a transformada de laplace o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem...
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A Transformada de Laplace
O método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
0
))(()()( tfLdttfesF st
Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.
Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s .
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim
a
A
aAdttfdttf )(lim)(
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.
Exemplo 1: Seja f(t) = 1 / t , t 1, então
1)/1( dtt
Converge ?
Adttdttdttf
A
AAlnlim)/1(lim)/1()(
11 1
Logo a integral imprópria diverge.
Exemplo 2: Seja f(t) = 1 / t 2 , t 2, então a integral
2?)( divergedttf
Temos que : 2/1)/1(lim)/1(lim)/1( |22
2
2
2
A
A
A
Atdttdtt
Logo a integral dada converge para o valor ½ .
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t a, se | f(t) | g(t) quando t M para alguma constante positiva M e se
aMdttfentãoconvergedttg )(,)(
também converge. Por outro lado, se f(t) g(t) 0 para t M e se
aMdttfentãodivergedttg )(,)(
também diverge.
Teorema : (Existência da transformada de Laplace) Suponha que
1- f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo;
2- | f(t) | Keat quando t M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L{f(t)} = F(s), definida pela equação
L{f(t)} = F(s) = ,)(0
dttfe st
Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t 0. Então
0.1lim1)1(00
ss
dtedteLA st
A
st
Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t 0. Então
0,)sen()())(sen(0
sdtatesFatL st
Temos integrando por partes
])cos()cos([lim)(00| dtate
as
aatesF
A stAst
A
Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0
Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t 0, então
dtedteesFeL tasatstat
0
)(
0)()(
.),/(1limlim)( |0)(
0
)( asassa
edtesFAtsa
A
A tsa
A
Existem 3 propriedades extremamente importantes nas transformadas , como:
i) O sistema é linear, isto é, L(a f(t) + b g(t)) = a Lf(t) + b Lg(t) ;
ii) O sistema destrói derivadas, isto é, se f’(t) entra na caixa, ela sai como sF(s) – f(0);
iii) O sistema é inversível, isto é, existe uma outra caixa, denominada L-1, que, se atravessada pela função de saída, F(s) fornece f(t) de volta, assim, L-1(F(t)) = f(t).
L
F(s)
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
s 2F(s)-sf(0)-f ’(0)
f(t)
af(t) + bf(t)
f ’(t)f ”(t)
Transformada de Laplace
Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A.
Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)| ke at para t M. Então L{f’(t)} existe para s > a e, além disso, L{f’(t)} = sL{f(t)} = sL{f(t)} – f(0).
Corolário: Suponha que as funções f, f ’, f ”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f (n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que | f(t)| ke at , | f ’(t)| ke at ... | f (n-1)(t)| ke at para t M. Então L{f (n)(t)} existe para s > a e é dado por
L{f (n)(t)} = snL{f(t)} – s (n-1)f(0) - ... - sf (n-2)(0) – f (n-1)(0).
Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x 2.
Por definição e tabela de transformada, temos:
F(s) = L(3 + 2x 2) = 3L(1) + 2L(x 2) = 3 (1 / s) + 2 (2 / s3) =
= 3 /s + 4 / s 3.
Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y” – y’ – 2y =0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.
Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t +1/3e2t usando equação característica.
Usando transformada de Laplace, temos:
L{y”} – L{y’} –2L{y} = 0,
s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 2L(y) = 0
ou ( s2 – s – 2)Y(s) + (1-s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s –1) / (s2 – s –2) = (s –1) / [(s – 2) (s +1)]
que acaba chegando à mesma solução.
Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’- 6y= 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.
Solução: L{y”} – L{y’} – 6L{y} = 0
s2L{y} – sy(0) – y’(0) – [sL{y} – y(0)] – 6L{y} = 0.
Como L(y} = Y(s), temos:
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0
Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0
Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2).
Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s-3) + (4/5)/(s+2).
Consultando a tabela de Laplace, temos
Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t )
Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)
sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 +1), Y(s)(s+1) = 1 + 1 / (s2 +1)
Y(s) = 1/(s+1) + 1/ (s+1)(s2+1).
Separando em frações, temos:
1/(s+1)(s2+1) = A/(s+1) + (Bs+C) / (s2+1)
Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então
Y(s) = 1/(s+1) + (1/2)/(s+1) – (½)(s/(s2+1)) + ½ (1/(s2+1)).
Logo: y = (3/2)e –x –(1/2)cos(x) +(1/2)sen(x) = ½ ( 3e –x – cos(x) + sen(x))
Função Degrau : A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por
ct
ctc
,0
,1
A função de Laplace de c é determinada por
0,)()}({0
ssedtedttetLcs
c
stc
stc
y
t
1
c
y = 1 - c
t
y
c
1
y = c (t)
Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então
L{µc(t)f(t-c)} = e – cs L{f(t)} = e – cs F(s), s > a.
Reciprocamente, se f(t) = L –1{F(s)}, então
µc(t)f(t-c) = L –1{e – cs F(s)}.
Teorema: Se F(s) = L{f(t)} existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L{ectf(t)} = F(s-c), s > a + c
Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.
Exemplo 10: Usando a função atseoaatsec
,0
,,1
Reescreva a função
atse
atseatsentf ,0
,),()(
Assim podemos escrever f(t) = a(t)sen(t-a)
ou
atseatseatga atgttf
,0,),()()()(
Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
sp
p st
e
dttfetfL
1
)(0)}({
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é
1
1 2 3 4t
f(t)
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
)1(1
)1(1
11
)(
2
1
2
1
02
2
0)}({
s
ss
st
s
st
es
ese
e
dte
e
dttfetfL
Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função
f(t) = t 0 t < 1, f(t+1) = f(t).
s
st
e
tdtetfL
1
1
0)}({
Integrando por partes, temos
[1 –(1+s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]
Teorema: Se ambas F(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)} existem para s > a 0, então H(s) = F(s)G(s) = L{h(t)}, s > a
onde
tt
dxxfxtgdxxgxtfth00
)()()()()(
A função h é conhecida como a convolução de f e g.
Exemplo: determine por convolução L-1{1/s(s2 + 4)}.
Solução: 1/s(s2 + 4) = 1/s * 1/(s2 + 4) = 1/s * 1/(s2 + 22)
Temos f(t) = 1 e g(t) = (½)sen(2t). Pelo Teorema de convolução, obtemos:
L-1{1/s(s2 + 4)} = L-1{F(s)*G(s)} = g(t )*f(t)
tt
dxxdxxtfxg00
1*)2sen()2/1()()(
= (1/4)(1 – cos(2t))
Idem para L-1 {1/(s-1)2}.
Temos que 1/(s-1)2 = 1/(s-1) * 1/(s-1) = F(s)*G(s).
Então: f(t) = g(t) = e t e portanto
L-1 {F(s)*G(s)} = f(t)*g(t) =
t xttt
dxeedxxtfxg0
)(
0*)()(
t tt tedxe01
Teorema: Se L{f(t)} = F(s) e L{g(t)} = G(s), então
L{f(x).g(x)} = L{f(x)}. L{g(x)} = F(s).G(s) podem ser escrita na forma L –1{F(s).G(s)} = f(x).g(x)
Teorema:
f*g = g*f ( comutatividade)
f*(g + h) = f*g + f*h (distributividade)
(f*g)*h = f*(g*h) (associatividade)
f*0 = 0*f = 0
Exemplo: Sejam as funções f(t) = t e g(t) = e –2t .
Encontre a convolução de f com g por
a) Definição
b) Transforma de Laplace inversa do produto das transformadas de f(t ) e g(t), F(s) e G(s).