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Mdulo 3 Transferncia de calor em regime Permanente em uma Aleta

Mdulo 3 EQ-502/A 10 Semestre de 2000

Mdulo 3

Transferncia de calor em regime permanente em uma AletaO problema deste mdulo trata da comparao, em termos de troca trmica, de se utilizar diferentes formas de aleta para uma transferncia de calor mais efetiva. Aletas so superfcies utilizadas para a dissipao de calor. Os fenmenos de transferncia de calor sero expostos brevemente na seqncia antes de se enunciar o problema.

Primeiramente, podemos falar sobre o calor que recebemos em nosso planeta. De onde vem esta energia? Sem dvida todos sabemos que vem do Sol. Enquanto que a maioria dos processos de transferncia de calor necessitam de matria para que a troca de calor ocorra, a energia proveniente do sol viaja no vcuo, at atingir a Terra.

O calor chega por radiao, que um tipo de troca trmica que somente ocorre de uma maneira significativa altas temperaturas. O mecanismo exato de transferncia de calor por radiao no perfeitamente conhecido. O interessante que a transferncia de calor por radiao mxima em um vcuo completo. Em termos prticos, na Engenharia, esta forma de calor tem um significado com temperaturas acima (ou por volta) de 500 0C. Entretanto, no veremos neste curso este tipo de transferncia de calor.

Imaginemos agora que estamos dentro de um quarto onde uma das paredes recebe uma alta incidncia de energia solar. A medida que a luz do sol ilumina a parede, calor adicionado ao sistema e a parede esquenta. Qual a maior temperatura?

A face externa da parede recebendo diretamente a luz solar?

Ou ser que a face interna da parede?

Podem ambas estar mesma temperatura?

No necessrio pensar muito para saber que a face externa possui a maior temperatura. Existe um gradiente de temperatura entre as faces interna e externa da parede. Este tipo de troca de calor, que geralmente ocorre em slidos ou, em alguns casos particulares, em lquidos escoando em regime laminar, chamado de calor de conduo. Matematicamente:

Sendo que:

QCOND= calor por conduo;

A= rea de troca trmica;

dT/dx =gradiente de temperatura unidimensional;

k= condutividade trmica do material.

O sinal negativo porque o calor sempre migra na direo do gradiente de temperatura negativo. Portanto, o sinal de menos torna o fluxo positivo. necessrio um gradiente de temperatura para que este fenmeno ocorra.

Considera-se agora uma situao diferente:

Uma chaleira est esquentando gua no fogo. medida que a superfcie metlica se aquece, calor transmitido para a gua at se atingir o ponto de ebulio. O que se nota na ebulio que o lquido est a uma temperatura constante. No existe um gradiente de temperatura, como o caso do calor por conduo do exemplo anterior.

O nico gradiente que existe entre a superfcie da chaleira em contato com a gua e a chaleira propriamente dita. Esta pelcula onde ocorre a transferncia de calor pequena e depende do processo em considerao. Este tipo de transferncia de calor que ocorre predominantemente com fluidos em contato com uma superfcie slida denominado calor por conveco. Matematicamente:

Sendo que:

QCONV= calor por conveco;

h= coeficiente de pelcula ou coeficiente de transferncia de calor, que depende do sistema em considerao. Ele muitas vezes difcil de ser determinado experimentalmente.

A= rea de troca trmica;T= diferena de temperatura entre a superfcie slida e a temperatura do fluido;

TS= temperatura da superfcie;

T= temperatura do fluido

Passemos ento ao exerccio deste mdulo:

Uma situao hipottica analisada por um grupo de pesquisa para ver a eficincia de aletas em funo da forma da sua base. A idia utilizar aletas que possuam o volume fixo de 0,01 m3 e um comprimento de 1 m. Deseja-se ento analisar se h diferenas em termos da troca trmica se a base for triangular, quadrada ou qualquer outro polgono. O trabalho, em sua primeira etapa, dever analisar as solues analticas aproximadas que sero posteriormente comparadas com um modelo computacional bidimensional e tridimensional. As primeiras formas de base a serem estudadas sero a rea triangular (tringulo equiltero) e a quadrada. Considere que a temperatura da parede suportando a aleta de 5000C. Considere tambm que a temperatura do ar afastada da aleta de 200C. A condutividade trmica da aleta 100 W/m.0C. O coeficiente de pelicula (ar/superfcie da aleta) assumido como sendo 10 W/m2.0C

Pede-se:

a . Enuncie as hipteses do modelo;

b. Desenvolva as EDs para as aletas triangular e quadrada;

c. Resolva as EDs e determine as temperaturas no final das aletas;

d. Qual foi a aleta mais eficiente?

e. Voc estudaria uma aleta de base circular?

f. Qual o ganho, em termos de troca trmica, de se utilizar a aleta ao invs de somente a rea da parede correspondente a rea da base da aleta?

O que se prope pode ser traduzido nas Figuras 3.1 e 3.2, que representam respectivamente a aleta quadrada e a aleta triangular. Nestas figuras esto apresentados os volumes de controle para os quais se deseja analisar a variao da temperatura. Este volume de controle est distante tanto da parede (incio da aleta) como da extremidade (final da aleta) que so pontos onde se aplicam as condies de contorno do problema.

Figura 3.1. Aleta de base quadrada.

Figura 3.2. Aleta de base triangular.

Deseja-se um modelo unidimensional para a aleta, de forma que as hipteses so listadas abaixo:

1. A temperatura ambiente no varia, pois a energia que vai para o ambiente pequena em relao a sua grande quantidade de energia e grande tamanho;

2. Os valores de k e h independem da temperatura;

3. Os efeitos de borda so desprezveis;

4. A relao comprimento/permetro >>1. Tal fato indica a validade da considerao de fluxo unidimensional;

5. Calor por radiao desprezvel, pois tratam-se de temperaturas no superiores a 500 oC, apesar de ser uma condio limite;

6. No h gerao de calor, que poderia existir atravs da existncia de uma reao qumica ou de outra forma de energia, como a eltrica, se transformando em calor;

7. No h acmulo de energia, uma vez que o foco de estudo est no processo em regime permanente e no na variao do tempo. Deseja-se conhecer como o processo funciona depois da fase inicial transiente que ser a parcela mais significativa do tempo de operao.

Um balano diferencial e genrico de energia tem os mesmos termos que os balanos de massa apresentados nos mdulos anteriores.

Entrada Sada + Gerao = Acmulo

Neste caso pelas hiptese 6 e 7 tem-se que:

Entrada = Sada

Estudando os volumes de controle infinitesimais ilustrados nas figuras 3.1 e 3.2, tem-se que a energia que entra no volume de controle entra por conduo, parte desta energia flui atravs do material slido por conduo saindo em x+x, enquanto a outra parte deixa o material slido por conveco.

importante ento conhecer as dimenses das aletas de diferentes formas. Consideremos a forma de ambas as aletas em separado. Ambas possuem uma rea de base de 0,01 m2. Portanto, o lado do tringulo equiltero l3= 0,152 m e o lado do quadrado l4=0,1 m. O permetro da rea triangular P3= 0,456 m e o permetro da rea quadrada P4= 0,40 m. Confirmem estes valores para calcular os lados destes polgonos em funo da rea fixa de 0,01 m2.

ENTRADA:

Tanto na aleta de base triangular, como na aleta de base quadrada, entra calor por conduo em x. Matematicamente este calor expresso por:

Sendo:

k= coeficiente de condutividade trmica da aleta (W/(m.0C));

A= rea transversal = 0,01 m2. (tanto para a aleta triangular como quadrada)

SADA:

Calor por conduo deixa o volume de controle em x+x e deseja-se saber qual o seu valor. Entretanto como x pequeno, pode-se utilizar o Teorema de Taylor para poder expressar o valor da conduo em x+x em funo do calor por conduo em x. Por Taylor, conhecendo-se o valor da funo em um ponto genrico x0, bem como as suas derivadas neste ponto x0, pode-se expressar o valor desta funo nas proximidades deste ponto por:

No nosso caso , onde queremos aplicar Taylor para se achar o calor de conduo em x+x, sabemos que o nosso ponto x0 conhecido so os valores da funo e suas derivadas em x. O ponto x+x que no conhecemos, corresponde ao x da frmula anterior. Desta forma, substituindo:

Ou:

Tanto a aleta quadrada como a triangular perdem calor por conveco nas suas reas laterais. Entretanto, um problema tem que ser resolvido em relao a escolha de temperatura. Matematicamente:

h= coeficiente de pelcula ou coeficiente de transmisso de calor;

AL= rea lateral;

T*= temperatura da superfcie perdendo calor por conveco;

TAR= temperatura do fluido circulando a aleta.

O problema que a temperatura da superfcie T* vale T em x e vale:

em x+x

.

No se pode dizer que existe uma rea associada conveco em x , ou mesmo em x+x visto que, nestes pontos isoladamente, existe somente o permetro associado, cuja rea nula.

Qual valor deve ser utilizado? Uma boa escolha seria o valor mdio:

No limite x0 estas temperaturas seriam iguais.

Desta forma:

A rea lateral para a base triangular dada por:

Permetro.x = 3.l3. xSendo l3 o lado do tringulo equiltero.

A rea lateral para a base quadrada dada por:

Permetro.x = 4.l4. x

Sendo l4 o lado do quadrado.

Como no h acmulo nem gerao de calor:

Colocando x em evidncia:

Fazendo x0:

Ou:

A equao anterior vlida tanto para a aleta de base triangular como para a de base quadrada.

c. Resoluo das EDs:

O balano de energia levou a uma equao diferencial ordinria de segunda ordem, com coeficientes constantes. Neste caso a equao do tipo:

Onde P, Q e R so constantes.

Pode-se ento dizer que:

a equao homognea e (x) o termo particular da equao.

A soluo geral ser dada pela soma das solues homogneas e particular.

T=TP+THSendo:

TH= soluo homognea;

TP= soluo particular.

A resoluo da homognea acima sugere a soluo do tipo:

Na qual uma constante.

Desta forma os valores da primeira e segunda derivada so, respectivamente, y=.ex e y=2.ex. Substituindo na equao diferencial proposta:

Ou seja:

Visto que ex0. Desta forma:

Se 12:

Se 1=2:

Se i=ai.b:

No nosso caso notamos que as equaes diferenciais e as respectivas solues homogneas so dadas por:

Aleta de base quadrada:

Aleta de base triangular:

A soluo homognea :


Portanto:


Portanto:

Tanto para a aleta quadrada como a aleta triangular existe um termo particular. No caso da aleta triangular, 3(x)= -91,2; e para a aleta quadrada, 4(x)=-80.

Para a resoluo desta equao particular utilizaremos o Mtodo dos Coeficientes Indeterminados, que ser apresentado fazendo-se um parnteses ao desenvolvimento do exerccio.

Mtodo dos Coeficientes Indeterminados

Este mtodo requer que se faa uma suposio inicial quanto forma da soluo. Se por exemplo (x) for uma constante, ento a soluo particular yp tambm uma constante, cujo valor no sabemos a princpio. Se (x) for um polinmio de grau n, ento a soluo particular yp ser tambm um polinmio, cujos coeficientes so determinados a partir da equao diferencial original. Se o termo particular for uma funo senoidal, ento a particular sempre ter a forma senoidal-cossenoidal.

O mtodo, infelizmente, no geral e, conforme falado anteriormente, sempre depende da forma de (x).

Exemplos:

1. Constante c:

(x)= c

Assim sendo:

2. Polinmio:

Neste caso os i so determinados a partir da equao diferencial.

Supondo y-4.y+4y=4.x+8.x3. Neste caso a soluo particular yP um polinmio cbico:

Substituindo na equao diferencial:

Analisando-se todos os coeficientes multiplicados x0, x1, x2 e x3 e igualando-se os dois lados da igualdade:

A soluo y=yH+yP:

(Notem que as constantes a serem determinadas apenas aparecem na soluo homognea)

3. (x)=a.exp(r.x) , sendo a e r constantes. Sendo assim: yP=.exp(r.x), que substitudo na equao diferencial produz:

4. (x) na forma a.sen(nx)+b.cos(nx) com n0:

Ento neste caso:

Substituindo na equao diferencial:

Resolvendo:

Dificuldades que surgem:

O procedimento modificado quando um termo da soluo particular duplica um termo da soluo complementar (ou homognea).

Termo duplicado (x) multiplicar por x:

Se ainda duplica a soluo, multiplicar mais uma vez por x, at que esta duplicao deixe de ocorrer:

Exemplo 3.y-6.y=18:

Soluo homognea:

(x)=18=constante (repete o termo A)

Soluo particular:

yP= c no pode, mas: yP=c.x OK

yP= c e yP=0

Substituindo 3.0-6.c=18 c=-3:

y= yH+yP = A+B.e2x-3.x

Voltando ao exerccio notamos que a nossa soluo particular uma constante.

Assim sendo, TP= 20 0C; tanto para a aleta de base triangular, como para a de base quadrada. Portanto a soluo final ser:



Necessitamos entretanto determinar os valores das constantes A1, A2, B1 e B2. Ser mostrado a seguir a forma de obteno das constantes A1 e A2 para a aleta triangular.

Aleta de base triangular

quando x=0 T=500 0C 500=A1+A2+20 A1+A2 = 480

quando x=1 m:

Sendo:

TF= temperatura final da aleta.

Como as reas so iguais e no valor de 0,01 m2, ento:

O valor de TF o valor da temperatura para x=1, logo:

A funo dT/dx dada por:

Substituindo os valores de k, h juntamente com a funo dt/dx em x=1 :

k= 100 W/(m.0C) e h= 10 W/(m2.0C)

Resolvendo o sistema encontra-se que A1=6,029 e A2=473,971. Portanto:

A temperatura no final da aleta TF=127,030 0C.

Para a aleta quadrada, de maneira anloga:

A temperatura no final da aleta TF=141,718 0C.

Conforme esperado a temperatura no final da aleta de base triangular menor, visto que a rea lateral desta aleta maior, ou seja, o permetro do tringulo equiltero maior que o permetro do quadrado.

d. A aleta de base triangular mais eficiente visto que dissipou mais calor para o mesmo volume de aleta.

e. No, visto que a circunferncia um polgono de infinitos lados e, portanto, dentre todos os polgonos com a mesma rea da base, a que possui o menor permetro e, consequentemente, a menor dissipao de energia. Fica como exerccio a conferncia deste resultado por se resolver o modelo para a aleta circular. A equao final da temperatura na aleta :

Neste caso, a temperatura no final da aleta TF=155,882 0C.

f. Se tivssemos apenas a parede, a troca de calor com o ambiente seria:

Este o valor que independe da geometria da aleta para a qual se pretende comparar, pois o problema fixa a rea da base como sendo 0,01 m2.

O calor dissipado pela aleta pode ser determinado fazendo um balano global na aleta ( que corresponde ao calor dissipado pela sua rea lateral mais o calor dissipado na sua extremidade ser igual ao calor que entra em x=0). Portanto pode-se calcular o calor dissipado pelo calor de conduo que entra em x=0.

Figura 3.3. Ilustrao para mostrar que todo o calor dissipado passa por x=0.

Calor que entra = Calor que sai

Para a aleta de base triangular:

QDISSIPADO= 999,25 W

Para a aleta de base quadrada:

QDISSIPADO= 928,70 W

Nota-se que a aleta triangular dissipa aproximadamente 20 vezes mais calor do que a parede. Esta anlise nos traz uma importante informao em engenharia qumica. Devemos sempre procurar aumentar a rea superficial de volumes nos quais desejamos aumentar a capacidade de troca trmica.

EMBED Microsoft Equation 3.0









































x x+x

QCOND|x

QCOND|x+x

x x+x

QCONV

QCONV

x x+x

QCOND|x

QCOND|x+x

x x+x

QCONV

QCONV

QCONV

TBASE

Calor que entra em

x=0

Calor que sai na ponta

x=1 m

Calor que sai pela lateral

Calor que sai pela lateral

















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