agente federal raciocinio logico kidricki aula1!05!08-09 parte1 finalizado ead

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

AGENTE E ESCRIVÃO DE POLÍCIA FEDERAL/ 2009

SUMÁRIO

1. ESTRUTURAS LÓGICAS....................................................................................... 2 2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO...........................................................................9 3. DIAGRAMAS LÓGICOS....................................................................................... 16 4. RACIOCÍNIO LÓGICO INTUITIVO.................................................................. 21 5. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM............................................................................. 27 6. PROBABILIDADES.................................................................................................36 7. PROVA AGENTE DE POLÍCIA FEDERAL-2004...............................................52

Raciocínio Lógico Quantitativo Prof. Cáudio da Cunha Kidricki

2

1. ESTRUTURAS LÓGICAS

A lógica matemática, também chamada de lógica simbólica ou lógica formal, é baseada em dois princípios:

PROPOSIÇÃO E SENTENÇA ABERTA De acordo com os princípios dados, podemos dizer que uma proposição em lógica, é uma afirmação que admite um único valor lógico definido: verdadeiro(V) ou falso(F). Exemplos: a) Porto Alegre é uma cidade brasileira (V) . b) A maçã é uma fruta (V) . c) 2+1= 5 (F) . Não são consideradas proposições, por não ter um valor lógico definido, por exemplo: a) Que horror ! b) Será que chove hoje? c) Ele é um ator. d) x é um número primo.

Sentenças que apresentam um sujeito indeterminado ou uma variável, como os exemplos c e d acima, são chamadas de sentenças abertas, funções proposicionais ou predicados, com uma variável. Ao atribuirmos um valor para a variável, transformamos a sentença aberta em uma proposição (que seria uma “sentença fechada”). Outra maneira de “fechar” uma sentença aberta é utilizar os quantificadores, como veremos adiante. Notação: Nos concursos públicos, as proposições são representadas por letras minúsculas p, q, r, s,... ou por letras maiúsculas P, Q, R, S, ..., dependendo da banca examinadora. As sentenças abertas com uma variável são representadas por p(x), q(x), r(x),... ou por P(x), Q(x), R(x), ..., etc. CONETIVOS Os conetivos são palavras que ligam proposições simples, originando proposições compostas. Utilizaremos os cinco conetivos dados a seguir:

1º) Princípio da Não-Contradição “Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa”. 2º) Princípio de Terceiro Excluído “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira possibilidade”.

e ( ) : conjunção; ou ( ) : disjunção não exclusiva ; ou...ou ( ) : disjunção exclusiva ; se...então ( ) : condicional ; se e somente se ( ) : bicondicional.


3

Exemplos 1) Maçã é uma fruta e 1+2=4 2) 2>1 ou 3<4 3) Ou 2 é par ou 2 é ímpar 4) Se 2+2=5, então 3 = 9 5) Paris é capital da França se e somente se Bagé é um estado. Observe que o conetivo “ou” pode ter dois significados: não exclusivo e exclusivo. No exemplo (b) temos o “ou” com significado não exclusivo (ou vale p, ou vale q, ou valem ambos) e no exemplo (c), com significado exclusivo (ou vale p, ou vale q, mas não ambos). No português, o significado do “ou” é dado, em geral, pelo contexto. A partir do significado de cada conetivo, estabelecemos as regras dadas a seguir, que determinam o valor lógico de proposições compostas. Essas regras são a base para a construção das estruturas lógicas e, o seu uso, nos assegura uma linguagem mais precisa para nos expressarmos.

Resumimos essas regras no quadro ( tabela-verdade ) abaixo

p q p q p q p q p q p q

V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V

Além dos conetivos temos o “modificador”, indicado pelo símbolo ~ (ou ). O modificador é usado para negar uma proposição, trocando o seu valor lógico. Ou seja: se p é verdadeira, ~p é falsa ; se p é falsa, ~p é verdadeira. Exemplos 1) 2 é um número par e 2 é primo é uma conjunção V; 2) 3+1=5 ou 1+7=17 é uma disjunção F; 3) ou 4 > 0 ou 4 < 0 é uma disjunção exclusiva V; 4) se 1 > 2, então 3 < 4 é um condicional V; 5) se 6 > 8, então 9 < 8 também é um condicional V; 6) 1+1=3 se e somente se 2+2=5 é um bicondicional V.

EXERCÍCIOS 1) (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. A expressão X+Y é positiva. O valor de 4 + 3 = 7 . Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. ( ) Certo ( ) Errado

“A proposição p q só é verdadeira se as proposições p e q forem ambas verdadeiras”. “A proposição p q só é falsa se as proposições p e q forem ambas falsas”. “A proposição p q só é verdadeira quando uma e somente uma das proposições p e q for verdadeira”. “A proposição p q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa”. “A proposição p q só é verdadeira quando p e q têm valores lógicos iguais”.


4

02. (CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos. ( ) Certo ( ) Errado OBSERVAÇÕES 1ª) Número de linhas de uma tabela-verdade:

Por exemplo: 1) Uma proposição Tabela com 21 = 2 linhas 2) Duas proposições Tabela com 22 = 4 linhas 3) Três proposições Tabela com 23 = 8 linhas, etc. 2ª) O condicional p q corresponde, na linguagem de conjuntos, a A B (A está contido em B) . De fato, quando A B, para todo x, o condicional xA xB é verdadeiro. 3ª) O bicondicional p q significa p q e q p (Temos um condicional “de ida” e um “condicional de volta”). A partir daí, é fácil entender a regra do bicondicional. De fato, de acordo com a regra do “e”, p q será V quando os condicionais de ida e de volta forem ambos V, o que ocorre somente quando p e q têm o mesmo valor lógico: V e V ou F e F. 4ª) Outras maneiras de ler um condicional e um bicondicional: No condicional p q , a proposição p é chamada de antecedente, hipótese, premissa ou ainda condição suficiente (CS) para q . A proposição q é chamada de conseqüente, tese, conclusão ou ainda condição necessária (CN) para p .

No bicondicional p q dizemos que “p é condição necessária e suficiente (CNS) para q” ou também “q é condição necessária e suficiente (CNS) para p”.

5ª) Implicação e Equivalência :

O número de linhas de uma tabela-verdade com n proposições é igual a 2n.

1) Quando o condicional p q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q , dizemos que p implica q e escrevemos p q.

2) Quando o bicondicional p q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q, dizemos que p equivale a q e escrevemos p q.

A B


5

6ª) Um “alerta” sobre o condicional p q :

Exemplo: Decida se é válida ou não a conclusão tirada a seguir. “Se João estudar, será aprovado no concurso. Logo, se João não estudar, não será aprovado no concurso”. A conclusão não é válida (nv). Se João não estudar, João poderá ser aprovado ou não no concurso.

EXERCÍCIOS

03. Considerando as proposições p: 1+1=2 e q: 3+4=5, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) p q b) p q c) pq d) pq e) pq f) ~(p q) g) ~(p q) h) ~(pq) i) ~(pq) j) ~p ~qp l) p ~q~q 04. Em que casos a proposição ~(p e ~q) é falsa? Solução A proposição dada é falsa quando (p e ~q) é V, ou seja, quando p é V e ~q é V, ou ainda, quando p é V e q é falsa.

05. Complete: a) p q é F; q é... b) p q é F; q p é... c) p q é V; q p é... d) p q é V; p q é... e q p é... 06. Dadas as proposições p: 52 , q: 3+4=6, r: 34 e s, qual o valor lógico da proposição (p ou q) e r s ? 07. (VUNESP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) seu esforço é condição suficiente para vencer; b) seu esforço é condição necessária para vencer; c) se você não se esforçar, então não irá vencer; d) você vencerá só se se esforçar; e) mesmo que se esforce, você não vencerá.

Um erro muito comum é concluir que, sendo verdadeiro o condicional p q, o condicional ~p ~q também será verdadeiro. Isso não é verdade! O condicional ~p ~q poderá ser verdadeiro ou não. De fato, o condicional p q ser V significa que não ocorre o caso VF, isto é, podem ocorrer VV, FV ou FF. No caso de ocorrer FV, ou seja, p falso e q verdade, o condicional ~p ~q será F. Ok?


6

08. (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 09. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Solução Para abreviar, façamos: J: João está feliz; M: Maria sorri; D: Daniela abraça Paulo; S: Sandra abraça Sérgio. Temos aqui os condicionais M J, J D e o bicondicional D S, que de acordo com o enunciado, são todos verdadeiros.

VVV

SDeDJeJM Quando S é falso (como é dito na questão), D também é falso (pois o bicondicional D S é verdadeiro). Como D é falso, J também é falso (pois o condicional J D é verdadeiro ). Como J é falso, M também é falso (pois o condicional M J é verdadeiro). Logo, a alternativa correta é (d). 10. Mostre, usando tabelas-verdade, que são válidas as regras de negação dadas a seguir: a) Negação da conjunção e da disjunção (Leis de DE MORGAN) ~(p e q) ~p ou ~q ~(p ou q) ~p e ~q b) Negação do condicional ~(p q) p e ~q c) Negação do bicondicional ~(p q) ou p ou q


7

Solução Faremos apenas o item b para ilustrar.

p q ~q p q ~(p q) p e ~q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F

Como as tabelas de ~(p q) e p e ~q são iguais, essas proposições são equivalentes . 11. Mostre, novamente usando tabelas-verdade, que é válida a propriedade contrapositiva

p q ~q ~p 12. (VUNESP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu; b) Rodrigo é culpado; C c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado; d) Rodrigo mentiu; M e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. Solução No desenho acima, estamos representando por M o conjunto dos mentirosos e por C o conjunto dos culpados. Basta olhar atentamente o desenho para ver que xC xM, pois M está contido em C. A alternativa (a) é a correta ( É a propriedade contrapositiva). 13. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista “ Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa “. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa.

14. (ESAF) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 15. (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações V.

Solução

Basta fazer a tabela-verdade de (P Q) R.:


8

P Q R P Q (P Q) R V V V V V V V F V V V F V F V F V V F V V F F F F F V F F F F F V F V F F F F F

Vemos na tabela-verdade, que a proposição dada tem 5 avaliações V. Logo, a afirmação feita está Errada. 16. (CESPE) Uma expressão da forma ~(A ~B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B.

Solução

Fazendo as tabelas-verdade das proposições ~(A ~B) e A B verificamos que elas são iguais.

A B ~B A ~B ~(A ~B) A B V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V

Logo, a afirmação está Certa. 17. (CESPE) A proposição simbolizada por (A B) (B A) possui uma única valoração F. Solução Vamos construir a tabela-verdade de (A B) (B A) :

A B A B B A (A B) (B A) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

De fato, a proposição dada possui uma única valoração F, como mostra a tabela acima. A resposta é Certo . 18. (ESAF) X e Y são números tais que: se X ≤ 4, então Y 7. Sendo assim: a) Se Y ≤ 7, então X 4. b) Se Y 7, então X 4. c) Se X 4, então Y< 7. d) Se Y < 7, então X 4. e) Se X < 4, então Y 7.


9

19. (ESAF) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa “é: a) Ana e Pedro vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

GABARITO- ESTRUTURAS LÓGICAS

2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

Um argumento lógico é uma seqüência de proposições onde a última é chamada CONCLUSÃO e as anteriores PREMISSAS. Representação: p1, p2, p3, ... pn ├ c Premissas: p1, p2, p3, ... pn . Conclusão: c O símbolo ├ lê-se “logo” ou “portanto” . VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Observe que, de acordo com a definição dada acima, na análise da validade de um argumento, temos que verificar apenas, se a validade das premissas tem como conseqüência (ou acarreta) a validade da conclusão. Ou seja, não pode ocorrer premissas verdadeiras e conclusão falsa. Daí, é irrelevante admitir premissas não válidas. Com base nisso, veja a “dica” dada a seguir:

Obs.: o argumento do qual estamos falando, é o argumento utilizado no raciocínio lógico dedutivo. Existe também o argumento utilizado no raciocínio lógico indutivo, para o qual não se aplica o conceito de validade dado acima e não será estudado aqui.

01. Errado 02. Certo 03. a) F b) V c) V d) F e) F f ) V g) F h) V I) V j) V l) V 05. a) F b) V c) V ou F d) V e V 06. V 07. a 08. c 09. d 13. a 14. e 18. a 19. b

Um argumento é considerado válido quando, sendo verdadeiras todas as premissas, a conclusão também é verdadeira, ou seja, quando a validade das premissas implica a validade da conclusão. Se as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa, temos um argumento não válido (também chamado de sofisma ou falácia).

Para verificar se um argumento é válido, basta supor que todas as premissas são verdadeiras e verificar se, como conseqüência, a conclusão é também verdadeira.


10

Exemplo Considere o seguinte argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”. Premissas: p1: todo careca é gordo; p2: nenhum gordo é alto; Conclusão: c: nenhum careca é alto. Escrevendo em linguagem simbólica, teremos: p1 , p2 ├ c Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, teremos, como conseqüência, a conclusão c também verdadeira. O argumento é válido.

SILOGISMO É um argumento com apenas duas premissas . Exemplos de Silogismos a) Se penso , então existo. Penso. Logo, existo . Premissas: p1: Se penso, então existo, p2: Penso. Conclusão: c: Existo. Em linguagem simbólica, o argumento fica: p1, p2 ├ c. Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, concluímos que c também é verdadeira. Argumento válido. b) x 5, x 0. Logo, x 5. Premissas: p1 : x 5, p2 : x 0. Conclusão: c: x 5 ( que coincide com a premissa p1). Em linguagem simbólica o argumento fica p1, p2 ├ c . Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras concluímos que c é verdadeira. Argumento válido. c) x > 1, x < 5. Logo, x = 2. Premissas: p1: x > 1, p2: x < 5. Conclusão: c : x = 2. Em linguagem simbólica temos p1, p2 ├ c . Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras não podemos concluir que c é verdadeira. Argumento não válido.


11

INFERÊNCIAS E ANALOGIAS Uma inferência é uma conclusão obtida a partir de um argumento válido .

Regras de Inferência Indicamos a seguir alguns argumentos válidos que aparecem com muita freqüência na lógica. A partir deles, podemos “inferir” a validade de outros argumentos. Por isso eles são conhecidos como “regras de inferência”. Simplificação: p e q ├ p p e q ├ q Adição: p ├ p ou q p ├ p ou q Modus Ponens: p q, p ├ q Modus Tollens: p q, ~q ├ ~p Silogismo Hipotético: p q, q r ├ p r Uma analogia é uma conclusão obtida por uma comparação entre duas situações lógicas que tem algumas propriedades semelhantes. Para fixar idéias, digamos que dois objetos A e B tenham 3 propriedades semelhantes a, b e c. Se concluirmos que, como A tem uma quarta propriedade d, B também deve ter a propriedade d, estamos fazendo uma analogia . É óbvio que uma analogia nem sempre é verdadeira . Exemplo: Pedro e Ana, um casal de matemáticos, têm um filho Tales, que gosta de matemática. Então, Tiago e Luciana, um casal de advogados, têm um filho Cassiano, que deve gostar de direito . Observe que a conclusão, tirada por analogia, não é necessariamente verdadeira. Pode ser ou não.

EXERCÍCIOS 01.(ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia


12

Solução Essa questão servirá de modelo, para mostrar a técnica que utilizaremos na resolução de questões de argumentação lógica em geral. 1º) Escrever o enunciado em linguagem simbólica, para simplificar. Para isso,criamos uma legenda, como por exemplo: J: o jardim é florido; G: o gato mia; P: o passarinho canta. Em linguagem simbólica o argumento fica assim: ~J G, J ~P ├ ? 2º) Supor todas as premissas verdadeiras para descobrir o valor lógico das proposições componentes. Lembre que o condicional “ se p, então q” só é falso no caso VF. Assim, sendo p verdadeiro, q também deve ser verdadeiro, para ser válido o condicional. Então: P é verdade ( “dica” dada no enunciado). Daí: J ~P é verdade e ~P é falso J é falso (para que o condicional seja verdadeiro); ~J G é verdade e ~J é verdade G é verdade (para que o condicional seja verdadeiro); Logo, a conclusão correta é a opção c: o jardim não é florido e o gato mia. 02.(ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que : A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados; b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados; c) somente a governanta é culpada; d) somente o cozinheiro é inocente; e) somente o mordomo é culpado. 03. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo b) Bernardo é barrigudo ou César é careca c) César é careca Maria é magra d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo e) Lúcia é linda e César é careca.

04. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme ”Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria , Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido b) Luís e Júlio não estão enganados c) Júlio está enganado, mas não Luís d) Luís está enganado, mas não Júlio e) José não irá ao cinema.


13

05. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho o que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade c) Carlos e João são mais moços do que Pedro d) Carlos é mais velho do que Pedro e João e mais moço do que Pedro e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 06. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 07. (ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado. c) Fulano é culpado, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. d) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é inocente. e) Fulano é inocente, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado.

08. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo: a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca 09. (ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é Espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês b) Pedro é português e Alberto é alemão c) Pedro não é português e Alberto é alemão d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês e) Se Alberto é alemão, Frederico é Francês (CESPE)- Julgue os itens subseqüentes (Certo ou Errado). 10. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso . 11. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. Ela conseguiu um bom emprego.


14

Portanto, Célia tem um bom currículo. 12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. 13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira . 14. Examinar a validade dos seguintes argumentos: a) ~p ~q , p ├ q b) p, pq ├ q

15. Considerando as proposições p e q, decidir se os argumentos a seguir são válidos ou não: a) p, q ├ p b) (pq) ~p ├ q c) (pq) p ├ q d) pq, ~q ├ ~p 16.Examine a validade dos seguintes argumentos: a) Se estudo, passo no concurso . Não passei no concurso. Logo, não estudei. b) Se x não é par, então y não é primo. Mas x é par. Logo, y é primo. c) Se a é menor que b, então a não é par. Mas a não é menor que b. Logo, a é par. d) Se a é um número primo, então a não divide b. Mas a divide b. Logo, a não é um número primo. e) Se Porto Alegre está na Itália, então Florianópolis não está no Brasil. Mas Florianópolis está no Brasil. Logo, Porto Alegre não está na Itália.

QUANTIFICADORES Os quantificadores são elementos lógicos utilizados para indicar se uma propriedade qualquer é válida para todos ou para apenas alguns elementos de um determinado conjunto.Temos 2 quantificadores : -Universal: símbolo . Significa: “para qualquer que seja”, “para todo” , “para cada” , ou simplesmente , “todo” . -Existencial: símbolo . Significa: “existe pelo menos um” , “para algum” , ou simplesmente “algum”.

Exemplo: consideremos a sentença aberta p(x): “x é um número par”, com xN.

1) Para x=4, p(x) é uma proposição verdadeira; para x=3, é uma proposição falsa;

2) Quantificando a variável com o quantificador universal, teremos:

“Para qualquer que seja xN, x é um número par” (ou: “ todo número natural x é par”) , que é uma proposição falsa;

Para transformar uma sentença aberta p(x), com xA, em uma proposição, temos duas maneiras: 1) Atribuir um valor qualquer a x; 2) Quantificar a variável x.


15

3) Quantificando a variável com o quantificador existencial, teremos :

“Existe pelo menos um xN, tal que x é um número par” (ou: “algum número natural x é par” ), que é uma proposição verdadeira.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Exemplo 1) Todo número natural é primo. Negação: Nem todo número natural é primo, ou seja, algum número natural não é primo. Exemplo 2) Algum gato é preto. Negação: Nenhum gato é preto, ou seja, todo o gato não é preto. Analisando com atenção os exemplos acima, podemos estabelecer a seguinte

Resumo:

EXERCÍCIOS 17.Considerando como conjunto universo o conjunto A={1,2,3,4,5} e x um elemento de A, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) Existe pelo menos um x tal que x+3=9 b) Para qualquer que seja x, x+3< 9 c) Para algum x, x+3 < 5 d) Para todo x, x+3 < 6

(CESPE)- Julgue os itens 18 e 19. 18. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto

{ 5,25

, 3,23

, 2, 21

}.

19. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 “ é verdadeira para elementos do conjunto {2,3,9,10,15,16}. 20.(BACEN) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: Nenhum pescador é mentiroso. a) Algum pescador é mentiroso b) Nenhum mentiroso é pescador c) Todo pescador não é mentiroso d) Algum mentiroso não é pescador e) Algum pescador não é mentiroso

Regra prática: para negar uma proposição quantificada pelos quantificadores universal e existencial, troca-se o quantificador e nega-se a sentença aberta.

1)Todo A é B Negação: Nem todo A é B, ou seja, Algum A não é B 2) Algum A é B Negação: Nenhum A é B, ou seja,Todo A não é B.


16

Solução O contrário de “Nenhum pescador é mentiroso” é “Pelo menos um pescador é mentiroso”, isto é, “Algum pescador é mentiroso”. Resposta: a 21. Dê a negação das seguintes proposições: a) Todos os homens são sérios; b) Nenhuma mulher é fiel ; c) Alguns homens são infiéis. 22. Considere as proposições : 1-toda mulher é boa motorista 2-nenhum homem é bom motorista 3-todos os homens são maus motoristas 4-pelo menos um homem é mau motorista 5-todos os homens são bons motoristas . Qual das alternativas abaixo reúne o par de proposições em que uma é negação da outra? a) 2 e 5 b) 1 e 3 c) 3 e 5 d) 2 e 4 e) 4 e 5 23. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico; b) nenhum economista é médico; c) nenhum médico é economista; d) pelo menos um médico não é economista; e) todos os não-médicos são não-economistas.

GABARITO – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

02. b 03. a 04. e 05. e 06. a 07. b 08. e 09. b 10. Certo 11. Errado 12. Errado 13. Errado 14. a) nv b) v 15. a) v b) v c) nv d) v 16. a) v; b) nv; c) nv; d) v; e) v 17. a) F b) V c) V d) F 18. Errado 19. Errado 21. a) Alguns homens não são sérios; b) Algumas mulheres são fiéis; c) Todos os homens são fiéis. 22. e 23. a


17

3. DIAGRAMAS LÓGICOS

São inúmeros os argumentos que envolvem quantificadores. Esses argumentos, na maioria das vezes silogismos (duas premissas), são facilmente identificados pelas expressões : “Todo A é B”, “Algum A é B” e “Nenhum A é B” . A maneira mais simples de resolver problemas com esses argumentos, é usar os chamados diagramas lógicos , que nada mais são, do que os Diagramas de Venn, da Teoria dos Conjuntos. Por exemplo, o argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”, pode ser representado por diagramas lógicos da seguinte maneira: C: careca G: gordo A: alto G A C Vemos facilmente pelos diagramas, que o argumento é válido. Observe bem as “dicas” dadas a seguir, para usá-las nos exercícios:

Exemplos 1) Nenhum estudante é ansioso. João é um músico. Todos os músicos são ansiosos. Logo, João não é um estudante. A = conjunto dos ansiosos E= conjunto dos estudantes M= conjunto dos músicos.

“Todo A é B” : desenhe Algum A é B”: desenhe

“Nenhum A é B”: desenhe

A B

M A E

A B

B A

C


18

Solução Vemos , analisando os diagramas acima vemos , que a conclusão “João não é um estudante” é correta e o argumento é válido.

2) Alguns E são P. Todos os H são P. Logo, alguns E são H.

Solução Vemos pelo diagrama que a conclusão “Alguns E são H” não é necessariamente correta. Pode ser ou não. Assim, o argumento não é válido.

EXERCÍCIOS 01.(IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se : a) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota. b) Antônio não é professor, Antônio não é religioso. c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor. d) Pedro é poliglota, Pedro é professor. e) João é religioso, João é poliglota.

Solução:

Basta analisar o desenho acima para ver que a alternativa (a) é a correta. 02. Se toda mulher feia é eficiente, então a) existem mulheres eficientes b) existem mulheres feias c) toda mulher bonita é eficiente E F d) toda mulher ineficiente não é feia e) toda mulher eficiente é feia Solução Basta analisar o diagrama ao lado, para ver que ~E ~F é um condicional verdadeiro (Propriedade contrapositiva novamente). Resposta.: d

H

P

E

Prof

Poli

Rel


19

03. (VUNESP) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; b) nenhum A é C; c) nenhum A é B; d) algum B é C; e) nenhum B é A. Solução É fácil ver pelo diagrama que a alternativa correta é (b). 04. (ESAF) Todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. Cristina não é jornalista. Logo, a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. b) não existe jornalista que não defenda a liberdade de expressão. c) existe jornalista que não defende a liberdade de expressão. d) Cristina não defende a liberdade de expressão. e) Cristina defende a liberdade de expressão. 05. Nenhum fanático é inteligente. Tiago é colorado.Todos os colorados são inteligentes. Logo: a) Tiago é fanático b) Tiago não é fanático c) Tiago não é inteligente d) Tiago não é colorado e) Nada se pode concluir 06. (IBGE) Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que: a) todo Z é Y b) todo Y é X c) todo X é Y d) existem X que são Z e) todo X é Z

Solução Z Y X

Vemos pelo diagrama, que a alternativa correta é (d).

07. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se , também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C

d) nada que não seja C é A e) nenhum A não é C

A

B

C


20

08. (CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que ~é o símbolo de negação.

Forma de argumentação Válida Inválida

Premissa 1: x, se p(x), então q(x) Premissa 1: x, se p(x), então q(x) Premissa 2: p(c), para algum c Premissa 2: ~p(c), para algum c Conclusão: q(c) Conclusão: ~q(c)

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. a) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. b) A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 09. Dadas as premissas :”Todos os gremistas são fanáticos”, ”Existem fanáticos inteligentes”, pode-se concluir que: a)”existem gremistas inteligentes” b)”todo gremista é inteligente” c)”nenhum gremista é inteligente” d)”todo inteligente é gremista” e)”nada se pode concluir” 10. Examine a validade do argumento : “Algumas mulheres bonitas são competentes. Todas as mulheres competentes são gordas. Maria é bonita. Logo, Maria é gorda”.

Verifique a validade dos seguintes silogismos:

11. Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é persistente. 12. Para vencer no concurso basta ser estudioso. Ora, todos os alunos do Curso Alfa são estudiosos. Logo, todos os alunos do referido curso vencerão no concurso. 13. Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é inteligente. 14. Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco. 15. Todo retângulo é paralelogramo. Todo quadrado é retângulo. Logo, todo quadrado é paralelogramo. 16. Todos os alunos são impacientes. Alguns alunos são heróis. Logo, alguns heróis são impacientes. 17. Nenhuma criança é má. Todas as borboletas são más. Logo, nenhuma borboleta é criança.


21

18. Algum político é honesto. Nenhum jogador é honesto. Logo, algum político não é jogador.

GABARITO – DIAGRAMAS LÓGICOS

4. RACIOCÍNIO LÓGICO INTUITIVO Neste capítulo, veremos alguns problemas que podem ser resolvidos com um raciocínio lógico intuitivo, ou seja, um raciocínio que não exige o conhecimento dos símbolos e das regras da lógica matemática. É o que chamamos de problemas de lógica intuitiva. Para ajudar na solução desses problemas (que às vezes são muito difíceis ), daremos duas “dicas gerais”.

Exemplo 1 (ESAF) -Três amigas,Tânia,Janete e Angélica,estão sentadas lado a lado em um teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: ”Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente,a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita, são, respectivamente, a) Janete,Tânia e Angélica b) Janete,Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica,Tânia e Janete e) Tânia,Angélica e Janete Solução: Vamos descobrir a posição da Tânia (que sempre fala a verdade). Temos 3 possibilidades: Tânia está à esquerda, ou no meio ou à direita. Analisamos a seguir, cada uma das possibilidades:

1°) Tânia não está sentada à esquerda, pois a que está sentada à esquerda disse:” Tânia é quem está sentada no meio” (Tânia não mente! ); 2°) Tânia também não está sentada no meio, pois a que está sentada no meio disse “Eu sou Janete” (Tânia não mente!) ;

04. b 14. nv 05. b 15. v 07. c 16. v 08. a)Errado; b) Errado 09. e 17. v 10. nv 18. v 11. nv 12. v 13. v

1ª) Escrever todas as possibilidades lógicas da questão e analisar uma por uma, descartando as contradições, as repetições, etc;


22

Logo, Tânia está sentada à direita. Como a que está sentada à direita ( que é a Tânia) disse “Angélica é quem está sentada no meio” , Angélica está sentada no meio realmente e Janete (que sobrou) está sentada à esquerda. Assim, a resposta correta é (b) . Exemplo 2 (ESAF)- Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado” Edu: “Tarso é o culpado” Juarez: “Armando disse a verdade” Tarso: “Celso mentiu” Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é : a)Armando b)Celso c)Edu d)Juarez e)Tarso Solução: Ou Celso mentiu ou Edu mentiu, pois só há 1 culpado. Os demais, ou seja, Armando, Juarez e Tarso disseram a verdade. Então, de acordo com Tarso, Celso mentiu, donde se conclui que Edu falou a verdade, ou seja, Tarso é o culpado. Resp.: e

Exemplo: Uma pessoa A sabe que uma outra pessoa B sempre fala a verdade ou sempre mente.Com base nessa informação, responda as duas questões seguintes. I - A perguntou a B: você é mentiroso? B respondeu “clug”. O que significa “clug”? Deduzimos que “clug” significa “não “. De fato:

- se B fala a verdade, B disse “não”; - se B é mentiroso, B também disse “não”. Logo, sabemos que B respondeu “não”, mesmo sem saber se B fala a verdade ou é mentiroso.

II-A perguntou a B: você fala a verdade? B respondeu “plug”. Podemos deduzir que “plug” significa “sim”. De fato:

- se B fala a verdade, B disse “sim”; - se B é mentiroso, B também disse “sim”. Descobrimos então, que B disse “sim”, mesmo sem saber se B fala a verdade ou é mentiroso.

Resumo:

2ª) Fazer uma pergunta chave do tipo “você é mentiroso ?” , ou “ você fala a verdade ? “ , ou “você é culpado?”

Se perguntarmos a uma pessoa que sempre fala a verdade ou sempre mente 1º) Você é mentiroso? A resposta será sempre NÃO; 2º) Você fala a verdade? A resposta será sempre SIM.


23

EXERCÍCIOS 01.(ESAF)- Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente, a) cinza, verde e azul b) azul, cinza e verde c) azul, verde e cinza d) cinza, azul e verde e) verde, azul e cinza Resp.: d 02.(ESAF)- Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também, um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. Resp.: c 03.(ESAF)- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto , e o outro é azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco; 2)ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3)ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4)ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto Resp.: e 04.(ESAF)- Quatro amigos, André, Beto, Caio e Denis obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória, julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa. Juiz 1: ”André foi o primeiro; Beto foi o segundo”. Juiz 2: “André foi o segundo; Denis foi o terceiro”. Juiz 3: “Caio foi o segundo; Denis foi o quarto”. Sabendo que não houve empates,o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto , Denis b) Beto, André, Caio, Denis c) Beto, André, Denis, Caio d) André, Caio, Denis, Beto e) Caio, Beto, Denis, André Resp.: d 05.(ESAF)- Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a) professor, médico, músico b) médico, professor, músico c) professor, músico, médico d) músico, médico, professor e) médico, músico, professor


24

Resp.: e 06. (ESAF)- Três irmãs, Ana, Maria e Cláudia, foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente, a) preto, branco, azul b) preto, azul, branco c) azul, preto, branco d) azul, branco, preto e) branco, azul, preto Resp.: b 07.(ESAF)- Três amigos -Luís, Marcos e Nestor- são casados com Teresa, Regina e Sandra(não necessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “Marcos é casado com Teresa” Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina” Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra” Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Tereza, Regina b) Sandra, Regina, Teresa c) Regina, Sandra, Teresa d) Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina “Dica” : procure descobrir quem é o marido da Teresa (que disse a verdade). Resp.: d 08.(ESAF)- Uma empresa possui andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência artificial, está examinando um grupo de cinco andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M ? “ Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “ Alfa respondeu que sim “. Gama: “ Beta está mentindo” . Delta: “ Gama está mentindo” . Épsilon: “ Alfa é do tipo M “. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, o Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a : a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5 Resp.: b 09. (CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações: - A afirmou que C matou o líder;

-B afirmou que D não matou o líder; -C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime; -D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.


25

(1) A declaração de C não pode ser verdadeira. (2) D matou o líder.

Solução Temos duas possibilidades: ou A mente ou D mente. 1º) A mente. Neste caso, D fala a verdade e B e C também mentem (pois só um falou a verdade). De acordo com B (que mentiu), D matou o líder. E a declaração de C, realmente não pode ser verdade, já que C mentiu. Assim, teríamos (1) Certo e (2) Certo. 2º) D mente. Neste caso, A fala a verdade e B e C novamente mentem (pois só um falou a verdade). Ora, de acordo com A, C matou o líder. Mas de acordo com B (que mentiu), D matou o líder ( ? ). Teríamos então dois assassinos, o que é uma contradição, já que o enunciado diz que só há um assassino. Logo, a 2ª possibilidade (“ D mente” ) não pode ser considerada. A resposta correta é dada na 1ª possibilidade: (1) Certo e (2) Certo. 10. Num certo país, todos os habitantes são classificados em dois grupos: políticos e não-políticos. Os políticos sempre mentem e os não-políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao tal país, encontra-se com três habitantes A, B e C. Dirigindo-se ao habitante A, o estrangeiro pergunta-lhe se ele é político e A responde, mas o estrangeiro não ouve. O habitante B informa, então, que A negou ser político. Mas o habitante C afirma que A é realmente um político. A partir dessas considerações, pode-se concluir que, o número de políticos no grupo formado por A, B e C é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) impossível descobrir Solução: 1º) O habitante A é P (político) ou NP (não político). -se for P, dirá NÃO (os políticos sempre mentem); se for NP, também dirá NÃO (os não-políticos não mentem); 2º) Como o habitante A disse NÃO, o habitante B falou a verdade, logo B é NP; 3º) O habitante C depende do habitante A, ou seja: -se A for P, C falou a verdade e C é NP ( o único político seria A); se A for NP, C mentiu e C é P (o único político seria C). Em qualquer caso, teremos 1 só político no grupo. Resp.: b 11. Duas gêmeas , Bela e Linda, eram completamente idênticas e vestiam-se de maneira rigorosamente igual. Bela sempre dizia a verdade e Linda sempre mentia. Um matemático, apaixonado pelas gêmeas, casou-se com uma delas, mas esqueceu-se de perguntar o nome da sua esposa. Após a cerimônia de casamento, o matemático , tentando descobrir qual era a sua esposa, para sair em lua-de-mel, dirigiu-se a uma das gêmeas e fez as duas perguntas seguintes: -Bela é casada? A resposta foi sim; -Você é casada? A resposta foi não. Baseando-se nessas respostas, o matemático concluiu que, os nomes da gêmea com a qual falou e o da sua esposa são, respectivamente, a)Bela e Bela b)Bela e Linda c)Linda e Linda d)Linda e Bela e)nada concluiu. Solução: 1º) O matemático ou falou com Bela, ou falou com Linda. 2º) Supondo que ele falou com Bela teremos:

-Pela 1ª pergunta: como a resposta foi sim, concluímos que Bela é casada (Bela não mente);


26

-Pela 2ª pergunta: como a resposta foi não, concluímos que Bela não é casada ( ? ) Temos aqui uma contradição: Bela é casada e Bela não é casada (?) Então, o matemático não falou com Bela, ou seja, ele falou com linda.

3º) Como o matemático falou com Linda ( a mentirosa), temos: -Pela 1ª pergunta: resposta sim e concluímos que Bela não é casada; -Pela 2ª pergunta: resposta não e concluímos que Linda é casada. Assim, o matemático falou com Linda, que é a sua esposa.

Resp.: c

CESPE

Com base no texto acima, julgue o item a seguir. 14. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor “ e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. Resp.: Certo

P.M.S. ( Para Momentos de Solidão ) 01. Um lógico queria saber as idades dos três filhos de uma enigmática senhora. Ela disse: vou lhe dar apenas 3 pistas. 1ª) O produto de suas idades é 36. -Ainda não é possível saber, disse o lógico. 2ª) A soma das idades é igual ao número da casa aí em frente. -Ainda não descobri, falou o lógico. 3ª) O filho mais velho toca piano. -Agora já sei, afirmou o lógico. Qual é a idade dos três filhos? Resp.: 2 anos, 2 anos e 9 anos. 02. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a seguinte proposta: se você disser uma mentira, será queimado. Se disser uma verdade, será afogado. De que maneira você prefere morrer? A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo. Qual foi a resposta do matemático? a) Jamais morrerei. b) Morrerei afogado. c) Morrerei queimado. d) Morrerei enforcado. e) Vocês são mesmo uns canibais ! Resp.: c

No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. “Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.”


27

4. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM A) PRINCÍPIO ADITIVO (PA)

Exemplos 1)Suponha que os conjuntos A, B e C tenham, respectivamente, 8 elementos, 4 elementos e 3 elementos, sendo a sua intersecção vazia (conjuntos disjuntos). Qual é o numero de possibilidades de escolher um elemento de A ou de B ou de C? Solução: Evento E1: escolha de um elemento de A= 8 possibilidades (n1); Evento E2: escolha de um elemento de B= 4 possibilidades(n2); Evento E3: escolha de um elemento de C= 3 possibilidades(n3). De acordo com o Princípio Aditivo (PA), o total de possibilidades é 8+4+3= 15 . 2)Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } e B = { 5, 6, 7, 8, 9 }, determine o número de possibilidades a) de escolher um elemento que pertença só ao conjunto A ou só ao conjunto B; b) de escolher um elemento que pertença ao conjunto A ou ao conjunto B. Solução Evento E1: escolha de um elemento que pertença só a A= 4 possibilidades (1,2,3 ou 4); Evento E2: escolha de um elemento que pertença só a B= 3 possibilidades (7,8 ou 9). Total = 4+3 =7 possibilidades. b) Neste caso não podemos aplicar diretamente o Princípio Aditivo, porque os eventos E1: escolher um elemento de A e E2 : escolher um elemento de B, não têm intersecção vazia. Há dois elementos comuns (5 e 6) que são contados duas vezes. O número total de possibilidades será dado por 6 + 5 – 2 = 9, que é o número de elementos de A B.

Notas a) Veja que o Princípio Aditivo (PA) coincide com o cálculo do nº de elementos da uma união de conjuntos, quando os conjuntos têm intersecção vazia (conjuntos disjuntos); b) O Princípio Aditivo (PA) utiliza o conetivo ou, que como já vimos, está associado à União de Conjuntos.

“ Se existem n1 possibilidades de ocorrer o evento E1, n2 possibilidades de ocorrer o evento E2, n3 possibilidades de ocorrer o evento E3, ..., nk possibilidades de ocorrer o evento Ek , e os eventos E1, E2, E3,..., Ek são mutuamente exclusivos (intersecção vazia), então o número de possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o evento E2 ou o evento E3 ... ou o evento Ek é igual a n1+n2+n3+...+nk “.

1

2 3

4 5 6

7 8

9

A B

1


28

B) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM)

Exemplo Vanessa comprou 2 calças, 2 tênis e 3 blusas . Quantas possibilidades que ela tem de vestir uma calça, um tênis e uma blusa usando essas peças novas? Solução:

O desenho acima, conhecido como a “Árvore das Possibilidades”, mostra todas as 12

possibilidades que Vanessa tem para escolher uma calça, um tênis e uma saia. Utilizando o Princípio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem desenhar a árvore das possibilidades, o que é muito mais rápido e prático. Então, pelo PM, temos: Etapa E1: escolha de uma calça: 2 possibilidades.

Etapa E2: escolha de um tênis: 2 possibilidades. Etapa E3: escolha de uma blusa: 3 possibilidades.

Nº de possibilidades para escolher uma calça, um tênis e uma blusa: 2.2.3 = 12 possibilidades. Obs.: O PM utiliza o conetivo e, que está associado à Intersecção de Conjuntos.

“ Se um determinado evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e independentes E1, E2, E3,..., Ek, sendo n1, n2, n3,...,nk o número de possibilidades de ocorrer cada etapa E1, E2, E3,..., Ek, respectivamente, então o número de possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja, ocorrer E1 e E2 e E3 e... ...e Ek, é igual ao produto n1.n2.n3....nk “.


29

EXERCÍCIOS 01. Uma pessoa tem na sua geladeira 3 marcas de refrigerante, 5 marcas de cerveja e 4 marcas de suco. De quantas maneiras diferentes ela pode escolher um refrigerante ou uma cerveja ou um suco?

Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue os itens 02 e 03 seguintes. 02. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro seja de 3%, a taxa do segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então ele tem mais de 15 formas diferentes de compor suas opções de investimento.

Solução: a tabela mostra Taxa de administração = 3%: 4 fundos; Taxa de administração = 2%: 2 fundos; Taxa de administração = 1%: 2 fundos. Pelo Princípio Multiplicativo(PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes de

composição. O item está Certo. 03. O número máximo de escolhas que um investidor possui para fazer um investimento de risco baixo ou de risco muito baixo é igual a 15. Solução Consultando novamente a tabela, encontramos Risco baixo: 5 investimentos; Risco muito baixo: 3 investimentos. Pelo Princípio Aditivo (PA), teremos um total de 5 + 3 = 8 escolhas. O item está Errado.

(CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de investimento. Alguns deles estão mostrados na tabela abaixo.

Fundo Classificação de risco Taxa de administração

BB Curto Prazo mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI mil muito baixo 3,00% BB Referenciado DI LP mil

baixo 3,00%

BB Referenciado DI 10 mil muito baixo 2,50% BB Referenciado DI LP 50 mil

baixo 1,00%

BB Renda Fixa mil baixo 3,00% BB Renda Fixa LP Índice de Preço 20 mil

alto 1,50%

BB Renda Fixa Bônus Longo Prazo

baixo 2,00%

BB Renda Fixa 25 mil baixo 2,00% BB Renda Fixa LP Premium 50 mil

médio 1,00%

BB Multimercado Moderado LP 10 mil

muito alto 1,50%


30

04. Quantos números naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar usando 4, 5, 6 e 7? Solução ___ ___ 4 3

Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7). Escolha do 2º algarismo: 3 possibilidades (porque não podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que se representa por A4,2 . 05. Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os dígitos 2, 3, 4 e 5?

Solução ___ ___ 4 4

Etapas: Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades. Escolha do 2º algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1º algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 números. Observação Acabamos de calcular o número de Arranjos com Repetição de 4 elementos, tomados 2 a 2, que é representado por (AR)4,2 . 06. Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas maneiras diferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por um caminho diferente do utilizado na ida? a) 9 b) 10 c) 20 d) 22 e) 24 Resp.: c

07. Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 possibilidades de

resultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos cartões diferentes posso fazer, marcando apenas uma coluna por jogo? Resp.: 314 cartões diferentes.


31

08. Um retângulo é dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras é possível pintar a figura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho? Solução Etapas: Pintura do 1º quadrinho: 2 possibilidades Pintura do 2º quadrinho: 2 possibilidades ................................................................. Pintura do 6º quadrinho: 2 possibilidades. Total:

fatores62........2.2.2 = 26 = 64 maneiras possíveis.

09. Uma bandeira tem 7 listras. Cada uma deve ser pintada de azul ou vermelho. De quantas maneiras podemos pintar a bandeira? Resp.: 128 10. Um “Bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “Bits” é? Resp.: 1024

CESPE

A partir das informações do texto acima, julgue o item subseqüente. 11. O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para as proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24. Resp.: Certo.

12. (PUCRS) Sabendo que , num novo município, os números de telefones devem ter 6 algarismos e não podem começar por zero, então o número máximo de telefones que podem ser instalados é a)106 b) 9.105 c) 10.96 d) 10.95 e) 96 Resp.: b 13. (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de um número de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados é a) 3! b) 7! c) 26.25.24.10.9.8.7 d) 263.104 e) (26!).(10!) Resp.: d 14. (UFRGS) No sistema de emplacamento de veículo que começa a ser implantado, as placas têm 3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas.Usando apenas vogais, o número máximo de prefixos é

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações , ou serem julgadas verdadeiras (V) ou Falsas (F). A partir... . Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.


32

a) 15 b) 35 c) 60 d) 90 e) 125 Resp.: e 15. (UFRGS) Os números de telefones de uma cidade são constituídos por 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca pode ser zero e que os números dos telefones passarão a ser de 7 dígitos, o aumento possível na quantidade dos telefones será de a) 81.103 b) 90.103 c) 81.104 d) 81.105 e) 90.105 Resp.: d 16. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D? a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080 Resp.: c 17. Quantos são os números com quatro algarismos distintos, no sistema decimal, que tem o algarismo das centenas igual a 5? Resp.: 448 números. 18. (UFSM)- Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Isso não facilitou o trabalho da polícia, pois o número de placas suspeitas é a) 10.800 b) 10.080 c) 8.100 d) 1.080 e) 524 Resp.: b 19. Cinco rapazes e cinco moças vão posar para uma fotografia nos degraus de uma escadaria. De quantas maneiras diferentes podemos posicioná-los, de forma que fique um rapaz e uma moça em cada degrau ? a) 32 b) 28 800 c) 460 800 d) 57 600 e) 14 400 Resp.: c


33

20. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade de senhas, em que a diferença positiva entre o 1º algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728 Resp.: e

21. (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a reposição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

2) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 1.000 códigos distintos.

3) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000.

Solução: 1) Cada código deve ter 4 letras, podendo haver repetição. Então, a escolha de cada uma das 4 letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um total de : 26 26 26 26 = 456.976 códigos distintos . Item 1: Errado. 2) Como não podemos usar vogais, mas é permitida a repetição de letras, podemos usar 21 letras. Então, teremos:

-códigos com 1 letra: 21 possibilidades -códigos com 2 letras: 21 21 = 441 possibilidades -códigos com 3 letras: 21 21 21 = 9.261 possibilidades. Total: 21 + 441 + 9.261 = 9. 723 códigos distintos. Item 2: Certo. 3) O número total de códigos diferentes, formados por 3 letras distintas é, de acordo com o PM, igual a 26 25 24 = 15.600.

Item 3: Certo.

CESPE/UnB

22. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6.

O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.


34

Solução: -Classificação em 1º lugar: 3 possibilidades -Classificação em 2º lugar: 2 possibilidades -Classificação em 3º lugar: 1 possibilidade. Pelo PM, teremos um total de 3.2.1 = 6 possibilidades. Resposta: Certo. 23. Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, obtemos números com 4 algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, constatamos que o lugar ocupado pelo número 3 214 é o a) 15º b) 17º c) 20º d) 34º e) 40º Resp.: a 24. Calcule o valor de:

a) !8!10 b)

!20!18.20 c)

!7!8!9

a) 90 b) 1/19 c) 80

25. Simplificando a expressão )!1(

)2()!1(

n

nn obtemos:

a) (n+1) b) (n+1)(n+2) c) n(n+2) d) n(n+1)(n+2)

e)1

)2)(1(

n

nn

Resp.: d 26. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se: a) O número total deles; b) Quantos começam com R? c) Quantos têm a sílaba LI ? d) Quantos têm as letras L e I juntas ? Resp.: a) 120; b) 24; c) 24; d) 48

27. Quantos anagramas da palavra ”VESTIBULAR” têm as letras “V”, “E” e “S” a) Juntas e nessa ordem? b) Juntas e em qualquer ordem? Resp.: a) 8! b) 8!.3! 28. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos, de modo que as duas moças fiquem sempre juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 Resp.: d


35

29. Tenho 4 livros de matemática, 5 de física e 3 de química. De quantos modos diferentes posso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos?

Resp.: 3!.4!.5!.3!

30. Quatro pares de casais estão sentados em uma fileira de 8 cadeiras. De quantas maneiras elas podem sentar, se: a) não existir nenhuma restrição; b) sentarem homens juntos e mulheres juntas; c) sentarem homens juntos; d) sentarem pares de casais juntos. Resp.: a) 8! b) 2!.4!.4! c) 5!.4! d) 4!.2!.2!.2!.2!

31. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila de teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas , são, respectivamente: a) 1.112 e 1.152 b) 1.152 e 1.100 c) 1.152 e 1.152 d) 384 e 1.112 e) 112 e 384 Resp.: c 32. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se , os cinco, lado a lado na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 Resp.: e 33. (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar? a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48 Resp.: d


36

5. PROBABILIDADES CONCEITOS

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS são experimentos que, mesmo realizados repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentam resultados diferentes, sendo impossível uma previsão lógica dos resultados. ESPAÇO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo Determine o número de elementos do Espaço Amostral ou Conjunto Universo (U), isto é, n(U), nos seguintes experimentos: 01. Jogar um dado e ler o número da face voltada para cima. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(U) = 6 02. Jogar uma moeda e ler a figura da face voltada para cima. U = {Cara, Coroa} n(U) = 2 03. Jogar dois dados e ler os números das faces voltadas para cima. U = {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2), ... (6,6)} n(U)= ? Para determinar n(U) usamos o PM:

adespossibiliddadoadespossibiliddado

6261

Total = 6 . 6 = 36 possibilidades. Logo, n(U) = 36 . 03. Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima. U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K), ..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa.

adespossibilidMoedaadespossibilidDado

26

Total = 6 . 2 = 12 possibilidades. Logo, n(U) = 12. 04.Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros filhos, quantas são as possibilidades? U = {(M, M, M), (M, M, F), ... , (F, F, F)}.

Total = 2. 2. 2 = 8 possibilidades. Logo, n(U) = 8. EVENTO é qualquer subconjunto do espaço amostral.

A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades dando um exemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o experimento aleatório lançamento de um dado e leitura do número na face voltada para cima. Neste caso, o espaço amostral ou conjunto universo será U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

adespossibilidfilhoadespossibilidfilhoadespossibilidfilho

232221


37

Evento certo é o próprio espaço amostral. Exemplo: Evento C: ocorrência de um número menor que 9 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U Evento impossível é o subconjunto vazio. Exemplo: Evento I: ocorrência de um número maior que 7 I = Evento união é a união de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número maior que 3: A = {4, 5, 6} Evento B: ocorrência de um número ímpar: B = {1, 3, 5} Evento A B: ocorrência de um número maior que 3 ou ímpar: A B = {1, 3, 4, 5, 6}. Evento intersecção é a intersecção de dois eventos. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par: A = {2, 4, 6} Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3: B = {3, 6} Evento A B: ocorrência de um número par e múltiplo de 3: A B = {6}. Eventos mutuamente exclusivos são dois eventos que têm intersecção vazia. Exemplo: Evento P: ocorrência de um número par: P = {2, 4, 6} evento I: ocorrência de um número ímpar: I = {1, 3, 5} P I = Eventos complementares (ou contrários) são dois eventos mutuamente exclusivos cuja união é igual ao espaço amostral. Ou seja, são dois eventos A e B tais que A B = e A B = U. Exemplo: Evento A: ocorrência de um número par: A = {2, 4, 6}; Evento B: não ocorrência de um número par (ou seja, ocorrência de um número ímpar): B = {1,3,5} Vemos que A B = e A B = U.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO Supondo que num experimento aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), a probabilidade de ocorrer o evento A é o número real P(A) dado por


38

Notas: a) Na definição acima supomos que todos os elementos do espaço amostral sejam

eqüiprováveis, isto é, tenham a mesma chance de ocorrer; b) É óbvio que P ( ) = 0 e P(U) = 1; c) 0 P(A) 1; d) Em termos de porcentagem, temos 0% P(A) 100%. EXEMPLOS 01. Numa urna há 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de sortearmos a) uma bola preta? b) uma bola branca?

a) P(P) = 41

4010

ou 25%

b) P(B) = 43

4030

ou 75%.

02. Num baralho com 52 cartas, há 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade de tirarmos uma carta do naipe copas?

P(C) = 41

5213

ou 25%

03. Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de obtermos soma igual a 10?

U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)} n(U) = 6 . 6 = 36 Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)} n(E) = 3

P(E) = 121

363 ou 8,33%

04. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher? n(U) = 2 . 2. 2 = 8 Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)} n(E) = 3

P(E) = 83

05. Um cartão da Quina é composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade do sr. Hazharad fazer a quina num cartão com 8 números? n(U) = C 80,5 n(E) = C 8,5

P(E) = 80,5

8,5

CC

P(A) = )()(

UnAn


39

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO “OU”) Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A ou B é dada por

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Nota: se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, AB=, então

P(A B) = P(A) + P(B). Exemplos 1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de retirarmos uma bola com número par ou maior que 4? n (U) = 10

4 quemaior número com bolaBpar número com bolaA

n(A) = 5, n(B) = 6, n (A B) = 3

P (A ou B) = 54

108

103

106

105

2) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade da carta escolhida ser um 4 ou um 9? n(U) = 52

4n(B)9númerocartaB4n(A)4númerocartaA

n (A B) = 0

P(A ou B) = 132

5280

524

524

3) Jogando-se dois dados não viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? n(U) = 6 . 6 = 36

4n(B)(4,1)}(3,2),(2,3),{(1,4),B3n(A))}1,3(),2,2(),3,1{(A

n (A B) = 0

P(A ou B) = 3670

364

363


40

PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (REGRA DO “E”) Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A e B é dada por

P(A B) = P(A).P(B/A) onde P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B após ter ocorrido A. Notas: a) o número P(B/A) é chamado probabilidade de B condicionada a A; b) se os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de A não afeta a probabilidade

da ocorrência de B, temos P(B/A) = P(B) e a expressão acima fica

P(A B) = P(A).P(B)

Exemplos 1) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, uma de cada vez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

P(B e P) = 92

3020.

3010

2) Considerando a mesma situação do exemplo anterior, mas sem reposição da primeira bola sorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?

P(B e P) = 8720

2920.

3010

3) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra peça é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças retiradas serem usadas?

P(u e u) = 161

3699.

7010

4) Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos?

P(K e K) = 41

21.

21

5) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes?

P(C, C, C, C, e C) = 321

21 5

6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas?

P(p, o, e) = 641

41

5213

5213.

5213.

5213 33

7) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 bolas azuis e 40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas vermelhas. Sorteando uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de sair branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa 3?


41

P(B, V, A) = 258

2016.

5040.

105

ou 32%

.

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Se A e B são dois eventos complementares (contrários) do mesmo espaço amostral U, temos:

P(A) + P(B) = 1 ou B

P(B) = 1 – P(A)

Exemplos

1) Qual a probabilidade de sair um número diferente de 2 no lançamento de um dado?

2 número osair nãoB2 número osair A

a) P(A) = 61

b) P(B) = 1 - 61

= 65

2) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de: a) sair um múltiplo de 3; b) não sair um múltiplo de 3.

3 número osair nãoB3 número osair A

a) P(A) = 31

62 b) P(B) = 1 -

31

= 32

3) São lançados dois dados. Calcule a probabilidade de a) se obter uma soma de 7 pontos; b) não se obter uma soma de 7 pontos.

a) P(A) =61

366

c) P(B) = 1 - 65

61

A


42

EXERCÍCIOS 01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, 60 delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A probabilidades de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 Resp.: d 02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) nra Resp.: a 03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 Resp.: c 04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 n 999, ser um múltiplo de 9 é a) 1/ 909 b) 1/10 c) 2/9 d) 1/3 e) 1/9 Resp.: e 05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é a) 1/10 b) 1/9 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/2 Resp.: b

06. (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas superiores, entre os quais 5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos futuros médicos serem contemplados?


43

a) 1/5 b) 2/25 c) 1/30 d) 2/5 e) 9/25 Resp.: c 07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% Resp.: e 08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo lançamento é a)1/4 b)1/12 c)1/8 d)2/5 e)1/6 Resp.: e 09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de a) 12% b) 18% c) 20% d) 22% e) 30% Solução n(U) = 100; Evento A: ser múltiplo de 8; Evento B: ser múltiplo de 10; A = { 8, 16, 24, ..., 96} n(A) = 96/8 = 12 múltiplos de 8; B = {10, 20, 30, ..., 100} n(B) = 100/10 = 10 múltiplos de 10; n(A B) = ?

Para obter n(A e B), ou seja, n(AB), temos que determinar os múltiplos comuns (múltiplos de 8 e de 10) entre 1 e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 múltiplos comuns entre 1 e 100: 40 e 80. Daí:

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = 10012 +

10010 -

1002 =

10020 , ou seja, 20%.

Resposta: c


44

10. Lançando-se um dado três vezes, a probabilidade de se obter o número 3 nas duas últimas jogadas, mas não na primeira, é a) 1/216 b) 3/216 c) 5/216 d) 7/216 e) 9/216 Resp.: c 11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de: a) 25% b) 30% c) 33% d) 50% e) 60% Resp.: e 12. (UFRGS) – Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é: a) 1/15 b) 2/21 c) 1/12 d) 1/11 e) 1/9 Resp.: e 13. (UFRGS) – Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 Resp.: c

14. (UFRGS) – Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo da cada criança que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo menos duas previsões é de a) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 66,6% Resp.: d 15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar? a) 7x b) 14x c) 21x d) 28x e) 35x Resp.: c


45

16. (ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5 Resp.: a 17. (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados , numa caixa, 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de a) 10% b) 15% c) 30% d) 50% e) 75% Resp.: e 18. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas , Ana e Beatriz , estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 5/7 b) 1/7 c) 2/3 d) 1/3 e) 4/7 Resp.; d 19. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 Resp.: d 20. (UFRGS) No jogo da Mega Sena são sorteados seis números distintos dentre os que aparecem na figura 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60


46

Considere P a probabilidade de que nenhum número sorteado em um concurso seja sorteado no concurso seguinte. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para P é: a) 90% b) 80% c) 70% d) 60% e) 50% Resp.: e

CESPE (Banco do Brasil)

Quantidade de números escolhidos no volante

Tipos de aposta Valor (emR$)

6 A6 1,00 7 A7 7,00 8 A8 28,00 9 A9 84,00 10 A10 210,00 11 A11 462,00 12 A12 924,00 13 A13 1.719,00 14 A14 3.003,00 15 A15 5.005,00

Internet: <http://www.caixa.com.br.Acesso em jul./2003(com adaptações) Acerca do texto e das informações nele contidas, julgue os itens subseqüentes. 21. Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60]. 22. Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que seu algarismo das unidades seja igual a 5. 23. Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02. 24. Fazendo-se uma aposta do tipo A6, a probabilidade de se errar todos os seis números

sorteados é igual a 660495051525354 xxxxx

.

Em uma loteria, com sorteio duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao tipo de aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos.


47

25. Considerando que a população da região Nordeste, em 2003, seja de 50 milhões de habitantes, é correto concluir que, na loteria descrita, a probabilidade de se acertar os seis números com apenas 1 aposta do tipo A6 é menor que a de ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste. Solução 21. Representando por D o algarismo das dezenas e por U o algarismo das unidades, teremos D = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 e U = 0, 1, 2, 3, ..., 8 ou 9. Podem ser sorteados 6.10 = 60 pares : {00, 01, 02, 03, ..., 58, 59} ou {01, 02, ..., 58, 59 ,60} , substituindo 00 por 60 como diz no enunciado. Este conjunto é igual ao intervalo fechado formado por todos os inteiros de 1 a 60, e o item está Certo.

22. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 é P(3) = 61 ;

A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 é P(5) = 101 .

Assim, vemos que P(3) P(5) e o item está Errado.

23. P(58) = 601 .

Observe que 0,02 = 501

1002

(Para não fazer cálculos desnecessários).

Agora é fácil ver que 601 <

501 , ou seja, P(58) < 0,02 e o item está Errado.

24. Evento E:” errar todos os seis números sorteados”.

P(E) = 6,60

6,54

CC

6

6

/6,60

/6,54

P

P

AA

6,60

6,54

AA

55.56.57.58.59.6049.50.51.52.53.54 .

Vemos que o item está Errado. 25. Evento A: “acertar os seis números com apenas uma aposta do tipo A6”; Evento S: “ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste”.

P(A) = 6,60

6,6

CC

= 6

6

/6,60

/6,6

P

P

AA

= 55.56.57.58.59.60

1 = 860.063.50

1 .

P(S) = 000.000.50

1 .

Como P(A) < P(S), o item está Certo. 26. (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a) 25/216 b) 5/216 c) 75/216 d) 91/216 e) 150/216 Resp.: d


48

27. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a : a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0,65 Resp.: e 28. (ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo, uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784 Resp.: e 29. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 Resp.: b 30. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a : a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 Resp.: c 31. (ESAF) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resp.: d


49

32. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

Total de vítimas fatais Estado em que ocorreu o acidente Sexo masculino Sexo feminino Maranhão 225 81 Paraíba 153 42 Paraná 532 142 Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 1) A probabilidade que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2.

2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.

3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5.

4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.

5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Solução: Vamos adotar na resolução de todos os itens, a simbologia seguinte: n(U)= nº de elementos do conjunto Universo (espaço amostral); n(E)= nº de elementos do Evento E. 1) n(U) = 1. 405 n(E) = 221 + 81 = 306

P(E) = 405.1

306)()(

UnEn 0,22 > 0,2 e o item está Certo.

2) n(U) = 1.405 n(E) = 81 + 42 + 142 + 42 = 307

P(E) = 405.1

307)()(

UnEn 0,22, ou seja, 22% < 23% e o item está Errado.

3) n(U) = 225 + 153 + 532 + 188 = 1. 098

n(E) = 532


50

P(E) = 098.1

532)()(

UnEn 0,48 < 0,5 e o item está Errado.

4) n(U) = 225 + 81 + 153 +42 + 188 + 42 = 731 n(E) = 225

P(E) = 731225

)()(

UnEn 0,31 > 0,27 e o item está Certo.

5) n(U) = 1.405 Evento A: “ a vítima é do sexo feminino” .

n(A) = 81+42+142+42=307. Evento B:“o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil” . n(B) = 532+142+188+42 = 904. Evento (A B): “a vítima é do sexo feminino e o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil”. n(A B)= 142+42 = 184.

P(A) = 1405307

P(B) = 1405904

P(A e B ) = 1405184

Como P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B), teremos:

P(A ou B) = 1405307 +

1405904 -

1405184 =

1405

18490430714051027 0,73, ou seja, 73%.

73% > 70% e o item está Errado. 33. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. 1) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13. 2) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52. 3) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26.


51

Solução: 1) n(U) = 52 (Universo) n(E) = 12 (Evento). P(E) = 12 / 52 = 3 / 13 e o item está Certo. 2) n(U) = 52 n(E) = 51 ( só tem 1 ás de ouros no baralho). P(E) = 51 / 52 e o item está Errado. 3) n(U) = 52 Evento A: “a carta contém uma figura” n(A) = 12 ; Evento B: “a carta é de paus” n(B) = 13 ; Evento (A B): “a carta contém uma figura e é de paus” n(A B) = 3. P(A ou B ) = P(A) + P(B) – P(A e B), ou seja:

P(A ou B) = 2611

5222

523

5213

5212

e o item está Certo.

34. (ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? a) 35% b) 17% c) 7% d) 42% e) 58% Resp.: a 35. (ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% Resp.: b


52

AGENTE DE POLÍCIA FEDERAL – 2004 (CESPE)

Texto para os itens de 1 a 8

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. 2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa. 3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) ( Q) é verdadeira. Considere as sentenças abaixo. I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido. Q Fumar deve ser encorajado. R Fumar não faz bem à saúde. T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 4. A sentença I pode ser corretamente representada por P ( T). 5. A sentença II pode ser corretamente representada por (P) (R). 6. A sentença III pode ser corretamente representada por R P. 7. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 8. A sentença V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)).

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos , , e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F) , mas nunca ambos.


53

Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes. 9. O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 10!. 10. O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 990 56 30. 11. O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 42 20 6. 12. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas duas últimas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! 8!.

GABARITO

1. Errado 2. Errado 3. Certo 4. Errado 5. Certo 6. Certo 7. Certo 8. Errado 9. Certo 10. Certo 11. Errado 12. Certo

agente federal raciocinio logico kidricki aula1!05!08-09 parte1 finalizado ead

Documents