agradecimentosagradecimentos gostaria de agradecer a todos os meus professores da universidade...
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Agradecimentos
Gostaria de agradecer a todos os meus professores da Universidade Federal do Rio de
Janeiro pelo esforco dedicado a minha formacao desde os tempos da graduacao. Muito
obrigado mesmo.
Agradeco tambem aos funcionarios da UFRJ que me apoiaram durante todo este
tempo e com quem sempre pude contar. Muito obrigado pela amizade e pela paciencia.
Neste longo caminho, encontrei bons amigos que espero levar comigo por toda a vida.
Gostaria de agradecer especialmente (e em ordem alfabetica) a Abigail Folha, Carlos
Espinoza, Cecılia Saraiva, Fabio Ramos e Jose Gondin. E, mais especialmente ainda,
agradeco a Tatiana Sodero, que alem de minha grande amiga e tambem minha querida
namorada. Muito obrigado a voces pelo companheirismo, pela lealdade e amizade.
Agradeco a minha famılia pelos valores que tenho e pelo apoio incondicional, nao
apenas durante o perıodo da minha formacao como aluno da UFRJ, mas desde as primeiras
lembrancas que tenho do mundo.
Agradeco a Fabio Souza, aluno da Pontifıcia Universidade Catolica, pela amizade e
por compartilhar comigo o estudo de folheacoes de Lie.
Agradeco aos professores Jose Seade (UNAM-Cuernavaca-Mexico), Cesar Camacho
(IMPA), Walcy Santos (UFRJ), Paul Schweitzer (PUC-Rio de Janeiro) e Bruno Scardua
(UFRJ) pela participacao na banca examinadora; fico muito grato e honrado por essa
participacao. Agradeco ainda ao Professor Paul Schweitzer pela generosidade e pelas
conversas sempre estimulantes e incentivadoras; ao Professor Sebastiao Firmo da Univer-
sidade Federal Fluminense pelo incentivo em diversas ocasioes; ao Professor Alexander
Arbieto da UFRJ pelas conversas, sugestoes e pelo incentivo e, por fim, a professora Walcy
Santos, que alem de ter sido minha primeira professora no curso de graduacao da UFRJ,
foi tambem minha professora durante o mestrado e o doutorado.
Faco entao um agradecimento mais do que especial ao meu professor, orientador e
amigo Bruno Scardua. Com ele aprendi grande parte do que sei sobre matematica e
tambem aprendi a me relacionar melhor com ela. Durante todos esses anos, foi a pessoa
que mais me incentivou, que mais se dedicou em prol da minha formacao e que mais
me fez acreditar no meu potencial como matematico. Alem da orientacao no mestrado
e no doutorado, devo a ele a oportunicade de seguir em frente nessa carreira que tanto
amo. Sou eternamente grato por isso e tenho certeza de que sua orientacao e amizade me
acompanharao pela vida afora.
Muito obrigado.
Resumo
Neste trabalho, estudamos generalizacoes de resultados classicos de Tischler e Fedida sobre
Folheacoes de Lie. Obtemos, em particular, um teorema de fibracao para g-folheacoes de
Lie quando g e compacta e o fecho da holonomia global (construıda a partir de um grupo
de Lie compacto associado a g) tem algebra de Lie abeliana. Provamos que tal condicao
sobre a holonomia global e sempre satisfeita se o grupo fundamental da variedade ambiente
e amenable. Obtemos ainda um resultado que relaciona a existencia de folheacoes de Lie
com o crescimento do grupo fundamental da variedade ambiente. Tal resultado tem uma
consequencia no estudo de acoes Anosov centrais conjuntamente integraveis, originando
um resultado na linha de um Teorema classico de Plante para fluxos Anosov. Seguindo
o belo trabalho de Plante, provamos ainda um resultado sobre acoes Anosov centrais de
grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos.
Abstract
In this work, we study generalizations of classical results of Fedida and Tischler about
Lie foliations. In particular, we obtain a fibration theorem for Lie g-foliations when g is
compact and the closure of the global holonomy (built from a compact Lie group associated
to g) has abelian Lie algebra. We prove that this condition on the global holonomy is
always satisfied if the fundamental group of the ambient manifold is amenable. We get
also a result that relates the existence of Lie foliations with the type of growth of the
fundamental group of the ambient manifold. This result has a consequence in the study
of jointly integrable Anosov actions, yielding a result in line with a classical theorem of
Plante for Anosov flows. Following the great work of Plante, we also prove a result for
central Anosov actions of simply-connected nilpotent Lie groups.
Sumario
1 Folheacoes de Lie 8
1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Decompondo folheacoes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Uma versao do Teorema de Tischler para grupos de Lie compactos . . . . . 25
1.3.1 Convergencia de campos de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Demonstracao do Teorema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Fluxos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Folheacoes de Lie sobre variedades compactas com grupo fundamental ame-
nable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.1 Demonstracao do Teorema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.2 Uma observacao sobre folheacoes Riemannianas . . . . . . . . . . . 40
1.5 Folheacoes de Lie sobre variedades compactas com grupo fundamental de
crescimento subexponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1 Demonstracao do Teorema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Observacoes sobre acoes Anosov centrais 45
2.1 Preliminares sobre acoes Anosov centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Demonstracao do Teorema D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Demonstracao do Teorema E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Introducao
Um importante teorema devido a Tischler garante que uma variedade diferenciavel com-
pacta e conexa M fibra sobre o toro de dimensao q se e somente se admite q formas
fechadas de grau 1 linearmente independentes [30]. De fato, dadas q formas fechadas de
grau 1 linearmente independentes, e possıvel encontrar novas formas fechadas, arbitrari-
amente proximas das originais, com perıodos racionais. A folheacao definida por essas
novas formas fechadas tem todas as folhas compactas e estas sao as fibras de uma fi-
bracao locamente trivial sobre o toro. Tudo isto esta mergulhado na teoria de folheacoes
de Lie [11], [13]: Seja g uma algebra de Lie de dimensao q e seja M uma variedade dife-
renciavel. Dizemos que uma folheacao F de codimensao q sobre M e uma g-folheacao
de Lie se, dadas constantes estruturais ckij relativas a uma base qualquer de g, existe
um sistema ω1, . . . , ωq de 1-formas suaves linearmente independentes sobre M que sa-
tisfaz dωk = −∑
i<j ckijωi ∧ ωj e cujo nucleo e tangente a F . Equivalentemente, F e uma
g-folheacao de Lie se e somente se F e tangente ao nucleo de uma 1-forma suave Ω sobre
M com valores em g que satisfaz dΩ + 12[Ω,Ω] = 0 e e sobrejetiva em cada ponto de M .
Se F e uma g-folheacao de Lie sobre M e G e um grupo de Lie conexo que tem g como
algebra de Lie, entao F admite uma estrutura transversal de Lie modelada em G (ver
[13]), isto e, F e definida por submersoes locais tomando valores em G com aplicacoes de
transicao dadas por translacoes a esquerda em G. A existencia de uma folheacao de Lie,
entretanto, nao garante a existencia de uma submersao global de M em G. A dificuldade
em se obter tal submersao global a partir da folheacao de Lie F pode ser medida pelo
grupo de holonomia global de F com respeito a G, o qual e a imagem de um certo homo-
morfismo do grupo fundamental de M em G. Em sua tese, Fedida prova que, de fato,
a estrutura de F esta fortemente relacionada a sua holonomia global ([11], [13]). Neste
trabalho, obtemos uma versao do Teorema de fibracao de Tischler para g-folheacoes de
Lie, quando g e uma algebra de Lie compacta:
Teorema A. Seja g uma algebra de Lie compacta, M uma variedade diferenciavel conexa,
compacta e sem bordo e seja F uma g-folheacao de Lie sobre M . Seja G um grupo de Lie
conexo e compacto que tem g como algebra de Lie. Se o fecho da holonomia global de Fcom respeito a G tem algebra de Lie abeliana, entao
1. Existe um recobrimento finito de M no qual o levantamento de F pode ser C0-
1
aproximado por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. Existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
Um fato importante na teoria e que o fecho da holonomia global de uma folheacao de
Lie sobre uma variedade com grupo fundamental abeliano e um grupo abeliano. Usando a
Alternativa de Tits [31], nos generalizamos este fato, provando que se o grupo fundamental
do ambiente e um grupo amenable (discreto) e G e compacto, entao a algebra de Lie do
fecho da holonomia global com respeito a G e abeliana. Usando o Teorema A, obtemos
entao:
Teorema B. Seja g uma algebra de Lie compacta e M uma variedade diferenciavel conexa,
compacta e sem bordo com grupo fundamental amenable. Se M admite uma g-folheacao
de Lie F , entao
1. a menos de passar a um recobrimento finito adequado, a folheacao F pode ser C0-
aproximada por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. dado um grupo de Lie conexo e compacto G que tem g como algebra de Lie, existe
um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
Em seguida, estudamos o caso particular em que o grupo fundamental da variedade
ambiente tem crescimento subexponencial e g nao e necessariamente compacta, obtendo:
Teorema C. Seja M uma variedade diferenciavel conexa, compacta e sem bordo com
grupo fundamental de crescimento subexponencial e suponha que M admite uma g-folheacao
de Lie. Temos:
1. Se G e um grupo de lie conexo com algebra de Lie g, entao G tem crescimento de
volume polinomial;
2. Se s < g e um fator de Levi de g e S e um grupo de Lie conexo que tem s como
algebra de Lie, entao S e compacto e existe um recobrimento finito de M que fibra
sobre S.
2
Em [28], Plante e Thurston provam que o grupo fundamental de uma variedade com-
pacta que admite um fluxo Anosov de codimensao 1 tem crescimento exponencial. Em
[1], encontra-se um resultado semelhante para acoes Anosov quando a diferenca entre a
dimensao da variedade ambiente e a dimensao do grupo de Lie e 1. O Teorema C tem
uma consequencia nessa direcao, para o caso de acoes Anosov centrais “conjuntamente
integraveis”:
Teorema D. Seja G um grupo de Lie conexo com crescimento de volume nao-polinomial.
Se uma variedade compacta e conexa M admite uma acao Anosov central juntamente in-
tegravel de G, entao o grupo fundamental de M tem crescimento exponencial.
Por fim, obtemos um resultado (independente dos anteriores) para acoes Anosov cen-
trais de grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos. A motivacao e um resultado
contido no artigo classico Anosov flows, [27], de J. Plante alem de um resultado de Hirsch
em [17] sobre orbitas compactas de acoes Anosov de grupos de Lie nilpotentes simples-
mente conexos. Seja φ uma acao suave de um grupo de Lie nilpotente conexo e sim-
plesmente conexo G sobre uma variedade diferenciavel M . Dado um elemento g ∈ G
denotamos por Ωg(φ) o conjunto de pontos nao errantes na direcao g. Tal conjunto e
definido tomando-se o vetor X tal que g = exp(X) e considerando-se o conjunto nao
errante do fluxo φ(exp(tX)).
Teorema E. Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo e seja M
uma variedade conexa e compacta. Seja φ uma acao Anosov central suave de G sobre M
tal que, para algum elemento Anosov g, Ωg(φ) = M . Considere as folheacoes estaveis e
instaveis definidas a partir de um elemento Anosov central f de φ. Se existe p ∈ M tal
que a orbita O(p) e compacta e Wuu(p) nao e densa, entao existem um subgrupo de Lie
fechado proprio H G e uma fibracao localmente trivial (contınua) P : M → G/H tal
que cada fibra e saturada por Fuu e F ss.
3
Organizacao do texto
O texto encontra-se dividido em dois capıtulos. O primeiro e maior deles trata de fo-
lheacoes de Lie sobre variedades compactas e contem os principais resultados do trabalho.
Na secao 1.1, apresentamos alguns fatos e teoremas importantes sobre folheacoes de Lie,
em particular, o Teorema de Darboux, o Teorema de fibracao de Tischler e o Teorema
de Fedida. Este ultimo aparece em sua versao mais completa para o caso particular de
folheacoes G-i.u.t.a., caso este que nos sera importante para a demonstracao do Teorema
A. Na secao 1.2, observamos que algumas decomposicoes classicas de algebras de Lie,
implicam na decomposicao de folheacoes de Lie. Primeiramente, notamos que a Decom-
posicao de Levi-Malcev (ver [32]), que decompoe uma algebra de Lie como soma direta do
seu radical com um fator semisimples, nos permite enunciar a proposicao abaixo:
Proposicao I. Se F e uma g-folheacao de Lie sobre uma variedade diferenciavel conexa
M e s < g e um fator de Levi de g, entao existe uma s-folheacao de Lie S sobre M .
Cada folha de S e um subconjunto F-saturado de M . Alem disso, se S tem uma folha
mergulhada L e g 6= s, entao F|L e uma r(g)-folheacao de Lie, onde r(g) < g e o radical
de g.
Em seguida, usando o fato de que toda algebra de Lie semisimples se decompoe como
soma direta de ideais simples, obtemos uma segunda consequencia:
Proposicao II. Se F e uma g-folheacao de Lie sobre M e g e nao-soluvel, entao existe
uma s-folheacao de Lie S sobre M , onde s < g e uma subalgebra de Lie simples. Cada
folha de S e um subconjunto F-saturado de M .
Concluindo a secao sobre decomposicoes, observamos que quando a algebra derivada
de uma algebra de Lie g difere de g, entao, como consequencia do Teorema de Tischler,
M fibra sobre um toro. Mais precisamente:
Proposicao III. Seja F uma g-folheacao de Lie sobre Mn. Se l = dimg− dimDg > 0,
entao existem l formas fechadas de grau 1 linearmente independentes sobre M . Em parti-
cular, se M e compacta, entao M fibra sobre o toro de dimensao l. Seja G a Rl-folheacao
4
de Lie definida por estas 1-formas fechadas. Cada folha de G e um subconjunto F-saturado
de M . Se G tem uma folha mergulhada L, entao F|L e uma h-folheacao de Lie sobre L,
onde h = Dg < g.
Na secao 1.3, nos dedicamos exclusivamente a demonstracao do Teorema A. Em [7],
os autores provam que a holonomia global de uma folheacao de Lie minimal de dimensao
1 e abeliana. Portanto, pelo Teorema de fedida ([13], [11]), se F e uma g-folheacao de
Lie de dimensao 1 e G e um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como
algebra de Lie, entao o fecho da holonomia global de F com respeito a G tem algebra de
Lie abeliana. Usando o Teorema A, obtemos o seguinte:
Corolario i. Seja g uma algebra de Lie semisimples compacta, M uma variedade dife-
renciavel conexa, compacta e sem bordo e seja F uma g-folheacao de Lie de dimensao
1.
1. A menos de passar a um recobrimento finito adequado, a folheacao F pode ser C0-
aproximada por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. Se G e o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como algebra de
Lie, existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
Na secao 1.4, usamos a Alternativa de Tits para obter a Proposicao abaixo:
Proposicao IV. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental ame-
nable e seja F = FΩ uma g-folheacao de Lie sobre M . Seja G um grupo de Lie conexo que
tem g como algebra de Lie e seja Γ = Γ(Ω, G) a holonomia global de F . A componente
conexa de Γ contendo a identidade e um subgrupo de Lie soluvel de G. Em particular, se
G e compacto, entao a componente conexa de Γ contendo a identidade e abeliana.
A Proposicao IV e o Teorema A provam o Teorema B. Concluımos a secao 1.4 obtendo
uma consequencia da Proposicao IV para folheacoes Riemannianas:
Proposicao V. Seja M uma variedade compacta e conexa e seja F uma folheacao Ri-
emanniana sobre M . Se o grupo fundamental de M e amenable, entao a algebra de Lie
5
estrutural de F e soluvel.
Na secao 1.5, utilizamos o Teorema de Milnor-Wolf (ver [22], [34]) e alguns resultados
sobre crescimento de volume em grupos topologicos compactamente gerados para obter o
seguinte:
Proposicao VI. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de
crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheacao de Lie e G e um grupo conexo
que tem g como algebra de Lie, entao G tem crescimento de volume polinomial.
Se G e um grupo de Lie conexo que tem crescimento de volume polinomial e R e o
radical de G, prova-se que G/R e compacto. Portanto, a proposicao acima implica no
seguinte:
Proposicao VII. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de
crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheacao de Lie e G e um grupo de Lie
conexo que tem g como algebra de Lie, entao G/R e compacto, onde R e o radical de G.
O Teorema C e obtido entao como consequencia das Proposicoes VI e VII, da decom-
posicao mencionada na Proposicao I e do Teorema A. Achamos interessante terminar a
secao e o capıtulo 1 escrevendo uma versao do Teorema C para o caso particular em que
a algebra de Lie e semisimples:
Corolario ii. Seja g uma algebra de Lie semisimples e M uma variedade compacta e
conexa que admite uma g-folheacao de Lie.
1. Se g nao e compacta, entao π1(M) tem crescimento exponencial.
2. Se π1(M) tem crescimento subexponencial e G e um grupo de Lie conexo que tem g
como algebra de Lie, entao G e compacto e existe um recobrimento finito de M que
fibra sobre G.
O Capıtulo 2 trata de acoes Anosov centrais em variedades compactas. Na secao 2.1
apresentamos definicoes e fatos importantes sobre tais acoes. Em 2.2, obtemos o Teorema
6
D a partir do Teorema C e na secao 2.3, ultima do trabalho e independente das anteriores,
obtemos o Teorema E.
7
Capıtulo 1
Folheacoes de Lie
1.1 Preliminares
Seja G um grupo de Lie conexo de dimensao q. Um campo vetorial sobre G e invariante
a esquerda se ele e invariante por todas as translacoes a esquerda de G. A algebra de Lie
de G, a qual denotamos por g, e definida como o conjunto de todos os campos invariantes
a esquerda sobre G. Consideramos g munida das operacoes usuais de adicao, produto
escalar e colchete. Seja TeG o espaco tangente de G na identidade. Se X ∈ TeG, existe
uma unica extensao X(·) de X como campo invariante a esquerda sobre G. Tal campo
tem a forma
X(g) = dLg(e) ·X,
onde Lg denota a translacao a esquerda pelo elemento g ∈ G. Podemos identificar g
com TeG definindo o colchete em TeG como [X, Y ] = [X, Y ](e). Tomando uma base
β = X1, . . . , Xq de TeG, escrevemos
[Xi, Xj] =
q∑k=1
ckijXk.
As constantes ckij recebem o nome de constantes estruturais de g relativas a base β. Usando
a antisimetria do colchete e a identidade de Jacobi, concluımos que
1. ckij = −ckji
2.∑q
h=1
(chij · clhk + chjk · clhi + chki · clhj
)= 0.
8
Podemos expressar as constantes estruturais de β por meio de 1-formas diferenciais sobre
G. Uma forma sobre G e dita invariante a esquerda se ela e invariante por todas as
translacoes a esquerda de G. Usando o fato de que o operador diferencial d comuta com o
pull-back, a diferencial de uma forma invariante a esquerda sobre G e tambem invariante
a esquerda. Se α e uma 1-forma invariante a esquerda sobre G, e X e Y sao dois campos
em g, segue de uma formula bastante conhecida (ver [29], pagina 215) que
dα(X, Y ) = X(α(Y )
)− Y
(α(X)
)− α
([X, Y ]
)= 0− 0− α
([X, Y ]
)Em particular,
dα(e)(X, Y ) = −α(e)([X, Y ]). (1.1)
Seja β∗ = α1(e), . . . , αq(e) a base dual da base β mencionada acima. Podemos estender
cada αi(e) a uma 1-forma invariante a esquerda sobre G. Usando (1.1), obtemos
dαk = −∑i<j
ckijαi ∧ αj. (1.2)
Nao ha uma maneira natural de escolher uma base de 1-formas invariantes a esquerda
sobre um grupo de Lie conexo G. Porem, ha uma forma natural de definir uma 1-forma
sobre G tomando valores em g. Mais geralmente, podemos considerar a nocao de formas
diferenciais sobre uma variedade diferenciavel tomando valores em uma algebra de Lie
(para mais detalhes, ver [29]). Uma r-forma em M , r ≥ 1, com valores na algebra de Lie
g e uma aplicacao Ω que a cada p ∈M , associa uma aplicacao r-linear alternada
Ω(p) : TpM × · · ·TpM︸ ︷︷ ︸r vezes
→ g.
Para definir o caso r = 0, considere as funcoes suaves f : M → g. Se (X1, . . . , Xq) e uma
base para g, existem q formas diferenciais de grau r ω1, . . . , ωq sobre M (tomando valores
em R) tais que,
Ω(p) (Y1(p), . . . , Yr(p)) =
q∑l=1
ωl(p)(Y1(p), . . . , Yr(p))Xi, (1.3)
para cada r-upla Y1(p), . . . , Yr(p) ∈ TpM . Temos que Ω e suave quando as formas
ω1, . . . , ωq sao suaves. Quando for conveniente, escreveremos Ω =∑q
l ωlXl. Denota-
mos por Λr(M)⊗ g o conjunto de r-formas sobre M com valores em g. Podemos definir
um operador diferencial
d : Λr(M)⊗ g→ Λr+1(M)⊗ g
9
da seguinte maneira: se (X1, . . . , Xq) e uma base de g e Ω =∑q
l=1 ωlXl, entao fazemos
dΩ :=
q∑l=1
dωlXl.
O operador d e bem definido, ou seja, nao depende da base escolhida e satisfaz d2 = 0.
Seja X1, . . . , Xq uma base de g e Z um campo de vetores suave sobre M . Para cada
funcao suave f : M → g, definimos
Z(f) =
q∑l=1
Z(fl) ·Xl,
onde f =∑q
l=1 flXl. A funcao Z(f) com valores em g nao depende da escolha da base
de g. Se Ω ∈ Λ1(M)⊗ g e X e Y sao dois campos suaves sobre M , temos que
dΩ(X, Y ) =
q∑l=1
dωl(X, Y )Xl
=
q∑l=1
(Xωl(Y )− Y ωl(X)− ωl([X, Y ]))Xl
= XΩ(Y )− Y Ω(X)− Ω[X, Y ].
Fixada a base X1, . . . , Xq de g, se
ξ =
q∑l=1
ξlXl
e uma r-forma e
η =
q∑l=1
ηlXl
e uma s-forma sobreM com valores em g, podemos usar a aplicacao bilinear [ , ] : g×g→ g
para definir sobre M a (r + s)-forma
[ξ, η] :=
q∑i=1
q∑j=1
ξi ∧ ηj[Xi, Xj]. (1.4)
Temos que [ξ, η] esta bem definida, ou seja, nao depende da base escolhida. Alem disso
(veja [29], pagina 411), se Ω ∈ Λ1(M) ⊗ g, entao, para quaisquer campos suaves X e Y
sobre M , temos a igualdade
[Ω,Ω](X, Y ) = 2[Ω(X),Ω(Y )]. (1.5)
10
Se G e um grupo de Lie conexo com algebra de Lie g e X(g) e um vetor qualquer em
TgG, podemos definir a 1-forma α com valores em g dada por
α(g)(X(g)) := X, (1.6)
onde dLg(e)X = X(g). Por construcao, temos que α e invariante a esquerda. Alem disso,
e facil verificar que, para cada g ∈ G, α(g) : TgG→ g e sobrejetiva. Se β = X1, . . . Xqe uma base para g e β∗ = α1, . . . αq e a base de 1-formas invariantes a esquerda sobre
G obtida de β por dualidade, e facil verificar que a forma α definida em (1.6) pode ser
escrita como
α =
q∑k=1
αkXk. (1.7)
Pela relacao entre as constantes estruturais descrita acima, temos
dα =
q∑k=1
dαkXk = −q∑
k=1
(∑i<j
ckijαi ∧ αj
)Xk. (1.8)
Como, por definicao, [Xi, Xj] =∑q
k=1 ckijXk, temos que
[α, α] =
q∑k=1
(q∑i=1
q∑j=1
ckijαi ∧ αj
)Xk. (1.9)
Comparando (1.8) e (1.9), concluımos que
dα = −1
2[α, α]. (1.10)
A forma α e conhecida como forma de Maurer-Cartan de G. Mais geralmente, seja g
uma algebra de Lie de dimensao q e X1, . . . , Xq uma base de g com constantes estruturais
ckij. Suponha que uma variedade diferenciavel M de dimensao n ≥ q admita q 1-formas
suaves ω1, . . . , ωq satisfazendo dωk = −∑
i<j ckijωi ∧ ωj. Fazendo Ω =
∑ql=1 ωlXl obtemos
uma 1 forma em M com valores em g que satisfaz
dΩ = −1
2[Ω,Ω]. (1.11)
Reciprocamente, seja Ω uma 1-forma sobre M com valores em g satisfazendo (1.11). Se
X1, . . . , Xq e uma base de g e Ω =∑q
l=1 ωlXl, entao dωk = −∑
i<j ckijωi ∧ ωj. Uma tal
forma Ω e sobrejetiva em cada ponto se e somente se as formas ω1, . . . , ωq sao linearmente
independentes em cada ponto. Neste caso, o nucleo de Ω coincide com o nucleo do sistema
ω1, . . . , ωq e, pelo Teorema de Frobenius, tal nucleo define uma folheacao sobre M de
codimensao q. Podemos agora apresentar a definicao formal de folheacoes de Lie, segundo
Fedida ([11]):
11
Definicao 1. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n e g uma algebra de Lie
de dimensao q, q ≤ n. Dizemos que uma folheacao F sobre M de codimensao q e uma
g-folheacao de Lie se F e definida pelo nucleo de uma 1-forma Ω sobre M com valores
em g tal que
1. Ω(x) : TxM → g e sobrejetiva, para cada x ∈M ;
2. dΩ + 12[Ω,Ω] = 0.
No decorrer do trabalho denotaremos uma g-folheacao de Lie por FΩ, visando deixar
explıcita a forma Ω que torna F uma folheacao de Lie. Se β = X1, . . . , Xq e uma
base da algebra de Lie g com constantes estruturais ckij, entao, pelo que vimos acima,
uma folheacao F sobre M e uma g-folheacao de Lie se e somente se F e definida por um
sistema ω1, . . . , ωq de 1-formas linearmente independentes sobre M com valores reais
que satisfazem
dωk = −∑i<j
ckijωi ∧ ωj.
Exemplo 1. Uma Rr-folheacao de Lie sobre uma variedade diferenciavel M e uma fo-
lheacao definida pelo nucleo de r formas fechadas de grau 1 linearmente independentes
sobre M .
Exemplo 2. Seja π : E → M um G-fibrado principal e denote por φ a acao livre a
direita de G sobre E ([20], pagina 50). Se uma forma de conexao Ω sobre E e flat, ou
equivalentemente, se a forma de curvatura de Ω e nula, temos que Ω satisfaz dΩ = −12[Ω,Ω]
(ver [20], pag 78, 92-94). Portanto, Ω define uma g-folheacao de Lie F sobre E transversal
as fibras. Alem disso, φ preserva as folhas de F .
Uma folheacao de Lie foi definida a partir de uma 1-forma com valores em uma algebra
de Lie g, mas ate agora nao descrevemos claramente a relacao entre uma tal folheacao com
um grupo de Lie conexo que tenha g como algebra de Lie. Passamos agora a esclarecer
tal relacao:
Teorema de Darboux-Fedida. Seja M uma variedade diferenciavel e F = FΩ uma
g-folheacao de Lie sobre M . Seja G um grupo de Lie conexo de dimensao q que tem g
como algebra de Lie e denote por α sua forma de Maurer-Cartan. Denote por φ a acao
12
natural sobre M×G por translacoes a esquerda e por p1 : M×G→M e p2 : M×G→ G
as projecoes canonicas. Temos que:
1. A forma Θ sobre M ×G com valores em g definida por
Θ(x,g)(u, v) = Ω(x)u− α(g)v
induz sobre M ×G uma folheacao G de codimensao q;
2. G e invariante por φ, isto e, para cada g ∈ G, o difeomorfismo φg leva folhas de Gsobre folhas de G.
3. As folhas de G sao transversais as orbitas de φ.
4. Se M ′ e uma folha de G, a aplicacao p1|M ′ : M ′ →M e um recobrimento Galoisiano.
O grupo de automorfismos deste recobrimento esta associado a um homomorfismo
h : π1(M)→ G que satisfaz
α(p) = φh(α)(p), ∀α ∈ π1(M) e p ∈M ′
e que tem por imagem o conjunto h(π1(M)) = g ∈ G; φg(M ′) = M ′;
5. A aplicacao p2|M ′ : M ′ → G e uma submersao;
6. p∗1(Ω)|M ′ ≡ p∗2(α)|M ′..
Demonstracao. Pelo que vimos acima, fixada uma base de g com constantes estruturais
ckij, podemos obter, a partir de Ω, um sistema ω1, . . . ωq de 1-formas linearmente
independentes em M satisfazendo dωk = −∑
i<j ckijωi ∧ ωj e cujo nucleo, em cada ponto
de M , coincide com o nucleo de Ω. Defina sobre M ×G as 1-formas
Θk := p∗1(ωk)− p∗2(αk), k ∈ 1, . . . , q.
E facil verificar que tal sistema e linearmente independente e que seu nucleo em cada
13
ponto coincide com o nucleo de Θ. Denotando ωk := p∗1(ωk) e αk := p∗2(αk), temos que
dΘk = p∗1(dωk)− p∗2(dαk) = p∗1
(−∑i<j
ckijωi ∧ ωj
)− p∗2
(−∑i<j
ckijαi ∧ αj
)= −
∑i<j
ckij ((ωi ∧ ωj)− (αi ∧ αj))
= −∑i<j
ckij (ωi ∧ (ωj − αj) + (ωi − αi) ∧ αj)
= −∑i<j
ckij (ωi ∧Θj + Θi ∧ αj) .
Assim, segue do Teorema de Frobenius que o sistema Θ1, . . . ,Θq define uma folheacao
G de codimensao q sobre M × G e o item 1 esta concluıdo. Para obter o item 2, basta
notar que
φg∗(Θk) = (p1 φg)∗(ωk)− (p2 φg)∗(αk) = p∗1(ωk)− p∗2(αk) = Θk.
Seja M ′ uma folha de G e tome p = (x, g) ∈ M ′. Como a dimensao de G e igual a
dimensao de M , para ver que G e transversal as orbitas de φ, e suficiente mostrar que
TpM′ ∩ (0 ⊕ TgG) = (0, 0).
De fato, se X = (0, v) ∈ TpM ′, temos que
0 = ωk(x)0− αk(g)v = 0− αk(g)v
para cada k ∈ 1, . . . , q. Isto implica que v = 0 e o item 3 esta provado. Note que
podemos ver M × G como um fibrado principal (trivial) so que com grupo estrutural
agindo por translacoes a esquerda e nao a direita. Nesse sentido, Θ e uma forma de
conexao totalmente integravel (ou flat) deste fibrado (ver [20], pp 92-94). O item 4 e,
portanto, uma consequencia da Teoria de fibrados principais, sendo h o homomorfismo de
holonomia da forma de conexao Θ. Seja p = (x, g) ∈M ′ e seja v ∈ TgG. Para obter o item
5, devemos provar que existe u ∈ TxM tal que X = (u, v) ∈ TpM ′ ou, equivalentemente,
u deve satisfazer Ω(x)u = α(g)v. Como Ω e sobrejetiva em todo ponto, o resultado segue.
O item 6 segue diretamente da construcao.
Considere as notacoes usadas no Teorema de Darboux-Fedida. O grupo h(π1(M))
recebe o nome de grupo de holonomia global de F com respeito a G, ou, por simplicidade,
holonomia global de F . Observamos que, fixada a forma Ω e o grupo de Lie G, o grupo de
14
holonomia global de FΩ com respeito a G fica bem definido a menos de uma conjugacao
por um elemento de G, pois ele depende ainda da escolha da folha M ′ da folheacao G.
Durante todo o trabalho, se F = FΩ e uma g-folheacao de Lie sobre M e G e um grupo de
Lie conexo que tem g como algebra de Lie, denotaremos por Γ(Ω, G) o grupo de holonomia
global de F construıdo conforme o Teorema de Darboux-Fedida, supondo escolhida uma
folha M ′ da folheacao G.
Utilizando ainda as notacoes do Teorema de Darboux-Fedida, considere o recobrimento
Galoisiano, P1 = p1|M ′ : M ′ → M , a submersao P2 = p2|M ′ : M ′ → G e o homomorfismo
h : π1(M)→ G, associado ao grupo dos automorfismos do recobrimento P1 . Pelo Teorema
de Darboux, temos que
i. (pelo item 4) P2 e equivariante por h, ou seja P2(α(x)) = h(α) ∗ P2(x) ;
ii. (pelo item 6) P ∗1 (F) e a folheacao definida pela submersao P2;
A colecao (M ′, P2, h,G) recebe o nome de G-desenvolvimento da g-folheacao F . Note
que se tivessemos escolhido uma outra folha M de G diferente de M ′, terıamos um outro
G-desenvolvimento (M, P2, h, G) para F . Neste caso, os desenvolvimentos estariam rela-
cionados da seguinte maneira: h = g ∗ h ∗ g−1 e P2 = g ∗ P2, para algum elemento g ∈ Gtal que φg(M ′) = M .
Reciprocamente, a existencia de um G-desenvolvimento para uma folheacao implica
que tal folheacao e uma folheacao de Lie. Mais precisamente, seja F uma folheacao de
codimensao q de uma variedade diferenciavel M (a princıpio nao necessariamente uma
folheacao de Lie) e suponha que consigamos encontrar um recobrimento P1 : M ′ → M ,
uma submersao P2 : M ′ → G e um homomorfismo h : π1(M) → G associado ao grupo
dos automorfismos do recobrimento P1. Suponha ainda que a colecao (M ′, P2, h,G) sa-
tisfaca os ıtens (i) e (ii) acima. Diremos, tambem nesse caso, que (M ′, P2, h,G) e um
G-desenvolvimento para F . Usando a aplicacao P2 P−11 restrita a vizinhancas distingui-
das do recobrimento P1 e usando a equivariancia de P2 por h, podemos encontrar uma
famılia de submersoes fi : Ui → Gi∈Λ e uma famılia localmente constante giji,j∈Λ de
aplicacoes gij : Ui ∩ Uj → G satisfazendo:
1. Uii∈Λ e uma cobertura aberta de M .
2. as folhas de F|Uisao dadas por fi = constante.
15
3. fi(x) = gij(x) ∗ fj(x), ∀x ∈ Ui ∩ Uj.
Dizemos que as submersoes fi : Ui → Gi∈Λ e a famılia giji,j∈Λ definem uma estrutura
transversal de Lie para F modelada em G. Se α1, · · · , αq sao 1-formas invariantes a es-
querda e linearmente independentes sobre G com constantes estruturais ckij, podemos
fazer o pull-back pelas submersoes fi : Ui → Gi∈Λ e obter 1-formas ω1, . . . , ωq linear-
mente independentes definidas globalmente sobre M e satisfazendo dωk =∑
i<j ckijωi∧ωj.
De fato, isto pode ser feito consistentemente pois as aplicacoes de transicao sao translacoes
a esquerda. Portanto, a folheacao F e uma g-folheacao de Lie sobre M . Em resumo, uma
folheacao F de uma variedade diferenciavel M e uma g-folheacao de Lie se e somente se
F admite um G-desenvolvimento. Ou ainda, F e uma g-folheacao de Lie se e somente se
F admite um estrutura transversal de Lie modelada por G.
Uma algebra de Lie g e dita compacta se ela e a algebra de Lie de algum grupo de Lie
compacto e conexo. Apresentamos abaixo um metodo conhecido de se obter exemplos de
g-folheacoes de Lie sobre variedades compactas quando g e uma algebra de Lie compacta:
Exemplo 3. Seja G um grupo de Lie compacto e conexo, N uma variedade compacta
e conexa e seja h : π1(N) → G um homomorfismo. Denote por N o recobrimento
universal de N e considere a acao diagonal de π1(N) sobre N ×G definida por α(x, g) 7→((x)α, h(α)−1g). Tal acao e propriamente descontınua e isto nos permite dar uma estrutura
diferenciavel que torna E =(N ×G
)/π1(N) uma variedade compacta. Alem disso,
podemos definir sobre E uma folheacao F transversal as fibras (ver [5], pag 93). Tal
folheacao e uma g-folheacao de Lie, pois, por construcao, admite uma estrutura transversal
de Lie modelada em G. Alem disso, verifica-se que a acao natural por translacoes a direita
sobre E esta bem definida, e transversal a F e preserva suas folhas. Se Ω e uma 1-forma
com valores em g que define F , entao Ω e uma forma de conexao flat do G-fibrado principal
E.
A g-folheacao de Lie F definida no Exemplo 2 possui uma propriedade especial: existe
uma acao suave φ na variedade ambiente que preserva as folhas de F e cujas orbitas sao
transversais as folhas de F . O mesmo vale para o Exemplo 3 e para a folheacao G definida
sobre M ×G durante a demonstracao do Teorema de Darboux-Fedida. Elas fazem parte
de uma classe especial de folheacoes denominadas folheacoes G-i.u.t.a., a qual passamos
a descrever mais formalmente: Seja G um grupo de Lie conexo de dimensao q e F uma
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folheacao de codimensao q sobre uma variedade diferenciavel conexa M . Dizemos que Fe G-i.u.t.a. (ou invariante por uma acao transversal de G) se existe uma acao localmente
livre φ de G sobre M cujas orbitas sao transversais as folhas de F e tal que, para cada
g ∈ G, φg leva folhas de F difeomorficamente sobre folhas de F . Em [2], os autores
constroem um desenvolvimento para essa classe de folheacoes. Em particular, se g e a
algebra de Lie de G, entao uma folheacao G-i.u.t.a. e uma g-folheacao de Lie. A recıproca,
no entanto, nao e necessariamente verdadeira. E possıvel provar que uma g-folheacao de
Lie F sobre uma variedade compacta e G-i.u.t.a. se e somente F admite uma folheacao
complementar (ver [2]). Uma maneira de buscar um exemplo de folheacao de Lie que
nao e G-i.u.t.a. e o seguinte: Seja g uma algebra de Lie de dimensao q e G o (unico)
grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como algebra de Lie. Seja M
uma variedade compacta de dimensao q+ 1 com grupo fundamental finito. Se M admitir
uma g-folheacao de Lie F , entao F nao e G-i.u.t.a.. De fato, isto e uma consequencia do
Corolario 1, pagina 176 de [5].
Folheacoes de Lie de variedades compactas sao dinamicamente simples. Isto pode ser
justificado pelo Teorema de Fedida para folheacoes de Lie ([11]). O resultado abaixo esta
contido no trabalho de Fedida:
Fibracao de Fedida ([11]). Seja M uma variedade compacta e conexa e G um grupo
de Lie conexo com algebra de Lie g. Se F = FΩ e uma g-folheacao de Lie sobre M com
holonomia global Γ = Γ(Ω, G), entao existe uma fibracao localmente trivial P : M → Γ\Gtal que cada fibra e um subconjunto F-saturado de M . Em particular, Γ\G e compacto.
Demonstracao. Existe uma unica estrutura diferenciavel para Γ\G que torna a projecao
natural π : G→ Γ\G um fibrado principal (a esquerda). Pela construcao na demonstracao
do teorema de Darboux-Fedida, existe uma unica aplicacao P : M → Γ\G que faz o
diagrama
M ′ p1|M′ //
p2|M′
M
P
Gπ // Γ\G
comutar. Como p1|M ′ e uma aplicacao de recobrimento, entao P e suave. Como π p2|M ′
e uma submersao, entao P e uma submersao. Como M e compacta, P e uma fibracao
17
localmente trivial (Teorema de Ehresmann, ver [13]). Pelo item 6 do Teorema de Darboux-
Fedida, cada fibra de P e um subconjunto F -saturado de M .
Observacao 1. Quando o grupo de Lie G e simplesmente conexo, podemos enunciar o
Teorema de Fedida de forma mais precisa. De fato, neste caso verifica-se que a fibracao
P : M → Γ\G possui fibras conexas e que F induz sobre cada fibra de P uma h-folheacao
de Lie com todas as folhas densas, onde h e a algebra de Lie de Γ. No caso de folheacoes
G-i.u.t.a., podemos enunciar uma versao completa do Teorema de Fedida mesmo quando
o grupo de Lie G nao e simplesmente conexo:
Teorema de Fedida para folheacoes G-i.u.t.a. Seja M uma variedade compacta
e conexa e F uma folheacao G-i.u.t.a. sobre M . Seja L uma folha de F e considere
o subgrupo Γ = g ∈ G; φg(L) = L. Existe uma fibracao localmente trivial com fibras
conexas P : M → G/Γ tal que cada fibra e um subconjunto F-saturado de M . Alem disso,
F induz sobre a fibra contendo L uma h-folheacao de Lie com todas as folhas densas, onde
h e a algebra de Lie de Γ.
Demonstracao. Seja φ a acao de G sobre M que preserva e e transversal a F . Seja
p1 : G × L → G a projecao natural. Seguindo a demonstracao do Teorema 1 de [2],
concluımos que a aplicacao
φ|G×L : G× L→M
e um recobrimento galoisiano e que existe uma unica aplicacao P : M → G/Γ tal que o
diagrama abaixo
G× Lφ|G×L //
p1
M
P
Gπ // G/Γ
comuta. Concluimos assim que P e uma submersao e, pela compacidade de M , uma
fibracao localmente trivial. Vamos provar que P−1([e]) e exatamente o fecho de L.
Afirmacao. Γ ⊂ H = g ∈ G; φg(L) = L.
De fato, usando a compacidade de M , e facil verificar que se g ∈ Γ, entao φg(L) ⊂ L.
Por outro lado, se g pertence a Γ, entao g−1 tambem pertence e, portanto, φg−1
(L) ⊂ L
18
e isto prova que Γ ⊂ H = g ∈ G; φg(L) = L.
Obviamente o conjunto fechado F -saturado P−1([e]) contem L. Seja L1 uma folha de
F contida em P−1([e]). Usando a conexidade de M e a transversalidade de φ com respeito
a F , e possıvel provar que φ age transitivamente no espaco de folhas de F (ver [2]), isto
e, existe g ∈ G tal que φg(L) = L1. Como L1 ⊂ P−1([e]), temos que g ∈ Γ. Logo, pela
afirmacao acima,
L1 ⊂ φg(L) = L
donde concluımos que P−1([e]) = L. Como φ preserva F , e facil verificar que L =
φg(L) = φg(L) = L1. Portanto F induz sobre L uma folheacao com todas as folhas
densas. Seja Γ0 a componente conexa de Γ contendo a identidade. Pela afirmacao acima
e pelas dimensoes das variedades envolvidas, temos que a folheacao induzida por F sobre
L e uma folheacao Γ0-i.u.t.a., sendo, portanto, uma h-folheacao de Lie com todas as folhas
densas. Alem disso, segue da afirmacao acima e das dimensoes envolvidas, que Γ0 coincide
com a componente conexa de H contendo a identidade.
Concluiremos a secao de preliminares apresentando o famoso Teorema de fibracao de
Tischler. Seguiremos aqui a prova apresentada por Plante em [27]. Seja M uma variedade
compacta e ω uma 1-forma fechada suave sobre M . Como ω e fechada, o homomorfismo
Ψω : π1(M) → R
[γ] 7→∫γ
ω
esta bem definido. A imagem de Ψω recebe o nome de grupo de perıodos de ω. Dizemos
que ω tem perıodos racionais se o grupo de perıodos de ω esta contido em Q. Se ω tem
perıodos racionais e ω e nao singular, entao as folhas da R-folheacao de Lie F definida
pelo nucleo de ω sao fechadas e M e um fibrado localmente trivial sobre S1. De fato, como
π1(M) e finitamente gerado, podemos supor que o grupo de perıodos de ω esta contido
em Z, multiplicando ω por um numero inteiro adequado, o que nao altera a folheacao.
Assim, fixado x0 ∈M , a aplicacao
π : M → R/Z ' S1
x 7→∫γx
ω,
19
onde γx e qualquer caminho ligando x a x0, esta bem definida. Alem disso, a aplicacao π
e uma submersao, pois
Dπ(x) · v = ω(x) · v
e ω e nao singular. Segue do Teorema da fibracao de Ehresmann que π e uma fibracao
localmente trivial. Por construcao, se x e y estao numa mesma folha de F , entao π(x) =
π(y). Logo, π−1(z) e uma uniao finita de folhas de F . Em particular, todas as folhas de
F sao compactas. Podemos afirmar o mesmo no caso de uma Rr-folheacao de Lie. Mais
precisamente, seja M uma variedade compacta e seja F uma Rr-folheacao de Lie definida
por 1-formas fechadas ω1, . . . , ωr linearmente independentes sobre M . Se ω1, . . . , ωr tem
perıodos racionais, entao as folhas de F sao compactas e M fibra sobre o toro T r. De
fato, assim como antes, podemos supor que o grupo de perıodos das formas tem perıodos
inteiros, donde a aplicacao
π : M → R/Z× · · · × R/Z
x 7→(∫
γx
ω1, · · · ,∫γx
ωr
).
fica bem definida. Alem disso, v ∈ TxM pertence ao nucleo de Dπ(x) se e somente se
v e tangente a F em x. Concluımos entao que, tambem neste caso, π e uma submersao
e que a afirmacao procede. Considere a variedade compacta M munida de uma metrica
Riemanniana e denote por TM1 o seu fibrado tangente unitario. Considere o espaco de
1-formas suaves sobre M munido da norma
‖ω‖ = sup(p,u)∈TM1
|ω(p)v| .
Sejam ω1, . . . , ωr 1-formas linearmente independentes sobre M . Existe ε > 0, suficien-
temente pequeno, tal que se ‖ωi − ωi‖ < ε para cada i ∈ 1, . . . , r, entao as 1-formas
ω1, . . . , ωr sao linearmente independentes sobre M .
Teorema de Fibracao de Tischler ([30]). Sejam ω1, . . . , ωr 1-formas fechadas line-
armente independentes sobre uma variedade compacta e conexa M .
1. A Rr-folheacao de Lie definida por ω1, . . . , ωr pode ser C0-aproximada por uma Rr-
folheacao de Lie com todas as folhas compactas;
2. A variedade M fibra sobre o toro T r.
20
Demonstracao. Vamos provar que dada uma forma fechada ω sobre M , e possıvel en-
contrar uma 1-forma fechada ω com perıodos racionais arbitrariamente proxima de ω,
com respeito a norma definida acima. Em particular, pelo que comentamos acima, con-
seguiremos aproximar as formas fechadas ω1, . . . , ωr por formas fechadas linearmente in-
dependentes com perıodos racionais que, portanto, geram uma Rr-folheacao de Lie com
folhas compactas. A aproximacao das 1-formas com respeito a norma mencionada, im-
plica na C0-aproximacao das referidas folheacoes (consideradas como secoes do fibrado
r-grassmanniano de M). O famoso Teorema de Hurewicz (ver [3], pagina 173) define
um homomorfismo sobrejetor natural entre π1(M) e H1(M,Z) cujo nucleo e o subgrupo
dos comutadores de π1(M). Como M e compacta, H1(M,Z) e um grupo abeliano finita-
mente gerado. Portanto, H1(M,Z) e a soma direta da sua parte livre, a qual denotamos
por H, com um subgrupo abeliano finito. Usando o Teorema de Hurewicz, podemos
portanto definir uma projecao natural P : π1(M) → H. Tome curvas fechadas sua-
ves γ1, . . . , γk em M cuja projecao por P das respectivas classes de homotopia formam
uma base β de H. Seja α1, . . . , αk a base dual de β em H∗. Como Z nao tem torcao,
H∗ = H1(M,Z)∗ = H1(M,Z), donde α1, . . . , αk formam uma base de H1(M,Z). Pelo
Teorema do Isomorfismo de De Rham (ver [3], pagina 287), podemos considerar α1, . . . , αk
como 1-formas fechadas suaves sobre M que satisfazem∫γiαj = δij. Seja ω uma 1-forma
fechada suave sobre M e seja γ um caminho suave fechado sobre M . Como R e abeliano e
livre de torcao, se P ([γ]) = n1P ([γ1])+ · · ·+nkP ([γk]) e a projecao da classe de homotopia
de γ dentro de H, temos que∫γ
ω = n1
∫γ1
ω + · · ·+ nk
∫γk
ω.
Note que, em particular, α1, . . . , αk tem perıodos inteiros. Alem disso, se escrevermos
ci :=∫γiω, temos que o grupo de perıodos da forma fechada(
ω −k∑i=1
ciαi
)e trivial. Com isto, se escolhemos um ponto base x0 ∈M , temos que a funcao
f(x) =
∫[x0,x]
(ω −
k∑i=1
ciαi
),
onde a integral calculada ao longo de qualquer caminho unindo x0 a x, esta bem definida.
Por construcao, temos que
ω =
(k∑l=1
ciαi
)+ df.
21
Como as formas α1, . . . , αk tem perıodos inteiros, temos que ω tem perıodos racionais se e
somente se c1, . . . , ck pertencem aos racionais. Como Q e denso em R, podemos escolher
numeros racionais q1, . . . , qk, com qi arbitrariamente proximo de ci, de modo que a forma
ω =
(k∑l=1
qiαi
)+ df
tenha perıodos racionais e esteja arbitrariamente proxima da forma ω com respeito a
norma descrita acima.
Seja M uma variedade diferenciavel conexa, compacta e orientada. Denotemos por
Λ1(M) o conjunto de todas as 1-formas diferenciais suaves sobre M e por
Λ1h(M) = ω ∈ Λ1(M); ∆ω = 0
o subespaco das 1-formas harmonicas sobre M (para todos os detalhes, ver [33]). Fixada
uma base de Λ1h(M), podemos definir uma projecao H : Λ1(M)→ Λ1
h(M) (ver [33], pagina
224). Se θ ∈ Λ1(M) e uma 1-forma fechada, segue do Teorema de Hodge (Teorema 6.11 em
[33]) que a forma H(θ) e a unica forma harmonica na classe de cohomologia de θ. Abaixo,
utilizamos o Teorema de Hodge para escrever uma versao do Teorema de Tischler que nos
sera importante na prova do Teorema A:
Teorema de Fibracao de Tischler (versao 2). Sejam ω1, . . . , ωr 1-formas fechadas
linearmente independentes sobre uma variedade compacta, conexa e orientada M . Existem
1-formas fechadas harmonicas u1, . . . , ur sobre M arbitrariamente pequenas, tais que as
formas fechadas
ω1 + u1, . . . , ωr + ur
sao linearmente independentes e possuem perıodos racionais.
Demonstracao. Mais uma vez, basta considerar o caso r = 1. Seguindo a notacao utilizada
na demonstracao do Teorema de Fibracao de Tischler, considere a forma fechada
θ := ω − ω =k∑l=1
(qi − ci)αi.
Pelo que vimos, podemos tomar θ arbitrariamente pequena, bastando tomar os coeficientes
racionais de ω arbitrariamente proximos dos coeficientes de ω. Tomando a projecao H :
22
Λ1(M) → Λ1h(M) mencionada acima, temos que a forma harmonica u = H(θ) pertence
a mesma classe de cohomologia de θ. Isto implica que as formas fechadas ω = ω + θ e
ω + u possuem o mesmo grupo de perıodos. Portanto, ω + u possui perıodos racionais.
Usando o fato de que o operador H e contınuo, podemos tomar a forma u arbitrariamente
pequena, bastando para isso que θ seja suficientemente pequena.
1.2 Decompondo folheacoes de Lie
Dada uma algebra de lie g, existe um ideal soluvel de g que contem todos os ideais soluveis
de g, Este ideal e chamado radical de g e o denotamos por r(g). Temos que g e soluvel
se e somente se r(g) = g; g e semisimples se e somente se r(g) = 0, isto e, se e somente
se g nao tem ideais soluveis; e g e simples se e somente se g nao tem ideais proprios e e
nao-abeliana.
E bem conhecido (ver [32]) que qualquer algebra de Lie semisimples admite uma
decomposicao s = s1 ⊕ s2 ⊕ · · · ⊕ sl em soma direta de subalgebras de Lie simples. As
somas diretas de 1 ≤ j ≤ l elementos de s1, . . . , sl sao (os unicos) ideais de g. O proximo
resultado tambem pode ser encontrado em [32]:
Decomposicao de Levi-Malcev. Seja g uma algebra de Lie e seja r(g) ⊂ g seu radical.
Existe uma subalgebra semisimples s ⊂ g tal que g e uma soma direta (como espacos
vetoriais) de s e r(g).
Uma subalgebra de Lie s < g dada pela decomposicao de Levi-Malvec recebe o nome
de fator de Levi de g. Seja G um grupo de Lie conexo que tem g como algebra de Lie. Se
S < G e o unico subgrupo de Lie conexo de G que tem s como algebra de Lie, dizemos
que S e um fator de Levi de G. O unico subgrupo de Lie conexo R < G cuja algebra de
Lie e r(g) e denominado radical de G.
Nos proximos resultados, nos usamos decomposicoes de algebras de Lie para decompor
folheacoes de Lie. Em particular, verificamos que o estudo de folheacoes de Lie com folhas
densas pode ser reduzido, em algum sentido, ao caso soluvel e simples:
Proposicao I. Se F e uma g-folheacao de Lie sobre uma variedade conexa M e s < g
e um fator de Levi de g, entao existe uma s-folheacao de Lie S sobre M . Cada folha de
23
S e um subconjunto F-saturado de M . Alem disso, se S tem uma folha mergulhada L e
g 6= s, entao F|L e uma r(g)-folheacao de Lie, onde r(g) < g e o radical de g.
Demonstracao. Considere um decomposicao de Levi-Malcev g = s + r(g). Como g e nao-
soluvel, s nao e trivial. Tome uma base X1, . . . , Xs de s e uma base Xs+1, . . . , Xq de
r(g). Seja ckij as constantes estruturais da base β = X1, . . . , Xs, Xs+1, . . . , Xq. Usando
o fato de que r(g) e um ideal de g, e facil verificar que
Se 1 ≤ k ≤ s e i ou j sao maiores que s, entao ckij = 0. (1.12)
Como F e uma g-folheacao de Lie, existem 1-formas fechadas linearmente independentes
ω1, . . . , ωs, ωs+1, . . . , ωq sobre M tangentes a F e satisfazendo as relacoes envolvendo as
constantes estruturais ckij. Por (1.12), ω1, . . . , ωs definem uma s-folheacao de Lie Ssobre M . Por construcao, cada folha de S e um subconjunto F -saturado de M . Suponha
que S tenha uma folha mergulhada L e que s 6= g. As 1-formas
η1 := ωs+1|L, η2 := ωs+2|L, . . . , ηq−s := ωq|L,
sao suaves e linearmente independentes em L. Since ω1|L ≡ · · · ≡ ωs|L ≡ 0, temos que
dηk =∑i<j
Ckijηi ∧ ηj,
onde Ckij = c
(k+s)(i+s)(j+s) sao as constantes estruturais associadas a base
Y1 := Xs+1, . . . , Yq−s := Xq
de r(g). Portanto, η1, . . . , ηq−s definem uma r(g)-folheacao de Lie sobre L. Tal folheacao
deve ser F|L.
Proposicao II. Se F e uma g-folheacao de Lie sobre M e g e nao-soluvel, entao existe
uma s-folheacao de Lie S sobre M , onde s < g e uma subalgebra de Lie simples. Cada
folha de S e um subconjunto F-saturado de M .
Demonstracao. Seja S a s-folheacao de Lie sobre M dada pela Proposicao I. Tome uma
decomposicao s = s1 ⊕ s2 ⊕ · · · ⊕ ss em subalgebras de Lie simples, como mencionado no
inıcio da secao. Usando o fato de que s2⊕ · · · ⊕ ss e um ideal de s e procedendo como na
prova da Proposicao I, obtemos uma s1-folheacao de Lie S1 sobre M tal que cada folha
de S1 e um subconjunto S-saturado de M . Obviamente, cada folha de S1 e tambem um
subconjunto F -saturado de M .
24
Denotemos por Dg ⊂ g a algebra derivada de g. Por definicao, Dg e o subespaco
vetorial gerado por todos os elementos da forma [X, Y ], com X, Y ∈ g. E facil ver que
Dg e um ideal de g. Fazendo D0g = g, podemos definir indutivamente a p-esima algebra
derivada de g como sendo Dpg = D (Dp−1g). Se g e semisimples, entao Dg = g. Se g e
soluvel, entao existe p ∈ N tal que Dpg = 0. Para maiores detalhes, ver [32]. O proximo
resultado e uma generalizacao simples do Teorema de fibracao de Tischler:
Proposicao III. Seja F uma g-folheacao de Lie sobre Mn. Se l = dimg− dimDg > 0,
entao existem l 1-formas fechadas linearmente independentes sobre M . Em particular,
se M e compacta, entao M fibra sobre o toro de dimensao l. Seja G a Rl-folheacao de
Lie definida por estas 1-formas fechadas. Cada folha de G e um subconjunto F-saturado
de M . Se G tem uma folha mergulhada L, entao F|L e uma h-folheacao de Lie sobre L,
onde h = Dg < g.
Demonstracao. Tome um produto interno qualquer sobre o espaco vetorial g e considere a
decomposicao g = (Dg)⊥⊕Dg. Seja β = X1, . . . , Xl, Xl+1, . . . , Xq uma base de g tal que
X1, . . . , Xl e uma base de (Dg)⊥. Como F e uma g-folheacao de Lie, existem q 1-formas
linearmente independentes ω1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωq sobre M tangentes a F e que satisfazem
as condicoes envolvendo as constantes estruturais de β. Como [Xi, Xj] ∈ Dg, temos que
c1ij = · · · = clij = 0. Portanto ω1, . . . , ωl sao fechadas e definem uma Rl-folheacao de Lie G
sobre M . Se G tem uma folha compacta, entao, como Dg e um ideal, podemos proceder
como na prova da Proposicao I e concluir o resultado.
1.3 Uma versao do Teorema de Tischler para grupos
de Lie compactos
1.3.1 Convergencia de campos de planos
O objetivo ate o fim desta secao e provar dois lemas que, apesar de bastante simples, sao
um pouco tecnicos. Isto porque eles foram construıdos para se encaixar especificamente
na prova do Teorema A. Para tratar da convergencia mencionada no Teorema A, devemos
considerar o conjunto de folheacoes suaves como o conjunto das secoes suaves e integraveis
25
do fibrado Grassmanniano da variedade ambiente, munido da topologia de Whitney de
classe C0 . Entretanto, para provar os lemas desejados, nos pareceu mais conveniente
utilizar uma nocao geometrica de convergencia de campos de planos que apresentamos
logo abaixo. Tal convergencia implica na convergencia com respeito a topologia C0. Por
tudo o que acabamos de dizer, afirmamos que o leitor pode, sem prejuızo, passar a prova
do Teorema A na proxima secao e retornar, talvez mais motivado, para a demonstracao
dos referidos Lemas.
Seja F um campo de planos de dimensao r sobre uma variedade Riemanniana com-
pacta e conexa M . Considere os conjuntos
FR = (p, u); p ∈M,u ∈ F(p) e ‖u‖ = R
e
F (R) = (p, u); p ∈M,u ∈ F(p) e ‖u‖ ≤ R.
Definicao 2. Sejam F e G campos de planos de mesma dimensao sobre uma variedade
Riemanniana compacta e conexa M . Dizemos que F esta ε-proxima de G e denotamos
F ∼ε G se e somente se, para cada (p, u) ∈ G1, existe (p, v) ∈ F1 tal que ‖u− v‖ < ε.
Definicao 3. Seja M uma variedade Riemanniana compacta e conexa. Seja Fk uma
sequencia de campos de planos de dimensao r sobre M e seja F um campo de planos de
dimensao r sobre M . Dizemos que Fk converge para F se e somente, dado ε > 0, existe
k0 ∈ N tal que, para cada k maior que k0, Fk ∼ε F .
Afirmacao 1. Seja Fk uma sequencia de campos de planos de dimensao r sobre M
convergindo para um campo de planos F . Dado ε > 0 e R > 0, existe um k0 ∈ N tal
que, para cada k maior do que k0 e cada (p, u) ∈ F (R) podemos encontrar (p, vk) ∈ F (R)k
satisfazendo ‖u− vk‖ < ε.
Demonstracao. Segue facilmente da Definicao 3 e das propriedades do produto interno.
Observacao. Se uma sequencia de campos planos completamente integraveis Fk con-
verge para F no sentido da Definicao 3, entao a folheacao Fk converge para a folheacao
26
F na topologia C0.
Os proximos lemas sao consequencias elementares das definicoes acima e do Teorema
de Tischler e serao empregados na prova do Teorema A:
Lema 1. Sejam Nn e Gq variedades conexas e compactas e seja F uma Rr-folheacao de
Lie sobre N definida por 1-formas fechadas linearmente independentes ω1, . . . , ωr. Seja
P : N → G uma aplicacao suave tal que, para cada folha L de F , a restricao P |L :
L → G e uma submersao. Existe um k0 ∈ N tal que, para cada k ∈ N maior do que k0,
podemos encontrar um sistema integravel Λk = (ωk1 , . . . , ωkr ) de 1-formas fechadas sobre
N satisfazendo:
1. Λk define uma Rr-folheacao de Lie Fk com todas as folhas compactas;
2. ‖ωi − ωki ‖ ≤ 1k, para cada i ∈ 1, . . . , r;
3. para cada folha Lk de Fk, a restricao P |Lk: Lk → G e uma submersao.
Alem disso, a sequencia de campo de planos integraveis Pk = ker(DP )∩kerωk1∩· · ·∩kerωkr
converge para o campo de planos P = ker(DP ) ∩ kerω1 ∩ · · · ∩ kerωr
Demonstracao. Os ıtens (1) e (2) sao uma consequencia do Teorema de Tischler. Escreva
l = (n− r − q). Por hipotese,
P = ker(DP ) ∩ kerω1 ∩ · · · ∩ kerωr
e um campo de planos sobre N de dimensao l. Para provar (3) e suficiente provar que
Pk = ker(DP ) ∩ kerωk1 ∩ · · · ∩ kerωkr
tem dimensao l em cada ponto de N quando k e suficientemente grande. Suppose, by
contradiction, isto nao aconteca. Neste caso, obtemos uma sequencia pk em N tal que a di-
mensao de Pk(pk) ≥ (l+1). Como N e compacta, podemos supor que pk converge para um
ponto p ∈ N . Para cada k ∈ N, podemos tomar vetores ortonormais Xk1 (pk), . . . , X
kl+1(pk)
contidos em Pk(pk). Passando o limite, obtemos vetores ortonormais X1(p) . . . , Xl+1(p)
em TpM . E facil ver que DP (p)Xi = 0. Alem disso, temos que∣∣∣ωj(p)Xi
∣∣∣ =∣∣∣ωj(p)Xi − ωkj (pk)X
ki︸ ︷︷ ︸
0
∣∣∣≤
∣∣∣ωj(p)Xi − ωj(pk)Xki
∣∣∣+∣∣∣ωj(pk)Xk
i − ωkj (pk)Xki
∣∣∣.27
Como as duas parcelas acima tendem a zero quando k tende a infinito, concluımos que
ωj(p)Xi = 0 para cada j ∈ 1, . . . , r e i ∈ 1, . . . , l + 1. Mas isto e uma contradicao,
porque P(p) tem dimensao l. Agora, suponha que Pk nao converge para P . Neste caso,
para algum ε > 0, obtemos
• A sequence (pn, un) ∈ P1 such that (pn, un)→ (p, u) ∈ P1;
• A sequence of natural numbers kn →∞ such that
inf‖un − v‖; (pn, v) ∈ P1
kn
> ε/2. (1.13)
Sejam Xn1 (pn), . . . , Xn
l (pn) uma base ortonormal de Pkn(pn). Passando o limite, ob-
temos vetores ortonormais X1, . . . , Xl em TpN satisfazendo DP (p)Xi = 0, para cada
i ∈ 1, . . . , l. Temos ∣∣∣ωj(p)Xi
∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣ωj(pn)Xni
∣∣∣= lim
n→∞
∣∣∣ωj(pn)Xni − ωkn
j (pn)Xni︸ ︷︷ ︸
0
∣∣∣≤ lim
n→∞
1
kn.
Portanto, ωj(p)Xi = 0 para cada j ∈ 1, . . . , r e i ∈ 1, . . . , l. Logo, X1, . . . , Xl e uma
base ortonormal de P(p). Se u = c1X1 + · · ·+ clXl, entao, por (1.13),
ε
2< lim
n→∞‖un − (c1X
n1 + · · ·+ clX
nl ) ‖ = 0,
e isto e uma contradicao.
Lema 2. Sejam N e M variedades compactas e conexas e seja π : N → M uma sub-
mersao. Seja
1. Pk uma sequencia de campo de planos de dimensao r sobre N convergindo para um
campo de planos P;
2. Fk uma sequencia de campo de planos de dimensao r sobre M tal que Dπ (Pk) = Fk.
Se Dπ (P) tem dimensao r, entao Fk converge para Dπ(P).
28
Demonstracao. Como N e compacta, existe R > 0 tal que, se Dπ(q)v ∈ Dπ(P)(1), entao
(q, v) ∈ P(R). Dado ε > 0, existe um δ > 0 tal que, se (q, v), (q, w) ∈ TM satisfazem
• ‖v‖ e ‖w‖ sao menores do que R e
• ‖w − v‖ < δ,
entao
‖Dπ(q)w −Dπ(q)v‖ < ε
2and |‖Dπ(q)w‖ − ‖Dπ(q)v‖| < ε
2. (1.14)
Dado (p, u) ∈ Dπ(P)1, escolha (q, v) tal que Dπ(q)v = u. Segue do que fizemos acima
que (q, v) ∈ P(R). Pela Afirmacao 1, existe um k0 ∈ N tal que, para cada k maior do que
k0 podemos encontrar (q, vk) ∈ P(R)k satisfazendo ‖vk− v‖ < δ. Para cada k > k0, escreva
uk = Dπ(q)vk ∈ Fk(p) e uk = uk
‖uk‖. Por (1.14),
|1− ‖uk‖| = |‖u‖ − ‖uk‖| = |‖Dπ(q)v‖ − ‖Dπ(q)vk‖| <ε
2.
Portanto, por (1.14)
‖uk − u‖ ≤ ‖uk − uk‖+ ‖uk − u‖
= |1− ‖uk‖|+ ‖Dπ(q)vk −Dπ(q)v‖ < ε.
Logo, Fk ∼ε Dπ(P) para todo k > k0 e a prova esta concluıda.
1.3.2 Demonstracao do Teorema A
Passamos direto a demonstracao do Teorema A:
Teorema A. Seja g uma algebra de Lie compacta, M uma variedade diferenciavel com-
pacta e conexa e F = FΩ uma g-folheacao de Lie sobre M . Seja G um grupo de Lie
compacto e conexo que tem g como algebra de Lie e seja Γ = Γ(Ω, G) a holonomia global
de F . Se a componente conexa da identidade de Γ e abeliana, entao
1. Existe um recobrimento finito η : M → M tal que η∗(F) pode ser C0-aproximada
por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. Existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
29
Demonstracao do Teorema A. Podemos supor que M e orientavel, passando ao recobri-
mento duplo orientavel se necessario. Seja G a folheacao sobre E = M ×G construıda no
Teorema de Darboux-Fedida. Se p1 : M × G → M e p2 : M × G → G sao as projecoes
canonicas e M ′ e uma folha de G, sabemos que p1|M ′ : M ′ →M e um recobrimento Galoi-
siano. O grupo de automorfismos deste recobrimento esta associado a um homomorfismo
h : π1(M)→ G cuja imagem e
Γ = g ∈ G; φg(M ′) = M ′,
a holonomia global de F . Sabemos ainda que a acao natural φ sobre E = M × G por
translacoes a esquerda torna G uma folheacao G-i.u.t.a.. Pelo Teorema de Fedida (para
folheacoes G-i.u.t.a.), existe uma fibracao P : E → G/Γ tal que a fibra N = P−1([e]) e o
fecho da folha M ′. Alem disso (ver demonstracao na secao 1.1), temos que
1. Γ ⊂ H = g ∈ G; φg(N) = N;
2. Γ0 = H0, isto e, as componentes conexas de Γ e H contendo a identidade coincidem;
3. a folheacao induzida por G sobre N e uma h-folheacao de Lie com folhas densas,
onde h e algebra de Lie de Γ.
Por hipotese, Γ0 e abeliano e, portanto, G induz sobre N uma Lie Rr-folheacao T com
folhas densas, para algum r ∈ N. Agora vamos separar a prova em dois casos:
Primeiro caso. H e conexo.
Neste caso, temos H = H0 = Γ0 = Γ. A demonstracao deste caso e inspirada em
um argumento apresentado na prova do Teorema A, caso q > 2 de [12]. O espaco ho-
mogeneo G/H e orientavel (ver Prop. 5.15 de [4]). Como M e orientavel, cada fibra
de P e orientavel. Fixemos uma orientacao em N . Dado [g] ∈ G/H, podemos consi-
derar a orientacao em Ng = φg(N) induzida por φg. Como H e conexo, tal orientacao
e consistente, nao dependendo da escolha de g ∈ [g]. Se tomarmos uma metrica Rie-
manniana em M e a metrica Riemanniana em G invariante por translacoes a esquerda,
entao a metrica Riemanniana produto em E e invariante pela acao φ. Consideramos E
munida desta metrica Riemanniana e, sobre cada fibra de P , consideramos a metrica
induzida por E. Sejam ω1, . . . , ωr formas fechadas suaves sobre N linearmente indepen-
dentes e que definem T . Dado [g] ∈ G/H, considere a fibra Ng = φg(N) de P . Podemos
30
usar o difeomorfismo φg e as formas ω1, . . . , ωr para obter 1-formas fechadas linearmente
independentes ω(1,g), . . . , ω(r,g) sobre Ng.
Afirmacao 1. As formas ω(1,g), . . . , ω(r,g) sao bem definidas, isto e, elas nao dependem
da escolha de g ∈ [g].
De fato, se l ∈ H e f = φl|N : N → N , entao f e isotopica a identidade porque H e um
grupo de Lie conexo. Portanto, para cada i ∈ 1, . . . , r, existe uma funcao hi : N → R
tal que f∗ωi − ωi = dhi. Por outro lado, como f preserva T , temos que hi e uma funcao
basica para T (ver [23], pagina 34). Isto implica que hi e constante ao longo das folhas
de T . Como T tem folhas densas, hi e constante, donde concluımos que f∗(ωi) = ωi para
todo i ∈ 1, . . . , r, o que conclui a Afimacao.
Como φ preserva as folhas de G, temos que as formas ω(1,g), . . . , ω(r,g) definem a fo-
lheacao induzida por G sobre Ng. Pelo Teorema de Tischler (versao 2), existe um k0 ∈ Ntal que se k ∈ N e k > k0, entao podemos encontrar formas fechadas harmonicas uk1, . . . , u
kr
sobre N tais que
• ‖uki ‖ < 1k, para cada i ∈ 1, . . . , r;
• as formas ωk1 =(ω1 + uk1
), . . . , ωkr =
(ωr + ukr
)sao linearmente independentes e
definem sobre N uma Rr-folheacao de Lie tendo todas as folhas compactas.
Podemos usar o difeomorfismo φg e as formas uk1, . . . , ukr para obter classes de coho-
mologia de De Rham
[uk(1,g)], . . . , [uk(r,g)]
sobre Ng. Como H e conexo, isto pode ser feito consistentemente, ou seja, a classe nao
depende da escolha de g ∈ [g]. Para cada k > k0 e cada i ∈ 1, . . . , r, considere a unica
forma harmonica uk(i,g) na classe de cohomologia [uk(i,g)] (ver Teorema de Hodge: Teorema
6.11 de [33]). Afirmamos que, para cada g ∈ G, temos
φg∗(ωi + uki
)= φg∗
(ωi + uk(i,e)
)=(ω(i,g) + uk(i,g)
). (1.15)
De fato, φg∗ (ωi) = ω(i,g) e φg leva a classe de cohomologia de uk(i,e) na classe de cohomologia
de uk(i,g). Mas existe apenas uma representante harmonica na classe de cohomologia [uk(i,g)],
31
portanto, como φg e uma isometria positiva, temos tambem que φg∗
(uk(i,e)
)= uk(i,g) e a
afirmacao esta concluıda. As formas
ωk(1,g) :=(ω(1,g) + uk(1,g)
), . . . , ωk(r,g) :=
(ω(r,g) + uk(r,g)
)definem sobre Ng uma Rr-folheacao de Lie com todas as folhas compactas. Como φ age
transitivamente sobre G/H, temos entao, para cada k > k0, uma nova folheacao Gk sobre
E satisfazendo:
• Na fibra Ng de P , Gk e definida pelas formas fechadas(ω(i,g) + uk(i,g)
), para i =
1, . . . , r;
• Gk e invariante por φ e tem todas as folhas compactas.
Tomando k0 suficientemente grande, podemos supor que Gk permanece transversal as
orbitas de φ. Seja entao M ′k uma folha de Gk. Assim como no Teorema de Darboux-
Fedida, temos que
p1|M ′k : M ′k →M
e um recobrimento Galoisiano. Como M ′k e compacta, este e um recobrimento finito.
Portanto, o grupo
Γk = g ∈ G; φg(M ′k) = M ′
k
e finito. Alem disso, pelo Lema 1, podemos supor que
p2|M ′k : M ′k → G
e uma submersao, e como M ′k e compacta, p2|M ′k e uma fibracao localmente trivial. Se
G → Γk\G e a projecao canonica, existe uma unica aplicacao bem definida Pk : M →Γk\G tal que o diagrama
M ′k
p1|M′k //
p2|M′k
M
Pk
G // Γk\G
(1.16)
e comutativo. Tal aplicacao e uma submersao e define sobre M uma g-folheacao de Lie
Fk com folhas compactas. Resta provar que a sequencia Fk converge para F . De fato,
denotemos
ωki :=(ωi + uk(i,e)
).
32
O campo de planos
Pk = kerD(p2|N) ∩ kerωk1 ∩ · · · ∩ kerωkr
definido sobre N projeta-se por D(p1|N)) sobre o campo de planos definido por Fk. Por
outro lado, o campo de planos
P = kerD(p2|N) ∩ kerω1 ∩ · · · ∩ kerωr
projeta-se porD(p1|N)) sobre o campo de planos definido por F . Pelo Lema 1, Pk converge
para P . O resultado segue entao do Lema 2.
Segundo caso. H e desconexo.
Neste caso, vamos construir as seguintes estruturas:
1. Dois recobrimentos finitos ξ : E → E, η : M →M e uma fibracao localmente trivial
p1 : E → M com fibra G tais que o diagrama
Ep1 //
ξ
M
η
E
p1 // M
seja comutativo;
2. Uma acao livre φ de G sobre E tal que
• ξ φg ≡ φg ξ para todo g ∈ G;
• p1(x) = p1(y) se e somente se x e y estao numa mesma orbita de φ;
• φ torna p1 um fibrado G-principal;
3. Uma fibracao localmente trivial P : E → G/H0 com fibras conexas, tal que
• a restricao de ξ a uma fibra qualquer de P defina um difeomorfismo com uma
fibra de P ;
• P possua uma fibra N que projeta-se por ξ sobre N , para qual
g ∈ G; φg(N) = N = H0 = Γ0.
33
De posse dessas estruturas, para obter o resultado desejado basta considerar as folheacoes
G = ξ∗(G) e F = η∗(F) e proceder como no primeiro caso. Passemos entao a descrever
tais estruturas. Fixemos a folha N = P−1([e]) de G. A acao
H0 × (G×N) → (G×N)
(h0, (g, p))) 7→(gh−1
0 , φh0(p))
e livre. Como H0 e compacto, existe uma unica estrutura diferenciavel de H0\(G × N)
que torna a projecao canonica
β : (G×N)→ H0\(G×N)
um fibrado principal (a esquerda). Considere a variedade E := H0\(G×N) munida desta
estrutura. A acao
ϕ :(H0\H
)× E → E
((h), [(g, p)]) 7→[(gh−1, φh(p)
)]esta bem definida. De fato, se h = h0h, g = gh−1
0 e p = φh0(p), temos
gh−1 = gh−1 (hh−10 h−1)︸ ︷︷ ︸
l−10 ∈H0
h−10 = gh−1(h0l0)−1
e
φh(p) = φh0hh0(p) = φh0hh0h−1h(p) = φh0l0 φh(p),
e, portanto, ϕ esta bem definida. E facil verificar que ϕ e livre. Portanto, existe uma
unica estrutura diferenciavel para ϕ\E que torna a projecao canonica
q : E → ϕ\E
um fibrado principal. Tal projecao e, de fato, um recobrimento finito, pois H0\H e finito.
A aplicacao
ξ : E → E
[(g, p)] 7→ φg(p)
e bem definida e uma submersao, pois
φ = ξ β : G×N → E.
34
Existe uma unica aplicacao f : ϕ\E → E que faz o diagrama abaixo comutar
Eq
~~||||
|||| ξ
===
====
=
ϕ\Ef // E
e, portanto, f e suave. Alem disso, e facil ver que f e bijetiva. Isto implica que ξ : E → E
e um recobrimento finito. Considere a acao livre
H0 ×N → N
(h0, p) 7→ φh0(p)
e a unica estrutura diferenciavel em H0\N que torna a projecao canonica
i : N → H0\N
um fibrado principal. Definimos M := H0\N . A acao
ψ : (H0\H)× M → M
((h), [p]) 7→[φh(p)
]e bem definida e livre. Considere a unica estrutura diferenciavel de ψ\M que torna a
projecao
j : M → ψ\M
uma fibracao. Tal projecao e um recobrimento finito, pois H0\H e finito. Pela definicao
de φ, a aplicacao
η : H0\N = M → M
[p = (x, g)] 7→ x
esta bem definida. Alem disso, η e suave, pois
p1|N = η i : N →M.
Existe uma unica aplicacao θ : ψ\M →M que faz o diagrama
Mj
zzzz
zzzz η
???
????
?
ψ\M θ // M
35
comutar. Isto implica que θ e suave. Alem disso, e facil verificar que θ e bijetiva, donde
concluımos que η e uma aplicacao de recobrimento finito. A aplicacao
p1 : E → M
[(p, g)] 7→ [p]
e uma submersao, pois o diagrama
G×N
β // E
p1
Ni // M
e comutativo. Pela compacidade de E, temos que π1 e uma fibracao localmente trivial
que faz o diagrama do item 1 comutar e isto conclui o item 1. Por construcao, a acao
φ : G× E → E
(l, [(g, p)]) 7→ [(lg, p)]
satisfaz as condicoes do item 2. A aplicacao
P : E → G/H0
[(g, p)] 7→ [g]
e bem definida e e uma submersao, pois o diagrama
G×N
β // E
P
G // G/H0
e comutativo. Como E e compacta, P e uma fibracao localmente trivial. Temos que
N = [(h0, p)]; h0 ∈ H0 e p ∈ N = P−1([e]) = β(H0 ×N)
e um conjunto conexo, pois N e conexo. Alem disso, e facil verificar que ξ|N : N → N e
um difeomorfismo e que
g ∈ G; φg(N) = N = H0,
o que conclui a prova.
36
1.3.3 Fluxos de Lie
Em [7], Caron e Carriere provam que uma folheacao de Lie minimal de dimensao 1 sobre
uma variedade conexa e compacta Mn tem holonomia global abeliana (ver [6] para uma
prova detalhada). Como a folheacao e minimal, a holonomia global e densa e, portanto,
tal folheacao e uma Rn−1-folheacao de Lie. Os autores provam ainda que F e difeomor-
ficamente conjugada a uma folheacao linear do toro. Em particular, M e difeomorfa ao
toro. Se FΩ e um g-folheacao de Lie de dimensao 1 (nao necessariamente minimal) sobre
M e G e o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo que tem g como algebra de Lie,
entao, pelo Teorema de Fedida (ver Observacao 1), Γ(Ω, G) tem algebra de lie abeliana.
Usando o Teorema A, obtemos entao
Corolario i. Seja g uma algebra de Lie semisimples compacta, M uma variedade dife-
renciavel conexa, compacta e sem bordo e seja FΩ uma g-folheacao de Lie de dimensao
1.
1. A menos de passar a um recobrimento finito adequado, a folheacao F pode ser C0-
aproximada por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. Se G e o grupo de Lie simplesmente conexo que tem g como algebra de Lie, entao
existe um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
Demonstracao. Seja G o grupo de Lie simplesmente conexo que tem g como algebra de
Lie. Pelo que vimos acima, a algebra de Lie de Γ(Ω, G) e abeliana. Como g e semisimples
e compacta, G e compacto e o resultado segue do Teorema A.
1.4 Folheacoes de Lie sobre variedades compactas com
grupo fundamental amenable
1.4.1 Demonstracao do Teorema B
Seja A um grupo discreto (sem topologia) e seja B(A) o espaco vetorial de funcoes reais
limitadas sobre A munido com a norma do sup. Uma media sobre A e um funcional linear
37
invariante a esquerda η : B(A)→ R satisfazendo η(1) = 1 e η(f) ≥ 0 para todo f ≥ 0. Se
tal media existe, dizemos que A e amenable. A classe de grupos amenables e fechada para
as operacoes de tomar subgrupos, extensoes, quocientes e limites diretos. Grupos soluveis
sao amenables. Em contrapartida, um grupo que possui um subgrupo livre nao-cıclico
nao e amenable. Para maiores detalhes, ver [14] and [9]. Pelo Teorema 4.1 de [19], um
grupo finitamente gerado tendo crescimento subexponencial (ver inıcio da proxima secao)
e amenable. Podemos resumir as consideracoes sobre grupos discretos amenables como
segue:
Proposicao 1. Sobre grupos discretos amenables, temos:
1. Se A e amenable, entao todos os subgrupos de A sao amenables;
2. Se A/B e B sao amenables, entao A e amenable;
3. Se A e amenable e B / A, entao A/B e amenable;
4. Se A tem um subgrupo livre nao-cıclico, entao A nao e amenable;
5. Grupos soluveis sao amenables;
6. Um grupo finitamente gerado tendo crescimento subexponencial e amenable.
Lema 3. Seja G um grupo de Lie e seja Γ < G um subgrupo (algebrico) de G. Se Q e
um subgrupo de Γ tal que [Γ : Q] <∞, entao [Γ : Q] ≤ [Γ : Q] <∞.
Demonstracao. Denote Γ/Q = (y1), . . . , (yl) e suponha, por contradicao, que [Γ : Q] >
[Γ : Q] = l. Neste caso, existem elementos distintos [g1], . . . , [gl], [gl+1] em Γ/Q. Para
cada k ∈ 1, . . . , l + 1, existe uma sequencia xkn em Γ convergindo para gk. Tomando
subsequencias se necessario, podemos supor que (xkn) = (yjk) ∈ Γ/Q. Portanto, para
cada k ∈ 1, . . . , l + 1, existe uma sequencia qkn em Q tal que xkn = yjk ∗ qkn e, portanto,
(y−1jk∗ gk) ∈ Q. Existem k1, k2 ∈ 1, . . . , l + 1 tais que k1 6= k2 e yjk1
= yjk2= y. Logo,
(y−1 ∗ gk1)−1 ∗ (y−1 ∗ gk2) = g−1k1∗ gk2 ∈ Q.
Isto e uma contradicao, porque [gk1 ] 6= [gk2 ].
Lema 4. Seja G um grupo de Lie conexo. Se um subgrupo finitamente gerado Γ < G e
amenable, entao existe um subgrupo soluvel Q < Γ tal que [Γ : Q] <∞.
38
Demonstracao. Seja Ad : G→ GL(g,R) o homomorfismo adjunto. Como Γ e finitamente
gerado, ou Ad(Γ) tem um subgrupo livre nao-cıclico ou Ad(Γ) e soluvel-por-finito (Al-
ternativa de Tits [31]). Como Ad(Γ) e um grupo amenable, a primeira possibilidade nao
pode ocorrer. Portanto, existe um subgrupo soluvel E de Ad(Γ) tal que [Ad(Γ) : E] <∞.
Escrevendo T = Ad−1(E), temos que
T
ker(Ad|T )' E.
Como ker(Ad|T ) < kerAd e abeliano (G e conexo), concluımos que T e soluvel. Logo,
Q = Γ∩ T e um grupo soluvel. Como [Ad(Γ) : E] <∞, temos que [Γ : Q] <∞ e a prova
esta concluıda.
Proposicao IV. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental ame-
nable e seja F = FΩ uma g-folheacao de Lie sobre M . Seja G um grupo de Lie conexo
tendo g como algebra de Lie e seja Γ = Γ(Ω, G) a holonomia global de F . A componente
conexa de Γ contendo a identidade e um subgrupo de Lie soluvel de G. Em particular, se
G e compacto, entao a componente conexa de Γ contendo a identidade e abeliana.
Demonstracao. Como π1(M) e amenable, Γ tambem e amenable. Denote por Γ0 a com-
ponente conexa de Γ contendo a identidade. Seja Q o subgrupo soluvel de Γ dado pelo
Lema 4. Tomando o fecho na serie derivada de Q, concluımos que Q e soluvel. Portanto
Γ0 ∩Q e um subgrupo fechado de Γ0 e um grupo soluvel. Pelo Lema 3, [Γ, Q] <∞ e isto
implica que [Γ0,Γ0 ∩Q] <∞. Como Γ0 e conexo, concluımos que Γ0 = Γ0 ∩Q e soluvel.
Assim, Γ0 e um subgrupo de Lie conexo e soluvel. Se G e compacto, entao Γ0 tambem e
compacto e, portanto, abeliano.
O Teorema A e a Proposicao IV provam o Teorema B:
Teorema B. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental amenable
e seja g uma algebra de Lie compacta. Se M admite uma g-folheacao de Lie, entao
1. a menos de passar a um recobrimento finito adequado, F pode ser C0-aproximada
por g-folheacoes de Lie com todas as folhas compactas;
2. dado um grupo de Lie conexo e compacto G que tem g como algebra de Lie, existe
um recobrimento finito de M que fibra sobre G.
39
1.4.2 Uma observacao sobre folheacoes Riemannianas
Seja M uma variedade diferenciavel e F uma folheacao suave de M de codimensao q.
Denote por X (F) o conjunto de campos suaves sobre M tangentes a F . Dizemos que um
campo X sobre M e folheado com respeito a F se
[X, Y ] ∈ X (F), para todo Y ∈ X (F).
Se NF e o fibrado normal de F e X e um campo folheado de F , podemos projetar X sobre
NF , obtendo um campo X tangente a NF . Dizemos que X e o campo transversal asso-
ciado a X. A folheacao F e dita transversalmente paralelizavel se existe uma trivializacao
do seu fibrado normal por q campos transversais folheados linearmente independentes. E
possıvel verificar que toda folheacao de Lie e uma folheacao transversalmente paralelizavel,
entretanto, a recıproca nao e verdadeira.
Uma metrica Riemanniana sobre M e dita quase-fibrada com respeito a F se dados
um aberto U ⊂M e campos vetoriais folheados X, Y sobre U perpendiculares as folhas de
F|U , a funcao g(X, Y ) e constante ao longo das folhas de F|U . Para todos os detalhes, ver
[23]. Dizemos que F e uma folheacao Riemanniana se existe uma metrica sobre M que
e quase-fibrada com respeito a F . Um teorema devido a Molino descreve a estrutura de
folheacoes transversalmente paralelizaveis e mostra que tais folheacoes estao fortemente
relacionadas com folheacoes de Lie. Por outro lado, Molino mostra que o estudo de fo-
lheacoes Riemannianas sobre uma variedade compacta esta intimamente ligado ao estudo
de folheacoes transversalmente paralelizaveis:
Teorema de Molino ([23]). Seja M uma variedade compacta e conexa e seja F uma
folheacao sobre M .
1. Se F e transversalmente paralelizavel, entao o fecho das folhas de F sao as fibras
de uma fibracao localmente trivial π : M → B. A restricao de F a cada fibra define
uma g-folheacao de Lie com folhas densas. A algebra de Lie g e um invariante
algebrico de F chamado algebra de Lie estrutural de F .
2. Se F e uma folheacao Riemanniana transversalmente orientavel e τ : M ′ → M e
o SO(q)-fibrado de frames ortonormais a F , entao F levanta-se a uma folheacao
transversalmente paralelizavel F ′ sobre M ′ tal que
40
• dimF ′ = dimF ;
• F ′ e invariante pela acao de SO(q).
A algebra de lie estrutural de F ′ e um invariante de F chamado de algebra de Lie estru-
tural de F .
Com base no Teorema de Molino, podemos afirmar o seguinte:
Proposicao V. Seja M uma variedade compacta e conexa e seja F uma folheacao Ri-
emanniana sobre M . Se o grupo fundamental de M e amenable, entao a algebra de Lie
estrutural de F e soluvel.
Demonstracao. Seja
· · · // π2(M)φ // π1(SO(q))
ϕ // π1(M ′)ψ // π1(M) // · · ·
a sequencia exata de homotopia (ver [3], pagina 453) associada ao SO(q)-fibrado de frames
ortonormais a F . Temos que kerψ = Imϕ e abeliano e, portanto, amenable. alem disso,
Imψ e um subgrupo de π1(M), logo e amenable. Como
π1(M ′)/ kerψ ' Imψ,
concluımos que π1(M ′) e amenable, porque grupos amenables sao fechados para extensoes.
Seja π : M ′ → B a fibracao localmente trivial associada a folheacao levantada F ′ e seja
N = π−1(y) uma fibra de π. Pela sequencia exata de homotopia
· · · // π2(B)φ // π1(N)
ϕ // π1(M ′)ψ // π1(B) // · · ·
de π, temos que Imϕ = kerψ e um subgrupo de π1(M ′), logo amenable. Alem disso,
Imφ = kerϕ e um grupo abeliano e, portanto, e amenable. Como
π1(N)/ kerϕ ' Imϕ,
concluımos que π1(N) e amenable. Pelo Teorema de Molino, F induz uma g-folheacao de
Lie com folhas densas sobre N . Seja G um grupo de Lie conexo que tem g como algebra
de Lie. Segue do Teorema de Fibracao de Fedida que a holonomia global de F e densa
em G. Pela Proposicao IV, a algebra de Lie estrutural de F e soluvel.
41
1.5 Folheacoes de Lie sobre variedades compactas com
grupo fundamental de crescimento subexponen-
cial
1.5.1 Demonstracao do Teorema C
Seja Γ um grupo finitamente gerado e seja W um conjunto finito de geradores de Γ. O
comprimento da palavra de um elemento α ∈ Γ e o maior numero inteiro n ≥ 0 para o
qual α pode ser escrito como
α = s1 · s2 · · · sn,
para s1, . . . , sn ∈ W ∪ W−1. Denotamos o comprimento da palavra de α por ‖α‖. A
funcao crescimento de Γ (com respeito a W ) e a funcao definida por
βW : Z+ → N
n 7→ #α ∈ Γ; ‖α‖ ≤ n.
Dizemos que Γ e de crescimento exponencial se existem constantes reais c > 0, a > 1
tais que βW (n) > can; dizemos que Γ e de crescimento subexponencial se Γ nao e de
crescimento exponencial. O tipo de crescimento de um grupo finitamente gerado nao
depende da escolha do conjunto de geradores W , ver [16].
Lema 5. Seja G um grupo de lie conexo e seja Γ < G um subgrupo finitamente gerado
de G de crescimento subexponencial. Existe um subgrupo nilpotente T < Γ tal que [Γ :
T ] <∞.
Demonstracao. Como Γ tem crescimento subexponencial, Γ e amenable. Seja Q < Γ o
grupo soluvel dado pelo Lema 4. Como [Γ : Q] < ∞, Q e um grupo soluvel, finitamente
gerado de crescimento subexponencial. Pelo Teorema de Milnor-Wolf (ver [22], [34]) Q e
virtualmente nilpotente, isto e, existe um subgrupo nilpotente T de Q tal que [Q : T ] <∞.
Temos que [Γ : T ] <∞ e, pelo Lema 3, [Γ : T ] <∞.
Usaremos agora a nocao de crescimento de volume para grupos topologicos compac-
tamente gerados. Tal nocao generaliza a nocao de crescimento de grupos finitamente
gerados, se considerarmos estes como grupos topologicos munidos da topologia discreta.
42
Um grupo de Lie (nao necessariamente conexo) e compactamente gerado se G e gerado
por alguma vizinhanca simetrica e compacta W da identidade. Se W e uma vizinhanca
deste tipo, denotamos
W n = W ·W · · ·W ·W︸ ︷︷ ︸n−times
.
Usando a medida de Haar de G (invariante por translacoes a esquerda), podemos definir
de maneira natural o crescimento de volume de G e este nao depende da escolha da
vizinhanca W . Em particular, dizemos que G tem crescimento de volume polinomial se
existem constantes c > 0 e d ∈ N∗ tais que µ(W n) ≤ cnd, ∀n ∈ N. Para maiores detalhes,
ver [15].
Proposicao VI. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de
crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheacao de Lie e G e um grupo conexo
tendo g como algebra de Lie, entao G tem crescimento de volume polinomial.
Demonstracao. Seja F = FΩ uma tal folheacao e seja Γ = Γ(Ω,F) a holonomia global
de F . Usando o Teorema de Fibracao de Fedida, concluımos que G/Γ e compacto. Por
[21], Γ e compactamente gerado. Segue do Teorema I.4 de [15] que G e Γ tem o mesmo
crescimento de volume. Seja T o subgrupo nilpotente de Γ dado pelo Lema 5. Como
[Γ : T ] < ∞, T e compactamente gerado e tem o mesmo crescimento de volume de Γ e,
consequentemente, de G. Tomando o fecho da serie central inferior de T , nos obtemos
uma serie central para T e, portanto T e um grupo nilpotente. Pelo Teorema II.4 de [15],
T (logo G) tem crescimento de volume polinomial.
Proposicao VII. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de
crescimento subexponencial. Se M admite uma g-folheacao de Lie sobre M e G e um
grupo de Lie conexo que tem g como algebra de Lie, entao G/R e compacto, onde R e o
radical.
Demonstracao. Pela Proposicao VI, G tem crescimento de volume polinomial. Pelo Teo-
rema 6.39 de [26], G e de “tipo R”, isto e, a representacao adjunta da algebra de Lie de
G tem apenas imaginarios puros (ver (6.35) de [26]). Segue da Proposicao 6.32 de [26]
que G/R e compacto.
43
Na secao anterior, trabalhamos com o conceito de grupos amenables discretos (sem
topologia). E possıvel definir tambem a nocao de amenabilidade para grupos topologicos
localmente compactos (ver capıtulo 1 de [26]). O Teorema 3.8 de [26] prova que um grupo
de Lie conexo e amenable (como grupo topologico localmente compacto) se e somente se
G/R e compacto, onde R e o radical de G.
Teorema C. Seja M uma variedade compacta e conexa com grupo fundamental de cres-
cimento subexponencial e suponha que M admite uma g-folheacao de Lie. Temos:
1. Se G e um grupo de lie conexo com algebra de Lie g, entao G tem crescimento de
volume polinomial;
2. Se s < g e um fator de Levi de g e S e um grupo de Lie conexo que tem s como
algebra de Lie, entao S e compacto e existe um recobrimento finito de M que fibra
sobre S.
Demonstracao do Teorema C. O primeiro item e a Proposicao VI. Seja s um fator de Levi
de g. Pela Proposicao I, existe uma s-folheacao de Lie sobre M . Se S e um grupo de Lie
conexo que tem s como algebra de Lie, entao S e semisimples. Pela Proposicao VII, S
e compacto. Pelo Teorema A, existe um recobrimento finito de M que fibra sobre S e,
portanto, temos o item 2.
Vale a pena destacar o que de fato obtemos no caso semisimples:
Corolario ii. Seja g uma algebra de Lie semisimples e M uma variedade compacta e
conexa que admite uma g-folheacao de Lie.
1. Se g e nao-compacta, entao π1(M) tem crescimento exponencial.
2. Se π1(M) tem crescimento subexponencial e G e um grupo de Lie conexo que tem g
como algebra de Lie, entao G e compacto e um recobrimento finito de M fibra sobre
G.
44
Capıtulo 2
Observacoes sobre acoes Anosov
centrais
2.1 Preliminares sobre acoes Anosov centrais
Nesta secao, apresentaremos definicoes e algumas propriedades envolvendo acoes Anosov.
Comecamos definindo a nocao de difeomorfismos normalmente hiperbolicos com respeito
a uma folheacao:
Definicao 4. Seja M uma variedade diferenciavel suave e F uma folheacao suave sobre
M . Dizemos que um difeomorfismo f : M → M e normalmente hiperbolico com respeito
a F , se existe uma decomposicao
TM = Eu ⊕ TF ⊕ Es
e constantes c, λ > 0 tais que
1. a decomposicao e invariante por f , isto e
Df(Eu) = Eu, Df(Es) = Es e Df(TF) = TF ;
2. para cada x ∈M , valem as desigualdades
‖Dfn(x)|Esx‖, ‖Df−n(x)|Eu
x‖,‖Dfn(x)|Es
x‖
m(Dfn(x)|TxF),‖Dfn(x)|TxF‖m(Dfn(x)|Eu
x)≤ ce−λn,
onde m(·) e o operador co-norma para transformacoes lineares.
45
No que segue, se φ : G × M → M e uma acao suave de G sobre uma variedade
diferenciavel M , e g ∈ G, denotaremos por g : M →M o difeomorfismo φg : M →M .
Definicao 5. Seja G um grupo de Lie e φ uma acao suave localmente livre de G sobre
uma variedade diferenciavel M . Dizemos que φ e uma acao Anosov se existe f ∈ G tal
que f : M → M e um difeomorfismo normalmente hiperbolico com respeito a folheacao
definida pelas orbitas de φ. Neste caso, dizemos que f e um elemento Anosov de φ.
Dizemos que φ e uma acao Anosov central se existe um elemento Anosov de φ no centro
de G. Tal elemento recebe o nome de elemento Anosov central de φ.
Pela Teoria de variedades invariantes, desenvolvida por Hirsch, Pugh e Shub (ver[18]),
se f e um elemento Anosov de φ, entao, para cada ponto x ∈ M , existe uma variedade
suave Wuu(x) tangente a Eux , a qual denominamos variedade estavel forte de f em x. As
variedades estaveis forte definem uma folheacao contınua sobre M , denominada folheacao
estavel forte, a qual denotamos por Fuu. Analogamente, definimos a variedade instavel
forte de f em x e a folheacao instavel forte, e as denotamos, respectivamente, porWss(x)
e F ss. Pela teoria de variedades invariantes ([18]), temos que
Wss(x) = y ∈M ; d(fn(y), fn(x))ξ−n → 0, quando n→∞,
onde ξ = sup ‖Df |Es‖. Em particular, se f e um elemento Anosov central de φ e g ∈ G,
entao
g (Wss(x)) =Wss(g(x)).
De fato, se y ∈ Wss(x), temos que
d(fn(g(y)), fn(g(x)))ξn = d(g(fn(y)), g(fn(x))) ≤ Kd(fn(y), fn(x))ξ−n → 0,
onde K e a constante de Lipschitz de g : M → M . Analogamente g (Wuu(x)) =
Wuu(g(x)). Em resumo, se G denota a folheacao definida pelas orbitas de φ e f e um
elemento Anosov central, entao cada elemento g ∈ G preserva a decomposicao
TM = Eu ⊕ G ⊕ Es
definida por f .
Segue tambem da Teoria de variedades invariantes que as distribuicoes Eu⊕G e G⊕Es
sao integraveis, gerando folheacoes contınuas denominadas folheacao instavel e folheacao
46
estavel de f , respectivamente. Denotamos tais folheacoes por Fu e F s, respectivamente.
Para cada x ∈M , a folha de Fu em x e dada pela variedade suave
Wu(x) =⋃y∈Ox
Wuu(y),
onde Ox denota a orbita de x. Tal variedade recebe o nome variedade instavel de f em
x. Analogamente, a folha Ws(x) de F s e dada por
Ws(x) =⋃y∈Ox
Wss(y)
e denominada variedade estavel de f em x.
A distribuicao Eu ⊕ Es nao e necessariamente integravel. Dizemos que φ e uma
acao Anosov conjuntamente integravel se φ admite um elemento Anosov f para o qual a
distribuicao Eu⊕Es e integravel, definindo uma folheacao contınua cujas folhas sao suaves.
Se tal elemento estiver no centro, dizemos que φ e uma acao Anosov central juntamente
integravel. Neste caso, pelo que vimos acima, temos que as folhas da folheacao F definida
por Eu⊕Es sao preservadas por cada g ∈ G. Como φ e suave e transversal a F , e possıvel
dar uma estrutura suave de folheacao G-i.u.t.a. para F .
Seja φ uma acao Anosov de um grupo de Lie conexo G com algebra de lie g. Dado
X ∈ g, dizemos que x ∈ M e um ponto errante de φ na direcao de X se existe uma
vizinhanca U 3 x em M e um T > 0 tal que
φexp(tX)(U) ∩ U = ∅, sempre que t ≥ T.
Caso contrario, dizemos que x e um ponto nao-errante de φ na direcao de X. Se g =
exp(X), denotamos por Ωg(φ) o conjunto dos pontos nao-errantes de φ na direcao de X.
Teorema de vizinhancas produtos. Seja φ uma acao Anosov central suave sobre
uma variedade compacta e conexa M e sejam Fu, Fuu, F s e F ss as folheacoes estaveis
e instaveis definidas a partir de um elemento Anosov central f . Dado δ > 0 denote por
Wσδ (x) a bola aberta em Wσ(x) induzida pela metrica Riemanniana de M associada a
decomposicao de f , onde σ = u, s, uu, ss. Existe um δ0 > 0 tal que, para cada δ ∈ (0, δ0)
e cada x ∈M , as aplicacoes
Wsδ (x)×Wuu
δ (x) → M
(y, z) 7→ Ws2δ ∩Wuu
2δ (y)
47
e
Wssδ (x)×Wu
δ (x) → M
(y, z) 7→ Wss2δ ∩Wu
2δ(y)
sao homomorfismos sobre suas imagens.
2.2 Demonstracao do Teorema D
Vamos direto para a demonstracao do Teorema D, que e uma consequencia do Teorema
C:
Teorema D. Seja G um grupo de Lie conexo com crescimento de volume nao-polinomial.
Se uma variedade compacta e conexa M admite uma acao Anosov central conjuntamente
integravel de G, entao π1(M) tem crescimento exponencial.
Demonstracao. Seja F a folheacao definida pela distribuicao integravel Eu⊕Es. Como φ e
uma acao Anosov central, ela preserva F . Pelo que vimos acima, F admite uma estrutura
suave de folheacao G-i.u.t.a.. Em particular, F admite uma estrutura de g-folheacao de
Lie. O resultado segue entao do item 1 do Teorema C.
2.3 Demonstracao do Teorema E
Se G e um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo, entao a aplicacao
exponencial exp : g → G e um difeomorfismo. Denotamos por ln : G → g a inversa
de exp. Dizemos que um subgrupo discreto D de G e um subgrupo lattice se ln(D) e
um subgrupo relativo a adicao em g. Dado um subgrupo lattice, temos que lnD e um
subgrupo de posto maximo se e somente se D e um lattice em G. Ainda que, em geral,
um lattice D em G nao seja um subgrupo lattice, existem subgrupos lattices Γ1 ⊂ D ⊂ Γ2
tais que o ındice de Γ1 em Γ2 e finito (see [24], [25]). Os subgrupos lattices Γ1 e Γ2 sao
tambem lattices em G.
48
Lema 6. Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo e M uma
variedade diferenciavel compacta e conexa. Seja φ uma acao Anosov suave de G sobre M
que admite um elemento Anosov f no centro de G. Se D < G e um lattice em G, existe
um elemento Anosov l ∈ D tendo a mesma decomposicao estavel e instavel de f .
Demonstracao. Se g ∈ G e suficientemente proximo de f , segue da Teoria de difeo-
morfismos normalmente hiperbolicos (ver [18]) que o difeomorfismo φg e normalmente
hiperbolico com respeito a alguma folheacao proxima a folheacao definida pelas orbitas
de φ. Por invariancia, se g e suficientemente proximo de f , essa folheacao deve ser a
folheacao definida pelas orbitas, e, portanto, g e um elemento Anosov de φ. Por outro
lado, como φ e central, segue tambem por invariancia que se g ∈ G e suficientemente
proximo de f , entao g tem o mesmos fibrados estavel e instavel de f . Tome um isomor-
fismo linear ξ : g→ Rq e escreva a = ξ ln(f). Seja A o conjunto de elementos z ∈ Rq tais
que exp ξ−1(z) e um elemento Anosov tendo os mesmos fibrados estavel e instavel de f .
Como ξ ln e um difeomorfismo, segue do que discutimos acima que existe uma pequena
bola euclideana Bε(a) contida em A. Simplesmente ajeitando constantes, concluımos que
N ·Bε(a) = nz; z ∈ Bε(a) and n ∈ N
esta contido em A. Seja Γ ⊂ D um subgrupo lattice que e tambem um lattice em G
(Theorem 2 in [24]). Temos que ξ ln(Γ) e um lattice aditivo em Rq. Portanto, se n ∈ N e
suficientemente grande, temos que Bnε(na)∩ξln(Γ) 6= ∅. Como Bnε(na) ⊂ N·Bε(a) ⊂ A,
a prova esta concluıda.
Lema 7. Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo e seja M uma
variedade conexa e compacta. Seja φ uma acao Anosov central suave de G sobre M tal
que Ωg(φ) = M , para algum elemento Anosov g de φ. As folheacoes Fu e F s definidas a
partir de um elemento Anosov central f sao minimais.
Demonstracao. Provaremos o caso instavel, sendo o outro analogo. Como M e conexa,
e suficiente mostrar que Wu(x) e aberto, para cada x ∈ M . Tome z ∈ Wu(x) e uma
vizinhanca N de z dada pelo Teorema da vizinhanca produto. Seja p ∈ N um ponto cuja
orbita e compacta. Pela estrutura da vizinhanca produto, temos queWs(p)∩Wu(z) 6= ∅.
Como Wu(x) e um subconjunto Fu-saturado, temos que Ws(p) ∩ Wu(x) 6= ∅. Como
Wu(x) e saturado pelas orbitas de φ, existe um elemento y ∈ Wss(p) ∩Wu(x). Seja Gp
49
o grupo de isotropia de φ em p. Pelo Lema 6, existe um elemento Anosov l ∈ Gp tendo
as mesmas decomposicoes instavel e estavel de f . Pelas propriedades das variedades
instaveis, temos que d(ln(y), ln(p)) = d(ln(y), p) → 0. Portanto, ln(y) → p. Como ln(y)
pertence a Wu(x), pois este e saturado pelas orbitas de φ, concluımos que p ∈ Wu(x).
Pelo Teorema 4 de [17], o conjunto de pontos cuja orbita e compacta e denso em N . Como
Wu(x) e fechado, temos N ⊂ Wu(x) e a prova esta concluıda.
O Teorema abaixo e uma versao do Lema 1.4 de [27] para grupos de Lie nilpotentes
simplesmente conexos.
Teorema E. Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo e seja M
uma variedade conexa e compacta. Seja φ uma acao Anosov central suave de G sobre M
tal que Ωg(φ) = M , para algum elemento Anosov g de φ. Considere as folheacoes estaveis
e instaveis definidas a partir de um elemento Anosov central f de φ. Se existe p ∈ M
tal que O(p) e compacta e Wuu(p) nao e densa, entao existe um subgrupo de Lie fechado
H G e uma fibracao localmente trivial (contınua) P : M → G/H tal que cada fibra e
saturada por Fuu e F ss.
Demonstracao. O grupo de isotropia Gp e um lattice uniforme em G. Seja Γ < Gp um
lattice em G que e tambem um subgrupo lattice. Como a acao Anosov e central, dado
l ∈ Γ, temos
l(Wuu(p)
)=Wuu(lp) =Wuu(p).
Usando o Lema de Zorn, tome um conjunto minimal ∅ 6= K0 ⊂ Wuu(p) 6= M com respeito
as seguintes condicoes:
1. K0 e fechado em M ;
2. K0 e Fuu-saturado;
3. l(K0) = K0, para cada l ∈ Γ.
Como G e conexo, ele e um grupo nilpotente (algebrico) e portanto, Γ e um subgrupo
subnormal. Tome uma serie normal
Γ0 = Γ / Γ1 / · · · / Γr = G. (2.1)
50
Podemos considerar (tomando o fecho da serie) que Γj e fechado para cada j ∈ 0, . . . , r.Suponha que Γ1(K0) 6= M . Pelo Lema 3.11 of [8], existe uma vizinhanca compacta da
identidade U em G tal que
G = U ∗ Γ. (2.2)
Como Γ1 > Γ,
Γ1(K0) = (Γ1 ∩ U) (K0)
e um subconjunto compacto e Fuu-saturado de M . Usando novamente o Lema de Zorn,
tome um minimal ∅ 6= K1 ⊂ Γ1(K0) 6= M com respeito as seguintes condicoes
1. K1 e fechado em M ;
2. K1 e Fuu-saturado;
3. l(K1) = K1, para cada l ∈ Γ1.
Se Γ2(K1) 6= M , podemos definir K2 da mesma maneira e assim por diante. Afirmamos
o seguinte:
Afirmacao 1. Procedendo indutivamente, obtemos um 1 ≤ i ≤ r tal que Γi(Ki−1) = M .
De fato, no pior caso, podemos construir Kr−1 indutivamente. Por (2.2), temos
Γr(Kr−1) = G(Kr−1) = U(Kr−1)
e, portanto,
Γr(Kr−1)
e um subconjunto compacto de M . Como Fu e minimal, Γr(Kr−1) = G(Kr−1) e tambem
denso M . Portanto, Γr(Kr−1) = M e a afirmacao esta provada.
Afirmacao 2. Se g ∈ Γi e g(Ki−1) ∩Ki−1 6= ∅, entao g(Ki−1) = Ki−1.
De fato, g(Ki−1) ∩ Ki−1 e Fuu-saturado, e como Γi−1 is normal in Γi, dado l ∈ Γi−1,
existe γ ∈ Γi−1 tal que
l (g(Ki−1) ∩Ki−1) = lg(Ki−1) ∩Ki−1 = gγ(Ki−1) ∩Ki−1 = g(Ki−1) ∩Ki−1.
51
ComoKi−1 e minimal, temos g(Ki−1) ⊃ Ki−1. Por outro lado, comoKi−1∩g−1(Ki−1) 6= ∅,
temos g(Ki−1) = Ki−1 e a Afirmacao 2 esta provada.
Afirmacao 3 3. Ki−1 e F ss-saturado.
De fato, tome x ∈ Ki−1 e y ∈ Wss(x). Pela Afirmacao 1, temos y ∈ g(Ki−1), para
algum g ∈ Γi. Pelo Lema 6, existe um elemento Anosov l em Γ ⊂ Γi−1 tendo os mes-
mos fibrados estavel e instavel de f . Como l ∈ Γi−1 / Γi e Ki−1 e invariante por Γi−1,
temos que lg(Ki−1) = g(Ki−1). Portanto, l preserva Ki−1 e g (Ki−1). Segue das pro-
priedades das variedades estaveis que d(ln(x), ln(y)) → 0. Portanto, pela Afirmacao 2,
Ki−1 = g (Ki−1) 3 y e portanto Ki−1 e F ss-saturado.
Usando mais uma vez o Lema de Zorn, tome um conjunto minimal ∅ 6= K ⊂ Ki−1
com respeito as seguintes condicoes
1. K e fechado em M ;
2. K e saturado por Fuu e F ss.
Defina H := g ∈ G; g(K) = K. Dado g ∈ G, por minimalidade, temos
g(K) ∩K 6= ∅ se e somente se g(K) = K. (2.3)
Segue do Teorema da vizinhanca produto que G(K) contem um subconjunto aberto de
M . Como a uniao de orbitas compactas e densa, existem um g ∈ G e um ponto q ∈ Mcuja orbita e compacta, tal que q ∈ g(K). Se Gq e o grupo de isotropia de q, segue de
(2.3) que
h(K) = K, para cada h ∈ g−1 ∗Gq ∗ g.
Seja D um subgrupo lattice de g−1 ∗Gq ∗ g que e tambem um lattice em G. Usando mais
uma vez o Lema 3.11 de [8], obtemos uma vizinhanca compacta da identidade V em G
tal que G = V ∗D. Portanto, G(K) = V (K) e denso e compacto em M , logo G(K) = M .
Isto e (2.3) implicam que a aplicacao
P : M = G(K) → G/H
p = φg(x) 7→ [g]
52
esta bem definida e e claramente sobrejetiva. Dado g ∈ G, existe um disco mergulhado
S ⊂ G, centrado em g, tal que
• S ∗H e um aberto de G;
• para cada s ∈ S, (s ∗H) ∩ S = s.
Podemos identificar S com um aberto de G/H contendo [g]. A aplicacao
φ|S×K : S ×K →M
e, entao, injetiva e tem por imagem um subconjunto aberto A de M . Obtemos assim uma
estrutura de fibrado localmente trivial para P , tendo K como fibra.
Se o grupo H definido na Proposicao acima for discreto e P suave, entao K sera uma
subvariedade de M de dimensao igual a dimM − dimG. Neste caso, e possıvel verificar
que φ e conjuntamente integravel e que a acao φ e a suspensao da acao do lattice uniforme
H sobre K.
O Teorema E e uma versao do Lema 1.4 de [27] para grupos de Lie nilpotentes sim-
plesmente conexos. O Lema 1.5 em [27], prova queWuu(p) nao e denso para algum ponto
periodico p se Wuu(x) nao e denso para algum x ∈ M . O Lema 1.5 em conjunto com
o Lema 1.4 permite que Plante enuncie uma dicotomia importante (Teorema 1.8). Para
provar o Lema 1.5, Plante usa a densidade dos pontos periodicos em Ω(φ) = M e o fato
do grupo ser R. Pelo Teorema 4 of [17], a uniao de orbitas compactas de φ e densa em
Ωg(φ) = M . Porem, no caso em que o grupo G 6= R, parece nao ser possıvel provar uma
versao do Lema 1.5 para G. Portanto, resta uma pergunta: Com alguma condicao extra
(codimensao 1, preservando volume, ...) e possıvel obter tambem uma versao do Lema
1.5 de [27] para grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos quando Ωg(φ) = M?
53
Referencias Bibliograficas
[1] A. Arbieto e C. Morales A λ-lemma for foliations. Topology Appl. 156 (2009), no. 8,
1491–1495.
[2] A. Behague e B. Scardua Foliations invariant under Lie group transverse actions.
Monatsh. Math. 153 (2008), 4, 295–308.
[3] G. E. Bredon: Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York, 1993.
[4] T. Brocker e T. t. Dieck: Representations of compact Lie groups, Springer-Verlag,
New York, 1985.
[5] C. Camacho e A. L. Neto: Teoria geometrica das folheacoes, Projeto Euclides, Insti-
tuto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979.
[6] P. Caron Flots transversalement de Lie. These de 3eme cycle, Universite de Lille
(1980).
[7] P. Caron e Y. Carriere Flots transversalement de Lie Rn, flots de Lie minimaux. C.
R. Ac. Sci. Paris, 280 (9) (1980), 477-478.
[8] L. Corwin e F.P Greenleaf Character formulas and spectra of compact nilmanifolds.
J. Funct. Anal. 21 (1976), 123–154.
[9] M. Day: Amenable semigroups. Ill. J. Math 1 (1957), 509–544.
[10] J. J. Duistemaat e J. A. C. Kolk: Lie Groups, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
New York, 2000.
[11] E. Fedida: Feuilletages du plan - Feuilleteges de Lie. these Strasbourg, 1973, Lecture
Notes in Mathematics, 352, 183–195. 205-228 (1971).
54
[12] E. Ghys: Feuilletages Riemanniens sur les varietes simplement connexes. Ann. Inst.
Fourier, Grenoble 34, 4 (1984), 203–223.
[13] C. Godbillon: Feuilletages, Etudes geometriques, Birkhauser. MR1120547, Zbl
0724.58002.
[14] F. P. Greenleaf: Invariant Means on Topological Groups and Their Applications,
American Book Company, 1969.
[15] Y. Guivarc’h: Croissance Polynomiale, Bulletin de la societe mathematique de
France, 101, 4, 1973.
[16] P. de la Harpe: Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, 2000.
[17] M. Hirsch: Foliations and noncompact transformation groups. Bull. Amer. Math. Soc.
76 (1970) 1020–1023.
[18] M. Hirsch e C. Pugh and M. Shub: Invariant manifolds. Lecture Notes in Mathema-
tics. Vol 583. Spreinger-Verlag, Berlin-New York, 1977.
[19] M. W. Hirsch e W. P. Thurston: Foliated bundles, invariant measures and flat ma-
nifolds. Ann. of Math, 101 (1975), 369–390.
[20] S. Kobayashi e K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Interscience Pu-
blishers, 1963.
[21] A. M. Macbeath e S. Swierczkowski: On the set of generators of a subgroup. Indag.
Math, 21, (1959) 280-281.
[22] J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry, 2
(1968) 447-449.
[23] P. Molino: Riemannian Foliations. Progress in mathematics, vol 73, Birkhauser, Bos-
ton, 1988.
[24] C. C. Moore: Decomposition of unitary representations defined by discrete subgroups
of nilpotent groups. Ann. of Math. (2) 82 1965 146–182.
[25] A. L. Onishchik e E. B. Vinberg: Lie Groups and Lie Algebras II. Encyclopaedia of
Mathematical Sciences, Vol 21, Springer-Verlag, Berlin, 2000.
55
[26] A. T. Paterson: Amenability. Math. Surveys and Monographs, vol 29, Amer. Math.
Society, Providence, RI.
[27] J. F. Plante: Anosov Flows. Amer. J. Math. 94 (1972) 729–754.
[28] J. F. Plante: Anosov Flows and the fundamental group. Topology 11 (1972) 147–150.
[29] M. Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry, Vol I. Published
by M. Spivak, Brandeis univ., Waltham, Mass (1970).
[30] D. Tischler: On fibering certain foliated manifolds over S1. Topology, 9 (1970) 153–
154.
[31] J. Tits: Free subgroups in linear groups. J. Algebra, 20 (1972) 250–270.
[32] V.S. Varadarajan: Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, Springer-
Verlag, New York, 1974, 1984.
[33] F. W. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-
Verlag, 1971.
[34] J. A. Wolf: Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian
manifolds. J. Differential Geometry, 2 (1968) 421-446.
56
Indice Remissivo
G-desenvolvimento, 15
algebra
de Lie compacta, 16
de Lie estrutural de uma folheacao Rie-
manniana, 41
derivada, 25
acao Anosov, 46
conjuntamente integravel, 47
central, 46
campo
folheado, 40
constantes estruturais, 8
crescimento
de um grupo de Lie compactamente ge-
rado, 43
de um grupo finitamente gerado, 42
difeomorfismo normalmente hiperbolico, 45
elemento Anosov, 46
central, 46
estrutura transversal de Lie, 16
fator de Levi
de um grupo de Lie conexo, 23
de uma algebra de Lie, 23
folheacao
G-i.u.t.a., 17
de Lie, 12
estavel forte, 46
instavel forte, 46
Riemanniana, 40
transversalemente paralelizavel, 40
estavel, 46
instavel, 46
forma
de Maurer-Cartan, 11
grupo
amenable discreto, 38
de holonomia global de uma folheacao
de Lie, 14
de perıodos, 19
metrica quase-fibrada, 40
ponto
errante, 47
nao-errante, 47
radical
de um grupo de Lie conexo, 23
de uma algebra de Lie, 23
subgrupo lattice, 48
Teorema
de Darboux-Fedida, 12
de Fibracao de Tischler, 20
57
de Molino, 40
variedade
estavel, 47
estavel forte, 46
instavel, 47
instavel forte, 46
58