paulo quilelli - racicínio lógico esaf provas comentadas - 3a ed. 2009

Paulo Quileili

COLEO PROVAS COMENTADAS

Raciocnio Lgico ESAF

3a edio

& d i t o m ^ e i r a

Rio de Janeiro 2009

Copyright Editora Ferreira Ltda., 2005-2009

1 .ed. 2005; 2. ed. 2008; 3. ed. 2009

CapaBruno Barrozo Luciano

Diagramao Bruno Barrozo Luciano e Diniz Comes dos Santos

Reviso Fivia Bozzi Costa

Esta edio foi produzida em abri! de 2009, no Rio de Janeiro, com as famlias tipogrficas Syntax (9/10,8) e Minion Pro (12/14), e impressa nos papis

Chambril 70g/m2 e Caroiina 240g/m2 na grfica Sermograf.

CIP-BRASJL, CATALOGAO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE UVROS, RJ.

Q58r3.ed.

Quilelli, Paulo, 1946-Raciocnio lgico ESAF / Paulo Quilelli. - 3.ed. - Rjo de Janeiro : Ed. Ferreira, 2009.184p.-(Provas comentadas / da ESAF)

ISBN 978-85-7842-068-0

1. Lgica simblica e matemtica - Problemas, questes, exercidos. 2. Matemtica - Problemas, questes, exercidos .3. Servio pblico - Brasil - Concursos. I. Escola de Administrao Fazendria (Brasil). II. Titulo. III. Srie.

09-1556.CDD: 511.3 CDU: 510.6

06.04.09 09.04.09 011957

Editora Ferreira [email protected]

www.editoraferreira.com.br

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(Lei n 9.610/98) crime estabelecido peo artigo 184 do Cdigo Penal.

Depsito legal na Bibioteca Nacional conforme Decreto n 1.825, de 20 de dezembro de 1907.

impresso no BrasiUPrinted in Brazii

Sumrio

Parte 1 - Resumo terico

C onjunto............................................................................................................... 1Pertinncia............................................................................................................. 1Representao do conjunto.................................................................................... 1Igualdade........... ;.................................................................................................. 1Conjunto vazio.....................................................-................................................. 2Conjunto unitrio.................................................................................................... 2Conjuntos Num ricos.......................................................................................... 2Relao de In c lu so .......................................................................................... 3Interseo de conjuntos...........................................................................................4Unio de conjuntos..................................................................................................4Diferena de conjuntos....................................................................................... . 5Conjuntos Universo...............................................................................................5Conjunto C om plem entar................................................................................... 5Conjunto das Partes.............................................................................................. 6Lgica............................................... *.................................................................... 6Operaes Lgicas................................................................................................8Tautologia ..................................................................................:....................... 11Contradio..................................................... i......... ........................................ 11Contingncia...................................................................................................... 1 2Implicao Lgica............... .....l................. ..................................................... 12Equivalncia Lgica......... ..............I....... ............................................ .......... 13Proposio Contrapositiva......... ...................... .............................................. 13Regras de N egao..................................... ..................................................... 14Argumentao L gica............................................. ....................................... 15Quantificadores ............................................................................................... 16Diagramas Lgicos.......................................................................................... 16Negao de Sentenas com Quantificadores................................................. 17

lll

M atriz ......................................... ................................................................... 18Operaes ........................................................................................................ 2 0

D eterm inante.......................... .........................................................................2 2Sistema L inear..................................................................................................25Anlise C om binatria ....................................................................................30Probabilidade.......................................................................................................34

Parte 2 - Provas resolvidas '

Prova 01 - Agncia Nacional de guas-ANA/2009 ...................................... 37Prova 02 - Controladoria Geral da Unio/TFC/2008 .................................. 45Prova 03 - Vrios cargos/MPOG/ENAP/SPU/2006 ...................................... 51Prova 04 - Analista de Finanas e Controle/AFC/2006................................... 63

Prova 05 - Tcnico administrativo/Aneel/2006 ............... *........................... 73

Prova 06 - Auditor-iscal do Trabalho/AFT/2006 .......................................... 79

Prova 07 ~ Auditor-fiscal da Receita Estadual/AFRE-MG/2005 .................. 83

Prova 08 ~ Gestor fazendrio/Gefaz-MG/2005 ............................................. 87

Prova 09 - Analista de Planejamento e Oramento/MPOG/2005 ............... 91

Prova 10 - Tcnico/rea administrativa/MPU/2004.2 ............................... 101

Prova 11 - Tcnico/rea administrativa/MPU/2004.1 ................................. 111

Prova 12 - Analista/rea administrativa/MP/2004 ................................ 121

Prova 13 - Analista de Finanas e Controle/CGU/2003-2004 .............. 133

Prova 14 ~ Auditor-fiscal do Trabalho/MTE/2003 ..... ................................ 143

Prova 15 - Auditor do Tesouro Municipal/Prefeitura do Recife/2003 ...... 151

Prova 16 - Analista de Finanas e Controle/AFC/ 2 0 0 2 ............................... 155

Prova 17 ~ Analista/Serpro/2001 ..................................................................... 161

Prova 18 - Tcnico de Finanas e Controle/SFC/2000 ................................ 171

IV

Resumo Terico

Conjunto

Uma ideia intuitiva de conjunto pode ser: conjunto uma coleo de objetos. Entendem-se objetos como nmeros, pessoas, animais, pontos, etc., que so os elementos do conjunto.

usual o emprego de letra maiscula para representar conjunto, e de letra minscula para representar um elemento desse conjunto.

PertinnciaSe a elemento do conjunto A: j a e | l-se a pertence a A

Se a no elemento do conjunto A:|a g Aj l-se a no pertence a A.

Representao do conjunto

a) Atravs de seus elementos colocados entre chaves e separados por vrgula:

A = {1 , 2 , 3,4}b) Atravs de uma propriedade de seus elementos:B - {x | x primo menor que 10}, onde j l-se tal quec) Atravs de diagrama (diagrama de Venn)

Igualdade

Dois conjuntos A e B so iguais se todos os elementos de A forem elementos de B e todos os elementos de B forem elementos de A.

A - BNota: A = {2,5,7}

B = {2,2, 5,7,7,7}C = {7, 5 ,2 }A = B = C

1

Provas Comentadas da Esaf

Conjunto vazio

A ~ {x e N | x2 - -9}

O conjunto A no tem nenhum elemento, logo, A vazio.

A = {} ou A = 0

Conjunto unitrio

A = {x | x a capital do Brasil}A um conjunto que possui um s elemento: A - {Braslia}, logo, A conjunto unitrio.

Conjuntos numricos

Conjunto dos Nmeros Naturais:N - {0,1,2, 3,4, 5, 6 ,...}

Conjunto dos Nmeros Naturais No Nulos:N* - {1,2,3,4,5,6,...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros:Z = {..., -4, -3, -2,-1,0,1,2,3,4,...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros No Nulos:Z* = {..., -4, -3, -2 ,-1 ,1 ,2 ,3 ,4 ,...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros No Negativos: Z, = {0, +1,4-2, +3, +4,,..}

Conjunto dos Nmeros Inteiros No Positivos:Z_= {..., -4, -3, -2,-1,0}

Conjunto dos Nmeros Inteiros Estritamente Negativos: Z > {..., -4, -3, -2, -1 }

Conjunto dos Nmeros Inteiros Estritamente Positivos:Z+ {+1, +2, -f-3,4-4,...}

Paulo Quilelli 2

Resumo Terico

Conjunto dos Nmeros Racionais:

Q = {xjx = , p e Z e qeZ*}

So todos os nmeros que podem ser colocados sob forma de frao com o numerador sendo um inteiro e o denominador sendo um nmero inteiro no nulo

Conjunto dos Nmeros Racionais No Nulos:

Q* = {x | x = , p e Z* e q e Z*}___________ ^______ __________Conjunto dos Irracionais:

1 = 1 /2 , y5,e,7T,...}

So todos os nmeros que no podem ser obtidos pela diviso de dois nmeros inteiros

Conjunto dos Nmeros Reais:8t = Q u I

"Todos os nmeros racionais e todos os nmeros irracionais so nmeros reais.

Notas:

1 ) N c Z c Q c R (todo nmero natural inteiro, racional e real)2) Z+ - N3) Diagrama dos Conjuntos Numricos

Relao de incluso

Se todos os elementos de A so tambm elementos de B, dizemos que "A est contido em B ou que "A subconjunto de B

A c B

Ou, ento, que B contm A.

B A

3 Raciocnio Lgico


A negativa se faz: A Bl A no subconjunto de B ou A no est contido em B.

B > AJ B no contm A.

Notas:

1) Todo conjunto subconjunto de si mesmo: M c M 1 Ou todo conjunto contm a si mesmo: M 3 M

2 ) O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto:I 0 c P L qualquer que seja P.

Interseo de conjuntos

A interseo de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elemen tos que pertencem a A e pertencem a B.

Ex.: A = {1,2 , 3,4} e B = {2 , 3, 5, 6 }A n B = {2,3}

Logo A n B = {x [ x e A A x e B}

Onde A = e

Unio de conjuntos

A unio de dois conjuntos A e B o conjunto formado por todos os ele mentos de A e todos os elementos de B.

Ex.: A = {1 , 2 , 3,4} e B = {2,3,5,6}A u B = {1,2, 3 ,4 ,5 ,6 }

Logo | A u B = {x x e Av x e B}

OndeV = ou

Propriedades

A u A = A A n A A A u 0 = A A n 0 = 0 A u B = B u A A n B = B n A

Paulo Quilelli 4

Resumo Terico

( A u B ) u C = A u ( B u C )( A n B ) n C = A n ( B n C )A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C )A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )

Diferena de conjuntos

A diferena entre um conjunto A e um conjunto B o conjunto formado por todos os elementos de A que no so elementos de B.

Ex.: A - {1,2,3,4} e B = {2,3, 5,6}

A - B = {1,4}

Logo A - B = { x | x e A A x ^ B }

Conjunto universo

Quando definimos um conjunto para fazermos uma operao matemtica qualquer, a esse conjunto denominamos Conjunto Universo (U).

Ex.: A soluo da equao x + 5 = 3, sendo U = Z, -2, mas, se U = N, a equao no tem soluo.

Conjunto complementar

A condio para que exista o complementar de A em relao a B que A seja subconjunto de B. Ento, determina-se o complementar de A em relao a B pela diferena B - A.

Se A C B , ento C* = B A

Ex.: 1) A = (1,2, 5} e B = {1,2,4, 5} .

A diferena B - A = {4} pode ser chamada de complementar de A em relao a B, porque A C B .

< = { 4 }

2) A = {1,2, 3,4} e B = {1,2,4,6,7}

A diferena B - A = {6, 7} no pode ser chamada de complementar de A em relao a B, porque A Z B. Neste caso, no existe o complementar de A em relao a B.

5 Raciocnio Lgico


5) Complementar de A em relao ao conjunto universo U

A C _

Qy A ~ A .

Propriedades

*A ~ A = 0 * A - 0 = A *0 - A = 0 *A u = U * A n A = 0

*Sendo n (A) o nmero de elementos de A,n(AuB) = n(A)-f n(B)-n(AnB) *n(AuBuC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AnB) - n(An) - n(BnQ + n(AnBnQ

Conjunto das partes

O Conjunto das Partes de A o conjunto formado por todos os subconjuntos de A:

~ P ( 7

Ex.: A = {1,2, 3}

P (A) - { 0 , {1}, {2}> {3}, {1,2}, {1,3}, (2} 3}, {1,2,3}}

Nota: O nmero de elementos do Conjunto das Partes ou o nmero de subconjuntos de um conjunto de n elementos 2Q.

n (A) = n => n [P(A)j = 2a

Ex.: A = {1, 2,3}

n (A) = 3 => n [P(A)j = 23 = 8

LGICA

Proposio: uma sentena fechada declarativa que exprime um pensamento que pode ser verdadeiro ou falso e que normalmente designada pelas letras p, q, r , ...

Ex.: p: China um pas asitico

Paulo Quilelli 6

Resumo Terico

No so proposies as interrogativas, as imperativas e as exclamativas, pois no podem ser classificadas de verdadeira ou falsa.

Ex.: Quem est a?Feche o olho.Feliz aniversrio!

Valores Lgicos: Os valores lgicos de uma proposio so a verdade (V), se a proposio for verdadeira, e a. falsidade (F), se a proposio for falsa.

Princpios bsicos da lgica

Io) Princpio do terceiro excludo: Toda proposio s pode ser falsa ou verdadeira, exduindo-se qualquer outra hiptese.

2o) Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

As sentenas declarativas (proposies) possuem valor lgico verdadeiro (V) ou falso (F). As sentenas interrogativas, imperativas ou exclamativas no so proposies e, por conseguinte, no possuem valor lgico.

So proposies:a) Fernanda Montenegro artista premiada.b) Uma tonelada tem 1.000 gramas. ,

No so proposies: . \a) Obina craque? (interrogativa)b) Feliz aniversrio! (exdamativa)c) V embora, (imperativa)

Conectivos: So expresses utilizadas para, a partir de proposies simples, formar proposies compostas. Essas expresses so representadas por sinais lgicos. So eles:

Exerccio

Determinar o valor lgico das proposies abaixo:1) O 2 o nico nmero natural par que primo2) Manaus a capital do Par3) -2 < -94) D. Pedro II foi o ltimo Imperador do Brasil

(V )(F )(F )(V )

A.,V.,-O

eous e ... ento

. se, e somente se

7 Raciocnio Lgico


Exemplos:

Manuela foi nadar e Rafaela foi ao cinema.

Curitiba a capital do Paran ou o rio Amazonas est na Regio Norte.

Se Joo mdico, ento sabe biologia.

Um tringulo equiltero se, e somente se, os trs lados forem congruentes.

Proposies Compostas: So proposies formadas por duas ou mais proposies simples, utilizando-se os conectivos e, ou> ento ou se, e somente se.

Tblas-verade: So tabelas que representam todas as possibilidades dos valores lgicos (V ou F) das proposies simples ou compostas.

OPERAES LGICAS

Negao (~ ou ~0

A negao de p no p (~p) ou (-p).

Se p verdade, ento ~p falsa, e, se p falsa, ento ~p verdade.

Tabela-verdade

Ex.: Se Maria vai praia for uma proposio verdadeira, ento Maria no vai praia uma proposio falsa.

Sendo p: A questo no difcil, ento:~p: A questo difcil.~p: No verdade que a questo no difcil.~p: falso que a questo no difcil.

Conjuno (A)

p e q (pAq) ser verdadeira, se p for verdadeira e q for verdadeira, e ser falsa nos casos restantes.

Paulo Quilelli 8

Resumo Terico

Tabela-verdade

p q p A qV V VV F FF V FF F F

Ex.: A Terra gira em torno do Sol e a Lua gira em torno da Terra (V).A Terra gira em torno de Pluto e a Lua gira em tomo da Terra (F).

Disjuno (ou)

Na lngua portuguesa no temos outra palavra para distinguir os dois sentidos da palavra ou Exemplo:

P: Paulo professor ou engenheiro.Q: Paulo carioca ou cearense.Na proposio P, o ou inclusivo , pois aceita a interseo: engenheiro

ou professor, podendo ser engenheiro e professor. Desta forma, o smbolo lgico v.

Na proposio Q, o ou exclusivo, no aceita a interseo: carioca ou cearense, mas no ambos, carioca e cearense. Assim, o smbolo lgico V

Disjuno indusiva (V)

A princesa bonita ou formosEntende-se que a princesa bonita pode ser verdade, a princesa formo

sa tambm pode ser verdade, assim como bonita e formosa tambm. Isso caracteriza a disjuno indusiva.

p ou q (p V q) ser falsa sempre que p for falsa e q for falsa, e ser verdadeira nos casos restantes.

Tabela-verdade

P- q p V qV v VV F VF V VF F F

Ex.: Sua um pas africano ou 5 + 9 = 21. ( F )Paris a capital da Frana ou 5 > 8. ( V )31 um nmero primo ou 10 um nmero par. ( V )

9 Raciocnio Lgico


Disjuno exclusiva (V)

Jos nasceu em Pernambuco ou em So Paulo.Entende-se que no pode ser verdade nascer em Pernambuco e em So

Paulo. Aqui a interseo no existe, falsa.p ou q, mas no ambos (p V q) ser falsa sempre que os valores lgicos

de p e q forem ambos verdadeiros ou ambos falsos, e verdadeira quando os valores lgicos forem contrrios.

Tabela-verdade

p q p V qV ' V F

V F V

F V V

F F F

Condicional (>)

se p, ento q (p > q) sempre verdadeira, exceto quando p verdadeira e q falsa.

Tabela-verdade

P qV v vV F F

F V V

F p v

Ex.: Se a bola de futebol cbica, ento a borboleta peixe. ( V )Se o Brasil campeo, ento 4-1-3 = 9. (F )Se 4 mpar, ento 3 menor que 9. ( V )

Nota: Chamando de p a proposio 6 nmero inteiro e de q % nmero real, a proposio composta "se 6 nmero inteiro, ento 6 real entende-se como p > q.

6 ser nmero inteiro (p) condio suficiente para 6 ser real (q), enquanto que 6 ser real (q) condio necessria para "6 ser nmero inteiro (p).

Paulo Quilelli 10

Resumo Terico

Bicondicional ()

p se, e somente se, q (p


p ~P p A~pV F FF V F

Chove e no chove uma contradio por ser sempre falsa.

Contingncia

toda proposio composta que no tautolgica nem contraditria, isto , a sua tabela-verdade possui os valores lgicos V e F.

Ex.: A proposio composta (pA~q) (~pvr) uma contingncia.

P q r ~q ' P A~q ~P ~pVr (pA~q) (~pvr)V V V F F F V FV v F F F F F VV F V V V F V VV F F V V F F FF V V F F V V FF V F F F V V FF F V V F V V FF F F V F V V F

Implicao lgica

p => Q (P implica Q) l-se P implica Q.P s implicar Q se a condicional P => Q for tautolgica, isto , for sem

pre verdadeira.Ex.: p A q => p V q

Vamos verificar pela tabela verdade se a condicional (p A q) * (p v q) tautolgica.

P q p-> q "ip ->pVq (p^q)pVq)V V V F V V

V F F F F VF V V V V V

F F V V V V

A condicional tautolgica, p A q implica p v q.Caso uma proposio no implicar outra denotamos por =. Ex.: (p A q) = (p v q)

Paulo Quiielli 12

Resumo Terico

Equivalncia lgica

P Q (P eqivale a Q ou P equivalente a Q).P s ser equivalente Q se a bicondicional P -o Q for tautolgica, isto

, for sempre verdade.Exemplo: Vamos verificar se a proposio se faz sol vou praia equiva

lente a no faz sol ou vou praia, expressas logicamente por:(p -* q) (>p Vq).

Faamos a tabela-verdade para verificar se a bicondicional:(p q) ( ip Vq) tautolgica.

p q P ^ np ->p V q (p -> q) (-.p V q)V V V F V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

A bicondicional tautolgica, portanto so equivalentes as duas proposies.

Concluso: para que a bicondicional seja tautolgica necessrio que a tabela-verdade de p q seja ordenadamente igual tabela-verdade de -ip v q. Podemos, ento, definir que duas proposies so equivalentes quando tm a mesma tabela-verdade.

Proposio contrapositiva' q. So proposies equivalentes:

(p q) (-rq > ~p)

P q p q P ..~q ...~q.-~pV V ' V F F VV F F F V FF V V V F vF F V V V v

Sendo verdadeira a proposio Se x2 mpar, ento x mpar (p > q), ser verdadeira tambm a proposio Se x par, ento x2 par*((_q_> ~p). Caso umaseja falsa, a outra tambm ser.

13 Raciocnio Lgico

REGRAS DE NEGAO

Regras de Morgan

~(p A q) ~p v ~q


p q pAq ~{pAq) ~p ~q) ~q . pA~q..V V V F F FV F F V V VF V V F F FF F V F V F

Ex.: A negao de Se faz sol vou praia Faz sol e no vou praia

Negao da bicondicional

~(p B q ) ( p A ~q) V (~P A q)

P q p O q ~ (p ^ q ) ~P ~q pA~q ~pAq (pA~q)V(~pAq)V V V F F F F F FV F F V F V V F VF V F V V F F V VF F V F V V F F F

Paulo Quilelli 14

Resumo Terico

Ex.: A negao de Dois lados de um tringulo so congruentes se, e somente se, os seus ngulos opostos so congruentes Dois lados de um tringulo so congruentes e seus ngulos opostos no so congruentes ou Dois lados de um tringulo no so congruentes e seus ngulos opostos so congruentes

Argumentao lgica

Sejam P1, P2> P3, Pn e Q proposies quaisquer simples ou compostas.

Chama-se argumento uma seqncia finita de proposies Pj, P2, ...., Pn que infere uma proposio Q.

P j, P2, ..., Pn so as premissas e Q a concluso. Representamos por:

^2 ^3 ***

L-se: P}>P2, ..., Pn acarretam Q ou inferem Q ou Q decorre de Px, P2,...Pn

Um argumento P1, P2, P ai- Q vlido (legtimo) se, e somente se, a condicional (Px a P2 A P3 ..., Pn) - Q for tautolgica, o que se conclui que vlido o argumento quando a concluso Q verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras.

Quando um argumento no vlido, diz-se que um SOFISMA ou FALCIA ou ILEGTIMO.

Exemplos:

1) Se chove, Paulo vai ao cinema.

Paulo no foi ao cinema. ,

Logo, no choveu. >

Representao simblica: p '-> q>~q! p

V Q

P q p - q ~PV V V F FV F F V FF V V F VF F V V V

15 Raciocnio Lgico


A quarta linha a nica em que se tem as duas premissas verdadeiras. Verificamos a que a concluso tambm verdadeira. Logo, o argumento vlido.

2) Pt: Se chove, a rua se molha.P2: A rua est molhada.

Q: Choveu.

Representao simblica: p > q , q b p

Q P2 P.P q p ^ qV V Vv F FF y VF F V

Se houver alguma linha em que as premissas sejam verdadeiras e a concluso seja falsa, o argumento no vlido ( sofisma). Na linha 3, isso verificado; logo, esse argumento um sofisma.

Quantificadores

Para se representar expresses do tipo: todo elemento do conjunto dos naturais no negativo; existe gente que honesta nas favelas;Todo e existe so os quantificadores.V (l-se para todo, qualquer que seja) quantificador universal.3 (l-se existe, existe pelo menos um) o quantificador existencial, de

seleo.

Diagramas lgicos

Utilizamos o diagrama de Venn para analisar algumas proposies.

Paulo Quilelli 16

Resumo Terico

Io) P Q pode ser entendido como P c Q (todo P Q)

3o) A n B = 0 (conjuntos disjuntos) nenhum A B

4o) P Q pode ser entendido como P


MATRIZ

uma tabela de elementos dispostos, ordenadamente, em linhas e colunas.

1. Matriz Genrica

onde* * ^a rem d elemento' [ j a ordem da coluna do elemento

| m o nmero de linhas da matriz { n o nmero de colunas da matriz

Exemplo:/I 2 3\

(1) M = L q g a matriz do tipo 2 x 3 (2 linhas por 3 colunas); uma

matriz retangular.

(2) Na matriz anterior, o elemento 2 o aJ2> pois da primeira linha e segunda coluna. O elemento 5 o a21> segunda linha e primeira coluna.

2. Matriz Linha (m = 1)

B = (l 4 -3 7)m

3. Matriz Coluna (n = 1)

0

4. Matriz Nula

as Todos os seus elementos (a..) so nulos (a. = 0)_ 0 0 01 paj-a qualquer i ou j. 0 0 0

2x3

Paulo Quilelli 18

Resumo Terico

5. Matriz Quadrada (m = n)'4 1 - 3

A = 2 0 56 - 2 9

Os elementos da diagonal principal so: 4,0 e 9 e os da diagonal secundria so: -3, 0 e 6.

Obs.: A soma dos elementos da diagonal principal chama-se trao da matriz.T(A) a15 + a22 + a33 4 + 0 + 9 = 13

6. Matriz Diagonal: uma matriz quadrada na qual os elementos que no pertencem diagonal principal so nulos.

D4 0 00 - 8 00 0 0

7. Matriz Triangular: toda matriz quadrada em que todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal so nulos.

Ex.: A1 0 0' 6 2 3 4

ou D = 0 5 1 24 3 0 0 0 - 3 75 - 2 7 0 0 0 8

8. Matriz Identidade ou Unidade: uma matriz diagonal na qual os elementos da diagonal principal so iguais a 1.

1 0] 1 0 00 lj |3 _ 0 1 00 0 1

9. Matriz Transposta: dada ma matriz A, a sua transposta A1 ter suas colunas, respectivamente, iguais s linhas de A e, consequentemente, ter suas linhas, respectivamente, iguais s colunas de A.

'4 7 ' * = 4 - 1 9- 1 8 7 8 29 - 2

Propriedades da matriz transposta

I a) (A O ^A 2a)(A + B)t = At + Bt 3a) (K.A)1 = JLA\ K constante 4a) (A.B)1 = B*. A1

19 Raciocnio Lgico


10. Matrizes Iguais: tero seus elementos, respectivamente, iguais. SeA = B, ento a.. = b...i) i}

Ex.: '2 1 a b4 6 c d logo: a = 2, b = 1, c - 4, d - 6 .

11. Matriz Oposta: se A e B so opostas ento A = -B

Ex.: A1 40 - 3 2 B

- 1 - 4 10 3 - 2

12. Matriz Simtrica: uma matriz A, quadrada, dita simtrica se A = A*.

Ex.: A = 2 ~ 4 - 4 52 - 4

- 4 5

13. Matriz Anti-simtrica: uma matriz A, quadrada, dita anti-simtrica se A = -A1.

0 1 - 5- 1 0 6 5 - 6 0

ij = 0a a;;

se i ) se i # j

OPERAESAdio e Subtrao: s podemos somar ou subtrair matrizes de mesma

ordem.

Ex.:

(1)/ 4 1 \- 5 7 +

\ 0 ~ 6

3 - 1\ / 4 + 3 1 - 1 \4 7 _ 5 4 . 4 7 + 7 =8 2 I ^0 + 8 6 + 21

17 0 \- 1 14

\ 8 ~ 4

(2)~6 8 -5 ) 17 - 4 5 \ _ / - 6 - 7 8 - ( - 4 ) - 5 - 5 13 12 -100 1 3 ) \1 2 1 - 2 3 - ( ~ 6 ) j " \ - l - 1 9

Propriedades:(1 ) (A + B) + C = A + (B + C)(2 ) A + B = B + A

Multiplicao de Matriz por Constante: multiplica-se cada elemento da matriz pela constante.

Paulo Quilelli 20

Resumo Terico

1 ~ 3 4 x 1 4 x ( 3)' 4 -1 2 '0 5 4 x 0 4 x 5 0 20

Multiplicao de Matriz por Matriz: s podemos multiplicar matrizes em que o nmero de colunas da primeira igual ao nmero de linhas da segunda. A matriz produto ter o nmero de linhas da primeira e o nmero de colunas da segunda.

Ex.:A Y B = P

' ' 2 x 4 A 4 x 3 2 x 3

(2)A3s4 x B3x4 = no existe o produto

(3)/I 3\ (~ 2 1\ /I x (-2 ) + (-3 ) x 4 1x1 + (3) x 6 \ /14 -17\\2 0 j x ^ 4 6y ^ 2 x (2) + 0 x 4 2 x l + 0 x 6 j ~ \ - 4 2 )

Obs.: Em geral, o produto de matrizes no tem a propriedade comutativa A xB # B x A (verifiqueos exemplos anteriores).

Sendo I matriz unitria de ordem n, tem-se que A .1 - A .n * n n n

14. Matriz Inversa (A_I)

Dizemos que A1 a matriz inversa de A se:

AxA"1 = A4 x A =1a

2 51 A-i r - 5 ' 1 03 8j A ~ [ -3 2 ; AxAl = 0 L

Propriedades da matriz inversa:Ia) (A'1)'1 - A 2a) (A.B)"1 - B^.A'1 3a) (Ac)'1 - (A1)*

Exerccio resolvido: Determinar X na equao A.X.B = C.A_1.A.X.B = A'KC IX B = A 1.C X.B = A~\C X.B.B1 = A^.C.B'1 X.I = A^.C.B'1

Logo: X - A'l.C.B'1

21 Raciocnio Lgico


DETERMINANTE

uma funo que associa matrizes quadradas a nmeros reais.

1) Matriz l x l => A - [ aH ] => det. A } a } = auEx.: A = [ -3 ] = > det A = j - 3 1 = -3

2) Matriz 2 x 2Calcula-se o determinante fazendo a diferena entre o produto dos elemen

tos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundria.

Ex.: A =1 2 3 4

1 23 4=> det. A =

3) Matriz 3 x 3 (Regra de Sarrus)

1 0 3 Ex.: A = 4 5 - 1

7 8 2

1 x 4 ~~2 x 3

d e t A =

1

105

= 10 + 96 + 0 -(1 0 5 - 8 + 0) = 106 - 97 = 9

X XJ 8/xx\1 0 3

/ / w4 5 - 1

/ \

Repetem-se as duas primeiras linhas (ou as duas primeiras colunas); Faz-se uma seta para a direita pegando a diagonal principal; Fazem-se mais duas setas para a direita, paralelas diagonal principal

(toda as setas com trs elementos); Faz-se uma seta para a esquerda pegando a diagonal secundria; Fazem-se mais duas setas para a esquerda, paralelas diagonal secundria; Faz-se o produto dos trs elementos de cada seta; Finalmente, faz-se a diferena entre a soma dos produtos das principais

e a soma dos produtos das secundrias.

Paulo Quilelli 22

Resumo Terico

Menor complementar de um elemento de uma matriz quadrada de ordemn > 2 (M.)

Ex.: A =0 2 41 3 - 1 5 6 0

Escolhe-se um elemento, por exemplo 5, que o a31. Retira-se a linha e a coluna do elemento escolhido:

2 43 - 1

Ao determinante da matriz que resta, plementar do elemento escolhido.

2 43 ~1 , chamamos de menor com-

Ms. = - 2 - 12 = - 14.

Co-fator de um elemento de uma matriz quadrada de ordem n > 2 (C)

o produto do fator (~l)+j pelo menor complementar do elemento.

Ex.: A =0 2 41 3 - 15 6 0

Escolhemos o elemento a = 6 para calcular o seu co-fator:

Teorema de Binet /l5,75 cm2

c) 2\/6 cm2

d) >Jl5 cm2

e) v6 cm2

39 Raciocnio Lgico


Consequentemente, o outro cateto 4 (Tringulo Pitagrico 3,4, 5),

A distncia oo se projeta na superfcie em verdadeira grandeza*

oo = BC = 2

A

4 + 4 + 2Semipermetro: p = ----- -- 5

Frmula de Hero para rea de tringulo: S = ^Jp(p ~ a)(p ~b)(p~c)

Logo, S = >/5.(5-2).(5-4).(5~4) = a/5.3.1.1 S = V

Paulo Quiielli 40

Prova 01 - Agncia Nadonal de guas-ANA/2009

26) O determinante da matriz

2 1 0

B= a b c

4+a 2+b ca) 2bc + c - ab) 2b - cc)a + b + cd )6 + a + b + ce) 0

Calculemos o determinante pela Regra da Estrela (Regra do Octgono)

det. B = 2.b.c + l.c. (4+a) + o.a (2+b) - o.b. (4+a) - a.l.c- c.(2 + b).2detB - 2.b.c + 4c + ac + 0 -- 0 -ac - 4 c - 2.b.cdet.B = 0 \Podemos tambm aplicar a propriedade,que diz que quando uma matriz possui uma fila igual a uma combinao linear de outras paralelas seu determinante igual a 0.Observe que a 3a linha igual ao dobro da Ia linha somado 2a linha.

27) Uma um a possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais prximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?

a) 11,53%b) 4,24%c) 4,50%d) 5,15%e) 3,96%

41 Radocnio Lgico


5 az 4 vm4 am2 vd

15 bolas

Dois casos a considerar: retirar uma bola de uma cor e a segunda da mesma cor e a terceira da mesma cor, isto multiplicao - e corresponde a multiplicao ( x ).As trs bolas podem ser de cor azul ou de cor vermelha ou de cor amarela. Isto soma - ou corresponde a soma (+}.

1 caso) as trs azuis =>p = x % = ^15 14 13 7x13

4 3 2 42o caso) as trs vermelhas =>p = x x = -------

r 15 14 13 35x13

43o caso) as trs amarelas => p = ^ (mesma quantidade das vermelhas)

No h trs bolas verdes, ento no consideramos. Logo, a probabilidade :

4 4 4 10 + 4 + 4 18p ------- 1---------- !---------- 1------------- = ----- 0,03956

7x13 35x13 35x13 35x13 455

/. p = 3,96%

28) Na populao brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variao gentica de 1%. Ao se examinar ao acaso trs pessoas desta populao, qual o valor mais prximo da probabilidade de exatamente um a pessoa examinada possuir esta variao gentica?

a) 0,98%b) 1%c) 2,94%d) 1,30%e) 3,96%

Probabilidade de ocorrer variao gentica: p(V) = 1% =

Paulo Quiieili 42

Prova 01 - Agncia Nacional de guas-ANA/2009

Probabilidade de no ocorrer a variao gentica (eventos complementares):

_ 99p(v) = 99% = r 100

Pessoa com a variao gentica: V Pessoa sem a variao gentica: vOs grupos que podem ser formados: VVV ou VVV ou VVV

1 99 99 , 29.403Logo: p = ---- x -----x -----x3 ---------------= 0,029403& r 100 100 100 1.000.000

p = 2,94 %

43 Raciocnio Lgico

Gabarito:22. B23. C24. B25. D26. E27. E28. C

Prova 02

Controladoria Geral da Unio/TFC/2008

26) Um renomado economista afirma que A inflao no baixa ou a taxa de juros aumenta Do ponto de vista lgico, a afirmao do renomado economista eqivale a dizer que:

a) se a inflao baixa, ento a taxa de juros no aumenta.b) se a taxa de juros aumenta, ento a inflao baixa.c) se a inflao no baixa, ento a taxa de juros aumenta.d) se a inflao baixa, ento a taxa de juros aumenta.e) se a inflao no baixa, ento a taxa de juros no aumenta.

Uma equivalncia da condicionalp -> q ~ p v q .

(p q) ( ~p v q )

A proposio A inflao no baixa ou a taxa de juros aumenta da forma ~p V q, logo, p q ser se a inflao baixa, ento a taxa de juros aumenta.

27) Cinco moas, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, esto vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moas que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim* Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda so, respectivamente:

a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

45


A ----------- B vmB ------------C am

C ----------- D amD ................B EE ................A vm

Com esse esquema, no temos de voltar ao enunciado para extrair os dados relevantes. Essa uma questo de erro e acerto. Ao atribuir verdade (V) ou mentira (M) a uma das proposies, verifica-se se vai dar certo; se no der, trocamos a atribuio e refazemos o esquema.

Io) atribuir M a Ana; logo, Beatriz veste amarelo, ento Beatriz mente;

2o) se Beatriz mente, ento Carolina veste vermelho e, portanto, fala a verdade;

3o) se Carolina fala a verdade, Denise veste amarelo e, consequentemente, fala mentira;

4o) se Denise mente, ento Beatriz e Eduarda vestem blusas iguais, Se Beatriz veste amarelo, Eduarda veste amarelo e, por conseguinte, mente.

5o) se Eduarda mente, ento Ana veste amarelo e mente.

Fechou o argumento: A (am), B (am), C (vm), D (am) e E (am).

28) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou no sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou no sou amiga de Oscar. Ora, no sou amiga de Clara. Assim,

a) no sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.b) no sou amiga de Clara e no sou amiga de Nara.c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.e) sou amiga de Oscar e no sou amiga de Gra.

P j: sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar (p v q)

P2: sou amiga de Nara ou no sou amiga de Abel (r v ~p)

P3: sou amiga de Clara ou no sou amiga de Oscar (s v ~q)

P4: Ora, no sou amiga de Clara (~s).

Pauo Quilelli 46

Prova 02 - Controladoria Geral da Unio/TFC/2008

O argumento acima formado por quatro premissas e pode ser apresentado da seguinte forma:

Pt : p v q

P2: r ^~P P3: s v~q

P:~s

Fazendo P4(V)> ento ~s(V), logo, em P3, s(V), o que obriga ~q(V). Em Pj> q (F)> obrigando a p(V). Em P2> ~p(F), ento r(V)

Concluso: Sou amiga de Abel.No sou amiga de Oscar.Sou amiga de Nara.Sou amiga de Clara.

29) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z.., onde i representa a Unha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (a..), de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes X = (x..) e Y-(y..). Sabendo- se que (x..) = \m e que y.. = (i~j)2, ento a potncia dada por (a22)au e o determinante da matriz X so, respectivamente, iguais a:

a) 2 e 2b) 2 eOc) -2 e 1d) 2 e 0 ,e) -2 e 0

A (a. )3x3

X = (xj)3lS = i1'2 . v " :-

Y=(y,J)M = 0 - i ) 2 , A = X + Y

Se A de terceira ordem e igual soma de X + Y, obriga a que X e Y sejam de terceira ordem.

a22 = X22 + y22 = 21'2 + 0 = ^*11 = *12 + y.2 = ^ + U - ^ = 1+1 = 2Logo, (a22)an - (V5)2= 2

47 Raciocnio Lgico


X =

1 1 1

^ V2 4 i

J3 y3

Toda matriz quadrada que possui duas filas paralelas proporcionais tem determinante nulo (det. X = 0)

{x x = 2

1 2 , pode-se

2xx + px2 = q

a) se p = -2 e q * 4, ento o sistema impossvel.b) se p s* -2 e q = 4, ento o sistema possvel e indeterminado.c) se p = -2, ento o sistema possvel e determinado.d) se p = -2 e q * 4 ento o sistema possvel e indeterminado.e) se p = 2 e q - 4, ento o sistema impossvel.

Temos que testar as opes.

Letra (a) p = -2 e q ^ 4

O sistema fica, ento:j x 1 x2 2 |2Xj 2x2 - q

1 - 1 2~ = * ---- , logo, sistema impossvel (vide teoria na pgina 29).2 2 * 4

31) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando igual a:

a) 0,04b) 0,40c) 0,50d) 0,45e) 0,95

Paulo Quiielli 48

Prova 02 - Controladoria Gerai da Unio/TFC/2008

p (encontrar Ricardo) = 0,40 p (encontrar Fernando) - 0,10 p (encontrar Ricardo e Fernando) = 0,05 p (A u B) = p (A) + p (B) - p (A n B) p (encontrar Ricardo ou Fernando) = 0,40 + 0,10 - 0,05 = 0,45

32) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de 15 questes. Contudo para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15 propostas. Assim de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes?

a) 3003b) 2980c) 2800d) 3006e) 3005

Como as 10 questes que Ana precisa resolver no tm ordem obrigatria, faremos combinao de 15 questes, 10 a 10:

15x14x13x12x11C - Cf, = = ----------------------= 3003

15 15 P5 5x4x3x2xl

33) gata decoradora e precisa atender o pedido de um excntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqncia de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que gata possui apenas 8 cores disponveis, ento o'nmero de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada igual a:t

a) 56b) 5760c) 6720d) 3600e) 4320

A arrumao das 5 listas ordenada. Os grupos de 5 listas de cores diferentes se diferenciam pela ordem das cores das listas. Portanto, temos um arranjo de 8 cores 5 a 5:

A! =8.7.6.5.4 = 6720

49 Raciocnio Lgico


Gabarito:

26. D27. E28. C29. D30. A31. D32. A33. C

Paulo Quilelli

Prova 03

Vrios cargos/MPOG/ENAP/SPU/2006

01) Sabe-se que x pertence ao conjunto dos nmeros reais R. Sabe-se tambm que 3 x + 2


Sendo P, Paulo, e J, Jorge, temos:P = Cr - 4 e J = Cl + 8.

p _i_ rA mdia aritmtica entre Paulo e Jorge

Substituindo P e J pelas suas expresses, temos:

P ~f~ J Cr 4 -j~ Cl H~ 8 Cr -f- Cl ~)~ 4 50 ~{~ 4 54 *)2 - 2 - 2 _ 2 _ 2 _ z /

03) Uma funo g(x) composta com f(x) - representada por (g o f) (x) - dada por g(f(x)).

Se g(x) - 3 x - 2 e(f o g) (x) = 9x2 - 3x + 1, ento f(x) igual a

a) x2 - 3x + 3.b) x2 + 3x - 3.c) x2 + x + 3.d) x2 + 3x + 2.e) x2 + 2x + 6.

Se fog(x) do 2o grau e g(x) do Io grau, ento, f(x) ter de ser do 2o grau: f(x) = ax2 + bx + c

fog(x) = fg(x)j, isto , substitui-se o x de f(x) pela fano g(x) = 3x - 2, logo,

fog(x) = f[g(x)] = a(3x - 2)2 + b(3x -2) + c = 9X2 ~ 3x + 1 a(9x2 - 12x + 4) + 3bx - 2b + c = 9x2 - 3x + 1 9ax2 - 12ax + 4a + 3bx - 2b + c = 9x2 - 3x + 1

Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos:9ax2 + (3b - 12a)x + (4a - 2b + c) = 9X2 ~ 3x + 1

Os polinmios do primeiro e do segundo membros da igualdade so idnticos e, como tal, os coeficientes dos termos de mesmo grau tero de ser iguais:9a = 9 a = 13b - 12a = - 3 3b - 12 = - 3 3b = 9 b = 34a ~ 2b + c - 1 4 - 6 + c = 1 c = 3

Logo, f(x) = x2 + 3x + 3

Como verificamos, no h opo. Por este motivo, a questo foi anulada.

Paulo Quiielli 52

Prova 03 - Vrios cargos/MPOG/ENAP/SPU/2006

04) A base de um tringulo issceles 2 metros menor do que a altura relativa base. Sabendo-se que o permetro deste tringulo igual a 36 metros, ento a altura e a base medem, respectivamente,

a) 8 m e 10 m.b) 12 m e 10 m.c) 6 m e 8 m.d) 14 m e 12 m.e) 16 m e 14 m.

B M C* 1 ................v ................... J

X

Tringulo issceles possui dois lados iguais (AB = AC = y) e o terceiro lado (BC = x) chamado de base.O permetro do tringulo (2p) a soma das medidas dos trs lados:2px + y + y = 3 /. x + 2y = 36

A altura relativa base tambm mediana, isto , passa pelo ponto mdio da base (M), quer dizer, BM = MC =

A resoluo algbrica dessa questo ser muito trabalhosa. mais fcil analisarmos as opes de resposta. Todas elas vm na ordem altura e base.a) No serve, pois a altura 8 no maior que a base 10.b) h - 12 e x = 10 * \

53 Raciocnio Lgico


Pelo Teorema de Pitgoras (o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos).Temos: y2 = 122 + 52 y2 = 144 + 25 y2 = 169 y = 13

Ou, para quem j sabe ser esse um tringulo egpcio, 5,12,13.

y = 13 faz com que o permetro seja 13 + 13 + 10 = 36Portanto, a base 2 metros menor que a altura e o permetro do tringulo 36m. As condies do problema foram atendidas.

05) Considere um tringulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferncia inscrita neste tringulo tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR, BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, tambm, que o permetro do tringulo ABC igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, igual a

a) 18 - c.b) 18-x .c) 36 - a.d) 3 6 - c .

Quando de um ponto exterior a um crculo traa-se duas tangentes circunferncia, as distncias desse ponto aos pontos de tangncia so iguais:

Logo, AR = AQ = x BR = BP = y

CP = CQ = z

Paulo Quiielli 54

O permetro ser, ento, 2x + 2y + 2z = 36, que dividido por 2 resulta: x + y + z - 18

Como CQ z, ento; z = 18 - (x + y)0 lado AB = c - x + y, logo, z = 18 - c

06) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de balas a saber: balas de chocolate e balas de caf. Cada bala de chocolate custa R$ 0,50 e cada bala de caf custa R$ 0,20. Sabe-se que um quilograma (kg) de balas de chocolate eqivale, em reais, a dois quilogramas debalas de caf. Sabe-se tambm que uma bala de caf pesa 8 gramas. Assim, o peso, em gramas, de uma bala de chocolate igual a

a) 5.b) 8.c) 15.d) 6.e) 10.

1 bala chocolate = R$ 0,501 bala caf - R$ 0,201 bala caf - 8g

Logo,8g 0,20

l.OOOg x x = ^ = 25,

1 kg de bala de caf custa R$25,00.

1 kg de bala de chocolate = 2 x 25 = R$ 50,00.

Da que:

1.000 g 50

y 0,50 y = - ^ = 10g

Logo, uma bala de chocolate pesa lOg.


55 Raciocnio Lgico


07) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, no-necessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que est imediatamente antes do carro azul menos veloz do que o que est imediatamente depois do carro azul. O carro verde o menos veloz de todos e est depois do carro azul. O carro amarelo est depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila so, respectivamente,

a) amarelo e verde.b) preto e azul.c) azul e verde.d) verde e preto.e) preto e amarelo.

Io 2o 3o 4oO carro azul possui um carro imediatamente antes e um imediatamente depois.

az

O carro verde, se est depois do azul, s poder ser o 4o carro, porque no pode ser imediatamente aps o azul.

az vd

Io 2o 3o 4oSe o carro amarelo est depois do carro preto, ento, ele ser o 3o e o preto o Io. pt az am vd

Io 2o 3o 4o

08) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cludio, Dlcio, Eduardo, Fbio e Gelson, estudam no mesmo colgio e na mesma turma de aula. A direo da escola acredita que se esses meninos forem distribudos em duas diferentes turmas de aula haver um aumento em suas respectivas notas. A direo prope, ento, a formao de duas diferentes turmas: a turma Tj com 4 alunos e a turma X2 com 3 alunos. Dadas as caractersticas dos alunos, na formao das novas turmas, Bernardo e Dlcio devem estar na mesma turma. Armando no pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cludio. Sabe-se que, na formao das turmas, Ar

Paulo Quilelli 56


mando e Fbio foram colocados na turma Tr Ento, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos:

a) Cludio, Dlcio e Gelson.b) Bernardo, Cludio e Gelson.c) Cludio, Dlcio e Eduardo.d) Bernardo, Cludio e Dlcio.e) Bernardo, Cludio e Eduardo.

Tj 4 alunos T2 3 alunos

Ia informao: Bernardo e Dcio na mesma turma.

2a informao: Armando no pode estar na mesma turma de Bernardo, nem com Cludio.

3a informao: Armando e Fbio na turma Tr Logo, a outra turma T2.

09) Nas frias, Carmem no foi ao cinema. Sabe-se que, sempre que Denis viaja,

sempre que Dante vai praia, Denis viaja. Ento, nas frias,

a) Denis no viajou e Denis icou feliz.b) Denis no ficou feliz, e Dante no foi piscina.c) Dante foi praia e Denis ficou feliz.d) Denis viajou e Carmem foi ao cinema.e) Dante no foi praia e Denis no ficou feliz.

Denis fica feliz. Sabe-se tambm que, nas frias, ou Dante vai praia ou vai piscina. Sempre que Dante vai piscina, Carmem vai ao cinema, e,

57 Raciocnio Lgico


Essa questo um argumento em que ele fornece as premissas e a concluso est na resposta.

Pj Carmem no foi ao cinema.P2: Denis viaja Denis fica feliz.P3: ou Dante vai praia ou vai piscina.

P4: Dante vai piscina Carmem vai ao cinema.P5: Dante vai praia Denis viaja.

Faz-se Pj verdade e em P4, Carmem vai o cinema (F), obrigando Dante vai piscina a ser falso.

Em P3> Dante vai piscina (F) obriga Dante vai praia a ser verdade. Em P5, o antecedente verdade, logo, Denis viaja tem de ser verdade.Em P2, o antecedente (V), logo, Denis fica feliz tem de ser (V).

Concluso:Carmem no foi ao cinema.Denis viaja.Denis fica feliz.Dante vai praia.Dante no vai piscina.

10) Ana, Beatriz e Carla desempenham diferentes papis em uma pea de teatro. Uma delas faz o papel de bruxa, a outra o de fada, e a outra o de princesa. Sabe-se que: ou Ana bruxa, ou Carla bruxa; ou Ana fada, ou Beatriz princesa; ou Carla princesa, ou Beatriz princesa; ou Beatriz fada, ou Carla fada. Com essas informaes, conclui-se que os papis desempenhados por Ana e Carla so, respectivamente,

a) bruxa e fada.b) bruxa e princesa.c) fada e bruxa.d) princesa e feda.e) fada e princesa.

Pj: Ana bruxa V Carla bruxa.P2: Ana fada V Beatriz princesa.

Pauo Quilelli 58


P3: Carla princesa V Beatriz princesa.P Beatriz fada V Carla fada.

4

Pelo processo das tentativas, vamos iniciar atribuindo a Carla fada valor lgico (V), o que faz: P4 ser verdadeiro. Da, Carla princesa e Carla bruxa tm valor lgico (F).

Em Pp se a 2 a proposio (F), ento Ana bruxa (V)Ento, Ana fada (F), o que obriga em P2 Beatriz princesa ser (V).

Em P3 (F) v (V) verdadeiro.

Concluso:Ana bruxa.Beatriz princesa.Carla fada.

11) Dizer que Ana no alegre ou Beatriz feliz , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer:

a) se Ana no alegre, ento Beatriz feliz.b) se Beatriz feliz, ento Ana alegre.c) se Ana alegre, ento Beatriz feliz.d) se Ana alegre, ento Beatriz no feliz.e) se Ana no alegre, ento Beatriz no e feliz.

\Ana no alegre ou Beatriz feliz um modelo ~ p v q, equivalente, ento, a p -> q.Ento, ser equivalente a Se Ana alegre, ento Beatriz feliz

12) A razo de semelhana entre dis tringulos, T1} e T2, igual a 8. Sabe-se que a rea do tringulo igual a 128 m2. Assim, a rea do tringulo X2 igual a

a) 4 m 2.b) 16 m2.c) 32 m2.d) 64 m2.e) 2 m2.

59 Raciocnio Lgico


A razo entre as reas de duas figuras semelhantes igual ao quadrado da razo linear de semelhana.

S,S2

= K2 /. ^ = 64 S, = 2 m 2S2

13) Trs amigos Lucas, Mrio e Nelson moram em Teresina, Rio de Janeiro e So Paulo - no necessariamente nesta ordem. Todos eles vo ao aniversrio de Maria que h tempos no os encontrava. Tomada de surpresa e felicidade, Maria os questiona onde cada um deles mora, obtendo as seguintes declaraes:

Nelson: Mrio mora em Teresina.Lucas: Nelson est mentindo, pois Mrio mora em So Paulo.Mrio: Nelson e Lucas mentiram, pois eu moro em So Paulo.

Sabendo que o que mora em So Paulo mentiu e que o que mora em Teresina disse a verdade, segue-se que Maria concluiu que Lucas e Nelson moram, respectivamente, em

a) Rio de Janeiro e Teresina.b) Teresina e Rio de Janeiro.c) So Paulo e Teresina.d) Teresina e So Paulo.e) So Paulo e Rio de Janeiro.

No se tem a informao de que quem mora no Rio de Janeiro mente ou fala a verdade.

Mrio no pode estar falando a verdade, pois se estiver, ele mora em So Paulo. No entanto, ao mesmo tempo, ele diz que Lucas est mentindo, e Lucas est dizendo que ele, Mrio, mora em So Paulo.Primeira concluso: Mrio est mentindo, logo, no mora em Teresina. Lucas ou Nelson moram em Teresina, Lucas ou Nelson moram em Teresina; letra (e) descartada.Se Mrio mente e no mora em So Paulo, ele s poder morar no Rio de Janeiro, pois em Teresina mora quem fala a verdade.Como verificamos, a questo foi anulada por falta de soluo.

Pauio Quiielli 60


14) Carmem, Gerusa e Maribel so suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas, j que podem ter agido individualmente ou no. Sabe-se que, se Carmem inocente, ento Gerusa culpada. Sabe-se tambm que ou Maribel culpada ou Gerusa culpada, mas no as duas. Maribel no inocente. Logo,

a) Gerusa e Maribel so as culpadas.b) Carmem e Maribel so culpadas.c) somente Carmem inocente.d) somente Gerusa culpada.e) somente Maribel culpada.

Montemos as premissas do argumento:

P : se Carmem inocente Gerusa culpada.P2: ou Maribel culpada ou Gerusa culpada.P: Maribel no inocente.

P3 ser verdadeira fazendo Maribel no inocente verdadeira.

Em P2 Maribel culpada verdade. Ento, Gerusa culpada tem de ser falso (ou exclusivo) para P2 ser verdade. Em P j5 Gerusa culpada (F) obriga Carmem inocente ser falso para Pt ser verdadeira.

Concluso:So culpadas Carmem e Maribel.Gerusa inocente.

15) Ana possui tem trs irms: uma gremista, uma corintiana e outra flum inense. Uma das irms loira, a outra; morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista loira, ou a fluminense loira; 2) ou a gremista morena, ou a corintiana ruiva; 3) ou a fluminense ruiva, ou a corintiana ruiva; 4) ou a corintiana morena, ou a fluminense morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, so, respectivamente,

a) loira, ruiva, morena.b) ruiva, morena, loira.c) ruiva, loira, morena.d) loira, morena, ruiva.e) morena, loira, ruiva.

61 Raciocnio Lgico


Nesta questo, todas as afirmativas so disjunes exclusivas. O melhor caminho voc iniciar pelas afirmaes em que a qualidade a mesma nas duas proposies.1 ) ou a gremista loira, ou a fluminense loira obriga que a corintiana no seja loira.

2 ) ou a gremista morena, ou a corintiana ruiva obriga que a corintiana seia ruiva, pois a gremista no morena.3) ou a fluminense ruiva, ou a corintiana ruiva obriga que a gremista no seia ruiva.

4) ou a corintiana morena, ou a fluminense morena obriga que a gremista no seja morena.

Primeira concluso: se a gremista no ruiva nem morena, ela loira. Ento, sobrou para a fluminense ser morena.

Gabarito:

01. A02. D03. Anulado04. B05. A06. E07. B08. D09. C10. A11. C12. E13. Anulado14. B15. A

Paulo Quilelli 62

Prova 04

Analista de Finanas e Controle/AFC/2006

01) Mrcia no magra ou Renata ruiva. Beatriz bailarina ou Renata no ruiva. Renata no ruiva ou Beatriz no bailarina. Se Beatriz no bailarina ento Mrcia magra. Assim,

a) Mrcia no magra, Renata no ruiva, Beatriz bailarina.b) Mrcia magra, Renata no ruiva, Beatriz bailarina.c) Mrcia magra, Renata no ruiva, Beatriz no bailarina.d) Mrcia no magra, Renata ruiva, Beatriz bailarina.e) Mrcia no magra, Renata ruiva, Beatriz no bailarina.

Px: Mrcia no magra ou Renata ruiva.P2: Beatriz bailarina ou Renata no ruiva.P3: Renata no ruiva ou Beatriz no bailarina.P4: Se Beatriz no bailarina ento Mrcia magra.

Nesta argumentao, no temos nenhuma premissa formada por uma proposio simples e nenhuma premissa formada por uma proposio composta que possua o e (A). Em qualquer uma destas duas situaes, atribuiramos uma valor lgico verdade (V).A premissa P4 uma condicional. Vamos arbitrar para o conseqente (Mrcia magra) valor lgico (F), pois obriga que se atribua ao antecedente (Beatriz no bailarina) valor lgico (F), para que a premissa P4 seja verdadeira.Na P3, o conseqente (Beatriz no bailarina), ento, (F), logo, o antecedente (Renata no ruiva) dever ser verdadeiro, para a premissa ser verdadeira. . vA P2 j ento verdadeira (V otf V). -A Pj verdadeira tambm (V ou F).

Concluso:Mrcia no magra.Renata no ruiva.Beatriz bailarina.

63


02) Pedro encontra-se frente de trs caixas, numeradas de 1 a 3. Cada uma das trs caixas contm um e somente um objeto. Uma delas contm um livro; outra, uma caneta; outra, um diamante. Em cada uma das caixas existe uma inscrio, a saber:

Caixa 1: O livro est na caixa 3.Caixa 2: WA caneta est na caixa 1.Caixa 3: "O livro est aqui.

Pedro sabe que a inscrio da caixa que contm o livro pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrio da caixa que contm a caneta falsa, e que a inscrio da caixa que contm o diamante verdadeira. Com tais informaes, Pedro conclui corretamente que nas caixas 1,2 e 3 esto, respectivamente,

a) a caneta, o diamante, o livro.b) o livro, o diamante, a caneta.c) o diamante, a caneta, o livro.d) o diamante, o livro, a caneta.e) o livro, a caneta, o diamante.

uma questo de tentativa.Vamos optar pelo diamante na caixa 1 , conseqentemente o livro obrigatoriamente estar na caixa 3 e a caneta estar na caixa 2, pois a inscrio nesta caixa ser falsa.

03) Se X est contido em Y, ento X est contido em Z. Se X est contido em P, ento X est contido em T. Se X no est contido em Y, ento X est contido em P. Ora, X no est contido em T. Logo:

a) Z est contido em T e Y est contido em X.b) X est contido em Y e X no est contido em Z.c) X est contido em Z e X no est contido em Y.d) Y est contido em T e X est contido em Z.e) X no est contido em P e X est contido em Y.

P , : X c Y 4 X c ZP2: X c P - > X c T

P3:Xjzf Y 4 X c P

P4: X j / T

Paulo Quilelli 64

Prova 04 - Analista de Finanas e ControIe/AFC/2006

P4 uma proposio simples, logo, vamos atribuir (V).Na P2, ento, o conseqente (X c T) ser (F) o que obriga o antecedente (X cP)ser(F ).Na P3, o conseqente (Xc P) (F), logo, o antecedente (X Y) ter que ser (F).Na P., o antecedente (XcY) (V) obrigando o conseqente (Xc Z) ser (V).

ConclusoX c y

X c ZX ^ PX ^ T

04) Ana artista ou Carlos compositor. Se Mauro gosta de msica, ento Flvia no fotgrafa. Se Flvia no fotgrafa, ento Carlos no compositor. Ana no artista e Daniela no fuma. Pode-se, ento, concluir corretamente que

a) Ana no artista e Carlos no compositor.b) Carlos compositor e Flvia fotgrafa.c) Mauro gosta de msica e Daniela no fuma.d) Ana no artista e Mauro gosta de msica.e) Mauro no gosta de msica e Flvia no fotgrafa.

P,: Ana artista ou Carlos compositor.P2: Se Mauro gosta de msica, ento Flvi no fotgrafa.P3: Se Flvia no fotgrafa, ento Carlos no compositor.P Ana no artista e Daniela no fuma'.

4 '

A premissa P4 tem uma conjuno e logo, para ela ser verdadeira, as duas proposies devero ser verdadeiras:Ana no artista (V).Daniela no fuma (V).Na premissa PjS Ana artista, ento, ser (F) e, para a disjuno (ou) ser verdadeira, dever Carlos compositor ser verdadeiro (V).Iremos para a P3, em que Carlos no compositor (F) e, como estamos numa condicional, Flvia no fotgrafa dever ser (F).

65 Raciocnio Lgico


Na P2, o conseqente (F) obrigando o antecedente Mauro gosta de msica ser (F).

Concluso:

Ana no artista.Carlos compositor.Mauro no gosta de msica.Flvia fotgrafa.Daniela no fuma. ,

05) Amigas desde a infncia, Beatriz Dalva e Valna seguiram diferentes profisses e hoje uma delas arquiteta outra psicloga, e outra economista. Sabe-se que ou Beatriz a arquiteta ou Dalva a arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva a psicloga ou Valna a economista. Sabe-se, tambm, que ou Beatriz a economista ou Valna a economista* Finalmente, sabe-se que ou Beatriz a psicloga ou Valna a psicloga. As profisses de Beatriz, Dalva e Valna so, pois, respectivamente,

a) psicloga economista arquiteta.b) arquiteta, economista psicloga.c) arquiteta psicloga economista.d) psicloga, arquiteta, economista.e) economista arquiteta, psicloga.

Quando se afirma que Sabe-se que ou Beatriz a arquiteta ou Dalva a arquiteta, conclui-se que Valna no arquiteta.

Quando se afirma que "Sabe-se, tambm, ou Beatriz a economista ou Valna a economista tambm se conclui que Dalva no a economista.

Da mesma forma, quando o enunciado fala que sabe-se que ou Beatriz a psicloga ou Valna a psicloga, conclui-se que Dalva no a psicloga. Ento, Dalva a arquiteta.

A afirmao do enunciado de que ou Dalva a psicloga ou Valna a economista obriga que seja verdade Valna a economista e, por fim, Beatriz a psicloga.

Paulo Quilelli 66

Prova 04 - Analista de Finanas e Controle/AFC/2006

06) Uma escola de idiomas oferece apenas trs cursos: um curso de Alemo, um curso de Francs e um curso de Ingls. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos esto matriculados no curso de Alemo, 30% no curso de Francs e 40% no de Ingls. Sabendo-se que 5% dos alunos esto matriculados em todos os trs cursos, o nmero de alunos matriculados em mais de um curso igual a

a) 30.b) 10.c) 15.d) 5.e) 20.

Pelos dados do problema:

n(A) - 50% de 200 = 100 n(F) - 30% de 2 0 0 - 60 n() = 40% de 200 - 80 n(A H F n l ) = 5% de200 = 10

Sabe-se que: \n(A U F U I)=n(A)+n(F)+n()-n(A h F)-n(A n )-n(F n T)+n(A D F n )

Logo:200 = 100 + 60 + 8 0 -n(A O F )- ri(A H I ) - n(F n i ) + 10Da: n(A f iF ) + n(A D I) + q(F H I) = 50

O nmero de alunos matriculados em mais de um curso dado por:

n(A H F) + n(A f i l ) + n(F H I) - 2 x n(A n F H I ) =

= 50 - 2 x 10 = 30

F=60

1=80

67 Radodnio Lgico


07) Trs meninos esto andando de bicicleta. A bicicleta de um deles azul, a do outro preta, a do outro branca. Eles vestem bermudas destas mesmas trs cores, mas somente Artur est com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Jlio so brancas. Marcos est com bermuda azul. Desse modo,a) a bicicleta de Jlio azul e a de Artur preta*b) a bicicleta de Marcos branca e sua bermuda preta.c) a bermuda de Jlio preta e a bicicleta de Artur branca.d) a bermuda de Artur preta e a bicicleta de Marcos branca.e) a bicicleta de Artur preta e a bermuda de Marcos azul.

Se Marcos est com a bermuda azul, e nem a bermuda nem a bicideta de Jlio so brancas, logo, a bermuda de Jlio preta, sobrando para o Artur a bermuda branca. Como este tem a bicideta da mesma cor da bermuda, sua bicideta tambm branca. Como Jlio e Marcos no tm bicideta e bermuda de mesma cor, resta para a bicicleta de Jlio a cor azul e para a bicicleta de Marcos a cor preta.Sugesto: faa um quadro assim e preencha com o nome das pessoas

Bic BerA

Z

Pt

Br

Bic BerA2 J Mp, M JBr A A

08) Um professor de lgica encontra-se em viagem em um pas distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e psilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo verdamano, mas no sabe qual deles o . Pergunta, ento, a cada um do grupo quem entre des verdamano e obtm as seguintes respostas:

Alfa: Beta mentimano.Beta: Gama mentimanoGama: Delta verdamanoDelta: psilon verdamano

psilon, afnico, fala to baixo que o professor no consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lgica condui corretamente que o verdamano :

Pauio Quiielli 68

Prova 04 - Analista de Finanas e Controle/AFC/2006

a) Delta,b) Alfa.c) Gama.d) Beta.e) psilon.

O processo o das tentativas. Chamemos os verdamanos de (V) e mentimanos de (M).Como apenas um (V), vamos atribuir a Alfa (V), logo, Beta (M) e, como Beta afirma que Gama mentimano, ento, Gama ser (V), o que no pode, pois somente um (V).Vamos atribuir a Beta (V), logo, Alfa (M) e Gama (M). Pela afirmao de Gama, deduz-se que Delta (M). Sendo assim, pela afirmao de Delta, psilon (M).

09) Perguntado sobre as notas de cinco alunas (Alice, Beatriz, Cludia, De- nise e Elenise), um professor de Matemtica respondeu com as seguintes afirmaes:

lo A nota de Alice maior do que a de Beatriz e menor do que a deCludm;2. A nota de Alice maior do que a de Denise e a nota de Denise maior do que a de Beatriz, se e somente se a nota de Beatriz menor do que a de Cludia;3. Elenise e Denise no tm a mesma nota, se e somente se a nota deBeatriz igual de Alice '

Sabendo-se que todas as afirmaes do professor so verdadeiras, conclui-se corretamente que a nota de:

a) Alice maior do que a de Elenise, nnor do que a de Cludia e igual de Beatriz. B e C no-coiineares determinam um tringulo, independente da ordem (ABC, BCA, CAB,...).Esse tipo de agrupamento caracteriza combinao. Se fizermos C2S> estamos incluindo os dez pontos colineares que no determinam tringulos. Temos de subtrair Q 0-

Q 0 = 2S^ y ~ T f f = 2 3 0 0 ~ 1 2 0 = 2 1 8 0 \

02) Se X j , ento necessariamente verdade que

a)x2 + 2 x * 2 0 0 e y = 200. ^b )x 2 + 2 x -2 0 0 e y = 200. 'c) x2 + 2x = 200 e y ^ 200.d) x = 0 e y * 0 .e) x * 0 e y = 200.

Para uma frao ser igual a zero (0) necessrio que o numerador seja zero e o denominador seja diferente de zero. Logo,

x2 + 2 x - 2 0 0 = 0 x2 + 2 x = 2 0 0 y - 2 0 0 * 0 y * 2 0 0

73


03) Sabe-se que Beto beber condio necessria para Carmem cantar e condio suficiente para Denise danar. Sabe-se, tambm, que Denise danar condio necessria e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,

a) Beto no bebe ou Ana no chora.b) Denise dana e Beto no bebe.c) Denise no dana ou Ana no chora.d) nem Beto bebe nem Denise dana.e) Beto bebe e Ana chora.

Na condicional p qp condicional suficiente para q e q condio necessria para p.

Na bicondicional p qp condio necessria e suficiente para q e q condio necessria e suficiente para p.

Visto isso:P : Carmem canta Beto beber P2: Beto beber Denise danar P3: Denise danar

Prova 05 - Tcnico administrativo/Aneel/2006

Percurso total da prova = x

-j=-x + 300 = ^x

300 = | x - | x

300 = | x -3Q03 x 5 x x = 500m = 0,5 km

05) X e Y so dois conjuntos no vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos.O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, tambm, que o conjunto 2 = X n Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o nmero de elementos do conjunto P = Y - X igual a

Se um conjunto tem n elementos, esse conjunto possui, ento, 2a subconjuntos.

Se X possui 64 subconjuntos 2n - 64 n = 6 n(X) = 6

Se Y possui 256 subconjuntos -> 2a ~ 256 n = 8 n(Y) = 8

n(X n Y) = 2

a) 4.b) 6. c) 8.

X = 6 Y = 8c 4n (Y - X) = 6

75 Raciocnio Lgico


06) Em um campeonato de tnis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O nmero de diferentes maneiras para a classificao dos 3 primeiros lugares igual a

a) 24.360.b) 25.240.c) 24.460.d) 4.060.e) 4.650.

Quando a modificao da ordem dos elementos em um grupo gera um novo grupo, fica caracterizado arranjo.Neste caso, ento, temos m arranjo simples de 30 elementos em grupos de trs.

a L = 30.29.28 = 24.360

07) Uma empresa possui 200 funcionrios dos quais 40% possuem plano de sade e 60 % so homens. Sabe-se que 25% das mulheres que trabalham nesta empresa possuem planos de sade. Selecionando-se, aleatoriamente, um funcionrio desta empresa, a probabilidade de que seja mulher e possua plano de sade igual a

a) 1/10.b) 2/5.c) 3/10.d) 4/5.e) 4/7.

Monte uma tabela, como sugesto:

tem plano no tem plano totalhomem 1 2 0mulher 2 0 80total 80 2 0 0

tem plano - x 2 0 0 = 80

homens - x 2 0 0 = 1 2 0

Paulo Quilelli 76

mulheres = 2 0 0 - 1 2 0 - 80

mulher com plano - x 80 = 20

probabilidade de mulher com plano = ^

08) Trs rapazes - Alaor, Marcelo e Celso - chegam a um estacionamento dirigindo carros de cores diferentes. Um dirigindo um carro amarelo, o outro um carro bege e o terceiro um carro verde. Chegando ao estacionamento, o manobrista perguntou quem era cada um deles. O que dirigia o carro amarelo respondeu: Alaor o que estava dirigindo o carro bege.O que estava dirigindo o carro bege falou: eu sou Marcelo. E o que estava dirigindo o carro verde disse: Celso quem estava dirigindo o carro bege. Como o manobrista sabia que Alaor sempre diz a verdade, que Marcelo s vezes diz a verdade e que Celso nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar quem era cada pessoa. As cores dos carros que Alaor e Celso dirigiam eram, respectivamente, iguais a

a) amarelo e bege.b) verde e amarelo.c) verde e bege.d) bege e amarelo.e) amarelo e verde.

Nesta questo, o importante saber quem fala a verdade e se reportar sempre a ele.O Alaor fala sempre a verdade.Se o Alaor estivesse dirigindo o carro 'amarelo, ele responderia "Alaor que estava dirigindo o carro bege? No,,porque ele s fala a verdade. Ento, Alaor no estava dirigindo o carro amarelo.Se o Alaor estivesse dirigindo o carrb bege falaria "eu sou Marcelo? No, porque ele s fala a verdade; Ento, Alaor no estava dirigindo o carro bege, ento sobra para o Alaor o carro verde.Quando quem estava dirigindo o carro verde, que era o Alaor, que s fala a verdade, disse Celso quem estava dirigindo o carro bege, ento, verdade que Celso estava dirigindo o carro bege, sobrando para Marcelo o carro amarelo.

Prova 05 - Tcnico administrativo/Aneel/2006

77 Raciocnio Lgico


09) Se Elaine no ensaia, Elisa no estuda. Logo>a) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa no estudar.b) Elaine ensaiar condio suficiente para Elisa estudar.c) Elaine no ensaiar condio necessria para Elisa no estudar.d) Elaine no ensaiar condio suficiente para Elisa estudar.e) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa estudar.

A condicional p q tem duas equivalncias clssicas: p -> q ~ q ~ p (contrapositiva) p -> q ~ p v q (negao da negao)

Elaine no ensaia -> Elisa no estuda

Elaine no ensaia condio suficiente para Elisa no estuda, e Elisa no estuda condio necessria para Elaine no ensaia.Com isso, no encontramos nenhuma opo.Vamos verificar a contrapositiva:Elisa estuda - Elaine ensaiaElisa estuda condio suficiente para Elaine ensaia e Elaine ensaia condio necessria para Elisa estuda.

10) Uma sentena logicamente equivalente a Se Ana bela, ento, Carina feia :

a) Se Ana no bela, ento, Carina no feia.b) Ana bela ou Carina no feia.c) Se Carina feia, Ana bela.d) Ana bela ou Carina feia.e) Se Carina no feia, ento, Ana no bela.

A condicional Se Ana bela, ento Carina feia tem equivalente na contrapositiva:

Se Carina no feia, ento, Ana no bela

Gabarito:

01. A 05. B 09. E02. C 06. A 1 0 . E03. E 07. A04. D 08. C

Pauo Quilelli 78

Prova 06

Auditor-fiscal do Trabalho/AFT/2006

01) Quer-se formar um grupo de dana com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleo quinze candidatas com idades de 15 a 29 anos sendo a idade em anos de cada candidata diferente das demais. O nmero de diferentes grupos de dana que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas igual a

a) 120.b) 1220.c) 870.d) 760.e) 1120.

5 bailarinas < 23 anos1 bailarina = 23 anos 3 bailarinas > 23 anos

15 candidatas (15 a 29 anos) 8 (de 15 a 22) < 23 anos1 bailarina = 23 anos6 (de 24 a 29) > 23 anos

C5 y C* x C3 6.5.4 y l y 6.5.4a 3 2 1 3 2 1 56 x 20 = 1120

02) Beatriz* que muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Srgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herana que deixar para seus familiares, Beatriz resolveu sortear entre seus cinco sobrinhos, trs casas. A probabilidade de que Pedro e Srgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados igual a

a) 0,8.b) 0,375.c) 0,05.d) 0,6.e) 0,75.

79


Casos possveis so todos os agrupamentos de trs sobrinhos,

casos possveis (CP) = * = C* = = 1 0

Se Pedro e Srgio esto sorteados sobra 1 casa sortear entre os outros trs sobrinhos. O mesmo acontecendo quando Teodoro e Quitino estiverem sorteados.

casos favorveis (CF) = Cj+C* = 3 + 3 = 6

probabilidade - ~ = 0 , 6

03) Ana encontra-se frente de trs salas cujas portas esto pintadas de verde azul e rosa. Em cada uma das trs salas encontra-se uma e somente uma pessoa - em uma delas encontra-se Lus; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma inscrio, a saber:

Sala verde: Lus est na sala de porta rosaSala azul: Carla est na sala de porta verdeSala rosa: Lus est aqui.

Ana sabe que a inscrio na porta da sala onde Lus se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda que a inscrio na porta da sala onde Carla se encontra falsa, e que a inscrio na porta da sala em que Diana se encontra verdadeira. Com tais informaes, Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram- se, respectivamente,

a) Diana, Lus, Carla.b) Lus, Diana Carla.c) Diana, Carla Lus.d) Carla, Diana, Lus.e) Lus, Carla, Diana.

Por tentativa, colocando Diana na sala de porta verde, como a inscrio dever ser verdadeira, ento, Lus estar na sala de porta rosa. Carla ter, ento, de ficar na sala de porta azul. A inscrio Carla est na sala verde falsa, logo, confere: Diana est na sala de porta verde, Carla na de porta azul e Lus na de porta rosa.

Paulo Quilelli 80

Prova 06 - Auditor-fiscal do Trabalho/AFT/2006

04) Em um polgono de n lados, o nmero de diagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Desse modo, n igual a

a) 11.b) 12.c) 10.d) 15.e) 18.

A frmula do nmero de diagonais de um polgono :

n(n 3 ) onc e^ S o nmero de lados, d = -{.(f. _ 2 ^

Nmero de diagonais de um hexgono: d = - = 9

A frmula do nmero de diagonais que partem de um vrtice de um polgono :

d - n - 3VLogo: 9 = n - 3 n = 12 (dodecgono)

05) Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, ento um dos possveis valores para a tangente de x igual a

a) -4/3.b) 4/3.c) 5/3.d) -5/3.e) 1/7.

- '3 cosx + s e n x = -1 senx = -1 - 3 cosx (1)

sen3 x + cos2 x = 1 (2 )

(1) - (2) (-1 - 3 cos x) 2 + cos2 x = 11 + 6 cos x + 9 cos2 x + cos2 x = 11 0 cos2 x + 6 cos x = 0 25 cos2 x + 3 cos x = 0 cos x . ( 5 . cos x + 3) = 0

81 Raciocnio Lgico


cos x = 0 => sen x = - 1 => tg x = sen x = =z& cos x 0 /

3 4 r 45 cosx + 3 = 0 cosx = ~ => s e nx= tg x = =

Gabarito:

OLE02. D03. C04. B05. A

Paulo Quilelli 82

Prova 07

Auditor-fiscal da Receita Estadual/AFRE-MG/2005

01) A, B e C so matrizes quadradas de mesma ordem, no singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C igual ao produto A Z B, onde Z tambm uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, igual aa) A 1 B C.b) A C l B 1.c ) A - l C B - K

d) A B C 1.e) C 1 B1 A'1.

A . Z . B = C

1) multiplicar a equao por A' 1 pela esquerda A-1 . A . Z . B = A-1.C

2) A 1. A = I (identidade) eI . Z = Z (elemento neutro da multiplicao)Logo: Z . B = A-1. C

3) multiplicar a equao por B 1 pela direita Z .B .B -1 = A*1.C .B -1

4) como B . B' 1 = I e Z . I = Z, ento:Z = A 1. C . B' 1

02) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vo participar de um desfile de modas. A promotora do "desfile determinou que as modelos no desfilaro sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Alm disso, a ltima de cada fila s poder ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise no poder ser a primeira da fila. Assim, o nmero de diferentes filas que podem ser formadas igual a

a) 420.b) 480.c) 360.d) 240.e) 60.

83


1) Fixando a Denise como ltima da fila, para primeira da fila tem-se seis opes, que so todas menos a Denise:JD_ __ __ __

l6

A segunda da fila poder ser qualquer uma das outras cinco e a terceira da fila, qualquer uma das 4 restantes:_D_ _ _ _'i' X vi- 4*1 x 4 x 5 x 6 - 120 diferentes filas

2) Deixando como opo para ltima da fila Ana ou Beatriz ou Carla, a primeira da fila no poder sei Denise nem repetir ou Ana ou Beatriz ou Carla: CBA _ _ _ _ _ _i 3 5

A segunda da fila poder ser qualquer uma das cinco restantes e a terceira qualquer uma das quatro restantesCBA. _ _J' 4' 'i- >1'3 x 4 x 5 x 5 - 300 diferentes filas

Total = 120 + 300 = 420

03) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso trfego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B so, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana no se atrasou, ento a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B igual aa) 6/25.b) 6/13.c) 7/13.d) 7/25.e) 7/16.

Paulo Quilelli 84

Prova 07 - Auditor-fisca! da Receita Estadual/AFRE-MG/2005

escoiher A e se

probab. escolher A

atrasar -

eso )w ;escolher

probab.~scihe^~e nao se atrasar = 0,4 x 0,7 = 0,28

No universo no se atrasar: 0,36 4- 0,28 = 0,64 (CP) o evento escolher o trajeto B e no se atrasar: 0,28 (CF) _ 0>28 _ 7 p _ Q 6 4 1 6

04) O reino est sendo atormentado por um terrvel drago. O mago diz ao rei: O drago desaparecer amanh se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lgico da corte:1. Se a afirmao do mago falsa e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?2. Se a afirmao do mago verdadeira e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?3. Se a afirmao do mago falsa e se Aladim no beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o drago desaparecer amanh?

O lgico da corte, ento, diz acextadamente que as respostas logicamente corretas para as trs perguntas so, respectivamente,

a) No, sim, no.b) No, no, sim. , >c) Sim, sim, sim.d) No, sim, sim.e) Sim, no, sim.

A proposio composta

O drago desaparecer amanh se, e somente se, Aladim beijou a princesa ontem. uma bicondicional do tipo p


1 - Se p q for falsa. Isso s ocorrer se p e q tiverem valores lgicos diferentes. Neste caso, p(V) e q(V), faz a condicional ser verdadeira.Resposta: No.2 - Se p q for verdade. Isso s ocorrer se p e q tiverem os mesmos valores lgicos. Neste caso, p(V) e q(V), faz a condicional ser verdadeira.Resposta: Sim.3- Se p Bruno culpado P3: Andr culpado Leo inocente P4: Andr inocente -> Leo culpado

Na premissa P4, atribuindo aleatoriamente (V) a Lo culpado, toma-se P4 verdadeira. Teremos na P3, Lo inocente, valor (F), o que obriga o antecedente Andr culpado a ter valor (F).Na P2, "Bruno culpado, tem de ser (V), porque Andr inocente (V). Na Pt temos (F) -> (F).Todas as premissas ficaram verdadeiras.

Concluso:Andr inocente Bruno culpado Lo culpado

Gabarito:

01. C 03. E 05. B02. A 04. D

Paulo Quilelli 86

Prova 08

Gestor fazendrio/Gefaz-MG/2005

01) C onsidere duas m atrizes de segunda ordem , A e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A igual a 2"1/2, ento, o determinante da matriz B igual a

a) 2m.b) 2.c) 2 "1'4.d) 2~m.e ) l .

A matriz A de 2a ordem, ento ao se multiplicar a matriz A por K (K.A), o determinante de K.A, K real, igual a K2. det. A.

B - 2m A det. A = T mdet. B = (2I/4)2. de t A = 2m . 2'm = 2o = 1

02) Em uma caixa h oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, umabola da caixa. Aps, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, tambm ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola azul. Dado que essa segunda bola azul, a probabilidade de que a primeira bola extrada seja tambm azul ,

a) 1/3.b) 2/9.c) 1/9. ^ , >d) 2/10.e) 3/10. '

Numerando as oito bolas brancas como Bx, B2, ..., Bg e as duas bolas azuis como Ax e A2, temos:

espao amostrai reduzido (todos os pares onde a 2 a bola azul) =

= {(Bj, A,), (B2, A,),... (B8, At), (Bj, A,), (B2, A2) ... (Bg, A2), (Al5 A,), (A,, A )}

evento (Ia e 2a bolas azuis) = {(A1} A2), (A2, A })}

87


, , n de elementos do eventoprobabilidade =n de elementos do espao amostrai

p 18 9

03) Marcela e Mrio fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez so rapazes e cinco so moas. A turma rene-se para formar uma comisso de formatura composta por seis formandos. O nmero de diferentes comisses que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mrio no participe igual a

a) 504.b) 252.c) 284.d) 90.e) 84.

Na formao de uma comisso, a ordem dos elementos no determina um novo grupo. O problema trata de uma combinao.Se a comisso de seis formandos, em que Marcela j um dos elementos, restam cinco vagas para serem preenchidas, escolhendo-se de um grupo de 13 formandos (Marcela e Mrcio esto fora). Logo, uma combinao de 13 formandos em grupos de cinco.

r 5 - 13.12.11.10.9 _ 1 0 o7 5.4.3.2.1 "

04) A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao:

a) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris.b) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris.c) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em

Paris.d) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris.e) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris5.

Pauo Quilelli 88

Prova 08 - Gestor fazendrio/Gefaz-MG/2005

Chamemos de: p: Pedro est em Roma. q: Paulo est em Paris.

No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris na representao lgica fica assim:

~(p-q)Essa negao da condicional uma conjuntiva:

~(p -> q) ^ p a ~ q

Temos de verificar em cada uma das opes qual delas equivalente a p a ~ q (Pedro est em Roma e Paulo no est em Paris).

A nica opo afirmativa a letra (e), que no equivalente. Todas as outras opes so negativas. Faamos, ento, a negativa: Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris. A letra (d) satisfaz.

05) Considere a afirmao P:

P :A ou B wonde A eB , por sua vez, so as seguintes afirmaes:A: Carlos dentistaB: Se Enio economista, ento Juca arquitetoOra, sabe-se que a afirmao P falsa. Logo:

a) Carlos no dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.b) Carlos no dentista; Enio economista; Juca no arquiteto.c) Carlos no dentista; Enio economista; Juca arquiteto.d) Carlos dentista; Enio no economista; Juca no arquiteto.e) Carlos dentista; Enio economista; Juca no arquiteto.

Sendo P: A v B e sendo P falsa, ento: -

~(A v B) ~ A A ~B '

Logo, ~ A Carlos no dentista

B uma condicional p q

~ B ~ ( p ^ - q ) ' = > p A ~ q

Logo, Enio economista e Juca no arquiteto.

89 Raciocnio Lgico


Gabarito:

OLE0 2 . C03. Anulado04. D05. B

Paulo Quilelli

Prova 09

Analista de Planejamento e Oramento/MPOG/2005

01) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolheraleatoriamente por sorteio quem entre eles ir ao Simpsio de Matemtica do prximo ano. O grupo composto de 15 rapazes e de um certo nmero de moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si uma nica vez; as moas cumprimentam-se todas e apenas entre si uma nica vez. H um total de 150 cumprimentos. O nmero de moas portanto, igual aa) 10.b) 14.c) 20.d) 25.e) 45.

Grupo de 15 rapazes e x moas.Cumprimento de mo caracteriza combinao, pois a ordem no determina um novo aperto de mo.

C + C*= 15015.14 , x(x - 1 ) _ , ,-n 2.1 + 2.1

210 + x2- x = 300x2 x 90 = 0 Xi 10 e x2 9 (no serve)O nmero de moas 1 0 .

02) Mauro, Jos e Lauro so trs irmos. Cada um deles nasceu em um estadodiferente: um mineiro, out^o carioca, e outro paulista (no necessariamente nessa ordem). Os trs tm, tambm, profisses diferentes: um engenheiro, outro veterinrio, e outr psiclogo (no necessariamente nessa ordem). Sabendo que Jos mineiro, que o engenheiro paulista, e que Lauro veterinrio, conclui-se corretamente quea) Lauro paulista e Jos psiclogo.b) Mauro carioca e Jos psiclogo.c) Lauro carioca e Mauro psiclogo.d) Mauro paulista e Jos psiclogo.e) Lauro carioca e Mauro engenheiro.

91


Tos mineiroSe o engenheiro paulista, ento, Jos no engenheiro.Lauro veterinrio, ento, Jos no veterinrio nem engenheiro logo, Tos psiclogo e sobra para Mauro, engenheiro, e por conseguinte paulista.Resta para Lauro ser carioca.

H duas opes corretas a (D) e a (E).

03) Pedro e Paulo esto em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O nmero de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, igual a

a) 80.b) 72.c) 90.d) 18.e) 56.

Pedro sentado na cadeira 1 => Paulo poder sentar da 3 10 => 8 formas Pedro sentado na cadeira 2 => Paulo poder sentar da 4 10 ^ 7 formas Pedro sentado na cadeira 3=> Paulo poder sentar na 1 ou de 5 a 10 =>7 formas

Pedro sentado na cadeira 8 = Paulo de 1 a 6 ou na 10 => 7 formas Pedro sentado na cadeira 9 => Paulo de 1 a 7 => 7 formas Pedro sentado na cadeira 10 => Paulo de l a 8 => 8 formas N de formas de sentarem = 2 x 8 + 8 x 7 = 16 + 56 = 72

Pode-se resolver de uma forma mais simples, como segue:Pedro e Paulo sentados em qualquer cadeira: A^ 0= 10.9 = 90 Pedro e Paulo juntos em qualquer ordem: 2 x 9 = 18 Pedro e Paulo separados: 90 - 18 = 72

04) Carlos no ir ao Canad condio necessria para Alexandre ir Alemanha. Helena no ir Holanda condio suficiente para Carlos ir ao Canad. Alexandre no ir Alemanha condio necessria para Carlos no ir ao Canad. Helena ir Holanda condio suficiente para Alexandre ir Alemanha. Portanto:

Paulo Quiielli 92

a) Helena no vai Holanda, Carlos no vai ao Canad, Alexandre no vai Alemanha.

b) Helena vai Holanda, Carlos vai ao Canad, Alexandre no vai Alemanha.

c) Helena no vai Holanda, Carlos vai ao Canad, Alexandre no vai Alemanha.

d) Helena vai Holanda, Carlos no vai ao Canad, Alexandre vai Alemanha.

e) Helena vai Holanda, Carlos no vai ao Canad, Alexandre no vai Alemanha.

Na condicional p q, p condio suficiente para q e q condio necessria para p. Ento:

Alexandre ir Alemanha -> Carlos no ir ao Canad.P2: Helena no ir Holanda -> Carlos ir ao Canad.P3: Carlos no ir ao Canad -> Alexandre no ir Alemanha.P.: Helena ir Holanda -> Alexandre ir Alemanha.4

Podemos representar:P:: p q P2: r ~qp ,:q -> ~pP4: ~r-p

Como nesse argumento no encontramos nenhuma premissa fornecida por uma proposio simples nem por uma conjuno atribuiremos, aleatoriamente, a p o valor lgico .(F). !

Ento para P4 ser verdadeira ~r tem de ser (F).

Pj j verdadeira por p ser ()P3 verdadeira por ~p ser (F) p2 verdadeira pois r (V) e ~q (V)

Concluso:Alexandre no vai Alemanha.Carlos vai ao Canad.Helena no vai Holanda.

Prova 09 - Anaista de Planejamento e Oramento/MPOG/2005

93 Raciocnio Lgico


05) O sulto prendeu Aiadim em uma sala. Na sala h trs portas. Delas, uma e apenas uma conduz liberdade; as duas outras escondem terrveis drages. Uma porta vermelha, outra azul e a outra branca. Em cada porta h uma inscrio. Na porta vermelha est escrito: esta porta conduz liberdade Na porta azul est escrito: esta porta no conduz liberdade. Finalmente, na porta branca est escrito: a porta azul no conduz liberdade Ora, a princesa - que sempre diz a verdade e que sabe o que h detrs de cada porta - disse a Aiadim que pelo menos uma das inscries verdadeira, mas no disse nem quantas, nem quais. E disse mais a princesa: que pelo menos uma das inscries falsa, mas no disse nem quantas nem quais. Com tais informaes, Aiadim concluiu corretamente que

a) a inscrio na porta branca verdadeira e a porta vermelha conduz liberdade.

b) a inscrio na porta vermelha falsa e a porta azul conduz liberdade.c) a inscrio na porta azul verdadeira e a porta vermelha conduz

liberdade.d) a inscrio na porta branca falsa e a porta azul conduz liberdade.e) a inscrio na porta vermelha falsa e a porta branca conduz liberdade,

Pela fala da Princesa, conclui-se que no existe a hiptese de as trs inscries serem verdadeiras nem as trs serem falsas.

Vermelha Azul Brancaesta porta esta porta a porta azulconduz no conduz no conduz liberdade liberdade liberdade

Temos de combinar uma falsa com duas verdadeiras ou uma verdadeira com duas falsas.Se atribuirmos inscrio da porta vermelha valor lgico falso (F), logo, a porta vermelha esconde um drago.Se inscrio da porta azul for verdadeira, a porta azul esconde um drago.A inscrio da porta branca ser, obrigatoriamente, verdadeira e, por conseguinte

paulo quilelli - racicínio lógico esaf provas comentadas - 3a ed. 2009

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