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Estudo Qualitativo dos Sistemas deEquaes Diferenciais Lineares no Plano

Vanessa Aparecida Freire*

Rita de Cssia D. S. Broche **

RESUMO

No presente trabalho, desenvolvemos um estudo terico e computacional dos

sistemas de equaes diferenciais lineares bidimensionais, utilizando elementos da lgebra

linear elementar e o programa computacional Maxima. Buscamos compreender, atravs dosoftware o comportamento das solues das equaes diferenciais e confrontamos taisresultados com os mtodos analticos.

Palavras-chave: equaes diferenciais, ponto crtico e estabilidade.

Projeto BIC FAPEMIG: A lgebra e as Equaes Diferenciais.

Desenvolvido no Departamento de Cincias Exatas da Universidade Federal de Lavras. (DEX/UFLA)

* Graduanda em Licenciatura em Matemtica

Departamento de Cincias Exatas DEX/UFLA

Universidade Federal de Lavras

e-mail:vanessafreire@ymail.com

**Orientadora Profa. Dra.do Departamento de Cincias Exatas DEX /UFLA

Universidade Federal de Lavrase-mail:ritabroche@ufla.br

mailto:vanessafreire@ymail.commailto:vanessafreire@ymail.commailto:ritabroche@ufla.brmailto:ritabroche@ufla.brmailto:vanessafreire@ymail.com

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O Plano de Fase: Sistemas Lineares

Pelo fato de muitas equaes diferenciais no serem convenientemente solveis pormtodos analticos, torna-se importante considerar informaes qualitativas obtidas de suassolues, sem de fato resolv-las. Vejamos como isso pode ser feito, principiando com umaconsiderao sobre o sistema linear homogneo de primeira ordem com coeficientesconstantes, da forma

que pode ser escrito na forma matricial

onde e . Em notao vetorial, o sistema acima toma a forma

onde

Considerando o que sabemos sobre equaes lineares de primeira ordem, para resolvero sistema acima, buscamos solues da forma

onde um vetor-coluna 2 1 e um nmero real, sendo t a varivel independente.Derivando a funo x(t) e substituindo-a em (1.1), obtemos

Logo, deve ser um autovalor e um autovetor, da matriz . Assim, as solues deum sistema linear dependem diretamente dos autovalores e autovetores da matriz que odetermina. Os autovalores so obtidos atravs da equao caracterstica, dada por

Seja o sistema (1.1), os pontos 2 para os quais so chamados depontos de equilbrio ou pontos crticos do sistema. Admitindo que ento

inversvel. Logo o nico ponto crtico do sistema.

Uma soluo do sistema de equaes , sendo uma funo de em 2

pode ser considerada como uma representao paramtrica de uma curva no plano. Podemosolhar para essa curva como um caminho, ou trajetria, percorrida por uma partcula em

movimento, cuja velocidade especificada pela equao diferencial. O plano chamadoplano de fase e um conjunto representativo de trajetrias chamado de retrato de fase. Assim,ao analisar o sistema linear acima, precisamos considerar diversos casos, dependendo danatureza dos autovalores de .

Agora, analisemos os diferentes casos das razes da equao caracterstica, pois comovimos, o comportamento das solues depende fundamentalmente da natureza destas razes.

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Caso1: Autovalores Reais e Distintos de Mesmo Sinal

Neste caso, a soluo geral do sistema (2.1) dada por

onde e so autovalores da matriz , com autovetores e , respectivamente.

Se e so ambos negativos, ento quando , e o ponto crtico chamado de n atrator; por outro lado, se e so ambos positivos, x( quandot e o ponto crtico um n repulsorcomo representado na Figura (1.1).

No caso diagonalizvel, com autovalores reais e distintos, os eixos do diagrama defase da forma cannica sero levados em cada um dos autoespaos pela mudana de basecomo na Figura (1.2).

Caso2: Autovalores Reais com Sinais Opostos

Neste caso, a soluo geral do sistema tambm dada por

onde < 0 < e o ponto crtico chamado ponto de sela.

A coordenada decresce exponencialmente enquanto que a coordenada cresceexponencialmente. As rbitas no eixo apontam e direo origem e as rbitas do eixoapontam para longe da origem. J as rbitas fora dos eixos, pertencem s hiprboles como

est representado na Figura (1.3). No caso diagonalizvel a anlise anloga sendo que forados autoespaos, temos solues que se assemelham a hiprboles. Este caso est representado

pela Figura (1.4)

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Caso 3: Autovalores reais e iguais

Vamos supor que = = . Existem dois subcasos, dependendo se o autovalor

repetido tem dois autovetores independentes ou apenas um.

a) Dois autovetores independentes:Seja o autovalor, a soluo geral do sistema (1.1) da forma

em que e so os autovetores independentes. Toda trajetria est sobre uma reta quepassa pela origem. Se < 0, todas as solues convergem para a origem quando ,porm, se > 0, as solues afastam-se da origem quando cresce, conforme representado naFigura (1.5). Neste caso o ponto crtico chamado n prprio.

b) Um autovetor independente

Nesse caso, o ponto crtico chamado n imprprio e a soluo dada por

Onde o autovetor e o autovetor generalizado associado ao autovalor repetido.

Para muito grande, o termo dominante nesta equao . Assim, quando ,todas as trajetrias tendem origem e so tangentes reta na direo do autovetor .

Analogamente, para valores negativos de , o termo novamente dominante, demodo que, quando , cada trajetria assntota uma reta paralela Portanto, aorientao das trajetrias depende das posies relativas de e . Este caso estrepresentado na Figura (1.6).

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Caso 4: Autovalores Complexos

Consideremos neste caso, sistemas do tipo

em que os autovalores so b e b. Introduzindo coordenadaspolares e , temos

e

Derivando essas duas expresses em relao , obtemos

e

Logo e . Em resumo, em coordenadas polares, o sistema toma a forma

logo

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Observe que a parte real dos autovalores responsvel pelo crescimento/decrescimentoda distncia das solues origem, enquanto que a parte imaginria, , dos autovalores responsvel pela rotao das solues em torno da origem. As rbitas nesse caso podem sercircunferncias, caso , ou espirais, caso , sendo que as solues podem espirilarem direo origem, caso , ou para longe da origem, caso . O sinal de indica osentido da rotao em torno da origem, se horria, caso , ou se anti-horria, caso

Observe que, nesse caso, necessariamente , caso contrrio a matriz seriadiagonalizvel, com autovalores reais.Considerando o autovetor associado , soluo geral do sistema (1.1) daforma:

logo

Caso 5: Um dos autovalores nulo

Esses so casos degenerados. Se =0, ento constante, enquanto quepode crescer ou decrescer exponencialmente, de acordo com o sinal de . Se ,

ento constante, enquanto que pode crescer ou decrescer exponencialmente,de acordo com o sinal de No primeiro caso, todos os pontos no eixo so pontos fixos

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(associados a solues constantes), enquanto que no segundo caso, todos os pontos no eixoso pontos fixos. As Figuras (1.9) e (1.10) ilustram essas duas situaes:

Caso 6: Os dois autovalores nulos

H ainda o caso em que ambos , no qual o sistema completamentedegenerado. Todas as solues so constantes, com todos os pontos do plano sendo pontosfixos do sistema. Este caso est representado pela figura abaixo:

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REFERNCIAS

[ 1 ] Boyce, W. E. e Diprima, R. C. Equaes Diferenciais Elementares e Problemas deValores de Contorno. Editora LTCS. A, Rio de Janeiro, 2005

[ 2 ] Zill, Dennis G. E Cullen, Michael R. Equaes Diferencias Volumes 1 e 2. EditoraMakron Books, So Paulo,2001.