al khwarizmi

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - IFC

Resolução de Equações de Segundo grau

Através Método de Al-Khwarizmi

Claudia Cavalcante Fonseca

Johann Felipe Voigt

Disciplina de Matemática Fundamental I

Professoras: Fátima Peres Zago de Oliveira

Paula Grawieski Civiero

Trabalho solicitado pelas professoras Fátima Peres Zago de

Oliveira e Paula Grawieski

Civiero como parte da avaliação de aprendizagem na disciplina Matemática Fundamental I do Instituto Federal Catarinense.

Rio do Sul – SC

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A época de Al-Khwarizmi

Entre os séculos VIII e IX, viveu, na Pérsia, um

matemático chamado Abū Abdallāh Muḥammad ibn Mūsā

al-Khwārizmī (originalmente ـــــي ـــــى الخوارزم que ,(ن موس

realizou grandes descobertas e escreveu sobre aritmética,

álgebra (sendo considerado seu pai, juntamente com

Diofanto), astronomia, geografia e o calendário.

Devido às suas grandes contribuições, a palavra

“algarismo” deriva de seu nome, que espalhou-se pela

Europa a partir da tradução de seu livro "Sobre a arte hindu

de calcular", no qual introduzia o sistema de numeração

indu, para o latim.

Na obra que será abordada, Al-Kitab al-Jabr wa-l-

Muqabala (“O livro resumido de cálculos por complemento

e equilíbrio“), os primeiros passos da álgebra atual são apresentados, incluindo métodos para

solucionar equações quadráticas de forma mais rápida na época.

Al-Khwarizmi propõe que, para solucionar qualquer equação quadrática, é necessário

aplicar nela três passos simples, que vão preparar e formatar a equação para sua forma correta.

Os métodos são os seguintes;

1. Al-jabr (originalmente ــب restauração“): Como os cálculos árabes baseavam-se e“ ,الج

eram utilizados apenas para estudos geométricos; a grandezas negativas não eram

consideradas. Por este motivo, expressões onde deveriam existir valores negativos eram

somadas a estes valores para restaurá-los. Desta forma, eles deveriam ser adicionados,

também, à expressão igualada para garantir a validade da equação.

2. Al-muqabala (originalmente ـــاب equilíbrio“): Neste processo os elementos cujas“ ,المق

potências de x são equivalentes unem-se formando apenas um termo.

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3. Al-radd: Com o objetivo de simplificação do cálculo, o coeficiente do termo deve ser

operado de forma a tornar-se o número 1, multiplicando-se cada membro da equação pelo

inverso de tal elemento.

Uma vez aplicadas essas regras, existem ao todo seis formatos diferentes de equações

quadráticas que podem ser encontrados:

●

●

●

●

●

●

Quando o coeficiente de é anulado; a equação torna-se linear.

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Resolução de equações quadráticas

Primeiro caso

Para a resolução proposta por Al-Khwarizmi, deve-se reduzir esta equação ao primeiro

grau. Para tanto, primeiro, aplicaremos al-jabr.

Simplificando:

Deve-se dividir ambos os lados da equação por :

E simplificando:

Como resultado de seu estudo, Al-Khwarizmi divulga que a raiz deste tipo de equação

será sempre .

Segundo caso

Primeiro deve-se aplicar al-jabr.

Simplificando:

Como o coeficiente do termo é diferente de 1, deve ser aplicada a técnica al-radd.

E, simplificando:

Calculando-se a raiz quadrada de ambos os lados

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Concluímos que . Como a equação apresenta apenas um resultado no conjunto de

números positivos, apenas este era encontrado por Al-Khwarizmi.

Terceiro caso

Exemplo

Primeiro apliquemos al-jabr.

Logo:

E, agora, al-radd.

Assim:

Podemos representar o termo a partir do seguinte quadrado de lados com medida :

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O segundo termo da equação, , nos permite criar 4 áreas com um lado medindo e

outro medindo , da seguinte forma:

Como a área total dos retângulos recém desenhados equivale a , e que os quatro

retângulos são idênticos, concluímos que a área de cada um dos retângulos vale , ou,

simplificando: .

Sabendo-se que a área de cada retângulo equivale a e que um de seus lados mede ,

podemos concluir que seu segundo lado mede . Desta forma:

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Completando as lacunas até formar um novo quadrado, maior que o inicial, cria-se mais 4

retângulos, da seguinte forma:

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Neste momento, ambos os lados dos quatro novos retângulos criados são conhecidos: e

, o que os torna quadrados. A partir desses dados pode-se calcular a área de cada quadrado:

.

Nossa equação inicial , ou seja, a área da região sombreada abaixo é

calculada em :

A área total das regiões brancas é facilmente obtida a partir do cálculo

. Portanto, a área total da figura limita-se a .

Sendo um quadrado de lados , a figura nos permite perceber que:

, ou seja,

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Solução geral

Tomando por equação inicial: , consideremos um quadrado inicial, cuja

área calcula-se em .

Em seguida, criam-se, com área total de , quatro retângulos cuja área individual é

calculada em e lados e ; e, anexando-os aos 4 lados do quadrado obtemos uma figura

geométrica semelhante a uma cruz.

Preenchendo as lacunas deixadas ao lado dos 4 retângulos de forma a termos um

retângulo em cada um dos cantos, percebemos que formam-se 4 novos quadrados com área .

Percebemos, a partir da equação, que a área da cruz vale , já que representa a soma das

áreas dos outros termos da equação ( ). Podemos concluir então que a área do

quadrado maior equivale à soma das áreas da cruz com a área dos 4 quadrados menores e, ao

mesmo tempo, pode ser calculada como a multiplicação de seus lados, ou seja:

.

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Al-Khwarizmi e Bhaskara

Partindo da equação , Bháskara nos propõe que .

Al-khwarizmi nos propõe realizar a operação de al-radd, tendo como resultado:

E al-jabr, que resulta a equação anterior em:

(já que, para este caso, c sempre será negativo; já que apresenta-se do lado oposto do

sinal de " ").

Para Al-Khwarizmi, .

Como e :

Que pode ser escrita como:

Como e , será sempre positivo.

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Caso , Al-Khwarizmi não encontrará raiz alguma.

Caso contrário, encontrará apenas a raiz positiva da fórmula de Bháskara.

Quarto caso

Exemplo

Iniciando com a equação, e aplicando-se al-jabr, tem-se como

resultado:

Equações deste tipo são as únicas que podem possuir duas raízes positivas, logo as únicas

que proporcionam um resultado duplo em Al-khwarizmi.

Este fato pode ser provado a partir de que equações do segundo grau provém, em sua

origem, de equações do tipo (Sendo, desta forma, A e B, as raízes da

equação; já que, a satisfazem devido e .

Desenvolvendo o lado esquerdo da equação, vemos que

, logo; se e , então

e .

Primeira raiz

Partindo da representação de como área de um quadrado com lado :

Percebendo que o segundo termo do lado esquerdo da equação tem um valor numérico

independente de e que o termo à direita da equação, se representado pela área de um retângulo,

pode ter um dos lados equivalente a e outro a , temos que:

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Neste caso, na representação, o retângulo com área equivalente a foi tomado como

maior que o quadrado com área . Esta decisão possui extrema importância e para a

delimitação da outra raiz, deve-se considerar o contrário.

Tomando como lado a região do quadrado maior não comum com o retângulo de área ,

formamos um quadrado menor com lado , denominado A na figura.

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Delimitando-se os valores, percebe-se que:

Observando que os lados do retângulo D, que são: e , tal como os de B

(já que ). Desta forma, a área é comum a

ambos.

Partindo dos preceitos:

A partir da figura inicial, temos que , logo .

A área do quadrado , já que seu lado mede unidades de medida.

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A área do quadrado equivale a e pode ser calculada pelo quadrado da medida

de seu lado . Obtemos, desta forma, , que, desenvolvendo, nos

permite inferir que: .

Segunda raiz

Iniciando o desenvolvimento da forma geométrica representativa da equação da mesma

forma que a resolução da primeira raiz, criamos um lado com lado para que sua área tenha

valor .

Diferencialmente à resolução anterior, o retângulo cuja área representa o valor da

equação, desta vez, deve ser representado menor que o quadrado com área :

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Como na resolução anterior, o lado maior do retângulo ( ) é dividido em duas partes

iguais que geram um quadrado de lado :

Desta forma, a partir da observação de suas representações geométricas, pode-se concluir

que, a área somada dos retângulos A e B equivale à área de C, já que possuem os mesmos

comprimentos dos lados ( e ).

Assim, pode-se aferir que as áreas .

A partir da equação inicial, temos que ; logo, .

Como e ; que pode ser desenvolvido como:

Exemplo curioso

A partir desta equação, deve-se aplicar al-jabr segundo o método de Al-Khwarizmi.

Logo:

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Consideremos como a área do quadrado:

Da mesma forma que as resoluções anteriores, representaremos o coeficiente

independente de como a área de um retângulo com um lado igual a e outro desconhecido:

A exemplo das resoluções de Al-khwarizmi para este caso, deve-se dividir o lado maior

em dois e tomar-se um quadrado com um deles.

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Seguindo a resolução, delimita-se um quadrado menor na região pertencente ao quadrado

de lado e não pertencente ao retângulo inicial de área .

Delimitando-se os dados que podem ser aferidos da imagem, percebemos que:

Da mesma forma que antes, da equação inicial, temos que a região composta por e

tem área equivalente a unidades de medida. Considerando-se que e equivalem-se, e

também possuem área equivalente a .

Percebe-se assim que, como a soma das áreas das regiões e mostra-se igual à área

de , a região possui área . Logo, , portanto .

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Solução geral

A resolução da equação de formato padrão é iniciada a partir da

representação de um quadrado com área equivalente e lados iguais a . Acrescenta -se uma

área adicional, não relacionada com a grandeza , representada por para que forme o retângulo

com área .

Dividindo-se o maior lado do retângulo maior em duas partes e tomando uma delas como

precursora de um quadrado de lado ; temos que o problema divide-se em duas situações. Uma

com e outra com . Prosseguindo com os dois casos, é possível aferir que:

Caso , formar-se-á um retângulo maior de lados e

Neste caso, deve-se delimitar 4 áreas:

• A área , representada pela área que pertence ao quadrado de lado e também

pertence ao retângulo de área

• A área representada pertencente ao quadrado de lado p/2, mas não pertencente ao

retângulo de área q é dividida em e , sendo um quadrado com lado

e a área restante.

• A área , representada pela área pertencente ao retângulo de área q, mas não

pertencente ao quadrado de lado .

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Percebe-se que as áreas e se equivalem, por serem representadas por retângulos

com lados de mesmo comprimento, neste caso: .

A partir da equação inicial, temos que a área ; da multiplicação dos

comprimentos dos lados que medem , temos que a área . Logo:

Como os lados do quadrado de área medem , temos que:

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Caso , formar-se-á um retângulo menor de lados e

Neste caso, deve-se delimitar 4 áreas:

• A área , representada pela área que pertence ao quadrado de lado p/2 e também

pertence ao retângulo de área .

• A área , representada pela área pertencente ao quadrado de lado p/2, mas não

pertencente ao retângulo de área .

• A área , representada pela área pertencente ao retângulo de área q, mas não

pertencente ao quadrado de lado .

• A área , não pertencente a nenhuma das duas áreas.

Percebe-se, também, que a soma das áreas e valem ; que as áreas e

somadas equivalem à área e que .

Logo: .

Como a área de ; .

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Como , , logo:

, ou seja, .


Mais uma vez, toma-se a equação , com .

Al-khwarizmi propõe que seja feito Al-rad e Al-jabr, obtendo-se:

Aplicando-se a fórmula encontrada por AL-khwarizmi, temos que:

Logo,

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Quinto caso

Exemplo

Para resolver, começaremos aplicando a regra de al-jabr:

Simplificando:

Agora, aplicando al-radd.

E simplificando novamente:

.

A resolução inicia-se pela inscrição de um quadrado com área e lado

como nos casos anteriores.

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A seguir, divide-se a semi-reta a uma distância de do ponto da seguinte forma:

Desta forma, vemos que o monômio é representado por um retângulo com

lados e . Ainda na equação inicial, o monômio complementa somando , portanto,

percebe-se que o retângulo tem como área .

Marcando o ponto médio da reta como , temos que a semi-reta formada ,

assim como , tem medida .

Marcam-se dois ponto e de tal forma que formem um quadrado no interior

de . Como ; , o lado deste quadrado, mede .

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A partir do ponto , prolonga-se através de e semi-retas que formam dois

lados de um outro quadrado de lado , ou seja, a mesma medida do segmento de reta .

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Observando-se o retângulo , percebe-se que este, sendo a metade de , que

mede , tem seu lado medindo . Seu outro lado, , mede a diferença entre (cuja

medida coincide com a de , ou seja, ), e , que mede . Logo, mede

.

O lado do retângulo equivale à porção de que não faz parte de , ou

seja, . Seu outro lado, , mede , ou seja,

.

Portanto, pode-se concluir que os retângulos e são congruentes, e

possuem áreas iguais, .

Como a área do retângulo representa o monômio , pode-se afirmar que o

polígono possui a mesma área do retângulo e que a área do quadrado

equivale à área do polígono somada à área do quadrado , logo,

; assim, obtém-se que seu lado é a raiz

quadrada de sua área, ou seja, , o valor de .

Finalmente pode-se concluir que equivale à soma dos segmentos de reta e ,

ou seja, .

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Solução geral

Partindo da equação inicial, ; inicialmente cria-se um quadrado de lado ,

e área , formado pelos pontos . Internos a ele são traçados dois outros retângulos:

com área , e , com área .

Marcando-os dentro do quadrado com seus lados verticais medindo , percebe-se que

seus lados horizontais assumem os valores e , respectivamente.

Marca-se um ponto , médio entre os pontos e , formando os segmentos de reta

e , com comprimento . Assim, com medindo e, , ; o segmento

mede .

Forma-se, então, um quadrado com esta medida com vértices . E, a partir do

ponto , cria-se um outro quadrado, desta vez com lados e área, .

Sabe-se que a área do retângulo equivale a , e que os retângulos e

são congruentes, logo, a área do polígono também mede .

Como o quadrado mede a soma do polígono com o quadrado

menor, , ou seja, , pode-se inferir que seu lado mede .

Com a medida de , e tendo em mente que equivale ao lado AB, sabe-se que

. E esta é a fórmula geral para resolução de equações quadráticas neste

formato.

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No quinto caso, tem-se , logo e na equação padrão

.

Al-khwarizmi propõe que, neste quinto caso, faça-se

Como, e ;

Como , , , e .

Como , logo, e ou e .

Como , a raiz negativa é maior, em módulo, que a raiz positiva.

Sexto caso Um último formato possível para equações quadráticas seria o mais conhecido:

, ou, para os padrões de Al-Khwarizmi, .

Entretanto, é fácil notar que esta equação não tem solução para a lógica arábica da época,

em que os problemas eram solucionados através da geometria; e, portanto, não havia grandezas

negativas. Como seria possível para três grandezas diferentes de zero, quando somadas,

resultarem numa figura de valor nulo?

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Referências ● Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida:

Wikimedia Foundation, 2010. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Muhammad_ibn_M%C5%ABs%C4%81_al-Khw%C4%81rizm%C4%AB&oldid=362511339>. Acesso em: 16 maio 2010.

● Bhāskara II. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia Foundation, 2010. Disponível em: <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bh%C4%81skara_II&oldid=361009838>. Acesso em: 16 maio 2010.

● PACHECO, André. Al-Khwarizmi e as equações do segundo grau. Disponível em: <http://www.prof2000.pt/users/andrepache/matetavira/tarefa7/alkhwarizmi.htm>. Acesso em: 16 maio 2010

● PAULA, Ana. O sistema de numeração decimal tem história. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/matematica/let1.htm>. Acesso em: 16 maio 2010.

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