a resoluÇÃo de problemas como recurso de · em física-unicamp, mestrado em matemática-ufmg, ......

1 Especialização em Educação Matemática-FAFICOP, graduação em Matemática-CEFET/Cornélio

Procópio-PR. 2 Pós-Doutorado em Matemática-UFSCAR, Pós-Doutorado em Física-University of Bristol, Doutorado

em Física-UNICAMP, Mestrado em Matemática-UFMG, Mestrado em Física-UNICAMP, graduação em bacharelado em Física-UNICAMP, graduação em bacharelado em Matemática-UNICAMP.

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO RECURSO DE

APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA PLANA

Rosinir Galvão1 Túlio Oliveira de Carvalho2

Resumo

Este trabalho tem como tema a implementação da metodologia de Resolução de Problemas no ensino-aprendizagem de conteúdos da Geometria Plana. Utilizamos a proposta de trabalho sugerida por Allevato e Onuchic (2009), apresentando aos alunos, antes da introdução de um conteúdo, situações-problemas consideradas, por nós, como desafiadoras e que exigiram deles a necessidade de construção de novos conceitos. Os sete problemas envolvendo o conteúdo de Geometria Plana que compuseram as atividades propostas aos alunos foram retirados das provas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP, tendo como referência as edições dos anos 2005, 2009, 2011 e 2012. Este trabalho tem ainda como propósito incentivar os alunos a buscarem a construção de seus próprios conhecimentos, como sugerido por Hiebert & Behr (1989) apud Allevato & Onuchic (2009, p.10), ao afirmarem que “em lugar de se colocar o conhecimento como um pacote pronto e acabado, o ensino deveria encorajar os alunos a construírem seu próprio conhecimento”.

Palavras-chave: Ensino Fundamental. Resolução de Problemas. Geometria Plana.

1 Introdução

A escolha por desenvolver conceitos e conteúdos de Geometria através da

resolução de problemas surgiu com a constatação de que os conteúdos de

Geometria têm sido pouco abordados no ensino básico de Matemática e por ter se

chegado ao diagnóstico de que esta metodologia pode vir a favorecer o

desenvolvimento da linguagem matemática dos alunos, bem como capacitá-los a

resolver problemas em diversas áreas.

Fizemos a opção por trabalhar a resolução de problemas abordando

conteúdos de Geometria Plana no Ensino Fundamental, uma vez que as Diretrizes

Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná para a disciplina de

Matemática recomendam que estes devam ser abordados através das tendências

em Educação Matemática, entre elas a Resolução de Problemas.

Devemos reforçar que essa metodologia não deve ser confundida com a

forma como a maior parte dos livros didáticos de Matemática utilizam a resolução de

problemas que, muitas vezes, fazem uma introdução de um determinado conteúdo

através de um problema de aplicação e, na sequência ou no final do capítulo,

apresentam uma série de exercícios repetitivos e sem contextualização.

A forma como foi trabalhada a resolução de problemas consistiu em

apresentar aos alunos, na introdução de um conteúdo, situações-problemas

desafiadoras que exigiram deles a necessidade de construir novos conceitos.

Este trabalho teve por objetivo geral utilizar a resolução de problemas como

recurso de ensino-aprendizagem de conteúdos da Geometria Plana e os objetivos

específicos propostos foram: fazer uso de problemas desafiadores capazes de

despertar o interesse dos alunos pela Matemática; estimular os alunos a

raciocinarem e desenvolverem estratégias para resolver tais problemas, analisar e

confrontar o resultado obtido; explorar a capacidade de produção e independência

dos alunos.

2 Metodologia

Este trabalho foi desenvolvido com 26 alunos de uma turma de 7º ano do

Ensino Fundamental do Colégio Estadual Professora Eudice Ravagnani de Oliveira

localizada no município de Florestópolis-PR.

Os sete problemas envolvendo o conteúdo de Geometria Plana que

compuseram as atividades propostas aos alunos foram selecionados pelo professor

PDE. Esses problemas foram retirados das provas das Olimpíadas Brasileiras de

Matemática das Escolas Públicas – OBMEP, tendo como referência as edições dos

anos 2005, 2009, 2011 e 2012.

No desenvolvimento das atividades propostas em sala de aula foram seguidas

as etapas sugeridas por Allevato & Onuchic (2009), no que se refere à resolução de

problemas.

1ª etapa: Apresentação do “problema gerador” selecionado pelo professor aos

alunos;

2ª etapa: Os alunos realizam a leitura do problema de forma individual;

3ª etapa: É realizada nova leitura do problema de forma coletiva, ou seja, em

duplas;

4ª etapa: Em duplas, os alunos tentam encontrar uma solução para o

problema proposto;

5ª etapa: O representante de cada dupla faz o registro da resolução do

problema na lousa;

6ª etapa: Os alunos discutem as diferentes resoluções propostas, através de

uma plenária;

7ª etapa: Juntamente com os alunos o professor procura chegar a um

consenso sobre o resultado correto;

8ª etapa: O professor faz a formalização do conteúdo.

Em todas as etapas de resolução de problemas, o professor PDE

desempenhou o papel de mediador do conhecimento, auxiliando os alunos a

resolver problemas secundários que surgiram durante a resolução dos problemas

propostos.

Assim como sugerido por Allevato & Onuchic (2009), a professora PDE

procurou observar e analisar o comportamento dos alunos, estimulando o trabalho

colaborativo, levando-os a pensar, enquanto os mesmos faziam tentativas de

buscarem uma solução para o problema proposto.

3 Descrição das atividades

Faremos agora a apresentação das atividades desenvolvidas, o relato dos

acontecimentos em sala de aula, algumas descrições de resoluções e, ainda, a

análise das resoluções propostas pelos alunos bem como as atitudes deles no

contexto da resolução dos problemas. Além disto, procuramos identificar os

possíveis avanços e dificuldades encontradas no decorrer do desenvolvimento das

atividades propostas.

No desenvolvimento das atividades, os procedimentos adotados durante a

resolução dos problemas em sala de aula foram: o “problema gerador” selecionado

pelo professor foi apresentado aos alunos; os alunos realizaram a leitura do

problema de forma individual e, logo após, de forma coletiva, mais precisamente em

duplas; em duplas, os alunos foram ao encontro de uma solução para o problema

proposto; o representante de cada dupla registrou a resolução do problema na lousa;

os alunos discutiram as diferentes resoluções propostas por meio de uma plenária; o

professor, em conjunto com os alunos, procurou chegar a um consenso sobre o

resultado correto, fazendo a formalização do conteúdo; seguindo as etapas

sugeridas por Allevato & Onuchic (2009), como já mencionado.

Em relação aos grupos formaram-se duplas por afinidade, que permaneceram

as mesmas durante o desenvolvimento das atividades. Embora sendo o trabalho

desenvolvido em duplas, cada aluno fez a sua produção escrita individualmente,

registrando a forma de resolução adotada pelos integrantes do grupo.

3.1 Atividade 1

Quadro 1 – Situação-problema 1

Figuras no vazio

Joãozinho dobrou duas vezes uma folha de papel quadrada, branca de um lado e

cinza do outro, e depois recortou um quadradinho, como na figura.

Qual das figuras abaixo ele encontrou quando desdobrou completamente a folha?

Fonte: Banco de questões OBMEP 2012

Duração prevista: 50 minutos (1 hora aula).

No início da atividade foi possível perceber um desconforto em relação à

atividade proposta, uma vez que os alunos esperavam um exercício, ou seja,

questões de livros didáticos que geralmente resolviam após a explicação do

conteúdo pelo professor. Portanto, houve a necessidade da professora explicar para

os alunos que tanto essa atividade quanto as demais a serem realizadas são

diferentes daquelas que eles estavam habituados a resolver, explicando, ainda, que

por esse motivo a participação de todos é muito importante.

Logo após os esclarecimentos quanto ao tipo de atividade a ser desenvolvida

durante a implementação do projeto, os alunos voltaram a fazer, novamente, a

leitura da situação-problema proposta a eles.

Uma das alunas perguntou: “O que eu tenho que fazer nesse exercício? Não

consegui entender” (sujeito 21). Neste momento, a professora pediu aos alunos que

fizessem novamente a leitura do problema, só que dessa vez com mais atenção.

Também solicitou que discutissem na dupla uma forma de resolver o problema.

Após vinte minutos de leituras e discussões, um integrante de uma das duplas

levantou e foi até a mesa da professora pegar uma folha de papel sulfite, uma régua

e uma tesoura, voltando para a carteira. Então, a dupla dobrou a folha como

sugerido no desenho apresentado a eles, desenharam um quadrado como indica a

figura do problema proposto, fizeram o corte sugerido e, ao abrir a folha,

descobriram que a alternativa correta seria a letra e. A professora pediu que naquele

momento não comentassem a resposta obtida pela dupla.

No decorrer da situação anterior, duas outras duplas trocaram informações

entre si e conseguiram descobrir a resposta correta apenas imaginando as dobras e

o corte, fazendo alguns desenhos e algumas dobras com uma folha do caderno.

Outras duplas, observando a movimentação da primeira dupla que conseguiu

apresentar uma forma de resolução, também foram até a mesa da professora,

pegaram os mesmos materiais e, então, também seguiram os passos sugeridos na

atividade, encontrando a resposta correta.

Foi possível verificar que a forma de resolução pelas duplas foi semelhante

devido à forma como os fatos ocorreram em sala de aula. Todos os alunos se

empenharam para encontrar uma resposta para o problema proposto e houve troca

de informações entre algumas duplas, ocorrendo uma comunicação entre eles em

busca de uma solução. Na situação-problema 1, apenas dois alunos não

encontraram a resposta correta.

A seguir, é apresentada uma solução que resume a grande maioria das

soluções propostas pelas duplas.

Figura 1 – Solução do sujeito18

Fonte: Dados do Pesquisador

Essa atividade apresentava baixo grau de dificuldade em sua resolução, logo

também foram apresentadas soluções simples como é ilustrado na Figura 1. Serviu

ao propósito de introduzir a conduta da resolução de problemas.

As duplas fizeram o registro de suas resoluções para o problema proposto na

lousa e a professora promoveu algumas discussões a respeito das resoluções,

chegando facilmente a um consenso sobre o resultado correto, uma vez que as

soluções apresentadas foram muito semelhantes. A seguir, a professora registrou na

lousa uma apresentação “formal”, organizada e estruturada em linguagem

matemática, padronizando os conceitos e os procedimentos construídos por meio da

resolução do problema.

Os conteúdos matemáticos percebidos e explorados pela professora durante

a resolução da situação-problema 1 foram simetria, formas geométricas planas,

ângulo reto e ângulos internos do quadrado e do retângulo.

3.2 Atividade 2


As duas peças de madeira (em cinza) a seguir são iguais.

Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o

seguinte exemplo.

Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as

duas peças dadas?

Fonte: Prova OBMEP 2005

Duração: 50 minutos (1 hora aula).

Na atividade 2 o desconforto inicial dos alunos foi superado e todas as duplas

empenharam-se na solução do problema e a troca de informações com as outras

duplas tornou-se mais comum. Na resolução desse problema foi possível perceber

uma maior participação dos alunos.

Ao receberem a situação-problema 2, os alunos já foram iniciando a leitura

individual e depois em duplas sem a necessidade de intervenção da professora

PDE, mostrando a familiarização dos alunos com a metodologia proposta.

Após a apresentação das soluções pelas duplas por meio do registro na

lousa, a professora realizou algumas discussões sobre as resoluções apresentadas

chegando a um consenso da sala sobre a solução correta. O próximo passo foi a

apresentação “formal”, organizada e estruturada em linguagem matemática,

padronizando os procedimentos construídos por meio da resolução da situação-

problema.

Através da análise das resoluções propostas pelas duplas foi possível

observar que houve dois tipos de resolução para a situação-problema 2. A mais

comum foi a divisão das figuras que representam as possíveis soluções para o

problema obtendo o formato das duas peças de madeira, como podemos perceber

pela solução apresentada pelo sujeito 5, na figura 2.

Figura 2 – Solução do sujeito 5


Na situação-problema 2, duas duplas não apresentaram uma resposta correta

e os principais conteúdos matemáticos abordados pela professora foram formas

geométricas planas e resolução por tentativa e erro.

3.3 Atividade 3


Tia Anastácia uniu quatro retângulos de papel de 3 cm de comprimento por 1 cm de

largura, formando a figura abaixo.

A) Qual é o perímetro da figura?

B) Qual é o menor número de retângulos de 3 cm de comprimento por 1 cm de

largura que é necessário juntar a essa figura para se obter um quadrado? Faça um desenho

ilustrando sua resposta.

C) Qual é a área do quadrado obtido no item anterior?


Duração: 50 minutos (1 hora-aula).

Após percorrer pelas etapas sugeridas por Allevato & Onuchic (2009) no

desenvolvimento da situação-problema 3, foi possível perceber duas formas de

soluções sugeridas pelas duplas no cálculo do perímetro da figura apresentada.

Solução 1: 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 24 cm.

Solução 2: 4 x 3 = 12; 4 x 2 = 8; 4 x 1 = 4 / 12 + 8 + 4 = 24 cm.

Em relação à questão “b” referente ao número de retângulos necessários para

juntar à figura apresentada formando um quadrado, houve resolução por tentativa e

erro e as demais soluções foram semelhantes e podem ser bem representadas pela

solução proposta pelo sujeito 5.



A solução apresentada pelo sujeito 21 para a questão “c” representa a forma

de resolução utilizada por 12 alunos, sendo que dois deles não conseguiram

apresentar uma resolução para a situação-problema 3. A resolução consistiu em

obter a área através do cálculo 6 cm x 6 cm = 36 cm2, ou seja, fizeram uso de um

artifício que se aproximou da fórmula da área do quadrado. Os outros alunos

apenas contaram a quantidade de quadradinhos formados. Portanto, durante a

formalização e padronização dos procedimentos construídos por meio da resolução

da situação-problema proposta, a professora fez com que os alunos que apenas

contaram os quadradinhos percebessem a aplicação da fórmula da área do

quadrado.

Percebe-se uma diferença dentro do grupo de alunos na forma como chegam

às respostas: alguns pensam apenas aditivamente, enquanto outros realizaram uma

multiplicação, que está mais próxima da fórmula da área.



Os principais conteúdos matemáticos explorados pela professora durante a

resolução da situação-problema 3 foram formas geométricas planas, perímetro e

área de figuras planas, operações fundamentais com números reais, equivalência de

áreas e resolução por tentativa e erro.

3.4 Atividade 4


Márcia cortou uma tira retangular de 2 cm de largura de cada um dos quatro lados de

uma folha de papel medindo 12 cm por 20 cm. Qual é o perímetro do pedaço de papel que

sobrou?



Aproximadamente 30% dos alunos resolveram o problema de forma prática,

ou seja, fizeram o mesmo procedimento que Márcia utilizou e, depois, com uma

régua mediram os lados do novo retângulo e realizaram a soma dos seus lados,

obtendo o perímetro do pedaço de papel que sobrou.

Os outros 70% resolveram a situação-problema 4 por meio de desenho e

utilização de operações fundamentais com números reais, encontrando uma solução

para o problema. A seguir será apresentada a solução do sujeito que representa

resolução semelhante a dos outros alunos.



Nessa atividade os conteúdos introduzidos pela professora durante a

formalização dos mesmos foram operações fundamentais com números reais,

formas geométricas planas, perímetro de figuras planas, equações, retas

perpendiculares e intersecção de retas.

3.5 Atividade 5


Triângulo sobre triângulo

Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos,

como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c), nas quais

destacamos, em cinza, a região em que um triângulo fica sobre o outro. Em cada item,

calcule a área da região cinza.

Fonte: Banco de questões OBMEP 2012


Ao tentarem resolver a situação-problema 5, os alunos não conseguiram

elaborar uma estratégia de resolução. Através do diálogo, a professora percebeu

que os alunos não sabiam como realizar o cálculo de área de triângulos, fato este

que inviabilizou a resolução do mesmo. A seguir, a professora abordou o conteúdo

de área de triângulos por meio de algumas atividades para depois aplicar novamente

a atividade proposta.

Antes de propor aos alunos a resolução do problema, os alunos foram

orientados a recortarem o quadrado de lado 3 cm como indicado na figura,

sobrepondo os triângulos de forma a obter as figuras indicadas. Após a orientação,

a maioria dos alunos conseguiu sugerir resoluções para o problema proposto, que

serão descritas a seguir.

Item “a”:

Solução 1: 3 cm x 3 cm :4 = 9 cm2 : 4 = 2,25 cm2.

Solução 2: (3 cm x 1,5 cm) : 2 = 4,5 cm2 : 2 = 2,25 cm2.

Item “b”:

Após a construção da figura sugerida, com uma régua os alunos mediram a

altura do triângulo cinza e depois sugeriram o cálculo seguinte: (1 cm x 0,5 cm) : 2 =

0,5 cm2 : 2 = 0,25 cm2.

Item “c”:

Os alunos também fizeram a sobreposição dos triângulos e com a régua

tiraram as medidas necessárias para o cálculo da área da região cinza,

apresentando as soluções que seguem:

Solução 1:

Aretângulo = 1 cm x 2 cm = 2 cm2

Atriângulo = (1 cm x 0,5 cm) : 2 = 0,5 cm2 : 2 = 0,25 cm2

Atotal = (2 + 0,25) cm2 = 2,25 cm2.

Solução 2:

1 cm x 2 cm = 2 cm2

(1 cm x 1 cm) : 4 = 1 cm2 : 4= 0,25 cm2

Acinza = (2 + 0,25) cm2 = 2,25 cm2.

Vale ressaltar que para os itens “b” e “c” quatro alunos não conseguiram

encontrar a resposta correta, já para o primeiro item todos os alunos encontraram a

resposta correta.

Os principais conteúdos utilizados pelos alunos na resolução dessa situação-

problema foram formas geométricas planas, área de figuras planas, operações

fundamentais com números reais, unidades de medidas e resolução por tentativa e

erro. Observe-se que houve necessidade de informar a forma do cálculo da área de

um triângulo para que os alunos desenvolvessem as soluções.

3.6 Atividade 6


Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um

quadrado de área 16 cm2, cinco quadrados de área 4 cm

2 cada um e treze quadrados de área

1 cm2 cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de ela ser cortada?

(A) 3 cm

(B) 4 cm

(C) 5 cm

(D) 7 cm

(E) 8 cm



Na resolução dessa situação-problema foi gasto o dobro do tempo previsto

inicialmente, pois os alunos encontraram um pouco de dificuldade na interpretação

do texto, talvez por não estarem acostumados a interpretar problemas, havendo

necessidade da professora esclarecer o que o exercício estava pedindo. Após os

esclarecimentos os alunos conseguiram dar sugestões de resoluções para o

problema proposto, que serão descritas a seguir.

Solução 1: através de um desenho, os alunos desenharam os quadrados de

área 16 cm2, 4 cm2 e 1 cm2; dividiram os de área 16 cm2 e 4 cm2 em quadrados de 1

cm2 de área; e, logo após, agruparam os mesmos de maneira a formar um quadrado

maior por meio de desenhos, obtendo um quadrado de lado 7 cm e área

correspondente a 49 cm2. Chegando a conclusão de que a resposta correta seria a

letra “d”.

Solução 2: soma das áreas dos quadrados menores: 16 + 5 x 4 + 13 x 1 = 16

+ 20 + 13 = 49 cm2. A soma dessas áreas corresponde a área da folha que foi

cortada. Dessa forma os alunos concluíram que a folha antes de ser cortada tinha

49 cm2 de área e, portanto, a folha tinha 7 cm de lado.

A solução apresentada pela maioria dos alunos foi a de número 1. Apesar

das dificuldades surgidas no início do trabalho, os alunos ficaram bastante

interessados pelo problema proposto, encarando-o como um desafio.

Os principais conteúdos matemáticos utilizados foram formas geométricas

planas, área de quadrados, operações fundamentais com números reais e unidades

de medida de comprimento e de área.

3.7 Atividade 7


A figura mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de mesma

área. Qual é o perímetro do retângulo sombreado?



Essa atividade foi resolvida de forma correta por vinte e dois alunos e as

resoluções foram muito semelhantes, como expomos a seguir. Através da

observação da figura da situação-problema 7, os alunos perceberam que os lados

do retângulo medem 6 cm, 8 cm, 6 cm e 8 cm. Com exceção de uma dupla, as

demais realizaram o cálculo da área desse retângulo 6 cm x 8 cm = 48 cm2 e como o

quadrado foi dividido em três retângulos de mesma área como citado no problema

proposto fizeram a seguinte soma 48 + 48 + 48 = 144 cm2. Logo após calcularam a

área do quadrado 12 cm x 12 cm = 144 cm2, verificando que a soma das áreas dos

três retângulos é igual a área do quadrado de lado 12 cm. Finalmente, fizeram o

cálculo do perímetro do retângulo da seguinte maneira: P = 6 + 8 + 6 + 8 = 28 cm.

Outras duplas fizeram da forma que segue: P = 2 x 6 + 2 x 8 = 12 + 16 = 28 cm.

Portanto, as duplas chegaram à conclusão de que a área do retângulo sombreado é

28 cm.

Os alunos utilizaram na resolução desse problema os conteúdos matemáticos

formas geométricas planas, perímetro e área de figuras planas, operações

fundamentais com números reais, equivalência de áreas e resolução por tentativa e

erro.

3 Considerações finais

O presente trabalho oportunizou aos alunos a utilização de problemas

desafiadores que foram capazes de despertar o interesse dos alunos pela

Matemática, particularmente nos tópicos de Geometria, estimulando-os a

raciocinarem. A maior parte dos alunos mostrou-se capaz de desenvolver

estratégias para resolver, analisar e confrontar os resultados obtidos e a forma como

o trabalho foi desenvolvido explorou a capacidade de produção e independência dos

alunos. Também exigiu deles a construção de novos conceitos, oportunizando a

introdução de conteúdos matemáticos ainda não conhecidos.

Por meio da utilização de resolução de problemas como metodologia de

ensino aplicada aos alunos do sétimo ano do ensino fundamental, constatou-se que

os objetivos propostos foram alcançados com êxito, percebendo-se ainda que eles

fizeram uso de seus conhecimentos matemáticos na interpretação, análise e

resolução de problemas de contextos variados.

Os alunos desenvolveram e aperfeiçoaram a capacidade de investigação

durante a busca de resultados, sugerindo possíveis soluções para as situações-

problemas propostas e desenvolvidas por meio da utilização de diversas formas de

estratégias de resolução.

As etapas de resolução de problemas sugeridas por Allevato & Onuchic

(2009) foram seguidas pela professora PDE que desempenhou o papel de

mediadora do conhecimento, com os alunos sendo estimulados para o

desenvolvimento de um trabalho colaborativo, diferenciando esta prática do ensino

tradicional de Matemática.

Enfim, é importante deixar claro que a utilização da resolução de problemas

como metodologia de ensino requer do professor dedicação e um tempo maior de

estudo, preparo e desenvolvimento das atividades, além de ser importante realizar

uma escolha criteriosa de problemas geradores que consigam provocar a

curiosidade dos alunos, fator este essencial para manter a motivação dos mesmos.

4 Referências

ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n.55, p.1-19,

2009.

IMPA/OBMEP. Prova Obmep 2005. Disponível em: <http://www.obmep.org.br/

provas.htm>. Acesso em: 07 out. 2012.

__________. Banco de Questões 2009. Disponível em:

<http://68.171.211.123/obmep/bq2009-final.pdf>. Acesso em: 09 out. 2012.

__________. Banco de Questões 2011. Disponível em:

<http://68.171.211.123/obmep/bancoobmep2011.pdf>. Acesso em: 09 out. 2012.

http://www.obmep.org.br/%20provas.htm

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http://68.171.211.123/obmep/bancoobmep2011.pdf

__________. Banco de Questões 2012. 2012. Disponível em:

<http://68.171.211.123/obmep/bancoobmep2012.pdf> Acesso em: 10 out. 2012.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Departamento da Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: Governo do Paraná, 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>. Acesso em: 12 jun. 2012.

a resoluÇÃo de problemas como recurso de · em física-unicamp, mestrado em matemática-ufmg, ......

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