Ajustamento de Observações

1 – Introdução

2 – Distribuição Multidimensional

3 – Ajustamento Direto

4 - Teste de Hipóteses

5 – Teoria dos Erros

6 - Método dos Mínimos Quadrados

7 – Modelo Paramétrico

6 – Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

Foi desenvolvido por Gauss (1795) e Legendre (1805)

Este método minimiza a soma dos quadrados dos erros

Erro = resíduo = v

V = valor verdadeiro - média

6 – Método dos Mínimos Quadrados

Exemplo : Sejam as medidas de ângulo (Gemael, 1994)

Observ. ângulo1 120o 31’ 40,1”2 41,2”3 40,8”4 42,1”5 42,9”6 42,4”7 43,0”8 40,7”9 41,9”

10 41,5”

A média é 41,66

Porém a soma (xi – média) = 0

SEMPRE

6 – Método dos Mínimos Quadrados

Portanto, eles consideraram o quadrado da diferença .

Desta maneira,

(xi – média)2 = 2xxi

22 xxiv

22 xxiv

6 – Método dos Mínimos Quadrados

O MMQ foi desenvolvido para minimizar

Quando as observações não possuem a mesma importância devemos utilizar uma matriz de pesos (pi) e

2v

2minimizar pv

Erro médio quadrático ou desvio padrão da observação

Exemplo

1

2

n

v

x v v240,1 -1,56 2,4341,2 -0,46 0,2140,8 -0,86 0,7442,1 0,44 0,1942,9 1,24 1,5442,4 0,74 0,5543 1,34 1,80

40,7 -0,96 0,9241,9 0,24 0,0641,5 -0,16 0,03soma 8,46

9695,0110

46,8

1

2

n

v

6 – Método dos Mínimos Quadrados

Erro médio quadrático da média

Serve para identificarmos a precisão da média

Desta maneira,

)1(

2

nn

vX

3066,0)110(10

46,8

)1(

2

nn

vX

6 – Método dos Mínimos Quadrados