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AA-220 AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

Teoria das Faixas

Prof. Roberto GILEmail: gil@ita.brRamal: 6482

2

Teoria das Faixas� Técnica para resolver um problema tridimensional empregando

soluções bidimensionais conhecidas;� Não é restrito apenas ao cálculo de carregamento não

estacionário para aeroelasticidade;� A idéia é subdividir uma dada superfície de sustentação em faixas

dispostas ao longo da envergadura:

3

Teoria das Faixas

� Esta teoria é limitada a casos de asas onde os efeitos tridimensionais do escoamento podem ser desprezados, por exemplo, asas de grande alongamento;

� Não são considerados efeitos de influência aerodinâmica entre asfaixas, lembre que a solução empregada para cada faixa é uma solução bidimensional;

� As faixas podem estar ou não alinhadas com o escoamento, no caso de asas enflechadas. Usualmente adota-se faixas perpendiculares ao eixo elástico – decomposição dos movimentos da superfície de sustentação nos graus de liberdade da seção típica. Neste caso, deve-se decompor o escoamento para um sistema de coordenadas local da asa onde para a envergadura, o eixo "y" deve coincidir com o eixo elástico.

4

Forma Matricial de Theodorsen

� A matriz na relação, é a matriz de coeficientes de influência da seção típica;

� Relaciona as "influências" entre os movimentos associados aos graus de liberdade e os esforços atuantes.

4 2 h

hy

l ll b h bb

m mm

α

α

πρ ωα

− ⋅ =

( )21h

iC kl

k= −

( ) ( )( )2

2 2 0.5C k iC k ail a

k k kα

−= − − − −

( ) ( )2 0.5h

iC k am a

k

+= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2 0.250.5 2 0.51

8

iC k ai a C k am a

k k kα

−− += + − + +

5

Condição de contorno

� Equação do movimento nos graus de liberdade da seção típica,

que são h e α α α α :

o que significa: um determinado deslocamento no eixo z, perpendicular ao escoamento não perturbado é representado pelo movimento vertical h // z e a resultante do ângulo de ataque vezes o braço x, distância no eixo // ao escoamento não perturbado.

� Relação para a condição de contorno a pequenas perturbações

( )az h x abα =− + −

( ) ( ),a aa

z zU w x t h x ab U

t x� �α α

∂ ∂ + = =− + − − ∂ ∂

a = distânciado ponto de rotação em ângulo de ataqueao meio do aerofólio

6

Condição de contorno do

domínio da frequência

� A TRASFORMAÇÃO DA EQUAÇÃO:

� Para o domínio da frequência e dada portanto:

( ) ( ),a aa

z zU w x t h x ab U

t x� �α α

∂ ∂ + = =− + − − ∂ ∂

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1, , , , , ,

, , , ,

1

, , ,

a aa

a aa

a

i t i t

z zw x y t x y t U x y t

b t x

w zx y i i z x y x y

U x

w h xika ik ik

U b b

b h hk e e MHS

k

U

k

b b

ω ω

α α

ω

α α

∂ ∂= + ⇒ ∂ ∂

∂⇒ℑ⇒ = +

∂

= − − −

= = =

7

Condição de contorno do

domínio da frequência

� Note que a condição de contorno assumida está implícita no desenvolvimento do modelo de Theodorsen.

� Por este motivo, pode-se empregar diretamente as amplitudes dos deslocamentos complexos nos graus de liberdade assumidos para a seção:

� A forma de considerar as deformação de uma asa, por exemplo, éassumir um padrão de movimento (modo de movimento) do tipo harmônico simples, cujas amplitudes nos graus de liberdade são representadas pelas amplitudes complexas em cada faixa.

{ }( )( )

ii

i

h bx

α

=

8

Teoria das Faixas

� Cada faixa possui uma largura finita, a partir da qual pode-se calcular o a forá de sustentação e o momento por faixa multiplicando:

Note que o carregamento obtido através da teoria de Theodorsen, é por unidade de comprimento de envergadura.

� Para o cálculo do carregamento, emprega-se os movimentos referentes aos graus de liberdade de uma determinada faixa.

� Por exemplo, sendo as equações para uma dada faixa representadas por:

i iL l dy= ⋅

( )

( )( )( )

{ } ( ) { }4 2i h ii i ii

h iy ii

l b h bl lb P A ik x

m mm

α

α

πρ ωα

− ⋅ = ⇒ =

9

Teoria da Faixas

� Supondo N o número total de faixas:

� Onde a distribuição do carregamento sobre a asa pode ser representada pela multiplicação do vetor dos deslocamentos das faixas pela matriz de coeficientes de influência

� Note que a matriz de coeficientes de influencia total é diagonal por blocos o que representa a ausência de interferência aerodinâmica entre as faixas.

{{{{ }}}}{{{{ }}}}{{{{ }}}}

{{{{ }}}}

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

{{{{ }}}}{{{{ }}}}{{{{ }}}}

{{{{ }}}}

4

111

1

4

22 2 2

4

33 33

4

0 0

0 0

0

0

0 0 0 0 NN

N N

b A ikP x

b A ikP x

xP b A ik

xP b A ik

πρπρπρπρ

====

� � �� � �� � �� � �

� � �� � �� � �� � �

� � � �� � � �� � � �� � � �

�������� � � � �� � � �� � � �� � � ��������� � � �� � �� � �� � �

����

10

Teoria das Faixas

� Devemos tomar o cuidado de levar em conta o comprimento de referência de cada faixa como sendo o valor da semi-corda de cada seção. No caso de uma asa afilada este valor varia;

� Por outro lado, deve-se também tomar o cuidado de empregar a frequência reduzida para o cálculo dos elementos das matrizes de coeficientes de influência de cada faixa;

� Introduz-se, portanto o conceito de frequência reduzida local. Ou seja, assume-se que a asa toda oscile a uma frequência reduzida de referência, aqui denotada por kref.;

� Para que as seções típicas que descreve o nosso modelo de asa oscilem na mesma frequência reduzida kref,

� A escolha da frequência reduzida de referência é feita levando em conta o comprimento de referência como sendo a semi corda na raiz;

0

ref iref i ref

ref

b bk k k

V b

ω = ⇒ =

11

Teoria da Faixas

� Desta forma garante-se que a frequência reduzida será igual ao longo de toda a envergadura.

� Cada faixa deverá ter uma frequência reduzida local, garantindo

que a frequência circular (ωωωω) do movimento seja a mesma.

� Além da semi-corda, e consequentemente a frequência reduzida, outros parâmetro, tais como a distância do eixo elástico a bem como a envergadura da faixa devem ser levadas em conta supondo a geometria do modelo e a estratégia de discretização

1 0 2 0 3 0 0

1 2 3

N

N

k V k V k V k V

b b b bω= = = = =�

12

Teoria da Faixas

� E finalmente, cabe lembrar que as componentes do vetor do carregamento aerodinâmico {P } são quantias por unidade de envergadura. Para o cálculo do esforço total por faixa, devemos multiplicar cada um dos vetores por dyi que é a largura da faixa.

� Após multiplicação, o carregamento total é dado como a soma de cada carregamento associada a cada faixa como:

1

i i i

nfaixas

tot i

n

L l dy

L L=

= ⋅

= ∑1

i yi i

nfaixas

tot i

n

M m dy

M M=

= ⋅

= ∑

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Teoria das Faixas Modificada (1)

� Limitações das Teoria das Faixas� Aplicável a asa com grande alongamento;

� Sem enflechamento

� Aerodinâmica incompressível (Theodorsen)

� Proposta:

"CALCULATION OF FLUTTER CHARACTERISTICS FOR FINITE-SPAN SWEPT OR UNSWEPT WINGS AT SUBSONIC AND SUPERSONIC SPEEDS BY A MODIFIED STRIPANALYSIS" por E. Carson Yates, Jr., March 18, 1958 -NACA-RM-L57L10.

Referências:

� Barmby, J. G, Cunningham, H. J. and Garrick, I. E., “Study of Effects of Sweep on the flutter of Cantilever Wings”- NACA-REPT 1014.

� LIVRO - Scanlan, R. H., and Rosenbaum, R. “Introduction to the Study of Aircraft Vibration and Flutter”; MacMillan Co. – New York, Cap. XVI e Apêndice A.2

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Teoria das Faixas Modificada (2)

� O emprego da Teoria da Faixas Modificada (TFM), permite:� Minimizar a limitação a grande alongamentos corrigindo os

coeficientes aerodinâmicos estacionários, implícitos da na parcela circulatória da formulação de Theodorsen;

� Corrige para efeitos de enflechamento;� Sugere a correção dos efeitos de compressibilidade através do

emprego de regras de similaridade (Prandtl-Glauert), bem como a correção da função de Theodorsen (C(K)) para levar em conta o efeito da esteira em regime compressível.

� Vamos apresentar as correção em três partes:� A) Correção dos efeitos de enflechamento � B) Correção de compressibilidade (Jordan)� C) Correção para efeitos tridimensionais (baixo alongamento)

( ) ( )2

2 1L w

C y y lα π = −

15

Teoria das Faixas Modificada

� Asa enflechada:

16

Teoria das Faixas Modificada (3)

� Enflechamento:� Método das

componentes de velocidade

� Usualmente, a asa édiscretizada em faixas, cuja corda de cada seção típica éperpendicular ao seu eixo elástico;

� Entretanto, se a asa éenflechada, o eixo elástico também será.

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Teoria das Faixas Modificada (4)

� Quando a asa é enflechada, deve-se tomar o cuidado em considerar que as seções típicas não estão alinhadas com o escoamento.

� A solução bidimensional para resolver o problemas por faixas continua ser Theodorsen.

� Entretanto, alguns “termos novos”surgirão nas relação de sustentação e momento, pois existirão outros potenciais de velocidade resultantes do acoplamento entre o modo de movimento da asa e o ângulo de enflechamento.

� O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com as meias cordas das seções típicas que discretizam a asa.

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Teoria das Faixas Modificada (5)Extraído de NACA-REPT-1014

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Teoria das Faixas Modificada (6)

� Sendo “s”o eixo alinhado com a direção da envergadura e “r”perpendicular a “s”, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: . (y’ = s)

� E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é:

onde a coordenada é paralela com o escoamento não perturbado e com relação a esta variável é que faz sentido diferenciar o deslocamento vertical para se computar a parcela do normalwash com relação ao escoamento V0.

� Como

( , , )a az z r s t=

( , , ) ( , , ) ( , , )a az z

W r s t r s t U r s tt ξ

∂ ∂= +

∂ ∂ξ

0//Vξ

cos sina a a a az z z z zr s

r s r sξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + = Λ + Λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

20

Teoria das Faixas Modificada (7)� Condição de contorno:

� Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma função de e :

onde se considerou que e � Substituindo esta última relação na condição de contorno:

( ) 0 0, , cos sina a a

z z zW r s t V V

t r s

∂ ∂ ∂= + Λ + Λ

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ), , , ,a

z r s t r s t h s tα= ⋅ +

( ),h s t ( ),s tα

cos 1.0α ≅ sinα α≅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , , cos , ,

sin , ,

, , , , cos , sin , ,

W r s t r s t h s t U r s t h s tt r

U r s t h s ts

hW r s t r s t h s t U s t U r s t s t

s s

α α

α

αα α

∂ ∂ = ⋅ + + Λ ⋅ + + ∂ ∂

∂ + Λ ⋅ + ⇒ ∂

∂ ∂ ⇒ = ⋅ + + Λ + Λ ⋅ + ∂ ∂

��

21

Teoria das Faixas Modificada (8)

� Note que os termos circulatórios são calculados através dos potenciais de velocidade associados devido a distribuição de fontes e sumidouros no extradorso e intradorso, respectivamente.

� E a intensidade das fontes e sumidouros é proporcional a W.

� Portanto, surgem novos termos (últimos do lado direito da equação para a condição de contorno, ponderados pela componente da velocidade de escoamento não perturbado alinhado com o eixo enflechado).

� Estes novos termos serão responsáveis por modificar o carregamento não circulatório devido o efeito do enflechamento.

22

Teoria das Faixas Modificada (9)

� A parte circulatória da nossa seção típica “guinada” também apresentará uma contribuição do efeito de enflechamento.

� Note que a velocidade efetiva à qual a seção típica guinada estásujeita é uma componente do escoamento não perturbado:

� E além disto, existem os potenciais associados a e .

� Da condição de Kutta, já levando em conta os efeitos do enflechamento:

� Chamando :

cosnV U= Λ

s

α∂

∂

h

s

∂

∂

1tan tan

2n n

h hQ h V b a V

s sα αΛ

∂ ∂ = + + Λ + − + Λ

∂ ∂ � �

h

sσ

∂=

∂ s

ατ

∂=

∂e

23

Teoria das Faixas Modificada (10)

� Theodorsen para a seção típica “guinada”� Sustentação....

( )

2

0

tan tan

tan ta2

n1

2

n n

n n

nl b h V ba

V bC k h V b a

hV V

s s

h hV

s

Q

s

πρ α αα

πρ α α

Λ

Λ

∂ ∂Λ Λ

∂ ∂

∂ ∂Λ Λ

∂ ∂

= − + + − + −

− + + + − +

�� � ��

� �

������������������

� �

�����

24

Teoria das Faixas Modificada (11)

� Momento....

� Lembrando que as derivadas e são obtidas dos modos

de deformação da superfície de sustentação.

( )

( )

4 2 2

3 2 2

2

tan tan

tan tan

tan ta

1 8

12

2 2n

1

n n

n

n

y n

n

n n

hV h V

s s

hV ab

m b a b V

b a h b V

V b a C k h V b a

s s

hV

s

Q

s

απρ α πρ

πρ πρ α

π

α

αα

ρ α

Λ

Λ

= + + + +

+ + + −

+ + + + + − +

∂ ∂Λ + Λ

∂ ∂

∂ ∂Λ Λ

∂ ∂

∂ ∂Λ Λ

∂ ∂

� ���

�� �

� �

�

���� �������� �����������

h

s

∂

∂ s

α∂

∂

25

Teoria das Faixas Modificada (12)

� Correção para considerar efeitos tridimensionais, incluindo o enflechamento.

� Na formulação de Theodorsen, chegou-se a conclusão que o coeficiente de sustentação por unidade de ângulo de ataque é o mesmo valor encontrado para a placa plana;

� E a posição do centro aerodinâmico a 1/4 da corda (a = -1/2) por estarmos trabalhando em regime incompressível, o mesmo permanece a 1/4 nesta posição.

� Ou seja, apenas as componentes circulatórias, proporcionais ao Clα serão modificadas.

( ) 22 2 2 2

1

1 1 1 cos2 cos 2 2

2 2 2

ln

n

lC

l l lC

V b U b U bα

α

ρ α ρ α ρ α

= = = ⋅ ⇒

Λ Λ�����

( ) 2cos

l

ln

CC α

α⇒ =

Λ

26

Teoria das Faixas Modificada (13)

� Além do efeito do enflechamento, pode-se empregar coeficientes de sustentação obtidos a partir de experimentos na asa real tridimensional.

� Este coeficientes serão diferentes de estação para estação pois implicitamente representam os efeitos tridimensionais sobre a asa.

� Além destes tipos de correção, existe também a possibilidade de corrigir para efeitos de compressibilidade.

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Correção para compressibilidade

� Baseado na solução bidimensional para um aerofólio oscilante em regime subsônico, obtida formalmente por Camilo Possio, Jordan (P. F. Jordan - Aerodynamic Flutter Coefficients for Subsonic, Sonic and Supersonic Flow (Linear Two-dimensional Theory) –R&M 2957. ) sistematizou o emprego deste solução gerando coeficientes de correção na forma de tabelas.

� A aplicação destas tabelas é apresentada em "CALCULATION OF FLUTTER CHARACTERISTICS FOR FINITE-SPAN SWEPT OR UNSWEPT WINGS AT SUBSONIC AND SUPERSONIC SPEEDS BY A MODIFIED STRIP ANALYSIS" por E. Carson Yates, Jr., March 18, 1958 - NACA-RM-L57L10, ver apêndice B.

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Equação do potencial 2D

� Para o caso em foco, a solução geral apresentada para o caso 3D é particularizada para o caso 2D.

� É um procedimento análogo ao que foi visto, e dispensa maiores detalhes no momento.

� Em linhas gerais a solução bidimensional para o caso compressível e potencial é apresentada a seguir.

29

Equação do potencial aerodinâmico

� Equação do potencial, regime subsônico e supersônico:

� E a solução elementar obtida é dada por:

� Note que temos duas soluções na realidade. Busca-se portanto uma interpretação física para o entendimento destas soluções.

30

Problema Bidimensional

� Dipolo 3D:

� Dipolo 2D:

31

Problema Bidimensional

� Desenvolve-se de forma análoga daqui em diante um Kernel de uma relação integral, agora em um contexto bidimensional;

� A diferença é que o Kernel refere-se a uma solução elementar da equação da onda convectada na sua versão bidimensional;

� Mais detalhes sobre a solução de Possio podem ser vistos em Bisplinghoff, Ashley e Halfman – Aeroelasticity, e P. F. Jordan -Aerodynamic Flutter Coefficients for Subsonic, Sonic and Supersonic Flow (Linear Two-dimensional Theory) – R&M 2957.

� Em especial, aplica-se a solução bidimensional através da forma sistemática apresentada por Jordan, onde se gera uma correçãopara a função de Theodorsen para os efeitos da compressibilidadea ser apresentada na sequência.

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Correção de Jordan

� Jordan corrige a função de Theodorsen para o efeito da compressibilidade aplicando a relação:

onde Ccomp e Cincomp são as funções de Theodorsen corrigida para a compressibilidade e a original para o regime compressível, Fincomp é a real da função de Theodorsen, e Fcomp é dado por:

Jordan, P.F. ”Aerodynamic Flutter Coefficients of Subsonic, Sonic, and Supersonic Flow (Linear Two-Dimensional Theory).” R.A.E Reports and Memorandum No. 2932, April 1953.

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Tabelas de Jordan I

34

Tabelas de Jordan II

35

Tabelas de Jordan III

36

Tabelas de Jordan IV

37

Tabelas de Jordan V

38

Tabelas de Jordan VI

39

Tabelas de Jordan VII

40

Tabelas de Jordan VIII