adl09 (1)

7/25/2019 ADL09 (1)

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R = variação na diferença de nível, m

variação na taxa de fluxo, m3 /s

Capacitância C Resistência R

Para fluxo turbulento, temos:

onde Q = taxa de fluxo de líquido em estado estacionário, m3 /sK = coeficiente, m2,5 /s

H = altura do nível de líquido em estado estacionário, m

Para definir a resistência Rt fazemos:

Para fluxo laminar, temos:Q = KH

onde Q = taxa de fluxo de líquido em estado estacionário, m3/sK = coeficiente, m2/sH = altura do nível de líquido em estado estacionário, m

Note que a lei é análoga à lei de Ohm onde é possível definir a resistência Rl

ADL09

SISTEMAS DE NÍVEL DE LÍQUIDO (K. OGATA 2ª Edição)

Regimes de fluxo :

Se o número de Reynolds > 3.000 ~ 4.000, -> fluxo turbulento => equações diferenciais não-linearesSe o número de Reynolds < 2000 -> fluxo laminar => equações diferenciais linearesProcessos industriais geralmente são turbulentos

Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido:

Fluxo através de um pequeno cano interligando dois tanques.Definimos:

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Altura denível deLiquido

_ H

Juntando com as definições anteriores, temos

Portanto,

Portanto,

O valor da resistência Rt, em fluxo turbulento depende da taxa de fluxo e da altura do nível delíquido. Entretanto pode ser considerado constante se as variações na altura do nível e na taxa defluxo forem pequenas.Então:

Tal linearização é válida, contanto que as variações na altura do nível e na taxa de fluxo, em relaçãoaos seus respectivos valores em estado estacionário, sejam pequenas.

Em muitos casos práticos, o valor do coeficiente K na equação (2.50), que depende tanto docoeficiente de fluxo como da área da restrição, não é reconhecido. A resistência pode ser entãodeterminada construindo-se o gráfico da curva altura de nível versus taxa de fluxo, baseado em dadosexperimentais, e calculando-se posteriormente a inclinação da curva na condição de operação. Umexemplo de um gráfico deste tipo é indicado na figura abaixo. Na figura, o ponto P é o ponto deoperação em estado estacionário. A linha tangente à curva no ponto P intercepta a ordenada no ponto

(H, Q). Portanto, a inclinação desta tangente é 2H/Q. Uma vez que a resistência no ponto de operaçãoP é dada por 2H/Q, a resistência Rt, é a inclinação da curva no ponto de operação.

Considere a condição de operação na vizinhança do ponto P. Defina um pequeno desvio da alturada coluna a partir do valor em regime estacionário como h e a correspondente pequena variação dataxa de fluxo como q. Então, a inclinação da curva no ponto P pode ser dada por

Inclinação da curva no Ponto

A capacitância C de um tanque é definida como:

C =variação no líquido armazenado, m3

variação na altura do nível, m

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Note que capacidade (m3) e capacitância (m2) são diferentes.A capacitância do tanque é igual à sua área da seção transversal. Se esta for constante, acapacitância é constante para qualquer altura do nível de líquido.

Sistemas de nível de líquidoAs variáveis são definidas como :

Q = taxa de fluxo em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), nrVsq i = pequeno desvio da taxa de fluxo de entrada em relação a seu valor em regimeestacionário,m3 /s q o - pequeno desvio da taxa de fluxo de saída em relação a seu valor deregime estacionário,m3 /s

H = altura do nível em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), mh = pequeno desvio na altura do nível em relação a seu valor em regime estacionário, m

Por analogia com os sistemas elétricos,

C dh = (q i — q o ) dt

Considerando a definição de resistência, a relação entre q o e h é dada por:

A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é :

Note que RC é a constante de tempo do sistema. Considerando as transformadas de Laplacede ambos os lados da equação (2.52), supondo uma condição inicial nula, obtemos

onde

Se q i é a entrada e h a saída, a função de transferência do sistema é:

Se, q o é considerada a saída,

Sistemas de nível de liquido com interaçãoConsidere o sistema abaixo. Neste sistema os dois tanques interagem.

Podemos obter as seguintes equações para este sistema:

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Se q é considerada a entrada e q 2 a saída, q 1 , h 1 , h 2 variáveis intermediárias, a função detransferência do sistema é:

Observe que este resultado é diferente do que seria obtido multiplicando as FT’s de cada

tanque.A multiplicação de FT’s só poderia ser feita se não houvesse influência do tanque posterior

para o anterior, como a influência de h 2 em q 1 .

2.8 SISTEMAS TÉRMICOS

Envolvem a transferência de calor de uma substância para outra.Analisados de forma aproximada em termos de resistência e de capacitância concentradas.Para análise precisa, os modelos de parâmetros distribuídos devem ser usados. Aqui, no entanto, parasimplificar a análise admitiremos que um sistema térmico possa ser representado por um modelo deparâmetros concentrados, que aquelas substâncias que são caracterizadas pela resistência ao fluxo de calortêm capacitância térmica desprezível, e que aquelas que são caracterizadas pela capacitância térmica têmresistência desprezível ao fluxo de calor.

Há três diferentes maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução,convecção e irradiação.

Para transferência de calor por condução ou convecção,

ondeq = taxa de fluxo de calor, kcal/s∆θ = diferença de temperatura, °CK = coeficiente, kcal/s °C

o coeficiente K é dado por

na condução

na convecção

onde

k = condutividade térmica, kcal/m s °CA = área normal ao fluxo de calor, m2

∆X = espessura do condutor, mH = coeficiente de convecção, kcal/m2 s °C

Na transferência de calor por irradiação, o fluxo de calor é dado por

ondeq = taxa de fluxo de calor, kcal/s

K r - coeficiente que depende da emissividade, tamanho e configuração da superfície deemanação e aquelas da superfície de recepçãoθ1, = temperatura absoluta no emissor, Kθ2 = temperatura absoluta do receptor, K

A constante K r é um número muito pequeno e a transferência de calor por irradiação é apreciável somente sea temperatura do emissor for muito alta comparada à do receptor, portanto é possível aproximar para

onde

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Resistência térmica e capacitância térmica. A resistência térmica R para transferência de calor entreduas substâncias pode ser definida como se segue:

Uma vez que os coeficientes de condutividade e de convecção térmica são quase constantes, aresistência térmica tanto para condução quanto para convecção é constante.A resistência térmica para transferência de calor por irradiação pode ser dada por

onde θ é uma diferença de temperatura efetiva do emissor e do receptor.A capacitáncia térmica C é definida por

C =variação no calor armazenado, kcal

variação na temperatura, °C

variação de diferença de temperatura, °CR =

variação de taxa de fluxo de calor, kcal/s

A resistência térmica para transferência de calor por condução ou por convecção é dada por

Ex: Considere o exemplo da figura

onde W = peso da substância considerada,

kgcp = calor específico da substância,

kcal/kg °C

i = Temperatura em regime estacionário do líquido entrando, °Co = Temperatura em regime estacionário do líquido saindo, °C

G = Taxa de fluxo do líquido em regime estacionário, Kg/sM = massa do líquido no tanque, Kg

c = calor especifico do liquido, cal/Kg °CR = resistência térmica, °C s/cal

C = capacitância térmica, cal/°C

H = taxa de entrada de calor em regime estacionário, cal/s

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ou

Note que a constante de tempo do sistema é igual a RCA função de transferência relacionando θ e h, é dada por

onde

Se a temperatura do líquido fluindo na entrada for subitamente variada enquanto a taxade entrada de calor H e a taxa de fluxo de líquido G são mantidas constantes, então a

equação diferencial para este caso é

ou

O que implica na FT

Se o sistema térmico está sujeito tanto a variações na temperatura do líquido que fluina entrada como na taxa de entrada de calor, enquanto a taxa do fluxo de líquido é mantidaconstante, a variação θ na temperatura do líquido que flui na saída pode ser dada pelaseguinte equação:

A equação diferencial para este sistema é

Isto implica em um sistema com duas entradas e uma saída, porém linear.

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