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ERRATA nos 2 exemplares da tese cio aluno Mauricio de Araujo Ferreira:

Na capa:r------

Onde se lê:

Mauricio de Araujo Ferreira

Leia-se:

Maurício de Araujo Ferreira

Em folha i:

Onde se lê:-----_.-

Leia-se:-------

Maurício de Araujo Ferreira Mauricio de Araujo Ferreira

Em folha ii:

Onde se lê: Leia-se:

Maurício de Araujo Ferreira Mauricio de Araujo Ferreira

~/~~ror. Or. Luiz Koodi Hotta

Coordenador CPGIIMECCMatric. 042471 ~UNICAMP

Universidade Estadual de Campinas

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO

CIENTÍFICA

Departamento de Matemática

Funções valorização e anéis de valorização de

Dubrovin em álgebras simples

por

Maurício de Araujo Ferreira

Doutorado em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Antonio José Engler

IMECC - UNICAMP

Coorientador: Prof. Dr. Adrian Roscoe Wadsworth

University of California, San Diego

Financiamento: CAPES e FAPESP

Campinas, SP

2011

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.

Este trabalho é dedicado as duas pessoas dão

sentido a minha vida, minha mãe Luzia Lopes

de Araujo e minha esposa Márcia Braga de

Carvalho Ferreira

v

Agradecimentos

Eu gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Antônio José Engler pela

excelente orientação que foi muito além de uma tese de doutorado. O aprendizado

obtido durante esses longos anos de convivência me guiará em toda a minha vida

acadêmica. Obrigado também pela conança depositada em mim e por toda ajuda

durante esses anos.

I would like to thank my thesis co-advisor Professor Adrian Wadsworth for

all help during the last three years. Thank you for receiving me so kindly in San

Diego and for all support during my staying there. Thank you for being always

available to talk and for answering so patiently all my questions. Thank you also

for your visit during the winter of 2010, a time when the main results of this thesis

were obtain.

I would also like to thank the Mathematics Department of the University of

California, San Diego for its hospitality during my visit in 2009.

Eu gostaria de agradecer também a banca examinadora pelas valiosas sugestões

e correções. E a todos os funcionários do IMECC, por terem sido sempre muito

atenciosos em tudo o que eu precisei, em especial Ednaldo, Lívia, Reginaldo e

Tânia.

Finalmente, eu gostaria de agradecer a CAPES e a FAPESP pelo apoio nan-

ceiro.

vii

.

viii

Resumo

Nesta tese estudamos a relação entre duas teorias de valorização não-comutativas:anéis de valorização de Dubrovin e gauges. Os anéis de valorização de Dubrovinforam introduzidos em 1982, como uma generalização para anéis artinianos simplesdos anéis de valorização invariantes em álgebras de divisão. Gauges são funçõescomo valorizações, que podem ser denidas não só em álgebra de divisão, mas maisgeralmente em álgebras simples e até mesmo semi-simples, de dimensão nita so-bre corpos valorizados. Gauges foram introduzidas muito mais recentemente em2010 por Tignol e Wadsworth. Assim como em valorizações de corpos, podemosdenir um anel associado a uma gauge, que chamamos de anel da gauge. Pro-priedades aritméticas do anel da gauge são estudadas. Mostramos que o anel deuma gauge é sempre uma ordem semi-local integral sobre seu centro. Tambémdescrevemos o anel da gauge com relação a composição de gauges e extensão deescalares. Introduzimos o conceito de gauge minimal em álgebras centrais sim-ples, que são gauges cuja parte de grau zero da álgebra graduada associada temo menor número possível de componentes simples. Mostramos que o anel de umagauge minimal coincide com a interseção de uma família de anéis de valorização deDubrovin, satisfazendo uma propriedade adicional, que foi introduzida por Gräterem 1992, e que é chamada de propriedade da interseção. Reciprocamente, se fordada uma família de anéis de valorização de Dubrovin, satisfazendo a propriedadeda interseção, então existe uma gauge minimal associada, assumindo-se que a valo-rização de centro tem posto nito. O passo fundamental nesse sentido foi obtermosum teorema de existência de gauges minimais em álgebras centrais simples sobrecorpos com uma valorização de posto nito. Além disso, generalizamos para álge-bras simples, não necessariamente centrais, um resultado de Tignol e Wadsworthque relaciona gauges com certas funções valorização introduzidas por Morandi em1989 e que estão associadas aos anéis de valorização de Dubrovin integrais sobreo centro. Como consequência desse último resultado, obtivemos um teorema deexistência de gauges em álgebras semi-simples de dimensão nita sobre um corpocom uma valorização de posto 1.

Palavras-chave: Teoria da valorização, Anéis de divisão, Álgebras associativas,Anéis graduados, Anéis de valorização de Dubrovin.

ix

Abstract

In this thesis work we study the connection between two theories of non-commutative valuation: Dubrovin valuation rings and gauges. Dubrovin valuationrings were introduced in 1982 as a generalization of invariant valuation rings toArtinian simple rings. Gauges are valuation-like maps that can be dened not onlyon division algebras, but more generally, on nite-dimensional semisimple algebrasover valued elds. Gauges were introduced much more recently in 2010 by Tignoland Wadsworth. Just as for valuations on elds, we can dene a ring associatedto a gauge, which we call gauge ring. Arithmetic properties of the gauge ring arestudied. We show that the gauge ring is always a semi-local order integral over itscenter. We also describe the gauge ring with respect to composition of gauges andscalar extension. We introduce the concept of minimal gauge on central simplealgebras, which are gauges that the degree zero part of the associated graded ringhas the least number of simple components. We show that the ring of a minimalgauge is an intersection of a family of Dubrovin valuation rings having the inter-section property. The intersection property was introduced by Gräter in 1992. Wealso proved that if we start with a family of Dubrovin valuation rings having theintersection property, then there exist a minimal gauge associated, assuming thatthe valuation of the center has nite rank. In this direction, our main result is anexistence theorem of minimal gauges on central simple algebra over a eld witha nite rank valuation. We also generalize for simple algebras, non-necessarilycentral, a result of Tignol and Wadsworth which relate gauges with certain valuefunctions introduced by Morandi in 1989. This value functions are associated toDubrovin valuation rings integral over its center. As a consequence of this lastresult, we obtain an existence theorem of gauges on nite dimensional semisimplealgebras over a eld with a rank one valuation.

Key words: Valuation theory, Division rings, Associative algebras, Graded rings,Dubrovin valuation rings.

xi

.

xii

Sumário

Notação xv

Capítulo 1. Introdução 1

Capítulo 2. Funções valorização e álgebras graduadas 11

2.1. Anéis e módulos graduados 11

2.2. Álgebras graduadas simples e semi-simples 15

2.3. Extensões de corpos graduados 21

2.4. Funções valorização em espaços vetoriais 22

2.5. Funções valorização em álgebras 24

2.6. Gauges 26

2.7. Funções valorização de Morandi 29

Capítulo 3. Propriedades fundamentais de gauges 31

3.1. O anel da gauge 31

3.2. Composição 39

3.3. Extensão de escalares 43

3.4. Restrição 45

3.5. Valorizações sem defeito 46

Capítulo 4. Gauges em álgebras simples e semi-simples 51

Capítulo 5. Gauges em álgebras centrais simples 59

Apêndice A. Anéis de valorização de Dubrovin 71

xiii

xiv Sumário

A.1. A propriedade da interseção 71

A.2. O número da extensão 73

A.3. Teorema da aproximação de Morandi 77

Apêndice B. Henselização e produto tensorial 79

Apêndice C. Um teorema sobre a estrutura de gauges em álgebras simples 85

Referências Bibliográcas 89

Índice Remissivo 93

Notação

Ao longo desse trabalho, Γ denota sempre um grupo abeliano, divisível e to-

talmente ordenado, escrito aditivamente, que contém os valores de todas as valori-

zações e os graus (índices) de todas as graduações que considerarmos. Se v é uma

valorização em um corpo F , então V denota sempre o anel de valorização determi-

nado por v e vice-versa. Além disso, denotaremos por Γv o grupo de valores de v

e por Fvo corpo de resíduos de v, ou simplesmente F quando houver uma única

valorização envolvida. Da mesma forma, se α é uma função valorização em uma

álgebra A então escrevemos Rα para denotar o anel a ∈ A | α(a) ≥ 0. Também

escrevemos sempre Γα para denotar o conjunto de valores α(A \ 0), o qual não

é necessariamente um grupo. Se S é um anel, então denotaremos por S o anel

quociente S/J(S), onde J(S) é o radical de Jacobson de S. Além disso, se R é um

subanel de S contendo J(S), então R denota o anel R/J(S).

Lista de Símbolos

(a, b)F álgebra de quatérnios.

(F h, vh) henselização do corpo valorizado (F, v).

α ≤ β β é uma função valorização menos na que α, pág. 40.

α⊗ β função valorização no produto tensorial, pág. 43.

δ(W/V ) defeito, pág. 47.

ΓB grupo de valores do anel de valorização de Dubrovin B, pág. 6.

xv

xvi Notação

ΓR conjunto de graduação de uma anel graduado R, pág. 11.

grα(A) álgebra graduada associada a α.

Q corpo dos números racionais.

Qp corpo dos números p-ádicos.

Z anel dos inteiros.

ω(α) número de componentes simples da parte de grau zero de grα(A), pág. 59.

Br(K) grupo de Brauer do corpo K.

deg(r) grau de um elemento homogêneo r, pág. 11.

st(B) estabilizador de B, pág. 6.

ξ(V ) número da extensão (ξ(V,A)), pág. 73.

A×

conjunto das unidades do anel A.

d′ imagem de um elemento na álgebra graduada, pág. 23.

j(V,A) posto degrau, pág. 74.

q(F ) corpo de frações, pág. 21.

v ≤ w w é uma valorização menos na de v, pág. 39.

VP localização do anel V pelo ideal primo P .

Capítulo 1

Introdução

A história da Teoria de Valorizações começou em 1912, quando o matemático

húngaro Josef Kürschák formulou os axiomas de valorização em corpos. A principal

motivação foi a tentativa de melhorar a fundamentação da teoria de corpos p-ádicos

denidos por Kurt Hensel. Valorizações permitiram que a estrutura aritmética de

corpos de números fossem melhor entendidas. Isto impulsionou o desenvolvimento

da teoria nas décadas seguintes, principalmente através dos trabalhos de Helmut

Hasse e Alexander Ostrowski.

Na terminologia moderna, a valorização denida por Kürschák é denominada

valor absoluto, enquanto o termo valorização é dedicado a um conceito mais geral

apresentado por Wolfgang Krull em 1932. Este conceito mais geral de valorização

se mostrou aplicável em outras áreas da matemática como geometria algébrica

e análise funcional. O início da história da Teoria de valorização é contada por

Roquette em [Ro]. As referências principais sobre Teoria de Valorização são Endler

[E1], Engler e Prestel [EP] e Efrat [Ef].

A eciência da Teoria de Valorizações no estudo da aritmética de corpos le-

vou naturalmente a tentativa de generalizá-la para estruturas mais gerais, como

álgebras de divisão e álgebras centrais simples, que podemos chamar de valoriza-

ções não-comutativas. O primeiro conceito de anel de valorização não-comutativo

apareceu no trabalho de Hasse em [Ha] em 1931 e foi melhor explorado posterior-

mente no livro de Schilling [Sch]. Atualmente estes anéis são conhecidos por anéis

de valorização invariantes: um subanel R de um anel de divisão D é dito um anel

de valorização invariante se satisfaz

(1.1) (i) Se d ∈ D× , então d ∈ R ou d−1 ∈ R;

1

2 1. Introdução

(ii) dRd−1 = R para todo d ∈ D× .

A grande vantagem dos anéis de valorização invariantes é que, assim como

acontece com corpos, podemos associar uma valorização a estes anéis. Como aR =

Ra para cada a ∈ D× , temos que Λ = aR | a ∈ D× é um grupo com a operação

(aR) · (bR) = abR. Além disso, a relação de ordem, aR ≤ bR se e somente se

aR ⊇ bR, faz de Γ um grupo totalmente ordenado. A função v : D → Λ ∪ ∞,denida por v(d) = dR se d ∈ D× e v(0) = ∞ é uma valorização, pois para todo

c, d ∈ D temos:

(1.2) (i) v(d) =∞ se e somente se d = 0;

(ii) v(cd) = v(c) + v(d);

(iii) v(c+ d) ≥ minv(c), v(d).

Reciprocamente, se v : D → Γ ∪ ∞ é uma valorização em D, isto é, v satisfaz

as propriedades (i), (ii) e (iii) de (1.2), então o subconjunto

(1.3) Rv = d ∈ D | v(d) ≥ 0

é um anel de valorização invariante de D. Denotamos o grupo de valores v(D×

) de

v por ΓD e o anel de resíduos Rv/J(Rv) por D, onde J(Rv) denota o Radical de

Jacobson de Rv.

A grande desvantagem dos anéis de valorização invariantes é que estes não tem

boas propriedades de extensão. O teorema a seguir estabelece um critério para a

existência de uma valorização na álgebra de divisão, estendendo uma valorização

do centro.

Teorema 1.4. Seja D um anel de divisão com dimensão nita sobre seu centro

F . Uma valorização v de F se estende para uma valorização w em D se e somente

se v tem extensão única para cada corpo intermediário F ⊂ L ⊂ D. Assim, v tem

no máximo uma extensão em D.

O Teorema 1.4 foi demonstrado por Ershov em [Er] e independentemente por

Wadsworth em [W1]. Note que pelo Teorema 1.4 a existência da extensão está

condicionada a uma hipótese muito restritiva sobre as extensões da valorização

para os corpos intermediários. Portanto, o Teorema 1.4 sugere que valorizações

em álgebras de divisão são objetos muito raros, em comparação com valorizações

em corpos.

1. Introdução 3

Mais recentemente, P. Morandi forneceu em [M1] um outro critério útil, para

decidir quando uma valorização do centro se estende para uma valorização na

álgebra de divisão.

Teorema 1.5. Sob as hipóteses do Teorema 1.4, seja (F h, vh) a henselização de

(F, v). Então v se estende para uma valorização em D se e somente se D ⊗F F h

é um anel de divisão. Quando isto ocorre, D ⊗F F h = D e ΓD⊗FFh = ΓD, e a

valorização em D é a restrição da valorização em D⊗F F h, que é a única extensão

de vh em F h.

O Teorema 1.5 já havia sido estabelecido por P. M. Cohn em [C] para valori-

zações de posto 1, trocando-se a henselização pelo completamento.

Note que pelo Teorema 1.5, se o centro é um corpo henseliano, então a valoriza-

ção sempre se estende. Isso permitiu que valorizações fossem utilizadas no estudo

de propriedades aritméticas de anéis de divisão de dimensão nita, principalmente

no caso em que o corpo de base é henseliano. Uma visão geral do assunto, contendo

os desenvolvimentos recentes da teoria e aplicações pode ser encontrada em [W3].

Por outro lado, quando o corpo de base não é henseliano, a extensão pode

simplesmente não existir, como no exemplo abaixo.

Exemplo 1.6. Considere a álgebra de quatérnios (−1,−1)Q sobre o corpo de nú-

meros racionais Q. Temos que Q(i) é uma extensão quadrática de Q dentro de

(−1,−1)Q. Como 5 = (2− i)(2 + i) em Q(i), temos que a valorização 5-ádica de Qtem duas extensões distintas para Q(i). Portanto, a valorização 5-ádica não se es-

tende para uma valorização na álgebra de quatérnios (−1,−1)Q. Mais geralmente,

se P denota o conjunto dos números primos e Qp é o corpo dos números p-ádicos,

que é o completamento de Q com relação à valorização p-ádica vp, então a teoria

global de corpos de classe nos dá uma aplicação injetiva

Br(Q) →(⊕p∈P

Br(Qp))⊕ Br(R),

que aplica cada classe [A] ∈ Br(Q) para(([A⊗Qp])p∈P , [A⊗R]

)e tal que [A⊗Qp] =

0 para quase todo p ∈ P (cf. [P, Thm. 18.5 e Prop. 18.5]). Segue do Teorema 1.5

que para cada álgebra de divisão sobre o corpo de números racionais, no máximo

um número nito de valorizações p-ádicas pode se extender.

Um segundo conceito de anel de valorização não-comutativo é o anel de va-

lorização total, cuja terminologia foi introduzida por P. M. Cohn em [C]. Um

4 1. Introdução

subanel T de um anel de divisão D é dito um anel de valorização total se para

todo d ∈ D× , tem-se d ∈ T ou d−1 ∈ T . Note que todo anel de valorização invari-

ante é um anel de valorização total. Um exemplo de um anel de valorização total

mas não invariante é dado no Exemplo 3.14.

Lembre que se L é uma extensão nita de F e V é um anel de valorização de

F , então V sempre se estende para L. O número de extensões distintas é limitado

por [L : F ] e o fecho integral de V em L é a interseção de todas as extensões. Além

disso, se L é uma extensão normal, então as extensões são conjugadas. O resul-

tado seguinte estabelece que os anéis de valorização totais tem um comportamento

similar ao caso comutativo.

Teorema 1.7. Seja D um anel de divisão de dimensão nita sobre seu centro F

e seja V um anel de valorização em F . Então V se estende para um anel de

valorização total em D se e somente se o fecho integral de V em D é um subanel

de D. Mais ainda, se V pode ser estendido para D então o seguinte vale:

(1) V tem apenas um número nito B1, . . . , Bk de extensões totais.

(2) k ≤ n =√

[D : F ].

(3) B1 ∩ · · · ∩Bk é o fecho integral de V em D.

(4) Todas as extensões de V são conjugadas, isto é, se B e B′ são extensões

de V para D então B′ = dBd−1 para algum d ∈ D×.

Segue de [W2, Thm. E] que k é o tamanho matricial de D ⊗F F h, isto é,

D ⊗F F h ∼= Mk(E), onde E é uma F h-álgebra de divisão. Assim, pelo Teorema

1.5, k = 1 se e somente se a extensão é um anel de valorização invariante.

Assim como os anéis de valorização invariantes, os anéis de valorização totais

não possuem boas propriedades de extensão. P. M. Cohn mostrou em [C, Thm.

3] que se D é uma álgebra de divisão de dimensão nita sobre seu centro F e se V

é um anel de valorização de F de posto 1, então todo anel de valorização total de

D estendendo V é invariante. Assim, o Exemplo 1.6 fornece também um exemplo

de uma álgebra de divisão que não admite anel de valorização total estendendo a

valorização 5-ádica do centro.

Em 1982, uma outra teoria de valorização não-comutativa foi apresentada por

Dubrovin [Du1], a qual consiste em uma generalização dos anéis de valorização

invariantes, não apenas para álgebras de divisão, mas que valem mais geralmente

para anéis artinianos simples. Esses anéis são hoje conhecidos como anéis de

1. Introdução 5

valorização de Dubrovin. Eles são denidos como segue: seja A um anel artiniano

simples, um subanel B ⊆ A é dito um anel de valorização de Dubrovin de A se

(1.8) (i) B/J(B) é artiniano simples;

(ii) se s ∈ A\B, então existem b1, b2 ∈ B tais que b1s, sb2 ∈ B\J(B),

onde J(B) denota o radical de Jacobson de B. O anel B = B/J(B) é chamado de

anel de resíduos de B.

Apesar de não car claro a partir da denição que estes anéis merecem o nome

de anéis de valorização, por não terem uma propriedade como (1.1), a nomenclatura

é justicada pelas propriedades listadas abaixo (ver [Du1] e [Du2]). Seja F =

Z(A) e seja V = F ∩B = Z(B).

(1.9) V é um anel de valorização de F .

(1.10) Os ideais bilaterais de B são totalmente ordenados por inclusão.

(1.11) Se B é um anel de valorização de Dubrovin de A e S é um subanel de A

contendo B então S é um anel de valorização de Dubrovin de A e B = B/J(S)

é um anel de valorização de Dubrovin de S = S/J(S). Além disso, J(S) é um

ideal primo de B e CB(J(S)) = c ∈ B | [c + J(S)] é regular modulo J(S) é umconjunto de Ore regular de B. Então podemos construir o anel quociente B com

relação CB(J(S)), que denotamos por BJ(S), a localização de B pelo ideal primo

J(S). Neste caso, temos ainda que S = BJ(S). Maiores detalhes sobre localização

de anéis não comutativos por conjuntos de Ore podem ser encontrados em [MMU,

§1].

(1.12) Se S é um anel de valorização de Dubrovin de A e B é um anel de valori-

zação de Dubrovin de S = S/J(S) então B = r ∈ S | r + J(S) ∈ B é um anel

de valorização de Dubrovin de A.

(1.13) Suponhamos [A : F ] < ∞. Para todo ideal primo P de B, considere

P = P ∩ V . Então P é um ideal primo de V , e a localização central BP é um

subanel de A contendo B e J(BP) = P . Então, combinando isto com (1.11),

obtemos que existe uma correspondência bijetiva entre os ideais primos de B, os

ideais primos de V , e os subaneis de A contendo B.

(1.14) O anel de matrizesMn(B) é um anel de valorização de Dubrovin deMn(A).

Mais ainda, se A = Mn(D), onde D é um anel de divisão, então existe um anel de

valorização de Dubrovin R de D com B = q−1Mn(R)q, para algum q ∈ A× .

6 1. Introdução

Embora não exista em geral uma valorização associada aos anéis de valorização

de Dubrovin, podemos denir um grupo de valores associado a esses anéis. Seja B

uma anel de valorização de Dubrovin de um anel artiniano simples A. Denimos

st(B) = a ∈ A× | aBa−1 = B,

o estabilizador de B sobre a ação de A×, que é um subgrupo de A

×. Note que B

×

é um subgrupo normal de st(B). Então denimos o grupo de valores de B por

ΓB = st(B)/B×.

Seja (F, v) um corpo valorizado e A uma F -álgebra central simples. Seja (F h, vh)

a henselização de (F, v). Então A⊗F F h ∼= Mn(D), onde D é um uma F h-álgebra

de divisão central. Seja w a valorização em D estendendo a valorização henseliana

vh. Seja D o anel de resíduos e Γw o grupo de valores de w. Se B é um anel de

valorização de Dubrovin de A, com Z(B) = V , então temos por [W2, Thm. B]

que

(1.15) ΓB = Γw e B ∼= Mt(D), para algum t ≥ 1.

Nota 1.16. Se R é um anel de valorização total em um anel de divisão D, então R

é um anel de valorização de Dubrovin. Para vericar isso, vejamos que o conjuntos

dos ideais à direita de R é totalmente ordenado pela inclusão. Sejam I, J ideais

não nulos à direita de R com I * J . Seja x ∈ I \J . Para todo a ∈ J \0 devemos

ter a−1x ∈ R ou x−1a ∈ R. Mas a−1x ∈ R implica x = a(a−1x) ∈ J , o que não

é possível. Então a = x(x−1a) ∈ I. Portanto, J ⊆ I. Segue que J(R) é o único

ideal maximal à direita de R e então J(R) = R \R× . Portanto, R/J(R) é um anel

de divisão, logo artiniano simples. Para a segunda propriedade de (1.8), note que

se s ∈ D \R, então s−1 ∈ R, logo 1 = ss−1 = s−1s ∈ R \ J(R).

Além de poderem ser encontrados em álgebras centrais simples e não apenas

álgebras de divisão, outra grande vantagem dos anéis de valorização de Dubrovin,

em relação aos anéis de valorização totais e invariantes, é que estes possuem pro-

priedades de extensão muito boas. O resultado seguinte foi obtido primeiramente

por Dubrovin [Du2] e uma demonstração mais simples foi dada por Brungs and

Gräter em [BG].

Teorema 1.17. Seja A um anel artiniano simples com dimensão nita sobre seu

centro F e seja V um anel de valorização de F . Então existe um anel de valorização

de Dubrovin B de A com B ∩ F = Z(B) = V .

1. Introdução 7

Além disso, apesar de o número de extensões poder ser innito, tem-se uma

certa unicidade, como pode ser visto no Teorema 1.18 abaixo, que foi demonstrado

por Brungs e Gräter em [BG] no caso em que V tem posto nito, e em geral por

Wadsworth em [W2].

Teorema 1.18. Sejam B1 e B2 anéis de valorização de Dubrovin em um anel

artiniano simples A com dimensão nita sobre seu centro F , tais que Z(B1) =

Z(B2). Então existe q ∈ A× tal que B1 = qB2q−1.

A grande desvantagem dos anéis de valorização de Dubrovin é que em geral

esses anéis não tem uma valorização associada como os anéis de valorização in-

variantes. Um resultado parcial foi obtido por P. Morandi em [M2], no qual ele

estabelece a existência de uma função valorização associada a cada anel de valo-

rização de Dubrovin, apenas no caso em esses são integrais sobre o centro. As

funções valorização de Morandi serão discutidas na Seção 2.7.

Recentemente, Tignol e Wadsworth introduziram em [TW1] uma nova ferra-

menta à qual chamaram de gauge1. Gauges são aplicações semelhantes a valoriza-

ções que podem ser denidas não só em álgebras de divisão mas, mais geralmente,

em álgebras simples, ou até mesmo semi-simples, de dimensão nita sobre cor-

pos valorizados. Para sermos mais precisos, seja (F, v) um corpo valorizado e Γ

um grupo abeliano, divisível, totalmente ordenado contendo o grupo de valores

de v. Suponhamos que A é uma F -álgebra de dimensão nita. Uma aplicação

α : A → Γ ∪ ∞ é dita uma v-função valorização multiplicativa se para todo

x, y ∈ A e c ∈ F temos:

(i) α(x) =∞ se e somente se x = 0;

(ii) α(x+ y) ≥ minα(x), α(y);

(iii) α(cx) = v(c) + α(x);

(iv) α(xy) ≥ α(x) + α(y).

A função valorização α dene uma ltração em A: para cada γ ∈ Γ seja

(1.19) A≥γ = x ∈ A | α(x) ≥ γ, A>γ = x ∈ A | α(x) > γ e Aγ = A≥γ/A>γ .

Com isso, obtemos um anel graduado associado a α:

(1.20) grα(A) =⊕γ∈Γ

Aγ .

1Como não encontramos um termo em português que substituísse adequadamente a palavra gauge,

continuaremos usando o termo original em inglês.

8 1. Introdução

De modo análogo, trocando-se A por F e α por v em (1.19) e (1.20), obtemos

um anel graduado comutativo grv(F ), tal que todo elemento homogêneo não nulo

tem inverso, que chamamos de corpo graduado. O anel graduado grα(A) tem uma

estrutura de grv(F )-álgebra graduada. Uma v-função valorização multiplicativa

é dita uma v-gauge se a álgebra graduada grα(A) satisfaz as duas propriedades

adicionais seguintes:

(v) grα(A) é uma álgebra graduada semi-simples, isto é, não contém ideais

bilaterais homogêneos nilpotentes não nulos;

(vi) dimgrv(F ) grα(A) = dimF A.

Veremos na Seção 3.5, que a condição (vi) acima é equivalente a uma condi-

ção sobre a valorização v ser sem defeito na álgebra A. Os conceitos de função

valorização e álgebra graduada mencionados acima serão estudados com maiores

detalhes no Capítulo 2. Veremos no Exemplo 2.42 que toda valorização sem defeito

em álgebras de divisão de dimensão nita sobre seu centro são gauges.

Uma das limitações para um maior desenvolvimentos da teoria dos anéis de

valorização de Dubrovin, foi a ausência de uma função valorização associada a esses

anéis. Então é natural questionar se a recente teoria de gauges não cumpriria esse

papel. Além disso, temos por (1.16) e (2.42) que a teoria dos anéis de valorização

de Dubrovin e a teoria de gauges podem ambas serem vistas como generalizações

dos anéis de valorização invariante para álgebras centrais simples.

Assim como em valorizações, podemos denir um anel associado a uma gauge α

em uma F -álgebra de dimensão nita A como sendo Rα = x ∈ A |α(x) ≥ 0, quechamaremos de anel da gauge. Como veremos no Teorema 3.6, o anel da gauge é

sempre integral sobre o anel de valorização do centro. Logo não poderíamos esperar

que o anel de uma gauge seja um anel de valorização de Dubrovin, exceto no caso

tratado por Morandi. A Proposição 2.55 estabelece que toda função valorização

de Morandi sem defeito é uma gauge. Por outro lado, observamos que os anéis

da gauge tem propriedades aritméticas semelhantes as dos anéis denidos como

a interseção de uma família de anéis de Dubrovin satisfazendo a propriedade da

interseção, que é denida como segue: Seja A uma álgebra simples de dimensão

nita sobre seu centro F e sejam B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de

A. Seja R =⋂ki=1Bi. Dizemos que B1, . . . , Bk tem a Propriedade da Intersecção

(IP) se J(S) ∩ R é um ideal primo de R, para cada anel S contendo Bi, para

algum i = 1, . . . , k. A propriedade da interseção foi introduzida por Gräter em

[G]. Gräter mostrou que se V é um anel de valorização em F então sempre existe

1. Introdução 9

uma família de anéis de valorização de Dubrovin em A estendendo V e tendo a

propriedade da interseção. Além disso, existe um número máximo de anéis com

essa propriedade, que é chamado de número da extensão e denotado por ξ(V,A).

Acontece que esse número é atingido se e somente se a interseção desses anéis é

integral sobre V . O objetivo central desse trabalho é estudar a relação entre o anel

de uma gauge a interseção de anéis de valorização de Dubrovin tendo a propriedade

da interseção.

No que segue, descrevemos o conteúdo estudado em cada capítulo e os resul-

tados principais do trabalho.

No Capítulo 2, funções valorizações e álgebras graduadas são estudadas. Este

capítulo não contém resultados novos, mas contém demonstrações mais detalhadas

de resultados que aparecem na literatura com demonstrações muito enxutas ou cuja

demonstração é simplesmente omitida. Este capítulo também tem a nalidade de

familiarizar o leitor com a recente teoria de gauges e com as propriedades da álgebra

graduada associada a uma gauge, facilitando a leitura dos capítulos subsequentes.

A teoria de gauges é um assunto novo e muito pouco é conhecido. Até então,

os únicos trabalhos envolvendo gauges são: [TW1], no qual gauges foram intro-

duzidas; [TW2], que contém propriedades adicionais de gauges e aplicações no

estudo de álgebras com involuções e [K], no qual gauges foram utilizadas para se

obter uma generalização do Teorema de Bröker-Prestel. Entretanto, propriedades

aritméticas do anel da gauge não foram estudadas nesses trabalhos. Isto será feito

na primeira seção do Capítulo 3. O resultado principal dessa seção é o Teorema

3.6, o qual estabelece que o anel de uma v-gauge é uma V -ordem semi-local. Nas

seções seguintes deste capítulo, estudamos o comportamento de gauges e do anel

da gauge com relação a composição de gauges, extensão de escalares e restrição a

uma subálgebra. Na última seção deste capítulo introduzimos o conceito de uma

valorização ser sem defeito em uma álgebra semi-simples. Este conceito generaliza

as extensões de corpos sem defeito e as valorizações em anéis de divisão sem de-

feito. Os resultados Corolário 3.46 e Teorema 5.22 implicam que uma valorização

ser sem defeito numa álgebra central simples é uma condição necessária e suciente

para a existência de uma gauge na álgebra.

O material do capítulo 4 é dedicado ao estudo da estrutura de gauges em

álgebras semi-simples e álgebras simples não necessariamente centrais. O resultado

principal desse capítulo é o Teorema 4.15, que generaliza para álgebras simples não

necessariamente centrais a Proposição 2.55, a qual relaciona gauges com as funções

10 1. Introdução

valorização de Morandi. Como consequência desse teorema, obtemos no Corolário

4.21 um resultado de existência de gauges em álgebras semi-simples sobre corpos

com uma valorização de posto 1.

O capítulo 5 trata de gauges em álgebras centrais simples. Neste capítulo

introduzimos o conceito de gauge minimal, que é uma gauge cuja parte de grau

zero da álgebra graduada associada tem o menor número possível de componentes

simples. O Teorema 5.17 estabelece que o anel de uma gauge minimal coincide com

a interseção de uma família nita de anéis de valorização de Dubrovin satisfazendo

a propriedade da interseção. O outro resultado fundamental deste capítulo é o

Teorema 5.22, que é um teorema de existência de gauges minimais em álgebras

centrais simples, assumindo-se que a valorização do centro tem posto nito e é sem

defeito na álgebra. Como consequência desse teorema obtemos o Corolário 5.34,

que é a recíproca do Teorema 5.17.

Os apêndices ao nal do trabalho contém dois teoremas de Wadsworth que

são fundamentais para os nossos resultados. Esses teoremas foram incluídos com

demonstrações, pois tratam-se de resultados recentes e que ainda não foram publi-

cados. O Teorema C.1 é a generalização do Teorema 4.5 para valorizações de posto

arbitrário. O Teorema B.7 estabelece que se L é uma extensão nita de um corpo

valorizado (F, v), então o produto tensorial L⊗F F h é um produto direto de corpos.

Também incluímos no Apêndice B uma revisão sobre henselização, que contém al-

guns resultados fundamentais sobre o assunto, utilizados com frequência ao longo

do texto. O Apêndice A contém um resumo sobre a propriedade da interseção

de anéis de valorização de Dubrovin. Este foi incluído como uma conveniência

ao leitor, tendo em vista que estes resultados serão utilizados com frequência nos

Capítulos 4 e 5. Todos os resultados que aparecem aqui foram extraídos do livro

de Marubayashi, Miyamoto e Ueda [MMU]. Também para a conveniência do lei-

tor, incluímos no Apêndice B uma revisão sobre henselização, que contém alguns

resultados fundamentais sobre o assunto, utilizados com frequência ao longo do

texto.

Capítulo 2

Funções valorização e

álgebras graduadas

Nas duas primeiras seções desse capítulo revisaremos alguns conceitos básicos

sobre anéis e módulos graduados. Praticamente tudo que é dito aqui é conhecido

na literatura (ver por exemplo [NvO1], [NvO2] e [HW2]), embora há diferenças

nas notações, enunciados e demonstrações. Nas seções seguintes, estudaremos

propriedades básicas de funções valorização e gauges. A referência utilizada para

essas seções foi [TW1], no qual o conceito de gauge foi originalmente introduzido.

No que segue, Γ denota sempre um grupo abeliano, divisível e totalmente ordenado,

escrito aditivamente, que contém os valores de todas as valorizações e os graus

(índices) de todas as graduações que considerarmos.

2.1. Anéis e módulos graduados

Um anel R é dito um anel graduado se este tem uma decomposição em soma

direta R =⊕

γ∈ΓRγ , onde cada Rγ é um grupo abeliano e Rγ · Rδ ⊆ Rγ+δ, para

todo γ, δ ∈ Γ. O conjunto de graduação de R é o subconjunto de Γ denido por

ΓR = γ ∈ Γ | Rγ 6= 0.

Os elementos de⋃γ∈ΓRγ são chamados elementos homogêneos de R. Cada ele-

mento não nulo r ∈ Rγ é dito homogêneo de grau γ e escrevemos γ = deg(r). Todo

elemento r ∈ R se escreve de maneira única como r =∑

γ∈Γ rγ , onde cada rγ ∈ Rγe rγ é não nulos para apenas um número nito de γ ∈ Γ. Os elementos não nulos

rγ na decomposição de r são chamados de componentes homogêneas de r. Note

11

12 2. Funções valorização e álgebras graduadas

que 1 ∈ R0 pois se escrevermos 1 =∑

γ∈Γ rγ , então rδ = 1rδ =∑

γ∈Γ rγrδ. Logo

rγrδ = 0 para todo δ, γ ∈ Γ, com γ 6= 0. Segue que rγ = rγ1 = 0 para todo γ 6= 0.

Portanto 1 = r0 ∈ R0. Como R0 · R0 ⊆ R0, concluímos que R0 é um subanel de

R.

Um anel graduado D é dito um anel de divisão graduado se todo elemento

homogêneo não nulo é invertível. Se além disso D for comutativo, então dize-

mos que D é um corpo graduado. Os dois resultados seguintes fornecem algumas

propriedades básicas de anéis de divisão graduados.

Proposição 2.1. Seja D =⊕

γ∈ΓDγ um anel de divisão graduado. Para todo

a, b ∈ D, se ab é um elemento homogêneo, então a e b são homogêneos.

Demonstração: Suponhamos que a, b ∈ D \ 0. Como Γ é totalmente ordenado,

podemos escrever a = a1 + · · · + ak tal que ai 6= 0 e deg(a1) < · · · < deg(ak).

Da mesma forma, seja b = b1 + · · · + br. Como D é anel de divisão, cada ele-

mento homogêneo de D é invertível. Logo a1b1 6= 0 e akbr 6= 0. Mas a1b1 e akbr

são as componentes homogêneas de ab de menor e maior grau, respectivamente.

Como ab é homogêneo, temos que deg(a1)+deg(b1) = deg(ak)+deg(br). Portanto,

deg(a1) = deg(ak) e deg(b1) = deg(br), o que signica que a e b são homogêneos.

Proposição 2.2. Seja D =⊕

γ∈ΓDγ um anel de divisão graduado. Então D0 é

um subanel de divisão de D e cada Dγ não nulo é um D0-espaço vetorial à esquerda

(à direita) de dimensão 1.

Demonstração: Já vimos que D0 é um subanel de D. Como os elementos não

nulos de D0 são unidades, concluímos que D0 é um anel de divisão. Agora se existe

a 6= 0 em Dγ , então Dγa−1 é um D0-subespaço vetorial à esquerda de D0. Logo

D0 = Dγa−1. Portanto, Dγ = D0a, que é um D0-espaço vetorial à esquerda de

dimensão 1. Da mesma forma, Dγ = aD0.

Exemplo 2.3. Seja A um anel. O anel dos polinômios R = A[t] é um anel gra-

duado, com a graduação Rn = A · tn para n ≥ 0 e Rn = 0 para n < 0.

Exemplo 2.4. Seja A um anel. O anel dos polinômios de Laurent R = A[t, t−1]

é um anel graduado, cujo conjunto de graduação é Z. Se A é um anel de divisão

(corpo), então R é uma anel de divisão (corpo) graduado.

2.1. Anéis e módulos graduados 13

Nota 2.5. Um anel de divisão graduado não é necessariamente um anel de divisão

(com a graduação esquecida), como pode ser visto no Exemplo 2.4. O que temos

em geral é que anéis de divisão graduados não tem divisores de zero. Para vericar

isso, seja D um anel de divisão graduado e sejam a, b ∈ D tais que ab = 0. Pela

Proposição 2.1, devemos ter que a e b são homogêneos. Então não podemos ter

a, b 6= 0 pois neste caso, ambos seriam unidades.

Em geral o conjunto de graduação de um anel graduado não é necessariamente

um grupo, como mostra o Exemplo 2.3. Mas no caso em queD é um anel de divisão,

ΓD é um subgrupo de Γ pois se γ, δ ∈ ΓD, então existem elementos homogêneos

não nulos aγ ∈ Dγ e aδ ∈ Dδ. Logo aγa−1δ é um elemento homogêneo não nulo em

Dγ−δ. Portanto, γ − δ ∈ ΓD.

Um subanel graduado de um anel graduado R é um subanel S ⊆ R tal que

S =⊕

γ∈ΓRγ ∩ S, isto é, para cada s ∈ S todas as componentes homogêneas de

s também estão em S. O centro Z(R) de R é um subanel graduado. Além disso,

temos

Z(R)0 = Z(R) ∩R0 ⊆ Z(R0).

Da mesma forma, um ideal I (à direita, à esquerda ou bilateral) de um anel gra-

duado R é dito um ideal homogêneo se I =⊕

γ∈ΓRγ ∩ I.

Seja R um anel graduado. Um R-módulo à esquerda M é dito um R-módulo

graduado à esquerda se existe uma decomposição M =⊕

γ∈ΓMγ , onde cada Mγ é

um subgrupo aditivo de M e Rγ ·Mδ ⊆Mγ+δ para γ, δ ∈ Γ. Módulos graduados à

direita são denidos de madeira análoga. O conjunto de graduação ΓM é denido

por

ΓM = γ ∈ Γ |Mγ 6= 0.

Um submódulo N ⊆M é dito um submódulo graduado se N =⊕

γ∈ΓMγ ∩N .

Seja D um anel de divisão graduado e M um D-módulo graduado à esquerda.

Então cada componente homogênea Mγ é um D0-espaço vetorial à esquerda. O

conjunto de graduação ΓM não é necessariamente um grupo, mas é uma união de

classes laterais do grupo ΓD. Denotamos por |ΓM : ΓD| o número dessas classes

laterais. Seja ΓM =⋃i∈I Γi, onde cada Γi é uma classe lateral de ΓD e a união

é disjunta. Essa decomposição nos dá uma decomposição de M em submódulos

graduados

(2.6) M =⊕i∈I

Mi, onde Mi =⊕γ∈Γi

Mγ para i ∈ I.


Proposição 2.7. Todo módulo graduado sobre um anel de divisão graduado é um

módulo livre que tem uma base formada por elementos homogêneos. Mais ainda,

quaisquer duas dessas bases tem a mesma cardinalidade.

Demonstração: Seguindo a notação do parágrafo anterior, para cada i ∈ I e γi ∈Γi, seja

(mij

)j∈Ji

uma D0-base à esquerda de Mγi . Então Mγi =⊕

j∈Ji D0mij .

Logo Mγi+δ =⊕

j∈Ji Dδmij para todo δ ∈ ΓD. Como Γi = γi + ΓD, segue da

decomposição (2.6) que Mi =⊕

j∈Ji Dmij . Logo(mij

)j∈Ji

é uma D-base à es-

querda de Mi formada por elementos homogêneos. Novamente pela decomposição

(2.6) temos que(mij

)i∈I,j∈Ji

é uma D-base à esquerda de M formada por elemen-

tos homogêneos. Agora seja (xt)t∈T uma D-base à esquerda de M formada por

elementos homogêneos. Para cada i ∈ I, seja Ti = t ∈ T | deg(xt) ∈ Γi. Como

Γi = γi + ΓD, podemos tomar para cada t ∈ Ti um elemento homogêneo não nulo

dt em Dγi−deg(xt). Então dtxt ∈Mγi e (dtxt)t∈T é também uma D-base à esquerda

de M formada por elementos homogêneos. Mas pela decomposição (2.6), temos

que (dtxt)t∈Ti é uma D-base à esquerda de Vi. Logo (dtxt)t∈Ti é uma D0-base à

esquerda de Mγi . Portanto, |T | =∑

i∈I |Ti| =∑

i∈I dimD0 Mγi .

Por conta da Proposição 2.7, faz sentido chamarmos módulos sobre anéis de

divisão graduados de espaços vetoriais graduados. O posto, que é o número de

elementos em qualquer base formada por elementos homogêneos, será chamado

de dimensão, que denotaremos por dimDM ou [M : D]. A demonstração da

Proposição 2.7 mostra que

(2.8) dimDM =∑i∈I

dimDMi =∑i∈I

dimD0 Mγi ,

onde I é um conjunto de índices com |ΓM : ΓD| elementos e γii∈I é um conjunto

de representantes da decomposição de ΓM em classes laterais de ΓD.

Seja D um anel de divisão graduado e seja F um subanel de D tal que F

é também um anel de divisão graduado. Então D pode ser visto como um F -

espaço vetorial graduado à esquerda. Nestas condições, temos a seguinte relação

fundamental que será utilizada frequentemente ao longo do texto.

Proposição 2.9. [D : F ] = [D0 : F0]|ΓD : ΓF |.

Demonstração: Pela proposição 2.2, temos que Eγ é um E0-espaço vetorial à

esquerda de dimensão 1, para cada γ ∈ ΓE . Logo [E0 : D0] = dimD0 Eγ . Seja


ΓE =⋃i∈I γi + ΓD, escrito como uma união disjunta de classes laterais distintas.

Aplicando a fórmula (2.8) obtemos que

[E : D] =∑i∈I

dimD0 Eγi = [E0 : D0]|ΓE : ΓD|.

2.2. Álgebras graduadas simples e semi-simples

Seja F um corpo graduado. Denimos uma F -álgebra graduada como um

anel graduado A com 1 que é também um F -espaço vetorial graduado na qual a

multiplicação do anel e a multiplicação por escalares estão relacionadas por

(λa)b = λ(ab) = a(λb) para todo λ ∈ F e a, b ∈ A.

Podemos identicar F com um subanel graduado de A através da aplicação que

leva λ ∈ F em λ1 ∈ A. Dizemos que A é uma F -álgebra central se Z(A) = F . Se

A e B são F -álgebra graduadas, então denimos uma graduação no produto direto

A×B por

A×B =⊕γ∈Γ

Aγ ×Bγ .

Uma álgebra graduada simples é uma álgebra graduada A 6= 0 tal que 0e A são os únicos ideais bilaterais homogêneos. Se uma álgebra graduada A é

também um anel de divisão graduado então dizemos que A é uma álgebra de

divisão graduada. Note que se A é uma álgebra de divisão graduada, então A é

uma álgebra graduada simples. De fato, seja I um ideal bilateral homogêneo não

nulo de A e seja x ∈ I\0. Como I é homogêneo, temos que todas as componentes

homogêneas de x estão em I. Seja xγ uma componente homogênea não nula de x.

Como A é um anel de divisão graduado, todo elemento homogêneo não nulo de A

tem inverso. Logo 1 = xγx−1γ ∈ I.

Exemplo 2.10 (Álgebra de quatérnios graduada). Seja F um corpo graduado tal

que car(F0) 6= 2. Sejam a, b elementos homogêneos não nulos de F . Seja Q a F -

álgebra gerada por dois elementos i, j tais que

i2 = a, j2 = b e ij = −ji.

Seja k = ij. Fazendo

deg(i) =1

2deg(a), deg(j) =

1

2deg(b) e deg(k) =

1

2deg(a) +

1

2deg(b),


obtemos queQ é uma F -álgebra graduada que tem 1, i, j, k como F -base formada

por elementos homogêneos. A álgebraQ é dita uma álgebra de quatérnios graduada

e denotamos por (a, b)F . Vamos mostrar que Q é uma F -álgebra graduada simples.

Para isso, seja I um ideal bilateral homogêneo não nulo de Q e seja u = x+ yi+

zj +wk ∈ I \ 0. Então algum dos x, y, z, w é não nulo. Vamos supor que y 6= 0.

Os demais casos são análogos. Como I é ideal bilateral, temos

(a−1i)ui = x+ yi− zj − wk ∈ I.

Logo x+ yi ∈ I. Da mesma forma,

(b−1j)(x+ yi)j = x− yi ∈ I,

donde obtemos que yi ∈ I. Segue que y = (a−1i)(yi) ∈ I. Seja agora yγ uma

componente homogênea não nula de y. Como I é ideal homogêneo, segue que

yγ ∈ I. Logo 1 = yγy−1γ ∈ I. Também podemos vericar que Z(Q) = F . A

inclusão F ⊆ Z(Q) é clara. Para a outra inclusão, seja u = x+yi+zj+wk ∈ Z(Q).

Como iu = ui, segue que xi+ay+zk+waj = xi+ay−zk−waj. Logo z = w = 0.

Também de ju = uj obtemos xj − yk = xj + yk. Logo y = 0. Portanto u ∈ F .

Vamos agora discutir um pouco sobre homomorsmos entre módulos gradu-

ados. Seja M =⊕

γ∈ΓMγ e N =⊕

γ∈ΓNγ módulos à esquerda sobre um anel

graduado R. Seja HomR(M,N) o grupo dos R-homomorsmos com a gradu-

ação esquecida. Para cada γ ∈ Γ, denotamos por HomR(M,N)γ o grupo dos

R-homomorsmos que levantam o grau por γ, isto é,

HomR(M,N)γ = f ∈ HomR(M,N) | f(Mδ) ⊆ Nδ+γ para todo δ ∈ Γ.

Desta forma, HomR(M,N)0 consiste dos homomorsmos que preservam a gradu-

ação. Se existir um isomorsmo em HomR(M,N)0 então dizemos que M e N são

isomorfos como módulos graduados e denotamos porM ∼=g N . O mesmo vale para

homomorsmos de anéis ou álgebras graduadas.

Note que⊕

γ∈Γ HomR(M,N)γ é sempre um subgrupo de HomR(M,N) e temos

a igualdade

HomR(M,N) =⊕γ∈Γ

HomR(M,N)γ ,

se M é nitamente gerado (cf. [NvO1, Cor. I.2.11]). Com essa decomposição,

HomR(M,N) é um Z(R)-módulo graduado. Agora considere o anel EndR(M) =

HomR(M,M), com a graduação introduzida acima. Note que a graduação de

EndR(M) é compatível com a composição de homomorsmos. Então EndR(M)


tem também uma estrutura de anel graduado. O resultado seguinte estabelece que

no caso em que R é um anel de divisão graduado, EndR(M) é sempre uma álgebra

graduada simples.

Proposição 2.11. Seja F um corpo graduado e D uma F -álgebra de divisão gra-

duada de dimensão nita. Suponhamos que M é um D-espaço vetorial graduado à

esquerda de dimensão nita. Então EndD(M) é uma F -álgebra graduada simples

de dimensão nita tal que Z(EndD(M)) = Z(D).

Demonstração: Cada elemento a ∈ Z(D) é identicado em EndD(M) como

sendo a multiplicação por a. Seja (dh)kh=1 uma F -base de D formada por elementos

homogêneos. Seja n = dimDM . Para cada i, j = 1, . . . , n, seja Eij a transformação

linear de M denida por

Eij(m`) =

mi se ` = j,

0 se ` 6= j.

Então (drEij)r,i,j é uma F -base de EndD(M) formada por elementos homogêneos.

Logo EndD(M) é uma F -álgebra de dimensão nita. Para mostrar que EndD(M)

é simples, seja I um ideal bilateral homogêneo não nulo de EndD(M). Seja f ∈I \ 0. Como as componentes homogêneas de um elemento em I também estão

em I, podemos supor que f é homogêneo. Seja r ∈ 1, . . . , n tal que f(mr) 6= 0.

Seja f(mr) =∑n

s=1 dsrms. Podemos encontrar j ∈ 1, . . . , n tal que djr 6= 0.

Como f é homogêneo, temos que djr também deve ser homogêneo, logo invertível.

Agora note que a aplicação linear∑n

i=1 Eij f Eri envia cada ms em djrms, logo

é invertível. Portanto, 1 ∈ I.

A multiplicação por um elemento de Z(D) claramente está em EndD(M). Para

a inclusão contrária, seja f ∈ EndD(M). Para cada j = 1, . . . , n podemos escrever

f(mj) =∑n

r=1 drjmr. Agora note que para cada i, j = 1, . . . , n temos

Eij f(mj) = Eij(n∑r=1

drjmr) = djjmi,

e

f Eij(mj) = f(mi) =

n∑`=1

drimr.

Como Eij f = f Eij , obtemos que dij = 0 para i 6= j e dii = djj . Portanto f é

a aplicação que envia mr em d11mr. Agora para cada elemento homogêneo a ∈ Dseja ga a transformação linear que envia mr em amr. Como ga f = f ga, temos

que ad11 = d11a. Logo d11 ∈ Z(D). Portanto, f é a multiplicação por d11, donde


concluímos que f ∈ Z(D).

A seguir temos uma versão graduada do Teorema de Wedderburn (cf. [NvO1,

Thm. I.5.8]).

Teorema 2.12 (Teorema de Wedderburn). Seja A uma F -álgebra graduada cen-

tral simples de dimensão nita. Então existe uma única F -álgebra graduada de

divisão central D (a menos de isomorsmo graduado) tal que existe um isomor-

smo de álgebras graduadas

A ∼=g EndD(M),

para algum D-espaço vetorial graduado à esquerda M de dimensão nita.

Para uma F -álgebra graduada A como no Teorema 2.12 acima, veremos que a

parte de grau zero A0 de A não é necessariamente simples, mas sim semi-simples.

A estrutura de A0 é determinada pela decomposição de M obtida em (2.6). Como

M tem dimensão nita, segue de (2.8) que ΓM é uma união disjunta de um número

nito de classes laterais de ΓD. Sejam Γ1, . . . ,Γk as classes laterais distintas de

ΓD em ΓM . Considere a decomposição de M como em (2.6)

M =k⊕i=1

Mi, onde Mi =⊕γ∈Γi

Mγ .

Para i = 1, . . . , k seja ri = dimDMi e seja

Bi = f ∈ A0 | f(Mi) ⊆Mi, e f(Mj) = 0 para j 6= i

∼= (EndDMi)0.

Proposição 2.13. Nas condições do parágrafo acima, temos

A0 =k∏i=1

Bi ∼=k∏i=1

Mri(D0).

Ver [TW1, Prop. 2.1] para uma demonstração da Proposição 2.13.

Uma álgebra graduada A de dimensão nita é dita semi-simples se 0 é o

único ideal bilateral homogêneo nilpotente de A. Note que toda álgebra graduada

simples é semi-simples. Além disso, o produto direto de álgebras graduadas semi-

simples é também semi-simples, pois a projeção de um ideal bilateral homogêneo

nilpotente dá um ideal bilateral homogêneo nilpotente em cada componente.


O restante dessa seção é dedicado a mostrar que toda álgebra graduada semi-

simples é isomorfa a um produto direto de álgebras graduadas simples. A demons-

tração é obtida imitando o caso não graduado, com algumas modicações. Aqui

utilizamos como referência [F].

Um ideal homogêneo à esquerda (resp. à direita, bilateral) I de um anel A é

dito um ideal homogêneo minimal à esquerda (resp. à direita, bilateral) se I 6= 0e não existe nenhum ideal homogêneo à esquerda (resp. à direita, bilateral) I ′ de

A tal que 0 6= I ′ I. Note que se A for uma F -álgebra de dimensão nita, então

A contém pelo menos um ideal homogêneo minimal, pois todo ideal homogêneo de

A é um F -subespaço vetorial de A.

Para o restante desta seção, A denota sempre uma F -álgebra graduada semi-

simples.

Proposição 2.14. Seja J um ideal homogêneo minimal à esquerda (resp. direita)

de A. Então J = Ae (resp. J = eA) para algum idempotente homogêneo e ∈ A.

Demonstração: Suponhamos que J um ideal homogêneo minimal à esquerda de

A. O caso em que J é um ideal à direita é análogo. Temos que J2 6= 0, poiscaso contrário o ideal bilateral JA de A seria nilpotente pois

(JA)2 = (JA)(JA) = J(AJ)A = J2A.

Então existe a ∈ J tal que Ja 6= 0. Note que podemos escolher a homogêneo.

Logo Ja é um ideal homogêneo à esquerda de A contido em J . Logo Ja = J pela

minimalidade de J . Então existe e ∈ J tal que ea = a. Como a é homogêneo,

podemos trocar e pela sua componente de grau zero. Desta forma, podemos supor

que e é homogêneo de grau zero. Seja anJ(a) = x ∈ J | xa = 0, que é um

ideal homogêneo à esquerda de A contido em J . Agora anJ(a) 6= J pois Ja 6= 0.Novamente pela minimalidade de J , concluímos que anJ(a) = 0. Por outro lado,e2 − e ∈ anJ(a) pois e2a = ea. Portanto, e é um idempotente homogêneo. Como

e ∈ J , concluímos pela minimalidade de J que J = Ae.

Note que em uma álgebra graduada todo idempotente homogêneo não nulo

deve ter grau 0.

Proposição 2.15. Seja J um ideal bilateral homogêneo minimal de A. Então

J = Ae para algum idempotente homogêneo central e ∈ A. Além disso, e é uma

unidade para J , isto é, ex = xe = x para todo x ∈ J .


Demonstração: Pela Proposição 2.14, temos que J = Ae1 e J = e2A, onde

e1, e2 são idempotentes homogêneos em A. Logo e2 = ce1 e e1 = e2d para alguns

c, d ∈ A. Então e2 = ce1 = (ce1)e1 = e2e1. Da mesma forma, e1 = e2e1. Portanto,

J = eA = Ae. Isto implica que e é uma unidade para J . Então para todo a ∈ A,temos

ae = e(ae) = (ea)e = ea.

Portanto e comuta com todos os elementos de A.

Proposição 2.16. Seja J um ideal bilateral homogêneo minimal de A. Então J

é uma F -álgebra graduada simples.

Demonstração: Como J é um ideal bilateral homogêneo então J é um F -subespaço

vetorial graduado de A. Pela Proposição 2.15, temos que J = Ae e o idempotente

central e é uma unidade para J . Donde concluímos que J tem uma estrutura de

anel graduado. Identicando F com eF em J , obtemos que J é uma F -álgebra

graduada. Resta mostrar que os únicos ideais homogêneos bilaterais de J são os

triviais. Seja I 6= 0 um ideal bilateral homogêneo de J . Como J = Ae, para

algum idempotente homogêneo central e ∈ A, I também é um ideal homogêneo

bilateral de A. Pela minimalidade de J , concluímos que I = 0 ou I = J .

Proposição 2.17. Sejam J1, . . . , Jr ideais homogêneos minimais bilaterais de A,

dois a dois distintos. Então a soma J1 + · · ·+ Jr é direta.

Demonstração: Pela Proposição 2.15, temos que Ji = eiA = Aei, para i =

1, . . . , r, onde ei é um idempotente homogêneo central. Para cada i 6= j, temos

que Ji ∩ Jj é um ideal homogêneo bilateral de A. Pela minimalidade de Ji e Jj ,

concluímos que eiej = 0. Suponhamos agora que e1a1 + · · ·+erar = 0, com ai ∈ A.Multiplicando essa expressão à esquerda por ei, concluímos que eiai = e2

i ai = 0.

Portanto a soma J1 + · · ·+ Jr é direta.

Segue da Proposição 2.17 que A contém apenas um número nito de ideais

homogêneos minimais bilaterais.

Teorema 2.18. Toda álgebra graduada semi-simples A é um produto direto de

álgebras graduadas simples, que são unicamente determinadas.

2.3. Extensões de corpos graduados 21

Demonstração: Sejam J1, . . . , Jk todos os ideais homogêneos minimais bilaterais

de A. Pela Proposição 2.16, cada Ji é uma F -álgebra graduada simples. Desta

forma, pela Proposição 2.17, basta mostrarmos que A = J1 + · · · + Jk. Como

na demonstração da Proposição 2.17, seja Ji = Aei onde ei é um idempotente

homogêneo central e eiej = 0 para i 6= j. Seja e = e1 + · · ·+ ek. Um calculo direto

mostra que e é idempotente homogêneo central em A e eie = ei para i = 1, . . . , k.

Vamos mostrar que e = 1, a unidade de A. Suponhamos por absurdo que e 6= 1.

Então J = (1 − e)A = A(1 − e) é um ideal homogêneo bilateral não nulo de A.

Então J contém um ideal homogêneo minimal bilateral, digamos J`, para algum

1 ≤ ` ≤ k. Logo podemos escrever e` = (1− e)a para algum a ∈ A. Multiplicando

à esquerda por e`, obtemos

e` = e2` = e`(1− e)a = 0,

pois e` = e`e. Com esta contradição, concluímos que e = 1. Portanto, para todo

a ∈ A, temos a = a · 1 = ae1 + · · ·+ aek ∈ J1 + · · ·+ Jk.

2.3. Extensões de corpos graduados

O objetivo desta seção é fornecer uma demonstração para [TW1, Remark

1.27]. Este resultado é fundamental na demonstração do Teorema 5.22, que é um

dos resultados principais do nosso trabalho. Começaremos introduzindo algumas

propriedades sobre extensões de corpos graduados. Para isso, utilizamos como

referência [HW1].

Seja F =⊕

γ∈Γ Fγ um corpo graduado. Como observado em (2.5), F não tem

divisores de zero. Logo o corpo de frações pode ser formado, o qual denotamos

por q(F ). Um corpo graduado K é chamado uma extensão graduada de um corpo

graduado F se F é um subcorpo graduado de K. Note que neste caso K0 é uma

extensão de F0, ΓF é um subgrupo de ΓK e q(K) é uma extensão de q(F ).

Proposição 2.19. Seja K uma extensão graduada de F com [K : F ] <∞. Então

(2.20) [K : F ] = [K0 : F0]|ΓK : ΓF | = [q(K) : q(F )],

e q(K) ∼= q(F )⊗F K.

A primeira igualdade de (2.20) segue da Proposição 2.9. A segunda igualdade

segue do isomorsmo q(K) ∼= q(F ) ⊗F K. Ver [HW1, Prop. 2.1] para uma

demonstração do isomorsmo q(K) ∼= q(F )⊗F K.


Seja K uma extensão graduada de F com [K : F ] < ∞. Dizemos que K

é uma extensão graduada mansa de F se K0 é uma extensão separável de F0 e

car(F0) - |ΓK : ΓF |.

Proposição 2.21. Seja K uma extensão graduada de F com [K : F ] < ∞. En-

tão K é uma extensão graduada mansa F se e somente se q(K) é uma extensão

separável de q(F ).

Ver [Bo1, Thm. 4] para uma demonstração da Proposição 2.21. O resultado

seguinte é o objetivo central desta seção.

Proposição 2.22. Seja L uma extensão graduada mansa de F e K uma extensão

graduada de F . Seja A = L ⊗F K. Então A é um produto direto de corpos

graduados.

Demonstração: Pela Proposição 2.21, temos que q(L) é uma extensão separável

nita de q(F ). Logo q(L)⊗q(F ) q(K) é um produto direto de corpos (ver demons-

tração do Lema B.8). Segue da Proposição 2.20 que

A⊗K q(K) = (L⊗F K)⊗K q(K)

∼= L⊗F q(K)

∼= (L⊗F q(F ))⊗q(F ) q(K)

∼= q(L)⊗q(F ) q(K).

Logo A ⊗K q(K) é um produto direto de corpos. Agora se I é um ideal bilate-

ral homogêneo nilpotente de A, então I ⊗K q(K) é também um ideal bilateral

homogêneo nilpotente de A ⊗K q(K). Como A ⊗K q(K) é semi-simples, temos

que I ⊗K q(K) = 0. Como dimK I = dimq(K) I ⊗K q(K) = 0, concluímos que

I = 0. Portanto, A é uma K-álgebra graduada semi-simples. Como A é comu-

tativa, segue do Teorema 2.18 que A é um produto direto de corpos graduados.

2.4. Funções valorização em espaços vetoriais

Seja D um anel de divisão de dimensão nita sobre seu centro com uma valo-

rização v : D → Γ ∪ ∞. Esta valorização dene uma ltração em D da seguinte

forma: para cada γ ∈ Γ seja

D≥γ = d ∈ D | v(d) ≥ γ, D>γ = d ∈ D | v(d) > γ e Dγ = D≥γ/D>γ .

2.4. Funções valorização em espaços vetoriais 23

A partir daí, denimos o anel graduado associado

grv(D) =⊕γ∈Γ

Dγ ,

cuja multiplicação é denida em cada componente por

Dγ ×Dδ → Dγ+δ

(c+D>γ , d+D>δ) 7→ cd+D>γ+δ,

e estendida aditivamente para todo o grv(D). Quando a valorização envolvida v for

clara, escreveremos simplesmente gr(D) no lugar de grv(D). Note que Γgr(D) = Γv

e D0 = D. Desta forma, notamos que o anel graduado é um objeto natural para

estudar valorizações, tendo em vista que este carrega simultaneamente informações

sobre o grupo de valores e o anel de resíduos da valorização.

Para cada d ∈ D× , escrevemos d′ para a imagem de d em gr(D), isto é, d′ =

d+D>v(d) ∈ Dv(d). Como (d′)−1 = (d−1)′, temos que gr(D) é um anel de divisão

graduado. No caso em que D é comutativo então gr(D) é também comutativo e

então gr(D) é um corpo graduado.

Exemplo 2.23. Seja F com corpo com uma valorização discreta v. Seja t ∈ F tal

que v(t) = 1. Então para todo elemento homogêneo a ∈ grv(F ) com deg(a) = n,

temos a = (a(t′)−n)(t′)n ∈ F0 · (t′)n. Portanto, grv(F ) =⊕

n∈Z F0 · (t′)n, que é

o anel dos polinômios de Laurent F0[t′, (t′)−1]. Em particular, o corpo graduado

associado a valorização 5-ádica em Q é F5[s, s−1], onde s é a imagem do número

primo 5 na álgebra graduada.

Agora seja M um D-espaço vetorial à esquerda. Uma aplicação

α : M → Γ ∪ ∞

é dita uma v-função valorização se para todo x, y ∈M e d ∈ D temos:

(i) α(x) =∞ se e somente se x = 0,

(ii) α(x+ y) ≥ minα(x), α(y),

(iii) α(dx) = v(d) + α(x).

Da mesma forma, α dene uma ltração em M : para cada γ ∈ Γ denimos

M≥γ = x ∈M | α(x) ≥ γ, M>γ = x ∈M | α(x) > γ, e Mγ = M≥γ/M>γ .

Dena

grα(M) = gr(M) =⊕γ∈Γ

Mγ .


Para cada γ, δ ∈ Γ existe uma multiplicação bem denida

Dδ ×Mγ → Mγ+δ

(d+D>δ, x+M>γ) 7→ dx+M>γ+δ.

Esta operação é estendida distributivamente para uma operação gr(D)×gr(M)→gr(M) que faz de gr(M) um gr(D)-espaço vetorial graduado à esquerda. Da mesma

forma, todo elemento x ∈ M \ 0 tem uma imagem x′ em gr(M), denida por

x′ = x+M>α(x) ∈Mα(x).

Uma v-função valorização α é dita uma v-norma se M é de dimensão nita e

tem uma base (xi)ni=1 tal que para todo d1, . . . , dn ∈ D,

(2.24) α(

n∑i=i

dixi) = min1≤i≤n

(v(di) + α(xi)).

A base (xi)ni=1 é dita uma base de decomposição de M para α.

Nota 2.25. Note que sempre podemos construir uma norma em um espaço ve-

torial M de dimensão nita sobre um anel de divisão D com uma valorização

v. Para isso, basta tomarmos uma D-base (xi)ni=1 de M e elementos arbitrários

γ1, . . . , γn em Γ. Denimos α(xi) = γi e então denimos α para todo M pela

fórmula (2.24). Denida desta forma, α é uma v-norma em M e (xi)ni=1 é uma

base de decomposição de M para α.

O resultado seguinte estabelece que uma v função valorização α é uma v-norma

se e somente se [grα(M) : grv(D)] = [M : D] (cf. [RTW, Prop. 2.2 e Cor 2.3]).

Proposição 2.26. Seja α uma v-função valorização em M . Sejam x1, . . . , x` ∈M \ 0.

(i) x′1, . . . , x′` são grv(D)-linearmente independentes em grα(M) se e somente

se α(∑i=1

dixi) = min1≤i≤`

(v(di) + α(xi)) para todo d1, . . . , d` ∈ D. Quando

isto ocorre, x1, . . . , x` são D-linearmente independentes em M .

(ii) dimgrv(D)(grα(M)) ≤ dimD(M). A igualdade vale se e somente se α é

uma v-norma em M .

2.5. Funções valorização em álgebras

Seja F um corpo com uma valorização v e A uma F -álgebra de dimensão

nita. Uma v-função valorização α em A é dita multiplicativa se α(1) = 0 e

2.5. Funções valorização em álgebras 25

α(xy) ≥ α(x) + α(y). Neste caso, grα(A) é uma álgebra graduada sobre gr(F ),

cuja multiplicação é denida para todo x, y ∈ A por

(2.27) x′y′ = xy +A>α(x)+α(y) =

(xy)′ se α(xy) = α(x) + α(y),

0 se α(xy) > α(x) + α(y).

A seguir temos um lema fácil que é muito útil para vericarmos quando uma

norma em uma álgebra é multiplicativa.

Lema 2.28 ([TW1], Lemma 1.2). Suponhamos que α : A → Γ ∪ ∞ é uma v-

norma em A tal que α(1) = 0. Seja (mi)ki=1 uma base de decomposição de A

para α. Se α(mimj) ≥ α(mi) + α(mj), para todo i, j, então α é uma v-função

valorização multiplicativa em A.

Demonstração: Seja a =∑k

i=1 aimi e b =∑k

j=1 bjmj em A, com ai, bj ∈ F .

Então

α(ab) = α(k∑

i,j=1

aibjmimj)

≥ min1≤i,j≤k

(α(aibjmimj))

≥ min1≤i,j≤k

(v(ai) + v(bj) + α(mi) + α(mj))

≥ min1≤i≤k

(v(ai) + α(mi)) + min1≤j≤k

(v(bj) + α(mj))

= α(a) + α(b).

A seguir temos um lema que caracteriza os elementos invertíveis da álgebra

graduada associada a uma função valorização multiplicativa. Este resultado será

usado frequentemente no decorrer do texto.

Lema 2.29. Seja α uma v-função valorização em uma álgebra de dimensão nita

A. Para todo elemento não nulo u ∈ A, as seguintes armações são equivalentes:

(i) u′ ∈ gr(A)×, o grupo de unidades de gr(A);

(ii) α(au) = α(a) + α(u) para todo a ∈ A;

(ii') α(ua) = α(u) + α(a) para todo a ∈ A;

(iii) u ∈ A× e α(u) + α(u−1) = 0;

Ver [TW1, Lemma 1.3] para uma demonstração do Lema 2.29.


Nota 2.30. Sejam α e β duas v-funções valorização multiplicativas em A. Supo-

nhamos que α(x) ≤ β(x) para todo x ∈ A. A aplicação identidade induz um homo-

morsmo de grv(F )-álgebras graduadas ϕ : grα(A)→ grβ(A) tal que a+Aα>α(a) 7→a+Aβ>α(a). Note que se a+Aα>α(a) = b+Aα>α(a) então α(a− b) ≥ α(a). Como

β(a− b) ≥ α(a− b), concluímos que a+Aβ>α(a) = b+Aβ>α(a). Portanto, ϕ está

bem denida. Observe que ϕ(a + Aα>α(a)) = 0 se e somente se a + Aβ>α(a) = 0

se e somente se β(a) > α(a). Assim o homomorsmo ϕ é injetivo se e somente se

β = α.

Lema 2.31. Seja α1, . . . , αk uma família de v-funções valorização multiplicativa

em A. Então

(2.32) α(x) = min(α1(x), . . . , αk(x))

é uma v-função valorização multiplicativa em A e existe um homomorsmo injetivo

de grv(F )-álgebras graduadas

(2.33) grα(A)→ grα1(A)× · · · × grαk(A),

que satisfaz

(2.34) x+Aα>α(x) 7→ (x+Aα1>α(x), . . . , x+Aαk>α(x)).

Demonstração: Uma vericação direta mostra que α é uma v-função valorização

multiplicativa. Por exemplo, para todo x, y ∈ A temos

α(xy) = min1≤i≤k

(αi(xy)) ≥ min1≤i≤k

(αi(x) + αi(y))

= min1≤i≤k

(αi(x)) + min1≤i≤k

(αi(y)) = α(x) + α(y).

Agora, como α(x) ≤ αi(x), para todo x ∈ A e 1 ≤ i ≤ k, temos de (2.30) que

existe um homomorsmo de álgebras graduadas grα(A) → grαi(A). Esses homo-

morsmos combinados nos dá um homomorsmo de álgebras graduadas de (2.33).

Agora para todo a ∈ A \ 0 existe algum índice i tal que α(x) = αi(x), o que

implica que o homomorsmo de (2.33) é injetivo.

2.6. Gauges

Como já denimos na Introdução, uma v-função valorização multiplicativa α

em uma F -álgebra de dimensão nita A é dita uma v-gauge se α é uma v-norma em

A e grα(A) é uma grv(F )-álgebra graduada semi-simples. Para facilitar referências

futuras, vamos listar as propriedades que denem uma gauge.

2.6. Gauges 27

(2.35) α(1) = 0 e α(x) =∞ se e somente se x = 0.

(2.36) α(cx) = v(c) + α(x), para todo x ∈ A e c ∈ F .

(2.37) α(x+ y) ≥ min(α(x), α(y)), para todo x, y ∈ A.

(2.38) α(xy) ≥ α(x) + α(y), para todo x, y ∈ A.

(2.39) [grα(A) : grv(F )] = [A : F ].

(2.40) grα(A) é uma álgebra graduada semi-simples.

Nota 2.41. Note que se A tem uma gauge α, então A tem que ser semi-simples.

Para isso, seja I um ideal bilateral nilpotente não nulo de A. Sem perda de

generalidade podemos supor que I2 = 0. O ideal I pode ser visto como um

F -subespaço vetorial de A. Pela Proposição 3.34, restrição α|I é uma v-norma.

Temos que gr(I) é um gr(F )-subespaço graduado de gr(A), com a identicação

a + I>α(a) = a + A>α(a) para todo a ∈ I (Ver Nota 3.35). Segue que gr(I) é um

ideal bilateral homogêneo não nulo de gr(A) e gr(I)2 = 0. Donde teríamos que

gr(A) não é semi-simples.

Concluiremos este capítulo apresentando uma série de exemplos fundamentais

de gauges.

Exemplo 2.42. O exemplo mais natural de gauge são valorizações em álgebras

de divisão, sob certas condições restritivas. Seja D uma álgebra de divisão com

dimensão nita sobre seu centro Z(D) = F . Suponhamos que D tem uma valori-

zação w estendendo uma valorização v de F . Então pela denição de valorização,

já temos que w satisfaz as propriedades (2.35), (2.36), (2.37) e (2.38) da denição

de gauge acima. Além disso, como grw(D) é uma álgebra de divisão graduada, ela

é graduada semi-simples. Temos pela Proposição 2.9 que

(2.43) [grw(D) : grv(F )] = [D : F ]|Γw : Γv|.

Assim, w é uma v-gauge se e somente se

(2.44) [D : F ] = [D : F ]|Γw : Γv|.

Portanto nem toda valorização é uma gauge. Veremos na Seção 3.5 que a condição

(2.44) signica que a valorização w é sem defeito. Portanto, toda valorização sem

defeito em uma álgebra de divisão é uma gauge, mas nem toda valorização é gauge.

Exemplos de álgebras de divisão que tem uma valorização com defeito são dados

em [M4].


No Exemplo 2.42 vimos que toda valorização sem defeito em uma álgebra de

divisão é uma gauge. Entretanto, existem gauges em álgebras de divisão que não

são valorizações como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 2.45 (Gauges em álgebras de quatérnios). Veremos agora que sempre

podemos construir uma gauge em uma álgebra de quatérnios. Seja (F, v) um

corpo valorizado tal que car(F ) 6= 2 e car(F ) 6= 2. Seja Q = (a, b)F uma F -álgebra

de quatérnios. Dena a v-norma α em Q por

α(x+yi+ zj+wk) = min(v(x), v(y) +1

2v(a), v(z) +

1

2v(b), v(w) +

1

2v(a) +

1

2v(b)).

Desta forma, 1, i, j, k é uma base de decomposição de D para α. Agora note

que α(ij) = α(i) + α(j), α(ik) = α(i) + α(k) e α(jk) = α(j) + α(k). Então

segue do Lema 2.28 que α é multiplicativa. Como α é uma v-norma, temos pela

Proposição 2.26 que as imagens 1′, i′, j′, k′ formam uma gr(F )-base da álgebra

graduada grα(Q). Como α(i2) = 2α(i), α(j2) = 2α(j) e α(ij) = α(i)+α(j), segue

que

(i′)2 = (i2)′ = a′, (j′)2 = (j2)′ = b′ e i′j′ = k′ = −j′i′.

Então grα(Q) é a álgebra de quatérnios graduada (a′, b′)gr(F ), que é uma álgebra

graduada simples pelo Exemplo 2.10. Portanto α é uma v-gauge na álgebra de

quatérnios (a, b)F .

Comparando o Exemplo 1.6 com o Exemplo 2.45 podemos ver que gauges

em álgebra de divisão são objetos muito mais abundantes do que valorizações.

Em particular, vimos no Exemplo 1.6 que a valorização 5-ádica v em Q não se

estende para uma valorização na álgebra de quatérnios (−1,−1)Q. Por outro lado,

aplicando a construção do Exemplo 2.45, obtemos que

α(a0 + a1i+ a2j + a3k) = min(v(a0), v(a1), v(a2), v(a3)).

é uma v-gauge na álgebra de quatérnios (−1,−1)Q.

Exemplo 2.46. Gauges também podem ser construídas em álgebras de matrizes

com coecientes em anéis de divisão. Seja D uma F -álgebra de divisão com uma

valorização sem defeito w, conforme veremos na Seção 3.5. Suponhamos que M

é um D-espaço vetorial à esquerda com dimDM = k. Seja α uma w-norma em

M com uma base de decomposição (mi)ki=1 (que sempre existe por (2.25)). Seja

A = EndDM ∼= Mk(D). A função End(α) : A→ Γ ∪ ∞ denida por

(2.47) End(α)(f) = min1≤i≤k

(α(f(mi))− α(mi))

2.7. Funções valorização de Morandi 29

é uma v-gauge em A. A vericação não é trivial e uma prova pode ser encontrada

em [TW1, Prop. 1.19].

Exemplo 2.48. Seja (F, v) um corpo valorizado e seja K uma extensão nita de

F . Sejam v1, . . . , vk todas as extensões de v em K. A função y : K → Γ ∪ ∞denida por

(2.49) y(x) = min1≤i≤k

(vi(x))

é uma v-gauge se e somente se vale a igualdade na desigualdade fundamental, isto

é,

(2.50) [K : F ] =

k∑i=1

[Kvi : F

v]|Γvi : Γv|,

onde Fv(resp. K

vi) é o corpo de resíduos de v (resp. vi) e Γv (resp. Γvi) é o

grupo de valores de v (resp. vi). Além disso, y é a única possível v-gauge em K.

Mais ainda, temos um isomorsmo de álgebras graduadas

(2.51) gry(K) ∼=g grv1(K)× · · · × grvk(K).

A vericação de que y é uma v-gauge também não é trivial. Um prova é dada em

[TW1, Prop. 1.8 e Cor. 1.9]. A demonstração do isomorsmo (2.51) usa a forma

mais geral do Teorema da aproximação obtido por Ribenboim em [R, Théorème

5]. No caso particular em que v é henseliana e car(Fv) - [K : F ], temos que a

extensão única de v em K é uma v-gauge.

2.7. Funções valorização de Morandi

Morandi deniu em [M2] uma função valorização associada aos anéis de valo-

rização de Dubrovin que são integrais sobre o centro, que chamaremos de função

valorização de Morandi.

Seja A um anel artiniano simples e Γ um grupo totalmente ordenado. Uma

aplicação w : A→ Γ ∪ ∞ é dita uma função valorização de Morandi se satisfaz

as seguintes propriedades para todo a, b ∈ A :

(i) w(−1) = 0 e w(a) =∞ se e somente se a = 0.

(ii) w(a+ b) ≥ minw(a), w(b),

(iii) w(ab) ≥ w(a) + w(b),

(iv) Γw = w(st(w)), onde st(w) = a ∈ A× | w(a−1) = −w(a).


Exemplo 2.52. Seja D um anel de divisão com uma valorização w. Pela denição

de valorização, temos que w satisfaz as propriedades (i)-(iii) da denição acima.

Além disso, como w(ab) = w(a) +w(b) para todo a, b ∈ D, temos que st(w) = D×.

Portanto w também satisfaz a propriedade (iv) e então w é uma função valorização

de Morandi.

Exemplo 2.53. Vimos no Exemplo 1.6 que a valorização 5-ádica v em Q não se

estende para uma valorização na álgebra de quatérnios (−1,−1)Q. Uma vericação

direta permite mostrar que a função α : (−1,−1)Q → Γ ∪ ∞, denida por

α(a0 + a1i+ a2j + a3k) = min(v(a0), v(a1), v(a2), v(a3)),

satisfaz as propriedades (i)-(iii) (cf. Exemplo 2.45). Como Q× ⊆ st(α) e Γα = Z,temos que α(st(α)) = Γα. Portanto, α é uma função valorização de Morandi na

álgebra de quatérnios (−1,−1)Q e α não é uma valorização.

O resultado seguinte estabelece que existe uma função valorização associada a

cada anel de valorização de Dubrovin integral sobre seu centro. Para uma prova

ver [MMU, Thm. 23.2 e Thm. 23.3].

Teorema 2.54 (Morandi). Seja A um anel artiniano simples com dimensão nita

sobre seu centro F e seja R um anel de valorização de Dubrovin de A. Então

existe uma função valorização de Morandi w em A com R = a ∈ A | w(a) ≥ 0e J(R) = a ∈ A | w(a) > 0 se e somente se R é integral sobre seu centro. Neste

caso, w é unicamente determinada por R e w|F , que é uma valorização em F .

O resultado seguinte relaciona funções valorização de Morandi com gauges.

Uma demonstração pode ser encontrada em [TW1, Prop. 2.5].

Proposição 2.55. Seja A uma álgebra central simples sobre um corpo F com uma

valorização v e seja α uma v-função valorização multiplicativa em A. Então α é

uma função valorização de Morandi em A com δ(Rα/V ) = 1 (ver Prop. 3.47) se

e somente se α é uma v-gauge em A com A0 simples.

Capítulo 3

Propriedades

fundamentais de gauges

3.1. O anel da gauge

Assim como em valorizações em corpos ou em álgebras de divisão, podemos

denir um anel associado a uma gauge, que chamaremos de anel da gauge. Nesta

seção estudaremos propriedades aritméticas desses anéis. O resultado principal

desta seção é o Teorema 3.6, o qual estabelece que o anel de uma gauge é uma

ordem semi-local.

Seja (F, v) um corpo valorizado. Vamos denotar sempre por V o anel de

valorização associado a valorização v. Seja A uma F -álgebra de dimensão nita.

Se α é uma v-gauge em A, então denimos

(3.1) Rα = x ∈ A | α(x) ≥ 0 e Jα = x ∈ A | α(x) > 0.

Proposição 3.2. Rα é um subanel de A e Jα é um ideal bilateral de Rα.

Demonstração: Pelas propriedades (2.37) e (2.38), Rα é fechado para adição e

multiplicação. A propriedade (2.36) implica que α(−x) = α(x) para todo x ∈ A,logo Rα também é fechado para subtração. Além disso, 1 ∈ Rα pois α(1) = 0.

Portanto, Rα é um subanel de A. Da mesma forma, pelas condições (2.37) e (2.38),

Jα é fechado para soma e para a multiplicação por elementos de Rα à direita e à

esquerda. Além disso, 0 ∈ Jα porque α(0) =∞. Portanto, Jα é um ideal bilateral

de Rα.

31

32 3. Propriedades fundamentais de gauges

O subanel Rα ⊆ A é dito o anel da gauge α. Veremos que o ideal bilateral

Jα coincide com o radical de Jacobson de Rα. Lembre que o radical de Jacobson

J(S) de um anel S é denindo como a interseção dos ideais maximais à direita

(ou à esquerda) de S. O resultado seguinte fornece uma útil caracterização do

radical de Jacobson em termos dos elementos invertíveis de S, que será utilizado

na demonstração do Lema 3.4.

Lema 3.3. Seja S um anel e seja x ∈ S. Então são equivalentes:

(i) x ∈ J(S)

(ii) 1 + yxz ∈ S× (o grupo das unidades de S) para todo y, z ∈ S.

Ver [L, Lemma 4.3] para uma demonstração do Lema 3.3.

Lema 3.4. Para Rα e Jα como em (3.1), tem-se Jα = J(Rα).

Demonstração: Sejam x ∈ Jα e y, z ∈ Rα. Como Jα é um ideal bilateral, temos

que yxz ∈ Jα. Assim, a imagem de 1 + yxz na álgebra graduada grα(A) será dada

por

(1 + yxz)′ = (1 + yxz) + Jα = 1 + Jα = 1′ ∈ grα(A)×.

Então pelo Lema 2.29, temos 1+yxz ∈ A× e α((1+yxz)−1) = −α(1+yxz). Como

0 = α(1) ≤ α(yxz), segue da propriedade (2.37) que

α(1 + yxz) = min(α(1) + α(yxz)) = α(1) = 0.

Logo 1 + yxz ∈ Rα×. Então, pelo Lema 3.3, Jα ⊆ J(Rα). Para a outra in-

clusão, note que J(Rα/Jα) = J(Rα)/Jα. Como Rα/Jα é a parte de grau 0 da

álgebra graduada grα(A), que é semi-simples pela Proposição 2.13, concluímos que

J(Rα/Jα) = 0. Portanto Jα = J(Rα).

Proposição 3.5. Rα ∩ F = V e J(Rα) ∩ V = J(V ).

Demonstração: Para todo x ∈ F temos pela propriedade (2.36) que α(x) = v(x).

Logo x ∈ Rα se e somente se x ∈ V , o que implica Rα ∩ F = V . Da mesma

forma, para x ∈ V temos x ∈ J(Rα) se e somente se x ∈ J(V ). Portanto

J(Rα) ∩ V = J(V ).

Em álgebra comutativa, um anel é dito semi-local quando possui um número

nito de ideais maximais. A generalização deste conceito no caso não-comutativo


é dada por uma condição mais fraca, a saber, um anel S é semi-local se S/J(S) é

artiniano à esquerda (à direita), ou equivalentemente, S/J(S) é semi-simples. Está

demonstrado em [L, Prop. 20.2] que se um anel R tem apenas um número nito

de ideais maximais à esquerda, então R é semi-local. A recíproca vale quando

R/J(R) é comutativo. Um subanel R de uma F -álgebra A é dita uma ordem em

A se FR = A e F é o anel quociente de V , onde V = R ∩ F . Além disso, se R é

integral sobre V , então dizemos que R é uma V -ordem em A.

Teorema 3.6. Seja α uma v-gauge em A tal que Γα ⊆ Γv⊗ZQ. Então Rα é uma

V -ordem semi-local em A.

Demonstração: Como Rα/J(Rα) é a parte de grau 0 da álgebra graduada grα(A),

que é semi-simples, concluímos que Rα/J(Rα) também é semi-simples pela Pro-

posição 2.13. Logo Rα é um anel semi-local. Vamos mostrar agora que Rα é uma

ordem em A. A inclusão FRα ⊆ A é clara. Para a outra inclusão, seja x ∈ A\0.Como Γα ⊆ Γv ⊗Z Q, existe um inteiro positivo n tal que nα(x) ∈ Γv. Seja c ∈ Ftal que v(c) = n|α(x)|. Como α(cx) = v(c) + α(x) = n|α(x)|+ α(x) ≥ 0, concluí-

mos que x = c−1(cx) ∈ FRα. Como V = Rα ∩ F é um anel de valorização de

F , temos que F é o anel quociente de V . Resta mostrar que Rα é integral sobre

V . Seja B = EndF (A). Para cada a ∈ A considere à ∈ B dada por à(x) = ax.

Como α é uma v-norma, temos de (2.24) que existe uma base de decomposição

a1, . . . , an de A para α. Logo podemos construir uma gauge yα em B como em

(2.47), dada por

(3.7) yα(f) = min1≤i≤n

(α(f(ai))− α(ai)),

para todo f ∈ B. Note que se a ∈ Rα, então

yα(à) = min1≤i≤n

(α(aai)− α(ai)) ≥ min1≤i≤n

(α(a) + α(ai)− α(ai)) = α(a) ≥ 0.

Logo à ∈ Ryα , o anel da gauge yα. Para concluir a demonstração, é suciente

mostrar que Ryα é integral sobre V . Seja f ∈ Ryα . Podemos escrever f como

uma matriz (fij)ni,j=1 com relação à base (aj)

nj=1, isto é, f(aj) =

∑ni=1 aifij para

j = 1, . . . , n. Então, de (3.7) temos

yα(f) = min1≤i,j≤n

(α(ai) + v(fij)− α(aj)).


Como yα(f) ≥ 0, segue que v(fij) ≥ α(aj)− α(ai), para todo i, j ∈ 1, . . . , n. Opolinômio característico de f é dado por

p(X) =∑σ∈Sn

sign(σ)n∏i=1

cσ(i)i,

onde cij = −fij se i 6= j e cii = X − fii. Para cada σ ∈ Sn podemos escrever

1, . . . , n como uma união disjunta r1, . . . , rk ∪ rk+1, . . . , rn de forma que

σ(ri) 6= ri para 1 ≤ i ≤ k e σ(ri) = ri para k + 1 ≤ i ≤ n. Então temos

n∏i=1

cσ(i)i = (−1)k

(k∏i=1

fσ(ri),ri

)(n∏

i=k+1

(X − fri,ri)

).

Como v(fri,ri) ≥ α(ari)− α(ari) = 0, segue que X − fri,ri ∈ V [X]. Além disso,

v(

k∏i=1

fσ(ri),ri) =

k∑i=1

v(fσ(ri),ri) ≥k∑i=1

α(ari)− α(aσ(ri)) = 0,

pois σ|r1,...,rk é uma bijeção. Logo∏ki=1 fσ(ri),ri ∈ V . Portanto, p(X) ∈ V [X].

Corolário 3.8. Sob as hipóteses do Teorema 3.6, com F = Z(A), temos V =

Z(Rα).

Demonstração: Se x ∈ V ⊆ F então x comuta com todo elemento de A. Logo x

comuta com todo elemento de Rα. Então V ⊆ Z(Rα). Para a inclusão contrária,

seja x ∈ Z(Rα). Como Rα é uma V -ordem em A, todo elemento a ∈ A pode ser

escrito da forma a =∑r

i=1 ciyi, com ci ∈ F e yi ∈ Rα. Note que x comuta com

cada ci e yi. Logo x ∈ Z(A) = F . Portanto, x ∈ Rα ∩ F = V .

Nota 3.9. Note que a restrição sobre o grupo de valores Γα no Teorema 3.6 só foi

utilizada para mostrar que Rα é uma ordem. Veremos no Exemplo 3.10 que essa

condição é de fato necessária. Entretanto, diríamos que essa não chega a ser uma

condição tão restritiva. Na verdade gauges poderiam ter sido denidas assumindo

sempre valores no fecho divisível Γv⊗Z Q. Essa condição aparece naturalmente nos

exemplos fundamentais. Além disso, vamos mostrar no Teorema 5.22 que gauges

sempre existem sob essa condição. Uma demonstração de que Ryα é integral V já

tinha sido obtida por Tignol e Wadsworth em [TW1, Lemma 1.2]. Entretanto, a

demonstração de [TW1, Lemma 1.2] faz uso de um resultado profundo de Amitsur

e Small [AS, Thm. 2.3], enquanto que a demonstração dada cima é basicamente

elementar.


Exemplo 3.10. Vamos aplicar a construção da gauge do Exemplo 2.46 para o

caso particular em que D = F e dimF M = 2. Seja m1,m2 uma F -base de

M e denimos a v-norma α em M tal que α(m1) = 0 e α(m2) = δ ∈ Γ. Cada

f ∈ EndDM pode ser identicado a uma matriz( a11 a12

a21 a22

)tal que

f(m1) = a11m1 + a21m2 e f(m2) = a12m1 + a22m2.

Nestas condições, a fórmula (2.47) nos dá uma v-gauge em M2(F )

(3.11) yδ

( a11 a12

a21 a22

)= min(v(a11), v(a21) + δ, v(a12)− δ, v(a22)).

Então o anel da gauge yδ é dado por

Ryδ =

(F≥0 F≥−δ

F≥δ F≥0

).

Suponhamos agora que δ ≥ 0 e que δ não pertence ao fecho convexo de Γv. Então

δ é maior do que todo elemento em Γv. Logo F≥δ = 0 e F≥−δ = F . Assim,

Ryδ =

(V F

0 V

).

Logo

FRyδ =

(F F

0 F

) M2(F ).

Portanto, Ryδ não é uma ordem em M2(F ).

Exemplo 3.12. Seja (F, v) um corpo valorizado e L uma extensão nita de F

com v sem defeito em L. Então pelo Exemplo 2.48 existe uma única v-gauge em

L denida por

y(x) = min1≤i≤k

(vi(x)),

onde v1, . . . , vk são todas as extensões de v em L. Portanto a anel da gauge y é a

interseção dos anéis de valorização Ry =⋂ki=1 Vi, que é o fecho integral de V em

L.

Exemplo 3.13. Se uma gauge α é também uma função valorização de Morandi,

que acontece se e somente se Rα/J(Rα) é simples, então o anel da gauge é um anel

de valorização de Dubrovin integral sobre o centro. Este é o caso do Exemplo 2.45

e do Exemplo 3.10 com δ = 0.


Exemplo 3.14. Seja K um corpo com car(K) 6= 2. Seja x um elemento trans-

cendente sobre K e seja F = K(x)((y)) o corpo das séries de Laurent sobre K(x).

Considere a álgebra de quatérnios D = (x+ 1, y)K sobre F . Seja w a valorização

y-ádica em F . Temos que Γw = Z e Fw

= K(x). Além disso, como w é henseliana,

temos que esta se estende para uma valorização w′ em D. Note que

w′(i) =1

2w′(i2) =

1

2w(x+ 1) = 0, w′(j) =

1

2w′(j2) =

1

2w(y) =

1

2e

w′(k) = w′(i) + w′(j) =1

2.

Então Γw′ = 12Z. Note também que i ∈ Dw′ \ Fw. Como

[Dw′

: Fw

]|Γw′ : Γv| = [D : F ] = 4,

devemos ter Dw′

= Fw

(i) = K(x)(√x+ 1). Além disso, 1′, i′, j′, k′ formam uma

base homogênea para a álgebra graduada grw′(D). Então temos pela Proposição

2.26 que 1, i, j, k é uma base de decomposição de D para w′ logo

w′(a+ bi+ cj + dk) = min(w(a), w(b), w(c) +

1

2, w(d) +

1

2

).

Com isso temos uma descrição do anel de valorização invariante de D associado a

w′

(3.15) Rw′ = W ⊕Wi⊕Wj ⊕Wk e J(Rw′) = J(W )⊕ J(W )i⊕Wj ⊕Wk.

Agora seja u a valorização x-ádica em K(x). Temos que Γu = Z e K(x) = K. A

composição de w com u dá uma valorização v em F tal que Γv = Z×Z (com a ordem

lexicográca da direita para a esquerda) e Fv

= K. A valorização u tem duas

extensões distintas u1 e u2 em K(x)(√x+ 1), pois x = (

√x+ 1 + 1)(

√x+ 1− 1)

em K(x)(√x+ 1). Segue que a valorização v tem duas extensões distintas em

F (√x+ 1). Portanto, v não se estende para uma valorização em D. Podemos usar

o Exemplo 2.45 para construir uma gauge α na álgebra de quatérnios (x+ 1, y)F .

Neste caso, temos

α(a+ bi+ cj + dk) = min(v(a), v(b), v(c) + (0,1

2), v(d) + (0,

1

2)).

Note que v(x) ≥ (0,−12) se e somente se w(x) ≥ 0. Então o anel da gauge α é

dado por

Rα = V ⊕ V i⊕Wj ⊕Wk.

Vamos agora mostrar que Rα é a interseção de dois anéis de valorização de Dubro-

vin de (x+ 1, y)F . Para isso, vamos obter uma descrição dos anéis de valorização

U1 e U2. Primeiro vamos mostrar que U1 ∩ U2 = U [√x+ 1]. É bem conhecido


que U1 ∩ U2 é o fecho integral de U em K(x)(√x+ 1) (cf. [EP, Thm. 3.1.3 ]).

Como√x+ 1 é raiz do polinômio mônico P (X) = X2 − (x+ 1), temos a inclusão

U [√x+ 1] ⊆ U1∩U2. Para a outra inclusão, seja a+b

√x+ 1 ∈ U1∩U2. Note que o

polinômio minimal de a+b√x+ 1 é dado por P (X) = X2−2aX+(a2−(x+1)b2).

Mas então P (X) deve ter coecientes em U1 ∩ U2, (cf. [E2, Teorema 1.9]) donde

obtemos que a, b ∈ U1∩U2. Como Ui∩K(x) = U para i = 1, 2, segue que a, b ∈ U .Portanto a+ b

√x+ 1 ∈ U [

√x+ 1]. Agora como x = (

√x+ 1+1)(

√x+ 1+1) em

K(x)(√x+ 1), concluímos que os anéis de valorização U1 e U2 são as localizações

de U [√x+ 1] pelos ideais primos (

√x+ 1 + 1) e (

√x+ 1− 1). Agora seja

π : Rw′ → Rw′/J(Rw′) = K(x)√x+ 1

a projeção canônica. Seja Bi = π−1(Ui) para i = 1, 2. Segue de (1.12) que

B1 e B2 são anéis de valorização de Dubrovin de D. Como U1 e U2 são anéis de

valorização independentes, temos pelo Corolário A.4 que B1, B2 tem a propriedade

da interseção. Também podemos mostrar que B1 e B2 são anéis de valorização

totais. Para isso, seja x ∈ D\Bi. Como Rw′ é um anel de valorização total, x ∈ Rw′ou x−1 ∈ Rw′ . Se x /∈ Rw′ , então x−1 ∈ J(Rw′), logo x−1 ∈ Bi. Se x ∈ Rw′ entãoπ(x) /∈ Ui. Como Ui é anel de valorização, devemos ter π(x)−1 = π(x−1) ∈ Ui.Logo x−1 ∈ Bi. Além disso, B1, B2 não podem ser invariantes pois Z(Bi) = V e

já vimos que V não pode se extender para um anel de valorização invariante em

D. Agora como

B1 ∩B2 = π−1(U1) ∩ π−1(U2) = π−1(U1 ∩ U2) = π−1(U ⊕ Ui),

e temos π−1(U) = V , concluímos que Rα = B1 ∩B2.

O Teorema 3.6, juntamente com os Exemplos 3.14 e 3.12, 3.13 motivaram a

nossa conjectura de que o anel da gauge estaria relacionado com uma interseção

de anéis de valorização de Dubrovin.

Em valorizações de corpos, a valorização é determinada pelo anel de valorização

a menos de isomorsmo do grupo de valores. Então é natural questionar se o mesmo

acontece com gauges. Tem-se uma resposta positiva no caso em que a parte de

grau zero da álgebra graduada associada é simples. Sabemos pela Proposição

2.55 que uma gauge com essa propriedade é também uma função valorização de

Morandi. O Teorema 2.54 garante que toda função valorização de Morandi é

unicamente determinada pelo anel e pela valorização do centro. O Exemplo 3.16 a

seguir mostra que o mesmo não acontece quando a parte de grau zero da álgebra

graduada tem mais de uma componente simples.


Exemplo 3.16. Temos construído no Exemplo 3.14 uma gauge na álgebra de

quatérnios de divisão D = (x+1, y)F . Utilizando um outro método, outras gauges

podem ser construídas em D. Seja L = F (t), onde t2 = x + 1. Como (L, v′) é

uma extensão imediata de (F, v) então gr(L) = gr(F ). Também temos que L é

um subcorpo maximal de D. Então D pode ser vista como uma F -subálgebra de

S = M2(L) através das identicações

1 =( 1 0

0 1

), i =

( t 0

0 −t

), j =

( 0 y

1 0

), k =

( 0 ty

−t 0

).

Como notamos no Exemplo 3.14 a valorização v de F tem duas extensões distintas

em L. Seja v′ a extensão tal que t = 1 no corpo de resíduos. Vamos xar algum

valor γ ∈ Q tal que 0 ≤ γ ≤ 12 e seja δ = (γ, 1

2). Podemos construir uma v′-gauge

em S como no Exemplo 3.10 denida por

α′( p q

r s

)= min(v′(p), v′(q)− δ, v′(r) + δ, v′(s)).

Seja α = α′|D, que é uma v-função valorização multiplicativa em D. Precisamos

vericar que α é um gauge. Note que para cada z = a+ bi+ cj = dk ∈ D, temos

z =( a+ bt (c+ dt)y

c− dt a− bt

)em S. Como v(y) = (0, 1), temos

α(z) = min(v′(a+ bt), v′((c+ dt)y)− δ, v′(c− dt) + δ, v′(a− bt)).

Segue que α(1) = α(i) = 0 e

α(j) = α(k) = min((−γ, 1

2), (γ,

1

2)) = (−γ, 1

2).

Como v′(1− t) = (1, 0), temos

α(j − k) = min((−γ, 1

2) + (1, 0), (γ,

1

2)) = (γ,

1

2).

Como notado em (3.35), grα(D) é uma gr(F )-subálgebra de grα′(S). Note que

(1 + i)′ =( 2 0

0 0

)∈ D0, (1− i)′ =

( 0 0

0 2

)∈ D0

j′ = k′ =( 0 y′

0 0

)∈ D(−γ, 1

2), (j − k)′ =

( 0 0

2 0

)∈ D(γ, 1

2).

Como 1 + i, 1 − i, j, j − k tem imagens em grα(D) que são gr(F )-linearmente

independentes, então 1 + i, 1− i, j, j− k é uma base de decomposição de D para

α. Logo α é uma norma em D. Além disso,

[grα(D) : gr(F )] = 4 = [grα′(S) : gr(K)] = [grα′(S) : gr(F )].


Assim, grα(D) = grα′(S)], que é uma álgebra graduada simples. Portanto, α é

uma gauge em D. Agora note que

Rα = a+ bi+ cj + dk | v′(a+ bt) ≥ 0, v′(a− bt) ≥ 0,

v′(c+ dt) ≥ (γ,−1

2), v′(c+ dt) ≥ (−γ,−1

2).

Mas v′(c + dt) ≥ (γ,−12) se e somente se w′(c + dt) ≥ 0, onde w′ é a valorização

menos na que v′ estendendo w em L. Da mesma forma, v′(c− dt) ≥ (−γ,−12) se

e somente se w′(c − dt) ≥ 0. Assim, independentemente da escolha de γ a gauge

α tem sempre o mesmo anel da gauge. Por outro lado,

Γα = Γα′ = Z× Z ∪ (δ + Z× Z) ∪ (−δ + Z× Z).

Desta forma, diferentes escolhas de γ nos dá gauges tendo conjuntos de valores

distintos. Portanto, o anel da gauge Rα não determina a gauge α.

3.2. Composição

Nesta seção vamos estudar a composição de funções valorização em espaços

vetoriais e em álgebras de dimensão nita. Tudo que aparece nesta seção, com

exceção das Proposições 3.25 e 3.27, está em [TW2, § 4].

Seja v : F → Γ ∪ ∞ uma valorização em um corpo F e seja ∆ ⊂ Γ um

subgrupo convexo, isto é, se γ ∈ Γ, δ ∈ ∆ e 0 ≤ γ ≤ δ, então γ ∈ ∆. Seja Λ = Γ/∆,

e seja ε : Γ→ Λ a projeção canônica. A ordem de Γ induz uma ordem total em Λ

tal que para γ1, γ2 ∈ Γ, se γ1 ≤ γ2, então ε(γ1) ≤ ε(γ2). Consequentemente,

(3.17) se ε(γ2) < ε(γ1) então γ2 < γ1.

Como Γ é assumido ser divisível, segue que ∆ e Λ são também divisíveis. A

composição de v com ε fornece uma valorização menos na em F

w = ε v : F → Λ ∪ ∞.

Neste caso, escrevemos v ≤ w . Seja Fv(resp. F

w) o corpo de resíduos de F com

relação a valorização v (resp. w). A valorização v induz uma valorização quociente

u : Fw → ∆ ∪ ∞,

dada por u(x) = v(x) e que tem corpo de resíduos

Fwu

= Fv.

Detalhes do que foi dito acima pode ser encontrado em [EP, pp. 44-45].


Agora seja M um espaço vetorial sobre F e seja α : M → Γ ∪ ∞ uma

v-função valorização. Então denimos

(3.18) β = ε α : M → Λ ∪ ∞.

O fato de α ser uma v-função valorização implica naturalmente que β é uma w-

função valorização. A composição β = ε α é dita uma função valorização menos

na que α. Esta relação será denotada por α ≤ β.

Cada elemento λ ∈ Λ = Γ/∆ é uma classe lateral de ∆, logo pode ser visto

como um subconjunto de Γ. Desta forma, para cada x ∈M , teremos

β(x) = λ ∈ Λ se e somente se α(x) ∈ λ ⊂ Γ.

Para cada λ ∈ Λ, seja

Mβ≥λ = x ∈M | β(x) ≥ λ, Mβ>λ = x ∈M | β(x) > λ, Mβλ = Mβ≥λ/Mβ>λ.

O grupo Mβλ é um F

w-espaço vetorial. Agora para cada λ ∈ Λ seja

(3.19) αλ : Mβλ → λ ∪ ∞ por x+Mβ>λ 7→

α(x) se β(x) = λ,

∞ se β(x) > λ.

A aplicação αλ está bem denida pois se x, y ∈ Mβ≥λ são tais que x ≡ y 6≡0 mod Mβ>λ, então x − y ∈ Mβ>λ. Logo β(x − y) > λ = β(y). Como β = ε α,(3.17) implica que α(x − y) > α(y). Assim, α(x) = min

(α(x − y), α(y)

)= α(y).

Além disso, como α é uma v-função valorização, concluímos que αλ é uma u-função

valorização em Mβλ . Para γ ∈ λ temos

(Mβλ )αλγ = Mα

γ .

Consequentemente,

(3.20) grα(M) =⊕λ∈Λ

grαλ(Mβλ ) onde grαλ(Mβ

λ ) =⊕γ∈λ

Mαγ

enquanto

grβ(M) =⊕λ∈Λ

Mβλ .

Proposição 3.21 (TW2, Prop. 4.3). Suponhamos queM é um espaço vetorial so-

bre F de dimensão nita. Se α é uma v-norma, então β é uma w-norma e αλ é

uma u-norma.


A construção da função valorização menos na pode ser aplicada para álgebras

de dimensão nita. Seja A uma F -álgebra de dimensão nita e suponhamos que

α uma v-função valorização multiplicativa em A. Então a w-função valorização

menos na β, denida como em (3.18), é também multiplicativa, pois para todo

x, y ∈ A,

β(xy) = ε(α(xy)) ≥ ε(α(x) + α(y)) = ε(α(x)) + ε(α(y)) = β(x) + β(y).

Proposição 3.22 (TW2, Prop. 4.4). Se α é uma v-gauge, então a composição

β = ε α é uma w-gauge.

Pela Proposição 3.22, se α é uma gauge, então β é um gauge e então Aβ0 é uma

álgebra semi-simples. Portanto, a função valorização α0 está denida não apenas

em um espaço vetorial, mas em uma álgebra semi-simples. Note que por (3.19), a

função valorização α0 é descrita por

(3.23) α0 : Aβ0 → ∆ ∪ ∞ por x+Aβ>0 7→

α(x) se β(x) = 0,

∞ se β(x) > 0.

Além disso,

(3.24) grα0(Aβ0 ) =

⊕γ∈∆

Aαγ ,

que é um subanel graduado de grα(A). O resultado seguinte estabelece que α0 é

de fato uma gauge.

Proposição 3.25. Se α é uma v-gauge em A então α0 é uma u-gauge em Aβ0 .

Demonstração: A Proposição 3.21 estabelece que α0 é uma u-norma. Além disso,

como α e β são multiplicativas, segue que α0 é multiplicativa. De fato, sejam

x′, y′ ∈ Aβ0 \ 0. Então β(xy) ≥ β(x) + β(y) = 0. Se β(xy) > 0, então, como

denido em (2.27), temos x′y′ = 0′. Logo

α0(x′y′) =∞ ≥ α0(x′) + α0(y′).

Caso β(xy) = 0, temos que x′y′ = (xy)′. Então

α0(x′y′) = α0((xy)′) = α(xy) ≥ α(x) + α(y) = α0(x′) + α0(y′).

Desta forma, para concluir a demonstração, resta mostrar que grα0(Aβ0 ) é uma

álgebra graduada semi-simples. É suciente considerar o caso em que E = grα(A)

é uma álgebra simples. Neste caso, pelo versão graduada do Teorema Wedder-

burn (Teorema 2.12), podemos identicar E com EndD(J), onde D é um anel


de divisão graduado e J é um D-espaço vetorial graduado de dimensão nita.

Seja b1, . . . , bn uma D-base de J formada por elementos homogêneos e seja

γi = deg(bi). Agora particionamos o conjunto dos γi em classes laterais de ΓD+∆.

Desta forma, escrevemos b1, . . . , bn como uma união disjunta S1∪· · ·∪Sk, onde bie bj estão no mesmo Sr se e somente se γi−γj ∈ ΓD+∆. Seja Ji oD-espaço vetorial

gerado por Si. Então temos uma decomposição J =⊕k

i=1 Ji. Seja E′ = grα0

(Aβ0 ).

Por (3.24), cada elemento homogêneo f ∈ E′ pode ser visto como um elemento de

EndD(J), tal que deg(f) ∈ ∆. Desta forma, f aplica cada Ji nele próprio. Logo

podemos escrever

(3.26) E′ =k∏i=1

Bi, onde Bi =⊕γ∈∆

EndD(Ji)γ .

A demonstração estará completa ao mostrarmos que cada Bi é uma álgebra gra-

duada simples. Seja

D′ =⊕γ∈∆

Dγ ,

que é um subanel de divisão graduado de D. Pela forma como o D-espaço vetorial

Ji foi construído, o seu conjunto de graduação está contido em uma classe lateral

λi + (ΓD + ∆). Seja

J ′i =⊕

γ∈λi+∆

Jγ ⊆ Ji,

que é um D′-espaço vetorial graduado. Note que toda D′-base de J ′i também será

uma D-base de Ji. Então podemos identicar Ji com J ′i ⊗D′ D. Note que toda

aplicação de Bi aplica J ′i nele próprio. Então existe um homomorsmo de anéis

graduados Bi → EndD′(J ′i), denido por g 7→ g|J ′i . Esta aplicação tem uma in-

versa dada pela aplicação que envia h ∈ EndD′(J ′i) para h⊗ id ∈ EndD(J ′i ⊗D′D).

Então Bi ∼=g EndD′(J ′i), que é uma álgebra graduada simples.

Lembre que se w é uma valorização menos na que v, então temos a inclusão

V ⊆ W entre os anéis de valorização associados. Mais ainda, W é a localização

de V com relação ao ideal primo P = J(W ) de V . A Proposição 3.27 mostra que

anéis de gauges tem um comportamento análogo ao caso comutativo.

Proposição 3.27. Seja α uma v-gauge em uma F -álgebra central simples A. Su-

ponhamos que Γα ⊆ Γv⊗ZQ. Seja β uma gauge menos na que α tal que β|F = w.

Então o anel da gauge Rβ é a localização central de Rα por P = J(W ), isto é,

Rβ = RαVP .

3.3. Extensão de escalares 43

Demonstração: Note que para cada x ∈ A, se α(x) ≥ 0, então β(x) = εα(x) ≥ 0.

Logo Rα ⊆ Rβ. Como W = VP ⊂ Rβ , segue que RαVP ⊂ Rβ . Para a inclusão

contrária, seja b ∈ Rβ . Se β(x) > 0, então α(x) > 0, logo x ∈ Rα. Suponha-

mos então que β(x) = 0. Assim, α(x) ∈ ∆. Como Γα ⊆ Γv ⊗Z Q, existe um

inteiro positivo n tal que nα(x) ∈ Γv. Logo nα(x) ∈ Γv ∩∆. Seja c ∈ F tal que

v(c) = n|α(x)|. Como −n|α(x)| ≤ α(x) ≤ n|α(x)|, temos α(cx) = v(c) +α(x) ≥ 0.

Como w(c) = ε(v(c)) = 0, concluímos que x = (xc)c−1 ∈ RαVP .

3.3. Extensão de escalares

Seja A uma F -álgebra de dimensão nita com uma v-gauge α e seja L uma

extensão de F . Nesta seção discutiremos quando α pode se estender para uma

gauge na álgebra A ⊗F L. Começaremos apresentando um resultado geral sobre

funções valorização no produto tensorial de espaços vetoriais.

Sejam P e Q espaços vetoriais graduados sobre um corpo graduado K. Então

P ⊗K Q tem uma graduação dada por (P ⊗K Q)γ =∑

δ∈Γ Pδ ⊗K0 Qγ−δ.

Proposição 3.28 (TW1, Prop. 1.23). Seja (F, v) um corpo valorizado e sejamM

e N dois F -espaços vetoriais tais que M tem uma v-norma α e N tem uma v-

função valorização β. Então existe uma única v-função valorização ρ em M ⊗F Ntal que existe um isomorsmo de gr(F )-espaços vetoriais

(3.29) grρ(M ⊗F N) ∼=g grα(M)⊗gr(F ) grβ(N)

satisfazendo (m ⊗ n)′ 7→ m′ ⊗ n′ para todo m ∈ M e n ∈ N . Então ρ(m ⊗ n) =

α(m) + β(n). Se β é uma v-norma, então ρ também é uma v-norma.

A única função valorização ρ em M ⊗F N satisfazendo as condições da Propo-

sição 3.28 será denotada por α⊗ β.

Proposição 3.30 (TW1, Cor 1.26). Suponhamos que (F, v) é um corpo valori-

zado e A é uma F -álgebra semi-simples com uma v-gauge α. Seja (L,w) uma

extensão de (F, v). Então α ⊗ w, é uma w-função valorização multiplicativa em

A⊗F L e o isomorsmo

(3.31) gr(A)⊗gr(F ) gr(L) ∼=g gr(A⊗F L)

é um isomorsmo de gr(L)-álgebras. Além disso, se α é uma v-gauge em A, então

α ⊗ w é uma w-gauge se e somente se gr(A) ⊗gr(F ) gr(L) é semi-simples, se e

somente se Z(gr(A))⊗gr(F ) gr(L) é uma soma direta de corpos graduados.


O resultado seguinte é uma consequência direta da Proposição 3.30 e e da

Proposição 2.22.

Proposição 3.32. Suponhamos que (F, v) é um corpo valorizado e A é uma F -

álgebra de dimensão nita com uma v-gauge α. Suponhamos que (L,w) é uma

extensão de (F, v) tal que Lwé uma extensão separável de F

ve car(F

v) - |Γw : Γv|.

Então α⊗ w é uma w-gauge em A⊗F L.

A proposição a seguir estabelece que quando temos uma extensão (L,w)/(F, v)

não-ramicada, o anel da gauge α⊗w pode ser descrito em termos do anel da gauge

α e do anel de valorização associado a w.

Proposição 3.33. Suponhamos que (F, v) é um corpo valorizado e A é uma F -

álgebra de dimensão nita com uma v-gauge α. Suponhamos que (L,w) é uma

extensão não-ramicada de (F, v), isto é, Γw = Γv e Lwé uma extensão separável

de Fv. Então α⊗w é uma w-gauge em A⊗F L e Rα⊗w = Rα ⊗V W. O resultado

vale em particular quando (L,w) é a henselização de (F, v).

Demonstração: Para simplicar a notação vamos escrever α′ = α ⊗ w e A′ =

A ⊗F L. Segue imediatamente da Proposição 3.32 que α′ é uma w-gauge em A′.

Então temos pelas propriedades (2.37) e (2.36) que para todo∑r

i=1 xi⊗ci ∈ A⊗FL,

α′(

r∑i=1

xi ⊗ ci) ≥ min1≤i≤r

α′(xi ⊗ ci) = min1≤i≤r

(α(xi) + w(ci)).

Assim, Rα⊗V W ⊆ Rα′ . Para mostrar a inclusão contrária, seja m1, . . . ,mk uma

base de decomposição de A para α. Então, pela Proposição 2.26, m′1, . . . ,m′k são

gr(F )-linearmente independentes em gr(A). Assim, m′1⊗1′, . . . ,m′k⊗1′ são gr(L)-

linearmente independentes em gr(A)⊗gr(F ) gr(L). Segue do isomorsmo (3.31) que

(m1 ⊗ 1)′, . . . , (mk ⊗ 1)′ são gr(L)- linearmente independentes em gr(A′). Como

α′ é uma w-norma, temos

[gr(A′) : gr(L)] = [A′ : L] = [A : F ] = k.

Logo (m1⊗1)′, . . . , (mk⊗1)′ é gr(L)-base de gr(A′). Assim, m1⊗1, . . . ,mk⊗1é uma base de decomposição de A′ para α′, pela Proposição 2.26. Logo todo ele-

mento x ∈ Rα′ pode ser escrito da forma x =∑k

i=1mi ⊗ ci, com c1, . . . , ck ∈ L.Como α′(x) ≥ 0, segue que w(ci) ≥ −α′(mi⊗1) = −α(mi), para cada i = 1, . . . , k.

Agora para cada ci 6= 0, como Γw = Γv, existe di ∈ F tal que v(di) = w(ci). En-

tão α(dimi) = α(mi) + v(di) = α(mi) + w(ci) ≥ 0 e w(cid−1i ) = 0. Assim,

mi⊗ci = dimi⊗cid−1i ∈ Rα⊗V W . Logo x ∈ Rα⊗V W . Portanto Rα′ ⊆ Rα⊗V W,

3.4. Restrição 45

o que completa a demonstração.

3.4. Restrição

Nesta seção vamos discutir quando a restrição de uma gauge a uma subálgebra é

também uma gauge. Infelizmente, não se tem uma resposta positiva em geral. Um

contra-exemplo é dado em (3.36). Entretanto, obteremos uma resposta positiva

em pelo menos um caso fundamental. Começamos com um resultado geral sobre

a restrição de normas a subespaços vetoriais (cf. [RTW, Prop. 2.5]).

Proposição 3.34. Seja D um anel de divisão com uma valorização v. Seja M

um D-espaço vetorial de dimensão nita e α uma v-norma em M . Então para

todo subespaço N ⊆M , a restrição α|N é uma v-norma.

Nota 3.35. Sob as hipóteses da Proposição 3.34, note que para cada γ ∈ Γ,

temos N≥γ = M≥γ ∩N e N>γ = M>γ ∩N . Assim, existe uma aplicação injetiva

Nγ → Mγ , que pode ser vista como uma inclusão. Então gr(N) é um gr(D)-

subespaço graduado de gr(M).

O exemplo seguinte mostra que a Proposição 3.34 não se aplica para gauges.

Exemplo 3.36. Vimos no Exemplo 2.45 que α : (−1,−1)Q → Γ ∪ ∞ denidapor

α(a0 + a1i+ a2j + a3k) = min(v(a0), v(a1), v(a2), v(a3)).

é uma v-gauge em (−1,−1)Q. Seja L = Q(2i− j), que é uma extensão quadrática

de Q em (−1,−1)Q. Seja v′ uma valorização em L estendendo a valorização 5-

ádica v de Q. Como (2i − j)2 = −5, segue que v′(2i − j) = 1/2. Portanto

(L, v′)/(Q, v) é uma extensão totalmente ramicada. Logo v′ é a única extensão

v em L. Como vimos no Exemplo 2.48, se α|L fosse uma gauge em L, então

deveríamos ter α|L = v′, o que não é possível porque α(2i− j) = 0. Outra forma

de ver que α|L não é uma gauge é observar que a imagem de (2i − j) na álgebra

graduada grα|L(L) é nilpotente pois α((2i − j)2) = 1 > 2α(2i − j). Portanto

grα|L(L) não pode ser semi-simples.

Proposição 3.37. Seja (F, v) um corpo valorizado e seja A uma F -álgebra de

dimensão nita com uma v-gauge α. Seja K = Z(A) e seja L um corpo tal que

F ⊆ L ⊆ K. Então α|L é uma v-gauge em L.


Demonstração: Pela Proposição 3.34, α|L é uma v-norma. Como α é multipli-

cativa, α|L também é multiplicativa. Além disso, como L ⊆ Z(A), temos que

grα|L(L) ⊂ Z(grα(A)). Logo grα|L(L) é graduada semi-simples pois se existisse

um elemento homogêneo não nulo nilpotente x ∈ grα|L(L) então xgrα(A) seria um

ideal bilateral não nulo nilpotente de grα(A), o que não é possível pois grα(A) é

graduada semi-simples. Portanto, α|L é uma v-gauge em L.

Proposição 3.38. Sob as hipóteses da Proposição 3.37, suponha que v tem exten-

são única para uma valorização vL em L. Então α|L = vL e α é uma vL-gauge.

Demonstração: Pela Proposição 3.37, α|L é uma v-gauge em L. Como vL é a

única extensão de v para L, temos por (2.48) que α|L = vL. Para mostrar que

α é uma vL-gauge, basta vericarmos que α satisfaz as condições (2.36) e (2.39).

Assim, para c ∈ L× , temos

α(c−1) = vL(c−1) = −vL(c) = −α(c).

Pelo Lema 2.29, temos

α(ca) = α(c) + α(a) = vL(c) + α(a).

Como α e vL são normas, temos

[L : F ][grα(A) : grvL(L)] = [grvL(L) : grv(F )][grα(A) : grvL(L)]

= [grα(A) : grv(F )] = [A : F ] = [A : L][L : F ].

Portanto, [grα(A) : grvL(L)] = [A : L].

3.5. Valorizações sem defeito

Nesta seção introduziremos o conceito de uma valorização ser sem defeito em

uma álgebra semi-simples, em generalização aos conhecidos conceitos valorização

sem defeito em relação a extensões nitas de corpos e álgebras de divisão. Ve-

remos que esse conceito está relacionado a existência de uma gauge na álgebra.

Começamos lembrando do caso de extensões nitas de corpos.

Seja K/F uma extensão nita de corpos e seja v uma valorização em F . Sejam

v1, . . . , vk as extensões de v em K. Então, vale a desigualdade fundamental :

(3.39) [K : F ] ≥k∑i=1

[Kvi : F ] · |Γvi : Γv|.


Se tivermos a igualdade em (3.39) então dizemos que v é sem defeito em K.

Suponhamos agora que K/F é uma extensão normal de corpos. Neste caso,

todos os índices de ramicação |Γvi : Γv| e todos os graus residuais [Kvi : F ] coin-

cidem. Seja e = |Γvi : Γv| e f = [Kvi : F ] para todo 1 ≤ i ≤ k. Nestas condições,

temos um resultado mais forte, que é conhecido como Teorema de Ostrowski :

(3.40) [K : F ] = k · e · f · δ(W/V ),

onde δ(W/V ) é um inteiro positivo, que é chamado de defeito da extensão (K,w)/(F, v).

Além disso, δ(W/V ) = p`, onde ` é um inteiro positivo e p = max(1, car(F )). Logo

v é sem defeito em K se δ(W/V ) = 1.

Detalhes do que foi dito acima pode ser encontrado em [EP, pp. 119-122] e

[Ef, pp. 151-158].

Agora seja D uma álgebra de divisão com dimensão nita sobre seu centro F .

Suponhamos que F tem uma valorização v que se estende para uma valorização

w em D. Nestas condições, temos também uma versão do Teorema de Ostrowski

([D, Thm. 2], [M1, Thm. 3]):

(3.41) [D : F ] = [D : F ] · |Γw : Γv| · δ(Rw/V )

Como no caso comutativo, δ(Rw/V ) é chamado de defeito de D/F . Também

temos δ(Rw/V ) = p`, onde ` é um inteiro positivo e p = max(1, car(F )). Se

δ(Rw/V ) = 1, então dizemos que D é sem defeito sobre (F, v).

A seguir temos dois resultados fundamentais sobre defeito em álgebras de di-

visão. Estes resultados serão utilizados na demonstração da Proposição 3.52.

Proposição 3.42. Sejam B ⊂ R anéis de valorização invariantes de uma F -

álgebra de divisão central D. Sejam V = Z(B) e W = Z(R). Seja B = B/J(R),

que é um anel de valorização invariante de R = R/J(R). Seja V = V/J(W ) e

seja U a única extensão de V para Z(R). Então

δ(B/V ) = δ(R/W ) · δ(B/U) · δ(U/V ).

Ver [M4, Lemma 1] para uma demonstração da Proposição 3.42. Agora de

[JW, Thm. 3.1 e Remark 3.4] temos o seguinte resultado.

Proposição 3.43. Seja (F, v) um corpo henseliano e seja D uma F -álgebra de

divisão central. Suponhamos que (K,w) é uma extensão algébrica inercial de (F, v),

isto é, Kwé uma extensão separável de F

ve para todo corpo L tal que F ⊆ L ⊆ K


e [L : F ] < ∞, temos [Lw′

: Fv] = [L : F ], onde W ′ = W ∩ K. Seja DK a K-

álgebra de divisão central associada a D⊗F K. Seja v′ (resp. w′) a valorização em

D (resp. DK) estendendo a valorização henseliana v (resp. w). Então δ(Rv′/V ) =

δ(Rw′/W ).

A seguir temos um resultado que caracteriza gauges em álgebras simples sobre

corpos henselianos. Ver [TW1, Thm. 3.1] para uma demonstração.

Teorema 3.44. Seja F um corpo com uma valorização henseliana v. Seja A uma

F -álgebra simples com uma v-gauge α. Seja D a álgebra de divisão associada a A e

seja vD a valorização invariante em D estendendo v. Então grα(A) é uma álgebra

graduada simples e D é sem defeito sobre F . Além disso, com a identicação

A = EndD(M) para algum D-espaço vetorial M , existe uma vD-norma αM em M

tal que

(3.45) α = End(αM ) e grα(A) = Endgr(D)(grαM (M)).

Considere agora uma F -álgebra central simples A. Seja (F h, vh) a henselização

de (F, v) e seja Dh a F h-álgebra de divisão Brauer equivalente a A⊗F F h. Dizemos

que v é sem defeito em A se Dh é sem defeito sobre F h. O resultado seguinte é

uma consequência direta do Teorema 3.44 e estabelece que v ser sem defeito em

A é uma condição necessária para a existência de uma gauge em A. Veremos no

Teorema 5.22 que esta é também uma condição suciente.

Corolário 3.46. Seja A uma F -álgebra central simples. Se A tem uma v-gauge

α então v é sem defeito em A.

Demonstração: Seja (F h, vh) a henselização de (F, v). Então, pela Proposição

3.33, α⊗ vh é uma vh-gauge em A⊗F F h. Segue do Teorema 3.44 que Dh é sem

defeito sobre F h. Logo v é sem defeito em A.

A relação estabelecida em (1.15) para o anel de resíduos e o grupo de valores do

anel de valorização de Dubrovin e do anel de valorização invariante na henselização,

permite obter uma versão do Teorema de Ostrowski para anéis de valorização de

Dubrovin, que foi obtido originalmente em [W2].

Proposição 3.47. Seja A uma F -álgebra central simples e seja v uma valorização

em F . Suponhamos que R é um anel de valorização de Dubrovin de A tal que


Z(R) = V . Então

(3.48) [A : F ] = [R : F ] · |ΓR : Γv| · ξ(V,A)2 · δ(R/V ),

com δ(R/V ) = p`, onde ` é um inteiro positivo e p = max(1, car(Fv)).

Demonstração: Seja (F h, vh) a henselização de (F, v) e seja Dh a F h-álgebra de

divisão Brauer equivalente a A⊗F F h. Seja w a valorização em Dh estendendo a

valorização henseliana vh. Pela versão do Teorema de Ostrowski para álgebra de

divisão temos que

(3.49) [Dh : F h] = [D : F ] · |Γw : Γv| · δ(Rw/V ).

Por (A.10) A⊗F F h = MnR(Dh) então

(3.50) [A : F ] = [A⊗F F h : F h] = n2R[Dh : F h].

Segue de (1.15) e (A.9) que R = MtR(D) e Γw = ΓR então juntando isso com

(3.49) e (3.50) obtemos

[A : F ] = n2R[D : F ] · |Γw : Γv| · δ(Rw/V )

= (nR/tR)2[R : F ] · |ΓR : Γv| · δ(Rw/V ).

Como ξ(V,A) = nB/tB, a fórmula (3.48) é obtida ao tomarmos δ(R/V ) = δ(Rw/V ).

Nota 3.51. Segue da demonstração da Prop 3.48 que v é sem defeito em A se e

somente se temos que o defeito δ(R/V ) = 1 para todo anel de Dubrovin R de A

estendendo V .

Proposição 3.52. Seja A uma F -álgebra central simples e seja v uma valorização

em F . Suponhamos que w é uma valorização menos na que v. Nestas condições,

se v é sem defeito em A então w é sem defeito em A.

Demonstração: Seja (F hv , vh) (resp. (F hw, w

h)) a henselização de (F, v) (resp.

(F,w)). Seja w′ a valorização de F hv que tem como anel W ′ = WV h. Então, pela

Proposição B.2, temos que (F hv , w′) é uma extensão henseliana de (F hw, w

h) (ver

diagrama B.5). Seja Dhv (resp. D

hw) a álgebra de divisão associada a A⊗F F hv (resp.

A⊗F F hw). Para simplicar a notação, vamos usar os mesmos símbolos (vh, wh e w′)

para denotar tanto a valorização no corpo henseliano quando a sua única extensão

na álgebra de divisão. Como estamos supondo que v é sem defeito em A, temos que


δ(Rvh/Vh) = 1. Logo, pela Proposição 3.42, devemos ter δ(Rw′/W ′) = 1. Lembre

da Proposição B.6 que (F hv , w′) é uma extensão inercial de (F hw, w

h). Então segue

da Proposição 3.43 que Dhw é sem defeito sobre F hw. Portanto, w é sem defeito em

A.

Agora considere A uma F -álgebra simples de dimensão nita e seja K = Z(A),

que é uma extensão nita de F . Sejam v1, . . . , vk as extensões de v em K. Nestas

condições, dizemos que v é sem defeito em A se v for sem defeito em K e cada

vi for sem defeito em A. Agora seja Q uma F -álgebra semi-simples de dimensão

nita. Dizemos que v é sem defeito em Q se v for sem defeito em cada componente

simples de Q.

Capítulo 4

Gauges em álgebras

simples e semi-simples

Neste capítulo, obteremos alguns resultados fundamentais sobre a estrutura

de gauges em álgebras simples e semi-simples. Como notado em (2.41), se uma

álgebra de dimensão nita tem uma gauge, então ela deve ser semi-simples. Os

dois resultados seguintes estabelecem que o estudo de gauges pode ser reduzido a

álgebras simples.

Proposição 4.1 (TW1, Prop. 1.6). Seja (F, v) um corpo valorizado e seja A uma

F -álgebra semi-simples com uma v-gauge α. Suponhamos que A é o produto direto

de F -subálgebras

A = B1 × · · · ×Bk.

Então, αi = α|Bi é uma v-gauge em Bi, para 1 ≤ i ≤ k. Além disso,

α(b1, . . . , bk) = min(α1(b1), . . . , αk(bk)) e grα(A) = grα1(B1)× · · · × grαk(Bk).

O resultado seguinte é a recíproca da Proposição 4.1.

Proposição 4.2. Seja (F, v) um corpo valorizado. Suponhamos que A1, . . . , Ak

são F -álgebras simples de dimensão nita. Para cada i = 1, . . . , k, seja αi : Ai →Γ ∪ ∞ uma v-gauge em Ai. Seja A = A1 × . . . × Ak. Então, a aplicação

α : A→ Γ ∪ ∞ denida por

(4.3) α(x1, . . . , xk) = min(α1(x1), . . . , αk(xk)), para a1 ∈ A1, . . . , ak ∈ Ak,

é uma v-gauge em A e existe uma identicação canônica de gr(F )-álgebras

grα(A) = grα1(A1)× · · · × grαk(Ak).

51

52 4. Gauges em álgebras simples e semi-simples

Demonstração: A vericação de que α é uma v-função valorização multiplicativa

é direta e pode ser feita nos moldes da demonstração do Lema 2.31. Note que

para γ ∈ Γ, temos que α(x1, . . . , xk) ≥ γ se e somente se αi(xi) ≥ γ para todo

i = 1, . . . , k. Logo A≥γ = A≥γ1 × · · · × A≥γk . Da mesma forma, temos A>γ =

A>γ1 × · · · ×A>γk . Consequentemente,

(4.4) grα(A) = grα1(A1)× · · · × grαk(Ak).

Agora, como cada αi é uma v-norma, [Ai : F ] = [grαi(Ai) : gr(F )]. Então

[grα(A) : gr(F )] =k∑i=1

[grαi(Ai) : gr(F )]

=

k∑i=1

[Ai : F ]

= [A : F ],

o que implica que α é uma v-norma em A. Seja I é um ideal bilateral homogêneo

nilpotente de grα(A). Seja Ii a projeção de I em grαi(Ai), através da identicação

(4.4). Então Ii é também um ideal bilateral homogêneo nilpotente de grαi(Ai), que

tem que ser trivial pois grαi(Ai) é semi-simples. Portanto grα(A) é semi-simples,

que era o que faltava para concluirmos que α é uma v-gauge em A.

Para o restante deste capítulo vamos supor que (F, v) é um corpo valorizado e

A é uma F -álgebra simples de dimensão nita. Seja K o centro de A. Então K é

uma extensão nita de F . Sejam v1, . . . , vn todas as extensões distintas de v para

K. O Teorema seguinte caracteriza v-gauges em A em termos de vi-gauges.

Teorema 4.5. Suponhamos que v é uma valorização de posto 1. Seja α uma v-

gauge em A satisfazendo Γα ⊆ Γv ⊗Z Q. Então existem vi-gauges αi em A, para

i = 1, . . . , n, unicamente determinadas, tais que

(4.6) α(a) = min(α1(a), . . . , αn(a)

), para todo a ∈ A.

Além disso,

(4.7) grα(A) ∼=g grα1(A)× · · · × grαn(A).

Demonstração: Seja (F h, vh) a henselização de (F, v) e seja Ah = A⊗F F h. PeloTeorema B.7, temos K ⊗F F h ∼=

∏ni=1Ki, onde cada (Ki, v

′i) é a henselização de

(K, vi). Segue que

Ah ∼= A⊗K (K ⊗F F h) ∼= A⊗K (K1 × · · · ×Kn) ∼= A⊗K K1 × · · · ×A⊗K Kn.

4. Gauges em álgebras simples e semi-simples 53

Pela Proposição 3.33, αh = α⊗ vh é uma vh-gauge em Ah satisfazendo

(4.8) grαh(Ah) ∼=g grα(A)⊗gr(F ) gr(F h) ∼=g grα(A).

Seja Ai = A ⊗K Ki, que é uma Ki-álgebra central simples. Seja πi : Ah → Ai a

projeção canônica. Desta forma, obtemos pela Proposição 4.1 que βi = αh|Ai éuma vh-gauge em Ai para 1 ≤ i ≤ n. Além disso,

(4.9) αh(x) = min1≤i≤n

(βi(πi(x))), para todo x ∈ Ah,

e

(4.10) grαh(Ah) = grβ1(A1)× · · · × grβn(An).

Como v′i é a única extensão da valorização henseliana vh para Ki, temos pela

Proposição 3.38 que βi é uma v′i-gauge. Como Γα ⊆ Γv ⊗Z Q, segue que Γβi ⊆Γvi ⊗ZQ. Como cada vi tem posto 1, por [TW2, Prop. 5.4] temos que αi = βi|A é

uma vi-norma em A tal que βi = αi ⊗ v′i. Então pela Proposição 3.30, existe um

isomorsmo de álgebras graduadas

grβi(Ah) ∼=g grαi(A)⊗grvi (K) grv′i(Ki).

Como a extensão (Ki, v′i)/(K, vi) é imediata, grvi(K) = grv′i(Ki). Logo

(4.11) grαi(A) ∼=g grβi(Ah).

Como βi é uma v′i-gauge, a álgebra graduada grβi(Ah) é semi-simples. Assim,

grαi(A) é também graduada semi-simples, o que implica que αi é uma vi-gauge em

A. Segue de (4.9) que para todo a ∈ A,

(4.12) α(a) = αh(a⊗ 1) = min1≤i≤n

(βi(a⊗ 1)) = min1≤i≤n

(αi(a)).

Além disso, a partir de (4.8), (4.10) e (4.11), concluímos que

(4.13) grα(A) ∼=g grα1(A)× · · · × grαn(A).

Para mostrar que as gauges αi são unicamente determinadas, vamos vericar que

para cada a ∈ A tem-se

(4.14) αi(a) = maxα(ca) | c ∈ K× e vi(c) = 0.

Primeiro note que se vi(c) = 0 então α(ca) ≤ αi(ca) = αi(a). Resta-nos mostrar

que αi(a) = α(ca) para algum c ∈ K×com vi(c) = 0. Para cada j = 1, . . . , n,

seja δj = αi(a) − αj(a). Como Γα/Γv é de torsão, existe um inteiro positivo m

tal que m|δj | ∈ Γv, para todo j. Como as valorizações v1, . . . , vn são duas a duas


independentes, temos pelo Teorema da aproximação [EP, Thm. 2.4.1] que existe

c ∈ K× tal que vi(c+ 1) > 0 e vj(c) > m|δj |, para j 6= i. Segue que vi(c) = 0 e

αj(ca) = vj(c) + αj(a) > δj + αj(a) = αi(a) = αi(ca).

Portanto, α(ca) = αj(a).

O Teorema 4.5 foi utilizado originalmente na nossa pesquisa para demonstrar-

mos o Teorema 5.17 com a hipótese de que a valorização do centro tem posto

nito. Posteriormente, Wadsworth obteve uma demonstração do Teorema 4.5 que

vale para valorizações de posto arbitrário. Este é o Teorema C.1, que incluímos

com uma demonstração no apêndice desse trabalho, uma vez que trata-se de um

resultado recente e ainda não publicado. Esta generalização nos permitiu demons-

trar o Teorema 5.17 sem restrição sobre o posto da valorização do centro.

O teorema seguinte é um dos resultados principais do nosso trabalho e gene-

raliza para álgebras simples não necessariamente centrais a Proposição 2.55, que

relaciona gauges com as funções valorização de Morandi.

Teorema 4.15. Suponhamos que v é sem defeito em A. Para i = 1, . . . , n, seja

αi uma vi-função valorização de Morandi em A e seja Bi o anel de valorização de

Dubrovin associado a αi. Seja α = min(α1, . . . , αn). Então α é uma v-gauge em

A se e somente se B1, . . . , Bn tem a propriedade da interseção.

Demonstração: (⇐=) Pelo Lema 2.31, temos que α = min(α1, . . . , αn) é uma

v-função valorização multiplicativa e existe um homomorsmo injetivo de gr(F )-

álgebras graduadas

(4.16) ϕ : grα(A)→ grα1(A)× · · · × grαn(A).

Armação: O homomorsmo ϕ é sobrejetivo.

Suponhamos por um momento que a armação acima é verdadeira. Neste

caso, temos que ϕ é um isomorsmo de gr(F )-álgebras graduadas. Como estamos

assumindo que v é sem defeito em A, temos por denição que cada vi é sem

defeito em A. A Proposição 2.55 nos dá que cada αi é uma vi-gauge em A e

então grαi(A) é uma álgebra graduada simples. Assim, o isomorsmo ϕ nos dá

que grα(A) é uma álgebra graduada semi-simples. Para concluirmos que α é uma

gauge, resta-nos mostrar que [grα(A) : grv(F )] = [A : K]. Como αi é uma vi-

gauge, [grαi(A) : grvi(K)] = [A : K]. Como v é sem defeito em A, devemos ter


v sem defeito em K. Logo [K : F ] =∑n

i=1[grvi(K) : grv(F )]. Juntando estas

informações obtemos que

[grα(A) : grv(F )] =

n∑i=1

[grαi(A) : grv(F )]

=n∑i=1

[grαi(A) : grvi(K)][grvi(K) : grv(F )]

=n∑i=1

[A : K][grvi(K) : grv(F )]

= [A : K][K : F ]

= [A : F ].

Demonstração da Armação: A demonstração da sobrejetividade da aplicação ϕ

usa o Teorema da aproximação de Morandi para anéis de valorização de Dubrovin

(Teorema A.19). Vamos xar algum k, com 1 ≤ k ≤ n e algum b ∈ A \ 0. Sejaγi = αi(b). Para cada i, j ∈ 1, . . . , n, com i 6= j, seja Vij o menor subanel de K

contendo Vi e Vj . Seja ∆ij o subgrupo convexo do fecho divisível Γ de Γv associado

a Vij . Vamos mostrar que γi−γj ∈ ∆ij . Para isso, considere as composições θij αie θij αj , onde θij : Γ → Γ/∆ij é a aplicação canônica. Pela Proposição 3.22,

temos que θij αi e θij αj são vij-gauges em A. Além disso, pela Proposição 3.27,

Rθijαi = BiVij e Rθijαj = BjVij . Como Bi ⊆ BiVij e Bj ⊆ BjVij , segue que BiVije BjVij são anéis de valorização de Dubrovin de A integrais sobre Vij . Logo θij αie θij αj são também funções valorização de Morandi em A. Além disso, note que

BiVij e BjVij tem a IP pelo Teorema A.3. Com isso concluímos pela Proposição

A.6 que BiVij = BjVij = Bij , que é o menor subanel de A contendo Bi e Bj .

Portanto, devemos ter θij αi = θij αj , pois as funções valorização de Morandi

são unicamente determinadas pelo anel de valorização de Dubrovin associado e

pela restrição ao centro. Assim, θij(γi − γj) = θij αi(b) − θij αj(b) = 0, o

que nos dá γi − γj ∈ ∆ij . Agora seja εi = γk − γi. Então também temos que

εi − εj ∈ ∆ij . Além disso, como 0 ≤ ||εi| − |εj || ≤ |εi − εj | e ∆ij é convexo,

obtemos ||εi| − |εj || ∈ ∆ij . Suponhamos que Γi é o grupo de valores de vi. Como

Γ/Γi é de torsão, podemos encontrar um inteiro positivo m tal que m|εi| ∈ Γi.

Seja ci ∈ K×tal que vi(ci) = m|εi|. Em particular, podemos tomar ck = 1. Para

i 6= j, temos cic−1j ∈ Vij \ J(Vij), porque vij(cic−1

j ) = θij(m|εi| − m|εj |) = 0.

Para aplicarmos o Teorema de Aproximação de Morandi, considere Ii = bciJ(Bi),

que é um ideal a direita de Bi. Para cada i 6= j temos que Vi e Vj são anéis de


valorização incomparáveis. Então J(Vij) ( J(Vi). Seja a ∈ J(Vi) \ J(Vij). Logo

1 = aa−1 ∈ J(Vi)Vij ⊆ J(Bi)Bij . Assim, J(Bi)Bij = Bij . O mesmo argumento

nos dá J(Bj)Bij = Bij . Com isso concluímos que

IiBij = bciJ(Bi)Bij = bciBij = bcj(c−1j ci)Bij = bcjBij = bcjJ(Bj)Bij = IjBij .

Agora seja qk = b e qi = 0 se i 6= k. Pelo Teorema de Aproximação de Morandi,

existe x ∈ A com x ≡ qi (mod Ii) para todo i. Agora se i 6= k então x ∈ Ii. Assim,

αi(x) > αi(bci) = vi(ci) + αi(b) = m|εi|+ γi ≥ εi + γi = γk = αk(b).

Por outro lado, x ≡ b (mod Ik). Assim, αk(x − b) > αk(b). Então αk(x) = αk(b)

e x′ = b′ em grαk(A). Consequentemente, α(x) = αk(b) e x′ ∈ grα(A) é levado em

(0, . . . , 0, b′, 0, . . . , 0) ∈ grα1(A)× · · · × grαn(A) (b′ na k-ézima posição) através do

homomorsmo ϕ de (4.16). Como as n-uplas (0, . . . , 0, b′, 0, . . . , 0), para todo k e

b, geram grα1(A)× · · · × grαn(A), a aplicação ϕ é sobrejetiva.

(=⇒) Suponhamos agora que α é uma v-gauge em A. Pelo Teorema A.3, para

mostrarmos que B1, . . . , Bn tem a IP, é suciente vericarmos que Bi, Bj tem a IP

para cada i, j ∈ 1, . . . n, com i 6= j. Como cada Bi é integral sobre Vi, temos pela

Proposição A.6 que Bi e Bj tem a IP se e somente se BiVij = BjVij = Bij , onde Vij

(resp. Bij) denota o menor sobreanel de Vi e Vj (resp. Bi e Bj). Como Vi, Vj ⊆ Bij ,temos Vij ⊆ Z(Bij). Assim, as inclusões BiVij ⊆ Bij e BjVij ⊆ Bij são claras.

Desta forma, a demonstração estará completa ao mostrarmos que BiVij = BjVij ,

pois teríamos que BiVij é um anel contendo Bi e Bj , o que implica Bij ⊆ BiVij .

Seja então W = Vij ∩ F , que é um anel de valorização contendo V . Associado a

W temos um subgrupo convexo ∆ ⊆ Γ e um homomorsmo canônico ε : Γ→ Γ/∆

tal que w = ε v. Também temos vij = ε vi e vij = ε vj . Agora seja β = ε α.Como α = min(α1, . . . , αn) temos

(4.17) β = ε α = min(ε α1, . . . , ε αn).

Pela Proposição 3.22, cada ε αi é uma ε vi-gauge em A. Por outro lado, se

w1, . . . , wr são todas as extensões de w para K, pelo Teorema C.1, existem wi-

gauges βi em A para i = 1, . . . , r tais que

(4.18) β(a) = min(β1(a), . . . , βr(a)

)para todo a ∈ A.

Além disso,

(4.19) grβ(A) ∼=g grβ1(A)× · · · × grβr(A).


A valorização vij coincide com w`, para algum ` ∈ 1, . . . , r. Logo ε αi e ε αjsão w`-gauges em A. Como, pela Proposição 3.27, Rεαi = BiVij e Rεαj = RαjVij ,

a demonstração estará completa ao mostramos que ε αi e ε αj coincidem com

β`. Por (4.17), temos que ε αi(a) ≥ β(a) para todo a ∈ A. Seja b′1, . . . , b′muma base homogênea de grβ`(A) como grw`(K)-espaço vetorial graduado. Então

existem a1, . . . , am ∈ A tais que

(4.20) a′t 7→ (0, . . . , 0, b′t, 0, . . . , 0), (com b′t na `-ézima posição),

através do isomorsmo (4.19). Então, de (4.20), concluímos que para cada t temos

βν(at) > β`(at), para ν 6= `, e β(at) = β`(at) = β`(bt).

Logo ε αi(at) ≥ β(at) = β`(at), para todo t. Além disso, como (4.20) também

implica que a′t = b′t em grβ`(A), temos que a′1, . . . , a′m é grw`(K)-linearmente

independente. Logo, pela Proposição 2.26, temos que a1, . . . , am é uma base

de decomposição de A para β`. Portando, todo a ∈ A pode ser escrito como

a =∑m

t=1 ctat, com ct ∈ K. Segue que

β`(a) = min1≤t≤m

(w`(ct) + β`(at)) ≤ min1≤t≤m

(w`(ct) + ε αi(at))

≤ ε αi(m∑t=1

ctat) = ε αi(a).

Como observado em (2.30), existe um homomorsmo de álgebras graduadas ϕ :

grβ`(A) → grεαi(A), que é injetivo porque grβ`(A) é uma álgebra graduada sim-

ples. Logo ε αi = β`. Da mesma forma, podemos vericar que ε αj = β`.

Portanto, ε αi = ε αi, o que completa a demonstração.

Como consequência do Teorema 4.15, temos um resultado sobre a existência

de gauges em álgebras semi-simples sobre corpos com uma valorização de posto 1.

Corolário 4.21. Seja F um corpo com uma valorização v de posto 1. Seja A uma

F -álgebra semi-simples de dimensão nita. Suponhamos que v é sem defeito em

A. Então existe uma v-gauge α em A.

Demonstração: Pelo Teorema 4.2, basta considerar o caso em que A é uma F -

álgebra simples, pois se obtivermos uma v-gauge para cada componente simples,

a fórmula 4.3 fornece uma v-gauge para a álgebra semi-simples. Seja K = Z(A)

e sejam V1, . . . , Vk os prolongamentos de V para K. Como cada valorização Vi

tem posto 1, existe um anel de valorização de Dubrovin Bi em A integral sobre


seu centro Vi. Seja αi a função valorização de Morandi associada a Bi. Como os

anéis de valorização V1, . . . , Vk são dois a dois independentes, temos pela Proposi-

ção A.1 que B1, . . . , Bk tem a IP. Então pelo Teorema 4.15 a função valorização

α = min(α1, . . . , αk) é uma v-gauge em A.

Nota 4.22. Recentemente, Tignol e Wadsworth obtiveram uma generalização do

Corolário 4.21 para valorizações de posto arbitrário. Trata-se de um resultado

profundo que aparecerá em um livro sobre valorizações não-comutativas que está

sendo escrito por Tignol e Wadsworth.

Capítulo 5

Gauges em álgebras

centrais simples

Neste capítulo, concentraremos nosso estudo de gauges em álgebras centrais

simples e suas relações com anéis de valorização de Dubrovin. Introduziremos o

conceito de gauges minimais, que são gauges cuja parte de grau zero da álgebra

graduada tem o menor número possível de componentes simples. Veremos que o

anel dessas gauges correspondem a interseção de uma família de anéis de Dubrovin

satisfazendo a propriedade da interseção.

Seja α uma gauge em A. Pela Proposição 2.13, A0, a parte de grau zero de

grα(A), é semi-simples. Vamos denotar por ω(α) o número de componentes sim-

ples de A0.

(5.1) Agora vamos compor um quadro que relaciona grande parte dos objetos e

resultados vistos até aqui. Estas relações serão fundamentais para o restante do

capítulo. Seja (F, v) um corpo valorizado e A uma F -álgebra central simples com

uma v-gauge α. Seja w uma valorização menos na que v e u = v/w a valorização

quociente em Fw. Seja β a gauge menos na que α tal que β|F = w e seja α0 a

u-gauge em Aβ0 induzida por α, como descrito da Seção 3.2. Sejam C1, . . . , Cω(β)

as componentes simples de Aβ0 . Pela Proposição 4.1, existem u-gauges αi0 em Ci

para i = 1, 2, . . . , ω(β) tais que

(5.2) α0(a1, . . . , aω(β)) = min(α1

0(a1), . . . , αω(β)0 (aω(β))

)59

60 5. Gauges em álgebras centrais simples

para a1 ∈ C1, . . . , aω(β) ∈ Cω(β), e

(5.3) grα0(Aβ0 ) ∼=g grα1

0(C1)× · · · × gr

αω(β)0

(Cω(β)).

Por (3.24), as álgebras graduadas associadas a α e α0 tem as mesmas partes de

grau zero. Juntando isso com (5.3), obtemos que

(5.4) ω(α) = ω(α0) = ω(α10) + · · ·+ ω(α

ω(β)0 ).

No que segue, vamos obter uma descrição das componentes simples Ci. Seja

(F hw, wh) a henselização de (F,w). Considere extensão de escalares Ah = A ⊗F

F hw∼= Mn(Dh), onde n é algum inteiro positivo e Dh é uma F hw-álgebra de divi-

são central. Então a valorização henseliana wh se estende para uma valorização

w′ em Dh. Seja Rw′ o anel de valorização invariante de Dh associado a w′ e

Dh = Rw′/J(Rw′) o anel de resíduos. Por outro lado, temos da Proposição 3.33

que βh = β ⊗ wh é uma wh-gauge em Ah e grβh(Ah) ∼=g grβ(A). Pelo Teorema

3.44, grβh(Ah) = Endgrw′ (Dh)(grαM (M)). Pela Proposição 2.13, temos

(5.5) Aβ0 =(Endgrw′ (D

h)(grαM (M)))

0=

k∏i=1

Mri(D0),

onde D0 é a parte de grau zero de grw′(Dh), que é Dh. Comparando (5.5) com

a decomposição Aβ0 = C1 × · · · × Cω(β) estabelecida acima, temos que k = ω(β)

e Ci = Mri(D0), após uma possível alteração dos índices. Então temos Z(C1) =

· · · = Z(Cω(β)) = Z(Dh). Vamos chamar esse corpo comum de K. Também temos

por (1.15) que K = Z(S), onde S é qualquer anel de valorização de Dubrovin de

A com Z(S) = W . Então o número de extensões de u para K é dado por `(v, w),

como denido em (A.13). Sejam u1, . . . , u`(v,w) estas extensões. Pelo Teorema C.1,

existem uj-gauges αij0 em Ci para j = 1, . . . , `(v, w) tais que

(5.6) αi0(a) = min(αi10 (a), . . . , α

i`(v,w)0 (a)

)para todo a ∈ Ci.

Além disso,

(5.7) grαi0(Ci) ∼=g grαi10

(Ci)× · · · × grαi`(v,w)0

(Ci).

Logo

(5.8) ω(αi0) = ω(αi10 ) + · · ·+ ω(αi`(v,w)0 ).

O diagrama abaixo ilustra parte do que foi dito acima.

5. Gauges em álgebras centrais simples 61

A α ≤ β

Aβ0 α0 Ci αi10 , . . . , αi`(v,w)0

F v ≤ w Z(Aβ0 ) K u1, . . . , u`(v,w)

W u W u

As notações e relações estabelecidas acima serão utilizadas livremente na de-

monstração dos três teoremas seguintes.

O resultado seguinte estabelece que ω(α) é limitado inferiormente pelo número

da extensão ξ(v) de v em A.

Teorema 5.9. Seja (F, v) um corpo valorizado e A uma F -álgebra central simples.

Então para toda v-gauge α em A, temos ω(α) ≥ ξ(v).

Demonstração: A demonstração é por indução em ξ(v). Se ξ(v) = 1, então temos

claramente ω(α) ≥ ξ(v). Podemos então assumir que ξ(v) > 1. Pelo Teorema A.7

existe uma família de anéis de valorização de Dubrovin R1, . . . , Rξ(v) em A tendo

a IP tais que Z(Rt) = V . Pela Proposição A.17, para cada t = 1, . . . , ξ(v) existe

um anel de valorização de Dubrovin St de A, minimal com a propriedade que St

é integral sobre Wt = Z(St). Pela Proposição A.18, temos S1 = · · · = Sξ(v) = S.

LogoW1 = · · · = Wξ(v) = W . Além disso, pela Proposição A.17, temos `(v, w) ≥ 2.

Podemos agora aplicar a construção de (5.1) com a valorização w que obtivemos

acima. Note que Z(R1), . . . , Z(Rξ(v)) são todas as extensões de V em K = Z(S),

com possíveis repetições, que correspondem às extensões U1, . . . , U`(v,w) em (5.1).

Desta forma, pelo Teorema A.15, temos que para cada j = 1, . . . , `(v, w),

(5.10) ξ(v) = ξ(w) · ξ(uj , S) · `(v, w) = ξ(uj , S) · `(v, w),

onde a última igualdade vem de ξ(w) = 1, pois S é integral sobre W . Então

segue de (5.10) que ξ(uj , S) < ξ(v), pois `(v, w) ≥ 2. Como já notamos em

(5.1), cada Ci é Brauer equivalente a S. Como o número da extensão depende

apenas da valorização do centro e da classe de Brauer equivalência da álgebra,

temos que ξ(uj , S) = ξ(uj , Ci). Como cada αij0 obtida em (5.1) é uma uj-gauge

em Ci, temos por hipótese de indução que ω(αij0 ) ≥ ξ(uj , Ci). Note que (5.10)

implica que todas as valorizações uj tem o mesmo número da extensão, isto é,


ξ(u1, S) = · · · = ξ(u`(v,w), S). Então segue de (5.4) e (5.8) que

ω(α) ≥ ω(β) · `(v, w) · ξ(u1, S) ≥ `(v, w) · ξ(u1, S) = ξ(v),

com queríamos.

Uma v-gauge α em A é dita uma gauge minimal quando a parte de grau zero

da álgebra graduada tem o menor número possível de componentes simples, isto

é, ω(α) = ξ(v).

Exemplo 5.11. Se uma gauge é também uma função valorização de Morandi

então é uma gauge minimal pois ω(α) = ξ(v) = 1.

Exemplo 5.12. A gauge construída no Exemplo 3.14 é também minimal pois

ω(α) = ξ(v) = 2.

Exemplo 5.13. No Exemplo 3.10 construímos uma gauge na álgebra de matrizes

M2(F ) denida por

(5.14) yδ

( a11 a12

a21 a22

)= min(v(a11), v(a21) + δ, v(a12)− δ, v(a22)).

Suponhamos agora que v é uma valorização discreta. Como todo anel de valoriza-

ção de Dubrovin estendendo uma valorização de posto 1 é sempre integral, temos

que ξ(v) = 1. Tome δ = 1/2. Segue que

Ry 12

=

(V F≥−

12

F≥12 V

)e J(Ry 1

2

) =

(J(V ) F>−

12

F>12 J(V )

).

Note que para x ∈ F temos v(x) ≥ 0 se e somente se v(x) > 0. Logo F≥12 = F>

12 .

Com isso obtemos que A0 = Ry 12

/J(Ry 12

) ∼= F × F . Portanto ω(y 12) = 2 > ξ(v) e

então y 12não é uma gauge minimal.

O resultado seguinte estabelece que uma gauge menos na que uma gauge

minimal é também minimal.

Teorema 5.15. Seja (F, v) um corpo valorizado e A uma F -álgebra central sim-

ples com uma v-gauge α. Seja β uma gauge menos na que α em A e w = β|F ,que é uma valorização menos na que v. Então ω(α)/ω(β) ≥ ξ(v)/ξ(w). Conse-

quentemente, se α é uma gauge minimal, então β também é uma gauge minimal.

Demonstração: Pela construção de (5.1), cada αij0 é uma uj-gauge em Ci. Então

pelo Teorema 5.9, ω(αij0 ) ≥ ξ(uj , Ci). Como já notamos em (5.1), ξ(u1, C1) =


ξ(uj , Ci) para cada i = 1, . . . , ω(w) e j = 1, . . . , `(v, w). Então segue de (5.4) e

(5.8) que

(5.16) ω(α) ≥ ω(β)`(v, w)ξ(u1, C1).

Como ξ(v) = ξ(w)`(v, w)ξ(u1, C1) pelo Teorema A.15, concluímos que

ω(α)

ω(β)≥ ω(β)`(v, w)ξ(u1, C1)

ω(β)=ξ(w)`(v, w)ξ(u1, C1)

ξ(w)=ξ(v)

ξ(w).

O teorema a seguir é um dos resultados principais desse trabalho e estabe-

lece que o anel de uma gauge minimal corresponde a uma interseção de anéis de

valorização de Dubrovin satisfazendo a propriedade da interseção.

Teorema 5.17. Seja (F, v) um corpo valorizado e A uma F -álgebra central sim-

ples. Suponhamos que α é uma v-gauge minimal em A. Então o anel da gauge

Rα =⋂ξ(v)i=1 Bi, onde B1, . . . , Bξ é uma família de anéis de valorização de Dubrovin

de A com Z(Bi) = V e tendo a propriedade da interseção.

Demonstração: A demonstração é por indução sobre o posto degrau j(A, v). Se

j(A, v) = 1, então pelo Teorema A.11 todo anel de valorização de Dubrovin de A

com centro V é integral, logo ω(α) = ξ(v) = 1. Então segue da Proposição 2.55

que α é uma função valorização de Morandi. Logo Rα é um anel de valorização de

Dubrovin integral sobre V . Podemos então assumir que j(A, v) > 1. Seja

Q1 Q2 · · · Qk = J(V )

os ideais degrau de V com respeito a A. Seja W = VQk−1, a localização de V pelo

ideal primo Qk−1. Temos que W é um anel de valorização de F contendo V e que

tem Qk−1 como ideal maximal. Então os ideais degrau de W com respeito a A são

Q1 Q2 · · · Qk−1 = J(W ).

Logo j(A,w) = j(A, v) − 1. Seja β a gauge menos na que α tal que β|F = w,

como descrito na Seção 3.2. Pelo Teorema 5.15, β também é uma gauge minimal.

Então, por hipótese de indução temos Rβ =⋂ξ(w)i=1 Ri, onde R1, . . . , Rξ(w) são

anéis de valorização de Dubrovin tendo a IP tais que Z(Ri) = W. Assim J(Rβ) =⋂ξ(w)i=1 J(Ri). Como Aβ0 = Rβ/J(Rβ), existe um isomorsmo

(5.18)Aβ0 → R1/J(R1)× · · · ×Rξ(w)/J(Rξ(w))

x+ J(Rβ) 7→ (x+ J(R1), . . . , x+ J(Rξ(w))).


Desta forma, após uma possível alteração nos índices, podemos escrever Ci =

Ri/J(Ri), seguindo a notação de (5.1). Note que pelo Corolário A.16,

j(Ci, uj) = j(A, v)− j(A,w) = 1.

Logo ξ(uj) = 1. Então segue do Teorema A.15 que ξ(v) = ξ(w)`(v, w). Como

ω(α) = ξ(v) e ω(β) = ξ(β), temos por (5.4) e (5.8) que ω(αij0 ) = 1, para todo

i = 1, . . . , ξ(w) e j = 1, . . . , `(v, w). Assim, pela Proposição 2.55 cada αij0 é uma

função valorização de Morandi. Seja Sij o anel de valorização de Dubrovin de Ci

associado a αij0 . Seja

Bij = a ∈ A | a+ J(Ri) ∈ Sij,

que é um anel de valorização de Dubrovin de A com Z(Bij) = V por (1.12). Vamos

mostrar que a família formada pelos anéis de Dubrovin Bij , para i = 1, . . . , ξ(w)

e j = 1, . . . , `(v, w), tem a IP. Pelo Teorema 4.15 Si1, . . . , Si`(v,w) são dois a dois

incomparáveis e tem a IP para todo i. Assim, Bi1, . . . , Bi`(v,w) são dois a dois

incomparáveis e tem a IP para todo i, pela Proposição A.2. Agora seja i, h ∈1, . . . , ξ(w) com i 6= h. Note que Bij ⊆ Ri e Bht ⊆ Rh para j, t = 1, . . . , `(v, w).

Como Ri e Rh são incomparáveis e tem a IP, Bij e Bht são também incomparáveis

e tem a IP pelo Teorema A.3. Consequentemente, a família de anéis de Dubrovin

Biji,j são dois a dois incomparáveis e tem a IP pelo Teorema A.3. Para completar

a demonstração, resta mostrarmos que Aα =⋂ξ(w)`(v,w)i=1j=1 Bij . Note que

(5.19) J(Rβ) ⊆ J(Rα) ⊆ Rα ⊆ Rβ,

pois α(x) ≥ 0 implica β(x) ≥ 0 e β(x) > 0 implica α(x) > 0. Por outro lado, para

cada i = 1, . . . , ξ(w) temos

J(Ri) ⊆ J(Bij) ⊆ Bij ⊆ Ri,

para todo j ∈ 1, . . . , `(v, w). Então

(5.20) J(Rβ) =

ξ(w)⋂i=1

J(Ri) ⊆ξ(w),`(v,w)⋂

i,j=1

Bij ⊆ξ(w)⋂i=1

Ri = Rβ.

Seja a ∈ Rβ\J(Rβ). Observe que pelas inclusões que temos em (5.19) e (5.20),

a demonstração estará completa ao mostrarmos que a ∈ Rα se e somente se

a ∈⋂ξ(w)`(v,w)i=1j=1 Bij . Pela forma como α0 foi denido em (3.23), temos que α(a) =

α0(a+J(Rβ)). Usando a identicação deAβ0 comR1/J(R1)× · · · ×Rξ(w)/J(Rξ(w)),


dada pelo isomorsmo (5.18), obtemos

α(a) = α0(a+ J(Rβ))

= α0(a+ J(R1), . . . , a+ J(Rξ(w)))

= min1≤i≤ξ(w)

(αi0(a+ J(Ri))).

Assim, α(a) ≥ 0 se e somente se αi0(a + J(Ri)) ≥ 0 para todo i = 1, . . . , ξ(w).

Note que por (5.6), o anel da gauge Rαi0 =⋂`(v,w)j=1 Sij . Então a ∈ Rα se e somente

se a + J(Ri) ∈⋂`(v,w)j=1 Sij , para todo i = 1, . . . , ξ(w). Mas a + J(Ri) ∈ Sij se e

somente se a ∈ Bij . Portanto, a ∈ Rα se e somente se a ∈⋂ξ(w)`(v,w)i=1j=1 Bij , como

queríamos.

Nota 5.21. Note que os Bi do Teorema 5.17 são unicamente determinados por α

pois estes são as localizações de Rα pelos seus ideais maximais.

O restante deste capítulo será dedicado a obtermos uma recíproca do Teorema

5.17 para o caso em que a valorização do centro tem posto nito. O passo fun-

damental nesse sentido é o resultado seguinte, que é um teorema de existência de

gauges minimais.

Teorema 5.22. Seja F um corpo com uma valorização v de posto nito e seja

A uma F -álgebra central simples. Suponhamos que v é sem defeito em A. Então

existe uma v-gauge minimal em A.

Demonstração: A demonstração é por indução sobre rk(Γ), o posto de v. Se

rk(Γ) = 1, então todo anel de valorização de Dubrovin de A com centro V é

integral. Então existe uma função valorização de Morandi em A, que é também

uma gauge minimal pela Proposição 2.55. Podemos então assumir que rk(Γ) > 1.

Seja ∆ ⊆ Γ um subgrupo convexo de posto 1. Seja Λ = Γ/∆ e ε : Γ → Λ o

homomorsmo canônico. Seja

w = ε v : F → Λ ∪ ∞,

que é uma valorização menos na que v em F tal rk(w) = rk(v) − 1 . Como

estamos assumindo que v é sem defeito em A, temos pela Proposição 3.52, que w

também é sem defeito em A. Assim, por hipótese de indução, existe uma w-gauge

minimal β em A. Agora seja (F hv , vh) (resp. (F hw, w

h)) a henselização de (F, v)

(resp. (F,w)). Seja w′ a valorização menos na que vh dada por

w′ = ε vh : F hv → Λ ∪ ∞.


Como vh é henseliana, temos pela Proposição B.2 que w′ também é henseliana

e (F hw, wh) ⊆ (F hv , w

′). Pela Proposição 3.30, temos uma w′-função valorização

multiplicativa

β ⊗ w′ : Ah → Λ ∪ ∞,

e um isomorsmo de álgebras graduadas

grβ⊗w′(Ah) = grβ(A)⊗grw(F ) grw′(Fhv ).

Pela Proposição B.6, (F hv , w′) é uma extensão inercial de (F hw, w

h). Logo a extensão

F hvw′

/Fwé separável e Γw′ = Γwh . Portanto, β ⊗ w′ é uma w′-gauge em Ah, pela

Proposição 3.32. Para o restante da prova, a idéia é construir a partir de β ⊗ w′

uma vh-gauge α em Ah. A restrição α|A nos dará a v-gauge em A desejada. Seja

então Dhv (resp. Dh

w) a álgebra de divisão central sobre F hv (resp. F hw) associada

a A ⊗F F hv (resp. A ⊗F F hw). Por simplicação, vamos usar vh e w′ (resp. wh)

para denotar as valorizações nas álgebras de divisão Dhv (resp. Dh

w) estendendo as

valorizações henselianas vh e w′ (resp. wh). Podemos identicar Ah = EndDhvM ,

ondeM é algumDhv -espaço vetorial. Com essa identicação, obtemos pelo Teorema

3.44 que existe uma w′-norma βM : M → Λ ∪ ∞ tal que

(5.23) β ⊗ w′ = End(βM ) e grβ⊗w′(Ah) ∼=g Endgrw′ (Dh,v)(grβM (M)).

Como na seção 2.1, o conjunto de valores ΛM = βM (M) é uma união ΛM =

Λ1∪· · ·∪Λk, onde cada Λi é uma classe lateral do grupo ΛDhv ,w′ = w′(Dhv×

). Segue

que grβM (M) tem um decomposição em grw′(Dh,v)-espaços vetoriais graduados:

(5.24) grβM (M) =k⊕i=1

MΛi onde MΛi =⊕λ∈Λi

Mλ.

Além disso, temos ela Proposição 2.13,

(5.25) (Ah)β⊗w′

0∼=

k∏i=1

EndDh,v

w′ (Mλi1).

Seja (ei)ni=1 uma base de decomposição de M para βM . Pela Proposição 2.26,

(e′i)ni=1 é uma grw′(Dh,v)-base de grβM (M). Então, usando a decomposição como

soma direta de (5), podemos alterara os índices

(ei)ni=1 = e11, . . . , e1t1 , . . . , ek1, . . . , ektk,

de tal forma que e′i1, . . . , e′iti∈ MΛi , para cada i ∈ 1, . . . , k. Por , para cada

i, os valores βM (ei1), . . . , βM (eiti) estão numa mesma classe lateral de ΛDhv ,w′ .

Então podemos alterar os elementos da base (ei)ni=1, multiplicando adequadamente


por elementos de Dhv , de modo que βM (ei1) = · · · = βM (eiti), para cada i. A

valorização v (resp. vh) induz uma valorização u (resp u′) no corpo de resíduos

Fw(resp. F hv

w′

). Da Proposição B.6 temos que (F hvw′

, u′) é a henselização de

(F hw, u). Seja L = Z(Dh,w

wh), que é uma extensão nita de Fh

w. Temos também

que u tem `(v, w) extensões para L, como descrito na seção A.1. No que segue,

vamos mostrar que ω(β ⊗ w′) = ω(β)`(v, w) Sejam u1, . . . , u`(v,w) todas extensões

distintas de u para L. Pelo Teorema B.7,

(5.26) L⊗Fw F hvw′ ∼=

`(v,w)∏i=1

Li,

onde cada Li is a henselização L com relação a ui. Pela Proposição 2.13, podemos

escrever

(5.27) Aβ0 =

ω(β)∏j=1

Bj ,

onde cada Bj é uma L-álgebra central simples. Como Γw′ = Γwh , temos que

grw′(Fhv ) ∼=g grwh(F hw)⊗

Fhwwh F hv

w′

= grw(F )⊗Fw F hvw′

.

Assim,

(5.28) grβ⊗w′(Ah) ∼=g grβ(A)⊗Fw F hv

w′

.

Segue que

(5.29) (Ah)β⊗w′

0∼= Aβ0 ⊗Fw F hv

w′ ∼= Aβ0 ⊗L (L⊗Fw F hvw′

).

Juntando as informações de (5.26), (5.27) e (5.29), obtemos que

(Ah)β⊗w′

0∼= Aβ0 ⊗L (

`(v,w)∏i=1

Li)(5.30)

∼= (

ω(β)∏j=1

Bj)⊗L (

`(v,w)∏i=1

Li)(5.31)

∼=ω(β)∏j=1

`(v,w)∏i=1

Bj ⊗L Li.(5.32)

Como cada Bj ⊗L Li é uma Li-álgebra central simples, ao compararmos (5.25) e

(5.32), obtemos que

(5.33) k = ω(β ⊗ w′) = ω(β)`(v, w).


Agora, para cada i = 1, . . . , k, seja algum γi ∈ Γ, tal que ε(γi) = βM (ei1). Deni-

mos a vh-norma αM : M → Γ∪∞ pela condição que e11, . . . , e1t1 , . . . , ek1, . . . , ektké uma base de decomposição de M para αM e

αM (eij) = γi para i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , ti.

Então, ε αM = βM e o conjunto de valores ΓM = αM (M) é uma união dis-

junta de classes laterais ΓM = γ1 +ΓDhv ,vh ∪· · ·∪γk +ΓDhv ,vh . A função valorização

α = End(αM ), denida como (2.47) é uma vh-gauge em Ah, pois Dh,v é sem defeito

sobre (F hv , vh). Novamente pela Proposição 2.13 o número de componentes simples

da parte de grau zero da álgebra graduada grα(Ah) ∼= Endgrvh

(Dhv )(grαM (M)) cor-

responde a decomposição de ΓM em classes laterais distintas de ΓDhv ,vh , logo ω(α) =

k. Como βM = ε αM , segue da fórmula (2.47) que End(βM ) = ε End(αM ), isto

é,

β ⊗ w′ = ε α.

Por [TW2, Prop. 5.5] temos que α|A é uma v-norma em A tal que α = α|A ⊗ vh.Consequentemente, usando o fato que F hv /F é uma extensão imediata, temos que

grα(Ah) = grα|A(A)⊗gr(F ) grvh(F h) = grα|A(A).

Como α é uma vh-gauge, a álgebra graduada grα(Ah) é semi-simple. Assim,

grα|A(A) é uma álgebra graduada semi-simples, logo α|A é uma v-gauge em A.

Além disso, ω(α|A) = ω(α) = k = ω(β)`(v, w). Pelo Teorema A.15, temos

ξ(v) = ξ(w)`(v, w). Como estamos assumindo que β é uma gauge minimal, que é,

ω(β) = ξ(w), temos

ω(α|A) = ω(β)`(v, w) = ξ(w)`(v, w) = ξ(v),

donde concluímos que α|A é uma v-gauge minimal em A, como queríamos.

O resultado seguinte é a recíproca do Teorema 5.17 para o caso em que a

valorização do centro tem posto nito.

Corolário 5.34. Seja F um corpo com uma valorização de posto nito v. Seja

A uma F -álgebra central simples. Suponhamos v seja sem defeito em A. Seja

B1, . . . , Bn uma família de anéis de valorização de Dubrovin de A, com Z(Bi) = V ,

tendo a IP e tal que B =⋂ni=1Bi é integral sobre V . Então existe uma v-gauge

minimal α em A tal que Rα =⋂ni=1Bi.


Demonstração: Pelo Teorema 5.22 existe uma v-gauge minimal β em A. Podemos

aplicar o Teorema 5.17 com a gauge β e obter que o anel da gauge Rβ =⋂ξ(v)i=1 Ri,

onde R1, . . . , Rξ é uma família de anéis de valorização de Dubrovin de A com

Z(Bi) = V e tendo a IP. Pelo Teorema da Conjugação (Teorema A.8), B e Rα

são anéis conjugado, isto é, existe q ∈ A× tal que B = qRβq−1. A composição de

β com o automorsmo interno ıq : A → A denido por x 7→ q−1xq, nos dá uma

v-gauge minimal α = β ıq em A tal que Rα = qRβq−1 = B.


.

Apêndice A

Anéis de valorização de

Dubrovin

A.1. A propriedade da interseção

Nesta seção estudaremos a intersecção de um número nito de anéis de valori-

zação de Dubrovin, que satisfazem uma condição introduzida por Grater em [G] e

chamada propriedade da interseção. Tudo que aparece nesta seção foi extraído do

livro de Marubayashi, Miyamoto e Ueda [MMU], que é uma referência completa

sobre a Teoria de anéis de valorizações de Dubrovin.

Seja A uma álgebra simples de dimensão nita sobre seu centro F e sejam

B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A. Seja R =⋂ki=1Bi. Dizemos

que B1, . . . , Bk tem a Propriedade da Intersecção (IP) se J(S)∩R é um ideal primo

de R, para cada anel S contendo Bi, para algum i = 1, . . . , k.

A propriedade da interseção foi denida originalmente por Gräter em [G].

Gräter deniu a propriedade da interseção em termos de três condições que incluía

a condição utilizada acima (cf. [MMU, pg. 89]). Mais recentemente, Y. Zhao

mostrou em [Z] que a condição que usamos acima implica as outras duas.

Note que um único anel de valorização de Dubrovin B tem a IP, pois se S é

um subanel de A contendo B, então temos pela propriedade (1.11) que J(S) é um

ideal primo de B.

A seguir listamos alguns resultados que fornecem condições para que a Proprie-

dade da Interseção seja detectada. Estes resultados serão utilizados com frequência

ao longo do texto. Para demonstrações, ver [MMU, §16 e §17]. Para o restante

71

72 A. Anéis de valorização de Dubrovin

desta seção, A denota sempre uma álgebra simples de dimensão nita sobre seu

centro F e B1, . . . , Bk é uma família de anéis de valorização de Dubrovin de A.

Proposição A.1. Seja Vi = Z(Bi), para i = 1, . . . , k. Se V1, . . . , Vk são dois a

dois independentes em F , então B1, . . . , Bk tem a IP.

Proposição A.2. Sejam S,B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A com

Bi ⊆ S, para i = 1, . . . , k. Seja Bi = Bi/J(S), para i = 1, . . . , k. Então B1, . . . , Bk

tem a IP se e somente se B1, . . . , Bk tem a IP.

Teorema A.3. Sejam B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A.

(i) Sejam S e S′ os anéis de valorização de Dubrovin de A com Bi ⊆ S,

Bj ⊆ S′ para algum i, j com 1 ≤ i, j ≤ k. Se B1, . . . , Bk tem a IP então

S e S′ tem a IP.

(ii) Se Bi e Bj tem a IP para todo i, j, com 1 ≤ i, j ≤ k e i 6= j, então

B1, . . . , Bk tem a IP.

(iii) Seja B′ um anel de valorização de Dubrovin de A contido em B1 e supo-

nhamos que B1, Bi são incomparáveis para cada i = 2, . . . , k. Se B1, . . . , Bk

tem a IP, então B′, B2, . . . , Bk tem a IP.

Corolário A.4. Sejam B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A, dois a

dois incomparáveis, e seja Bij o menor subanel de A contendo Bi e Bj. Sejam

Bi = Bi/J(Bij) e Bj = Bj/J(Bij). Então B1, . . . , Bk tem a IP se e somente se

Z(Bi) e Z(Bj) são independentes em Z(Bij) para todo i 6= j.

O diagrama abaixo ajuda a visualizarmos os anéis considerados no Corolário

A.4.

(A.5) A Bi , Bj ⊆ Bij

Bij Bi , Bj

F V ⊆ W Z(Bij) Z(Bi) , Z(Bj)

W V

O seguinte resultado fornece um critério para a IP fácil de ser vericado no

caso em que os anéis de valorização de Dubrovin são integrais sobre o centro.


Proposição A.6. Sejam B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A, dois

a dois incomparáveis, e seja B = ∩ki=1Bi. Suponhamos que Bi é integral sobre Vi

para todo i. Então as seguintes armações são equivalentes:

(i) Z(Bi) e Z(Bj) são independentes em Z(Bij) para todo i 6= j.

(ii) BiVij = BjVij = Bij.

(iii) Bi = BVi.

onde Vij (resp. Bij) denota o menor sobreanel de Vi e Vj (resp. Bi e Bj).

A.2. O número da extensão

Nesta seção vamos denir o número da extensão de um anel de valorização

para uma álgebra central simples. Para isso, precisamos de dois teorema funda-

mentais obtidos por Gräter, os quais estabelecem a existência e unicidade (a menos

de conjugação) de uma família de anéis de valorização de Dubrovin em um anel

artiniano simples, tendo a Propriedade da Interseção. Para demonstrações, ver

[MMU, Thm. 16.14 e Thm. 16.15].

Teorema A.7 (Teorema da Existência). Seja A um anel artiniano simples com

dimensão nita sobre seu centro F . Suponhamos que V1, . . . , Vn são anéis de va-

lorização de F , dois a dois incomparáveis, e seja D =⋂ni=1 Vi.

(i) Sejam B1, . . . , Bk anéis de valorização de Dubrovin de A tendo a IP e seja

B =⋂ki=1Bi. Suponhamos que Z(B) = V1 ∩ · · · ∩ V`, para algum ` com

1 ≤ ` ≤ n. Então existem anéis de valorização de Dubrovin Bk+1, . . . , Bm

de A tais que B1, . . . , Bm tem a IP, e se B′ =⋂mi=1Bi, então Z(B′) = D

e B′ é integral sobre D.

(ii) Sejam B1, . . . , Bk (resp. B′1, . . . , B′m) anéis de valorização de Dubrovin

de A, dois a dois incomparáveis, tendo a IP, e sejam B =⋂ki=1Bi e

B′ =⋂mi=1B

′i. Se Z(B) = Z(B′) = D e B′ e B são ambos integrais sobre

D, então k = m.

Teorema A.8 (Teorema da Conjugação). Seja B (resp. B′) a interseção de

um número nito de anéis de valorização de Dubrovin de A tendo a IP. Se Z(B) =

Z(B′) = D e B e B′ são ambos integrais sobre D, então B e B′ são conjugados,

que é, B = qB′q−1, para algum q ∈ A× .

Seja A um anel artiniano simples com dimensão nita sobre seu centro F e

seja V um anel de valorização de F . Pela parte (i) do Teorema A.7, existe uma


família de anéis de valorização de Dubrovin B1, . . . , Bn de A tendo a IP, tais que

Z(Bi) = V e B =⋂ni=1Bi é integral sobre V . O inteiro n é chamado o número da

extensão de V para A. Pela parte (ii) do Teorema A.7, o número da extensão está

bem denido.

Existe uma outra denição para o número da extensão introduzida por Wadsworth

em [W2]. Seja B um anel de valorização de Dubrovin de uma álgebra simples A de

dimensão nita sobre seu centro F e seja V = B ∩F = Z(B). Como B = B/J(B)

é um anel artiniano simples, podemos denir

(A.9) tB = tamanho matricial de B,

isto é, B ∼= MtB (E), para algum anel de divisão E. Agora seja F h a henselização

de F com respeito ao anel de valorização V . Denimos

(A.10) nB = tamanho matricial de A⊗F F h,

isto é, A ⊗F F h ∼= MnB (Dh), onde Dh é um anel de divisão com centro F h.

Acontece que nB/tB é sempre um inteiro positivo e coincide com o número da

extensão de V para A denido acima.

Note que nB só depende da álgebra A e da valorização do centro. O mesmo

acontece com tB, uma vez que dois anéis de Dubrovin sobre o mesmo centro são

sempre conjugados, logo isomorfos. Então escreveremos ξ(V,A) para denotar o

número da extensão de V para A, ou simplesmente ξ(V ), quando a álgebra A

envolvida estiver xada.

Para sermos mais precisos, ξ(V,A) depende apenas de V e da classe de Brauer

equivalência de A. De fato, se B é um anel de valorização de Dubrovin de A, com

centro V , então S = Mk(B) é anel de valorização de Dubrovin de Mk(A) com

centro V . Como

Mk(A)⊗F F h ∼= Mk(A⊗F F h),

temos que nS = k · nB. Por outro lado,

S = Mk(B)/J(Mk(B)) ∼= Mk(B/J(B)),

o que implica tS = k · tB. Portanto, ξ(V,Mk(A)) = ξ(V,A).

No que segue, vamos introduzir o conceito de posto degrau e ideal degrau e

estudar a sua relação com o número da extensão descrito acima. Esses conceitos

apareceram originalmente em [W2], que usamos como referência aqui.

Seja (F, V ) um corpo valorizado e seja A uma F -álgebra central simples. Seja

Pii∈I o conjunto linearmente ordenando dos ideais primos de V . Para cada i ∈ I,


seja (Fi, Vi) a henselização de (F, VPi) e seja A⊗F Fi ∼= Mni(Di), onde Di é uma Fi-

álgebra de divisão central. Como [A⊗F Fi : Fi] = [A : F ], temos que ni ≤ [A : F ].

Além disso, se Pi ⊆ Pj , então VPi ⊇ VPi . Então por (B.5), podemos escolher

Fi ⊆ Fj , e assim ni|nj . Então, se n ∈ ni | i ∈ I, então existe um ideal primo Pj

de V maximal tal que nj = n. Para vericar isso, seja In = i ∈ I | ni = n e sejaPj =

⋃i∈In Pi, que é um ideal primo de V pois os Pi são linearmente ordenados.

Como Fj é o limite direto dos Fi, com i ∈ In, concluímo que nj = n. O ideal

primo Pj é dito um ideal degrau de V com respeito a álgebra A. Note que Pj é um

ideal degrau se e somente se para cada Ps ! Pj temos ns > nj . Denotamos por

j(V,A) o número de ideais degrau. j(V,A) é chamado de posto degrau de V com

respeito a A. Note que o posto degrau é sempre nito pois podemos ter apenas

um número nito de ni ≤ [A : F ] distintos. Isso torna o posto degrau muito

útil para argumentos indutivos, principalmente quando o posto da valorização é

innito. Seja B um anel de valorização de Dubrovin de A com Z(B) = V . Como

existe uma correspondência entre os ideais primos de B e os ideais primos de V

(cf. [MMU, Thm. 7.8]), dizemos que Q é um ideal degrau de B se Q ∩ V é ideal

degrau de V com respeito a A.

O resultado seguinte estabelece que os anéis de valorização de Dubrovin cujo

centro tem posto degrau igual a 1 são sempre integrais. Para uma demonstração

ver [MMU, Thm. 11.5].

Teorema A.11 (Wadsworth). Seja A uma F -álgebra central simples. Seja R um

anel de valorização de Dubrovin de A e seja V = Z(A). Suponhamos que j(V,A) =

1. Então R é integral sobre V .

No que segue, vamos relacionar os ideais degrau com o número da extensão

introduzido na Seção A.2. Para isso, precisemos xar alguma notação:

(A.12) Seja B um anel de valorização de Dubrovin de A tal que Z(B) = V . Seja

S um subanel de A contendo B. Então S é um anel de valorização de Dubrovin de

A e W = Z(S) é um anel de valorização de F contendo V . Seja B = B/J(S), que

é um anel de valorização de Dubrovin de S = S/J(S). Seja V = V/J(W ), que é

um anel de valorização de W = W/J(W ).

Nas condições de (A.12), denimos

(A.13) `(V,W ) = o número de extensões de V para Z(S).


Como dois anéis de valorização de Dubrovin sobre o mesmo centro são sempre

conjugados, `(V,W ) depende apenas dos anéis de valorização V e W e da álgebra

A.

Teorema A.14 (Wadsworth). Sob as condições de (A.12), sejam Q1 Q2 · · · Qk um conjunto nito de ideais primos de V que contém todos os ideais

degrau. Seja Vi = VQi e `i = `(VQi , VQi−1). Então

ξ(V,A) = `2`3 · · · `k.

Teorema A.15 (Wadsworth). Sob as hipóteses de (A.12), temos

(i) tB = tB≥ tS;

(ii) nB = nB

(nS/tS)`(V,W );

(iii) ξ(V ) = ξ(W )(nB/tB

)`(V,W ).

Corolário A.16 (Wadsworth). Sob as hipóteses de (A.12), seja Q um ideal primo

de B contendo J(S). Se Q/J(S) é um ideal degrau de B, então Q é um ideal degrau

de B.

Para concluir esta seção, temos dois resultados sobre sobreanéis de anéis de

valorização de Dubrovin que são integrais. Esses resultados serão úteis em argu-

mentos indutivos. Para demonstrações da Proposição A.17 e Proposição A.18 ver

[MMU, Prop. 12.4] e [MMU, Cor. 16.6], respectivamente.

Proposição A.17. Seja R um anel de valorização de Dubrovin de A com V =

Z(R), tal que R não é integral sobre V . Então existe um anel de valorização de

Dubrovin S de A contendo R, tal que S é integral sobre W = Z(S) e é minimal

com essa propriedade. Além disso, temos

(i) W Z(S).

(ii) V tem pelo menos duas extensões para Z(S), isto é, `(V,W ) ≥ 2.

Proposição A.18. Sejam R1, . . . , Rn anéis de valorização de Dubrovin de A, dois

a dois incomparáveis e tendo a IP, tais que V = Z(∩Ri) é um anel de valorização

de F . Seja Si um anel de valorização de Dubrovin de A contendo Ri, integral

sobre Wi = Z(Si) e minimal com essa propriedade, para todo 1 ≤ i ≤ n. Então

S1 = · · · = Sn.

A.3. Teorema da aproximação de Morandi 77

A.3. Teorema da aproximação de Morandi

Nesta seção apresentamos o Teorema da aproximação para anéis de valorização

de Dubrovin obtido por Morandi em [M3]. Morandi estava trabalhando indepen-

dentemente de Gräter, tentando obter para anéis de valorização de Dubrovin uma

versão do Teorema da aproximação baseada na versão mais geral do Teorema da

aproximação no caso comutativo, que foi obtido por Ribenboim em [R, Théorème

5]. A condição sobre a família de anéis de Dubrovin utilizada por Morandi para o

estabelecimento do teorema mostrou-se equivalente a Propriedade da Intersecção

introduzida por Gräter (Compare o enunciado abaixo com [M3, Thm. 2.3] e o

Corolário A.4 acima).

Teorema A.19. (Teorema da aproximação de Morandi) Sejam B1, . . . , Bk

anéis de valorização de Dubrovin de A, dois a dois incomparáveis e tendo a IP. Seja

Bij o menor subanel de A contendo Bi e Bj. Assumimos que para todo 1 ≤ i ≤ kexiste um ideal à direita Ii de Bi para os quais vale IiBij = IjBij para todo i 6= j.

Sejam a1, . . . , ak ∈ A tais que ai − aj ∈ IiBij para todo i 6= j. Então existe x ∈ Atal que x− ai ∈ Ii para todo i.

Para uma demonstração do Teorema A.19, ver [MMU, Thm. 15.2].


.

Apêndice B

Henselização e produto

tensorial

Reunimos neste apêndice algumas propriedades importantes sobre henselização

que são utilizadas com frequência ao longo do texto.

Um corpo valorizado (F, V ) é dito henseliano quando vale o Lema de Hensel,

isto é, para todo polinômio mônico f ∈ V [x], tal que sua imagem f ∈ Fv[x]

tem uma fatoração f = gh, com g e h relativamente primos em Fv[x], existem

g1, h1 ∈ V [x] tais que f = g1h1, g = g1, h = h1 e deg(g1) = deg(g). Neste caso, a

valorização v é dita henseliana. A seguir temos uma útil caracterização de corpos

henselianos.

Proposição B.1 ([EP], Thm. 4.1.3). Um corpo valorizado (F, V ) é henseliano se

e somente se V tem prolongamento único para toda extensão algébrica L de F .

O resultado seguinte estabelece que a composição de valorizações tem um bom

comportamento com relação a propriedade de ser henseliano.

Proposição B.2 ([EP], Cor. 4.1.4). Seja (F, V ) um corpo valorizado e W um

anel de valorização de F contendo V e U = V/J(W ) o anel de valorização quo-

ciente em Fw. Então (F, V ) é henseliano se e somente se (F,W ) e (F

w, U) são

ambos henselianos.

A henselização de um corpo valorizado pode ser denida em termos de uma

propriedade universal: Uma henselização de um corpo valorizado (F, V ) é uma

extensão henseliana (F h, V h) de (F, V ), tal que para toda extensão henseliana

79

80 B. Henselização e produto tensorial

(F ′, V ′) de (F, V ), existe um único F -mergulho ϕ : (F h, V h)→ (F ′, V ′), isto é, ϕ

é um homomorsmo injetivo tal que ϕ(V h) = V ′ e ϕ|F = id.

(B.3) (F hv , Vh) ϕ // (F ′, V ′)

(F, V )

Como estabelecido em [E1, (17.10)], todo corpo valorizado tem uma única

henselização a menos de F -isomorsmo. Dessa forma, faz sentido escrevermos que

(F h, V h) é a henselização de (F, V ).

Proposição B.4 ([E1], Thm. 17.19). A henselização (F h, V h) é uma extensão

imediata de (F, V ), isto é, F h = F e Γv = Γvh.

Seja (F, V ) um corpo valorizado e W um anel de valorização de F contendo

V . Seja (F hv , Vh) (resp. (F hw,W

h)) a henselização de (F, V ) (resp. (F,W )). Seja

W ′ = WV h, que é um anel de valorização de F hv contendo V h. Então, pela

Proposição B.2, temos que (F hv ,W′) é uma extensão henseliana de (F,W ). Segue

da propriedade universal da henselização que existe um mergulho ϕ : (F hw,Wh)→

(F hv ,W′). Assim, podemos identicar (F hw,W

h) com sua cópia isomorfa dentro de

(F hv ,W′). Desta forma, podemos ver (F hv ,W

′) como uma extensão de (F hw,Wh).

Seja V ′ = V h ∩ F hw ⊆ W ′ ∩ F hw = W h. Seja V ′ = V ′/J(W h), que é um anel

de valorização do corpo de resíduos F hwwh

= Fw. Da mesma forma, seja V h =

V h/J(W ′) ⊆ F hvw′

.

(B.5) (F hv , Vh) ⊆ (F hv ,W

′)

(F hw, V′) ⊆ (F hw,W

h), (F hvw′

, V h)

(F, V ) ⊆ (F,W ) (Fw, V ′)

Proposição B.6 ([M1], Thm. 2). Sob as hipóteses do parágrafo acima, temos que

(F hv ,W′) é uma extensão inercial de (F hw,W

h), isto é, F hvw′

é uma extensão se-

parável de Fw

e para todo corpo K tal que F hw ⊆ K ⊆ F hv e [K : F hw] < ∞,

temos [Kw′′

: Fw

] = [K : F hw], onde W ′′ = W ′ ∩K. Além disso, (F hvw′

, V h) é a

henselização de (Fw, V ′).

B. Henselização e produto tensorial 81

É bem conhecido que se L/F é uma extensão nita de corpos, v é uma valori-

zação discreta em F e v1, . . . , vk são todas as extensões distintas de v em L, então

existe um isomorsmo L⊗F F →∏ki=1 Li, onde F (resp. Li) é o completamento de

F (resp. L) com respeito a v (resp. vi) (ver [B, Chapter VI, 8, no. 6, Prop. 11]).

O teorema a seguir é um análogo ao resultado mencionado acima, que vale para

valorizações de posto arbitrário, trocando-se o completamento pela henselização.

No caso em que a extensão nita é separável, este resultado está implícito em [E1,

Thm. 17.17]. A demonstração do caso geral, que apresentamos aqui, foi obtida

por Wadsworth.

Teorema B.7. Seja (F, v) um corpo valorizado e seja L uma extensão nita de

F . Sejam y1, . . . , y` todas as extensões de v para L. Seja F h a henselização de F

com respeito a v. Então, L⊗F F h ∼=∏ri=1 Li, onde cada Li é a henselização de L

com respeito a yi.

Para demonstrar a Proposição precisaremos do seguinte lema técnico.

Lema B.8. Seja N/F uma extensão galoisiana de corpos (possivelmente de grau

innito) e seja o grupo de Galois G = G(N/F ). Seja L e K corpos intermediários

com [L : F ] < ∞. Seja H = G(N/L) ≤ G e Z = G(N/K) ≤ G. Suponhamos

que τ1, . . . , τ` representantes das Z − H classes laterais distintas em G, isto é,

G =⋃`i=1 ZτiH é uma união disjunta. Então L⊗F K ∼=

∏`i=1 τi(L)K.

Demonstração: Como L é separável sobre F , temos que L = F (a) para algum

a ∈ L. Seja f o polinômio minimal de a sobre F . Então f se fatora em N [X]

como um produto de polinômios mônicos f(X) = (X − a1) · · · (X − an), com os

ai todos distintos. Podemos supor que a1 = a. Seja A = a1, . . . , an. Seja f =

g1 · · · g` a fatoração em polinômios mônicos irredutíveis de f em K[X] e seja bi ∈ Aalguma raiz de gi em N para cada 1 ≤ i ≤ `. Enquanto G age transitivamente

em A, temos que A se decompõe em ` órbitas disjuntas A = B1 ∪ · · · ∪ B`, ondeBi = Zbi = raízes de gi em N. Para cada i, escolha τi ∈ G com τi(a) = bi.

Então ZτiH = σ ∈ G | σ(a) ∈ Bi, pois H = σ ∈ G | σ(a) = a. Então,

Zτ1H, . . . , Zτ`H são todos as Z −H classes laterais distintas em G. Como gi e gj

são primos entre si, para i 6= j, temos pelo Teorema chinês dos restos

L⊗F K = F [X]/(f)⊗F K ∼= K[X]/fK[X]

∼= K[X]/(g1) · · · (g`) ∼= K[X]/(g1)× · · · ×K[X]/(g`)

∼= K(b1)× · · · ×K(b`) ∼= τ1(L)K × · · · × τ`(L)K.


Demonstração da Proposição(caso separável): Suponhamos primeiro que L é uma

extensão separável de F . Seja F s o fecho separável de F e seja G = G(F s/F ).

Fixe alguma extensão w de v em F s e seja Z = σ ∈ G | σ w = w. Podemos

supor que Z = G(F s/F h). Seja Ω o conjunto das extensões de v para F s. Temos

que G age transitivamente à direita em Ω. Para cada i = 1, . . . , `, seja Ωi = y ∈Ω | y|L = yi. Seja H = G(F s/L). Note Ω1, . . . ,Ω` são as distintas H-órbitas em

Ω. Para cada 1 ≤ i ≤ ` escolha τi ∈ G tal que w τi|L = yi. Seque que

σ ∈ G | w σ|L = yi = σ ∈ G | w σ ∈ Ωi = ZτiH.

Então G se escreve como uma união disjunta G =⋃`i=1 ZτiH de Z − H classes

laterais. Podemos então aplicar o Lema B.8 com N = F s e K = F h. Então

L⊗F F h ∼=∏i=1

τi(L)F h ∼=∏i=1

Lτ−1i (F h).

Note que o número de fatores diretos de L ⊗F F h é o número de Z − H classes

laterais, que neste caso é o número de extensões de v para L. Agora note que

G(F s/Lτ−1i (F h)) = G(F s/L) ∩G(F s/τ−1

i (F h)) = H ∩ τ−1i Zτi.

Como Z é o estabilizador de w em G, temos que τ−1i Zτi é o estabilizador de w τi

em G. Logo H ∩ τ−1i Zτi é o grupo de decomposição de w τi sobre yi. Assim,

Lτ−1i (F h) é a henselização de w τi sobre yi. Isso completa a prova do caso em

que L é separável sobre F .

Para demonstrarmos o caso em que L é não é separável sobre F , precisaremos

do seguinte lema.

Lema B.9. Seja (F h, vh) uma henselização do corpo valorizado (F, v). Seja K

uma extensão de F dentro do fecho algébrico de F h e seja w a única extensão de

vh para K · F h. Então (K · F h, w) é uma henselização de (K,w|K).

Demonstração: A valorização w em K ·F h é henseliana pois K ·F h é uma exten-

são algébrica de F h e vh é henseliana. Seja (Kh, wh) uma henselização (K,w|K).

Pela propriedade universal acima existe um mergulho (Kh, wh) → (K · F h, w).

Então podemos assumir que K ⊆ Kh ⊆ K · F h e wh = w|Kh . Novamente pela

propriedade universal, existe um mergulho (F h, vh) → (Kh, wh), donde obtemos

um mergulho F h ·K → Kh. Como Kh ⊆ K · F h, concluímos que Kh = K · F h e

B. Henselização e produto tensorial 83

w = wh. Portanto, (K · F h, w) é uma henselização de (K,w|K).

Demonstração da Proposição(caso não separável): Suponhamos agora que L não

é separável sobre F e seja S o fecho separável de F em L. Seja ui = yi|S , para1 ≤ i ≤ `. Como L é puramente inseparável sobre S, temos que as valorizações

u1, . . . , u` são todas distintas e estas são todas as extensões de v para S. Podemos

então aplicar o caso separável com S no lugar de L. Então temos S ⊗F F h ∼=∏`i=1Ei, onde cada (Ei, u

hi ) é a henselização de (S, ui). Segue que

L⊗F F h ∼= L⊗S (S ⊗F F h) ∼= L⊗S (∏i=1

Ei) ∼= (∏i=1

L⊗S Ei).

Como L é puramente inseparável sobre S, enquanto que Ei é separável sobre S,

estes corpos são linearmente disjuntos. Logo L⊗S Ei é um corpo, que é isomorfo

a L · Ei. Seja wi a única extensão de uhi para L ⊗S Ei. Como wi|S = ui então

wi|L = yi. Concluímos então pelo Lema B.9 que (L⊗S Ei, wi) é a henselização de

(L, yi) para 1 ≤ i ≤ `.


.

Apêndice C

Um teorema sobre a

estrutura de gauges em

álgebras simples

O teorema seguinte é uma generalização do Teorema 4.5 que vale para valo-

rizações de posto arbitrário. A demonstração que incluímos aqui foi obtida por

Wadsworth.

Teorema C.1 (Wadsworth). Seja (F, v) é um corpo valorizado e A é uma F -

álgebra simples de dimensão nita. Sejam v1, . . . , vr todas as extensões distintas

de v para K = Z(A). Então existem vi-gauges αi em A para i = 1, . . . , r tais que

(C.2) α(a) = min(α1(a), . . . , αr(a)

)para todo a ∈ A.

Além disso,

(C.3) grα(A) ∼=g grα1(A)× · · · × grαr(A).

Demonstração: Seja (F h, vh) a henselização de (F, v) e seja

B = A⊗F F h e L = Z(B) = K ⊗F F h.

Pelo Teorema B.7, L é um produto direto de uma quantidade nita de corpos.

Seja e1, . . . , er os idempotentes primitivos de de L, então

L = L1 × · · · × Lr, onde Li = eiL,

85

86 C. Um teorema sobre a estrutura de gauges em álgebras simples

e cada Li é um corpo. Os Li são indexados pelos vi. Consequentemente, B é um

produto de álgebras simples

B = B1 × · · · ×Br, onde Bi = eiB,

Então, cada Bi é uma Li-álgebra central simples. Vamos identicar K,A,F h com

suas cópias isomorfas K⊗1, A⊗1, 1⊗F h em B. Mas não vamos identicá-los com

suas cópias isomorfas eiK, eiA, eiF h em Bi. Para cada i temos inclusões canônicas

pi : A → Bi, a 7→ ei(a⊗ 1) e qi : F h → Bi, c 7→ ei(1⊗ c).

Então, Bi tem subálgebras pi(A), pi(K), e Li, com

Bi = pi(A)⊗pi(K) Li ∼= A⊗K Li, assim, [Bi : Li] = [A : K].

Cada corpo Li é um compositum de corpos, Li = pi(K) ·qi(F h). A composição

vh q−1i é uma valorização henseliana em qi(F

h), que se estende unicamente para

uma valorização henseliana wi em Li. A restrição de wi para K dá uma valorização

wi pi que estende v de F . As valorizações wi p1, . . . , wr pr são todas distintas

e são todas as extensões de v para K. Desta forma, após renumerarmos os ei se

necessário, podemos assumir wi pi = vi, para i = 1, . . . , r, isto é,

(C.4) vi(d) = wi(ei(d⊗ 1)), para todo d ∈ K.

O Teorema B.7 também nos dá que (Li, wi) é a henselização de (K, vi).

Seja β = α⊗ vh, que é uma vh-gauge em B, satisfazendo

(C.5) grβ(B) ∼=g grα(A)⊗gr(F ) gr(F h) ∼=g grα(A),

pela Proposição 3.33. Seja βi = β|Bi , que é uma vh-gauge em Bi através do

mergulho qi : F h → Bi. Pela Proposição 4.1,

(C.6) β(b) = min1≤i≤r

(βi(eib)), para todo b ∈ B,

e

(C.7) grβ(A) = grβ1(B1)× · · · × grβr(Br).

Como wi é a única extensão da valorização henseliana vh para Li, temos pela

Proposição 3.38 que cada βi é uma wi-gauge.

Dena as v-funções valorização α1, . . . , αr em A por

αi(a) = β(pi(a)) = βi(ei(a⊗ 1)).

C. Um teorema sobre a estrutura de gauges em álgebras simples 87

Então, cada αi é multiplicativa pois βi é multiplicativa e para todo a ∈ A,

(C.8) α(a) = β(a⊗ 1) = min1≤i≤r

(βi(ei(a⊗ 1))) = min1≤i≤r

(αi(a)).

Além disso, como βi é uma wi-função valorização, segue que para todo c ∈ K e

a ∈ A,

αi(ca) = βi(ei(ca⊗ 1)) = βi(ei(c⊗ 1) · ei(a⊗ 1))

= wi(ei(c⊗ 1)) + βi(ei(a⊗ 1)) = vi(c) + αi(a).

Logo αi é uma vi-função valorização em A. O seguinte diagrama mostra as álgebras

relacionadas a Bi e as funções valorização associadas.

(C.9) Bi, βi

A,αi

-

pi;;

Li, wi

K, vi

,

pi;;

F h, vh2 R

qidd

Agora, para todo γ ∈ Γ a denição dos βi e (C.6) e (C.8) mostram que temos um

diagrama comutativo para cada i:

(C.10)

Aα≥γid−−−−→ Aαi≥γy y

Bβ≥γ

ei−−−−→ Bβii,≥γ .

A aplicação vertical da direita é a 7→ ei(a ⊗ 1). Também existe um diagrama

comutativo correspondente com > γ no lugar de ≥ γ. Estes dois diagramas juntos

dão um diagrama comutativo de gr(F ) álgebras:

(C.11)

grα(A) −−−−→r∏i=1

grαi(A)

∼=y y

grβ(B)∼=−−−−→

r∏i=1

grβi(Bi).

A aplicação superior é injetiva por (C.8). A aplicação vertical da esquerda é o

isomorsmo de (C.5). A aplicação vertical da direita é injetiva, pois para cada i, a

denição de αi mostra que grαi(A)→ grβi(Bi) é injetiva. A aplicação de baixo é o

isomorsmo de (C.7). Consequentemente, todas as aplicações do diagrama devem

ser isomorsmos. Assim, para cada i, grαi(A) ∼=g grβi(Bi), que é semi-simples pois

88 C. Um teorema sobre a estrutura de gauges em álgebras simples

βi é uma gauge. Como (Li, v′i) (resp. (F h, vh)) é uma extensão imediata de (K, vi)

(resp. (F, v)), temos

[Li : F h] ≥ [grwi(Li) : grvh(F h)] = [grvi(K) : grv(F )].

Assim, como βi é uma vh-norma,

[grαi(A) : grvi(K)][grvi(K) : grv(F )] = [grαi(A) : grv(F )]

= [grβi(Bi) : grvh(F h)] = [Bi : F h]

= [Bi : Li][Li : F h] = [A : K][Li : F h]

≥ [A : K][grvi(K) : grv(F )].

Assim, [grαi(A) : grvi(K)] ≥ [A : K]. Como a desigualdade contrária é sempre ver-

dade para toda função valorização, temos que [grαi(A) : grvi(K)] = [A : K]. Logo

αi é uma vi-norma em A. Como notamos anteriormente, grαi(A) é semi-simples.

Portanto, αi é uma vi-gauge.

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Índice Remissivo

V -ordem, 33

Álgebra

graduada semi-simples, 18

de divisão graduada., 15

de quatérnios graduada, 15

graduada, 15

graduada simples, 15

Anel

da gauge, 32

de divisão graduado, 12

graduado, 11

graduado associado, 23

semi-local, 33

Anel de valorização

de Dubrovin, 5

invariante, 1

total, 3

Base de decomposição, 24

Componentes homogêneas, 11

Conjunto de graduação, 11

Conjunto de Ore, 5

Corpo

de frações, 21

graduado, 12

Defeito, 47, 49

Desigualdade fundamental, 46

Elemento homogêneo, 11

Espaço vetorial

graduado, 14

Estabilizador, 6

Extensão

graduada de corpos, 21

graduada mansa, 22

Função valorização, 23

de Morandi, 29

menos na, 40

multiplicativa, 24

Gauge, 7

minimal, 62

Grupo de valores, 6

Ideal

degrau, 74, 75

homogêneo, 13

Módulo

graduado, 13

Número da extensão, 74

Norma, 24

Ordem, 33

Posto

degrau, 74, 75

93

94 Índice Remissivo

Propriedade da intersecção, 8, 71

Radical de Jacobson, 32

Subanel

graduado, 13

Teorema

da Aproximação de Morandi, 77

da Conjugação, 73

da Existência, 73

de Ostrowski, 47

de Wedderburn, 18

Valorização

menos na, 39

sem defeito, 4750

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