ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA

Vera Lúcia Lúcio Petronzelli1

vpetronzelli@positivo.com.br Aprende Brasil – Editora Positivo

Todo processo educativo tem como meta alterar comportamentos humanos para que, de forma mais disciplinada, o homem consiga avanços consecutivos ou produtos mais eficientes na resolução de suas necessidades ou problemas.2(NAGEL, s.d.)

ALFABETIZAÇÃO e EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

QUAL É A NOSSA CONCEPÇÃO?

Dentro desse mesmo espírito de ruptura em relação a um processo

educativo que retira da escola o seu principal papel, o de transmissão e assimilação do conhecimento historicamente acumulado, é que propomos neste trabalho algumas reflexões e encaminhamentos teórico-metodológicos para o ensino da Matemática -Alfabetização Matemática - e, que aqui, passaremos a denominá-lo de Educação Matemática.

As reflexões apresentadas nos materiais disponíveis nessa área, de uma maneira geral, convergem para uma compreensão linear do conhecimento científico, ou seja, pautam-se por uma concepção na qual a ciência é vista como imutável e natural. Nessa perspectiva, o conhecimento científico representa um todo harmonioso, cujos avanços se desenvolveram e ainda se desenvolvem em uma ordem pré-determinada, sem contradições. A questão decisiva deixa de ser, portanto, a verificação de que dado conhecimento é mais verdadeiro do que outro – tomando-se como critério sua emergência enquanto fruto do movimento real da sociedade – e passa a ser a constatação de que dado conhecimento é mais desenvolvido ou mais evoluído do que outro, anterior ou coetâneo.

Em contraposição à visão idealista, a partir da matriz teórica referida por Marx na Ideologia Alemã como ciência da história tomada como pressuposto desta reflexão, constatamos que a produção da ciência não é resultado exclusivo do campo das leis da natureza, mas, também, do campo das leis sociais. A ciência nesta perspectiva é concebida como

1 Licenciada e Especialista em Matemática e Mestre em Educação com Área de Concentração em Educação Matemática. 2 NAGEL, L. H. Transformações históricas e processos educativos. (Texto digitado),

s.d., p.1.

2

algo absolutamente integrado ao movimento de produção da vida dos homens, que, por sua vez, gera novas necessidades, desenvolvendo-se esse processo numa dada sociedade.

Verificamos, assim, que a concepção linear da ciência pode ser identificada e/ou encontrada na literatura pedagógica quando esta não fundamenta o desenvolvimento científico no princípio de sua produção como prática humana no interior das relações sociais.

Dado que a visão idealista deixa de oferecer ao educador e ao educando uma série de elementos indispensáveis à compreensão do processo científico – limitando-os em seu próprio método de conhecimento – verificamos a necessidade de analisar os conteúdos escolares que vêm sendo trabalhados pelos Educadores Matemáticos na sua prática educativa.

Convém salientar, também, que percebemos uma forte tendência educacional apregoando a relação sujeito versus objeto na perspectiva de que o sujeito constrói o seu próprio conhecimento. Essa tendência não leva em consideração que o objeto do conhecimento não existe fora das relações humanas, sendo assim imprescindível à relação entre os sujeitos sociais para sua produção e apropriação, ou ainda, abstrai de sua análise que o educando é também sujeito do conhecimento, como todos os demais homens de dada sociedade.

Deparamo-nos, também, com uma grande parcela de materiais e encaminhamentos metodológicos, destinados ao Ensino de Matemática, pautados em princípios que estabelecem o rompimento entre o lógico e o histórico, entre a realidade e o pensamento, entre a prática social e a teoria que a expressa.

Verificamos também que ao excluir da produção da Matemática as relações humanas, as relações sociais que estão subjacentes, admitimos um desenvolvimento natural, ou seja, a-histórico dessa ciência.

O que dessa afirmação podemos pensar, em primeira instância na Educação Matemática é que os conteúdos escolares não são transmitidos como sendo o conteúdo social produzido pelas diversas sociedades para solucionar os problemas da sobrevivência humana. Esta perspectiva pressupõe, o empobrecimento qualitativo da produção científica, pois o seu conteúdo torna-se ineficaz para revelar as determinações que as diferentes sociedades exerceram e exercem na produção científica, as grandes demandas do ser humano na luta pelo entendimento do Homem, do Universo.

Se levarmos em conta esse empobrecimento do conteúdo científico, conteúdos escolares, podemos compreender que o trabalho realizado no Ensino de Matemática tem privilegiado, a técnica em detrimento da compreensão; o decorar no lugar do memorizar; o rigor matemático em prejuízo das linguagens matemáticas; as definições estanques no lugar da conceituação; a exacerbação do cálculo escrito em dano ao cálculo mental,

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aproximado e exato (calculadora); a técnica de resolver problemas em detrimento da Resolução de Problemas; a seqüência de fatos, datas, produções científicas como sinônimo de História da Matemática em prejuízo a História da Humanidade; História da Ciência.

Nessa linha de interpretação, partimos do pressuposto de que a Educação Matemática possui uma lacuna nos seus pressupostos teórico-metodológicos, relativamente à Concepção Histórica de Ciência, o que resulta na dificuldade de se encontrar textos didáticos que privilegiem o desenvolvimento da Ciência enraizada no fundamento de sua produção, ou seja, a partir da prática humana como relação social.

Queremos dizer, em síntese que a produção didática em Educação Matemática não está sendo capaz de contrapor o conhecimento matemático estanque, compartimentalizado, imutável, quantificável, com base na lógica formal, com o conhecimento produzido pelos homens, com várias linguagens inter-relacionadas, mutável, aproximado, com base na lógica formal e nas lógicas não formais.

Verificamos, também, que a produção científica na área e sua transmissão em âmbito educacional, embora se realize em um contexto de enorme desenvolvimento técnico-científico, vivenciado especialmente após a metade do século XX, poucos educadores e educandos conseguem analisá-la sob o princípio da construção histórica do conhecimento. Como conseqüência, temos o predomínio de leituras lineares: lemos o passado sob os parâmetros do presente, percebendo, assim, as sociedades passadas como menos desenvolvidas e limitadas no que diz respeito a sua produção científica. A Ciência sob esta visão passa a ter um caráter evolutivo, não contínuo e linear.

Esses aspectos são importantes, na prática educativa, no intuito de superarmos alguns equívocos que se cristalizaram na Educação Matemática, tais como: a dificuldade do aluno na aprendizagem do conhecimento simbólico - alfabetização matemática -; o rótulo de que a Matemática é uma Ciência Dura, como sinônimo de ciência estanque e imutável; a exacerbação de que a Matemática se preocupa apenas com os números e não com os problemas humanos; dentre outros.

Pretendemos com essa reflexão motivar os Educadores Matemáticos a procurarem construir uma nova visão sobre a ciência, sobre a Matemática, sobre a alfabetização matemática, sobre a educação e, especialmente, sobre o entendimento da vida na sociedade atual.

A partir disso, definimos o que é conhecer: é substituir essa mistura de confusão e dissociação, que é a representação puramente concreta das coisas, pelo mundo das relações.3

3 MARX, K. e ENGELS, F. A ideologia alemã (Feuerbach). São Paulo: Hucitec, 1999. 11

ed.

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Um marco decisivo nesse processo é a tomada de consciência, por parte de nós educadores, que a solução dos grandes problemas da Educação Matemática – Alfabetização Matemática -, no ensino e aprendizagem, só será elaborada quando definitivamente compreendermos a nossa existência histórica, enquanto, instituição e humanidade.

ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: ATO DE LER E ESCREVER AS LINGUAGENS MATEMÁTICAS?

Estabelecendo um elo de passagem entre a Concepção de Educação Matemática, a Resolução de Problemas e a Alfabetização Matemática, conceituamos que o terceiro elemento é a aprendizagem da leitura e da escrita na linguagem matemática. Já o segundo elemento é uma Tendência em Educação Matemática e que o primeiro salienta o nosso pressuposto teórico; elemento norteador da reflexão.

Neste sentido, focalizamos a Alfabetização Matemática na perspectiva da Resolução de Problemas e das Linguagens Matemáticas, ou seja, os alunos precisam aprender a resolver problemas em matemática e aprender matemática resolvendo problemas.Nesta reflexão nos deteremos a aprofundar a Resolução de Problemas.

A finalidade da resolução de problemas, em primeira instância, é a de incorporar no educando que o conhecimento científico, na escola expresso através dos conteúdos escolares, é a sistematização da produção material da vida de todos os homens e mulheres. A seguir, é a de desmistificar que os estudantes têm uma única alternativa de resolução e que os resultados obtidos na resolução de problemas não consistem em fracasso, mas em diferentes alternativas que os educandos encontram para solucionar os problemas com que se deparam. Metodologicamente, propomos alguns questionamentos, na Resolução de Problemas, que nos ajudam a superar o nosso modo de conceber o ensino-aprendizagem em Matemática:

Quais são os conceitos necessários à resolução de um problema? Quais os conteúdos que podemos explorar? Quais as resoluções possíveis? O que significa resolver um problema em Matemática? Qual é a relação entre a Resolução de Problemas e a Alfabetização Matemática? A Resolução de Problemas é um conteúdo escolar ou uma metodologia de ensino? Essas perguntas se aplicam sobremaneira as propostas

pedagógicas que contêm em seus pressupostos, a necessidade de superarmos o desenvolvimento linear da Matemática.

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Não podemos deixar de conceituar a Resolução de Problemas. Digamos aqui que os Problemas tratam de situações que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da solução4.

Cabe salientar que a noção de Problema comporta a idéia de novidade, de algo nunca feito, de algo ainda não compreendido, ou ainda, toda situação que permite algum questionamento ou investigação. Didaticamente, rompemos com os chamados problemas tradicionais que se caracterizam da seguinte forma: aparecem sempre após a apresentação de determinado conteúdo; o problema é resolvido retirando-se os dados do mesmo e estes aparecem explicitamente no enunciado; é resolvido aplicando-se um ou mais algoritmos; a solução não prevê o levantamento de hipóteses; a solução é literalmente traduzida em: “ler o problema, resolver as operações e dar a resposta”; o elemento central é a resposta numericamente correta, a qual sempre existe e é única. Evidentemente que, ao romper com os chamados problemas convencionais, o ensino na perspectiva da Resolução de Problemas ganha um outro enfoque na sala de aula. Além de caracterizarmos um problema em várias dimensões, tais como: problema do cotidiano; problema de cunho social; problema lúdico; desafio matemático; problema intrínseco a própria Matemática; problema clássico, etc, também encaminhamos a sua resolução de diferentes maneiras. Podemos falar, enfim, dos diferentes tipos de problemas matemáticos. A classificação dos Problemas Matemáticos está diretamente associada aos Problemas Fechados e Problemas Abertos. Os Problemas Fechados se classificam em exercícios de reconhecimento, exercícios algorítmicos e problemas de aplicação. Já os Problemas Abertos se classificam em problemas de pesquisa aberta e situações-problemas. Vale notar que uma grande parcela de todos os exercícios e problemas do livro didático da Educação Infantil ao Ensino Superior, passando pelo Ensino Fundamental e Médio, recaem dentro dos três tipos de Problemas Fechados. Essa afirmação pode ser constatada ao definirmos o que é um exercício algorítmico, exercício de reconhecimento e problema de aplicação. Assim, como ponto de partida, podemos dizer que os exercícios algorítmicos são todos os exercícios que podem ser resolvidos passo-a-passo, tecnicamente; algoritmo numérico. Os exercícios de reconhecimento são todos problemas que exigem do educando o reconhecer ou recordar um conceito, uma definição, um teorema, uma linguagem matemática, um cálculo. Finalmente, os problemas de aplicação

4 SMOLE, K. S., DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre:

ARTMED, 2001. p.89

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10 m

são aqueles que envolvem algoritmos aplicativos, ou seja, o problema é apresentado simbolicamente, e depois o educando deverá manipular os símbolos mediante algoritmos diversos. Recuperando, nesse sentido, também os dois tipos de Problemas Abertos temos que os problemas de pesquisa aberta são aqueles cujo enunciado não há uma estratégia para resolvê-los. Esses problemas têm por característica a relação direta com os conceitos matemáticos elementares e/ou mais elaborados. É interessante, nesse sentido, observar que as situações-problemas têm sido, através do livro-didático e de diversos encaminhamentos-metodológicos, insistentemente colocadas como “novidade”, ou ainda, sugerindo que ao trabalhar com as mesmas estaríamos explicitando uma nova visão para o ensino de Matemática. É oportuno salientar que o “novo” não invalida o “antigo”.

Trata-se aqui de evidenciar que é de suma importância, da Educação Infantil ao Ensino Médio, que o ensino e aprendizagem de Matemática seja permeado pelos(as): problemas fechados e abertos; conceitos; linguagens; cálculos; História da Matemática; jogos e desafios.

A seguir exemplificamos através de seis atividades a relação entre os elementos indicados acima.

ATIVIDADES

Atividade 1: José está colocando cerca em um pequeno espaço de terra. Ele fez a cerca com 10 metros de largura por 30 metros de comprimento. A altura da cerca é de 2 metros.

a) Qual é o perímetro da cerca feita por José? b) Qual é a área deste cercado? c) Se José estocar capim seco dentro deste cercado, qual é o volume de capim seco que ele poderá colocar até a altura da cerca? d) Se José comprou 250 metros de madeira para fazer a cerca e pagou três reais o metro. Quanto José pagou pelos 250 metros de madeira? e) Se José construir mais seis cercados iguais a esse e colocar as suas 252 ovelhas distribuídas igualmente nos cercados, quantas ovelhas José deverá colocar em cada cercado? Atividade 2: Resolva o “Jogo dos Números Cruzados”. 1. Preencha as quadrículas da figura, a partir das seguintes informações: Linha vertical “a”: Qual é o sucessor de 833?

30 m

2 m

cercado

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Linha vertical “b”: Qual é o antecessor de 160? Linha vertical “c”: É um número par. Linha horizontal “d”: É o dobro de 408. Linha horizontal vertical “e”: É um número que termina em sete. Linha horizontal vertical “f”: É um número par terminado em dois. 2. Este jogo possui uma propriedade interessante. Vamos descobri-la! Adicione os algarismos de cada número encontrado nas linhas horizontais e verticais. Agora responda: a) Qual é o valor destas somas? b) Elas são sempre iguais? c) Quais os algarismos que você usou para o preenchimento da figura? d) Escreva um pequeno texto explicando qual é a propriedade interessante que esta figura possui. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Escreva por extenso o número encontrado na “linha vertical c”. 4. Divida o número encontrado na “linha vertical a” por seis. 5. O número encontrado na “linha horizontal d” é um número.......................................... (Complete com: par ou ímpar) 6. Some o número encontrado na “linha vertical b” com o número da “linha horizontal e”. Qual é o resultado desta adição? Atividade 3: Mostre todas as maneiras pelas quais a mesada de Maria, de 10 reais, pode ser paga com notas de um real e cinco reais. E quantas maneiras de dois reais e de dez reais?Preencha as tabelas abaixo.

Relação das maneiras possíveis

de se pagar Maria

Quantas notas de um real?

Quantas notas de cinco reais?

Quantas notas de dois reais?

Quantas notas de dez reais?

a b c

f

e

d

e

f

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Atividade 4:

Números e Medidas

“O Sistema Métrico Decimal não abrange todas as medições do mundo. Algumas ainda são

feitas pelos sistemas antigos, como, por exemplo, a medição do tempo. _ Medir o tempo eu sei – disse a menina. – São os dias, os anos, as horas. _ Perfeitamente. Temos o SÉCULO, com 100 anos. (...) Temos o ANO, com 12 meses. Temos o MÊS, com 30 ou 31 dias. _ Fevereiro tem 28 ou 29 – lembrou Pedrinho. _ Temos o DIA, com 24 horas. Temos a HORA, com 60 minutos. Temos o MINUTO, com 60 segundos.

Depois temos as medidas de valor do dinheiro, que são as moedas, e que variam em cada país“.

(LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. São Paulo: Círculo do Livro, 1992. pp. 287-8)

O texto de Monteiro Lobato nos indica várias unidades de tempo, tais como, o dia, a hora, o século e o mês. Então, responda: a) Um bimestre possui quantos meses? b) Um milênio possui quantos anos? c) Meia hora corresponde a quantos minutos?

Vamos continuar a pensar!

Em muitos países as moedas seguem o sistema decimal, como no Brasil, em que a unidade é o REAL. Um Real divide-se em 100 centavos. Responda:

a) Qual é o símbolo, no Brasil, da unidade monetária REAL? b) Emília possui um real e vinte e cinco centavos e Pedrinho possui um real e cinqüenta

centavos. Somando-se estes valores monetários e transformando-os em moedas de vinte e cinco centavos, quantas moedas possuem os dois juntos?

c) Emília e Pedrinho foram comprar balas. Emília recebeu um real e trinta centavos de troco e Pedrinho recebeu setenta e cinco centavos de troco. Escreva estas quantidades fazendo uso da simbologia do Sistema Monetário Brasileiro.

Atividade 5:

Os Artistas da Aritmética no Circo

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“ _ Atenção! Os artistas do País da Matemática vão entrar no picadeiro. Um, dois e ...três! _ São os ALGARISMOS! _ berrou a Emília, batendo palmas e já de pé, ao ver na frente o

1, e atrás dele o 2, o 3, o 4, o 5, o 6, o 7, o 8, o 9. Bravo! Bravo! Em seguida entrou o último algarismo inventado, o ilustre zero!”

(MONTEIRO, Lobato. Aritmética da Emília. São Paulo:

Círculo do Livro, 1992. p. 167 – Texto adaptado e ampliado)

Vamos pensar um pouco sobre os números! Com os algarismos podemos formar quantidades pequenas e grandes. Ao juntarmos um, dois ou mais algarismos formamos números. Agora é com você!

A Emília preparou um jogo para brincar com o Visconde e com a Dona Benta. Este jogo é composto de cartelas que possuem algumas somas. Observe as cartelas abaixo!

6 + 8

15 + 15

19 + 12

10 + 12

Coringa

11 + 11

20 + 10

12 + 19

12 + 2

Vamos ajudar a Emília a preparar as cartelas para o jogo!? a) Efetue a soma da cartela que está abaixo do coringa. Que resultado você encontrou? b) As cartelas que estão a direita e a esquerda do coringa representam uma igualdade? Justifique a sua resposta! c) Pinte as cartelas que representam a quantidade trinta. d) Vamos descobrir o coringa! O coringa é uma soma cujas parcelas estão representadas pelos resultados das somas da primeira e da última cartela. Escreva na cartela a soma que indica a cartela do coringa. e) Coloque em ordem crescente os resultados das cartelas da última linha.

_______, _______, _______

___ + ___

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Atividade 6: Emília, Narizinho e Pedrinho, nesta ordem, fizeram o desenho de um navio, de uma boneca e de um caminhão. Na elaboração dos desenhos eles utilizaram figuras planas. Observe os desenhos! Agora, responda:

a) Quais as figuras planas utilizadas por Emília para fazer o seu desenho? b) Quantos tipos de figuras planas Narizinho utilizou para desenhar a sua boneca? c) O caminhão desenhado por Pedrinho possui quantos quadriláteros? d) Desenhe na malha pontilhada, unindo os pontos, uma figura plana e indique o seu

nome.

As atividades indicadas acima nos permitem verificar que a Resolução de Problemas comporta, necessariamente, o aprendizado da linguagem matemática, dos conceitos e dos algoritmos.

Portanto, a leitura que aqui se faz, é a de que ao introduzirmos nos bancos escolares a Resolução de Problemas, muitas vezes, deixamos de

Nome da figura plana desenhada: ________________

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lado, por exemplo, os cálculos e/ou algoritmos. Parafraseando alguns educadores ao expressarem as suas angústias, e as vezes, descontentamento, em relação ao ensino desta área do conhecimento: não podemos, nessa “nova proposta”, ensinar “continhas” isoladas!

Tal concepção postula através do discurso pedagógico, seja ele oral ou escrito, um contínuo afastamento dos fundamentos do ensinar e aprender.

Determinamos que é mais importante saber resolver problemas do que efetuar uma operação matemática. Nos esquecemos que as técnicas de operar com números, levaram milhares de anos para serem aprimorada pela humanidade. Elas possuem uma grande importância na solução de problemas da sobrevivência humana e do entendimento do universo, pois as mesmas têm como objeto principal à operacionalização quantitativa da natureza e da sociedade.

Insistindo nessa questão, pois a técnica de operar com números é a tradução matemática da relação historicamente construída entre o Homem e a Natureza e entre os próprios Homens.

É em virtude dessa reflexão que apontamos que as situações-problemas não são problemas propriamente ditos, mas situações nas quais uma das etapas decisivas é identificar o(s) problema(s) inerente(s) à situação, cuja solução irá melhorá-lo.

Nesse ponto, cumpre retomar que as situações-problemas são situações reais, pertencentes à sociedade em que vivemos, que numa determinada etapa de sua solução exige a matematização do problema, ou seja, abstraí-se, retira-se, da situação-problema algumas variáveis transformando-a em problema de cunho matemático.

Pelo que vimos até agora podemos concluir que o ensino-aprendizagem de Matemática deverá ter como eixo organizador a Resolução de Problemas. Propomos que a Resolução de Problemas seja o eixo organizador e não o único elemento a ser trabalhado no ensino de Matemática, ou ainda, não acreditamos que a Resolução de Problemas deva ter supremacia em relação aos outros conteúdos, tais como: conceitos, cálculos e linguagens matemáticas.

Negando, portanto toda e qualquer proposta educativa que não leve em consideração que estudar matemática é apreender o conhecimento elaborado e sistematizado por toda a humanidade, nos perguntamos:

Os educadores brasileiros acreditam que educar seja desenvolver processos mecânicos e repetitivos ou impregnar o nosso aluno de conhecimento?

Sedimentado em nossos valores o conhecimento deve ser, urgentemente, resgatado nos bancos escolares. Não queremos alunos educados para viverem adaptados à sociedade, mas sim, homens e mulheres capazes de compreender a sociedade em que vivem, atuarem politicamente nela e coletivamente transformá-la.

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Vemos reiterar nesse texto que a educação, independentemente da extensão ou compreensão do seu conceito e/ou da contradição que esse conceito traz em si mesmo, consiste, em última instância, em ter como objeto o homem capaz de produzir a sua própria vida, ou seja, capaz de responder por sua subsistência com o padrão de excelência desejado, nunca inferior (pelo menos em ideal) ao conquistado no momento anterior.5(NAGEL, s.d.)

Como conseqüência, desse posicionamento, a Alfabetização Matemática deve, também, contribuir no aprimoramento do pensamento reflexivo, ou ainda, devemos concebê-la como mais um elemento constitutivo de nossa consciência, para que possamos de maneira cada vez mais elaborada, pensar e interferir na realidade humana.

Com base nessa afirmação a Resolução de Problemas deverá estar permeada por esta concepção, acima mencionada, descaracterizando de uma vez por todas que resolver Problemas em Matemática é desenvolver competências e habilidades básicas.

Não se trata, portanto, de considerar a Matemática como um campo da ciência desvinculada das relações sociais de produção e, sim, de caracterizá-la como forjada pelas necessidades de dada sociedade.

Finalmente, nosso objetivo é iniciar uma reflexão no âmbito da Alfabetização Matemática(Educação Matemática), que vise mostrar que o conhecimento científico é o resultado do trabalho material de todos os homens e mulheres e, portanto, é mutável, contraditório, histórico e não fragmentado. E, ainda, explicitar que a função da escola é elevar a consciência do educando do senso comum para o bom senso.

5 NAGEL, L. H. Educação via Banco Mundial: Imposição ou Servidão Necessária?

(Texto digitado), s.d., p.1.

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BIBLIOGRAFIA

BICUDO, M. A.. V. Educação Matemática.São Paulo: Moraes, s.d. BICUDO, M. A..V. e GARNICA, A. V. M. Filosofia da educação

matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. DANYLUK, O. Alfabetização matemática: as primeiras manifestações

da escrita infantil. Porto Alegre: Sulina, 2002. FRIGOTO, G. Educação e a crise do capitalismo real. São Paulo:

Cortez, 2000. KLEIN, L. R. Alfabetização: quem tem medo de ensinar? São Paulo:

Cortez; Campo Grande: Editora UFMS, 1997. KRULIK, S. e REYS, R. E. A resolução de problemas na matemática

escolar. São Paulo: Atual, 1998. MARX, K. e ENGELS, F. A ideologia alemã (Feuerbach). São Paulo:

Hucitec, 1999. 11 ed. NAGEL, L. H. Transformações históricas e processos educativos. (Texto digitado), s.d. ___________. Educação via Banco Mundial: Imposição ou Servidão

Necessária? (Texto digitado), s.d. PAIS, L. C. Didática da matemática – uma análise da influência

francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. POZO J. I. (org.). A solução de problemas - aprender a resolver,

resolver para aprender.Porto Alegre: Artmed, 1998. SMOLE, K. S., DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto

Alegre: ARTMED, 2001.