a teoria dos grafos e sua aplicação · 2015. 9. 9. · universidade de trás-os-montes e alto...

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

A Teoria dos Grafos e sua Aplicação

Dissertação de Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e

Secundário

Idília Maria Rocha Caetano

Vila Real, 2014.

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro II

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

A Teoria dos Grafos e sua Aplicação

De:

Nome: Idília Maria Rocha Caetano.

Orientadores:

Professor Doutor José Luís Santos

Cardoso.

Professora Doutora Ana Paula Aires

Borges Teixeira.

Vila Real, 2014.

Teoria de Grafos e sua aplicação

III Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Este trabalho foi elaborado como

dissertação para efeito de obtenção do

grau de Mestre no Ensino de

Matemática do 3.º ciclo do Ensino

Básico e Secundário, sendo

apresentado na Universidade de Trás-

os-Montes e Alto Douro.

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro IV

Aos meus pais.

À minha filha.

À minha irmã.

Ao meu marido.


V Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Agradecimentos

A realização desta investigação frutificou devido ao contributo de inúmeras pessoas,

sem as quais não teria sido possível a sua concretização, e às quais quero deixar uma

palavra de profunda gratidão e apreço:

À orientadora, Professora Doutora Ana Paula Aires Borges Teixeira pela orientação

científica, pelo apoio, pela dedicação e total disponibilidade que sempre demonstrou

durante este trabalho, sem o qual este trabalho não teria sido possível.

Ao orientador, Professor Doutor José Luís Santos Cardoso, pela sua disponibilidade

na orientação, e pelas sugestões e valiosas críticas ao trabalho.

Aos meus pais, pela força concedida, e por me incentivarem perante os desafios a

fazer mais e melhor. Agradeço-vos do fundo do coração pelo amor incondicional e

pela forma como ao longo de todos estes anos, tão bem souberam ajudar-me.

À minha filha, Célia, fonte inesgotável de alegrias e força para que eu pudesse seguir

adiante em mais uma fase de superação académica.

À minha irmã, pela confiança que sempre depositou no meu trabalho.

Ao meu marido, pelo apoio, pela confiança, pela paciência, pela compreensão, pelo

total apoio, valorizando sempre o meu trabalho dando-me, força e coragem durante a

sua realização.

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro VI

Resumo

A Teoria dos Grafos é atualmente uma das áreas mais importantes da matemática

discreta, tendo as suas raízes em jogos e recreações matemáticas. Atribui-se a sua

origem/criação a Euler, ao resolver o problema das pontes de Königsberg (cidade da

Prússia) em 1736, mas foram os problemas acerca de fórmulas de estrutura de

compostos químicos, que A. Cayley resolveu na segunda metade do século XIX, que

impulsionaram decisivamente o seu desenvolvimento.

A Teoria de Grafos é uma teoria relativamente recente, nascida no século XVIII. Com

a reestruração de novas disciplinas no secundário, foi na disciplina de Matemática

Aplicada às Ciências Sociais que a Teoria de Grafos ganhou relevância nos

programas de Matemática, na vertente social, isto no final do século XX. Sendo

abordado no 11.º ou 12.º ano (dependendo do ano que se iniciou MACS(2.º ano)).

No programa de Matemática aplicada às ciências sociais pretende-se que os

estudantes interpretem situações de sistema de distribuição e explorem diversas

soluções para problemas que lhe sejam postos em cada situação. Representar-se-á

cada situação por um sistema de pontos e de linhas unindo alguns desses pontos.

Deverão ser abordados os teoremas, problemas dos circuitos de Euler e Hamilton,

bem como, definições e notações deverão ser introduzidas à medida que sejam

necessárias por forma a clarificar a linguagem. Os modelos de grafos pretendem ser

modelos úteis para enfrentar problemas de gestão e iniciar intervenções sociais ao

nível da compreensão dos sistemas de distribuição e recolha (tanto nos sistemas de

distribuição de bens alimentares, de correio ou de recolha de lixo como às decisões

sobre a localização de serviços (segundo os programas de MACS homologados em

16/05/2001 [10]).


VII Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Abstract

The Graph Theory is currently one of the most important areas of discrete

mathematics, having their roots in mathematical games and recreations. Attributed to

its origin / creation Euler, to solve the problem of the bridges of Königsberg (city of

Prussia) in 1736, but were problems about structural formulas of chemical compounds

that A. Cayley decided in the second half of the nineteenth century that decisively

boosted its development.

Graph Theory is a relatively new theory, born in the eighteenth century. With

restructuring new disciplines in the secondary, was in Mathematics Applied to Social

Sciences that graph theory gained prominence in Mathematics programs, the social

aspect, ie the end of the twentieth century. Being addressed in 11. º or 12. º year

(depending on the year that began MACS (2. º year)).

Program in mathematics applied to social sciences is intended that students interpret

situations of distribution system and explore solutions to several problems which put in

every situation. Will represent each case by a system of points and lines connecting

certain points. Theorems will be addressed problems Euler circuits and Hamilton, as

well as definitions and notation will be introduced as necessary to clarify language. The

graph models are intended to be useful models to address management problems and

initiate social interventions at the level of understanding of the distribution and

collection systems (both in the distribution systems of food, mail or garbage collection

to decisions about location services (according to programs approved on 16/05/2001

MACS[10]).

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro VIII

Índice

Agradecimentos ............................................................................................................ V

Resumo ....................................................................................................................... VI

Abstract ...................................................................................................................... VII

Índice ......................................................................................................................... VIII

Índice das tabelas ........................................................................................................ IX

Índice de figuras ........................................................................................................... X

Introdução ..................................................................................................................... 1

Capítulo 1 – Noções Fundamentais .............................................................................. 3

As pontes de Königsberg .............................................................................................. 3

1.1- Grafos e Digrafos............................................................................................ 4

1.2- Adjacência e Incidência .................................................................................. 7

1.3- Grau de um vértice, ordem e dimensão ........................................................ 10

1.4- Subgrafos ..................................................................................................... 12

1.5- Grafos isomorfos .......................................................................................... 13

1.6- Operações com grafos ................................................................................. 15

1.7- Grafos especiais ........................................................................................... 17

1.8- Caminhos e ciclos ......................................................................................... 26

Capítulo 2 – Grafos Eulerianos e Hamiltonianos ......................................................... 33

2.1- Grafos Eulerianos ......................................................................................... 33

2.2- Grafos Hamiltonianos ................................................................................... 41

Capítulo 3 – Árvores ................................................................................................... 50

3.1- Definições e Propriedades ............................................................................ 50

3.2- Árvores Geradoras ....................................................................................... 55

Capítulo 4 - Aplicações práticas .................................................................................. 61

Conclusão ................................................................................................................... 84

Bibliografia .................................................................................................................. 85


IX Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Índice das tabelas

Tabela 1...................................................................................................................... 45

Tabela 2 - Os 24 ciclos de Hamilton do grafo da Figura 56. ........................................ 46

Tabela 3 - Distância de B entre CB, F, L e S. ............................................................. 59

Tabela 4 - Distância de B e S entre CB, F, L. ............................................................. 59

Tabela 5 - Distância de B, S e L entre CB e F............................................................. 60

Tabela 6 - Distância de B, S, L e F com CB. ............................................................... 60

Tabela 7 - Graus dos vértices da Figura 64. ............................................................... 64

Tabela 8 - Distâncias entre as cidades. ...................................................................... 79

Tabela 9...................................................................................................................... 83

Tabela 10 .................................................................................................................... 83

Tabela 11 .................................................................................................................... 83

Tabela 12 .................................................................................................................... 83

Tabela 13 .................................................................................................................... 83

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro X

Índice de figuras

Figura 1 - Pontes de Konigsberg em 1736. ................................................................... 3

Figura 2 - Esquema construído por Euler para a cidade de Königsberg........................ 3

Figura 3 - Grafo dual das pontes de Königsberg. .......................................................... 4

Figura 4 - Mapa de estradas. ........................................................................................ 4

Figura 5 - Rede elétrica. ............................................................................................... 4

Figura 6 - Representação das secções da Figura 4 e da Figura 5. ............................... 5

Figura 7 - Diversas representações do grafo da Figura 6. ............................................ 5

Figura 9 - Grafo subjacente ao grafo representado na Figura 8. ................................... 6

Figura 8 - Exemplo de grafo orientado. ......................................................................... 6

Figura 10 - Exemplos de grafos. ................................................................................... 6

Figura 11 - Grafo orientado com lacete no vértice C. .................................................... 7

Figura 12 - Digrafo F e o seu grafo subjacente, G. ....................................................... 8

Figura 13 - Matrizes de adjacência e incidência de G. ................................................ 10

Figura 14 - Matrizes de adjacência e incidência de F. ................................................. 10

Figura 15 - Grafos G1 e G2. ......................................................................................... 11

Figura 16 - Diagramas semelhantes que não representam o mesmo grafo. ............... 13

Figura 17 - Grafos Isomorfos. ..................................................................................... 14

Figura 18 - Grafos não isomorfos................................................................................ 15

Figura 19 - Grafos Reunião, Interseção e Complementar. .......................................... 16

Figura 20 - Grafo nulo com 5 vértices (N5). ................................................................. 17

Figura 21 - Grafos completos K5 e K6. ......................................................................... 18

Figura 22 -O grafo G' é um grafo clique do grafo G. ................................................... 19

Figura 23 - Grafo bipartido. ......................................................................................... 19

Figura 24 - Representações do grafo K3,3. .................................................................. 20

Figura 25 - Grafo estrela. ............................................................................................ 20

Figura 26 - Grafo bipartido completo K 3,2 ................................................................... 20

Figura 27 - Grafo complementar de K3,2. ..................................................................... 21

Figura 28 .................................................................................................................... 21

Figura 29 .................................................................................................................... 21

Figura 30 - Sólidos Platónicos. ................................................................................... 22

Figura 31 - Grafos platónicos do Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro

respetivamente. .......................................................................................................... 22

Figura 32 - Grafos planar 4K . ..................................................................................... 23

Figura 33 - Grafo conexo - G1 e Grafo desconexo- G2. ............................................... 24

tese_mestrado_versão%20final_28%20julho_2014.doc#_Toc394274545






XI Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Figura 34 - Rede do metro de Lisboa. ......................................................................... 24

Figura 35 - Digrafo conexo D. ..................................................................................... 24

Figura 36 - Grafo 1-Conexo. ....................................................................................... 25

Figura 37 - Grafo Ciclo C5. .......................................................................................... 25

Figura 38 - Grafo Roda com 6 vértices. ...................................................................... 26

Figura 39 - Grafo G. .................................................................................................... 27

Figura 40 - Digrafo D. ................................................................................................. 28

Figura 41 - Digrafo conexo.......................................................................................... 29

Figura 42 - Grafo orientável. ....................................................................................... 29

Figura 43 - Grafo com várias pontes. .......................................................................... 30

Figura 44 - Grafo desconexo. ..................................................................................... 30

Figura 45 - G1 é Eureliano, G2 é semieuleriano e G3 nem é euleriano nem

semieuleriano. ............................................................................................................ 33

Figura 46 - D1 é euleriano, D2 é semieureliano e D3 nem é Euleriano nem

semieuleriano. ............................................................................................................ 34

Figura 47 - Grafo Euleriano obtido do Grafo não euleriano G2 da Figura 45. .............. 36

Figura 48 - Exemplos de grafos eulerianos obtidos através de eulerizações do grafo G3

da Figura 45. .............................................................................................................. 36

Figura 49 - Grafo Euleriano. ........................................................................................ 37

Figura 50 - Aplicação do Algoritmo de Fleury da Figura 49. ........................................ 38

Figura 51 - Digrafo Eureliano. ..................................................................................... 40

Figura 52 - Aplicação do Algoritmo de Fleury ao digrafo da Figura 51. ....................... 40

Figura 53 .................................................................................................................... 41

Figura 54 - Exemplo de Caminho Hamiltoniano para a demonstração do Teorema 8. 43

Figura 55 - Mapa de Portugal. .................................................................................... 45

Figura 56 - Grafo relativo ao exemplo enunciado. ....................................................... 45

Figura 57 - Grafo Árvore. ............................................................................................ 50

Figura 58 - Grafo G. .................................................................................................... 51

Figura 59 - Árvores geradoras de G da Figura 58. ...................................................... 51

Figura 60 - Grafo G. .................................................................................................... 55

Figura 61 - Aplicação do Algoritmo de Corte ao grafo da Figura 60. ........................... 56

Figura 62 - Aplicação do Algoritmo de Construção ao grafo da Figura 60. .................. 56

Figura 63 - Árvore geradora de menor peso do grafo G. ............................................. 58

Figura 64 - Grafo S. .................................................................................................... 62

Figura 65 - Representação do subgrafo de S, S’. ....................................................... 65

Figura 66 - Grafo desconexo. ..................................................................................... 65

Figura 67 - Subgrafo S'' do grafo da Figura 64. ........................................................... 65

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro XII

Figura 68 - Grafo completo k9...................................................................................... 67

Figura 69 - Grafo complementar de S. ........................................................................ 67

Figura 70 - Subgrafo simples de S. ............................................................................. 68

Figura 71 - Representação das cidades...................................................................... 69

Figura 72 - Passeio da cidade A por um lacete em A. ................................................. 69

Figura 73 - O percurso da cidade A para a cidade B pelo arco (A,B). ......................... 69

Figura 74 - O percurso da cidade B para a cidade D pelo arco (B,D). ......................... 70

Figura 75 - O percurso da cidade D para a cidade E pelo arco (D,E). ......................... 70

Figura 76 - O percurso da cidade E para a cidade F pelo arco (E,F). ......................... 70

Figura 77 - O percurso da cidade F para a cidade E pelo arco (F,E). ......................... 70

Figura 78 - O percurso da cidade E para a cidade D pelo arco (E,D). ......................... 71

Figura 79 - O percurso da cidade D para a cidade C pelo arco (D,C). ........................ 71

Figura 80 – Digrafo que representa o percurso do Jorge. ........................................... 71

Figura 81 - Grafo subjacente ao digrafo da Figura 80. ................................................ 71

Figura 82 - Grafo S. .................................................................................................... 73

Figura 83 – Subgrafo de S, S1. .................................................................................... 74

Figura 84 - Grafo G. .................................................................................................... 75

Figura 85 .................................................................................................................... 75

Figura 86 - Grafos G1, G2 e G3. .................................................................................... 76

Figura 87 – Eulerização do grafo G2 ........................................................................... 77

Figura 88 - Melhor eulerização do grafo G1................................................................. 77

Figura 89 – Grafo G .................................................................................................... 78

Figura 90 - Grafo pesado que representa o problema. ................................................ 81

Figura 91 - Grafo da ligação das cidades em rede. ..................................................... 81

Figura 92 .................................................................................................................... 82

Figura 93 .................................................................................................................... 82

Figura 94 .................................................................................................................... 82

Figura 95 .................................................................................................................... 82

Figura 96 .................................................................................................................... 82

1

Introdução

Esta dissertação, foi realizada no âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º

Ciclo do Ensino Básico e Secundário.

O tema da tese é "A Teoria de Grafos e a sua Aplicação".

A Teoria de Grafos, é uma área que nos permite obter uma relação entre a resolução

de problemas e a modelação matemática. A investigação em Teoria de Grafos,

suscitou-me bastante interesse e curiosidade.

Assim, esta dissertação é composta por três capítulos, cujo conteúdo se passa a

descrever.

No primeiro capítulo, abordam-se as noções fundamentais, principais conceitos e

resultados relativos à Teoria de Grafos, necessários para a compreensão dos

capítulos seguintes. Serão abordados os seguintes conceitos: grafos e digrafos;

Adjacência e Incidência; grau de um vértice, ordem e dimensão de um grafo;

subgrafos; grafos isomorfos, operações com grafos; grafos especiais e ainda

caminhos e ciclos.

No segundo capítulo introduz-se, as noções de Grafos Eulerianos e Grafos

Hamiltonianos.

No terceiro capítulo descrevem-se, o estudo das árvores suas definições e

propriedades e ainda árvore geradora.

Finalmente, no quarto capítulo apresentam-se, algumas aplicações que, pretendem

ser uma ajuda aos docentes da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais.

A Teoria dos Grafos estabeleceu-se, como uma importante ferramenta matemática,

numa grande variedade de áreas do conhecimento e algumas áreas específicas, tais

como, investigação operacional, indústria eletrónica, indústria de confeção,

engenharia, economia, genética, sociologia, geografia, ecologia, análise numérica,

computação paralela, telecomunicações e química, pois um grafo constitui o modelo

matemático ideal para o estudo das relações entre objetos discretos de qualquer tipo.

No programa de MACS pretende-se que, os estudantes interpretem situações de

sistema de distribuição e explorem diversas soluções para problemas que lhe sejam

Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro 2

postos em cada situação. Representar-se-á cada situação por um sistema de pontos e

de linhas unindo alguns desses pontos. Deverão ser abordados os teoremas,

problemas dos circuitos de Euler e Hamilton, bem como, definições e notações, que

deverão ser introduzidas à medida que sejam necessárias por forma a clarificar a

linguagem. "Os modelos de grafos pretendem ser, modelos úteis para enfrentar

problemas de gestão e iniciar intervenções sociais ao nível da compreensão dos

sistemas de distribuição e recolha" [10].

Pela diversidade de aplicações, potencialidades e facilidade de exploração em

contexto escolar, a teoria de grafos pode assumir um papel preponderante na criação

e desenvolvimento dessas competências, contribuindo para que, os alunos adquiram

uma cultura matemática mais rica que, os ajude a tornar-se cidadãos mais aptos a

intervir na sociedade.

Como a teoria de grafos é uma área de matemática onde não são necessários

grandes pré-requisitos, podemos abordar, praticamente, todos os conceitos básicos

envolvidos em qualquer ano de escolaridade, sem ser necessário formalizar ou

desenvolvê-los. É comum dizer-se que, muitos problemas em diversas ciências,

podem ser modelizado por um grafo e resolvido com a teoria dos grafos. Por exemplo,

é possível calcular as diferentes combinações de voos entre duas cidades, determinar

se é ou não possível percorrer todas as ruas de uma cidade sem percorrer a mesma

rua duas vezes e determinar o número de cores necessárias para colorir um mapa.

Até à década de 90 do século transato, a teoria dos grafos era abordada somente no

ensino universitário. Com o surgimento de novas disciplinas no ensino secundário,

nomeadamente, da disciplina de MACS, a teoria dos grafos ganha um lugar nos

programas de Matemática, na vertente.

O objetivo de fundo deste trabalho, é ser um manual de ajuda ao docente do Ensino

Secundário.

Idília Caetano

3

Capítulo 1 – Noções Fundamentais

As pontes de Königsberg

Parte da cidade de Königsberg, localizava-se em duas ilhas do rio Pregel as quais

estavam ligadas às margens e uma à outra através de 7 pontes, conforme ilustra a

Figura 1.

Figura 1 - Pontes de Konigsberg em 1736.

De acordo com a tradição, ao domingo, os habitantes de Königsberg gostavam de dar

passeios de modo a atravessar todas as pontes e um passatempo popular era tentar

encontrar um trajeto que lhes permitissem atravessar toda a cidade passando em cada

uma das pontes apenas uma vez.

Em 1736, o matemático suíço Leonard Euler (1707-1783), interessou-se por este

problema e resolveu-o. As soluções de Euler para este problema e as técnicas por ele

utilizadas, marcaram o início do estudo do tema atualmente designado por Teoria de

Grafos. A técnica de Euler consistiu, essencialmente, em considerar as margens e as

ilhas, no mapa da cidade, como pontos, que ligou por linhas, do mesmo modo que,

aquelas eram unidas pelas referidas pontes. O esquema obtido por Euler, assemelha-

se ao da Figura 2 e é habitualmente designado por Grafo. Assim, um grafo é um

diagrama que consiste em pontos, designados por vértices, ligados uns aos outros por

linhas, denominadas arestas; cada aresta une exatamente dois vértices.

Figura 2 - Esquema construído por Euler para a cidade de Königsberg.


O problema dual do problema das pontes de Königsberg, Figura 1, consiste em saber

se um nadador poderia nadar naquele mesmo rio de modo a passar por baixo de

todas as pontes sem repetir nenhuma. O grafo associado a este problema está

representado na Figura 3.

Por exemplo, o grafo da Figura 3, determina cinco regiões. A região exterior que

indicamos com o algarismo 1, e mais quatro regiões limitadas, as quais indicamos com

os algarismos 2, 3, 4 e 5 na Figura 2.

Figura 3 - Grafo dual das pontes de Königsberg.

Um outro problema envolvendo o grafo da Figura 2, foi formulado e resolvido (em

1857-1859), pelo matemático irlandês Sir William Hamilton (1805-1865). Este

problema, habitualmente conhecido por, viagem à volta do mundo, consistia em

percorrer todos os vértices de um dodecaedro regular com vinte vértices, em que,

cada vértice tem o nome de uma cidade e que passe uma única vez em cada vértice,

iniciando e finalizando no mesmo vértice.

1.1- Grafos e Digrafos

As secções de um mapa de estradas e de uma rede elétrica são também exemplos de

aplicação da teoria de grafos.

Consideremos, as secções de um mapa de estradas e de uma rede elétrica,

representadas na Figura 4 e Figura 5, respetivamente.

Ambas as secções podem ser representadas, por meio de pontos e de segmentos de

reta, tal como no esquema da Figura 6.

Figura 4 - Mapa de estradas. Figura 5 - Rede elétrica.

Idília Caetano

5

Figura 6 - Representação das secções da Figura 4 e da Figura 5.

O esquema da Figura 6 diz-se um grafo. Notemos que, na passagem da situação real

para o grafo, é irrelevante se as linhas são longas ou curtas, retilíneas ou curvas, ou

do lado de onde partem. O importante é, conhecer os pontos e as linhas que os ligam.

Assim, o mesmo grafo pode ser representado por diferentes esquemas. A título de

exemplo, na Figura 7, apresentam-se outras quatro representações do grafo da figura

6. Os cinco esquemas, Figuras 6 e 7, representam o mesmo grafo, em virtude de

possuírem os mesmos pontos, aqui designados por P, Q, R, S e T e serem

constituídos por linhas que unem os mesmos pontos: PQ, PS, PT, QT, QS, QR, RS,

ST.

Figura 7 - Diversas representações do grafo da Figura 6.

Definição 1

Um grafo G é um par ordenado (V,E), em que V é um conjunto e E é um conjunto

constituído por subconjuntos de V com dois elementos. A V dá-se o nome de

conjunto de vértices enquanto E denomina-se por conjunto de arestas.

Dizemos que os vértices A e B estão unidos por uma aresta se {A,B}≡AB pertence

a E.

No caso particular de V=E=Ø, então a G=(V,E) dá-se o nome de grafo vazio.

A Figura 6 representa o grafo G=(V,E):

cujo conjunto dos vértices é V={P, Q, R, S, T};

cujo conjunto das arestas é E={PQ, QR, RS, ST, TQ, SP, TP, QS}.


É indiferente escrever aresta PQ ou aresta QP, dado que ambas representam a

existência de um caminho do vértice P para o vértice Q, que pode ser percorrido nos

dois sentidos. Se o caminho tivesse um só sentido, por exemplo, apenas de P para Q,

no grafo haveria uma seta com origem no vértice P e términus no vértice Q; neste

caso, a aresta seria orientada e representar-se-ia por (P,Q).

A um grafo com arestas orientadas, chama-se grafo orientado, grafo dirigido ou

digrafo.

Definição 2

Um digrafo G é um par ordenado (V,E), em que V é um conjunto de vértices e E é

um subconjunto de V×V. Ao conjunto E dá-se o nome conjunto de arcos.

Dizemos que os vértices A e B estão unidos por um arco se (A,B) pertence a E.

Ao grafo obtido substituindo cada arco de E por uma aresta chama-se grafo

subjacente a G.

O grafo da Figura 8 é orientado. Neste caso:

O conjunto dos vértices é V = {A, B, C, D, E};

O conjunto dos arcos é E = {(A,B), (B,A), (A,C), (C,E), (C,D)}.

Figura 9 - Grafo subjacente ao grafo


Na Figura 10, apresentamos mais alguns exemplos de grafos.

Figura 8 - Exemplo de grafo orientado.

Figura 10 - Exemplos de grafos.

Idília Caetano

7

1.2- Adjacência e Incidência

De seguida introduzimos os conceitos de adjacência e incidência, que caracterizam os

vértices dum grafo, dirigido ou não, e as respetivas ligações (arestas ou arcos). Na

Figura 11, o digrafo apresenta um lacete no vértice C.

Definição 3

Seja G=(V,E) um grafo (digrafo). Se ABE ((A,B)E), A e B (distintos) dizem-se

vértices adjacentes e AB ((A,B)) diz-se aresta (arco) incidente nos vértices A e

B (A diz-se vértice inicial e B vértice terminal). Se VA não é adjacente a

qualquer vértice de V, então A diz-se um vértice isolado. No caso de dois

vértices adjacentes serem coincidentes, a aresta (arco) correspondente designa-

se por lacete.

No grafo da Figura 6, os vértices P e Q são adjacentes, enquanto P e R não o são; PQ

é incidente nos vértices P e Q. Este grafo não apresenta lacetes.

O grafo da Figura 8, é orientado, isto é, é um digrafo. Por exemplo, os vértices A e C

são adjacentes, assim como A e B, enquanto A e E não o são; o arco (A,B) é incidente

nos vértices A e B (A é o vértice inicial e B é o vértice terminal); (A,C) é incidente nos

vértices A e C (neste caso A é também o vértice inicial, mas C é o vértice terminal).

Este grafo não apresenta lacetes.

Figura 11 - Grafo orientado com lacete no vértice C.

Quando o número de vértices do grafo é elevado e, em particular, quando o seu

número de arestas é reduzido, isto é, quando o grafo é esparso, é também bastante

prático representá-lo através de uma matriz.

Neste trabalho, abordaremos as representações matriciais relacionadas com as

noções de adjacência e incidência.


Definição 4

Seja G=(V,E) um grafo (digrafo) com n vértices numerados de 1 a n. A matriz

adjacência de G é uma matriz quadrada de dimensão igual ao número de vértices

de G e cujo elemento da linha i e coluna j é igual ao número de arestas que unem

os vértices iV e jV (arcos que unem iV a jV , sendo iV o vértice inicial e jV o

vértice terminal).

Observamos que:

i) como o nome indica, a matriz adjacência, especifica quais os vértices do grafo

que são adjacentes;

ii) num grafo que não possui lacetes, a diagonal principal da matriz adjacência é

nula;

iii) a matriz adjacência de um grafo é simétrica enquanto a de um digrafo, em

geral, não o é.

Consideremos o digrafo F representado na Figura 12, e o respetivo grafo subjacente,

G.

Figura 12 - Digrafo F e o seu grafo subjacente, G.

Como o grafo G tem quatro vértices, a matriz adjacência é de ordem 4.

O procedimento para a construir é o seguinte:

Como G, apenas possui um lacete no vértice C, a diagonal principal é nula com

exceção do elemento da posição (3,3) que terá o valor 1;

Como G, é não dirigido, a matriz de adjacência de G é simétrica relativamente

à sua diagonal principal;

Os vértices A e B são ligados por uma aresta de G, assim a matriz conterá 1 na

posição (1,2) e, consequentemente na posição (2,1);

Idília Caetano

9

Os vértices A e C também são ligados por uma aresta de G e, como tal, as

posições (1,3) e (3,1) desta matriz conterá o valor 1;

Como os vértices A e D não estão ligados por uma aresta, as posições (1, 4) e

(4, 1) da matriz adjacência são nulas.

Aplicando, o procedimento anterior, a todos os pares de vértices de G obtém-se a

matriz adjacência de G.

Notemos que se, por exemplo, os vértices A estivessem ligados ao vértice B por 3

arcos na entrada (1, 2) estaria o valor 3.

Observemos ainda que, como a matriz adjacência dum grafo é simétrica em relação à

diagonal principal, basta construir o seu triângulo superior (ou inferior) e preencher as

restantes entradas de modo a obter uma matriz simétrica.

Para construir a matriz adjacência do digrafo F, dado um par de vértices, não só é

necessário observar o número de ligações entre os vértices, mas também tem de ser

tida em consideração, a informação referente aos vértices inicial e final. Assim, por

exemplo, como os vértices A e B estão ligados por um arco (A, B), mas não por um

arco (B, A), na posição (1, 2) da matriz de adjacência deve constar o valor 1, enquanto

na posição (2,1) deve constar o valor 0. Procedendo deste modo, obtém-se a matriz

adjacência de F.

Vejamos de seguida, a noção de matriz incidência.

Definição 5

Seja G=(V,E) um grafo sem lacetes e com n vértices numerados de 1 a n e m

arestas (arcos) numerados de 1 até m. A matriz incidência de G é uma matriz de

ordem mn , cujo elemento da linha i e coluna j é igual a 1 se o vértice i é

incidente com a aresta (arco) j e 0 no caso contrário.

Para o digrafo, na construção da sua matriz de incidência, temos de ter atenção o

sentido da orientação. Dá-se, o valor de 1 se a orientação for de saída, valor -1 se

a orientação for de entrada e é de salientar que, no caso de existir um lacete no

vértice i , a respetiva entrada na matriz de incidência quer no grafo ou no digrafo é

igual a 2.


Enquanto a matriz adjacência é quadrada, a matriz incidência, em geral, não o é; o

seu número de linhas, coincide com o cardinal do conjunto de vértices, enquanto o seu

número de colunas, com o número de arestas (arcos).

Figura 13 - Matrizes de adjacência e incidência de G.

Figura 14 - Matrizes de adjacência e incidência de F.

1.3- Grau de um vértice, ordem e dimensão

É útil ter nomenclatura que caracterize, por exemplo, num mapa de estradas, o

número total de cidades e estradas que as ligam, existentes nesse mapa, bem como,

para cada cidade, o número de vias que permitem partir e ou chegar a essa cidade.

Com este intuito, introduziremos seguidamente, as noções de ordem dum grafo,

dimensão dum grafo e grau dum vértice.

Definição 6

Dado um grafo (digrafo) G=(V,E), ao respetivo número de vértices chama-se

ordem de G e ao número de arestas (arcos) dimensão de G. Por sua vez, grau

de um vértice é o número de arestas (arcos) que lhe são incidentes. Quando

todos os vértices têm o mesmo grau, r, G diz-se grafo regular de grau r.

Observamos que, como um lacete de um dado vértice, A, é duplamente incidente em

A, contribui com duas unidades para o grau de A; um vértice de grau zero é um vértice

isolado.

Consideremos os grafos da Figura 15, como ambos têm quatro vértices, a ordem de

G1 e de G2 é 4. No entanto, G1 tem 6 arestas enquanto G2 possui apenas 5, assim a

Idília Caetano

11

dimensão de G1 é 6 e a dimensão de G2 é 5. Como todos os vértices de G1 têm grau

3, G1 é um grafo regular de grau 3. No caso de G2, este não é regular, pois o grau de

D' é zero, isto é, D' é um vértice isolado; o grau de A' coincide com o de B' e é igual a

2 e, dado possuir um lacete em C', o grau de C' é 4.

Figura 15 - Grafos G1 e G2.

No grafo da Figura 11, os vértices A e C tem grau 3, mas o vértice B tem grau 2,

assim, esse grafo não é regular. A ordem e a dimensão desse grafo são iguais a 3 e a

5, respetivamente.

Euler mostrou que, a soma dos graus de todos os vértices de um grafo é sempre um

número par, igual ao dobro das arestas; este resultado, é conhecido como lema dos

apertos de mão, dado que, quando várias pessoas apertam as mãos, o número total

de mãos envolvidas é par (em cada aperto estão envolvidas duas mãos).

Teorema 1

(Lema dos apertos de mão): Sendo G=(V,E) um grafo, a soma dos graus de

todos os vértices é igual ao dobro do número de arestas.

Para provar este resultado, basta observar que cada aresta (arco) contribui

exatamente com duas unidades para a soma dos graus.

Do Lema dos apertos de mão podemos concluir que em qualquer grafo (digrafo):

i) a soma dos graus de todos os vértices é um número par;

ii) o número de vértices de grau ímpar é par;

iii) regular de grau r, com n vértices, o número de arestas (arcos) é igual a .

No grafo da Figura 12, a soma dos graus de todos os vértice é par ( 2+2+5+1=10), e o

número de vértices de grau ímpar é par. O grafo G1 da Figura 15, é regular de grau 3

com 4 vértices e 6 arestas verificando o lema dos apertos de mão .


Definição 7

Seja D=(V,E) um digrafo e VA um dos seus vértices. O grau de entrada

(saída) de A é o número de arcos em que A é o vértice terminal (inicial).

Qualquer grafo orientado, satisfaz um resultado semelhante ao Lema do aperto de

mão, chamado Di-lema dos apertos de mão.

Teorema 2

(Di-lema dos apertos de mão): Sendo D=(V,E) um digrafo, a soma de todos os

graus de saída (entrada) é igual ao número de arcos correspondentes.

Este resultado, é uma consequência direta do facto de, cada arco contribuir

exatamente com uma unidade para a soma dos graus de saída (entrada).

No digrafo F, representado na Figura 12, os graus de saída são os seguintes: 2 em A,

1 em B, 3 em C e 1 em D, sendo a soma destes graus igual a 7; contando os seus

arcos verificamos que, também são 7 dado que o lacete conta como 2 arcos.

Consideramos, agora, os graus de entrada deste grafo: 0 em A; 2 em B; 4 em C e 1

em D, também, a sua soma 7.

1.4- Subgrafos

Por vezes, a resolução de um problema implica considerar apenas uma parte de um

grafo. A título de exemplo, consideremos o caso de uma rota aérea envolvendo os

aeroportos de Bragança, Vila Real, Porto, Lisboa e Faro. Se, em determinada

situação, forem relevantes somente rotas envolvendo as cidades de Bragança, Vila

Real e Lisboa, podemos ignorar os aeroportos das restantes cidades. Então, no grafo

que modela a rede completa, podemos remover os vértices das cidades não

relevantes para o problema e, também, as arestas que incidam nos vértices

removidos; com este procedimento, obtemos um grafo com ordem inferior ao original e

que, designamos por subgrafo do grafo original.

Definição 8

Seja G=(V,E) um grafo (digrafo). O Grafo G’=(V’,E’) diz-se um subgrafo

(subdigrafo) de G se VV ' e se E’ é constituído por arestas (arcos) de E que

Idília Caetano

13

unem vértices de V’. Neste caso, G é um supergrafo (superdigrafo) de G’.

Sendo VW ' , o subgrafo (subdigrafo) induzido por W’ é o grafo (digrafo) cujo

conjunto de vértices é W’ e o conjunto de arestas (arcos) é formado por todas as

arestas (arcos) em E que unem os vértices de W’.

Consideremos, o grafo G2 da Figura 17. O Grafo G3, Figura 18, é um subgrafo de G2.

O grafo G5 é um subgrafo de G2 e é o subgrafo de G2 induzido por {1,2,3,4,5,7,8}. O

grafo G2 é supergrafo dos grafos G3 e G5.

Sejam G=(V,E) um grafo, A e B dois dos seus vértices e AB uma aresta de G. Os

grafos seguintes são subgrafos de G:

▪ o próprio G;

▪ o grafo (V, Ø);

▪ o grafo resultante de G por eliminação da aresta AB, isto é, o grafo (V,E\{AB});

▪ o grafo ({A,B},{AB});

▪ qualquer subgrafo de um subgrafo de G;

▪ o grafo constituído apenas por um único vértice de G (em que E=Ø).

1.5- Grafos isomorfos

Como vimos na Secção 1.1, dois diagramas podem ser muito diferentes e representar

o mesmo grafo; o caso contrário também pode acontecer, isto é, dois diagramas

podem ser muito semelhantes e, no entanto, não representarem o mesmo grafo, como

por exemplo na Figura 16.

Figura 16 - Diagramas semelhantes que não representam o mesmo grafo.

Observemos que, os diagramas da Figura 16, não representam o mesmo grafo, dado

que, embora ambos possuam os mesmos vértices, BC é aresta do primeiro grafo, mas

G1 G2


não é do segundo. No entanto, se em G1 o vértice A for substituído pelo B e vice-

versa, obtemos o grafo G2.

Definição 9

Dois grafos, G1 e G2, dizem-se isomorfos se existe uma correspondência unívoca

entre os seus vértices e arestas de tal maneira que a relação de incidência seja

preservada, isto é, se existe uma correspondência, de um para um, entre os

vértices de G1 e os de G2, com a propriedade de o número de arestas que unem

dois vértices de G1 ser igual ao número de arestas que unem os vértices

correspondentes de G2.

G1 G2

Figura 17 - Grafos Isomorfos.

Os grafos G1 e G2 da Figura 17, embora apresentem formas muito distintas, são

isomorfos. Basta, designar os vértices A, B, C, D, G, H, I e J do Grafo G1,

respetivamente, por 1, 3, 6, 7, 2, 4, 5 e 8, para obter o grafo G2.

Como entre dois grafos de ordem n , há !n possibilidades de correspondências de um

para um, para um valor de n elevado torna-se impraticável testar, se cada uma das

!n correspondências preservam a adjacência. Assim, na prática, torna-se difícil

determinar se dois grafos são ou não isomorfos. Para mostrar que, dois grafos não

são isomorfos, uma forma de contornar esta dificuldade é mostrar que, estes não

partilham, pelo menos, uma das propriedades que os grafos isomorfos partilham. Por

exemplo, grafos isomorfos apresentam o mesmo número de vértices e de arestas;

adicionalmente, os graus dos vértices correspondentes devem coincidir; caso

contrário, concluímos que, os grafos não são isomorfos.

O grafo G3 da Figura 18, não é isomorfo aos grafos G1 e G2 da Figura 17, dado possuir

menos uma aresta; G4 não é isomorfo nem a G1 nem a G2, visto possuir menos uma

aresta; G5 é não isomorfo a G1 e a G2 pois, possui menos um vértice. Também é

Idília Caetano

15

simples concluir que, os grafos G3, G4 e G5 são não isomorfos entre si; para tal, basta

observar que, o grafo G5 tem menos vértices que os grafos G3 e G4, logo não é

isomorfo a nenhum destes. Por sua vez, os grafos G3 e G4 também não são isomorfos

pois, por exemplo, o grau do vértice 6 em G3 é 2, enquanto em G4, o grau de B (vértice

correspondente) é 3.

G3 G4 G5

Figura 18 - Grafos não isomorfos.

1.6- Operações com grafos

Existem várias operações que podemos efetuar com grafos, de modo a obter novos

grafos. Aqui são focadas as mais utilizadas.

Na definição seguinte, usam-se as letras A e B para representar, genericamente,

vértices de um dado grafo (digrafo).

Definição 10

Consideremos, os grafos (digrafos) Gi=(Vi,Ei), i=1,2. O grafo (digrafo)

i) complementar de é o grafo (digrafo) ),( '

iEVG ii tal que:

ii VBAEABABEi

,:' ii VBAEBABAE

i ,),(:),('

;

ii) que resulta da interseção de G1 e G2 é definido por:

),( 212121 EEVVGG ;

iii) que resulta da reunião de G1 e G2 é definido por:

),( 212121 EEVVGG .

Na Figura 19, apresentamos exemplos que, pretendem clarificar os conceitos

introduzidos na Definição 10.


Figura 19 - Grafos Reunião, Interseção e Complementar.

Idília Caetano

17

1.7- Grafos especiais

Nesta secção, são abordados alguns casos particulares de grafos que, pelas suas

características especificas, justificam ser destacados dos demais.

Definição 11

Seja G=(V,E) um grafo (digrafo). Se V for um conjunto constituído por n vértices

isolados, então G diz-se um grafo nulo e representa-se por nN .

Na Figura 20, está representado 5N , isto é, o grafo nulo com 5 vértices.

Figura 20 - Grafo nulo com 5 vértices (N5).

Notemos que, todo o grafo nulo é regular de grau 0, visto todos os seus vértices terem

grau zero. Observemos, adicionalmente, que o grafo nulo, Nn, é um subgrafo de

qualquer grafo de ordem n.

Definição 12

Dado um grafo (digrafo) G, se dois dos seus vértices estiverem ligados por

lacetes ou mais de uma aresta (arco), a G dá-se o nome de multigrafo. O

grafo (digrafo) G diz-se simples se não contiver lacetes nem arestas (arcos)

múltiplas(os) Se G for simples e todos os vértices de G forem adjacentes entre

si, então G diz-se completo e representa-se por nK .

Notemos que o grafo completo com n vértices (representado por nK ) é regular de

grau 1n .

Na Figura 21, estão representados dois grafos completos e, na Figura 15 está

representado 4K . O grafo da, Figura 6, é simples, mas não é completo.


K5 K6

Figura 21 - Grafos completos K5 e K6.

Observamos que, os grafos da Figura 19, são simples, enquanto os da Figura 10, são

todos multigrafos, dado que todos eles apresentam lacetes no vértice A.

Conforme foi referido anteriormente, podemos representar três cidades pelos vértices

A, B e C, e as estradas que as ligam por arestas. Assim, a correspondente rede viária

pode ser representada por um grafo. Se, por exemplo, as cidades A e B têm duas

estradas diferentes a uni-las, então, existem arestas múltiplas entre esses dois

vértices e o grafo correspondente é um multigrafo.

Do Lema dos apertos de mão, podemos concluir que, em qualquer grafo (digrafo)

completo com n vértices, o número de arestas (arcos) é ).1(2

12 nnCn Por exemplo,

uma vez que o grafo completo 6K , da Figura 21, tem 6 vértices, pelo lema dos apertos

de mão, concluímos que tem 15 arestas.

O complementar de um grafo G com n vértices, pode ser construído utilizando o

correspondente grafo nK . Basta, para tal, remover de nK todas as arestas de G.

O complementar de qualquer grafo completo, é o grafo nulo correspondente e vice-

versa.

Definição 13

Dado um grafo G, dá-se o nome de clique de G a qualquer subgrafo completo

de G.

Idília Caetano

19

Consideremos, os grafos G e G' da Figura 22. O Grafo G' é um Grafo Clique do Grafo

G.

Figura 22 -O grafo G' é um grafo clique do grafo G.

Definição 14

Seja G=(V,E) um grafo (digrafo). Se for possível encontrar um subconjunto A

de V, de tal modo que cada aresta (arco) de G una um vértice de A a um

vértice de V\ A, G diz-se bipartido.

Num grafo bipartido, podem existir vértices em A, que não estejam unidos a nenhum

vértice de V\A.

Consideremos os grafos seguintes:

Figura 23 - Grafo bipartido.

Ambos os grafos são grafos bipartidos, embora no segundo grafo, o terceiro vértice

preto não esteja unido ao nenhum vértice branco.

Definição 15

Seja G=(V,E) um grafo simples (digrafo). Se G for bipartido e se cada vértice de A

estiver unido a cada um dos vértices de V\A, G designa-se por grafo bipartido

completo e representa-se por , onde r e s são o número de vértices em A e

V\A, respetivamente. No caso particular de r=1 ou s=1, G diz-se grafo estrela.


De seguida, apresentamos dois exemplos de grafos bipartidos completos. O grafo

que se pode representar da seguinte forma:

Figura 24 - Representações do grafo K3,3.

O grafo estrela com 8 vértices apresenta a forma seguinte:

Figura 25 - Grafo estrela.

Da Definição 15, concluímos que, qualquer grafo (digrafo) bipartido completo tem

um número de arestas (arcos) exatamente igual a rs.

Observemos ainda que, o complementar de um grafo bipartido completo é a união de

dois grafos completos.

Ilustremos esta ideia, com o caso do grafo bipartido completo K3,2 da Figura 26, o qual

contém arestas.

Figura 26 - Grafo bipartido completo K 3,2

O complementar de K3,2 é o grafo da Figura 27, que é a união dos grafos das Figuras

28 e 29.

Idília Caetano

21

Figura 27 - Grafo complementar de K3,2.

Figura 28

Figura 29

Outros exemplos:

Consideremos, agora, um grafo que representa os casamentos entre as

pessoas de uma cidade, onde cada pessoa é representada por um vértice e

um casamento por uma aresta. Assumindo que, só se verificam casamentos

entre pessoas de sexo diferente, o grafo será bipartido, já que os vértices a

serem unidos por uma aresta são obtidos da seguinte forma: um do

subconjunto dos vértices que representam o sexo masculino e o outro do

subconjunto dos vértices que representam o sexo feminino;

O caso de uma rede local constituída por sete computadores e impressoras,

todos ligados a um servidor central. Esta rede tem uma topologia em estrela, a

qual pode ser representada pelo grafo bipartido completo 1,7K , representado

na Figura 25.


O tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro, Figura 30, são os cinco

sólidos regulares, conhecidos como Sólidos Platónicos. Da projeção destes cinco

sólidos no plano, obtêm-se os cinco grafos habitualmente conhecidos por grafos

Platónicos.

Figura 30 - Sólidos Platónicos.

Definição 16

Um grafo regular formado pelos vértices e arestas da projeção no plano de um

dos sólidos regulares, tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro ou icosaedro,

designa-se por grafo platónico.

Na Figura 31, encontram-se os cinco grafos platónicos referidos na Definição 16.

Figura 31 - Grafos platónicos do Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro

respetivamente.

Idília Caetano

23

Todos os grafos platónicos, têm a particularidade de poderem ser representados por

grafos, de tal modo que, quaisquer duas das suas arestas nunca se cruzem. Em

muitos problemas, é útil conseguir desenhar grafos que gozem desta particularidade e

que são conhecidos por grafos planares.

Definição 17

Um grafo G diz-se planar se puder ser desenhado no plano de modo a que

quaisquer duas das suas arestas nunca se cruzem, exceto nos vértices onde

ambas são incidentes. Os esboços correspondentes designam-se por esboços

planos de G.

Contrariamente aos grafos platónicos, o grafo bipartido completo 3,3K , Figura 24, não

é planar, dado que, qualquer um dos seus esboços planos contêm pelo menos um

cruzamento.

O grafo 4K é planar, dado que admite os seguintes esboços planos:

Figura 32 - Grafos planar 4K .

Definição 18

Qualquer grafo G que não possa ser expresso como a reunião de dois grafos com

interseção vazia, é um grafo conexo; caso contrário, diz-se desconexo. Neste

último caso, G pode ser expresso como a reunião de um número finito de grafos

conexos, sendo cada um destes designado por componente de G.


Na Figura 33, constam um grafo conexo G1 e outro desconexo G2.

Figura 33 - Grafo conexo - G1 e Grafo desconexo- G2.

A rede do metro de Lisboa, Figura 34, pode ser representada por um grafo conexo,

dado que, quaisquer duas das estações de metro estão ligadas pela rede.

Figura 34 - Rede do metro de Lisboa.

Definição 19

Um digrafo D diz-se conexo, se o grafo subjacente a D é conexo.

Figura 35 - Digrafo conexo D.

Idília Caetano

25

Consideremos, o digrafo D da Figura 35. Como o grafo G1 da Figura 33, é o grafo

subjacente a D, e G1 é conexo, pela Definição 19, concluímos que, o digrafo D da

Figura 35, é conexo.

Definição 20

Um grafo G diz-se k-conexo, se dois quaisquer dos seus vértices estiverem

ligados por, pelo menos, k arestas, onde k é o maior inteiro não negativo naquelas

condições.

A título de exemplo, se após a remoção de, no mínimo, dois vértices, um grafo conexo

G passa a ser desconexo, então G diz-se 2-conexo. O grafo G1 da Figura 33,

transforma-se num grafo desconexo, se lhe for retirado o vértice B, logo G1 é 1-

conexo. O mesmo acontece com o grafo da Figura 36 que, também fica desconexo

quando se retira o vértice C.

.

Figura 36 - Grafo 1-Conexo.

Definição 21

Seja G um grafo simples com n vértices. Se G for conexo e regular de grau 2,

então a G dá-se o nome de grafo ciclo ou grafo circuito de ordem n e

representa-se por .

A Figura 37, representa o grafo circuito , isto é o grafo ciclo com 5 vértices.

Figura 37 - Grafo Ciclo C5.


Se considerarmos, agora uma rede de computadores, em que cada unidade está

ligada a exatamente duas outras unidades e a informação circula de computador para

computador, ao longo do circuito, até ao local pretendido, este tipo de rede pode ser

modelada por um grafo circuito. No caso de essa rede ser formada por cinco

computadores, pode ser modelada pelo grafo ciclo da Figura 37.

Algumas redes de computadores, estão organizadas de tal modo que, a informação é

transferida ao longo do circuito ou através de um servidor central, podendo estas

redes ser representadas por um misto de grafo estrela e grafo ciclo. Chega-se, assim,

ao conceito de grafo roda. No caso de a rede ter seis computadores, o grafo roda

correspondente é o da Figura 38.

Figura 38 - Grafo Roda com 6 vértices.

O grafo da Figura 38, obtém-se a partir do grafo ciclo C5, acrescentando um novo

vértice e unindo este novo vértice a cada um dos vértices do grafo C5.

Definição 22

Consideremos o grafo ciclo , com 3n . Ao grafo simples, de n+1 vértices, que

se obtém acrescentando um vértice extra a e unindo, através de arestas, este

novo vértice a cada um dos n vértices deste grafo ciclo, dá-se o nome de grafo

roda e representa-se por .

1.8- Caminhos e ciclos

Várias aplicações da teoria de grafos envolvem ir de um vértice para outro, no grafo. O

problema das pontes de Königsberg, já descrito anteriormente, é um exemplo; outro,

será tentar encontrar o caminho mais curto entre uma dada escola e a estação de

camionagem. De seguida, apresentamos alguns conceitos que, pretendem clarificar

estas noções no contexto da teoria de grafos.

Idília Caetano

27

Definição 23

Seja G um grafo (digrafo). Um passeio de comprimento k em G, entre os

vértices 1v e 1kv , é uma sucessão de k arestas (arcos) de G da forma

13221 , , , kkvvvvvv ( ),( , ),,( ),,( 13221 kk vvvvvv ) (1)

e que se representa por 1321 kkvvvvv .

No caso do grafo da Definição 23, não ser dirigido, o passeio (1) também pode

representar o passeio entre os vértices 1kv e 1v .

Num passeio pode haver repetição de vértices e arestas; por exemplo,

6754254231 vvvvvvvvvv é um passeio de comprimento 9, no grafo da Figura 39, entre os

vértices 1v e 6v .

Figura 39 - Grafo G.

No caso de não poder haver repetição de arestas (arcos), num dado passeio, este

passa a chamar-se um trajeto.

Definição 24

Seja G um grafo (digrafo). Se todas as arestas (arcos) de um passeio em G são

diferentes, então o passeio designa-se por trajeto. No caso de todas as arestas

(arcos) e todos os vértices de um passeio em G serem diferentes, então o passeio

designa-se por caminho.

Consideremos, o grafo da Figura 39. O passeio 6754254231 vvvvvvvvvv não é um trajeto

no grafo da Figura 39, visto haver repetição da aresta 54vv , enquanto o passeio

675432531 vvvvvvvvv já é um trajeto no grafo da Figura 39 (pois, não tem arestas


repetidas), embora não seja um caminho (dado que, por exemplo, o vértice 3v ocorre

duas vezes). Como, o passeio 7531 vvvv , não apresenta vértices nem arestas repetidos

então, é um caminho no grafo da Figura 39.

No caso do digrafo da Figura 40, o passeio 36521 vvvvv representa um caminho entre os

vértices 1v e 3v , enquanto 636521 vvvvvv representa um trajeto, entre os vértices 1v e

6v , mas não é um caminho, dado que o vértice 6v ocorre mais do que uma vez.

Figura 40 - Digrafo D.

Definição 25

Seja G um grafo (digrafo). Um passeio fechado em G, é uma sucessão de

arestas (arcos) de G da forma:

113221 , , , vvvvvv k

onde o primeiro e o último vértices coincidem. Se todas as arestas (arcos) do

passeio fechado são diferentes, então o passeio fechado designa-se por trajeto

fechado.

É de notar que, no trajeto fechado estamos também perante um circuito.

No caso de todos os vértices de um trajeto fechado, exceto o primeiro e o último,

serem diferentes, então este trajeto designa-se por caminho fechado.

É de notar que, no caminho fechado estamos também perante um ciclo.

Na Figura 39, a sequência 25125312 vvvvvvvv é um passeio fechado, mas não um

trajeto fechado (por exemplo, a aresta 12 vv aparece duas vezes). Por sua vez,

2154352 vvvvvvv é um trajeto fechado e não é um ciclo (o vértice 5v aparece mais de

uma vez), enquanto 5435 vvvv é um exemplo de um ciclo.

Idília Caetano

29

A noção de caminho, permite caraterizar a conetividade de um grafo (digrafo). Das

Definições 18 e 24, concluímos que um grafo G é conexo se existe um caminho em G

entre qualquer par dos seus vértices.

Definição 26

Um digrafo G diz-se fortemente conexo, se existir um caminho em G entre

quaisquer dois dos seus vértices.

O digrafo D da Figura 35, embora seja conexo, não é um digrafo fortemente conexo,

pois não existe um caminho de C para B. O digrafo representado na Figura 41 é

fortemente conexo, dado existir um caminho entre quaisquer par de vértices.

Figura 41 - Digrafo conexo.

Assim, embora qualquer digrafo fortemente conexo seja conexo, nem todo o digrafo

conexo é fortemente conexo.

Definição 27

Um grafo G é orientável, se G for o grafo subjacente dum digrafo fortemente

conexo, isto é, se for possível orientar (pelo menos num sentido) as arestas de G

de modo que o digrafo resultante seja fortemente conexo.

O grafo da Figura 42 é orientável, dado ser o grafo subjacente ao digrafo da Figura 41

que é fortemente conexo.

Figura 42 - Grafo orientável.


Consideremos as Figuras 43 e 44. Observemos que, a remoção da aresta BE do grafo

da Figura 43, transforma este grafo no grafo desconexo da Figura 44. A uma aresta

com esta característica dá-se o nome de ponte.

Notemos que, se removermos, por exemplo, a aresta AB, o grafo resultante da Figura

43 é desconexo, ou seja AB também é uma ponte.

Figura 43 - Grafo com várias pontes.

Figura 44 - Grafo desconexo.

Definição 28

Num grafo conexo, uma ponte é uma aresta cuja remoção deixa o grafo

desconexo.

O exemplo a que se refere a Figura 43, permite concluir que, qualquer grafo que

contenha uma ponte não pode ser orientável, isto é, não pode ser o grafo subjacente

de um digrafo orientável, dado essa ponte ter de ser orientada ou num sentido ou no

outro.

O próximo resultado, permite saber se, substituindo cada aresta por um arco, é

possível transformar um grafo num digrafo fortemente conexo.

Teorema 3

Um grafo conexo é orientável se e só se não contiver pontes.

Demonstração:

O grafo da Figura 43, permite mostrar que, se um grafo é orientável então não pode

possuir pontes.

Para demonstrar o recíproco, comecemos por supor que o grafo conexo G não possui

qualquer ponte. Como não há pontes, cada aresta tem de pertencer a um ciclo.

Consideremos, um qualquer ciclo C1 de G e orientemos as suas arestas de modo a

Idília Caetano

31

obter um ciclo dirigido; assim conseguimos ir de um dado vértice de C1 para outro

qualquer vértice deste mesmo ciclo. Consideremos, agora, um arco, que não esteja

contido em C1, mas que seja incidente num vértice de C1. Uma vez que, estamos a

admitir que, o grafo G não tem pontes, este arco está obrigatoriamente contido num

dado ciclo C2 de G. É possível orientar os arcos de C2 de modo, a obter um ciclo

orientado, desde que se respeite a orientação já estabelecida nos arcos do ciclo C2

comuns ao ciclo C1. Deste modo, é possível ir de qualquer vértice de C1 ou C2 para

qualquer outro vértice de C1 ou C2. Como G é conexo, é possível continuar este

procedimento até que todos os arcos de G estejam orientados, obtendo, deste modo,

um digrafo fortemente conexo. c.q.d.

O próximo teorema, fornece uma condição suficiente para que um grafo contenha um

ciclo ou circuito.

Teorema 4

Se G é um grafo conexo tal que o grau de cada vértice é, no mínimo, 2, então G

contém um circuito.

Demonstração:

No caso de G ter arestas múltiplas, o resultado é trivial. Seja G, um grafo simples

e um dos seus vértices. Admitamos, agora, que é um vértice adjacente a ;

de seguida, escolhamos um vértice , distinto de , adjacente a ; continuando

este processo, escolhamos um vértice , distinto de , adjacente , onde

1i (como o grau de cada vértice é, pelo menos, dois é sempre possível

encontrar esse vértice). Este processo termina, quando se encontra um vértice

que já foi escolhido anteriormente ( o que acontece sempre dado o número de

vértices de G ser finito), obtendo-se assim, um ciclo e portanto um circuito. c.q.d.

Um grafo bipartido, pode ser caraterizado a partir do conceito de ciclo.

Teorema 5

Um grafo é bipartido se e só se não contiver nenhum ciclo ímpar, isto é, se não

contiver qualquer ciclo com um número ímpar de vértices.


Demonstração:

Relativamente à condição necessária.

Consideremos, um grafo G bipartido que, contenha pelo menos um ciclo (o caso

em que G não possui ciclos é trivial). Sejam, X e Y , os seus conjuntos partição e

um seu ciclo arbitrário. Suponhamos que, ; então e

com . Como é adjacente a , k é par e, assim, C é um

ciclo par.

No que diz respeito à condição suficiente.

Seja G, um grafo conexo com pelo menos 2 vértices, isto é, cujo cardinal , e

que não contém ciclos ímpares. Consideremos um vértice de G, v , fixo e X

como sendo o conjunto dos vértices de G cujo caminho mais curto entre x e v tem

comprimento par, sendo Y V X . Suponhamos, agora, que são

adjacentes. Se x v , então o menor caminho entre v e 'x tem comprimento

um, logo , o que é um absurdo. Assim, x e v têm de ser distintos bem

como 'x e v . Sejam 1 2 2 2 2 1k kvv v v v x o caminho de menor comprimento entre v

e x, 1 2 2 2 2 1... 't tvw w w w x o caminho de menor comprimento entre v e 'x .

Consideremos, agora, o último vértice que os 2 caminhos anteriores têm em

comum, i jZ v w , algum par ,i j . Como i e j possuem a mesma paridade e

x e 'x são adjacentes, 1 2 2 2 1 2 1 2 2... ' ...j j k k t t jv v v v xx w w w é um ciclo de

comprimento ímpar, o que é um absurdo. Logo, quaisquer dois vértices em X (ou

Y ) não são adjacentes e, como tal, G é bipartido com os conjuntos de partição X

e Y . c.q.d.

Os temas abordados neste capítulo foram, baseados nas referências [12], [13], [14] e

[18].

Idília Caetano

33

Capítulo 2 – Grafos Eulerianos e Hamiltonianos

2.1- Grafos Eulerianos

Voltemos, agora, ao problema das pontes de Königsberg, resolvido por Euler; o grafo

associado a este problema é o que consta na Figura 2. Neste problema, pretendemos

encontrar um trajeto fechado que inclua todas as arestas do referido grafo. A um

trajeto com estas caraterísticas, dá-se o nome de trajeto Euleriano.

Definição 29

Seja G, um grafo (digrafo) conexo. A G dá-se o nome de grafo (digrafo)

euleriano (semieuleriano), se existe um circuito (trajeto) que inclua todas as

arestas (arcos) de G; neste caso o circuito (trajeto) diz-se euleriano.

As Definições 25 e 29, permitem concluir que, qualquer grafo euleriano é também

semieuleriano.

Figura 45 - G1 é Eureliano, G2 é semieuleriano e G3 nem é euleriano nem semieuleriano.

O grafo G1 é Euleriano, dado existir o circuito ABCDBEDAEFA, que contém todas as

arestas de G1. Por sua vez, como em G2 existe o trajeto ABCDBEDAE que contém

todas as arestas de G2 então este é semieuleriano; o grafo G3 não é euleriano nem

semieuleriano porque, não é possível definir um trajeto euleriano.


Figura 46 - D1 é euleriano, D2 é semieureliano e D3 nem é Euleriano nem semieuleriano.

O digrafo D1 é Euleriano, dado existir o circuito FAEDCBDABEF; em D2 existe o trajeto

AEDCBDABE, logo D2 é semieuleriano; o digrafo D3 não é euleriano nem

semieuleriano porque não é possível definir nenhum circuito ou trajeto euleriano.

O resultado seguinte, conhecido por Teorema de Euler, fornece uma condição

necessária e suficiente para que um grafo seja euleriano.

Teorema 6 (Teorema de Euler)

Um grafo conexo G é euleriano se e só se todos os vértices de G têm grau par.

Demonstração:

Seja G um grafo conexo euleriano, 1 2 1... nE VV V V um circuito euleriano em G e X um

vértice qualquer de G. Uma vez que G é conexo e E é euleriano então iX V para

algum i ∈ {1,2,...,n −1,n}.

Vejamos que Vi tem grau par. Cada vértice que figura na sequência de vértices do

circuito euleriano E , tem duas arestas nele incidentes. Como cada aresta ocorre

precisamente uma vez em E , o grau de cada vértice é par.

Provaremos a recíproca por indução sobre o número de arestas de G. Suponhamos,

então, que o grau de cada vértice de G é par. O caso em que G não possui arestas é

trivial. Portanto, como hipótese de indução, admitiremos que o resultado é válido se G

possuir menos n arestas e, nessas condições provaremos que o resultado é válido no

caso de G possuir n arestas ( ). Admitamos, então, que G tem n arestas. Como G

é conexo, cada vértice terá pelo menos grau 2 e, portanto, a partir de G, é possível

obter um subgrafo regular onde cada vértice tem grau 2, ou seja, pela Definição 21,

podemos obter, um subgrafo ciclo C de G. Se C contiver todas as arestas de G, a

prova está terminada.

No caso contrário, removemos de G todas as arestas de C, resultando assim um novo

subgrafo H de G, eventualmente desconexo, com menos arestas que G (logo com

Idília Caetano

35

menos de n arestas) e no qual todo o vértice continua a ter grau par. Pela hipótese de

indução, podemos concluir que, cada componente de H possui um circuito euleriano.

Como cada componente de H possui, pelo menos, um vértice em comum com C

(porque G é conexo), obtemos um circuito euleriano de G, começando num vértice

qualquer de C, seguindo as arestas de C até um vértice comum ao grafo ciclo C e a

uma das componentes de H, percorrendo em seguida, o circuito euleriano da

componente de H que contém este vértice comum e, de seguida, continuando pelas

arestas de C até encontrar um vértice comum ao grafo ciclo C e a outra componente

de H, seguindo o circuito euleriano desta, e assim sucessivamente. O processo

terminará quando voltarmos ao vértice inicial.

O Teorema de Euler permite concluir que, não é possível efetuar o “trajeto” pretendido

pelos habitantes de Königsberg. Como se pode observar na Figura 2, existem quatro

vértices de grau ímpar. Assim, é impossível iniciar e terminar o percurso no mesmo

ponto e passar por cada ponte apenas uma vez. c.q.d.

O próximo resultado permite caracterizar os grafos semieulerianos.

Teorema 7

Um grafo conexo G é semieuleriano se e só se existem apenas dois vértices de G

com grau ímpar.

Demonstração:

Suponhamos que, o grafo conexo G é semieuleriano.

Seja E, um trajeto semieuleriano de G, começando num vértice V e terminando num

vértice W . Se então E é um circuito e, nesse caso, pelo teorema anterior, todos

os vértices de G teriam grau par. Admitamos, então, que . É claro que V e W

têm ambos grau ímpar. Por sua vez, cada um dos restantes vértices que figura na

sequência de vértices de E tem 2 arestas incidentes (isto é, cada um dos restantes

vértices tem grau 2). Como cada aresta ocorre precisamente uma vez em E, o grau

desses vértices é par.

Reciprocamente, suponhamos que G é conexo e possui exatamente 2 vértices, A e B,

de grau ímpar. Consideremos o grafo G* que, se obtém de G por junção de uma nova

aresta ligando A a B. A este novo grafo podemos aplicar o Teorema de Euler e

concluir que admite um circuito euleriano. Retirando deste circuito a aresta

previamente adicionada a G obtemos um trajeto semieuleriano ligando A e B, o que

termina a demonstração. c.q.d.


O Teorema 7 permite concluir que, o grafo das pontes de Königsberg, da Figura 2

também não é semieureliano, pois tem quatro vértices de grau ímpar.

Os Teoremas 6 (Teorema de Euler) e 7, permitem concluir que, se G for um grafo

semieuleriano, para obter um grafo euleriano com os mesmos vértices de G, basta

adicionar uma nova aresta/arco incidente aos dois vértices de grau ímpar.

A partir do grafo semieuleriano G2 da Figura 45, adicionando uma nova aresta

incidente nos vértices de grau ímpar, A e E, obtém-se um grafo euleriano (Figura 47)

com os mesmos vértices de G2.

Figura 47 - Grafo Euleriano obtido do Grafo não euleriano G2 da Figura 45.

Observamos que, o processo efetuado no último exemplo, permite transformar um

grafo G não euleriano num grafo de Euler. A este processo, dá-se o nome de

eulerização de G.

Os exemplos da Figura 48, são exemplos de duas eulerizações distintas do grafo G3

da Figura 45. A melhor eulerização deste é o grafo GE1, pois a melhor eulerização de

um dado grafo G é aquela que, difere de G no número mínimo de arestas.

Figura 48 - Exemplos de grafos eulerianos obtidos através de eulerizações do grafo G3

da Figura 45.

Se um dado grafo é euleriano e tem um número de arestas reduzido, é relativamente

fácil, por tentativa, determinar um circuito euleriano do mesmo. Contudo, esta tarefa

Idília Caetano

37

pode complicar-se quando o número de arestas é elevado. Neste caso, é conveniente

utilizar um método sistemático para determinar um circuito de Euler. Existem alguns

algoritmos que permitem atingir este propósito, nomeadamente o algoritmo de

Herholzer e o algoritmo de Fleury. Neste trabalho, apenas se fará referência a este

último, o qual consiste em, num dado grafo G de Euler, encontrar um circuito C de

Euler. No processo de determinação desse circuito, vai-se eliminando do grafo G as

arestas já percorridas, assim como os vértices sempre que estes fiquem isolados.

Algoritmo de Fleury:

Seja G um grafo eureliano:

Passo 1: Seleciona-se, aleatoriamente, um vértice de G, como ponto de partida

do circuito C.

Passo 2: Em seguida, escolhe-se, para o circuito C, uma aresta incidente no

vértice de partida e elimina-se a mesma do grafo G.

Passo 3: Repete-se o Passo 2 respeitando os seguintes critérios:

Passo 3.1. sempre que possível, evitar escolher arestas que sejam

pontes;

Passo 3.2 eliminar os vértices sempre que estes, no processo de

eliminação de arestas do Passo 2, fiquem isolados.

Passo 4: O processo termina quando, se percorre (e elimina) todas as arestas

de G e se regressa ao vértice de partida.

Figura 49 - Grafo Euleriano.

A título de exemplo, aplicamos o Algoritmo de Fleury ao grafo da Figura 49, iniciando

pelo vértice A. Para facilitar a visualização, sempre que, uma aresta for "eliminada"

será desenhada a tracejado e, sempre que, o vértice fique isolado e seja removido, a

bola preta que o representa será substituída por uma bola branca.


Figura 50 - Aplicação do Algoritmo de Fleury da Figura 49.

Partindo do vértice A podemos optar por quatro arestas: escolhemos AB (grafo G1).

Em B existem três alternativas; seguimos a aresta BC (grafo G2). Em C optamos por

CD (grafo G3) e em D por DB (grafo G4). Em B apenas existe a alternativa BF (grafo

G5). Em F escolhemos a aresta FE (grafo G6). No vértice E optamos pela aresta EC

(grafo G7) e em C seguimos, obrigatoriamente, CA (grafo G8). Em A escolhemos a

resta AE (grafo G9) e em E, forçosamente, tomamos ED (grafo G10); em D seguimos,

obrigatoriamente por DF (grafo G11) e, finalmente, em F percorremos a aresta FA

(grafo G12). Como já não existem outras arestas e voltamos ao vértice de partida, o

circuito de Euler obtido é ABCDBFECAEDFA.

O Algoritmo de Fleury, pode ser adaptado de modo a permitir, encontrar um trajeto

eureliano num grafo semieuleriano.

Idília Caetano

39

Seja G um grafo semieureliano:

Passo 1: Seleciona-se, como ponto de partida do circuito C, um dos dois

vértices de grau ímpar de G.

Passo 2: Em seguida, escolhe-se, para o circuito C, uma aresta incidente no

vértice de partida e elimina-se a mesma do grafo G.

Passo 3: Repete-se o Passo 2 respeitando os seguintes critérios:

Passo 3.1. sempre que possível, evitar escolher arestas que sejam

pontes;

Passo 3.2 eliminar os vértices sempre que estes, no processo de

eliminação de arestas do Passo 2, fiquem isolados.

Passo 4: O processo termina quando, se alcança o outro vértice de grau ímpar

percorrendo (e eliminando) todas as arestas de G.

Grande parte dos resultados apresentados até aqui para grafos (semi)eulerianos

admitem homólogos para digrafos. No caso do Teorema 6 (Teorema de Euler), basta

garantir que, para todos os vértices do digrafo D, os graus de entrada e de saída

sejam coincidentes, enquanto no Teorema 7, devem existir apenas dois vértices com

os graus de entrada e de saída distintos (o grau de saída de um deles excede em uma

unidade o grau de entrada, enquanto no outro vértice é forçosamente o contrário, isto

é, o grau de entrada excede em uma unidade o grau de saída).

Para obter o homólogo do Algoritmo de Fleury para digrafos, vamos considerar, de

modo idêntico, em separado, os casos digrafo eureliano e digrafo semieureliano. No

primeiro destes, a escolha do vértice inicial, no Algoritmo de Fleury, é arbitrária,

enquanto no caso do digrafo semieuleriano, toma-se como vértice inicial aquele cujo

grau de saída excede o grau de entrada numa unidade. É claro que, o vértice final vai

ser aquele cujo grau de entrada é superior ao grau de saída. Nos passos 2 e 3 deste

algoritmo, deve substituir-se "aresta" por "arco".

Em seguida, aplicamos o Algoritmo de Fleury a um exemplo de digrafo semieuleriano:

Consideremos, então, o digrafo semieuleriano da Figura 51. Neste caso, vamos

escolher A para vértice de partida de um circuito eureliano daquele digrafo uma vez

que este tem grau 2 de saída e grau 1 de entrada (notar que o vértice C tem grau 1 de

saída e grau 2 de entrada, enquanto os restantes vértices B, D, E e F tem todos grau 2

de entrada e de saída).


Figura 51 - Digrafo Eureliano.

Obtém-se (de modo análogo ao que acontece nos grafos), a sequência de digrafos da

Figura 52. No final obtém-se o circuito ABCDBFEAFDEC, iniciando pelo vértice A

(neste caso o grau de saída é 2 e o de entrada é 1):

Figura 52 - Aplicação do Algoritmo de Fleury ao digrafo da Figura 51.

Idília Caetano

41

2.2- Grafos Hamiltonianos

Uma das ideias que se desenvolveu na secção 2.1, foi a de saber, se existe um trajeto

(trajeto fechado) que, inclua todas as arestas de um dado grafo conexo G

semieureliano (eureliano). Utilizando a filosofia anterior, mas substituindo arestas por

vértices, obtemos um novo problema, no qual se pretende encontrar um trajeto (trajeto

fechado) que, passe uma única vez por cada vértice de G, ou seja, encontrar um

caminho que inclua todos os vértices de G. A este caminho, dá-se o nome de caminho

Hamiltoniano.

Definição 30

Seja G um grafo conexo. A G dá-se o nome de grafo Hamiltoniano (semi-

Hamiltoniano) se existe um caminho fechado ou ciclo (caminho) que contém

todos os vértices de G. Neste caso o ciclo (caminho) diz-se Hamiltoniano.

Da Definição 30, podemos concluir que, qualquer grafo Hamiltoniano é também um

grafo semi-Hamiltoniano.

Figura 53

O grafo G1 da Figura 53 é Hamiltoniano, pois admite um ciclo de Hamilton, por

exemplo, ADBFCEA, onde constam todos vértices de G1; já o grafo G2 da Figura 53 é

semi-Hamiltoniano, pois admite, por exemplo, o caminho GJIKH que inclui todos os

vértices de G2, mas como não possui qualquer ciclo (qualquer caminho fechado) que

inclua todos os vértices de G2, não é Hamiltoniano; quanto ao grafo G3, este não

admite qualquer caminho que contenha todos os vértices de G3, não sendo, assim,

sequer semi-Hamiltoniano.

Notemos que, por exemplo, um grafo com um vértice de grau 1 não pode conter um

ciclo Hamiltoniano dado que, neste tipo de ciclo, cada vértice tem duas arestas do

ciclo que lhe são incidentes. Adicionalmente, se um vértice de um grafo tem grau 2,


então ambas as arestas que lhe são incidentes fazem parte do ciclo Hamiltoniano.

Observemos, ainda, que quando se constrói um ciclo Hamiltoniano e esse ciclo

contém um vértice, então, de todas as arestas incidentes nesse vértice, apenas duas

podem fazer parte desse ciclo.

A noção de digrafo Hamiltoniano (semi-Hamiltoniano) pode obter-se diretamente da

Definição 30.

Embora, o problema em que se pretende encontrar um ciclo Hamiltoniano, pareça ser

análogo ao problema de encontrar um ciclo euleriano, contrariamente ao que acontece

para este último caso, não é possível encontrar uma condição necessária e suficiente

para que um grafo seja Hamiltoniano. Existem, no entanto, algumas propriedades que

os grafos hamiltonianos satisfazem que, permitem concluir sobre a (im)possibilidade

do grafo conter um ciclo de Hamilton. Seguem-se, algumas dessas propriedades, cuja

a constatação é imediata:

1. Se um grafo simples admite um ciclo Hamiltoniano então não tem pontes.

2. O grafo completo de ordem 3n , , é Hamiltoniano.

3. O grafo ciclo (com n vértices), é Hamiltoniano para qualquer ordem n.

4. Qualquer grafo que se obtenha de um grafo Hamiltoniano acrescentando novas

arestas ainda é um grafo Hamiltoniano.

Observemos que, o recíproco da Propriedade 1 não é verdadeiro, como se pode

verificar pelo grafo G2 e G3 da Figura 53. Nesse grafo não existe qualquer ponte; no

entanto, não existe qualquer ciclo Hamiltoniano.

Seguem-se, dois resultados que, fornecem condições suficientes para que um grafo

seja Hamiltoniano. O primeiro resultado, é habitualmente conhecido por Teorema de

Ore enquanto, o segundo por Teorema de Dirac.

No próximo teorema utilizamos o seguinte conceito.

Definição 31

Um grafo G simples diz-se grafo maximal não hamiltoniano se não é um grafo

hamiltoniano mas a adição de qualquer aresta que ligue dois vértices não

adjacentes transforma G num grafo hamiltoniano.

Idília Caetano

43

Teorema 8 (Teorema de Ore)

Seja G um grafo simples cujo número de vértices é 3n . Se para cada par de

vértices não adjacentes A e B, a soma dos graus de A e B for não inferior a n,

então G é Hamiltoniano.

Demonstração:

Suponhamos que, o grafo G=(V,E) satisfaz as condições do teorema, mas não é um

grafo Hamiltoniano. Acrescentemos arestas a G (sem acrescentar novos vértices) de

forma, a obtermos um supergrafo G*=(V*,E*) de G, tal que, o grafo G* é um grafo

simples maximal que, satisfaz a condição do teorema, mas não é Hamiltoniano. Um

grafo G* deve existir, pois G não é um grafo Hamiltoniano, enquanto o grafo completo

definido no conjunto V dos vértices de G é Hamiltoniano. Por esta razão, para cada

par A e B de vértices não adjacentes de G*, se acrescentarmos a aresta AB ao grafo

G*, este deve conter um ciclo Hamiltoniano C. Este ciclo C, conterá certamente a

aresta AB . Finalmente, se a este ciclo C retirarmos a aresta AB, obtemos um

caminho Hamiltoniano de G*, 1 2 3, , ,..., nA V V V V B .

Assim, se, para algum i, iV é adjacente ao vértice 1A V então 1iV não pode ser

adjacente ao vértice nV B pois, no caso contrário, 1 2 1 1 2 1 1... ...i n n n i iVV V V V V V VV seria

um ciclo Hamiltoniano em G*. Por esta razão, para cada vértice adjacente a 1A V ,

existe um vértice de G distinto de nB V não adjacente a este mesmo vértice. Deste

modo, podemos concluir que 1( ) ( 1) ( )ngrau V n grau V .

Da desigualdade de cima, resulta 1( ) ( ) 1ngrau V grau V n , o que é uma

contradição. Este absurdo resultou, de termos admitido, além da hipótese, que G não

era Hamiltoniano. Assim, concluímos que G é um grafo Hamiltoniano. c.q.d.

Figura 54 - Exemplo de Caminho Hamiltoniano para a demonstração do Teorema 8.


O próximo teorema é uma consequência imediata do Teorema de Ore.

Teorema 9 (Teorema de Dirac)

Seja G um grafo simples cujo número de vértices é 3n . Se o grau de cada

vértice for superior ou igual a , então G é Hamiltoniano.

Consideremos, o grafo G1 da Figura 53. Neste caso 6n . Como, G1 é regular de grau

três, a soma dos graus de quaisquer dois dos seus vértices não adjacentes é seis.

Logo, pelo Teorema de Ore, conclui-se que G1 é Hamiltoniano. O mesmo se conclui,

usando o Teorema de Dirac, visto o grau de cada vértice ser igual a 3 (3 = 0,5 x 6).

Os Teoremas de Dirac e de Ore admitem homólogos para digrafos. No caso deste

último, sendo A e B dois vértices quaisquer não adjacentes de um digrafo G simples

de ordem 3n , basta garantir que, a soma dos graus de saída de A e dos graus de

entrada de B seja não inferior a n ; enquanto para o primeiro é suficiente que tanto os

graus de entrada como os respetivos graus de saída de todos os vértices sejam não

inferiores a .

Os caminhos ou ciclos Hamiltonianos têm várias aplicações, sendo o Problema do

Caixeiro Viajante uma delas. Neste problema, pretende-se que, o caixeiro visite um

determinado número de cidades e retorne à cidade de onde partiu, passando em cada

cidade apenas uma vez e percorrendo a distância mínima. A solução deste problema

consiste, em encontrar um ciclo Hamiltoniano no grafo, de modo a que a soma da

distância percorrida seja a menor possível.

Para este efeito, torna-se necessário introduzir o conceito de custo ou peso de uma

aresta: a cada aresta de um grafo associamos um número (custo ou peso). O grafo

passa, então, a designar-se por grafo com custos ou pesos nas arestas. Nesse caso, o

custo ou peso de um grafo é definido, pela soma dos custos ou pesos das suas

arestas.

Em muitas aplicações, é frequente a determinação de árvores (ver capítulo 3) de custo

mínimo.

Existem diferentes estratégias de resolução deste problema. Uma delas, designada

por Método Exaustivo, consiste em determinar todos os ciclos de Hamilton do grafo,

calcular o peso de cada um deles e escolher um que tenha o peso mínimo.

Idília Caetano

45

O problema seguinte, retirado de [7], pretende clarificar as noções expostas em

cima.

O António é representante duma marca de vinho de mesa e tem regularmente de

visitar os seus clientes em Beja, Castelo Branco, Faro, Lisboa e Setúbal. As

distâncias entre estas cidades encontram-se na tabela seguinte:

Distâncias entre cidades portuguesas

km Beja C. Branco Faro Lisboa Setúbal

Beja 279 147 175 143

C. Branco 279 465 228 263

Faro 147 465 277 245

Lisboa 175 228 277 50

Setúbal 143 263 245 50

Tabela 1

Sabendo que parte de Beja, que visita todas as cidades e regressa a Beja, determine

o percurso que o António deve escolher de modo a percorrer a menor distância.

Figura 55 - Mapa de Portugal.

Figura 56 - Grafo relativo ao exemplo

enunciado.

O grafo de Hamilton correspondente a este problema, pode representar-se como na

Figura 56.


Para resolver o problema, começamos por listar todos os possíveis percursos e as

distâncias correspondentes Tabela 2.

N.º Percursos(ciclos) Distâncias(pesos)

1 Beja - C. Branco - Faro - Lisboa - Setúbal - Beja 279+465+277+50+143 =1214

2 Beja - C. Branco - Faro - Setúbal - Lisboa - Beja 279+465+245+50+175 =1214

3 Beja - C. Branco - Lisboa - Faro - Setúbal - Beja 279+228+277+245+143 =1172

4 Beja - C. Branco - Lisboa - Setúbal - Faro - Beja 279+228+50+245+147 =949

5 Beja - C. Branco - Setúbal - Faro - Lisboa - Beja 279+263+245+277+175 =1239

6 Beja - C. Branco - Setúbal - Lisboa - Faro - Beja 279+263+50+277+147 =1016

7 Beja - Faro - C. Branco - Lisboa - Setúbal - Beja 147+465+228+50+143 =1033

8 Beja - Faro - C. Branco - Setúbal - Lisboa - Beja 147+465+263+50+175 =1100

9 Beja - Faro - Lisboa - C. Branco - Setúbal - Beja 147+277+228+263+143 =1058

10 Beja - Faro - Setúbal - C. Branco - Lisboa - Beja 147+245+263+228+175 =1058

11 Beja - Lisboa - C. Branco - Faro - Setúbal - Beja 175+228+465+245+143 =1256

12 Beja - Lisboa - Faro - C. Branco - Setúbal - Beja 175+277+465+263+143 =1323

13 Beja - Setúbal - Lisboa - Faro - C. Branco - Beja 143+50+277+465+279 =1214

14 Beja - Lisboa - Setúbal - Faro - C. Branco - Beja 175+50+245+465+279 =1214

15 Beja - Setúbal - Faro - Lisboa - C. Branco - Beja 143+245+277+228+279 =1172

16 Beja - Faro - Setúbal - Faro - C. Branco - Beja 143+245+50+228+279 =949

17 Beja - Lisboa - Faro - Setúbal - C. Branco - Beja 175+277+245+263+279 =1239

18 Beja - Faro - Lisboa - Setúbal - C. Branco - - Beja 147+277+50+263+279 =1016

19 Beja - Setúbal - Lisboa - C. Branco - Faro - Beja 143+50+228+465+147 =1033

20 Beja - Lisboa - Setúbal - C. Branco - Faro - Beja 175+50+263+465+147 =1100

21 Beja - Setúbal - C. Branco - Lisboa - Faro - Beja 143+263+228+277+147 =1058

22 Beja - Lisboa - C. Branco - Setúbal - Faro - Beja 175+228+263+245+147 = 1058

23 Beja - Setúbal - Faro - C. Branco - Lisboa - Beja 143+245+465+228+175 =1256

24 Beja - Setúbal - C. Branco -Faro - Lisboa - Beja 143+263+465+277+175 =1323

Tabela 2 - Os 24 ciclos de Hamilton do grafo da Figura 56.

Como se pode observar na Tabela 2, há dois percursos ótimos, isto é, a distância é

mínima, os de números 4 e 16, isto é, Beja – C. Branco – Lisboa – Setúbal - Faro –

Beja e Beja – Faro – Setúbal - Lisboa – C. Branco – Beja respetivamente, em ambos a

distância percorrida é de 949 km.

Idília Caetano

47

Observemos que, o percurso número 4 é o inverso do percurso 16, o mesmo se passa

com todos os pares de percursos (i, 12+i), i=1,…12. Assim, o número de ciclos de

Hamilton distintos do grafo da Figura 56 é 12.

A desvantagem do Método Exaustivo é que, um grafo completo de ordem n admite

ciclos de Hamilton; assim, este processo é demasiado moroso para se obter

resultados em tempo útil, mesmo quando a ordem do grafo não é elevada. Notemos

que, num grafo com 4 vértices, existem 3 ciclos de Hamilton, num de 5 vértices

existem 12, para 6 vértices têm-se 60 e para 7 vértices 360 ciclos Hamiltonianos. Por

exemplo, para 9 vértices temos 20160 ciclos de Hamilton, aumentando este número

para quando o grafo tem 10 vértices. Atualmente, não se conhecem

métodos exatos que permitam encontrar caminhos de Hamilton, mesmo para grafos

com ordens relativamente pequenas. Por esse motivo, foram desenvolvidos outros

métodos que, embora não deem garantia de encontrar a melhor solução para o

problema, permitem encontrar uma solução muito próxima da ótima, em tempo

adequado para as necessidades da aplicação.

De seguida, apresentamos os algoritmos referentes a dois deles: o Método do Vizinho

Mais Próximo e o Método da Aresta de Menor Peso.

Método do Vizinho Mais Próximo:

Dado G um grafo completo de ordem n.

Considerar um novo grafo S, contendo um vértice arbitrário de G.

Seja esse vértice.

Enquanto houver vértices de G que não pertençam a S:

Passo 1: Listar todas as arestas incidentes no vértice , que envolvam apenas

vértices de G que não estão em S.

Passo 2: Escolher a aresta de peso mínimo, introduzi-la em S, bem como ao

correspondente vértice de G que ainda não pertence a S: seja esse

vértice.

Passo 3: Repetir sucessivamente os passos 1 e 2 incrementando, por cada

repetição, uma unidade aos índices dos vértices, até percorrer todos

os vértices de G.

Introduzir em S a aresta .

Vamos agora, usar o Método do Vizinho Mais Próximo, para resolver o problema do

exemplo da página 45; relembramos que, este método não dá a garantia de se obter

uma solução ótima, mas apenas uma sua aproximação.


Começamos por Beja, de seguida listamos todas as arestas incidentes em Beja (Beja

– Castelo Branco, Beja – Faro, Beja – Lisboa, Beja – Setúbal) e escolhe-se a mais

curta: Beja – Setúbal (com 143 km); de Setúbal, pelo mesmo método, seguimos para

Lisboa (visto ser a aresta de menor distância; 50 km); de Lisboa percorre-se 228 km

para Castelo Branco; finalmente, de Castelo Branco vai-se na direção de Faro (a 465

km de distância) (dado que a única alternativa seria ir para Faro e, neste último caso, a

distância a percorrer seria 465 km), de onde se regressa a Beja (a 147 km de

distância), isto é, o António fará o percurso 19 da Tabela 2:

Beja – Setúbal - Lisboa – C. Branco – Faro – Beja

conduzindo a sua viatura num total de 1033 km. Este percurso não é ótimo, conforme

constatámos acima; no entanto, foi obtido de modo muito mais rápido e o erro relativo

é apenas, aproximadamente, de 8,85% ( ), sendo 84=1033-949.

Contrariamente, ao Método do Vizinho Mais Próximo que, constrói o caminho

Hamiltoniano utilizando vértices adjacentes, o objetivo do algoritmo da Aresta de

Menor Peso é encontrar um ciclo Hamiltoniano à custa de arestas “soltas”.

Algoritmo da Aresta de Menor Peso:

Dado G um grafo completo de ordem n.

Considerar o grafo vazio, S.

Enquanto não for obtido um ciclo em S:

Passo 1: Ordenam-se as arestas de G.

Passo 2: Escolher a aresta de menor peso de G que ainda não pertence a S e

que não permita que:

Passo 2.1: se forme um ciclo se a ordem de S for inferior a n;

Passo 2.2: haja três arestas incidentes no mesmo vértice em S.

Passo 3: Introduzir em S a aresta obtida no Passo 2, bem como os

correspondentes vértices de G que ainda não lhe pertençam.

De seguida, resolveremos o problema do caixeiro viajante do exemplo da página 45,

através do método da Aresta de Menor Peso. Este método, tal como o do Vizinho Mais

Próximo, apenas garante uma solução aproximada na obtenção de ciclos de Hamilton.

Começamos por ordenar as arestas por ordem crescente do seu peso, obtendo-se a

sequência seguinte:

Setúbal – Lisboa (50 km); Setúbal – Beja (143 km); Beja – Faro (147 km); Beja –

Lisboa (175 km); Lisboa – C. Branco (228 km); Setúbal – Faro (245 km); C. Branco -

Idília Caetano

49

Setúbal (263 km); Lisboa – Faro (277 km); C. Branco – Beja (279 km); C. Branco –

Faro (465 km).

De seguida, introduz-se em S a aresta com a menor distância “Setúbal – Lisboa” (50

km); na iteração seguinte incluir-se-á em S a aresta “Setúbal – Beja” (143 km); na 3ª

iteração introduz-se em S a aresta Beja – Faro (147 km); na 4ª iteração rejeita-se a

inclusão em S das arestas” Beja – Lisboa (175 km)” pois, contradiz a condição 1 do

Passo 2 do algoritmo, pois forma um ciclo de ordem S=3<5 e considera-se a aresta

“Lisboa – C. Branco” (228 km); na 5ª iteração rejeita-se a inclusão em S das arestas

“Setúbal – Faro (245 km)” e “Setúbal – C. Branco (263 km)” "Lisboa - Faro (277 km)" e

"Beja - C. Branco (279 km)" pois, nas duas primeiras arestas contrariam o Passo 2.2

do algoritmo, uma vez que o vértice “Setúbal” apareceria três vezes e as outras duas

arestas formariam um ciclo , portanto resta-nos escolher "C. Branco - Faro" (465 km).

Por este processo obtém-se, tal como no caso do Algoritmo do Vizinho Mais Próximo,

o percurso 19, tendo o António de percorrer 1033 km na sua viagem.

As definições e teoremas deste capítulo foram, fundamentadas em [13] e [14].


Capítulo 3 – Árvores

3.1- Definições e Propriedades

Neste capítulo será analisado, o tipo de grafo não trivial mais simples, a árvore. Este

tipo particular de grafo é especialmente adequado para representar estruturas

hierárquicas e é usado em teoria da codificação e em algoritmos de pesquisa, entre

outros.

Definição 32

Qualquer grafo G conexo que não contenha nenhum grafo ciclo como subgrafo

designa-se por árvore.

O grafo da Figura 57 é uma árvore, dado não conter nenhum subgrafo ciclo.

Figura 57 - Grafo Árvore.

Definição 33

Sendo G um grafo, designa‐se por árvore geradora em G a todo o subgrafo de G

que é uma árvore e que contém todos os vértices de G .

Notemos que, o grafo G da Figura 58, não é uma árvore, uma vez que possui vários

ciclos tais como, por exemplo, ABCA, BADB, ABDCA.

Idília Caetano

51


Os três grafos da Figura 59, são árvores geradoras do grafo da Figura 58.

Figura 59 - Árvores geradoras de G da Figura 58.

Teorema 10

Se G um grafo conexo com n vértices então G é uma árvore se e só se G tem 1n

arestas.

Demonstração:

Notemos que, começando com a árvore de ordem um, é possível construir uma árvore

de qualquer ordem, bastando, para tal, adicionar sucessivamente uma nova aresta e

um novo vértice. Assim, em cada iteração, a ordem e a dimensão da árvore aumentam

exatamente em uma unidade, isto é, uma árvore com n vértices tem exatamente 1n

arestas.

Provemos, agora, nas condições deste teorema que, se G tem 1n arestas então G é

uma árvore. De facto, para um dado inteiro k compreendido entre 0 e n , se existisse

um ciclo kC que, fosse subgrafo de G chegaríamos a um absurdo. De facto, partindo

do ciclo kC , acrescentando sucessivamente, a este ciclo cada um dos n k vértices

de G não pertencentes a kC , assim como as correspondentes arestas, chegaríamos à

conclusão que, G teria n vértices e n arestas, o que entra em contradição com a

hipótese. c.q.d.


Teorema 11

Um grafo G é uma árvore se e só se existe um único caminho entre cada par de

vértices.

Demonstração:

Admitamos que, G é uma árvore, pretendemos provar que, existe um único caminho

entre cada par de vértices. Se admitirmos que, existem pelo menos dois caminhos

distintos a unir dois vértices de G então G teria um ciclo, e portanto, G não seria uma

árvore.

Provemos, agora, o recíproco. Suponhamos que, existe um único caminho sem

repetição de vértices, unindo quaisquer dois vértices do grafo G. Então, G é

claramente conexo. Além disso, não pode conter ciclos pois, no caso contrário, sendo

X e Y dois dos seus vértices, existiriam evidentemente dois caminhos, sem repetição

de vértices, unindo X a Y . Deste modo, concluímos que G é uma árvore. c.q.d.

Teorema 12

Se G é um grafo conexo então, G é uma árvore se e só se qualquer uma das suas

arestas é uma ponte.

Demonstração:

Numa árvore, quaisquer dois dos seus vértices estão unidos apenas por uma aresta.

Assim, caso esta seja eliminada, o grafo fica desconexo, o que mostra que, numa

árvore, qualquer aresta é uma ponte.

Admitamos, agora que, cada aresta de G é uma ponte. Nestas condições, G não pode

conter nenhum ciclo pois, no caso contrário, nenhuma das arestas daquele ciclo seria

uma ponte, o que contraria a hipótese. Assim, G é uma árvore. c.q.d.

Teorema 13

G é uma árvore se e só se G é um grafo sem ciclos tal que, sempre que se unem dois

quaisquer dos seus vértices não adjacentes por uma nova aresta, obtém-se um

supergrafo de G que, contém exatamente um ciclo.

Demonstração:

Se G é uma árvore, é claro que, G é um grafo sem ciclos. Admitamos, por absurdo,

que ao unirmos dois vértices não adjacentes de G por uma nova aresta, obtemos um

supergrafo de G com dois ciclos. Isto, só pode ser verdade, se o grafo G contiver, à

Idília Caetano

53

partida, um ciclo (pois removendo do supergrafo obtido a aresta introduzida seria

possível obter um ciclo em G), o que contraria a hipótese de G ser uma árvore.

Para provar o recíproco, basta mostrar que G é conexo (pois para ser árvore tem que

ser conexo e não ter ciclos). Suponhamos que, G satisfaz a hipótese do recíproco mas

não é conexo. Se acrescentarmos uma aresta AB ligando vértices A e B pertencentes

a componentes distintas, não obtemos qualquer ciclo, o que constitui uma contradição

com a hipótese. Assim, G tem de ser conexo e por consequência é uma árvore. c.q.d.

O próximo teorema reúne estas últimas propriedades e outras.

Teorema 14

Seja G um grafo simples de ordem n. Então, as afirmações seguintes são

equivalentes:

a) G é conexo e não tem ciclos (ou, G é uma árvore).

b) G é conexo e tem dimensão 1n .

c) G não tem ciclos e tem dimensão 1n .

d) G é conexo e cada aresta é uma ponte.

e) Existe um caminho único entre dois quaisquer vértices de G.

f) G não tem ciclos e da introdução de uma aresta que liga dois quaisquer

vértices não adjacentes de G obtém-se um novo grafo que possui exatamente

um ciclo.

Demonstração:

Para demonstrar estas equivalências, basta provar que

Comecemos por provar que ) )a b .

Mostremos, então, que se G é uma árvore, isto é, se G é um grafo conexo e não tem

ciclos então tem dimensão . Faremos a respetiva prova por indução sobre o

número de vértices . Obviamente que, se então o único grafo conexo com um

vértice é o grafo que tem 1 vértice e 0 arestas, e portanto o grafo tem dimensão

. Suponhamos, agora que, a implicação é verdadeira para todos os grafos

conexos sem ciclos com menos de vértices. Uma vez que, por hipótese, não

tem ciclos, a remoção de qualquer aresta subdivide o grafo em duas componentes

e , cada uma das quais é uma árvore. Supondo que, tem vértices e que

tem vértices, com , então, uma vez que, e são inferiores a , pela

hipótese de indução, a dimensão de é igual a e a dimensão de é igual a


. Assim, o número total de arestas de G é igual a , o

que prova o pretendido.

Provemos que ) )b c .

Suponhamos, agora, que é conexo e tem dimensão . Pretendemos provar que,

G não tem ciclos. Se admitirmos que, G tem ciclos, então podemos eliminar arestas

mantendo o grafo conexo. No fim deste processo, obteríamos uma árvore com n

vértices mas com dimensão inferior a , o que já vimos não ser possível. Logo G

não tem ciclos.

Provemos, agora, a implicação ) )c d .

Admitamos que, não tem ciclos e tem dimensão . Provemos, então, que é

conexo e cada aresta é uma ponte. Admitamos, por absurdo, que G não era conexo.

Nesse caso, conteria duas componentes G1 e G2 (pelo menos). Unindo um vértice de

G1 com um vértice de G2 através de uma aresta, obteríamos um novo grafo, com n

vértices e dimensão n, conexo e sem ciclos, e portanto, seria uma árvore. Isto é um

absurdo, pelo que vimos acima, pois uma árvore com .vértices, tem obrigatoriamente

dimensão . Concluímos, assim, que G é forçosamente conexo; mas, se G é

conexo e não tem ciclos então G é uma árvore donde, pelo que vimos no Teorema 12,

cada aresta de G é uma ponte, ficando, assim, d) provada.

De seguida, iremos provar a implicação ) )d e .

Já vimos (ver Teorema 12) que ) )d a . Por sua vez, no Teorema 11, vimos que

) )a e , e portanto, ) )d e .

Provemos a implicação ) )e f .

Da hipótese admitida em e) resulta, pelo Teorema 11, que G é uma árvore donde, pelo

Teorema 13, resulta imediatamente a alínea f).

Finalmente, provemos a implicação ) )f a .

Para provar esta implicação basta mostrar, partindo de f), que G é conexo. Ora, da

hipótese admitida em f) podemos concluir, por intermédio do Teorema 13, que G é

uma árvore. c.q.d.

As noções e os resultados anteriores, permitem concluir o resultado que se segue.

Idília Caetano

55

Teorema 15

Um grafo G é conexo se e só se G possui uma árvore geradora.

Demonstração:

Seja G um grafo conexo. Se G não tem ciclos então, por definição, é uma árvore e o

resultado verifica-se. Suponhamos que, G tem, pelo menos, um ciclo. Então, retirando

uma aresta a esse ciclo o grafo mantém-se conexo. Repetindo este processo, ao fim

de um número finito de arestas eliminadas, obtém-se uma árvore geradora (uma vez

que o conjunto de vértices não foi alterado).

Reciprocamente, Se G possui uma árvore geradora, então, pelas Definições 32 e 33,

conclui-se que, G é conexo. c.q.d.

3.2- Árvores Geradoras

Dado que, a resolução de vários problemas passíveis de serem representados por

grafos, se pode fazer com recurso a uma ou várias das suas árvores geradoras, nesta

secção analisa-se, em particular, este tipo de árvore.

Dado um grafo conexo, é possível obter uma sua árvore geradora aplicando ou o

Algoritmo de Corte ou o Algoritmo de Construção.

Algoritmo de Corte:

Seja G um grafo conexo.

Enquanto houver ciclos:

Passo 1: Escolher um ciclo arbitrário em G.

Passo 2: Escolher uma das suas arestas e eliminá-la.

Notemos que, caso não exista qualquer ciclo num grafo conexo G, G é ele próprio uma

árvore geradora. Adicionalmente, como a remoção de uma só aresta de um ciclo não

torna um grafo desconexo, o grafo obtido em cada iteração do método de corte, ainda

é um grafo conexo.

Vamos aplicar o algoritmo de corte ao grafo da Figura 60, daí resultando, nas

sucessivas iterações do método, os grafos da Figura 61.



Figura 61 - Aplicação do Algoritmo de Corte ao grafo da Figura 60.

Comecemos por considerar o ciclo CDEABC do grafo G. Optando por eliminar a aresta

BC, obtemos o subgrafo G1 da Figura 61. Em seguida, escolhemos (por exemplo) o

ciclo DBAED e optamos por eliminar a aresta DE, daí resultando o subgrafo G2.

Finalmente, considerando o ciclo BAEB e eliminando (por exemplo) a aresta BE,

obtém-se o subgrafo G3. Este último subgrafo, contém todos os vértices de G, é

conexo e não tem ciclos, e portanto é uma árvore, constituindo assim uma das árvores

geradoras de G.

Consideremos, agora, o seguinte algoritmo.

Algoritmo de Construção:

Seja G um grafo conexo.

Vamos partir do grafo vazio S.


Passo 1: Escolhemos uma aresta arbitrária em G.

Passo 2: Averiguamos se a introdução dessa aresta cria um ciclo em S. No caso

negativo, introduzimos esta aresta e os vértices adjacentes em S.

Agora, vamos aplicar o Algoritmo de Construção ao grafo da Figura 60, obtendo-se,

nas sucessivas iterações do método, os grafos da Figura 62.

Comecemos por incluir em S, a aresta BC e os vértices adjacentes (grafo G1); depois,

incluímos a aresta CD e o vértice D (grafo G2) pois, não se obtém um ciclo; em

seguida, a aresta DE e o vértice E (grafo G3). Finalmente a aresta EA e o vértice A

(grafo G4). O grafo G4 é outra das árvores geradoras de G.

Figura 62 - Aplicação do Algoritmo de Construção ao grafo da Figura 60.

Idília Caetano

57

Se a cada aresta de um grafo for associado um número real, designado por peso,

obtém-se uma rede. A definição seguinte, caracteriza o peso de uma árvore geradora

de uma rede.

Definição 34

Seja G um grafo tal que a cada uma das suas arestas está associado um número

real, designado por peso. O peso duma árvore geradora em G é a soma dos

pesos de todos as arestas dessa árvore geradora. Chama-se árvore geradora

mínima em G a toda a árvore geradora em G cujo peso seja não superior ao peso

de qualquer outra árvore geradora em G.

O conceito de árvore geradora mínima num determinado grafo é um conceito com

diversas aplicações práticas, podendo ser utilizado, por exemplo, no planeamento de

redes de comunicação e distribuição, quando o objetivo é selecionar itinerários entre

todos os pares de vértices da forma mais económica. Os vértices podem representar

cidades ou terminais, as arestas vias ou ligações e os pesos dessas arestas podem

ser, entre outros, as distâncias, os custos ou os tempos envolvidos nestes processos.

De seguida, apresentam-se os dois algoritmos mais populares para determinar a

árvore geradora mínima de um dado grafo; um é devido a Kruskal e o outro a Prim.

Começamos por apresentar, o Algoritmo de Kruskal, que é uma variação do Algoritmo

da Aresta de Menor Peso para o caso particular das árvores; ao contrário deste último,

o Algoritmo de Kruskal não fornece uma solução aproximada, mas sim a ótima, isto é,

garante que a árvore geradora obtida é mínima.

Algoritmo de Kruskal:

Dado um grafo conexo G de ordem n com pesos nas arestas.

Construir uma lista de arestas de G, ordenadas de forma ascendente em função dos

seus pesos.

Considerar o grafo vazio S e representar por o número de vértices de S

Considerar .

Enquanto :

Passo 1: Da lista de arestas de G, escolhe-se a de menor peso para introduzir

em S.


Passo 2: Das restantes arestas de G, escolhe-se para introduzir em S) aquela

que tiver menor peso exceto se esta introdução der origem a um ciclo

em S.

Consideremos, agora, as Figuras 55 e 56 do problema do exemplo da página 45.

Suponhamos, agora, que a empresa “Estradas de Portugal” pretende alcatroar

algumas destas estradas com piso novo, de forma que seja possível efetuar o trajeto

entre quaisquer duas destas cidades (direta ou indiretamente), sempre por piso novo.

Indique, qual a rede de estradas que deve ser sujeita a obras, de modo a que o

número total de quilómetros a pavimentar seja o menor possível.

Para resolver este problema usando o Algoritmo de Kruskal, começamos por

considerar, o grafo conexo com 5 vértices da Figura 56; o qual representaremos por G.

De seguida, para obter as quatro arestas que irão formar a árvore geradora mínima

(número de arestas da árvore geradora mínima é igual a 1n ), de entre as arestas

deste grafo, escolhemos “Setúbal – Lisboa” (50 km), por ser esta a que tem peso

mínimo e introduz-se esta aresta em S. Depois, continuamos o algoritmo e, das

restantes arestas de G, escolhemos a que tem menor peso: neste caso é a aresta

“Setúbal – Beja” (143 km) a qual é incluída em S. Repetindo o processo, incluímos em

S a aresta “Beja – Faro” (147 km). Até ao momento, S tem 4 vértices. Agora não

podemos escolher a aresta de menor peso ”Beja – Lisboa” (175 km) para incluir em S

porque esta inclusão daria origem a um ciclo em S. Escolhemos, então, a aresta

“Lisboa – C. Branco” (228 km) pois esta, não dá origem a nenhum ciclo em S e é

aquela que tem menor peso. Com esta inclusão, S tem os 5 vértices de G e constitui a

árvore geradora de menor peso do grafo G (Figura 63), a que corresponde uma

distância mínima total de 568 quilómetros a pavimentar.

Usando as siglas B, S, L, F e CB para representar as cidades Beja, Setúbal, Lisboa,

Faro e Castelo Branco respetivamente, obtemos o grafo da Figura 63, que é uma

árvore geradora mínima do grafo G.

Figura 63 - Árvore geradora de menor peso do grafo G.

Idília Caetano

59

Apresentamos, agora, o algoritmo devido a Prim, o qual à semelhança do de Kruskal,

também garante que, no final, se obtém a árvore geradora mínima.

Algoritmo de Prim:

Dado G um grafo conexo com pesos nas arestas.

Considerar k=0.

Considerar um novo grafo S, contendo um vértice arbitrário de G.


Passo 1: Listar, todas as arestas incidentes aos vértices de S, que envolvam

apenas vértices de G que não estão em S.

Passo 2: Escolher, a aresta de peso mínimo que não cria um ciclo em S.

Passo 3: Introduzir, em S a aresta nas condições do Passo 2; bem como o

correspondente vértice de G que ainda não pertence a S.

Agora, apliquemos o Algoritmo de Prim à resolução do problema do exemplo da

página 45. Para tal, começa-se por uma cidade arbitrária, por exemplo Beja e

considera-se a aresta incidente em Beja com menor peso: “Beja – Setúbal” (143 km),

Tabela 3. Nesta fase, S contém os vértices “Beja” e “Setúbal” e a aresta

correspondente. Na iteração seguinte, analisam-se todas as restantes arestas de G

incidentes a um dos vértices de S e introduz-se em S aquela que apresenta o menor

peso: “Setúbal – Lisboa” (50 km), Tabela 4; nesta fase S contém os vértices “Beja”,

“Setúbal” e “Lisboa”, bem como as arestas correspondentes. A terceira iteração

permite incluir em S a cidade de “Faro” e a aresta “Beja – Faro” (147 km), Tabela 5.

Em seguida, das restantes arestas de G incidentes a um dos vértices de S, a que tem

menor peso é "Beja - Lisboa"(175km); contudo, não se escolhe esta aresta para

introduzir em S, porque isso daria origem um ciclo. Escolhe-se sim, das restantes

arestas de G, a aresta "Lisboa - Castelo Branco" (228km) por ser aquela com peso

menor de entre as que não dão origem a ciclos em S, Tabela 6. Como S já tem os 5

vértices iniciais de G, S é a árvore geradora mínima de G (Figura 63), à qual

correspondem 568 quilómetros de via a pavimentar.

B B B B

CB F L S

279 147 175 143

Tabela 3 - Distância de B entre CB, F, L e S.

B B B S S S

CB F L CB F L

279 147 175 263 245 50

Tabela 4 - Distância de B e S entre CB, F, L.


B B S S L L

CB F CB F CB F

279 147 263 245 228 277

Tabela 5 - Distância de B, S e L entre CB e F.

B S L F

CB CB CB CB

279 263 228 465

Tabela 6 - Distância de B, S, L e F com CB.

Observamos que, o Algoritmo de Prim é mais adequado para grafos de grandes

dimensões do que o Algoritmo de Kruskal, uma vez que, permite trabalhar diretamente

numa tabela de pesos em vez de trabalhar no próprio grafo.

As definições e teoremas deste capítulo foram, fundamentadas em [13] e [14].

A Teoria dos Grafos e sua aplicação

61

Capítulo 4 - Aplicações práticas

A teoria de grafos pretende fornecer aos alunos ferramentas úteis que lhes permitam,

entre outros, lidar com problemas de gestão, compreender melhor os sistemas de

distribuição e desenvolver a capacidade de explorar e transmitir as diferentes soluções

obtidas para cada problema proposto.

Nesta secção, propomos algumas tarefas de aplicação dos conceitos abordados ao

longo desta dissertação. Com estas atividades, pretendemos não só ajudar os

docentes a preparar as aulas relativas aos conteúdos programáticos aqui abordados,

mas também que estes consigam atingir as finalidades propostas para a disciplina,

[10]:

"Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística

que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de

estudos como para a inserção na vida ativa.

Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de

interpretação e intervenção no real.

Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em

situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais.

Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem

matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico.

Contribuir para formar uma atitude positiva face à ciência e particularmente

para com a Matemática.

Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de

autonomia e solidariedade.

Desenvolver capacidades de intervenção social pela compreensão e discussão

de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos cidadãos,

participando desse modo na formação para uma cidadania ativa e

participativa."

Propomos, adicionalmente, que antes de iniciar cada uma das atividades propostas, o

docente comece por dividir a turma em grupos e durante a sua execução, cada grupo

explore os conceitos abordados e discuta diferentes possibilidades de abordagem, de

modo a conseguir resolver a tarefa em questão.


Para cada um dos exercícios propostos, pretende-se que o aluno seja capaz de

cumprir os objetivos listados no início da atividade. Adicionalmente e com o propósito

de disponibilizar ao docente uma possível resolução, para cada tarefa é facultada uma

proposta de resolução.

Exercício 1

Objetivos:

Identificar os vértices, as arestas, os vértices isolados, os lacetes;

Utilizar a definição de ordem e dimensão de um grafo;

Dominar a noção de grau de um vértice;

Usar a noção de grafo regular;

Dado um vértice, identificar os vértices que lhes são adjacentes e as

arestas que lhe são incidentes;

Identificar pontes;

Aplicar a noção de caminho, trajeto e circuito;

Construir um subgrafo;

Dominar a noção de grafo conexo;

Identificar grafos completos e o grafo complementar;

Identificar grafos simples.

Considere, o grafo apresentado na figura seguinte e indique:

Figura 64 - Grafo S.

a) o conjunto dos vértices de S e o conjunto das suas arestas.

b) os vértices isolados e os lacetes.

c) a ordem e a dimensão de S.

d) o grau de cada vértice de S.

e) justificando, se o grafo S é regular.

f) O subgrafo de vértices D, E, F, G.


63

g) todas as pontes do subgrafo de vértices D, E, F, G.

h) os vértices adjacentes ao vértice A .

i) as arestas incidentes no vértice A.

j) no subgrafo de vértices A, B, C, D, E, F e G.

1. um caminho de A para E.

2. um trajeto de A para E.

3. um circuito de tamanho 3 que passe em A.

4. um circuito de tamanho 6 que passe em D.

k) se o grafo S é conexo. Em caso negativo, apresente um seu subgrafo conexo.

l) o grafo completo cujo conjunto de vértices é V. (OBS: Na proposta de

resolução deve dizer-se que o docente deve conduzir os grupos a referir que o grafo é

completo com n vértices e, como tal, representa-se como Kn).

m) o grafo complementar a S.

n) se o grafo S é simples. Em caso negativo, apresente um seu subgrafo simples.

Apresentamos, em seguida, uma proposta de resolução.

a) Os alunos deverão referir que, um grafo é representado por pontos e por linhas

que ligam esses pontos, e que, neste caso, o grafo S tem 9 pontos e 12 linhas,

respetivamente:

A, B, C, D, E, F, G, H e I

AA, AB, AC, AD, BC, BD, CD, DE, DE, EF, FG e FG;

Devem ainda acrescentar que, os pontos são designados por vértices e as linhas por

arestas e, como tal, o conjunto dos vértices de S, V, e o conjunto de arestas de S, E,

são, respetivamente:

V={A, B, C, D, E, F, G, H e I}

E={AA, AB, AC, AD, BC, BD, CD, DE, DE, EF, FG e FG}.

b) Os alunos deverão indicar:

H e I como vértices isolados, em virtude de cada um deles não ser

adjacente a nenhum outro vértice de S.

a existência de um único lacete no vértice A, justificando que um lacete

é uma aresta cujos vértices adjacentes são coincidentes.


c) Os alunos deverão indicar que, a ordem de S é 9 e a sua dimensão é 12,

argumentando que a ordem de um grafo é o número dos seus vértices e a sua

dimensão o número das suas arestas.

d) O aluno deverá referir que, o grau de um vértice é igual ao número de arestas

que são incidentes nesse vértice, isto é, que ligam esse vértice a outro vértice ou a si

próprio, (o lacete conta duas vezes). Assim, na Figura 64, pode observar-se que no

vértice:

A – há um lacete e mais três arestas que ligam A aos vértices B, C e D, logo o

grau de A é 5;

B – três arestas que ligam B aos vértices A, C e D, logo o grau de B é 3;

C – três arestas que ligam C aos vértices A, B e D, logo o grau de C é 3;

D – três arestas que ligam D aos vértices A, C e D, mais duas arestas que

ligam D a E logo o grau de D é 5;

E – duas arestas que ligam E ao vértice D, mais uma aresta que liga E a F logo

o grau de E é 3;

F – duas arestas que ligam F ao vértice G, mais uma aresta que liga E a F logo

o grau de E é 3;

G – duas arestas que ligam F ao vértice G, logo o grau de E é 2;

H e I – ambos os graus de H e de I são nulos, vistos serem vértices isolados.

A Tabela 7, sintetiza a informação anterior.

Tabela 7 - Graus dos vértices da Figura 64.

e) O aluno deverá mencionar que, um grafo cujos vértices têm todos o mesmo

grau diz-se um grafo regular. Este grafo não é regular, pois nem todos os seus vértices

têm mesmo grau. Basta observar, por exemplo, que o vértice H tem grau 0 e o vértice

D tem grau 5.

f) Uma estratégia, que o aluno poderá utilizar é remover de S os vértices A, B, C,

I e H, bem como todas as arestas que lhes são incidentes; após este procedimento,

Vértice A B C D E F G H I

Grau 5 3 3 5 3 3 2 0 0


65

obtemos o grafo representado na Figura 65, que é o subgrafo do grafo de S, definido

pelo par G’=(V’, E’), em que V’={D, E, F, G} e E’={DE, DE, EF, FG, FG}.

Figura 65 - Representação do subgrafo de S, S’.

g) O aluno deverá referir que, uma ponte de um grafo é qualquer aresta desse

grafo que quando retirada torna o grafo desconexo. Assim, a única ponte do subgrafo

de vértices D, E, F, G é a aresta EF; retirando-a obtém-se o grafo desconexo


Figura 66 - Grafo desconexo.

h) O aluno deve indicar que, os vértices adjacentes ao vértice A, para além do

próprio vértice A (dado existir um lacete em A), são os vértices B, C e D, pois são os

vértices que estão ligados ao vértice A por uma aresta.

i) Os alunos deverão referir que, para além do lacete em A, as restantes arestas

incidentes em A são AB, AD e AC, dado que B, C e D são vértices adjacentes a A.

j) Os alunos deverão começar por, representar o subgrafo de S, constituído pelos

vértices A, B, C, D, E, F, G, que se designará por S’'.

Figura 67 - Subgrafo S'' do grafo da Figura 64.


1. Os alunos podem referir que, um trajeto em S'’ entre os vértices

A e E é uma sucessão de arestas distintas do grafo S'’, cujo vértice inicial é A e

E é o vértice final. Assim sendo, um possível trajeto de A para E é AB, BD, DA,

AC, CD, DE, isto é ABDACDE.

2. Sendo, um caminho, um trajeto em que, não há repetição de

vértices, os alunos devem indicar, como um caminho possível de A para E, em

S'’, a sucessão AB, BC, CD, DE, isto é ABCDE.

3. Dado que, um circuito é um trajeto fechado, isto é, um trajeto em

que o primeiro e o último vértices coincidem, um circuito do grafo S'’ que tenha

comprimento três e passe em A, é um trajeto fechado com 3 arestas e em que

A é um dos vértices. Assim, os alunos podem apresentar como solução a

sucessão AD, DB, BA, isto é ADBA.

4. À semelhança da alínea anterior, um circuito em G’ de tamanho

6 e que passe em D pode ser, por exemplo, EDBACDE.

k) Dado que, um grafo G é conexo, se existir um caminho em G entre qualquer

par dos seus vértices, os alunos devem concluir que, o grafo S não é conexo, pois, por

exemplo, não há qualquer caminho entre os vértices H e I (ambos são vértices

isolados). Um exemplo de um subgrafo conexo de G encontra-se representado na

Figura 67.

l) Um grafo com n vértices é completo se os seus n vértices forem adjacentes

entre si, representando-se por nK . Portanto, o aluno deve concluir que, o grafo

completo cujo conjunto de vértices é V tem 9 vértices e 36 arestas (que se obtêm

ligando todos os pares de vértices em V, isto é, as 8 arestas incidentes no vértice A

mais as 7 arestas incidentes no vértice B, mas não incidentes em A, mais as 6 arestas

incidentes em C, mas não incidentes em A ou em B, mais as 5 arestas incidentes em

D, mas não incidentes em A, B ou C, mais as 4 arestas incidentes em E, mas não

incidentes em A, B, C ou D, mais as 3 arestas FG, FH e FI, mais as 2 arestas GH e GI,

mais a aresta HI); este grafo representa-se por 9K e encontra-se representado na

Figura 68.


67

Figura 68 - Grafo completo k9.

m) Sabendo que, o grafo complementar de um dado grafo G é um novo grafo H

com os mesmos vértices de G, mas tal que, dois quaisquer vértices de H são

adjacentes se e só se não são adjacentes em G, os alunos podem seguir o seguinte

procedimento para obter o grafo complementar de S: começar por construir o grafo

completo, cujo conjunto de vértices coincida com o de S (o grafo 9K obtido na alínea

anterior); de seguida, retirar sucessivamente a 9K , as arestas que não constam em S.

Assim, obtém-se o grafo H=(V,E’), tal que:

E’={AE, AF, AG, AH, AI,BE, BF, BG, BH, BI, CE, CF, CG, CH, CI, DF, DG, DH,

DI, EG, EH, EI, FH, FI, GH, GI e HI}.

e cuja representação se encontra na Figura 69.

Figura 69 - Grafo complementar de S.


n) Os alunos podem dizer que, o grafo S não é simples, pois contém um lacete no

vértice A e tem arestas múltiplas nos vértices D, E, F e G (ou escolher apenas uma

destas opções). Como exemplo, de um subgrafo simples de S, poderiam optar por

apresentar o grafo representado na Figura 70, e que se pode definir por G1=(V,E’’),

com:

E’’={ AB, AC, AD, BC, BD, CD, DE, EF, FG}.

Figura 70 - Subgrafo simples de S.

Exercício 2

Objetivos:

Representar um digrafo;

Construir um grafo subjacente ao digrafo.

Num determinado dia, o Jorge, foi visitar as cidades A, B, C, D, E e F, fazendo o

seguinte percurso: iniciou na cidade A, dando um passeiozinho nessa cidade e

regressando ao ponto de partida, em seguida passou nas cidades B, D, E e F,

voltando para trás, passou novamente nas cidades E e D, seguindo para a cidade C e

terminando o seu percurso na cidade A.

a) Represente o digrafo que representa o percurso do Jorge.

b) Construa o grafo subjacente ao digrafo representado na alínea anterior.

Proposta de resolução:

a) Os alunos deverão saber que, para representar um digrafo, as linhas que unem

os vértices têm de ter um sentido/orientação, isto é, são arcos e não arestas; assim,

para construir o digrafo pretendido, devem seguir o procedimento seguinte:


69

representar os 6 vértices do grafo, A, B, C, D, E e F, Figura 71;

o passeio na cidade A por um lacete em A, Figura 72;

o percurso da cidade A para a cidade B pelo arco (A,B), Figura 73;

o percurso da cidade B para a cidade D pelo arco (B,D), Figura 74;

o percurso da cidade D para a cidade E pelo arco (D,E), Figura 75;

o percurso da cidade E para a cidade F pelo arco (E,F), Figura 76;

o percurso da cidade F para a cidade E pelo arco (F,E), Figura 77;

o percurso da cidade E para a cidade D pelo arco (E,D), Figura 78;

o percurso da cidade D para a cidade C pelo arco (D,C), Figura 79;

o percurso da cidade C para a cidade A pelo arco (C,A), Figura 80.

Figura 71 - Representação das cidades.

Figura 72 - Passeio da cidade A por um lacete em A.

Figura 73 - O percurso da cidade A para a cidade B pelo arco (A,B).


Figura 74 - O percurso da cidade B para a cidade D pelo arco (B,D).

Figura 75 - O percurso da cidade D para a cidade E pelo arco (D,E).

Figura 76 - O percurso da cidade E para a cidade F pelo arco (E,F).

Figura 77 - O percurso da cidade F para a cidade E pelo arco (F,E).


71

Figura 78 - O percurso da cidade E para a cidade D pelo arco (E,D).

Figura 79 - O percurso da cidade D para a cidade C pelo arco (D,C).

Figura 80 – Digrafo que representa o percurso do Jorge.

b) Sabendo que, para obter o grafo subjacente ao digrafo basta, substituir cada

arco por uma arestas, os alunos devem apresentar como grafo subjacente ao digrafo

da Figura 80, o grafo representado na Figura 81.

Figura 81 - Grafo subjacente ao digrafo da Figura 80.


Exercício 3

Objetivos:

Construir um grafo;

Identificar os vértices, as arestas, os vértices isolados;

Dominar a noção de grafo conexo;

Aplicar a noção de grafos completos e o grafo complementar;

Identificar e utilizar a noção de pontes;

Construir o subgrafo.

A figura, representa uma planta de uma determinada casa.

O ponto E, representa o exterior da casa e os pontos A, B, C, D, F, G, H, I, J e K as

divisões da casa.

a) Represente por um grafo a planta da casa.

b) Quantos vértices e quantas arestas tem o grafo? A que se referem os vértices

e as arestas?

c) Podemos afirmar que o grafo é completo? Justifique.

d) Como classifica o grafo quanto à conexidade? Justifique.

e) Desenhe um subgrafo do grafo que desenhou, com menos uma aresta e que

seja desconexo. Que nome se dá à aresta que retirou ao grafo?

Exercício adaptado de [7].


73

A nossa proposta de resolução é a seguinte:

a) O aluno deve perceber que, deve representar cada:

- divisão da casa, bem como o seu exterior, por um vértice e, como tal, terá um total

de 11 vértices, os 10 correspondentes às divisões da casa (A, B, C, D, K, F, G, H, I,

J) e um outro que representa o exterior, E.

- porta que entre duas divisões por uma aresta. Assim, como:

- a divisão A tem apenas uma porta que a liga à divisão B, daqui resulta uma só

aresta AB;

- por sua vez, a divisão B tem três portas: uma para a divisão G, outra para a

divisão C e outra que dá acesso à divisão A, obtemos duas novas arestas, BC e BG;

- a divisão C tem mais duas portas, para além da que a liga à divisão B, uma

vez que, dá acesso à divisão H e outra à D, as arestas CD e CH também fazem parte

do grafo;

- duas novas portas permitem aceder da divisão D para a H e para o exterior,

as arestas DH e DE também estão incluídas;

- adicionalmente, apenas mais uma divisão dá acesso ao exterior, a I; a divisão

F tem apenas uma porta de acesso à divisão I; a divisão G possui duas novas portas

que a ligam às divisões H e J e a divisão H possui uma porta que dá acesso à divisão

K; assim, fazem parte do grafo as arestas IE, FI, GH, GJ e HK, obtemos um total de 12

arestas.

O grafo que representa a planta da casa, encontra-se representado na Figura 82 e vai

designar-se por S.

Figura 82 - Grafo S.

b) Com base na discussão efetuada na alínea a), os alunos devem mencionar

que, o grafo S tem:

11 vértices: 10 dos quais representam as divisões da casa (A, B, C, D, F, G, H,

I, J, K) e o outro o exterior da casa, E;

12 arestas que, correspondem ao número total de portas da casa.


c) Os alunos devem responder que, o grafo S não é completo, pois para ser um

grafo completo, cada par de vértices teria de ser adjacente, o que não se verifica; por

exemplo, não é possível passar diretamente da divisão B para a divisão F.

d) Os alunos devem responder que, o grafo S é conexo, pois existe, pelo menos,

um caminho entre quaisquer dois dos seus vértices, isto é, é possível aceder a

qualquer divisão da casa ou ao exterior a partir de qualquer compartimento ou do

exterior.

e) Os alunos devem, esboçar um subgrafo de S semelhante ao representado na

Figura 83, a este subgrafo de S, obtido por eliminação da aresta DE, chamamos S1.

Como em S1, não é possível encontrar um caminho entre os vértices A e E, o grafo S1

é desconexo. Dado que, uma ponte é qualquer aresta dum grafo que, quando retirada,

torna o grafo desconexo, vem que, a aresta DE é uma ponte de S.

Figura 83 – Subgrafo de S, S1.

Exercício 4

Objetivos:

Aplicar a noção de grafo bipartido.

No grafo G, Figura 84 os vértices F1 a F6 representam 6 filmes em exibição num

determinado cinema, enquanto os vértices C1 a C6 representam 6 pessoas que gostam

de ver filmes. Cada aresta em G liga um filme, Fi, a uma pessoa que gosta de ver

filmes, Cj.


75


a) Classifique, justificando, o grafo G.

b) Será possível afetar os filmes de forma que cada filme seja visto apenas por

uma pessoa?

Exercício adaptado de [7].

Proposta de resolução:

a) Esperamos que, os alunos refiram que o grafo representado na Figura 84, é um

grafo bipartido, uma vez que, os seus vértices podem ser divididos em dois conjuntos:

um contendo os vértices 1,...,6iF i , e o outro com os vértices 1,...,6iC i , tal que,

qualquer aresta do grafo possui uma extremidade 1,...,6iF i e a outra 1,...,6iC i .

b) Os alunos deverão constatar que, é possível afetar os filmes de forma que,

cada filme seja visto apenas por uma pessoa, salientando que:

- o vértice C1 só pode estar ligado a F1 (imediato pela Figura 84);

- a pessoa C3 tem de assistir ao filme F6, caso contrário este não seria visto por

ninguém;

- assim, F3 tem de ser visto obrigatoriamente por C4;

- o filme F2 pode ser escolhido pelas pessoas C2 ou C5, se afetarmos este filme

a C5 as restantes atribuições são imediatas, ou seja, o filme F4 tem de ser visto pela

pessoa C6, enquanto F5 tem de ser atribuído a C2.

Portanto, é possível afetar os filmes de forma que, cada filme seja visto apenas por

uma pessoa; esta situação é representada no grafo da Figura 85.

Figura 85


Exercício 5

Objetivos:

Utilizar a noção de grafo euleriano e grafo semieuleriano;

Aplicar os resultados relativos a grafos eurelianos e grafos

semieurelianos;

Saber eulerizar um grafo.

Considere, os grafos representados na Figura 86:

Figura 86 - Grafos G1, G2 e G3.

a) Classifique cada um dos grafos, indicando se são eurelianos, semieulerianos

ou nem eurelianos nem semieulerianos. Justifique a sua resposta.

b) Eulerize o grafo G2.

c) Indique uma eulerização do grafo G1.

d) Encontre a melhor eulerização do grafo G1.

Propomos a seguinte resolução:

a) Os alunos devem começar por observar que:

- um grafo conexo é eureliano se e só se todos os seus vértices têm grau par;

- um grafo é semieureliano se e só se só existem dois vértices com grau ímpar.

De seguida, devem observar que:

- o grafo G1 não é euleriano nem semieuleriano, pois os vértices B, E, H e I têm

grau ímpar;

- o grafo G2 não é euleriano, mas é semieuleriano, pois têm apenas dois vértices de

grau ímpar, E e I;

- todos os vértices do grafo G3 têm grau par, por isso o grafo é euleriano e, como

tal, semieuleriano.


77

b) Os alunos devem referir que, para eulerizar um grafo basta acrescentar-lhe

arestas, de modo a que, todos os seus vértices tenham grau par. Como o grafo G2 é

semieuleriano, basta acrescentar uma nova aresta nos vértices de grau ímpar, E e I,

obtendo-se o grafo da Figura 87.

Figura 87 – Eulerização do grafo G2

c) Os alunos devem saber que, para eulerizar um grafo, basta acrescentar-lhe

arestas de modo a que, todos os seus vértices tenham grau par. Assim, é simples

perceber que, na Figura 86, o grafo G3 é uma eulerização do grafo G1.

d) De acordo com a proposta de resolução da alínea c), sugerimos que, o docente

comece por perguntar aos alunos se o grafo G3 é a melhor eulerização de G1, levando-

os a responder que não, em virtude da melhor eulerização de um grafo ser aquela

que, difere do grafo original no menor número de arestas. Esperamos que, os alunos

refiram que, neste caso, o número mínimo de arestas que tornam o grafo G1 num grafo

de euler são 2 arestas e que, apresentem como exemplo de melhor eulerização o

grafo da Figura 88.

Figura 88 - Melhor eulerização do grafo G1


Exercício 6

Objetivos:

Aplicar a noção de grafo hamiltoniano;

Dominar os conceitos de grafo hamiltoniano e semi-hamiltoniano;

Utilizar as noções de caminho e circuito hamiltoniano.

Considere, o grafo G da Figura 89.

Figura 89 – Grafo G

a) Classifique, justificando, o grafo G.

b) Encontre, se existir, um ciclo hamiltoniano em G.

c) Encontre um caminho hamiltoniano em G.

d) O grafo G é Hamiltoniano? E semi-Hamiltoniano?

Sugerimos a seguinte resolução:

a) Os alunos deverão classificar o grafo representado na Figura 89, como grafo

bipartido, pois os seus vértices podem ser divididos em dois conjuntos, com seis

elementos cada: um composto pelos vértices , 1,...,6iA i , e o outro constituído por

, 1,...,6iB i , tal que, qualquer aresta do grafo possui uma extremidade , 1,...,6iA i

e a outra , 1,...,6iB i .

b) Os alunos devem começar por referir que, um ciclo hamiltoniano é um caminho

fechado em que todos os vértices aparecem uma única vez, exceto o primeiro e o

último vértices. De seguida, devem observar que, no grafo bipartido não existe

nenhum ciclo, pois não é possível iniciar o caminho num vértice, percorrer todos os

vértices e voltar ao vértice de partida; assim, nunca será possível encontrar um ciclo

hamiltoniano em G.


79

c) Os alunos deverão referir que, um caminho hamiltoniano é um caminho que

inclua todos os vértices do grafo, isto é, uma sequência de vértices distintos, que

inclua todos os vértices de G. Devem ainda acrescentar que, em G existem vários

caminhos hamiltonianos possíveis, por exemplo,

1 1 2 5 6 4 4 3 3 2 5 6B A B A B A B A B A B A .

d) O alunos devem observar que, como o grafo não apresenta qualquer ciclo

hamiltoniano (alínea b)), não é um grafo hamiltoniano. No entanto, como o grafo

contém, pelo menos, um caminho hamiltoniano (alínea b)), é semi-Hamiltoniano.

Exercício 7

Objetivos:

Aplicar o algoritmo do vizinho mais próximo;

Aplicar o algoritmo da aresta de menor peso.

Considere, a Tabela 8 que, indica as distâncias entre cinco cidades, A, B, C, D e E.

km A B C D E

A 12 15 13 18

B 12 8 15 20

C 15 8 12 16

D 13 15 12 17

E 18 20 16 17

Tabela 8 - Distâncias entre as cidades.

a) Utilize, o algoritmo do vizinho mais próximo para determinar o percurso mais

económico, sabendo que, o caixeiro-viajante parte de B e percorre todas as cidades.

b) Utilize, o algoritmo da aresta de menor peso, determine a maneira mais

económica de ligar todas as cidades, iniciando na cidade A.

c) Construa o grafo pesado que representa este problema.


Como resposta a este exercício, propomos que, o docente comece por relembrar que,

enquanto o objetivo do algoritmo do Vizinho Mais Próximo é construir um caminho

Hamiltoniano utilizando vértices adjacentes, o objetivo do algoritmo da Aresta de

Menor Peso é encontrar um ciclo Hamiltoniano à custa de arestas “soltas”.

a) O aluno deve observar que:

- iniciando em B, o caixeiro tem 4 cidades à escolha, mas a cidade mais perto

de B é C, a 8 km; assim, deve efetuar o percurso de B para C;

- como a cidade mais próxima de C (sem ser B) é D, a 12km, de seguida

desloca-se para a cidade D;

- da cidade D e dado já ter passado em C, segue para a cidade a mais curta

distância – A, a 13km;

- continua o percurso para a cidade E (a 18km), pois embora as cidades B, C e

D estejam a distâncias mais curtas de A, não podem ser escolhidas porque já foram

percorridas;

- finalmente e depois de ter percorrido todas as cidades, regressa a B (a cidade

de partida), a 20km.

No final do percurso, o caixeiro viajante percorre uma distância total de 71km

(8+12+13+18+20=71).

b) A forma mais económica de ligar todas as cidades, iniciando na cidade A e

recorrendo ao algoritmo da aresta de menor peso é a seguinte:

- ordenar os percursos por ordem crescente de distância:

BC (8 km); AB (12 km); CD (12 km); AD (13 km); AC (15 km);

BD (15 km); CE (16 km); DE (17 km); AE (18 km); BE (20 km);

- de seguida, considerar o percurso mais curto BC (8 km); na iteração seguinte

incluir-se-á a aresta AB (12 km); na 3.ª iteração introduz-se a aresta CD (12km); na 4.ª

iteração rejeita-se a aresta AD (13 km), pois forma um circuito, o que não pode

acontecer, porque ainda não percorremos todos as cidades; em seguida, rejeitam-se

tanto a aresta AC (15km), como a BD (15 km) e CE (16 km), pois nos dois primeiros

casos formar-se-ia um ciclo e no terceiro caso o vértice C apareceria três vezes, o que

nos leva a aceitar a aresta DE (17 km); finalmente, na 5ª iteração, forma-se o ciclo,

incluindo a aresta AE (18 km), terminando assim este processo, uma vez que já

percorremos as cinco cidades, perfazendo um total de 8+12+12+17+18=67 km.

c) A Figura 90, apresenta o grafo pesado que representa este problema; sendo

composto por 5 vértices, que representam as 5 cidades por onde o caixeiro tem de

passar (A, B, C, D e E), 10 arestas, que reproduzem as estradas que existem entre as


81

5 cidades, e os pesos, que são as distâncias correspondentes entre cada par de

cidades.

Figura 90 - Grafo pesado que representa o problema.

Exercício 8

Objetivos:

Compreender a noção de árvore;

Dominar o conceito de árvore abrangente;

Aplicar o algoritmo de Kruskal e o algoritmo de Prim.

Seis cidades estão ligadas umas às outras em rede, tal como representado no grafo

da Figura 91.

Figura 91 - Grafo da ligação das cidades em rede.

Os vértices do grafo representam as cidades A, B, C, D, E e F, as arestas as estradas

que as ligam e os números associados às arestas as distâncias, em km, entre as

cidades. Pretende-se ligar por cabo de fibra ótica as cidades, de modo que, seja

mínimo o número de quilómetros a percorrer.

a) Aplique o algoritmo de Kruskal para resolver o problema.

b) Utilize o algoritmo de Prim para resolver o problema.


Sugerimos que, o docente comece por associar a resolução deste exercício, com a

construção de uma árvore abrangente do grafo da Figura 91. Adicionalmente, a turma

deve relembrar que, no algoritmo de kruskal, iniciamos o processo escolhendo a

aresta de menor peso, enquanto no algoritmo de Prim, começamos num vértice

qualquer.

a) Observamos que, o Algoritmo de Kruskal permite, construir uma ligação por

cabo de fibra ótica entre as cidades, com comprimento mínimo, bastando, para tal,

encontrar as 5 arestas de menor comprimento que não dão origem a um ciclo. Assim,

- começamos por escolher a aresta de menor peso – CF, de comprimento 8 km

(Figura 92);

- de seguida, assinalamos a aresta de menor peso ainda não selecionada, por

exemplo FB, de comprimento 10 km (Figura 93);

- a aresta AE, com 10 km é a próxima a ser marcada (Figura 94);

- as duas últimas arestas a seleccionar são DC e AC, com 12 km e 13 km

respetivamente, (Figuras 95 e 96).

O peso total das cidades a ligar com cabo de fibra óptica: 8+10+12+13+10=53, isto é,

a ligação por cabo de fibra ótica entre as cidades tem comprimento mínimo de 53 km.

Figura 92

Figura 93

Figura 94

Figura 95

Figura 96

b) Apliquemos o Algoritmo de Prim. Para tal, começa-se por uma cidade arbitrária,

por exemplo, a cidade A e considera-se a aresta incidente em A com menor peso:

“A – E” (10 km), Tabela 9. Nesta fase, S contém os vértices “A” e “E” e a aresta

correspondente. Na iteração seguinte, analisam-se todas as restantes arestas de G


83

incidentes a um dos vértices de S e introduz-se em S aquela que apresenta o

menor peso: “A – C” (13 km), Tabela 10; nesta fase S contém os vértices “A”, “E” e

“C”, bem como as arestas correspondentes. A terceira iteração, permite incluir em S

a cidade de “F” e a aresta “C – F” (8 km), Tabela 11. Em seguida, das restantes

arestas de G incidentes a um dos vértices de S, a que tem menor peso é "F - B"

(10km); Tabela 12. Finalmente, das arestas restantes, escolhe-se a que tem menor

peso "C - D" (12 km) Tabela 13. Como S, já tem os 6 vértices iniciais de G, S é a

árvore geradora mínima de G (Figura 96), à qual correspondem 53 quilómetros a

ligar por cabo de fibra ótica.

A A A A

B C D E

20 13 18 10

Tabela 9

A A A E

B C D D

20 13 18 25

Tabela 10

A A E C C C

B D D B F D

20 18 25 15 8 12

Tabela 11

A A E C C F

B D D B D B

20 18 25 15 12 10

Tabela 12

A A E C C

B D D B D

20 18 25 15 12

Tabela 13


Conclusão

Esta dissertação, foi realizada no âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º

Ciclo do Ensino Básico e Secundário, tendo como objetivo de fundo, mostrar uma

perspetiva pessoal e um posicionamento quanto à abordagem que é feita à teoria dos

grafos no ensino não universitário, pretendendo que seja uma ajuda para os docentes.

Foram abordados, os conceitos julgados essenciais a apresentar aos alunos do ensino

secundário sobre teoria dos grafos, de forma a construir um corpo de conhecimentos

coerente e consistente.

O nosso sistema escolar apresenta um grande desafio, entre outros, que é conseguir

que os alunos aprendam a pensar por forma a resolver problemas, isto para enfrentar

o quotidiano de forma adequada a cada situação, por isso foram abordados os

conceitos teóricos da Teoria de Grafos nos capítulos 1, 2 e 3; enquanto no capítulo 4

foram abordadas, algumas atividades de aplicação dos conceitos abordados no ensino

secundário na disciplina de MACS, por forma a ajudar os docentes na preparação das

suas aulas de modo a que atinjam as finalidades propostas para a disciplina.


85

Bibliografia

[1] Cruchinho Cristina, Simões Manuela, 2005, "Matemática Aplicada às Ciências

Sociais 11 ou 12 ", de Areal Editores, Lda.

[2] Gross Jonathan, Yellen Jay, Graph theory and its applications, CRC Press, 1999

(ISBN 0-8493-3982-0).

[3] Harary Frank, Graph theory, Addison-Wesley Publ., 1972 (ISBN 0-201-02787-9).

[4] Longo Elisabete, Branco Isabel, Lisboa 2011, "Matemática Aplicada às Ciências

Sociais 11.º ano ", Texto Editores, Lda.

[5] Longo Elisabete, Branco Isabel, Lisboa 2011, "Matemática Aplicada às Ciências

Sociais 11.º ano - caderno de exercícios", de, Texto Editores, Lda.

[6] Maciel Elisabete e Maciel Francisco, "Matemática Aplicada às Ciências Sociais 11,

12 ", Edições Asa.

[7] Neves Maria Augusta Ferreira, Azevedo Cristina e Faria Luísa, 2006, "Matemática

Aplicada às Ciências Sociais", da Porto Editora.

[8] Neves Maria Augusta Ferreira, Cristina Azevedo e Luísa Faria, 2006, "Matemática

Aplicada às Ciências Sociais - caderno de atividades", da Porto Editora.

[9] Ponte J. P.; Serrazina L.; Guimarães H. M.; Breda Ana; Guimarães F.; Sousa H.;

Menezes Luís ; Martins M. E. G e Oliveira P. A. (2007), Programa de Matemática do

Ensino Básico; Direcção Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular,

Ministério da Educação, Portugal.

[10] Silva Jaime Carvalho e (Coordenador), Martins Maria Eugénia

Graça(Coordenadora), Martins Arsélio Almeida, De Loura Luísa Canto e Castro

16/05/2001, Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais.

[11] Stephen Barnett, Discrete mathematics: numbers and beyond, Addison-Wesley

Longman, 1998 (ISBN 0-201-34292-8).

[12] Wakabayashi Yoshiko , Kohayakawa Yoshiharu e Feofiloff Paulo professores,

todos do Instituto de Matemática e Estatística da USP, "Uma Introdução Sucinta à

Teoria dos Grafos".

[13] Wiitala S., DISCRETE MATHEMATICS – A Unified Approach, McGRAW-HILL

INTERNATIONAL EDITIONS, Computer Sciences Series, 1987.

[14] Wison R.J., Watkins J.J., GRAPHS – An Introductory Approach, John Wiley &

Sons, 1990.

[15] www.apm.pt/files/_Co_Ribeiro_Feiteira_486a01bf84ab8.pdf (25/09/2012 às 22h)

[16] www.arquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/78/1/TG2004.pdf (22/09/2012 às

21h30)

[17] www.dcc.fc.up.pt/~lfa/aulas/0506/mcc/praticas/grafos.pdf (18/10/2012 ás 23h20)

http://www.ime.usp.br/~yw/

http://www.ime.usp.br/~yoshi/

http://www.ime.usp.br/~pf/

http://www.ime.usp.br/

http://www.usp.br/

http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf

http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/texto/TeoriaDosGrafos.pdf


[18] www.decom.ufop.br/haroldo/disciplinas/grafos/files/grafos_02.pdf (11/10/2012 às

23h0)

[19] www.dem.inpe.br/ijar/grafos.htm (11/10/2012 às 23h45)

[20]www.dimap.ufm.br/~sbmac/ermac2008/Anais/ResumosEstendidos/TeoriadosGrafo

s_nubia.pdf (22/09/2012 às 21h45)

[21] www.fca.pt/docs-online/722-587-3-pag_prefacio.pdf (04/11/2012 às 23h05)

[22] www.inf.ufsc.br/grafos/definicões/definicao.html(18/10/2012 às 22h05)

[23] www.mat.uc.pt/~picado/ediscretas/apontamentos/cap2.pdf (04/10/2012 às 23h05)

[24] www.ptmat.fc.ul/~duarte/tmf/Grafos/subgrafos.html (11/10/2012 às 22h20)

[25] www.ptmat.fc.ul/~pduarte/tmf/grafos/intervalos.html (26/10/2012 às 22h05)

[26] www.recitec.ifes.edu.br/artigo/documento/Artigo8.pdf (04/10/2012 às 23h20)

[27]www.repositorio.uport.pt/dspace/bitstream/12345678/199/1/TMMAT107.pdf

(04/10/2012 às 23h50)

[28] www.repositorio.uport.pt/dspace/handle/123456789/109 (04/10/2012 às 00h10)

[29] www.sobrapo.org.br/sbpo2010/x/iispo_pdf/72343.pdf (11/10/2012 às 23h20)

[30] www.teoriagrafos.blogspot.pt/2009/04/ejemplos.html (18/10/2012 ás 23h40)

[31] www.user.prof2000.pt/agnelo/grafos/hamilton.htm (04/10/2012 às 00h30)

a teoria dos grafos e sua aplicação · 2015. 9. 9. · universidade de trás-os-montes e alto...

Documents