afrf - esaf raciocínio lógico 2006

IDORT RACIOCNIO LGICO

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LGICAPROPOSIO Denominamos proposio ( ou proposio lgica ou ainda sentena ) a toda orao declarativa afirmativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa ( ou verdadeira ou falsa ). Da o nome lgica bivalente. Exemplos : a) 9 5 b) 7 < 3 c) 2 Z d) 3.5 + 1 e) 3x 1 = 11

Naturalmente, as expresses d) e e) no so proposies. Terminologia: Os valores lgicos de uma proposio so verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). Por exemplo: O valor lgico da proposio a) acima verdadeiro, enquanto que o valor lgico da proposio b) acima falso. PROPOSIO SIMPLES toda sentena que contm uma nica afirmativa. So representadas por letras minsculas do alfabeto, preferencialmente p, q, r e t. EXEMPLOS: a) p: 2 1 = 2 b) q: 3 . 4 > 10 c) r: O Brasil uma monarquia. Negao de uma Proposio Simples Dada uma proposio p, sempre possvel obtermos outra proposio cujo sentido seja contrrio ao de p. Esta proposio chamada negao de p e representada por ~ p ( costuma-se ler no p ou no verdade que p ). EXEMPLOS: a) p: 7 2 = 5 tem como negao: ~ p: 7 2 5 b) q: 3 1 2 1 tem como negao: ~ q: 3 1 < 2 1 OBSERVAES: (1) Pode-se verificar, pelos exemplos acima, que uma proposio e a sua negao tm valores lgicos contrrios. Este fato pode ser resumido na tabela abaixo: p ~p V F F V

PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES

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(2) A negao de ~ p ( chamada lei da dupla negao ) equivale prpria proposio p, isto : ~ (~ p) o mesmo que p EXERCCIOS: 1. Quais das expresses abaixo so proposies? No caso das proposies, quais so as verdadeiras? a) 5 . 4 = 20 e) 3 + 4 > 0 b) 5 4 = 3 f) 11 4 . 2 c) 1 + 3 1 + 6 d) ( 2)5 ( 2)3

2. Qual a negao de cada uma das seguintes proposies? Quais negaes so verdadeiras? a) 3 . 7 = 21 b) 3 . (11 7) 5 c) 3 . 2 + 1 > 4 d) 5 . 7 2 5 . 6

OBSERVAO IMPORTANTE: s vezes, trabalhamos no s com proposies ( no sentido que foi definido acima, isto , que podem ser classificadas de maneira inequvoca como verdadeiras ou falsas ), mas tambm com o que chamamos de funes proposicionais, veja alguns exemplos: Exemplo 1: Sabemos, que a rigor, 3x 1 = 11 no uma proposio, ms fcil observar que, a depender do valor de x, a expresso 3x 1 = 11 pode ser verdadeira ou falsa ( mais especificamente, para x = 4 a expresso dada: 3x 1 = 11 se torna uma proposio verdadeira e para qualquer x 4 a expresso dada: 3x 1 = 11 se torna uma proposio falsa ). Independentemente do valor lgico de 3x 1 = 11 podemos neg-la. Assim se quisermos negar a funo proposicional 3x 1 = 11 ( que por um abuso de linguagem, alguns autores denominam tambm de proposio ), teremos: 3x 1 11. Exemplo 2: Usando a mesma linha de raciocnio do exemplo 1 acima, pode-se falar em negao da proposio a > b. Sua negao a b. Exemplo 3: A frase o cachorro fugiu no , a rigor, uma proposio, pois no sabemos a qual cachorro especificamente a frase se refere, se identificarmos o tal cachorro podemos determinar a veracidade ou falsidade da afirmao o cachorro fugiu. Como havamos comentado antes, alguns ( na verdade muitos ) autores por um abuso de linguagem, denominam afirmaes como essa ( o cachorro fugiu ) de proposio ( ou seja, estendem a definio de proposio ). Deste modo, independentemente do valor lgico de o cachorro fugiu podemos neg-la. Sua negao o cachorro no fugiu ou no verdade que o cachorro fugiu.


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Seguiremos nos nossos estudos essa conveno, isto , expresses como as dos exemplos 1, 2 e 3 sero chamadas de proposies. PROPOSIES COMPOSTAS A partir de proposies simples, podemos construir novas proposies, mediante o emprego de smbolos ( conectivos ) lgicos como conjuno, disjuno ( inclusiva e exclusiva ), condicional, bicondicional. OBSERVAO IMPORTANTE: Na verdade ao utilizarmos os conectivos entre as proposies simples estaremos realizando operaes entre essas proposies, isto , entre os valores lgicos ( verdadeiro ou falso ) correspondentes a essas proposies. Portanto deveremos explicitar para vocs, prezados alunos, qual o resultado de cada operao lgica. CONJUNO Colocando o conectivo e entre duas proposies p e q, obtemos uma proposio composta, p q, denominada conjuno das proposies p e q. ATENO: p q l-se: p e q. p V V F F q V F V F p q V F F F Definio: A conjuno entre duas proposies s verdadeira, apenas se ambas as proposies que a compem so verdadeiras. Em qualquer outra situao a proposio composta falsa.

OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO: 1) p : 2 > 0 ( cujo valor lgico verdadeiro = V ) q : 5 5 ( cujo valor lgico falso = F ) p q : 2 > 0 e 5 5 ( uma proposio composta falsa, pois V e F, pela tabela acima, tem falso como resultado ). 2) p : 2 > 0 ( V ) q:25(V) p q : 2 > 0 e 2 5 ( uma proposio composta verdadeira, pois V e V, pela tabela acima, tem verdadeiro como resultado ). DISJUNO Colocando-se o conectivo ou entre duas proposies, p e q, obtemos uma proposio composta, p q, denominada disjuno ( disjuno inclusiva ) das proposies p e q. ATENO: p q l-se: p ou q.


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IDORT RACIOCNIO LGICOp V V F F q V F V F p q V V V F

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Definio: A disjuno entre duas proposies falsa, apenas se ambas as proposies que a compem so falsas. Em qualquer outra situao a proposio composta verdadeira.

OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO: 1) p : 34 < 26 ( F ) q : 22 > ( 3 )5 ( V ) p q : 34 < 26 ou 22 < ( 3 )5 ( V ). 2) p : 34 < 26 ( F ) q : 22 < ( 3 )5 ( F ) p q : 34 < 26 ou 22 < ( 3 )5 ( F ). . H TAMBM OUTRO TIPO DE DISJUNO CHAMADA DE DISJUNO EXCLUSIVA. Dadas duas proposies p e q, podemos obter uma proposio composta, p q, denominada disjuno ( disjuno exclusiva ) das proposies p e q. ATENO: p q l-se: ou p ou q. Observe a tabela abaixo: p V V F F q V F V F p q F V V F A disjuno entre duas proposies verdadeira, apenas se as proposies que a compem tiverem valores lgicos diferentes.

Por exemplo, considere que: p:2>0(V) q:55 (F) p q : ou 2 > 0 ou 5 5 ( V ) CONDICIONAL Colocando-se o conectivo se antes das afirmativas e a palavra ento entre elas, obtemos uma proposio composta, p q, denominada condicional das sentenas p e q. ATENO: p q l-se: Se p ento q.


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IDORT RACIOCNIO LGICOp V V F F q V F V F pq V F V V

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Propriedade: A condicional somente falsa se a primeira das proposies verdadeira e a segunda falsa.

Por exemplo, considere que: p:5 1 e 4 > 2 d) 16 = 6 ou mdc(4,7) = 2 b) 1/2 < 3/4 ou 5 < 11 e) 2 1 = 1 5 + 7 = 3 . 4 c) ( 1)6 = 1 e 25 < ( 2)7 f) 22 = 4 ( 2)2 = 4 q V F V F p q V F F F p q V V V F p q F V V F pq V F V V pq V F F V


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2) Admitindo que p e q so verdadeiras, r falsa e t uma proposio cujo valor lgico no conhecido, determine o valor (V ou F), de cada proposio abaixo:

a) p r d) (p r) q g) ~ p ~ q3) Considere ao proposies: i) p: 2,4333... Q ii) q: 32 = 9 iii) r: ( 5 )2 = 5

b) p q e) p (q r) h) (~ p r ) t

c) r q f) p (q r) i) r (q t )

Assinale V ou F nas proposies a seguir: p q p r qr p r ~p ~q ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ~q r (p ~q) r ~q (p r) (~p ~r) (p q) ~(~q p) (r p) ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

4) Jair est machucado ou no quer jogar. Mas Jair quer jogar. Logo, a) b) c) d) e) Jair no est machucado nem quer jogar. Jair no quer jogar nem est machucado. Jair no est machucado e quer jogar. Jair est machucado e no quer jogar. Jair est machucado e quer jogar.

5) Se Pedro gosta de pimenta, ento ele falante. Portanto, a) b) c) d) e) Se Pedro no falante, ento ele no gosta de pimenta. Se Pedro falante, ento ele gosta de pimenta. Se Pedro falante, ento ele no gosta de pimenta. Se Pedro no gosta de pimenta, ento ele no falante. Se Pedro gosta de pimenta, ento ele no falante.

6) Considere a proposio Pedro estudioso e trabalhador, ou Pedro bonito. Como Pedro no bonito, ento a) b) c) d) e) Pedro estudioso e trabalhador. Pedro estudioso ou trabalhador. Pedro no estudioso ou no trabalhador. Pedro estudioso e no trabalhador. Pedro no estudioso e no trabalhador.


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IDORT RACIOCNIO LGICO7) Considere as seguintes premissas ( proposies verdadeiras ) i) Se no chover, Cludia vai praia. ii) Se chover, Fbia vai ao clube. Como choveu o dia inteiro, ento: a) b) c) d) e) Cludia no foi praia. e Fbia foi ao clube. Cludia e Fbia no foram praia. Cludia e Fbia no foram ao clube. Cludia foi praia. Fbia foi ao clube.

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8) A proposio composta (p q) a) b) c) d) e)

~ q tem valor lgico V; ento o valor lgico da proposio p:

s pode ser V pode ser V ou F s pode ser F depende do valor de q no pode ser determinado a partir dessa proposio.

9) Se p uma proposio verdadeira, ento: a) b) c) d) e) p q verdadeira, qualquer que seja q p q verdadeira, qualquer que seja q p q verdadeira, s se q for falsa p q falsa, qualquer que seja q p q falsa, qualquer que seja q

10) A proposio ( ~ p q ) ( q r ) VERDADEIRA se a) p e q so verdadeiras e r falsa. b) p, q e r so verdadeiras. c) p e q so falsas e r verdadeira. d) p e r so falsas e q verdadeira. e) p, q e r so falsas. 11) Sendo i) p: 6,143143... Q ii) q: todo racional possui inverso A nica proposio falsa :


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IDORT RACIOCNIO LGICOa) p

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q

b) p q

c) p q

d) ( p q ) p

12) Jos quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra Fogo, mas no tem certeza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos, Maria, Lus e Jlio tm opinies discordantes sobre se o filme est ou no em cartaz. Se Maria estiver certa, ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus est enganado. Se Lus estiver enganado, ento o filme no est sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra Fogo est sendo exibido ou Jos no ir ao cinema. Verificou-se que Maria est certa. Logo: a) b) c) d) e) o filme Fogo contra Fogo est sendo exibido Lus e Jlio no esto enganados Jlio est enganado, mas no Lus Lus est enganado, mas no Jlio Jos no ir ao cinema

13) H trs suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido pr um ou mais de um deles, j que podem Ter agido individualmente ou no. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro inocente, ento a governanta culpada, B) ou o mordomo culpado ou a governanta culpada, mas no os dois, C) o mordomo no inocente. Logo: a) b) c) d) e) a governanta e o mordomo so os culpados somente o cozinheiro inocente somente a governanta culpada somente o mordomo culpado o cozinheiro e o mordomo so os culpados

14) Se Nestor disse a verdade, Jlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, h um leo feroz nesta sala. Ora, no h um leo feroz nesta sala. Logo: a) b) c) d) e) Nestor e Jlia disseram a verdade Nestor e Lauro mentiram Raul e Lauro mentiram Raul mentiu ou Lauro disse a verdade Raul e Jlia mentiram

15) Os carros de Artur, Bernardo e Csar so, no necessariamente nesta ordem, uma Braslia, uma Parati e um Santana. Um dos carros cinza, um outro verde e o outro azul. O carro de Artur cinza, o carro de Csar o Santana, o carro de Bernardo no verde e no a Braslia. As cores da Braslia, da Parati e do Santana so, respectivamente: a) b) c) d) e) cinza, verde e azul azul, cinza e verde azul, verde e cinza cinza, azul e verde verde, azul e cinza


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16) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai frica, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai frica, ento Lus compra um livro. Se Lus compra um livro, ento Rui vai a Roma. Ora, Rui no vai a Roma, logo: a) b) c) d) e) Celso compra um carro e Ana no vai frica Celso no compra um carro e Lus no compra o livro Ana no vai frica e Lus compra um livro Ana vai frica ou Lus compra um livro Ana vai frica e Rui no vai a Roma

EQUIVALENTES DA CONDICIONALA condicional p q possui, entre outras, duas proposies importantes, que lhe so equivalentes: 1) ~ p q 2) ~ q ~ p ( a proposio ~ q ~ p chamada de contrapositiva da aplicao p q )

RESUMINDO: A proposio p q tanto equivalente proposio ~ q ~ p quanto proposio ~ p q. ASSIM, PODEMOS AFIRMAR QUE: Se o pssaro canta ento est vivo ( p q ) SIGNIFICA O MESMO QUE: Se o pssaro no est vivo ento no canta ( ~ q ~ p ) E TAMBM SIGNIFICA O MESMO QUE: O pssaro no canta ou est vivo ( ~ p q )Mesmo frases malucas ( risos! ), podem ser reescritas como foi indicado acima, por exemplo:

Se o macaco voa ento Joo uma pedra ( p q ) SIGNIFICA O MESMO QUE: Se Joo no uma pedra ento o macaco no voa ( ~ q ~ p ) E TAMBM SIGNIFICA O MESMO QUE: O macaco no voa ou Joo uma pedra ( ~ p q ) EXERCCIOS1) Considere a sentena Se feriado, os bancos esto fechados. A CONTRAPOSITIVA dessa sentena a) Se os bancos no esto fechados, no feriado. b) Se os bancos esto fechados, no feriado. c) Se no feriado, os bancos esto fechados. d) Se os bancos esto fechados, feriado. e) Se feriado, os bancos esto fechados.PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES [email protected]

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2) Considere a sentena Se carnaval, os sambistas danam nas ruas.A CONTRAPOSITIVA dessa sentena a) Se os sambistas no danam nas ruas, no carnaval. b) Se os sambistas danam nas ruas, no carnaval. c) Se no carnaval, os sambistas no danam nas ruas. d) Se os sambistas danam nas ruas, carnaval. e) Se carnaval, os sambistas no danam nas ruas. 3) Se Rubens estudar, ento passar no concurso. Deste modo, correto afirmar que a) b) c) d) e) se Rubens no passar no concurso, ento no ter estudado. o estudo de Rubens condio necessria para que ele passe no concurso. se Rubens no estudar, no passar no concurso. Rubens passar no concurso s se estudar. mesmo que Rubens estude, ele no passar no concurso.

4) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente eqivalente a dizer que: a) b) c) d) e) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro. Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. Andr no artista e Bernardo engenheiro

5) Dizer que "Pedro no pedreiro ou Paulo paulista" , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista

TABELA VERDADEPodemos construir muitos raciocnios que podem se deduzidos das convenes e definies estabelecidas anteriormente. Vamos demonstrar algumas equivalncias e propriedades usando as tabelas de verdade ( ou tabelas verdade ).

NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS CONJUNO~(p q) ~p ~q


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Exemplo: A negao de "o carro preto e a pedra dura" " o carro no preto ou a pedra no dura ". DISJUNO~(p q) ~p ~q

Exemplo: A negao de "estudo ou trabalho" "no estudo e no trabalho". CONDICIONAL~(p q) p ~q

Exemplo: A negao de "se sou baiano, ento sou brasileiro" "sou baiano e no sou brasileiro". BICONDICIONAL A bicondicional pode ser negada de duas maneiras:~(p q) ~p q ou ~(p q) p ~q

Exemplo: A negao de "3 > 2, se e somente se 2 N" pode ser feita de duas formas:a) 3 2, se e somente se 2 N b) 3 > 2 , se e somente se 2 N

EXERCCIOS1) Negar as proposies: a) 3 impar e dois primo; b) Magno Bahia ou Nelson no Vitria; c) Se x2 = 4, ento x = 2 ; d) x 2 = x , se e somente se x 0. 2) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" a) b) c) d) e) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva no est chovendo e eu levo o guarda-chuva no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva est chovendo e eu no levo o guarda-chuva


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3) A negao da proposio A Seleo Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo, mas no jogou bem. a) A Seleo Brasileira de Futebol no se classificou para a Copa do Mundo e no jogou bem. b) A Seleo Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo ou no jogou bem. c) A Seleo Brasileira de Futebol no se classificou para a Copa do Mundo, mas jogou bem. d) A Seleo Brasileira de Futebol no se classificou para a Copa do Mundo ou jogou bem. e) A Seleo Brasileira de Futebol classificou-se para a Copa do Mundo e no jogou bem.

SENTENAS ABERTAS, QUANTIFICADORESJ vimos que expresses como x + 1 = 7, x > 2 e x3 = 2x2, no podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, pois para isso dependem do valor assumido pela varivel x. Sendo assim, estas expresses, no sentido formal no constituem proposies, elas so denominadas sentenas abertas. No entanto, vamos mostrar a vocs que podemos transform-las em proposies, juntando-lhes os chamados quantificadores.

OBSERVAES:1) Salvo meno em contrrio os valores numricos de x podero ser quaisquer nmeros reais. Em outras palavras, costuma-se dizer que o nosso universo lgico, normalmente simbolizado por U, ser, salvo meno em contrrio, o conjunto R; 2) Nas sentenas matemticas abaixo, a expresso tal que ser abreviada por um ponto e vrgula.

QUANTIFICADORES: Universal : x ( L-se: Todo x ou Para todo x ou Qualquer que seja x ) Exemplo: ( x ) ( x + 1 = 7 ), que se l: Para qualquer valor de x, x + 1 = 7 ( proposio falsa ). Existencial : x ( L-se: Existe pelo menos um x ou Existe x ou Existe algum x ) Exemplo: ( x ); ( x + 1 = 7 ), que se l: Existe algum x tal que x + 1 = 7 ( proposio verdadeira ). Existencial Particular : ! x ( L-se: Existe um nico x ou Existe apenas um x ) Exemplo: ( ! x ); ( x + 1 = 7 ), que se l: Existe apenas um x tal que x + 1 = 7 ( proposio verdadeira ). NEGAES DE PROPOSIES COM QUANTIFICADORES:Nas explicaes que se seguem, considere U um universo lgico e p ( x ) uma proposio: 1) ~ ( x U, p ( x ) ) = x U; ~ p ( x )


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IDORT RACIOCNIO LGICOEXEMPLOS:

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a. ~ ( x R, x2 > 4 ) = x R; x2 4 b. ~ ( x R, x2 0 ) = x R; x2 < 0 c. ~ ( Todo homem mortal ) = Existe pelo menos um homem que no mortal ( ou, o que o mesmo, Existe pelo menos um homem imortal ).

RESUMINDO: Negao do quantificador Universal: Troca-se x por x e nega-se a proposio.2) ~ ( x U, p ( x ) ) = x U; ~ p ( x )

EXEMPLOS:a) ~ ( x R, x2 > 16 ) = x R; x2 16 b) ~ ( x R, x2 0 ) = x R; x2 < 0 c) ~ ( Existe homem que mortal ) = Todo homem no mortal ( ou, o que o mesmo: Todo homem imortal ).

RESUMINDO: Negao do quantificador Existencial: Troca-se x por x e nega-se a proposio.3) Negao do quantificador Nenhum: Troca-se Nenhum por x e conserva-se a proposio

EXEMPLOS:a) A negao de: Nenhuma pessoa que contrai o vrus da AIDS sobrevive Existe alguma pessoa que contrai o vrus da AIDS e sobrevive. b) ~ ( Nenhum homem mortal ) = Existe homem que mortal.

EXERCCIOS:1) A negao da proposio Todos os homens so bons motoristas a) Todas as mulheres so boas motoristas. b) Algumas mulheres so boas motoristas. c) Nenhum homem bom motorista. d) Todos os homens so maus motoristas. e) Ao menos um homem mau motorista. 2) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentena: Nenhum pescador mentiroso a) b) c) d) e) Algum pescador mentiroso. Nenhum mentiroso pescador. Todo pescador no mentiroso. Algum mentiroso no pescador. Algum pescador no mentiroso.


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3) A negao da sentena Nenhuma pessoa lenta em aprender freqenta esta escola. a) Todas as pessoas lentas em aprender freqentam esta escola. b) Todas as pessoas lentas em aprender no freqentam esta escola. c) Algumas pessoas lentas em aprender freqentam esta escola. d) Algumas pessoas lentas em aprender no freqentam esta escola. e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqenta esta escola. 4) A negao da sentena Todos os tringulos so eqilteros. a) Todos os tringulos no so eqilteros. b) Existe tringulo que no eqiltero. c) Existe tringulo que eqiltero. d) Nenhum tringulo eqiltero. e) Todos os tringulos so issceles. 5) A negao da sentena Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada a) Todas as pessoas que choram muito ficam desamparadas. b) Todas as pessoas que choram muito no ficam desamparadas. c) Algumas pessoas que choram muito ficam desamparadas. d) Algumas pessoas que choram muito no ficam desamparadas. e) Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada. 6) Dizer que a afirmao todos os economistas so mdicos falsa, do ponto de vista lgico, equivale a dizer que a seguinte afirmao verdadeira: a) pelo menos um economista no mdico b) nenhum economista mdico c) nenhum mdico economista d) pelo menos um mdico no economista e) todos os no mdicos so no economistas 7) Dar a negao de "Todo homem bom justo e existe torcedor do Vitria que no bom de bola".


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DIAGRAMAS LGICOSDiagramas lgicos so diagramas de Venn ( normalmente curvas planas fechadas, como circunferncias ou elipses ) que servem para representar certas proposies quantificadas.

EXEMPLO:Vamos desenhar um ( ou mais ) diagramas de Venn que possam representar as situaes lgicas abaixo: a) Todo artista inteligente

b) Nenhum ladro honesto c) Algum poltico honesto ( No esquea, que em lgica, algum tem o mesmo significado que: existe ao menos um, isto , possvel que alguns possa significar todos )

EXERCCIOS:1) ( ESAF ) Sabe-se que existe pelo menos um A que B. Sabe-se, tambm, que todo B C. Segue-se, portanto, necessariamente que: a) b) c) d) e) todo C B todo C A algum A C algum B no A algum A no C

2) ( ESAF ) Se verdade que "Alguns escritores so poetas" e que "Nenhum msico poeta", ento, tambm necessariamente verdade que a) b) c) d) e) nenhum msico escritor algum escritor msico algum msico escritor algum escritor no msico nenhum escritor msico

3) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filsofo rico" e que "alguns professores so ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidadePROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES [email protected]

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IDORT RACIOCNIO LGICOa) b) c) d) e) alguns filsofos so professores alguns professores so filsofos nenhum filsofo professor alguns professores no so filsofos nenhum professor filsofo

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4) Considere as seguintes proposies: I:Todo artista simptico. II:Todo poltico no simptico. Pode-se afirmar que a) alguns artistas so polticos. b) algumas pessoas simpticas so polticos. c) nenhum artista simptico. d) nenhum artista poltico. e) nenhuma pessoa simptica artista.


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LGICA DE ARGUMENTAOCONCEITO DE ARGUMENTO:Argumento um conjunto formado por certas proposies, chamadas premissas, consideradas como verdadeiras e uma outra proposio chamada de concluso. Normalmente o argumento tem a forma: Premissa 1 Premissa 2 . . . Premissa n __________ Concluso

EXEMPLO:Magno legal ( Premissa 1 ) Maria bonita ou Magno no legal ( Premissa 2 ) ______________________________ Maria bonita ( Concluso )

A lgica de argumentao uma cincia composta por regras usadas para a deciso sobre a validade de argumentos ( essas regras esto relacionadas com as tabelas que estudamos ). IMPORTANTE: a) Se as premissas ( assumidas sempre como verdadeiras ) nos levarem a uma concluso sempre verdadeira, o argumento dito vlido. b) Se as premissas ( assumidas sempre como verdadeiras ) nos levarem a uma concluso falsa ( no sentido de que no possamos afirmar com toda certeza seu valor lgico a partir das premissas ou que seu valor lgico com toda certeza falso ), o argumento dito no vlido. Ou simplesmente, o argumento chamado de no vlido se no for vlido, como definido no item a) acima. Ou ainda, um argumento falso se houver alguma possibilidade da concluso assumir o valor lgico falso. Vamos resolver alguns exerccios para que voc possa compreender melhor a lgica de argumentao.


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IDORT RACIOCNIO LGICOTESTE A VALIDADE DOS SEGUINTES ARGUMENTOS:1) Magno legal ( Premissa 1 ) Se Maria bonita ento Magno no legal ( Premissa 2 ) _______________________________________________ Maria no bonita ( Concluso ) 2) Magno legal ( Premissa 1 ) Se Maria bonita ento Magno no legal ( Premissa 2 ) _______________________________________________ Maria bonita ( Concluso ) 3) Magno legal ( Premissa 1 ) Maria bonita ou Magno no legal ( Premissa 2 ) _________________________________________ Maria bonita ( Concluso ) 4) Magno legal ( Premissa 1 ) Maria bonita ou Magno no legal ( Premissa 2 ) _________________________________________ Maria no bonita ( Concluso ) 5) Magno no legal ( Premissa 1 ) Maria bonita e Magno no legal ( Premissa 2 ) ________________________________________ Maria bonita ( Concluso ) 6) Magno no legal ( Premissa 1 ) Maria bonita e Magno no legal ( Premissa 2 ) ________________________________________ Maria no bonita ( Concluso ) 7) Maria bonita ( Premissa 1 ) Se Maria bonita ento Magno no legal ( Premissa 2 ) ______________________________ Magno no legal ( Concluso )

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IDORT RACIOCNIO LGICO8) Maria bonita ( Premissa 1 ) Se Maria bonita ento Magno no legal ( Premissa 2 ) ______________________________ Magno legal ( Concluso ) 9) 2 < 3 ( Premissa 1 ) Se 4 + 1 = 5 ento 2 < 3 ( Premissa 2 ) ______________________________ 4 + 1 = 5 ( Concluso ) 10) 2 < 3 ( Premissa 1 ) Se 4 + 1 = 5 ento 2 < 3 ( Premissa 2 ) ______________________________ 4 + 1 5 ( Concluso ) 11) Sobre os seguintes argumentos que seguem, podemos afirmar:

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1 argumento: Este argumento no incorreto _________________________ Logo este argumento corretoa) so ambos no vlidos

2 argumento: Se este argumento for correto, ento ele no ser invlido __________________________________________ Assim, se ele for invlido, ento ele ser incorretoc) o 1 vlido e o 2 no vlido

b) so ambos vlidos

d) o 1 no vlido e o 2 vlido

e) Nada possvel afirmar

12) Classificando os argumentos que seguem em vlido (V) e no-vlido (N), a seqncia correta obtida, para os argumentos 1, 2 e 3, nesta ordem, :

argumento 1: Nenhum F G Todo G H _____________Nenhum F H

argumento 2: Todo F G Nenhum G H ______________Nenhum F H

argumento 3: Algum F G Algum G H ____________Algum F H

a) N, V, N

b) N, V, V

c) V, V, N

d) V, N, V

13) Considere os seguintes argumentos: I. Se 7 menor que 4, ento 7 no primo. Mas 7 no menor que 4, logo 7 primo


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IDORT RACIOCNIO LGICOII. Se Londres est na Dinamarca, ento Paris no est na Frana. Mas Paris est na Frana, portanto Londres est na Dinamarca. III. Se 5 um nmero primo, ento 5 no divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 no um nmero primo. A validade dos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte seqncia: a) Vlido, Vlido, Vlido b) No-Vlido, No-Vlido, Vlido c) Vlido, No-Vlido, Vlido d) Vlido, Vlido, No-Vlido e) No-Vlido, No-Vlido, No-Vlido 14) Considere os argumentos abaixo: I. Se 6 no par, ento 3 no primo. Mas 6 par. Logo 3 primo. II. Se faz frio, Margarete fica em casa. Margarete no ficou em casa. Logo no fez frio. III. Se voc tem ar condicionado, ento no passa calor. Quem mora em Foz do Iguau tem ar condicionado. Logo, se voc mora em Foz do Iguau, no passa calor. O ( s ) argumento ( s ) DEDUTIVO ( S ) ( so ) a) I e II. d) Somente III. b) II e III. e) I, II e III. c) Somente I.

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IDORT RACIOCNIO LGICO15) Considere as seguintes premissas ( onde X, Y, Z e P so conjuntos no vazios ): Premissa 1: "X est contido em Y e em Z, ou X est contido em P" Premissa 2: "X no est contido em P" Pode-se, ento, concluir que, necessariamente a) b) c) d) e) Y est contido em Z X est contido em Z Y est contido em Z ou em P X no est contido nem em P nem em Y X no est contido nem em Y e nem em Z

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ANLISE COMBINATRIADenominamos anlise combinatria parte da matemtica que estuda as tcnicas de contagem de agrupamentos que podem ser formados com elementos de um dado conjunto. Os agrupamentos mais comuns so os arranjos, as combinaes e as permutaes.

1. PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ( PFC )Se um evento composto de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ocorrer de m modos e a segunda pode ocorrer de n modos, ento o nmero de modos diferentes de realizar o evento m.n . Exemplo: Prof. Snia deseja formar conjuntos cala - blusa para vestir-se. Se ela dispe de 6 calas e 10 blusas para escolher, de quantos conjuntos diferentes poder dispor? Resposta: Pelo PFC: 6 .10 = 60 conjuntos cala - blusa.

2. ARRANJOS Arranjos Simples ( sem repetio ) so agrupamentos nos quais a ordem importante ( isto , ao mudarmos a ordem dos elementos num agrupamento qualquer, formamos um novo agrupamento ). Exemplo: Com os algarismos 2 e 3, quantos nmeros de dois algarismos podem ser formados, sem repetio de algarismos? Note que so apenas dois nmeros: 23 e 32. Tome, pr exemplo o agrupamento ( nmero ) 23, ao mudarmos a ordem dos algarismos deste nmero constitumos um novo agrupamento, isto , o nmero 32. Logo, 23 e 32 so dois exemplos de arranjos possveis com os dgitos 2 e 3. 3. PERMUTAES Permutaes Simples so arranjos simples que envolvem todos os elementos do conjunto. 4. COMBINAES Combinaes Simples ( sem repetio ) so agrupamentos nos quais a ordem no importantePROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES [email protected]

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( ou seja, ao mudarmos a ordem dos elementos num agrupamento qualquer, no formamos um novo agrupamento ). Exemplo: Os conjuntos A = { 2, 3, 5 } e B = { 3, 5, 2 } so combinaes iguais, pois ao mudarmos a ordem dos elementos do conjunto A, no formamos um novo conjunto ( pois A = B ).

5. FRMULAS PRINCIPAIS OBSERVAO: O smbolo !, em matemtica l-se fatorial e, pr exemplo:3! = 3.2.1 = 6 ( l-se o fatorial de 3 igual a seis ou 3 fatorial igual a seis ) 4! = 4.3.2.1 = 24

Pr Conveno: 0! = 1 e 1! = 1 ARRANJOS: Sem repetio :An , p = n! ( n p )!

Com repetio :

An , p = n p

COMBINAES : PERMUTAES : Sem repetio :

Cn , p =

n! p !( n p ) !

Pn = n !

Com repetio :

Pn ,a ,b ,c =

n! a !b !c !

EXERCCIOS PROPOSTOS ( Resolues em sala )1) Num estdio de futebol h 12 portas de entrada. Quantas possibilidades existem de uma pessoa entrar pr uma porta e sair pr outra diferente? Resp. 132 2) ACM possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele poder vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? Resp. 600 3) Uma prova consta de 12 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas esse teste poder ser respondido? Resp. 4.096 4) Um mgico se apresenta em pblico vestindo cala e palet de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sesses com conjuntos diferentes, qual o nmero mnimo de peas ( nmero de palets mais nmero de calas ) de que ele precisa? Resp. 10


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IDORT RACIOCNIO LGICO5) Quantos divisores positivos tem o nmero 180? Resp. 18

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6) Quatro linhas de nibus unem a cidade A cidade B e trs linhas unem a cidade B cidade C. Um usurio vai viajar de A para C, passando pr B e vai voltar para A, passando novamente pr B. De quantos modos diferentes esse usurio poder escolher as linhas, se na volta ele no puder usar a linha que usou na ida? Resp. 72 7) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos nmeros naturais de 3 algarismos podem ser escritos? Destes nmeros, quantos so formados pr algarismos distintos? Resp. 125 e Resp. 60 8) Quantas placas de licena de automveis podem ser formadas pr trs letras e quatro algarismos, sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismos distintos? E se os algarismos puderem ser repetidos? Resp. 630.000 e Resp. 1.250.000 9) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos nmeros naturais mpares de trs algarismos distintos podemos formar? Resp. 120 10) Quantos so os anagramas da palavra MAGNO ? ( anagramas so palavras formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais palavras podem no ter significado na linguagem comum ). Resp. 120 11) Com relao palavra TEORIA: a) b) c) d) e) f) Quantos anagramas existem? Resp. 720 Quantos anagramas comeam pr T? Resp. 120 Quantos anagramas comeam pr T e terminam pr A? Resp. 24 Quantos anagramas comeam pr vogal? Resp. 480 Quantos anagramas tm as vogais AEIO juntas e nesta ordem? Resp. 6 Quantos anagramas tm as vogais juntas? Resp. 144

12) Quantos so os anagramas da palavra: a) ELEGER? Resp. 120 b) CANDIDATA? Resp. 30.240 c) MISSISSIPI? Resp. 6.300 13) Quantos subconjuntos do conjunto A = { 1, 2, 6, 8, 9} tm exatamente 2 elementos? Resp. 10 14) Quantas diagonais tem um decgono ( polgono de 10 lados )? Resp. 35 15) Quantas comisses de 3 pessoas podem ser formadas, se podemos escolh-las dentre 7 pessoas? Resp. 35 16) Deve ser formada uma comisso de 3 estatsticos e 3 economistas, escolhidos entre 7 estatsticos e 6 economistas. De quantas maneiras diferentes podero ser formadas essas comisses? Resp. 700


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17) Um examinador dispe de 6 questes de lgebra e 4 de geometria, para montar uma prova de 4 questes. Quantas provas diferentes ele pode montar, usando 2 questes de lgebra e 2 de geometria? Resp. 90 18) Uma empresa tem 12 diretores, sendo que um deles presidente e o outro vice-presidente. Quantas comisses distintas, de seis diretores, podem ser formadas, sempre contendo o presidente e o vice-presidente como dois de seus membros? Resp. 210 19) ( ESAF ) Quantas comisses compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionrios de uma empresa? a) 120 b) 210 c) 720 d) 4.050 c) 5.040

Resp. b)20) ( ESAF ) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificao para os trs primeiros lugares? a) 240 b) 270 c) 420 d) 720 e) 740

Resp. d)

PROBABILIDADESCONCEITOS BSICOSA teoria da probabilidade ocupa-se do clculo da chance de ocorrncia de determinado evento, levando em conta as condies em que esse evento pode ocorrer. Pr exemplo: No lanamento de um dado honesto qual a probabilidade de ocorrer o nmero 4? Veremos mais adiante que a resposta 1/6.

Experimento Aleatrio ( ou no determinstico ) aquele experimento que pode ser repetido inmeras vezes, sob idnticas condies, sendo que o resultado de cada repetio no pode ser previsto antes da sua realizao. Pr exemplo: No lanamento de um dado honesto, determinar o nmero da face voltada para cima.

Espao Amostral o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. Smbolo: A Pr exemplo: No lanamento de um dado honesto podem ocorrer os seguintes resultados: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ( Espao Amostral )


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IDORT RACIOCNIO LGICODEFINIO CLSSICA DE PROBABILIDADE P ( E ) = m/nOnde: m = nmero de resultados favorveis ao evento E. n = nmero de resultados possveis ( desde que igualmente provveis ).

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OBSERVAO: Dois eventos so chamados independentes, quando P ( A B ) = P ( A ) .P ( B ) EXERCCIOS PROPOSTOS ( Resolues em sala )1) No sorteio de um nmero natural de 1 a 20, calcule as probabilidades: a) b) c) d) e) f) g) De ocorrer nmero par; Resp. 1/2 = 50% De ocorrer nmero mpar; Resp. 1/2 = 50% De ocorrer nmero primo; Resp. 2/5 = 40% De no ocorrer nmero primo; Resp. 3/5 = 60% De ocorrer um mltiplo de 5; Resp. 1/5 = 20% De no ocorrer um mltiplo de 5; Resp. 4/5 = 80% De ocorrer um divisor de 20. Resp. 3/10 = 30%

O que voc conclui sobre a soma das probabilidades das letras c) e d) acima; e das letras e) e f)? 2) Uma urna contm seis bolas vermelhas numeradas de 1 a 6 e quatro bolas amarelas numeradas de 7 a 10. Retirando ao acaso uma das bolas, determine as probabilidades: a) b) c) d) De sair uma bola amarela; Resp. 2/5 De sair uma bola vermelha; Resp. 3/5 De sair uma bola com nmero par; Resp. 1/2 De sair uma bola amarela com nmero par. Resp. 1/5

3) Calcular a probabilidade de se obter, no lanamento de um dado honesto, um ponto mltiplo de 2 e um ponto mltiplo de trs. Resp. 1/6 4) Calcular a probabilidade de se obter, no lanamento de um dado honesto, um ponto mltiplo de 2 ou um ponto mltiplo de trs. Resp. 2/3 ( Podemos usar a frmula: P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) ) 5) Uma urna contm 3 fichas azuis, 5 fichas brancas e 2 fichas cinzas. Supondo a extrao de uma ficha, calcular a probabilidade de se obter uma ficha azul ou uma ficha branca. Resp. 4/5 6) ( ESAF ) Num sorteio, concorreram 50 bilhetes, com nmeros de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado mltiplo de 5. A probabilidade do nmero sorteado ser 25, : a) 15% b) 5% c)10% d) 30% e) 20%

Resp. c)


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IDORT RACIOCNIO LGICO7) Um nmero sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.

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a) Qual a probabilidade de o nmero ser par? Resp. 1/2 b) Qual a probabilidade de o nmero ser par, dado que ele menor que 50? Resp. 24/49 c) Qual a probabilidade de o nmero ser divisvel pr 5, dado que par? Resp. 1/5 8) Supondo que numa pesquisa realizada com 200 pessoas tenha-se chegado aos seguintes resultados: 90 homens alfabetizados, 10 homens no alfabetizados e 150 pessoas alfabetizadas, calcule a probabilidade de se obter: a) b) c) d) e) f) Um homem; Resp. 1/2 Um homem alfabetizado; Resp. 9/20 Uma mulher; Resp. 1/2 Uma mulher alfabetizada; Resp. 3/10 Uma mulher no alfabetizada; Resp. 1/5 Uma pessoa no alfabetizada. Resp. 1/4


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afrf - esaf raciocínio lógico 2006

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