Adaptado de Levine 6-1

A Distribuição NormalProf. Helcio Rocha

Estatística

6-2

A Distribuição Normal

Formato de sino Simétrica Média, mediana e moda são iguais

A localização é determinada pela média, μ

A amplitude é determinada pelo desvio padrão, σ

Os dados podem assumir valores de + a

X

f(X)

μ

σ

A Distribuição NormalMédia e Desvio-padrão

6-3

Média 40 40 40

D. Padrão 10 15 15

37,540

42,5

0,000,010,010,020,020,030,030,040,040,05

0 10 20 30 40 50 60 70 80

N(40,10) N(40,15)

6-4

Probabilidades na Distribuição Normal

a b X

f(X) P a X b( )≤

Probabilidade se traduz na área sob a curva, onde área total = 1,00 = 100%

≤

P a X b( )<<=

6-5

A Distribuição Normal Padronizada

Podemos converter qualquer distribuição normal com média μ e desvio-padrão σ em uma distribuição Z (μ = 0 e σ = 1)

Z

f(Z)

0

1

Benefício ► facilidade de cálculo de probabilidades mediante tabela Z

6-6

Convertendo para Distribuição Z

Exemplo: Se X tem distribuição normal, com μ = 100 e σ = 50, o valor de Z para X = 200 é

Isto significa que X = 200 está dois desvios-padrão acima da média.

2.0$50

100$$200

σ

μXZ

6-7

Probabilidade e distribuição Z

Z0 2.00

0.9772

Exemplo:

P(Z < 2.00) = 0.9772

6-8

X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na internet. Suponha que X é normal com média 18.0 seg e desvio-padrão 5.0 seg.

Encontre P(X < 18.6)

Z0.12 0X18.6 18

μ = 18 σ = 5

μ = 0σ = 1

Probabilidade e distribuição Z

0.125.0

8.0118.6

σ

μXZ

P(X < 18.6) P(Z < 0.12)

6-9

Z

0.12

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Probabilidade e distribuição Z

0.5478.02

0.1 .5478

0.00

= P(Z < 0.12)P(X < 18.6)

6-10

Probabilidade na cauda superior

Suponha X normal com μ = 18.0 e σ = 5.0.

Encontre P(X > 18.6)

X

18.6

18.0

6-11

(cont)

Z

0.12

0Z

0.12

0.5478

0

1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522

P(X > 18.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

= 1.0 - 0.5478 = 0.4522

Probabilidade na cauda superior

6-12

Probabilidade entre dois valores

Encontre P(18 < X < 18.6)

P(18 < X < 18.6)

= P(0 < Z < 0.12)

Z0.12 0

X18.6 18

05

8118

σ

μXZ

0.125

8118.6

σ

μXZ

Calculando valores de Z:

6-13

Z

0.12

Probabilidade entre dois valores

0.0478

0.00

= P(0 < Z < 0.12)P(18 < X < 18.6)

= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)= 0.5478 - 0.5000 = 0.0478

0.5000

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

.02

0.1 .5478

6-14

Probabilidade na cauda inferior

Encontre P(17.4 < X < 18)

X17.4 18.0

P(17.4 < X < 18)

= P(-0.12 < Z < 0)

= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12)

= 0.5000 - 0.4522 = 0.0478

0.0478

0.4522

Z-0.12 0

A distribuição normal é simétrica, por isso…

P(-0.12 < Z < 0) = P(0 < Z < 0.12)

6-15

Regra empírica

μ ± 1σ cobre 68.26% da área

f(X)

Xμ μ+1σμ-1σ

Para qualquer distribuição normal:

σσ

68.26%

6-16

Regra empírica

μ ± 2σ cobre aprox. 95% da área

μ ± 3σ cobre aprox. 99.7% da área

xμ

2σ 2σ

xμ

3σ 3σ

95.44% 99.73%

(cont)

6-17

Calculando X a partir da probabilidade

Exemplo: X representa o tempo (seg) para baixar uma imagem na

internet.

X tem distribuição normal com μ = 18 e σ = 5.0

Encontre X tal que 20% dos tempos de download são inferiores a X.

X? 18.0

0.2000

Z? 0

6-18

Calculando X a partir da probabilidade

20% de área na cauda inferior corresponde a Z igual a -0.84

X? 18.0

0.2005

Z-0.84 0

1. Encontre Z para a probabilidade

Dica: na tabela procure Z para 80% e inverta o sinal

Z 0,03 0,04 0,05

0,0 0,5120 0,5160 0,5199

0,7 0,7673 0,7704 0,7734

0,8 0,7967 0,7995 0,8023

0,9 0,8238 0,8264 0,8289

6-19

2. Converta para X com a fórmula:

Calculando X a partir da probabilidade

8.13

0.5)84.0(0.18

ZσμX

Então, 20% dos valores com

distribuição normal de μ = 18 e σ = 5.0 são inferiores a 13.80.