe domínio que não é corpo.
Exemplo 1.2.1. Com as operações usuais, ( , , )+ ⋅ é domínio que não é corpo.É claro que ( , , )+ ⋅ é domínio cujo elemento neutro é o número 0 , o simétrico de a∈ é a− ∈ , e a unidade é o número 1. No entanto ( , , )+ ⋅ não é corpo, pois 2∈ e não existe x∈ tal que 2 1x⋅ = .
Exemplo 1.2.2. No conjunto defina as operações:
a b a b∗ = +•
0a b =• .
Como a operação ∗ é a adição usual, os axiomas (i), (ii), (iii) e (iv) são verificados. Vejamos que valem os axiomas (v) e (vi). Tome
, ,a b c∈ .
( ) 0 ( )a b c a b c= = ,
( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b a c a b a c∗ = = + = + = ∗ ,
( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )a b c a c b c a c b c∗ = = + = + = ∗ .
Segue que ( , , )∗ é anel. Obviamente é comutativo, pois 0 , ,a b b a a b= = ∀ ∈ . No entanto, ( , , )∗ não tem unidade.
De fato, suponha que x∈ é unidade, então, teremos 2 2 0x= = , que é uma contradição. Concluímos que, ( , , )∗ é anel comuta-tivo sem unidade, e portanto não é domínio. Observe ainda que ( , , )∗ é anel com divisores de zero, pois 2 0≠ , 3 0≠ e 2 3 0= .
Os exemplos acima mostram que a estrutura algébrica de um conjunto depende das operações consideradas. Vimos que com as operações usuais é um domínio, mas não é domínio com as operações a b a b∗ = + e 0a b = . O próximo exemplo mostra que pode sequer ser anel, dependendo da escolha das operações.
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Exemplo 1.2.3. No conjunto defina as operações:
a b a b∗ = −•
a b ab=• .
Afirmamos que ( , , )∗ não é anel. Basta observar que não vale o axioma (i), pois 1 0 1 0 1∗ = − = e 0 1 0 1 1∗ = − = − .
Exemplo 1.2.4. Com as operações usuais ( , , )+ ⋅ é um corpo. Não há dificuldade para verificar que ( , , )+ ⋅ é anel comutativo e com unidade 1 .
Além disso, dado paq
= ∈ , ,p q∈ , 0a ≠ , vem que 0p ≠ e qp∈ .
Então 1 qap
− = ∈ , pois 1p qq p⋅ = .
Exemplo 1.2.5. No conjunto defina as operações:
a b a b∗ = +•
0a b =• .
De forma análoga ao Exemplo 1.2.2 vemos que ( , , )∗ é anel comutativo sem unidade e com divisores de zero. Logo, ( , , )∗ não é corpo e nem domínio.
Exemplo 1.2.6. Com as operações usuais ( , , )+ ⋅ é um corpo. É claro que ( , , )+ ⋅ é anel comutativo com unidade 1.
Também sabemos que se x∈ , 0x ≠ , então 1x∈ e
1 1xx⋅ = .
Isso garante que ( , , )+ ⋅ é corpo, pois todo elemento não nulo tem inverso.
No próximo exemplo apresentamos operações em um conjun-to finito A através de tabelas. Para isso escrevemos os elementos do conjunto A em uma coluna (vertical) e também em uma linha (horizontal) separados por traços, como no exemplo abaixo. A ta-bela é preenchida operando, em ordem, o elemento da coluna por cada elemento da linha. Portanto, dada uma tabela deste tipo, sa-bemos como operar quaisquer dois elementos do conjunto.
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Exemplo 1.2.7. Seja { },A e a= um conjunto com 2 elementos. Defi-na as operações + e ⋅ em A , pelas tabelas abaixo:
+ e a · e a
e e a e e e
a a e a e a
Afirmamos que ( , , )A + ⋅ é corpo onde 0A e= e 1A a= . Analisan-do a tabela da operação +, vemos que esta operação é comutativa e associativa, isto é, satisfaz os axiomas (i) e (ii). Além disso 0A e= , pois e e e+ = e e a a+ = . O simétrico de e é e e o simétrico de a é a . Até agora vimos que ( , , )A + ⋅ satisfaz os axiomas (i), (ii), (iii) e (iv). Olhando para a tabela da operação ⋅ , vemos que vale (v). Para verificar o axioma (vi) precisamos fazer algumas contas:
( )e e e ee e e e ee ee+ = = = + = +
( )e e a ea e e e ee ea+ = = = + = +
( )a e e ae e e e ae ae+ = = = + = +
( )a a e aa a a e aa ae+ = = = + = +
( )a a a ae e a a aa aa+ = = = + = + .
Isso prova a distributividade à esquerda. De forma análoga veri-fica-se a distributividade à direita. Portanto, ( , , )A + ⋅ é anel. A co-mutatividade da multiplicação é óbvia. Desde que ae e= e aa a= temos que 1A a= . Para provar que ( , , )A + ⋅ é corpo, só falta mos-trar que todo elemento diferente de 0A e= tem inverso. Mas o único elemento diferente de 0A e= é a , que tem inverso a . Con-cluímos que ( , , )A + ⋅ é corpo.
Vimos acima que para apresentar um exemplo de anel finito com 2 elementos, dá algum trabalho. Veremos no decorre des-te curso, que para cada número natural n , é possível construir um anel com n elementos. Claro que iremos desenvolver técnicas
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mais refinadas do que simplesmente fazer contas como no Exem-plo 1.2.7. Imagine quantas combinações deveríamos trabalhar para verificar a propriedade distributiva em um conjunto com 50 elementos.
No próximo capítulo estudaremos famílias especiais de anéis, inclusive uma família de anéis finitos. Antes, vamos terminar este capítulo provando várias propriedades comuns aos anéis.
1.3 Propriedades dos anéisProposição 1.3.1. Sejam ( , , )A + ⋅ um anel e , ,a b c A∈ .
(1) O zero é único.
(2) O simétrico é único.
(3) 0 0 0a a⋅ = ⋅ = .
(4) a b a c b c+ = + ⇔ = .
(5) b c ab ac= ⇒ = e ba ca= .
(6) ( )a a− − = .
(7) ( ) ( ) ( )ab a b a b− = − = − .
(8) ( )a b c ab ac− = − .
(9) ( )a b c ac bc− = − .
(10) ( )a b a b− + = − − .
(11) ( )( )a b ab− − = .
Demonstração.
(1) Sabemos que o anel A tem um zero que denotamos por 0A . Suponha que exista outro zero em A , que indicaremos por x .
Como 0A é elemento neutro da adição, vale 0A x x+ = .
Como x é elemento neutro da adição, vale 0 0A Ax+ = .
Das igualdades acima concluímos que 0Ax = , e portanto 0A é o único elemento neutro do anel A .
26
(2) Seja a A∈ . Sabemos que a tem um simétrico a A− ∈ . Supo-nha que x A∈ também é simétrico de a .
0x x= + ( 0 é elemento neutro para A )
( ( ))x a a= + + − ( a− é simétrico de a )
( ) ( )x a a= + + − (axioma (ii))
0 ( )a= + − (pois x é simétrico de a )
a= − . ( 0 é elemento neutro de a )
Logo x a= − e então a− é o único simétrico de a .
(3) Já foi provada no Lema 1.2.1.
(4) ( )⇐ Desde que + é operação em A , ela associa a cada par de elementos de A um único elemento de A . Como b c= te-mos que os pares ( , )a b e ( , )a c são os mesmos em A A× . Assim a b a c+ = + .
( )⇒ Por hipótese a b a c+ = + . Então, usando a direção ( )⇐ , podemos somar a− em ambos os lados obtendo:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
.
− + + = − + + ⇒ − + + = − + +⇒ + = +⇒ =
a a b a a c a a b a a cb c
b c
(5) É análoga a ( )⇐ da propriedade anterior, trocando + por ⋅ . De fato, como b c= os pares ( , )a b e ( , )a c coincidem em A A× , e a operação multiplicação associa a cada par de elementos de A um único elemento de A . Portanto, ab ac= . Da mesma maneira verifica-se que ca ba= .
(6) Como a− é o simétrico de a valem as igualdades ( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = . Isso mostra que a é o simétrico de a− .
Desde que o símbolo − indica o simétrico temos ( )a a− − = .
(7) ( ) ( )a b ab a a b− + = − + (axioma (vi))
0 b= ⋅
0= . (propriedade (3))
27
Analogamente verifica-se que ( ) 0ab a b+ − = . Isso mostra que ( )a b− é simétrico de ab . Pela unidade do simétrico vista na pro-priedade (2) vem que ( ) ( )ab a b− = − .
A igualdade ( ) ( )ab a b− = − pode ser verificada da mesma forma.
(8) ( ) ( ( ))a b c a b c− = + −
( )ab a c= + − (axioma (vi))
( )ab ac= + − (propriedade (7))
= ab ac− .
(9) ( ) ( ( ))a b c a b c− = + − (axioma(vi))
( )ac b c= + − (propriedade (7))
ac bc= −
(10) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a a b b+ + − + − = + − + + − (axiomas (i) e (ii))
0 0= +
0= .
Analogamente, ( ) ( ) 0a b a b− + − + + = .
Segue que o simétrico de a b+ é ( ) ( )a b a b− + − = − − . Portanto, ( )a b a b− + = − − .
(11) ( )( ) ( ( ))a b a b− − = − − (propriedade (7))
( )ab= − − (propriedade (7))
ab= . (propriedade (6))
Proposição 1.3.2. Seja ( , , )A + ⋅ um anel com unidade.
(1) A unidade é única.
(2) Se , 0a A a∈ ≠ e a tem inverso em A , então o inverso de a é único.
(3) Se 1 0= então {0}A = .
28
Demonstração.
(1) É idêntica à que fizemos na Proposição 1.3.1(1) trocando 0A por 1 e trocando + por ⋅ .
(2) Análoga à demonstração da Proposição 1.3.1(2), trocando a− por 1a− , trocando 0 por 1e trocando + por ⋅ .
(3) Seja a A∈ . Como A tem unidade 1 temos 1a a= ⋅ . Por hipótese 1 0= , então usando a Proposição 1.3.1(3) vem que
1 0 0a a a= ⋅ = ⋅ = . Logo {0}A = .
Observação 1.3.1. Em geral não temos interesse em estudar o anel { }0A = . Assim, quando trabalhamos com anel com unidade, fica
subentendido que 1 0≠ . Pois, se 1 0= temos { }0A = , de acordo com a Proposição 1.3.2(3).
Veremos agora que, em um anel, a inexistência de divisores de zero é equivalente às leis do cancelamento para a multiplicação. Assim, em um domínio sempre valem as leis do cancelamento.
Proposição 1.3.3. Se ( , , )A + ⋅ é um anel, então são equivalentes:
(a) A é anel sem divisores de zero;
(b) ab ac b cba ca b c
= ⇒ = = ⇒ =
, , , 0a b c A a∀ ∈ ≠ .
Demonstração.
(a) ⇒ (b).
ab ac= 0ab ac⇒ − =
( ) 0ab a c⇒ + − =
( ) 0a b c⇒ − = .
Como A não tem divisores de zero e 0a ≠ , vem que 0b c− = , e daí b c= .
O outro item se verifica da mesma maneira.
29
(b) ⇒ (a). Sejam ,a b A∈ tais que 0ab = . Suponha que 0a ≠ . Aplicando a hipótese na igualdade 0 0ab a= = ⋅ , vem que 0b = . Portanto, 0a = ou 0b = , isto é, o anel A não tem divisores de zero.
Definição 1.3.1. Seja ( , , )A + ⋅ um anel. Dado a A∈ e , 0n n∈ ≠ , definimos:
1a a=
a n+1 = a n.a , n ≥ 1.
Quando A tem unidade também definimos 0 1a = .
Proposição 1.3.4. Sejam ( , , )A + ⋅ um anel, ,a b A∈ e , {0}m n∈ − . Então:
(1) m n m na a a += ;
(2) ( )m n mna a= ;
(3) ( )n n nab a b= , quando ab ba= .
Demonstração. Usaremos o Primeiro Princípio de Indução sobre n nas três provas.
(1) Para 1n = temos 1 1m m ma a a a a += = , pela definição de potência. Suponha que vale para 1n r= ≥ , isto é, m r m ra a a += . Vejamos que vale para 1n r= + .
1 1 ( ) 1 ( 1)( ) ( )m r m r m r m r m r m ra a a a a a a a a a a a+ + + + + += = = = = .
(2) Para 1n = temos 1 1( )m m ma a a ⋅= = .Suponha que vale para 1n r= ≥ , isto é, ( )m r mra a= . Então,
1 ( 1)( ) ( )m r m r m mr m mr m m ra a a a a a a+ + += = = = .Logo, vale para 1n r= + .Observe que usamos o item (1) na penúltima igualdade acima.
(3) Para 1n = , temos 1 1 1( )ab ab a b= = .Suponha que vale para 1n r= ≥ , isto é, ( )r r rab a b= quando ab ba= . Então, 1 1 1( ) ( ) ( )r r r r r r r rab ab ab a b ab a ab b a b+ + += = = = .Logo, vale para 1n r= + .
30
Observação 1.3.3. Quando A é anel com unidade a Proposição 1.3.4 vale para quaisquer ,m n∈ . De fato, é fácil acrescentar o caso 0n = nas demonstrações acima:
• 0 01 +⋅ = ⋅ = =m m m ma a a a a0 0 0( ) 1 ⋅= = =m ma a a•
0 0 0( ) 1 1 1⋅ = = ⋅ = ⋅a b a b• .
Observação 1.3.4. Se A é um anel com unidade, a A∈ e existe 1a A− ∈ , então definimos , u∈ . Nesse caso é possível
verificar que m n m na a a += e , para quaisquer ,m n∈ . Além disso, se ,a b A∈ e ab ba= , então ( ) ,n n nab a b n= ∀ ∈ .
31
Lista de exercíciosVerifique se 1) (( ), ,A ∗ ∆) é anel quando:
a) A = , a b a b∗ = e a b a b∆ = + .
b) A ∗= , a b a b∗ = e a b a b∆ = + .
c) A = , 1a b a b∗ = + − e a b a b a b∆ = + − .
d) A = , 3a b a b∗ = + − e 3
a ba b a b∆ = + − .
Para cada item do Exercício anterior em que 2) (( ), ,A ∗ ∆) é anel, determine sua melhor estrutura algébrica. Isto é, verifique se A é apenas anel, é anel comutativo, é anel com unidade, é anel comutativo com unidade, é domínio ou é corpo.
Sejam 3) S um conjunto não vazio, (( ), ,A + ⋅) um anel e :f S A→ uma função bijetora. Para ,x y S∈ defina as operações:
e .
Verifique que (( ), ,S ∗ ∆) é um anel.
Seja 4) A um anel que possui um elemento 0x ≠ tal que 2x x= e x não é divisor de zero em A . Verifique que A tem unida-de e 1A x= .
Seja 5) A um anel tal que 2a a= , para todo a A∈ . Verifique que a a= − e que A é anel comutativo.
Seja 6) { }, , ,A e a b c= um anel com unidade 1A a= e 0A e= . Sa-bendo que a a b b e+ = + = e b c e= , construa as tabelas das operações do anel A .
32
ResumoNeste capítulo você viu:
As definições axiomáticas das estruturas algébricas chama-•das anel, anel comutativo, anel com unidade, anel comutati-vo com unidade, domínio e corpo.
Que todo corpo é um domínio e que todo domínio é um •anel comutativo com unidade.
Que um conjunto pode ser ou não um anel, dependendo das •operações definidas neste conjunto.
Que operações diferentes podem definir estruturas algébri-•cas diferentes no mesmo conjunto.
Que em um anel o elemento neutro é único, o simétrico de •cada elemento é único e valem outras nove propriedades aritméticas.
Que, em um anel com unidade, a unidade é única. Se um •elemento possui inverso, então o inverso é único.
Que as leis do cancelamento do produto valem em um anel •se, e somente se, este anel não tem divisores de zero.
Propriedades de potências de elementos de um anel.•
Capítulo 2Alguns Anéis Especiais
Capítulo 2Alguns Anéis Especiais
Neste capítulo veremos outros exemplos de anéis. Tra-taremos especificamente com anéis de funções, anéis de matrizes, anéis n e anéis produto cartesiano.
2.1 Anéis de funçõesSejam X um conjunto não vazio e A um anel. Denote por XA
o conjunto de todas as funções de X em A , isto é,
{ }: ; é funçãoXA f X A f= → .
Lembre que duas funções são iguais quando têm mesmo do-mínio, mesmo contra-domínio e mesma imagem para todos os pontos do domínio. Assim, dados , Xf g A∈ temos:
( ) ( ),f g f x g x x X= ⇔ = ∀ ∈ .
Vamos introduzir operações de adição e multiplicação em .XA Para , Xf g A∈ defina f g+ e f g⋅ por
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ,
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x⋅ = , x X∀ ∈ .
Note que a operação + em f g+ é a que estamos definindo, e a operação + em ( ) ( )f x g x+ é a adição do anel A . O mesmo vale para a operação multiplicação.
A cada par de funções , Xf g A∈ associamos únicas funções , Xf g f g A+ ⋅ ∈ . Dessa maneira + e ⋅ são operações em XA .
Proposição 2.1.1. Com a notação acima temos:
(1) ( , , )XA + ⋅ é anel.
(2) Se ( , , )A + ⋅ é comutativo, então ( , , )XA + ⋅ é comutativo.
36
(3) Se ( , , )A + ⋅ tem unidade, então ( , , )XA + ⋅ tem unidade.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que ( , , )XA + ⋅ satisfaz os 6 axiomas de anel. Verificaremos alguns e os demais ficarão como exercício. Sejam
, , Xf g h A∈ .
Axioma (i): f g g f+ = + .Seja x X∈ . Como ( ), ( )f x g x A∈ e a adição é comutativa em A , temos:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x+ = + .Então,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x g x f x g f x+ = + = + = + .
Portanto,f g g f+ = + .
Axioma (iii): Elemento neutro.Tome Xl A∈ dada por ( ) 0l x = , .x X∀ ∈ Então para qualquer
Xf A∈ temos:
( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )f l x f x l x f x f x+ = + = + = f l f⇒ + = .
Pela comutatividade vista acima também vale l f f+ = . Logo, l é um elemento neutro de XA .
Axioma (iv): Elemento simétrico.Dada Xf A∈ , defina a função ( ) :f X A− → por ( )( ) ( )f x f x− = − . Então temos:
( ( ))( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0f f x f x f x f x f x+ − = + − = − = ( )f f l⇒ + − = .
Pela comutividade, ( )f f l− + = . Portanto, ( ) Xf A− ∈ é o simé-trico de Xf A∈ .
(2) Sejam , Xf g A∈ . Como A é comutativo por hipótese e ( ), ( ) ,f x g x A x X∈ ∀ ∈ , temos:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x⋅ = ⋅ , x X∀ ∈ .Então,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x g x f x g f x⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ fg gf⇒ = .
37
(3) Por hipótese A tem unidade 1. Defina : X Aψ → por ( ) 1xψ = , x X∀ ∈ . Então, ψ xx A∈ e dados Xf A∈ e x X∈ temos:
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )f x f x x f x f x⋅ψ = ⋅ψ = ⋅ = ,e
( )( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )f x x f x f x f xψ ⋅ = ψ ⋅ = ⋅ = .
Segue que f f f⋅ψ = = ψ ⋅ . Portanto, ψ é a unidade de XA .
Na demonstração acima vimos que se A é anel então AX é anel e
O elemento neutro de • XA é a função nula, : , ( ) 0.l X A l x→ =
O simétrico de • Xf A∈ é a função ( ) :f X A− → , ( )( ) ( )f x f x− = − .
Se • A tem unidade então a unidade de XA é a função constante 1, isto é, : X Aψ → , ( ) 1xψ = .
Já sabemos que para qualquer conjunto não vazio X e qual-quer anel A o conjunto { }: ; é funçãoXA f X A f= → é um anel. Em particular tomando X A= vem que
{ }: ; é funçãoAA f A A f= →
é anel. Em outras palavras, para cada anel A , o conjunto das fun-ções de A em A é um anel. Isso fornece um procedimento para obtermos novos anéis a partir de anéis conhecidos. Por exemplo, sabemos que ( , , )+ ⋅ é anel e então { }: ; é funçãof f= →
é anel. Além disso, pela Proposição 2.1.1,
é anel comutativo com unidade.
Observação 2.1.1. Não é verdade, em geral, que anéis de funções XA sejam domínios, mesmo que A seja corpo. De fato, é corpo
mas
não é domínio, pois tomando
: , ( )f f x x→ =
0, 0: , ( )
1, 0se x
g g xse x
≠→ = =
.
38
Temos que , , 0, 0,f g f g∈ ≠ ≠
porém . 0f g = . De fato,
. (0) (0). (0) 0.1 0,f g f g= = = e para 0x ≠ ,
. ( ) ( ). ( ) .0 0f g x f x g x x= = = .
2.2 Anéis de matrizesSejam ( , , )A + ⋅ um anel e n∈ , 1n ≥ . Denote por ( )nM A o
conjunto das matrizes quadradas de ordem n , com entradas em A , isto é,
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ;
n
nn ij
n n nn
a a aa a a
M A a A
a a a
= ∈
.
Note que quando 1n = o conjunto ( )nM A pode ser identifica-do com A . Por isso nosso interesse é por 2n ≥ . Para simplificar a escrita é comum denotar a matriz
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
n
nn
n n nn
x x xx x x
X M A
x x x
= ∈
por ijX x = ,
onde fica subentendido que 1 ,i j n≤ ≤ .
Lembre que duas matrizes são iguais quando têm entradas correspondentes iguais. Assim, para ijX x = , ( )ij nY y M A = ∈ (A) temos:
ij ijX Y x y= ⇔ = , , {1,2,..., }i j n∀ ∈ .
Em ( )nM A vamos definir a adição e a multiplicação de manei-ra usual. Dados ijX x = , ( )ij nY y M A = ∈ (A), escrevemos:
ijX Y Z z + = = , onde ij ij ijz x y= + (isto é, [ ] [ ] [ ]ij ij ij i jx y x y+ = + )
e
ijX Y Z z ⋅ = = , onde 1
n
ij ik kjk
z x y=
= ∑ .
39
Proposição 2.2.1. Com as notações acima temos:
(1) (( )( ), ,nM A + ⋅ ) é anel.
(2) Se ( , , )A + ⋅ tem unidade, então (( )( ), ,nM A + ⋅) tem unidade.
Demonstração.
(1) Devemos verificar os 6 axiomas de anel. Para isso fixamos as notações ijX x = , ijY y = , ( )ij nZ z M A = ∈ .
Axioma (i): X Y Y X+ = + .
ij ij ij ijX Y x y x y + = + = + ij ij ij ijy x y x Y X = + = + = + .
Na terceira igualdade acima usamos a comutatividade da adição do anel A .
Axioma (ii): ( ) ( )X Y Z X Y Z+ + = + + .
ij ij ijx y z = + +
ij ij ijx y z = + +
( )X Y Z= + + .
Na quarta igualdade acima usamos a associatividade da adição do anel A .
Axioma (iii): Elemento neutro.
Tome E = [0][ ]0 0
0 ( )0 0
nE M A = = ∈
. É claro que para todo
( )nX M A∈ temos E X X E X+ = + = .
40
Axioma (iv): Elemento simétrico.
Dada ( )ij nX x M A = ∈ temos que ijx A∈ . Como A é anel exis-te o simétrico ijx A− ∈ tal que ( )ij ijx x+ − ( ) 0ij ijx x= − + = . Tome
( )ij nX x M A − = − ∈ .
Então ( ) [ ] [ ]ij ijX X x x+ − = + − [ ]ij ijx x= − [0] E= = .
Pela comutatividade provada no axioma (i) também temos ( )X X E− + = .
Portanto, [ ]ijX x− = − é o simétrico de [ ]ijX x= .
Axioma (v): ( ) ( )X YZ XY Z=
Escrevendo
[ ] [ ] [ ]ij ij ijy z a⋅ ⋅ , com 1
n
ij it tjt
a y z=
=∑
[ ] [ ] [ ]ij ij ijx a b⋅ = , com 1
n
ij ik kjk
b x a=
=∑
[ ] [ ] [ ]ij ij ijx y c⋅ = , com 1
n
ij ik kjk
c x y=
=∑
[ ] [ ] [ ]ij ij ijc z d⋅ = , com 1
n
ij it tjt
d c z=
=∑ ,
devemos provar que ij ijb d= .
1 1 1
n n n
ij ik kj ik kt tjk k t
b x a x y z= = =
= = ⋅∑ ∑ ∑
1 1( )
n n
ik kt tjk t
x y z= =
=∑ ∑
1 1( )
n n
ik kt tjk t
x y z= =
= ⋅∑ ∑
1 1( )
n n
ik kt tjt k
x y z= =
= ⋅∑ ∑
1
n
it tjt
c y=
=∑
ijd= .
Axioma (vi): ( )X Y Z XY XZ+ = + e ( )X Y Z XZ YZ+ = + .
Faremos apenas ( )X Y Z XY XZ+ = + . A outra é análoga.
, onde
41
1 1( ) ( )
n n
ij ik kj kj ik kj ik kjk k
a x y z x y x z= =
= + = +∑ ∑1 1
n n
ik kj ik kjk k
x y x z= =
= +∑ ∑ .
Por outro lado,
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]ij ij ij ij ij ijXY XZ x y x z b c+ = + = + onde
1
n
ij ik kjk
b x y=
=∑ e 1
n
ij ik kjk
c x z=
=∑
Segue que ij ij ijb c a+ = e então
[ ] [ ] [ ]ij ij ij ijXY XZ b c b c+ = + = + [ ] ( )ija X Y Z= = + .
(2) Seja 1 a unidade de A . Tome
1 0 00 1 0
( )
0 0 1
nI M A
= ∈
e note que [ ]ijI a= , onde 1iia = e 0ija = para i j≠ . Dado [ ] ( )ij nX x M A= ∈ temos:
[ ][ ] [ ]ij ij ijX I x a b⋅ = = , onde 1
n
ij ik kjk
b x a=
= ∑ .
Como 0kja = para k j≠ e 1jja = , vem que
1
1n
ij ik kj ij jj ij ijk
b x a x a x x=
= = = ⋅ =∑ .
Logo, [ ] [ ]ij ijb x= , isto é, X I X⋅ = . Analogamente prova-se que I X X⋅ = .
Portanto,
1 0 00 1 0
0 0 1
I
=
é a unidade de ( )nM A .
Observação 2.2.1. O anel ( )nM A não é comutativo em muitos ca-sos. Por exemplo, se 2n ≥ e A tem unidade, temos:
1 1 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
X
=
,
1 0 0 01 0 0 0
( )0 0 0 0
0 0 0 0
nY M A
= ∈
.
42
Mas
2 0 0 00 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
XY
=
e
1 1 0 01 1 0 00 0 0 0
0 0 0 0
YX
=
.
Pela observação anterior, podemos concluir que:
( )nM • não é comutativo para 2n ≥ .
( )nM • não é comutativo para 2n ≥ .
Observação 2.2.2. O anel ( )nM A tem divisores de zero para todo 2n ≥ .
De fato, seja a A∈ , 0a ≠ . Então:
0 00 0 0
0 0 0
a
X
=
,
0 0 00 0 0
( )
0 0
nY M A
a
= ∈
e , 0X Y ≠ .
Porém
0 0 00 0 0
0 0 0
X Y
⋅ =
.
Pelo visto até aqui, podemos concluir que se 2n ≥ então ( )nM , ( )nM , ( )nM são anéis com unidade, não comutativos
e com divisores de zero. Mais que isso, mesmo quando A é corpo, ( )nM A não é domínio para 2n ≥ .
A construção de anéis de matrizes é importante pois, a partir de um anel fixado A , produzimos infinitos anéis. A saber, um novo anel ( )nM A para cada n∈ , 2n ≥ .
Exemplo 2.2.1. Os anéis abaixo têm unidade, não são comutati-vos e têm divisores de zero.
2 2 2 3 3( ), ( ), ( ), ( ), ( )M M M M M e 3( ).M
43
2.3 Anéis n
Vamos iniciar recordando a congruência em . Para cada n∈ , 2n ≥ , definimos em a relação
(mod ) | ( )a b n n a b≡ ⇔ − .
A expressão “ (mod )a b n≡ ” deve ser lida como: a é congruente a b módulo n .
A congruência módulo n é uma relação de equivalência em , isto é, satisfaz as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexiva: (mod )a a n≡ . Como | ( )n a a− temos que (mod )a a n≡ .
Simétrica: (mod ) (mod )a b n b a n≡ ⇒ ≡ .
(mod )a b n≡ | ( )n a b⇒ − | ( )n a b⇒ − −
| ( )n b a⇒ − (mod )b a n⇒ ≡ .
Transitiva: (mod )a b n≡ e (mod )b c n≡ (mod )a c n⇒ ≡ .
(mod )a b n≡ e (mod )b c n≡ | ( )n a b⇒ − e | ( )n b c−
nx a b⇒ = − e ny b c= − , para certos ,x y∈
( )n x y a b b c a c⇒ + = − + − = −
|n a c⇒ −
(mod )a c n⇒ ≡ .
Toda relação que satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva é chamada relação de equivalência. Portanto, a congruên-cia módulo n é uma relação de equivalência em .
Em , com a relação de equivalência (mod )a b n≡ , chamamos de classe de equivalência de a o conjunto
{ }; (mod )a b b a n= ∈ ≡ .
44
Observe que:
(mod )b a b a n∈ ⇔ ≡
| ( )n b a⇔ −
( )nx b a⇔ = − , para algum x∈
b a nx⇔ = + , x∈ .
Portanto, { };a a nx x= + ∈ , isto é, a é o conjunto dos múltiplos de n somando com a . Por isso, é comum a notação:
{ };a a n a nx x= + = + ∈ .
Por exemplo, para 2n = ,
{ }0 0 2 2 ;k k= + = ∈ - conjunto dos números pares.
{ }1 1 2 2 1;k k= + = + ∈ - conjunto dos números ímpares.
{ }2 2 2 2 2; 0k k= + = + ∈ =
{ }3 3 2 2 3; 1k k= + = + ∈ =
{ }1 1 2 2 1; 1k k− = − + = − ∈ =
{ }2 2 2 2 2; 0k k− = − + = − ∈ =
{ }3 3 2 2 3; 1k k− = − + = − ∈ =
Observe que só temos duas classes distintas, 0 e 1 . Além dis-so, todo elemento de está em exatamente uma dessas classes.
Vejamos o que ocorre com 3n = .
{ }0 0 3 3 ;k k= + = ∈
{ }1 1 3 3 1;k k= + = + ∈
{ }2 2 3 3 2;k k= + = + ∈
{ }3 3 3 3 ; 0k k= + = ∈ =
{ }4 4 3 3 4; 1k k= + = + ∈ =
{ }5 5 3 3 5; 2k k= + = + ∈ =
{ } { }1 1 3 3 1; 3 2; 2k k k k− = − + = − ∈ = + ∈ =
45
{ } { }2 2 3 3 2; 3 1; 1k k k k− = − + = − ∈ = + ∈ =
{ } { }3 3 3 3 3; 3 ; 0k k k k− = − + = − ∈ = ∈ =
Assim, temos três classes distintas, 0 , 1 e 2 e todo elemento de está em exatamente uma dessas classes.
Os exemplos vistos são casos particulares do seguinte caso geral:
A relação de congruência módulo n determina exatamente n classes de equivalência distintas.
Para mostrar o resultado acima vamos usar um lema que faci-lita a verificação de igualdade de classes módulo n .
Lema 2.3.1. Sejam ,a b∈ e n∈ , 2n ≥ . São equivalentes:
(a) a b= .
(b) (mod )a b n≡ .
Demonstração.
(a) ⇒ (b). Pela propriedade reflexiva, ( )moda a n≡ (mod n) e daí a a b∈ = . Segue que a b∈ , e pela definição de b temos (mod )a b n≡ .
(b) ⇒ (a). Devemos provar a igualdade entre os conjuntos a e b . Vamos mostrar que a b⊆ . A outra inclusão é análoga.Seja x a∈ . Então ( )modx a n≡ (mod n). Por hipótese, (mod )a b n≡ . Pela propriedade transitiva, vem que
(mod )x b n≡ e portanto x b∈ .
Observação 2.3.1. Como caso particular do lema acima temos:| ( ) (mod )a b n a b a b n a b= ⇒ − ⇒ ≡ ⇒ = .
Exemplo 2.3.1. De acordo com o Lema 2.3.1, temos:
Para • 2n = , 0 2 4 ...= = =
1 3 5 ...= = =
46
Para • 7n = , ___
0 7 14 ...= = =_ _ ___1 8 15 ...= = =_ _ ___2 9 16 ...= = =_ ___ ___3 10 17 ...= = =_ ___ ___4 11 18 ...= = =_ ___ ___5 12 19 ...= = =_ ___ ___6 13 20 ...= = =
O conjunto de todas as classes de equivalência módulo n é denotado por n , isto é,
{ };n a a= ∈ .
Na próxima proposição veremos que a relação de congruên-cia módulo n determina exatamente n classes de equivalência, e mais ainda, podemos escolher os representantes dessas classes como 0,1, , 1n − .
Proposição 2.3.1. Para cada , 2n n∈ ≥ temos que { }0,1,..., 1n n= − é um conjunto com exatamente n elementos.
Demonstração.
Pela definição de n é claro que { }0,1,..., 1 nn − ⊆ . Vamos ver a inclusão contrária. Para isso, tome na ∈ . Como a∈ e n∈ ,
2n ≥ , podemos dividir a por n obtendo quociente q∈ e resto r∈ . Assim,
a nq r= + , 0 r n≤ <
(mod )a r nq a r n− = ⇒ ≡ .
Pelo Lema 2.3.1 vem que a r= . Mas como { }0,1,..., 1r n∈ − te-mos a r= { }0, 1,..., 1n∈ −
. Para provar que n tem exatamente
n elementos, devemos mostrar que os elementos de são distintos dois a dois. Suponha que isso não é verdade, isto é, su-ponha que existem { }, 0, 1,..., 1x y n∈ − com x y≠ e x y= . Sem perda de generalidade vamos assumir que x y< . Como x y= , o Lema 2.3.1 assegura que (mod )x y n≡ e daí | ( )n y x− . Mas 0 y x n< − < e | ( )n y x− é impossível. Portanto, nossa suposição
47
não pode ser feita e os elementos de são dois a dois distintos.
Exemplo 2.3.2. .
Como 0 2 4 ...= = =
1 3 5 ...= = =
Também podemos escrever .
Exemplo 2.3.3. , que também pode ser
representado por , pois 7 0= , 15 1= ,
16 2= , 10 3= , 25 4= , 5 5= e 13 6= .
Chamamos a atenção para o fato de 20∈ ser diferente de
70∈ . De fato, 20∈ indica o conjunto dos múltiplos de 2, en-quanto 70∈ indica o conjunto dos múltiplos de 7. Em geral, a é distinto em cada n .
Observação 2.3.2. Trabalhamos com n∈ , 2n ≥ , para definir os conjuntos {0,1,2,..., 1}n n= − . Os casos 0n = e 1n = são pouco usados. No entanto, trabalhando com congruência módulo 0n = e 1n = , podemos definir 0 e 1 e verificar que:
1 {0}=• , com 0 0 1= + ⋅ = .
0 {..., 2, 1,0,1, 2,...}= − −• , com 0 { }x x x= + = .
Isto é, cada classe 0x∈ é o conjunto unitário { }x .
Nosso objetivo é mostrar que n é um anel. Por isso precisa-mos definir operações de adição e multiplicação em n .
Lembre que os elementos de n são classes de equivalência, isto é, são conjuntos que podem ser representados de mais de uma maneira. Por isso devemos tomar cuidado ao definir as ope-rações, de forma que o resultado não dependa da escolha dos re-presentantes.
Sejam __ __
, na b ∈ . Defina a adição e a multiplicação em n , res-pectivamente, por:
48
__ __ ______a b a b+ = +__ __ _____
a b ab= .
Assim,: n n n+ × → e : n n n⋅ × →
__ __ ______( , )a b a b+
__ __ _____( , )a b ab .
Vamos fazer um teste para verificar se há chance dessas opera-ções estarem bem definidas, ou seja, não dependerem da escolha dos representantes das classes.
Em 7 temos as igualdades _ ___1 15= e
_ ___3 10= . Queremos que
__ __ ___ ___1 3 15 10+ = + e
__ __ ___ ___1 3 15 10⋅ = ⋅ .
Mas, __ __ __1 3 4+ = e
___ ___ ___15 10 25+ = . No entanto, 25 4 (mod 7)≡ e então,
pelo Lema 2.3.1, temos __ ___4 25= . Segue que:
__ __ ___1 3 4 25 15 10+ = = = + .
Da mesma forma, __ __ __1 3 3⋅ = e
___ ___ _____15 10 150⋅ = . Como 150 3 (mod 7)≡
vem que _____ __150 3= , e portanto:
__ __ ___ ___1 3 3 150 15 10⋅ = = = ⋅ .
Note que a verificação acima informa apenas que há chances das operações estarem bem definidas. Para termos certeza dis-so, necessitamos de uma prova geral do seguinte resultado, para cada , 2n n∈ ≥ , , , , na b x y∈ ,
__ __a b= e
__ __x y=
__ __ __ __a b x y⇒ + = + e
__ __ __ __a b x y= .
Para fazermos essa prova usaremos um lema sobre proprieda-des aritméticas das congruências.
Lema 2.3.2. Sejam , , ,a b x y∈ e , 2n n∈ ≥ . Então:
(mod )a x n≡ e (mod )b y n≡ (mod )a b x y n⇒ + ≡ + e(mod )ab xy n≡ .
Demonstração. Como (mod )a x n≡ então | ( )n a x− , isto é, existe u∈ tal que nu a x= − . Analogamente, (mod )b y n≡ assegura que existe v∈ tal que nv b y= − . Agora,
49
( )n u v nu nv a x b y+ = + = − + − ( ) ( )a b x y= + − + | (( ) ( ))n a b x y⇒ + − +(mod )a b x y n⇒ + ≡ +
( ) ( ) ( )n ub vx nub nvx a x b b y x ab x y+ = + = − + − = − (mod )ab xy n⇒ ≡
Proposição 2.3.2. As operações de adição e multiplicação estão bem definidas em n , isto é,
, , ,a b x y∈ , __ __a x= e
__ __b y=
__ __ __ __a b x y⇒ + = + e
__ __ __ __a b x y= .
Demonstração. Primeiro usamos o Lema 2.3.1.
(mod )a x a x n= ⇒ ≡
(mod )b y b y n= ⇒ ≡ .
Agora, usamos o Lema 2.3.2,
(mod )a x n≡ e (mod )b y n≡ (mod )a b x y n⇒ + ≡ +
e (mod )ab xy n≡ .
Usando novamente o Lema 2.3.1, concluímos que a b x y+ = + e ab xy= . Assim,
__ __ __ __a b x y+ = + e
__ __ __ __a b x y= .
Agora que conhecemos o conjunto n e temos operações bem definidas, vamos mostrar que n é um anel. Note que estamos produzindo uma infinidade de exemplos de anéis finitos.
Proposição 2.3.3. ( , , )n + ⋅ é anel comutativo com unidade.
Demonstração. Sejam , , na b c∈ .
Axioma (i): __ __ __ __a b b a+ = + .
__ __ ______ ______ __ __a b a b b a b a+ = + = + = +
Na segunda igualdade acima usamos a b b a+ = + , e daí ______ ______a b b a+ = + .
50
Axioma (ii): __ __ __ __ __ __
( ) ( )a b c a b c+ + = + + .
Axioma (iii): Elemento neutro.
Dado __
na ∈ , temos que a∈ . Também sabemos que 0∈ e 0 0a a a+ = + = . Então
__ ______ __ __0 0a a a= + = + e
__ ______ __ __0 0a a a= + = + ,
isto é, __0 é o elemento neutro de n .
Axioma (iv): Elemento simétrico.
Dado __
na ∈ , temos que a∈ . Também a− ∈ e 0a a a a− = − + = . Então
__ ___________ ______ __0 ( ) ( )a a a a= − + = − + e
__ _______ __ ______0 ( )a a a a= − = + − , isto é,
______( )a− é o simétrico de
__a .
Axioma (v): __ __ __ __ __ __
( ) ( )a b c a b c= .__ __ __ __ ___ _______ _______ __ __ __
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a bc a bc ab c a b c= = = = .
Axioma (vi): ( )a b c ab a c+ = + e ( )a b c a c bc+ = + .
( ) ( ) ( )a b c a b c a b c ab ac ab ac ab ac+ = + = + = + = + = + ab a c+ .
A outra igualdade é análoga.
Axioma (vii): __ __ __ __a b b a= .
__ __ ___ ___ __ __a b ab ba b a= = = .
Axioma (viii): Unidade.
Dado __
na ∈ , temos que a∈ . Como 1∈ e 1 1a a a⋅ = ⋅ = te-mos
__ ____ __ __1 1a a a= ⋅ = ⋅ e
__ ____ __ __1 1a a a= ⋅ = ⋅ .
Portanto, __1 é a unidade de n .
Para treinar operações em n , vamos elaborar a tabela das operações para 2,3,4 e 5n = .
51
Exemplo 2.3.4. __ __
2 {0, 1}= .
Como __0 é elemento neutro e
__1 é a unidade, sabemos que
__ __ __0 0 0+ = ,
__ __ __
0 1 1+ = , __ __ __
1 0 0⋅ = e __ __ __
1 1 1⋅ = .
Lembrando que n é comutativo podemos escrever
+ 0 1 ⋅ 0 1
0 0 1 0 0
1 1 1 0 1
Para completar, calculamos __ __ _____ __ __1 1 1 1 2 0+ = + = =• (pois 2 0 (mod 2)≡ )__ __ __0 0 0⋅ =•
+ 0 1 ⋅ 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Como curiosidade, denote __0 e= e
__1 a= . Agora note que este
exemplo coincide com o anel finito visto no Exemplo 1.2.7.
Exemplo 2.3.5. __ __ __
3 {0, 1, 2}= .
Desde que __0 é elemento neutro e
__1 é unidade, sabemos somar
__0 a qualquer elemento e multiplicar
__1 por qualquer elemento.
Restam as seguintes contas:__ __ __1 1 2+ =__ __ __ __1 2 3 0+ = =__ __ __ __2 2 4 1+ = =__ __ __ __2 2 4 1⋅ = =
Lembre que multiplicar o elemento neutro __0 , por outro elemen-
to qualquer do anel, sempre resulta __0 (Proposição 1.3.1(3)). Isso
completa as contas.
52
+ 0 1 2 ⋅ 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
Exemplo 2.3.6. __ __ __ __
4 {0, 1, 2, 3}= .
Seguindo de forma análoga aos exemplos acima, temos:
+ 0 1 2 3 ⋅ 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
Exemplo 2.3.7. __ __ __ __ __
5 {0, 1, 2, 3, 4}= .
Seguindo de forma análoga aos exemplos acima, temos:
+ 0 1 2 3 4 ⋅ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
Analisando as tabelas de multiplicação em 2 , 3 e 5 , vemos que esses anéis não têm divisores de zero, pois o produto de dois elementos só é
__0 quando um deles for
__
0 . Como n é anel unitá-rio e comutativo, concluímos que 2 , 3 e 5 são domínios.
53
Olhando para a tabela de multiplicação em 4 , vemos que __ __ __2 2 0⋅ = e portanto 4 não é domínio.
Isso fornece uma pista para saber quando n é domínio. Que propriedade os números 2, 3 e 5 têm em comum e que não é sa-tisfeita por 4?
A primeira resposta que vem à cabeça é que 4 não é número primo e 2, 3 e 5 são números primos. De fato, n ser número primo é a condição necessária e suficiente para n ser domínio. Antes de provar esse resultado, observe que se n não é primo, então existem ,x y∈ tais que n xy= com 1 ,x y n< < , ou seja, n tem divisores próprios.
Proposição 2.3.4. As condições abaixo são equivalentes:
(a) n é domínio;
(b) n é número primo;
(c) n é corpo.
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Seja x∈ um divisor de n . Devemos provar que 1x = ou x n= . Como x divide n , existe y∈ tal que n xy= . Desde que n é domínio,
__ __ ______ __ __ __ __ __ __0 0 ou 0n x y x y x y= = ⋅ = ⋅ ⇒ = = .
1º Caso: __ __
0x =__ __
0 0 (mod ) |x x n n x= ⇒ ≡ ⇒ .
Como |n x , |x n e ,x n∈ , temos x n= .
2º Caso: __ __
0y =__ __
0 0 (mod ) |y y n n y= ⇒ ≡ ⇒ nt y⇒ = , para algum t∈ .
Substituindo o valor de y em n xy= vem que n xnt= . Como é domínio e 0n ≠ , cancelamos n obtendo 1xt = . Portanto, 1x = .
(b) ⇒ (c) Já sabemos que n é anel unitário e comutativo. Para ver que é corpo devemos mostrar que todo elemento
__
nx ∈ , __ __
0x ≠ , tem inverso em n . Desde que __ __
0x ≠ podemos admitir
54
{1,2,..., 1}x n∈ − e como n é primo temos ( , ) 1mdc n x = . Pela Identidade de Bezout, existem ,r s∈ tais que 1nr xs+ = . To-mando classes módulo n vem que
__ _________ ___ ___ __ __ __ __
1 nr sx nr sx n r x s= + = + = +__ __ __ __ __ __ __ __ __0 0r x s x s x s= + = + = .
Portanto, __s é o inverso de
__x e n é corpo.
(c) ⇒ (a) Já vimos na Proposição 1.2.1 que todo corpo é domínio.
Observe que a proposição anterior assegura que, para os anéis
n , ser corpo é o mesmo que ser domínio. Além disso, para cada número primo p obtemos um corpo finito p , com p elementos.
Lembrando que o conjunto dos números primos é infinito, te-mos construída uma família infinita de corpos, a saber, p para cada número primo p .
Combinando os anéis n com os anéis de matrizes podemos produzir outros exemplos de anel. De fato, para cada ,m n∈ ,
, 2m n ≥ , sabemos que ( )m nM é um anel, pois ( , , )n + ⋅ é anel. Mesmo que os elementos de ( )m nM não sejam números, eles sa-tisfazem propriedades aritméticas, como as descritas na Proposição 1.3.1. Portanto, é perfeitamente possível fazer contas em ( )m nM .
Exemplo 2.3.8.
1 0 0 0 0 1 1 0, , , ,
0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1, , , ,
1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1, , ,
1 1 0 1 1 0 1 1
.
55
Sabemos que 2 2( )M
é anel com elementos neutro
__ __
__ __
0 0
0 0
e
unidade
__ __
__ __
1 0
0 1
.
Como vimos nas Observações 2.2.1 e 2.2.2, 2 2( )M não é co-mutativo e tem divisores de zero. É fácil fazer contas em 2 2( )M , veja exemplo abaixo:
__ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __
0 1 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1
+ =
,
e__ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __
0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
=
.
Veremos agora um outro procedimento para obter anéis, a par-tir de anéis conhecidos.
2.4 Anel produto diretoSejam ( , , )A ∗ e ( , , )B ⊕ anéis quaisquer. Em A B× defina
as operações de adição e multiplicação por
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = ∗ ⊕e
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d⋅ = .
Note que a adição + é obtida fazendo a adição ∗ entre os ele-mentos de A que estão na primeira coordenada, e fazendo a adição ⊕ entre os elementos da segunda coordenada que pertencem a B . Observação similar vale para a multiplicação ⋅ definida em A B× .
As operações acima são as mais simples que se pode definir em A B× , pois são obtidas operando as coordenadas respectivas.
Proposição 2.4.1. Com a notação acima, ( , , )A B× + ⋅ é anel.
56
Demonstração.
Verificaremos os axiomas (i), (iii), (iv) e (v). Deixamos os axiomas (ii) e (vi) como exercício. Sejam ( , ), ( , ), ( , )a b c d e f A B∈ × .
Axioma (i): ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d c d a b+ = + .Basta usar a comutividade de ∗ em A e de ⊕ em B .
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = ∗ ⊕
( , )c a d b= ∗ ⊕
( , ) ( , )c d a b= + .
Axioma (iii): Elemento neutro.Sejam 0A e 0B elementos neutros de A e B respectivamente. Então (0 ,0 )A B A B∈ × e
( , ) (0 ,0 ) ( 0 , 0 ) ( , )A B A Ba b a b a b+ = ∗ ⊕ = ,
(0 ,0 ) ( , ) (0 ,0 ) ( , )A B A Ba b a b a b+ = ∗ ⊕ = .
Portanto, (0 ,0 )A B é o elemento neutro de A B× .
Axioma (iv): Elemento simétrico.Dado ( , )a b A B∈ × , temos que a A∈ e b B∈ . Como A e B são anéis, existem a A− ∈ e b B− ∈ tais que
( ) ( ) 0Aa a a a∗ − = − ∗ = e ( ) ( ) 0Bb b b b⊕ − = − ⊕ = .
Então ( , )a b A B− − ∈ × e
( , ) ( , ) ( ( ), ( )) (0 ,0 )A Ba b a b a a b b+ − − = ∗ − ⊕ − = ,
( , ) ( , ) (( ) , ( ) ) (0 ,0 )A Ba b a b a a b b− − + = − ∗ − ⊕ = .
Portanto, ( , )a b− − é o elemento simétrico de ( , )a b A B∈ × .
Axioma (v): .
Basta usar a associatividade de em A e de em B .
57
Definição 2.4.1. O anel A B× obtido na proposição acima é cha-mado de anel produto direto (ou produto cartesiano) dos anéis A e B .
Exemplo 2.4.1. ( , , )× + ⋅ é anel com operações
( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + +
( , )( , ) ( , )a b c d ac bd= .
Aqui as operações nas coordenadas são as operações de adição e multiplicação usuais.
Exemplo 2.4.2. Sabemos que 3 e 2 ( )M são anéis. Então o anel produto direto é
__ __11 12
3 2 321 22
( ) , ; e ij
x xM a a x
x x × = ∈ ∈
.
Note que 3 2 ( )M× não é anel comutativo, pois
__ __ __1 1 1 0 2 02, 2, 1,
0 0 1 0 0 0
⋅ =
e
__ __ __1 0 1 1 1 12, 2, 1,
1 0 0 0 1 1
⋅ =
.
Exemplo 2.4.3. Apesar de 2 e 3 serem corpos, o anel produto direto
,
não é corpo. Na verdade sequer é domínio. De fato, e são elementos não nulos de 2 3× , porém
.
A próxima proposição mostra que o produto direto mantém a comutatividade e a existência de unidade dos anéis A e B .
Proposição 2.4.2. Sejam ( , , )A ∗ e ( , , )B ⊕ anéis.
(1) Se A e B têm unidade, então A B× tem unidade.
(2) Se A e B são comutativos, então A B× é comutativo.
58
Demonstração.
(1) Sejam 1A e 1B os unidades de A e B respectivamente. Então (1 ,1 )A B A B∈ × , e para todo ( , )a b A B∈ × temos:
(1 ,1 ) ( , ) (1 ,1 ) ( , )A B A Ba b a b a b⋅ = = ( 1 , 1 ) ( , ) (1 ,1 )A B A Ba b a b= = ⋅ .
Portanto, (1 ,1 )A B é a unidade de A B× .
(2) Sejam ( , ), ( , )a b c d A B∈ × . Usando a comutatividade de em A e de em B temos
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d c a d b c d a b⋅ = = = ⋅ .
Observação 2.4.1. Valem as recíprocas de (1) e (2) na proposição acima. No entanto, não nos preocupamos em demonstrar essas recíprocas, pois nosso interesse é conhecer a estrutura algébrica do anel A B× a partir das estruturas de A e B .
Exemplo 2.4.4. O anel 4× é anel comutativo com unidade, pois e 4 o são.
No próximo capítulo estudaremos novos anéis produzidos a partir de anéis conhecidos. Mais especialmente, trataremos com subconjuntos de um anel ( , ,.)A + que com as operações herdadas de A têm estrutura de anel. Os novos anéis assim obtidos são chamados de subanéis dos anéis iniciais. Veremos que esse pro-cedimento fornece anéis sem exigir muitas contas.
59
Lista de exercíciosVerifique os axiomas de anel 1) (ii), (v) e (vi) para o anel ( , ,.)XA + , que foi deixado como exercício na demonstração da Proposição 2.2.1.
Verifique os axiomas de anel 2) (ii) e (vi) para o anel ( , ,.)A B× + , que foi deixado como exercício na demonstração da Propo-sição 2.4.1.
Construa as tabelas das operações do anel 3) n , para n = 6, 7 e 8.
Calcule os elementos inversíveis dos anéis 4) 4 , 5 e 6 .
Mostre que 5) nx∈ é inversível em n se, e somente se, ( , ) 1mdc x n = .
Sejam 6) , , ,a b m n∈ , 1m ≥ e 2n ≥ . Mostre que:
.
Sejam 7) A =
e ( )2 3B M= (( )2 3B M= ). Descreva um elemento genérico do anel x A B . Qual é o elemento neutro de A B× ?
Calcule 3 elementos inversíveis em cada um dos anéis abaixo.8)
a)
b)
c)
d)
e)
Sabemos que 9) { }: ; é funçãof f= →
e que é anel comutativo com unidade. Troque o produto de funções
pela composição de funções e verifique que valem os axiomas de anel em
, com exceção da distributivi-
dade. Conclua que não é anel.
Dica: Tome , e calcule e .
60
ResumoNeste capítulo vimos que:
Com as operações usuais de soma e multiplicação de fun-•ções, o conjunto XA das funções do conjunto X no anel A , é um anel. Mais ainda, XA será comutativo quando A for comutativo, e XA terá unidade quando A tiver unidade. Em geral XA não é domínio, mesmo que A seja corpo.
Com as operações usuais de soma e multiplicação de ma-•trizes, o conjunto ( )nM A das matrizes n n× com entradas no anel A , é um anel. Se A tem unidade então ( )nM A tem unidade. O anel ( )nM A , 2n ≥ , não é comutativo em geral, e possui divisores de zero. Mesmo que A seja corpo, a melhor estrutura algébrica de ( )nM A , 2n ≥ , é anel com unidade.
As propriedades de congruência em • , estudadas na seção 2.3, levam à construção do anel n , que é comutativo e tem unidade. Provamos que n é corpo se, e somente se, n é número primo, e que isso é também equivalente a n ser domínio.
A partir de anéis conhecidos • A e B , podemos construir o anel produto direto A B× . Quando A e B são comutativos então A B× é comutativo. Quando A e B têm unidade en-tão A B× tem unidade. Mesmo quando A e B são corpos o anel A B× não é domínio.
Combinando os anéis de funções, os anéis de matrizes, os •anéis n e os anéis produto direto, podemos produzir vá-rias famílias infinitas de anéis.
Capítulo 3Subanéis, Elementos Notáveis e Divisibilidade
Capítulo 3Subanéis, Elementos Notáveis e
Divisibilidade
Este capítulo está dividido em três seções. Na primeira estudaremos subanéis com o objetivo de produzir no-vos exemplos de anéis. Na segunda seção destacaremos elementos especiais dentro de um anel. Na última seção trataremos da divisibilidade em anéis. Veremos que o quociente de uma divisão é único em domínios e desta-caremos os elementos primos e irredutíveis.
3.1 Subanéis, subdomínios e subcorposEstudaremos agora como produzir novos anéis a partir de anéis
conhecidos. Mais especificamente, trataremos de anéis contidos em anéis dados. Os novos anéis obtidos desta forma são chama-dos subanéis dos anéis iniciais. Veremos que esse procedimento leva a novos exemplos de anéis, sem exigir muitas contas.
Definição 3.1.1. Seja ( , , )A + ⋅ um anel. Um subconjunto não vazio B A⊆ é subanel de A quando:
(1) As operações de A são operações em B , isto é,,a b B∈ a b B⇒ + ∈ e ab B∈ .
(2) ( , , )B + ⋅ é anel.
A condição (1) da definição acima expressa que a adição e a multiplicação do anel A são operações fechadas em B .
Todo anel tem pelo menos dois subanéis, que são { }0 e A . Es-ses subanéis são chamados de subanéis triviais. Nosso interesse é utilizar subanéis para produzir novos exemplos de anéis. Por isso procuramos subanéis não triviais.
64
De acordo com a Definição 3.1.1, para verificar que B Aφ ≠ ⊆ é subanel de A , devemos mostrar que as operações de A são fecha-das em B e que valem os seis axiomas de anel em B . No entanto, alguns dos axiomas de anel são propriedades hereditárias, isto é, valem automaticamente em todo subconjunto.
Por exemplo, a comutatividade da adição vale em A , portanto vale em todo subconjunto de A . De outra forma,
, ,a b b a a b A+ = + ∀ ∈ , ,x y y x x y B A⇒ + = + ∀ ∈ ⊆ .
Logo, a comutatividade da adição é hereditária. Abaixo descre-vemos os axiomas de anel que são hereditários.
(i) comutatividade da adição;
(ii) associatividade da adição;
(v) associatividade da multiplicação;
(vi) distributividade.
O fato de alguns axiomas de anel serem hereditários reduz o trabalho de verificar se um subconjunto é subanel. A próxima proposição reduz ainda mais este serviço.
Note que no enunciado abaixo, b− é o simétrico de b em A .
Proposição 3.1.1. Sejam ( , , )A + ⋅ um anel e B Aφ ≠ ⊆ . São equiva-lentes:
(a) B é subanel de A ;
(b) , ea b B a b B ab B∈ ⇒ − ∈ ∈ .
Demonstração.
(a) ⇒ (b). Como B é subanel, então B é anel. Assim dados ,a b B∈ temos , ,a b b B− ∈ , daí a b B− ∈ e ab B∈ .
(b) ⇒ (a). Já temos por hipótese que a multiplicação é fechada em B . Além disso, os axiomas de anel (i), (ii), (v) e (vi) são heredi-tários. Resta provar que a adição é fechada em B e que valem os axiomas de anel (iii) e (iv).
65
Axioma (iii): Elemento neutro. Desde que B ≠ φ , podemos tomar a B∈ . Então, por hipótese, 0A a a B= − ∈ . Como 0A é elemento neutro para adição em A , também será em B . Logo, B tem elemento neutro para adição e 0 0B A= .
Axioma (iv): Elemento simétrico. Seja b B∈ . Pelo que fizemos acima, temos ,0Ab B∈ . Daí, aplican-do a hipótese obtemos 0A b B− ∈ , isto é, b B− ∈ . Desde que b− é o simétrico de b em A , então b− é o simétrico de b em B .
Adição Fechada em B : ,a b B a b B∈ ⇒ + ∈ .Sejam ,a b B∈ . Já sabemos que b B− ∈ . Então , ( )a b B− ∈ e por hipótese temos ( )a b B− − ∈ . Isso garante que a b B+ ∈ .
Observação 3.1.1. Na demonstração acima vimos que se B é su-banel de A então 0 0B A= , e o simétrico de b B∈ é o mesmo em A e B . Por isso podemos denotar o elemento neutro de A e B pelo mesmo símbolo 0 , e o simétrico de b em A e B pelo mesmo símbolo b− .
Exemplo 3.1.1. Com as operações usuais, ( , , )+ ⋅ é subanel de ( , , )+ ⋅ e ( , , )+ ⋅ é subanel de ( , , )+ ⋅ .
Exemplo 3.1.2. O conjunto dos números ímpares { }2 1;B k k= + ∈ não é subanel de . Basta ver que 1, 3 B∈ porém 3 1 2 B− = ∉ .
Exemplo 3.1.3. O conjunto dos números pares { }2 ;B k k= ∈ é subanel de . De fato, o produto é a diferença de números pares é sempre um número par.
Exemplo 3.1.4. O conjunto é subanel de 4 . Basta observar que
40 0 2.0 2.2 0⋅ = = = ∈ 40 0 2.0 2.2 0⋅ = = = ∈40 0 2.0 2.2 0⋅ = = = ∈ e
0 0 0− = , 0 2 2− = , 2 0 2− = , 42 2 0− = ∈ 40 0 2.0 2.2 0⋅ = = = ∈40 0 2.0 2.2 0⋅ = = = ∈ .
66
Exemplo 3.1.5. O conjunto não é subanel de 4 , pois 3 3 1 B⋅ = ∉ .
Exemplo 3.1.6. Para cada número primo positivo p , o conjunto
é subanel de ( , , )+ ⋅ com as operações usuais. Para verificar isso, tomemos u a b p= + e v c d q= + em p .
( ) ( )a c b d p p = − + − ∈ , pois ,a c b d− − ∈ ,
e
( ) ( )ac pbd ad bc p p = + + + ∈ , pois
O anel p é chamado de anel adjunção p .
De maneira totalmente análoga ao exemplo anterior, podemos construir o anel adjunção p ,
,
que é subanel de ( , , )+ ⋅ .
Desde que o conjunto dos números primos positivos é infini-to, obtivemos duas famílias infinitas de anéis, a saber, p e
p . Esses anéis serão bastante utilizados durante o curso.
Exemplo 3.1.7.
• é subanel de p .
p • é subanel de p .
p • é subanel de .
Observação 3.1.2. Se p é número primo positivo, então p
não é subanel de , pois p ⊄ . Para ver isso, note que
0 1p p p = + ⋅ ∈ . Agora vamos mostrar que p ∉ . Su-
67
ponha o contrário, isto é, suponha que p ∈ . Então podemos
escrever apb
= com ,a b∈ e ( , ) 1mdc a b = .
22 2
2
a ap p pb ab b
= ⇒ = ⇒ = 2| |p a p a⇒ ⇒ .
Escreva pt a= , t ∈ , e substitua na igualdade 2 2pb a= ;
2 2 2 2 2 2 2 2| |pb a pb p t b pt p b p b= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ .
Obtivemos assim que |p a e |p b . Isso contradiz a escolha de a e b com ( , ) 1mdc a b = . Portanto p ∉ .
A proposição abaixo é útil para fazer contas nos anéis p
e p .
Proposição 3.1.2. Sejam a b p+ , c d p p + ∈ . Então
a b p c d p a c+ = + ⇔ = e b d= .
Demonstração. (⇒) Suponha que b d≠ . Então 0d b− ≠ .
a b p c d p+ = +
a cpb d
−⇒ = ∈
− .
Vimos na Observação anterior que p ∉ . Portanto não é ver-dade que b d≠ , isto é, devemos ter b d= . Assim a igualdade a b p c d p+ = + leva a a c= .
(⇐) É óbvia.
Observação 3.1.3. Segue da Proposição 3.1.2 que se a b p+ , c d p p + ∈ , então:
a b p c d p a c+ = + ⇔ = e b d= .
Seja B um subanel do anel A. É claro que se A é anel comutativo então B é anel comutativo, pois a comutatividade da multiplicação é uma propriedade hereditária. Outra propriedade que o subcon-junto B herda do anel A é a inexistência de divisores de zero. Com efeito, se B tivesse divisores de zero então A teria divisores de zero. Vamos deixar isso registrado na próxima proposição.
68
Proposição 3.1.3. Seja B um subanel do anel A .
(1) Se A é comutativo então B é comutativo.
(2) Se A é anel sem divisores de zero então B é anel sem divisores de zero.
Demonstração. Imediata, pois essas propriedades são hereditárias.
Exemplo 3.1.8. Com as operações usuais temos que:
• é um subanel comutativo e sem divisores de zero do anel .
• é subanel comutativo e sem divisores de zero do anel .
• é subanel comutativo e sem divisores de zero do anel p .
p • é subanel comutativo e sem divisores de zero do
anel p .
p • é subanel comutativo e sem divisores de zero do
anel .
Em cada item do exemplo acima temos um resultado a mais. A saber, o anel e o subanel têm a mesma unidade. Por isso, dize-mos que o subanel é subanel unitário do anel, de acordo com a definição abaixo.
Definição 3.1.2. O subanel B é subanel unitário do anel com unida-de A quando B tem unidade e 1 1B A= .
Vamos ver agora dois exemplos de subanéis que não são unitá-rios. O primeiro deles não é unitário porque não tem unidade, e o segundo não é unitário, pois tem unidade diferente da unidade do anel.
Exemplo 3.1.9. Seja , 2n n∈ ≥ . O conjunto dos múltiplos de n , { };n nx x= ∈ , é subanel de e não tem unidade.
Vamos à prova. Para verificar que n é subanel de utilizare-mos a Proposição 3.1.1.
69
Sejam ,a b n∈ , a nx= e b ny= , ,x y ∈ . Como ( )ab n xny n= ∈ e ( )a b n x y n− = − ∈ temos que n é su-banel de . Falta ver que n não tem unidade. Suponha que u nx n= ∈ seja unidade de n . Então u v v= , para todo v n∈ . Tomando 1v n n n= = ⋅ ∈ vem queuv = v 1 1. 1 1. 1u n x nx= ⇒ = ⇒ = nx.n = n 1 1. 1 1. 1u n x nx= ⇒ = ⇒ = nx = 1,que é impossível, pois 2n ≥ . Logo, n não tem unidade.
Como caso particular do exemplo acima, temos que:
2• , 3 , 4 , 5 , 6 , ..., são subanéis de , que não tem unidade.
Note também que:
4• é subanel de 2 ;
6• é subanel de 2 ,
e de forma geral, |n m se, e somente se, m é subanel de n . Veja o Exercício 3a.
Observação 3.1.4. No exemplo anterior trabalhamos com n ∈ , 2n ≥ . Poderíamos tomar n ∈ , 2n ≤ − , pois os múltiplos de n e
n− são os mesmos, isto é, ( )n n= − . É claro que 1 ( 1)⋅ = − = e { }0 0= são os subanéis triviais de . Veremos adiante que todo subanel de é de forma n para alguns n ∈ .
Exemplo 3.1.10. O conjunto 0
;0 0a
B a
= ∈
é subanel de
2 ( )A M= , pois o produto e a diferença de duas matrizes de B
permanecem em B . Sabemos que 1 0
10 1A
=
. É fácil ver que B
tem unidade 1 0
10 0B
=
. Desde que 1 1A B≠ , temos que B não é
subanel unitário de A .
Quando A é um domínio e B é subanel com unidade, sempre temos 1 1A B= . De fato, lembre que estamos considerando sempre que a unidade é diferente de zero. Então 1 0B ≠ , e como A é do-mínio,
1 (1 1 ) 1 1 0 1 1 0 1 1B B A B B A B A B− = − = ⇒ − = ⇒ = .
70
Isso mostra que um subanel com unidade de um domínio é um subanel unitário.
Definição 3.1.3. Seja A um domínio. Um subanel B de A é um sub-domínio de A quando B é subanel unitário e domínio.
A próxima proposição caracteriza os subdomínios como suba-néis que têm unidade.
Proposição 3.1.4. Sejam A um domínio e B um subanel de A . São equivalentes:
(a) B é subdomínio de A .
(b) B tem unidade.
Demonstração. (a) ⇒ (b). É claro, pois B é domínio.
(b) ⇒ (a). Segue da Proposição 3.1.3 que B é comutativo e não tem divisores de zero. Além disso, como B tem unidade e A é domínio, temos 1 1B A= . Logo, B é subdomínio de A .
Exemplo 3.1.11.
• é subdomínio de .
• é subdomínio de p .
p • é subdomínio de p .
p • é subdomínio de .
• é subdomínio de p .
• é subdomínio de .
Basta notar que os subanéis da coluna da esquerda têm unidade.
Definição 3.1.4. Seja A um corpo. Um subanel B de A é um subcor-po de A quando B é subanel unitário e corpo.
É claro que se A é corpo, B A⊆ e B é corpo com as operações de A , então B é subcorpo de A .
71
A proposição abaixo caracteriza os subcorpos. Note que o ele-mento 1b− que aparece no enunciado é o inverso de b B A∈ ⊆ no corpo A .
Proposição 3.1.5. Sejam A um corpo e B um subanel de A . São equi-valentes:
(a) B é subcorpo de A .
(b) B tem unidade e 1b B− ∈ , para todo 0 b B≠ ∈ .
Demonstração. (a) ⇒ (b). É claro que B tem unidade, pois é corpo. Além disso, todo elemento b B∈ , 0b ≠ , tem um inverso x B A∈ ⊆ . Mas o inverso de b em A é único, como vimos na Proposição 1.3.2(2), e então 1b x B− = ∈ .
(b) ⇒ (a). Já vimos na Proposição 3.1.3 que B é comutativo, pois A é comutativo. Como B tem unidade e A é domínio, segue da Proposição 3.1.4 que B é subanel unitário. Até aqui temos que B é subanel unitário e comutativo de A . Para ver que é subcorpo basta usar a hipótese (b), que garante que todo elemento diferente de zero em B tem inverso em B .
Agora vamos usar a proposição anterior para apresentar exem-plos de subcorpos, e consequentemente conhecer novos corpos.
Lembre que os corpos que conhecemos até o momento são , , p , onde p é um número primo.
Exemplo 3.1.12. Para cada número primo positivo p temos que p é um subcorpo de .
De fato, sabemos que p tem unidade .
Seja u a b p p = + ∈ , 0u ≠ . Então 0a ≠ ou 0b ≠ , e daí
v a b p p = − ∈ , 0v ≠ .
Como p é domínio, temos
2 2a pb= − ∈ .
72
Mas é corpo e então
2 2 12 2
1( )a pba pb
−− = ∈−
.
Desde que 2 2
aa pb−
e 2 2
ba pb−
estão em , temos:
2 2 2 2
a by p pa pb a pb
= − ∈ − −
.
É fácil ver que
u y 2 2 2 2 1a b pa pb a pb
− = − −
.
Logo u tem inverso 1 [ ]u y p− = ∈ .
Portanto, p é subcorpo de .
Para encerrar esta seção vamos ver como os subanéis se com-portam em relação à união e a interseção.
Proposição 3.1.6. Sejam A um anel e 1 2,B B A⊆ .
(1) Se 1B e 2B são subanéis de A , então 1 2B B é subanel de A .
(2) Se 1B e 2B são subdomínios de A , então 1 2B B é subdomínio de A .
(3) Se 1B e 2B são subcorpos de A , então 1 2B B é subcorpo de A .
Demonstração. (1) Sejam 1 2,a b B B∈ . Como 1,a b B∈ e 1B é subanel, temos que 1,a b ab B− ∈ . Analogamente 2,a b ab B− ∈ . Portanto 1 2,a b ab B B− ∈ e 1 2B B é subanel de A .
(2) Como 1B e 2B são subdomínios de A , temos que 1B e 2B têm a mesma unidade de A . Então 1 21A B B∈ e pela Proposição 3.1.4, 1 2B B é subdomínio de A .
(3) Como 1B e 2B são subcorpos de A , então são subdomínios de A , e pelo item anterior 1 2B B tem unidade 1A . Seja agora
1 2b B B∈ , 0b ≠ . Como 1b B∈ e 1B é corpo, temos que 11b B− ∈ .
Analogamente 12b B− ∈ . Logo, 1
1 2b B B− ∈ e pela Proposição 3.1.5, 1 2B B é subcorpo de A .
73
Exemplo 3.1.13. Sabemos que 2 e 3 são subanéis de . Então 2 3 6= é subanel de .
Exemplo 3.1.14. Sabemos que 2 e 3 são subcorpos
de . Então 2 3 é subcorpo de . Deixamos como
exercício verificar que 2 3 = .
A união de subanéis não é, em geral, um subanel. Veja o pró-ximo exemplo.
Exemplo 3.1.15. Sabemos que 1 2B = e 2 3B = são subanéis de . Porém 1 2B B não é subanel. De fato, 1 22,3 B B∈ , porém 2 3 5+ = 1 2B B∉ .
3.2 Elementos notáveis de um anelNesta seção estudaremos alguns elementos especiais de um
anel. A importância desses elementos está no fato de que algu-mas contas efetuadas no anel ficam simples quando trabalhamos com tais elementos.
Para exemplificar, suponha que desejamos resolver a equa-ção xa b= no anel com unidade .A Isto significa que ,a b A∈ e queremos encontrar x A∈ que satisfaça a equação. Se soubermos que a A∈ é inversível em A e seu inverso é 1a− , multiplicamos a equação xa b= por 1a− à esquerda obtendo 1x .a b−= Dessa for-ma, conhecer elementos inversíveis do anel é útil para resolver equações no anel.
Além dos elementos inversíveis, vamos destacar os seguintes elementos de um anel: divisores de zero, regulares, idempotentes e nilpotentes. Chamaremos esses elementos de elementos notáveis do anel.
Definição 3.2.1. Seja ( , , )A + ⋅ um anel com unidade. Dizemos que a A∈ é elemento inversível de A quando existe y A∈ tal que
1.a y ya= =
74
Como fizemos anteriormente no estudo de corpos, denotare-mos o inverso de a por 1a− .
O conjunto dos elementos inversíveis do anel com unidade A é denotado por ( )A (A).
( )A (A)( ) { ; : 1}A a A y A ay ya= ∈ ∃ ∈ = = .
Definição 3.2.2. Seja ( , , )A + ⋅ um anel. Dizemos que a A∈ é ele-mento:
Divisor de zero• : quando 0a ≠ e existe { }0b A∈ − tal que 0ab = ou 0b a = .
Regular:• quando 0a ≠ e a não é divisor de zero.
Idempotente: • quando 2a a= .
Nilpotente:• quando existe { }0n∈ − tal que na a= 0.
Observação 3.2.1. O elemento a A∈ , 0a ≠ , é regular quando não existe b A∈ , 0b ≠ , tal que 0ab = ou 0b a = . De outra forma, a A∈ , 0a ≠ é regular quando:
b A∈ , 0b ≠ 0ab⇒ ≠ e 0b a ≠ .
Tomando a contrapositiva da implicação acima:
0ab = ou 0b a = 0b⇒ = .
Usaremos as notações:
( )Ddz ,A• (A), para o conjunto dos elementos divisores de zero do anel A .
( )Reg ,A• (A), para o conjunto dos elementos regulares do anel A .
( )Idemp ,A• (A), para o conjunto dos elementos idempotentes do anel A .
( )Nilp ,A• (A), para o conjunto dos elementos nilpotentes do anel A .
Em geral não é tarefa fácil conhecer os elementos inversíveis, divisores de zero, regulares, idempotentes e nilpotentes de um anel qualquer. Quando trabalhamos com um domínio ou um cor-po, podemos usar a proposição abaixo.
75
Proposição 3.2.1. Se D é um domínio então:
(1) Ddz (D)( )Ddz D = ∅ .
(2) Reg (D)( ) { }Reg 0D D= − .
(3) Idemp (D)( ) { }Idemp 0,1D = .
(4) Nilp (D)( ) { }Nilp 0D = .
Demonstração. (1) É imediato da definição de domínio, pois se { }, 0a b D∈ − , então 0.ab ≠ Logo, nenhum elemento de D pode
ser divisor de zero.
(2) Segue de (1), pois
.
Alternativamente podemos provar (2) verificando duas inclusões de conjuntos. É claro que ( )Reg ,A(D)Re ( ) {0}g D D⊆ − . Por outro lado, se
, 0,a D a∈ ≠ então a não é divisor de zero pois Ddz (D)( )Ddz D = ∅ . Logo {0} Re ( )D g D− ⊆ ( )Reg ,A(D).
(3) É claro que 0 e 1 são idempotentes. Para ver que são os únicos, tome x D∈ tal que 2 .x x= Então:
2 0x x− = ⇒ ( )1 0x x − =
⇒ 0x = ou 1 0x − =
⇒ 0x = ou 1.x =
Logo os únicos idempotentes de D são 0 e 1, isto é, Idemp (D) ( ) { }Idemp 0,1D = .
(4) É claro que 0 é nilpotente. Suponha que x D∈ é nilpotente. Então existe { }0n∈ − tal que 0,nx = e n é o menor natural não nulo com esta propriedade. Se 1n = , então 0.x = Se 1n > , então { }1 0n − ∈ − e 10 .n nx x x −= = Como D é domínio, vem que 0x = ou 1 0.nx − =
Desde que n é o menor natural não nulo tal que 0,nx = não po-demos ter 1 0.nx − = Logo 0x = , e daí Nilp (D)( ) { }Nilp 0D = .
76
Corolário 3.2.1. Se K é um corpo, então:
(1) ( ) { }0 .K K= − (K)( ) { }0 .K K= −
(2) ( )Ddz K = ∅(K)( )Ddz K = ∅ .
(3) ( ) { }Reg 0K K= −(K)( ) { }Reg 0K K= − .
(4) ( ) { }Idemp 0,1K =(K)( ) { }Idemp 0,1K = .
(5) ( ) { }Nilp 0 .K =(K)( ) { }Nilp 0 .K =
Demonstração. (1) É imediato da definição de corpo. Para (2), (3), (4) e (5), basta lembrar que todo corpo é domínio e usar a propo-sição anterior.
Observe que se K é corpo então ( ) ( )RegK K= (K)( ) ( )RegK K= (K) .
Exemplo 3.2.1.
•
•
•
•
•
O mesmo continua valendo se trocarmos por , p ou
p , p um número primo, pois todos são corpos.
Exemplo 3.2.2.
•
•
•
•
•
Aplicando a Proposição 3.2.1 ao domínio temos , , e Resta provar
que . É claro que { } ( )1 .± ⊆ . Seja ( )x ∈ , então existe y ∈ tal que 1.x y = Note que ,x y ∈ e 1x y = . Assim y é
77
o inverso de x em . Pela unicidade do inverso em , temos que 1 .yx
= Mas y ∈ e então 1x = ou 1.x = − Portanto, .
Exemplo 3.2.3. Fazendo contas com os elementos de temos:
•
•
•
•
•
Lembramos que a Proposição 1.3.3 assegura que vale a lei do cancelamento do produto no anel A se, e somente se, A é um anel sem divisores de zero, isto é, Ddz (A)( )Ddz .A = ∅ Por outro lado sabemos que Ddz (A)( )Ddz A = ∅ se, e somente se, Reg (A)( ) { }Reg 0 .A A= −{0}. Acabamos de es-tabelecer uma relação entre cancelamento do produto e elementos regulares. A próxima proposição deixa essa relação bem clara.
Proposição 3.2.2. Sejam A um anel e , 0a A a∈ ≠ são equivalentes:
(a) a é elemento regular.
(b) , .
ax ay x yxa ya x y x y A
= ⇒ = = ⇒ = ∈
Demonstração: (a) ⇒ (b) Desde que a é regular, temos:
ax ay= ⇒ a (x − y) = 0 ⇒ 0x y− = ⇒ .x y=
A outra implicação é análoga.
(b) ⇒ (a) Seja b A∈ tal que 0ab = ou 0.b a = Devemos provar que 0.b = Usando a hipótese podemos cancelar a em cada uma das igualdades abaixo.
0 0 0.ab a b= = ⇒ =•
0 0 0.b a a b= = ⇒ =•
Portanto 0b = , e daí a é regular.
78
Exemplo 3.2.4. Resolva a equação 3 2x = em 4.
1ª Forma: Como 3 é regular em 4 e 3 2 3.2,x = = podemos can-celar 3 obtendo 2.x =
2ª Forma: Como 3 é inversível em 4 e −1( ) 1
3 3,−
= podemos multi-
plicar 3 2x = por −1
obtendo ( ) 13 .2 3.2 6 2.x
−= = = =
−1( ) 13 .2 3.2 6 2.x
−= = = =
Existem algumas relações entre elementos regulares, di-visores de zero, inversíveis, nilpotentes e idempotentes. Se A é um anel qualquer, é imediato que Ddz (A)( ) ( )Ddz RegA A∩ = ∅Reg (A)( ) ( )Ddz RegA A∩ = ∅ e Ddz (A)( ) ( ) { }Ddz Reg 0 .A A A∪ = −Reg (A)( ) ( ) { }Ddz Reg 0 .A A A∪ = −{0}. Outras relações estão na proposição abaixo.
Proposição 3.2.3. Seja A um anel.
(1) ( ) ( ) { }Idemp Nilp 0 .A A∩ = {0}.
(2) Se A tem unidade, então e
(3) Se A é corpo, então ( ) ( )Reg .A A= .
Demonstração. (1) Seja . Então 2x x=
e existe { }0n∈ − {0} que podemos tomar o menor possível, tal que 0.nx = Se 1n = , então é claro que 0.x = Se 2n = , temos
20 .x x= = Se 2n > , então 2 2 2 10 ,n n n nx x x x x x− − −= = = = o que contradiz o fato de n ser o menor natural não nulo tal que 0.nx = Portanto 0.x =
(2) Seja ( )a A∈ . Então existe 1a A− ∈ tal que 1 1 1.a a a a− −= =
Vamos verificar que ( )Ddz .a A∉ . Se b A∈ e 0ab = ou 0ba = , multiplicando por 1a− do lado adequado, vem que 0.b = Logo
0a ≠ e Ddz,a ∉ isto é, ( )Reg .a A∈ . Assim .
Pela definição de elemento regular, , e como temos que .
(3) Vimos no Corolário 3.2.1 que se A é corpo então ( ) { }Reg 0 ,A A= −{0}, e é claro que ( ) { }Reg 0 ,A A= −{0}. Portanto,
( ) ( )RegA A= .
79
Quando A não é corpo pode não valer a igualdade ( ) ( )RegA A= . Por exemplo, em A = temos que 2 é elemento
regular mas não é elemento inversível.
Veremos a seguir que nos anéis n vale a igualdade ( ) ( )Regn n= , e mostraremos uma maneira simples de calcu-
lar .
Proposição 3.2.4. Seja , 2.n n∈ ≥ São equivalentes:
(a) ( ).nx ∈ .
(b) ( )Reg .nx ∈ .
(c) ( ), 1.mdc x n =(x,n) = 1.
Demonstração. (a) ⇒ (b) Pela Proposição 3.2.3, e então ( )nx ∈ implica em ( )Reg .nx ∈ .
(b) ⇒ (c) Seja ( ),d mdc x n= (x,n) e escreva ,du x= dv n= com , .u v ∈ Multiplicando a igualdade du x= por v temos,
du v xv= ⇒ (dv)u( )dv u xv= ⇒ nu xv= ⇒ nu xv= ⇒ 0 .xv=
Como x é regular, a igualdade 0xv = leva a 0v = , isto é, v é múl-tiplo de .n Escrevendo v nt= e substituindo em dv n= , vem:
d nt n= ⇒ 1dt = ⇒ 1.d =
Logo ( ), 1.mdc x n =(x,n) = 1.
(c) ⇒ (a) Como ( ), 1,mdc x n =(x,n) = 1, a Identidade de Bezout garante que existem ,r s ∈ tais que 1.r x sn+ = Tomando classes módu-lo n temos:
1 0 .r x sn r x s n r x s r x= + = + = + =
Logo x é inversível em ,n , isto é, ( ).nx ∈ .
Exemplo 3.2.5. Calcule ( )6 .Pela proposição anterior, basta tomar as classes dos elementos positivos que são primos relativos com 6 e menores que 6, isto é,
80
Exemplo 3.2.6. Calcule O mesmo raciocínio do exemplo acima leva a
Veremos agora como caracterizar , para cada nú-
mero primo positivo p .
Proposição 3.2.5. Se p é um número primo positivo, então
Demonstração. Primeiro vamos provar que todo elemento do con-
junto é inversível.
De fato, se a b p p + ∈ e 2 2 1a pb− = ± então temos:
2 21 a pb± = − .
Portanto o inverso de a b p+ é ( )a b p p − ∈ ou
.
Agora vamos provar que todo elemento de é dessa forma.
Seja então ( ).a b p p + ∈ . Assim existe
c d p p + ∈ tal que
Isto fornece as igualdades
(ad + bc) = 0 e (ac + pbd) = 1.Agora,
.
Assim,
81
e portanto(a2 − pb2)(c2 − pd 2 ) = 1.
Como 2 2a pb− , 2 2c pd− ∈ , concluímos que 2 2 1.a pb− = ±
Exemplo 3.2.7.
• ( )1 2 2 + ∈ e ( )2 2 2 . + ∉ .
• ( )2 3 3 + ∈ e ( )1 3 3 . + ∉ .
Conforme comentamos anteriormente, calcular todos os ele-mentos notáveis de um anel não é tarefa fácil. Terminaremos esta seção apresentando exemplos de cada um dos tipos de elementos notáveis no anel de matrizes ( ).nM .
Exemplo 3.2.8.
• ( )( )2
0 0 1 0 1 0 0 0, , , Idemp .
0 0 0 1 0 0 0 1M
⊆
• ( )( )2
0 0 0 5 0 0, , Nilp .
0 0 0 0 8 0M
⊆ −
• ( )( )2
2 0 0 0 0 1 2 5, , , Ddz .
0 0 1 3 0 4 0 0M
− ⊆ −
• ( )( )2
2 0 3 0 0 1 0 3, , , Reg .
0 1 0 3 1 0 2 0M
⊆ −
• ( )( )2
1 0 1 0 0 1 0 1, , , .
0 1 0 1 1 0 1 0M
− − ⊆ − −
Informação: Sabemos que uma matriz ( )nM M∈ é inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Assim:
O resultado acima é caso particular de um resultado geral. A sa-ber, se A é um anel com unidade e ( )nM M A∈ então:
82
Note que quando A é corpo temos ( ) { }0A A= − , e então
( )( ) det 0.nM M A M∈ ⇔ ≠
Uma consequência do resultado acima é que uma matriz ( )nM M∈ tem inversa em ( )nM se, e somente se,
3.3 Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíveis
Definição 3.3.1. Sejam A um anel e , .a b A∈ Dizemos que a divide b em A quando existe c A∈ tal que .a c b=
Notação: | .a b
Observação 3.3.1. O elemento c da definição acima é chamado de quociente da divisão de b por .a
Exemplo 3.3.1. Se A é um anel e a A∈ então | 0.a Em particular, fazendo 0a = temos que 0 | 0. Observe que 0 divide apenas 0, pois 0c b= implica em 0.b =
Exemplo 3.3.2. Em 2 temos que 1 2 2+ divide 7,− pois
1 2 2 2 − ∈
e
Exemplo 3.3.3. Em 8 temos que 2 divide 6, pois 2.3 6.= Note também que 2.7 14 6.= =
No exemplo acima vemos que 2 divide 6 em 8 com dois quo-cientes diferentes. Nosso interesse é por anéis onde o quociente é único. O próximo Lema mostra que isso ocorre em domínios.
Lema 3.3.1. Sejam A um domínio, ,a b A∈ e 0.a ≠ Se |a b então o quociente é único.
Demonstração. Suponha que , 'c c A∈ sejam quocientes da divi-são de b por .a Então a c b= e ' .a c b= Igualando temos:
83
'a c a c= ⇒ ' 0a c a c− = ⇒
Desde que A é domínio e 0,a ≠ vem que '.c c=
Em função do Lema 3.3.1, vamos estudar divisibilidade em do-mínios. Chamamos a atenção para o fato de que divisibilidade em corpos é sempre trivial, pois um elemento não nulo divide qual-quer outro elemento. De fato, se A é corpo, ,a b A∈ e 0a ≠ então
|a b e o quociente é 1 .c a b−=
Vejamos algumas propriedades da divisibilidade em domínios.
Proposição 3.3.1. Sejam A um domínio e , , , , .a b d x y A∈
(1) | | .a b a b x⇒
(2) |a b e ( )| | .a d a b x d y⇒ +(bx + dy).
(3) | | .a b a d b d⇒
(4) |a b e | | .b d a d⇒
(5) ( )|1 .a a A⇔ ∈ .
(6)
Demonstração.
(1)
(2) |a b e |a d ⇒ a c b= e , ,a v d c v A= ∈
⇒ a (cx)( )a c x b x= e a (vy)( )a v y d y=
⇒ a (cx + vy)( )a c x v y b x d y+ = + ⇒ ( )| .a b x d y+ (bx + dy).
(3) |a b ⇒ ,a c b c A= ∈ ⇒ (ad)( )a d c b d= ⇒ | .a d b d
(4) |a b e |b d ⇒ a c b= e , , .bv d c v A= ∈
⇒ a c v bv d= = ⇒ | .a d
(5) |1a ⇔ 1,a c c A= ∈ ⇔ ( ).a A∈ .
84
(6) ( )u A∈ ⇒ 1 11,u u u A− −= ∈
⇒ | .u a a
Pelo item (5) da proposição anterior vemos que os elementos inversíveis podem ser caracterizados pela divisibilidade da se-guinte forma:
( ) { }; |1 .A a A a= ∈
Definição 3.3.2. Sejam D um domínio e , .a b D∈ Dizemos que a e b são associados quando |a b e | .b a
Notação: ~ .a b
Observação 3.3.2. Sejam D um domínio e .a D∈ É claro que 1| a . Então |1a se, e somente se, ~ 1.a Desde que os divisores de 1 são os elementos inversíveis, temos
Proposição 3.3.2. Seja D um domínio. A relação ~ é relação de equi-valência em .D
Demonstração. Veja o Exercício 9.
A próxima proposição assegura que dois elementos são asso-ciados quando diferem pelo produto de um elemento inversível. Esse resultado é útil para determinar associados.
Proposição 3.3.3. Sejam D um domínio e ,a b D∈ são equivalentes:
(a) ~ .a b
(b) ( )u D∃ ∈ tal que .b au=
Demonstração. (a) ⇒ (b) ~ |a b a b⇒ e |b a .
Então, existem ,x y D∈ tais que ax b= e by a= .
85
1° Caso: 0.a =0a = e 0.a x b b= ⇒ =
Tome ( )1u D= ∈ e então 0 0.1= , isto é, .b au=
2° Caso: 0.a ≠
a x b= e b y a a x y a= ⇒ =
( )1 0a x y⇒ − =(xy − 1) = 0
1x y⇒ =
x⇒ é inversível.
Tome ( )u x D= ∈ e então .au b=
(b) ⇒ (a) Por hipótese, ( ),b a u u D= ∈( ),b a u u D= ∈ . Segue que | .a b Além disso, de b au= temos 1bu a− = e então | .b a Logo, ~ .a b
Exemplo 3.3.4. Determinar os elementos associados a 2 .∈Desde que ( ) { }1= ± , segue da Proposição 3.3.3 que os associa-dos a 2 são 2 e 2− .
Exemplo 3.3.5. Determinar os elementos associados a 62 .∈Sabemos que
. Logo os associados a 2 são:
2.1 2= e 2.5 10 4.= =
Exemplo 3.3.6. Determinar os elementos associados a 71 .∈Pela Observação 3.3.2, os associados a 1 são exatamente os ele-mentos inversíveis. Como 7 é corpo, pois 7 é primo, os associa-dos a 1 são
Exemplo 3.3.7. Determinar os elementos associados a 73 .∈Como 7 é corpo, temos que 3 é inversível. Logo 3 ~ 1 e desde que ~ é relação transitiva, os associados de 1 e de 3 coincidem. Portanto os associados a 3 são
Note que no exemplo acima podemos trocar 3 por qualquer elemento não nulo. Mais que isso, podemos trocar 7 por qual-quer corpo. Isso leva à seguinte conclusão:
86
Se K é corpo e então os associados a a são .
Sabemos que não é fácil determinar o conjunto dos elementos inversíveis de um anel. Como os associados são obtidos por pro-duto de inversíveis, também não é fácil encontrar todos os ele-mentos associados a um elemento dado. No entanto, para cada elemento inversível podemos produzir um elemento associado.
Exemplo 3.3.8. Determine 4 elementos associados a 3 2 3 3 . + ∈
Desde que , e temos que
Assim, multiplicando pelos inversíveis acima, obtemos os seguin-tes associados a 3 2 3+ :
,
,
,
e
.
Definição 3.3.3. Sejam D um domínio, ,p D∈ 0p ≠ e ( )p D∉ . Dizemos que p é elemento
Primo• quando:, e | | ou |a b D p ab p a p b∈ ⇒ .
Irredutível• quando: , e ( ) ou ( )a b D p ab a U D b U D∈ = ⇒ ∈ ∈ .
Redutível• quando não é irredutível.
Observação 3.3.3. Um elemento ,p D∈ não nulo e não inversível, é redutível quando pode ser decomposto como produto de dois elementos não inversíveis, isto é,
, ,a b D∃ ∈ ( ),a b D∉ tal que .p ab=
87
O conceito de elemento primo em um domínio qualquer é a generalização da definição de número primo estudada no domí-nio . Provaremos isso na próxima proposição, que também as-segura que no domínio os elementos primos coincidem com os irredutíveis. Antes, porém, veremos que elementos primos são irredutíveis em qualquer domínio.
Lema 3.3.2. Todo elemento primo é elemento irredutível.
Demonstração.
Sejam D um domínio e p D∈ um elemento primo. É claro que 0p ≠ e ( )p D∉ . Para ver que p é irredutível, considere ,a b D∈
tais que .p ab= Devemos mostrar que ( )a D∈ ou ( )b D∈ . De p ab= vem que |p ab e daí, |p a ou | .p b Admita que |p a . Então existe c D∈ tal que .p c a= Substituindo em p ab= vem que .p p cb= Como D é domínio e 0p ≠ , cancelamos p obten-do 1 .cb= Segue que ( )b D∈ . O caso |p b é tratado de forma análoga e leva à conclusão de que ( )a D∈ . Portanto ( )a D∈ ou ( )b D∈ , e assim p é irredutível.
Observação 3.3.4. Não vale a recíproca do Lema anterior. Isto é, existem exemplos de elementos irredutíveis que não são primos, contudo produzir tais exemplos requer resultados que não serão tratados aqui.
Proposição 3.3.4. Seja ,p ∈ 0p ≠ e . São equiva-lentes:
(a) p é número primo.
(b) p é elemento primo.
(c) p é elemento irredutível.
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Sejam ,a b∈ tais que | .p ab Devemos provar que |p a ou | .p b Se |p a a demonstração acabou. Se |p a/ então mdc (a ,p) = 1, pois 1 e p são os únicos divisores posi-tivos de ,p já que p é número primo. Pela Identidade de Be-zout, existem ,x y ∈ tais que 1.a x p y+ = Multiplicando por
88
b vem que .ab x pb y b+ = Como |p ab e |p p , temos que ( )| ,p ab x pb y+(abx + pby), isto é, | .p b Portanto, |p a ou | ,p b, isto é, p é
elemento primo.
(b) ⇒ (c) Segue do Lema anterior.
(c) ⇒ (a) Para ver que p é um número primo, basta provar que seus únicos divisores são 1± e .p± Seja então a ∈ tal que
| .a p Assim, existe b∈ tal que .p ab= Por hipótese, p é ele-mento irredutível e então ( ) { }1a ∈ = ± ou ( ) { }1 .b∈ = ± . Se 1a = ± nada temos para fazer. Se 1,b = ± substituímos em p ab= obtendo .a p= ± Logo p é número primo.
Exemplo 3.3.9.Em os elementos primos são exatamente os números primos.Em os elementos irredutíveis são exatamente os números primos.Em os elementos redutíveis são os números diferentes de 0, 1 e 1− , que não são primos.
Exemplo 3.3.10. Um corpo não possui elementos primos, irredu-tíveis e nem redutíveis.De fato, para um elemento p ser primo, irredutível ou redutível no corpo K devemos ter 0p ≠ e É claro que não existe elemento que satisfaça isso.
Observação 3.3.5. Classificar um elemento como primo ou irre-dutível depende fortemente do anel onde consideramos tal ele-mento. Por exemplo, 2∈ e 2 .∈ Vimos que 2 é primo e irredu-tível em , mas 2 é inversível no corpo . Portanto 2 não é primo nem irredutível em .
Exemplo 3.3.11. Se p é um número primo positivo, então o ele-
mento p é redutível em .p Logo não é primo em .p
De fato, p não é inversível em ,p de acordo com a Pro-
posição 3.2.5. Para ver que p é redutível tome a = b pa b= = ∈
89
p , que não são inversíveis pela Proposição 3.2.5. Claro que
p = a b p p pa b= = . Portanto p é redutível em p e, pelo Lema
3.3.2, p não é primo em p .
Exemplo 3.3.12. O elemento p é primo em ,p para todo
número primo positivo .p
Pela Proposição 3.2.5,
, pois 2 20 .1 1p− ≠ ± .
Para ver que p é elemento primo tomamos ,
, tais que | ( )p ab . Devemos mostrar que
ou .
( )| ( )p x y p pab ⇒ ∃ + ∈
( )| ( )p x y p pab ⇒ ∃ + ∈
tal que
.
Segue que .
a d bc xa c pb d p y
+ = + =
( ) | |a c pb d p y p y b d a c p a c p a+ = ⇒ − = ⇒ ⇒ ou |p c .
• | ,p a p t a t⇒ = ∈.
• | ,p c pu c u⇒ = ∈.
Logo p é elemento primo em p .
Exemplo 3.3.13. O elemento p é irredutível em ,p para
todo número primo positivo .pVimos no exemplo anterior que p é primo em p
. Segue do Lema 3.3.2 que p é irredutível em p
.
A próxima proposição mostra que multiplicar elemento primo por inversível resulta elemento primo. O mesmo vale para ele-mento irredutível. A conclusão é que elementos associados a ele-mentos primos ou irredutíveis são, respectivamente, elementos primos ou irredutíveis.
90
Proposição 3.3.5. Sejam D um domínio, p D∈ e ( )u D∈ . Então:
(1) p é elemento primo ⇔ pu é elemento primo.
(2) p é elemento irredutível ⇔ p u é elemento irredutível.
Demonstração. Primeiramente note que 0p ≠ se, e somente se, 0.pu ≠ Também ( )p D∈ se, e somente se, ( )p u D∈ . Dessa
maneira, considerando p não nulo e não inversível vem que pu é não nulo e não inversível, e reciprocamente.
(1) Sejam ,a b D∈ tais que | .pu ab Como |p pu vem que | .p a b Por hipótese p é primo e então |p a ou | .p b Se |p a
então existe c D∈ tal que p c a= , e daí, , que ga-rante que | .pu a Analogamente, admitindo que |p b concluímos que | .p u b Logo pu é elemento primo.
Na direção mostramos que um elemento primo multi-plicado por um elemento inversível resulta num elemento primo. Nossa hipótese agora é que p u é primo. Então multiplicando por
1u− obtemos que é primo.
(2) Sejam ,a b D∈ tais que .pu ab= Segue que e como p é irredutível vem que ( )1u a D− ∈ ou ( )b D∈ . Logo
( )a D∈ ou ( )b D∈ , e pu é elemento irredutível.
Na direção mostramos que um elemento irredutível mul-tiplicado por um elemento inversível resulta num elemento irredu-tível. Como nossa hipótese é que p u é irredutível, multiplicando por 1u− obtemos que é irredutível.
A proposição acima pode ser usada para produzir novos ele-mentos primos e irredutíveis a partir de elementos primos e ir-redutíveis conhecidos. Também pode ser usada para produzir elementos que não são primos ou irredutíveis. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 3.3.14. Vimos nos Exemplos 3.3.12 e 3.3.13 que para cada primo positivo p o elemento p é primo e irredutível em
91
.p Pela proposição anterior podemos produzir novos ele-
mentos primos e irredutíveis, multiplicando p por elementos
inversíveis de .p
Para 2,p = usando a Proposição 3.2.5 vemos que
, e então é primo e irredu-
tível em 2 .
Para 5p = teremos que , e então
é primo e irredutível em 5 .
Exemplo 3.3.15. Vimos no Exemplo 3.3.11 que p não é elemento
primo nem irredutível em .p
Para 2p = sabemos que , e então, pela propo-
sição anterior, 2 2 2= + não é elemento primo nem ir-
redutível em 2 .
Para 5p = sabemos que , e então
não é elemento primo nem irredutível de
5 .
Os elementos primos e irredutíveis têm várias aplicações em álgebra, que estão um pouco além dos objetivos deste curso. Con-tudo, um estudo sobre elementos primos e irredutíveis em anéis de polinômios será visto no segundo curso de álgebra.
92
Lista de exercíciosVerifique se 1) B é subanel de .
a) { ; }B x x= ∈ ∉ .
b) ; , e 2|aB a b bb
= ∈ ∈
.
c) ; e 2naB a n = ∈ ∈ ∈
.
Verifique se 2) B é subanel de .
a) ( )20a c
B Mb
= ∈
.
b) ( )2
00a
B Mb
= ∈
.
c) ( )2
0 aB M
c b
= ∈
.
d) ( )20 0a b
B M
= ∈
.
a)3) Mostre que |n m se, e somente se, m é subanel de n .
b) Calcule todos os subanéis de 4 , 5 , 6 e 8 .
Calcule todos os subcorpos de 4) .
Determine o corpo obtido pela intersecção de 5) 7 com
5 .
Sejam 6) 1 2, ,..., nB B B subanéis de A e 1
n
ii
B B=
=
, a intersecção de 1 2, ,..., nB B B . Verifique que
a) B é subanel de A .
b) Se iB é subcorpo de A para cada { }1,2,...,i n∈ , então B é corpo.
c) 1 2B B∪ é subanel de A se, e somente se, 1 2B B⊆ ou
2 1B B⊆ .
93
O centro do anel 7) A é o conjunto
( ) { }; ,A x A x y y x y A= ∈ = ∀ ∈ .
Verifique que é subanel comutativo de A .
Calcule o centro do anel 8) ( )2
00
aA M
b
= ∈
.
No domínio 9) A , considere a relação
~ | e |a b a b b a⇔ .
Mostre que ~ é relação de equivalência.
Calcule os divisores de zero, regulares, inversíveis, nilpo-10) tentes e idempotentes, para cada um dos anéis abaixo.
a) 6 .
b) 8 .
c) 9 .
d) 10 .
e) 2 4 x .
f) 3 2 x .
Para cada número primo positivo 11) p , calcule .
Determine 12) x ∈ para que ( )2
53 2x
M ∈
seja inversível
em ( )2M .
Calcule os elementos associados a 13) 5 em 8 .
Calcule 5 elementos associados a 14) 1 2 5+ em 5 .
Calcule quatro elementos associados a 15) 1 7+ em 7 .
Calcule quatro elementos primos do domínio 16) 7 .
Calcule cinco elementos irredutíveis do domínio 17) 3 .
Calcule o inverso de 18) 7 em 101 .
94
ResumoVimos que se • A é um anel (respectivamente domínio ou corpo) e B A⊆ é anel (respectivamente domínio ou corpo) com as operações de A , então B é subanel (respectivamente subdomínio ou subcorpo) de A . Caracterizamos cada uma dessas subestruturas e vimos que conhecê-las é útil para produzir novos exemplos de anéis.
Estudamos os elementos notáveis de um anel. No caso de •domínios, descrevemos os elementos divisores de zero, regulares, nilpotentes e idempotentes. Para os anéis n e
[ ]p caracterizamos os elementos inversíveis.
Verificamos que o conceito de divisibilidade em domínios •leva à definição de elementos primos e irredutíveis. Mostra-mos que todo elemento primo é irredutível, que elementos associados a elementos primos são primos e que elementos associados a elementos irredutíveis são irredutíveis.
Capítulo 4Ideais e Anéis Quociente
Capítulo 4Ideais e Anéis Quociente
O principal objetivo deste capítulo é o estudo de Anéis Quociente. A construção desse tipo de anéis é feita atra-vés de um subanel especial, chamado ideal. Portanto começaremos com um estudo de ideais, destacando os ideais primos e maximais.
4.1 IdeaisA noção de ideal foi introduzida no final do século XIX por
Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram como ferramenta para o estudo de Teoria de Números.
Sejam A um anel e B um subconjunto não vazio de A . Vimos na Proposição 3.1.1 que B é um subanel de A quando:
,a b B a b B∈ ⇒ - ∈• .
,a b B ab B∈ ⇒ ∈• .
Portanto B é subanel de A quando é fechado por diferenças e produtos. Veremos abaixo que os ideais são subconjuntos fecha-dos por diferenças e por produtos com elementos do anel A .
Definição 4.1.1. Sejam A um anel e I A∅ ≠ ⊆ . Dizemos que I é ideal à esquerda de A quando:
(i) ,a b I a b I∈ ⇒ - ∈ .
(ii) x A∈ e a I xa I∈ ⇒ ∈ .
Definição 4.1.2. Sejam A um anel e I A∅ ≠ ⊆ . Dizemos que I é ideal à direita de A quando:
(i) ,a b I a b I∈ ⇒ - ∈ .
(ii) x A∈ e a I ax I∈ ⇒ ∈ .
98
Definição 4.1.3. Sejam A um anel e I A∅ ≠ ⊆ . Dizemos que I é ideal (ou ideal bilateral) de A quando I é ideal à direita e à esquerda de A .
Note que se o anel é comutativo então as definições de ideal à esquerda e ideal à direita coincidem. Portanto, para um anel co-mutativo falamos apenas em ideais sem nos preocuparmos com lateralidade.
Observação 4.1.1. Todo ideal à esquerda, à direita ou bilateral é um subanel. De fato, se I é ideal à esquerda de A e ,a b I∈ , então a b I- ∈ . Como a I A∈ ⊆ também temos .ab I∈ Logo, I é fecha-do por diferenças e produtos, isto é, I é subanel. Se I é ideal à direita, procedemos de forma análoga. Quando I é ideal bilate-ral, então I é ideal à esquerda, portanto é subanel.
O próximo exemplo mostra que existem subanéis que não são ideais à esquerda e nem à direita.
Exemplo 4.1.1. Sabemos que é subanel de . No entanto não é ideal à direita e nem à esquerda de . Para ver isso basta
notar que 1∈ , 12∈ , mas
11.2∉ e
1 .12
∉ .
Observação 4.1.2. Se B é subanel de A e ,a b B∈ , então a b B- ∈ . Assim, para verificar se o subanel B é ideal à esquerda de A bas-ta verificar se vale a implicação:
x A∈ , a B xa B∈ ⇒ ∈ .
Da mesma forma, para verificar se o subanel B é ideal à direita de A , devemos verificar se vale:
x A∈ , a B ax B∈ ⇒ ∈ .
Exemplo 4.1.2. Se A é um anel, então { }0 e A são ideais de A , cha-mados de ideais triviais de A . De fato, { }0 e A são subanéis de A . Além disso, dado x A∈ temos .0 0 0.x x= = , isto é, { }0 é ideal à direita e à esquerda de A . Para x A∈ , a A∈ é claro que ,x a a x A∈ , e então A também é ideal à direita e à esquerda de A .
Existem anéis que só possuem ideais triviais. Esses anéis são chamados de anéis simples. Veremos abaixo que os corpos são anéis simples.
99
Lema 4.1.1. Seja I um ideal à esquerda (ou à direita) do anel com uni-dade A . Se I contém um elemento inversível de A , então I A= .
Demonstração. Trabalharemos com ideal à esquerda. O raciocínio para ideais à direita é o mesmo. É claro que I A⊆ . Vamos provar a inclusão A I⊆ . Seja a A∈ . Por hipótese, existe x I∈ tal que 1x A- ∈ . Como I é ideal à esquerda de A , x I∈ e 1a x A- ∈ , temos que . Logo, A I⊆ e portanto I A= .
Exemplo 4.1.3. Um corpo só possui ideais triviais.Seja I um ideal do corpo K . Suponha que { }0I ≠ . Então existe 0 a I≠ ∈ , e como a K∈ e K é corpo, temos 1a K- ∈ . Assim, I pos-sui um elemento inversível de K , e pelo Lema acima concluímos que I K= . Portanto { }0I = ou I K= , isto é, K só tem ideais triviais.
Vejamos agora exemplo de ideal à direita que não é ideal à es-querda e vice-versa.
Exemplo 4.1.4. Seja ( )2A M= e ( )20 0u v
I M
= ∈
.
É claro que se ,X Y I∈ , então X Y I- ∈ . Se a b
M Ac d
= ∈
e
0 0u v
X I = ∈
então
0 0 0 0u v a b u a v c u b v d
X M Ic d
+ + = = ∈
.
Portanto I é ideal à direita de A . No entanto, I não é ideal à
esquerda de A .
De fato,
1 10 0
X I = ∈
e 1 11 1
M A = ∈
, porém
1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1
M X I = = ∉
.
Logo I não é ideal à esquerda.
100
Exemplo 4.1.5. Tome ( )2A M= e
( )2
00
uJ M
v
= ∈
. É claro que se ,X Y J∈ então X Y J- ∈ .
Se a b
M Ac d
= ∈
e 00
uX J
v
= ∈
então
0 00 0
a b u au bvM X J
c d v cu d v+
= = ∈ + .
Portanto J é ideal à esquerda de A . No entanto, J não é ideal à direita de A .
De fato,
1 01 0
X J = ∈
e 1 11 1
M A = ∈
, porém
1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1
X M J = = ∉
.
Logo J não é ideal à direita de A .
Existe uma maneira rápida de produzir ideais de um anel qual-quer. Para isso, basta tomar todos os múltiplos de um elemento fixado no anel. O Lema abaixo traz um caso mais geral, onde to-mamos a soma de múltiplos de vários elementos.
Lema 4.1.2. Sejam A um anel e 1 2, ,..., nx x x A∈ . Então:
(1) { }{ }1 2 1 1 2 2... ... ; , 1,...,n n n iAx Ax Ax a x a x a x a A i n+ + + = + + + ∈ ∈
é ideal à esquerda de A .
(2) { }{ }1 2 1 1 2 2... ... ; , 1,...,n n n ix A x A x A x a x a x a a A i n+ + + = + + + ∈ ∈
é ideal à direita de A .
Demonstração. (1) Sejam 1 1 2 2 ... n nu a x a x a x= + + + ,
1 1 2 2 ... n nv b x b x b x= + + + 1 2 ... nAx Ax Ax∈ + + + e Aa∈ . Note que 1 2, ,..., ,na a a 1 2, ,..., nb b b A∈ .
• ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2... ...n n n nu v a b x a b x a b x Ax Ax Ax- = - + - + + - ∈ + + + , pois i ia b A- ∈ , 1,2,...,i n= .
101
• , pois , 1,2,...,i n= .
Portanto 1 2 ... nAx Ax Ax+ + + é ideal à esquerda de A .
(2) É análoga à prova de (1).
Corolário 4.1.1. Se A é um anel e x A∈ então:
(1) { };Ax a x a A= ∈ é ideal à esquerda de A .
(2) { };x A x a a A= ∈ é ideal à direita de A .
Demonstração. É consequência imediata do Lema.
Definição 4.1.4. Sejam A um anel e 1 2, ,..., nx x x A∈ . O ideal à esquer-da 1 2 ... nAx Ax Ax+ + + é chamado ideal à esquerda de A gerado por 1 2, ,..., nx x x . O ideal à direita 1 2 ... nx A x A x A+ + + é chamado ideal à direita de A gerado por 1 2, ,..., nx x x .
No caso de trabalharmos com um único elemento como gera-dor, temos um nome especial para o ideal, de acordo com a defi-nição seguinte.
Definição 4.1.5. Sejam A um anel e x A∈ . O ideal à esquerda Ax é chamado de ideal principal à esquerda de A gerado por x . O ideal x A é chamado de ideal principal à direita de A gerado por x .
Observação 4.1.3. Quando o anel A não tem unidade, pode ocor-rer que o ideal principal gerado por x não contenha o elemento x. Por exemplo, se tomarmos o anel 2A = e o ideal gerado por
2x = , temos 2. 2.2 4A = = , que é formado pelos múltiplos de 4. Logo, o ideal gerado por 2 não contém o número 2. Quando o anel A tem unidade é claro que a situação acima não ocorre.
Exemplo 4.1.6. São exemplos de ideais de :
{ }2 2 ;x x= ∈ ,{ }3 3 ;x x= ∈ ,
{ }; ;n nx x n= ∈ ∈ .
102
Exemplo 4.1.7. São exemplos de ideais de 2 :
, para todo a 2a ∈ .
Em particular, fazendo a 7a = , obtemos o ideal
,
formado pelos elementos da forma 2c d+ com , 7c d ∈ .
Exemplo 4.1.8. , , e
são ideais do anel 4 . Na verdade estes são os
únicos ideais de 4 . De fato, seja um ideal de 4 . Se 1 I∈
ou 3 I∈ , então 4I = , pois 1 e 3 são inversíveis em 4 . Senão
resta apenas . Portanto, os ideais de 4 são exata-
mente 40. , e .
No exemplo acima vimos que todos os ideais de 4 são princi-pais. Por isso dizemos que 4 é um anel principal, de acordo com a definição seguinte.
Definição 4.1.6. Dizemos que o anel comutativo A é anel principal quando todo ideal de A é ideal principal.
A próxima proposição mostra que n é anel principal. Em par-ticular, é um domínio principal. Além disso, esclarece que em n os conceitos de subanel e ideal são exatamente os mesmos.
Proposição 4.1.1. Seja I um subconjunto não vazio de n . São equivalentes:
(a) ( ) { ; }I m n mnx x= ⋅ = ∈ , para algum m∈ .
(b) I é ideal de n .
(c) I é subanel de n .
Demonstração. (a) ⇒ (b) Segue do Corolário 4.1.1.
(b) ⇒ (c) Vimos isso na Observação 4.1.1.
103
(c) ⇒ (a) Seja I um subanel de n .
Se {0}I = , então 0 ( )I n= ⋅ . Basta tomar 0m = .
Se {0}I ≠ , então existe a I∈ tal que 0a ≠ . Desde que I é su-banel de n , temos que a I- ∈ . Segue que I possui um número inteiro positivo. Pelo Princípio do Menor Inteiro, o conjunto I tem um menor inteiro positivo t .
t I n t mn∈ ⊆ ⇒ = , para algum m∈ .
Provaremos que ( )I m n= .
É claro que ( )m n I⊆ , pois mn I∈ e I é subanel de n .
Para ver a inclusão contrária, tome u I∈ e divida u por t mn= , obtendo quociente q∈ e resto r∈ , tais que
u tq r= + , 0 r t≤ < .
Note que u e tq estão em I , e assim r u tq I= - ∈ . Desde que té o menor número inteiro positivo em I e 0 r t≤ < , devemos ter
0r = . Portanto ( ) ( )u tq m nq m n= = ∈ .
Observação 4.1.4. Vimos na proposição anterior que todo ideal I de n é da forma ( )I m n= , para algum m∈ . Além disso, a demonstração do item (c)⇒ (a) esclarece como obter este m , no caso em que {0}I ≠ . A saber, tome o menor inteiro positivo que está em I e divida-o por n . O quociente dessa divisão é o m pro-curado. Note que se 1n = , isto é, quando trabalhamos com o anel , então o ideal {0}I ≠ é gerado pelo menor natural não nulo mque pertence a I .
Corolário 4.1.2. Sejam ,n t∈ , são equivalentes:
(a) t é ideal de n
(b) |n t
Demonstração.
(a)⇒ (b) Desde que t é ideal de n , segue da Proposi-ção 4.1.1 (b)⇒ (a) que ( )t m n= , para algum m∈ . Então
1 ( )t t t m n= ⋅ ∈ = , isto é, ( )t m n∈ e portanto |n t .
104
(b)⇒ (a) Como |n t , podemos escrever t mn= , para algum m∈ . Então ( )t mn m n= = e ( )m n é ideal de n pela Proposição 4.1.1 (a)⇒ (b).
Corolário 4.1.3. Seja I um subconjunto não vazio de . São equi-valentes:
(a) { ; }I m mx x= = ∈ , para algum m∈ .
(b) I é ideal de .
(c) I é subanel de .
Demonstração. Basta fazer 1n = na Proposição 4.1.1.
Exemplo 4.1.9. Verificar que 2{ ;12 | }I x x= ∈ é ideal de e de-terminar m∈ tal que I m= .É claro que I ≠ ∅ , pois 0 I∈ .Sejam ,x y I∈ . Então 212 | x e 212 | y .Como 2 |12 , temos que 22 | x . Mas 2 é número primo e então 2 | x .Um raciocínio análogo mostra que 3 | y .Então 6 | xy e 12 | ( 2 )xy- . Assim, 2 2 2( ) 2x y x xy y- = - + é divisível por 12. Segue que x y I- ∈ .Seja a∈ . Como 212 | x , temos que 212 | ( )ax , e então ax I∈ .Logo I é ideal de .De acordo com o Corolário 4.1.3, existe m∈ tal que I m= .Vimos na Observação 4.1.4 que m é o menor número natural que pertence a I . Como 36 é o menor quadrado perfeito que é divisí-vel por 12, concluímos que 6m = . Portanto 6I = .
Veremos a seguir que os anéis n também são anéis princi-pais. Além disso, classificaremos os ideais de n e veremos que em n os conceitos de subanel e ideal coincidem.
Proposição 4.1.2. Seja I um subconjunto não vazio de n . São equivalentes:
(a) {nI m mx= ⋅ = ; }nx∈ , para algum nm∈ .
(b) I é ideal de n .
105
(c) I é subanel de n .
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Segue o Corolário 4.1.1.
(b) ⇒ (c) Vimos isso na Observação 4.1.1.
(c) ⇒ (a) Se {0}I = , basta tomar 0m = .
Se {0}I ≠ , então o conjunto *{ ; }S a a I= ∈ ∈ é não vazio. Pelo Princípio do Menor Inteiro existe um menor número natural não nulo m S∈ . E então m I∈ .
Vamos mostrar que nI m= ⋅ .
" "⊃ Seja nu m∈ ⋅ . Então, u m x mx= ⋅ = , para algum x∈ . Como (1 1 ... 1)u m x m= ⋅ = ⋅ + + + , x parcelas
...m m m= + + + ,
segue que u I∈ , pois m I∈ e I é subanel.
" "⊂ Seja u I∈ . Como nI ⊆ , temos que nu∈ e então u u n= + .
Dividindo u por m obtemos quociente q∈ e resto r∈ tais que
u mq r= + , 0 r m≤ < .
Assim, r u mq= - e daí r u m q I= - ∈ , pois u I∈ e
nmq m I∈ ⋅ ≤ .Como ,0r I r m∈ ≤ < e m é o menor natural não nulo tal que m I∈ , devemos ter 0r = . Segue que u mq= e então
nu m q m= ⋅ ∈ ⋅ .
Observação 4.1.5. De forma análoga à Observação 4.1.4, destaca-mos que o gerador m de um ideal não nulo I do anel n , pode ser obtido tomando m como o menor número natural não nulo tal que m I∈ .
Existe uma forma mais rápida para provar que todo ideal de
n é principal, usando homomorfismo de anéis. Isso está propos-to no Exercício 9 da Seção 5.2.
106
Lista de exercícios
Verifique se 1) ( )20a b
I Mc
= ∈
é ideal à direita de ( )2M .
Verifique se 2) ( )20a b
I Mc
= ∈
é ideal à esquerda de
( )2M .
Verifique se 3) I é ideal do anel comutativo A quando:
a) e A = .
b) e A = .
c) 2 x 3I = e xA = .
d) xI n m= e xA = .
e) 6I = e 2A = .
f) e 9A = .
g) e 12A = .
h) e A =
.
Descreva todos os ideais de 4) 6 e todos os ideais de 8 .
Se 5) p é um número primo positivo, quais são os ideais de pp?
Apresente 3 ideais não triviais de 6) 5 .
Verifique que 7) é ideal de e determine n ∗∈ tal que I n= .
Calcule 8) n ∗∈ tal que 3 5 n+ = .
Se 9) I é ideal do anel A e J é ideal do anel B , mostre que x I J é ideal do anel x A B .
Sejam 10) I e J ideais do anel A tais que { }0I J∩ = . Mostre que 0,x y x I= ∀ ∈ e y J∀ ∈ .
Se 11) I é ideal do anel comutativo A , verifique que { }; 0,J x A xi i I= ∈ = ∀ ∈ é ideal de A .
107
4.2 Aritmética de ideaisNesta seção veremos que a intersecção de ideais é novamente
um ideal, mas que a união de ideais pode não ser um ideal. Tam-bém produziremos novos ideais a partir das definições de soma e produto de ideais.
Proposição 4.2.1. Sejam I e J ideais à esquerda (respectivamente à direita) do anel A . Então I J∩ é ideal à esquerda (respectivamente à direita) de A .
Demonstração.
Faremos apenas à esquerda. A outra situação é análoga. Como I e J são ideais à esquerda, temos 0 I∈ e 0 J∈ , daí I J∩ ≠∅ . Dados ,x y I J∈ ∩ temos que ,x y I∈ e ,x y J∈ . Logo x y I J- ∈ ∩ . Seja agora a A∈ . Novamente usando o fato de I e J serem ideais à esquerda de A , obtemos a x I∈ e a x J∈ . Portanto a x I J∈ ∩ e I J∩ é ideal à esquerda do anel A .
Exemplo 4.2.1. 2 3 6∩ = .Claro que um elemento de 2 3∩ é múltiplo de 6, e reciproca-mente todo elemento de 6 é múltiplo de 2 e 3.
Veja o Exercício 2(a) desta seção, que generaliza o exemplo acima.
O exemplo abaixo mostra que se I e J são ideais de A que não têm a mesma lateralidade, pode ocorrer que I J∩ não é ideal à direita e nem à esquerda de A .
Exemplo 4.2.2. Sejam ( )2A M= , ( )20 0a b
I M
= ∈
e
( )2
00
aJ M
b
= ∈
. Já vimos que I é ideal à direita que não
é ideal à esquerda, e que J é ideal à esquerda que não é ideal à direita.
108
É fácil ver que ( )2
00 0a
I J M
∩ = ∈
. No entanto, I J∩ não
é ideal à esquerda e nem à direita de A .
De fato,
1 00 0
X I J = ∈ ∩
, 1 11 1
M A = ∈
,
1 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0
M X I J = = ∉ ∩
e
1 0 1 1 1 10 0 1 1 0 0
X M I J = = ∉ ∩
.
Não é verdade, em geral, que a união de ideais é um ideal. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 4.2.3. { }2 3 ;2 | ou 3 |x x x∪ = ∈ não é ideal de . De fato,
2,3 2 3∈ ∪ , porém 3 2 1 2 3- = ∉ ∪ .
Notações: Sejam I e J ideais à direita ou à esquerda de A . Usa-remos as seguintes notações:
{ }; e I J x y x I y J+ = + ∈ ∈ e
1. ; , ,
n
i i i ii
I J x y n x I y J=
= ∈ ∈ ∈ ∑ .
Note que .I J é o conjunto de todas as somas finitas de elemen-tos de I multiplicados por elementos de J . Também é claro que I J J I+ = + .
Proposição 4.2.2. Sejam A um anel e ,I J A∈⊆,I J A∈ .
(1) Se I e J são ideais à esquerda de A, então I + J é ideal à esquerda de A.
(2) Se I e J são ideais à direita de A, então I + J é ideal à direita de A.
(3) Se I é ideal à esquerda e J é ideal à esquerda ou à direita de A, então I.J é ideal à esquerda de A.
109
(4) Se J é ideal à direita e I é ideal à esquerda ou à direita de A, então I.J é ideal à direita de A.
(5) Se I é ideal à esquerda e J é ideal à direita de A, então I.J é ideal de A.
Demonstração.
(1) É claro que I J+ ≠ ∅ , pois I ≠ ∅ e J ≠ ∅ . Sejam ,u v I J∈ + . Escreva u a b= + , v c d= + com ,a c I∈ e
,b d J∈ .Como I e J são ideais à esquerda, temos a c I- ∈ e b d J- ∈ . Logo .Seja agora a Aa ∈ . Novamente pelo fato de I e J serem ideais à esquerda, temos aa Ia ∈ e ab Ja ∈ . Logo
.Portanto I J+ é ideal à esquerda de A .
(2) É análoga à (1).
(3) É claro que .I J ≠ ∅ , pois I ≠ ∅ e J ≠ ∅ .
Sejam , .u v I J∈ . Então 1
n
i ii
u a b=
=∑ , 1
m
j jj
v c d=
=∑ com ,m n∈ ,
,i ja c I∈ e ,i jb d J∈ , 1,2,...,i n= e 1,2,...,j m= . Como I é ide-al à esquerda de A temos
. Logo
,
é soma finita de elementos de I multiplicados por elementos de J , isto é, .u v I J- ∈ .
Seja agora a Aa ∈ . Pelo fato de I ser ideal à esquerda de A e ia I∈ ,
vem que a ia Ia ∈ . Logo .
Portanto .I J é ideal à esquerda de A .
(4) É análoga à (3).
(5) Como I é ideal à esquerda, segue de (3) que .I J é ideal à esquerda. Como J é ideal à direita, segue de (4) que .I J é ideal à direita. Portanto .I J é ideal de A .
110
Definição 4.2.1. O ideal (à esquerda ou à direita) I J+ é chamado de soma dos ideais I e J .
Definição 4.2.2. O ideal (à esquerda ou à direita) .I J é chamado de produto dos ideais I e J .
O exemplo abaixo mostra que se I e J são ideais de A que não têm a mesma lateralidade, pode ocorrer que I J+ não é ideal à esquerda e nem à direita de A .
Exemplo 4.2.4. Sejam ( )2A M= , ( )20 0a b
I M
= ∈
e
( )2
00
aJ M
b
= ∈
. Sabemos que I é ideal à direita, que não
é ideal à esquerda, e que J é ideal à esquerda que não é ideal à direita.
É fácil ver que ( )20a b
I J Mc
+ = ∈
. No entanto, I J+ não é
ideal à esquerda e nem à direita de A .
De fato,
1 11 0
X I J = ∈ +
, 1 11 1
M A = ∈
,
1 1 1 1 2 11 1 1 0 2 1
M X I J = = ∉ +
e
1 1 1 1 2 21 0 1 1 1 1
X M I J = = ∉ +
.
Exemplo 4.2.5. 2 3+ = .É claro que 2 3+ ⊆ . Por outro lado, dado x∈ vamos mos-trar que 2 3x∈ + . Como , aplicamos a Identidade de Bezout para obter ,r s∈ tais que 1 2 3r s= + . Multiplicando por x temos . Portanto 2 3⊆ + e daí 2 3+ = .
O exemplo acima pode facilmente ser generalizado de acordo com a proposição seguinte.
111
Proposição 4.2.3. Sejam ,m n∈ . Então m n d+ = se, e so-mente se, ( , )d mdc m n= .
Demonstração.
( )⇒ Pela Proposição 4.2.2 sabemos que m n+ é ideal de . Então, pelo Corolário 4.1.3, existe d ∈ tal que m n d+ = .Podemos escrever d mu nv= + , com ,u v∈ . Vamos provar que ( , )d mdc m n= . Como m m n d∈ + = temos que |d m . Analogamente, |d n .Seja 'd ∈ tal que |d m′ e |d n′ .Então | ( )d mu nv′ + , isto é, |d d′ .Portanto ( , )d mdc m n= .
( )⇐ Como ( , )d mdc m n= , temos que |d m e |d n .Podemos escrever m du= e n dv= , com ,u v∈ . Segue que m d∈ e n d∈ .Mas d é ideal de , e então, m d⊆ e n d⊆ . Logo m n d+ ⊆ .Para provar a inclusão contrária usamos a identidade de Bezout, obtendo ,r s∈ tais que d mr ns m n= + ∈ + . Mas m n+ é ideal de , e então, d m n⊆ + .
Exemplo 4.2.6. 360 540 180+ = pois .
Exemplo 4.2.7. Em 8 tome os ideais e
.
É fácil ver que 8 8 82. 4. 2.+ = .
Exemplo 4.2.8. Em 8 temos que {}8 82. .4. 0= , pois todos os produtos são 0 .
Exemplo 4.2.9. 2 .3 6= . De fato, todo múltiplo de 6 é produ-to de um múltiplo de 2 por um múltiplo de 3. E respectivamente, todas as somas finitas cujas parcelas são formadas pelo produto de um múltiplo de 2 por um múltiplo de 3 resulta em um múlti-plo de 6.
O exemplo acima pode ser generalizado. Veja o Exercício 2(b).
112
Exemplo 4.2.10. Sabemos que ( )2
00
aI M
b
= ∈
é ideal à
esquerda de ( )2M e ( )20 0x y
J M
= ∈
é ideal à direita de ( )2M .
De acordo com a Proposição 4.2.2(5), .I J é ideal de ( )2M . Va-mos verificar que ( )2.I J M= .
Note que
1
1 00 0
x =
, 2
0 01 0
x I = ∈
e
1
1 00 0
y =
, 2
0 10 0
y J = ∈
.
Então,
1 1 2 2
1 0 1 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0
x y x y + = +
1 0 0 0 1 0.
0 0 0 1 0 1I J
= + = ∈
.
Como 1 00 1
é elemento inversível de ( )2M , que está em .I J ,
aplicamos o Lema 4.1.1 para concluir que ( )2.I J M= .
Informação. No exemplo anterior vimos que se
( )2
00
aI M
b
= ∈
e ( )20 0x y
J M
= ∈
então .I J é ideal
bilateral de ( )2M e ( )2.I J M= ( )2M . Esse exemplo é um caso parti-cular de um resultado devido a McCoy, que assegura que é anel simples quando K é corpo. De outra forma, se K é corpo então só tem ideais (bilaterais) triviais. No caso do exem-plo anterior, podemos concluir a partir do resultado de McCoy, que ( )2M só tem { }0 e ( )2M como ideais. Desde que .I J é ideal e { }. 0I J ≠ vem que ( )2.I J M= ( )2M .
113
Lista de exercíciosDetermine 1) n ∗∈ tal que 5 7 n∩ = .
Sejam 2) ,a b ∗∈ . Verifique que:
a) { }; ,a b m m mmc a b∩ = = .
b) .a b ab= .
Determine 3) n ∗∈ tal que 5 7 n+ = .
Sejam 4) 62,3∈ .
a) Descreva o ideal I gerado por 2 .
b) Descreva o ideal J gerado por 3 .
c) Calcule o ideal produto .I J .
Seja 5) p um número primo positivo. Quais são os ideais de que contém p ?
Seja 6) A um anel comutativo com unidade. Se I e J são ideais principais de A , verifique que { }. ; e I J x y x I y J= ∈ ∈ .
Seja 7) A um anel comutativo com unidade. Se I aA= e J bA= são ideais principais de A gerados respectivamente por a e b , determine c A∈ tal que .I J cA= .
Sejam 8) 3I = e J p= πJ p= os ideais de gerados por 3 e π respectivamente. Calcule .I J .
Sejam 9) I e J ideais do anel A . Prove que .I J I J⊆ ∩ .
4.3 Ideais primos e ideais maximaisOs ideais primos e os ideais maximais são classes especiais de
ideais, que serão úteis na próxima seção para determinar a me-lhor estrutura algébrica dos anéis quocientes.
Neste trabalho abordaremos apenas ideais primos e ideais ma-ximais em anéis comutativos. O estudo para anéis não comutati-vos é bem mais complexo, e está além dos objetivos deste curso.
114
Definição 4.3.1. Sejam A um anel comutativo e P um ideal de A . Dizemos que P é ideal primo de A quando P A≠ e
,a b A∈ e ab P a P∈ ⇒ ∈ ou b P∈ .
Definição 4.3.2. Sejam A um anel comutativo e M um ideal de A . Dizemos que M é ideal maximal de A quando M A≠ e
I ideal de A e M I A I M⊆ ⊆ ⇒ = ou .I A=
A proposição seguinte relaciona ideais primos e ideais maxi-mais de um anel comutativo com unidade.
Proposição 4.3.1. Em um anel comutativo com unidade todo ideal ma-ximal é primo.
Demonstração. Seja M um ideal maximal do anel comutativo com unidade A . Para provar que M é ideal primo tomamos ,a b A∈ tais que ab M∈ , e vamos provar que a M∈ ou b M∈ . Suponha que a M∉ e forme o ideal principal a A . Sabemos que a soma de ideais é ideal e portanto, M a A+ é ideal de A . Como 1 A∈ , temos que 0 .1a a M a A= + ∈ + , mas a M∉ e en-tão M M a A A+ ⊆ . Desde que M é ideal maximal de A con-cluímos que M a A A+ = . Em particular 1 A M a A∈ = + , e daí existem m M∈ e x A∈ tais que 1 m a x= + . Multiplicando por b , vem que . Sabemos que ,m ab M∈ e daí
m M mb M∈ ⇒ ∈
mb M∈ e .
Portanto b M∈ e M é ideal primo de A .
Veremos agora que a existência da unidade no anel é essencial na proposição anterior. Em outras palavras: em anel sem unidade pode existir ideal maximal que não é primo.
115
Exemplo 4.3.1. No anel 2A = o ideal 4 é maximal, mas não é primo.É claro que 4 não é ideal primo de 2 , pois 2 2∈ e 2.2 4∈ , mas 2 4∉ . Para ver que 4 é ideal maximal tome um ideal I de A tal que 4 2I⊆ ⊆ . Pela Proposição 4.1.1, 2I m= . Então 4 2 2m⊆ ⊆ , e daí 2 | 4m . Segue que 1m = ou 2m = . Logo 2I = ou 4I = , e portanto 4 é ideal maximal de 2 .
O próximo exemplo mostra que não vale a recíproca da Proposi-ção 4.3.1, isto é, existem ideais primos que não são ideais maximais.
Exemplo 4.3.2. No anel o ideal { }0 é primo, mas não é maximal.É claro que { }0 não é ideal maximal de , pois 2 é ideal de e { }0 2 . Para ver que { }0 é ideal primo de tomamos ,a b∈ tais que
{ }0ab∈ . Assim 0ab = , e como é domínio concluímos que 0a = ou 0b = , isto é, { }0a∈ ou { }0b∈ . Portanto { }0 é ideal primo de .
Veremos a seguir que é possível saber exatamente quando { }0 é ideal primo e quando { }0 é ideal maximal de um anel comuta-tivo com unidade.
Proposição 4.3.2. Seja A um anel comutativo com unidade. São equi-valentes:
(a) { }0 é ideal primo de A .
(b) A é um domínio.
Demonstração. (a) ⇒ (b) Sejam ,a b A∈ tais que 0ab = . Então { }0ab∈ , e como { }0 é ideal primo, vem que { }0a∈ ou { }0b∈ .
Portanto 0a = ou 0b = e A é domínio.
(b) ⇒ (a) Sejam ,a b A∈ tais que { }0ab∈ . Então 0ab = , e como A é domínio, vem que 0a = ou 0b = . Portanto { }0a∈ ou { }0b∈ e { }0 é ideal primo de A .
116
Proposição 4.3.3. Seja A um anel comutativo com unidade. São equi-valentes:
(a) { }0 é ideal maximal.
(b) A é corpo.
Demonstração. (a) ⇒ (b) Seja a A∈ , 0a ≠ . Devemos mostrar que a tem inverso em A . É claro que .1a a a A= ∈ , e então o ideal a A é diferente de { }0 . Assim { }0 a A A⊆ , e como { }0 é ideal maximal devemos con-cluir que a A A= . Então 1 A a A∈ = e existe 1a A- ∈ tal que
11 a a-= . Portanto A é corpo.
(b) ⇒ (a) Seja I um ideal de A tal que { }0 I A⊆ ⊆ . Se { }0I = nada temos para fazer. Se { }0I ≠ existe 0 a I A≠ ∈ ⊆ , e como A é corpo existe 1a A- ∈ . Logo, I contém um elemento inversível do anel A e portanto I A= . Assim { }0I = ou I A= , isto é, { }0 é ideal maximal de A .
Aplicando as proposições acima podemos justificar cada uma das afirmações feitas no próximo exemplo.
Exemplo 4.3.3.
{ }0 é ideal primo e maximal de .
{ }0 é ideal primo e maximal de p , p primo positivo= .
{ }0 é ideal primo e maximal de .
é ideal primo e maximal de p , p primo positivo= .
{ }0 é ideal primo de .
{ }0 é ideal primo de p , p primo positivo= .
Exemplo 4.3.4. { }0 não é ideal maximal de n , n ≠ 0 .De fato, 2n é ideal de n e { }0 2n n .Em particular,
{ }0 4 2 diz que { }0 não é ideal maximal de 2 .
117
{ }0 6 3 diz que { }0 não é ideal maximal de 3 .
Quando 0n ≠ temos que {0} é ideal primo de n . Veja o Exercí-cio 10.
Exemplo 4.3.5.
6 não é ideal maximal de , pois 6 2 .
6 não é ideal primo de , pois 2.3 6∈ mas 2 6∉ e 3 6∉ .
Note que no exemplo acima podemos trocar 6 por qualquer número natural 1n > , que não seja primo. De fato, se n não é pri-mo existem ,a b∈ , 1 ,a b n< < , tais que .n ab= Então ab n∈ mas ,a b n∉ pois ,a b n< . Isso garante que n não é ideal primo de . Para ver que n não é ideal maximal de basta observar que n a . Isso justifica o próximo exemplo.
Exemplo 4.3.6. Se n∈ , 1n > , não é número primo, então n não é ideal maximal de e n não é ideal primo de .
Veremos a seguir que quando n é primo o ideal n é primo e maximal em . Note que o exemplo anterior também pode ser visto como consequência da proposição abaixo.
Proposição 4.3.4. Seja n∈ , 2n ≥ . São equivalentes:
(a) n é número primo.
(b) n é ideal maximal de .
(c) n é ideal primo de .
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Como 2n ≥ temos que n ≠ . Seja I um ideal de tal que n I⊆ ⊆ . Vimos no Corolário 4.1.3 que I m= para algum m∈ . Desde que n n I m∈ ⊆ = vemos que |m n , mas n é primo, temos
1m = ou m n= . Quando 1m = segue que I m= = , e quando m n= , segue que I m n= = . Portanto n é ideal maximal de .
118
(b) ⇒ (c) Segue da Proposição 4.3.1.
(c) ⇒ (a) Provaremos que n é elemento primo, e então, pela Pro-posição 3.3.4 teremos que n é número primo. Sejam ,a b∈ tais que |n ab . Devemos mostrar que |n a ou |n b .Como |n ab temos que ab n∈ . Mas por hipótese, n é ideal primo. Então a n∈ ou b n∈ .Segue que |n a ou |n b .
Exemplo 4.3.7.
2 é ideal primo e maximal de .
11 é ideal primo e maximal de .
83 é ideal primo e maximal de .
60 não é ideal primo nem maximal de .
A Proposição 4.3.1 é uma ferramenta para obter ideais primos de um anel comutativo com unidade. De fato, basta encontrar um ideal maximal e certamente ele será um ideal primo. No entanto, nem sempre é fácil explicitar ideais maximais. Algumas vezes, mesmo sem poder explicitar ideais maximais, é útil saber que eles existem.
A seguir enunciaremos um teorema que assegura que todo ideal diferente do anel está contido num ideal maximal. Observe que este resultado garante que anéis com muitos ideais podem ter muitos ideais maximais e, consequentemente, muitos ideais primos.
Não faremos a prova deste teorema, mas informamos que sua demonstração utiliza um belo resultado da Matemática, conheci-do como Lema de Zorn.
Teorema 4.3.1. Seja A um anel comutativo com unidade. Se I é ideal de A e I A≠ , então existe um ideal maximal M de A tal que I M⊆ .
119
Essencialmente o Teorema 4.3.1 garante que todo ideal diferen-te de A está dentro de um ideal maximal de A . Podemos tirar daí um corolário interessante que relaciona elementos não inversíveis com ideais maximais.
Corolário 4.3.1. Seja A um anel comutativo com unidade. Todo ele-mento não inversível de A está contido num ideal maximal de A .
Demonstração. Seja a A∈ um elemento não inversível em A . Então 1ax ≠ , para todo x A∈ . Segue que a A A≠ , pois 1 A∈ e 1 a A∉ . Como a A é ideal de A e a A A≠ , o Teorema 4.3.1 acima diz que existe um ideal maximal M de A tal que a A M⊆ . Portanto
.1a a a A M= ∈ ⊆ .
Exemplo 4.3.8. Sabemos que 42∈ não é elemento inversível de
4 . Pelo corolário acima, existe um ideal maximal M de 4 tal que 2 M∈ . Tome
que é o ideal de 4 gerado por
2 . Claro que 2 M∈ . Além disso M é ideal maximal de 4 pois os ideais de 4 são , e 4 , como vimos no Exemplo 4.1.8.
Lista de exercíciosVerifique se 1) 6 é ideal maximal de 2 .
Verifique se 2) 6 é ideal primo de 2 .
Verifique se 3) 9 é ideal maximal de 3 .
Verifique se 4) 9 é ideal primo de 3 .
Descreva os ideais primos de 5) 4 e de 6 .
Descreva os ideais maximais de 6) 6 e de 12 .
A soma de ideais primos é sempre um ideal primo?7)
A soma de ideais maximais é sempre um ideal maximal?8)
Apresente 3 exemplos de ideais maximais que não são ide-9) ais primos.
Mostre que 10) {0} é ideal primo de n , 0n ≠ .
120
4.4 Anel quocienteVeremos nesta seção que cada ideal do anel A define uma re-
lação de equivalência em A , e que o conjunto das classes de equi-valência é um anel, que chamaremos de anel quociente.
A construção do anel quociente pode ser vista como uma gene-ralização da construção do anel n . Portanto, vamos construir os anéis quocientes seguindo etapas usadas na construção do anel n .
Inicialmente lembre que para descrever o anel n definimos no anel a relação
.
Que pode ser escrita na forma:
( )moda b n a b n≡ ⇔ - ∈ .
Portanto, a relação de congruência módulo n é determinada a partir do ideal n do anel . Para indicar isso, vamos mudar um pouco a notação da congruência módulo n , destacando o ideal n .
.
Agora vamos generalizar esta ideia, trocando o anel por um anel qualquer A , e trocando o ideal n por um ideal I do anel A . Assim, o ideal I do anel A define no anel A a relação
.
A expressão deve ser lida “ a é congruente à b mó-dulo I ” ou “ a está relacionado com b módulo I ”.
Exemplo 4.4.1. O ideal 2I = define no anel A = a relação
( )mod 2 2a b a b≡ ⇔ - ∈ ,que é o mesmo que
( ) ( )mod 2 2 |a b a b≡ ⇔ -(a-b).
Neste caso, dois números inteiros são congruentes módulo 2 , quando a diferença entre eles é um número par. É claro que a
121
diferença entre números pares é par, a diferença entre números ímpares é par, e a diferença entre um número par e um número ímpar é ímpar.
Portanto:
Quaisquer dois números pares são congruentes módulo • 2 .
Quaisquer dois números ímpares são congruentes módulo • 2 .
Um número par nunca é congruente a um número ímpar •módulo 2 .
Observe que podemos dividir o anel em dois subconjuntos disjuntos, de forma que os elementos de cada subconjunto são congruentes entre si, mas não são congruentes aos elementos do outro subconjunto. De fato,
{ } { }; é par ; é ímpara a a a= ∈ ∪ ∈
{ } { }; é par ; é ímpara a a a∅ = ∈ ∩ ∈ .
Exemplo 4.4.2. Considere o anel e o ideal . A relação em 6 definida por I é
.
É claro que um elemento sempre está relacionado com ele mes-mo, e então ( )0 0 mod I≡ , ( )1 1 mod I≡ ,..., ( )5 5 mod I≡ . Também
( )0 3 mod I≡ , ( )1 4 mod I≡ , ( )2 5 mod I≡ e nenhuma outra relação existe entre elementos de 6 . Observe que podemos dividir 6 em três subconjuntos disjuntos dois a dois, de forma que os elementos de cada subconjunto são congruentes entre si, mas não são congruentes a elementos dos outros subconjuntos. De fato,
122
Nos dois exemplos acima vimos que a relação definida pelo ideal I no anel A , produziu uma decomposição do anel A em subconjuntos dois a dois disjuntos não vazios, isto é, o ideal I produziu uma partição do anel A . Além disso, os elementos de cada subconjunto da partição estão relacionados entre si, mas não estão relacionados com elementos de outro subconjunto da parti-ção. Provaremos na Proposição 4.4.2 que isso não é coincidência, mas sim um fato geral. Com este objetivo em mente vamos estu-dar classes de elementos relacionados.
Começamos mostrando que a relação de congruência módulo um ideal é uma relação de equivalência. Note que já verificamos isso, na Seção 2.3, para a congruência módulo n .
Proposição 4.4.1. Se I é um ideal do anel A então a relação ( )modx y I≡ é uma relação de equivalência em A , isto é, para , ,a b c A∈
vale:
(1) - Reflexiva;
(2) - Simétrica;
(3) e - Transitiva.
Demonstração.
(1) Como I é ideal de A temos que 0a a I- = ∈ . Logo ( )moda a I≡
.
(2) Se ( )moda b I≡ então a b I- ∈ . Como I é ideal temos que . Logo ( )modb a I≡
.
(3) Se ( )moda b I≡ e ( )modb c I≡ então a b I- ∈ e b c I- ∈ . Como I é ideal temos que . Logo ( )moda c I≡
.
Definição 4.4.1. Seja I um ideal do anel A . Dado a A∈ , chamamos de classe de equivalência de a módulo I , ao conjunto de todos os elementos de A que são congruentes à a módulo I .
Notação: .
123
Observação 4.4.1. O conjunto a é não vazio. De fato, a relação congruência módulo I é reflexiva, e daí
( )moda a I≡ . Portanto, a a∈ .
Observação 4.4.2. .
Basta notar que a congruência módulo I é relação simétrica, isto é, ( )moda b I≡ é o mesmo que ( )modb a I≡ .
O Lema abaixo traz uma alternativa para descrever os elemen-tos de a . Para isso, recordamos a notação { };a I a u u I+ = + ∈ .
Lema 4.4.1. Sejam I um ideal do anel A e a A∈ . Então a a I= + .
Demonstração.
( )modb a b a I∈ ⇔ ≡
,b a I b a u u I⇔ - ∈ ⇔ - = ∈
,b a u u I b a I⇔ = + ∈ ⇔ ∈ + .
Exemplo 4.4.3. Já sabemos que o ideal 2 define a relação em ,
.
Vamos calcular algumas classes de equivalência módulo 2 . Note que estamos repetindo o que fizemos na seção 2.3.
{ } { }0 0 2 0 , 2 ; é paru u x x= + = + ∈ = ∈
{ } { }1 1 2 1 , 2 ; é ímparu u x x= + = + ∈ = ∈
{ } { }2 2 2 2 , 2 ; é paru u x x= + = + ∈ = ∈
{ } { }3 3 2 3 , 2 ; é ímparu u x x= + = + ∈ = ∈
{ } { }1 1 2 1 , 2 ; é ímparu u x x- = - + = - + ∈ = ∈
{ } { }2 2 2 2 , 2 ; é paru u x x- = - + = - + ∈ = ∈ .
No exemplo acima verificamos que:
( )0 2 mod 2≡ , ( )0 2 mod 2≡ - e 0 2 2 0 2= = - = +
( )1 3 mod 2≡ , ( )1 1 mod 2≡ - e 1 3 1 1 2= = - = +
0 1∩ =∅ e 0 1∪ = .
124
Isso sugere que quando os elementos são congruentes suas classes são iguais, e se as classes não são iguais então elas são disjuntas. Veremos a seguir que isso vale para toda relação de congruência módulo I definida por um ideal I .
Proposição 4.4.2. Sejam I um ideal do anel A e ,a b A∈ .
(1) ( )moda b a b I= ⇔ ≡
(2) a b= ou a b∩ =∅ .
(3) O anel A é a união das classes dos seus elementos.
Demonstração.
(1) ( )moda a b a b a b I∈ = ⇒ ∈ ⇒ ≡ .
Vamos provar que a b⊆ . A outra inclusão é análoga. Seja u a∈ , isto é, ( )modu a I≡ . Por hipótese, ( )moda b I≡ , e como a congruência módulo I é relação transitiva, temos que
( )modu b I≡ . Portanto u b∈ e então a b⊆ .
(2) Se a b∩ =∅ nada temos para fazer. Suponha que existe z a b∈ ∩ . Como z a∈ vemos que ( )modz a I≡
.
Da mesma forma, z b∈ implica em ( )modz b I≡ .
Pela transitividade da congruência módulo I segue que ( )moda b I≡ , e pelo item (1) concluímos que a b= .
(3) Queremos provar que a A
A a∈
=
. Como a A⊆ para todo a A∈ ,
é claro que a A
a A∈
⊆
. Por outro lado, dado b A∈ sabemos que
a A
b b a∈
∈ ⊆
, pois b é um dos conjuntos que estão sendo reuni-
dos. Logo a A
A a∈
⊆
e vale a A
A a∈
=
.
Conhecendo o resultado geral provado na Proposição 4.4.2, fica mais fácil descrever as classes de equivalência definidas por um ideal. Veja os próximos exemplos.
Exemplo 4.4.4. Descrever as classes de equivalência que o ideal define no anel 6 .
125
Primeiro tomamos a classe de 60∈ , isto é, .
Como 61∈ e ( )1 0 mod I≡/ , produzimos uma nova classe
.
Como 62∈ , ( )2 0 mod I≡/ e ( )2 1 mod I≡/ , produzimos outra clas-
se, . Como todo elemento de 6 está em 0 , 1
ou 2 , não há outras classes.
Portanto, é o conjunto das classes de equivalência que
o ideal 63.I = define no anel 6 .
Exemplo 4.4.5. Descrever as classes de equivalência que o ideal 3 define no anel .Iniciamos com a classe do zero, 0 0 3= + formada pelos múlti-plos de 3. Como ( )1 0 mod3≡/ , temos uma nova classe definida por 1. A sa-ber, 1 1 3= + , formada pelos múltiplos de 3 somados com 1. Como ( )2 0 mod3≡/ e ( )2 1 mod3≡/ , temos também a classe 2 2 3= + , formada pelos múltiplos de 3 somados com 2. Por outro lado, todo número inteiro está numa destas três classes (é múltiplo de 3, ou é múltiplo de 3 somado com 1, ou é múltiplo de 3 somado com 2). Portanto
é o conjunto das classes de equivalência que 3
define em .
Exemplo 4.4.6. Um raciocínio totalmente análogo ao que fizemos no exemplo acima garante que:
é o conjunto das classes de equivalência que o ideal 4 define em .
é o conjunto das classes de equivalência que o ideal 5 define em .
é o conjunto das classes de equivalência que o ideal n define em .
126
Para cada n∈ , 2n ≥ , o ideal n gera a relação:
.
Assim a relação congruência módulo n , coincide com a rela-ção congruência módulo n , estudada no Capítulo II. Logo, o con-junto das classes de equivalência
, que o ideal n
define em , é exatamente o conjunto n . Mas sabemos que n é um anel com as operações a b a b+ = + e .a b ab= , e então con-cluímos que o conjunto das classes de equivalência é também um anel com essas operações.
Nosso próximo objetivo é verificar que o fato de o conjunto das classes de equivalência geradas por n em ser um anel, não é um resultado isolado. Trocando o anel por um anel qualquer A , e trocando o ideal n de por um ideal I de A , vamos verificar que o conjunto das classes de equivalência geradas pelo ideal I no anel A é novamente um anel.
O conjunto das classes de equivalência geradas no anel A pelo
ideal I será denotado por AI
. Assim,
.
Observação 4.4.3. Note que no caso particular em que A = e
I n= temos .
Para que AI
seja anel precisamos definir operações de adição e
multiplicação em AI
. Faremos isso com base nas operações defi-
nidas em n n=
.
127
Sejam , Aa bI
∈ . Defina a adição e a multiplicação em AI
, res-
pectivamente, pora b a b+ = +
.a b ab= .
Assim,
: A A AI I I
+ × → e : A A AI I I
⋅ × →
( ),a b a b+
( ),a b ab .
Sabemos que os elementos de AI
são classes de equivalência,
isto é, são conjuntos de elementos congruentes módulo I , e de acordo com a Proposição 4.4.2(1) cada um dos elementos da classe pode representá-la. Portanto precisamos verificar que as opera-
ções de adição e multiplicação em AI
não dependem da escolha
de representante para as classes operadas.
Proposição 4.4.3. As operações de adição e multiplicação em AI
estão bem definidas, isto é,
, , , Aa b x yI
∈ , ⇒ a b x y+ = + e . .a b x y= .
Demonstração. A principal ferramenta para esta demonstração é a Proposição 4.4.2(1), que assegura que duas classes são iguais se, e somente se, os elementos são congruentes.
a x= ⇒ ( )moda x I≡ ⇒ a x I- ∈ .
b y= ⇒ ( )modb y I≡ ⇒ b y I- ∈ .
• Como ,a x b y I- - ∈ e I é ideal temos que . Segue que , isto é, ( )moda b x y I+ ≡ + .
Pela Proposição 4.4.2(1) concluímos que a b x y+ = + e então
a b x y+ = + .
• Como a x I- ∈ , b A∈ e I é ideal de A , temos . Analogamente, b y I- ∈ , x A∈ e I é
128
ideal de A , leva . Agora sabemos que ab xb- , xb x y I- ∈ e então ab xb xb x y I- + - ∈ , isto é, ab x y I- ∈ . De outra forma, ( )modab x y I≡ . Pela Proposi-ção 4.4.2(1) concluímos que ab x y= e então ab x y= .
Agora vamos provar o principal resultado desta seção. Chama-mos a atenção para o fato de que a prova deste teorema é análoga
à que fizemos para o anel n n=
na Proposição 2.3.3.
Teorema 4.4.1. Se I é um ideal do anel A então , ,AI
+ ⋅
é um anel.
Demonstração. Vamos provar que , ,AI
+ ⋅
satisfaz os seis axio-
mas de anel. Sejam , , Aa b cI
∈ . Lembre que , ,a b c A∈ e
satisfaz os seis axiomas de anel.
Axioma (i): a b b a+ = + .
a b a b b a b a+ = + = + = + .
Na segunda igualdade acima usamos a b b a+ = + e, daí, a b b a+ = + .
Axioma (ii): ( ) ( )a b c a b c+ + = + + .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .a b c a b c a b c a b c a b c a b c+ + = + + = + + = + + = + + = + +
Na terceira igualdade acima usamos ( ) ( )a b c a b c+ + = + + e, daí, ( ) ( )a b c a b c+ + = + + .
Axioma (iii): Elemento neutro
Como A é anel, existe 0 A∈ . Vamos provar que 0 é o elemento
neutro de AI
.
0 0a a a+ = + = e 0 0a a a+ = + = .
129
Axioma (iv): Elemento simétrico
Para AaI
∈ temos a A∈ , e então existe a A- ∈ tal que
. Tomando classes módulo I vem que,
.
Logo, 0 ( ) ( )a a a a= - + = + - e ( )a- é o simétrico de a .
Axioma (v): ( ) ( )a bc ab c= .
Análogo ao axioma (ii).
Axioma (vi): ( )a b c ab a c+ = + e ( )b c a b a c a+ = + .
( ) ( ) ( ) .a b c a b c a b c ab a c ab a c ab a c+ = + = + = + = + = +
A outra igualdade é análoga.
Definição 4.4.2. Seja I um ideal do anel A . O anel AI
é chamado de anel quociente de A por I .
Observação 4.4.4. Vimos na demonstração acima que se 0 é o ele-
mento neutro da adição do anel A e I é um ideal de A , então
0 é o elemento neutro da adição de AI
. De forma análoga pode
ser provado que se 1 é unidade de A , então 1 é unidade de AI
.
Também vimos que a comutatividade da adição em AI
é consequên-
cia da comutatividade da adição em A . De forma análoga pode ser provado que se a multiplicação é comutativa em A , então a multi-
plicação em AI
é comutativa. Deixaremos a prova desses dois fatos
como exercício. Vamos apenas registrá-los aqui como corolário.
Corolário 4.4.1. Sejam A um anel e I um ideal de A .
(1) Se A tem unidade 1 então o anel AI
tem unidade 1.
130
(2) Se A é anel comutativo então o anel AI
também é comutativo.
Demonstração. Exercício.
Exemplo 4.4.7. Não vale a recíproca do item (1) do Corolário 4.4.1,
isto é, existe anel sem unidade A e ideal I de A tal que AI
tem
unidade.
Tome como exemplo o anel 2A = , que sabemos que não possui
unidade. Para o ideal 6I = temos o anel quociente 26
AI=
.
Vamos descrever os elementos de 26
.
{ }0 0 6 ..., 12, 6, 0, 6, 12,...= + = - -
{ }2 2 6 ..., 10, 4, 2, 8, 14,...= + = - -
{ }4 4 6 ..., 8, 2, 4, 10, 16,...= + = - - .
Como todo elemento do anel 2 está em uma dessas classes, temos
que . Afirmamos que 4 é unidade do anel
26
.
De fato,
4.0 4.0 0= = .
4.2 4.2 8 2= = = , pois ( )2 8 mod 6≡ .
4.4 4.4 16 4= = = , pois ( )16 4 mod 6≡ .
Desde que o anel 26
é comutativo, temos também 0.4 0= e 2.4 2= .
Logo, 26
é anel com unidade 4 , apesar de 2 não ter unidade.
Exemplo 4.4.8. A recíproca do item (2) do Corolário 4.4.1 também não vale. Por exemplo, o anel ( )2A M= não é comutativo. No entanto, to-
mando o ideal I A= temos que , pois todos os elemen-
131
tos são congruentes. Assim, AI
é comutativo apesar de A não ser comutativo.
Em geral, descrever os elementos do anel quociente AI
é uma
tarefa difícil. Muitas vezes o interesse maior é em conhecer a me-
lhor estrutura do anel quociente, isto é, saber quando AI
tem uni-
dade, é comutativo, é domínio ou é corpo. Note que o corolário acima fornece informações desse tipo a partir de informações so-bre o anel A .
O próximo teorema diz quando o anel quociente AI
é domínio ou corpo, a partir de informações sobre o ideal I .
Teorema 4.4.2. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A , I A≠ .
(1) AI
é domínio ⇔ I é ideal primo de A .
(2) AI
é corpo ⇔ I é ideal maximal de A .
Demonstração.
(1) Sejam ,a b A∈ tais que ab I∈ . Como 0 ab I- ∈ vem
que ( )0 modab I≡ e então 0 .ab a b= = . Como AI
é domínio,
devemos ter 0a = ou 0b = .
0a =• .
0b =• .
Portanto a I∈ ou b I∈ , isto é, I é ideal primo de A .
Como A é anel comutativo com unidade, segue do Corolário
4.4.1 que AI
é anel comutativo com unidade. Falta provar que AI
não tem divisores de zero.
Sejam , Aa bI
∈ tais que 0ab = . Como 0 ab= , temos ab I∈ .
Mas I é ideal primo e então a I∈ ou b I∈ .
132
a I∈• ⇒ 0a I- ∈ ⇒ ( )0 moda I≡ ⇒ 0a = .
b I∈• ⇒ 0b I- ∈ ⇒ ( )0 modb I≡ ⇒ 0b = .
Portanto 0a = ou 0b = , isto é, AI
é domínio.
(2) Seja J um ideal de A tal que I J A⊆ . Então existe
a J∈ tal que a I∉ . Segue que 0a ≠ , e como AI
é corpo, existe AbI
∈ tal que . 1a b = . Isso leva a 1ab I- ∈ , isto é, 1 ab i= + ,
i I J∈ ⊆ . Note que ab J∈ pois a J∈ . Como ,i ab J∈ temos 1 ab i J= + ∈ . Portanto J A= e I é ideal maximal de A .
Como A é anel comutativo com unidade, segue do Corolário
4.4.1 que AI
é anel comutativo com unidade. Falta provar que
todo elemento não nulo de AI
tem inverso em AI
. Seja AaI
∈ ,
0a ≠ . Segue que a I∉ e então I I a A A+ ⊆ . Lembre que I a A+ é ideal de A . Desde que I é ideal maximal devemos ter I a A A+ = . Em particular, 1 A I a A∈ = + , e daí 1 i ab= + para i I∈ e b A∈ .Tomando classes módulo I na igualdade 1 i ab= + temos 1 i a b= + . Mas i I∈ e então 0i = . Logo 1ab = , isto é, b é o
inverso de a . Portanto AI
é corpo.
Exemplo 4.4.9. Sabemos que se p é um número primo, então p
é ideal maximal de . Logo p p=
é corpo.
Exemplo 4.4.10. Sabemos que se n não é um número primo, en-
tão n não é ideal primo de . Logo n n=
não é domínio.
133
Lista de exercíciosSe 1) I é ideal do anel A e a A∈ , mostre que:
0 Aa I aI
∈ ⇔ = ∈ .
Prove o Corolário 4.4.1.2)
Vimos que 3) onde
0 0 6 ,= +
2 2 6 ,= +
4 4 6= + .
Faça as tabelas das operações do anel quociente 26
.
Descreva os elementos do anel quociente 4) 36
e faça as tabe-las das operações.
Considere o anel 5) 6A = e o ideal 62.I = . Descreva os ele-
mentos e as tabelas das operações do anel quociente AI
.
Descreva os elementos do anel quociente 6) AI
quando:
a) A é um anel qualquer e { }0I = .
b) A é um anel qualquer e I A= .
c) 8A = e 83.I = .
d) 8A = e 82.I = .
e) 3A = e 9I = .
Apresente exemplo de um domínio 7) D e de um ideal I de
D tal que DI
não seja domínio.
Qual é a melhor estrutura algébrica do anel quociente 8) x
2 x 3
?
134
ResumoVimos que os ideais à direita (à esquerda ou bilaterais) de •um anel A formam uma classe especial de subanéis de A . Essas classes coincidem quando A é anel comutativo, e po-dem ser distintas quando A não é anel comutativo.
Um procedimento para obter ideais à direita ou à esquerda •do anel A é construir o ideal gerado por elementos de A . Quando x A∈ , o ideal à direita xA é chamado ideal à di-reita principal gerado por x . Analogamente Ax é o ideal à esquerda principal gerado por s .
No caso particular do anel • , todos os ideais são da forma n , e o conjunto dos ideais coincide com o conjunto dos subanéis.
A união de ideais não é em geral um ideal. No entanto, a •intersecção de ideais é um ideal.
Usando ideais conhecidos podemos produzir o ideal soma •e o ideal produto.
Estudamos ideais maximais e ideais primos. Provamos que •em um anel comutativo com unidade A , todo ideal maxi-mal é primo. Além disso, {0} é ideal primo (respectivamen-te maximal) de A se, e somente se, A é domínio (respecti-vamente corpo).
A partir de um ideal • I do anel A construímos o anel quo-
ciente AI
. Vimos que a comutatividade e a existência de uni-
dade se transportam de A para AI
, mas que não vale a recí-
proca. Provamos que o anel AI
é domínio (respectivamente
corpo) se, e somente se, I é ideal primo (respectivamente maximal) do anel A .
Capítulo 5Homomorfismos e Isomorfismos
Capítulo 5Homomorfismos e Isomorfismos
O tema principal deste capítulo são as funções entre anéis. Lembre que um conjunto pode ser ou não um anel, dependendo das operações definidas nesse con-junto. Isso leva a pensar que as funções de interesse so-bre os anéis são funções que preservam as operações de anéis. Essas funções especiais entre anéis são chamadas de homomorfismo de anéis.
5.1 Homomorfismo de anéisDefinição 5.1.1. Sejam e anéis. Um homomorfismo entre os anéis A e B é uma função :f A B→ tal que:
(i) .
(ii) .
Note que se :f A B→ é um homomorfismo entre os anéis e , e se ,a b A∈ , então o axioma (i) assegura que te-
mos o mesmo resultado nos dois procedimentos abaixo:
Efetuar a adição de • a e b em A (obtendo a b+ ) e então aplicar .
Aplicar • f em a e em b e então efe-tuar a adição em B .
O axioma (ii) permite fazer um raciocínio análogo para a mul-tiplicação.
Observação 5.1.1. Quando tratamos com homomorfismo entre os anéis A e B , é comum denotar as operações dos dois anéis pelos mesmos símbolos. Isto é, tratamos com e lembran-do que os símbolos + e ⋅ podem designar operações distintas em
138
A e B . Note que isso não causa confusão, pois quando :f A B→ é um homomorfismo de anéis, e olhamos para as igualdades:
• ,
• ,
está claro que a b+ e ab são operações em A , e que e são operações em B .
Exemplo 5.1.1. Sejam A e B anéis quaisquer. Então a função nula :f A B→ , ( ) 0,f a a A= ∀ ∈ , é um homomorfismo chamado de
homomorfismo nulo. De fato, para ,a b A∈ temos:
,e
.
Exemplo 5.1.2. Se A é um anel qualquer, então a função identida-de :f A A→ , ( ) ,f a a a A= ∀ ∈ , é um homomorfismo chamado homomorfismo identidade. De fato, para ,a b A∈ temos:
,e
.
Exemplo 5.1.3. :f → , , não é homomorfismo. Tome 1,2∈ e note que , enquanto
. Logo,
e f não é homomorfismo.
Exemplo 5.1.4. 2 2:f → , , é homomorfismo.
Basta notar que e , portanto f é o homo-
morfismo identidade de 2 .
Exemplo 5.1.5. Para cada número inteiro 0,1a ≠ , a função :af → , , não é homomorfismo.
139
Tome 1∈ e note que , enquanto .
Como 0,1a ≠ temos que 2a a≠ e então .
Exemplo 5.1.6. :f → , , é homomorfismo. A verificação é idêntica à do Exemplo 5.1.2. Note que simplesmente trocamos o anel do contradomínio pelo anel que contém . Da mesma forma,
:f → , ,
:f p → , ,
:f p → , ,
são exemplos de homomorfismo, chamados de homomorfismo inclusão.
Exemplo 5.1.7. Para cada inteiro 2n ≥ a aplicação : nf → , , é um homomorfismo chamado homomorfismo proje-
ção canônica. De fato,
e
.
Lembrando que n é um anel quociente, isto é, n n=
, po-
demos pensar em generalizar o Exemplo 5.1.7 para um anel quo-ciente qualquer. Note que isso é razoável, pois as operações no
anel quociente são semelhantes às operações no anel n n=
.
Exemplo 5.1.8. Seja I um ideal do anel A . A função : Af AI
→ ,
, é homomorfismo chamado homomorfismo projeção canônica. De fato,
e
.
140
Exemplo 5.1.9. Seja A um anel qualquer. Considere os anéis x A A
e ( )2M A . Então a aplicação ( )2: x f A A M A→ , ( ) 0,
0a
f a bb
=
, é um homomorfismo. De fato, para temos,
00
a xb y
+ = +
=0
0a
b
+0
0x
y
e
00
a xb y
=
=0
0a
b
00x
y
.
Exemplo 5.1.10. : 2 2f → , , é ho-momorfismo. De fato, sejam 2a b+ , 2 2c d + ∈ .
e
.
No exemplo anterior podemos trocar 2 por qualquer número primo positivo p e teremos que
141
:f p p → , ,
é homomorfismo.
Definição 5.1.2. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. O nú-cleo (ou Kernel) de f é formado pelos elementos de A cuja imagem por f é 0 B∈ . Isto é,
.
Definição 5.1.3. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. A ima-gem de f é a imagem da função f . Isto é,
.
Observação 5.1.2. Note que se :f A B→ é homomorfismo de anéis, então e .
Nos cursos de cálculo, vemos que encontrar a imagem de uma função é uma tarefa geralmente difícil. Como a imagem de um ho-momorfismo é a imagem de uma função, concluímos que encontrar o conjunto imagem de um homomorfismo pode não ser simples.
Encontrar o núcleo de um homomorfismo é normalmente mais fácil do que encontrar a imagem.
Na próxima seção obteremos informações adicionais sobre nú-cleo e imagem do homomorfismo de anéis :f A B→ . A saber, ve-rificaremos que é subanel de B e que é ideal de A .
Para concluir esta seção, vamos calcular o núcleo e a imagem dos homomorfismos vistos nos Exemplos 5.1.1, 5.1.2, 5.1.4, 5.1.6, 5.1.7, 5.1.8, 5.1.9 e 5.1.10. Observe em cada caso que é ideal do domínio e que é subanel do contradomínio.
Exemplo 5.1.11. Sejam A e B anéis e :f A B→ , ( ) 0f a = . En-tão:
( )N f A= e ( ) { }Im 0f = .
Exemplo 5.1.12. Se A é um anel e :f A A→ , , então:
( ) { }0N f = e ( )Im f A= .
142
Exemplo 5.1.13. Seja 2 2:f → o homomorfismo .
Como x x− = em 2 , segue que f é o homomorfismo identidade. Pelo exemplo acima concluímos que ( ) {}0N f = e ( ) 2Im f = .
Exemplo 5.1.14. Para o homomorfismo :f → , , te-mos:
( ) { }0N f = e ( )Im f = .
O mesmo vale para os homomorfismos
:f → , :f p → e :f p → .x x x x x x
Exemplo 5.1.15. Para n∈ , 2n ≥ , vamos calcular o núcleo e a imagem do homomorfismo : nf → , .
Desde que é claro que ( )Im nf = .
Para calcular , queremos descobrir quais elementos x∈ sa-
tisfazem ( ) 0f x x= = . Mas,
0 0x x n x n= ⇔ − ∈ ⇔ ∈ .
Logo, ( )N f n= , isto é, o núcleo de f é exatamente o ideal n
que gera o anel quociente n n=
.
Exemplo 5.1.16. Seja I um ideal do anel A . Considere o homo-
morfismo : Af AI
→ , .
Desde que
, temos que todo
elemento de AI
é imagem de um elemento de A pela função f .
Logo, ( )Im AfI
= .
Para encontrar , queremos descobrir quais elementos a A∈
satisfazem ( ) 0 Af a aI
= = ∈ . Mas,
0 0a a I a I= ⇔ − ∈ ⇔ ∈ .
143
Logo ( )N f I= , isto é, o núcleo do homomorfismo projeção canô-nica é o ideal que gera o anel quociente.
Exemplo 5.1.17. Seja A anel. Vamos calcular o núcleo e a imagem
do homomorfismo ( )2: x f A A M A→ , ( ) 0,
0a
f a bb
=
.
Note que f leva elementos de x A A em matrizes diagonais 2 x 2 , e que toda matriz diagonal 2 x 2 sobre A é a imagem de um ele-mento de x A A .
Logo ( ) ( )2
0Im
0a
f M Ab
= ∈
.
Desde que o elemento neutro de ( )2M A é 0 00 0
, o núcleo é ob-tido da equação
( ) 0 0 0,
0 0 0a
f a bb
= =
.
A única solução é 0a b= = , e portanto .
Exemplo 5.1.18. Considere o homomorfismo : 2 2f → ,
2a b− .
O elemento neutro de 2 é 0 . Então,
2 0 0 e 0a b a b⇔ − = ⇔ = = .
Logo, .
É fácil ver que todo elemento de 2 está na imagem de f .
De fato, dado 2 2x y + ∈ , tome 2 2x y − ∈ .
Então, , isto é, .
Segue que e .
144
Lista de exercíciosVerifique se cada uma das funções abaixo é um homomor-1) fismo de anéis.
a) : x f → , .
b) : x f → , .
c) : x x f → , .
d) ( )2: 2f M → , .
e) : 3 3f → , .
f) : 7 7f → , .
g) : x f A A A→M2 (A), .A é um anel qualquer.
h) 6: 2f → , .
Calcule o núcleo e a imagem dos homomorfismos do exer-2) cício 1.
Verifique que 3) , , é homomor-fismo de anéis quando 1x y x y⊕ = + + e x y x y x y= + + . Qual é o núcleo de f ?
Sejam 4) p e q números primos positivos e distintos. Verifi-
que que [ ]:f p q →
, , não é
homomorfismo.
Seja 5) A um anel qualquer. Verifique que : x f A A A→ , , é um homomorfismo de anéis. Calcule e
.
Refaça o exercício 5 trocando 6) por .
145
5.2 Propriedades dos homomorfismosNesta seção apresentaremos as principais propriedades dos
homomorfismos de anéis. Veremos, entre outras, que um homo-morfismo :f A B→ transforma subanel de A em subanel de B , transforma ideal de A em ideal de que f é injetor se, e somente se, , que ( )N f é ideal de A e que ( )Im f é subanel de B .
Proposição 5.2.1. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Então:
(1) .
(2) .
(3) .
Demonstração. (1) Aplicando f em ambos os lados da igualdade 0 0 0A A A= + e usando o fato de f ser homomorfismo, temos:
.
Como e B é anel, podemos somar o simétrico ( )0Af− em ambos os lados. A associatividade da adição em B permite não usar parênteses.
( )0 0B Af= .
(2) Aplicando f na igualdade 0A a a= − e usando (1), temos
.
Pela unicidade do simétrico de ( )f a no anel B , concluímos que
.
(3) Lembrando que e usando (2), temos:
.
A Proposição 5.2.1(1) assegura que todo homomorfismo de anéis leva elemento neutro em elemento neutro. Esse fato pode ser
146
usado como ferramenta para verificar que uma função :f A B→ não é homomorfismo. De fato, se tivermos ( )0 0A Bf ≠ , então f não é homomorfismo.
Exemplo 5.2.1. Verificar se :f → , ( ) 1f x x= + , é homomorfis-mo. Como o elemento neutro do anel é 0 e ( )0 0f ≠ , concluímos que f não é homomorfismo.
O mesmo raciocínio do exemplo acima mostra que para qual-quer inteiro 0a ≠ , a função :af → , , não é homo-morfismo.
Seja :f A B→ uma função entre os anéis A e B . Note que em momento algum afirmamos que se ( )0 0A Bf = , então f é homo-morfismo. Isso não é verdade, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 5.2.2. A função :f → , ( ) 2f x x= , tem a propriedade
. Porém f não é homomorfismo de anéis, como vimos no Exemplo 5.1.5.
Proposição 5.2.2. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis.
(1) Se J é subanel de A , então é subanel de B .
(2) Se I é ideal de A , então é ideal de .
Demonstração.
(1) . Sejam ( ),x y f J∈
. Devemos mostrar que ( )x y f J∈ e
( )x y f J− ∈ . Como ( ),x y f J∈ , existem ,a b J∈ tais que e
. Mas J é subanel e então ,ab a b J− ∈ . Aplicando f temos
.
Segue que
e
.
Portanto, é subanel de B .
147
(2) .
Sejam ( ),x y f I∈ e ( )z f A∈ . Devemos provar que ( )x y f I− ∈ , ( )z x f I∈ e ( )x z f I∈
.
Como I é ideal então I é subanel, segue de (1) que é suba-nel. Isso garante que ( )x y f I− ∈
.
Vamos mostrar apenas que ( )xz f I∈ , pois de forma análoga se prova que ( )zx f I∈
.
Como ( )x f I∈ e ( )z f A∈ , existem a I∈ e c A∈ tais que e
. Mas I é ideal de A e então a c I∈ .
Aplicando f , temos .
Segue que
.
Portanto, é ideal de .
Exemplo 5.2.3. Sabemos que :f → , , é homomor-fismo de anéis e que 2 é subanel e ideal de . É claro que ( )2 2f = ⊆ . Segue da Proposição 5.2.2 que 2 é subanel de e que 2 é ideal de ( )f = .
Observação 5.2.1. Não é verdade, em geral, que se :f A B→ é homomorfismo e I é ideal de A , então é ideal de B . De fato, basta observar no Exemplo 5.2.3 que :f → é homomorfismo, 2 é ideal de , mas ( )2 2f = não é ideal de , pois 2 2∈
e 12∈ , mas
12 1 22= ∉ .
Exemplo 5.2.4. Sabemos que 4:f → , , é homomor-fismo de anéis e que 2 é ideal de . Pela Proposição 5.2.2,
é subanel de 4 e ideal de . Também vimos que
. Note que . Por-
tanto, é ideal de ( )4 f= .
Proposição 5.2.3. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis.
(1) é subanel de B .
(2) é ideal de A .
148
Demonstração.
(1) Como A é subanel de A e então, pela Propo-sição 5.2.2 (1), temos que é subanel de B .
(2) .
Sejam ( ),a b N f∈ e c A∈ . Devemos mostrar que ,a b− ,a c ( )c a N f∈
.
Como ( ),a b N f∈ , temos . Então,
,
e
.
Exemplo 5.2.5. Sabemos que 6:f → , , é homomorfismo. Note que ( ) 6N f = é ideal de e ( ) 6Im f = é subanel de 6 .
Exemplo 5.2.6. A aplicação 6: 4f → , , é homomorfis-mo, pois é uma restrição do homomorfismo 6:f → , . Pela Proposição 5.2.3 sabemos que é ideal de 4 e é subanel de 6 . Vamos calcular e . Para encontrar , tomamos 4 4x k= ∈ tal que ( ) 0f x = , isto é, 4 0k = . Assim
0 4k= 4 0 6k⇔ − ∈
4 6k⇔ ∈
6 | 4k⇔
3 | k⇔
3k u⇔ =
12 12x u⇔ = ∈ .
Logo ( ) 12N f = .Desde que é subanel de 6 e os subanéis de 6 são ,
, e 6 , basta descobrir qual desses subanéis é a ima-gem de f .
149
Note que , e e assim ou ( ) 6Im f = . Mas ( )1 Im f∉ . De fato, diz que
que não é possível pois 4 1k − é ímpar.
Logo, ( ) 6Im f ≠ e daí .
Sejam X e Y conjuntos quaisquer. Lembre que uma função :f X Y→ é
Sobrejetora• quando ( )Im f Y= ;
Injetora• quando: .
Definição 5.2.1. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Dizemos que f é um epimorfismo quando f é sobrejetor, isto é, ( )Im f B= .
Definição 5.2.2. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Dizemos que f é um monomorfismo quando f é injetor, isto é, implica em x y= .
A próxima proposição mostra que o núcleo de um homomor-fismo pode ser usado para verificar se esse homomorfismo é mo-nomorfismo.
Proposição 5.2.4. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. São equivalentes:
(a) f é monomorfismo;
(b) ( ) { }0N f = .
Demonstração.
(a) ⇒ (b) Já vimos que , e então ( )0 N f∈ . Logo, { } ( )0 N f⊆ . Por outro lado, se ( )a N f∈ , então
.
Como f é injetora, concluímos que 0a = . Portanto ( ) { }0N f ⊆ e segue que ( ) { }0N f = .
(b) ⇒ (a) Sejam ,a b A∈ tais que .
Sabemos pela Proposição 5.2.1(3) que .
Logo, , isto é, ( ) { }0a b N f− ∈ =( ) { }0N f = .
Segue que a b= e portanto f é injetora.
150
Exemplo 5.2.7. Vimos no Exemplo 5.1.14 que se :f p → , , então ( ) { }0N f = e ( )Im f = . Logo f é monomorfismo,
mas não é epimorfismo.
Exemplo 5.2.8. Vimos no Exemplo 5.1.15 que se 2n ≥ e : nf → , , então ( )N f n= e ( )Im nf = . Logo f é epimorfismo,
mas não é monomorfismo.
Exemplo 5.2.9. Vimos no Exemplo 5.1.16 que se I é ideal do anel
A e : Af AI
→ , , então ( )N f I= e ( )Im AfI
= . Logo f é
epimorfismo.Note que f é monomorfismo se, e somente se, ( ) { }0I N f= =( ) { }0N f = .
Exemplo 5.2.10. Vimos no Exemplo 5.1.17 que se A é um anel e
, ( ) 0,
0a
f a bb
=
, então
e ( ) ( )2
0Im
0a
f M Ab
= ∈
.
Logo f é monomorfismo, mas não é epimorfismo.
Exemplo 5.2.11. Vimos no Exemplo 5.2.6 que se 6: 4f → , , então ( ) 12N f = e
. Logo f não é mo-
nomorfismo nem epimorfismo.
Exemplo 5.2.12. Vimos no Exemplo 5.1.18 que se
: 2 2f → , 2a b− , então e
( )Im 2f = . Logo f é monomorfismo e epimorfismo.
O exemplo acima apresenta um homomorfismo bijetor. Homo-morfismos bijetores são chamados isomorfismo. Trataremos des-se assunto na próxima seção.
Para terminar esta seção vamos destacar propriedades especí-ficas de epimorfismos definidos em anéis com unidade.
151
Proposição 5.2.5. Seja :f A B→ um epimorfismo de anéis.
(1) Se A tem unidade, então B tem unidade e .
(2) Se A tem unidade, a A∈ e a é inversível em A , então é inversível em B e
.
Demonstração.
(1) Basta mostrar que para todo b B∈ vale ,
e então teremos que B tem unidade .
Como b B∈ e f é sobrejetora, existe a A∈ tal que ( )f a b= . É claro que 1 1A Aa a a= = , e aplicando f vem que
.
Mas f é homomorfismo e então
.
Logo .
(2) Por hipótese existe 1a A− ∈ tal que 1 1 1Aa a a a− −= = . Aplicando o homomorfismo f e lembrando que , temos
.
Logo é o inverso de , isto é,
.
Exemplo 5.2.13. Verificar que não existe epimorfismo de em n , para 2n ≥ .Sabemos que se 2n ≥ , então n não tem unidade. Se houvesse um epimorfismo :f n→ teríamos, pela Proposição 5.2.5(1), que é unidade em n . Absurdo. Logo não existe epimorfis-mo de em n .
Exemplo 5.2.14. Determine, se existir, a inversa da matriz
( )2 9
2 0
0 4M
∈
.
Sabemos que ( )9 9 2 9
0: x
0a
f Mb
→ ∈
, ( ) 0
,0a
f a bb
=
é epimorfismo, e que 9 9x tem unidade .
É claro que ( )2 02,4
0 4f
=
,
.
152
Como , segue da Proposição 5.2.5(2) que é o
inverso de , isto é,
5 0
0 7
é a inversa de 2 0
0 4
.
Lista de exercíciosVerifique que nenhuma das funções abaixo é homomorfis-1) mo de anéis.
a) : 2 2f → , .
b) :f → , ( ) 2f x x= .
c) ( )2:f M→ , ( ) 11x
f xx
=
.
Usando o fato de 2) 3 ser ideal de e 6:f → , ( )f x x= , ser epimorfismo, verifique que
é ideal de 6 .
Verifique que 3) 6: 2f → , ( )f x x= , é homomorfismo. Cal-cule e . Conclua que f não é monomorfismo e nem epimorfismo.
Sejam 4) :f A B→ e :g B C→ homomorfismos de anéis.
a) Mostre que :g f A C→ é homomorfismo de anel.
b) Se f e g são epimorfismos, mostre que g f é epimor-fismo.
c) Se f e g são monomorfismos, mostre que g f é mono-morfismo.
Seja 5) A um anel qualquer. Sabendo que ,
0 0 000
a bf a b
c dc d
=
é homomorfismo, conclua que
( )3
0 0 000
x y M Az t
∈
é subanel de .
Determine, se existir, a inversa da matriz 6) 1 0
0 5
.
153
Sejam 7) A um corpo e :f A B→ um homomorfismo. Prove que se f não for o homomorfismo nulo, então f é mono-morfismo.
Seja 8) :f A B→ um homomorfismo de anéis. Lembre que a imagem inversa de um subconjunto X de B é
1( ) { ; ( ) }f X a A f a X− = ∈ ∈ . Mostre que:
a) Se J é subanel de B , então 1( )f J− é subanel de A ;
b) Se J é ideal de B , então 1( )f J− é ideal de A .
Prove que todo ideal de 9) n é principal.
5.3 Isomorfismos de anéisNesta seção estudaremos os homomorfismos bijetores, tam-
bém chamados de isomorfismos, entre anéis. Verificaremos que se :f A B→ é um isomorfismo de anéis, então existem várias propriedades que valem para o anel A se, e somente se, valem para o anel B . Dessa forma, os isomorfismos são ferramentas para o estudo dos anéis. De fato, suponha que desejemos estudar um anel B e que exista um isomorfismo f entre B e um anel co-nhecido, por exemplo :f B→ . Isso assegura que B tem várias propriedades de tais como unidade, comutativa, inexistência de divisores de zero e inverso para elementos não nulos.
Definição 5.3.1. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Dizemos que f é um isomorfismo quando f é bijetor.
Quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B , dizemos que eles são isomorfos e indicamos isso por A B .
É claro que um homomorfismo é isomorfismo se, e somente se, é epimorfismo e monomorfismo.
Exemplo 5.3.1. Seja A um anel qualquer. O homomorfismo iden-tidade :f A A→ , , é isomorfismo pois é bijetor.
154
Exemplo 5.3.2. : 2 2f → ; é iso-morfismo. De fato, já vimos no Exemplo 5.1.18 que e
( )Im 2f = .
Portanto, f é injetor e sobrejetor.
Exemplo 5.3.3. Se A é um anel qualquer, então { } x 0A A .De fato, defina { }: x 0f A A→ por . Vamos mostrar que f é isomorfismo. Para ,a b A∈ temos:
e
.
Logo f é homomorfismo.
Dado • , tome a A∈ . Então ( ) ( ),0f a a x= = , isto é, f é sobrejetora.
• .
Logo e então f é injetora.Portanto, f é isomorfismo e, daí, { } x 0A A .
Como casos particulares do exemplo anterior temos:
{ } x 0 , { }7 7 x 0 , .
Exemplo 5.3.4. Seja ( )2
00a
A Ma
= ∈
. Vamos verificar que
A .
Defina :f A→ por ( ) 00x
f xx
=
. Para ,x y∈ temos:
( ) ( ) ( )0 0 00 0 0
x y x yf x y f x f y
x y x y+
+ = = + = + + e
( ) ( ) ( )0 0 00 0 0
x y x yf x y f x f y
x y x y
= = =
.
Logo f é homomorfismo.
É claro que • ( )Im f A= . Logo f é sobrejetora.
155
• ( ) 0 0 00 0
0 0 0x
f x xx
= ⇔ = ⇔ =
.
Logo e então f é injetora.Portanto, f é isomorfismo e daí A .
Exemplo 5.3.5. Sejam ( )2
00a
B Mb
= ∈
e :f B→ ,
( ) 00x
f xx
=
. Afirmamos que f não é isomorfismo. De fato,
. Logo f não é
sobrejetora, portanto não é isomorfismo.
Veremos depois que não existe isomorfismo entre e
( )2
00a
Mb
∈
. Veja Exemplo 5.3.8.
Seja :f A B→ um isomorfismo de anéis. Então, além de f ser um homomorfismo, f também é uma função bijetora. Portanto existe a função inversa 1 :f B A− → , que é bijetora. O Lema abaixo mostra que 1f − é isomorfismo de anéis.
Lema 5.3.1. Se :f A B→ é isomorfismo de anéis, então 1 :f B A− → é isomorfismo de anéis.
Demonstração. Desde que 1f − é bijetora, basta provar que 1f − é homomorfismo. Sejam ,x y B∈ . Como f é sobrejetora existem
,a b A∈ tais que e . Note que e
.
Usando o fato de f ser homomorfismo, temos:
•
•
156
Observação 5.3.1. O Lema 5.3.1 mostra que as propriedades de isomorfismo que valem para :f A B→ , também valem para
1 :f B A− → . Portanto uma propriedade que é transportada, via isomorfismo, de A para B , também é transportada de B para A .
Proposição 5.3.1. Seja :f A B→ um isomorfismo de anéis.
(1) A tem unidade ⇔ B tem unidade.
(2) A é comutativo ⇔ B é comutativo.
(3) .
(4) A não tem divisores de zero ⇔ B não tem divisores de zero.
(5) A é domínio ⇔ B é domínio.
(6) A é corpo ⇔ B é corpo.
Demonstração. Em cada um dos itens acima, basta provar a dire-ção
. De fato, como vimos na Observação 5.3.1, as proprieda-
des que o isomorfismo f leva de A para B , o isomorfismo 1f − leva de B para A .
(1) Como f é sobrejetora e A tem unidade, o resultado segue da Proposição 5.2.5(1).
(2) Sejam ,x y B∈ . Como f é sobrejetora existem ,a b A∈ tais que e
. Lembre que, por hipótese, A é comu-
tativo. Então:
.
Portanto B é comutativo.
(3) Como f é sobrejetora e A tem unidade, o resultado segue da Proposição 5.2.5(2).
(4) Sejam ,x y B∈ tais que 0x y = . Como f é sobrejetora exis-tem ,a b A∈ tais que e
. Lembre que
.
Então:
.
Como f é injetora vem que 0ab = . Mas, por hipótese, A não tem divisores de zero e daí 0a = ou 0b = .
157
Logo,
ou
(5) Como A é um domínio, então A é anel com unidade, comu-tativo e sem divisores de zero. Pelos itens (1), (2) e (4) temos que B é um anel com unidade, comutativo e sem divisores de zero. Portanto B é domínio.
(6) Como A é corpo, então A é anel com unidade, comutativo e tem inverso para todo elemento não nulo. Pelos itens (1) e (2) temos que B é um anel com unidade e comutativo. Seja ago-ra , 0b B b∈ ≠ . Como f é sobrejetora, existe a A∈ tal que ( )f a b= . É claro que 0a ≠ , pois em caso contrário teríamos
( ) (0) 0b f a f= = = , que é impossível. Assim e pelo item (3),
. Logo B tem inverso para todo elemento
não nulo. Portanto B é corpo.
A Proposição 5.3.1 mostra que um isomorfismo preserva a me-lhor estrutura algébrica para o anel. Cada propriedade preserva-da por isomorfismo é conhecida como propriedade invariante por isomorfismo. Por exemplo, a comutatividade do anel é inva-riante por isomorfismo, pois se A é comutativo e A B , então B é comutativo.
Conforme comentamos no início desta seção, isomorfismo en-tre anéis são ferramentas para estudar anéis. O procedimento é o seguinte: Queremos conhecer propriedades de um anel B e sa-bemos que B A , onde A é um anel cujas propriedades são co-nhecidas. Se essas propriedades são invariantes por isomorfismo, então elas valem em B .
Exemplo 5.3.6. Verificar que é corpo.
Vimos no Exemplo 5.3.3 que , e como é corpo con-cluímos que é corpo.
158
Exemplo 5.3.7. Verificar que ( )2
00a
A Ma
= ∈
é corpo.
Vimos no Exemplo 5.3.4 que A , e como é corpo concluí-mos que A é corpo.
Exemplo 5.3.8. Verificar que não existe isomorfismo entre e
( )2
00a
A Mb
= ∈
.
É claro que 1 00 0
, 0 00 1
A ∈
e que
1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0
=
.
Logo A tem divisores de zero. Como é corpo, não pode ter divisores de zero. Portanto não é isomorfo a A .
Exemplo 5.3.9. Verificar que o subanel ,
do anel 3 ( )M , é anel com unidade, não comutativo e que tem divisores de zero.Sabemos que 2 ( )M é anel com unidade, não comutativo e com divisores de zero. Assim basta provar que 2 ( )M ( )2M A .
Defina f : 2 ( )M ( )2:f M A→ por 00
0 0 0
a ba b
f c dc d
=
. Para
( )2,a b x y
Mc d z t
∈
2 ( )M temos:
a b x yf
c d z t
+ =
•a x b y
fc z d t
+ + + +
00
0 0 0
a x b yc z d t+ +
= + +
0 00 0
0 0 0 0 0 0
a b x yc d z t
= +
a b x yf f
c d z t
= +
.
159
a b x yf
c d z t
=
•a x b z a y bt
fc x d z c y d t
+ + + +
00
0 0 0
a x b z a y btc x d z c y d t
+ + = + +
0 00 0
0 0 0 0 0 0
a b x yc d z t
=
a b x yf f
c d z t
=
.
Logo f é homomorfismo. É claro que f é sobrejetora, pois ( )Im f A= . Para ver que f é injetor, vamos calcular .
( )a bN f
c d
∈
⇔ a b
fc d
=
0 0 00 0 00 0 0
⇔ 0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 0
a bc d =
⇔ 0a b c d= = = =
⇔ a bc d
=
0 00 0
.
Segue que e então f é injetora. Portanto f é isomorfismo.
Observação 5.3.2. No Exemplo 5.3.9 podemos trocar
( )2
00
0 0 0
a bA c d M
= ∈
por ( )2
0 0 000
B a b Mc d
= ∈
ou por
( )2
00 0 0
0
a bC M
c d
= ∈
, obtendo que B e C são anéis com uni-
dade, não comutativos que tem divisores de zero. Observe ainda que podemos refazer o Exemplo 5.3.9 trocando e por
e , para cada anel comutativo com unidade A .
160
Exemplo 5.3.10. Verificar que ( )2
2a bA M
b a
= ∈
é corpo.
Sabemos que é corpo. Assim, basta
provar que 2 A .
Defina : 2f A → por . Para
2, 2 2a b c d + + ∈ temos:
•
•
Logo f é homomorfismo, e claramente é sobrejetor, pois
( ) { ( 2); , }Im f f a b a b= + ∈
2
2( )
a bM
b a
= ∈
A= .
Vamos calcular .
2 0 00 0
a bb a
⇔ =
0 2 0a b a b⇔ = = ⇔ + = .
Segue que e então f é injetora. Portanto f é isomor-fismo.
Acompanhando as contas do exemplo anterior, vemos que ele pode ser facilmente generalizado, trocando 2 por um número pri-
161
mo positivo p . Isto é, 2 ( )a pb
A Mb a
= ∈
é um corpo iso-
morfo ao corpo p .
Exemplo 5.3.11. O mesmo raciocínio do Exemplo 5.3.10 mos-
tra que 2 ( )a pb
A M pb a
= ∈ , para cada número
primo positivo p . Como p é domínio, concluímos que
2 ( )a pb
A Mb a
= ∈
é domínio.
Observação 5.3.3. Sabemos que não é anel comutativo.
No entanto, o Exemplo 5.3.11 mostra que 2 ( )a pb
A Mb a
= ∈
é subanel comutativo de , pois A é domínio. Assim, mes-mo sem fazer contas, temos certeza que
a pb c pd c pd a pbb a d c d c b a
=
.
Outro resultado que obtemos sem precisar fazer contas é que A não tem divisores de zero, isto é,
0 00 0
a pb c pdb a d c
=
implica em 0 00 0
a pbb a
=
ou 0 00 0
c pdd c
=
.
Nem sempre é fácil produzir exemplos de isomorfismo entre anéis. Veremos agora algumas informações úteis para produzir isomorfismos a partir de homomorfismo.
Observação 5.3.4. Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Sabemos que é um anel, por ser subanel de B . Tro-cando o contradomínio B por obtemos o homomorfismo so-brejetor ( ):f A f A→ . Portanto, a partir de um homomorfismo de anéis podemos produzir um epimorfismo de anéis.
162
Exemplo 5.3.12. Vimos no Exemplo 5.1.17 que se A é um
anel, então ( )2: xf A A M A→ , ( )0
,0a
f a bb
=
, é homomor-
fismo injetor, pois . Mas não é sobrejetor, pois
2
0Im ( ) ( )
0a
f M Ab
= ∈
.
Segue que 2
0: x ( ) ( )
0a
f A A f A M Ab
→ = ∈
é isomorfismo.
Exemplo 5.3.13. Pelo Exemplo 5.2.6 temos que 6: 4f → , é homomorfismo tal que e .
Segue que é epimorfismo.
A principal ferramenta para produzir isomorfismos entre anéis é o chamado Teorema do Isomorfismo.
Seja :f A B→ um homomorfismo de anéis. Lembre que
é ideal A , e assim podemos considerar o anel quociente .
O Teorema do Isomorfismo assegura que .
Teorema 5.3.1. (Teorema do Isomorfismo). Seja :f A B→ um homo-morfismo de anéis. Então:
( )a f a
é isomorfismo.
Demonstração. Já vimos na Proposição 5.3.2 que a é suba-nel de B e que é ideal A . Desde que é subanel de B , temos em particular que é um anel. Por outro lado, como
é ideal A , sabemos do Teorema 4.4.1 que é um anel.
Portanto, , , é uma correspondên-
cia entre anéis. No entanto, os elementos de são classes de
163
equivalência, e então devemos provar que não depende da esco-lha dos representantes das classes. Isto é, devemos mostrar que se
a b= em então ( ) ( )a b = .
Lembre que a b= é o mesmo que ( )a b N f− ∈ , e daí
.
Logo e está bem definida. Agora vamos ver que é homomorfismo.
Sejam ( )
, Aa bN f
∈ e lembre que ,a b A∈ e f é homomorfismo.
Então, temos
e
.
Segue que f é homomorfismo. Para ver que f é sobrejetor, tome ( )Imy f∈
. Então ( )y f x=
para x A∈ . Desde que
( )Ax
N f∈ e , concluímos que é
sobrejetora. Falta ver que é injetora. Faremos isso mostrando que
.
Portanto , é isomorfismo de anéis.
Exemplo 5.3.14. Retome o Exemplo 5.2.6 onde vimos que
, é epimorfismo com
Pelo Teorema do Isomorfismo temos que e sabemos
explicitar esse isomorfismo. A saber,
,
,
onde x indica classe no anel 6 e x indica classes no anel 4
12
.
164
Agora podemos obter informações sobre o anel 4
12
a partir de
informações do anel 6{0,2,4}⊆ . Analisando a tabela
0 2 4
0 0 0 0
2 0 4 2
4 0 2 4
vemos que {0,2,4} é anel comutativo com unidade 4 e 1(2) 2− = , 1(4) 4− = .
Logo {0,2,4} é corpo e portanto
412
é corpo.
Exemplo 5.3.15. É fácil ver que : x f → , ( , )f x y x= é epi-morfismo. Além disso,
( , ) ( ) ( , ) 0 0x y N f f x y x∈ ⇔ = ⇔ = .
Logo,( ) (0, ) x {0}x { }N f y= ∈ =
.
Pelo Teorema do Isomorfismo, temos
{ } x
0 x
.
Assim, podemos concluir que { }
x 0 x
é um domínio que não é
corpo, pois tem essa estrutura.
Exemplo 5.3.16. De forma análoga ao Exemplo 5.3.15, temos que
{ } x
0 x
, e portanto { }
x 0 x
é corpo. O mesmo vale para
{ } { } x x
x 0 0 x
.
Exemplo 5.3.17. Seja n∈ , 2n ≥ . Sabemos que : nf → , ( )f x x= , é epimorfismo com ( )N f n= .
Segue do Teorema do Isomorfismo que
165
nn
.
Vimos que n é corpo se, e somente se, n é número primo. Logo
n
é corpo se, e somente se, n é número primo.
Exemplo 5.3.18. Lembre que o conjunto{ }: ; é funçãoA f f= → é um anel com as operações
( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + e ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x= .
Defina : Ay → por ( ) (0)f f = . Vamos ver que é epimor-fismo.
• ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( )f g f g f g f g + = + = + = +
• ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( )f g f g f g f g = = = .
Logo é homomorfismo de anéis. Para verificar que é sobrejetor, tome r∈ e escolha em A a fun-ção constante r , isto é, ( ) ,f x r x= ∀ ∈ . Desde que ( ) (0)f f r = = , temos que é sobrejetora. Agora vamos calcular ( )N .
( ) ( ) 0 (0) 0f N f f ∈ ⇔ = ⇔ = .
Logo ( ) : ; (0) 0{ }N f f f= → = , isto é, o núcleo de f é forma-
do pelas funções que se anulam em 0 . Pelo Teorema do Isomorfismo, temos que
( ): ; é função
( ) : ; 0 0{ }{ }
A f fN f f f
→=
→ =
.
Lista de exercíciosOs anéis 1) A e B abaixo não são isomorfos. Apresente uma justificativa para cada item.
a) 2 ( )A M= e x x x B = .
b) 3A = e 3B = .
c) 5A = e 5B = .
d) 7A = e x B = .
166
e) x A = e 2 ( )0 0a b
B M
= ∈
.
Dica: Proposição 5.3.1 (comutatividade).
f) 2 ( )A M= e x B = .
g) 28
A =
e 4B = .
Dica: Proposição 5.3.1 (unidade).
Verifique se são isomorfismos.2)
a) :f p p → , ( )f a b p a b p+ = − , quando p
é um número primo positivo.
b) 2 2
0: ( ) ( )
0 0 0a b x
f M My
∈ → ∈
,
00 0 0a b a
fb
=
.
c) 2:3 6
f →
, ( ) 2f x x= .
d) : x x f A B B A→ , ( , ) ( , )( )f x y y x= , quando A e B são anéis quaisquer.
Seja 3) :f A B→ um homomorfismo de anéis. Prove que:
a) Se A e B são domínios, então f é o homomorfismo nulo ou (1) 1f = .
b) Se A e B são corpos, então f é o homomorfismo nulo ou f é injetora.
167
Use o Exercício 3 para provar que se 4) :f → é isomorfis-mo, então f é a função identidade de .
Dica: Prove por indução que . Depois verifique que .
Sejam 5) A um anel com unidade e ( )a A∈ .
a) Verifique que , 1( )a x a x a −= , é isomorfismo.
b) Calcule 1( )a − .
c) Se ( )b A∈ , mostre que .
Sejam 6) :f A B→ um isomorfismo de anéis e a A∈ . Prove que:
a) a é idempotente em ( )A f a⇔ (a) é idempotente em B .
b) a é nilpotente em ( )A f a⇔ (a) é nilpotente em B .
Sejam 7) { : ; é função}A f f= → e 1; 02
I f A f = ∈ =
.
a) Mostre que I é ideal de A .
b) Use o Teorema do Isomorfismo para provar que AI .
Dica: Exemplo 5.3.18.
Seja 8) 12 4:f → , ( )f x x= .
a) Verifique que f está bem definida e é epimorfismo.
b) Calcule ( )N f .
c) Conclua que 124{0,4,8}
.
168
ResumoEstudamos homomorfismos de anéis. Vimos que o núcleo •de um homomorfismo :f A B→ é ideal de A , e que a ima-gem de f é subanel de B .
Provamos que um homomorfismo é monomorfismo se, e •somente se, tem núcleo trivial. Também destacamos que se
:f A B→ é epimorfismo e A tem unidade, então B tem unidade e os elementos inversíveis de A são levados em ele-mentos inversíveis de B .
Mostramos que isomorfismos entre anéis preservam as •principais estruturas algébricas. Para obter isomorfismos entre anéis demonstramos o Teorema do Isomorfismo.
Capítulo 6O Corpo dos Números Complexos
Capítulo 6O Corpo dos Números Complexos
O conjunto dos números complexos surgiu a partir do estudo de equações polinomiais. Grosseiramente fa-lando, um dos objetivos deste estudo é encontrar um conjunto que contenha todas as soluções de equações polinomiais com coeficientes neste conjunto. Como é necessário fazer contas nesse conjunto, ele deve ter al-guma estrutura algébrica, e sabemos que a melhor es-trutura algébrica é corpo.
Atualmente dizemos que é um corpo algebricamente fechado, para indicar que todo polinômio não constante com coeficiente em tem suas raízes em . Esse resul-tado é devido a Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), e conhecido como Teorema Fundamental de Álgebra.
Neste capítulo faremos um estudo algébrico do conjunto dos números complexos. Verificaremos que é um corpo e apresentaremos alguns subdomínios de que não estão contidos em . Também trataremos do cál-culo de potências e raízes de números complexos.
6.1 O corpo Com as operações usuais sabemos que ( , , )+ ⋅ é um corpo.
Então temos o anel produto direto 2 x = , cujas operações são efetuadas em cada coordenada, isto é,
• ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + +
• ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d= .
Desde que é anel comutativo com unidade, segue da Pro-posição 2.4.2 que 2 x = é anel comutativo com unidade. No entanto, 2
não é corpo. Na verdade 2 sequer é domínio, pois
(1,0), (0,1) são não nulos em 2 porém (1,0) (0,1) (0,0)= .
172
Portanto, o plano cartesiano 2 visto como anel produto dire-
to de com não é corpo. A partir das operações usuais de , vamos definir novas operações em 2
para obter um corpo. Para 2( , ), ( , )a b c d ∈ defina:
• ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d+ = + +
• ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d ad bc= − + .
Proposição 6.1.1. 2( , , )+ é corpo.
Demonstração. A operação + definida em 2 x = coincide com a adição do anel produto direto x , e então os axiomas de anel (i), (ii), (iii) e (iv) são verificados.
Axioma (v): ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )a b c d e f a b c d e f=
( , )a b ( , ) ( , )( )c d e f ( , )a b= ( , )c e d f c f d e− +
( ) ( ), ( ) ( )( )a c e d f b c f d e a c f d e b c e d f= − − + + + −
( , )a c e a d f bc f b d e a c f a d e bc e b d f= − − − + + −
( , )a c e b d e a d f bc f a c f b d f a d e bc e= − − − − + +
( ) ( ) , ( ) ( )( )a c b d e a d bc f a c b d f a d bc e= − − + − + +
( , )a c b d a d bc= − + ( , )e f
= ( , ) ( , ) ( , )( )a b c d e f .
Axioma (vi): ( , ) ( , ) ( , )( )a b c d e f+ =
e ( , ) ( , ) ( , )( )c d e f a b+ = ( , ) ( , ) ( , ) ( , )c d a b e f a b+ .
Faremos apenas a distributiva à esquerda. A outra é análoga.
( , ) ( , ) ( , )( )a b c d e f+( , ) ( , )a b c e d f= + +
( ) ( ), ( ) ( )( )a c e b d f a d f b c e= + − + + + +
( , )a c a e b d b f a d a f bc be= + − − + + +
( , )a c b d a e b f a d bc a f be= − + − + + +
( , ) ( , )a c b d a d bc a e b f a f be= − + + − +
( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a b e f= + .
( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d a b e f+
173
Axioma (vii): ( , ) ( , ) ( , ) ( , )a b c d c d a b=
( , ) ( , )a b c d ( , )a c b d a d bc= − +
( , )c a d b cb d a= − +
( , ) ( , )c d a b= .
Axioma (viii): 21∃
tal que 2 21 ( , ) ( , ) 1 ( , )a b a b a b= =
Tome 221 (1,0)= ∈
. Então
(1,0) ( , ) (1 0 , 1 0 ) ( , )a b a b b a a b= − + =.
Pelo Axioma (vii), comutatividade do produto, também temos
( , ) (1,0) ( , )a b a b=.
Logo (1,0) é a unidade de 2( , , )+ .
Axioma (x): Se 2( , )a b ∈ e ( , ) (0,0)a b ≠ existe 1 2( , )a b − ∈ tal que
1( , ) ( , )a b a b −
= (1,0) .
Como ( , ) (0,0)a b ≠ , então 0a ≠ ou 0b ≠ . Segue que 2 2 0a b+ ≠ , e como 2 2a b+ ∈ temos
2 2 12 2
1( )a ba b
−+ = ∈+
.
Tome 1 22 2 2 2( , ) ,a ba b
a b a b− − = ∈ + +
.
1( , ) ( , )a b a b − = 2 2 2 2( , ) ,a ba ba b a b
− + +
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2,a b ab b aa b a b a b a b
−= + + + + + +
( )1,0= (1,0) .
Na demonstração acima vimos que 2( , , )+ é um corpo onde:
O elemento neutro é • (0,0) .
O simétrico de • ( , )a b é ( , )a b− − .
174
A unidade é • (1,0) .
O inverso de • ( , ) (0,0)a b ≠ é 2 2 2 2,a ba b a b
− + +
.
Usaremos a notação ( , , )+ ⋅ para indicar o corpo 2( , , )+ , e chamaremos de corpo dos números complexos.
É claro que o corpo não está contido no corpo 2= . Ve-remos agora que, através de uma identificação via isomorfismo, podemos considerar como subcorpo de .
Lema 6.1.1. A aplicação :f → , ( ) ( ,0)f a a= , é monomorfismo de anéis e Im ( ) {0}f = × .
Demonstração. É imediato que Im ( ) {0}f = × e que f é injeto-ra. Resta provar que f é homomorfismo. Sejam ,a b∈ , então
• ( ) ( ,0) ( ,0) ( ,0) ( ) ( )f a b a b a b f a f b+ = + = + = + .
•
Segue do Lema 6.1.1 que Im ( ) {0}f = × e que {0}× é subanel de . Como a estrutura de corpo é invariante por iso-morfismo, podemos concluir que {0}× é corpo, isto é, {0}× é subcorpo de .
Olhando para o isomorfismo Im ( ) {0}f = × , e lembrando que as propriedades operacionais dos corpos são invariantes por isomorfismo, vemos que fazer operações no corpo ou no cor-po Im ( ) {0}f = × tem o mesmo efeito. Em função disso, vamos identificar com Im ( ) {0}f = × , escrevendo Im ( )f= . Deve ficar claro que esta última “igualdade” não é no sentido estrito da palavra, mas sim uma identificação via isomorfismo.
No contexto acima, isto é, quando escrevemos( ) { }Im x 0f= = Im ( ) {0}f = × , temos:
( ,0),a a a= ∀ ∈ .
175
Visto que {0}× é subcorpo de . É natural perguntarmos se {0}× também é subcorpo de . A resposta é não. De fato, {0}× sequer é subanel de , pois {0}× não é fechado com relação à multiplicação de . Basta ver que (0,1) {0}∈ × porém (0,1) (0,1) ( 1,0) {0}= − ∉ × .
No entanto, existe uma identificação útil de elementos de da forma (0, )b , com um produto de um número real por um ele-mento de . Note que
(0, ) ( ,0) (0,1)b b= .
Denotando (0,1)i = e lembrando que ( ,0)b b= , podemos escrever (0, )b bi= .
Definição 6.1.1. O elemento (0,1)i = é chamado de unidade imagi-nária.
Observação 6.1.1. Uma conta simples mostra que 2 1i = − . De fato,
2 . (0,1) (0,1) ( 1,0) 1i i i= = = − = −.
Dado ( , )z a b= ∈ , temos:
( , ) ( ,0) (0, )z a b a b a bi= = + = + .
Então:
{ ; , }a bi a b= + ∈
e ( , ) ( , )a bi c di a b c d a c+ = + ⇔ = ⇔ = e b d= .
Para z a bi= + ∈ , sabemos que ( ,0) {0} Im ( )a a f= ∈ × = = , e então chamamos a de parte real do número z a bi= + . Em ana-logia, chamamos b de parte imaginária do número z a bi= + .
Notação: Para z a bi= + ∈ , denotamos a parte real e a parte ima-ginária de z , respectivamente, por:
Re( )z a= e Im ( )z b= .
Definição 6.1.2. Um número complexo é real quando sua parte ima-ginária é zero. Um número complexo é imaginário puro quando sua parte real é zero.
176
Exemplo 6.1.1. 3 0z i= + é real e 0 7z i= + é imaginário puro.
Usando a notação { ; , }a bi a b= + ∈ as operações de são:
• ( ) ( ) ( ) ( )a bi c d i a c b d i+ + + = + + + ;
• ( ) ( ) ( ) ( )a bi c d i a c b d a d bc i+ + = − + + .
Além disso, no corpo { ; , }a bi a b= + ∈ temos:
O elemento neutro é • 0 .
O simétrico de • a bi+ é a bi− − .
A unidade é • 1.
O inverso de • 0a bi+ ≠ é 2 2 2 2
a b ia b a b
−+ +
.
Vejamos alguns exemplos de operações com números comple-xos escritos na forma a bi+ .
Exemplo 6.1.2. Calcular o inverso de 3 5z i= + .
Solução.
12 2 2 2
3 5 1 (3 5 )3 5 3 5 34
z i i− = − = −+ +
.
Exemplo 6.1.3. Se 11 2 i= − e 2 i= + , calcular:
+ , 2− , − , − ,
e
.
Solução.
• (11 2 ) (2 ) (11 2) ( 2 1) 13i i i i + = − + + = + + − + = − .
•
•
• 0− = − = .
•
2 (11 2 ) 2(2 ) (11 2 ) ( 4 2 ) (11 4) ( 2 2) 7 4 .i i i i i i − = − − + = − + − − = − + − − = −
( 1) (11 2 ) (2 1) (11 2 ) (1 ) (11 2) (11 2) 13 9 .i i i i i i − = − = − + − = − + = + + − = +
1 2 1 1(11 2 ) (11 2 ) (2 ) (22 2) ( 11 4)5 5 5 5
( )ii i i i
− = = − − = − − = − + − −
1 (20 15 ) 4 3 .5
i i= − = −
177
•
Exemplo 6.1.4. Determinar x ∈ para que (2 ) ( 2 )z x i x i= − + seja imaginário puro.
Solução.2(2 ) ( 2 ) (2 2 ) (4 )z x i x i x x x i= − + = + + − .
Para ser imaginário puro devemos ter 0 Re( ) 4z x= = . Logo, 0x = .
Veremos a seguir que, via isomorfismo, o corpo ( , , )+ ⋅ pode ser identificado com um corpo formado por matrizes reais 2 x 2 .
Proposição 6.1.2. A aplicação 2: ( )f M→
a ba bi
b a−
+
,
é monomorfismo de anéis e
Im ( ) ; ,a b
f a bb a
− = ∈
.
Demonstração. É claro que
Im ( ) ; ,a b
f a bb a
− = ∈
.
Para mostrar que f é injetora fazemos
( ) ( )a b c d
f a bi f c d ib a d c
− − + = + ⇒ =
a c⇒ = e b d=
a bi c d i⇒ + = + .
Agora vamos ver que f é homomorfismo.
•
11 1 1 1 4 3 1( ) (4 3 ) (4 3 ).
25 25 25i i i
−
− − − − = = = = − = + = +
178
•
Com a notação da Proposição 6.1.2 temos que
Im ( ) ; ,a b
f a bb a
− = ∈
é subanel de 2 ( )M , e então
: ; ,a b
f a bb a
a ba bi
b a
− → ∈
−
+
é isomorfismo. Mas é corpo, e corpo é estrutura algébrica inva-
riante por isomorfismo. Então ; ,a b
a bb a
− ∈
é um corpo.
Observação 6.1.2. Sabemos que o anel 2 ( )M não é comutativo
e tem divisores de zero, portanto não é corpo nem domínio. No
entanto, vimos acima que ; ,a b
A a bb a
− = ∈
é um corpo
contido em 2 ( )M . Em particular temos que o produto de matri-
zes de A é comutativo, que vale a lei do cancelamento em A e que toda matriz não nula de A é inversível.
O isomorfismo : ; ,a b
f a bb a
− → ∈
permite efetuar
operações em , fazendo operações com matrizes. Para ilustrar isso, sejam , ∈ e suponha que desejemos calcular . Podemos multiplicar as matrizes ( )x f = e ( )y f = obtendo x y e então
1 1 1( ) ( ) ( )f x y f x f y − − −= = .
179
Exemplo 6.1.5. Sejam 11 2 i= − e 2 i= + . Então:
11 2( )
2 11f x
= = −
e 2 1
( )1 2
f y−
= =
.
Como 13 1
1 13x y
+ = − ,
24 77 24
x y−
=
e 1
2 15 51 2
5 5
y−
= −
, temos:
1 1 1( ) ( ) ( ) 13f x f y f x y i − − −+ = + = + = − .
1 1 1( ) ( ) ( ) 24 7f x f y f x y i − − −= = = + .
1 1 1 1 1 2( ) ( )5 5
( ) if y f y− − − − −= = = − .
Lista de exercícios
Mostre que todo subdomínio de 1) contém .
Mostre que todo subcorpo de 2) contém .
Se 3) z e w são números complexos, mostre que:
a) Re( ) Re( ) Re( )z w z w± = ± ;
b) Im ( ) Im ( ) Im ( )z w z w± = ± .
Considere os números complexos 4) (2, 5)z = − e 2 2w i= + . Calcule o inverso dos seguintes elementos.
a) , , ,z z iz iz− − .
b) , , ,w w iw iw− − .
Para 5) 1 i= + e 3 2i= − , calcule:
a) , 3 2 , ,i i+ − − ;
b) 1 1 1 1, , , ,i i− − − −
.
Sabendo que 6) z ∗∈ e 1 0z zi− + = , escreva z na forma ( , )a b .
Sabendo que 7) z ∗∈ e 11 (3,2)z−− = , escreva z na forma a bi+ .
180
Determine 8) x ∈ tal que (4 7) (3 )z i x x i= + + − seja número real negativo.
Para que valores de 9) a ∈ o número 1a iz
a i+
=+
é real?
Calcule a inversa da matriz 10) 2
3 4( )
4 3M
− ∈
.
Calcular 11) 0 1 2 ... ni i i i+ + + + , para todo n∈ .
6.2 Conjugado e normaDefinição 6.2.1. O conjugado do número complexo z a bi= + é z a bi= − .
É claro que o conjugado de um número real é ele próprio, e que o conjugado de um número imaginário puro é seu simétrico. Isto é, para ,a b∈ temos:
.
z a z a
z bi z b i
= ⇒ =
= ⇒ = −
Note que se z é representado como par ordenado ( , )z a b= , então ( , )z a b= − . Isso significa que o conjugado de z é, geometricamen-
te, a reflexão de z em relação ao eixo horizontal, como na figura abaixo.
−b
a
b z = (a, b)
z = (a,−b)
Figura 6.2.1
Lema 6.2.1. A aplicação :f → , ( )f z z= , é um isomorfismo.
Demonstração.
Sejam a bi= + , c d i= + ∈ .
181
•
•
Segue que f é homomorfismo. Para ver que é sobrejetor, considere z a bi= + ∈ e tome w a bi= − ∈ . Então:
( )f w w a bi a bi z= = − = + = .
Finalmente, f é injetor, pois
( ) ( ) 0z a bi N f f z a bi= + ∈ ⇔ = − =
0a b⇔ = =
0z⇔ =
No Lema 6.2.1 vimos que :f → , ( )f z z= , é um isomor-fismo, que chamamos de isomorfismo conjugação. Em particular isso diz que + = + e = , para quaisquer , ∈ . De fato,
• ( ) ( ) ( )f f f + = + = + = + .
• ( ) ( ) ( )f f f = = = .
A próxima proposição reúne propriedades do isomorfismo norma.
Proposição 6.2.1. Sejam , ∈ .
(1) + = + .
182
(2) = .
(3) = .
(4) − = − .
(5) , 0 = ≠
.
(6) 2 Re( ) + = .
(7) 2 Im ( ) i − = .
Demonstração. Os itens (1) e (2) já foram provados e o item (3) é óbvio. Para os itens (4) e (5) usaremos as propriedades conhecidas de isomorfismo para ( )f z z= .
(4) ( ) ( ) ( )f f f − = − = − = − .
(5)
(6) e (7). Seja a bi= + , então
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Re( )a bi a bi a a b b i a + = + + − = + + − = = .
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Im ( )a bi a bi a a b b i b i i − = + − − = − + + = = .
Exemplo 6.2.1. Seja 5 2 i= + . Escreva 3i= − na forma a bi+ .
3 3 3 5 2 3 5 5i i i i i i= − = − = + = + + = + .
Exemplo 6.2.2. Escreva 2(2 )
3 4ii
+
=−
na forma a bi+ .
21 1(2 ) (2 ) (2 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) 1
3 4i i i i i ii
− −+= = − − − = − − =
−.
Exemplo 6.2.3. Seja ∈ . Mostre que ∈ .Chame a bi= + .
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a bi a bi a b ab ab i a b = + − = + + − + = + .
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f f f f f
− − − − −
= = = = = =
183
Exemplo 6.2.4. Determine ∈ tal que 4 10 5i i+ = − + .Seja a bi= + .
10 5 4 4 ( ) ( )i i i a bi a bi − + = + = + + −
( 4 4 ) ( )b a i a bi= − + + −
( 4 ) (4 )a b a b i= − + − .
Devemos ter 4 10
4 5a b
a b− = −
− =
e então 2a = e 3b = . Logo 2 3i= + .
Definição 6.2.2. A norma do número complexo z a bi= + é
2 2z a b= + . A norma de um número complexo também é chamada de módulo ou valor absoluto.
Se z a= ∈ , então 2z a a= = , portanto no caso de número complexo real, a norma coincide com o módulo do número real. Em particular, se z a= ∈ temos { }max ,z a a a= = − .
Note que se z é representado como par ordenado ( , )z a b= , então z é exatamente a distância de ( , )a b até a origem (0,0) .
( )
Figura 6.2.2
2 2 2 2( , ), (0,0) ( 0) ( 0)( )r d a b a b a b z= = − + − = + = .
De forma mais geral, se ( , )z a b= e ( , )w c d= são números com-plexos então z w− é a distância de ( , )a b até ( , )c d .
184
( )
( )
Figura 6.2.3
2 2( , ), ( , ) ( ) ( )( )r d a b c d a c b d z w= = − + − = − .
Exemplo 6.2.5. 27 ( 7) 7z z= − ⇒ = − =
22 2 2z i z= ⇒ = =
1 3 1 3 2z i z= + ⇒ = + = .
A cada número complexo z a bi= + associamos três números reais:
2 2 ,z a b= + Re( )z a= e Im ( )z b= .
Esses números estão relacionados pela equação 2 2 2Re( ) Im ( )( ) ( )z z z= + .
Também é fácil ver que
Re( ) Re( )z z z≥ ≥ e Im ( ) Im ( )z z z≥ ≥ .
De fato, se z a bi= + então:
• 2 2 2 Re( ) Re( )z a b a a z a z= + ≥ = = ≥ = .
• 2 2 2 Im ( ) Im ( )z a b b b z b z= + ≥ = = ≥ = .
Na próxima proposição listamos algumas propriedades da norma.
Proposição 6.2.2. Sejam , ∈ .
(1) 2= .
(2) = = − .
185
(3) 12 , 0− = ≠
.
(4) 11 , 0−− = ≠ .
(5) = .
(6) , 0= ≠
.
(7) + ≤ + (desigualdade triangular).
(8) − ≥ − .
Demonstração. Sejam a bi= + e c d i= + .
(1)
2 2( ) ( ) ( ) ( )a bi a bi a b ab b a i = + − = + + − +22 2 2 2 2( )a b a b = + = + = .
(2)
2 2 2 2( )a b a b = + − = + =
e2 2 2 2( ) ( )a bi a b a b − = − − = − + − = + = .
(3) 122 2
c d ic d
− −= =
+
.
(4) 12 2 2 2 2 2
c d i c d ic d c d c d
− − = = − + + +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )c d c d
c d c d c d+
= + =+ + +
2 2 2 2
1 1c d c d
= =+ +
11 | || |
−= = .
186
(5) Por (1) temos2 2 2= = = = .
Desde que , e são números reais positivos, extraindo raiz quadrada na igualdade
2 2 2 2( )= = , vem que = .
(6) .
(7)
Desde que + e + são números reais positivos, toman-do raiz quadrada na desigualdade
2 2( ) + ≤ + , vem que + ≤ + .
(8) = − + ≤ − + ⇒ − ≥ −
= − + ≤ − + = − +
Como − é um número real, temos que
max , ( ){ } − ≥ − − − = − .
Exemplo 6.2.6. Sabendo que 34= e 4 i= + , calcule e 1− .
( ). ⇒ − ≥ − = − −
187
2 34= =
e11 1 3434 ( 17) 2
17
−− −= = = = .
Lista de exercíciosDetermine o módulo de 1) z quando:
a) 101
1izi
+ = − .
b) 2 2(3 2 ) (3 2 )z i i= + + − .
c) 3
5
(3 2 )(3 2 )
izi
−=
+.
Sejam 2) 1 3i= − e 3 i= − . Calcule:
a) , , e .
b) e 1− .
Determine 3) ∈ tal que 3 5 2i i+ = − .
Resolva em 4) a equação 4 23 2 0x x+ + = .
Determine 5) z ∈ tal que 2 5 4z i= + .
Sabendo que 6) | | 7 = e 3 2i= + , calcule e 1− .
Seja 7) 2 2
izi
=− −
. Escreva z na forma a bi+ e calcule 1z− .
Sejam 8) , ∈ tais que ≠ . Mostre que:
a) 0+ ≠ .
b) ,zz z≤ ∀ ∈
+ −
.
188
6.3 Forma trigonométrica e potências
Além da representação do número complexo z na forma de par ordenado ( , )z a b= , e na forma algébrica z a bi= + , temos in-teresse numa nova representação que será útil no cálculo de po-tências e raízes.
Seja z a bi= + um número complexo não nulo. Sabemos que o segmento que liga (0,0) até ( , )a b tem comprimento z . Se θ é o ângulo entre este segmento e o eixo positivo O X , temos
( )
Figura 6.3.1
.
Assim podemos escrever (cos sen ) , 0 2z z i = θ + θ ≤ θ < .
Definição 6.3.1. Dizemos que o número complexo não nulo (cos sen )z z i= θ + θ , 0 ≤ θ < 2π , está na forma trigonométrica (ou
forma polar) e que θ é o argumento de z .
Costuma-se denotar o argumento de z por arg ( )z .
Olhando para a figura 6.3.1 acima, observe que o argumento de z a bi= + , 0a ≠ , pode ser obtido como
arg ( ) .b btg z arc tga a
θ = ⇒ θ = =
É claro que quando 0a = temos
189
arg ( ) , se 02
z b= >
e 3arg ( ) , se 02
z b= < .
Observação 6.3.1. Não falamos em representação trigonomé-trica para 0z = , pois esse número pode ser representado de
mais de uma maneira. Por exemplo, 0 0 cos sen ;2 2
i = +
0 0 (cos sen )i = + .
O Lema abaixo mostra que um número complexo não nulo tem representação única na forma trigonométrica.
Lema 6.3.1. Sejam ,r s números reais positivos e θ, x ângulos medidos em radianos. Se
(cos sen ) (cos sen )r i s x i xθ + θ = +
então r s= e x = θ + 2tπ,è 2 ,x t t= + ∈ .
Em particular, quando [0, 2 ) e [0,2 )x ∈ ∈ , temos θè x= .
Demonstração.
Assim a igualdade (cos ) (cos )r i s x i x + = +sen sen , pode ser es-crita como cos cosi x i x + = +sen sen . E então
cos cos xx
= =sen sen
Segue que 2 ,x k k= + ∈ .
Quando e x estão no intervalo [0, 2 ) , temos que x = .
190
Exemplo 6.3.1. Representar na forma trigonométrica os números complexos:
3 i− , 3i− , 7 e 11
ii
+−
.
3z i= −•
.
Logo θ 11è6
=
.
11 113 2 cos sen6 6
i i − = +
.
3z i= −•
2( 3) 3; cos 0, sen 1z = − = θ = θ = − .
Logo θ 3è2
=
.
3 33 3 cos sen2 2
i i − = +
.
7z =•
.
Logo θè 0= .
7 7 (cos 0 sen 0)i= + .
•1 (1 ) (1 ) (1 1) (1 1) 21 (1 ) (1 ) 2 2
i i i i iz ii i i
+ + + − + += = = = =
− − +.
.
Logo θè2
=
.
1 1 cos sen1 2 2
i i ii
+ = = + −
.
191
A proposição abaixo, devida a Abraham de Moivre (1667 – 1754), apresenta uma fórmula para calcular potências de números complexos escritos na forma trigonométrica.
Proposição 6.3.1. (Fórmula de Moivre).Se
(cos sen )z z i= θ + θ ∈ e n∈
então(cos sen )nnz z n i n= θ + θ .
Demonstração. Faremos a demonstração por indução sobre n . É claro que a fórmula vale para 0n = pois
00 1 1(cos 0 sen 0) (cos 0. sen 0. )z i z i= = + = θ + θ .
Admita, como hipótese de indução, que a fórmula vale para n k= , isto é,
(cos sen )kkz z k i k= θ + θ .
Para 1n k= + , usamos a hipótese de indução e obtemos:
Lembrando que
sen ( ) sen cos sen coscos ( ) cos cos sen sen , , .
u v u v v uu v u v u v u v
+ = + + = − ∀ ∈ ,
vem que11 cos ( 1) sen ( 1)( )kkz z k i k++ = + θ + + θ .
Logo a fórmula vale para 1k + , e pelo primeiro princípio de indu-ção
(cos sen ) ,nnz z n i n n= θ + θ ∀ ∈ .
Exemplo 6.3.2. Calcule 5(1 3 )i+ e 6(1 3 )i+ .
. Logo θè3
=
e então
2 cos sen3 3
z i = +
.
192
Pela Fórmula de Moivre,
5 5 55 5 1 32 cos sen 23 3 2 2
z i i = + = −
16 16 3 i= −
e6 6 6 66 62 cos sen 2 (cos 0 sen 0) 2
3 3z i i = + = + =
64= .
Exemplo 6.3.3. Calcule 10( 3 )i− .Vimos no Exemplo 6.3.1 que
11 113 2 cos sen6 6
z i i = − = +
.
Pela Fórmula de Moivre
10 10 11 11( 3 ) 2 cos 10 sen 106 6
i i − = + .
Como o argumento de z deve estar no intervalo [0, 2 ) , devemos
descontar os múltiplos de 2 do ângulo 11 5510
6 3
= .
Assim tomamos
55 9 23 3
− ⋅ = .
10 10 10 91 3( 3 ) 2 cos sen 2 2 (1 3 )3 3 2 2
i i i i − = + = + = + .
O exemplo abaixo ilustra que, em alguns casos, é conveniente calcular potências de números complexos sem usar a Fórmula de Moivre.
Exemplo 6.3.4. Calcule 6
4
(1 )(1 )
ii
+−
.
Já vimos que 11
i ii
+ = − . Então:
462 4 2
4
(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1(1 ) (1 ) 2(1 ) 1
i i i i i i i ii i
+ + = + = + = + + = − − .
Exemplo 6.3.5. Determine o menor valor de n ∗∈ , para que ( 2 2 )ni+ seja:
193
a) Um número real.
b) Um número imaginário puro.
.
Logo,θè
4=
e 2 cos sen4 4
z i = +
.
Portanto,2 cos sen
4 4n n n nz i = +
.
a) Para que nz seja real precisamos sen 04
n=
.
Isso ocorre quando 4
n k= .
Se tomarmos 0k = , vem que 04
n=
e daí 0n = , que não é
possível, pois n ∗∈ .
Segue que 1k = e então 4
n=
, isto é, 4n = .
Assim 4 42 (cos sen ) 16z i = + = − .
b) Para que nz seja imaginário puro devemos ter cos 04
n=
.
Isso ocorre quando 4 2
n k= +
.
Tomando 0k = vem que 4 2
n=
, isto é, 2n = .
Assim, 2 22 cos sen 42 2
z i i = + =
.
Lista de exercícios
Sejam 1) (cos sen )z r i= θ + θ e (cos sen )w s i = + números complexos não nulos escritos na forma trigonométrica.
a) Verifique que cos ( ) sen ( )( )z w r s i = θ + + θ + .
b) Conclua que arg ( ) arg ( ) arg ( ) (mod 2 )z w z w ≡ + .
c) Mostre que 1 1 1cos ( ) sen ( ) (cos sen )( )w i is s
− = − + − = − .
d) Mostre que 1 cos ( ) sen ( )( )rz w is
− = θ − + θ − .
e) Conclua que arg arg ( ) arg ( ) (mod 2 )z z ww
≡ −
.
194
Escreva na forma trigonométrica.2)
a) 1 3 i+ .
b) 1 ( 1 3 )2
i− + .
c) 17 i− .
d) ,bi b ∗+∈ .
e) ,bi b ∗−∈ .
Calcule as potências indicadas.3)
a) 12(1 3 )i+ .
b) 6(1 3 )i− .
c) 40(1 )i− .
Determine o menor valor de 4) n ∗∈ para que (1 )ni+ seja:
a) Um número real.
b) Um número imaginário puro.
Escrever 5) 1
1 3z
i=
+ na forma trigonométrica.
Determinar o módulo e o argumento de 6) z , sabendo que 2 1 0i z z i+ + − = .
Dado que 7) 2 3( ) 4 12z z z i+ − = − , escreva z na forma algé-brica.
Sejam 8) ,x y ∈ e z x i y= + . Se 1y x= + e 5z = , calcule as possibilidades para z .
Se 9) z ∗∈ tem módulo 2 e argumento 8
, calcule 2z .
Sejam 10) 1z i= + e 3w i= + . Escreva z w na forma trigono-métrica.
195
Dados os números complexos 11) 15 52 cos sen6 6
z i = +
,
23 33 cos sen4 4
z i = +
e 3 cos sen
12 12z i= +
, calcule o mó-
dulo e o argumento de 1 2 3z z z z= .
6.4 Raiz n-ésima complexaSejam n ∗∈ e a ∈ . Lembre que a raiz n-ésima real de a ,
indicada por n a , é definida da maneira seguinte:
Se • 0a ≥ , então n a é o único número real positivo b tal que nb a= .
Se • n é ímpar e a qualquer, então n a é o único número real b tal que nb a= .
Note que, quando n é par e 0a < não existe b∈ tal que nb a= , pois nb é não negativo. Assim a raiz n-ésima real não está
definida quando 0a < e n é par.
Observação 6.4.1. Devemos tomar cuidado para não confundir n a com o conjunto solução da equação nx a= em . Com efeito, n a indica um único número real (que é uma solução de nx a= ), no entanto nx a= tem outra solução em , quando n é par. Por exemplo, 4 2= mas as soluções de 2 4x = são 2 e 2− .
Trataremos agora de raiz n-ésima complexa de z ∈ . A pró-xima definição junto com a observação acima deixa claro que quando z ∈ e a raiz n-ésima real de z está definida, então os conceitos de raiz n-ésima real de z e raiz n-ésima complexa de z são distintos, para 1n > .
Definição 6.4.1. Sejam n ∗∈ e z ∈ . Chamamos de raiz n-ési-ma complexa de z os números complexos que são solução da equação
nx z= .
Exemplo 6.4.1. A raiz quadrada real de 4 é 2 , pois 2 0> e 22 4= .Os números complexos 2 e 2− são raízes quadradas complexas de 4, pois 2 22 4 ( 2)= = − .
196
Exemplo 6.4.2. A raiz quarta real de 16 é 2, pois 2 0> e 42 16= .Os números complexos 2 , 2, 2 , 2i i− − são raízes quartas com-plexas de 16, pois 4 4 4 42 ( 2) (2 ) ( 2 ) 16i i= − = = − = .
Exemplo 6.4.3. A raiz cúbica real de -8 é -2, pois 2− ∈ e 3( 2) 8− = − .
Os números complexos 2 , 1+ 3 i− e 1 3 i− são raízes cúbicas complexas de 8− , pois 3 3 3( 2) (1 3 ) (1 3 ) 8i i− = + = − = − .
Exemplo 6.4.4. Os números complexos 1 i+ e 1 i− − são raízes quadradas complexas de 2 i , pois 2 2(1 ) ( 1 ) 2i i i+ = − − = .
Veremos a seguir um procedimento para calcular as raízes n-ésimas complexas de z ∈ .
Proposição 6.4.1. (Segunda Fórmula de Moivre). Sejam n ∗∈ e (cos sen )z z i ∗= θ+ θ ∈ . Existem exatamente n raízes n-ésimas com-
plexas de z dadas por
.
Demonstração. Inicialmente note que k é raiz n-ésima comple-xa de z , pois
( 2 ) ( 2 )( ) cos sen( )n nnk
n k n kz in n θ + θ + = +
cos ( 2 ) sen ( 2 )( )z k i k = θ + + θ +
(cos sen )z i z= θ + θ = .
Agora vamos mostrar que toda raiz n-ésima complexa de z é da forma
{ }, 0,1,..., 1k k n∈ − .
Seja (cos sen )x i x = + raiz n-ésima complexa de z . Então n z= , isto é,
(cos sen ) (cos sen )n n x i n x z i + = θ + θ .
Pelo Lema 6.3.1 temos n z= e nx = θè 2 ,n x t t= + ∈ .
Segue que
197
.
Dividindo t por n escrevemos , 0t nq k k n= + ≤ < , isto é, { }0,1,..., 1k n∈ − .
Assim,
.
Como
e
,
concluímos que
.
Exemplo 6.4.5. Seja a ∈ , 0a > . Calcular as raízes quadradas complexas de a .Como 0a > , escrevemos (cos 0 sen 0)a a i= + , e então
00 0 0 0cos sen
2 2w a i a + + = + =
,
e
10 2 0 2cos sen
2 2w a i a + + = + = −
.
Em particular:
As raízes quadradas complexas de • 4 são 2 e 2− .
As raízes quadradas complexas de • 5 são 5 e 5− .
As raízes quadradas complexas de • 36 são 6 e 6− .
Observação 6.4.2. Note que a raiz quadrada real de 0a > é exata-mente a escolha da raiz quadrada complexa positiva. Denotamos isso por a . Assim, 4 2= e 36 6= .
198
Exemplo 6.4.6. Seja a ∈ , 0a < . Calcular as raízes quadradas complexas de a .Como 0a < , escrevemos (cos sen )a a i = + , e então
00 0cos sen
2 2w a i a i + + = + =
,
e
12 2cos sen ( )
2 2w a i a i a i + + = + = − = −
.
Em particular:
As raízes quadradas complexas de • 4− são 2 i e 2 i− .
As raízes quadradas complexas de • 5− são 5 i e 5 i− .
As raízes quadradas complexas de • 36− são 6 i e 6 i− .
Observação 6.4.3. Sabemos que a raiz quadrada real de 0a < não está definida. Usaremos o símbolo para indicar a escolha de uma das raízes quadradas complexas de 0a < . Deve ficar claro que se trata apenas de uma notação.
Notação: Se a ∈ e 0a < , escrevemos a a i= .
A notação acima diz que
4 4 2i i− = =
5 5 i− =
36 6 i− =
1 i− = .
Note que todas as raízes n-ésimas complexas { }, 0,1,..., 1k k n∈ − , do número complexo z têm o mesmo mó-
dulo. De fato,
,
e
199
Portanto as raízes n-ésimas complexas k podem ser repre-sentadas geometricamente sobre a circunferência com centro na origem e raio n z . Além disso, como os possíveis argumentos
para k são , a circunfe-
rência fica dividida em n partes congruentes.
Exemplo 6.4.7. Calcular as raízes cúbicas complexas de 8− e re-presentar graficamente.
8 8(cos sen )z i = − = +
e
2 .120k kn
=
0arg ( ) 603
= =
1arg ( ) 60 120 180 = + = =
25arg ( ) 60 240 3003
= + = =
30
1 38 cos sen 2 1 33 3 2 2
i i i = + = + = +
31 8 (cos sen ) 2i = + = −
32
5 5 1 38 cos sen 2 1 33 3 2 2
i i i = + = − = −
Figura 6.4.1
200
Exemplo 6.4.8. Calcular as raízes quartas complexas de 8 8 3z i= − + e representar graficamente.
Logo,
θ2è3
=
e 2 2cos sen3 3
z z i = +
,
e
2 .90k kn
=
0arg ( ) 306
= =
12arg ( ) 30 90 1203
= + = =
27arg ( ) 30 180 2106
= + = =
35arg ( ) 30 270 3003
= + = =
40 16 cos sen
6 6i = +
3 12 cos sen 2 36 6 2 2
i i i = + = + = +
,
1 =2 22 cos sen 3 3
i +
1 322 2
i
= − + =
1 3 i− + ,
27 72 cos sen 6 6
i = + =
3 122 2
i
− − =
3 i− − ,
e
3 5 52 cos sen 3 3
i = + =
1 322 2
i
− =
1 3 i− .
201
Figura 6.4.2
A definição abaixo é um caso particular da Definição 6.4.1.
Definição 6.4.2. Seja n ∗∈ . As soluções da equação 1nx = em são chamadas raízes n-ésimas complexas da unidade.
Desde que 1 1 (cos 0 sen 0)i= + , a Segunda Fórmula de Moivre assegura que as raízes n-ésimas complexas da unidade são:
2 2cos sen ,k kin n
+ 0,1,..., 1k n= − .
Escrevendo 2 2cos senw in n
= +
, e usando a Primeira Fórmu-
la de Moivre para calcular potências de w , temos que as raízes n-ésimas complexas da unidade são
2 11, , , ... , nw w w w −= .
Dizemos que kw é raiz n-ésima complexa primitiva da uni-dade quando ( , ) 1mdc n k = . A importância de uma raiz primitiva está no fato de podermos obter todas as demais a partir de potên-cias da primitiva. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo 6.4.9. Determinar as raízes sextas complexas da unida-de, identificar as primitivas e representar graficamente. Verificar que, fixada uma primitiva, as demais podem ser obtidas como potência dessa primitiva.As raízes são 2 51, , , ... ,w w w para
2 2cos sen6 6
w i= +
1 3cos 60 sen 602 2
w i i= + = +
2 1 3cos120 sen1202 2
w i i= + = − +
202
3 cos180 sen180 1w i= + = −
4 1 3cos 240 sen 2402 2
w i i= + = − −
5 1 3cos300 sen 3002 2
w i i= + = −
As primitivas são: w e 5w .
w2
w3
w4 w5
Figura 6.4.3
Para a raiz primitiva w obtemos as demais fazendo 0 1 2 5, , , ... ,w w w w .
Agora fixe a raiz primitiva 5w . É fácil ver que
6 2 6 2 6cos sen6 6
w i= + =
cos 2 sen 2 1i+ = .
Então:
5 0( ) 1w =
5 1 5( )w w=
5 2 10 6 4 4 4( ) 1w w w w w w= = = =
5 3 15 6 2 3 3 3( ) ( ) 1w w w w w w= = = =
5 4 20 6 3 2 2 2( ) ( ) 1w w w w w w= = = =
5 5 25 6 4( ) ( ) 1w w w w w w= = = = .
Portanto, todas as raízes sextas complexas da unidade podem ser obtidas como potência de cada raiz primitiva.
Quando conhecemos u ∈ tal que *nu z= ∈ , *n∈ , pode-mos usar a raiz n -enésima complexa da unidade
203
2 2cosw in n
= + sen ,
para determinar todas as raízes n-ésimas complexas. Veja o lema abaixo.
Lema 6.4.1. Sejam *n∈ , *z ∈ , u uma raiz n -enésima comple-
xa de z e2 2cosw in n
= + sen . Então as raízes n-ésimas complexas
de z são 2 1, , , , nu uw uw uw − .
Demonstração. Para cada {0,1, , 1}k n∈ − temos
( ) ( ) 1k n n n k kuw u w z z= = ⋅ = .
Assim 1, ,..., nu uw uw − são raízes n-ésimas complexas de z . Além disso essas raízes são distintas, pois se , {0,1, , 1}r s n∈ − , temos:
2 2 2 2cos sen cos sen .r s r s r r s suw uw w w i in n n n
= ⇒ = ⇒ + = +
Como 0 1rn
≤ < , temos 2 [0,2 ).r
n
∈
Da mesma forma, 2 [0,2 ).s
n
∈
Segue do Lema 6.3.1 que 2 2r s
n n
= , isto é, r s= .
Assim, r s≠ implica r suw uw≠ . Como existem exatamente n raízes n-ésimas complexas de z , concluímos que 1, , , nu uw uw −
são essas raízes.
Exemplo 6.4.10. Vamos retomar o Exemplo 6.4.8, isto é, determinar as raízes quartas complexas de 8 8 3z i= − + . Desta vez estamos admitindo que sabemos que 1 3u i= − + é uma dessas raízes.Como
2
3
2 2cos sen4 4
1 e,
w i i
ww i
= + =
= −
= −
as raízes quartas complexas de 8 8 3z i= − + são
21 3 , 3 , 1 3u i u w i u w i= − + = − − = − e 3 3u w i= + .
204
Vimos que as raízes n-ésimas complexas de z ∗∈ são as solu-ções em , da equação nx z= . Além disso, essas soluções podem ser representadas como n pontos no plano complexo. Em geral, dada uma equação em podemos representar sua solução como uma região do plano complexo. No entanto, encontrar solução para uma equação arbitrária em não é tarefa fácil.
Terminaremos esta seção apresentando exemplos de soluções de equações em e descrevendo a região do plano complexo correspondente ao conjunto solução.
Exemplo 6.4.11. Determinar a região do plano complexo que sa-tisfaz a equação
Re( ) 1z = − ;
( , ) ; 1 ( 1, ){ } { }S x y x y= ∈ = − = − ∈ .
−1
Figura 6.4.4
Exemplo 6.4.12. Determinar a região do plano complexo que sa-tisfaz a equação
Re( ) 3z ≤ ;
( , ) ; 3{ }S x y x= ∈ ≤ .
3
Figura 6.4.5
205
Exemplo 6.4.13. Determinar a região do plano complexo que sa-tisfaz a equação
1 Im ( ) 1z− ≤ < ;
( , ) ; 1 1{ }S x y y= ∈ − ≤ <.
1
−1
Figura 6.4.6
Exemplo 6.4.14. Determinar a região do plano complexo que sa-tisfaz a equação
2z i z i+ + − = .
Seja z x y i= + .
2z i z i+ + − =
( 1) ( 1) 2x y i x y i+ + + + − = (*)
( 1) 2 ( 1)x y i x y i+ + = − + − , (elevar ao quadrado e usar2 2 2a b= = + )
2 2 2 2( 1) 4 4 ( 1) ( 1)x y x y i x y+ + = − + − + + −
2 22 1 4 4 ( 1) 2 1y y x y i y y+ + = − + − + − +
4 4 1 ( 1)( )y x y i= − + −
1 ( 1)y x y i− = − + − , (eleva ao quadrado)
2 2 2( 1) ( 1) 0y x y x− = + − ⇒ = .
Substituindo em (*)
( 1) ( 1) 2y i y i+ + − = .
1 1 2y y+ + − = , equação modular real
1° Caso: 1;y ≥ 1 1 2 2 2 1y y y y+ + − = ⇒ = ⇒ = .2° Caso: 1;y ≤ − 1 1 2 2 2 1y y y y− − − + = ⇒ − = ⇒ = − .3° Caso: 1 1;y− < < 1 1 2 2 2y y+ − + = ⇒ = (vale para todo 1 1y− < < )
{(0, ) ; 1 1}S y y= ∈ − ≤ ≤ .
206
−1
1
Figura 6.4.7
Exemplo 6.4.15. Determinar a região do plano complexo que sa-tisfaz a equação
2 1z − < .
Seja z a bi= + . Procuramos os valores para ,a b∈ tais que
( 2) 1a bi− + < .
Pela definição de módulo devemos ter
2 2( 2) 1a b− + < ,
e assim,2 2( 2) 1a b− + < .
Sabemos que a equação da circunferência de centro (2,0) e raio 1 é
2 2( 2) ( 0) 1a b− + − = .
Portanto, a região procurada é a região interior dessa circunferência.
1 32
Figura 6.4.8
Lista de exercícios
a)1) Calcule a raiz quadrada real de 6 .
b) Calcule as raízes quadradas complexas de 6 .
c) Calcule a raiz cúbica real de 6− .
d) Calcule as raízes cúbicas complexas de 6− .
207
a)2) Descreva as raízes cúbicas complexas de a ∗+∈ .
b) Descreva as raízes cúbicas complexas da unidade.
Descreva as raízes cúbicas complexas de 3) a ∗−∈ .
Calcule as raízes cúbicas complexas de 4) 1 i− e represente graficamente.
Calcule as raízes sextas complexas de 8 e represente grafi-5) camente.
Calcule as raízes quintas complexas de 6) 8 8 3+ i e represen-te graficamente.
Calcule as raízes oitavas complexas de 7) 2 2 i+ e represen-te graficamente.
Calcule as raízes quadradas complexas de 8) i e represente graficamente.
Calcule 9) 3|2( 1 3 )i− + .
Determine as raízes quartas complexas de 10) 4− . Utilize essas raízes para fatorar 4 4z + em:
a) quatro fatores lineares com coeficientes complexos;
b) dois fatores quadráticos com coeficientes reais.
Verifique que a fórmula de Báskaras pode ser usada para 11) resolver a equação 2 0a z b z c+ + = , com , ,a b c ∈ , 0a ≠ .
Use o exercício 11 para resolver a equação 12) 2(1 ) (1 2 ) 2 0i z i z+ + + − = .
Descreva geometricamente cada uma das regiões indicadas 13) abaixo.
a) Re( ) 2z < .
b) Im ( ) 1z > .
208
c) 4 3z − > .
d) 1 1Re( )2
z− < .
e) 4z z− > .
6.5 Alguns subdomínios de Nesta seção, p é um número primo positivo, e usaremos a no-
tação p p i− = .
Vimos que:
p • é subdomínio de ;
p • é subcorpo de .
Agora definimos os conjuntos p − , p − e p − por
; , ; ,{ } { }p a b p a b a b p i a b − = + − ∈ = + ∈ ,
; , ; ,{ } { }p a b p a b a b p i a b − = + − ∈ = + ∈
e
; , ; ,{ } { }p a b p a b a b p i a b − = + − ∈ = + ∈ .
É claro que p − ⊆ p − ⊆ p − ⊆ . Vamos veri-
ficar que cada um desses conjuntos é um subanel de e determi-nar sua melhor estrutura algébrica.
Começamos mostrando que p − = , portanto é corpo.
Proposição 6.5.1. Se p é um número primo positivo, então p − = .
Demonstração. Devemos mostrar que p ⊆ − . Dado a bi+ ∈ , escrevemos
a bi+ = b ba p i a p pp p
+ = + − ∈ − .
209
Para fazer contas em p − e p − , usamos o resultado a seguir.
Lema 6.5.1. Sejam a b p+ − , c d p+ − ∈ , com , , ,a b c d ∈ . Então
a b p+ − = c d p a c+ − ⇔ = e b d= .
Demonstração. ( )⇐ É óbvio.
( )
ee
a b p c d p a b p i c d p i
a c b p d pa c b d
⇒ + − = + − ⇒ + = +
⇒ = =
⇒ = =
Proposição 6.5.2.
(a) p − é subdomínio de , mas não é subcorpo.
(b) p − é subcorpo de .
Demonstração.
(a) Sejam a b p+ − , c d p p + − ∈ − . Assim, ( )a c− ,
( )b d− , ( )a c pb d− , ( )a d bc+ ∈ e então
• ( ) ( ) ( ) ( )a b p c d p a c b d p p + − − + − = − + − − ∈ − .
• ( ) ( ) ( ) ( )a b p c d p a c b d p p a d bc p+ − + − = + − − + + −
( ) ( )a c b d p i p i a d bc p= + + + −
( ) ( )a c pb d a d bc p p = − + + − ∈ −
Segue que p − é subanel de e tem unidade, pois 1 1 0 p= + − .
Logo p − é subdomínio de .
No entanto não é subcorpo, pois 0 2 p ≠ ∈ − , mas
1 122
p− = ∉ − .
.
210
De fato, se 12
p ∈ − , então 12
a b p= + − , ,a b∈ .
Pelo Lema anterior temos que 12
a= ∈ . Que não é possível.
(b) De forma análoga ao item (a) verifica-se que p − é um
subanel comutativo e unitário de . Para concluir que é subcorpo,
devemos mostrar que se 0 a b p p ≠ + − ∈ − , então
1( )a b p p− + − ∈ − .
Sabemos que a b p+ − tem inverso em e
1( )a b p −+ − = 1( )a b pi −+ = 2 2 2 2
b piaa pb a p b
−+ +
= 2 2 2 2
b paa pb a p b
−−
+ +
= 2 2 2 2
a b pa pb a pb
− −+ +
.
Como
2 2
aa pb+
, 2 2
ba pb
−∈
+ ,
concluímos que
1( )a b p −+ −( )1
2 2 2 2
a ba b p pa pb a pb
− + − = − ∈ − + +
( )1
2 2 2 2
a ba b p pa pb a pb
− + − = − ∈ − + +
.
Observe que a proposição acima fornece uma família infinita
de subcorpos de . A saber, p − para cada número primo
positivo p . Desde que p i p p = − ∈ − e p i ∉ , os cor-
pos p − não são subcorpos de .
Um raciocínio idêntico ao anterior permite concluir que os
anéis do tipo p − , p um número primo positivo, formam
uma família infinita de subdomínios de que não são subdomí-nios de . Observe ainda que valem as inclusões
211
p p ⊆ − ⊆ − ⊆ ,
indicando que o anel da esquerda é subanel do anel da direita.
Proposição 6.5.3. Sejam p e q números primos positivos tais que p q≠ .
Então não existe relação de inclusão entre p − e q − e entre
p − e q − .
Demonstração. Vamos mostrar que p q − ⊄ − . As ou-tras três verificações são análogas.
Desde que p p − ∈ − , basta provar que p q − ∉ − .
Suponha que p q − ∈ − . Então existem ,a b∈ tais que
p a b q− = + − .
Elevando ao quadrado, temos
2 22p a ab q qb− = + − − ,
e daí,
2 2( ) 2 0 0 0a qb p ab q p− + + − = = + .
Segue do Lema 6.5.1 que
2 2 02 0a p qb
ab + − =
=
1° Caso: 0a = e 2 2 0a p qb+ − = .Nesta situação temos 2p qb= . Porém, isso implica em |q p . Ab-surdo, pois p e q são números primos positivos e distintos.
2° Caso: 0b = e 2 2 0a p qb+ − = .Agora temos 2a p= − , que também é absurdo, pois 2 0a ≥ e
0p− < .Portanto a suposição p q − ∈ − leva a absurdo, e concluímos
que p q − ∉ − . Consequentemente, p q − − .
212
Existe outro subanel de que merece destaque. Considere o conjunto
[ ] { ; , }i a b i a b= + ∈ ⊆ .
Proposição 6.5.4. O conjunto [ ]i é subdomínio de , mas não é subcorpo.
Demonstração. Sejam a bi+ , [ ]c d i i+ ∈ . Então ( )a c− , ( )b d− , ( )a c b d− , ( )a d bc+ ∈ , e daí
• ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]a bi c d i a c b d i i+ − + = − + − ∈ .
• ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]a bi c d i a c b d a d b c i i+ + = − + + ∈ .
Segue que [ ]i é subanel de e tem unidade, pois 1 1 0 i= + .
Logo [ ]i é subdomínio de .
No entanto [ ]i não é subcorpo, pois 0 2 [ ]i≠ ∈ mas
1 12 [ ]2
i− = ∉ .
De fato, se 1 [ ]2
i∈ , então 12
a bi= + , ,a b∈ .
A igualdade 1 02
i a b i+ = + diz que 12
a= ∈ , que não é possí-vel.
Portanto [ ]11 22
i−= ∉ .
Definição 6.5.1. O domínio [ ]i é chamado de Anel de Inteiros de
Gauss.
Informações. O anel de inteiros de Gauss é bastante usado em Teoria de Números. Particularmente no estudo dos números in-teiros que são soma de dois quadrados. Um primeiro resultado desse estudo é devido a Fermat (1606 – 1665), que descreveu quan-do um número primo p é soma de dois quadrados. A saber:
p é soma de dois quadrados ⇔ 2p = ou 1(mod 4)p p≡ ⇔ não é irredutível em [ ]i .
Esse resultado foi generalizado pelo próprio Fermat da maneira seguinte.
213
“Um número natural n é soma de dois quadrados se, e somente se, os primos p que dividem n e são da forma p ≡ 3 (mod 4) têm expoente par”.
Assim, sabemos que 35 7.5= não é soma de dois quadrados, pois 7 3(mod 4)≡ , mas 7 tem expoente ímpar na decomposição de 35 . Por outro lado, 2245 7 .5= é soma de dois quadrados, pois o único primo da decomposição de 245 que é côngruo a 3 módulo 4 é o primo 7 , que tem expoente par. É claro que 2 2245 7 14= + .
Lista de exercíciosCalcule o conjunto dos elementos inversíveis do anel de in-1) teiros de Gauss, isto é, [ ]( )i .
Sejam 2) p um número primo positivo e :N p − →
Para , p ∈ − mostre que:
a) Se a b p= + − , então ( ) ( ) ( )N a b p a b p = + − − − .
b) ( ) 0 0N = ⇔ = .
c) ( ) ( ) ( )N N N = .
d) ( ) 1( )p N ∈ − ⇔ = .
Calcule:3)
a) 17( ) − ;
b) ( )p − , p é número primo positivo.
Determine as possibilidades para 4) e sabendo que , 5 ∈ − e 3= .
Mostre que 5) 2 5+ − e 2 5− − − são divisores de 9 em 5 − .
214
Seja 6) 2: 2 ( )f M − →
22
a ba b
b a−
+ −
.
a) Mostre que f é monomorfismo;
b) Verifique que f não pode ser isomorfismo.
ResumoConstruímos formalmente o corpo • dos números comple-xos e, através da identificação ( ,0)a a= , vimos que é sub-corpo de .
Apresentamos as formas algébrica e trigonométrica de um •número complexo.
Provamos as principais propriedades de números comple-•xos que envolvem norma e conjugado.
Vimos que a Primeira Fórmula de Moivre é útil para calcu-•lar potência de números complexos.
Definimos raiz • n -ésima complexa de um número comple-xo e provamos que existem exatamente n raízes n -ésimas complexas de z ∈ , que são obtidas pela Segunda Fórmula de Moivre.
Destacamos as raízes • n -ésimas da unidade como ferramen-ta para calcular as raízes n -ésimas complexas de z ∈ .
Provamos que para cada número primo positivo • p , o con-junto [ ]p−
é subcorpo de , e o conjunto [ ]p− é sub-domínio de .
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Referências
[1] DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra moderna. 4. ed. São Paulo: Atual, 2003.
É um livro escrito para alunos de um curso de licenciatura em matemá-tica. Pode ser tomado como a principal referência para o Curso de Álge-bra I. Possui muitas listas de exercícios e também exemplos resolvidos.
[2] GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.
Um livro complementar, que traz aplicações de estruturas algébricas.
[3] GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: SBM, 2001.
Apresenta estruturas algébricas com todo formalismo, sem tornar o assunto muito carregado. Pode ser tomado como referência. Tem boas listas de exercícios.
[4] HEFEZ, A. Curso de álgebra. Rio de Janeiro: SBM, 2003. v. 1. (Coleção Matemática Universitária)
Livro complementar.
[5] MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: LTC, 1978.
Livro com conteúdo abrangente. Com aplicações e exercícios. Pode ser utilizado para pesquisa complementar.