ABACOM B o l e t í n M a t e m á t i c o Año 4 Nº 17 Noviembre 2005

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En esta edición:

Inform pág. La

La Mag Cu Ge Na El El

La Matticia

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ProbleConsultas………………………………………………….... 8 Matem

Su El Alg Re So

Concurso De So

ática útil CPU y el código binario………………….. 2

ia del Infinito ando la parte equivale al todo...…………. 3orge Cantor y David Hilbert………………. 4 turales, Enteros y Racionales……………. 4Hotel Hilbert…………………...………….… 5 desafío de Hilbert…………………….…….. 5

emática en Chile…………………………………. 6 No s

lleres de Matemática en Osorno…..……….. 6 nzamiento ABACOM…………………..…….. 7 sultados Olimpiadas de Matemáticas……… 7

mas de Olimpiadas………………………………... 8

áticas Entrete… doku…………………….……………………… 9 Cero y el Infinito..…………………………….. 9 unos símbolos y su historia…………...……. 10 cortando papel............................................. 11 nrisas Matemáticas...………………………… 11

safío a tu Ingenio…………………………….. 12 pa Matemática………………………………… 12

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EDITORIAL ¿Profesión?: Matemático(a) En esta edición retomamos la sección: La Matemática en Chile, en que se destaca la figura de un(a) matemático(a) chileno(a), en algunos casos de nuestra ciudad (Valdivia). En esta oportunidad es una matemática, la Dra. Mónica Canales, del Instituto de Matemáticas de la UACh. Pero, ¿qué es un matemático? Paul Erdös, destacado matemático húngaro contemporáneo, lo definió diciendo “un matemático es una máquina que transforma cafés en teoremas”. El trabajo de un matemático consiste en descubrir teoremas, enunciarlos y demostrarlos. Éstos se comunican a través de artículos (papers) en revistas especializadas. También hay muchas personas que se dedican a entender y aprender los teoremas que han sido descubiertos, para transmitírselos a otros. Esta es la valiosa labor de los pedagogos. Es difícil descubrir un teorema. Isaac Asimov, doctor en química, famoso escritor de ciencia ficción y divulgador de las ciencias, entre ellas la matemática, decía: “Cada vez que descubro algo sorprendente en matemáticas, hay dos posibilidades: o es errado o ya fue descubierto mucho tiempo antes por otro”. Ha habido teoremas cuya demostración ha tardado siglos en encontrarse, como el famoso Último Teorema de Fermat, planteado por Fermat a mediados del siglo XVII y demostrado por Wiles en 1993. Otro que se resistió durante más de un siglo fue el Teorema del Mapa de cuatro colores, demostrado también a fines del siglo XX (1976). Existe una infinidad de problemas abiertos, es decir cuya respuesta es aun una incógnita, como tres de los 23 problemas planteados por el genio de Hilbert a comienzos del siglo XX. La tarea de los matemáticos consiste en dilucidar esas incógnitas. Entre las carreras que puedes seguir está la de matemático,… ¿te atreves a asumir este desafío?

“Ants” M.C.Escher

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Informática útil La CPU, cerebro de la computadora y el código binario Manuel Bustos Valdebenito.

La CPU -Unidad Central de Procesamiento- de un PC está compuesta por millones de transistores microscópicos grabados en una base de silicio muy pequeña mediante un proceso químico y fotolitográfico. Sus transistores guardan cargas eléctricas que representan unos o ceros, el código binario utilizado por las computadoras para comunicarse. Además están interconectados, a fin de manejar la información y realizar operaciones matemáticas y lógicas, sincronizadamente. Así, los transistores son los encargados de procesar toda la información. Veamos algo de esto.

Un transistor básico funciona como un conmutador, según su carga. En las dos figuras siguientes se muestra un circuito conmutacional en dos estados

2

o es el es

se representa un

El primer tado 0: el circuito está abierto, no circula corriente. En cambio en la figura siguiente el circuito está cerrado, circula corriente y la lámpara se enciende; es el estado 1.

En la primera figura de abajo circuito más complejo: cuenta con dos conmutadores en serie , A y B, uno de los cuales está abierto. Se representa por A B⋅ . A su lado tenemos tabla con todos los estados posibles y sus resultados. Vemos que sólo circula corriente cuando ambos están en estado 1. Este es el circuito o puerta AND y, que en lógica digital se esquematiza por

una

ste otro circuito tiene dos conmutadores en paralelo, A y B. Se le representa por E A B+ . La tabla muestra que

ay algunos circuitos o puertas más complejos, como el que se muestra en la figura –la

bit es cualquiera de los valores 0, 1. Un byte es cualquier conjunto de 8 bits:

observemos que cualquie

n que contamos. Con los diez

siempre pasa corriente, excepto cuando ambos estados son 0. Este circuito es la puerta OR, esquematizado por

Hpuerta XOR–, adaptados a las situaciones que se quiere manejar. Un 11001101, por ejemplo. ¿Cuál es el interés de todo esto? Para responder a ello r información se representa codificada : El Prisionero de Askabán se vende en inglés,

ruso, francés,…, y nosotros lo leemos codificado en español, pero la historia –la información– es la misma. No es de extrañar, entonces, que para una misma información existan diferentes códigos. Para escribir los números utilizamos el sistema decimal, pues diez son los dedos codígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las potencias de 10 es posible codificar cualquier número. Por ejemplo el dos mil quinientos cuatro se codifica 2504 porque corresponde a: 3 22504 2 10 5 10 0 10 4= × + × + × + . Pero en las computadoras, que sólo disponen de dos bits –el 0 y el 1– el sistem inario 11001101 corresponde a: 7 6 5 4 3 211001101 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1= × + × + × + × + × + × + × + ,el doscientos cinco. Por ahora no po o la CPU de una com

a es binario. Así, el número b

demos ir mucho más lejos pero si podemos imaginar com putadora, con sus innumerables transistores y sus combinaciones, es capaz de realizar complejos cálculos, en tiempos mínimos, utilizando para ello el código binario.

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La magia del infinito: Cuando la parte equivale al todoIván Medrano Tello

El concepto del infinito y su problemática ha estado presente en las Matemáticas desde el tiempo de los griegos. Zenón de Elea (495A.C?-435A.C?) lo hizo presente en dos paradojas del mismo tipo: una referente a si un corredor alcanza la meta de una pista de carrera de longitud finita; y la otra en relación a una carrera imaginaria entre Aquiles y una tortuga, a la cual por su condición se le permite salir primero, la pregunta que surgía en esta situación era: ¿ Aquiles alcanzará a la tortuga?. Las sorprendentes respuestas a estos dilemas, con las bases conceptuales y el cálculo matemático de esa época, eran que el corredor no llegaba a la meta ni Aquiles alcanzaba la tortuga. Considerando, la paradoja del corredor y su meta, Zenón afirmaba que no se puede llegar al final de una pista de carrera de longitud , porque para eso hay que recorrer primero la mitad de esta

L/ 2L , y después para recorrer la mitad faltante es preciso

hacerlo con la mitad de ésta: / 4L , y una vez hecho esto, correr la mitad de lo que está restando de pista: / 8L ; y así sucesivamente en un proceso de división infinita de la pista de carreras . Como consecuencia de lo anterior si T es el tiempo que se demora en recorrer la mitad de la pista (a velocidad constante) , para recorrer la mitad de la mitad necesita , para la mitad de la pista restante y para los tramos subsiguientes : ,

,...etc. Por lo tanto el tiempo total que se demora en recorrer la pista es igual a la suma infinita:

/ 2T/ 4T / 8T

/ 16T

T +2

T+

4

T+

8

T +

16

T+

32

T+... Zenón razonaba: “...no puede

tocarse un número infinito de puntos, uno por uno, en un tiempo finito...”; por lo tanto el corredor nunca alcanzaba la meta. Lo que evidentemente contradice la experiencia cotidiana. El objetivo matemático de las paradojas de Zenón era argumentar contra la infinita divisibilidad del espacio y del tiempo, concepto que las matemáticas de su tiempo habían usado libremente sin preocuparse de la necesaria precisión de la idea. Estas paradojas además de propiciar las bases para casi todas las teorías del espacio, el tiempo y el infinito que se han constituido desde su tiempo hasta el presente; indicaban que la geometría y las técnicas de medición del siglo V A.C. , necesitaban una base nueva. Esta fue suministrada por Eudoxio, con su teoría de la proporción, la que sirvió por muchos siglos, hasta el siglo XIX, para fundamentar la teoría de los números reales. En el siglo XIX ocurre una revolución en las matemáticas: se pretende axiomatizar el análisis matemático en forma análoga a la geometría euclidiana. Es decir, construir una teoría en base a un número finito de primeras definiciones, axiomas y reglas de operación. En la búsqueda de estos primeros axiomas, se llega a la conclusión que el pilar esencial del análisis matemático son los números reales. Por lo tanto es necesario fundamentar rigurosamente la teoría de los números reales y los esfuerzos matemáticos se orientan hacia este objetivo. Es aquí donde

emergen las teorías de los números reales de Richard Dedekind (1831-1916), George Cantor (1845-1918) y Karl Weierstrass (1815-1897). Nos remitiremos solamente a Cantor, quién con su teoría de las clases o conjuntos da las herramientas matemáticas no sólo para construir una teoría de los números reales sino también posibilita otro desarrollo teorético: la teoría de los números cardinales o transfinitos que permite tratar el concepto de infinito adecuadamente, superando las paradojas del pasado. Un concepto esencial en la teoría de los cardinales es la definición de conjuntos equipolentes (o conjuntos equivalentes). Dos conjuntos A y se dicen equipolentes si se ha establecido un aparejamiento entre los elementos de

BA y de , de tal

manera que todos tengan su pareja, pero sólo una, no se aceptan bígamos (matemáticamente se dice que se ha definido una biyección entre el conjunto

B

A y el conjunto ). Dos conjuntos que son equipolentes se dice que tienen el mismo número cardinal (informalmente tienen el mismo número de elementos).

B

Así, si consideramos los números naturales y una parte de ellos, los números pares, podemos establecer una correspondencia, (ver recuadro en pág. 4) es decir, los números naturales y los pares (una parte de ellos)… ¡tienen el mismo número de elementos! Esto, aunque sea sorprendente para la intuición ordinaria, no constituye ninguna contradicción en la teoría de los números cardinales porque se ha construido una biyección entre los naturales y los naturales pares, por lo que se puede concluir que son conjuntos equipolentes y en consecuencia tienen el mismo cardinal, el mismo número infinito de elementos.

Un conjunto que es equipolente al conjunto de los números naturales, se dice que es numerable. Se puede demostrar que los números enteros y los números racionales son conjuntos numerables. Pero las sorpresas con la teoría de Cantor, no terminan aquí: él establece que “hay infinitos infinitos” y unos mayores que otros, por ejemplo: se puede probar que el infinito de los números reales (denominado Aleph Uno) “es más grande” que el infinito de los números naturales (Aleph Cero). De lo expuesto se ve, que el mundo de los infinitos es un mundo alucinante y del cual por supuesto no se ha dicho la última palabra. Como un comentario final, cabe señalar que las paradojas de Zenón, han sido debidamente resueltas en la matemática actual con la teoría de series, en la cual una suma infinita puede perfectamente tener un resultado finito.

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George Cantor (1845 – 1918) Nació en San Petersburgo, Rusia, el 3 de marzo de 1845. Su madre era rusa y su padre era un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Alemania. Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros y estaban bien pagados, sin embargo, a Cantor

no le gustaba la idea y estudió Matemáticas. Estudió en el Politécnico de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron Weierstrass y Kronecker, destacados matemáticos. Cantor estudió los conjuntos infinitos. El primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que

había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. (Galileo había demostrado que había el mismo número de puntos en segmentos de diferente tamaño). Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño. Sus teorías fueron muy controvertidas pero tuvo el talento y el valor de enfrentarse cara a cara con el infinito de una forma sin precedentes. Cantor padeció trastornos maníaco-depresivos, en varias etapas de su vida. Sólo al final de su vida, se empezó a apreciar su trabajo, cuando ya era demasiado tarde, pues su enfermedad mental ya estaba muy avanzada. Murió en 1918 en un sanatorio mental.

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DDaavviidd HHiillbbeerrtt ((11886622 –– 11994433)) Nació el 23 de Enero de 1862 en Konigsberg, Prusia (actualmente Kaliningrado, perteneciente a Rusia). Estudió en el Instituto de su ciudad natal. Posteriormente realizó su carrera y su doctorado en la Universidad de Konigsberg bajo la dirección del profesor Lindemann. Se doctoró en 1885. Hilbert se incorporó al profesorado de la Universidad de Konigsberg en 1886, llegando a obtener el grado de catedrático en 1893. En 1895 consiguió la cátedra de matemáticas en la Universidad de Gottingen, continuando allí toda su carrera profesional. En el año 1888 probó su famoso “Teorema de la Base”. Su fama creció al participar en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebró en París al acabar el siglo XIX (ver recuadro, pág. 5), donde planteó sus

famosos 23 problemas, siendo el Nº1 el problema de la cardinalidad del continuo, relacionado con el infinito. Hilbert trabajó en muchas ramas de la matemática y de la matemática aplicada, tales como: cálculo de variaciones, teoría de relatividad general, análisis funcional, etc. Hilbert recibió muchos honores a lo largo de su vida profesional, por ejemplo, en 1905, la Academia de Ciencias de Hungría le rindió homenaje. En 1930 se retiró y la ciudad de Konigsberg le nombró ciudadano de honor. Murió el 14 de Febrero de 1943 en Gottingen, Alemania.

NNaattuurraalleess,, EEnntteerrooss yy RRaacciioonnaalleess…… ¿¿CCuuáánnttooss eelleemmeennttooss ttiieenneenn?? El conjunto de los números naturales { }1, 2, 3, ...=N tiene una cardinalidad (número de elementos) que se denomina Aleph Cero. El conjunto de los números pares P = {2, 4, 6,…}, podría pensarse que tiene la mitad de elementos que , pero tienen la misma cantidad. ¿Cómo se puede comprobar esto? Fácilmente a través de la correspondencia siguiente:

N

nn 2↔

Y los números enteros { }..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ...= − − −Z , ¿cuántos elementos tienen?, ¿más que los naturales?, aparentemente tienen muchos más. Pero no, tienen la misma cardinalidad que los naturales, es decir Aleph Cero. La siguiente correspondencia lo prueba.

1 2 3 4 5 6 …

b b b b b b

0 1 1− 2 2− 3 … ¿Y los racionales?, { }/ : , , 0p q p q q= ∈Q Z ≠ , (conjunto de todas las fracciones)…aunque parezca increíble, su cardinalidad es exactamente la misma que los naturales. Primero veamos que el

número de fracciones positivas es el mismo que de números naturales. El siguiente arreglo contiene a todas las fracciones positivas y las flechas indican una ordenación que permite ponerlas en correspondencia con los naturales.

1/1 1/2 1/3 L 2/1 2/2 2/3 L 3/1 3/2 3/3 L M M M

En forma análoga a como se estableció correspondencia entre y , se puede establecer correspondencia entre las fracciones positivas y todas las fracciones.

N Z

Con esto queda claro que tanto como Z y también Q tienen la misma cantidad de elementos. ¿Y los números reales?...Ahí si que no se mantiene la misma cardinalidad. La cardinalidad de los números reales se denomina Aleph Uno y es mayor que la de los naturales.

N

REstas son algunas de las situaciones extrañas con que nos encontramos si nos atrevemos a enfrentarnos al infinito.

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EEll HHootteell HHiillbbeerrtt:: El sorprendente hotel donde el pasajero tiene siempre habitación asegurada Juan Leiva Vivar El Sr. Hilbert, dueño de una cadena de hoteles, quiso construir el hotel más grande del mundo. En principio le pidió a los arquitectos que hicieran los planos con 10.000 habitaciones. Cuando iba a comenzar la obra, pensó: “¿Y si alguien construye un hotel con 20.000 habitaciones?, el mío ya no será el más grande”. Así fue como, para no correr riesgos, pidió modificar los planos y decidió que el número de habitaciones sería infinito.

- ¿Cómo dijo?- preguntaron los arquitectos. - Infinitas habitaciones – respondió - enumeradas: 1, 2, 3, …etc. - Y así se hizo.

El día de la inauguración del Hotel Hilbert, todas las habitaciones estaban reservadas y el hotel se llenó rápidamente. A todos los pasajeros se les informó que había una condición que debían cumplir. Ésta era que, cuando se les solicitara, debían cambiarse de habitación, lo que no sería problema pues todas eran de igual comodidad y había personal que les facilitaría el traslado.

Estando completo el hotel, llegó un político muy importante a solicitar habitación. El Sr. Hilbert le dio la bienvenida y dijo: - No hay problemas – y ordenó que lo acomodaran.

El mayordomo le hizo ver que estaban todas las habitaciones ocupadas, pero el Sr. Hilbert respondió: - Ordenen a cada pasajero que se cambie a la habitación que tiene el número siguiente a la que ocupa actualmente. Así fue como el de la pieza 1 pasó a la 2, el de la 2 a la 3,…el de la 1.874 a la 1.875 y así sucesivamente, quedando todos nuevamente acomodados y la pieza 1 desocupada para que el político importante la ocupase. Horas más tarde llegó una delegación de un gobierno vecino, solicitando 5 habitaciones, lo que fue satisfecho haciendo que cada pasajero, ahora se cambiase a la habitación 5 números más adelante que la suya. Así el de la pieza 1 ahora se trasladó a la 6,…el de la 124 a la 129, etc. Quedaron así las primeras 5 habitaciones vacías y pudo cumplirse lo requerido. Al día siguiente, cuando aún ningún pasajero había abandonado el hotel, llegó un tren con infinitos turistas, solicitando habitaciones. El mayordomo pensó “…ahora sí que no podremos responder”. Pero el Sr. Hilbert no se inmutó cuando se le informó. Llamó al mayordomo y le instruyó: - Solicite a cada pasajero del hotel que se traslade a la habitación que lleve por número el doble del que ocupa actualmente - así el 1 se fue a la 2, el 2 a la 4,…el 41 a la 82, etc. Quedando libres todas las habitaciones de números impares.

Luego pidió a cada uno de los turistas que venía llegando, que el número que ocupaba en el tren lo multiplicase por 2 y le restase 1. Así el que en el tren tenía el 1 le correspondió el mismo 1 (1 2 1⋅ − ), el 2 fue a la pieza 3 ( ), el 3 fue a la pieza 5 ( 2 3 ),…, etc. Así los turistas ocuparon las habitaciones de números impares, quedando todos acomodados.

2 2 1⋅ −1⋅ −

Dos días después, estando aún completo el hotel, llegaron infinitos trenes con infinitos turistas cada uno, y el Sr. Hilbert igual se las ingenió para acomodarles…¿cómo lo hizo?

EELL DDEESSAAFFÍÍOO DDEE HHIILLBBEERRTT David Hilbert, en el Segundo Congreso Internacional de Matemática realizado en París del 6 al 12 de Agosto de 1900, planteó 23 problemas abiertos en matemáticas que marcaron la pauta del trabajo de muchos matemáticos durante el siglo XX. La mayoría ya ha sido resuelto, y los métodos de resolución han abierto nuevos campos en la matemática.

La conferencia dictada por Hilbert, donde planteó su desafío, la comenzó diciendo: “Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?”

De los 23 problemas aun quedan por resolver los problemas 6, 8 y 16. El problema 6 plantea si es posible

una axiomatización de la física, el problema 8 se refiere a los números primos y su distribución, considerado por muchos como el mayor problema matemático de todos.

En noviembre de 2003, Elin Oxenhielm, una estudiante de 22 años de la Universidad de Estocolmo, Suecia, encontró la solución a una parte del problema 16 (Problema de topología de curvas algebraicas y de superficies). “Sólo me tomó unas horas resolverlo, luego de haberlo expresado en la forma correcta”, dijo la joven. Las conclusiones, publicadas en la revista Nonlinear Análisis, pueden mejorar la forma en que los científicos utilizan las computadoras para simular diversos fenómenos, tales como el calentamiento global del planeta.

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TICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS Carolina Leiva Cádiz, Periodista

TALLERES DE MATEMÁTICA EN EL OSORNO COLLEGE Las alumnas del Osorno College Victoria Mohr y Natalia García resolvieron un problema matemático como una actividad del taller de esta asignatura guiadas por el profesor Carlos Mancilla. Las estudiantes se propusieron resolver el problema de calcular la distancia entre dos puntos sobre la corteza terrestre conociendo sólo sus coordenadas. Esto es interesante de destacar debido a que ellas solamente utilizaron sus conocimientos en trigonometría plana y herramientas de geometría clásica, por lo cual serán invitadas a exponer su trabajo en la Universidad de Los Lagos de Osorno cuando se celebre la Semana de la Carrera de Pedagogía en Matemática y Computación. A través de este trabajo las alumnas demuestran que basándose en lo que conocen con los programas de enseñanza media pueden resolver problemas útiles para la vida cotidiana y una vez más se comprueba el hecho de que la matemática está presente en todo nuestro quehacer. (Información dada por el Profesor de la Universidad de Los Lagos Jorge Wevar Negrier)

TICIAS-

LA MATEMÁTICA EN CHILE LLuuiiss VVeerrggaarraa BBaassccuuññáánn DDRRAA.. MMÓÓNNIICCAA DDEELL PPIILLAARR CCAANNAALLEESS ““LLaa MMaatteemmááttiiccaa mmee hhaa ddaaddoo ttooddoo……””

Así de categórica es la Doctora Mónica del Pilar Canales para referirse al significado de la Matemática en su vida. Cuando niña mantuvo su afición por los cálculos, no obstante las opiniones poco estimulantes de su entorno. “De niña, aproximadamente 7 años, empecé simplemente a ‘pensar’ en los números. Descubrí por ejemplo que los números pares forman lo que se dice un ideal de los enteros, y que por el contrario, los impares no lo son. Recuerdo aún la emoción increíble que ese pensamiento me causó”. Guarda buenos recuerdos de algunos profesores de básica, no así de los de enseñanza media. Digamos que es de esas personas que siempre supo que su interés estaba en la ciencia de los números y, porfiando llegó a ser una matemática profesional. Actualmente es Profesora Asociada en el Instituto de Matemática de la Universidad Austral de Chile. Es santiaguina pero se declara Valdiviana de corazón.

Estudió en la Universidad de Chile en donde obtuvo su grado de Magíster bajo la conducción del Dr. Ricardo Baeza en 1989, quien también condujo su doctorado en conjunto con el Dr. Eberhard Becker de la Universidad de Dortmund, Alemania. Su tesis doctoral se titula “Niveles Superiores en Cuerpos Finitos” tema que pertenece a la Teoría de Números. “La matemática me da una sensación de seguridad, en ella todo es cierto…” y agrega, ante nuestros requerimientos “…sería más feliz si tuviera más tiempo para hacer matemática…” También está convencida que “…como profesores, debemos transmitir a los niños que para lograr cualquier cosa, incluso el aprender matemáticas, primero hay que creer que se puede. Los niños, y en particular las niñas, deben saber que, ya desde pequeños, pueden ‘pensar en matemáticas’ y disfrutarlo”.

En 1998 participó en el XXIII Congreso Internacional de Matemática, en Berlín. Allí conoció a quien es su esposo, también matemático, el Dr. Michael Vielhaber, y actualmente trabajan juntos en un Proyecto FONDECYT. “Como ves hasta conocí el amor a través de la matemática…”

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CIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTICIAS-NOTIC

Lanzamiento ABACOM:

UN REENCUENTRO CON LA MATEMÁTICA El 14 de septiembre se dio inicio a una nueva etapa del boletín matemático ABACOM en la sala multimedia del Campus Miraflores de la UACh, con la participación de estudiantes de establecimientos educacionales de la Provincia de Valdivia. Con una ceremonia en torno a la Matemática se hizo la inauguración de un nuevo año de edición de ABACOM en donde se reunió a 55 alumnos de la Provincia de Valdivia junto a sus profesores para que conocieran la versión digital del boletín a los que también se les entregó una edición en papel. Los protagonistas de este encuentro fueron recibidos por Juan Leiva, Director de ABACOM y académico de la UACh, quien hizo una reseña de los años en que ABACOM ha sido material didáctico para las clases de matemáticas. El director del Instituto de Matemáticas de la UACh, Luis Vergara también intervino, felicitando a los alumnos presentes por interesarse en esta ciencia. Posteriormente se abordó el tema “Lógica Digital” por Manuel Bustos, académico del Instituto de Matemática, el que hizo un enlace entre la matemática y la era digital en que se desenvuelven los alumnos en la actualidad. Esto se complementó con la presentación de Cristian Mondaca, integrante de ABACOM, al presentar la página web del boletín. Mondaca explicó las secciones del boletín y que en este año sólo se editará en ese formato para que los estudiantes puedan conocer más de la matemática y también puedan recibir soluciones a

problemas matemáticos que consulten al equipo de ABACOM. Además en esta edición digital se harán reseñas de matemáticos importantes; experiencias de vida de personas ligadas a la matemática, curiosidades y enlaces con portales que se refieran a temas de esta ciencia. Al finalizar la ceremonia se invitó a los alumnos asistentes a participar de un concurso en donde se sortearon textos de matemática editados por el Instituto de Matemática de la UACh, también diversos souvenir de la UACh.

XVII Olimpiada Nacional de Matemática: RESULTADOS DE LA CLASIFICATORIA NACIONAL Alumnos participantes de la X y XI regiones que rindieron la prueba clasificatoria de la Olimpiada de Matemática ya conocieron los resultados de su desempeño para postular a la Final Nacional . La Olimpiada Nacional de Matemática tiene como uno de los objetivos la detección y apoyo a jóvenes talentosos en la matemática, lo que se logró con la prueba Clasificatoria Nacional que rindieron los estudiantes a lo largo de todo el país. El total de participantes en la X Región fue de 200 (75 en la provincia de Valdivia, 47 en la provincia de Osorno, 58 en la provincia de Llanquihue y 20 en Chiloé). Por la XI Región participaron 25 alumnos. Los alumnos con los mejores puntajes de las regiones X y XI, de entre los que se seleccionará a quienes participarán en la Final Nacional, son: X REGIÓN: PROV. VALDIVIA Nivel Menor: Joaquín Hohf y Hugo Martínez. Nivel Mayor: Francisco Águila, Sebastián Moreno, Héctor Pasten y Fernando Rodríguez. PROV. OSORNO Nivel Menor: Gabriel Alarcón, Paulina Navarro, Pablo Polanco, Vicente Sandoval y Alfonso Veloso. Nivel Mayor: Manuel Follert, Fabián González, Hann Ru Huang y Carla Matus. PROV. LLANQUIHUE Nivel Menor: Catalina Elzo, Javier Garcés y Grace Rivas. Nivel Mayor: Patricio Morales y Patricio Morel. PROV. CHILOÉ Nivel Mayor: Jorge Bahamonde. XI REGIÓN : Nivel Menor: Walter Miranda. Nivel Mayor: Carlos Yáñez. Se espera que los estudiantes que participen en la Final Nacional sigan manifestando buenos resultados, los que hasta ahora ha demostrado que los jóvenes talentos bien encausados pueden comprender y crear la matemática. La Final Nacional se realizará los días 17 al 19 de noviembre en el Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigaciones Pedagógicas, Santiago.

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Problemas de OlimpiadasPresentamos un problema con su solución, planteado en la Prueba Nacional de la Olimpiada Nacional de Matemática 2004. Problema: Influenciados por los triunfos de González y Massú, en un curso de un colegio mixto, decidieron organizar un torneo de tenis. El número de niños que participó fue el doble que de niñas. La modalidad del torneo fue de “todos contra todos”, siendo 7:5 la razón entre las victorias de las niñas y de los niños. Determine cuántos alumnos participaron en el torneo y demuestre que en todo partido en que se enfrentó una niña con un niño, la niña resultó vencedora. Solución: Sean y el número de niñas y de niños participantes, respectivamente. Las niñas jugaron entre ellas

n n2( 1) / 2n n⋅ −

partidos y con niños partidos, mientras que los

niños jugaron entre ellos partidos. Supongamos que las niñas ganaron a los niños

22 2n n n⋅ =

(2 1)n n⋅ −x veces (así

que: 22x n≤ ).Entonces: 25 ( ( 1) / 2 ) 7 ( (2n n 1) 2 )n n x n x⋅ ⋅ − + − + −= ⋅ ⋅ de

donde 28 17 3x n n= − . Como 22x n≤ , se tiene que , lo que implica n n2 216 17 3n n≥ − n 0( 3)− ≤ , de

donde 0 3n< ≤ . Si , el número 1 2n n= ∨ = x no es entero, por lo tanto 3n = (y así ). 18x =Luego en el torneo participaron 9 alumnos (3 niñas y 6 niños), y como 18x = , queda demostrado que en todo partido en que se enfrentó una niña con un niño, la niña resultó vencedora.

Consult@s Damos respuesta a una consulta que ha hecho uno de nuestros lectores. Envíenos sus consultas a: e-mail: abacom@uach.cl Correo postal: ABACOM Boletín Matemático Campus Miraflores UACh. Casilla 567 Valdivia . Pregunta: 2 1 (1 5) / 2 1 0, 618my x= − = + − ≈Alicia, Bernardo y Carlos están en línea recta, Alicia está a un metro de Bernardo. David está a un metro tanto de Bernardo como de Carlos, y Alicia está la misma distancia de Carlos que de David. ¿A qué distancia está Carlos de Bernardo? (La solución no es única) Solución: Según las posiciones relativas de Alicia, Bernardo y Carlos, hay 2 posibilidades: 1ª) Bernardo está entre Alicia y Carlos: Por Teorema de Pitágoras: en AHDΔ se cumple

2 2(1 ) 2x y h= + + y en

, . Restando estas 2 ecuaciones se obtiene:

BHDΔ 221 hy +=

2 2 21 (1 ) 1 2x y y− = + − = +

. Así la distancia entre Carlos y Bernardo es de aproximadamente . 0, 618m2ª) Alicia está entre Bernardo y Carlos: En este caso se tiene el gráfico siguiente: Usando el Teorema de Pitágoras en los 3 triángulos rectángulos: AHDΔ ,

CHDΔ , DHBΔ se obtiene respectivamente: 2 2 2x y h= + , 21 ( ) 2x y h= + + , 1 , sistema de 3

ecuaciones con las incógnitas . Resolviendo

para

22)1( hy +−=hyx y ,

x se obtiene: ( 5 1) / 2x = − , por lo tanto la distancia

entre Carlos y Bernardo es 1 1 . ( 5 1) / 2 1, 618mx+ = + − ≈(Observar que no es posible que Carlos esté entre Alicia y Bernardo; y si se acepta que haya dos personas ocupando el mismo sitio, podría darse el caso que Bernardo y Carlos estén en el mismo lugar, a un metro de Alicia; y David a un metro tanto de Bernardo y Carlos, como de Alicia, formándose un triángulo equilátero.

y . Pero como AD AC x= = ,

entonces: 1 2 , de donde: y x+ = 2 1x x− = . Resolviendo esta

ecuación de 2º grado: (1 5) / 2x = + (la otra solución es negativa). La distancia entre y C es B En este caso, la respuesta es que la distancia entre Carlos y

Bernardo es cero metros. )

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SSUUDDOOKKUU:: UUnn PPuuzzzzllee LLóóggiiccoo Ante tanto juego moderno de computadores y máquinas electrónicas, surge este juego de lápiz y papel que causa furor en Europa y Estados Unidos y que ya llegó a Chile El Sudoku es un juego de lápiz, papel y lógica, como los crucigramas o sopa de letras, a la antigua, algo extraño en estos días en que los juegos electrónicos son los que “la llevan”. El juego nació en Japón e 1986 y sólo a principios de este año llegó a occidente donde se ha diseminado en muchos países y ya se pelean el espacio de los puzzles en los diarios. El fenómeno que ha causado se compara con la fiebre que despertó el cubo Rubik, del que se vendieron cerca de 100 millones de unidades. El nombre proviene de Su, número en japonés y Doku, solitario, es decir es un Solitario Numérico. Pero, ¿en qué consiste y cómo se juega? El desafío empieza con un cuadriculado de 81 casilleros, de 9 filas por 9 columnas, subdividido en 9 secciones cuadradas de 9 casillas. En algunas de estas casillas el autor del puzzle ha colocado un número del 1 al 9. El objetivo del juego es llenar todas las casillas restantes con los dígitos del 1 al 9 de tal modo que en cada fila, cada columna y cada sección aparezcan todos estos dígitos, sin que ninguno se repita. El juego es eminentemente lógico pues con los números no se efectúa ninguna operación, y perfectamente en lugar de los dígitos podrían usarse 9 letras diferentes o 9 frutas u otros 9 objetos o signos. En internet ya existen varios sitios con sudokus para imprimir o jugar en línea y para aprender trucos y técnicas. Este desafío requiere de mucha concentración, abstracción y capacidad lógica. Acá te proponemos uno,…¿te atreves a intentarlo? (SOLUCIÓN EN PÁGINA 12) En internet: www.su-doku.net , www.loogic.com/index.php/category/sudoku/

EEll CCeerroo yy eell IInnffiinniittoo El cero y el infinito son parientes muy próximos. ¿Cómo?, se preguntará Ud. Vea aquí un ejemplo: Suponga que se dispone de un jarrón lo suficiente grande, y de infinitas bolitas enumeradas: 1, 2, 3, …etc. Un minuto antes del mediodía colocamos en el jarrón las bolitas numeradas desde 1 al 10, y a continuación quitamos la número 1. A las 12 menos medio minuto depositamos las bolitas 11 a 20 y extraemos la número 2. A las 12 menos un tercio de minuto introducimos los números desde 21 al 30 y retiramos el 3; a las 12 menos un cuarto de minuto metemos los números 31 al 40 y sacamos el 4, y así sucesivamente. ¿Cuántas bolitas quedarán en el jarrón a las doce en punto?

Lo lógico es que…queden infinitas, pues por cada 10 bolitas que ponemos quitamos 1, esto es, cada vez se introducen 9 bolitas. Pero lo correcto es que… no queda ninguna. ¿Por qué? ¿Estará la número 4? ¡No! Pues la sacamos a las 12 menos un cuarto de minuto, ¿estará la 1246? No, pues 1/1246 de minuto antes de las doce la sacamos del jarrón. Esto mismo nos lo podemos preguntar para cualquiera de nuestras infinitas bolitas numeradas. ¿Estará la bolita marcada con el número n? No, no estará, porque la habremos sacado cuando faltaba 1/n de minuto para las doce. Conclusión: el jarrón queda vacío…¡las cosas del infinito!

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AALLGGUUNNOOSS SSÍÍMMBBOOLLOOSS YY SSUU HHIISSTTOORRIIAA Luis Véliz Matus Galileo: "La Filosofía está escrita en ese gran libro del Universo, que está continuamente abierto ante nosotros para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y el alfabeto en que está compuesto. Está escrito en el lenguaje de las Matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto." La matemática es el lenguaje universal, se aprende en todo el mundo y sirve para representar casi cualquier cosa que involucre cantidades. Por esto los símbolos que se usen deben ser claros y sencillos, así como las notaciones y reglas que nos indican que letra o signo debe ir antes o después de otro. Pero la notación que usamos hoy en día no siempre fue así, de hecho es más bien nueva, se ha ido construyendo gracias al aporte de matemáticos, que se preocuparon de usar símbolos sencillos para hacer más fácil la comprensión de lo que quieren expresar. En 1228 Fibonacci introduce la notación de fracciones con numerador, denominador y línea divisora. En cuanto a la notación √ para designar la raíz cuadrada, no es más que una “r” estirada, fue introducida en 1525 por Christoph Rudolff. Hacia 1550 introduce el inglés Robert Recorde el signo =, diciendo: “no existe nada más igual que esos dos trazos paralelos”... El símbolo del infinito ∞ se lo debemos al matemático inglés John Williams, quien lo utilizó por primera vez en 1655. En la edad Media, el signo − fue designado con la palabra minus (“menos”) y el signo + por più (“más”). Estas palabras fueron sustituidas por las letras “m” y “p” con el signo ~ encima, antes de adoptar universalmente los conocidos símbolos que el escribano alemán Ricardo Widmann utilizó por primera vez en 1849. Fue William Oughtred (1575-1660) quien, en 1631, introdujo de forma generalizada en su obra el uso del aspa “ x ” para representar el signo de multiplicar. Sin embargo, Wilhelm G.Leibniz, en 1698, expresó en una carta a John Bernouilli su disgusto por dicho símbolo y su posible confusión con una x, y propuso como alternativa utilizar el punto “ · ” para la operación de multiplicar. El signo para la división “ : ” lo usó Gottfried Wilhelm Leibniz sobre el año 1684.

Los signos “ < “ y “ > ” aparecieron por primera vez en la obra de Thomas Harriot Artis analyticae praxis, publicada en Londres en 1631 póstumamente. Asímismo, utilizaba un signo de igualdad similar al actual pero mucho más alargado. El uso del paréntesis se debe a Albert Girard (en 1629). La notación utilizada actualmente para las expresiones algebraicas (las indeterminadas o incógnitas representadas como letras, la suma con el signo +, la resta con el signo , etc.) aparece por primera vez en la obra de René Descartes (1596-1650). La potenciación con exponente 2 y la raíz cuadrada aparecen representadas por primera vez de forma matemática en papiros egipcios de la época del imperio medio tardío (papiros de Kahun). Sin embargo, desde entonces, ambas operaciones se representan de múltiples formas hasta llegar al siglo XVII, durante el cual René Descartes adopta la notación de la potenciación que conocemos actualmente

−

Se dice que el símbolo de integral ∫ es una “s” estirada de suma, usado por Gottfried Wilhelm Leibniz, en un artículo publicado en 1684 en una revista llamada Acta eruditorum que además contenía los símbolos dx, dy y dy/dx, que poco se parecen a los símbolos que uso Isaac Newton unos años antes. En 1908 Kramp utilizó por primera vez el símbolo “ ! ” para designar los factoriales. Actualmente los símbolos y reglas usadas en la escritura matemática son prácticamente iguales en todo el mundo, lo que hace de la matemática el lenguaje universal. Referencias: http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/simbolos.html

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RREECCOORRTTAANNDDOO PPAAPPEELL Usando papel y tijeras se puede, además de realizar una serie de juegos, mostrar la veracidad de muchos teoremas de la geometría. Como primer ejemplo el teorema conocidísimo que afirma que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180º. Basta dibujar un triángulo en cartulina, recortarlo y luego cortar los tres ángulos que yuxtaponiéndolos forman un ángulo extendido (180º). Análogamente se puede comprobar que los ángulos internos de un cuadrilátero cualquiera suman 360º y en general que la suma de los ángulos internos de un polígono de lados suman 18 . n 0º ( 2)n −El teorema de Pitágoras, puede comprobarse fácilmente. Primero dibújese un triángulo rectángulo cualquiera, a continuación dibújense cuadrados sobre los dos catetos (los lados menores, que forman el ángulo recto). El mayor de estos cuadrados se divide en 4 partes iguales mediante 2 rectas perpendiculares que se cortan en el centro del cuadrado, y una de ellas es paralela a la hipotenusa del triángulo (el lado mayor).

Si se recortan estas 5 piezas, pueden desplazarse paralelamente sobre la mesa para armar el cuadrado sobre la hipotenusa. Esta demostración fue descubierta en 1831 por Henry Perigal, un corredor de la Bolsa de Londres y astrónomo aficionado. Uno de los juegos más fascinantes de las matemáticas recreativas consiste en recortar un polígono en varias piezas para formar con ellas otro polígono. Se puede demostrar que dados 2 polígonos de la misma área es posible recortar uno de ellos en un número finito de piezas que permiten formar el otro. Pero para que las descomposiciones tengan interés, el número de partes en que se divide el polígono debe ser pequeña. Un ejemplo sorprendente es como el Hexagrama regular o Estrella de David puede seccionarse para formar un cuadrado.

A B A C O M Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad

Austral de Chile. Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Editor: Cristian Mondaca M. Redacción Periodística: Carolina Leiva C.

Instituto de Matemáticas. Facultad de

Ciencias. UACh. Casilla 567 Valdivia.

E-mail: abacom@uach.cl Fono/Fax (63)221828 www.uach.cl/abacom

SSoonnrriissaass MMaatteemmááttiiccaass ¿Qué hace un matemático si le cuesta $ 300 enviar una carta y sólo dispone de estampillas de $ 500 y de $ 200? Pone una estampilla de 500 y otra de 200, separadas por un signo menos.

º º º º º Dos alumnos salen de una prueba de matemáticas, y uno le pregunta al otro: - ¿Cómo te fue? Y el otro contesta: - La entregué en blanco, ¿Y tú? - Yo también. - ¡A lo mejor el profesor piensa que hemos copiado!

º º º º º Pregunta el profesor de matemáticas a la clase: - ¿Alguien me puede decir lo que es un trapecio? Y responde un alumno muy convencido: - Un trapecio es un "no paralelogramo". Y contesta el profesor: - Muy bien, tienes razón, porque una mesa es una "no silla".

º º º º º Le pregunta el profesor de matemáticas al alumno más porro de la clase: - Juanito, ¿Cuánto es 5x8? - Cuarenta, profesor. - ¿Y 8x5? - Tarencua, profesor.

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ursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCon

“D e s a f í o a t u I n g e n i o” Viola García Paredes RESPUESTAS PROBLEMAS Nº 16 Problema 1 Sea x la edad de la ciudad, en miles de millones de años, y sea t la edad actual del tiempo. Según el segundo verso: , y los versos tercero a octavo

dicen que:

2t =

12

x2

1 ( 15

x t− = + ) .

De estas dos ecuaciones se obtiene que . 7x =Así: la ciudad tiene 7 millones de años. .000(Según estos datos la edad del tiempo presente sería de

millones de años) 14.000 Problema 2 Cada cubo debe tener en sus caras los dígitos: 0, 1 y 2. Así quedan seis caras para ubicar los 7 dígitos restantes. Afortunadamente podemos ahorrarnos una cara usando el mismo símbolo para el 6 y para el 9 (dando vueltas el cubo). Como el cubo de la derecha contiene 3, 4 y 5, entonces las caras ocultas deben contener 0, 1 y 2. En el cubo de la izquierda podemos ver 1 y 2, por tanto las caras invisibles deben ser 0, 6 (ó 9), 7 y 8.

PROBLEMAS Nº 17 Problema 1 “Que tenga Ud. una buena mañana, oficial”, dijo el Sr. Mc Guire. ¿Puede Ud. decirme qué hora es? “Puedo hacer eso exactamente”, replicó el agente Clancy, que era considerado el policía matemático. “Sume un cuarto del tiempo que hay entre la medianoche y ahora, a la mitad del tiempo que hay entre ahora y la medianoche, y sabrá Ud. la hora correcta”. ¿Puedes calcular la hora exacta en que ocurrió esta intrigante conversación? Problema 2 Dadas tres rectas en el plano que se intersectan en un punto, considere tres ángulos consecutivos que se forman entre ellas. Sea P un punto que no está en ninguna de las rectas; y , y A B C los pies de las perpendiculares trazadas desde P a cada recta. Demuestre que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que los que las rectas forman entre sí.

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y

Curso) a: Víctor Alvarado Alvarado ABACOM Boletín Matemático Te proponemos que descubras dieciséis (16) palabras relacionadas con números, tipos de números y conjuntos numéricos (todos están en singular). Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a derecha (o viceversa).

O N U Y I X R

Casilla 567 Valdivia e-mail: abacom@uach.cl

Fax (63)221828 Recepción de Soluciones hasta

30/11/2005. A fin de año se sortearán: calculadoras, libros y otros

premios.

S C L R I G B N U O T O A E P R L F L V L M N

SOLUCIÓN SOPA MATEMÁTICA Nº16C O E A I A I A P O O S A N N M T R L I Las 12 palabras relacionadas con R I L O I I A U E C cuadriláteros son: E T S I T C G T J A Cuadrado, Rectángulo, Rombo, T I M C O E E A O R

Romboide, Trapecio, Trapezoide, N V R A P D N N M R E O H R E R A P M I Perímetro, Longitud, Área, Lado,

SOLUCIÓN EN PRÓXIMO NÚMERO Recto y Ángulo.