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Município de Caxias do SulSecretaria Municipal da Educação

Grupo de Estudos de Educação Matemática e CientíficaAnos Iniciais – 14/04/2009

A Resolução de Problemas como ponto de partida da aprendizagem

"Só existe aprendizagem quando o aluno percebeque existe um problema para resolver, quer dizer,

quando reconhece o novo conhecimento como meiode resposta a uma pergunta." Charnay,1996.

Tradicionalmente, nas aulas de Matemática, as situações-problema eram apresentadas somente após o ensino dos algoritmos, ou seja, das “técnicas” de como resolvê-los. Nessa concepção, as situações-problema serviam apenas de pretextos para que os alunos fizessem contas. A ênfase era colocada no ensino de técnicas, centrando todo o trabalho de sala de aula na aplicação de modelos ensinados pelo professor. Ao aluno restava apenas tentar adivinhar a conta, ou seja, o algoritmo que resolvia a situação-problema, e sua tarefa era de aplicação de um conhecimento doado pelo professor, e não construído por ele próprio com base em interpretações e negociações de sentido.

Atualmente a resolução de situações-problema é indicada como uma estratégia que orienta e provoca aprendizagens, pois proporciona contextos significativos de pesquisa e exploração, a partir dos quais se podem aprender conceitos, ideias e procedimentos matemáticos. De acordo com Vergnaud, o que dá sentido aos conceitos ou as teorias são as situações-problema. Podemos dizer que os conceitos matemáticos são construídos em estreita relação com as situações que lhes dão sentido.

Nessa perspectiva, uma situação-problema comporta a ideia de novidade, de algo nunca feito e ainda não compreendido, mas que traz, em sua estrutura, as condições para investigar, questionar e elaborar novas ideias e novos conhecimentos. Isso significa que, para que uma atividade seja considerada problema, os alunos não devem contar com todas as informações necessárias para sua resolução de forma explícita.

Os estudos de Jean Piaget também apontam que as situações desafiadoras levam o sujeito a reorganizar seus conhecimentos anteriores ou a buscar novas informações para ultrapassá-los, motivando-o a pesquisar e trocar ideias sobre esses conhecimentos.

A diversidade de formas de pensar sobre uma mesma questão é considerada um fator de enriquecimento do conhecimento de cada um e do grupo de alunos; dá-se preferência a diversos procedimentos de cálculo, de formulação e resolução de problemas a um único modo de solução, a um único tipo de raciocínio. É muito melhor o aluno contar com diferentes procedimentos para resolver os diversos problemas do que treinar exaustivamente poucos procedimentos realizados sempre da mesma forma.

É importante distinguir exercício de problema. “Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas......Problema ou problema-processo,..., é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema-processo exige uma certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias." (In Didática da resolução de Problemas de Matemática. Luiz Roberto Dante,1989,p 43)

Philippe Perrenoud, em seu livro Dez Novas Competências para Ensinar, apresenta as características de uma situação-problema segundo Astolfi.

“Astolfi define as 10 características de uma situação-problema deste modo:1 – Uma situação-problema é organizada em torno da resolução de um obstáculo pela classe, obstáculo previamente bem identificado.2 – O estudo organiza-se em torno de uma situação de caráter concreto, que permita efetivamente ao aluno formular hipóteses e conjecturas.[...]3 – Os alunos veem a situação que lhes é proposta como um verdadeiro enigma a ser resolvido, no qual

estão em condições de investir. Esta é a condição para que funcione a devolução: o problema, ainda que inicialmente proposto pelo professor, torna-se 'questão dos alunos'.4 – Os alunos não dispõem, no início, dos meios da solução buscada, devido à existência do obstáculo a transpor para chegar a ela. É a necessidade de resolver que leva o aluno a elaborar ou a se apropriar coletivamente dos instrumentos intelectuais necessários à construção de uma solução.5 – A situação deve oferecer resistência suficiente, levando o aluno a nela investir seus conhecimentos anteriores disponíveis, assim como suas representações, de modo que ela leve a questionamentos e à elaboração de novas ideias.6 – Entretanto a solução não deve ser percebida como fora de alcance pelos alunos, não sendo a situação-problema uma situação de caráter problemático. A atividade deve operar em uma zona próxima, propícia ao desafio intelectual a ser resolvido e a interiorização das 'regras do jogo'.7 – A antecipação dos resultados e sua expressão coletiva precedem a busca efetiva da solução, fazendo parte do jogo o 'risco' assumido por cada um.8 – O trabalho da situação-problema funciona, assim, como um debate científico dentro da classe, estimulando os conflitos sociocognitivos potenciais.9 – A validação da solução e sua sanção não são dadas de modo externo pelo professor, mas resultam do modo de estruturação da própria situação.10 – O re-exame coletivo do caminho percorrido é a ocasião para um retorno reflexivo, de caráter metacognitivo; auxilia os alunos a conscientizarem-se das estratégias que executaram de forma heurística e a estabilizá-las em procedimentos disponíveis para novas situações-problema” ( in Astolfi et al.,1997,p144-145).

"O fato do aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado do problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos." (PCN,Matemática,vol.3,p 45)

Cabe salientar que é imprescindível dar atenção às formas de registro das soluções para comunicar ideias, garantir autorias e pensar sobre o caminho utilizado na resolução, bem como com as diferentes formas de propor as situações-problema, valorizando situações ricas e diversificadas.

Desta forma, o professor tem um importante papel em sala de aula. Ele é o organizador, o consultor e o mediador desse rico processo de construção de conhecimentos. Será o responsável por apresentar problemas ao grupo de alunos, incentivar a criação de estratégias e procedimentos de resolução, estimular a troca de ideias entre eles e a reflexão acerca de regularidades observadas e descobertas feitas, polemizar, apontar fontes de pesquisa e apresentar as semelhanças e diferenças entre o que construíram e o saber social convencional.

Segundo Perrenoud, ao ensinar, o professor deve todo o tempo "agir na urgência" e "decidir na incerteza", uma vez que seu domínio sobre as situações de ensino propostas é determinante para o sucesso das aprendizagens.

Bibliografia:

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de Problemas/ Luiz Roberto Dante. São Paulo, Ática, 1989.PADOVAN, Daniela. Projeto prosa: matemática/Daniela Padovan, Isabel Cristina Guerra, Ivonildes Milan.- São Paulo: Saraiva, 2008.REGO, Ana Lúcia Gravato Bordeaux . Matemática na vida e na escola/ Ana Lúcia Gravato Bordeaux Rego...(et al.). - São Paulo: Editora do Brasil, 2004.TOSATTO, Carla Cristina. Hoje é dia de matemática/Carla Cristina Tosatto, Cláudia Miriam Tosatto, Edilaine do Pilar F. Peracchi;ilustrações Marília Pirillo...[et al.].- Curitiba:Ed Positivo,2007.

Organizado pelas assessoras pedagógicas Adriana Zini, Marinês Feiten da Silva e Teresinha Manica Salvador- SMED/Abril de 2009.

Resolução de Problemas

Um zoológico adquiriu 10 animais africanos dentre girafas e avestruzes.O empregado, muito distraído, não se lembra quantos de cada animal comprou.Mas lembra-se que o total de patas era 26. Quantas eram as girafas e quantos eram os avestruzes?

Guto e seis amigos passaram um dia

parque de diversões. No final do dia,

decidiram andar aos na montanha russa. Cada

amigo iria com os outros, apenas vez. Quantas

viagens deveriam fazer?

Um granjeiro, ao ser perguntado sobre quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia, respondeu:- Não sei, mas contando de dois em dois ovos, sobra um. Contando de três em três, sobra um.Contando de cinco em cinco, também sobra um. Porém, contando de sete em sete ovos, não sobra nenhum.

Qual é o menor número possível de ovos que as galinhas haviam posto?

Albagli é um paquiderme. Ele usa 17 sabonetes e 22

esponjas para tomar banho. Albagli toma banho de 15

em 15 dias.Quantos sabonetes ele gasta em três meses?

Problemas sem solução

● Rompem com a concepção de que os dados apresentados devem ser usados na

resolução e de que todo problema tem solução;

● Ajudam a desenvolver o pensamento crítico, pois o aluno aprende a duvidar.

SMOLLE, Kátia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre:Artmed, 2001.

Oito bolinhas de gude têm o mesmo tamanho e cor. Sete

delas têm o mesmo peso. A outra bolinha é mais pesada que

as demais. Usando uma balança de dois pratos, como

encontrar a bolinha mais pesada, efetuando só duas pesagens?

Um elevador parte do andar térreo. Ao chegar ao 3º

andar, descem 5 pessoas, no 4º andar descem 2 pessoas

e sobem 4, no 7º andar desce 1 pessoa e sobem 3. No

último andar descem 7 pessoas e o elevador fica vazio.

Quantas pessoas estavam no elevador no andar térreo

quando ele começou a subida?

Uma certa autoridade visitou uma penitenciária e

reduziu a pena dos presos pela metade. Ou seja: presos

que deveriam cumprir 10 anos, passavam a cumprir 5

anos.Quem deveria cumprir 2, passava a cumprir apenas

1, e assim sucessivamente.

Pergunta-se: o que ele fez para solucionar a questão

dos presos que foram condenados à prisão perpétua?

Monte uma pirâmide de base quadrada usando os 5 triângulos abaixo.

Problemas com mais de uma solução

● Rompem com a crença de que os problemas tem uma única resposta, bem como com a crença de que há sempre uma maneira certa de resolvê-lo e que, mesmo quando há várias soluções, uma delas é a correta.

● Propiciam ao aluno um processo de investigação do qual ele participa como ser pensante.

Dados seis quadrados iguais, construir uma planificação para o cubo.


Mara, Luciana e Renata moram no mesmo prédio.

Mara mora cinco andares acima de Luciana e Renata

mora três andares abaixo de Mara. Em que andar

cada menina mora?

CARVALHO, Mercedes. Problemas? Mas que problemas?!: estratégias de resolução de problemas em sala de aula.- Petrópolis, RJ: Vozes, 2005.

Num parque de diversões estou na fila da

montanha russa e na minha frente estão 35

pessoas. Os carrinhos saem de 90 em 90

segundos em média e cada um leva 4 pessoas.

Quantos carrinhos estão nos trilhos da montanha

russa?


SMOLLE, Kátia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.

Problemas com excesso de dados

● Rompem a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução;

● Evidenciam a importância de ler e selecionar os dados para a resolução do problema.

CARVALHO, Mercedes. Problemas? Mas que problemas?!: estratégias de resolução de problemas em sala de aula.- Petrópolis, RJ: Vozes, 2005.

Adoçando o café

Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de

açúcar. Como adoçar as três xícaras utilizando um

número ímpar de saquinhos em cada uma?

Uma estrada tem 189

quilômetros. Um caminhoneiro parou

no quilômetro 84 para abastecer.

Quando estava no quilômetro 109, o

pneu furou. Quantos quilômetros o

caminhoneiro andou do momento que

abasteceu até a hora que o pneu

furou?

Eu e você temos juntos 6 reais em cédulas. Quanto dinheiro eu tenho?

Represente a resposta com desenhos.

Organize a resposta em uma tabela.

Cercando o pomarO pomar do sítio do senhor Arlindo, o avô de Ricardo, precisa ser cercado.

O pomar tem a forma de um retângulo de 60 m de comprimento e 20 m de largura. O fundo do pomar dá para o rio e não precisa ser cercado.

O senhor Arlindo foi à loja da cidade às 8 horas da manhã para comprar o arame e outros materiais. Cada 100 metros de arame custou 30 reais. De volta ao sítio, ele verificou que seu percurso de ida e volta foi de 26 km. O senhor Arlindo comprou o suficiente para que a cerca tivesse 4 voltas de fios de arame.

Problemas de lógica

● Exigem raciocínio dedutivo, propiciam o desenvolvimento de habilidades como ler,

analisar, levantar hipóteses, testar, classificar, validar a solução;

● Podem exigir estratégias não convencionais para sua resolução: tentativa e erro, tabelas,

diagramas, listas entre outras.

Pedro e Maria formam um estranho casal. Pedro mente às

quartas, quintas e sextas- feiras, dizendo a verdade no resto da semana.

Maria mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade no

resto da semana. Certo dia ambos dizem: “Amanhã vou mentir.”

O dia em que foi feita essa afirmação era:

(A) segunda-feira (C) sábado

(B) terça-feira (D) domingo

SILVA, Josimar. É divertido resolver problemas.ed.-Rio de Janeiro:J. Silva,2000.

Projeto Pitanguá: Matemática/Organizadora Editora Moderna – 1.ed.- São Paulo:

1ª pergunta:Quantos metros de arame o senhor Arlindo

vai utilizar?

2ª pergunta:Qual o preço da quantidade de arame

utilizada?

Responda às questões:

a) Quais os dados necessários para responder à 1ª pergunta?

b) Quais os dados necessários para responder à 2ª pergunta?

c) Há dados desnecessários para ambas as perguntas? Quais dados?

d) Responda as duas perguntas propostas acima.

Gustavo, Daniel e André são irmãos, mas têm gostos bem

diferentes. Leia as pistas e descubra qual a idade, a comida e o esporte preferido de

cada um.

- O menino que gosta de macarrão pratica natação. - O menino que joga basquete tem 10 anos.

PADOVAN, Daniela. Projeto Prosa: matemática: ensino fundamental, 4º ano/ Daniela Padovan, Isabel Cristina Guerra, Ivonildes

Milan. – 1.ed.- São Paulo: Saraiva, 2008.

Mariana tem 3 chapéus, um amarelo com flores, um

vermelho e outro azul. Ela empresta seus chapéus á sua

prima Raquel. Hoje elas foram juntas a uma festa usando

chapéus. Siga as pistas e descubra que chapéu cada uma delas usou. Quando chove Mariana não usa seu chapéu predileto que é vermelho. O chapéu com flores não serve para Raquel. Hoje choveu o dia todo. Quando Mariana usa seu chapéu amarelo ela não sai com Raquel.


- Gustavo não gosta de nadar e sua

comida preferida é pizza.

- Daniel é craque no futebol e tem 8

anos.

- O menino que gosta de feijoada é o

caçula.

- André não gosta de jogos com bola

e não gosta de feijoada.

- Gustavo é 1 ano mais velho que

André e 2 anos mais velho que

Daniel.

SOSSO, Juliana Santo. Convivendo com a matemática, 3ª série: a construção do conhecimento e da cidadania. - São Paulo: Atual, 2000.

Quantas possibilidades diferentes podem ser feitas com esse cardápio,

escolhendo uma salada, um prato principal e uma sobremesa?

Quanto pagarei se comer uma salada de batata, um filé e pudim?

Mara está de dieta e pediu peixe e os três tipos de salada. Quanto recebeu de

troco se pagou com uma nota de 20 reais?

Das questões abaixo, assinale aquelas que podem ser respondidas a partir da imagem:

a) Quantos metros o atleta D já percorreu?

b) Qual é o atleta que está na marca dos 560 metros?

SOSSO, Juliana Santo. Convivendo com a matemática, 3ª série: a construção do conhecimento e da cidadania. - São Paulo: Atual, 2000. (adaptado)

c) Qual é o atleta que está entre a marca dos 650m e 700m?

d) Como é o nome do atleta E?

e) Qual é o atleta que está, aproximadamente, 80m à frente do atleta A?

f) Qual é o atleta que está mais próximo da marca dos 400m?

g) Qual será a premiação para o vencedor da corrida?



Agora responda as questões assinaladas.

Um problema de frutos

Se 3 bananas valem tanto como 2 maçãs,

quantas maçãs valem 24 bananas?

Imagine que você foi sorteado e pode ganhar 150 reais em mercadorias

num shopping center, porém há duas regras que você precisa seguir:

- Você pode escolher somente um objeto em cada loja.

- Você deve escolher itens cujos preços somem exatamente 150 reais.

Há sete maneiras diferentes de gastar exatamente 150 reais, comprando

apenas uma peça em cada loja. Quantas você consegue encontrar? Anote-as.

PADOVAN, Daniela. Projeto Prosa: matemática: ensino fundamental, 4º ano/ Daniela Padovan, Isabel Cristina Guerra, Ivonildes Milan. – 1.ed.- São Paulo: Saraiva, 2008.

Quais das contas leva à solução do problema?

12 + 46

46 : 12

46 x 12

46 – 12

(40 + 6) x 12

JARANDILHA, Daniela. Matemática já não é prob lema.2.ed.-São Paulo:Cortez, 2006.

Observe este anúncio de mercado. O que você compraria com 20 reais de modo a gastar o máximo desse dinheiro?

Qual seria o troco?

Leia e complete o texto:

JARANDILHA, Daniela. Matemática já não é problema.2.ed.-São Paulo:Cortez, 2006.

Sua escola promoveu uma gincana e você foi escolhido por sua equipe para

cumprir uma das tarefas. A tarefa é a seguinte:

TAREFA: Substitua cada letra por um número de 1 a 9 sabendo que:

A² = G BH = E C, E e G são números consecutivos. H > B > D F – I =

D É pra quebrar a cabeça!

SPINELLI, Walter. Matemática/ 6ª série- Walter Spinelli, Maria Helena Soares de Souza.- São Paulo: Ática, 2005.

Material pesquisado e organizado pelas assessoras pedagógicas Adriana Zini, Marinês Feiten da Silva e Teresinha Manica Salvador- SMED/Abril de 2009.

Bibliografiawww.somatematica.com.br/desafios.php

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. - Brasília: MEC/SEF, 1997.

TOLEDO, Marília.Didática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 1997.

CATUNDA, Célia. Brincadeiras 2. Célia Catunda e Kiko Mistrorigo. São Paulo: Ática, 1996.

SANCHEZ HUETE, Juan Carlos. O ensino da matemática: fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. - Porto Alegre: Artmed, 2006.

PERRENOUD, Philippe. As competências para ensinar no século XXI. -Porto Alegre: Artmed, 2002.

POZO, Juan Ignacio. A Solução de Problemas.- Porto Alegre: Artmed, 1998.

SMOLE, Kátia Stocco. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. - Porto Alegre: Artmed, 2001.

http://www.somatematica.com.br/desafios.php

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