acta scientiae v4 n1 2002_formacao de professores de matematica

ReitorRuben Eugen Becker

Vice-ReitorLeandro Eugênio Becker

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Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-GraduaçãoEdmundo Kanan Marques

Pró-Reitora de Orientação e Assistência ao EstudanteEurilda Dias Roman

Pró-Reitor de Desenvolvimento ComunitárioEly Carlos Petry

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Pró-Reitor de Representação InstitucionalMartim Carlos Warth

Pró-Reitora das Unidades ExternasJussará Lummertz

Comissão EditorialArno BayerMarcos MachadoPaulo Augusto NetzAgostinho S. de Andrade Neto

Conselho EditorialAntônio Marinho Barcellos (UNISINOS)Arno Bayer (ULBRA)Arthur Vargas Lopes (ULBRA)Augusto Vieira Cardana (PUCRS)Dimitrius Samios (UFRGS)Dione Silva Corrêa (ULBRA)Eduardo Périco (ULBRA)Eduardo Rolim de Oliveira (UFRGS)Renato dos Santos Mello (ULBRA)

Gilson R. Moreira (UFRGS)Helena Noronha Cury (PUCRS)José Palazzo Moreira de Oliveira (UFRGS)Lavinel Ionescu (ULBRA e PUCRS)Nara Bigolin (ULBRA)Nelson Ferreira Fontoura (PUCRS)

Editora da ULBRADiretor: Valter KuchenbeckerCapa: Eliandro RamosEditoração: Marcelo LeiriaAssinaturas/SubscriptionsEditora da ULBRARua Miguel Tostes, 101 - Bairro São LuísCEP: 92420-280 - Canoas/RSFone:(51) 477.9118 - Fax: (51) 477.9115E-mail:[email protected]

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R454 Revista Acta Scientae / Universidade Luterana do Brasil-Área de Ciências Naturais e Exatas - Canoas: Ed. ULBRA,1999.

Semestral

1. Ciências naturais-periódicos. 2. Área de Ciências eEnsino de Ciências e Matemática. I. UniverisdadeLuterana do Brasil - Área de Ciências Naturais e Exatas

CDU 501/599 (05)CDU 505

Centro de Processamento Técnico da Biblioteca Martin Luther - ULBRA/Canoas

ACTA SCIENTIAE – v.4 – n.1 – jan./jun. 2002 3

Revista de Ciências Naturais e ExatasVol. 4, nº 1, jan./jul. 2002 - ISSN 1517-4492

Especial Matemática

Acta Scientae

ÍndiceEditorial ______________________________________________________________________________________________________ 5

Palestras

La Formación Docente Continua como Problema – Algunas Reflexiones sobre los resultados de las tentativas de transformar laenseñanza de las cienciasEduardo M. Gonzales _____________________________________________________________________________________________ 7

Educación Matemática en la formación de maestrosFredy E. Gonzáles ______________________________________________________________________________________________ 23

Educação Matemática e Formação de Professores no Cone SulJosé Carlos Pinto Leivas __________________________________________________________________________________________ 27

Grupos de Discussão

Formação de Professores de MatemáticaHelena N. Cury, Alaydes S. Bianchi, Cármen R. Jardim de Azambuja, Marilene Jacintho Müller, Mônica Bertoni dos Santos _______ 37

O Ensino Atual de Geometria: Concepções e TendênciasJosé Carlos Pinto Leivas __________________________________________________________________________________________ 43

Agressividade no Contexto EscolarArno Bayer, Valter Kuchenbecker, Jaqueline Tichy, Nilce B. Schneider, Raquel Glapinski de Souza _____________________________ 47

Os Professores de Matemática Diante da AvaliaçãoVanderlei Silva Félix ____________________________________________________________________________________________ 57

Oficinas

Curiosidades MatemáticasFábio Kruse ___________________________________________________________________________________________________ 65

Aprendendo Matemática nos Ciclos Iniciais À Luz dos PCN’sGladis Blumenthal ______________________________________________________________________________________________ 71

Recursos Gráficos do Software MuPAD no Estudo de FunçõesMarilaine de F. Sant’Ana, Alexandre Gatelli, Ana Lúcia Maciel _________________________________________________________ 75

Trigonometria: Um Enfoque práticoMarisa Krause Ferrão ___________________________________________________________________________________________ 81

Números Irracionais, Transcendentes e Algébricos: a existência e a densidade dos númerosCydara C. Ripoll, Edite Taufer, Giovanni S. Nunes, Jaime B. Ripoll, Jayme A. Neto, Jean C. P. Garcia, Neda Gonçalves, Rodrigo Dalla Vecchia,Vera Regina Bawer _____________________________________________________________________________________________ 85

Estatística no Ensino Fundamental e MédioSimone Echeveste, Michele Gomes de Ávila __________________________________________________________________________ 91

Desafios e Possibilidades em Matemática no Ensino FundamentalMaria Beatriz Menezes Castilhos, Marilene Jacintho Müller, Márcia Carine Vieira Godoy __________________________________ 97

Estratégias de aprendizagem e soluções de problemas para professores e alunosClaudia Lisete de Oliveira Groenwald, Marcos Rogério Mertz _________________________________________________________ 101

O uso de jogos matemáticos em sala de aulaClaudia Lisete de Oliveira Groenwald,Ursula Tatiata Timm ___________________________________________________________ 109

Utilização do cabri-géomètre II em sala de aulaAna Brunet, Magda Leyser ______________________________________________________________________________________ 117

Uma viagem com o Cabri-géomètre IIJosé Carlos Pinto Leivas ________________________________________________________________________________________ 125

Internet e Softwares gratuitos como recursos no ensino da MatemáticaCarmen Kaiber da Silva, Cristiano Pereira da Conceição ______________________________________________________________ 133

Noções de cálculo a partir de experiências científicasMarilaine de Fraga Sant`Ana, Alexandre R. Frasson, Eduardo M. Araújo, Maurício Rosa _________________________________ 143

Educação matemática e história: Atividades para as séries finais do ensino fundamentalTania Elisa Seibert ____________________________________________________________________________________________ 153

A heurística no ensino do cálculo diferencial e integralRubén Panta Pazoz ____________________________________________________________________________________________ 157

Construção dos números relativos e de suas operaçõesVera Kern Hoffmann ___________________________________________________________________________________________ 163

Avaliação

I Congresso Internacional de Ensino da Matemática – Apresentação e Avaliação _______________________________________ 169

Editorial

A revista Acta Scientiae é o veículo de comunicação científica da área de CiênciasNaturais e Exatas e do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemáticada Universidade Luterana do Brasil. Os artigos publicados nessa revista são elaboradospor pesquisadores da Universidade e por colaboradores de outras Instituições de ensinoe pesquisa.

Os professores de Matemática que demonstram interesse em discutir EducaçãoMatemática são profissionais com aspirações em refletir sua prática de sala de aula,entendendo a pesquisa como mediadora entre a prática e a teoria, resultando emmodificação e aprimoramento dessa prática. Com o objetivo de contribuir e incentivar areflexão e a discussão sobre a pesquisa na área de ensino da Matemática, foi realizado, naUniversidade Luterana do Brasil, nos dias 22, 23 e 24 de novembro de 2001 o I CongressoInternacional de Ensino da Matemática.

O presente número da Acta Scientiae apresenta as questões abordadas e discutidasnesse evento. Com a publicação deste número queremos divulgar o que foi abordado ediscutido durante estes três dias. Consideramos que a publicação do material destecongresso é de grande utilidade para todos que de alguma forma estão envolvidos epreocupados com o ensino da Matemática e a pesquisa nessa área.

Contamos com a participação de pesquisadores importantes da área de Ensinode Ciências e Matemática. Podemos destacar a participação do Prof. Dr. Fredy EduardoGonzález da Universidad Pedagógica Experimental Libertador de Maracay-Venezuela,do Prof. Dr. Eduardo Gonzáles da Universidade Técnológica Nacional-Argentina, doProf. Dr. Eduardo Fleury Mortimer da Universidade Federal de Minas Gerais, do Prof.Dr. Sérgio Nobre da UNESP - Rio Claro e do diretor da SBEM/RS, Ms. José Carlos PintoLeivas da Fundação Universitária de Rio Grande - FURG, bem como, outros de notávelimportância. Esses pesquisadores compartilharam seus conhecimentos e os resultadoscolhidos em suas pesquisas desenvolvidas no ensino da Matemática.

A preocupação com a formação de professores de Matemática foi tema de umGrupo de Discussão coordenado pelos docentes e pesquisadores da PUCRS, AlaydesBianchi, Helena Noronha Cury, Carmen Regina Jardim Azambuja, Marilene Jacinto Müllere Mônica Bertoni dos Santos.

A metodologia do ensino da Matemática nas séries iniciais foi foco de análise ediscussão a partir dos trabalhos das professoras Gladis Blumenthal, José Teixeira Baratojoe Elena Haas Chemale.

O congresso abordou vários temas de interesse da área, como Avaliação emMatemática, Agressividade no Contexto Escolar, Informática no Ensino da Matemática eHistória da Matemática. A preocupação com a abordagem metodológica do ensino daMatemática foi tema das diversas oficinas pedagógicas apresentadas no evento.

Nesse congresso a Universidade Luterana do Brasil, o Curso de Licenciatura emMatemática e o Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática contoucom a participação de quatrocentos congressistas que junto com os pesquisadoresdiscutiram questões de grande relevância no ensino da Matemática e na pesquisa nessaárea.

A Coordenação do Evento

Palestras

La Formación DocenteContinua como Problema

Algunas reflexiones sobre los resultados de lastentativas de transformar la enseñanza de las

ciencias

Eduardo M. Gonzales

1 - La investigacióneducativa en ciencias:dos décadas de cambiosvertiginosos

La tradicional importancia concedidaa las inversiones en educación para hacerposible el desarrollo futuro de un país, hadejado paso al convencimiento de que laformación general -y, en su contexto, laalfabetización científica de todos losciudadanos y ciudadanas- ha pasado aconstituir una exigencia urgente, unrequisito para el desarrollo inmediato.Junto a esta creciente importanciaconcedida a la educación científica, nosencontramos, sin embargo, con un grave

fracaso escolar, acompañado de uncreciente rechazo de los estudios científicosy de actitudes negativas hacia la ciencia.

Este reconocimiento de laimportancia de la educación científica y lasdificultades encontradas para su extensióna la generalidad de los futuros ciudadanosy ciudadanas ha impulsado la investigaciónen torno a la educación científica ytecnológica. De hecho, los logros de estainvestigación en apenas dos décadas hansido realmente impresionantes (Gabel1994; Fraser y Tobin 1998; Perales y Cañal2000). Este proceso ha ido en paralelo conla generación y consolidación de unaverdadera comunidad de especialistas enEnseñanza de las Ciencias, la queconstituye una verdadera realidad

Eduardo M. Gonzales. Doutor em Educação e Professor da Universidad Tecnológica Nacional (UTN) – Argentina.

Canoas v.4 n.1 p. 7 - 21 jan./jun. 2002ACTA SCIENTIAE

8 ACTA SCIENTIAE – v.4 – n.1 – jan./jun. 2002

instituyente en nuestras universidades y, enmenor medida, en otras institucioneseducativas.

Ahora bien, ¿en qué medida toda estainvestigación ha sido aprovechada por losprofesores y ha dado lugar a una mejoreducación?

Entre los aspectos que concurren agenerar un potencial de transformación sehallan los nuevos materiales y equipos queprovienen de las tecnologías de últimageneración, recursos que pueden serutilizados para crear contextos deadquisición y construcción delconocimiento (Duschl, 1995). Pero, sinduda, el avance principal proviene de uncambio en la perspectiva de lasinvestigaciones, que han virado desdevisiones “tecnológicas” y de “curriculumpor objetivos” hacia otras más cualitativasy de replanteo global sobre los objetivos delaprendizaje, vinculados ahora no tanto ala cantidad y a la operacionalización comoa la profundidad del conocimiento (Porlán1998). Ello ha dado lugar a la emergenciade visiones convergentes que puedenagruparse genéricamente bajo el nombrede constructivismo (Resnik, 1983; Novak1988; Gil, 1994). Incluso se ha llegado adecir que en Enseñanza de las Ciencias secuenta ya con un cuerpo consolidado deconocimientos (Hodson, 1992; Furió,1994).

Para evitar confusiones, limitaremosdichos planeos constructivistas al área dela Enseñanza de las Ciencias,sintetizándolos en lo siguiente: tener encuenta lo que el alumno ya sabe,planteando una adquisición activa,responsable y social de significados, eintegrando en el proceso, lo conceptual,lo procedimental y lo actitudinal (Gil et al1999).

Desde un enfoque más amplio Pozo yGómez Crespo (1998) señalan que “la ideabásica del llamado enfoque constructivistaes que, aprender y enseñar, lejos de sermeros procesos de repetición y

acumulación de conocimientos, implicantransformar la mente de quien aprende,que debe reconstruir a nivel personal losproductos y procesos culturales con el finde apropiarse de ellos”.

Entre esas orientacionesconstructivistas destacamos aquellosmodelos que proponen recuperar para elaula una aproximación a las característicasdel trabajo científico, es decir que intentanabordar situaciones problemáticas,acotarlas, emitir hipótesis, diseñarestrategias de resolución, etc. y que,además, integran todos los aspectos delproceso de enseñanza aprendizaje. Se trataen estas propuestas de que los estudiantespuedan vivenciar experiencias deindagación bajo formatos acordes a su nivelevolutivo y bajo la dirección del docente.

Sin embargo, y a pesar de muchosesfuerzos de “divulgación” o “instalación”de estos resultados, realizados medianteexperiencias piloto, cursos y talleres decapacitación, congresos y encuentrosdiversos, los resultados de la investigacióne innovación en ciencias naturales están unpoco alejados de lo que sucede en las aulaso inciden muy poco en ellas (Copello et al2001). Considerando que buena parte deesa investigación ha sido realizadapensando en su posible aplicación, elloestaría indicando la existencia de carencias,dificultades y/o obstáculos especiales quedeben ser considerados. Al respecto,podemos recuperar experiencias dediversos equipos de especialistas, inclusoen nuestro entorno cercano, en lo que serefiere a la instalación en el sistema deproyectos de enseñanza por investigación(Cudmani 2000, Pessoa de Carvalho 1999).También se han relevado allí algunosproblemas teóricos y prácticos vinculadoscon tales tentativas.

Esto ha dado lugar a diversos gruposa considerar la validez en sí de los modelospropuestos y a ampliar las perspectivas deinvestigación en múltiples direcciones:dando lugar a un debate en relación a las


diferentes acepciones de lo que se entiendepor “cambio conceptual” (Dustchl yHamilton 1992; Mortimer, 1995; Pozo yGómez Crespo, 1998), a la inclusión de lasdimensiones comunicacionales y deldiscurso en el aula, a la profundización delos procesos de autoregulación ymetacognición, etc. Ello está permitiendo,sin duda, una mayor comprensión de losprocesos de enseñanza aprendizaje en elaula. Estos trabajos, abordados condiferentes enfoques teóricos ymetodológicos, forman parte de losdebates que acompañan a todo proceso deinvestigación con aspiración científica, másaún en una etapa de consolidación de sucampo teórico como es el caso de laDidáctica de las Ciencias.

Los avances que se obtienen en estosestudios no eliminan la cuestión específicade cómo incorporar a los docentes en lasnuevas orientaciones de enseñanza.Precisamente muchos trabajos deinvestigación educativa en ciencias estánseñalando que la formación es unverdadero problema a resolver (Hewson yHewson 1987, Briscoe 1991, Cronin Jones1991, Anderson y Mitchener 1994, Copelloet al 2001). En particular, nos centraremosen tres aspectos de ese problema: las visionesdocentes sobre la ciencia y su enseñanza, larelación entre la teoría y la práctica educativay los aspectos institucionales o contextualesdonde se intentan los cambios.

2 - La Transformacióneducativa: resultadoscontradictorios

Otro punto de partida es el que surgede considerar los procesos detransformación educativa, iniciados en ladécada pasada en la Argentina y que tienenfuertes conexiones con otras experienciassimilares que han tenido o están teniendolugar en varios países de su entornocultural en respuesta, entre otras

cuestiones, a las necesidades del desarrollosocioeconómico.

Tras más de una década desde el iniciode reformas como la española, la argentina,etc., pueden destacarse algunos avances -como, p.e., la ampliación de los periodosde escolarización obligatoria o una nuevaconcepción del currículo, más abierto,flexible y fundamentado- acompañados dedificultades que merecen análisis yrectificaciones (Maiztegui et al 2000).

Luego de un período de múltiplesacciones masivas, dicho proceso parecierahaber perdido impulso (y recursos) y habergenerado sensaciones contradictorias enlos participantes. Esto no significa que sehaya detenido; aún con todas suslimitaciones, el proceso iniciado respondea necesidades muy importantes, de uncambio cultural global en nuestrassociedades, insertas en el desarrolloimpresionante de los nuevos modos decomunicación y de la información, lo cualimpulsa una nueva cultura del aprendizaje(Pozo 1996). La necesidad de adaptar a laescuela a estos cambios hace que, en ciertosentido, el proceso de transformación notenga retorno.

Debe advertirse sin embargo contralos riesgos de etapas de estancamiento,contra las voces que señalan el “fracaso”del constructivismo y de las reformascurriculares, de los que proponen una“detente” de las tentativas de cambio, paraacuentuar el orden o la contención en elsistema (desvinculando así la forma delcontenido) o directamente de losmovimientos de “contra reforma”, quetambién los hay.

Todo ello afecta a los grupos máscomprometidos con los cambios, enparticular cuando las condiciones salarialesy económicas son tan regresivas como lasque vivimos en nuestros países. Hemos dereconocer que comienza a detectarse unsentimiento de frustración entre losinvestigadores, los diseñadores yresponsables de las reformas curriculares


inspiradas en los hallazgos de lainvestigación y entre aquellos profesoresque confiaban en dichas transformacionespara hacer frente a las crecientesdificultades de su tarea (Gil, Furió y Gavidia1998). La reciente investigación sobreformación de los profesores hacuestionado ésta y otras optimistas (peroingenuas) expectativas, obligando areplantear a fondo las estrategias deinnovación curricular y de la formacióndocente.

En una versión optimista pensamosque la transformación educativa en laArgentina continúa con otros ejes, menosvisibles pero, quizás, más significativos.Dicho proceso pareciera orientarse en dosdirecciones: la reestructuración de losviejos “Profesorados” terciarios comoInstitutos de Formación Docente Continua(IFDC) y los cambios en los propiosestablecimientos educativos primarios ysecundarios. En cierto modo, se trata deun mismo proceso de “institucionalizaciónde la transformación” en dos niveles. Enambos casos, el eje del debate está centradoen la formación docente continua.

Como apoyo de lo anterior puedemencionarse que la normativa vigente paralos IFDC (ver Ferreyra y González 2001)define sus nuevas funciones poractividades como: ofrecer proyectosinstitucionales permanentes decapacitación, perfeccionamiento yactualización docente, con el fin deprofundizar conocimientos y promoverinnovaciones educativas; introducir ypromocionar la realización de investigacióneducativa, a modo de aporte al proceso deanálisis de las prácticas, de la renovaciónde los diseños curriculares, de la evaluacióninstitucional y del desarrollo del áreaespecífica. Sin duda, estas requerimientosimpulsan a los formadores de docentes enla dirección de investigar su propiapráctica.

En síntesis, los dos movimientosconsiderados (la investigación educativa en

ciencias y los procesos de transformacióneducativa) parecen haber hallado un límitea sus posibilidades en problemasrelacionados con la formación docente. Latransformación educativa fue concebidacomo un acción estatal masiva quepropone la flexibilización y el cambio detodo el sistema para actualizarlo a lostiempos de la globalización; la investigacióneducativa en ciencias (que se hadesarrollado en ambientes más bienacadémicos, universitarios o secundarios),propone estrategias de enseñanza basadasen la realización de actividades y enproblematizar el conocimiento. Ambosmovimientos dependen para obtener algúnavance en desarrollar propuestas destinadaa la transformación de los docentes. Estees, desde nuestra perspectiva, el puntoprincipal de apoyo de cualquier tentativade cambio.

3 - La experiencia de lastentativas de formación ytransformación docente

Analicemos entonces algunas de lastentativas que se han desarrollado enrelación a la transformación de los docentesy que enseñanzas se obtienen al respecto.No se trata en modo alguno de unarevisión, pero sí de una tentativa, provisorianaturalmente, de síntesis de los resultadosa que hemos asistido en nuestros países.

Quizás el hecho más saliente de latransformación educativa fue la realizaciónde innumerables cursos de capacitación.Sin negar su valor como elementos desensibilización, es un hecho aceptado portodos los actores que los mismos no hanproducido los efectos esperados. Nuestrapropia experiencia con cursos decapacitación de la reforma, aún cuandohan sido diseñados especialmente pararesponder a visiones didácticasactualizadas, nos ha planteado dificultades


difíciles de resolver; por un lado losdocentes asistentes a los cursos muchasveces proponen o esperan insistentemente“propuestas de clase”, tratadas sin laprofundidad necesaria y sin plantearse unesfuerzo consistente para integrar dichosconocimientos en una visión coherente;por el otro, las limitaciones de tiempo conque contamos en estos cursos nos impidencanalizar estas demandas de maneraapropiada. Frente a este “festival de cursos”los docentes expresaron ciertadisconformidad, por aspectosorganizativos, por carencias deorientaciones didácticas específicas y porel carácter arbitrario de todo el proceso.Se manifestaba de ese modo un “malestardocente”, vinculado a que los mismos sesienten agredidos por una falta dereconocimiento y por cierta culpabilizaciónsocial a sus carencias (Sánchez Jiménez1988), que son, en buena medida, el frutode la formación que han recibido.

• Los hechos anteriores no debenextrañarnos, la investigación educativa yaha señalado la inviabilidad de las reformasbasadas en esfuerzos puntuales ydescontextuados (Briscoe 1991). Por elcontrario, los resultados son mucho másalentadores cuando se presentanpropuestas más abarcativas, ya sea detrayectos o de talleres, realizados duranteun período más largo en las propiosestablecimientos educativos o en centrosde profesores (Copello et al 2001). Enambos casos es posible responder apropuestas fundadas teóricamente,coherentes y donde se establezcanrelaciones basados en acuerdos sobre eltrabajo a realizar. Ello puede relacionarsecon proyectos de innovación o deintervención alrededor de determinadostemas o problemas. También puedengenerarse opciones transformadorasalrededor de las nuevas tecnologías (lamateria tecnología ha pasado a ser unaverdadera asignatura pendiente). Estosprocesos pueden potenciarse mediante

tutorias, concebidas dentro de laflexibilidad y la reflexión, donde docentesexpertos en las nuevas orientaciones actúencomo facilitadores u orientadores deltrabajo, el que será adaptado a los proyectosy necesidades de los diferentes docentes ycentros educativos (Sánchez Jímenez1998). Diversos estudios de caso apoyanestas aserciones acerca del trabajo en lasinstituciones, más aún, se muestra que loscambios introducidos van más allá de lamateria y abarcan el desarrollo social ypersonal de los asistentes (Mellado 1998).

• Otros espacios formativos muyimportantes han sido las nuevas carrerasde Postitulación, Licenciatura y Maestradoen Enseñanza de las Ciencias. Estosemprendimientos son evidentementetransformadores porque superan losantiguos formatos del docente polivalente,formados en los profesorados terciarios ycontribuyen a crear los cuadrosespecializados en enseñanza de lasciencias. Respecto de las virtudes ylimitaciones de estas instituciones deProfesorado puede consultarse a Maiztegui1997. Estas nuevas carreras han recibidouna fuerte adhesión de los docentes,mostrando el potencial existente en elsistema. Los resultados obtenidos, aunqueauspiciosos, requieren aún de unaevaluación de impacto y de calidad.Tampoco escasean las dificultades. Suslímites numéricos y la escasez de esfuerzosespecíficos para el nivel primario, p.e.,muestran que se requieren de otrosinstrumentos que permitan lageneralización de estos esfuerzos y suinstalación efectiva en el sistema. Existenotras propuestas que consideramos puedenser muy útiles como por ejemplo losproyectos de Formador de Formadores ode Formadores de Equipos Docentes,destinados a una capacitación deespecialización en servicio de docentes yaformados, con una orientación fuerte a laactualización didáctica y la producción demateriales (Furío y Gil 1998).


• La realización exitosa de numerososcongresos y encuentros, con la presencia dedestacados investigadores internacionales,en didáctica de las ciencias, psicología ysociología del conocimiento o materiasdisciplinares de ciencias, donde sepresentan comunicaciones sobre trabajosde innovación o investigación, muestranun interés y una capacidad potencial detransformación. En cuanto al impacto deestas reuniones en la formación de losdocentes o en los procesos aúlicos, ello noes fácil de evaluar. Como hecho positivodebe señalarse la incidencia de loscongresos en la consolidación de lacomunidad investigadora a la que nosreferíamos anteriormente. Un indicionegativo puede estar en la disminución dela asistencia a estas reuniones de docentesde aula secundaria y primaria (en laArgentina ello se ha notado en lasreuniones de docentes de física -APFA- ytambién en otras áreas disciplinares).

• Vale la pena mencionar al respectoque otros congresos, con temarios másabiertos y que incluyen la presencia depedagogos, sociólogos o filósofos hantenido últimamente una convocatoriaimportante entre los docentes; ello puedeestar dando evidencia de la demanda dediscusiones muy amplias, que abarquentodo el problema educativo, en particularante el desconcierto que originan la crisisde la globalización o de la posmodernidad.También se están expresando allí otrasnecesidades de formación; un docentedebe tener una preparación y una culturageneral, como para poder orientar a susestudiantes ante la diversidad de losproblemas que se le presentan (la viejaimagen de la maestra de pueblo, querida yrespetada por la comunidad nos viene acuento). Pero sabemos que los congresosresponden a múltiples requerimientos yque los problemas de la enseñanza de lasciencias no se resuelven simplemente desdelo general. Tampoco sirve eliminar ciertacalidad en las presentaciones de los

encuentros de enseñantes de ciencias ariesgo de desnaturalizar los propósitos deestas reuniones. De modo que es necesariogenerar ambientes innovadores y creativosque favorezcan la comunicación con losprofesores que recién se inician en estaactividad. Esto sin duda es una tareacompleja y prolongada que requiere deesfuerzos específicos en todos los niveles.

• La publicación de revistas es tambiénun indicador muy fuerte de los avancesalcanzados en estos años. En la Argentinaen particular, se están publicando dosrevistas especializadas y una general en elárea de enseñanza de las ciencias. Tambiénes verdad que hay una carencia, no sólo enla Argentina, de revistas más ligadas al aulay de materiales apropiados para los cambiosque se proponen.

4 - La formación inicialno es algo obvio

Un apartado espacial debe destinarsea la cuestión de la formación inicial de losdocentes de ciencias. En los últimos añosestamos asistiendo en la Argentina a larealización de esfuerzos específicos paramodificar las currículas de los profesoradosterciarios de modo de adaptarlos a lasexigencias del normativa vigente. Entre losavances más notorios pueden citarse losesfuerzos por mejorar el conocimiento dela disciplina principal (sin abandonar unconocimiento complementario en otrasafines), la instalación de laboratorios, lainiciación de proyectos innovadores o deinvestigación en enseñanza de las cienciasy la participación de sus integrantes en lasreuniones especializadas.

Estos cambios están en la direcciónseñalada por la investigación educativa enciencias, en el sentido de que eldesconocimiento de la disciplina es una delas causas principales que impiden latransformación de la enseñanza (Tobin yEspinet 1989, Furió y Gil 1998), ya que, en


esas condiciones, los docentes evitan temasque no dominan, muestran inseguridad,refuerzan las concepciones alternativas delos estudiantes o se aferran al libro de texto(Mellado 1998). El problema deldesconocimiento de la materia se planteaaun de manera más crítica con los docentesde primaria, donde la formación inicialrecibida ha sido muy escasa o nula en laárea de las ciencias naturales. Obviamente,se requiere de propuestas diferenciadas deformación de acuerdo a los distintosniveles (Mellado 1998).

Naturalmente, el conocimiento deldisciplina debe ser entendido en sentidoamplio, que abarca lo procedimental, loespistemológico, lo histórico y loaxiológico. Conocer la materia no se reducea conocer los hechos, leyes y teorías queconforman el cuerpo de conocimientoscientíficos que suele impartirse en unafacultad (Salinas 1999). Un buenconocimiento de la materia para undocente supone también, entre otros (Gil1991):• Conocer los problemas que originaron

la construcción de dichosconocimientos y cómo llegaron aarticularse en cuerpos coherentes,evitando así visiones estáticas ydogmáticas que deforman lanaturaleza del conocimientocientífico. Se trata, en definitiva, deconocer la historia de las ciencias, nosólo como un aspecto básico de lacultura científica general, sino,primordialmente, como una forma deasociar los conocimientos científicoscon los problemas que originaron suconstrucción, sin lo cual dichosconocimientos aparecen comoconstrucciones arbitrarias. Se puedeasí, además, conocer cuáles fueron lasdificultades, los obstáculosepistemológicos que hubo quesuperar, lo que constituye una ayudaimprescindible para comprender lasdificultades de los estudiantes.

• Conocer las estrategias empleadas enla construcción de los conocimientos,es decir, conocer la forma en que loscientíficos se plantean y tratan losproblemas, las características másnotables de su actividad, los criteriosde validación y aceptación de lasteorías científicas...

• Conocer las interacciones Ciencia,Tecnología y Sociedad asociadas a laconstrucción de conocimientos, sinignorar el carácter a menudoconflictivo del papel social de lasciencias y la necesidad de la toma dedecisiones.

• Tener algún conocimiento de losdesarrollos científicos recientes y susperspectivas, para poder transmitiruna visión dinámica, no cerrada, dela ciencia.

• Adquirir conocimientos de otrasdisciplinas relacionadas, para poderabordar problemas “puente”, lasinteracciones entre distintos camposy los procesos de unificación.

Debemos realizar también una críticaa los modelos de formación concebidoscomo una sumatoria de conocimientosdisciplinares y pedagógicos (Mc Dermott1990) y no vinculados estrechamente a larealidad del aula (Moreira 1995). Estaseparación de los contenidos científicos yeducativos se ha mostrado muy poco eficaz(Maiztegui et al 2001).

Como señala McDermott, “El usoefectivo de una estrategia de enseñanzaviene a menudo determinada por elcontenido. Si los métodos de enseñanza noson estudiados en el contexto en el que hande ser implementados, los profesorespueden no saber identificar los aspectosesenciales ni adaptar las estrategiasinstruccionales -que les han sidopresentadas en términos abstractos- a sumateria específica o a nuevas situaciones”.McDermott concluye, en consecuencia,


con un rechazo de esta suma de formacióncientífica y preparación docenteindependientes entre sí. Una críticasemejante ha sido realizada por numerososautores (Pessoa 1988; Villani y Pacca 1992;Salinas y Cudmani 1994; Viennot 1997...).

Aquí se plantea, entonces, como unrequisito imprescindible adquirir unafuerte formación en una didácticaespecífica, como una materia integradora,en el doble plano de lo disciplinar y lopedagógico y de la teoría y la práctica. Másaún, se ha señalado que la transformacióndel conocimiento didáctico debe estar encoherencia con los planteosconstructivistas y, por lo tanto, que losresultados de la investigación y de laspropuestas de investigación educativa enciencias deben ser vivenciadas y sentidascomo propias por los docentes antes de quepuedan ser correctamente aprovechados yaplicadas (Furió y Gil 1998). Más aún, ennuestro medio, distintos trabajos muestranla convenicencia de integrar a losestudiantes de profesorado a proyectos deinvestigación educativa o, al menos, deasomarlos a sus características (Valeiras etal 1998, González y Ferreyra 2001,Cudmani 1997, Sanchez et al 1997).

Finalmente, debe destacarse tambiénque la formación inicial es necesariamenteacotada y que ciertos problemas de lapráctica serán recién adquiridos en elejercicio profesional. Sin embargo, haymuchos aspectos de esta problemática quepueden y deben anticiparse en esteperíodo: un reconocimiento de las formasinstitucionales y educativas habituales y delos problemas que conllevan, una toma decontacto con los diferentes actores delproceso educativo, un primer análisis delmismo desde las perspectivas teóricas dela formación que están recibiendo y,naturalmente, un período de prácticainicial; es lo que podríamos denominar unaimpregnación crítica en el conocimiento dela realidad.

5 - Estrategias para lainnovación educativa y laformación docentecontinua

De acuerdo con los resultadosproporcionados por la investigación entorno a ese indisoluble binomio queconstituye el cambio curricular y laformación docente continua, la estrategiaque parece potencialmente más fructíferaconsistiría en implicar a los profesores en tareasde investigación/innovación para dar respuestaa los problemas de enseñanza y de aprendizajede las ciencias que les plantea su actividaddocente. Esta exigencia está en consonanciacon las nuevas realidades que debe abordarel docente, las cuáles están en permanentecambio. Señalaremos a continuaciónalgunos aspectos que pueden estarinfluyendo fuertemente en ese proceso.

En los docentes, como sujetosinmersos en una sociedad, se entrecruzandos niveles de conocimiento: por una partelos contenidos científicos y, por otra, susconcepciones personales. Éstas,consideradas como verdaderas “teoríaspersonales” (Claxton, 1987), son denaturaleza implícita y constituyenauténticas “creencias” que, como tales,tienen añadido un valor de verdad(Rodrigo et al 1993).

Dichas concepciones han sidoadquiridas de manera incidental y reiteradaa lo largo de los años de formación y deexperiencia aúlica de los docentes, sonmuchas veces inconscientes, responden avisiones de sentido común, guardan ciertacoherencia interna y escapan generalmentea la crítica (Gil 1994). Son ideas fuertes,que subyacen a sus argumentos, guían sudiscurso, son un factor determinante enlas prácticas educativas (Liston y Zeichner1993) y permanecen a pesar de los pautasprescriptas en los programas de formacióndocente habituales (Albadalejo et al 1993;Porlán, 1994).


En el área específica de la Enseñanzade las Ciencias, cabe citar a Bell y Pearson(1992) cuando afirman que “empieza acomprenderse que si se quiere cambiar loque los profesores y alumnos hacemos enlas clases de ciencias, es preciso previamenteconsiderar y, eventualmente, modificaralgunas visiones de “sentido común” quetenemos los profesores sobre aspectosepistemológicos y sobre la enseñanza de ladisciplina”.

De hecho, el estudio de las“preconcepciones docentes” se haconvertido en una línea de investigaciónprioritaria, tanto en el campo de laenseñanza de las ciencias (Hewson yHewson 1987; Porlán 1994; Gil et al 1991;Bell y Pearson 1992; Désauteles et al 1993;Guilbert y Meloche 1993; Hodson 1993;Mellado 1998; Fernández 2000) como enel de la educación en general. Pero aunquela consideración funcional de las ideas delos docentes constituye un requisitoesencial para incorporar a los profesores alproceso de renovación curricular (Bell1998), no es suficiente para lograrlo,debido, como ha mostrado lainvestigación, a la escasa efectividad detransmitir a los docentes las propuestas de losexpertos para su aplicación. Como haindicado Briscoe (1991), es necesario quelos profesores participemos en la construcciónde los nuevos conocimientos educativos,abordando los problemas que la enseñanzanos plantea.

Como ejemplo citaremos el hecho deque estas visiones de “sentido común”afectan también una preconcepción sobrela tarea de los enseñantes, que es vista aveces en las instituciones formadoras comouna profesión “de segunda” (Mellado1998, González y Ferreyra 2001). Estomuestra que el problema nos afecta a todos.Sólo a través de una reflexión reiterada yfundamentada podremos superar visionessocialmente arraigadas que devalúan ladocencia (“enseñar es fácil”). Esto va másallá de la enseñanza de la ciencia y nos

obliga a cuestionarnos en profundidadnuestras propias visiones sobre lo quesignifica enseñar; sólo a partir de allípodremos recuperar desideratas para unatarea colectiva.

En segundo lugar debemosconsiderar la cuestión tan debatida decomo abordar la cuestión de las relacionesentre la teoría y la práctica, o, másespecíficamente, entre lo que se dice y loque se hacer.

Una primer consideración es que laformación inicial parece insuficiente paraconsolidar el “cambio didáctico oepistemológico” que permita al docentesuperar sus preconcepciones o imágenessimplistas sobre la ciencia y su enseñanza;es en la práctica de aula donde este cambiodebe concretarse y evaluarse. Esprecisamente en esa tarea de enseñardonde el docente novato pondrá encuestión sus concepciones adquiridas enla etapa de formación y advertirá lasdificultades reales para llevarlas a cabo.

Es quizás por eso que los profesoresnoveles tendrán necesidades e interesesmás próximos a la adquisición de destrezasy habilidades para poder dirigiradecuadamente la clase que aquellos queya llevan mayor número de años (Carnicer1998). Es allí donde confrontará con lasprácticas y orientaciones habituales de lacomunidad educativa y con los problemasmás concretos de su profesión. Ello nosobliga a pensar que debiera realizarse unesfuerzo especial en los primeros años desu profesión (Mellado 1998).

Como instrumento de análisis delproceso parece útil conocer los planes deactuación de los docentes, escucharles.Esto no sólo requiere elementos técnicos,abarca una reflexión en profundidad. Lasecuencia de sus actividades de clase, p.e.,es un referente descontaminado, un buenpunto de partida para conocer la prácticadel docente. Uno de los elementos quecaracteriza a los docentes novatos es la faltade control sobre la actividades individuales


o grupales de sus estudiantes (Pro Bueno1998). Por el contrario, los docentes másexperimentados dedican su tiempo adirigir el trabajo de sus alumnos (Tobin etal 1994).

En relación a la práctica se ha dichoque existe un conocimiento didáctico estático oteorético y otro dinámico que se construye en lapráctica (Mellado 1996). El conocimientoestático puede no afectar la práctica, paraque haya un cambio se requiere especificarrespuestas sobre situaciones y materiasconcretas. La etapa de iniciación es decisivaen ese sentido, la utilización de videos, losestudios de caso, son instrumentos quepueden colaborar a mejorar las prácticas.También son importantes las evidencias ovivencias exitosas de actividades deenseñanza transformadas, ya sea dada porprofesores ejemplares o por ellos mismos.

De ese modo se va insertando eldocente en la reflexión de su propia práctica,lo que le permite alejarse de loscondicionamientos habituales y puede, enpalabras de Castoriadis, “quebrar la clausuraen la que necesariamente estamos siemprecapturados como sujetos ...”. Por otro lado,la reflexión dialógica, entendida como unamediación entre la toma de conciencia y latoma de decisiones, ha sido planteadarecientemente como la base de un modelode formación permanente del profesorado(Copello et al 2001). Esos modelos nosacercan al ideal de innovador investigador,como tránsito superador de los modelos deproceso-producto y del tecnologicismo. Estodebe concebirse, desde luego, comoaproximación gradual, partiendo desde lainnovación, la reflexión y de allí en adelante.

En tercer lugar, debemos considerarciertos aspectos sociales en estos procesos.Lo reivindicativo laboral salarial (profesorambulante, escasos recursos para lainnovación, etc.) no puede desconectarsedel problemas en discusión. También losaspectos de la gestión escolar, de loinstitucional, son temas de una enormeimportancia, son “llaves” que abren o

cierran. La formación recibida siempre esinsuficiente en estos aspectos. De modo queel docente debe preparase para abordarcreativamente las cuestiones institucionales,sobre todo en aquellas situaciones donde lacomunidad de investigadores es más débil.

Pero no ha de creerse que cada docentepuede abordar esta tarea individualmente.Como tampoco ha de pensarse que quecada profesor o grupo de profesores tengaque construir aisladamente, por sí mismo,todos los conocimientos elaborados por lacomunidad científica sino de proporcionarlela ayuda necesaria para que participe en lareconstrucción /apropiación de dichosconocimientos.

Como perspectiva debiera hablarse dela formación de una “comunidad educativade docentes de ciencias” (Gramajo et al2000), o simplemente de una comunidadeducativa actualizada y operante.

Todo esto conecta con uno de losaspectos causa de fracaso; la elaboraciónteórica del proceso de transformación de laformación docente en ciencias aparececomo “externa” a la comunidad docente.En ese sentido coincidimos con quienesadvierten que ninguna reforma tendrá éxitosi es vista como algo impuesto, externo a lacomunidad educativa que debedesarrollarla: es necesario contar con “lavoluntad de cambiar” del docente (Ryan1998). Es pertinente mencionar aquí laadvertencia de Van Driel et al (2001)respecto a que cuando una reformaeducativa se realiza en condiciones ajenasal “conocimiento práctico” de lacomunidad docente, se dificulta en granmedida su concreción exitosa. Los autoresseñalan que, lo que habitualmente sedenominan las concepciones docentes desentido común, se constituyen en unverdadero “filtro” para los programas dedesarrollo profesional asociados a períodosde reforma.

Existen estudios en línea con lasinstituciones que han mostrado muchopotencial y que deben ser explorados en


mayor medida. En ese sentido, hayevidencias fundamentales de fuertesavances en los equipos que realizan laformación docente continua encondiciones donde se tienen en cuentaaspectos como realizarse en los propioscentros, a largo plazo y disponiendo demateriales adecuado de soportefundamentales (Gil Antonio 1998, Jiménezy Segarra 2001).

Podemos resumir, a modo deconclusión, los aspectos a incluir encualquier estrategia de formación docentecontinua (Maiztegui et al 2001):A) Ser concebida en íntima conexión con la

propia práctica docente, comotratamiento de los problemas quedicha práctica plantea.

B) Favorecer la vivencia de propuestasinnovadoras y la reflexión críticaexplícita, cuestionando elpensamiento y comportamientodocente “espontáneos”, es decir,cuestionando el carácter “natural” de“lo que siempre se ha hecho”.

C) Aproximar a los profesores a lainvestigación e innovación en torno alos problemas de enseñanza y deaprendizaje de las ciencias y, de estemodo,

D) Facilitar su familiarización con elcuerpo de conocimientos específicode Didáctica de las Ciencias elaboradopor la comunidad científica en estecampo.

Para concluir con este pantallazo,diremos que son todos estos factores en suconjunto los que propician un avance enla formación docente continua. No está demás insistir en que se trata de una tareacompleja y prolongada, que requiereapoyarse en teorías didácticas sólidas si esque se pretenden modificacionessustanciales. Conviene ahora intentar daralgunas propuestas que pueden constituirindicadores de acción para mejorar laformación docente permanente.

6 - Algunas propuestasposibles en los contextosreales

Se requieren, es evidente, múltiplessistemas de mediación.

Los ejemplos que aquí se listan debenser entendidos como propuestas orientadasdentro de las concepciones constructivistasy en la perspectiva de una “nuevaprofesionalidad” docente, que va más alláde la “racionalidad técnica” o del modelode “docentes consumidores” (Mellado1998).

De la sola enunciación de estaspropuestas se advierte que las mismaspueden combinarse de muy diversasmaneras. La idea básica con que se laspropone es retomar la iniciativa encondiciones muy diversas. Más que degrandes proyectos difíciles deimplementar, es necesario crear lascondiciones ambientales en la comunidadeducativa que promocionen estas actitudesy la búsqueda de oportunidades. Hay queapoyarse en las reformas curriculares yapropiarse de sus potencialidades y mediosdisponibles. Es necesario dar lugar a quesalgan la luz los imaginarios docentes y susdesideratas, también sus enojos y rechazos,sólo así se podrá apelar a su energía ycontribuir a construir los sujetos decambio.

Estos son, entonces, algunas de lasposibilidades abiertas que debemosintentar explorar:• Redefinir los formatos de los cursos y

trayectos de capacitación, de modo deacercarlos a talleres en las escuelas o atrayectos de mayor duración, quepartan de problemas de la práctica ydonde se garanticen condiciones dereflexión de los propios docentes,

• Programas de Formador deFormadores, tendientes a generarliderazgos y la formación de equiposen las instituciones educativas,


• Programas de postitulación,diplomatura, especialización, oCarreras de grado y posgrado enEnseñanza de las Ciencias, quetiendan a una actualización en saberesdidácticos y disciplinares y dondeexistan ambientes adecuados para lainvestigación e innovación educativaen ciencias,

• Buscar apoyos institucionales paragenerar proyectos de innovación enlas escuelas, construir laboratorios(ejemplo, proyectos YPF-Antorchas yEFI del Ministerio de Cultura yEducación en la Argentina), invitarespecialistas, participar en Ferias deCiencias y Olimpíadas, etc.,

• Desarrollo de material didácticoactualizado, textual, hipertextual, debajo costo informatizado, etc. quepueda dar apoyo en el aula laspropuestas de cambio,

• Incrementar los intercambios deexperiencias entre los docentes, suparticipación en congresos, simposiosy encuentros, diversificando estos parafacilitar su participación, e incluso lapublicación de sus producciones,

• Realizar investigación muy aplicada alaula, donde se integrenorgánicamente especialistas dediferentes niveles y trayectorias, p.e.mediante sistemas de tutoreos yproyectos de intervención en lasinstituciones educativas,

• Pasantías de docentes en centros deinvestigación o intercambio con otrasescuelas,

• Generar sistemas de capacitadores onudos de asesoramiento en el sistema,que pueden hacerse a bajo costo comopuede ser el ejemplo del proyecto delgrupo Homo Sapiens en la. Pcia deBuenos Aires, Argentina,

• Generar redes de innovación escolar,

nacionales, regionales einternacionales, para lo cuál es posibleapoyarse en la capacidad ociosainstalada, como los CentrosTecnológicos Comunitarios en laArgentina,

• Reforzar la interacción entreuniversidades-ministerios-escuelas, esdecir, reforzar todos los lazosinstitucionales posibles para latransformación, buscando especialapoyo en los agentes de gestióneducativa,

• Favorecer proyectos de innovaciónmuy ligados a lo tecnológico, lo quepermite también relacionar conorientaciones CTS, ambientales o desalud,

• Propiciar los Museos de Cienciasinteractivos o itinerantes, y, en generalla divulgación de las ciencias en lasociedad,

• Abrir el debate en relación a losproblemas del mundo, cada vez másacuciantes, buscando el mismotiempo respetar las perspectivaspolíticas de cada docente, peroseñalando la gravedad del futuro quese viene.

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Palestras

Educación Matemática en laformación de maestros

Fredy E. González

Los resultados de las evaluaciones que se hacen a los alumnos de las escuelas y liceosen relación con su desempeño en Matemática, frecuentemente son desalentadores. Engeneral, ellos no logran superar los niveles aprobatorios mínimos. Ésta es una situacióndemasiado extendida que crea la necesidad de diseñar opciones cuya implantación procurecoadyuvar al incremento de la pericia que poseen los estudiantes para la realización deactividades propias de la Matemática. Para ello, resulta conveniente examinar la situacióncon más detalle con miras a precisar los factores de mayor incidencia; uno de éstos, ajuicio del autor, está relacionado con las concepciones que suscriben los profesores acercade lo que es la Matemática, cómo ésta debe ser enseñada y cuáles son las manifestacionesque ha de exhibir un alumno para dar muestras de que la ha aprendido. Las respuestasa estas interrogantes han dado lugar a dos perspectivas en relación con el proceso deenseñanza y aprendizaje de la Matemática. En la primera de ellas, denominada“tradicional”, la Matemática es vista como un gran conjunto de expresiones simbólicas yfórmulas, cuyo aprendizaje consiste en el re-conocimiento de algoritmos que permitantransformar unas expresiones simbólicas en otras; y, por tanto, el papel del enseñante selimita a presentar esos algoritmos, lograr que los alumnos los retengan; y evaluar lacapacidad de éstos para reproducirlos. Se trata de lograr un isomorfismo entre “lo visto”en clases, lo “evaluado” en los exámenes y lo “reproducido-devuelto” por los alumnos; esla rutina de “teoría-ejemplos-ejercicios” que se basa en transmitir información para queel estudiante la registre y sea capaz de repetirla; a esto se reduce la enseñanza tradicionalde la Matemática, la cual campea en los espacios académicos, es portada en los libros detexto que se utilizan habitualmente, y se ve legitimada por los profesores quienes lareproducen en su accionar docente cotidiano. Se trata de una visión reproductivista delproceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en la que de ésta se tiene unavisión estática (se la mira como ciencia hecha), el docente es sólo un “expositor-mostrador-exhibidor” de un “producto acabado”, el alumno es un “consumidor-receptor” pasivode ese producto, y en el trabajo en el aula impera la cultura del silencio discente bajo elimperio de la oralidad docente, en un contexto donde la Matemática se transmite comodogma.

Fredy E. González é Professor da Universidad Pedagógica Experimental Libertador Venezuela. [email protected]/ [email protected]


Puede decirse, entonces, que laenseñanza tradicional de la Matemática seinserta en el paradigma de la “transmisiónpasiva”; en este caso, la dinámica de lasinteracciones profesor-alumnos en el aulade clase se orienta hacia la transmisión deinformación y conocimientos matemáticosdesde el docente -quien los posee- hastalos alumnos -ayunos de talesconocimientos- quienes actúan comoreceptores que, mediante la imitación delo exhibido por el docente y la reiteraciónde lo que éste hace, tratan de reproducirlo que les fue impartido-dado-transmitidopor el profesor.

La intencionalidad de este enfoquepresupone una in-competencia del alumno;éste, por si mismo, no es capaz de accederal conocimiento, es preciso brindárselodesde afuera, donde se ubica el docente,quien opera como un proveedor deestímulos: conocimientos que han de“ponerse en la cabeza” de los estudiantes;quienes han de reaccionar ante talesestímulos mediante una respuesta que esvalorada y, en consecuencia, reforzada orechazada por el docente, según sea o noisomórfica con un patrón esperadopreviamente establecido.

Sin embargo, poco a poco, se havenido construyendo una perspectivadiferente a la tradicional, la cual suscribeotra visión acerca de lo que significa “sabermatemática” y, consecuencialmente, ofreceuna reconceptualización del desempeño enMatemática, asumiéndolo como la periciaen la ejecución de los procesos propios delquehacer matemático, los cuales sedesarrollan a partir de la participaciónactiva y consciente en TareasIntelectualmente Exigentes (González,1998) que le permiten a los alumnosexplorar ideas matemáticas en ambientes/entornos/contextos de enseñanza yaprendizaje matemáticamente ricos yenriquecedores, es decir, que contemplanuna amplia variedad de nocionesmatemáticas y, a la vez, ofrecen la

posibilidad de ejercitar procesos asociadoscon los quehaceres propios de un hacedorde Matemática.; este tipo de tares haceposible que los alumnos aprendanMatemática explorando y evaluando ideas,elaborando conjeturas, comunicándose,razonando; analizando y pensando acercade su propio proceso de aprendizaje de laMatemática. Desde este punto de vista, sondeseables las proposiciones didácticas parala Enseñanza y el Aprendizaje de laMatemática que hagan posible que losalumnos:1. Desarrollen una valoración positiva

hacia la Matemática

2. Incrementen razonablemente laconfianza en su aptitud propia paradesempeñar tareas específicas delquehacer matemático

3. Mejoren su capacidad para resolverproblemas matemáticos

4. Amplíen su habilidad paracomunicarse matemáticamente

5. Alcancen una adecuada pericia en eldesarrollo de razaonamientosmatemáticos.

En este contexto, se amplía el alcancede lo que significa “saber matemática”; estoimplica, no sólo saber manejar algoritmos,además reclama: (a) comprensión de lasbases conceptuales mínimas de laMatemática; (b) habilidad para comunicarideas matemáticas a otros; (c) capacidadpara razonar matemáticamente, (d)familiaridad con el uso de diversarherramientas tecnológicas para aprendery hacer matemáticas. Así que, comoalternativa al enfoque “tradicional”, seformula otro que plantea que la educaciónmatemática debe propender a que losestudiantes sean competentes para:1. Dotar de significado a las ideas

matemáticas.

2. Dilucidar si una idea esmatemáticamente correcta o no.


3. Razonar matemáticamente, Fredy E.González é Professor da UniversidadPedagógica Experimental LibertadorV e n e z u e l a [email protected] .edu.ve /f re d y g o n z a l e z @ h o t m a i l . c o mestableciendo las condiciones bajos lascuales una afirmación matemática escorrecta.

4. Realizar conjeturas, inventar y resolverproblemas.

5. Establecer, con pericia, conexionesentre la Matemática y los problemasdel acontecer cotidiano.

Para lograr lo anterior, se recomiendaque en el aula se desarrollen actividadesen las que los alumnos tenganoportunidad de fortalecer su autoconceptomatemático e incrementar su capacidadpara hacer matemática, elaborarrazonamientos matemáticos y comunicarideas propias de esta disciplina.

Canoas v.4 n.1 p. 27- 35 jan./jun. 2002ACTA SCIENTIAE

Palestras

Educação Matemática eFormação de Professores no

Cone Sul

José Carlos Pinto Leivas

1 - IntroduçãoMuitas vezes o matemático puro ou aplicado tem a preocupação ou objetivo de

estudar a Matemática pela Matemática no primeiro caso e a resolução de um problema,no segundo caso, que utiliza uma certa teoria matemática para tal, muito embora a histórianos mostre que a maioria da teorias matemáticas foram descobertas ou criadas para resolverdeterminados problemas como foi o caso das geometrias não euclidianas. Para resolver oQuinto Postulado de Euclides, aquele das paralelas, houve uma linha de matemáticosque tentou prová-lo e outra linha que o tentou negar. Senão vejamos:

ENUNCIADO ATUAL DO QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES: dada umareta r e um ponto A não pertencente a r, por A só pode passar uma única reta s que sejaparalela a r.

NEGANDO O QUINTO POSTULADO: dada uma reta r e um ponto A nãopertencente a r, por A não se pode passar nenhuma reta s que seja paralela a r.

Ou nesta outra forma: dada uma reta r e um ponto A não pertencente a r, por Apodem passar infinitas retas.

Na procura de demonstrar cada uma destas verdades é que se foi chegando a umcorpo de axiomas, proposições e teoremas, perfeitamente compatíveis que originaramno primeiro caso uma geometria sobre uma esfera ou sobre uma superfície localmenteisométrica a ela que se chama GEOMETRIA ELÍPTICA, ou sobre uma geometrialocalmente isométrica a pseudo-esfera denominada GEOMETRIA HIPERBÓLICA.

Nós matemáticos estávamos sempre muito distanciados da área da educação. Muitoembora estudássemos as teorias da psicologia cognitiva : Piaget e Skinner, a didática e aestrutura e funcionamento da escola brasileira, nossa atenção era sempre para odesenvolvimento do conteúdo pelo conteúdo pois não concebíamos e ainda nãoconcebemos perder muito tempo com este papo todo sobre educação.

José Carlos Pinto Leivas é Mestre em Matemática, Professor da Fundação Universidade Federal de Rio Grande e Diretor da SBEM/RS.


Quanto a estas teorias, emboraestudássemos um pouco de cada uma emnossa graduação e nos chamassem aatenção que para a Matemática a que maisse adaptava era a de Piaget, o que vemosem realidade até os dias de hoje é a teoriado condicionamento de Skinner. Quemnão está lembrado da experiência doratinho que é alimentado diariamente comum ou dois toques na gaiola? Digo que istocontinua a ser colocado em prática pois oque vemos na bibliografia e em grandeparte de professores e estudantes é a purareprodução da repetição nos exercícios defixação da Matemática do chavão “siga omodelo”. Exemplificando o que digo, oprofessor ao apresentar uma equação doprimeiro grau na sexta série, não diz o queela é e sim como se resolve. Em seguidapassa muitos exercícios de fixação, todosmuitos parecidos, para “treinar ocondicionamento”.

Em nossos projetos pedagógicos,planos de curso ou até mesmo em nossasaulas não tínhamos preocupação maiorcom o indivíduo que aprende, com osuporte teórico pedagógico a seguir. Nossoobjeto estava centrado em nós mesmos,professores que ensinamos outransmitimos o conhecimento como aindaencontramos em muitos registros e atémesmo livros.

É recente o movimento que passou aenvolver os professores de Matemática noestudo e análise das teorias da educaçãocomo algo que tem significado para omatemático.

Neste sentido, uma das mais recentesteorias que talvez tenha motivado mais omatemático depois de Piaget foi a do russoLev Semenovich Vygotsky entre as décadasde 1920 e 1930 e que vem a cada momentoocupando mais os educadores.

Este estudioso considerou que amente do homem é social e culturalmenteconstruída, conduzindo hoje ao que sedenomina construção do conhecimento,que no meu entendimento diferencia o

processo com que a Matemática eratrabalhada, centrado no professor que jápossui o conhecimento.

2 - Educação MatemáticaA nossa educação ou ciência

Matemática, centrada no professor ou nomatemático dono ou apropriado doconhecimento, que por benevolência“transmite ou passa “ seu conhecimentoacumulado ao longo de muitos estudos eem especial destinado a um grupoprivilegiado de pessoas tidas como “os maisinteligentes”, precisa e urge por realizarprofundas mudanças a fim de acompanharas exigências da sociedade em transição eávida por mudanças, não cabendo maisdestinar a uma minoria a tarefa de fazerMatemática.

Assim, a qualidade do ensino precisaser questionada, os alunos que não gostame não aprendem Matemática devem teruma razão para que isto não aconteça e oprofessor de Matemática começa a sepreocupar que tem um aluno, ser humanocom características próprias que quer edeseja aprender. Passa-se pois da fase doconhecimento pelo conhecimentomatemático para o campo do ensino e daaprendizagem, onde não mais o polo é oprofessor e sim o aluno que dever aprendera aprender, ou seja, construir o seuconhecimento.

Nesta busca pelo aprender foramdadas ênfases a:• Psicologia da educação onde se vem

estudando os processos de aprendere ensinar;

• Pesquisa pedagógica dando umaênfase na pesquisa do professor queatua em sala de aula e não dosprofessores de gabinete;

• Formação de conceitos, onde aaprendizagem deve ser feita nasorigens e práticas sociais dos alunos;


• Preocupação com a contextualizaçãodo ensino, o que caracteriza hoje aárea da Etnomatemática;

• Significação aos conceitos.

Segundo Lucia Moysés (2000)Vygotsky está presente na EducaçãoMatemática e as pesquisas recentesmostram que para se ter um ensino dequalidade é necessário:• Contextulizar a Matemática de modo

que o aluno perceba o significado dasoperações mentais que faz;

• Relacionar significados particularescom o sentido geral da situaçãoenvolvida;

• Avançar na compreensão dosalgoritmos envolvidos ou a envolver;

• Possibilidades de aplicação dosalgoritmos em situações práticas.

Assim, podemos pensar em EducaçãoMatemática como um processo que envolveestudantes de Matemática em dois níveis:o dito aluno com uma ansiedade de sabere um professor com o desejo de ensinar.Nesta dualidade, intercessões entre ospapeis de ambos aparecem:• Ambos desejam realizar

transformações sociais quemelhorem a qualidade de vida daspessoas;

• Ambos desejam aprender aaprender a fim de enfrentar osdesafios que o mundo modernoevolutivo apresenta.

Um educador matemático é pois umindivíduo que não mais tem a pretensãode transmitir um conhecimento pronto eacabado e que tem alunos à sua frente paraserem os receptores desta transmissão. Deveser o facilitador do processo ensino-aprendizagem. Tem de buscar umaatualização constante a fim de poderacompanhar o tempo de seus alunos,integrando-se em seu processo cognitivo,

afetivo e psico-motor.

3 - A formação deprofessores

No item anterior falava na questão dadificuldade dos professores de minhageração em colocar em prática as teoriasde aprendizagem, a didática como ciência,a estrutura do ensino. Esta dificuldade nãopode ser colocada no passado uma vez queela continua a acontecer entre osprofessores que atuam nos Cursos deFormação de Professores de muitasuniversidades. Há uma tendência em secontinuar a ter futuros professorescursando Cálculo, Geometria Analítica,Física, dentre outros cursos, juntamentecom estudantes de Engenharia eArquitetura, por exemplo. Também écomum nossos futuros professores estaremestudando a psicologia ou a didática emgrupos de diferentes cursos.

Uma questão que de imediato colocoé a questão de um currículo específico paraa FORMAÇÃO DE PROFESSORES DEMATEMÁTICA, desvinculado doBACHARELADO DE MATEMÁTICA,bem como desvinculado de OUTROSCURSOS. Isto eu faço em função do quevisualizo como primeira quesito que devaexistir ao estruturar um eficiente curso queé a elaboração do PROJETOPEDAGÓGICO do curso. Na elaboraçãode um projeto pedagógico o que deimediato deve ser apresentado é OOBJETIVO DO CURSO.

Por estas colocações é que não vejocomo poderemos ter Cursos de Formaçãode Professores de Matemática eficientes ecomprometidos com a desejada ecomprometida transformação do ensinoou de forma mais abrangente com atransformação social na busca de umaqualidade de vida melhor para o país e parao mundo, se não forem estruturados destaforma.


As questões matemáticas que levanteicom as duas provocações iniciais comcerteza só podem ser trabalhadas de formaeficiente quando estivermos trabalhandoem torno de um objetivo comum e paraisto os cursos devem ser específicos, emminha opinião, a fim de que os objetivosna formação do profissional sejamatingidos. Talvez seja esta a grandedificuldade ou desafio que asuniversidades brasileiras devam enfrentar.Mas muito mais do que as universidades,os professores das universidades devemenfrentar tais desafios. De um modo geral,o professor que atua na Pré-Escola, noEnsino Fundamental e no Médio apresentauma maior disposição em realizarmudanças, esbarrando quase sempre nasdificuldades financeiras pelos baixossalários, pela dificuldade de liberação desuas atividades para participar de eventose principalmente pela enorme cargahorária que deve desempenhar para podersobreviver.

Embora haja muita resistência nasmudanças por parte destes professores,entendo que a resistência maior ainda estáno professor universitário que não desejadirigir o caráter da disciplina que lecionapara o curso no qual ela está inserida. Porexemplo, as características de um curso decálculo para a engenharia tem e devem tercaracterísticas diferentes de um curso paraa área da biologia. E o que vemos? Ummesmo curso, até porque os professores detais áreas específicas, por limitaçõespróprias, acabam não utilizando aferramenta que nos pedem para ensinar.

Entendo que nos Cursos de Formaçãode Professores este prejuízo é ainda maisacentuado, uma vez que o futuro professortem o dever de conhecer o conteúdo, suasaplicações, a evolução dos conceitos e suahistória.

Como pode isto ser feito se ele estiverestudando com futuros profissionais comoutros objetivos a atingir. Fica uma colchade retalhos e o que acaba acontecendo é

de que alguns saem num processo de açãocontinuada à busca de alternativas paramelhor desempenharem suas funções.

Tenho a possibilidade de coordenarum Curso de Graduação em Matemática-Formação de Professores, desde 1990, emregime acadêmico seriado e com umagrade curricular específica para o curso,onde todas as disciplinas tem por objetivoa formação do professor. Passei por muitasdificuldades com profissionais paraatuarem no curso, não apenas na áreaespecífica. Dificuldades indo desde oprofessor de Física, que de um modo geralnão é um professor efetivo do quadro, aoprofessor da educação e muitos da área deMatemática mesmo. Após uma década detrabalho creio ter conseguido uma certaestabilidade no processo, incluindo aíprofessor de psicologia, didática, filosofia,interessados em trabalhar com o objetivoda formação do professor de Matemática.

Além disso tenho a oportunidade detrabalhar em ação continuada comprofessores que atuam no ensinofundamental e médio em curso de pós-graduação e o que me chama a atenção é avontade que eles têm de rever sua práticapedagógica, um tanto quantodesatualizada, e que está ineficiente para acontinuidade de seu trabalho. São aquelesabnegados que não se deixam acomodar,muito embora com alguns anos de exercícioprofissional.

Com estes últimos se aprende aimportância da renovação na Matemática,muito embora, alguns digam que ela nãose modifica. Por isto, entendo que oscurrículos devam apresentar um aspectodinâmico a fim de poderem acompanharas mudanças.

Não concebo hoje um currículo deMatemática que não esteja contempladocom:

• Um projeto pedagógico bemestruturado.


A existência de um projeto de curso éo alicerce sobre o qual todo o currículo vaise desenvolver. Nele deverá estarexplicitado o objetivo do curso dando operfil do profissional a ser formado, sem oque não é possível realizar um trabalho comqualidade.

• Um corpo docente comprometidocom o curso.

De nada adianta a elaboração de umprojeto de curso e a definição de um perfilde profissional a ser formado se nãohouver um comprometimento/envolvimento dos profissionais que irãodesenvolver tal projeto. Por isto, nãoacredito em projetos que sejam elaboradosem gabinetes, sem o envolvimento efetivodaqueles que de fato o levarão a cabo.

• Uma forte fundamentação didático-pedagógica.

O estudo dos fundamentos filosóficose sociológicos da educação são de extremaimportância para um professor deMatemática que deseje estarcomprometido com as transformações emandamento. A história da Ciência e suaevolução e não apenas a História daMatemática darão uma visão ao futuroprofessor das condições necessárias que oestudante deverá possuir para construir oseu conhecimento e auxiliar os seus alunosa construírem o deles. O estudo da didáticaatualizada, vinculada com os conteúdosmatemáticos, as metodologias e a reflexãosobre o ensinar e o aprender, ou seja, aconstrução do conhecimento não pode serfraca dentro de um curso. É essencial quea didática seja trabalhada por professoresque compreendam e desenvolvamprocessos multidisciplinares nodesenvolvimento da prática docente.

• A presença da psicologia cognitiva.

O estudo das teorias da

aprendizagem- Piaget e Vygosky; amediação - introduzir na psicologia o fatorhistórico-cultural,intermediando oscientistas sociais dos pensamentos dosteóricos do marxismo; a internalização - éna interação social e por intermédio do usode signos que se dá o desenvolvimento dasfunções psíquicas superiores; a zona dedesenvolvimento proximal - o importanteé compreender a construção futura daestrutura das leis do desenvolvimento e doprocesso de ensino aprendizagem; aformação de conceitos, sendo um extensãodo processo de internalização, confronta odesenvolvimento dos conceitosespontâneos e os científicos; significado esentido - expressando as relações entrelinguagem e pensamento; a criatividade -que não está ligado a artes e sim confrontaas atividades reprodutiva as atividadescriativas, segundo Lucia Moysés (2000) sãoaspectos do pensamento de Vygotsky quejulgo devam estar presentes na formaçãodo professor de matemática.

• Uma grande fundamentação dosconteúdos matemáticos.

Creio não necessitar me reportar aotema pois já fizemos uma análise anterior.Entendo que o professor de Matemáticadeve conhecer e muito a fundamentaçãomatemática, incluindo aí todo o processode evolução e aplicação de cada área doconhecimento matemático. Muitos são osacadêmicos que questionam a necessidadede estudar áreas de matemática maisaprofundadas num curso de formação deprofessores. Tenho a compreensão de quetodas as áreas devam ser estudadas. O quenecessita é o professor que trabalhar comtais áreas poder estabelecer a conexão dotema abordado com aqueles temas com queo futuro professor irá trabalhar. Exemplospodem ser dados nas diversas áreas, comoé o caso da componente de geometriapassando da euclidiana, analítica, topologiae diferencial a fim de poder justificar


relações com geometrias não euclidianas,como qual é caminho mais curto entre doispontos ou então na componente da análisejustificando a existência de númerostranscendentes ou aplicações geométricade séries geométricas, de fundamentalimportância para o estudante do ensinofundamental e médio, dando significadoaos conteúdos constantes dos currículosnestes níveis.

• Linhas de pesquisa em educaçãomatemática.

O professor de Matemática de hojedeve ser aquele que é um pesquisador desua sala de aula. Neste sentido se faznecessário o desenvolvimento de atividadesque o exercitem para a prática da pesquisade sala de aula e isto deve acontecer apartir do momento que começa suaformação e não apenas no final do cursoou após ingressar na atividade profissional.

• Atividades de ensino - pesquisa eextensão.

O currículo deve proporcionar umaformação ao professor que lhe permita nãoapenas desempenhar atividades de ensinoe sim que possa também desenvolveratividades de pesquisa e acima de tudo asatividades extensionistas, pois deverá atuarem meios sociais diversificados,procurando desenvolver ou envolver-se noprojeto pedagógico de sua escola e dacomunidade em que está inserido. Sugiroaqui que haja um dinamismo na gradecurricular, que é o que geralmente éconsiderado como currículo, de forma queseja computada uma carga horária deatividades EXTRA-CURRICULARES.

4 - Quadro Atual doEnsino de Matemática noBrasil - PCN• Baixos índices de desempenho dos

aluno: comprovado no elevadonúmero de reprovações em cursos econcursos;

• Elevadas taxas de retençãomostrando que a Matemática atuacomo filtro social, selecionando osalunos que terão oportunidade ounão de concluir este ciclo, e avançar;

• Formação dos professores tanto aoque se refere à formação inicial quantoà continuada, pouco tem contribuídopara qualificá-los para o exercício dadocência. Por não disporem de outrosrecursos para desenvolverem aspráticas da sala de aula, os professoresse apoiam em livros didáticos,ultrapassados e de qualidadeinsatisfatória na maioria das vezes;

• Propostas inovadoras implantadassem a formação profissionalqualificada na existência deconcepções pedagógicas inadequadase, ainda, nas restrições ligadas àscondições de trabalho;

• Abordagem de conceitos idéias emétodos sob a ótica da resolução deproblemas, quando incorporada aoprograma, aparece de forma isolada,desenvolvida paralelo a algumconteúdo do programa, feito a partirde listagem de problemas que exigemconhecimentos básico de técnicas ouformas de resolução memorizadaspelos alunos.

O Conhecimento MatemáticoPrincipais características

• aspecto indutivo

• aspecto dedutivo

A Matemática como sistema formal,


logicamente estruturado a partir de umconjunto de premissas e empregandoregras de raciocínio preestabelecidas, temsua fundação na civilização grega, noperíodo que vai aproximadamente de 700a.C. a 300 d.C., atingiu sua maturidade noséculo XIX, com o surgimento da Teoriados Conjuntos e o desenvolvimento daLógica Matemática. O chamado “métodoaxiomático” assume, na Matemática, suaexpressão mais completa, e a“demonstração” tem sido a única forma devalidação, na comunidade científica, dosseus resultados.

A Matemática não é, apesar disso,uma ciência puramente dedutiva. Naverdade, a construção do saber matemáticoé feita muito freqüente de forma indutiva.A partir de casos particulares, asregularidades são desvendadas e ashipóteses gerais são formuladas. Essecaráter experimental da Matemática é,em geral, pouco destacado.

Ao longo de sua história a Matemáticaconviveu sempre com a reflexão de naturezafilosófica, em suas vertentes daepistemologia e da lógica. As concepçõesatuais indicam que o conhecimentomatemático reveste-se de um papelimportante no desenvolvimento dacapacidade de resolver problemas, deformular e testar hipóteses, de induzir, degeneralizar, de inferir, de raciocinar dentrode uma determinada lógica.

Além disso, com o advento da era dainformação e da automação, e comrapidez, antes impensada, na realização doscálculos numéricos ou algébricos, torna-se cada vez mais amplo o espectro deproblemas que podem ser abordados eresolvidos por meio do conhecimentomatemático.

Entende-se hoje que um sabermatemático flexível, maleável às inter-relações entre seus vários conceitos, entreseus vários campos conceituais, os seusvários modos de representação, foi sempreo motor das inovações e das superações dos

obstáculos ao seu desenvolvimento, desdeos mais simples até aqueles que significamverdadeiras barreiras epistemológicas noseu desenvolvimento.

As necessidades atuais de integraçãodos saberes demandam um conhecimentomatemático também permeável aosproblemas nos vários outros camposcientíficos.

Matemática e Construção daCidadania

Falar em formação básica para acidadania significa falar da inserção daspessoas no mundo do trabalho, dasrelações sociais e da cultura, no âmbito dasociedade brasileira. É importante refletirsobre a colocação que a Matemática tem aoferecer com vistas à realização de talinserção.

Uma característica contemporânea éque na maioria das profissões, em funçãodo uso das tecnologias, o tempo dedeterminados métodos de produção nãovai além de cinco a sete anos. Isso faz comque o profissional tenha que estar emcontínuo processo de formação e,portanto, “aprender a aprender” éfundamental.

A Matemática pode dar suacontribuição ao desenvolver metodologiasque privilegiem a construção de estratégias,a comprovação e justificativas de resultados,a argumentação, que favoreçam acriatividade, a iniciativa pessoal, o trabalhocoletivo, a capacidade de tomar decisõesindividualmente e em grupo, a autonomiaadvinda do desenvolvimento da confiançana própria capacidade de conhecer eenfrentar desafios.

É importante salientar que acompreensão e a tomada de decisões diantede questões políticas e sociais dependemda leitura crítica e interpretações deinformações complexas, muitas vezescontraditórias, que incluem dadosestatísticos, índices divulgados pelos meiosde comunicação. Ou seja, para exercer a


cidadania é necessário saber calcular,medir, raciocinar, argumentar, tratarinformações estatisticamente, etc.

Um currículo de Matemática deveprocurar contribuir, de um lado, para avalorização da pluralidade sociocultural,impedindo o processo de submissão noconfronto com outras culturas; ou, deoutro lado, criar condições para que oaluno transcenda um modo de vida restritoa um determinado espaço social e se torneativo na transformação de seu ambiente.Para que isto aconteça é importante que aMatemática desempenhe, no seucurrículo, equilibrada eindissociavelmente, seu papel na formaçãode capacidades intelectuais, naestruturação do pensamento, na agilizaçãodo raciocínio do aluno, na sua aplicação aproblemas, situações de vida cotidiana eatividades no mundo do trabalho e noapoio a construção de conhecimentos emoutras áreas curriculares.

O Professor e o Saber MatemáticoPara desempenhar seu papel de

mediador entre o conhecimentomatemático e o aluno, o professor precisater uma concepção de Matemática comociência que não trata de verdades infalíveise imutáveis, mas como ciência dinâmica,sempre aberta a incorporação de novosconhecimentos.

O Aluno e o Saber MatemáticoAs necessidades cotidianas fazem

com que os alunos desenvolvamcapacidades de natureza prática para lidarcom a natureza Matemática, o que lhespermite reconhecer problemas, buscar eselecionar informações, tomar decisões.Quando essa capacidade é potencializadapela escola, a aprendizagem apresentamelhor resultado.

Apesar dessa evidência, tem-sebuscado, sem sucesso, uma aprendizagemem Matemática, pelo caminho dareprodução de procedimentos e da

acumulação de informações; nem mesmoa exploração de materiais didáticos temcontribuído para uma aprendizagem maiseficaz, por ser realizada em contextospouco significativos e de forma muitasvezes artificial.

É fundamental não subestimar opotencial matemático dos alunos.

A prática mais freqüente no ensino deMatemática ao longo do tempo tem sidoaquela em que o professor apresenta osconteúdos oralmente, partindo dedefinições, exemplos, demonstração depropriedades, seguidos de exercícios deaprendizagem, fixação e aplicação, e quepressupõe que o aluno aprende pelareprodução. Considera-se que umareprodução correta é evidência de queocorre aprendizagem.

É relativamente recente a atenção aofato de que o aluno é agente da construçãode seu conhecimento .

Na medida em que se redefine o papeldo aluno frente ao saber, é precisoredimensionar também o papel doprofessor que ensina Matemática. Umafaceta do papel do professor é a deorganizar a aprendizagem, alimentar osprocessos de resolução que surgem, comvista a atingir os objetivos propostos. Deveser um facilitador do processo, não maisaquele que expõe o conteúdo aos alunos,mas aquele que fornece as informaçõesnecessárias, que o aluno não tem condiçõesde obter sozinho. Deve ser um mediador,ao promover analise das propostas dosalunos e sua comparação, ao disciplinar ascondições em que cada aluno pode intervirpara expor sua solução, questionar,contestar.

A interação entre alunos desempenhapapel fundamental no desenvolvimentodas capacidades cognitivas, afetivas e deinserção social. Em geral explora-se maiso aspecto afetivo dessas interações e menossua potencialidade em termos deconstrução de conhecimento.


Alguns CaminhosO recurso à resolução de problemasO recurso à História da MatemáticaO recurso às Tecnologias

Computacionais.

5 - ReferênciasABREU, Mariza. Organização da Educação

Nacional na Constituição e na LDB. Rio Grandedo Sul: Unijuí, 1999.

ALVES, Nilda e VILLARDI, Raquel. MúltiplosOlhares da LDB. Rio de Janeiro: Dunya,Editora,1997.

FERRETI, Celso J., SILVA JR, João dos Reis,OLIVEIRA, Maria Rita N.S. (orgs.) Trabalho,Formação e Currículo: para onde vai a escola?São Paulo: Xamã, 1999.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberesnecessários à prática educativa. 5. ed. SãoPaulo: Paz e Terra, 1997.

GIMENO SACRISTÁN, J. O currículo: umareflexão sobre a prática. 3.ed. Porto Alegre:

ArMed, 1998.GIMENO SACRISTÁN, J., PÉREZ GÓMEZ, A. I.

Compreender e transformar o ensino. 4.ed.Porto Alegre: ArtMed, 1998.

MOYSÉS, Lucia. O desafio de saber ensinar.2.ed. Campinas-SP: Papirus, 1995.

MOYSÉS, Lucia. Aplicações de Vygotsky àeducação matemática. 2.ed. Campinas - SP:Papirus, 1995.

MOREIRA, Antonio Flavio B. (org.) Currículo:Questões Atuais. 4.ed. Campinas-SP: Papirus,1997.

NÓVOA, Antonio. Os professores e a suaformação. Lisboa: Dom Quixote, 1995.

PRC. Padrão referencial de currículo. Matemática.Secretaria da Educação do RS. Porto Alegre:1998.

PCN. Parâmetros curriculares nacionais. Secretariade Educação Fundamental. MEC/SEF, 1998.174P.

VEIGA, Ilma P. Alencastro (org.) Projeto político-pedagógico da escola: uma construção possível.2.ed. Campinas-SP: Papirus, 1996.



Formação de Professores deMatemática

Helena Noronha CuryAlaydes Sant´Anna Bianchi

Cármen Regina Jardim de AzambujaMarilene Jacintho Müller

Mônica Bertoni dos Santos

1 - IntroduçãoA formação de professores de

Matemática é um tema que vem sendodiscutido por todas as Instituições deEnsino Superior que oferecem cursos deLicenciatura em Matemática,especialmente face às mudanças que vêmsendo desencadeadas a partir daspropostas das novas diretrizes curriculares.Para promover debates entre professores detodos os níveis de ensino representadosneste evento, especialmente os docentes denível superior, sobre quem recai aresponsabilidade pelas reformulaçõescurriculares, elencamos alguns pontos quepodem iniciar a troca de idéias:

2 - Excessiva valorizaçãodos conteúdos matemáticos,associada a uma concepçãoabsolutista dessa disciplina

Os cursos de Matemática,dependendo da época em que foramcriados, apresentavam estruturas diversas,mas ainda hoje, para aqueles que não seadaptaram às novas diretrizes, o maiscomum é haver disciplinas ligadas àeducação somente nos últimos semestres.A excessiva valorização dos conteúdos deMatemática é ligada à idéia de que esta é arainha das ciências. Todo o mito da

Helena Noronha Cury é Professora da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

Alaydes Sant’Anna Bianchi é Professor da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

Cármen Regina Jardim de Azambuja é Professora da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

Marilene Jacinto Müller é Professora do Departamento de Matemática da Universidade Luterana do Brasil e Professora da Pontifícia Universidade

Católica do Rio Grande do Sul.

Mônica Bertoni dos Santos é Professora da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.


Matemática como matéria difícil, comodomínio do conhecimento absoluto, todasas frases que são até hoje citadas nosacrósticos de monografias, dissertações eteses, louvando a Matemática, formam umconjunto de idéias que vêm influenciandoos professores, formadores de professores.

Acreditamos que os docentes formamidéias sobre a natureza da Matemática apartir das experiências que tiveram comoalunos e professores, do conhecimento queconstruíram, das opiniões de seus mestres,ou seja, das influências sócio-culturais quesofreram durante suas vidas, influênciasessas que se vêm formando ao longo dosséculos, passando de geração a geração, apartir das idéias de filósofos que refletiramsobre a Matemática. A essas idéias somam-se opiniões sobre o ensino e aaprendizagem da Matemática, sobre opapel dos professores, sobre o aluno comoaprendiz, idéias essas nem sempre bemjustificadas. (Cury, 1994).

A prática vai influenciar as concepçõesem uma realimentação constante, a pontode o professor, em certo momento, nãomais identificar o que são crenças préviase o que se formou a partir de sua prática,pois há várias idéias se amalgamando.

Entre os estereótipos queencontramos em investigações sobreopiniões dos docentes ou mesmo a partirde conversas informais, podemos citar:• o professor tem que saber tudo;

• o professor sempre tem razão, suamaneira de resolver um problema ésempre a mais perfeita;

• os conhecimentos sobre ensino-aprendizagem são inerentes ao bomprofessor, portanto não é precisodiscutir sobre isso, o importante sãoos conhecimentos matemáticos;

• os graus finais em uma disciplinamatemática devem se distribuirsegundo uma curva normal e só serárespeitado o professor que fizerprovas difíceis.

Essas idéias estão tão arraigados noimaginário dos professores de Matemáticaque sofremos pressão dos alunos para agirconforme esse modelo. Assim, acreditamosque um dos pontos a discutir, em cursosde formação de professores, são asconcepções sobre a Matemática, seu ensinoe aprendizagem.

3 - Distanciamentoentre as áreas específicae pedagógica e acompartimentalização doconhecimento

Atualmente, é muito importante saberqual o panorama dos cursos de licenciaturaem Matemática, especialmente porquevárias IES estão fazendo mudanças decurrículo e terão que se adaptar à resoluçãodo Conselho Nacional de Educação, de 08de maio de 2001 (Brasil, 2001), aindapouco discutida. Assim, é interessantebuscar respostas a perguntas tais como:qual é a estrutura curricular dos cursos?Há disciplinas que façam as pontes entreconteúdos matemáticos e pedagógicos? Háligação entre uma disciplina pura e acorrespondente metodologia do ensino,nos diferentes níveis de ensino? Sãodiscutidos os problemas de aprendizagemde uma disciplina de Matemática pura naprópria disciplina? E as pontes entredisciplinas diversas, sejam puras ouaplicadas? E as outras disciplinas, porexemplo, Sociologia, Filosofia ou qualqueroutra de áreas distintas, como se relacionamcom as de Matemática?

Sabemos que, em cursos degraduação, disciplinas de cunho social ehumanístico muitas vezes são apresentadasde forma teórica, sem que os alunostenham oportunidade de vivenciar osconceitos e debatê-los à luz de suasexperiências. Uma maneira de formar um


professor crítico e consciente dosproblemas sociais que vai enfrentar na suaprática é desenvolver, desde a graduação,atividades de extensão através das quais osalunos trabalhem em prol da melhoria dascondições sociais da comunidade. Umexemplo é o projeto desenvolvido noCampus Aproximado da PUCRS, na VilaNossa Senhora de Fátima, em que alunosbolsistas do curso de Matemática sãoresponsáveis pelas aulas dessa disciplinanos cursos profissionalizantes e pelarealização de oficinas para as criançascarentes (Santos, 2001).

Outro fator que causa algunsproblemas em um curso de formação deprofessores é o desconhecimento, por partedos docentes das disciplinas ditaspedagógicas (psicologia da aprendizagemou didática, por exemplo), dos problemasespecíficos da aprendizagem de conteúdosmatemáticos em nível superior, reduzindoseu trabalho à aprendizagem nas sériesiniciais, aos níveis de desenvolvimentocognitivo, às teorias, mas nuncaexaminando uma situação real de ensinosuperior. Com certeza é importante discutira teoria, mas os futuros licenciados que setitularem e forem lecionar em cursos deformação de professores não terão debatidoos problemas específicos do terceiro grau.

4 - Necessidade depesquisas e apoio aoprofessor em exercício,através de programas deeducação continuada

A própria especificidade dos cursosde licenciatura exige uma escolha criteriosados docentes que lá vão trabalhar, poisaqueles que têm apenas bacharelado, commestrado ou doutorado em Matemática,não tendo nenhuma experiência dedocência no ensino fundamental ou médio,terão apenas os modelos de seus

professores para seguir e esses, até pelaprópria escolha feita (mestres ou doutoresem matemática pura ou aplicada),valorizam, provavelmente, apenas oconhecimento matemático.

Além disso, pela própria formação quetiveram, esses professores consideram queo importante é ensinar Matemática, érepassar conteúdos com a preocupaçãocom os cronogramas e programas a seremcumpridos. Assim, não julgam possívelpartir do que estão desenvolvendo em suaspesquisas.

Dessa forma, quando pensamos naformação do professor de ensinofundamental ou médio, é importantedesenvolver a atitude de pesquisa nosfuturos docentes, levando-os a investigarsuas próprias práticas e refletir sobre elas.Acreditando no professor pesquisador,estamos, na PUCRS, desenvolvendoprojetos que permitem aos licenciandosvivenciar a realidade das salas de aula.

A proposta de trabalho conjunto entrea Universidade e as escolas de ensinobásico está fundamentada na necessidadede atualizar e qualificar a formação deprofessores, tanto a inicial como acontinuada. O projeto desenvolvido pelaFaculdade de Matemática, com aparticipação de bolsistas de IniciaçãoCientífica, tem em vista preencher lacunasna construção do conhecimentomatemático dos alunos do ensino básico,oferecendo-lhes novas oportunidades deaprendizagem. Também possibilita aolicenciando a compreensão de múltiplasfacetas do processo de ensino-aprendizagem e a aquisição de habilidadespara sua futura vida profissional. A análisedo trabalho desenvolvido pelos bolsistas,bem como a importância do mesmo paraa escola que os acolhe é objeto de projetodesenvolvido no Colégio MariaAuxiliadora, de Canoas, RS, orientado porBianchi e Müller (2001).

Quanto à formação continuada, outrotrabalho em prol da melhoria do ensino de


Matemática no ensino básico são as oficinaspedagógicas. Na PUCRS, essas oficinas sãooferecidas a professores do ensinofundamental e médio, das redes pública eprivada, e fazem parte de um projetodesenvolvido desde 1985, a partir deconvênio CAPES/PADCT/SPEC. Em 1988,com a integração da PUCRS à redeACOMECIM (Ação Conjunta para aMelhoria do Ensino de Ciências eMatemática), as oficinas passaram a contar,também, com professores ligados ao Museude Ciência e Tecnologia. Nas atividadesnelas desenvolvidas, os participantes têma oportunidade de expor seus problemas,discutir suas dúvidas e trocar experiências,manipulando materiais concretos econstruindo o conhecimento em umtrabalho de pesquisa em sala de aula.

Um dado importante da experiênciacom as oficinas e que pode ser levado emconsideração nas discussões sobre aformação do professor de Matemática –inicial ou continuada –é a possibilidade detrabalhar em equipe, com professores deensino fundamental ou médio, pedagogos,psicólogos, mestrandos e doutorandos emeducação ou psicologia, alunos delicenciatura em Matemática ou Ciências.

As atividades desenvolvidas,fundamentadas na ação e na pesquisa,contribuem para a formação dosprofessores e são levadas às instituições deorigem dos mesmos, gerando novosengajamentos e experiências.

Para identificar as contribuições dasoficinas pedagógicas de Matemática daPUCRS para a melhoria da prática docentedos professores, foi realizada uma pesquisa,relatada em uma dissertação de mestrado(Azambuja, 1999), cujos dados, obtidos apartir de entrevistas, foram submetidos àanálise de conteúdo. Os resultados dainvestigação indicam uma efetivacontribuição das oficinas à práticapedagógica dos professores pela ampliaçãodo conhecimento disciplinar, doconhecimento pedagógico dos conteúdos,

do conhecimento prático, além daoportunidade de reflexão conjunta sobretal prática. Mostram ainda a importânciada formação continuada para odesenvolvimento profissional dosprofessores em exercício, responsáveis porqualquer mudança que se pretenda noensino.

Também é importante, para a criaçãode ambientes de aprendizagem tais comoo das oficinas, que as ações sejamdesencadeadas em laboratórios dematemática, pela possibilidade de conhecertodos os materiais disponíveis, não só osmanipulativos, mas também textos, vídeose outros recursos colocados à disposiçãodos participantes. Alunos de cursos degraduação em Matemática podemtrabalhar como monitores ou bolsistas emtais laboratórios, em atividades de práticade ensino computadas nas 300 horasexigidas pela LDB e também apontadas nasdiretrizes curriculares para os cursos deformação de professores (Brasil, 2001).

5 - Uso das novastecnologias educacionais

Parece-nos que há uma certadificuldade no uso dos computadores, porparte daqueles professores que valorizamdemais a demonstração como sendo averdadeira Matemática. Muitas vezes essesdocentes acreditam que o recurso àinformática vai fazer com que os alunosapenas digitem comandos. No entanto, épossível utilizar os microcomputadores deuma forma criativa, explorando asdeficiências dos software e solicitando aosalunos que criem suas próprias soluções.Talvez este seja o maior problema para oprofessor que se acostumou com aulasabsolutamente planejadas e apresentadasem uma seqüência rígida: em salas delaboratório de informática, é impossívelesperar que todos os exemplos funcionem,que os computadores não tenham panes,


que as respostas dos alunos sejam sempreprevisíveis.

6 - Falta de oportunidadede debater temas ligadosàs Ciências Humanas, emgeral

Atualmente, com as exigências detitulação para os docentes, feitas pelasdireções das IES, especialmente porpressão da avaliação dos cursos pelo MECque pontua melhor os professores tituladosna área específica, os docentes daslicenciaturas não são muito estimulados afazer mestrado ou doutorado em educaçãomatemática. Se o pós-graduado não teveoportunidade de debater assuntosrelacionados com o processo de ensino-aprendizagem ou não tem interesse emdiscutir temas voltados para a educação,então ele se acomoda numa práticatradicional e a universidade, em geral, nãose pergunta se foi adequada a escolhadaquele profissional para aquele curso.

Muitas vezes os professoresnecessitam discutir questões que exigemconhecimentos de outras áreas, como é ocaso da elaboração de um projetopedagógico. Mas a falta de leituras emciências humanas (englobando sociologia,filosofia, história, política, educação) égrande e há certas posturas rígidas quetornam difícil o estabelecimento de umtrabalho sistemático.

7 - Avaliação daaprendizagem

Sabemos que, de uma maneira geral,a avaliação em matemática é feita porprovas, individuais, em que se avalia oproduto e não o processo. Essa questão,no entanto, é a mais delicada de abordar,porque parece que todos os outros

problemas anteriores aqui citados, bemcomo todas as concepções e crenças sobreMatemática, seu ensino e aprendizagementram juntas na questão da avaliação. Éuma preocupação, portanto, o tipo deavaliação que é empregado em disciplinasdos cursos de formação de professores deMatemática, especialmente pelo fato deque o modelo rígido, que não leva em contaos erros como ferramentas para aaprendizagem, “seja copiado peloslicenciandos, reproduzindo, em um círculovicioso cruel, a idéia de que avaliar é julgar,é condenar, é punir” (Cury, 2001, p.24).

A partir dos itens acima apontados edas considerações feitas, acreditamos quepoderíamos, em cada curso de formaçãode professores, criar um grupo dediscussão para aprofundar esses temas ououtros correlatos, de forma que cadaelemento do grupo possa apresentar suasdúvidas, relatar suas experiências, receberas críticas e reformular sua prática, em umaconstrução social do fazer pedagógico.

ReferênciasAZAMBUJA, Cármen R. J. Oficinas pedagógicas

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CURY, Helena Noronha. As concepções dematemática dos professores e suas formas deavaliar os erros dos alunos. 1994. Tese


(Doutorado em Educação) - Faculdade deEducação, Universidade Federal do RioGrande do Sul, Porto Alegre.

CURY, Helena Noronha. A formação dosformadores de professores de matemática:quem somos, o que fazemos, o quepoderemos fazer? In: _____. (org.) Formação

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SANTOS, Mônica B. dos. . Porto Alegre:PUCRS, 2001. Projeto de pesquisa.



O Ensino Atual de Geometria:Concepções e Tendências

José Carlos Pinto Leivas·

1 - IntroduçãoSegundo um artigo de “Zalmar

Usiskin” publicado no livro Aprendendo eEnsinando Geometria, página 35, há doisproblemas principais hoje no ensino degeometria no ensino médio e fundamental,que são: o fraco desempenho dos alunose o currículo ultrapassado. Como estasquestões analisadas nos EEUU me parecemque são as mesmas em todos os lugares,vou fazer algumas considerações a respeito,colocar o que vejo como ensino degeometria atualizado e abrir a discussãocom o grupo.

Para começar eu questiono a questãode se colocar o fracasso no fracodesempenho dos alunos. Para mim, aquestão maior, em se falando de fracasso,deveria ser centralizada no fracodesempenho do professor, e ao colocardesta forma estou incluindo a questão doensino de geometria no ensinouniversitário, muito mais acentuado do que

no ensino fundamental e médio. Nestesentido, não coloco a questão apenas noscursos de formação de professores mastambém nos vários cursos de ciênciasexatas.

O conhecimento de geometria de umestudante que conclui o ensinofundamental de um modo geral é irregulare limitado. Por sua vez o professordesconhece, muitas e na maioria das vezes,conteúdos e técnicas que lhe permitaproporcionar aos alunos redescobrir osconceitos geométricos.

Como exemplo vou citar a questão derazão e proporção, normalmente, estudadana 6a série, de forma quase queexclusivamente aritmética (quase, pois

aparecem alguns exercícios dedescobrir o x desconhecido...). Ao chegarà 8a série, o Teorema de Tales é estudado etambém, não querendo generalizar, sãofeitos exercícios de aplicação. Na verdade,são exercícios de memorização do teorema.Quando se fala na ligação entre os dois

José Carlos Pinto Leivas é Mestre em Matemática e Professor da Fundação Universidade Federal de Rio Grande.


temas, na verdade um só, a gente seentreolha e se questiona o porque dosassuntos serem estudados de forma tãoafastada e sem haver a devida correlação.Noto também que pouquíssimos são os queaplicam o teorema para representargeometricamente um racional qualquersobre a reta.

Mas isto nos conduz à segundaquestão, que é a do currículo. Em termosde ensino fundamental, até certo ponto,há uma organização curricular doconteúdo de álgebra a ser desenvolvido ena sobra de tempo, geralmente muitoescassa e quase sempre ao final da oitavasérie, se vê “o que se consegue fazer” paradesenvolver geometria, pois aí é lembradoque este é um tema que é cobrado emconcursos, principalmente para os cursostécnicos do ensino médio.

No ensino médio a coisa não mudamuito. Em algum momento são estudadosos sólidos geométricos através de suasformulas para cálculos de áreas e volumes,lembrando que isto “cai no vestibular”.

Quando o estudante chega àUniversidade, ou foge da área de exatas,ou enfrenta cursos de Engenharias ou deMatemática, dentre outros. Geralmente,nestes últimos começa a cursar Cálculo eGeometria Analítica desvinculados, sendoque a ênfase na Geometria Analítica é naquestão algébrica e muito pouco nageométrica. Isto é muito percebido porquem ensina geometria diferencial ao finalde um Curso de Matemática. No curso deGeometria Analítica exercita-se bastante ocálculo de ângulos entre vetores. Porquenão se calculam ângulos entrecircunferências máximas ortogonais deuma esfera, por exemplo, mostrando aexistência de triângulos em que a soma dosângulos internos não necessita dar 1800 ?

Qual noção de outras geometrias,além da euclidiana, informamos existir aosnossos alunos?

Nos cursos de formação deprofessores pouca preocupação parece

existir na organização seqüencial de umacomponente curricular para a geometria,envolvendo CONTEÚDO eMETODOLOGIA. Se assim não ofizermos como modificaremos aquilo queconstitui um fracasso para nossosestudantes – a GEOMETRIA?

No artigo citado no início há quatrodimensões principais da Geometria:• A Geometria como visualização,

construção e medida de figuras;

• A Geometria como estudo do mundoreal, físico;

• A Geometria como veículo pararepresentar outros conceitosmatemáticos;

• A Geometria como um exemplo deum sistema matemático.

Nos parâmetros referenciais decurrículo (PRC) para o RS, o ensinofundamental fica estruturado da seguinteforma:• Pensamento Aritmético;

• Pensamento Algébrico - Geométricoe

• Pensamento Estatístico -Probabilístico, dando uma novaordem no fazer matemático.

Me parece uma questão muitorelevante tratar as questões algébricas e asquestões geométricas juntas, inclusive asaritméticas podem já surgir conectadascom as geométricas, como é o caso databuada. Esta questão de tratar ospensamentos algébricos e geométricosjuntos me parece muito relevante pararesgatar uma perda grande registrada pelahistória, a saber, a Álgebra desenvolvidapara resolver os problemas geométricos. Oque foi visto até o início desta década foiuma inversão total deste aspecto histórico.Felizmente, há um número grande depessoas no Brasil e no mundo refletindosobre isto, e creio já estarmos revertendo asituação.


2 - O ensino de Geometriaatualizado

Penso que no mundo dinâmico emque nos encontramos, não podemoscontinuar ensinando exclusivamentegeometria euclidiana, descontextualizada,em formas de entes primitivos, axiomas,teoremas.

Devemos discutir sobre algumasquestões que devem convergir para oensino da geometria, como as expressasabaixo.• Novas teorias como a de van Hiele;

• Construtivismo

• Geometria de Movimentos ou dasTransformações

• Manipulação de objetos

• Problematização

• Geometrias Não-Euclidianas eGeometrias Finitas

• Material Concreto

• Novas tecnologias computacionaiscomo o Cabri-Géomètre, o MatLab, oMaple, o Geometricks, a calculadoragráfica, dentre outros.

Nas mudanças que se observamatualmente no ensino de Geometriaatualmente, acredito que a tendência dofazer Geometria passa em primeiro lugarpelo não formalismo da Geometria noensino fundamental e médio, sendodesejado que um estudante ao final destesníveis compreenda a Geometria de formamais intuitiva e representativa, saiba fazercálculos e interpretar as figuras planas eespaciais, estabeleça relações e elaboreconclusões.

Há uma tendência do não fazerGeometria isoladamente, como algumasescolas o fazem hoje, tendo aulas deGeometria e aulas de Matemática, o queexemplifica a má colocação nos diversoscurrículos existentes. É desejável que ela

seja utilizada ou desenvolvida durante todaa escolaridade, gradativamente, emconjunto com os demais conteúdos,dando-lhe significado e importância.

As tecnologias computacionaisrepresentam o grande avanço naaprendizagem geométrica e por istomesmo não pode deixar de ser levada emconsideração nos cursos de formação deprofessores, independentemente dadiscussão do acesso ao computador aindaser privilégio de minorias.

3 - ReferênciasBARBOSA, João Lucas Marques. Geometria

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Agressividade no ContextoEscolar

Arno BayerValter Kuchenbecker

Jaqueline TichyNilce Bregalda Schneider

Raquel Glapinski de Souza

1 - IntroduçãoA situação de risco social que os

docentes enfrentam diariamente noexercícios de sua profissão, vem ocupandomais espaço na mídia atualmente e assustaa comunidade onde estes incidentesacontecem, é um problema social, queatinge as escolas, e esta por sua vez,desprovida de condições que possam fazerfrente a esta situação de desintegração devalores, acaba expondo seus profissionaisà mesma agressividade que ocorre nas ruas.Preocupados com a violência contra odocente e a interferência no processo deensino e aprendizagem, buscamos levantar

dados através de pesquisa realizada nasescolas do município de Canoas, com oobjetivo de proporcionarmos subsídio aosprofissionais da área, para um melhorentendimento, visto que o problema seapresenta em todos os níveis e camadassociais.

A pesquisa que estamos realizando temcomo tema Docência em situação de riscosocial, e está sendo realizada no municípiode Canoas há dois anos.

O município conta com 131 escolas,este trabalho foi desenvolvido em 20 escolasda rede pública e privada, onde foramaplicado 244 questionários a professores,orientadores, diretores e funcionários.

Arno Bayer é professor do Curso de Matemática e Coordenador da Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática – PPGECIM – ULBRA. 92420-

280, Canoas, RS, Brasil. Fone (051) 477.9278. E-mail: [email protected]

Valter Kuchenbecker é professor da Universidade Luterana do Brasil e Diretor da Editora da ULBRA. Professor-pesquisador bolsista da FAPERGS.

[email protected]

Jaqueline Tichy é estudante graduanda da Universidade Luterana do Brasil, bolsista de Iniciação Científica.

Nilce Bregalda Schneider é estudante graduanda da Universidade Luterana do Brasil, bolsista de Iniciação Científica.

Raquel Glapinski de Souza é estudante graduanda da Universidade Luterana do Brasil, bolsista de Iniciação Científica.


2 - Docência em situaçãode risco social

O presente trabalho tem comoobjetivo investigar a situação da violênciacontra o professor nas escolas da redepública e privada do Município de Canoas/RS.

Trata-se de uma pesquisa institucionalque está sendo desenvolvida, com o apoioda FAPERGS e do Consulado da Espanha,em parceria com a Universidade Pontifíciade Salamanca, Espanha. O grupo depesquisadores está composto de quatrodoutores, dois da ULBRA e dois deSalamanca, mais quatro bolsistas.

O artigo apresenta os resultadosparciais obtidos na pesquisa feita emCanoas. Parciais porque o resultado finaldeverá ser completado com a pesquisa feitaem Salamanca.

A violência está em todo lugar, bastaabrir um jornal, ligar a TV ou acessar aInternet para nos darmos conta daviolência que ronda em nossa sociedade.A cada dia que passa o assunto violênciana escola ocupa mais e mais espaço namídia e assusta a comunidade onde oscrimes acontecem.

Especialistas como Júlio GroppaAquino, professor de psicologiaeducacional da USP (Universidade de SãoPaulo), falando sobre a violência na escoladiz que “o aluno gosta da escola, mas nãoda sala de aula.

No entendimento do Secretário daSegurança do Estado de São Paulo asegurança na escola passa mais por outroscanais do que pela polícia, é uma questãodo educador, diz o secretário.

Já a Secretária da Educação, RoseNeubauer, do mesmo Estado, pensadiferente:

O problema da violência não é um problemada escola. É um problema que estamosenfrentando na sociedade e que acabaatingindo as escolas também. É uma sociedadeque está mais doente e mais problemática.

Falta coesão social. Um conjunto de valoresimportantes está se desintegrando, como osentido de solidariedade, a identificação coma comunidade e o respeito mútuo. Por isso, ojovem se sente isolado e não como uma parteintegrante da sociedade em que vive. Assim,o problema da violência não pode serresolvido pelo governo de maneira isolada.É preciso chamar a atenção da sociedade civilcomo um todo, envolver a comunidade.

Uma pesquisa do Sindicato deEspecialistas de Educação do MagistérioOficial do Estado de São Paulo (Udemo)mostrou que 76% de 429 colégiosentrevistados foram cenário de algumepisódio violento em 2001. O medo e aintimidação são chancelados por diretorese docentes. Em uma noite de setembro,uma professora saiu com a cabeçasangrando da sala de aula na EscolaEstadual Professor Domingos Peixoto daSilva, na grande São Paulo. Alunos de umaturma noturna haviam colocado uma latade lixo repleta de cacos de vidro sobre aporta da sala, posicionada para despencarno primeiro que cruzasse o batente. Aagressão não foi parar na Justiça porque adireção desencorajou a vítima. Em geral,diretores não gostam de ver o nome daescola envolvida em casos assim.

Não é difícil identificar e transcreverinúmeros exemplos como o relato acima.Manchetes como Escola é fonte deinsegurança; Aprendizado de chumbo; Cresceviolência nas escolas e tantas outras ocupamdiariamente jornais deste imenso país.

Cresce a cada dia que passa a violênciaurbana e o sentimento de insegurança nasescolas. De forma que o assunto violênciana escola já faz parte das preocupações daspessoas.

A mídia, por sua vez, veicula de formadramática reportagens sobre atos violentos,dando a estas informações elevada eexcessiva importância.

As manifestações violentas no meioescolar não são peculiaridades nossas.Outros países também se defrontam como mesmo problema, como é comprovado


pelas pesquisas e pelos noticiáriosinternacionais.

Sobre as possíveis causas destaviolência poderíamos arrolar váriaspesquisas, como por exemplo:

Segundo Beatriz Didonet Nery (2001),os jovens vivem hoje a desesperança emrelação às promessas de futuro queantigamente estavam contidas na propostada escola. Ocupam boa parcela dasestatísticas os casos de morte, aparecendoo consumo de drogas como causaprincipal. Estas informações em geral nãoaparecem com clareza nas pesquisas feitasno meio escolar. No entanto, segundo orelato desta pesquisadora, em conversasmais reservadas com professores, adenúncia de tráfico e uso de drogas aparececom freqüência, contrariando o queaparece nas pesquisas.

Conforme pesquisa, já comentada,feita pela Udemo, sugerem-se como causasmais comuns para a violência escolar aviolência na televisão, cinema ou vídeo-games; a pobreza e o desemprego; falta desupervisão dos pais; disponibilidade dearmas; uso de drogas, etc.

A criança quando entra na escola jávem com uma carga de vida que ela trazda própria família e do meio em que elavive, e é a partir deste conhecimento queela já tem que ela vai agir e reagir dentroda escola. A escola deve orientar as criançaspara uma vida saudável em sociedade. Istonão é tarefa fácil, pois a criança possui umatendência a imitar os outros e achar tudomuito bonito e bom. Por exemplo, quandoassiste um desenho violento onde unsmatam os outros, se golpeiam, se chutam,ela vai chegar na escola e brincar comoutros colegas do mesmo jeito que elaassistiu na TV, onde ela é o mocinho e ocolega é o inimigo que tem que sereliminado.

Outras causas são a miséria, a pobreza,a desigualdade social, a corrupção e asociedade competitiva em que vivemos. Éneste meio que a criança aprende a viver e

sobreviver. Um menino de sete anos sabeque o pai está desempregado, que não temo que comer. Como esta criança encara omundo, onde aquele que tem mais podemandar naqueles que tem menos, onde elavê que uns roubam milhões e não sãopresos, onde as pessoas tiram a vida umasdas outras e nada acontece, onde pessoasnão têm o que comer, será que isto comoveas crianças? Esta dura realidade muitasvezes nos leva a uma acomodação, achandoque tudo isto é normal quando, na verdade,não é normal e não deveria ser assim.

A Professora Marília Sposito (1999),em um fórum realizado em Porto Alegresobre violência na escola diz: “O banheiroda escola é muitas vezes o espaço que ojovem tem para se expressar.”, e é istomesmo, pois, nós não achamos que o alunobom é o “quietando” , o que não diz nadae só obedece. As próprias experiênciasrealizadas nesta área de violência na escolamostram que a violência diminui nasescolas que implantam grupos de teatro,dança, corais, atividades esportivas e outrasque façam com que o aluno expresse o queele pensa e que desenvolva o seu potencial.Muitas vezes a violência juvenil que ocorrenas escolas é gerada da ausência de sentido,o jovem precisa de uma causa, algo parabuscar, e a escola muitas vezes não dá esteincentivo para o jovem, não faz com queele busque um objetivo para sua vida. Aescola muitas vezes diz que as coisas sãoassim e nunca vão mudar, ela nãoimpulsiona o seu aluno a ir em frente abuscar novos horizontes. Apresenta tudomuito pronto, não deixa o aluno criar oumuitas vezes mata o entusiasmo do alunoe faz com que ele não se sinta capaz.

Grande parte dos atos de violênciaocorre nas escolas públicas em zonas degrande miséria, onde o nível dedesemprego é alto. A falta de perspectivano futuro é grande entre os jovens, aformação de gangues é contínua e o tráficode drogas é intenso.

Vivemos uma realidade onde os


papéis se inverteram. Não são mais os paisque mandam nos filhos, mas sim os filhosque mandam nos pais. Pois, se um filho,grita, briga e desrespeita os seus pais,porque ele iria não fazer o mesmo ou piorcom o seu professor, afinal o aluno achaque o professor tem obrigação de estar alie aturar tudo o que o aluno diz ou faz, poisele é pago para isto. Esta situação ocorreporque a profissão de professor é muitodesvalorizada por parte da sociedade. Oprofessor se cala face a situações deviolência por medo, por falta de apoio daescola e até para não perder o seu emprego.Isto não ajuda a melhorar esta situação,pelo contrário, só piora. Se um professorsofre algum tipo de violência ele não estásó esquecendo o seu papel de educadorcomo também está deixando de se valorizarcomo ser humano e assim perdendototalmente o seu valor.

Uma das maiores violências queocorre no meio escolar é a pedagógica: oaluno finge que aprende e o professor fingeque ensina, isto contribui para a violência,pois o aluno quer aprender, mas tem queser motivado para isto. Ele quer que oprofessor reaja e não se omita ao queacontece ao seu redor, pois a palavraeducação tem um parâmetro muito maiordo que seguir um currículo. Educaçãoquer dizer ensinar as pessoas, educar, fazercom que elas aprendam. A escola tem quese adaptar à realidade que está aí fora. Nãodá para fingir, não ver ou passar por cima.As manifestações de violência estão claraspara toda a sociedade, e os professores ediretores muitas vezes dizem: “não, istonão ocorre na minha escola”. Osgovernadores fingem que esta realidade nãoé tão preocupante, mas até quando criançasterão que morrer para que o governoresolva fazer alguma coisa?

Os pais, ao se omitirem, tornam-se osprincipais culpados dos atos de violênciarealizados pelos seus filhos e têm que serpunidos por isto.

Em 1995, a SMED (Secretaria

Municipal de Educação e Desporto) –Porto Alegre estabeleceu um convênio coma Universidade Federal do Rio Grande doSul – Instituto de Filosofia e CiênciasHumanas, através do professor JoséVicente Tavares dos Santos, no sentido deconstruir o projeto de pesquisadenominado “Violência na Escola” . Oobjetivo central deste projeto era areconstrução dos atos violentos nocontexto escolar das escolas municipais dePorto Alegre, a fim de reconhecer as causas,compreendê-las e procurar minimizá-las.

No dia 8 de agosto de 2001, naCâmara dos Vereadores de Porto Alegre,ocorreu o Fórum Municipal de Prevençãoà Violência no meio Escolar. Fato este quereforça, além dos motivos já citados, a nossapreocupação em estudar e pesquisar aviolência no contexto escolar.

Preocupados com as interferências daviolência no processo de ensino eaprendizagem, nos integramos a umaequipe da Universidade Pontifícia deSalamanca – Espanha, que estápesquisando e analisando a mesmaproblemática na província de Salamanca,a fim de dar subsídios aos professores queatuam na sala de aula.

Diante deste quadro alarmante ecrescente da violência nas escolas, partiu-se para uma investigação com o objetivode buscar uma melhor compreensão doproblema e viabilizar alternativas depossíveis soluções. Elaborou-se umquestionário comum para ser aplicado emSalamanca e no Município de Canoas.

O Município de Canoas foi mapeado,onde foram identificadas as escolas, paraserem pesquisadas. Os critérios paraescolha da amostra foram os seguintes:poder aquisitivo, nível cultural, localização,número de professores e alunos. Tendo-seainda o cuidado de envolver escolas dastrês redes de ensino de cada região, com apreocupação de observar nesta eleição ocritério da classe social, para que a opiniãoobtida fosse representativa da população


envolvida.Das 131 escolas existentes no

Município de Canoas, foram pesquisadas20 escolas, sendo aplicados 244questionários a professores, diretores eorientadores. As 20 escolas selecionadasenvolviam a rede pública (municipal eestadual) e privada do ensino fundamentale médio do município de Canoas.

O município foi dividido em duasáreas, uma para cada professorpesquisador. O grupo de pesquisa, antesda aplicação prática dos questionáriosobteve da Secretaria Municipal deEducação de Canoas e da 27ª(Coordenadoria Regional de Educação deCanoas), uma autorização para ter acesso

aos docentes das escolas, visitando-as eexplicando o real motivo da pesquisa.

Os questionários foram entreguespessoalmente pelos pesquisadores para adireção da escola, que os encaminhou aosprofessores. Alguns instrumentos, noentanto, foram aplicados diretamente pelopesquisador.

Ao analisarmos as respostas dosprofessores obtivemos os seguintesresultados.

Perguntamos aos professores “Comque freqüência aparecem em suas aulas asseguintes situações de indisciplina ”.

Nas situações de indisciplinamencionadas nesta questão a que commais freqüência apareceu foi a

desobediência ao professor. A atribuição devalores numéricos 1 – nunca, 2 – às vezes,3 – freqüentemente e 4 – sempre, às opçõesoferecidas aos professores, nos permitiucalcular, classificar e avaliar pela média asrespostas dadas pelos docentes. Usando orecurso da média, podemos afirmar que asituação de indisciplina, desobediência aoprofessor, está entre às vezes efreqüentemente na opinião dosprofessores.

As agressões verbais entre os alunos

aparecem em nível mais elevado,excedendo ao valor médio do “`as vezes”,predominando a zombaria e o “falar malde alguém”. A escola vive numa lutadesigual. Ela tem a tarefa de educar e,neste processo, um contínuo desfazer eminimizar os estímulos exacerbados porimagens incitadoras que aparecem natelevisão.

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Na opinião de Olivier, o esporte decombate deveria ser resituado no contextoinstitucional. Transformar a briga em jogo.Jogo com regras onde a criança ouadolescente pudesse expressar seu ímpetoem condições seguras e definidas.

As agressões físicas indiretas, como

esconder coisas, roubar coisas e quebrarcoisas, apareceram numa intensidadepequena, predominando a atitude deesconder coisas. Pouco apareceu, napercepção do professor, a atitude quebrarcoisas, o nível médio ficou em 1,51.

Segundo a teoria desenvolvida pelojurista italiano Enrico Ferri (In: Trindade,p.71), o homem não nasce delinqüente esim se torna delinqüente ao longo da vidaporque o meio social, o meio ambiente, osfatores externos convergem no sentido detornar a pessoa violenta. A escola tem agrande responsabilidade de ser o meio

capaz de proporcionar os fatores externose fazê-los convergir em seus adolescentes,de modo a não estimular a violência. ParaDürkheim (In: Trindade p.71), a violênciadecorre da anomia, isto é, ausência denormas. Quando não há normas, quandonão há limites, a probabilidade da violênciaaumenta.

-

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

Zombaria Falar mal dealguém

Ofensas Insultos Ameaças

Agressões Verbais entre alunos

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

Esconder coisas Roubar coisas Quebrar coisas

Agressões Físicas Indiretas entre alunos


A estatística policial mostra o quantode violência ocorre no contexto escolar.Temos dados que mostram agressões entrealunos, aluno contra professor. Agressõesà estrutura fís ica da escola e/ou

equipamentos. Os registros na Polícia Civilconfirmam esta situação deintranqüilidade, as nossas escolas e ocontexto escolar são alvos de muitasagressões.

37

32

43

Roubos pedestres/escolares Arrombamentos Furtos simples

Fazendo uma análise comparativaentre os dados levantados na polícia e dadosrelatados na imprensa a respeito dasagressões no meio escolar com asinformações coletadas entre os professores,parece que muito do que ocorre no meioescolar já não mais chama atenção.

Os professores não se sentem

agredidos, pois o nível médio das respostascolhidas entre os professores foi 1,17,muito próximo do “nunca”, cujo índice éigual a um.

Os professores das nossas escolasacham que o clima de convivência entre osalunos é bom.

Não respondeu

Excelente

Bom

Regular

Ruim

Fonte: Secretaria da Segurança Pública RS


O professor ao se posicionar quanto asua atuação diante das agressões ocorridasna escola salientou que sua ação seria a defalar em particular com o aluno como

primeira alternativa, aparecendo comoíndice médio igual a 3,5. Numa escala ondeo maior índice seria 4, a ação de menoríndice médio foi o de ignorar o acontecido.

Para prevenir a indisciplina no meioescolar, deve-se dar responsabilidade aoaluno, 90% dos professores optaram poresta alternativa. Seguindo as sugestões,

em segundo plano, apareceu a conversacom os familiares e, em terceiro plano, odiálogo, em último os professores seposicionaram em ignorar o acontecido.

-

10,00

20,00

30,00

40,00

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60,00

70,00

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90,00

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Sugestões para prevenir indisciplina e agressões

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Atuação do Professor diante de agressão

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Da mesma forma os professoresopinaram que para prevenir a indisciplinae agressões na escola, a melhor alternativaé ter a colaboração da família, depois, em

ordem decrescente, dar melhor orientaçãoaos alunos. Em último nível, ter maisvigilância nos recreios.

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Colaboraçãoda família eda escola

Melhororientaçãoaos alunos

Apoioescolar

Controle deentrada e

saída

Intervençãodo serviço

social

Vigilâncianos recreios

Indisciplina e Agressões

O gráfico anterior aparentemente estáinvertido, porque foi sugerido na questãoque fosse atribuído 1 ao melhor e 6 ao queconsiderar a pior alternativa. Logo a opçãoque apareceu com a menor média é a quefoi considerada a melhor.

As causas da conduta do alunoagressor, na opinião dos professores, emprimeiro plano estão os problemasfamiliares, seguido da violência familiar,por último a sociedade.

Os resultados demonstram umacautela no posicionamento dos professoresem relação à violência. Isso se deve talveza situação de corresponsabilidade doprofessor com a escola e com a sociedade.Declarar o alto índice de violência é assinaruma parcela de culpa no processo ensino-aprendizagem.

ReferênciasABRAMOVAY, Miriam e Rua, Maria das Graças.

Violências nas escolas. Brasilia: UNESCO,2000.

DIMENSTEIN, Gilberto- A Epidemia da Violência.Folha de São Paulo- 22/09/96. 1996.

DÜRKHEIM apud Jorge Trindade in A Violênciana Escola. Canoas: ULBRA, 2000.

FERRI, Enrico apud Jorge Trindade in A Violênciana Escola. Canoas: ULBRA, 2000.

OHSACO, T. Violence at school. Global issues andinterventions. Ed: UNESCO, 1998.

OLIVIER, Jean-Claude. Das Brigas aos Jogos comRegras: enfrentando a indisciplina na escola.Porto Alegre: Artmed, 2000.

REZENDE, Marcelo. Paixão de Aprender. nº 14.Porto Alegre: SMED,2001.

SILVA, Ainda Monteiro. A Violência na Escola:


a percepção dos alunos e professores-mimeo.SILVA, Maurício da. Violência nas Escolas Caos

na Sociedade. São Paulo: Evirt, 1999.TRINDADE, Jorge. A violência na escola: o papel

das instituições. In A violência na escola.Org. Arrieta, Gricelda Azevedo. Canoas:ULBRA. 2001.



Os Professores de MatemáticaDiante da Avaliação

Vanderlei Silva Félix

1 - IntroduçãoO tema é proposto para refletirmos

um pouco sobre os professores dematemática diante da avaliação. Este temaestá presente, entre outros, nos trabalhosde: D’Ambrosio, Ubiratan (1985);Escamilla (1995); Félix (1999); NationalCouncil of Teachers of Mathematics(NCTM), Niss (1993), (Rico;1997),Robitaille (1989), Suydam (1974). Trillo,Felipe e outros (1997):

A avaliação, ao longo da história,passou por vários conceitos, o que nos levaa afirmar que não existe um só, e que elepode ser tanto limitado como amplo,dependendo da sua estrutura, de seu meio,de ser tradicional ou renovador; semprecom reflexos no currículo, metodologia eexperiência de ensino aprendizagem. Domesmo modo, os diferentes conceitos deavaliação se fazem sentir nas influênciasnos centros escolares, em suaadministração e relação professor/aluno.

Escamilla (1995), encontrou duasgrandes formas de conceber a avaliação:

“(...) uma de aspecto mais amplo,

complexo e renovador, outra estreita, maistradicional e também mais simples, (...)”.

O primeiro viés passa pela qualidadedos serviços da avaliação, procurando essaqualidade em vários setores, tais como:1) tendências administrativo

organizacionais;

2) componentes curriculares;

3) relação professor/aluno

As tendências administrativo-organizacionais referem-se:1) à organização da escola, diante de

novos paradigmas e propostascorrelacionadas, fazendo parte agestão democrática no centro escolar,relação de poder e processo decisório/participativo, papel de desempenhoda direção e demais órgãos da escolaetc.

2) a componentes curriculares, comobjetivos bem definidos, incluindoconteúdos, metodologia, processoensino-aprendizagem, recursosdisponíveis e avaliação.

Vanderlei Silva Félix é Doutor em Ciencias da Educação: Departamento de Didática e Organização Escolar. Faculdade de Filosofia e Ciências da

Educação. Universidade de Santiago de Compostela. Espanha e Professor Adjunto da Faculdade de Matemática da Universidade Luterana do Brasil –

ULBRA. e-mail: [email protected]


3) à relação professor/aluno, como algomuito importante no processo ensino-aprendizagem.

O segundo viés, o tradicional, é“predominante em muitos setores sociais eem muitos centros escolares”. Escamilla(1995), observa a repercussão que os serviçoseducativos têm sobre os alunos.

Esse aspecto limitado da avaliaçãoeducativa “centra-se mais nos resultados doque no processo” (Escamilla;1995), levandoa uma avaliação parcial, em função do objetoa avaliar - o aluno e seu progresso noambiente de ensino-aprendizagerm. Nestecaso, a partir dessa visão limitada, sempretensão, jamais poderemos pensar queisso possa repercutir num ensino dequalidade.

Este viés conceitual da avaliaçãoeducativa de modelo tradicional continuapredominando na prática, em muitoscentros escolares, principalmente em termosde planejamento curricular e avaliação.

Pérez Gómez destaca que a concepçãode avaliação mais atual é produzida emvárias aberturas, tais como:• Abertura conceitual, para dar suporte

à avaliação, à resultados não previstose à acontecimentos imprevisíveis;

• Abertura de enfoque, para dar lugar aobtenção dos dados, tanto de processoscomo de produtos;

• Abertura metodológica. A primitiva einflexível estratégia formal setransforma em procedimentoinformal;

• Abertura ético-política. A avaliaçãoproporciona informação a todos osparticipantes e recolhe opiniões einterpretações de todos os gruposenvolvidos no projeto educativo, daavaliação burocrática à avaliaçãodemocrática” (Pérez Gómez;1985:431).

Esta múltipla abertura proposta porPérez Gómez atualiza e oferece uma nova

perspectiva da transformação de práticaeducativa em termos de avaliação. Serve dereferência para os novos desafios no campoda avaliação, na medida em que prevê apossibilidade de acontecimentos nãoprevisíveis, que está constantementeretomando os dados, incluindoprocedimentos não formais e indo nadireção de uma escola renovada edemocrática.

“A avaliação deverá ser um processocaracterizado por princípios de continuidade,sistematicidade, flexibilidade e participaçãoem todos os setores implicados” ( Escamilla;1995: 22).

Nesta continuidade incorporam-sejuízos de valor, para dar ênfase ao processoeducativo.

“A avaliação consiste em um processosistemático de obtenção de dados, incorporadoao sistema geral de atuação educativa, quepermite obter informações válidas e viáveispara formar juízo de valor sobre uma situação.Estes juízos, por sua vez, se utilizam na tomadade decisão conseqüente, com o objetivo demelhorar a atividade educativa valorizada”(Casanova; 1992:31).

A avaliação está situada em lugarcentral, entre planos curriculares e planoseducacionais.

Para Shavelson :

“... existe uma relação simétrica entre aavaliação e o ensino. Isto é, uma boaavaliação, produz uma boa atividade deensino, e um bom ensino, provoca uma boaavaliação (...). Não é difícil, hoje, encontraruma base de acordo para definir a avaliaçãocomo um processo de obtenção e previsão deevidências sobre o funcionamento e a evoluçãoda vida da aula, baseando-se nas quais setomam decisões sobre a possibilidade,efetividade e valor educativo do currículo,além de medir a avaliação implica entender,valorizar” (Pérez Gómez;1985:431).

Conforme o Joint Commitee,“Avaliação é uma investigação sistemáticada validade e mérito de um objeto ” (BlancoPrieto;1994: 40).


2 - Avaliação: relaçãoentre informe contextuale normativo

No Brasil existe uma grande distânciaentre a metodologia adotada pelosprofessores e seus métodos quando estãoavaliando. Essas distorções atingem todosos níveis de ensino, e todas as regiões dafederação.

O tema avaliação, pela importânciaque tem, deverá oportunizar debatesconstantes, principalmente para os cursosde formação para o magistério das sériesiniciais, com a finalidade de evitarabordagens de “procedimentos avaliativosgeneralistas e pouco objetivos, por partedos professores que em última análise sãoos que avaliam em sala de aula”(Foina;1996: 25).

A avaliação escolar, tanto no centroescolar como na sala de aula, apresenta,uma “prática autoritária, punitiva e voltadapara a reprodução do conhecimento”(Boas;1996: 47). Em decorrência,encontram-se elevados índices derepetência, reprovação e evasão, tendocomo foco principal o primeiro grau.“Como as práticas avaliativas perpassamtodo o trabalho pedagógico, pode-seconcluir serem elas um dos fatoresresponsáveis pelo fracasso escolar”(Boas;1996: 48).

Frente à realidade das escolasbrasileiras no tocante à avaliação, éreforçada a necessidade da preparação/qualificação não só do corpo docente, masde todos os profissionais da educação -orientadores educacionais, supervisores,diretores pedagógicos, administradores eoutros, pois todos, direta ouindiretamente, estarão influindo naavaliação dos alunos (Foina, 1996 e Boas,1996).

Conforme D’ambrosio (1986:94), “aavaliação como a praticamos, é a maioraberração de um sistema educacional”.Sugerindo “avaliação construtiva”, onde

esta conduz ao aproveitamento pleno dopotencial de cada indivíduo, permitindo-lhe um ensino integrado voltado aproblemas e interesses do aluno.

A forma, extremamente limitada, pelaqual a avaliação é realizada pelosprofessores, “geralmente restrita àshabilidades de elaboração e aplicação detestes, parece provocar o nó górdio ouponto de estrangulamento do processo dereprovação” instalado na pedagogia darepetência (Andrade;1996:209). Estaimagem está profundamente arraigada nacultura escolar brasileira.

A persistência dos professores emrestringirem suas “práticas avaliativas asimples realização de testes ou exames” efalta de viabilidade e validade destas,ocorrem na maioria dos casos (Benito:1992). Os tópicos a serem selecionadospelo professor devem ser revestidos decoerência, tornando-se, neste caso, fatorimportante no processo educativo.

Deve haver correlação entre omomento presente com todo o processoanterior, evitando-se:

(...) incongruências, que vão desde oinadmissível, que resultaria que adotassecomo estratégia de avaliação um examememorístico tipo prova objetiva após tertrabalhado um curso todo a enfatizar osprocessos de compreensão (Trillo, 1994: 73).

Essas incongruências são a realidadedo sistema de avaliação em nosso pais. Novestibular é adotado como estratégia deavaliação, para o ingresso na universidade,exame memorístico tipo prova objetiva,critério diferente do usado no ensinofundamental, por exemplo, onde é tentadotrabalhar ou desenvolver o processo decompreensão.

A prova formal, que é um instrumentoutilizado pela maioria dos professores, “não reflete o conhecimento real do aluno”(Esteves;1996: 307).

Por outro lado Silva aponta um outroelemento, ao afirmar que o estiloconvencional das perguntas das provas


induz o aluno a conceber que o que maisimporta no processo ensino aprendizagemé o que aparece através das provas: oconteúdo. Nesse panorama, o modo paraadquirir conhecimento é o de obterinformação verdadeira adicional. Osprocessos de compreensão não sãofocalizados (Silva, 1996:87).

Trillo (1994:74), com base em Elliot(1990), propõe a diferenciação dosdistintos tipos de tarefas de maior oumenor competência cognitiva explicandoque:

“as ‘tarefas de memórias’ consistem emdesenvolver a capacidade de recordarinformação na forma que foi apresentada, oobjetivo das ‘tarefas de compreensão’ consisteem reconstruir ou construir o sentido a partirda informação apresentada”.

Os professores devem discutir/refletirsobre o que realmente querem que osalunos aprendam, para posteriormenteagirem de forma coerente na hora de avaliá-los (Trillo, 1994: 74).

As técnicas para o desenvolvimentoda compreensão poderiam ser melhorutilizadas, porém grande parte do tempoé consumido com o processo de avaliação.O tempo que envolve professor/aluno emtestes, provas, exercícios, exames e outros,é desconectado da realidade,comprometendo a carga horária por serexageradamente grande.

O excessivo número de provas, testes,ou mesmo exames que realizam os alunos,tornam reduzidas as atividades reflexivasdo professor com a sua classe. E, dessemodo, os professores, não tirando proveitoda avaliação para sua crítica/reflexiva sobreos trabalhos objetos de avaliação, acabamcomprometendo todo o sistema deaprendizagem.

Em termos práticos da avaliação, oinforme Cockroft (1985) por exemplo, fazuma ampla revisão da avaliação emMatemática, principalmente no ensinosecundário, de seu planejamento sobre aavaliação em matemática, introduzindo-lhe

novas técnicas e instrumentos com oobjetivo de obter informações sobre odesenvolvimento da Matemática na sala deaula.

Por outro lado , Niss(1993) dizclaramente que as funções e efeitos dosmodos atuais de avaliação não estão claros;os modos e práticas da avaliação usualincluem interesses em conflitos efinalidades divergentes que não seentendem e não se desejam.Particularmente é difícil levar a cabo, aomesmo tempo, modos de avaliar quepermitam:• valorizar de maneira válida e confiável

conhecimento das instituições, dascapacidades e as destrezasrelacionadas com a compreensão edomínio da Matemática em seusaspectos essenciais;

• proporcionar assistência a cadaaprendiz individualmente medianteassessoramento e melhora facilitando-lhe a aquisição da compreensão edomínio da Matemática.

As respostas a este dilema envolvendoa avaliação e o currículo, citadosanteriormente vieram a partir dodocumento sobre modelos curriculareselaborado pelo National Council ofTeachers of Mathematics (NCTM)complementado com o estudomonográfico sobre avaliação: modelos paraa avaliação da Matemática escolar editadoem 1995.

O fator motivador do NCTM, comoassinala Rico (1997) foi a ambiciosa reformacurricular da Matemática nos EstadosUnidos, situando-se seis modelos deavaliação: da Matemática, daaprendizagem, da equidade, da abertura,das inferências e da coerência.

Para situar a utilização destes modelos,Rico apresenta quatro categorias gerais decunho educativo, nas quais se recolhem,de forma genérica, informações sobre odesempenho do aluno. São elas:


* Observar o progresso do aluno

* Tomar decisão relativa à instrução

* Avaliar o progresso do aluno

* Avaliar os planos curriculares”(1997:16).

O mesmo autor ressalta a idéia daprática desses modelos:

“Para desenvolver a capacidadematemática em todos os estudantes, aavaliação deve se apoiar na aprendizagemmatemática contínua de cada um dosalunos” (Rico; 1997:16).

As transformações fundamentaissugeridas pelo NCTM, relativas aosmodelos para a avaliação, recomendamavançar em algumas práticas e a recuarou abandonar outras.

Conforme resume Rico (1997: 16-17),fundamentado no NCTM:

É recomendado avançar:* Na avaliação da capacidade matemática

global dos estudantes,proporcionando a estes múltiplasoportunidades para demonstrá-la;

* Na comparação do progresso do alunocom os critérios estabelecidos;

* No apoio e na confiança na valorizaçãodada pelos professores;

* Na concepção da avaliação como umprocesso público participativo edinâmico;

* No desenvolvimento de uma visãocompartilhada do que deve seravaliado e como fazê-lo;

* No uso dos resultados da avaliação paraassegurar que todos os estudantes têma oportunidades, de desenvolver seupotencial;

* Na coerência da avaliação com ocurrículo e a instrução;

* No uso de múltiplas fontes deevidências;

* Na visão dos estudantes como

participantes ativos no processo deavaliação;

* Na consideração da avaliação comoum processo contínuo e recursivo;

* Na consideração de tudo que serelacione com a aprendizagem emMatemática, sejam considerados oulevem-se em conta os resultados daavaliação.

Também se recomenda que sejamabandonadas as seguintes práticasavaliativas: * A avaliação somente do

conhecimento do aluno sobre eixosespecíficos e destrezas isoladas;

* comparação da atuação de uns alunoscom os outros;

* Os planos do sistemas de avaliação quenão confia no juízo dos professores;

* A consideração do processo deavaliação como secreto, exclusivo efixo;

* A restrição do aluno a uma só formade demonstrar seus conhecimentosmatemáticos;

* O uso da avaliação como filtro paraselecionar uns estudantes e excluiroutros das oportunidades deaprender Matemática;

* O desenvolvimento individual daavaliação;

* O tratamento da avaliação como umparte independente do currículo ouda instrução;

* A realização de inferências baseando-se somente em fontes de evidênciasrestritas ou únicas;

* A visão do aluno como objetos daavaliação;

* A consideração da avaliação como algoesporádico e conclusivo;

* A consideração de poucos pontos


quantificáveis para gerar os resultadosda avaliação” (Rico;1997:16-17).

O mesmo autor chama a atenção paraa carga ideológica que sobressai nasconcepções e conhecimentos dosprofessores de Matemática sobre aavaliação e a maneira de gestionar suasfunções.

Consideramos que a minimização ousuperação dessas questões somente poderásurgir a partir de uma ampla revisão deconceitos por parte da comunidadedocente: planejando soluções emprofundidade; buscando e testandoensaios a respeito do assunto através daobservação da realidade empírica eespecialistas.

O resultado dessas pesquisas impõeuma profunda reflexão para buscar ascausas das anomalias apresentadas tantono campo da avaliação como nas crençasdos professores com relação à natureza damatemática e sua prática avaliativadeclarada.

Esse pensamento sobre as causas emparticular deve ir invariavelmente nadireção da busca de soluções.

Sentimo-nos no dever e em condiçõesde pontuar algumas das principais causasjusticadoras do resultado da pesquisa, cujosfatores condicionam a prática dosdocentes das escolas públicas:• Falta de apoio didático para

desenvolver a avaliação e aMatemática;

• Falta de motivação para o exercício daprofissão, devido principalmente àsquestões salariais e à falta de um planode carreira coerente;

As causas são complexas, todaviapoder-se ia trabalhar em busca dassoluções, como por exemplo:• Plano de carreira urgente e reajuste

emergencial para professores efuncionários de escola;

• Redução da jornada de trabalho,

possibilitando aos professores maistempo de preparação de suas aulas;

• Melhores condições de trabalho (porexemplo, com computadores) para osprofessores elaborarem suas provas outextos;

• As escolas não possuem estruturasfisícas financeiras e humanas parasuprir as necessidades dos alunos.

• Autorização para participação emcongressos seminários, palestras etc;

• A volta de Jornadas Pedagógica (ciclode palestras sobre as disciplinasespecíficas e da avaliação ou eventossimilares);

• Aulas de recuperação para alunos comdeficiências de embasamento;

• Plano curricular compatível, discutidocom a comunidade escolar;

• Critérios de avaliação transparentes,divulgados pelo setor pedagógico ouprofessores.

• Melhor reconhecimento por parte dasociedade do trabalho desenvolvidopelos professores, cujos status e saláriofoi diminuindo à medida em que ademanda pelo ensino foiaumentando.

• Melhor adequação no curso deLicenciatura entre formação técnicae a formação didática e humana dosprofessores.

As soluções listadas, se implantadas,certamente poderão diminuir asdistorções educacionais existentes.

3 - ReferênciasCOCKCROFT, W.H. Las Matemáticas si Cuentan.

Ministerio de Educación y Ciencia. Espana.GREFOL, 1985.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Socio-Cultural Bases forMathematics Education . Campinas:


UNICAMP. 103p, 1985.FÉLIX, Vanderlei S. Educação matemática no

ensino médio: enfoque teórico e prático daavaliação praticada pelos professores dematemática da rede pública de ensino da regiãometropolitana de Porto Alegre RS Brasil. Tesede doutorado. Departamento de Didática eOrganização Escolar. Faculdade de Filosofiae Ciências da Educação. Universidade deSantiago de Compostela. Espanha. 518 p.1999.

FÉLIX, Vanderlei S. Concepção epistemológicada Matemática: análise evolutiva dasprincipais correntes. Acta Scientiae, ULBRA,Canoas. n.1,mar./jun. p.53-64,1999.

FÉLIX, Vanderlei S. A Matemática no ensinomédio aspectos teoricos e práticos. ActaScientiae, ULBRA, Canoas. n.2, jul./dez.p.75, 1999.

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JOINT COMMITEE on Standards forEducational Evaluation. The programs,

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NISS, Mogens. Assessment in mathematicsEducation and its effects: An introduction in:investigations into Assessment in mathematicsEducation An ICMI Study. London/Boston/Dordrecht. Kluwer Academic Publishers,1993.

PERRENOUD, Philippe. Avaliação á Regulaçãodas Aprendizagens – entre duas lógicas.Tradução de Patrícia Chittoni Ramos PortoAlegre: ARTMED, 1999.

RICO, L.. y equipo. Conocimientos y creencias delos profesores de matematicas sobre evaluacion.Marzo de 1995. Granada, 1995.

TRILLO, Felipe. Aprendizaje de matemáticasdesde a perspectiva del pensamiento delalumno. in: UNO Revista de Didáctica de lasmatemáticas n

o.13 Editora GRAÓ, Barcelona.

pp. 103-113, 1997.


Oficinas

Curiosidades Matemáticas

Fábio Kruse·

1 - IntroduçãoA falta de motivação e interesse dos

alunos pela Matemática é um dosprincipais problemas que fazem com queo rendimento escolar nessa disciplina sejadesastroso nos três níveis de ensino. Istoocorre porque, na grande maioria dasvezes, as aulas são monótonas, sem relaçõescom o cotidiano do aluno nem com outrasáreas do conhecimento, e nadadesafiadoras. Conforme Dante (1991), “umdos principais objetivos do ensino daMatemática é fazer o aluno pensarprodutivamente e, para isso, nada melhorque apresentar-lhe situações problemas queo envolvem, o desafiem e o motivem aquerer resolvê-las.”

Há vários anos tenho desenvolvidoatividades em sala de aula com o objetivode mostrar aos alunos que a disciplina deMatemática é uma ciência repleta demaravilhas e curiosidades que nos ajudama observar e entender melhor o mundo no

qual vivemos. Além disso, é interessantefazer com que o aluno descubra que aMatemática fez, faz e sempre fará parte davida de todas as civilizações, uma vez quepraticamente tudo o que tocamos ouvemos está relacionado, de uma forma oude outra, com ela.

Para tentar mudar este quadro demarasmo e desânimo freqüente nas aulas,resolvi trazer atividades que despertassemo interesse dos alunos, tais como mágicas,brincadeiras e curiosidades queenvolvessem o conteúdo de Matemática.Esses momentos tornaram-se especiaispara os alunos e eram aguardados comgrande expectativa. Cada vez que tínhamosdois períodos conjugados (algo em tornode 1 hora e 40 minutos), fazíamos algumaatividade diferente daquelas que os alunosestavam acostumados. Era o quechamávamos de “recreio Matemático”.Porém, a idéia não era apenas descontraira aula mas mostrar aos alunos inúmerasrelações na qual a Matemática estava

Fábio Kruse – é Mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul e professor do Curso de Matemática da Universidade

Luterana do Brasil- ULBRA e do Centro Universitário FEEVALE.


inserida. Fazíamos adivinhações, mágicase, em cada brincadeira, verificávamoscomo e por que funcionava a atividade e,para tanto, conhecimentos Matemáticoseram utilizados para justificar à curiosidadedesenvolvida.

Apresento a seguir duas das atividadesdesenvolvidas com os alunos e comopodemos aproveitar a curiosidade pararetomarmos conteúdos já trabalhados.

2 - Quadrados MágicosOs quadrados mágicos já eram usados

pelos chineses há muito tempo atrás comodiversão e passatempo. Chama-se dequadrado mágico de ordem n aquele queé formado por números naturaisconsecutivos de 1 a n2 , de modo que emtodas a linhas, colunas e diagnonais setenha a nesna soma, chamada de constantemágica.

Exemplo:

QQuadrado mágico de 3ª ordemCConstante mágica = 15

Primeiramente, precisávamos sabercomo obter o quadrado mágico, ou seja,descobrir a regra de formação do mesmo.Para construir um quadrado mágico demódulo ímpar, ou seja, com um númeroímpar de quadradinhos em cada linha,podemos proceder da seguinte maneira:• Iniciamos com o número 1 colocado

no centro (meio) da 1ª linha, ou seja:

• O movimento a ser feito parachegarmos à próxima casa, onde seráescrito o próximo número, é sempreo mesmo: uma casa para cima e umapara a direita. Com esse movimentopoderá acontecer o seguinte:

a. cair fora do quadrado mágico, ou seja,no prolongamento de uma linha oucoluna. Nesse caso, escrevemos onúmero na extremidade oposta dalinha ou coluna. Isso irá acontecercom os números 2, 3, 8 e 9. Vamos

escrever os números 2 e 3 !

Como o nº 2 caiu no prolongamentoda 3ª coluna, escrevemo-lo na extremidadeoposta dessa coluna.

O nº 3 caiu fora do quadrado, noprolongamento da 2ª linha; logo, deve ser

1

18 6

53 7

94 2

1

3

2


escrito na extremidade oposto dessa linha.b. cair sobre uma casa já ocupada.

Nesse caso volta-se ao último nºescrito e escrevemos o próximo nº abaixodele. Isso acontecerá com o nº 4. Vejamos:

O nº 4 deveria ser colocado na casaonde se encontra o nº 1. Como já estáocupada, volta-se à casa do nº 3 e escreve-se o nº 4 abaixo dele.c. cair no prolongamento da diagonal.

Nesse caso, a regra é a mesma do itemb, ou seja, volta-se ao último nº escritoe escreve-se o próximo nº abaixo dele.Isso acontecerá com o número 7.

Concluindo as regras, vamoscompletar o quadrado mágico.

• Com os números 5 e 6 não haveráproblema algum, ou seja, a casa estarávazia.

• O número 7 caiu no prolongamentoda diagonal. Logo, volta-se ao número6 e escreve-se o número 7 abaixo dele.

• O número 8 caiu no prolongamentoda 1ª linha; logo, deve ser escrito naextremidade oposta dessa linha.

• O número 9 caiu no prolongamentoda 2ª coluna; logo, deve ser escrito naextrmidade oposta dessa coluna.

Essa regra vale, mas não é única, paraconstrução de quadrados mágicos demódulo ímpar, ou seja, com um númeroímpar de casas em cada linha. Tenteconstruir os quadrados mágicos demódulo 5 e módulo 7. Confira com osquadrados abaixo.

Constante mágica = 65

1

3

4 2

18 6

53 7

94 2

2417 1

523 7

64 13

1210 19

1811 25

8 15

14 16

20 22

21 3

2 9


Agora os alunos devem observar osquadrados e escrever todas as propriedadesconstatadas. Os alunos provavelmenteconcluirão que:• O último número a ser colocado

sempre cai na metade da última linha;

• Para saber qual o número que irá nocentro do quadrado mágico, bastafazer a média aritmética entre oprimeiro e o último número colocado;

• Uma das diagonais e constituída pornúmeros consecutivos, ou seja, umaprogressão aritmética de razãounitária;

• Para saber qual a soma dos númerosde uma linha, coluna ou diagonal,

basta multiplicar o número que estáno centro do quadrado mágico pelonúmero de casas que ele tem em umalinha, ou seja, pela ordem doquadrado.

Exemplo: 13 x 5 = 65 ; 25 x 7 = 175

• A coluna central forma umaprogressão aritmética cuja razão é onúmero de linhas + 1, ou seja, aordem do quadrado n, mais 1 ( r = n+ 1).

Exemplos:Quadrado mágico módulo 3 : P.A (1,

5, 9) razão = 3 + 1 r = 4Quadrado mágico módulo 5 : P.A (1,

7, 13, 19, 25) razão = 5 + 1 r = 6Quadrado mágico módulo 7 : P.A (1,

9, 17, 25, 33, 41, 49) razão = 7 + 1 r= 8• A soma dos números que estão nos 4

cantos do quadrado mágico é igual aoquádruplo do número que está nocentro (número central).

• A média dos números que estão nasextremidades de cada diagonal resultano número que está no centro doquadrado mágico.

• Na linha e na coluna centrais, bemcomo nas diagonais, a soma dosextremos é igual à soma dos númeroseqüidistantes dos extremos e igual aodobro do número central.

Após estas e, possivelmente, outrasobservações, pergunta-se aos alunos:

2.1 Se um quadrado mágicotem ordem ímpar n, comoobter o termo central ?

Resposta: 1

2

2 n

Observe que 1 é o 1º termo da P.A en 2 , o último.

3930 48

4738 7

646 8

145 16

1513 24

1 10

9 18

17 26

25 34

33 42

19

27

35

36

44

28

29

37

45

4

2321 32

3122 40

41 43

49 2

3

11

12

20

Constante mágica (soma de cada linha,coluna e diagonal) = 175


2.2 Como achar a constantemágica de um quadradomágico de ordem ímpar n ?

Resposta: ( ).1

2

2 n n

Compare a resposta acima com a somados termos de uma progressão aritmética:

Sa a n

nn

( ).1

2

3 - Descoberta da CartaEscondida

Esta é uma brincadeira que pode serfeita com todos os alunos da turma. Pegueum baralho e peça para que cada alunoretire uma carta do mesmo. Em seguida,escreva no quadro a seguinte convenção:

Val. Da. Rei ÁsCarta: 2 3 4 9 10 11 12 13 14

Valor do naipe:Paus: 1Copas: 2Ouros: 3Espadas: 4

O professor dará as seguintesinstruções aos alunos:• Multiplicar por 2 o valor da carta

• Somar 3 ao resultado

• Multiplicar a soma obtida por 5

• Somar o valor do naipe da carta

Para descobrir a carta do aluno, oprofessor pedirá a ele o resultado finalobtido e subtrairá 15 unidades. O algarismodas unidades indicará o naipe da carta eo(s) algarismo(s) anteriores revelarão o valorda carta.

Exemplo: Carta selecionada peloaluno: dama de ouros

Seguindo as instruções, temos:valor da carta: 12 valor do naipe: 3• 12 . 2 = 24

• 24 + 3 = 27

• 27 . 5 = 135

• 135 + 3 = 138 resultado final

Subtraindo 15 unidades, obtemos:1 3 8- 1 512 3 3 : valor do naipe

12 : valor da cartaA álgebra nos demonstra o motivo

pelo qual precisamos subtrair 15 unidadespara chegarmos à carta selecionada peloaluno (valor e naipe). Consideremos aseguinte convenção:

Valor da carta : aValor do naipe : bSeguindo as instruções, obtemos:

2a2a + 35.(2a + 3) = 10a + 1510a + b + 15

Subtraindo 15 unidades do resultadoanterior, obtemos: 10a + b = ab , onde bindica o valor do naipe e a o valor da carta.

Perguntas:3.1 É possível que um aluno chegue ao

resultado 74? Por quê ?

3.2 Qual a carta de um aluno que obtevecomo resultado 137 ?

3.3 Se a carta de um aluno for um 8 de


ouros, qual será o resultado obtido porele?

Para finalizar, pode-se observar quemuitos alunos começaram a ter umapostura diferente frente à Matemática,gostando das aulas, dedicando-se mais,mostrando um maior interesse, levandopara dentro de casa as brincadeiras feitasem sala de aula e, felizmente, melhorandoseus rendimentos.

4 - ReferênciasCHEMALE, E. H. e KRUSE, F. Curiosidades

Matemáticas. Novo Hamburgo: Feevale,1999.

DANTE, L. R. Algumas reflexões sobre educaçãomatemática. Temas & Debates - SBEM, nº 3,p.43-50 , 1991.

IMENES, L. M. Vivendo a matemática: brincandocom números. São Paulo: Scipione, 1987.

GARDNER, M. Entertaining mathematicalpuzzles. New York: Dover, 1996.

CLARKE, B. Puzzles for pleasure. Cambridge:Cambridge University, 1994.

TAHAN, M. Matemática divertida e curiosa. 6ªed. Rio de Janeiro: Record, 1995.


Oficinas

Aprendendo Matemática nosCiclos Iniciais

à Luz dos PCN’s

Gladis Blumenthal

1 - Desenvolvimento daoficina

O ensino da Matemática no Brasil, nosciclos iniciais, tem passado por muitasmodificações ao longo das últimas décadas,conseqüência das diferentes reformas deensino. E o fracasso escolar, em especial,na Matemática continua. Ela continuasendo considerada “o filtro crítico” (Sells,apud Blumenthal, 1983) do sistemaeducacional.

Os Parâmetros CurricularesNacionais, em fase de implantação nasnossas escolas, trazem princípiosimportantes que podem, se bemimplementados, contribuir para o avançoe melhoria do ensino da Matemática.Enfatizam o ensinar a pensar, a interaçãosocial, afetiva e cognitiva em sala de aula,os trabalhos em pequenos grupos, as inter-relações entre os conteúdos aritméticos,algébricos e geométricos, as intraconexões

entre as diferentes áreas do conhecimento,entre outros.

Os ciclos iniciais são fundamentaispara desenvolver no aluno a confiança emsi mesmo como um ser que pensa, que temvontade de saber e conhecer cada vez mais.A curiosidade infantil, inerente a essa faixaetária, a sua criatividade e o gosto pelaMatemática devem ser estimulados. Dadaa importância do trabalho realizado nosCiclos Iniciais, torna-se necessárioaprofundar o estudo dos conteúdosmatemáticos nos Cursos de Formação deProfessores, associado ao estudo daPsicologia da Aprendizagem Matemática.

As idéias básicas contidas nosParâmetros Curriculares Nacionais, emMatemática refletem, muito mais do queuma mera mudança de conteúdos, umamudança de fi losofia de ensino e deaprendizagem, como não poderia deixar deser. Apontam para a necessidade demudanças urgentes não só no “o que”

Mestre em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Professora Assistente, aposentada, da Faculdade de Educação da UFRGS. E-mail:

[email protected]

R.Prof.Fitzgerald,169. Porto Alegre/RS. 90470-160. Brasil. F: (0xx51) 3331-3767.


ensinar, mas, principalmente, no “como”ensinar e avaliar e no “como“ organizar assituações de ensino e de aprendizagem(Blumenthal, 2000).

O papel da Matemática no EnsinoFundamental como meio facilitador paraa estruturação e o desenvolvimento dopensamento do(a) aluno(a) e para aformação básica de sua cidadania édestacado: “...é importante que aMatemática desempenhe, equilibrada eindissociavelmente, seu papel na formaçãode capacidades intelectuais, naestruturação do pensamento, na agilizaçãodo raciocínio dedutivo do aluno, na suaaplicação a problemas, situações da vidacotidiana e atividades do mundo dotrabalho e no apoio à construção deconhecimentos em outras áreascurriculares.” E mais adiante: “Falar emformação básica para a cidadania significafalar da inserção das pessoas no mundodo trabalho, das relações sociais e dacultura, no âmbito da sociedadebrasileira(MEC/SEF, 1997, p. 29). Aoreferir-se à pluralidade das etnias existentesno Brasil, à diversidade e à riqueza deconhecimento matemático que nosso(a)aluno(a) já traz para a sala de aula, enfatiza-se nos PCN’s que o ensino da Matemática,a par da valorização da pluralidade sócio-cultural do(a) educando(a), pode colaborarpara a transcendência do seu espaço sociale para sua participação ativa natransformação do seu meio.

Os conteúdos matemáticos nos CiclosIniciais, como em todo o EnsinoFundamental passam a ser organizados etrabalhados em blocos, evidenciando aimportância de se organizar as situaçõesde ensino-aprendizagem de modo aprivilegiar as relações entre conteúdosaritméticos, algébricos e geométricos, bemcomo as interconexões da Matemática comas demais áreas do conhecimento. Osblocos são os seguintes :• Números e operações (Aritmética e

Álgebra)

• Espaço e formas (Geometria)

• Grandezas e medidas (Aritmética,Álgebra e Geometria)

• Tratamento da informação(Estatística, Combinatória eProbabilidade)

As intraconexões favorecem uma visãomais integrada, menos compartimentadada Matemática. Algumas orientações decunho didático são colocadas ao(à)professor(a), através de exemplos práticos,mostrando que é possível interligarAritmética com a Álgebra ou Aritméticacom a Álgebra e a Geometria, numa mesmaatividade. (MEC/SEF, 1997, p. 97-133;MEC/SEF, 1998, p. 95-142). Na oficinateremos oportunidade de vivenciaralgumas atividades.

Por outro lado, as interconexões têmnos Temas Transversais - Ética, Saúde,Meio Ambiente, Pluralidade Cultural eOrientação Sexual - uma infinidade depossibilidades de se concretizarem. Paraisso, torna-se necessário que o professortrabalhe cada vez mais com colegas deoutras disciplinas, integrando uma equipeinterdisciplinar. A interação social, afetivae cognitiva entre os alunos permitirá queos projetos desenvolvidos se tornem maisinteressantes e possam estar mais voltadosa problemas da realidade.

O desenvolvimento de projetos, emque a Matemática pode explorar problemase entrar com subsídios para a compreensãodos temas envolvidos tem trazido, além daangústia diante do novo, satisfação e alegriaao(à) professor(a) diante dos resultadosobtidos, segundo seus relatos. A confiançana própria capacidade e na dos outros paraconstruir conhecimentos matemáticos, orespeito à forma de pensar dos colegas sãoalguns temas interessantes a seremtrabalhados, ao se pensar no comodesenvolver o tema transversal Ética, porexemplo. Para os temas transversais comoMeio Ambiente e Saúde há idéiasmatemáticas muito adequadas e úteis:


médias, áreas, volumes, proporcionalidadee função entre outras tantas. A questão doracionamento de energia elétrica, nestemomento tão importante para osbrasileiros, o horário de verão, a falta deágua, as questões relacionadas com ahigiene e a saúde pública, apenas para citaralguns, podem ser fonte de inúmerasatividades que envolvam matemática. O(a)professor(a) saberá, certamente, adequar àsua realidade, projetos interessantes. Paraisso, é preciso se permitir trilhar caminhosnovos e tolerar possíveis erros e mudançasde rumo.

Os objetivos para o EnsinoFundamental de acordo com os PCN’s, eaqui trazidos de modo resumido, visam alevar o aluno a compreender e transformaro mundo à sua volta, estabelecer relaçõesqualitativas e quantitativas, resolversituações-problema, comunicar-sematematicamente, estabelecer asintraconexões matemáticas e asinterconexões com as demais áreas doconhecimento, desenvolver suaautoconfiança no seu fazer matemático einteragir adequadamente com seus pares.A Matemática pode colaborar para odesenvolvimento de novas competências,novos conhecimentos, para odesenvolvimento de diferentes tecnologiase linguagens que o mundo globalizadoexige das pessoas. “Para tal, o ensino deMatemática prestará sua contribuição àmedida que forem exploradasmetodologias que priorizem a criação deestratégias, a comprovação, a justificativa,a argumentação, o espírito crítico, efavoreçam a criatividade, o trabalhocoletivo, a iniciativa pessoal e a autonomiaadvinda do desenvolvimento da confiançana própria capacidade de conhecer eenfrentar desafios”.(MEC/SEF, 1997, p.31).

Os conteúdos nos PCN’s não sãoentendidos como uma listagem deconteúdos. Enfatiza-se a necessidade deentender a palavra conteúdo basicamente em

três dimensões: conceitos, procedimentose atitudes. Valoriza-se, portanto, muitomais a compreensão das idéias matemáticase o modo como estas serão buscadas(podendo esse modo de busca serestendido e aplicado para as demais áreasdo conhecimento) do que a suasistematização, muitas das vezes vazia designificado. Entende-se os conteúdoscomo um meio para se desenvolveratitudes positivas diante do saber em gerale do saber matemático, em particular. Ogosto pela Matemática e o incentivo aprocedimentos de busca exploratória,desenvolvendo uma atitude investigativadiante de situações-problema propostaspelo(a) professor(a) são alguns exemplosdessa compreensão mais ampla do que éensinar e aprender emMatemática.(Blumenthal, 2000).

Através da implementação dosParâmetros Curriculares Nacionais emMatemática busca-se também:• Eliminar o ensino mecânico da

Matemática;

• Priorizar a resolução de problemas emvez de exercícios;

• Usar o conteúdo como meio paradesenvolver idéias matemáticasfundamentais (proporcionalidade,equivalência, igualdade, inclusão,função, entre outras);

• Enfatizar o ensino da Geometria,praticamente abandonado ourelegado a um segundo plano, nos diasde hoje;

• Introduzir noções de Estatística eProbabilidade e estimativa desde osCiclos Iniciais;

• Organizar os conteúdos em espiral enão linearmente, desprivilegiando aidéia de pré-requisitos como condiçãoúnica para a organização dos mesmos;

• Usar a história da Matemática comoauxiliar na compreensão de conceitos


matemáticos;

• Revigorar o cálculo mental, emdetrimento da Matemática do “papele lápis”;

• Usar recursos didáticos, como jogose recursos tecnológicos, comocalculadoras e computadores durantetodo o Fundamental, inclusive nosCiclos Iniciais;

• Enfatizar em classe o trabalho empequenos grupos;

• Dar especial atenção aosprocedimentos e às atitudes a seremtrabalhadas, além dos conteúdospropriamente ditos, como já foimencionado acima e

• Entender a avaliação como umprocesso contínuo no fazerpedagógico.

Muitos países já passaram por essasreformulações, com maior ou menor graude sucesso. Nos PCN’s há avançosimportantes. Eles são parâmetros,delineadores e não determinadores da açãopedagógica. Devem ser entendidos comonorteadores do fazer matemático e nãocomo uma listagem de conteúdos, sejammínimos ou máximos.

O mais importante, no nossoentender, é a mudança da postura doprofessor(a) em sala de aula. Às vezes teráque “fazer as pazes” com a Matemática, ouseja, superar suas próprias dificuldadespessoais para com a Matemática.Concomitantemente, ao se permitirexperimentar modos inovadores detrabalhar determinados conteúdos antigosou novos, deverá admitir que pode errar(sim, o professor também erra!) e que suaclasse é seu laboratório. Portanto, espaçode descobertas e de redescobertas, derealinhamentos, de angústia e de prazer nocaminho do saber.

Fica evidente a necessidade do(à)professor(a) passar por vivências pessoaisde aprendizagem matemática nas quais

possa conscientizar o seu próprio pensar(a chamada meta-cognição). Vivências quesejam prazerosas. O espírito dos PCN’spoderá, talvez, assim, ser melhorcompreendido, permitindo que novasabordagens sejam introduzidas e outras,sejam mantidas ou modificadas.

Nesta oficina destacaremos as idéiasbásicas dos PCN’s para os Ciclos Iniciaisaqui apresentadas, as discutiremos,vivenciaremos algumas atividades queserão analisadas pelo grupo e trocaremosexperiências advindas da práticapedagógica dos participantes do grupo.

ReferênciasBLUMENTHAL, GLADIS R.W. Análise das

diferenças relacionadas com o sexo noDesempenho em matemática no concursovestibular unificado e na escolha profissionaldo estudante. Porto Alegre, Faculdade deEducação da Universidade Federal do RioGrande do Sul, 1983. 105 p. Dissertaçãode Mestrado.

_________________________. Os PCN’s e oensino fundamental em matemática: umavanço ou um retrocesso? In: EducaçãoMatemática em Revista – RS, nº2, 2000, AnoII, p. 17-20.

PARÂMETROS Curriculares Nacionais (1ª a 4ªsérie): matemática / Secretaria de EducaçãoFundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.142 p.

PARÂMETROS Curriculares Nacionais :matemática / Secretaria de EducaçãoFundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.146 p.


Oficinas

Recursos Gráficos do SoftwareMuPAD no Estudo de Funções

Marilaine de Fraga Sant'Ana·Alexandre GatelliAna Lúcia Maciel

1 - IntroduçãoDentre os conteúdos matemáticos

abordados no Ensino Médio, as funçõestêm importância fundamental no que serefere à modelagem matemática e aochamado pré-cálculo. Freqüentemente osalunos que ingressam na Universidade emcursos das áreas de exatas ou engenhariasapresentam muitas deficiências nesteassunto. Esta é, com certeza, uma dasrazões do alto índice de reprovação emdisciplinas como Cálculo I.

Por outro lado, dispomos atualmentede várias ferramentas computacionais quepodem servir de auxílio na motivação doaluno para o estudo de funções evisualização das mesmas através derecursos gráficos.

Uma destas ferramentas é o softwareMuPAD, que oferece bons recursoscomputacionais além de ter uma versãoLight que pode ser usada sem custos parafins educacionais.

O objetivo desta oficina é abordar oassunto "funções", utilizando o MuPADtanto para modelagem de fenômenos comopara a visualização gráfica.

A Metodologia utilizada é amodelagem de situações cotidianas atravésde funções e a utilização do software paraa avaliação dos dados e estudo docomportamento gráfico, enfatizando acomparação entre gráficos de diferentesfunções de uma mesma família de curvas.

2 - Objetivos• Abordar alguns exemplos que trazem

à tona os conceitos de funções, bemcomo a utilidade das mesmas;

• Mostrar aos professores dematemática que o conteúdo de suadisciplina pode ser abordado atravésde exemplos práticos da vida real ecom o auxílio do computador, que está

Marilaine de Fraga Sant’Ana é doutora em matemática e professora do Curso de Matemática da ULBRA

Alexandre Gatelli é acadêmico do Curso de Matemática da ULBRA

Ana Lúcia Maciel é acadêmica do Curso de Matemática da ULBRA


cada vez mais em uso na sociedadeatual;

• Introduzir o software MuPAD Light(da Universidade de Paderborn,Alemanha), que é muito poderoso emrecursos matemáticos de quase todasas categorias, desde álgebra numéricasimples até o cálculo diferencial eintegral e o uso de gráficos . Estesoftware é de uso gratuito para finseducacionais e de pesquisa. Todos osalunos da oficina receberão uma folhacom os exemplos e um resumo doscomandos do MuPAD a seremutilizados.

3 - AtividadesAtividades destinadas a trabalhar os

exemplos a serem dados utilizando-se ocomputador e o software MuPAD serãopropostas aos alunos da oficina. Após aintrodução teórica de cada exemplo a sertrabalhado as seguintes atividades serãodadas, para serem executadas pelos alunos:• Definir as funções dadas em cada

"exemplo" no software MuPAD;

• Montar no caderno as tabelas devalores para as funções definidas noMuPAD em cada exemplo usando-seo software para calcular tais valores;

• Montar no computador os gráficosdas funções definidas no software eatribuir várias características a elascomo linhas de grade, rótulos noseixos, valores a serem marcados noseixos e intervalo de domínio para aplotagem.

Variar alguns parâmetros das funçõesde modo a obter gráficos semelhantes àfunção original. Para cada valor atribuídoa um único parâmetro que será escolhidopara variar na função original, dever-se-ádefinir uma nova função no MuPAD demodo que, ao fim do processo, tenhamos

famílias de quatro ou mais funçõessemelhantes para plotar curvas de nível.

4 - Exemplos a SeremTrabalhados nasAtividades

4.1 Salto Olímpico com VaraAo longo dos anos iniciais dos Jogos

Olímpicos, a marca vencedora do salto comvara teve um crescimento dadoaproximadamente pela Tabela 1. Como amarca vencedora cresceu com regularidade20 centímetros a cada quatro anos, vê-seque a altura do salto vencedor é umafunção linear do tempo ao longo doperíodo de 1900 a 1912. A marca inicial éde 3,33 m e cresce o equivalente a 5.

Será abordado pela oficina apenas aálgebra básica de funções e a montagemdos gráficos das mesmas.cm todo ano;assim, se y é a altura em metros e t é onúmero de anos desde 1900, podemosescrever

ttfy 05,033,3 O coeficiente 0,05 nos informa a taxa

em que a altura cresce, e é chamada deinclinação da reta ttf 05,033,3

TABELA 1 – Recordes do salto comvara olímpico (aproximado)

Ano 1900 1904 1908 1912Altura (m) 3,33 3,53 3,73 3,93

A inclinação é a razão

05,042,0

horizontalincrementoverticalincremento

Inclinação


Onde 0,2 é a variação na altura, emmetros, ao longo de 4 anos. O cálculo dainclinação (inclinação vertical / inclinaçãohorizontal) usando quaisquer outros doispontos da reta resulta no mesmo valor. Éeste fato – de que a inclinação ou taxa devariação é igual em toda parte – que fazcom que o gráfico seja uma reta. Para uma

ttf 05,033,3

função que não é linear, a taxa de variaçãoirá mudar de ponto a ponto.

Como tfy cresce com t, dizemosque f é uma função crescente. E quanto àconstante 3,33? Ela representa a marcainicial em 1900, quando 0tGeometricamente, o 3,33 é o ponto deinterseção com o eixo vertical.

Você pode estar se perguntando se atendência linear permanece após 1912.Não é de surpreender que ela não tenha semantido exatamente.

A fórmulaprevê que a marca vencedora dos JogosOlímpicos de 1988 seria de 7,73 metros,que é consideravelmente maior do que ovalor real de 6,06 metros. De fato, a marcatem crescido em quase toda a sessão dasOlimpíadas, mas não a uma taxa constante.Por conseguinte, fica claro que é perigosoextrapolar muito além dos dadosconhecidos. Você também deve observarque os dados da Tabela 1.4 são discretos,pois são fornecidos somente em pontosespecíficos (a cada quatro anos).Entretanto, nós temos tratado a variável tcomo se fosse contínua, pois a função

ty 05,033,3 faz sentido para todos os

valores de t.

4.2 Tom MusicalO tom de uma nota musical é

determinado pela freqüência da vibraçãoque a gerou. O Dó médio no piano, porexemplo, corresponde a uma freqüência de263 hertz (ciclos por segundo). Uma notauma oitava acima do Dó médio vibra em526 hertz, e uma nota duas oitavas acima

TABELA 2 – Tom das notas acima do Dó médio

Número n de oitavasacima do Dó médio

Número de hertz

nfV

0 263

1 526

2 1052

3 2104

4 4208

TABELA 3 – Tom das notas abaixo do Dó médio

n nV 2263

-3 875,322/12632263 33

-2 75,652/12632263 22

-1 5,1312/12632263 1

0 2632263 0

Observe que

2263526

e 2526

1052 e 2

10522104

3

2

1

226321052210432263252610522

226322635261

fff

Em geral,

nnfV 2263

A base 2 representa o fato de que,quando se sobe uma oitava, a freqüênciada vibração dobra. De fato, nossos ouvidosidentificam uma nota como sendo umaoitava acima, justamente porque ela vibraduas vezes mais rápido. Para os valoresnegativos de n, na Tabela 3, essa funçãorepresenta as oitavas abaixo do Dó médio.As notas em um piano são representadaspor valores de n entre –3 e 4, e o ouvidohumano percebe valores de n entre –4 e 7

do Dó médio vibra em 1052 hertz. (Veja aTabela 2).


como audíveis.

Apesar de nnfV 2263 azersentido, em termos musicais, somente paraalguns valores de n, os valores da função

xxf 2263 podem ser calculados para

todo x real, e seu gráfico tem a forma típicade uma exponencial, como pode ser vistona Figura 1. Ele é côncavo para cima,subindo cada vez mais rápido a medidaque x aumenta.

FIGURA 1 – Tom em número de oitavas acima do Dó médio

4.3 Acúmulo daQuantidade de Droga

Suponha que queremos modelar aquantidade de droga no organismo.Imagine que a quantidade inicial é zero,mas que a mesma começa a crescer,vagarosamente, via injeção intravenosa

contínua. À medida que a quantidade dadroga no organismo aumenta, tambémcresce a taxa na qual o corpo elimina adroga, de modo que, eventualmente, aquantidade de droga tende a nivelar-se emum valor de saturação S. O gráfico daquantidade versus tempo será parecidocom o da Figura 2.

FIGURA 2 – Acúmulo da quantidade de droga no organismo


Observe que a quantidade, Q, começaem zero e cresce na direção de S. Dizemosque a reta representando o nível desaturação é uma assíntota horizontal, poiso gráfico se aproxima cada vez mais dela,na medida em que o tempo avança. Comoa quantidade de droga aumenta a uma taxaque diminui na medida em que aquantidade se aproxima de S, o seu gráficoé torto para baixo; e daí, ele é côncavo parabaixo.

Suponha que queiramos montar ummodelo matemático para essa situação,isto é, queremos encontrar uma fórmulaque expresse a quantidade Q em funçãodo tempo t. Obter um modelo matemáticoimplica, muitas vezes, observar um gráficoe decidir que tipo de função tem aquelaforma. O gráfico da Figura 4 se parece comuma função de decaimento exponencial,de cabeça para baixo. O que realmentedecai é a diferença entre o nível desaturação, S, e a quantidade de droga, Q,no sangue. Suponha que a diferença entreo nível de saturação e a quantidade dedroga no corpo seja dada pela fórmula

com t em horas. Como a diferença éQS e o valor inicial dessa diferença é

SS 0

tSQS 3,0Resolvendo para Q em função de t,

obtemos

.3,01

3,0t

t

StfQ

SSQ

tinicialDiferençaDiferença 3,0

Observe que o gráfico dessa função éuma exponencial de cabeça para baixo. Àmedida que t aumenta, diminui, de modoque Q se aproxima de S. Usando paradenotar "tende para", podemos dizer quequando. Isso mostra que

SSSQ t 013,01quando tconfirmando que o gráfico de

tSQ 3,01tem uma assíntota horizontal em

SQ .

ReferênciasANTON, Howard. Cálculo – Um Novo Horizonte.

Vol. 1. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.HUGHES-HALLETT, Deborah. M. GLEASON,

Andrew. et al. Cálculo. Vol.1. Rio de Janeiro:LTC, 1997.

STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 4ª ed. SãoPaulo: Pioneira-Thomson Learning, 2001.


Oficinas

Trigonometria: Um enfoqueprático

Marisa Krause Ferrão

Este trabalho tem por objetivos acompreensão e a construção do próprioconhecimento e conhecer a evolução e aaplicação da trigonometria através dostempos utilizando as mesmas técnicas dosseus mentores para a construção dosconceitos trigonométricos e suaaplicabilidade no cotidiano.

Os aspectos enfocados na evoluçãohistórica iniciam com a fundação da cidadede Alexandria, por volta de 322 a.C, e suaextraordinária eflorescência deempreendimentos intelectuais da históriada humanidade, vislumbrando as grandesobras da matemática; O Almajesto, OSiddhanta e a introdução do raio unitáriona trigonometria hindu pelo árabe Al-Battani. Abordando também ascontribuições de Arquimedes de Saracusa,Aristarco de Samos, Herão de Alexandria,Erastótenes, Ptolomeu, Hiparco, Pitágorase concluindo no século XII com atradução dos textos do árabe para o latim.

As etapas do desenvolvimentoabrangem a construção dos conceitos derazão trigonométrica, situações problema,trigonometria no triângulo retângulo,

problemas clássicos da trigonometria e suasaplicações práticas. Para isso utiliza econfecciona recursos materiais nadeterminação de valores das funçõestrigonométricas e suas relações.

Construção do material prático eutilização na determinação dos valores dasfunções trigonométricas.

Construção do ciclo trigonométrico.Marcar numa folha de papel

milimetrado um sistema de eixoscoordenados, convencionando de eixo x,o eixo horizontal e o eixo y, o eixo vertical.Chamaremos de origem o ponto “0” deintersecção dos eixos, e com a ponta secado compasso apoiada na origemtraçaremos uma circunferência de 10 cmde raio, após dividiremos a circunferênciaem 24 partes iguais, fazendocorresponder cada setor circulara umângulo de 15 graus. Chamaremos de pontoA, o ponto de intersecção da circunferênciacom o eixo x e de B o ponto de intersecçãocom o eixo y, convencionamos chamar degrau 0, o ângulo nulo determinando entreo raio AO e o eixo x e partir desse ângulodeterminaremos os demais ângulos,

Marisa Krause Ferrão é Professora do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil; Especialização em Educação Especial; Doutoranda em

Educação.


seguindo a orientação do sentido contrárioaos dos ponteiros do relógio (sentido anti-horário).

A circunferência assim divididadeterminou ângulos de 150, 300, 450, 600,750, 900, 1050, 1200, 1350, 1500, 1650, 1800,1950, 2100, 2250, 2400, 2650, 2700, 2850,3000, 3150, 3300, 3450 e 3600. A seguirconstruiremos uma tabela par determinaros valores das funções seno, co-seno,tangente, secante, co-secantecorrespondente aos ângulos centraisdeterminados anteriormente.

Para determinar os valores da funçãoco-seno, faremos a projeção ortogonal dosrespectivos raios 150, 300, 450, 600, 750, 900,1050, 1200, 1350, 1500, 1650, 1800, 1950,2100, 2250, 2400, 2650, 2700, 2850, 3000,3150, 3300, 3450 e 3600. sobre o eixo x emediremos o seu comprimento de projeçãosobre o eixo x. Antes de anotarmos natabela, onde deverão constar todos osvalores dos respectivos ângulos e funções,devemos observar que, na trigonometria oraio considerado é unitário e o raioutilizado na construção é 10, entãodevemos dividir todos os valoresencontrados por 10. O mesmoprocedimento será utilizado nas demaisfunções. Para determinarmos os valores dasfunção seno, faremos a projeção ortogonaldos respectivos raios 150, 300, 450, 600, 750,900, 1050, 1200, 1350, 1500, 1650, 1800, 1950,2100, 2250, 2400, 2650, 2700, 2850, 3000,3150, 3300, 3450 e 3600. sobre o eixo y emediremos o seu comprimento de projeçãosobre o eixo y.

Para determinarmos os valores dasfunção tangente, traçaremos uma reta “T”tangente e à circunferência no ponto A efaremos o prolongamento dos raios 150,300, 450, 600, 750, 900, 1050, 1200, 1350,1500, 1650, 1800, 1950, 2100, 2250, 2400,2650, 2700, 2850, 3000, 3150, 3300, 3450 e3600 até encontrar a reta T mediremos osvalores da função tangente dos respectivosângulos sobre a reta T, desde o ponto A atéo ponto de intersecção com o respectivo

raio.Para determinarmos os valores da

função co-tangente traçaremos uma reta“S” à circunferência no ponto B. e faremoso prolongamento dos raios 150, 300, 450,600, 750, 900, 1050, 1200, 1350, 1500, 1650,1800, 1950, 2100, 2250, 2400, 2650, 2700,2850, 3000, 3150, 3300, 3450 e 3600 atéencontrar a reta S mediremos os valores dafunção co-tangente a partir do ponto B atéo ponto de encontro com o raio.

Para determinarmos os valores dafunção secante, traçaremos retas tangentesà circunferência nos pontos extremos dosraios150, 300, 450, 600, 750, 900, 1050, 1200,1350, 1500, 1650, 1800, 1950, 2100, 2250,2400, 2650, 2700, 2850, 3000, 3150, 3300,3450 e 3600, onde os mesmos sãoperpendiculares aos seus tangentes eprolongaremos os mesmos até o eixo x. Ovalor da função secante dos respectivosângulos será medido a partir do ponto 0“origem do sistema” até o ponto deinteersecção da reta tangente ao raio comoeixo x.

Para determinarmos os valores dafunção co-secante dos ângulos150, 300, 450,600, 750, 900, 1050, 1200, 1350, 1500, 1650,1800, 1950, 2100, 2250, 2400, 2650, 2700,2850, 3000, 3150, 3300, 3450 e 3600,prolongaremos a reta tangente ao raio atéencontrar o eixo y e faremos a medida dosvalores de co-secante do respectivo ângulopartir do ponto 0 até o ponto deintersecção com a reta tangente ao raio.

Após completar a tabela com osrespectivos valores dadas funçõestrigonométricas podemos estabelecer asrelações que a ela são pertinentes.


ReferênciasFERRÃO, M. K.; SILVEIRA, M. R. Trigonometria:

um enfoque prático. Osório VI EGEM -Encontro Gaúcho de Educação Matemática,1999.

GUELLI, O. Contando a História da Matemática.Dando Corda na Trigonometria. SP: Ática.1997.

HOGEEN, L. Maravilhas da Matemática –Influências e Funções da Matemática nosConhecimentos Humanos. Porto Alegre: EditoraGlobo, 1970.

MACHADO, A. Matemática - Temas e Metas.Trigonometria e Progressões Aritméticas. SP:Atual, 1986.


Oficinas

Números Irracionais,Transcendentes e Algébricos:a existência e a densidade dos

números

Cydara Cavedon RipollEdite Taufer

Giovanni da Silva NunesJaime Bruck Ripoll

Jayme Andrade NetoJean Carlo Pech Garcia

Neda GonçalvesRodrigo Dalla Vecchia

Vera Regina Bawer

Cydara Cavedon Ripoll - Professora adjunta das UFRGS

Edite Taufer -Estudante do curso de Licenciatura em Matemática - PUC-RS

Giovanni da Silva Nunes – Mestre em Matemática e professor da ULBRA

Jaime Bruck Ripoll - Professor adjunto das UFRGS

Jayme Andrade Neto - Estudante do curso de Matemática Pura - UFRGS

Jean Carlo Pech Garcia - Estudante do curso de Matemática Pura - UFRGS

Neda Gonçalves - Professora adjunta da PUC-RS

Rodrigo Dalla Vecchia - Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática - ULBRA

Vera Regina Bawer - Professora adjunta da PUC-RS

IntroduçãoEsta oficina surgiu em virtude de

atividades de iniciação científica. Estaatividade, em matemática pura, consiste noestudo, por parte dos alunos de diversosconteúdos matemáticos a nível degraduação; conteúdos estes que não sãoabordados nos cursos de graduação em

Matemática. Nosso projeto está integradoa: Universidade Luterana do Brasil -ULBRA, Universidade Federal do RioGrande do Sul - UFRGS, e pontificaUniversidade Católica do Rio Grande doSul - PUC-RS. São realizados encontrossemanais entre todos os integrantes doprojeto, sendo que o local do encontro éalterado entre as universidades citadas.


Nestes encontros os alunos apresentam,consecutivamente, seminários sobre oassunto estudado bem como soluções deexercícios previamente propostos. NaULBRA estes seminários ocorrem noLaboratório de Matemática.

Trataremos neste artigo de algumascuriosidades e alguns fatos históricos queenvolvem números irracionais, númerosalgébricos e números transcendentes.Demonstraremos (ou apenas mostraremos)de forma superficial alguns fatos que nospareceram interessantes e que muitas vezescontradizem a nossa intuição.

1 - Os números irracionaisOs números mais simples são os

inteiros positivos: 1, 2 ,3, etc. usados paracontar. Estes são chamados númerosnaturais e são conhecidos há váriosmilênios. As necessidades básicas do dia-a-dia levaram à introdução de frações como1/2, 2/3, 5/4, etc. Estes números sãochamados racionais.

Podemos pensar nos númerosnaturais como representados por pontosde uma reta. Cada ponto separado doanterior por uma unidade decomprimento como, por exemplo, onúmero de centímetros ao longo de umafita métrica. Podemos representar osnúmeros racionais na mesma reta e pensarneles como medindo frações decomprimento. Muito tempo depois dadescoberta destes números, os hindusinventaram o número 0 e, no início dostempos modernos algebristas italianosinventaram números negativos. Estestambém podem ser representados em umareta.

A descoberta de que as frações não sãosuficientes para as necessidades daGeometria foi feita pelos gregos há maisde 2500 anos. Eles observaram, para suasurpresa e consternação, que ocomprimento da diagonal de um quadrado

de lado unitário não pode ser expresso porum número racional. Hoje em diaexpressa-se este fato dizendo que raizquadrada de 2 ( que de acordo com oteorema de Pitágoras, é o comprimento dadiagonal de um tal quadrado) é um númeroirracional. Isto significa, geometricamente,não existir uma unidade comum decomprimento, uma tira, por mais curtaque seja, que possa ser colocada umnúmero inteiro de vezes sobre o lado e adiagonal de um quadrado. Em outraspalavras, não existe unidade decomprimento, não importa quão pequena,da qual o lado e a diagonal de umquadrado sejam múltiplos inteiros. Para osgregos esta foi uma descoberta embaraçosapois em muitas de suas demonstraçõesgeométricas eles supunham que dois deseus segmentos quaisquer sempreadmitiam uma unidade de comprimentoem comum.

Outro exemplo de número irracionalé o número pi.

Vários números irracionais aparecemquando tentamos calcular os valores dealgumas funções básicas em Matemática.Por exemplo, o cálculo dos valores de umafunção trigonométrica, digamos sen(x),par x igual a 60o , nos leva ao numeroirracional raiz de 3 dividido por dois;analogamente, o cálculo do valor da funçãologarítmica log(x) , mesmo para valoresracionais de x, quase sempre nos leva anúmeros irracionais. Apesar de os númerosque figuram em tabelas de logaritmos efunções trigonométricas seremostensivamente racionais, na realidade sãoapenas aproximações racionais dosverdadeiros valores que, com raras exceçõessão irracionais.

Fica claro, então, que númerosirracionais ocorrem naturalmente de váriasmaneiras na Matemática Elementar.

Os números reais são todos osnúmeros racionais e irracionais e formamo sistema de números central daMatemática. Como vimos existem duas


espécies de números reais: os racionais eos irracionais. Porém, existe uma outraseparação, muito mais recente, dosnúmeros reais, em duas categorias: osnúmeros algébricos e os númerostranscendentes. Um número real se dizalgébrico se satisfizer uma equaçãoalgébrica com coeficientes inteiros. Porexemplo, raiz quadrada de dois é umnúmero algébrico porque satisfaz a equação“xis elevado ao quadrado menos dois éigual a zero”. Se um número não foralgébrico, ele será transcendente. Com estadefinição, não fica claro que existamnúmeros transcendentes, isto é, númerosnão algébricos. Em 1851, o matemáticofrancês Liouville estabeleceu a existênciade números transcendentes. Ele fezexibindo certos números que provou seremnão algébricos.

Mais tarde, ainda no século XIX,provou-se que pi é um númerotranscendente. Um outro avanço, noséculo XIX , foi feito por Cantor, emcontraste com o de Liouville, não exibir umnúmero transcendente de forma explícita,tem a vantagem de demonstrar que, emcerto sentido, há muito mais númerostranscendentes do que algébricos. Uma talafirmação requer a comparação de classesinfinitas, pois existem infinitos númerostranscendentes. Estas idéias fogem umpouco do tema central e por isso não serãotratadas.

2 - O número piO número pi é um número irracional!

Esta afirmação que aparentemente parecesimples, na verdade, demorou séculos paraser demonstrada. Este número, apesar deser conhecido muitos séculos antes deCristo, causou muita controvérsia ediscussão. Um dos primeiros matemáticosa achar uma maneira de calculá-lo foiArquimedes (212-287 a.C), que inscreveue circunscreveu um polígono de 96 lados

em uma circunferência concluindo que pié um número que está entre 223/71 e 22/7.Após Arquimedes, vários outrosmatemáticos conseguiram aproximaçõespara o pi ( alguns melhores e outros pioresaproximações ). Para se ter uma idéiadesses feitos, Ludolf Van Ceulen (SecXVII) pediu que fosse gravado em sualápide mortuária seu maior feito, calcularo pi com 35 casas decimais. Apenas no anode 1766 demonstrou-se que pi é irracionalusando artifícios de cálculo pelomatemático johann Heinricch Lambert.No ano de 1882 Lindemann demonstrouque o pi é transcendente. Hoje em diadevido ao computador o pi pode seraproximado até bilhões de casas depois davírgula.

3 - Três ProblemasFamosos

A teoria dos números algébricos etranscendentes possibilitou aosmatemáticos resolver três problemasgeométricos, bem conhecidos, queproviam da antiguidade. Estes trêsproblemas, conhecidos sob os nomes de “duplicação do cubo “ , “ trisecção doângulo” e “ quadratura do círculo” ,consistem em efetuar as seguintesconstruções, usando apenas régua ecompasso:1 Duplicar o cubo significa construir um

cubo de volume igual ao dobro dovolume de um cubo dado. Apesar deo cubo ser uma figura da geometriado espaço, o problema é, realmente,da geometria plana, pois, setomarmos como unidade decomprimento a aresta do cubo sendo1, o problema se reduz à construçãode um segmento de comprimento“raiz cúbica de dois”, porque esteseria o comprimento da aresta de umcubo cujo volume fosse o dobro dovolume do cubo dado.


2 Trisectar um ângulo significadescobrir um processo, usandoapenas régua e compasso, para dividirqualquer angulo em três partes iguais.Existem ângulos especiais, como porexemplo os de 45o e 90o , que podemser trisectados com o uso apenas derégua e compasso; mas, o assimchamado ângulo “geral” não pode serdividido em três ângulos iguais comos instrumentos permitidos.

3 Quadratura do círculo significaconstruir um quadrado cuja área sejaigual à de um círculo dado ou, demodo equivalente, construir umcírculo de área igual à de um quadradodado.

Sabe-se agora que tais construções sãoimpossíveis; isto é, elas não podem serefetuadas pelos métodos de construção daGeometria Euclidiana, usando apenasrégua e compasso. É importante salientarque um mal-entendido ocorre em especialno caso do problema da trisecção doângulo. É possível trisectar qualquerângulo se for permitido fazer marcas narégua. Deste modo, só pode-se falar daimpossibilidade da trisecção de um ânguloem geral, entendendo que os processos deconstrução permitem apenas o uso docompasso e de uma régua sem marcas.

Neste trabalho só serão dadas algumasnoções da impossibilidade destasconstruções.

Para iniciar será enunciado ( enão demostrado) o seguinte teorema daGeometria Euclidiana Plana.

Teorema Sobre ConstruçõesGeométricas. Começando com umsegmento de comprimento unitário,qualquer comprimento que possa serconstruído com régua e compasso é umalgébrico de grau 1, ou 2, ou 4, ou 8, ...,isto é, um número algébrico de grau iguala uma potência de 2.

Comecemos com a duplicação docubo. Como vimos, ao enunciar o

problema, trata-se de construir umsegmento de comprimento “ raiz cúbicade dois” a partir de um segmento unitário.Mas este satisfaz a equação “ xis elevadoao cubo menos dois é igual a zero”. Istosugere que este número é algébrico de grau3 e pelo teorema de construçõesgeométricas enunciado acima ele não seráconstrutível. Daí concluímos ser impossívelduplicar o cubo.

Consideremos, a seguir, o problema datrisecção do ângulo. Para demonstrar quea trisecção é impossível, basta mostrar queum certo ângulo não pode ser trisectadocom o uso somente de régua e compasso.O ângulo específico que vamos consideraré o de 60o . Trisectar um ângulo de 60o

significa construir um ângulo de 20o . Paraver isso consideremos um triângulo de base1, cujos ângulos da base sejam 60o e 90o .Temos, assim, um triângulo ABC, com baseAB = 1, ângulo BAC = 60o , ângulo ABC= 90o . No lado BC escolhamos o ponto Dtal que o ângulo BAD = 20o . Datrigonometria elementar sabemos queAD = AD/1 = AD/AB = sec 20o . Portanto,a trisecção de um ângulo de 60o se resumena construção de um segmento igual a sec20o ; que, por sua vez, equivale a construirum segmento de comprimento cos 20o

porque cos 20o e sec 20o são recíprocos umdo outro e sabe-se que se um segmento forconstrutível, o segmento de comprimentorecíproco também o será. Sabemos porconstrução( este fato será demonstrado noseminário e apenas aceito nestaapresentação) que cos 20o é raiz de umaequação de grau 3 e não satisfaz nenhumaoutra equação de grau 1 ou 2. Assim, peloteorema enunciado, é impossível trisectaro ângulo de 60o com régua e compasso.

Finalmente, consideremos o problemada quadratura do círculo. Dado um círculoqualquer, podemos considerar seu raiocomo unidade de comprimento. Com essaunidade, a área do círculo será “pi”unidades de área. Um quadrado de mesmotamanho teria lado de comprimento “raiz


de pi”. Portanto o problema da quadraturado círculo consiste em construir umsegmento de comprimento “raiz de pi” apartir de um comprimento unitário dado.Na teoria das construções geométricas ébem conhecido que se pode construir umsegmento de comprimento “a elevado aoquadrado” a partir de segmentos decomprimentos 1 e a . Portanto se fossepossível construir um segmento decomprimento “raiz de pi” também seriapossível construir um segmento decomprimento “pi”. Mas sabemos que “pi”é um número transcendente e portantonão é algébrico. O teorema sobreconstruções geométricas diz ser impossívela construção de um segmento decomprimento “pi” e portanto a quadraturado círculo é impossível.

Exercícios propostos1 Demonstrar que “raiz de dois é

irracional”.

2 Demonstrar que “raiz de seis éirracional”.

3 Generalizar a idéia de 1.

4 Demonstre que log 2 é irracional.

5 Escreva a equação algébrica querepresenta o número “raiz quarta dexis elevado ao cubo”.

6 Tendo como conhecida aspropriedades das equaçõespolinomiais, demonstre que cos 20o éirracional.

7 Usando a conhecida “lei doscossenos” mostre uma maneira decalcular por aproximação o número“pi”.

ReferênciasFIGUEIREDO, Djairo G. de. Números Irracionais

e Transcendentes. Sociedade Brasileira deMatemática, Rio de Janeiro, 1985.

KRYSZIG, Erwin. Matemática Superior 4., Riode Janeiro, Livro Técnico e Científico EditoraS.ª, 1978.

LIMA, Elon Lages. Análise Real Volume 1.Associação Instituto Nacional deMatemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro,2001.

NIVEN, Ivan. Números: Racionais e Irracionais.Sociedade Brasileira de Matemática, Rio deJaneiro, 1984.


Oficinas

Estatística no EnsinoFundamental e Médio

Simone EchevesteMichele Gomes de Ávila

IntroduçãoA Estatística é o conjunto de métodos

utilizados para obter, organizar, e analisardados, viabilizando uma descrição clara eobjetiva de diversos fenômenos danatureza. As ferramentas e técnicasestatísticas aplicam-se em todas as áreas doconhecimento humano, tornando muitofácil encontrar exemplos de sua aplicação.Anteriormente, esta ciência era trabalhadaapenas em alguns cursos técnicos e noensino superior. Hoje, observada aimportância e a relevância do aluno sercapaz de analisar informações bem comointerpretar dados estatísticos, a estatísticavem sendo desenvolvida com os alunos noEnsino Fundamental e Médio.

1 - A Importância daEstatística na Escola

A coleta, organização e interpretação de dadosé uma necessidade no processamento deinformações que aparecem em jornais, revistase pesquisas eleitorais, entre outras. Desdepequenas, as crianças devem estar envolvidasem atividades de coletar, organizar e descreverdados, pois durante a realização dessetrabalho várias habilidades são desenvolvidascomo, por exemplo: exploração, investigação,conjectura e comunicação. Mais que isso,utilizar gráficos também é uma maneira detrabalhar com transferências de linguagem,otimizando, dessa forma, a relaçãomatemática/língua. (Smoole, 2000)

Simone Echeveste é Mestre em Marketing, Bacharel em Estatística. Professora do Curso de Matemática da ULBRA. [email protected]

Michele Gomes de Ávila é aluna do Curso de Matemática da ULBRA.


O ensino da Estatística emergiu maisfortemente no Ensino Fundamental eMédio a partir da determinação dosParâmetros Curriculares Nacionais (1997).Os objetivos da Matemática para oprimeiro e o segundo ciclo destacamfortemente o desenvolvimento deconteúdos de Estatística.

Primeiro Ciclo:1. Identificar o uso de tabelas e gráficos

para facilitar a leitura e interpretaçãode informações e construir formaspessoais de registro para comunicaras informações coletadas;

2. Interpretar e elaborar listas, tabelassimples, de dupla entrada e gráficosde barra para comunicar a informaçãoobtida;

3. Produzir textos escritos a partir dainterpretação de gráficos e tabelas

Segundo Ciclo:1. Recolher dados e informações,

elaborar formas para organizá-los eexpressá-los, interpretar dadosapresentados sob forma de tabelas egráficos e valorizar essa linguagemcomo forma de comunicação;

2. Utilizar diferentes registros gráficos -desenhos, esquemas, escritasnuméricas - como recurso paraexpressar idéias, ajudar a descobrirformas de resolução e comunicarestratégias e resultados;

3. Identificar características deacontecimentos previsíveis oualeatórios a partir de situaçõesproblemas, utilizando recursosestatísticos e probabilísticos.

Para Blumenthal (2000), osParâmetros Curriculares Nacionaisdestacam que o ensino de matemática develevar o aluno a compreender e transformar

o mundo à sua volta, estabelecendorelações qualitativas e quantitativas,resolvendo situações-problema,comunicando-se matematicamente e,principalmente, realizando interconexõescom as demais áreas de conhecimento.

Neste contexto, é muito importanteque o professor de Matemática estejapreparado para desenvolver em suas aulasos principais conceitos de estatística, quecapacite o aluno a lidar com os dados(informações), procurando fazer com queestas informações, analisadas de formacorreta, sejam elementos fundamentais natomada de decisão. A relevância destesconteúdos é justificada na formação dealunos mais críticos, capazes de decidirlogicamente e eficazmente em suas vidas.

Por outro lado, existe uma fortecarência de recursos pedagógicos queauxiliem os professores de matemática emsuas aulas, e esta necessidade fica maisacentuada quando se observa que muitosprofessores, que são formados emmatemática, possuem limitadasexperiências em Estatística.

2 - ConhecimentosBásicos de Estatística

2.1 Apresentação de dadosOs dados obtidos em um estudo

estatístico podem ser representados atravésde tabelas e/ou gráficos. As tabelas e osgráficos são extremamente úteis parasintetizar os valores que uma ou maisvariáveis podem assumir, estes recursospermitem ao pesquisador demonstrar osresultados obtidos de uma forma muitomais clara e organizada.


Exemplo:Tabela 1. No momento atual o que

você acha mais preocupante?

Fato Nº Internautas %

A ameaça do vírus Antraz 2918 20.13

A guerra dos EUA 2334 16.10

A alta do dólar 1712 11.81

A recessão mundial 3868 26.68

O futebol brasileiro 3664 25.28

Total 14496 100

Fonte: Provedor Terra - 22/10/01

Gráfico 1. No momento atual o quevocê acha mais preocupante?

0

5

10

15

20

25

30

%

A am eaçado vírusAntraz

A guerrados EUA

A alta dodólar

A reces s ãom undial

O futebo lb ras ileiro

2.2 Medidas de tendênciacentral

As medidas de tendência central, sãovalores numéricos que representam ocentro de um conjunto de dados. Oobjetivo destas medidas é resumir, atravésde um único valor, todas as informaçõescontidas em um grupo de dados de umamesma variável.

2.2.1 Média AritméticaÉ a medida de tendência central mais

utilizada, sendo obtida pelo quociente dadivisão da soma dos valores da variável pelonúmero de elementos do grupo de dados.

n

xx

n

ii

1

onde:

2.2.2 MedianaA Mediana de um conjunto de valores,

ordenados por ordem de grandeza, é ovalor situado de tal forma no conjunto queo separa em dois subconjuntos de mesmonúmero de elementos, ou seja, é o valorque ocupa a posição central em umconjunto de dados.

A posição da Mediana é destacadapela seguinte expressão:

2nPMd

Se o número de elementos daamostra for ímpar, a Mediana seráexatamente o valor que se encontra naposição calcula. Já se tivermos um númeropara de observações, o valor da Medianaserá a média dos dois valores centrais dadistribuição.

2.2.3 ModaÉ o valor que representa maior

freqüência no conjunto de dados, ou seja,o que mais se repete.

Em relação à Moda, um conjunto dedados pode ser:• Unimodal - quando um único valor se

repete;

• Bimodal - quando dois valores serepetem com a maior frequenciaobservada;

• Multimodal - quando três ou maisvalores se repetem com a maiorfrequencia

observada.

2.3 Medidas de VariabilidadeAs medidas de variabilidade ou

dispersão, medem a variabilidade dos

estudada amostra da tamanho / valores de quantidade - variável da valores os

amostra uma de aritmética média da símbolo

nx

x

i


elementos em relação à sua média. é muitoimportante para o pesquisador saber quala representatividade da média calculadapara o conjunto de dados, ou seja, saberqual a variabilidade destes dados, se estessão homogênenos, ou não. Tão importantequanto representar um conjunto de dadosatravés da média, é estudar a dispersão dosdados em torno da mesma. As medidas devariabilidade mais utilizadas são a variânciae o desvio-padrão.

2.3.1 VariânciaA variância é calculada a partir do

quadrado dos desvios em torno da média,transformando, assim, a variável emquestão em um valor ao quadrado,tornando-se um inconveniente nomomento da interpretação.

Por esta razão, foi desenvolvida outramedida: o desvio-padrão, que érepresentado pela raíz quadrada davariância. Esta operação matemática fazcom que a variável de estudo retorne paraa sua unidade de medida.

1

1

2

2

n

xxs

n

ii

estudada amostra da tamanho / valores de quantidade - variável da valores os

amostra uma de aritmética média

nx

x

i

2.3.2 Desvio-Padrão

2sVariâncias

3 - Atividades deEstatística em sala deaula

Abaixo serão apresentadas algumasatividades que objetivam odesenvolvimento de alguns conteúdos deestatística com alunos do ensinofundamental e médio.

Internacional Grêmio

A seguir, o professor solicitará aosalunos que colem suas camisetas umaacima da outra no espaço destinado a seutime.

ATIVIDADE 1Conteúdo: Gráfico de ColunasNível: Ensino Fundamental e MédioMaterial: Papel colorido, cola, caneta

hidrocor, 1 cartolinaO professor deverá inicialmente

propor aos alunos a construção através depapel colorido, caneta hidrocor e cola acamiseta de seu time preferido (o professordeve determinar um tamanho padrão, ouainda poderá fornecer aos alunos moldesdeste tamanho para que não hajamdiferenças entre os tamanhos dascamisetas).

A questão de pesquisa será verificarqual o time com um maior número detorcedores na sala de aula (é interessanteque o professor lance este desafio semprequestionando os alunos sobre o resultadoque eles acham que ocorrerá - isto faz comque a curiosidade os incentive naconstrução do gráfico). Após a elaboraçãodas camisetas, o professor desenhará nacartolina uma linha horizontal, e colocaránesta linha o nome dos times que surgiram.

Figura 1. Desenho do eixo horizontaldo gráfico


Após a colagem ser feita, o professorjuntamente com os alunos fará a contagemdo número de torcedores para cada time,traçando uma linha vertical e marcando afreqüência de alunos para cada time. Feitaesta atividade, o professor solicitará aoaluno que desenhe em seu caderno(também poderão ser utilizadas folhasquadriculadas) o gráfico substituindo ascamisetas por colunas, obtendo-se assim,um gráfico de colunas. Como fechamentoda atividade é interessante o professortrabalhar com seus alunos as noções doplano cartesiano e o que cada um dos eixosrepresenta.

Outras Sugestões: Este tipo detrabalho pode ser desenvolvido comdiversos temas. Aqui foi proposto o estudo

da variável Time de Futebol Preferido. Oprofessor poderá realizar o mesmo tipo deatividade para outras variáveis como:animal de estimação que possui, tipo deresidência em que mora (casa ouapartamento), cor do cabelo, mês doaniversário, etc.

Atividade 2Conteúdo: TabelasNível: Ensino Fundamental e MédioNesta atividade, o professor pergunta

aos alunos se estes conhecem bem seuscolegas, ou seja, o time preferido, o pratode comida que mais gosta, o programa detelevisão que mais assiste, a cor preferida,etc. Com isto, o professor propõe que aturma elabore um questionário contendoas perguntas que gostariam de fazer paraseus colegas. Após toda a turma preenchero questionário, o professor lista as respostasque surgiram no quadro e sugere que osdados sejam apresentados de uma formamais organizada, como por exemplo, emtabelas. Neste momento o professorestabelece o padrão das tabelas e já podejuntamente com esta construção trabalharo conceito de porcentagem.

Sexo Freqüência Percentual

M asculino ............... 59 123 361 49,7Fem inino ................ 59 879 345 50,3

Total ....................... 119 002 706 100,0

Fonte: IBG E (1983)

Tabela 1.1População residente no Brasil, segundo o sexo, de acordo com o censo dem ográfico de 1980

T RAÇO S RETILÍNEO S

CO LUN AS

LINH ASCASAS

E SPAÇ O DO S C ABEÇA LHO S

ESPAÇ O S EXT ERNO S

Figura 2. Colocação das camisetas emforma de colunas no gráfico

Internacional Grêmio

4

3


Atividade 3Conteúdo: Média, Mediana e ModaNível: Ensino MédioMaterial: Balança, Fita métricaNesta atividade deverá ser proposto

aos alunos um estudo sobre o seu peso esua altura. O professor inicialmente pesa emede a altura de todos os alunos (os dadosde cada aluno devem ser anotados noquadro). Com estes dados observados eorganizados (em tabelas ou listagens devalores) o professor ressalta a importânciade representar todas as alturas e pesos comuma única medida. Aqui, devem serdesenvolvidos os conteúdos referentes àsmedidas de tendência central e,posteriormente as medidas devariabilidade.

ReferênciasCARVALHO, D.L. Metodologia do Ensino de

Matemática. São Paulo: Cortez, 1994D’AMBRÓSIO, U. Educação Matemática - da

teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996.FERNANDEZ, D.X.W. & FERNANDEZ. D. O

prazer de aprender probabilidade através dejogos: descobrindo a distribuição Binomial.Conferência Internacional de Experiênciase Perspectivas do Ensino da Estatística,Florianópolis, 1999.

FEIJOO, A. A Pesquisa e a Estatística na Psicologiae na Educação. Rio de Janeiro: BertrandBrasil, 1996.

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OLIVEIRA, T. Estatística Aplicada à Educação.Rio de Janeiro: Livros Técnicos e CientíficosEditora S.A., 1974.

ROCHA, I.A. A Competência Matemática nodomínio da estatística no 1º ciclo. Educação eMatemática, Março, 2000.

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Brasília: MEC/SEF, 1997.SMOOTHEY, M. Atividades e jogos com

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fundamental em matemática: um avanço ouum retrocesso? Educação Matemática emRevista, Nº 2, 2000.

BRATTON, George. The role of Technology inIntroductory Statistics Classes . TheMathematics Teacher, Vol 92, Novembro,1999.

FAINGUELERNT, Estela. Educação Matemática:representação e construção em geometria. SãoPaulo: Artes Médicas, 1999.

LELLIS, Marcelo. & IMENES, Luiz Márcio. AMatemática e o novo ensino médio.Educação Matemática em Revista, Nº 9, Ano8, 2000.

OTTAVIANI, Maria Gabriella. Promover laEnseñanza de la Estatdística: La Función delIASE y su Cooperación com los Países em víasde Desarrollo. Departimento di Statistica,Probabilita’e Statistiche Applicate.Universita’di Roma “LaSapienza”. 1999.

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SMOLE, Kátia. A Matemática na EducaçãoInfantil: a teoria das inteligências múltiplasna prática escolar. Porto Alegre: ArtesMédicas, 2000.


Oficinas

Desafios e Possibilidades emMatemática no Ensino

Fundamental

Maria Beatriz Menezes CastilhosMarilene Jacintho Müller

Márcia Carine Vieira Godoy

Desenvolvimento daoficina

Os Parâmetros CurricularesNacionais indicam como objetivos doEnsino Fundamental, dentre outrashabilidades e competências, que os alunossejam capazes de:• posicionar-se de maneira crítica,

responsável e construtiva nasdiferentes situações;

• utilizar as diferentes linguagens –verbal, musical, matemática, gráficaplástica e corporal – como meio paraproduzir, expressar e comunicar suasidéias;

• saber utilizar diferentes fontes deinformação e recursos tecnológicospara adquirir e construirconhecimentos;

• questionar a realidade formulando-seproblemas e tratando de resolvê-los,utilizando para isso o pensamentológico, a criatividade, a intuição, acapacidade de análise crítica,selecionando procedimentos everificando sua adequação.

Mais especificamente, no último ciclodo Ensino Fundamental, o ensino deMatemática deve visar ao desenvolvimentodo pensamento numérico, algébrico egeométrico, por meio da exploração desituações de aprendizagem que levem oaluno a:• ampliar e consolidar os significados

dos números racionais, a partir dosdiferentes usos em contextos sociais ematemáticos e reconhecer que existemnúmeros que não são racionais;

• observar regularidades e estabelecer

Maria Beatriz Menezes Castilhos é Professora da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

Marilene Jacinto Müller é Professora da Universidade Luterana do Brasil e da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.

Márcia Carine Vieira Godoy é Licencianda da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul


leis matemáticas que expressem arelação de dependência entrevariáveis;

• produzir e analisar transformações/reduções de figuras geométricasplanas, identificando seus elementosvariantes e invariantes, desenvolvendoo conceito de congruência esemelhança;

• ampliar e aprofundar noçõesgeométricas como incidência,paralelismo, perpendicularismo eângulo para estabelecer relações,inclusive as métricas, em figurasbidimensionais e tridimensionais.

Essas diretrizes devem nortear aformação do professor de Matemática e aprática profissional do mesmo, apósingressar no magistério.

Um professor de álgebra, análise,cálculo, etc, que faz a relação do que eleensina em sua disciplina, queaparentemente é tão abstrata, com aquiloque fundamenta o que o futuro professorvai trabalhar com seus alunos, está fazendocom que seu ensino tenha significado, oque, sem dúvida, é uma condição para aelaboração do conhecimento

Fazer a “ponte” do conteúdo que étrabalhado nos Cursos de Licenciaturacom aquilo que vai ser ensinado na escolaé o grande salto de qualidade desejado parao ensino de Matemática em todos os níveis.

Melhorar a qualidade do ensino passa,também, pela atualização permanente dosprofessores. Atualmente não é maispossível viver apenas com osconhecimentos da formação inicial e daexperiência profissional. Grande parte doseducadores quer e necessitaaprimoramento constante. Perrenoud(2000, p. 163) salienta que a urgência éfazer os professores entrarem no “ circuitoda formação contínua” e sugere váriasformas para facilitar a continuidade daformação docente.

De fato, sem o questionamento

desencadeado a partir da socialização deexperiências e sem o suporte doconhecimento de novas tecnologias, demetodologias variadas e de teorias sobreensino-aprendizagem adquirido com aparticipação em cursos e encontros, não étarefa fácil, para o professor, organizaratividades que sejam significativas noensino-aprendizagem, de forma que desafieo aluno a pensar, estimule a criatividade ea busca de soluções para os problemaspropostos, desenvolva o censo crítico einvestigativo e desperte a curiosidade e oprazer de aprender.

A escola e o sistema educacional, comoum todo, desempenham o importantepapel de proporcionar e facilitar a formaçãocontinuada dos professores.

Vasconcellos (1996, p. 13) afirma: “Oproblema metodológico não é problema deuma escola, curso ou professor; aocontrário, é um problema que perpassatodo o sistema educacional, uma vez que élonga a tradição de um ensino passivo,desvinculado da vida. Em outros tempos,até era suportável; hoje, com as crescentestransformações do mundocontemporâneo, há um questionamentoprofundo e uma rejeição por parte dasnovas gerações. O mundo mudou! A escolatem que mudar!”

A escola tem que dar espaço para acriatividade, a exploração e a descoberta,visando capacitar os alunos paraenfrentarem os novos tempos, além de estarem permanente estado de alerta paraadaptar seu ensino tanto em conteúdosquanto em metodologias.

O uso das tecnologias dacomunicação é parte integrante daformação de professores e, em particular,de professores de Matemática. A presençade computadores, calculadoras, vídeos ede outros recursos didáticos na escolapressupõe que o professor saiba lidar comeles de forma crítica e criativa e que possaaproveitar ao máximo o potencialeducativo de tais tecnologias.


Conforme os Referencias para aFormação de Professores da Secretaria daEducação Fundamental do MEC, o acessoa novos recursos tecnológicos pode serfundamental para a efetivação demudanças necessárias à atualização dosistema educacional brasileiro. Porém, ascaracterísticas e peculiaridades de cadarecurso determinam a adoção de certosprocedimentos em detrimento de outros.Assim, o uso da televisão, do vídeo, docomputador, da calculadora, de materiaismanipulativos, do livro didático e dopróprio texto escrito devem serconsiderados no momento em que oprofessor reflete sobre sua açãopedagógica.

Ainda, o mesmo documentocorrobora essa idéia na medida em querecomenda que: “O fundamental éotimizar o bom uso possível de todos osrecursos que possam contribuir para odesenvolvimento das competênciasprofissionais necessárias ao exercício dafunção de professor.”

Por isso achamos que aspectos comoa adequada utilização de diferentesrecursos não podem ser esquecidos aopretender-se preparar um professor deMatemática para exercer de forma plenasua função.

Todas essas considerações sobre aformação de professores se justificam pelanecessidade de estabelecer um vínculoentre o professor e o aluno, em uma salade aula do Ensino Fundamental. Vínculoesse que permita, ao professor, instigar acuriosidade dos alunos sobre determinadoassunto e, ao aluno, aceitar o desafio einvestigar, utilizando-se do maior númerode recursos possível, questões que o levema construir seu conhecimento.

Visando dar uma contribuição nosentido de viabilizar o cumprimento do queé proposto nos Parâmetros CurricularesNacionais e, como representantes daUniversidade, efetivar o papel deformadores de professores comprometidos

com a educação e com seu próprioaprimoramento, ofereceremos a oficina:Desafios e Possibilidades em Matemáticano Ensino Fundamental, ondepretendemos propor formas de desenvolverum determinado conteúdo (no caso,relações métricas no triângulo retângulo)atendendo aos objetivos do EnsinoFundamental e mostrando como articularo assunto central com outros conteúdos ecom a Matemática Superior.

Esta oficina tem como objetivoprincipal desencadear uma reflexão queleve os professores a renovar sua práticaprofissional em conteúdos e metodologias.

Para isso, faremos, inicialmente, umarevisão de conceitos básicos da geometria,como semelhança de triângulos, projeçãoortogonal e alturas de um triângulo, quesão pré-requisitos para o conteúdo a serdesenvolvido. Neste momento, o livrodidático e uma discussão sobre textos,incluindo História da Matemática, podemser usados.

Uma vez estabelecidos os conceitos-chave, passaremos a deduzir as relaçõesmétricas em um triângulo retângulo. Istoserá feito a partir de material manipulativoextremamente simples e acessível, de formaa possibilitar, ao professor, a sua utilizaçãoem sala de aula. Aproveitaremos aoportunidade para discutir outrosconceitos, como área do triângulo expressaem função de seus lados e alturas relativas.Esta atividade, realizada em pequenosgrupos, permite um questionamento sobreconhecimentos já construídos e porconstruir e investigar a capacidade deestabelecer relações.

Uma das relações a deduzir será oTeorema de Pitágoras. Com estetrabalharemos mais profundamente,explorando diversos materiaismanipulativos e analisando formasdiferentes de demonstrá-lo, nãoformalmente, mas no sentido de tornar oresultado convincente. Propiciaremos,neste momento, o desenvolvimento da


capacidade de argumentação, pois,segundo Carraher (1988, p. 179)

“Os ‘materiais concretos’ são usadosporque refletem uma análise matemáticaparticular; de fato, pressupõe-se que,subjacente aos materiais concretos existemprincípios lógico-matemáticos, os quaisdesejamos ensinar.”

Proporcionar aos alunos a vivência deatividades com materiais concretos, quetenham como “pano-de-fundo” osconceitos matemáticos, constitui-se numaalternativa pedagógica capaz de tornarsignificativa a aula de Matemática epossibilita que o ensino se desenvolvanuma perspectiva inovadora.

A contextualização do tema será feitapor meio da proposição de situações-problemas, cujas soluções dependem daaplicação das relações métricas que foramdeterminadas.

Um aspecto que julgamosextremamente importante é a vinculaçãodos conteúdos estudados no curso deformação inicial com os do EnsinoFundamental e Médio. Sem dúvida, nasdisciplinas de um curso superior dematemática, nos deparamos inúmerasvezes com o Teorema de Pitágoras, tantono que diz respeito a suas aplicações comoa sua fundamentação. Entretanto, parafazer esta “ponte”, escolhemos um capítulode Análise Matemática que trata dacomensurabilidade. Em primeiro lugar, porconter a base destas relações, que é a“comparação” de segmentos, que permiteestabelecer sua medida. Em segundo lugar,por ser a gênese de um importante fatonumérico, que é o surgimento dos númerosirracionais.

Desta forma, enfocaremos o assuntosob três pontos de vista: algébrico,geométrico e numérico. Uma aplicação doTeorema de Pitágoras, abordada sob essestrês aspectos, será apresentada com autilização de um recurso tecnológico.

Finalmente, traremos o relato de umaaluna da Licenciatura em Matemática da

PUCRS, sobre sua experiência em articularconteúdos da disciplina de AnáliseMatemática com os trabalhados na sala deaula do Ensino Fundamental.

ReferênciasÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Análise

Matemática para Licenciatura. São Paulo:Edgard Blücher LTDA, 2001

BIANCHI, Alaydes S.; MÜLLER, Marilene J.Deficiências de aprendizagem em matemática:uma realidade preocupante. Porto Alegre:PUCRS, 2001. Projeto de Pesquisa.

BRASIL. Ministério de Educação. Secretaria deEducação Fundamental. Referenciais para aformação de professores. Brasília, DF, 1999.

BRASIL. Ministério de Educação. Secretaria deEducação Fundamental. Parâmetroscurriculares nacionais – terceiro e quarto ciclosdo ensino fundamental. Brasília, DF, 1998.

CARRAHER, Terezinha et al. Na vida dez, naescola zero. São Paulo: Cortez Editora, 1988

IMENES, Luiz Márcio. Vivendo a matemática:Descobrindo o teorema de Pitágoras. São Paulo:Scipione, 1987.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo.Matemática. v8. São Paulo: Scipione, 1997.

PERRENOUD, Philippe. 10 novas competênciaspara ensinar. Porto Alegre, Artmed, 2000

PERRENOUD, Philippe. Construir as competênciasdesde a escola. Porto Alegre, Artmed, 1999.

VASCONCELLOS, Celso dos S. Construção doconhecimento em sala de aula. Cadernospedagógicos do Libertad – 2. SãoPaulo,1996.


Oficinas

Estratégias de aprendizagem esoluções de problemas para

professores e alunos

Claudia Lisete de Oliveira GroenwaldMarcos Rogério Mertz

1 - IntroduçãoProblema é qualquer tipo de atividade

procedimental que seja realizada dentro oufora da sala de aula. No entanto, uma tarefaqualquer (seja matemática ou nãomatemática) não constitui um problema.Para que possamos falar da existência deum problema, a pessoa que está resolvendoesta tarefa precisa encontrar algumadificuldade que a obrigue a questionarsobre qual seria o caminho que precisariaseguir para alcançar a meta (Pozo, 1998).

Problema é qualquer situação que exijao pensar do sujeito para solucioná-lo.Problema-matemático é qualquer situaçãoque exija a maneira matemática de pensare conhecimentos matemáticos parasolucioná-la. Problemas de aplicação sãoaqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da matemáticapara serem resolvidos, são também

chamados de situações-problemas (Dante,1989).

Problema sempre envolve, para oaluno, uma relação entre o que já seencontra assimilado e um novoconhecimento e para que ocorra aaprendizagem é necessário a superação donovo e o antigo que ele já conhece (Pais,2000).

Lester, 1983, identifica problemascomo “uma situação que o indivíduo ouum grupo quer ou precisa resolver e paraa qual não dispõe de um caminho rápidoe direto que o leve à solução”.

Temos um problema sempre queprocurarmos os meios para atingir umobjetivo. Quando temos um desejo quenão podemos satisfazer imediatamente,pensamos nos meios de satisfazê-lo e assimse põe um problema. A maior parte danossa atividade pensante, que não sejasimplesmente sonhar acordado, se ocupa

Claudia Lisete Oliveira Groenwald – Doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca, Espanha; professora titular no

Departamento de Matemática e no Laboratório de Matemática da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA. E-mail: [email protected]

Marcos Rogério Mertz – Acadêmico do curso de Matemática da ULBRA, bolsista de Iniciação Científica FAPERGS/ULBRA..


daquilo que desejamos e dos meios paraobtê-lo, isto é, de problemas (George Pólya,1985 ).

Ex.: Calcule o valor de A:

A = log tan 1º + log tan 2º + log tan 3º +... + log tan 89º

A = log ( tan 1º . tan 2º . tan 3º . ... . tan89º )

A = log

oooo

oooo

89cos...3cos2cos1cos89sen...3sen2sen1sen

A = log

oooo

oooo

1sen...87sen88sen89sen89sen...3sen2sen1sen

A = log 1

A = 0

Pozo (1998), salienta que existe umaimportante e sutil relação entre exercícios eproblemas, se um problema é repetidamenteresolvido acaba por tornar-se um exercício, asolução de um problema novo requer autilização estratégica de técnicas ouhabilidades previamente exercitadas.

A diferença mais importante para oprofessor, entre problema e exercício, é a queexiste entre os problemas de rotina e aquelesque não o são. O problema que não se resolvepor rotina exige um certo grau de criação eoriginalidade por parte do aluno, enquanto oproblema de rotina não exige nada disso. Oproblema a ser resolvido tem algumapossibilidade de contribuir para odesenvolvimento intelectual do aluno,enquanto o problema de rotina não temnenhuma.

Exemplo de exercícioAche dois números que somados tem

como resultado 10 e multiplicados 21.

Exemplo de problemaComprei 100 animais com R$ 100,00.

Sendo bois R$ 10,00 cada, ovelha R$ 3,00e porcos R$ 0,50. Quantos animais compreide cada espécie?

Solução:Sendo:x = número de boisy = número de ovelhasz = número de porcos

514400

400514200620

600666

1002

310

100

xz

zxzyx

zyx

zyx

zyx

519100

5001440055

1005

14400100

xy

xyx

xyx

zyx

514400

519100

xz

xy

x y Z1 16,2 -2 12,4 -3 8,6 -4 4,8 -5 1 94

x = 5y = 1z = 94

21xy

10yx


O ponto de partida do processo deensino-aprendizagem deve abordarassuntos de interesse do aluno, queestimulem a curiosidade e quedesencadeiem um processo que permita aconstrução de novos conhecimentos.

Na linguagem de Pólya (1945), falarde estratégias seria equivalente a falar de“um plano para encontrar uma solução”,enquanto o conhecimento operacionalseria o que teríamos que colocar em açãopara “executar o plano” projetadoestrategicamente.

Assim, as estratégias de solução deproblemas seriam formas conscientes deorganizar e determinar os recursos de quedispomos para a solução de umdeterminado problema.

As estratégias incluiriam oplanejamento e organização das diferentestécnicas adotadas para satisfazer submetase metas.

A solução de qualquer problema é umprocesso complexo que deve ser realizadoseguindo uma série de passosdeterminados, que segundo Pólya, 1945,são os seguintes:a) Compreender o problema

b) Conceber um plano

c) Executar o plano

d) Visão retrospectiva

ExemploCom quatro quatros e as quatro

operações escrever os números de 0 a 10.

Plano de ação para oprofessor

• Compreensão do problema, discutircom a turma se há dúvidas em relaçãoa tarefa

• Elaborar um plano de ação emconjunto com a turma

• Apresentar dicas de solução, quandodesejadas e solicitadas pelo aluno

• Resolução do problema pelos alunos

• Verificação da solução correta

• Discussão das soluções encontradas

Plano de ação para o aluno• Não procurar os números na ordem,

pois isto pode gerar uma dificuldademaior e, em função disso, dificultar aatividade.

• Procurar relações entre as respostasencontradas.

Por exemplo: 4 + 4 – 4 : 4 = 7 e 4 + 4 + 4 : 4 =

9pois:8 – 1 = 7 e 8 + 1 = 9

• Buscar encontrar respostas natabuada do 4. Por exemplo: qual onúmero que ao dividir por 4 temresposta 5 ? 20, logo = 4 × 4 + 4 =20

(4 × 4 + 4) : 4 = 520 : 4 = 5ou ainda: 12 : 4 = 3logo: (4 × 4 – 4) : 4 = 3.Ao encontrar a resposta do número 5

relacionando encontra-se a resposta parao número 3.

Sugestões para o professor• O professor deve intervir, junto ao

aluno, sempre com indagações que olevem a concluir suas dúvidas e/ ouseus erros.

Exemplo: Para encontrar o número 4,um caminho, é eliminar os outros trêsnúmeros 4, qual a solução?

Esta pergunta induz os alunos arelacionarem que zero mais quatro é iguala quatro.

Logo, a próxima indagação doprofessor deve ser:

Como encontrar zero com trêsnúmeros quatro? Os alunos devem associarcom multiplicar por zero.


• 1º idéia 0 + 4 = 4• 2º idéia (4 – 4) × 4 = 0Solução (4 – 4) × 4 + 4 = 4Logo:(4 – 4) × 4 + 4 = 40 × 4 + 4 = 40 + 4 = 4A intervenção do professor deve ser

sempre com indagações e nunca indicandoa resposta, mostrando como se faz e simlevando o aluno a tirar conclusões.• O professor ao se deparar com uma

resposta errada, deve sempreperguntar ao aluno o que ele tinhaintenção de escrever, levando-o aexpressar, em voz alta, para poderdialogar sobre sua intenção.

Exemplo 1: 4 + 4 : 4 + 4 = 6A intenção do aluno era8 : 4 + 4 = 6Logo, evidencia-se a necessidade de

parênteses:(4 + 4) : 4 + 4 = 6.Exemplo 2:(4 × 4) : 4 – 4 = 0O uso indevido de parênteses é

comum e deve ser salientado peloprofessor, que o uso do parênteses tem umobjetivo e não deve ser usado semnecessidade.

Solução da atividade• 4 × 4 – 4 × 4 = 0

• (4 × 4) : (4 × 4) = 1

• 4 : 4 + 4 : 4 = 2

• (4 × 4 – 4) : 4 = 3

• (4 – 4) × 4 + 4 = 4

• (4 × 4 + 4) : 4 = 5

• (4 + 4) : 4 + 4 = 6

• 4 + 4 – 4 : 4 = 7

• 4 × 4 : 4 + 4 = 8

• 4 + 4 + 4 : 4 = 9

• (44 – 4) : 4 = 10

Habilidades que podem serdesenvolvidas nesta atividade• Revisão do conteúdo de expressões

numéricas (ordem das operações, usodos parênteses, colchetes, chaves),permitindo o aprimoramento dacompreensão deste assunto.

• Aumento da capacidade de realizarrelações, de uma resposta concluiroutra, em conseqüência, estimular oraciocínio lógico e a capacidade deabstração.

GeneralizaçãoPodemos ampliar o problema com

quatro quatros pedindo aos alunos paraescreverem os números de 0 a 100, usandoquatro quatros e qualquer operação.

Importante salientar que, parafacilitar o trabalho, os algarismos quatropodem estar agrupados.

Ex.: 44 - 44 = 0

4444

= 1 44 44 = 1

4 : 4 + 4 ¸ 4 = 2

4 + 4 - 4 : 4 = 3Dois números difíceis de serem

encontrados são o 33 e o 41, que podemser indicados pelo professor:

33 = 4

44 !4

41 =

!4!4!44

A solução geral para o problema é:“Para todo número natural n, temos:

n = 41

log 4 log 4 4n + 1 radicais4...


n = 732

22 4loglog41

n = 7321

.2

22 2loglog41

n = 7221

22 2loglog41

n = 72

2 2log41

n = 18)72.(41

Seis problemas não triviais eequivalentes ( Zalman Usiskin, RPM-04,28-31 )

Características:• são problemas matematicamente

idênticos até nos números usados nasua resolução;

• nada no problema indica que o mesmotipo de Matemática pode ser usado, atéque a resolução seja examinada. Assimos problemas, na medida do possível,vêm de tópicos totalmentedesvinculados dentro da Matemática oudentro de aplicações da Matemática;

• os problemas estão no âmbito daMatemática do Ensino Fundamental eEnsino Médio, quanto mais simplesmelhor.

Problemas:

1) Expresse 21

como soma de duas

frações de numerador 1 ( frações do tipo

n1

n um inteiro positivo ).

2) Ache todos os retângulos cujos ladostenham por medida números inteiros

e que tenham área e perímetronumericamente iguais.

3) Quais pares de inteiros positivos temmédia harmônica igual a 4 ?

4) Ache os possíveis pares de inteiros cujoproduto seja positivo e igual ao dobro desua soma.

5) Dado um ponto P, ache todos os n taisque o espaço em torno de P possa sercoberto, sem superposição, porpolígonos regulares, congruentes, de nlados.

6) Para quais inteiros positivos n > 2, o taisque o espaço em torno de P possa sercoberto, sem superposição, porpolígonos regulares número 2n é divisívelpor n - 2?

Resolução:

Se 21

for a soma de duas frações de

numerador 1 então q1

p1

21

1)

onde p e q são inteiros positivos. ( A equaçãoserá resolvida mais adiante ).2) Sejam a e b o comprimento e a largura

do retângulo procurado. Como a áreae o perímetro são numericamenteiguais, temos:

2a + 2b = ab2 ( a + b ) = ab

21

abba

21

b1

a1

Como a e b devem ser inteiros epositivos esta última equação tem a mesmaforma que a equação do problema 1.

yxxy2

Sejam x e y inteiros positivos. Dascondições dadas

4yx

xy2

Ex.: n = 18

n = 4...loglog41

44 73 radicais


2yx

xy

21

xyyx

A última equação tem a mesma formaque a equação na terceira linha do problema2 e assim se reduz a equação do problema1.

Sejam x e y dois inteiros, z o seuproduto, z > 0. Os números x e y devemser positivos pois sua soma e produto sãopositivos. Das condições dadas obtem-se

xy = z e x + y = 2z

1) As duas condições juntasimplicam:

x + y = 2xy

21

xyyx

Esta última equação é idêntica àequação da última linha do problema 3 eassim reduz-se à equação do problema 1.

5) Este problema é mais difícil decaracterizar. Seja k o número de polígonoscom vértices em P. Se os polígonos não sesobrepuserem, forem regulares econgruentes, utilizando a notação da figuraabaixo, obter-se-á:

k360... k21 em graus

Mas os i são medidas de ângulos depolígonos regulares de n lados, portanto

n180).2n(

i

1 ki

2

1

k

Temos então

n

180.2nk

360

n2n

k2

2n = (n - 2).k2n + 2k = nkDas condições do problema segue-se

que n e k devem ser inteiros positivos eportanto esta equação tem a mesma formaque a primeira linha do Problema 2.

6) Se 2n é divisível por n - 2 então 2n= (n - 2)K, onde K é um número inteiro.Esta equação é idêntica a uma das equaçõesdo problema 5 e portanto se reduz à doproblema 1.

Equação DiofantinaAssim, os seis problemas podem ser

resolvidos considerando-se a equação doproblema 1. Devido às condições, estaequação é uma equação diofantina e suasolução é interessante.

1. Seja q1

p1

21

onde p e q são

inteiros positvos

2. É impossível termos p1

41 e

q1

41 (pois a soma não chegaria a ser

21

)

e assim pelo menos uma das frações p1

e

q1

deve ser maior do que ou igual a 41

.

Suponhamos 41

p1

3. Então p = 1, 2, 3 ou 4.


4. p = 1 121 + q

1 1 q = -2, o

que não é possível pois q é positivo;

p = 2 q1

21

21

0q1 que

não tem soluçãop = 3 q = 6;p = 4 q = 4.

5. Por causa da simetria de p e q naequação original, obtemos resultados

correspondentes se 41

q1

6. Portanto temos 3 soluções:(p,q) = (3,6);(p,q) = (4,4);(p,q) = (6,3)

SOLUÇÕES: todos os problemasestão agora resolvidos.

Problema 1 - A resposta é:

31

61

41

41

61

31

21

Problema 2 - Existem dois retângulossatisfazendo as condições dadas: Um é 4 x4 e o outro, 3 x 6 .

Problema 3 - Duas respostas: 4 e 4 ou3 e 6 são pares de inteiros cuja médiaharmônica é 4.

Problema 4 - Os pares são idênticosaos do Problema 3.

Problema 5 - Os únicos polígonosregulares e congruentes que, semsuperposição, cobrem o espaço em tornode P ( e assim cobrem o plano ) são ospolígonos de 3 lados ( seis triângulosequiláteros em torno de P ), os de 4 lados (quatro quadrados em torno de P ) e os de

6 lados ( três hexágonos regulares em tornode P ), como se vê na figura abaixo:

Problema 6 - A resposta é: n - 2 é umdivisor de 2n quando n = 3, n = 4 ou n =6. ( A condição n > 2 no problema originalgarante ser n - 2 positivo. Sem essacondição existiriam as soluções n = 1, n =0 ou n = -2 ).

ReferênciasDANTE, L.R. Didática da resolução de problemas

de Matemática. São Paulo: Ática, 1989.PAIS, Luiz Carlos, ett. all. Educação Matemática

- uma introdução. São Paulo: EDUC, 2000.PÓLYA, G. O ensino por meios de problemas. RPM

- SBM,1985, 11-16.POZO, Juan Ignacio, organizador, A Solução de

Problemas - aprender a resolver, resolver paraaprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

USISKIN, Zalman. Seis problemas não triviaisequivalentes. RPM - SBM,1984, 28-34.

Oficinas

O uso de jogos matemáticosem sala de aula

Claudia Lisete Oliveira GroenwaldUrsula Tatiana Timm

1 - IntroduçãoUm dos objetivos de ensinar

matemática é desenvolver o raciocíniológico, estimular o pensamentoindependente, a criatividade. Sabemos queo atual ensino da matemática encontra-seafastado da realidade e da compreensão dosalunos e pensamos que, como educadoresmatemáticos, devemos procuraralternativas metodológicas para tornar aMatemática menos árida, mais agradável,que motive o aluno a querer aprender cadavez mais.

Nesta oficina será apresentada umaalternativa metodológica já conhecida pormuitos, que aumenta a compreensão dosconteúdos matemáticos, incentiva acriatividade e a descoberta na resolução deproblemas do dia-a-dia, que são os jogosmatemáticos.

2 - Mas o que é um jogomatemático?

Jogos matemáticos são atividadeslúdicas que, para serem desenvolvidas,necessitam conhecimentos lógico-matemáticos.

Os jogos devem apresentar variaçõespara os exercícios, pois perante a suaatividade o aluno se colocará em contatocom as estruturas matemáticas. Aabstração matemática, inerente nestadisciplina se apresenta no jogo de formaativa, permitindo compreender, analisar,sintetizar e abstrair.

O jogo, o brinquedo e a brincadeirasempre estiveram presentes na vida dohomem, dos mais remotos tempos até osdias de hoje, nas suas mais diversasmanifestações, sejam bélicas, religiosas,filosóficas ou educacionais.

Claudia Lisete Oliveira Groenwald - Drª em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca na Espanha, Especialista em Matemática e Licenciada

em Matemática. Professora da Universidade luterana do Brasil – ULBRA. E-mail: [email protected]

Ursula Tatiana Timm – Licenciada em Matemática pela ULBRA. E-mail: [email protected]



Jean Chateau (1985) já dizia que: nãose pode imaginar a criança sem seus riscose seus jogos. Supondo que subitamentenossas crianças cessassem de jogar; que ospátios de nossas escolas se tornassemsilenciosos, que nós não fossemos maisatraídos pelos gritos ou choros que vêm dojardim ou do pátio, não teríamos mais,perto de nós, esse mundo infantil que faznossa alegria e nosso tormento, masseríamos um povo triste, de pigmeusdesajeitados e silenciosos sem inteligênciae sem alma. Pigmeus que poderiam crescer,mas que guardariam por toda a existênciaa mentalidade de pigmeus, dos seresprimitivos; é pelo jogo que se tornamgrandes a alma e a inteligência. A criançaque não jogar é um “pequeno velho”, é umadulto que não saberá pensar.

Se tomarmos o jogo em sentidoamplo, podemos defini-lo como umdivertimento, uma recreação, umabrincadeira, um passatempo sujeito aregras, existindo dentro dos limites dotempo e do espaço. Todo o jogo tem uminício, um desenvolvimento e um fim e serealiza em um campo previamentedelimitado, exigindo, pois, no seu decorrer,uma ordem absoluta e plena para suarealização.

Jogar não é estudar nem trabalhar,mas jogando, o aluno aprende, sobretudo,a conhecer e compreender o mundo socialque o rodeia (Ortega, 1997). A melhorforma de conduzir a criança à atividade, aauto-expressão e à socialização é através dosjogos, pois a aprendizagem acontece deforma interessante e prazerosa. É esseraciocínio, de que os sujeitos aprendematravés dos jogos, que nos leva a utilizá-losem sala de aula.

Podemos concluir, então, que os jogossão educativos. Sendo assim, requerem umplano de ação que permita a aprendizagemde conceitos matemáticos e culturais, deuma maneira em geral. Devemos ocuparum horário dentro do nosso planejamento,de forma a permitir explorar todo o

potencial dos jogos, processos de solução,registros, discussões sobre possíveiscaminhos que podem surgir. Se optarmosem utilizar jogos em sala de aula, devemosfaze-lo planejadamente. Se o professor nãoaproveita aplicabilidade dos jogos, é melhorque não os utilize.

Ortega (1997) afirma que não é deinteresse fazer propostas de jogos que,finalmente, não sejam exercícios quepossibilitem a interpretação, escrita, ouqualquer outro tipo. A invenção do jogodeve, efetivamente, dar lugar a umaverdadeira atividade lúdica e portanto háde ser considerada pelos alunos como umasituação claramente distinta do trabalho.Nada mais claro para o aluno que saber quehá um espaço e um tempo para jogar.

Afirma também, que é importanteorganizar os materiais, o espaço e o tempode jogar, conforme quadro a seguir:

Os materiais:• Os jogos que representam objetos

reais da vida são os maisapropriados.

• Podem ser fabricados.

• É importante utilizar as sobras demateriais, se transformamadequadamente.

• A estética é importante.

O tempo:• O tempo do jogo deve ser flexível.

• A organização de um tempoimaginário de um jogo deve estarincluída no tempo real.

• As normas de comportamentodelimitam o tempo imaginário dojogo.

• O tempo do jogo não deve serrecompensa do trabalho rápido.

O espaço:• O ideal é ter na escola uma sala de


Os jogos podem ser utilizados paraintroduzir, para amadurecer conteúdos epreparar o aluno para dominar osconteúdos já trabalhados. Devem serpropostos de acordo com os níveis deconhecimento de cada turma.

Os professores devem usar os jogosnão apenas como um instrumentorecreativo na aprendizagem, mas sim comoum instrumento facilitador, colaborandopara serem trabalhados os bloqueios queos alunos apresentam em relação a algunsconteúdos matemáticos, desenvolvendo aautoconfiança, organização, atenção,concentração, linguagem, criatividade eraciocínio dedutivo. Utilizar jogos naeducação significa transportar para ocampo do ensino-aprendizagem condiçõespara maximizar a construção doconhecimento, introduzindo aspropriedades do lúdico, do prazer, dacapacidade de iniciação e ação ativa emotivadora.

Partindo do princípio que as criançaspensam de maneira diferente dos adultose de que o nosso objetivo não é ensiná-lasa jogar, o professor deve acompanhar amaneira como as crianças jogam, sendoum observador atento, interferindo paracolocar questões interessantes (semperturbar a dinâmica dos grupos) para, apartir disso, auxiliá-las a construir regras ea pensar de um modo que elas entendam.

Segundo Malba Tahan, 1968, “paraque os jogos produzam efeitos desejados é

preciso que sejam de certa forma, dirigidospelos educadores”. Cabe ao professororganizar o grupo a fim de que as criançasdiscutam até chegar a um consenso.

Sabemos que o aspecto competitivonos jogos contribui para o desenvolvimentoda criança, uma vez que exige destacolaboração, elaboração e cumprimento deregras, mas devemos cuidar para nãoenfatizar a palavra “vencedor”, pois ofracasso inibe, destrói o ânimo e oentusiasmo. Devemos lidar com a vitóriade forma natural, deixando claro queperder faz parte do jogo. Cabe ao professorpreparar o aluno, dando a ele a consciênciade que no jogo ele está se arriscando aganhar e a perder; e que vencer ou não épouco importante. Os alunos aceitam aidéia de perder um jogo à medida que forse acostumando com o uso deste materialem sala de aula.

Aspectos relevantes nosjogos:

• durante o jogo o professor conseguedetectar os alunos que estão comdificuldades reais.

• o aluno se empolga com o clima deaula diferente, o que faz com queaprenda sem perceber.

• o jogo evolui com a idade refletindocada momento a forma como acriança compreende o mundo.

• não existe o medo de errar, pois o erroé considerado um degrau necessáriopara se chegar a uma resposta correta.

• no jogo existe uma competição ondeos jogadores e adversários almejamvencer e para isso aperfeiçoam-se eultrapassam seus limites.

• durante o desenrolar de um jogo,observamos que a criança se tornamais crítica, alerta e confiante,expressando o que pensa, elaborandoperguntas e tirando conclusões sem

jogos, a qual podemos chamar ludoteca.

• O espaço deve ser decorado com aparticipação dos alunos.

• O cenário do jogo corresponde coma cena simulada.

• Certos elementos espaciais atuamde chaves que delimitam o cenáriolúdico.

Adaptado de Jugar y aprender, Ortega, 1997.


necessidade da interferência ouaprovação do professor.

Segundo García Hoz (1995), os jogosconvenientemente escolhidos e adaptadossão úteis para o desenvolvimento dopensamento matemático. Porém, devemospensar em jogos e em possíveismodificações dos mesmos para incentivara criatividade.

Moura (1991) afirma que o jogoaproxima-se da matemática viadesenvolvimento de habilidades deresolução de problemas, então, devemosescolher jogos que estimulem a resoluçãode problemas, principalmente quando oconteúdo a ser estudado for abstrato, difícile desvinculado da prática diária; não

esquecendo de respeitar as condições decada comunidade e o querer de cada aluno.Os jogos não devem ser nem muito fáceisnem muito difíceis e devem ser testadosantes da sua aplicação, afim de enriqueceras experiências através de propostas denovas atividades, propiciando mais de umasituação. Devemos sempre nos questionarse ele está sendo empregado com basesteóricas que garantam um ensino commaior embasamento científico.

Segundo os Parâmetros CurricularesNacionais, volume 3, não existe umcaminho único e melhor para o ensino damatemática. No entanto, conhecer diversaspossibilidades de trabalho em sala de aulaé fundamental para que o professorconstrua sua prática, destacando-se, entreelas, a resolução de problemas; a históriada matemática; o recurso dos jogos.

Material: tabuleiro e lista de situações-problema (a seguir), tampas de tubos depasta dental de cores diferentes que serãoutilizadas como peões e um dado.

Regras:1ª Cada participante, na sua vez, sorteia

um número no dado. Este númerodetermina quantas casas o jogador

COMECE

AQUI

1 12 23

1 1 13 22

2 914

21

3 8 15 20

4 7 16 19

5 6 17 18

28 31 40 43

29 30 41 42

2633 38

45

27 32 39 44

25 34 37 46

24 35 36 47

CHEGADA

0

11

9

2


deve avançar. Resolve, então, oproblema cujo número corresponde aessa casa.

2ª Mas, cada jogador só pode movimentaro peão para a casa sorteada se acertaro problema. Caso contrário,permanece no mesmo lugar e passa oproblema para o seguinte jogador.

3ª Se o jogador seguinte resolver oproblema, fica com os pontos dojogador anterior e ainda tem direito àsua jogada da vez. Mas caso eletambém não acerte, passa o problemaao jogador seguinte. E assim pordiante.

4ª Ganha o jogo quem primeiro alcançara Chegada.

Problemas das cartas:1 - Andréia tinha duas notas de R$100,00

para comprar cinco presentes.Comprou um jogo por R$29,85, duasbonecas por R$25,72 cada, umcarrinho por R$29,92 e um livro porR$27,23. Quanto Andréia gastou aotodo? Sobrou ou faltou dinheiro?Quanto?

2 - Num dia de chuva forte, faltaram 27do total de alunos da classe de Denis.Se essa classe tem, no total, 40 alunos,quantos compareceram nesse dia?

3 - Ivan é entregador de jornais e entregapor dia 132 exemplares. Sabendo quecada exemplar pesa em média0,285Kg, com quantos quilos dejornal ele sai no início da manhã?

4 - Gilda faz embalagens para presentes.Em cada embalagem ela gasta, emmédia, R$1,06 e venda cada uma delaspor R$1,84. Ao final de um mês elavendeu 3325 embalagens. Qual foi olucro de Gilda?

5 - Ontem pela manhã, uma roleta daestação de metrô Liberdade marcava

2 554 721. No final do dia, marcava 2559 457. Quantas pessoas passaramontem por essa roleta?

6 - A piscina onde Fausto pratica nataçãotem 12,5m de comprimento. Se elecruza a piscina 44 vezes, quantosmetros terá nadado?

7 - Milena faz curso de inglês, piano epintura. A mensalidade do curso deinglês é R$108,53, a de piano éR$101,85 e a de pintura, R$65,42.Quanto Milena gasta mensalmentecom esses cursos? E anualmente?

8 - No início do ano Rui gastou R$93,92com um uniforme, R$126,05 comlivros e R$95,72 com outros materiaisescolares. Qual o total da despesaescolar de Rui nesse início de ano?

9 - Quais os algarismos que estão faltandona conta abaixo?

9¤4

x 8

7¤3¤

10 - Diga os números naturais menoresque 50 e múltiplos de 13.

11 - Quantos anos tem uma pessoa quenasceu em 1929?

12 - Quais são os números primos entre10 e 20?

13 - Escreva os números naturais menoresque 40 e múltiplos de 8.

14 - Dê o nome de três quadriláteros.

15 - Qual o nome do ângulo menor queum ângulo reto?

16 - Leia em voz alta a forma ordinal donúmero 57.

17 - Escreva um número em o algarismo6 aparece com valor relativo 600.

18 - Escreva um número no qual o valorabsoluto do algarismo da dezena é odobro daquele da centena e que o


valor relativo do algarismo da centenaé maior que 200.

19 - Diga todos os divisores naturais de30.

20 - Quantos quilos têm cinco toneladas?

21 - Quantos gramas têm dois quilos?

22 - Diga três produtos habitualmentecomprados em litros.

23 - Diga três produtos habitualmentecomprados por dúzia.

24 - Quantos milímetros têm sete litros?

25 - Responda bem rápido: qual é oantecessor de 35500?

26 - Quantos minutos têm três horas?

27 - Sabendo que um babaçual de 600árvores gera, em média, 150 barris deóleo comestível por ano, quantosbarris serão produzidos por 100árvores de babaçu em um ano?

28 - O homem pisou na Lua pela primeiravez em 20/07/1969. Há quantos mesesisso aconteceu?

29 - Em uma campanha beneficente, ½dos 1200 alunos da escola de Virgíniacontribuiu com R$2,53 cada um. Aoutra metade contribuiu com 2,5Kgde alimentos cada um. Quanto foiarrecadado em dinheiro e emalimentos?

30 - Quantos centímetros existem em doisquilômetros?

31 - Sem repetir nenhum algarismo, digaqual é o menor número com setealgarismos.

32 - Sem repetir nenhum algarismo, digaqual é o maior número com setealgarismos.

33 - Numa caixa cabem, em média, 13dúzias de laranjas. Quantas laranjascabem em 32 dessas caixas?

34 - Qual o total de dezenas do número

3274?

35 - Qual é o nome do polígono que temoito lados?

36 - Hoje Laura tem 39 anos. Quantosanos Laura terá no próximo anobissexto?

37 - Uma fábrica produz 2670 pacotes debolacha por dia. Qual é a produçãomensal? (Obs.: Para cálculo deprodução mensal, usa-se média detrinta dias.)

38 - Joaquim vende 35 dúzias de ovos pordia. Quantos ovos ele vende porsemana?

39 - Escreva quatro mil em romanos.

40 - Um vídeo está programado para duashoras de gravação. Já se passaram 85minutos. Quantos minutos aindarestam?

41 - Considerando que o coração de umadulto bate em média 75 vezes porminuto, quantas batidas ele dará emdois dias?

42 - Se em um dia um adulto inspira emmédia 8640 litros de ar, quantos litrosde ar inspirará em uma semana?

43 - O esqueleto humano possui 206ossos. Quantos ossos há na cabeça, seno restante do esqueleto existem 177ossos?

44 - O cérebro humano possui em média25 bilhões de neurônios. De quantoszeros você precisa para escrever essenúmero?

45 - Em média, o corpo de um adultopossui 5 milhões de pêlos, sendo queaproximadamente 150mil no courocabeludo. Quantos pêlos estão norestante do corpo?

46 - Um tablete de chocolate tem prazode validade até o último dia desetembro do próximo ano. Porquantos dias ele ainda é bom para


consumo, a partir de hoje?

47 - Num supermercado são vendidoschocolates em tabletes de 30g.Quantos desses tabletes sãonecessários para perfazer 2,4Kg dechocolate?

4 - ConclusãoSe os jogos são convenientemente

preparados, tendo como “pano de fundo”os conceitos matemáticos, serão umrecurso pedagógico eficaz para aconstrução do conhecimento matemático.

Queremos estimular a cada um queobserve mais seu desempenho frente aosalunos e desenvolva sempre uma atitudede crença no ser humano, em suacapacidade espontânea e criativa,possibilitando-lhe condições de trabalhoatravés da ação, como também darincentivo para que surjam outras pesquisasnessa área, com a finalidade de formar umacervo informativo de maior consistência

para auxiliar àqueles que se propõem adesenvolver o uso de jogos em sala de aula.

ReferênciasBORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma

estratégia para as aulas de matemática. SãoPaulo: IME-USP, 1996.

CARAVILLE PÉGITO, José A. Apuntes deEducación. Naturaleza y Matemáticas.Madrid: Anaya, 41, Abril – Junho, 1991.

FERRERO, Luis .F. El juego y la matemática.Madrid: La Muralla, 1991.

GUZMÁN, Miguel de. Aventuras Matemáticas.Barcelona: Labor, 1986.

GUZMÁN, Miguel de. Cuentos con cuentas.Barcelona: Labor, 1984.

HOZ, Victor García. Enseñanza de lasmatemáticas en la educación secundaria.Mdrid: Rialp, 1995.

MOURA, M. A. de. A construção do signonumérico em situação de ensino. São Paulo:USP, 1991.

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL.Parâmetros Curriculares Nacionais:Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.


Oficinas

Utilização do cabri-géomètre IIem sala de aula

Ana BrunetMagda Leyser

1 - IntroduçãoNesta oficina faremos uso do

programa Cabri-Géomètre II, trata-se e umprograma que permite a simulação emGeometria Plana, para uso em Física eMatemática no Ensino Fundamental eMédio. Nesta oficina exploraremos asferramentas disponíveis neste sistemagráfico para construções geométricas quepermitam criar e explorar figurasgeométricas de forma interativa para oestudo do teorema da proporcionalidade esemelhança, culminando com o estudo deuma aplicação do Teorema de Tales.

O Cabri-Géomètre foi desenvolvidopor Jean Marie Laborde, no Laboratóriode Estruturas Discretas e de Didática doInstituto de Informática e MatemáticaAplicada de Grenoble, na UniversidadeJoseph Fourier de Grenoble, França. Aprimeira versão foi apresentada em 1988.O seu nome é inspirado nas seguintespalavras na língua francesa: Cahier de

brouillon interactif, que podemos traduzirpor “caderno de rascunho interativo”.

Como o nome sugere, a idéia é criarum ambiente no computador onde a telatorna-se uma folha de desenho capaz derepresentar qualquer construçãogeométrica, de modo a permitir ainvestigação e exploração das muitaspropriedades que surgem durante aconstrução geométrica. Uma dascaracterísticas desta ferramenta é adinâmica da construção poder serreapresentada, e a possibilidade dadeformação das figuras mantendo asrelações entre os objetos.

O representante oficial do Cabri noBrasil é o Departamento de Matemática –PUC - SP, e o site oficial do Cabri no Brasilé www.cabri.com.br. Entretanto no site daempresa Geração Byte(www.geracaobyte.com.br) também estão àdisposição algumas informações técnicase meios de aquisição do programa.

Ana Brunet é Professora do Departamento de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

Magda Leyser é Professora do Departamento de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.


Na figura abaixo temos representada uma figura com alguns objetos que podem sercriados no Cabri.

Na barra de ferramentas disponível noCabri, cada botão representa uma caixa deferramentas. Em cada caixa estãodisponíveis as ferramentas que serãousadas para as construções geométricas.Para escolher uma determinada

ferramenta, deve-se clicar sobre o botão daferramenta desejada e arrastar o mouse atéa opção desejada. Durante as atividadesindica-se o nome da caixa conforme figuraabaixo e a respectiva opção.


As atividades desenvolvidas nestaoficina versam sobre proporcionalidade,incluindo o teorema fundamental daproporcionalidade e o Teorema de Tales.Estas atividades são ilustrações de algunsresultados que podem ser formalizadosatravés de uma argumentação dedutiva.Normalmente, este conteúdo é estudadona oitava série do ensino fundamental.Desejamos auxiliar a exploração destestópicos através da observação dinâmica daspropriedades envolvidas.

2 - AtividadesAtividade 1:

1. Através da caixa de ferramentas retas,opção reta, clicar na área de desenhoum ponto, nomeá-lo de B peloteclado, deslocar o mouse edeterminar a reta de seu interesse,nomeá-la de t.

2. Pela caixa de ferramentas curvas,opção circunferência, com centro emB, selecione o ponto B e desloque omouse conforme seu desejo paradeterminar o raio da circunferência,com um clique determine acircunferência.

3. Através da caixa de ferramentasponto, opção ponto de intersecção,aponte para as interseções dacircunferência com a reta t, chame-asde A e C.

4. Usando a caixa de ferramentasdesenhar, opção mostrar e esconder,aponte para a circunferência, eesconda-a.

5. Usando a caixa de ferramentas reta, aopção reta, determinar uma reta quepassa por B, chame-a de s.

6. Através da caixa de ferramentasconstruir, opção reta paralela,determinar a reta paralela a s que

passa pelo ponto C, chame-a de r.Repita este procedimento para a retaque passa pelo ponto A, e chame a retade u.

7. Usando a caixa de ferramentas reta, aopção segmentos, iremos marcar ossegmentos AB e BC. Para conseguirselecionar a opção segmentos, depoisde abrir o menu, deve-se manterpressionado a tecla da esquerda domouse e arrastar o mouse até a opçãosegmento. Automaticamente, a barraaltera o botão. Agora é selecionar asextremidades dos segmentos.

8. Usando a caixa de ferramentas medir,opção distância e comprimento,determinar as medidas dos segmentosmarcados no item 1. Ao direcionar oponteiro do mouse para o segmento,automaticamente abre-se uma caixade texto contendo a medida dosegmento. Neste momento vocêpoderá editar a caixa de texto enomear o segmento.

9. Inserir na área de desenho uma tabela(planilha). Usando a caixa deferramentas medir, planilha, desloqueo ponteiro do mouse até a área dedesenho e clique. Automaticamenteirá aparecer uma tabela (planilha).Para incluir as medidas dossegmentos na planilha, aponte para amedida do segmento até aparecer amensagem tabular este valor. Caso issonão ocorra, clique na barra deferramentas na ferramenta planilha evolte a apontar a medida dosegmento. Caso não tenha informadoo nome do segmento, a primeira linhada planilha ficará em branco.

10. Usando a caixa de ferramentasverificar propriedade, opçãoeqüidistante, verifique se o ponto B éeqüidistante de A e C. Para tanto,após selecionar a ferramenta,selecione o ponto B, depois selecione


os pontos A e C. Clique em qualquerregião da área de desenho.

11. Usando a caixa de ferramentas reta,opção reta, crie uma nova retatransversal as retas s, r e u. Chame-ade t1.

12. Marque os pontos de interseção dareta t1 com as retas s, r e u, chamando-os de D, E e F. Use a caixa deferramentas ponto, opção pontos deinterseção. Para marcar os pontos deinterseção selecione os objetos quedeterminam a interseção, ouaproxime o ponteiro do mouse doponto de intersecção. Logo após oponto de interseção ser marcado jápodes digitar pelo teclado a suaidentificação.

13. Usando a caixa de ferramenta retas,opção segmentos, crie os segmentosDE e EF, determine a medida destessegmentos pela caixa de ferramentasmedir. Nomeie as medidas.

14. Inclua as medidas dos segmentos DEe EF na tabela, selecione a ferramentaplanilha, aponte para a medida a serincluída na tabela e quando aparecera mensagem Tabular este valor, clique.Observe que você verá a inclusão danova medida na próxima coluna databela. Entretanto às vezes, faz-senecessário redimensionar a tabela,para isso basta arrastar o canto direitoinferior da tabela.

15. Verifique se E é um pontoeqüidistante dos pontos D e F, usandoa caixa de ferramentas verificarpropriedade a opção eqüidistante.

16. Usando a ferramenta ponteiro, arrastea reta t1, se desejar incluir na tabelaos valores, deve-se selecionar a tabelae pressionar a tecla tab enquantoarrasta a reta t1.

17. Como fazer a animação da transversalcom a tabela? Use a caixa de

ferramentas exibir, opção animação ,selecione a tabela e a transversal. Paraverificar a propriedade para outrastransversais, observe a medida dossegmentos DE e EF durante aanimação.

Atividade 2:1. Na caixa de ferramentas reta, opção

segmento, definir um segmento naárea de desenho, chame-o de OO’;.

2. Na caixa de ferramentas reta, construauma reta, chame-a de t. O ponto quedetermina a reta chame-o de C.

3. Na caixa de ferramenta construir,opção compasso, selecionar os pontosO e O’; e depois o ponto C.

4. Na caixa de ferramenta pontos, opçãopontos de intersecção, chamar de B eD os pontos de intersecção da retacom a circunferência.

5. Repita as etapas 3 e 4 para centro emB, o novo ponto chame-o de A. E paracentro em D, o novo ponto chame-ode E.

6. Salve esta etapa da construção. Nabarra de menu escolha a opçãoarquivo, salvar, no disco rígido, napasta alunos, nome do arquivo,atividade2.

7. Na caixa de ferramentas retas, opçãoretas, criar uma reta passando peloponto A. Nomeia-a de s1.

8. Na caixa de ferramentas construir,opção reta paralela, construir uma retapassando por B e paralela a s1, chame-a de s2. Usando a mesma estratégia,construir uma reta s3 passando porC, s4 passando por D e s5 passandopor E, todas paralelas a s1.

9. Mover um dos extremos do segmentoOO’; e observar o que ocorre com aconstrução.

10. Criar uma reta transversal t’ a s1, s2,


s3, s4 e s5. Caixa de ferramentas reta.

11. Caixa de ferramentas ponto, opçãoponto de interseção, marcar os pontosde interseção entre s1 e t’, s2 e t’, s3 et’, s4 e t’, s5 e t’, respectivamente, A’,B’, C’, D’ e E’.

12. Pela caixa de ferramenta retas, opçãosegmento, definir os segmentos, A’B’,B’C’, C’D’, D’E’, AB, BC, CD e DE.

13. Pela caixa de ferramenta medir, opçãodistância e comprimento, verificar adistância dos segmentos do itemanterior.

14. Pela caixa de ferramenta exibir, opçãoanimação, solicitar animação damedida do segmento OO’;.

15. Pela caixa de ferramenta exibir, opçãoanimação, solicitar animação natransversal t1.

Conclusão: Se 3 ou mais retas paralelasdeterminam segmentos congruentesem uma transversal, entãodeterminam segmentos congruentesem qualquer outra transversal.

Desafio: Como dividir um segmento em3 partes iguais, 4 partes iguais, ... , npartes iguais?

Atividade 3:Teorema fundamental da

proporcionalidade. Se uma reta paralela aum dos lados de um triângulo corta osoutros dois lados, então ela os divide namesma razão.1. Na caixa de ferramentas retas,

escolher a opção triângulo. Cliquesobre a área de desenho a posição doprimeiro vértice, denomine-o de A,clique a posição do segundo vértice,denomine-o de B, clique a posição doterceiro vértice denomine-o de C.Automaticamente fecha-se otriângulo.

2. Na caixa de ferramenta retas, opçãosegmento, definir o segmento AB.

3. Usando a caixa de ferramentas ponto,opção ponto sobre objeto, marque umponto do segmento AB, denomine-ode D.

4. Usando a caixa de ferramentasconstruir, opção reta paralela,determine a reta que passa por Dsendo paralela ao segmento BC.Denominada de reta s.

5. Usando a caixa de ferramentas ponto,opção ponto de interseção, marqueum ponto do segmento AC,interseção com a reta s denomine-ode E.

6. Na caixa de ferramentas retas, opçãosegmento, defina os segmentos AD,DB, AE e EC.

7. Através da caixa de ferramentasmedir, opção distância ecomprimento, determine a medidados segmentos do item anterior. Éinteressante que durante a execuçãodesta etapa edite o nome dosegmento.

8. Usando a caixa de ferramentas medir,opção calculadora, aponte para amedida do segmento AD até aparecera mensagem “este número” e cliquepara copiá-la na calculadora, selecionena calculadora o botão de divisão,copie a medida do segmento BD eselecione na calculadora o botão de=. Arraste a área de edição doresultado da calculadora para a áreade desenho, o resultado da operaçãoaparecerá na área de desenho. Editeo resultado digitando AD/DB= , usea ferramenta exibir, opção comentário.

9. Repita o item anterior para definir oquociente entre as medidas dossegmentos AE e EC.

10. Usando a caixa de ferramentas medir,opção planilha, crie uma tabela na áreade desenho com duas colunas.Aponte para o quociente de AD/DB


para tabular na primeira coluna, e oquociente de AE/EC para tabular nasegunda coluna.

11. Mova um dos vértices para observar arazão, através da ferramenta ponteiro.Se desejar incluir os dados na tabela,selecione a tabela e enquanto moveum dos vértices mantenhapressionada a tecla tab do teclado.

12. Usando a caixa de ferramentas exibir,a opção animação, selecione a tabela,e arraste um dos vértices do triângulo.

13. Apague o conteúdo da tabela.Selecione a coluna, e use a tecla deletedo teclado.

14. Repita o item 10.

15. Usando a caixa de ferramentas exibir,opção animação, selecione a tabela, earraste o ponto D.

Atividade 4:Se uma reta corta dois lados de um

triângulo dividindo-os na mesma razão,então ela é paralela ao terceiro lado.1. Na caixa de ferramentas retas, opção

triângulo, crie um triângulo devértices A, B e C.

2. Na caixa de ferramentas construir,opção ponto médio, determine ospontos médios dos lados AB, chame-o de D, e lado AC, chame-o de E.

3. Determine a reta que passa pelospontos D e E, chame-a de s.

4. Na caixa de ferramentas medir,comprimento e distância, determinea medida dos segmentos AD, BD, AEe EC.

5. Usando a calculadora determine asrazões AB/BD e AE/EC. Use a caixade ferramentas medir, opçãocalculadora. Transfira para a área dedesenho e nomeie essas razões.

6. Na caixa de ferramentas verificarpropriedades, opção paralelo, aponte

para a reta s e o lado BC.Automaticamente aparecerá umretângulo pontilhado, selecionequalquer área de desenho para exibiro texto onde confirmará ou não apropriedade.

7. Repita o mesmo procedimento apartir do item 2 para o ponto médiodo segmento AD e segmento AE.

8. Verifique se a propriedade se mantém.

Atividade 5:As medianas de um triângulo são

concorrentes em um ponto que dista decada vértice 2/3 da distância deste vérticeao ponto médio do lado oposto.1. Na caixa de ferramentas retas, opção

triângulo, definir na área de desenhoum triângulo ABC.

2. Na caixa de ferramentas construir,opção ponto médio, definir os pontosmédios dos segmentos AB, BC e CA,respectivamente, M3, M1 e M2.

3. Na caixa de ferramentas retas, opçãosegmento, determinar o segmentodefinido pelos pontos A e M1.

4. Na caixa de ferramentas retas, opçãosegmento, determinar o segmento Be M2.

5. Na caixa de ferramentas retas, opçãosegmento, determinar o segmento Ce M3.

6. Na caixa de ferramentas ponto, opçãoponto de interseção, determinar P oponto de interseção dos segmentos doitem anterior.

7. Usando a caixa de ferramentas medir,opção comprimento e distância,medir os segmentos AM1 e AP, ossegmentos BM2 e BP, os segmentosCM3 e CP.

8. Usando a caixa de ferramentas medir,opção calculadora, determinar osquocientes AP/AM1, BP/BM2 e CP/


CM3. Durante a execução destescálculos transfira estas informaçõespara a área de desenho, arrastando oresultado, e editando através da opçãocomentário da caixa de ferramentasexibir .

9. Movimente os vértices para observaro que acontece com os quocientes.Anote comentários.

Observação: Sugere-se usar osresultados das atividades anteriores parajustificar, através da teoria, o resultadoobservado nesta atividade.

Atividade 6:Teorema de Tales. Usando como

referência as atividades anteriores, sugere-se como exercício a construção dessaatividade.

Se duas retas são transversais a umconjunto de retas paralelas, então a razãoentre dois segmentos quaisquer de umadelas é igual a razão entre os comprimentosdos segmentos correspondentes da outra.

Atividade 7:Usando o Teorema de Tales para

construir o ponto de coordenada (a, 1/a)em um eixo coordenado, sendo a umnúmero real qualquer.1. Seja x uma reta. Caixa de ferramentas

retas, opção reta.

2. Sobre x marque dois pontos e nomeio-os de 0 e 1. Caixa de ferramentasponto, ponto sobre objeto.

3. Sobre x marque um terceiro ponto echame-o de a.

4. Construa a reta perpendicular a x que

passe por 0. Use a caixa deferramentas construir, opção retaperpendicular. Esta retaperpendicular, chame-a de t.

5. Na reta t, a partir de 0, marque amesma distância de 0 a 1 da reta x.Nomeie este ponto, também, de 1.

6. Definir a reta que passa por a em x e 1em t, chame-a de reta s.

7. Definir a reta paralela a s que passapelo ponto 1 da reta x, nomeia-a dereta r.

8. Determinar o ponto de interseção der com t, este ponto denomine-o de y.

9. Por Tales tem-se que 1/a =y/1.

10. Usando as ferramentas retas einterseção de objetos, marque o ponto(a, 1/a). Usando a caixa de ferramentaexibir, a opção rastro on/of, marque orastro do ponto (a, 1/a). Movimente ano eixo x.

3 - ReferênciasCabri-Géométre II Guia de Utilização para o

Windows. Texas Instruments. Disponível emhttp://www.cabri.com.br (verificado em22/11/2001).

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ,Maria Lúcia Bontorim. Geometria euclidianaplana e construções geométricas. Campinas:Unicamp. 2000.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; RODRIGUES,Cludina Izepe. Cabri-géomètre e a geometriaplana. Campinas: Unicamp. 1999.


Oficinas

Uma viagem com o Cabri-Géomètre II

José Carlos Pinto Leivas

1 - IntroduçãoO software Cabri-Géomètre II tem

sido utilizado para resolver muitosproblemas, sendo uma das maiscompetentes ferramentas computacionaispara o ensino de geometria nas maisdiversas facetas tais como: GeometriaPlana, Geometria Espacial, Trigonometriae Geometria Analítica.

A oficina proporcionará atividadesque, ao mesmo tempo que percorrem omenu, proporcionam redescobertas de

· José Carlos Pinto Leivas é Mestre em Matemática e Professor da Fundação Universidade Federal do Rio Grande.

conceitos geométricos. Iniciaremos otrabalho motivando com o seguinteproblema real.

Problema:No interior da localidade de São José

do Norte houve a necessidade de resolverum problema de partilha de terra entre trêsherdeiros. A região a ser divididaapresentava nos fundos um mato nativo dedifícil acesso para


demarcação, devendo ser aberta umapicada para tal. A parte frontal medindo160 m tem fronteira com uma estrada. Umadas fronteiras laterais mede 860 m e a outramede 800m. O que é possível é obter umamedida aproximada de 150m.

2 - Atividades2.1 Explorando coordenadas

• Se você está com o softwaredisponibilizado entre em novo.

• Selecione a ferramenta mostrar eixos.

• Selecione a ferramenta triângulo nacaixa de ferramentas e construa deacordo com o problema.

• Desenhe o seu triângulo.

• Dê uma denominação para cadavértice.

• Procure a ferramenta equação ecoordenadas na caixa de ferramentasmedir. Mova o cursor até cada vértice eaparecer a mensagem coordenadas desteponto. Clique uma vez e as coordenadasserão registradas. Se o posicionamento dascoordenadas não for satisfatório,reposicione-as. Não esqueça de voltar aoponteiro.

• Selecione na caixa de ferramentasárea, movimente o cursor até aparecer estetriângulo e faça a medição da área.

2.2 Explorando o triângulo• Mova o triângulo para cada um dos

quadrantes, observando as coordenadas ea área (completando a tabela abaixo).

• O que aconteceu com ascoordenadas dos vértices do triângulo?

• O que aconteceu com a área dotriângulo em cada posição?

• Retorne o triângulo ao primeiroquadrante.

• Selecione a ferramenta giro na caixade ferramentas ponteiros até aparecereste triângulo. Arraste o triângulonum movimento circular.

• Descreva o que acontece com omesmo.

• Complete outras linhas da tabela.

posição Coordenadas de A Coordenadas de B Coordenadas de C Áreas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

• Novamente com a ferramenta giromovimente o + até aparecer esteponto. Clique sobre ele de modo quefique piscando. Mova o cursor emdireção ao triângulo até aparecer amensagem este triângulo, arrastando-o. O que você observa?

• Os movimentos que você fez com aferramenta giro, em geometriarecebem o nome de_________________ e os dois tiposde _________________ sãorealizados em torno de________________ ou de____________________ .


2.3 Explorando a semelhança• Selecione a ferramenta semelhança na

caixa ponteiro.

• Clique sobre este triângulo.

• Arraste o triângulo, com o cuidadode que o ponto ainda estejapiscando.¨Se a origem ( um ponto )ainda estiver selecionada, o triângulose dilata.

• Desselecione a origem.

• Crie o triângulo semelhante.

• Descreva o que aconteceu

• Selecione a ferramenta simetria axialna caixa transformar.

• Marque um ponto A no primeiroquadrante, um ponto B´ no segundoquadrante, um ponto C´´ no terceiroquadrante e um ponto D´´´ no quartoquadrante.

• Desejando obter o simétrico de cadaponto em relação ao eixo dos y, movao lápis até aparecer a mensagemsimétrico deste ponto. Clique umavez. Mova o lápis até o eixo dos y atéaparecer a mensagem em relação aeste ponto.

• Nomeie os pontos e adicione ascoordenadas dos mesmos.

• Complete a tabela abaixo e faça suasconclusões.

ponto quadrante coordenadas

• Crie um triângulo no primeiroquadrante e seus simétricos nosquatro quadrantes. O que vocêconstata?

• Usando a ferramenta ponteiro tentearrastar o segundo triângulo. Descrevao que acontece.

• Arraste o primeiro triângulo e descrevao que aconteceu. Qual a conclusão aque você chega?

• O que você fez até aqui foi obter umtriângulo____________________ aoprimeiro através de umatransformação geométricachamada_____________________

Retome o ponto e o triângulo doprimeiro quadrante. Você conseguiria obteros seus simétricos no terceiro quadrantecom uma única simetria? Como?

Sugestão: explore a ferramentatransformar (a sexta)

Retome um triângulo qualquer noprimeiro quadrante, incluindo medidas.• Selecione a ferramenta simetria

central.

• Aponte e clique no triângulo doprimeiro quadrante até aparecer amensagem criar simétrico destetriângulo. Arraste até a origem eclique quando aparecer em relação a


este objeto.

• Descreva o que aconteceu. Comparecom os casos anteriores salientandoanalogias e diferenças.

• Resumindo Simetria é__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

• Os dois tipos de simetrias vistos são_______________ e _____________.

• Por simetria obtemos dois objetos_________________________________.

2.4 trabalhando compolígonos

• Inicie um novo documento e o salvecom seu nome.

• Crie eixos coordenados .

• Selecione a ferramenta polígono econstrua um qualquer de quatroslados localizado no primeiroquadrante.

• Selecione vetor segundo o qual vocêirá deslocar o seu quadrilátero.Denote-o por v.

• Usando a ferramenta translaçãoobtenha o polígono transladado.Atribua letras a cada um deles.Obtenha mais dois polígonostransladados. Pinte cada um deles decor diferente

• O que você observa quanto ao novopolígono? Desenhe-os no espaçoabaixo.

• Arraste a extremidade (e a origem) dovetor. Descreva o que acontece com opolígono.

• Usando ponteiro, arraste o polígonooriginal. Descreva o que acontece como polígono transladado.

• Deforme o polígono arrastando umde seus vértices. Compare com opolígono transladado.

• Em que posições você colocou o vetor

– ligado a origem;

– ligado a algum vértice do polígono;

– sendo um dos lados do polígono;

– analise os diversos casos e os compare.

• Tente fazer os polígonos coincidirem.O que observas quanto aos lados dospolígonos? E quantos aos ângulosinternos?


ConclusãoTranslação é um tipo de movimento

que _____________________________________________________________________________________________.

Antes trabalhamos com rotação detriângulos e isto foi feito através de__________ e ______________________

Pretendemos trabalhar com rotaçãoatravés de um determinado ângulo.

Delete toda a sua figura construída noitem acima. Descreva o procedimentoutilizado.

• Construa um polígono de 4 lados daforma que desejar, no primeiroquadrante, preencha-o com uma cor,e o represente no papel.

• Na ferramenta edição numérica digiteum valor de ângulo que servirá parafazer a rotação. Qual é a unidade quevocê usará?

Sugestão: pressione a tecla ctrl+u.• Selecione a ferramenta rotação e mova

o lápis na direção do polígono atéaparecer a mensagem rotacionar estepolígono. Clique para selecionar opolígono.

• Mova o lápis na direção do ponto deorigem até aparecer a mensagem aoredor deste ponto. Clique paraselecionar o ponto. Mova o lápis em

direção ao valor de 30º até que apareçaa mensagem utilizando este ângulo.Clique para selecionar o valor. Pinte onovo polígono com outra cor.

Altere o ângulo de rotação.• Vá em selecionar. Um cursor pulsante

aparece.

• Use as setas direita, esquerda, acima eabaixo para alterar os dígitosenquanto observa a variação dasfiguras rotacionadas.

• Utilize uma cor diferente para cadapolígono criado.

• Descreva o que observa.

• Quando é que os polígonos voltam acoincidir?

Altere o ponto de rotação para váriasposições. Relate o que acontece.

Macro construções são aquelasconstruções que o usuário pode fazer e queirá utilizar freqüentemente.• Vamos construir um quadrado, que é

uma das figuras bastante utilizadas eque não constam de nossasferramentas. Procure lembrar comoconstruir um quadrado a partir doconhecimento de uma diagonal, porexemplo.

• Construa um segmento AC que seráuma das diagonais do quadrado.¨Denomine o ponto médio de AC porP. O que será P?

• Descreva o passo seguinte__________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

• Construa uma circunferência decentro P e passando por A ou B.

• Descreva os passos seguintes

a)_________________________________________________________

b)__________________________________________________________

c)__________________________________________________________

d)__________________________________________________________


• Selecione os objetos iniciais da suamacro construção na ferramentaadequada. Descreva o que acontece.

• Selecione os objetos finais e descrevao que acontece.

• Defina Macro na caixa de ferramentase dê-lhe um nome. Faça o seu registro.Se o desejar grave em um arquivo.

2.5 Trabalhando com sólidosde revolução

• Construa uma circunferência C .

• Anexe um segmento com origem em

um ponto A C e extremidade numponto B fora de C.

• Dê uma cor diferente ao segmentoAB.

• Vá na ferramenta lugar geométrico eclique sobre o ponto A.

• Descreva o que obteve. Faça umdesenho.

• Vá na ferramenta animação e coloqueuma mola sobre A, sobre B, sobre C esobre o centro de C. Coloque o molaem várias direções. Discuta com seucolega o que ocorre. Descreva o quevocê obteve.

2.6 explorando inclinação deretas

• Com a ferramenta eixos coordenadosativa, marque um ponto A qualquerno primeiro quadrante

• Obtenha a reta contendo o ponto A ea denote por r.

• Na ferramenta medir, clique eminclinação. Coloque no comentário:coeficiente angular.

• Marque o ângulo ABC que a reta rforma com o sentido positivo do eixodos x. Descreva o procedimento e façao registro abaixo.


coeficiente angular Ângulo equação

• Obtenha a medida deste ângulo ecomplete as duas primeiras colunasda primeira linha da tabela abaixo.Aproveite para elaborar uma tabela noseu caderno iterativo.

• Entre na ferramenta equação ecoordenadas para obter a equação dareta. Coloque um rótulo na terceiracoluna: equação. Movimentelentamente a reta e vá anotando osvalores nas linhas seguintes.

• Anime sua tabela e estabeleça umarelação entre o valor do ângulo, o docoeficiente angular e a equação dareta. Anote abaixo suas conclusões.

2.7 Explorando trigonometria• Selecione mostrar eixos

• Construir uma circunferência decentro na origem.

• Marcar um segmento OP sobre o eixohorizontal, um segmento PMperpendicular a OP, sendo M umponto da circunferência.

• Por M conduza uma paralela a OP,encontrando o eixo vertical em Q.Marque o segmento OQ.

• Construa os triângulos OPM E OQM,preenchendo-os com cores diferentes.

• Dê aspectos e cores diferentes aossegmentos OP E OQ.

• Anime o ponto M. Descreva o queacontece.

• Explore ao máximo.

3 - Retornando aoproblema motivador

Existem elementos suficientes pararesolver o problema motivador? Como vocêo resolveria? Descreva sua solução.

ReferênciasCabri-Géomètre II - Manual . Texas

Instruments Incorporated. 1997.CATUNDA, Omar e outros. As transformações

geométricas e o ensino da geometria. Salvador:Editora da Universidade Federal da Bahia.1990.

DINIZ, Maria I. S.V. e Smole, Kátia C.S. Oconceito de ângulo e o ensino de geometria. SP:Editora da USP.1993.

DOWS, Moise. Geometria moderna.(parte I). SP:Edgard Blucher. 1971.

LIMA, Elon Lages. Áreas e volumes. RJ: AoLivroTécnico. 1973.

LIMA, Elon Lages. Isometrias. RJ: SociedadeBrasileira de Matemática. 1973.

MACHADO, Nilson José. Atividades degeometria. São Paulo: Atual. 1996.

Oficinas

Internet e Softwares Gratuitoscomo Recurso no ensino da

Matemática

Carmen Kaiber da Silva·Cristiano Pereira da Conceição


1 - IntroduçãoA educação de um indivíduo vista

como um processo contínuo deconstrução de conhecimentos e valores,apresenta-se através da leitura eintervenção que o mesmo realiza nomundo que o cerca. Nesse sentido aeducação deve possibilitar a todos uma totalinserção social e uso pleno dos seusdireitos. Os professores de Matemática nãopodem se furtar de contribuir para acompleta formação do cidadão e aí estáincluída sua formação na área tecnológica.

Na visão de Borba (2001) a educação,em sua concepção mais ampla, deve estarsubordinada à noção de cidadania e édentro desse contexto que a informática naeducação deve ser compreendida. Segundoo autor,

“O acesso à informática deve ser visto comoum direito e, portanto, nas escolas públicase particulares o estudante deve poder usufruirde uma educação que no momento atualinclua, no mínimo, uma alfabetizaçãotecnológica” (Borba, 2001 p.16).

É consenso que uma educação queconte com os recursos da tecnologia é umdireito dos alunos e é responsabilidade dosenvolvidos no processo educativo garantiresse direito. Aí reside o primeiro grandedesafio: impedir que o computador e ainternet que revolucionam o mundoproduzam, em termos educacionais,benefícios apenas para uma minoria,criando condições para que as diferençasse acentuem cada vez mais.

A inclusão digital deve ser objeto depreocupação de governos, empresas,organizações não-governamentais e

Carmen Kaiber da Silva - Doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca, Espanha; professora titular no Departamento

de Matemática e no Laboratório de Matemática da Universidade Luterana do Brasil – ULBRA. E-mail: [email protected]

Cristiano Pereira da Conceição - Acadêmico do curso de Matemática da ULBRA, bolsista de Iniciação Científica ULBRA. E-mail: cristiano-

[email protected] .


organizações internacionais com a adoçãode políticas e alocação de recursos quepermitam ampliar ao máximo o acesso acomputadores e a rede, tendo comoobjetivo o acesso a todos. Especificamentereferindo-se a área educacional, estaquestão deve se constituir em preocupaçãodas Universidades, das sociedades deeducadores, escolas, professores, pais ealunos que devem buscar a integração datecnologia nas atividades letivas, em todosos níveis, de maneira a proporcionar nãosó o acesso à tecnologia, mas também queesse acesso potencialize as aprendizagense possibilite a criação e organização denovas formas de pensar e agir no sentidoda construção de uma sociedade mais justae igualitária.

Além da questão do acesso, o outrogrande desafio que os educadoresenfrentam atualmente, é o da utilização dasnovas tecnologias de forma criativa einovadora, de maneira que possam auxiliare potencializar as aprendizagens escolares.Especificamente falando-se da EducaçãoMatemática, a utilização da tecnologiadeve proporcionar aos alunos verdadeirase significativas aprendizagens matemáticas,como também, influenciar e alterar a formade ver, utilizar e produzir matemática.

Durante muito tempo a utilização datecnologia (calculadoras, computadores eoutras mídias) foi muito criticada emfunção dos perigos que sua utilizaçãopoderia trazer aos estudantes. Ponderava-se que os alunos passariam a apertar teclase obedecer a máquina, o que contribuiriapara torná-lo cada vez mais um repetidorde tarefas.

Esse pensamento era defendido (eainda é) especialmente por quemacreditava (e acredita) ser a Matemática umcorpo de verdades exclusivamenteacessíveis através de uma linguagemabstrata e simbólica e segundo Borba(2001, p.11)

“Em especial para aqueles que concebem amatemática como a matriz do pensamento

lógico. Nesse sentido, se o raciocíniomatemático passa a ser realizado pelocomputador , o aluno não precisaráraciocinar mais e deixará de desenvolver suainteligência.”

Por outro lado, segundo o mesmoautor, há argumentos que apontam ocomputador como a solução para osproblemas educacionais, mas consideraque há espaço para outros posicionamentose defende a idéia de que a relação entre ainformática e a Educação Matemática deveser pensada como transformação da práticaeducativa, e avalia :

“Parece-nos mais relevante analisar o novocenário educacional que se constitui a partirda entrada desse “novo ator”, a tecnologiainformática. Aqui, interessa-nos aspossibilidades e dificuldades que seapresentam, sem comparar se são melhores oupiores do que aquelas nas quais essa tecnologianão é utilizada.”

Nesse contexto a discussão em tornoda utilização da tecnologia no processo deensino e aprendizagem da matemáticaabrange, também, questões relativas anecessidade, opções e vantagens dautilização de recursos computacionais nocurrículo de Matemática, bem como naproposta de atividades que insiram estasmídias aos conteúdos de formapotencialmente criativa e passem a integraro fazer pedagógico dos professores.

Mendes (1995) aponta algunsaspectos significativos que o emprego dosrecursos oferecidos pela informática noprocesso educativo podem alcançar:• os computadores podem auxiliar o

aluno a executar e elaborar tarefas deacordo com seu nível de interesse edesenvolvimento intelectual;

• jogos e linguagens podem auxiliar noaprendizado de conceitos abstratos;

• o recurso pode organizar e metodizaro trabalho, gerando uma melhorqualidade de rendimento;

• destaca o elemento afetivo, já que o


aspecto motivacional é inerente àrelação do aluno com omicrocomputador.

• Para obtenção dos benefícios acimadescritos, Niquini (1996) identificouo uso da informática em três ramosbásicos:

• utilização de programas (softwares)educacionais, como instrumento deensino ligado a uma matériaespecífica, através de produtoelaborado com este fim;

• utilização de softwares para fixação deconteúdos, constituindo-se em umaalternativa lúdica às formastradicionais e insípidas de ensinar;

• sistematização de pesquisa,funcionando como livro didáticoeletrônico (dicionários eenciclopédias).

Dos ramos básicos apontados pelaautora, o que se refere a utilização desoftwares educacionais em situações deensino e aprendizagem é, em relação aMatemática, bastante promissor. O ensinoda Matemática se utiliza fortemente deilustrações gráficas e é inegável aimportância das imagens na intuiçãomatemática. A geometria e todaMatemática que usa representações gráficassão as áreas mais privilegiadas com autilização de tais mídias.

Em relação a utilização de recursos dainformática nas aulas de Matemática, umaspecto que pode ser bastante explorado éo trabalho com softwares gratuitos. Estãoa disposição, na internet, uma série desoftwares como Graphmatica, Poly, Réguae Compasso, Modellus, Tangram, Euklidentre outros, que podem ser incorporadosao currículo de Matemática sem nenhumcusto, ou com custo muito baixo. Essessoftwares, de modo geral, apresentamcaracterísticas como interatividade,exatidão de figuras, aspecto estéticoagradável e uma certa facilidade de uso que

são fatores positivos para sua utilização.Nesse sentido está sendo desenvolvido

o projeto “A informática como recurso noensino da Matemática” que tem como metaa análise de softwares educativos,enfatizando os programas gratuitos, de livredistribuição e alguns recursos da internet,buscando a inserção dos mesmos nocontexto da sala de aula, através daelaboração de atividades ligadas aconteúdos específicos. O trabalho permitiua organização da oficina “Internet esoftwares gratuitos como recurso no ensinoda Matemática” que passa a serapresentada a seguir.

2 - Desenvolvimento daoficina

A oficina “Internet e softwaresgratuitos como recurso no ensino daMatemática” tem como meta trabalharaspectos da utilização de softwaresgratuitos e da internet, inseridos nocontexto da sala de aula objetivandocontribuir de forma positiva no processode ensino e aprendizagem da Matemática.O trabalho desenvolvido na oficina visa,também, levantar a discussão sobre anecessidade, opções e vantagens dautilização de recursos computacionais nocurrículo de Matemática, propondoatividades que insiram estas ferramentasaos conteúdos de forma potencialmentecriativa e passem a integrar o fazerpedagógico dos professores.

A opção por explorar softwaresgratuitos e páginas da Web justifica-se pelafacilidade de acesso à rede, o que possibilitao professor usar um ambienteinformatizado favorável a Matemáticaindependente da aquisição de softwares,como também, pelo fato de que o materialdisponível (sites e softwares) é de boaqualidade.

A oficina está organizadaconsiderando os seguintes aspectos :


• apresentação dos softwares e discussãosobre suas potencialidades e inserçãonas aulas de Matemática;

• realização de atividades previamenteelaboradas explorando conteúdosespecíficos de Matemática, utilizandoos programas;

• apresentação de sites de Matemáticacom discussão sobre possibilidades deutilização.

A seguir são apresentados os softwaresPoly, Tangram, Graphmatica, Euklid e asatividades elaboradas utilizando osmesmos, bem como sites de interesse paraprofessores e alunos de Matemática.

PolyO software Poly é um programa

shareware1, desenvolvido pela PedagoguerySoftware Inc. e trata sobre poliedros. Ossólidos podem ser vistos em perspectiva,ocos ou compactos, só com arestas evértices, planificados ou no modo grafo.Em todos os modos de visualização, podeser animado, reduzido ou aumentado,sendo que as figuras podem ser exportadaspara outros programas. Os diversos modosde visualização possibilitam um trabalhoenriquecedor com os poliedros, quepodem ser classificados e relacionados,permitindo a elaboração de inúmerasatividades de investigação.

INTERFACE DO PROGRAMA

1

Shareware: software oferecido gratuitamente para ser experimentado pelo usuário. Em muitos casos esses demos tem as funções reduzidas em relação

à versão registrada. Ao término do período de experiência (quase sempre 30 dias), o usuário deve enviar uma soma (geralmente muito baixa) ao autor

do programa para poder continuar a usá-lo legalmente.


1ª Atividade: Explorando oPoly

• Abra o Poly e procure, pelo menosem quatro categorias ou famílias, poliedrosque tenham somente faces triangulares e

poliedros que tenham somente facesquadrangulares. Você pode usar osdiferentes modos de ver os poliedros queo programa apresenta. Anote o resultadode sua pesquisa na tabela abaixo.

Poliedros com faces triangulares Poliedros com faces Quadrangulares

Categoria Nome Categoria Nome

Essa atividade objetiva a familiarizaçãocom o Poly. Deve ser discutida no grupode modo que ao final da mesma oestudante tenha acessado as opções depreferências e explorado aspotencialidades do software.

2ª Atividade: Caracterizandoos poliedros Regulares(Sólidos de Platão)

• Observe no Poly cada um dospoliedros da família “platônicos” epreencha a tabela abaixo:

Qual o tipo depolígono que

forma asfaces?

Todas asfacessão

iguais?

Número de

faces (F )

Númerode

Vértices( V )

Númerode

Arestas( A )

Verifiquea relaçãoF+V=A+

2Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Tetraedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

A partir dessa atividade é possíveldiscutir características de cada família depoliedros através da observação ecomparação das diferentes famílias. Asdiscussões devem permitir responder àquestão: O que caracteriza os chamadospoliedros de Platão? A atividade permite,também, verificar e discutir a relação deEuler.

GraphmaticaO programa Graphmatica é um

freeware2 que permite a construção degráficos de funções elementares. Possui aopção de trabalhar em coordenadascartesianas, polares e escalas logarítmicas.Com o uso desse aplicativo pode-se, porexemplo, investigar a influência dos



3ª Atividade: Utilizando oGraphmatica

1. Construa o gráfico das funçõesabaixo em um mesmo sistema decoordenadas. Verifique os valores doscoeficientes a, b e c e busque relações entreas alterações nos mesmos e a representaçãográfica das funções. Anote os resultados dasua pesquisa.

a) y = x2

b) y = 2x2

c) y = 3x2

d) y = 21

x2

e) y = 31

x2

coeficientes do polinômio y = ax2+bx+ cna representação gráfica das funções. Tem-se, também, a possibilidade de buscarrelações entre as alterações que ocorrem no

gráfico quando determinado coeficiente éalterado (coordenação entre arepresentação analítica e gráfica).

2Freeware: software que pode ser adquirido livremente na internet, copiado e distribuído, sem nenhuma forma de pagamento de direitos autorais. Ainda

assim, está sujeito ao copy-right: não pode ser modificado nem ter seu código copiado ou vendido como próprio.

S itu ação :

C o nc lusões:

SituaçãoConclusões


2 - Repita a tarefa para as funções:f) y = -x2

g) y = -2x2

h) y = -3x2

i) y = 21

x2

j) y = – 31

x2

3 - Repita a tarefa para as funções:k) y = x2

l) y = x2+1m) y = x2+2n) y = x2-1o) y = x2-2

4. Repita a tarefa para as funções:p) y = x2+x+2q) y = x2+2x+2r) y = x2+3x+2s) y = x2+4x+2

Situação:

Conclusões:


Situação:

Conclusões:


de funções mantendo-se os coeficientes ae c, fazendo b variar. Os vértices dasparábolas geradas são pontos de uma outraparábola. Esse resultado pode ser verificadoconstruindo os gráficos das funções doitem 4.

EuklidO Software Euklid é um programa que

pode ser usado como shareware pelos alunose por todos aqueles que gostam degeometria. Com ele pode-se desenvolverconstruções geométricas pois oferece“régua e compasso eletrônicos”, sendo quesua interface de menus de construção, emgrande parte, é estabelecida em linguagemclássica de Geometria. Os desenhos deobjetos geométricos são feitos a partir daspropriedades que os definem e mantêmestabilidade sob o movimento. É possívelque se copie os objetos para outrosaplicativos, usando o recurso “print-screen”.Assim, o Software Euklid é um excelenteprograma que pode ser utilizado em váriostópicos de geometria, cabendo aoprofessor analisar seu potencial e adotá-lo,quando possível, para utilização em sala deaula.

Situação:

Conclusões:


O objetivo desse grupo de tarefas éexplorar a representação gráfica, bastantefacilitada pelo uso do sof tware, edesenvolver um estudo das relações entreas modificações nos coeficientes dasfunções quadráticas e a sua representaçãográfica. Um resultado bastante interessantesurge ao construir os gráficos de um grupo


4ª. Atividade: Utilizando oEUKLID

Essa atividade propõe explorar aconstrução de triângulos suas medianas,bissetrizes, mediatrizes e alturas e seuspontos notáveis (baricentro, incentro,circuncentro e ortocentro).

Encontrando o baricentro• Abra o programa Euklid,

• Selecione a guia “construct”

Clique na opção “triângulo” (marque os três pontos para formar oobjeto).

• Clique no botão “ponto médio elogo após em dois vértices, paraacharmos os pontos médios do ladoformado por V1 e V2

• Agora trace um segmento utilizandoa opção “segmento de linha”

• unindo o ponto médio e o vérticeoposto a ele (mediana)

• Faça o mesmo com V2 e V3 e com V3 eV1

• O ponto de intersecção entre asmedianas é chamado________________

Traçando bissetrizes• Abra uma nova atividade

• Clique na opção “triângulo” (marque os três pontos para formar oobjeto)

• Agora, com a opção “criar bissetriz

selecione, no sentido horário

os três vértices que formam o ânguloque se deseja trabalhar.

• Defina o ponto de intersecção

• Selecione a guia “Measure &



calculate”

• Clique na opção “medir ângulo”,selecionando os vértices que formamo ângulo de um lado da bissetriz(sentido horário)

• Faça o mesmo para o outro lado dabissetriz e verifique as medidas

Encontrando o incentro• Utilizando a figura anterior, trace as

demais bissetrizes.

• A intersecção das três bissetrizesinternas do triângulo é chamado _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Encontrando o circuncentro• Em um novo arquivo, faça um

triângulo como já foi visto

• Defina os pontos médios de cada ladodo triângulo

• Agora utilize a opção “criar

perpendicular” defina oponto por onde se quer passar areta e o segmeto o qual o programautilizará como referência, faça issopara todos os lados (mediatrizes)

• O ponto onde as mediatrizes seencontram é chamado _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Encontrando o ortocentro• Abra um novo arquivo e crie outro

triângulo

• Utilize a ferramenta “criar

perpendicular” para traçar umareta que passe por um vértice e sejaperpendicular ao lado oposto (retassuportes ou alturas)

• o ponto de encontro das alturas échamado de __________________

Para finalizar a atividade é interessantetraçar altura, bissetriz, mediana emediatriz em um triângulo qualquer,

movimentar o triângulo de modo a chegara um triângulo equilátero verificando que,nesse caso, os pontos notáveis (baricentro,incentro, circuncentro e ortocentro)coicidem.

5ª Atividade : Matemática naInternet

Exploração, análise e discussão desites, objetivando a familiarização e apossível utilização dos mesmos nas aulasde Matemática. Análise dos conteúdos esuas ligações com outras páginasrelacionadas a Matemática (hiperlinks).

Os sites visitados e discutidos foram:http://www.obm.org.br - Web Site da

Olimpíada Brasileira de Matemáticahttp://www.somatematica.com.br -

site com diversos materiais e programasA análise dos softwares e as atividades

desenvolvidas permitiram perceber umpotencial de inserção no ensino eaprendizagem da Matemática significativoe nesse contexto o professor deve assumirum papel investigativo, buscandodesenvolver e apresentar situações queconduzam a formação de um ambiente quefavoreça a aprendizagem ativa, odesenvolvimento da criatividade e dosprocessos de reflexão; promova aexploração, a investigação, a formulação dehipóteses e a busca de resultados.

Incorporar tecnologia nas aulas vaimuito além de proporcionar osinstrumentos tecnológicos aos estudantes.A aprendizagem deve desenvolver-se emum ambiente apropriado e em situaçõesque favoreçam a construção sólida deconhecimentos, transformando a maneiracomo vivemos, como resolvemos problemasteóricos e práticos e como fazemos epercebemos a Matemática.


ReferênciasBICUDO, M. A. B. (org.). Pesquisa em educação

matemática: concepções e perspectivas. SãoPaulo: UNESP, 1999.

BORBA, M. C., PENTEADO, M. G. Informática eEducação Matemática. Belo Horizonte:Autêntica, 2001.

BORBA, M. C., PENTEADO, M. G (orgs.). Ainformática em ação: formação de professores,pesquisa e extensão. São Paulo: Olho d’Água,2000.

GASPERETTI, M. Computador na Educação. SãoPaulo: Esfera, 2001.

LITWIN, E. (org.). Tecnologia Educacional. PortoAlegre: Artes Médicas, 1997.

MORAES, R. A. Informática na Educação. Rio deJaneiro: DP&A,2000.

NIQUINI, D. P. Informática na Educação:Implicações didático-pedagógicas e construçãodo conhecimento. Brasília: UniversidadeCatólica de Brasília,1996.

SANDHOLTZ, J. H. et alii. Ensinando comtecnologia: criando salas de aula centradas nos

alunos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.SILVEIRA, S. A. Exclusão Digital – A Miséria na

Era da Informática. São Paulo: FundaçãoPerseu Abramo, 2001.

POLY, versão 1.08: programa paramanipulação de poliedros. PEDAGOGUERYSOFTWARE INC. 2002. Disponível paradownload em http://www.peda.com/poly/

GRAPGHIMATICA, versão 1.6: Plotador degráficos. KSOFT, INC. Disponível paradownload em http://www8.pair.com/ksoft/index.html

EUKLID, versão 1.4b.: Programa de geometria.Roland Mechling . Disponível paradownload em http://www.dynageo.com/eng/index.html

SÓ MATEMÁTICA, site de apoio ao ensino deMatemática, disponível em http://www.somatematica.com.br – Site deMatemática

OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA,disponível em http://www.obm.org.br

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA,disponível em http://www.sbem.com.br


Oficinas

Noções de cálculo a partir deexperiências científicas

Marilaine de Fraga Sant‘AnaAlexandre Ribeiro Frasson

Eduardo Muller AraújoMaurício Rosa

1 - IntroduçãoO aprimoramento do ensino de

Cálculo é uma das grandes preocupaçõesentre os professores universitários e temsido discutido sob vários aspectos. Aintrodução de conceitos básicos comolimites e derivadas é feita em geral deforma demasiadamente teórica, o queprovoca desinteresse por parte dos alunosalém de um consenso entre os mesmos deque Cálculo é muito difícil, provocandoacomodação e conformismo. Este trabalhopropõe a utilização de experiênciascientíficas simples na introdução de taisconceitos como alternativa ao tradicional.A idéia básica consiste na realização de taisexperiências em sala de aula, análise dosdados obtidos, construção de gráficos e sóentão parte-se para a obtenção do conceitoque se deseja introduzir.

2 - Objetivos• Construir conceitos de limite e

derivada a partir da modelagem deexperimentos científicos.

• Criar um ambiente onde haja umarelação direta entre experiências jáconhecidas e a construção deconceitos.

• Contribuir para a formação de umavisão clara do cálculo diferencial,fundamentando a base para oprocesso de ensino-aprendizagem nodecorrer dos cursos de cálculo deforma interdisciplinar.

Marilaine de Fraga Sant’Ana é Doutora em Matemática e Professora do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

Alexandre Ribeiro Frasson é acadêmico do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

Eduardo Muller Araújo é acadêmico do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

Maurício Rosa é acadêmico do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.


TÓPICOS A SEREM DESENVOLVIDOS DURAÇÃO(minutos)

Noções de titulação (referencial químico) 20

Preparação do material a ser utilizado no experimento 1 10

Realização do experimento 1 10

Coleta de dados obtidos do experimento 1 5

Relato das conclusões 15

Noções e significado de limite 20

Intervalo 10

Apresentação do experimento 2 (aquecimento d'água) 10

Preparação do material a ser utilizado no experimento 2 5

Realização do experimento 2 com a coleta de dados por

todos os participantes (plotagem em papel milimetrado)

25

Relato das conclusões 10

Retomada do conceito de limite e noções de derivada 25

Conclusões gerais 10

Indicações bibliográficas 5

4 - Desenvolvimento4.1 Noções de titulação4.1.1 Considerações teóricas

A volumetria de neutralizaçãocompreende os métodos baseados nareação de neutralização, cujas reaçõesresultam na formação de água.

Com soluções padrões ácidas podemser determinadas substâncias alcalinas, comsoluções padrões alcalinas sãodetermináveis substâncias ácidas. Tem-seassim, duas variantes de volumetria deneutralização: a alcalimetria e a acidimetria.

Tanto na acidimetria quanto naalcalimetria, o ponto de equivalência sesitua na região ácida ou alcalina. São ascondições de equilíbrio, em cada casoparticular, que determinam o valor do pH

em que se situa o ponto de equivalência.Comumente, o ponto final nas

titulações de volumetria de neutralizaçãoé acusado mediante o emprego deindicadores de pH.

Um dos reagentes usado napreparação de solução padrão alcalina, é oNaOH.

No caso específico da determinaçãoda acidez total do ácido clorídrico HCl,será usado NaOH como solução alcalina,em presença de fenolftaleína comoindicador.

4.2 Procedimentoa) Medir uma alíquota de 50 ml de ácido

clorídrico em uma buretravolumétrica de 50 mlrespectivamente;

3- Cronograma


b) Medir um alíquota de 50 ml de NaOHcom pipeta volumétrica e transferirpara um erlenmeyer;

c) Adicionar 4 a 6 gotas de fenolftaleína;

d) Titular com solução padrão de HCl0,1 N ( adicionar gota a gota, atravésda bureta, a solução padrão deNaOH) , até a primeira tonalidaderósea, persistente por 30 segundos. (Durante o processo o frasco deerlenmeyer deverá ser agitado e suasparedes lavadas com água destilada,para que a reação possa ser completa);

e) Marcar a quantidade necessária paraque haja a mudança na coloração;

f) Marcar o ponto exato que ocorre aviragem, ou seja, a primeira gota queocorre a mudança de coloração e apersistência da mesma;

g) Questionar a partir da visualização doexperimento a relação com o cálculo.

4.3 Análise dos resultadosCom o ponto de viragem traça-se um

paralelo com a noção de limite, onde seestabelece o limite da solução alcalina aoponto de neutralização, que é o pontomáximo, propriamente dito até alcançar aacidez.

5 - Desenvolvimento doSegundo Experimento

5.1 Objetivo EspecíficoEste experimento consiste na

plotagem e sua posterior análise, dentro dosobjetivos propostos por este projeto, dacurva de reação de um processo deaquecimento d’água.

5.2 Definições• Curvas de Reação: Representam o

comportamento gráfico de umavariável. Através delas pode-seaprender muitas coisas sobre as

características de um processo. Muitoutilizado em experimentos científicose na indústria. Por exemplo, todo oprocesso de tratamento térmico demetais são efetuados a partir decurvas de aquecimento. Essas curvasde aquecimento são determinadas apartir de intensos estudos de curvasde reação.

• Processo: São as funções e/ouoperações usadas no tratamento deum material ou matéria-prima, nocaso do experimento proposto, aoperação de adicionar energiacalorífica à água é um processo. Orecipiente, as resistências elétricas, otermômetro digital constituem ocircuito no qual o processo deaquecimento é realizado. Atemperatura da água (variávelprincipal) e a potência da resistênciaelétrica (variável manipulada) são asprincipais variáveis do processo.

• Ponto de Ebulição: é a temperatura àqual a aplicação de mais calor a umlíquido não provoca qualqueraumento de temperatura e o líquidose converte em vapor. No ponto deebulição, a pressão do vapor saturadode um líquido é igual à pressãoatmosférica (760 mmHg) e, assim, oponto de ebulição varia com a altitudee a pressão. Quanto mais baixa for apressão, tanto mais baixo é o pontode ebulição e vice-versa. O ponto deebulição da água em condiçõesnormais é de 100ºC. O ponto deebulição corresponde graficamente aum patamar.

5.3 Materiais eEquipamentos Utilizados

• Recipiente de aço galvanizado 15 x 15x 30 cm. Capacidade de 6,75 litros .

• Duas resistências elétricas compotências de 800 watts e 1000watts.


• Um termômetro digital de resolução0,1ºC composto por um indicadordigital microprocessado e um sensortermorresistivo ou bulbo de resistênciade platina tipo PT 100 ( platina a 0ºC com 100 Ohm).

• Um cronômetro.

• Uma folha de papel milimetrado erégua.

5.4 Procedimentoa) O recipiente deverá conter um volume

correspondente a 2,5 litros.

b) Inserir o sensor de temperatura norecipiente e certificar-se que o mesmoestá totalmente imerso.

c) Energizar o termômetro digitalverificando a indicação. O indicadormostrará a temperatura inicial da águaem graus Celsius com uma resolução0,1.

d) Solicitar aos participante do eventoque registrem em uma tabela atemperatura inicial da água.

e) Inserir a resistência de 1000 watts ecertificar-se que a mesma estátotalmente imersa na água.

f) Energizar a resistência e, ao mesmotempo, inicializar (start) a contagemde tempo no cronômetro.

g) A cada minuto, os participantesdeverão registrar na tabela atemperatura correspondente. Efetuaresse levantamento até dois minutosapós o ponto de ebulição da água.

h) Para todos os participantes, a partirda tabela construída, plotar os dadosem um gráfico, temperatura (ºC) emfunção do tempo (min), a serconstruído no papel milimetrado.

i) Retirar a água quente do recipiente,deixar esfriar o mesmo e repor água àtemperatura ambiente, com o mesmovolume anterior.

j) Repetir o experimento, passosdescritos da letra b à h, utilizando asduas resistências.

5.5 Análise dos resultadosPara efeito de ilustração, tomamos

como exemplo os resultados expressos natabela abaixo, e o gráfico originado a partirdestes dados.

t(min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1R

T(ºC) 29,5 31,9 38,7 45,9 53,4 60,0 66,7 73,0 80,0 86,7 92,7 97,2 98,0

2R

T(ºC) 25,2 30,5 42,7 54,4 66,0 77,2 88,7 95,5 97,0 97,0 97,0 97,0 97,0

Tabela 1: Tempo(min) x Temperatura (ºC) com a Utilização de 01 e 02Resistências


Curvas de Temperatura

05

101520253035404550556065707580859095

100105

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

t (min)

T(ºC

)

Observando as curvas do gráfico,imediatamente os participantes da oficinapodem concluir o seguinte:• 1º Que a água aquece mais

rapidamente utilizando 2 resistências.Ou seja, a curva de reação 2 (com duasresistências) possui uma “velocidade”de aquecimento superior a curva dereação 1.

• 2º Que ambas as curvas, a partir deum tempo, tendem a estabilizar emtorno de 97 e 98 ºC.

A partir das conclusões será necessárioquantificar e trabalhar alguns conceitosimportantes para o estudo da derivada,iniciando pela taxa de variação média decada curva.

5.5.1 Taxa de VariaçãoMédia

Todos os participantes, com certeza,irão lembrar do conceito básico develocidade média de um objeto ao longode um intervalo de tempo definido destaforma: é o deslocamento total da posição,durante o intervalo, dividido pela variaçãodo tempo.

A partir deste conceito elementarpode-se, analogamente, referenciar oexperimento calculando-se as“velocidades” médias de aquecimento,expressos nas duas curvas, ao longo deintervalos de tempo como sugere a tabelaabaixo:

Tabela 2: Taxas Médias de AlgunsIntervalos

Intervalo 0 - 14 0 - 8 10 - 12 7 - 9 3 - 4

Vt (min) 14 8 2 2 1

VT1 (ºC) 68,5 34,8 5,3 13,7 7,5

VT2 (ºC) 71,8 58,2 0,0 1,5 11,6

TVM1 4,9 4,4 2,7 6,9 7,5

TVM2 5,1 7,3 0,0 0,8 11,6

Onde:• Vt (min): Variação de tempo = tb –

ta ( instante final menos instanteinicial).

• VT (ºC): Variação de Temperatura =Tb – Ta (temperatura final menostemperatura inicial), onde VT1 comuma resistência e VT2 com duas


resistências.

• TVM (ºC/min): Taxa de Variação

Média = vtVT

(variação da

temperatura dividido pela variação dotempo).

A partir dos resultados expressos natabela conclui-se que:a) no intervalo 0 – 14 (todo o período

do experimento) as TVM’s são muitopróximas e , portanto não revelamclaramente o que no gráfico éevidente, ou seja, que a água se aquecemais rapidamente com duasresistências.

b) no intervalo 0 – 8, na parte mais linearde ambas as curvas, fica claro que, comduas resistências, a “velocidade” deaquecimento é significativamentemaior se comparada com umaresistência apenas.

c) no intervalo 10 – 12 somente nosrevela o intervalo em que a curva 1tende a se estabilizar e que, portanto,o aquecimento do intervalo anterioré mais rápido que neste intervalo.Observa-se também que a TVM2 énula, ou seja a temperatura, naqueleintervalo já havia estabilizado.

d) no intervalo 7 – 9 demonstra , poroutro lado, que agora a curva 2 tendea se estabilizar e que a curva 1 aindaestá variando com uma taxa bemmaior.

e) no intervalo 3 – 4 , em plena variaçãode ambas as curvas, revela da formamais categórica que a “velocidade” deaquecimento da curva 2 é bem maiorque da curva 1. Isto significa que, comuma resistência, no espaço de tempode 1 minuto a temperatura aumentou7,5 º C enquanto que com duasresistências aumentou 11,6ºC.

Uma importante conclusão, agora

graficamente, é que a taxa média ao longode qualquer intervalo é a inclinação da retaque liga os pontos, no gráfico,correspondentes aos extremos do intervalo.

A partir destas observações não édifícil concluir que a taxa média é umconceito útil, mas dá uma idéia grosseirado comportamento do fenômeno emestudo. Não resolve, por exemplo, oproblema de se medir a “velocidade” outaxa de aquecimento em um determinadoinstante.

Para isso, vamos eleger um ponto dográfico das curvas e analisar o que acontececom a taxa média à medida que vamosdiminuindo o intervalo de tempo tantopela direita como pela esquerda. Naverdade, veremos o que acontece navizinhança do ponto. A título de exemplo,elegemos o ponto t = 4 .

Tabela 3: Taxas Médias naVizinhança de t = 4

Intervalo 0 a 3 1 a 3 2 a 3 5 a 6 5 a 8 5 a 12

Vt (min) 3 2 1 1 3 7

VT1 (ºC) 16,4 14,0 7,2 6,7 20 19,8

VT2 (ºC) 29,2 23,9 11,7 11,5 19,2 19,8

TVM1 5,5 7,0 7,2 6,7 6,7 2,8

TVM2 9,7 12,0 11,7 11,5 6,4 2,8

Observa-se que à medida que ocomprimento dos intervalos diminui, osvalores das taxas médias, para as duascurvas, antes e a após t = 4, se aproximamcada vez mais. Na primeira curva o valorestará entre 6,7 e 7,2 enquanto que nacurva 2 estará entre 11,5 e 11,7. Setivéssemos registrado as temperaturas emintervalos de tempos menores, não seriadifícil concluir que chegaríamos a valoresmais próximos. Isto é, para se calcular ataxa de aquecimento em t = 4 com maiscasas decimais, teríamos que tomarintervalos cada vez menores de cada ladode t = 4 , até que as taxas médiascoincidissem para o número de casasdecimais desejado. E então, a taxa de


aquecimento em t = 4 seria definida comosendo esse valor comum.

5.5.2 Definindo a TaxaInstantânea Usando oConceito de Limite

Vamos supor que o valores comuns dacurva 1 e curva 2 no instante t = 4 sejam,respectivamente 6,95 e 11,60. Quando seconsideram intervalos cada vez menores,o que acontece é que as taxas médias estãoligeiramente acima ou ligeiramente abaixodestes valores. Parece ser natural, então,definir a taxa, no instante t = 4 , comosendo 6,95 para a curva 1 e 11,60 para acurva 2. Essa taxa é chamada de taxainstantânea neste ponto, e sua definiçãodepende de estarmos convencidos de queintervalos cada vez menores fornecemtaxas médias arbitrariamente próximasàqueles valores. A matemática modernatem um nome para esse processo: échamado de tomar o limite.

Portanto, para o nosso experimento,a velocidade de aquecimento instantâneoou taxa instantânea de aquecimento emum instante t é dada pelo limite da taxamédia de aquecimento, ao longo de umintervalo, quando esse intervalo se encolhecada vez mais ao redor de t.

5.5.3 Visualizando a Taxade Aquecimento no Gráfico:Inclinação de uma Curva

Já vimos que a taxa média deaquecimento ao longo de qualquerintervalo é a inclinação da reta que liga ospontos, no gráfico, correspondentes aosextremos do intervalo. A próxima perguntaé como visualizar a taxa em um dadoinstante de tempo. Tomamos taxas médiasao longo de intervalos cada vez menorescom uma extremidade em t = 4. À medidaque o comprimento do intervalo diminui,a inclinação se aproxima cada vez mais dainclinação da curva em t = 4.

A pedra angular da idéia é o fato deque , em escala muito pequena, a maioria

das funções se parece com retas. Se, emum ponto do gráfico, fizermos umagrande “ampliação” para obter uma vistabem de perto, notaremos que , quanto maisse amplia, mais a curva se parece com umareta. Chamamos a inclinação desta reta deinclinação da curva no ponto. Portanto, ainclinação da reta ampliada é a taxainstantânea.

5.5.4 A Derivada: Taxa deVariação Instantânea

Vamos agora formalizar e generalizaro que foi visto até aqui. Considerar f afunção do tempo que fornece atemperatura y da água em um instante t,de modo que y = f(t). Desta forma,podemos fornecer uma expressão para ataxa média ao longo de um intervalo.

Se: bta Taxa Média de Aquecimento =

abafbf

tempodoVariaçãoatemperaturdaVariação

)()(

Se estivermos interessados emobservar a velocidade instantânea em t =a, então queremos olhar para intervaloscada vez menores em torno de t = a . Vamosconsiderar intervalos da forma

hata onde h é o comprimento dointervalo. Então, ao longo do interalo

hata

Taxa média = hafhaf )()(

Este quociente é chamado de razãoincremental. O numerador mede o valorda variação (ou o incremento) da f ao longodo intervalo de a até a + h . Assim, a razãoincremental é a variação da f dividido pelavariação em t que agora, para generalizar,vamos denominar de x.

Este quociente compara a variação dovalor da função, f(x), com h, a variação emx. Se uma pequena variação em x produzuma variação grande em f(x), essequociente será grande; reciprocamente, seuma pequena variação em x produz uma


variação menor ainda em f(x), o quocienteserá pequeno.

Como a taxa instantânea é o númerodo qual se aproximam as taxas médiasquando os intervalos diminuem emcomprimento, isto é, quando h fica cadavez menor. Assim , a taxa instantânea em t= a é o limite, quando h tende para 0,

Taxa Instantânea em t = a

)(')()(lim0

afh

afhafh

Este número é tão importante querecebe um nome próprio, a derivada da fem a, denotada por f ’(a).

5.5.5 Visualizando aDerivada: Inclinação daCurva e Inclinação daTangente

Como já foi visto, à medida que ocomprimento do intervalo diminui, ainclinação se aproxima cada vez mais dainclinação da curva em um determinadoponto. Portanto, podemos visualizar aderivada f ’(a) como sendo a inclinação dográfico da f em a.

Por exemplo, se escolhermos doispontos no gráfico, A e B, e que na razãoincremental o numerador é a distânciavertical e h é a distância horizontalconcluímos que a taxa de variação média éa inclinação da reta AB. Agora, à medidaque h se torna menor, a reta AB se aproximada reta tangente à curva em A. Logo, a taxade variação instantânea da f em a é ainclinação da tangente em A.

O que a derivada nos dizgraficamente? Quando f ’ é positiva, atangente está inclinada para cima; quandof ’ é negativa, a tangente está inclinada parabaixo. Se f ’ = 0 em toda parte, então atangente está sempre na horizontal e ,portanto, a f é constante. Assim, o sinal daf ’ nos diz se a f está crescendo oudecrescendo.

No nosso experimento, a derivada nosindicaria se a temperatura está crescendo,

quanto está crescendo em um determinadoinstante, quando se estabilizou e , sedesligássemos as resistências e deixássemoscair a temperatura, nos indicaria odecrescimento da temperatura e sua taxa.

Mais ainda, o módulo da derivada nosfornece o módulo da taxa de variação; demodo que se f ’ é grande (positivo ounegativo), então o gráfico da f será muitoinclinado (para cima ou para baixo), e se f ’é pequeno, o gráfico da f será levementeinclinado. Com isto , podemos deduzirmuita coisa a respeito do comportamentode uma função a partir do comportamentode sua derivada.

5.6 C o n s i d e r a ç õ e sFinais

5.6.1 Prováveis causasda falta de repetitividade doexperimento

Muitas são as causas das variações nosresultados do mesmo experimento quandoeste for repetido em várias turmas, locaisou eventos diferentes provocando curvasou gráficos distintos.

Os processos têm a característica deatrasar as mudanças nos valores dasvariáveis do processo. Esta característicados processos determinam a variabilidadedas curvas de reação. Estes retardos sãogeralmente chamados atrasos de tempo doprocesso.

As duas principais propriedades sãoas seguintes:

Resistência: São as partes do processoque resistem a uma transferência deenergia. Por exemplo, as paredes dorecipiente, através da troca térmica com omeio provoca a resistência a transferênciade energia térmica, a composição químicada água utilizada, a pressão atmosférica nolocal do experimento, a temperatura inicialda água, a corrente elétrica da rede, etc.poderão provocar resistência ou retardo a


transferência de energia .Atraso Puro ou Tempo Morto : é a

característica de um sistema pela qual aresposta a uma excitação é retardada notempo, ou seja, é o intervalo após aaplicação da excitação durante o qualnenhuma resposta é observada. Estacaracterística não depende da natureza daexcitação aplicada e aparece sempre damesma forma. Sua dimensão ésimplesmente a de tempo. No nossoexperimento o tempo morto seráprovocado pela sensibilidade do sensor aodetectar a variação da temperatura dáágua.

5.6.2 Outros temasmatemáticos que podem serabordados através domesmo experimento oumateriais utilizados e suainterdisciplinaridade

No ensino médio, tal experimentopoderá ser utilizado, principalmente noestudo de funções. Podem ser trabalhadasas funções linear, logarítmica eexponencial, função constante e,

sobretudo, a função definida por mais deuma sentença. Com o material utilizadopodem ser trabalhados alguns conceitos degeometria como o cálculo da superfíciepara a fabricação do recipiente e o calculede volume.

Além disso, este experimento pode sertrabalhado conjuntamente com as áreas defísica e química no ensino médio como, porexemplo, a explicação sobre a determinaçãoda potência de uma resistência elétrica emfunção da tensão e corrente elétrica, adefinição de estados físicos da matéria,noções de termometria e termodinâmica,as características físico-químicas da platina(o sensor de temperatura), etc.

ReferênciasANTON, H, Cálculo, um Novo Horizonte (Volume

1), 6a ed, Porto Alegre: Bookman, 2000.

HUGHES-HALLETT, Débora, organizadora.Cálculo (Volume 1). São Paulo: LTC, 1997.

SWOKOWSKI, E, Cálculo em Geometria Analítica(Volume 1), 2

a ed, São Paulo: Makron Books,

1995.


Oficinas

Educação matemática ehistória: Atividades para as

séries finais do ensinofundamental

Tania Elisa Seibert

1 - IntroduçãoA opção pela História da Matemática

como recurso central, fundamenta-se nanecessidade de resgatar a realidade dosfatos históricos para que se possa formarum indivíduo consciente dosacontecimentos, suas causas econseqüências e, com isto, mostrar aexistência da matemática, principalmentecomo sendo um instrumento que ahumanidade criou para resolver problemase não como agente causador detranstornos. Ao selecionar as atividades,que não são inéditas, buscou-se umamaneira prazeirosa de trazer a História daMatemática para a sala de aula,proporcionando significado ao estudo dediversos temas.

2 - Referencial TeóricoBuscou-se a fundamentação teórica

deste trabalho na teoria de aprendizagem

significativa de David Ausubel e na teoriasócio-histórica de Lev Vygotsky.

Para Ausubel, o fator mais importanteque influencia a aprendizagem é aquilo queo aluno já sabe. Uma nova informação devesempre interagir com uma já existente naestrutura cognitiva do indivíduo. “Aaprendizagem significativa processa-sequando o material novo, idéias einformações que apresentam umaestrutura lógica, interage com conceitosrelevantes e inclusos, claros e disponíveisna estrutura cognitiva, sendo por elesassimilado, contribuindo para suadiferenciação, elaboração e estabilidade”.(AUSUBEL, 1968, pg.37).

Recomenda o uso de organizadoresprévios, como estratégia para ancorar anova aprendizagem, pois estes possibilitamo desenvolvimento de conceitossubsunçores que facilitam o processo deaprendizagem.

Paralelamente, faz parte desteprocesso a interação entre pares. Para issobusca-se fundamentação na teoria sócio-

Tania Elisa Seibert é Professora no Colégio Sinodal – São Leopoldo/RS.


histórica de Vygotsky, que dá ênfaseespecial à importância da linguagem e deatividades compartilhadas como ativadorasdo desenvolvimento cognitivo e daaquisição de conceitos. Para ele, a vivênciaem sociedade é essencial. É pelaaprendizagem nas relações com os outrosque construímos os conhecimentos quepermitem o desenvolvimento mental dosindivíduos. As informações nunca sãoabsorvidas diretamente do meio. Sãosempre mediadas, explícita ouimplicitamente, carregando significadoshistóricos e sociais.

Acredita-se que a história damatemática é um forte motivador noprocesso de construção de conceitosmatemáticos, pois à medida que se estudaa evolução histórica desta construção, traz-se significados diferenciados ao aluno, quepassa a perceber as transformações queestes conceitos sofreram ao longo doprocesso, mas também o quanto são atuaise úteis.

Tomando estes aspectos comoreferenciais, a história da matemática comoencadeadora do processo de aprendizageme, levando sempre em consideração o saberdo aluno, foram elaboradas tarefas quedevem funcionar como mediadoras ouorganizadores, para que o aluno consigadesenvolver o seu conhecimento econstruir os conceitos envolvidos nosconteúdos propostos.

3 - Metodologia doTrabalho

O trabalho foi desenvolvido noColégio Sinodal, da rede particular deensino, com uma turma de 27 alunos.

Decidiu-se, em conjunto, a formaçãode seis grupos de trabalho. Conversou-sesobre os métodos de trabalho e sobre aavaliação.

As atividades que mediavam as etapasda construção de conceitos visavam sempre

dar condições para o aluno avançar noaprendizado. Para isto, foramdesenvolvidas de forma participativa. Cadaaluno, em seu grupo, recebia fotocópia datarefa, fazia uma leitura silenciosa,comentava com os colegas do grupo e asdesenvolvia.

Pronta a atividade, comparava os seusresultados com os dos colegas,identificando semelhanças e construindoos seus conceitos. Através do uso dalinguagem oral e escrita, os seus resultadoseram comparados com os do grande grupoe, todos juntos, com auxílio da professora,quando necessário, concluíamos as tarefas.

Estas tarefas foram elaboradas em umaseqüência que possibilitava aos alunos adescoberta do conteúdo. Perguntas erespostas em momentos oportunos e ainteração entre aluno/aluno e professor/aluno foram de extrema valia.

Era objetivo do projeto o assunto“Trigonometria” mas sabia dasdificuldades dos alunos no que diz respeitoao conhecimento da geometria, por estemotivo, as primeiras atividades foramelaboradas buscando criar condições paraque eles pudessem conhecer o triângulo ealgumas de suas propriedades.

Na primeira parte, foram estudadasmedidas de ângulos, instrumentos demedidas de ângulos e algumaspropriedades dos triângulos, para, comisso, buscar condições adequadas para oestudo da semelhança entre triângulos.

Após esta etapa, foi iniciado o estudosobre Tales de Mileto e a semelhança entretriângulos. Elaborando tarefas adaptadasda História da Matemática introduziu-seeste assunto. Foram utilizados recursoscomo atividades práticas de pátio,construções geométricas, maquetes eexercícios, para que todos os alunospudessem avançar e criar condições deconhecermos Pitágoras e o seu Teorema.

Nesta etapa do projeto, foidemonstrado o Teorema de Pitágoras.Além de serem realizados exercícios


tradicionais, resgatou-se dos registros dahistória alguns problemas e algumasatividades.

Quando este assunto estava elaboradopartiu-se para o estudo da Trigonometriaatravés de atividades de construção,exercícios e leituras.

Optou-se relatar neste texto apenas asatividades relacionadas com a História daMatemática, por haver necessidade deresumir o trabalho. Estas tarefas estãoinseridas dentro do desenvolvimentonormal do conteúdo, isto é, entredemonstrações, exercícios e atividadescostumeiras.

4 - Atividades relacionadascom a História da Matemática• 4.1 Um pouco de história sobre a

unidade de medida de ângulos: OGrau

Atividade desenvolvida com o objetivode dar significado da divisão dacircunferência em 360º.

• 4.2 Conhecendo instrumentos demedida de ângulos:

Foram desenvolvidas atividades como uso do transferidor e do quadrante(aparelho adaptado do astrolábio).

4.3 Um pouco de história: Tales deMileto

Foram abordados fatos de sua vida,suas descobertas e principalmente o usodas propriedades entre triângulossemelhantes, valorizando a forma com queele descobriu a altura de uma pirâmide.

4.4 Usando as sombras de Tales paradeterminar alturas

Cada grupo foi ao pátio, e aplicou ométodo da semelhança por sombras deTales para determinar a altura de algumelemento.

4.5 Um pouco de história: CláudioPtolomeu

Aborda-se a biografia de CláudioPtolomeu e com ela unidades de medidacomo côvado, cúbito, braça e mãos, com oobjetivo de mostrar a necessidade de secriar um sistema de medida internacional.

4.6 Usando o Winkelmesser

Instrumento usado por lenhadoresalemães para descobrir a altura de árvoresque se baseia na semelhança entretriângulos isósceles.

4.7 Um personagem importante daHistória da Matemática: “O Escriba”.

Estudam-se as formas que os escribasutilizavam para multiplicar e dividir.

4.8 Utilizando maquetes para darsignificado a certos problemas

Construção de duas maquetes: umabaseada num texto extraído do livroPerspectivas da Matemática, de HansFreudenthal, educador matemáticoholandês. Ele descreve o método que teriasido utilizado por Tales para determinar adistância de um navio até a praia, usandoa congruência de triângulos. A outramaquete, fazendo uso da semelhança entretriângulos, determina a largura de um rio.


4.9 Um pouco de história: Pitágorasde Samos

Estudo da biografia de Pitágoras,dedução do Teorema de Pitágoras usandosemelhança entre triângulos, resolução deexercícios encontrados em registroshistóricos e extração da raiz quadrada.

4.10 Trigonometria: um pouco dehistória

Construção de conceitostrigonométricos utilizando a razão entretriângulos semelhantes.

4.11 Construção da tabelatrigonométrica

Utilizando os conceitos de seno,cosseno e tangente, construir uma tabelatrigonométrica e discutir os númerosencontrados.

4.12 O quadrante e as razõestrigonométricas: uma utilização prática.

Utilizando o quadrante e as razõestrigonométricas os alunos determinarama altura de um objeto no pátio da escola.Este problema foi representado através deuma maquete, possibilitando desta formaa aplicação dos conhecimentos adquiridos.

5 - Reflexões finaisQuando o projeto chegou ao seu final,

foi solicitado aos alunos uma avaliação, naqual eles puderam opinar livremente sobretodos o processo.

Analisando estas manifestações pode-se afirmar que o recurso “História daMatemática” foi bem recebido pelos alunose, mais do que isto fez com queacreditassem na matemática como umacriação dinâmica e proveitosa, e, a partirdisto, a visão desta disciplina ficoudiferente, passando a ser percebida pelosalunos como um instrumento agradável eútil na resolução de problemas, agora comsignificado e próximo a sua vida.

“Mostrar que a matemática não cai docéu, que foi criada por pessoas comuns edentro de contextos culturais, faz com queos alunos a olhem com outros olhos”.(D’AMBRÓSIO, III Seminário Nacional deHistória da Matemática, 1999, Brasil).

Além das opiniões externadas pelosalunos em diferentes momentos, pode-sedestacar que esta foi a minha experiênciamais bem sucedida em sala de aula. Jamaisem outros processos ou situações oenvolvimento e a motivação dos alunoshavia manifestado-se de maneira tãoagradável e intensa.

ReferênciasBOYER, Carl B. História da matemática. São

Paulo: Edgard Blücher, 1974.GUELLI, Oscar. Contando a história da

matemática. Dando corda na trigonometria.São Paulo: Ática, 1993.

_____________. Matemática. Uma aventura dopensamento. São Paulo: Ática, 1997.

MOYSÉS, Lucia. Aplicações de Vygotsky àeducação matemática. São Paulo: Papirus,1997.

MOREIRA, Marco A. e MASINI, Elcie F. S.Aprendizagem significativa: a teoria de DavidAusubel. São Paulo: Moraes Ltda, 1982.

REGO, Teresa Cristina. Vygotsky: Uma perspectivahistórico-cultural da educação . 7.ed.Petrópolis: Vozes, 1999.

SEIBERT, Tania Elisa et. al. Trigonometria pormeio da construção de conceitos. São Leopoldo:UNISINOS, 2001.

STRUIK, Dirk J. História concisa dasmatemáticas. 2. ed. Lisboa: Gradiva, 1992.

VYGOTSKY, L.S. Pensamento e Linguagem. SãoPaulo: Martins Fonte, 1993.

_____________. Linguagem, desenvolvimento eaprendizagem. São Paulo: Edusp, 1988

ZARO, Milton e HILLEBRAND, Vicente.Matemática Experimental. 2. ed. São Pulo:Ática, 1992.


Oficinas

A heurística no ensino docálculo diferencial e integral

Rubén Panta Pazos

1 - IntroduçãoA aprendizagem dos conceitos e

métodos básicos do cálculo diferencial eintegral é necessária para que os alunos degraduação obtenham melhor eficiência nasolução de problemas dessa disciplina quedepois serão usados na solução deproblemas em outras disciplinas daengenharia, administração, física oumatemática. “O cálculo diferencial eintegral tem o propósito que é de descrevero crescimento ou decrescimento e avariação. A população possui uma taxa decrescimento – que muda. O valor da moedadecresce, mas pode em determinadascircunstâncias crescer ” 5. Além dautilização de novas ferramentastecnológicas em diversas instituições doensino superior o problema dacompreensão, domínio e uso de conceitostais como limite de uma função, derivadaou integral de uma função mantên umavigência em diferentes níveis. A influênciada mídia e os novos recursos tecnológicosrepresenta mais um desafio aos esforçoseducacionais pois o espaço para oraciocínio e o desenvolvimento do

pensamento fica mais estreito quando aoferta da informação tem a organização domercado. Pesquisas de diferentesinstituições mostram que a taxa de leituraper capita resulta heterogênea em áreasgeográficas próximas ou ainda paradiferentes camadas sociais numa mesmaregião. Neste contexto qual será o espaçopara salientar, empregar e consolidar ométodo heurístico nas disciplinas decálculo diferencial e integral que estamospropondo neste trabalho ?

O termo heurística tem suas raízes napalavra grega euristike( descoberta), e hojea heurística é o método pedagógico queleva o aluno a aprender por si mesmo averdade que se lhe quer ensinar. Comoalternativa metodológica no ensino docálculo diferencial e integral as idéiasbásicas consistem em “formar no aluno oestabelecimento dos vínculos entredeterminados objetos e tarefas, de umlado, e as correspondentes ações deresposta por outro lado”, CabreraSarmiento (2001) 1. Na seção 2 vamos dara exposição das idéias fundamentais dométodo. Na seção 3 indicamos aimplementação do método nas disciplinas

Rubén Panta Pazos é Professor da Faculdade de Matemática – Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – Av Ipiranga 6681, 90619-900

– Porto Alegre – RS. E-mail: [email protected]


do cálculo num exemplo elementar.Finalmente formulamos algumasconclusões.

2 - Idéias Fundamentaisdo Método Heurístico

As instituições do ensino não escapamdas circunstâncias da sociedade e o trabalhodos professores da matemática no ensinosuperior está relacionado com os problemasgerais da sociedade (a crise econômica,políticas de redução do magistério,concorrência no mercado das entidadesprivadas) e particulares da instituição ou aturma com a qual trabalha (seja numauniversidade pública ou particular, se acomposição da turma é heterogênea ounão). No dia a dia constatamos:• O interesse pela leitura não segue o

mesmo desenvolvimento que oaumento da população universitáriaem vários países em desenvolvimento;

• O nível da base matemática dosalunos que ingressam nasuniversidades resulta cada vez maiselementar;

• Os meios de comunicação social sãosubmetidos a uma economia demercado onde a matemática resultaapenas uma ferramenta pragmáticaempregada numa dose mínima;

• A composição das turmas indica queo número de alunos que trabalhamtempo integral é maior o que impedemelhor desempenho do aluno.

Nessa realidade podemoscompreender que os resultados dasavaliações nas disciplinas matemáticasfiquem muito afastados das expectativasoriginais do planejamento das instituiçõesou ainda dos mesmos alunos.

Nem mesmo a incorporação de novasmetodologias, entre as quais figuram astécnicas computacionais, poderiam

significar uma mudança crucial. O uso dossistemas de computação algébrica nasuniversidades dos países emdesenvolvimento vem refletindo o que játem acontecido nos países industrializados,a idéia incorreta que a matemática podeser reduzida a simples manipulaçãomediante computadores para resolverproblemas que de outro modo teriam umcusto maior de tempo e complexidade.Acreditamos que no ensino dasmatemáticas o principal resulta atransmissão das idéias matemáticas,incluindo seus principais conceitos emétodos, sendo o papel de qualquer novatecnologia muito importante, mas sempreauxiliar, uma ferramenta e só isso.

Não se trata exclusivamente datransmissão de idéias na forma expositoraclássica, seria melhor ainda na descobertado mesmo aluno na medida do possível dealguns fatos que permitam formarassociações em torno aos conceitos básicosde cada disciplina matemática, em nossocaso do cálculo diferencial e integral. Ométodo heurístico busca explorar opróprio esforço de raciocínio do aluno. “Amaior parte da gente usa apenas um 10por cento de sua capacidade cerebral”menciona um autor norte-americano 2. Emoutro meio social como na sociedadecubana “a escola dedica boa parte de seusesforços na criação das condições para queos alunos apreendam a pensar” 1. Hojeque vivemos dias de grande agitação,quando “a primeira vitima da guerra é averdade,...” 6, devemos resgatar como ummétodo de muita potencialidade o métodoheurístico, ensinar a pensar pode ser maisimportante que apenas repassarinformação ou indicar a forma de utilizartécnicas computacionais. Com certeza, atarefa pode se vislumbrar um esforçoisolado, mas nossa tarefa é não abandonara razão de ser do educador,particularmente do professor dematemática.


2.1 Conceitos MetodológicosNo desenvolvimento de um método

que inclua o método heurístico vamos nosbasear nos seguintes itens:• A heurística assume um papel diretor

relacionado com os objetivos dadisciplina;

• Devem ser incluídas as tecnologiasadequadas para visualizar os objetosmatemáticos e para atender asnecessidades curriculares do cursoque emprega o cálculo;

• O método deve ser integrado, isto énão pode ser fragmentado, comsessões práticas visando a resolução deproblemas para a fixação dos conceitose métodos envolvidos;

• O trabalho deve ser planejado.

2.2 Passos a serem seguidosUm contexto de referência é

necessário, em cada nível. Isto gera a idéiaque sempre devemos fornecer umainformação básica. Depois segue umainteração heurística para atingir osobjetivos do nível conceitual ou algorítmicoplanejados. Uma etapa de consolidação donível é obtida mediante outras técnicas(sessões práticas de problemas, aulas delaboratórios com sistemas de computaçãoalgébrica).

3 - Modelos Elementaresde População

Consideremos o modelo simples dapopulação apresentado numa disciplina decálculo envolvendo equações diferenciais.O professor pode trazer dados empíricosde alguma cidade:• A população de uma cidade foi 950.00

habitantes em 1990.

• A taxa de variação da população éproporcional à população mesma.

• A população do ano 2000 é 1’300.000

habitantes.

Neste ponto a informação básica é quetaxa de variação é medida pela derivadade uma função, neste caso a função é p(t)que representa a população no instante t.

O problema é achar a constante deproporcionalidade, indicar o nível dapopulação em 1995 e, supondo que asituação é mantida mais cinco anos, fazera previsão para 2005.

Dois modelos foram trabalhados pelosalunos:

3.1 Modelo 1 : (formulação esolução de um problema devalores iniciais)

150)()( ttkp

tdtdp

onde t é o tempo medido desde 1990(t = 0), k representa o coeficiente deproporcionalidade. A solução obtida pelométodo de separação de variáveis deucomo resultados k = 0.031369, p(1995) =1111. e p(2005) = 1520. Neste caso otratamento é mediante uma equaçãodiferencial e um valor inicial.

3.2. Modelo 2 : (formulação esolução de uma progressãogeométrica)

15,,2,1,010 npp nn

Os resultados aparecem na tabelaabaixo.

Os resultados foram?= 0.031863, p(1995)= 1108 e p(2005)= 1509.


Ano População

1990 950.0

1991 979.8

1992 1010.5

1993 1042.2

1994 1074.9

1995 1108.6

1996 1143.4

1997 1179.3

1998 1216.2

1999 1254.4

2000 1293.7

3.3 Consolidação dosmodelos obtidos em formaindependente

O autor ensaiou a fase deconsolidação destes modelos em trabalhode aula e mediante o sistema decomputação algébrica Maple V. Porque amínima diferença dos resultados? erevelam a mínima diferença que os alunosacharam pelo fato de considerar umavariável contínua no primeiro modelo, noentanto a seqüência emprega uma variáveldiscreta. Além disso, o modelo é válidodevido às circunstâncias muito particularesdo desenvolvimento de Porto Alegre, o quenão seria válido em períodos maiores oude desequilíbrio. O aluno tirou diversasconclusões: os modelos fornecemaproximações da realidade, as diferençasobedecem ao diferente tipo de variável, osgráficos permitem melhor entendimentodas soluções.

Os gráficos de p(t) e da seqüência pn são apresentados abaixo e revelam a mínima

População de Porto Alegre

Tabela 1. População no período 1990-2000

diferença que os alunos acharam pelo fatode considerar uma variável contínua noprimeiro modelo, no entanto a seqüênciaemprega uma variável discreta. Além disso,o modelo é válido devido às circunstânciasmuito particulares do desenvolvimento dePorto Alegre, o que não seria válido em

períodos maiores ou de desequilíbrio. Oaluno tirou diversas conclusões: osmodelos fornecem aproximações darealidade, as diferenças obedecem aodiferente tipo de variável, os gráficospermitem melhor entendimento dassoluções.


Observações. Se as equaçõesdiferenciais formassem uma disciplinaindependente, o trabalho poderiacontinuar num outro nível mostrandooutros tipos de modelos de população. Maso objetivo básico foi atingido, que os alunosdescobriram algumas características namodelagem das equações diferenciais noproblema do crescimento de população deuma cidade, como poderia ser numproblema de contaminação ouradioatividade.

Os níveis de dificuldade conceitualexigem parâmetros diferentes. Assim naintrodução do conceito de limitedeveríamos enfocar em forma mista umaintrodução intuitiva e também umformalismo acompanhado de técnicas devisualização. De outro lado alguns tópicoscomo técnicas de integração podem sercomplementados com exemplos dageometria ou física para a melhoraprendizagem do aluno. A ênfase deve serque na descoberta de alguns conceitos ede características particulares de umproblema o aluno seja ator e não umsimples receptor de informação. O desejode cumprir conteúdos e cronogramas nãodeve sacrificar a proposta do métodoheurístico.

4 - ConclusãoDevemos concluir que o método

heurístico tenta valorizar diversasmetodologias no ensino do cálculodiferencial e integral, não está emcontradição com nenhuma. Um métodointegrado que tenha a heurística comoelemento diretor deve salientar o papel dasnovas tecnologias sempre que seu usoforme parte do planejamento da disciplina.As sessões práticas de resolução deproblemas não podem restringir-se apenasnuma síntese de receitas para superar asavaliações, pelo contrário devem servirpara uma mínima discussão procurando

exercitar o raciocínio do aluno. Mas ointercâmbio de experiências entre osprofessores da matemática será um crisolpara futuras pesquisas.

ReferênciasFLANSBURG, Scott with Hay, Victoria, Math

Magic, Harpe Perennial, New York, 1994.HAGEDUS, S.J.. Advanced Mathematical

Thinking, Metacognition & The Calculus,in

www.soton.ac.uk/ãmt/amtpaper.htm.POWELL, Stephen G., “Six Key Modeling

Heuristics”, in the sitemb a. luckmouth. edu/ page s/ fa cul ty/

steve.powell/sixkey.htm.STRANG, Gilbert, Calculus, Wellesley

.Cambridge Press. 1991.SARMIENTO, Cabrera Lizardo. La Heurística:

una alternativa metodológica para laenseñanza de procedimientos lógicos delpensamiento asociados a conceptos atravésde la clase de Matemática presentación enCOMAT 2001, Matanzas – Cuba. 2001.

VIANA, Emilio, Entrevista en Choque deOpiniones, CNN en Español, 14/10/2001,Washington – DC, 2001.


Oficinas

Construção dos númerosrelativos e de suas operações

Vera Kern Hoffmann

1 - IntroduçãoA oficina tem a intenção de discutir

uma metodologia para a construção denúmeros relativos e de suas operações.Serão apresentados jogos e outrasatividades que se utiliza para realizar estaconstrução. A proposta baseia-se ematividades simples, e no uso de materiaisde baixo custo. Todas as atividades forampor mim aplicadas em sala de aula, emmini-cursos e em encontros de professoresde Matemática desde 1986. A propostaenfatiza principalmente a diferença entrea operação matemática e o número inteirorelativo nas operações. Utiliza-se daoperação adição para a construção doconceito da operação de multiplicação semse fixar na regra de sinais.

2 - Números InteirosRelativos

A introdução dos números relativos,em nossa época, parece ser um fato simplese corriqueiro. Normalmente, nós,professores de Matemática, não nos damos

conta das dificuldades que estãosubjacentes à compreensão dos númerosrelativos e não explicamos aos nossosalunos o porquê de negativo vezes negativoser igual a positivo. Será que sabemosexplicar o motivo? Ou simplesmentefalamos aos alunos que é assim e pronto?Necessitamos, portanto, de um modelomatemático que possa ser utilizado tantona adição como na multiplicação denúmeros relativos.

Nossos alunos enfrentam dificuldadesao estudarem os números relativos e suasoperações. Além disso, a passagem doestágio das operações concretas para asabstratas, com todas as implicações que aselas trazem, acentua a necessidade deestudo e de um aprofundamento didáticoem números relativos. Precisamos de ummodelo que seja familiar aos alunos. Ummodelo que se possa explicarsimultaneamente à adição e à multiplicaçãodos números relativos, bem como asoperações inversas. O modelo matemáticoprecisa permitir que os alunos façamtransferências de aprendizagem e que nãosejam condicionados a exemplos quetolham sua autonomia. Apresento uma

Vera Kern Hoffmann é Professora do Instituto de Educação Ivoti


série de atividades que visam auxiliar nossosalunos a superar as dificuldades queencontram ao estudarem os númerosrelativos.

Atividade 1 : Jogo dovermelho-azul

Material: Confeccionar sete cartõesvermelhos e sete cartões azuis, ambos com

a escrita de um numeral natural de 0 a 6;uma folha quadriculada (“casas”) como omodelo abaixo ampliada para pelo menos5 jogadas por aluno e fichas ou outromaterial que possa servir como marcador.

Procedimento: Formar duplas pararealizar o jogo. Cada dupla recebe umafolha quadriculada e deve preencher todasas jogadas.

O aluno que vai jogar deve colocar seumarcador sobre o ponto zero de uma linhae tirar um cartão azul e outro vermelhodo monte. Se, como no exemplo, ele tiraro cartão 4 azul, então deve deslocar seumarcador 4"casas” para a direita a partirdo ponto zero; em seguida, como ele tirouo cartão 6 vermelho, deve deslocar omarcador, saindo da “casa” 4 em direção àesquerda 6"casas”. Seu marcador deve ficarna “casa” 2 vermelha. Ele coloca as iniciaisde seu nome no local onde chegou omarcador e anota, no final da tabela, o parordenado que usou para chegar na “casa”2 vermelha, como no exemplo. Recolocam-se as fichas no jogo, e o outro jogador fazsua jogada sempre iniciando do zero. Deve-se preencher toda folha .

Após a realização do jogo, solicita-seaos alunos que escrevam as observações quefizeram a partir do jogo. A importânciadesta atividade está no fato dos alunosanotarem as idéias que tiveram ao realizaro jogo.

Atividade 2: Jogo dostriângulos e dos quadrados

Material: 50 quadrados (4x4 cm); 50triângulos equiláteros (4cm de base ); dadoe 4 marcadores e folha quadriculadasemelhante à do jogo anterior.

Procedimento: Os alunos jogam emgrupos de quatro. Recebem figurasrecortadas nas formas triangulares equadradas e um dado. Além disso, umafolha semelhante à do jogo anterior.

6v 5v 4v 3v 2v 1v 0 1a 2a 3a 3a 4a 5aPar

ordenado

Paulo (4,6)

Helena

(4,1)


Cada aluno, na sua vez, joga o dado erecebe o número de quadrados que foiindicado pelo dado. Procede à nova jogadae recebe o número de triângulos que o dadoindicou. Estabelece-se a regra de que umquadrado e um triângulo se anulam. Anota-se o número de figuras que restaram dajogada, bem como o par ordenado formadopelo número de quadrados e triângulossorteados( observar bem a ordem do parordenado - quadrados, triângulos). Vence ajogada o jogador que tiver mais quadrados.

Neste jogo devemos cuidar para falarsomente do número de quadrados a mais oua menos do que triângulos que temos najogada.

É necessário acentuar que as atividadesaté aqui desenvolvidas permitem que osalunos pensem em modelos diferentes paraas situações, sem se fixar em um específico.A importância deste fato reside que nãointeressa o material ,mas a estrutura que estáinerente ao jogo.

Atividade 3: Chegando aoconjunto dos inteiros relativos

Material individual de cada aluno:fichas de papel (3x3cm); 13 envelopesconfeccionados pelo aluno.

Procedimento: Solicitar que os alunosescrevam em cada ficha um par ordenadodo último jogo. Pedir que organizem asfichas sobre a mesa de tal maneira que asfichas que representam a mesma “casa”(quantidade) fiquem juntas. Pedirigualmente que coloquem, em um mesmoenvelope, todas as fichas que representam amesma quantidade e que dêem “nome” aoenvelope, indicando, por um lado, a

quantidade que ele está representando emrelação aos quadrados e, por outro, se háquadrados a mais ou a menos do que zero.

Exemplificando:O envelope 1 a mais pode conter as

fichas ( 1,0) ;(2,1); (3,2); (4.3) ;(5,4);(6,5) =+1

O envelope 2 a menos pode conter asfichas (0,2) ; (1,3) ;(2,4) ; (3,5); (4,6) = -2

O envelope 0 pode conter as fichas (0,0);(1,1); (2, 2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6) = 0

Estabelecer o conjunto de todos osnúmeros que houver nos envelopes.Reconhecer que seria possível ampliar onúmero de envelopes e, por conseqüência,o conjunto de envelopes que até o momentoé finito, poderia ser infinito. Nomear o novoconjunto reconhecido como conjunto Z :conjunto dos números inteiros relativos.Estabelecer com os alunos os subconjuntospossíveis. A notação de módulo e acomparação entre números relativos pode sertrabalhada neste momento.

Atividade 4: Construindo aadição com os quadrados etriângulos

Material: 1 dado normal; 1 dado comos sinais de “+” e de “-”; os quadrados etriângulos da atividade 3 e uma ficha a sercopiada no caderno.

Procedimento: Estabelecer que asfiguras quadradas representarão asquantidades positivas e os triângulos asquantidade negativas. Cada aluno joga, nasua vez, os dois dados e pega as peçascorrespondentes ao resultado e preenche atabela. Cada aluno partirá de saldo zero. Aofinal, vencerá quem ficar com o maior saldo.


Após concluir a atividade, pedir queescrevam a frase matemática obtida no seujogo, observando a coluna dos pontosobtidos:

0 + ( +3) + (-5) + ( -3 ) + ( +4 ) + (+2 ) = +3 -5 -3 +4 +2 = +9 -8 = +1

Este jogo deve ser repetido váriasvezes porque permite que os alunos

cheguem à conclusão de como podemsomar os números relativos.

Variação do jogo: Cada jogador jogao dado 5 vezes consecutivas e anota, naficha em seu caderno, os pontos obtidospor ele e pelos seus colegas. Vencerá oaluno que tiver o maior saldo

O aluno pode utilizar o material dosquadrados e triângulos para solucionar asquestões. O professor deve verificar asdiferentes maneiras que os alunos utilizampara encontrar os resultados e comentar afacilidade que existe em juntar,inicialmente, as quantidades positivas e asnegativas para depois estabelecer adiferença.

Após estas atividades, outros

exercícios de adição poderão serrealizados.

Atividade 5: Construindo asubtração com o jogo do “é”e do “não é”

Material :1 dado com os sinais positivoe negativo(dado da operação); 1 dado comos numerais +1; +2; +3; -1; -2; -3 efiguras quadradas e triangulares.

Nome Pontos Resultado

Paulo +3+5-3-2+2 -5

Helena -2-3+5+6-1 +5

Rosane -3+2-1+2-3 -3

Claudia +6-5-4+2+1 0

Procedimento: O aluno joga os dados e anota os resultados na tabela:


O sinal “+” do dado dos sinaissignifica que “é” o número positivo ou onúmero negativo que ele obteve no dadodos numerais. O sinal “-” do dado dossinais representa que “não é “ o númeropositivo ou o número negativo obtido nodado dos números. O aluno retira as peçasconforme os pontos da jogada. Ao final dascinco rodadas, ele verifica o seu saldo final.

Cada aluno deve escrever a frasematemática do jogo e determinar o seuresultado. Vencerá quem tiver o maiorsaldo.

Frase matemática com os parênteses:+(+2) - (+3) - (-2) - (-1) +(-3) e de formasimplificada sem os parênteses : +2 -3 +2+1 -3 = +5 -6 = -1

Este jogo deve ser bem explorado paraque os alunos tenham condições de definira diferença entre o sinal do número queexpressa uma quantidade e o sinal de

operação. Esta clareza é necessária para aconstrução do próprio conjunto Z, pois aquantidade representada pelo número éum estado, enquanto que, o sinal queantecede ao número é a operação queresultará em um determinado efeito sobreo número.

Atividade 6 : Construindo amultiplicação dos númerosrelativos

Material: quadrados e triângulos ; umdado com os numerais :+1; +2;+3; -1; -2; -3 ; um dado com +1x; +2x; +3x; -1x;-2x; -3x ; ficha copiada no caderno.

Procedimento: Cada aluno joga osdois dados ao mesmo tempo, interpreta-os conforme a regra e retira o número dequadrados ou triângulos. A regra é que odado do vezes é o operador que determinaquantas vezes devemos, ou não, retirarquadrados ou triângulos.

Exemplificando: - 2 x ( +3 ) = -6 Significa não é duas

vezes o três positivo (quadrados), logoserão 6 negativos(triângulos).

+2 x ( -3 ) = -6 Significa é duas vezeso três negativo (triângulos), logo serão 6negativos(triângulos).

-2 x ( - 3 ) = +6 Significa não éduas vezes o três negativo (triângulos) ,logo serão 6 positivos (quadrados).

O jogo da multiplicação pode serrealizado com diferentes materiais, taiscomo: piões ou roletas que possibilitem otrabalho com quantidades maiores.

A multiplicação é introduzida comosoma de parcelas e, por isto, a adição deveestar bem trabalhada. Utilizando estametodologia não haverá necessidade de oprofessor apresentar a regra da operaçãomultiplicação, nem é conveniente fazê-lo.


O aluno realiza estas associações, quefacilitam o seu aprendizado e evita adificuldade da utilização dos sinais nasoperações.

A operação divisão pode serintroduzida com um jogo, mas ela é melhor

compreendida como a inversa da operaçãomultiplicação. O jogo da divisão, nestemomento, é uma situação desnecessáriapela construção de sua operação inversa,que foi proposta anteriormente.

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17,3%

48,3%

26,9%

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Não satisfatório

Regular

Bom

Muito bom

Sem resposta


I Congresso Internacional deEnsino da Matemática –

apresentação e avaliaçãoO I Congresso Internacional de

Ensino da Matemática, realizado naUniversidade Luterana do Brasil emCanoas, foi um evento de grandesignificado e representou um marco nasdiscussões do Ensino da Matemática emnossa Instituição. O grande número departicipantes mostra que essa áreaacadêmica tem se consolidado nos últimosanos, proporcionando pesquisas e aformação de grupos atuantes em diversasInstituições de Ensino Superior. Aintegração com pesquisadores de países sulamericanos se mostrou bastantepromissora, o que nos encoraja a darcontinuidade a esse tipo de evento,planejando o II Congresso Internacionalde Ensino da Matemática para o ano de2003.

A Universidade Luterana do Brasil,o Curso de Matemática e o Programa dePós-graduação em Ensino de Ciências e

Matemática foram muito felizes aoproporcionarem este momento aospesquisadores, professores de Matemáticados diversos níveis de ensino e aoslicenciandos de Matemática, permitindouma importante troca de experiências,propiciando a discussão e ocompartilhamento de questões, problemase vivências da laboriosa, porém gratificantetarefa de pesquisar o ensino e o ensinarMatemática.

Conferências, grupos de discussão eoficinas pedagógicas, de alto nível, foramrealizadas ao longo dos três dias docongresso. A avaliação dos congressistasnos diversos aspectos do I Congresso foimuito positiva. A organização do evento foiconsiderada satisfatória, conformepodemos observar no gráfico 1.

Gráfico 1Organização do evento


Oficinas pedagógicas representamuma modalidade de ação que promove ainvestigação de problemas matemáticosatravés da relação prática-teoria. É umasituação de ensino-aprendizagem onde setrabalha com a participação ativa dosalunos, utilizando materiais concretos,visando o desenvolvimento dos

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Muito Bom Bom Regular Ruim

Avaliação das oficinas da manhã

conhecimentos. Objetivam refletir eapresentar alternativas aos desafiospedagógicos a que estão sujeitos osdocentes. Nesse sentido as oficinasdesenvolvidas no I Congresso atingiramseus objetivos, o que pode ser verificadona avaliação feita pelos participantes eapresentada nos gráficos 2 e 3.

Gráfico 2

Gráfico 3

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Avaliação das oficinas da tarde


Os grupos de discussão objetivam discutir assuntos que despertam grande interesseem pesquisadores e em professores de Matemática. A avaliação desta atividade nos deixoumuito satisfeitos, porque de forma clara o grau máximo se salientou, conforme observamosno

Gráfico 4

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Avaliação dos grupos de discussão

O evento, na sua totalidade, foiprofícuo e de grande importância para oensino da Matemática, para odesenvolvimento da pesquisa na área epara a integração de educadores

matemáticos preocupados com o processoensino-aprendizagem da Matemática.

Arno BayerCarmen Kaiber da Silva

Claudia Lisete Oliveira Groenwald


NORMAS PARA PUBLICAÇÃO

1. MODALIDADES DE PUBLICAÇÃO1.1 - artigos que expressem opiniões e posicionamentos acerca de questões atuais das Ciências

Naturais e Exatas, cientificamente embasados.1.2 - resenha crítica de obras relativas a essas áreas, resumo de teses, comunicações,

documentos;1.3 - matérias de divulgação da Universidade;1.4 - matérias informativas sobre participação em eventos científicos e tecnológicos.

2. APRESENTAÇÃO DOS ORIGINAIS2.1 - os artigos deverão ser apresentados em disquete, de preferência em Windows Write ou

Windows Word, acompanhados de uma cópia impressa;2.2 - o texto dos artigos deverá ter de 10 a 20 laudas; o texto de resenhas ou outra modalidade

de comunicação não deverá ir além de 10 laudas;2.3 - um resumo de seis(6) a dez(10) linhas, em língua portuguesa e em língua inglesa,

deverá introduzir o artigo, juntamente com palavras-chave;2.4 - a apresentação deverá conter: identificação, com título, sutítulo (se houver), nome(s)

do(s) autor(es), maior titulação acadêmica, cargo atual e instituição em que exerce suas funções;telefones e endereços particular e profissional;

2.5 - citações, referências bibliográficas e notas de rodapé deverão seguir as normas daABNT, ou, excepcionalmente, em casos devidamente justificados, de outro sistema de reconheci-do valor científico;

2.6 - a estrutura do artigo será a de um trabalho científico, contendo partes tais como:introdução, desenvolvimento, material, métodos, resultado, discussão, conclusão, segundo ascaracterísticas específicas de cada matéria.

3. PUBLICAÇÃO3.1 - os trabalhos remetidos para publicação serão submetidos à apreciação do Conselho

Editorial ou de outros consultores por este designados, de acordo com as especificidades do tema.Em se tratando de material elaborado por aluno(s), o mesmo deverá estar visado por um professorda área;

3.2 - os autores serão comunicados, através de correspondência, da aceitação ou recusa deseus artigos. A Comissão Editorial não se responsabiliza pela devolução dos originais remetidos;

3.3 - havendo necessidade de alteração quanto ao conteúdo do texto, será sugerido ao autorque as faça e devolva no prazo estabelecido; adequação lingüística e copidescagem estão a cargoda Comissão Editorial;

3.4 - os autores receberão 2(dois) exemplares da revista.

acta scientiae v4 n1 2002_formacao de professores de matematica

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