a matemática, da minha varandapedronoia.net/varandajulho2018.pdf · 26 ternos pitagóricos 495 ......

A Matemtica, da Minha Varanda

Egdio Gonalves Pereira

Janeiro de 2018

Contedo

Introduo xi

1 Dois Esquadros 11.1 Tringulos rectngulos issceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tringulos rectngulos com um ngulo de 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Permetros e reas de Figuras Planas 9

3 Geometria com Rgua e Compasso 37

4 A Trigonometria no Tringulo Rectngulo 51

5 reas e Volumes 63

6 Equaes Trigonomtricas 956.1 Equaes do tipo cos = cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 Equaes do tipo sin = sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3 Equaes do tipo tan = tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4 Equaes do tipo cos+ sin = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.5 Outras equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Os Pontos Mdios dos Lados do Pentgono 105

8 Equaes de Pell-Fermat 113

9 A Travessia do Deserto 139

10 Construo do Polgono Regular de Dezassete Lados 143

11 Sucesses de Nmeros Reais 15311.1 Limite de uma sucesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411.2 Progresses aritmticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.3 Progresses geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

iii

iv CONTEDO

12 Polinmios numa varivel 19112.1 Diviso inteira de polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.2 Funes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

12.2.1 Funo afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.2.2 Funo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20212.2.3 Funo cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.2.4 Funo qurtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.2.5 Outros exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

13 Funes Reais de Varivel Real 23513.1 Estudo de funes reais de varivel real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23513.2 Composio de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

13.2.1 Composio de funes e transformaes de grficos . . . . . . . . . . . . . . 296

14 Funes Definidas por Ramos 30514.1 Funes por ramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30514.2 Mais Funes Definidas por Ramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

15 A Escada do Diabo 341

16 Funes Exponencial e Logartmica 347

17 Estudo de Funes Trigonomtricas 387

18 Indeterminaes 411

19 Equaes de Segundo Grau 42319.1 Primeira abordagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42319.2 Segunda abordagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

20 O mtodo das Tangentes de Newton 433

21 Polinmios de Colocao 439

22 Construindo Cones 449

23 Brincando com Chapus 455

24 Os Nmeros Complexos 46124.1 Uma ideia maluca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

24.1.1 O plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46224.1.2 A forma trigonomtrica dum nmero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . 46324.1.3 Produto de complexos na forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 46424.1.4 Quociente entre complexos na forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . 46424.1.5 Potncia dum complexo na forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 46524.1.6 Razes ndice dum complexo na forma trigonomtrica . . . . . . . . . . . . 465

24.2 Pentgono regular inscrito numa circunferncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46624.3 Maior hexgono regular contido num quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

CONTEDO v

24.4 Domnios planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

25 O Anel dos Inteiros Gaussianos 487

26 Ternos Pitagricos 49526.1 A trigonometria e os ternos Pitagricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50426.2 Os nmeros complexos e os ternos Pitagricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

27 Anlise Combinatria 50927.1 Nmeros de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53127.2 O Jogo do Domin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

28 Probabilidades 551

29 Separadores e Funes Geradoras 61329.1 Decomposio em somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61429.2 Generalizao de Combinaes e Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62229.3 Funes geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

29.3.1 Funes Geradoras Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62929.3.2 Funes Geradoras Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65029.3.3 Exerccios variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

30 Permutaes Caticas 70330.1 Lemas de Kaplansky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

31 Nmeros de Catalan 72131.1 Funo Geradora dos Nmeros de Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73731.2 Matrizes de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74131.3 Nmeros de Narayana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74231.4 As Vacas de Naraian Pandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

32 Xadrez, Torres e Polinmios 753

33 Estatstica 887

34 Equaes Irracionais 901

35 Duas Funes Curiosas 909

36 Como Nascem os Problemas? 91536.1 Tangentes a uma hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91536.2 Tangentes a uma parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91736.3 Termos consecutivos no tringulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

37 O Teorema de Marion 925

38 As Eleies e o Mtodo de Hondt 945

39 Geometria Analtica no Plano 949

vi CONTEDO

40 O Teorema de Napoleo Bonaparte 989

41 Geometria Analtica no Espao 1009

42 Crculos e Esferas 1039

43 Um simples tringulo, mas muito para aprender 1043

44 Geometria no Plano 1057

45 Isometrias no Plano 108145.1 Simetria axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108145.2 Rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108645.3 Translao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108745.4 Reflexo Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

46 Semelhanas 1091

47 Outras Transformaes Afins 109347.1 Afinidade com eixo (Strain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

47.1.1 Cisalhamento (shearing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110347.1.2 Afinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111047.1.3 Homotetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111347.1.4 Semelhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115

47.2 Transformaes Afins (Bijectivas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111647.3 Transformaes Lineares No Bijectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117

48 Transformaes Geomtricas em R3 112748.1 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127

48.1.1 Simetria em relao a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128

49 Programao Linear 113149.1 O mtodo grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113149.2 O mtodo do Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114549.3 O Grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154

50 Problemas Choque Mate 116150.1 Maria e a apanha das mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116150.2 A mosca e o peloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116450.3 O meu filho mais velho toca piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116550.4 O passeio do senhor Anacleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116650.5 Os quatro ciclistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116750.6 A travessia do deserto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116850.7 Viagem de ida e volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116950.8 Os trs marinheiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117050.9 Brincando com a calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117150.10Filhos, netos e perucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117250.11O desencontro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172

CONTEDO vii

50.12A festa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117350.13A explorao infantil no tempo dos nossos avs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117350.14Histrias do ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117450.15Cinco chapus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117450.16A viagem de comboio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117550.17Os trs cantores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117650.18O rei Artur e o drago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117650.19O aniversrio da Cinderela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117750.20A morada da Juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117850.21Meias, s escuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117950.22Circunferncias Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117950.23A ndoa de azeite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118450.24Um problema de restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118550.25Um problema de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186

51 A frmula de Pick 119351.1 Um rectngulo especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119551.2 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119651.3 Quadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120051.4 Polgonos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120151.5 Polgonos cncavos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201

52 Modelos Populacionais 120552.1 Lei de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120552.2 Equao Logstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120552.3 Interaco entre duas espcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206

53 Lgica 121553.1 Trabalhando com V e F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215

53.1.1 A negao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121653.1.2 A conjuno, a disjuno e a disjuno exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . 121653.1.3 A implicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122553.1.4 A equivalncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228

53.2 Trabalhando com 0 e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230

54 O Teorema do ponto fixo 1233

55 Simetria axial 1239

56 Transformaes Afins 124556.1 Afinidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124556.2 Transformaes Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255

56.2.1 Reflexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125756.2.2 Rotao em torno duma recta (ou eixo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125856.2.3 Translao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126956.2.4 Reflexo Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127056.2.5 Simetria em relao a um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280

viii CONTEDO

56.2.6 Simetria em relao a uma recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128156.2.7 Simetria em relao a um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128356.2.8 Parafusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128456.2.9 Reflexes rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128556.2.10Homotetias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128656.2.11Semelhanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128856.2.12Cisalhamento (Shear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288

56.3 Mudana de referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313

Bibliografia 1319

Valor de 16383 1325.1 Matrizes de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329

Prefcio

Este trabalho foi escrito sem a preocupao de obter um livro de texto para acompanhar as aulasde Matemtica, nem de seguir o programa de Matemtica do Ensino Secundrio. Pretendeu-semostrar que a Matemtica no Ensino Secundrio pode ir alm dos habituais exerccios e que existeum vasto campo que pode ser explorado pelos professores e alunos de Matemtica. Tratou-se,tambm, da resposta a um desafio: que livro sobre Matemtica seria eu capaz de escrever? Dequalquer modo, o texto resulta da experincia da sala de aula, conjugada com uma grande vontadede procurar novos caminhos.Pretendeu-se, tambm, lutar contra uma certa maneira de encarar a Matemtica, no havendo

nenhuma concesso ao facilitismo que por a anda. Nos tempos atuais, h que mostrar aos alunose professores que o mais importante, no Ensino, o trabalho constante e no o "deixa andar"emque cairam muitos alunos que esto espera dum milagre que resolva os seus problemas. O mesmoacontece com muitos adultos que veriam os seus problemas resolvidos com um bom prmio noEuromilhes. O pior que o prmio nunca chega...Este livro foi escrito sem nenhuma preocupao sobre a sua finalidade: no se pretendia um

bom livro, no se pretendia publicar um livro, nem se pretendia qualquer tipo de utilizao paraalm da sala de aula. De qualquer modo, partes do livro foram sendo divulgadas a alguns colegasde Escola. Por falar em Escola, parece-me que, numa Escola de dimenso considervel, como aEscola Secundria Jaime Moniz (onde sou professor), poderamos fazer o nosso prprio LIVRO DEMATEMTICA, que englobaria o contributo dos professores interessados e, se possvel, de algunsalunos. Tal livro seria uma resposta habitual falta de esprito colectivo e uma excelente respostaqueles que dizem que os professores nada fazem.Finalizo este pequeno prefcio, referindo que j no sei em que altura comecei a escrever este

livro: sei que foi h muito tempo e que passei milhares de horas a escrever no Computador. E semesperar qualquer compensao para esse esforo que, espero, no tenha sido inglrio.Muito sinceramente, gostava que os professores de Matemtica pudessem ter acesso a este livro

e que se propusessem fazer (fizessem) outro, muito melhor e sem os defeitos que este apresenta.Quanto aos alunos, j no sei. Muitos deles no so capazes de ler uma pgina dum livro deMatemtica. Outros limitam-se a ir s aulas e s explicaes, resolvendo listas de exerccios. Ummuito pequeno nmero de alunos parece que ainda se interessa em aprender Matemtica. Que nopercam esse interesse.Aproveito estas linhas para a gradecer a todos aqueles que, de algum modo, contribuiram para

este produto final, lendo o texto e apontando gralhas, fazendo com que o seu nmero seja menor.No entanto, tenha a certeza que elas continuam. Por vezes, abro o livro numa pgina, ao acaso, el est ela, a gralha...Obrigado a todos os que me incentivaram!

ix

x PREFACE

Este livro dedicado a uma pessoa em particular: minha professora da instruo primria,D. Estela Castro.

Introduo

Este texto incide, de modo especial, sobre assuntos de 12 Ano e de 1 Ano do Ensino Universitrio.Para isso contribuiu a minha experincia como professor do Ensino Secundrio e como assistentena Universidade da Madeira e na Universidade Catlica (Funchal).Convm referir que, no Captulo intitulado Probabilidades, esto includos exerccios das

Brochuras editadas pelo Ministrio da Educao, exerccios esses que esto assinalados com *.No posso deixar de referir que seria interessante incluir no Programa de Matemtica do Ensino

Secundrio assuntos como a lei dos senos e a frmula de Heron.

xi

xii INTRODUO

Captulo 1

Dois Esquadros

Os estudantes de Desenho e Geometria Descritiva esto familiarizados com dois tipos de esquadros:uns tm um ngulo recto, um ngulo de 30 e um de 60 , enquanto que outros esquadros tm umngulo recto e dois ngulos de 45 .Vamos estudar em pormenor esses dois esquadros, isto , vamos estudar duas classes de trin-

gulos rectngulos. Comecemos pelo tringulos rectngulos issceles (aqules que tm dois ngulosde 45 ).

1.1 Tringulos rectngulos issceles

Exemplo 1 Consideremos um tringulo rectngulo em que os comprimentos dos dois catetos me-dem 1 cm.

m AB = 1,00000 cm

m CA = 1,00000 cm

m BC = 1,41421 cm

C A

B

Ento, 2= 12 + 12, donde se conclui que =

2 ( cm).

O permetro do tringulo 2+2 ( cm), enquanto que a sua rea 12 11 cm2, isto , 12 cm2.

Note-se que a rea deste tringulo metade da rea dum quadrado com 1 cm de lado.

C A

B

1

2 CAPTULO 1. DOIS ESQUADROS

Consideremos, agora, um tringulo rectngulo em que os dois catetos medem cm.

Este tringulo semelhante ao anterior, sendo a razo de semelhana.Ento, a hipotenusa mede

2 cm, o permetro

2 +2cm, enquanto que a rea 12

2 cm2.Juntando dois tringulos iguais a um dos anteriores, podemos obter um quadrado ou um novo

tringulo semelhante a esses dois.

C A

B

A razo de semelhana entre um dos tringulos menores e o tringulo maior (da figura anterior)2.

Exemplo 2 Consideremos o cone que se obtm quando se roda um tringulo rectngulo isscelesem torno dum dos catetos. Vejamos como obter o volume, a rea e a planificao do cone.

m BC = 1,00 cm

m AB = 1,00 cm

A B

C

Se rodarmos o tringulo anterior, em torno da recta , obtemos um cone de revoluo com1 cm de altura e com uma base que um crculo com 1 cm de raio. Ento, o volume do cone 13 12 1 cm3, ou seja, 3 cm3. claro que a rea da base cm2.A rea lateral dum cone de revoluo o produto do semi-permetro da base pela geratriz (que,

neste caso, a hipotenusa do tringulo gerador). Ento, a rea lateral do cone 12212 cm2,

ou seja, 2 cm2.

A rea total do cone 2 cm2 + cm2, ou seja,

1 +2cm2.

Vejamos como obter a planificao do cone (mais exactamente, ser a planificao da fronteirado cone):

1.1. TRINGULOS RECTNGULOS ISSCELES 3

D

A B

CE

Note-se que a figura anterior ainda no a planificao do cone, pois falta obter um sectorcircular correspondente superfcie lateral do cone.A circunferncia maior tem raio

2 cm e pretendemos obter um arco cujo comprimento seja

igual ao permetro da circunferncia menor. Seja a amplitude desse arco. Ento, 360

=22

2 ,donde vem = 360

2 254 558 441 2 .

Planificao (aproximada) do cone:

G

D

A B

CE

F

Se tivermos um tringulo rectngulo issceles em que os catetos tenham cm de comprimento;a rea total do cone ser 2

1 +2cm2, enquanto que o volume ser 3

3 cm3.

Exemplo 3 Consideremos, agora, que se roda um tringulo rectngulo issceles em torno dahipotenusa.

E

CB

A D

Neste caso, obtemos dois cones "colados"pelas bases. Esses dois cones so gerados por tringulosrectngulos issceles em que os catetos medem

22 cm. Ento, pelo exemplo anterior, o volume de

cada cone 3

22

3cm3, ou seja,

2

12 cm3.

Logo, o volume total 2

6 cm3.

A rea lateral de cada cone

22

22 cm2, ou seja, 2

2 cm2, pelo que a rea total do

conjunto formado pelos dois cones 2 cm2.


Quanto planificao, note-se que, agora, no temos as bases, pelo que teremos, apenas, doissectores circulares (de raio igual a 1 cm).

H

E

CB

A DG

F

Exemplo 4 Consideremos um octgono regular de lado e determinemos a sua rea.

Consideremos um quadrado que contm quatro dos lados do octgono. Seja o lado dessequadrado.

E

L K

J

I

HG

F

M4

M8 M6

M2

M7

M1 M5

M3

BA

CD

Relativamente figura anterior, temos = e = . Que relao existe entre e ?

Ora, = 2, dode vem =

2=

2=

2

2e, por isso, + 2

2

2= .

Ento, = + 2 =

1 +2. E, daqui vem

=2 + 1

=2 1

2 + 1

2 1 = 2 1

Ento, a rea do quadrado 2. Mas, 2 = 2

1 +22= 2

1 + 2 + 2

2= 2

3 + 2

2.

A rea de [ ] 12 2 , ou seja, 12 2 . Ento, a rea do octgono a diferenaentre a rea do quadrado [] e o qudruplo da rea de [ ]. Ento,

oct = 23 + 2

2 4 1

2

2= 2

3 + 2

2 2 = 2

2 + 2

2= 22

1 +2

Observe-se que a rea do octgono de lado a diferena entre a rea do quadrado de lado1 +2e a rea do quadrado de lado , conforme podemos ver na figura seguinte:

1.2. TRINGULOS RECTNGULOS COM UM NGULO DE 30 5

E

L K

J

I

HG

F

M4

M8 M6

M2

M7

M1 M5

M3

BA

CD

1.2 Tringulos rectngulos com um ngulo de 30

Comecemos por referir que os ngulos internos de um tringulo equiltero medem 60 (as amplitudesdos ngulos que medem 60 ). Se traarmos uma altura desse tringulo, obtemos dois tringuloscujos ngulos internos medem 30 , 60 e 90 .

D

B

A C D

B

A C

Exemplo 5 Consideremos um tringulo equiltero com 1 cm de lado (ver figura anterior).

Ento, = 1 cm, = 1 cm e, pelo Teorema de Pitgoras, =2 cm.

Ento, a rea de [] mede 12 12 32 cm

2, ou seja,38 cm

2.

Logo, a rea dum tringulo equiltero de lado 1 cm 34 cm

2.

E, por semelhana, concluimos que a rea dum tringulo equiltero de lado 23

4 .Note-se que as reas das trs figuras seguintes so iguais, uma vez que cada uma delas formada

por dois tringulos e todos os seis tringulos so iguais, tendo-se que cada um deles tem um ngulode 30 e outro de 60 .Note-se que a figura da esquerda um tringulo em que os ngulos internos medem 30 , 30 e

120 , enquanto que a segunda figura um quadriltero com dois ngulos rectos, um ngulo de 60

e um ngulo de 120 .


Note-se que a figura da esquerda um tringulo em que os ngulos internos medem 30 , 30 e120 .Estudemos, com mais pormenor, os tringulos rectngulos que tm um ngulo de 30 :

C

A B

Se = , ento = 2 e =3

2 , tendo-se que a rea de [] 23

8 , enquanto que o

permetro 32 +3

2 , ou seja,2

3 +3.

Se = , ento = 2 e = 3, tendo-se que a rea de [] (2)

23

8 = 232 ,

enquanto que o permetro 3 + 3 =

3 +3.

Se = , ento = 3=

3

3 e =23= 2

3

3 , tendo-se que a rea de [] 23

2 38 =

1623, enquanto que o permetro +

3

3 +23

3 = + 3 =

1 +3.

Exerccio 6 Na figura seguinte temos trs circunferncias: uma de centro e que passa por ,outra de centro e que passa por e uma terceira de centro e que passa por . O ponto ainterseco das duas primeiras circunferncias. Alm disso, temos = 2 cm.

C

BA

Determine b, a rea de [] e a rea da regio a azul (semelhante ao emblema da Lancia).

1.2. TRINGULOS RECTNGULOS COM UM NGULO DE 30 7

Resoluo claro que = = = 2cm, pelo que [] um tringulo equiltero. Ento,

b = b = b = 60 .Logo, os arcos , e so iguais, sendo de 60 as suas amplitudes.A rea de [] 2

2

4

3 cm2 =

3 cm2.

A rea do sector circular correspondente ao arco um sexto da rea do crculo, ou seja,46 cm

2 ou 23 cm2.

A rea do segmento circular correspondente ao arco 23 3cm2.

Logo, a rea da regio azul 323 3+3cm2, ou seja,

2 23 cm2.

Exerccio 7 Na figura seguinte temos uma circunferncia de centro e que passa por e umacircunferncia de centro e que passa por . Os pontos e pertencem s duas circunferncias,enquanto que o ponto a interseco de recta com uma das circunferncias. Alm disso,temos = 2cm enquanto que a interseco das rectas e .

G

FE

C

D

BA

Determine:

a) As amplitudes b e b.b) e .

c) A rea da regio a amarelo

Resoluo

a) b = 60 , porque [] um tringulo equiltero. b = 60 2 = 30 (ngulo inscrito num arco de 60 ).

b) = 1 cm e =3 cm. Logo, = = 2

3 cm, porque [] um tringulo

equiltero, uma vez que os arcos , e so iguais.

c) A rea da regio a amarelo o dobro da rea do segmento circular correspondente a um arcode 120 (o arco , por exemplo).

A rea de [] 323

2 cm2, ou seja, 3

3 cm2.

A rea de cada um dos crculos 4 cm2.

A diferena entre as duas reas anteriores 4 33 cm2, sendo que essa rea o triplo

da rea do segmento circular correspondente ao arco (por exemplo).


Ento, a rea do segmento circular limitado pela corda [] e pelo arco um tero de4 33 cm2, ou seja, 43 3 cm2.Ento, a rea a amarelo o dobro da rea anterior, ou seja,

83 2

3cm2.

Outra maneira:

G

FE

C

D

BA

A rea da regio a amarelo a soma do dobro da rea de [] com o qudruplo da rea dosegmento circular correspondente ao arco .A rea de [] 2

3

2 cm2, ou seja,

3 cm2.

A rea do segmento circular, correspondente ao arco , 46 cm23 cm2 = 23 3 cm2.

Ento, a rea pretendida 23 + 4 23 3 cm2 = 83 23 cm2.

Ainda outra maneira possvelPodamos calcular a rea do losango []: 2

322 cm

2, ou seja, 23 cm2.

E, depois, calculvamos o qudruplo da rea de um dos segmentos circulares correspondentes aarcos de 60 :

44

6 23

2

!cm2 =

8

3 4

3

cm2

Por fim, a rea da regio a amarelo a soma das duas reas8

3 4

3 + 2

3

cm2 =

8

3 2

3

cm2

Captulo 2

Permetros e reas de FigurasPlanas

1. rea dum rectngulo

B

D C

A

= base altura = Representando a base por e a altura por , temos rectngulo = .

2. rea dum tringulo

F B

D C

A

E

A rea do tringulo [] dada por =base altura

2=

2

=

2.

9

10 CAPTULO 2. PERMETROS E REAS DE FIGURAS PLANAS

Note-se que a rea do tringulo [] metade da rea do rectngulo [].

Representando a base por e a altura por , temos tringulo = 2 .

3. rea dum paralelogramo

E FB

D C

A E FB

D C

A

Como os tringulos [] e [ ] so iguais, tm a mesma rea. Ento, a rea do paralel-ogramo [] igual rea do rectngulo [ ]. Ento, a rea dum paralelogramo dada por

= basealtura = = Representando a base por e a altura por , temos paralelogramo = .

4. rea dum trapzio

GH

FE

D C

A B

A rea do trapzio [] igual rea do rectngulo [] subtrada das rea dostringulos [] e []. Tambm pode ser calculada pela soma da rea do rectngulo[ ] com as reas dos tringulos [] e [ ].

Ento, a rea do trapzio []

12 1

2 =

2

2

=

+

2

= +

2

Representando a base maior por , a base menor por e a altura por , temos que a rea dotrapzio dada por trapzio = +2 .

11

H G

FE

D C

A B

Na figura anterior, podemos ver que a rea dum trapzio igual rea dum rectngulo com amesma altura e cuja base igual mediana do trapzio (segmento que une os pontos mdiosdos dois lados no paralelos).

5. rea dum losangoA rea dum losango metade da rea do rectngulo cujas bases so iguais s diagonais dolosango. Ento, losango = 2 , onde a diagonal maior e a diagonal menor (dolosango).

H

E F

G

D

A C

B

6. rea dum polgono regular de lados

A rea dum tringulo equiltero de lado (ver figura) dada pelo semi-produto da

base pela altura, isto , = 2

=

2

. No entanto, a altura de-

pende do lado, podendo ser determinadaem funo do lado . Aplicando o Teo-rema de Pitgoras ao tringulo rectngulo[], temos D

C

A B

2 = 2 +

2

2 2

2

4= 2 3

2

4= 2 =

3

2


Como 0, vem =3

2. Ento, a rea dum tringulo equiltero de lado

23

4.

claro que a rea dum quadrado de lado 2. A rea dum pentgono regular de lado (ver figura) o quntuplo da rea dum tringulo debase e cuja altura (aptema do pentgono) depende de .

M

E

A

D

B

CO

Ento, pentgono regular = 52=

2, onde o permetro do pentgono e o aptema.

Para determinar , em funo de , so necessrios conhecimentos de Trigonometria.

No caso dum polgono regular de lados, com 5, temos exactamente a mesma frmula:

polgono regular =

2

onde o permetro do polgono e o aptema.

Observe-se que no costume falar em aptema dum tringulo equiltero nem de aptemadum quadrado, embora tal pudesse ser feito.

7. rea dum crculoA rea dum crculo de raio 2.

Observao sobre o valor de Apresentamos alguns valores aproximados de :

1. 3 (valor referido na Bblia)

2. 227 3 142 857 143 (valor referido por

Arquimedes)

3. 333106 3 141 509 434 (valor conhecido

por Antoniszoon?)

13

4. 355113

3 141 592 92 (valor divulgadopor Metz)

5. 103 99333 102

3 141 592 653 (valor con-hecido por Antoniszoon?)

Valor de com 9 casas decimais: 3 141 592 654.Metz divulgou, para , o valor de

355

113. Este valor foi encontrado por seu pai, Antoniszoon, que

tambm conheceria, para valor de , a fraco333

106e, talvez,

103 993

33 102.

Supe-se que Antoniszoon ter usado o algoritmo das fraces contnuas para encontrar355

113,

j que pouco provvel que tenha obtido esse valor por experimentao. Se, de facto, ele usou o

algoritmo das fraces contnuas, de certeza que conhecia o valor aproximado333

106, uma vez que

esse valor obtido no passo anterior obteno de355

113. Segue-se o clculo de alguns valores

aproximados de , usando o algoritmo das fraces contnuas e utilizando, nos clculos, 12 casasdecimais:

Logo,

2 1 0 1 2 3 4 5 3 7 15 1 292 1 0 1 3 22 333 355 103 993 104 348 1 0 1 7 106 113 33 102 33 215

3 227

333

106

355

113

103 993

33 102

104 348

33 215

Note-se que

=

11

+

22

=

1 + 21 + 2

.

Valores aproximados de :22

7 3 142 857 143, 333

106 3 141 509 434, 355

113 3 141 592 92

103 993

33 102 3 141 592 653, 104 348

33 215 3 141 592 654

Exerccio 8 Calcule a rea de cada uma das quatro figuras coloridas da figura seguinte, sabendoque [0011], [1122], [2233] e [3344] so quatro quadrados de lados 1 cm,2 cm, 3 cm e 4 cm, respectivamente.E se tivermos quadrados em vez de 4 quadrados, qual a rea de toda a zona colorida?


B0

I3

I2I1

C4

A4

B3

A3

C3B2

C2

A2

B1

C1

A1A0

ResoluoComecemos por notar que, na figura anterior, [011], [023], [033] e [044] so

tringulos semelhantes.

1. rea do trapzio [0011]:

01

11=1 + 2 + 3 + 4

4= 1

11=5

2= 11 = 2

5

Ento, a rea de [0011] 1 + 352

1 cm2 = 45cm2


02

22=10

4= 3

22=5

2= 22 = 6

5

Ento, 22 = 2 65=4

5, pelo que a rea de [1122]

35 + 1 +

45

2 2 cm2 = 12

5cm2.


03

33=10

4= 6

33=5

2= 33 = 12

5

Ento, 33 = 3 125=3

5, pelo que a rea de [2233]

45 + 1 +

35

2 3 cm2, ou seja,

18

5cm2.

4. A rea do tringulo [334] 35 + 1

2 4 cm2 = 16

5cm2.

15

5. A rea total da zona colorida de4

5cm2 +

12

5cm2 +

16

5cm2 +

18

5cm2 = 10 cm2.

Note-se que a rea do tringulo [044] 10 42

cm2, ou seja, 20 cm2.

E, a rea total dos quatro quadrados 12 + 22 + 32 + 42


Logo, a rea da zona colorida 30 cm220 cm2, ou seja, 10 cm2, como se obteve anteriormente.6. Se tivermos quadrados, a rea do tringulo [0] dada por

X=1

2 = (+ 1)

2 12 =

2 (+ 1)

4

E, a rea dos quadrados dada por

X=1

2 = (+ 1) (2+ 1)

6

7. Ento, a rea colorida ser

(+ 1) (2+ 1)

6

2 (+ 1)

4=

2 (+ 1) (2+ 1) 32 (+ 1)12

=(+ 1)

2 (2+ 1) 32

12

=(+ 1)

42 + 2 3212

=(+ 1)

2 + 2

12

= (+ 1) (+ 2)

12

Note-se que, a figura inicial corresponde ao caso = 4.

Ento, substituindo por 4, temos4 5 612

= 10.

8. rea do trapzio [0011], no caso de quadrados:

01

11=1 + 2 + +

= 1

11=

(+ 1)

2

= 11 = 2+ 1

Ento, a rea de [0011] 1 + 1 2+1

2 1 cm2 = 2+ 2 2

2+ 2cm2 =

+ 1cm2. No

exerccio inicial, tnhamos = 4, pelo que a rea de [0011] 4

5cm2, que o valor


anteriormente obtido. Tambm podamos calcular a rea do trapzio [0011] por 1 2

+1

2 1 = 1 1

+ 1=

+ 1, o que correspode a achar a diferena entre a rea do quadrado

[0011] e a rea do tringulo [011].

9. Observe-se que a ltima figura colorida um tringulo semelhante ao tringulo [0].Seja , a base desse tringulo colorido. Ento,

=

(+1)2

=

(+ 1)

2 1

=

+ 1

2 = 2

+ 1

Logo, a rea do tringulo colorido 2+1 12 =2

+ 1.

Exemplo 9 Um tringulo para mais tarde recordar

Consideremos um tringulo equiltero [], de lado uma unidade, no qual se traou a altura[]:

D

B

A C

Ento, = = = 1 e = 12 . Aplicando o Teorema de Pitgoras, obtemos =32 .

Se tivermos = = = , ento, por semelhana, vir = 2 e =3

2 .

Finalmente, temos que a rea dum tringulo equiltero de lado 23

4 unidades de rea.

Ento, a rea do tringulo [], da figura, 23

8 unidades de rea.Note-se que temos um objecto de uso corrente que deve servir de imagem para o que acabmos

de afirmar: o esquadro de 30 .

x 3

2

x

2

x

mADB = 90,00

mDAB = 60,00

mABD = 30,00

D

B

A

17

Exerccio 10 Um operrio de construo civil pretende transportar trs tubos cilndricos iguais ecom 30 centmetros de dimetro. Antes do transporte vai colocar fita-cola volta dos tubos, na partesuperior e na parte inferior, de modo a que os tubos formem um nico volume. O operrio colocaa fita perpendicularmente s geratrizes dos tubos, os quais ficam tangentes uns aos outros. Qual ocomprimento mnimo de fita a colocar, de modo a qua fita d uma volta completa ao volume?

ResoluoOs centros das circunferncias definem um tringulo equiltero com 30 cm de lado.A parte do tubo onde colada a fita corresponde a um tero da circunferncia j que temos

360 90 90 60 = 120 .Logo, o comprimento da fita

3 30 + 3 303

cm, ou seja, (90 + 30) cm.

Uma questo interessante consiste em determinar a rea da figura anterior:Para obtermos um resultado mais geral, suponhamos que as circunferncias tm raio . Ento,

a rea de cada rectngulo 22, a rea dos trs sectores circulares 2, faltando determinar area do tringulo equiltero de lado 2. A altura do tringulo tan 3 =

3, pelo que a sua

rea 2 3

2 = 23. Ento, a rea total 3 22 + 2 +23, ou seja, 6 + +32.

C

AB

claro que podamos ter calculado a rea do tringulo equiltero de lado 2, aplicando afrmula do exemplo anterior:

=(2)

23

4= 2

3

No caso em que = 15 cm, teremos que a rea da figura de6 + +

3152 cm2, ou seja,

1350 + 225 + 2253cm2.

E se em vez de trs tubos tivermos quatro tubos?Com quatro tubos, h muitas maneiras de coloc-los:1 caso:


C

AB

Neste caso, temos que o comprimento da fita 8+2, uma vez que a soma dos comprimentosdos quatro arcos onde se cola a fita igual ao comprimento de uma circunferncia (temos dois arcosde 120 e dois arcos de 60 , conforme fcil de verificar).Quanto rea, temos quatro rectngulos de rea 22 cada um, quatro sectores circulares cuja

rea total igual rea dum crculo, ou seja, 2 e dois tringulos equilteros de rea 23, cada

um.Ento a rea total 82 + 2 + 22

3, isto ,

8 + + 2

32.

2 caso:

Neste caso, temos que o comprimento da fita 8 + 2, valor este que o mesmo do casoanterior.A rea da regio a amarelo 2 24 , pelo que a rea total da figura limitada pela fita

162 42 24

, ou seja, 122 + 2.

Ora, 8 + + 23 14 6 e 12 + 15 1. Ento, a rea menor no caso anterior.

Note-se que a rea anterior pode ser calculada, somando as reas do quadrado (42), dosrectngulos azuis (4 22) e dos quatro quartos de crculo (2), obtendo-se 122 + 2, comoanteriormente.Moral da histria: Para armazenar pacotes de quatro garrafas, melhor que os pacotes

tenham a forma da figura do 1 caso. No entanto, isso pode no ser verdade, por causa dos

19

"desperdcios". Assim, se estivermos a armazenar os pacotes numa sala quadrada, vamos ter zonasda sala desaproveitadas. No caso das salas quadradas (ou rectangulares), os pacotes "quadrados"noprovocam tantos "desperdcios". Um pacote "quadrado"colocando num canto da sala (num dosvrtices...), quase no provoca desperdcio.

Entre as duas posies referidas (os dois casos), h muitos casos intermdios.

Casos intermdios:

DC

EB

H G

Em todos os casos, o comprimento da fita igual a 8+2. A rea mnima, quando obtemosuma figura anloga do primeiro caso e mxima, quando o losango [] se transforma numquadrado.

E se tivermos cinco tubos dispostos regularmente?

O permetro (comprimento da fita) 10 + 2, conforme pode verificar na figura da pginaseguinte.

A rea 102+2+ (5 2), onde (5 2) representa a rea dum pentgono regular cujoslados tm comprimento .

O pentgono vermelho da figura anterior pode ser dividido em cinco tringulos iguais. Cada umdesses tringulos tem um lado de comprimento 2, um ngulo de 72 e dois ngulos de 54 .

Unindo o centro do pentgono com o ponto mdio de um dos seus lados, obtemos um tringulorectngulo em que um dos catetos tem comprimento , o outro cateto (o aptema do pentgono)tem comprimento e o ngulo desse tringulo com vrtice no centro do pentgono tem amplitude36 . Ento, tan 36 = , donde vem =

tan 36 .

Ora, tan 5 =p5 25, pelo que =

525.

Ento, a rea do pentgono 5 525

, ou seja, 52

525.

Logo, a rea da figura limitada pela fita de 102 + 2 + 52

525.


Exerccio 11 Com base nos resultados anteriores determine a rea dos seis crculos da figuraseguinte, sabendo que os centros dos cinco crculos exteriores definem um pentgono regular e queduas circunferncias consecutivas so tangentes (e a circunferncia interior tangente s outrascinco).

ResoluoApenas falta determinar , o raio do crculo interior. J vimos que os catetos do tringulo verde

medem 525

e .

Ento, representando a hipotenusa por , temos

2 = 2 +2

5 25 2 =

6 2525 25 2 =

6 25 5 + 2525 25 5 + 25

2 =10 + 2

52

5 2 =

50 + 10

52

25

Logo, =p50 + 10

5

5. Ento, =

p50 + 10

5

5 =

p50 + 10

5

5 1!.

21

Ento, a rea dos seis crculos

52 +

p50 + 10

5

5 1!2

2 = 2

50 + 10

5

25 2

p50 + 10

5

5+ 1

!

= 2

2 +

25

5 25

q50 + 10

5 + 1

!

= 2

3 +

25

5 25

q50 + 10

5

!

Dois tringulos a fixarVejamos com mais pormenor o tringulo equiltero e o tringulo de ngulos 30 , 60 e 90 .Consideremos um tringulo equiltero [], de lado . Seja o ponto mdio de [].

M

B

A C M

B

A

Ento, = . Mas, = = e [ ] um lado comum aos dois tringulos[ ] e [ ]. Logo, os dois tringulos [ ] e [ ] so geometricamente iguais. Ento,c = c, pelo que temos c = c = 90 , porque c = 1800 .Ento, b = b = 30 . Mas, = = 2 .Ora,

2+

2=

2, pelo que

2+

2

4 = 2. Logo,

2= 3

2

4 .

Logo, = 32 , uma vez que 0. Ento, =

32 =

2

3 =

3.

Ento, num tringulo rectngulo que tenha um ngulo de 30 , a hipotenusa o dobro do catetomenor e o cateto maior o produto de

3 pelo cateto menor.

A rea do tringulo [], de lado , 2 23, isto ,

2

4

3, enquanto que a rea de [ ]

2

8

3.

Exerccio 12 Considere trs circunferncias de raio , tangentes duas a duas, como nas figurasseguintes. Considere o tringulo [] definido por tangentes comuns a duas circunferncias. Quala rea deste tringulo?


L P

O

Resoluo

O

L

M

PN

C

AB

O

L

M

PN

C

AB

Consideremos as duas figuras anteriores. A rea do fringulo [], de lado 2, 4 243,

ou seja, 23. A rea dos trs rectngulos azuis 3 22, ou seja, 62.

Como =3 =

3, a rea do tringulo [] 2

32 , pelo que a rea do quadriltero

[ ] 23.

Ento, a rea de [] 23 + 62 + 32

3, ou seja,

6 + 4

32.

O

L

M

PN

C

AB

O

L

M

PN

C

AB

23

Segunda resoluoCada quadriltero vermelho tem a mesma rea que o tringulo equiltero azul. E a rea de cada

rectngulo azul claro 22.Ento, a rea de [] 62 + 4 424

3, ou seja, 62 + 42

3.

Exerccio 13 Considere seis circunferncias de raio , como nas figuras seguintes. Considere otringulo [] definido por tangentes comuns a duas circunferncias. Qual a rea deste tringulo?

I

CA

FD

B

GH E

Resoluo

rea de [ ]:(4)2

3

4= 42

3

rea de []:(2)

23

4= 2

3

rea de []: 42

rea de []: 423 + 32

3 + 122 = 72

3 + 122 = 2

12 + 7

3

Exerccio 14 Considere dez circunferncias de raio , como nas figuras seguintes. Considere otringulo [] definido por tangentes comuns a duas circunferncias. Qual a rea deste tringulo?


Na figura anterior temos trs rectngulos de rea 62, um tringulo equiltero de lado 6 e seistringulos de ngulos 30 , 60 e 90 .A rea do tringulo equiltero (6)

23

4 , ou seja, 923 (unidades de rea).

A rea de cada quadriltero vermelho o dobro da rea dum tringulo de base 3

2 e altura ,ou seja, a rea de cada quadriltero vermelho igual rea dum tringulo equiltero de lado 2,ou seja, 2

3.

Ento, , a rea total da figura

= 3 62 + 923 + 32

3 = 182 + 122

3

Exerccio 15 E se tivermos (+1)2 circunferncias?

No caso geral, teremos trs rectngulos de rea (2 2)2, um tringulo equiltero de lado(2 2) e trs quadrilteros de rea 23, cada um.Ento, , a rea total da figura ser

= 3 (2 2)2 + (2 2)2

423 + 32

3

= (6 6)2 + ( 1)223 + 32

3

= (6 6)2 + 2 2+ 423Como observao final, registe-se que os nmeros da forma (+1)2 , com N, so chamados

nmeros triangulares e correspondem soma dos primeiros nmeros naturais.

Exerccio 16 Determine a rea da regio a vermelho, em funo do raio das trs circunfernciasseguintes (tangentes duas a duas).

ResoluoO tringulo [] equiltero, sedo 2 o comprimento de cada lado. Ento, a sua rea

42

4

3.

A rea dos sectores circulares, a azul, 2

2 , uma vez que os arcos que definem os sectorescirculares (a azul) tm uma amplitude de 60 (cada um).Ento, a rea da regio a vermelho 2

3 22 , ou seja, 2

3 2

.

25

Exerccio 17 Determine a rea da regio a amarelo e da regio a azul, em funo do raio dascircunferncias (que so tangentes duas a duas, em cada tringulo).

ResoluoA rea a azul o triplo da diferena entre a rea dum rectngulo de lados e 2 e a rea de

dois quartos de crculo de raio .Ento,

azul = 322

22= 62 3

22 = 32

2

2

=3

22 (4 )

A rea a amarelo o triplo da diferena entre a rea dum quadriltero (de lados 3 3)

e a rea de um tero de crculo de raio .Mas,a rea do quadriltero igual rea dum tringulo equiltero de lado 2. Ento,

amarela = 3

42

4

3

32= 32

3 2 = 2

33

Observao


J verificmos que a rea da regio a vermelho dada por

vermelha = 23

2

2= 2

3

2

Calculemos vermelha +amarela +azul:

vermelha +amarela +azul = 23

2

2+ 32

3 2 + 62 3

22

= 423 32 + 62

Se expresso anterior somarmos 32, que a rea dos trs crculos, obtemos 423 + 62,

valor este que a rea de [].

Exerccio 18 Determine a rea do losango [], definido pelas tangentes s 9 circunfernciasseguintes:

K

D

A C

G

I

OH F

B

GJ E

27

Resoluo

rea de []:(4)

2

4

3 = 42

3. Ora, = 2

3 e = 2+ 2

3.

Ento, , a razo de semelhana entre os tringulos equilteros [] e [] 2+23

23.

Ento,

=2+ 2

3

23

=1 +3

3

Logo,

2 =

1 +3

3

!2=4 + 2

3

3

rea de []:

2423=4 + 2

3

3

423=162

3 + 242

3=82

3 + 2

3

3

Ento, a rea de [] 162

3 + 2

3

3(unidades de rea).

Observao 1Note-se que 9 = 32 = 6 + 3 e que a soma de dois nmeros triangulares consecutivos um

quadrado perfeito:

( 1)2

+ (+ 1)

2=

2 + 2 + 2

=22

2= 2

Nmeros triangulares: 1 3 6 10 15 21 28 36 45 Soma de dois nmeros triangulares consecutivos:

1 = 12 1 + 3 = 4 = 22

3 + 6 = 9 = 32 6 + 10 = 16 = 42

10 + 15 = 25 = 52 15 + 21 = 36 = 62

Observao 2Se tivermos 2 circunferncias, com 2, haver circunferncias na diagonal menor do

losango interior.Ento, o comprimento da diagonal menor desse losango 2 ( 1), enquanto que o compri-

mento da diagonal maior 2 ( 1)3.Ento, o comprimento da diagonal maior do losango exterior 2 ( 1)3 + 4.Logo, a razo de semelhana entre os dois losangos

=2 ( 1)3 + 42 ( 1)3 = 1 +

2

( 1)3 = 1 +23

3 ( 1)A rea do losango interior

1

2 2 ( 1) 2 ( 1)

3 = 2 ( 1)22

3


Logo, , a rea do losango exterior

= 2 ( 1)223

1 +

23

3 ( 1)

!2= 2 ( 1)22

3

1 +

43

3 ( 1) +4

3 ( 1)2!

Para = 4, vem

4 = 2 923

1 +

43

9+4

27

!= 182

3

31 + 12

3

27

!

= 182 36 + 31

3

27

!=2

3236 + 31

3

Para = 3, vem

3 = 2 423

1 +

43

3 2 +4

3 4

!= 82

3

23

3+4

3

!

= 82 6 + 43

3=162

3 + 2

3

3

Para = 2, vem

2 = 223

1 +

43

3+4

3

!= 22

3

43

3+7

3

!

= 22 12 + 53

3=22

12 + 7

3

3

Para = 1, a expresso no tem significado.

Exerccio 19 Seja o raio das trs circunferncias seguintes. Determine as reas da regio azul,da regio amarela e de cada segmento circular.

tringulo = 234

hexgono = 6234 =

33

2 2

amarela = 2 3

3

2 2 =

3

32

2

segmento circular =2 3

3

2 2

6=22 323

12=

2 332

12

29

Ou:

segmento circular = sector circular tringulo = 2

6

23

4

=22

12 3

23

12=

2

12 33

12

!2

Exerccio 20 Seja o raio da circunferncia seguinte. Sabendo que todos os arcos que limitam aregio azul esto contidos em circunferncias de raio e que tm uma amplitude de 60 , determineas reas da regio azul e da regio amarela.

crculo =

2

hexgono = 6234 =

33

2 2

Mas,

azul + 2

2=33

22 = azul + 2 = 3

32

= azul = 332 2 =

33

2

= azul =33

2

Ento,

amarela = 2 (crculo hexgono) = 22 3

3

22

!=2 3

32

Ou: segmento circular =

2 33

2 2

6=22 323

12=

2 332

12amarela = 12segmento circular =

2 332

azul = crculo 12segmento circular = 2 122 332

12


Logo,

azul = 2

2 3

32 =

2 + 3

32 =

33

2

Exerccio 21 Seja o raio das seis circunferncias seguintes. Determine as reas da regio azul,da regio amarela e da regio verde.

[] =23

4

azul = 62 332

12=

2 332

2

amarela =23

4 azul

2=

23

42 332

4

=

43 224

=

23 22

verde = 3 23

4 3

2 332

12=323

42 332

4

=323 2 332

4=

63 224

=

33 22

Ou:

verde = 4 23

4azul amarela = 2

3

2 332

223 22

=

23 2 + 33 23 + 2

2=

33 22

31

Exerccio 22 Determine a rea de cada uma das regies coloridas, em funo do raio das vriascircunferncias desenhadas.

Este exerccio muito semelhante ao anterior, tendo mais algumas reas de clculo imediato. fcil verificar que os sectores circulares a verde correspondem a arcos de 120 , pelo que a rea

total desse sectores 2.A rea de cada rectngulo amarelo 22, pelo que a rea total dos rectngulos amarelos 62.

azul claro = 62 332

12=

2 332

2

vermelha =23

42 332

4=

23 22

azul escuro = 3 23

4 3

2 332

12=323

42 332

4

=323 2 332

4=

63 224

=

33 22

Exerccio 23 Determine a rea de cada uma das regies coloridas, em funo do raio das vriascircunferncias desenhadas.


azul = 62 332

12=

2 332

2

vermelha =23

42 332

4=

23 22

cinzenta = 3 23

4 3

2 332

12=323

42 332

4

=323 2 332

4=

63 224

=

33 22

rosa = 62

verde = 323

Exerccio 24 Determine a rea do dodecaedro regular, em funo do raio das vrias circunfer-ncias desenhadas.

33

azul = 6 23

4 =32

23

= = 2 =3

2 = 3

2 =1223

Ento,

2=

2

4

232+

2

4=

2

4

4 + 3 + 1 4

3=

2

4

8 4

3= 2

23

Logo, = p23 e 2 = 2

p23

Seja 12, o aptema do dodecgono. Ento, 212 +2

p23

2= 2.

Logo, 212 = 2 24

23 = 4222+234 = 22+234 .

Ento, 12 =2+3

2 , pelo que 12, a rea do dodecgono, dada por

12 = 12 2

q23

p2 +3

2= 12

2

4

4 3 = 32

Exerccio 25 Determine as reas das regies coloridas, sabendo que todos os arcos desenhadosesto contidos em circunferncias com o mesmo raio .

FB

A C DE

Resoluo

amarela =23

4

azul = 2

2

6

23

4

!=22

6 3

23

6=

2 332

6

verde = amarela +azul =23

4+

2 332

6=323

12+

4 632

12

=

4 63 + 332

12=

4 332

12

Exerccio 26 Determine as reas das regies coloridas, em funo do raio que o mesmo nasduas circunferncias.


verde = 2 26 = 2

3

amarela = 22

6 23

4

= 2

2

6 323

6 =(23

3)2

6

rosa = 2 verde amarela = 2 23

2

3 +23

2 =2

3 +23

2

A rea do tringulo [] 3

2 . Ento, a rea do quadriltero [] 23.

Note-se que a rea do quadriltero [] igual rea dum tringulo equiltero de lado 2.

vermelha = 23verde = 2

3 23 = 3

2323 =

(33)23

azul = 2 amarela 2

3 = 2 23 +

23

2 23 = 2

2

3 23

2

azul = verde +amarela =2

3 +2

3 23

2 =22

3 23

2

Exemplo 27 Determine a rea de cada regio colorida e o comprimento da fronteira da figuraseguinte:

verde = 22

6 23

4

= 2

2

6 323

6 =(23

3)2

6

35

azul =(43

3)2

6 (23

3)2

6 =2

3 azul = 2 2

6 =2

3

vermelha = 2azul = 223amarela = 2

2 3 26

(433)2

12

= 22 2 (43

3)2

6 =2+3

3

6 2

rosa = 22 26

(233)2

6

=

422(233)2

6 = 23

rosa = 2 2 23

4 = 23

total = 23 + 2+3

3

6 2 + 2

2

3 +2

3 +(23

3)2

6 = 23 + 53

2

Comprimento da fronteira: + + 23 +23 , ou seja,

103 .

Exemplo 28 Determine a rea de cada regio colorida:

Esta questo a quase a mesma que foi resolvida no exemplo anterior, tendo-se que calcular area castanha.

verde =(23

3)2

6 azul =2

3 vermelha =22

3

amarela =2+3

3

6 2 rosa =

23

Base do rectngulo: 2+ 2 3

2 =2 +3

Altura do rectngulo: ++ = 3

rectngulo = 32 +32

castanha = 32 +32 23 532 =

6 + 2

3 53

2

ObservaesConsideremos a figura seguinte:


Cada uma das regies a vermelho por dois segmentos circulares correspondentes a arcos de60 e por um tringulo equiltero ao qual foi retirado um segmento circular. Logo a rea de cadauma dessas regies igual rea dum tringulo equiltero ao qual se junta um segmento circular,obtendo-se a rea dum sector circular que um sexto da rea do crculo. E o mesmo acontece comcada uma das regies a azul escuro com os dois segmentos circulares a azul claro.As duas regies a verde escuro tm a mesma rea que quatro tringulos equilteros.A regio verde claro constituda por dois segmentos circulares (correspondentes a arcos de

60 ).

Captulo 3

Geometria com Rgua e Compasso

Exemplo 29 Como obter um segmento de recta de comprimento, com N?

Primeiro processoOs tringulos coloridos so rectngulos.No primeiro tringulo, temos que os catetos medem uma unidade e a hipotenusa

2.

No segundo tringulo, os catetos medem 1 e2 e a hipotenusa

3.

E assim sucessivamente.Como conseguir um segmento de recta cujo comprimento seja

11?

claro que interessa um mtodo mais expedito do que obter11 a partir de

2,3,...,10.

Comecemos por recordar que (+ 1)2 = 2 + 2+ 1, pelo que (+ 1)2 = 2 +2+ 1

2.

Ento, existe um tringulo rectngulo em que a hipotenusa mede + 1, um dos catetos mede, enquanto que o outro cateto mede

2+ 1.

Ento, como 11 = 2 5 + 1, temos que existe um tringulo rectngulo em que a hipotenusamede 6, um dos catetos mede 5, enquanto que o outro cateto mede

11.

5

1 1

4=2 3

1

21

1

12

11

1

6

B

O A C

Na figura anterior, temos = 5 = 6 . Ento, = 11.Para conseguir um segmento cujo comprimento seja

12, consideramos um tringulo rectngulo

em que um dos catetos mede11 e o outro cateto mede 1. A hipotenusa medir

12.

Segundo processo

37

38 CAPTULO 3. GEOMETRIA COM RGUA E COMPASSO

Consideremos trs pontos colineares , tais que est entre e , = = ,com . Consideremos a circunferncia de dimetro , como na figura seguinte:

D

OA B C

Ento, o raio da circuferncia mede +2 , enquanto que = +2 = 2 .Ento,

2=

2 2 =+

2

2 2

2=

+

2+

2

+

2

2

=

Logo, =. Note-se que se tivermos , a situao acaba por ser a mesma.

Como 12 = 4 3 = 6 2, temos as duas construes:

Exemplo 30 Construa um segmento de recta de comprimento5.

Resoluo

39

1. Como 22 + 12 =52, temos

51

2

2. De 5 = 5 1, vem

E

DA

B C

Note-se que = 1 e = 5, pelo que = 3.

3. De 5 = 5 1 = (3 + 2) (3 2) = 32 22, vem 53

2

A

CBD

Note-se que as duas ltimas construes acabam por ser uma s!

Exemplo 31 Construa um segmento de recta de comprimento144 .

ResoluoComeamos por construir um segmento de comprimento

14 e, depois, dividimo-lo em quatro

partes iguais. Em termos prticos, vejamos, em primeiro lugar, como se divide um segmento derecta em partes iguais:


B3B2

B1

A

B

A1

A3

A4

A2

Para dividir o segmento de recta [] em quatro partes iguais, traamos uma semi-recta comorigem em e que tenha uma direco que no se confunda com a direco da recta . Sobreessa semi-recta, marcamos um ponto 1. Depois, marcamos sucessivamente os pontos 2, 3 e4, de modo que 1 = 12 = 23 = 34. Depois, traa-se o segmento []. Finalmente,traam-se, por 1, 2 e 3, rectas paralelas a [4] as quais intersectam [] nos pontos 1, 2e 3. Ento, 1 = 12 = 23 = 34.

CC1=14

41

CD= 14

4,5

7 2

C1

D

OA C B

Observao claro que podamos ter dividido o segmento em duas partes iguais e depois dividamos uma

das metades em duas partes iguais. O processo descrito serve para dividir um segmento de rectaem qualquer nmero de partes iguais.Veremos mais adiante como traar paralelas com rgua e compasso.

Exemplo 32 Construa um segmento de recta de comprimento 414.

ResoluoComeamos por construir um segmento de comprimento

14 e, depois, construimos outro de

comprimentop

14.

41

1

H

G

F

E

CA BD

Na figura anterior, temos = 7, = 2, =14, = 1 e =

p14 = 4

14.

ObservaoSe tivermos um segmento de recta de comprimento , ento possvel construir (com rgua e

compasso) um segmento de recta de comprimento, desde que se conhea um segmento de recta

de comprimento 1. E assim sucessivamente, pelo que possvel construir um segmento de recta decomprimento 2

.

Exemplo 33 Suponhamos que temos um segmento de recta de comprimento2. Como obter o

segmento unidade?

ResoluoConsideremos a figura seguinte, onde =

2. Desenhemos a circunferncia de centro que

passa por . A recta intersecta a circunferncia em e num outro ponto . Construa-se amediatriz de [], a qual intersecta a circunferncia inicial em dois pontos. Seja um desses pontos.Ento, devido ao Teorema de Pitgoras, = 2. Ento, para constuir um segmento unitrio, bastaconstruir a mediatriz de []. Tal mediatriz no foi construda, para no sobrecarregar o desenho.

2 2

2

D

CA

B



segmento unidade?

Resoluo

Consideremos a figura seguinte, onde =5.

Comeamos por construir um tringulo rectngulo arbitrrio em que um dos catetos o dobrodo outro. Depois, rodamos o ponto em torno de , at intersectar a recta que passa por e paralela hipotenusa do tringulo desenhado anteriormente. Seja um tal ponto de interseco (hduas possibilidades). Por e desenham-se paralelas aos catetos do referido tringulo. Obtemos,assim, um novo tringulo semelhante ao anterior, pelo que os catetos do segundo tringulo medem1 e 2 unidades.

x

2x

2

1

5

x 5 5

D

C

A

B


segmento unidade?

Resoluo

Consideremos a figura seguinte, onde =3. Comeamos por construir um tringulo equi-

ltero []. Depois, por , traamos uma recta perpendicular a []. Finalmente determinamos, o ponto de interseco das rectas e . Ento, = 3, devido ao facto de ser tan =

3.

Dividindo [] em trs partes iguais, obtemos um segmento de comprimento 1.

Note-se que esta questo pode ser resolvida de maneira anloga questo seguinte.

43

60

3

D

C

AB


segmento unidade?

ResoluoConsideremos a figura seguinte, onde =

14. Comeamos por marcar sobre uma recta trs

pontos , e , com entre e e com = 72. Desenhamos a circunferncia de dimetro[] e traamos por uma recta perpendicular a []. Seja um dos pontos de interseco dessaperpendicular com a circunferncia.Seguidamente, rodamos [] em torno de , de modo a obtermos [] paralelo a [ ].Por , desenhamos paralelas a [ ] e [], enquanto que, por , traamos uma paralela a

[].Os tringulos [] e [] so semelhantes, pelo que = 2 e = 7.Para obter um segmento unitrio, basta dividir [] em duas partes iguais.

Ao fim e ao cabo, comeamos por escolher um segmento de recta arbitrrio, o qual servir deunidade provisoriamente. Depois construimos um segmento de recta com o comprimento indicado(14), mas na unidade "provisria". Depois, atravs das semelhanas, construimos o segmento de

recta de comprimento 1, na uindade inicial.Note-se que, nos exemplos anteriores, podamos ter seguido este processo.



segmento unidade?

ResoluoComeamos por marcar, numa reta, trs pontos de modo que tenhamos um segmento de com-

primento e outro de comprimento 7, de modo que o segmento total ter comprimento 8. Peloponto mdio do segmento de comprimento 8, construmos uma circunferncia de raio 4. Depois,traamos uma perpendicular e vamos obter um segmento de reta com comprimento

7, como na

figura seguinte. Depois, por , traa-se uma reta paralela ao segmento de comprimento 7 e

desenha-se um arco de circunferncia de centro e que passa por . Ento, temos um novo seg-mento de reta de comprimento

7. Finalmente, por , traamos uma reta paralela hipotenusa

do tringulo de catetos e 7 e uma reta paralela ao dimetro da circunferncia assinalado na

figura, obtendo-se um segmento de comprimento 1.

x 7x

1

AB= 7

7

7

x 7

A

B

Exemplo 38 Suponhamos que temos um rectngulo em que dois lados medem 3 cm e 5 cm. Comopodemos obter um quadrado com a mesma rea do rectngulo?

ResoluoA rea do rectngulo 15 cm2. Ento, o lado do quadrado deve medir

15 cm.

Na figura seguinte, temos que [] um rectngulo, = 5cm e = 3 cm.Desenhou-se uma circunferncia de centro e que passa por . O ponto pertence recta

e circunferncia anterior, pelo que = 8 cm. o ponto mdio de [], embora se tenhaomitido a construo par obter . Seguidamente, desenhou-se a circunferncia de dimetro [].Esta ltima circunferncia intersecta a recta em dois pontos, um dos quais . A rea doquadrado de lado [ ] 15 cm2, rea esta que igual rea do rectngulo [].

45

Observe-se que o valor indicado para (na figura seguinte), um valor aproximado, tendo-seque 3 872 = 14 976 9, valor este que ligeiramente inferior a 15.Note-se, ainda, que =

15 cm 3 872 983 346 cm e que, embora a calculadora apresente o

valor 15 para 3 872 983 3462, esse valor no exacto.Registe-se que 3 872 983 3462 = 14 999999998393355716.

m BE = 3,00 cm m AB = 5,00 cm

m FB = 3,87 cm

G

H

DC

F

M EBA

Exemplo 39 Construa um quadrado cuja rea seja igual rea dum tringulo dado.

Resoluo

D

M

E

FA

B

C

o ponto mdio de [], a recta paralela a e perpendicular . A rea de[] igual rea do tringulo []. Depois, continuamos como no exemplo anterior, poisj temos um rectngulo.

Exemplo 40 Construa um quadrado cuja rea seja igual rea dum losango dado.


ResoluoConsideremos o losango [] da figura seguinte. A rea de [] igual rea do

rectngulo [ ] da figura seguinte. Ento, camos no problema anterior.

F EC

B D

A

Exemplo 41 Construa um quadrado cuja rea seja igual rea dum trapzio dado.

Resoluo

B

C

A

D

E H

FG

Exemplo 42 Construa um quadrado cuja rea seja igual rea dum octgono regular dado.

ResoluoComeamos por obter um paralelogramo e depois um rectngulo com a mesma rea do octgono.

Depois, basta encontrar um quadrado com a rea do rectngulo.

47

Exemplo 43 Construa um quadrado cuja rea seja igual rea dum pentgono regular dado.

Resoluo

Neste caso, construmos um trapzio e um rectngulo, ambos com a rea do pentgono. E, porfim, construimos o quadrado.

Exemplo 44 Construo duma recta que passa por um ponto e perpendicular a outra recta.

Resoluo

Consideremos um ponto e uma recta que no passa por . Com centro em , desenha-seuma circunferncia que intersecte a recta em dois pontos (neste caso e ). Depois, constri-sea mediatriz do segmento de recta []. Essa mediatriz passa por e perpendicular recta .


Se o ponto pertencer recta , basta desenhar uma circunferncia de centro e determinaros pontos de interseco da recta com a circunferncia. Esse pontos definem um segmento de rectacuja mediatriz passa por e perpendicular recta .

Exemplo 45 Construo duma recta que passa por um ponto e paralela a outra recta.

Resoluo 1

c3

c2

c1

F

E

A

D

B

C

49

Resoluo 2

H IF

F

E

DB

A

C

G

Exemplo 46 Construo dum quadrado dado um lado.

Resoluo

Dado o segmento [], marcamos um ponto , de modo que a circunferncia de centro e quepassa por intersecte num ponto . A recta intersecta a circunferncia num novo ponto. Como [] um dimetro da circunferncia, a amplitude do ngulo metade de 180 .Logo, . Intersectando a circunferncia de centro e que passa por com a recta ,obtemos o ponto .

Agora, construimos um losango [ ], desenhando duas circunferncias passando por , umade centro e outra de centro .

Como um dos ngulos recto, ento [ ] um quadrado.


G

F

E

DA

B

C

Captulo 4

A Trigonometria no TringuloRectngulo

Consideremos um ngulo agudo qualquer. Se marcarmos vrios pontos sobre um dos lados dongulo e, por cada um desses pontos, traarmos perpendiculares a esse ou ao outro lado, obtemosvrios tringulos rectngulos, todos semelhantes entre si.

Do facto dos tringulos [] [] [] e [ ] serem semelhantes, resulta que:

51

52 CAPTULO 4. A TRIGONOMETRIA NO TRINGULO RECTNGULO

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Os quocientes anteriores dependem apenas da amplitude do ngulo e so conhecidos por sin (ou

sen), cos e tan (ou tg), respectivamente, recebendo o nome genrico de razes trigonomtri-cas.Consideremos um tringulo rectngulo [], como na figura seguinte:

Neste caso, temos sin =

cos =

tan =

sin =

cos =

e tan =

, verificando-se que sin = cos e cos = sin. Os ngulos e , cuja soma um ngulo

recto, so ngulos complementares. Para alm das trs razes trigonomtricas indicadas, h outras

trs, as quais so dadas por cot =1

tan sec =

1

cose csc =

1

sin. Estas razes so a

cotangente, a secante e co-secante.

Proposio 47 Para qualquer ngulo agudo , temos:

tan =sin

cos sin = cos tan sin2+ cos2 = 1 1 + tan2 =

1

cos2

Exerccio 48 Determine a rea dum sector circular correspondente a um arco de 70.

ResoluoConsideremos, numa circunferncia de raio , um arco de 70.

53

A rea do sector circular, correspondente ao arco , calcula-se por meio da proporo (regra

de trs simples)360

2=70

, donde vem =

72

36.

Se trabalhssemos em radianos, teramos (para a rea do mesmo sector circular):2

2=

718

,

donde vem =2

2 718=72

36, obtendo-se o mesmo resultado, como era de esperar.

No caso de termos um ngulo ao centro de (radianos), a rea do sector circular ser dada por2

2.

Exerccio 49 Determine a rea dum tringulo definido por dois raios duma circunferncia de raio e uma corda correspondente a um arco de 70

ResoluoConsideremos, numa circunferncia de raio , um arco de 70 e os raios definidos pelos extremos

do arco e pelo centro da circunferncia, como na figura seguinte.

Pelo centro da circunferncia, traa-se uma recta perpendicular corda [].Esta recta divide a corda [] em duas partes iguais, tendo-se = , pelo que os tringulos

[] e [] so iguais. Ento:sin 35 =

cos 35 =

=

= sin 35

= cos 35 =

= 2 sin 35

= cos 35

Ento, a rea do tringulo 1

2 2 sin 35 cos 35 , ou seja,

2

2sin 70 .

No caso de termos um ngulo ao centro de (radianos), a rea do tringulo definido pela corda

e os dois raios ser dada por2

2sin.

Observe-se que o comprimento da corda, correspondente a um ngulo ao centro de amplitude, 2 sin

2.


Se quisermos a rea do segmento circular definido pela corda [] e pelo arco de circunferncia

, basta-nos calcular a diferena entre2

2 e

2

2sin, ou seja, a rea do segmento circular

correspondente a um arco de amplitude radianos 2

2( sin).

Exerccio 50 Determine a rea dum polgono regular de lados, inscrito numa circunferncia deraio .

ResoluoAntes de passarmos ao caso geral, consideremos vrios casos particulares, comeando pelo trin-

gulo equiltero.Consideremos a figura seguinte, onde [] um tringulo equiltero, o qual est dividido em

trs tringulos iguais.

Seja = = = .

J sabemos que a rea do tringulo [] 2

2sin

2

3, pelo que a rea do tringulo []

dada por 3 =32

2sin

2

3.

No caso do quadrado, vem 4 =42

2sin

2

4= 22.

55

Se considerarmos o quadrado como um losango com as diagonais iguais, vem 4 =2 2

2=

22.

No caso do pentgono regular, temos 5 =52

2sin

2

5.

E no caso do polgono regular de lados, vir =2

2sin

2

.

Logo, 6 = 32 sin2

6=3

223 e 12 = 62 sin

2

12= 32.

Exerccio 51 Determine a rea da estrela regular de cinco pontas, inscrita numa circunfernciade raio .

Resoluo

Consideremos o pentgono da figura seguinte:

J vimos que a rea do pentgono regular [] 52

2sin

2

5e que = 2 sin

5.

Mas, tan

5= tan b =

=

sin

5

. Ento, = sin

5tan

5.

Logo, a rea de [ ] dada por1

2 sin

5tan

5 2 sin

5= 2 sin2

5tan

5.

Ento, 52, a rea da estrela regular de cinco pontas :


52 =52

2sin

2

5 52 sin2

5tan

5= 52 sin

5cos

5 52 sin2

5tan

5

= 52 sin

5

cos

5 sin

5tan

5

= 52 sin

5

cos

5 sin

5 sin

5

cos 5

= 52 sin

5

cos 5

cos2

5 sin2

5

= 52 tan

5cos

2

5

Exerccio 52 Determine a rea das estrelas regulares de sete pontas, inscritas numa circunfernciade raio .

Resoluo

A rea do heptgono regular 7 =72

2sin

2

7.

Por outro lado, temos:

= 2 sin

7e tan

2

7= tan

b =

=

sin7. Ento, = sin 7 tan

2

7.

Logo, a rea do tringulo [] 12 2 sin

7 sin 7 tan

2

7, ou seja, 2 sin2

7tan

2

7.

Ento, a rea da estrela regular de sete pontas considerada :

73 =72

2sin

2

7 72 sin2

7tan

2

7=72

2 2 sin

7cos

7 72 sin2

7tan

2

7

= 72 sin

7

cos

7 sin

7tan

2

7

= 72 sin

7

cos

7 sin

7 sin

27

cos 27

= 72 sin

7

cos 27 cos

7 sin 7 sin 27cos 27

=72 sin

7cos 37

cos 27

57

Mas, conforme se pode ver na figura seguinte, existe uma outra estrela regular de sete pontas.

Para distinguir as duas estrelas, chamar-lhes-emos estrelas 73 e 72, respectivamente, porrazes bvias.

Neste ltimo caso, temos:

= 2 sin

7e tan

7= tan

b =

=

sin7.

Ento, = sin 7 tan

7, pelo que a rea do tringulo [] sin

7 sin 7 tan

7, ou

seja, 2 sin2 7 tan

7.

Ento, a rea da estrela regular de sete pontas considerada :

72 =72

2sin

2

7 72 sin2

7tan

7=72

2 2 sin

7cos

7 72 sin2

7tan

7

= 72 sin

7

cos

7 sin

7tan

7

= 72 sin

7

cos

7 sin

7 sin

7

cos 7

= 72 sin

7

cos2

7

sin2 7 cos 7

!= 72 tan

7cos

2

7

Exerccio 53 Determine a rea da estrela regular 94, inscrita numa circunferncia de raio .

Resoluo


Considerando a figura anterior, temos:

23 = 2 sin

9, e tan

3

9= tan

c3 = 3 = sin 9 .

Ento, = sin 9 tan3

9= sin 9 tan

3= 3 sin 9 .

Logo, a rea do tringulo [23] sin

93 sin 9 , ou seja, 2

3 sin2

9.

Ento, 94, a rea da estrela regular 94, dada por:

94 =92

2sin

2

9 92 sin2

9tan

3= 92 sin

9cos

9 92 sin2

9tan

3

= 92 sin

9

cos

9 sin

9 sin

3

cos 3

= 92 sin

9

cos 3

cos

9cos

3 sin

9sin

3

= 92 sin

9

cos 3cos9+

3

= 92 sin

9

cos 3 cos 4

9

Exerccio 54 Calcule a rea da estrela regular 2+1 inscrita numa circunferncia de raio .

Resoluo

Consideremos a figura seguinte:

59

12 = 2 sin

2+ 1 tan

( 1)2+ 1

= tanc2 = 2 = sin 2+1

Ento, = sin 2+1 tan( 1)2+ 1

. Seja , a rea do tringulo [12].

Ento, = sin

2+ 1 sin

2+ 1tan

( 1)2+ 1

.

Logo, = 2 sin2

2+ 1tan

( 1)2+ 1

.

Logo, 2+1, a rea da estrela regular 2+1 :

2+1 = (2+ 1)2

2sin

2

2+ 1 (2+ 1)2 sin2

2+ 1tan

( 1)2+ 1

= (2+ 1)2 sin

2+ 1cos

2+ 1 (2+ 1)2 sin2

2+ 1tan

( 1)2+ 1

= (2+ 1)2 sin

2+ 1

cos 2+ 1 sin 2+ 1 sin( 1)2+ 1

cos( 1)2+ 1

Ento,

2+1 =(2+ 1)2 sin

2+ 1

cos( 1)2+ 1

cos

2+ 1cos

( 1)2+ 1

sin 2+ 1

sin( 1)2+ 1

= (2+ 1)2 sin

2+ 1cos

2+ 1

cos( 1)2+ 1

Para = 2, = 3 e = 4, temos as frmulas obtidas anteriormente.


Se calcularmos , o limite da rea da estrela regular 2+1, inscrita numa circunferncia deraio , obtemos:

= lim(2+ 1)2 sin

2+ 1cos

2+ 1

cos( 1)2+ 1

= 2 limsin

2+ 1

2+ 1

limsin

2 2+ 1

sin

2 ( 1)

2+ 1

= 2 1 limsin

2 + 2

4+ 2

sin

2 + 2 + 2

4+ 2

= 2 lim sin

4+ 2

sin

3

4+ 2

= 23

O valor de no deixa de ser curioso, pois um tero da rea do crculo circunscrito estrela.

Exerccio 55 Considere um tringulo [], no qual temos = = 13 cm e = 10 cm.Determine:

1. A rea do tringulo.

2. O seno dos ngulos internos do tringulo.

Resoluo

1. Consideremos o tringulo da figura:

Seja o ponto mdio do lado []. Como = , temos que o tringulo [ ] rectngulo em . Aplicando o Teorema de Pitgoras, vem

2= 13252 = 144; ento, = 12,

pelo que a rea do tringulo [] 10 122


2. sin b = 12

13= sin

b

61

Seja , o p da perpendicular ao lado [] que passa por .

Ento,

2= 60, donde vem 13 = 120 cm.

Ento, =120

13cm. Logo, sin

b = 12013

13=120

169.

Exerccio 56 Considere um tringulo [], tal que = 5cm = 6cm e = 7 cm.Determine a rea e o seno dos ngulos internos do tringulo [].

ResoluoConsideremos o tringulo [] da figura:

o p da altura que passa por . Suponhamos que = cm e que = cm.Ento, = (7 ) cm. Aplicando o Teorema de Pitgoras aos tringulos [] e [],

temos:2 + 2 = 25

(7 )2 + 2 = 36

2 + 2 = 2549 14+ 2 + 2 = 36

2 + 2 = 2549 14+ 25 = 36

2 = 25 36149 = 197

2 = 86449 = 197

= 126

7 = 197

A rea do tringulo [] 12 126

7 7 cm2 = 66 cm2.

sin =126

7

5 =1235

6; sin =

126

7

6 =27

6

Seja , a altura referente ao vrtice . Ento, a rea do tringulo [] dada por 52 .

Logo, 66 = 52 , donde vem =

126

5 . Logo, sin =126

5

6 =25

6.

Fazendo = = = , temos:

sin

=

1235

6

6=2

35

6;sin

=

25

6

7=2

35

6;sin

=

27

6

5=2

35

6

Certamente que no ser por acaso que, neste exemplo, obtivemos

sin

=sin

=sin

Este exerccio bastante importante e pode ser resolvido por outras maneiras, sendo retomado

mais adiante.


Exerccio 57 Considere um tringulo [], tal que = 7cm = 8cm e = 9 cm.Determine a rea e o seno dos ngulos internos do tringulo [].

ResoluoConsideremos o tringulo [] da figura:

o p da altura que passa por . Suponhamos que = cm e que = cm.Ento, = (9 ) cm. Aplicando o Teorema de Pitgoras aos tringulos [] e [],

temos:2 + 2 = 49

(9 )2 + 2 = 64

2 + 2 = 4981 18+ 2 + 2 = 64

2 + 2 = 4981 18+ 49 = 64

2 + 2 = 4918 = 66

2 = 49 1219 = 113

2 = 3209 = 113

= 853

= 113

A rea do tringulo [] 12 853 9 cm2 = 12

5 cm2.

sin =85

3

7 =821

5; sin =

85

3

8 =13

5

Seja , a altura referente ao vrtice . Ento, a rea do tringulo [] dada por 72 .

Logo, 125 = 72 , donde vem =

245

7 . Logo, sin =245

7

8 =37

5.

Fazendo = = = , temos:

sin

=

821

5

8=

5

21;sin

=

37

5

9=

5

21;sin

=

13

5

7=

5

21

E mais uma vez obtivemos

sin

=sin

=sin

Captulo 5

reas e Volumes

Exerccio 58 Determine a rea dum paralelogramo, conhecidos os lados e um dos ngulos internos.

ResoluoConsideremos o paralelogramo da figura seguinte, onde :

sin =

= = sin. Ento, a rea do paralelogramo :

sin = cos tan = tan.Note-se que, num paralelogramo [], so vlidas as igualdades sin = sin = sin =

sin, pelo que a frmula que d a rea do paralelogramo pode ser aplicada, mesmo que o nguloseja obtuso. No entanto, se se tratar dum rectngulo, a frmula (com tan) no tem significado. claro que, nas frmulas anteriores, podemos utilizar outros pares de vectores.

Exerccio 59 Considere, em R2, os pontos = (1 2) = (3 0) e = (4 3).

1. Determine o ponto , de modo que [] seja um paralelogramo.

2. Determine a rea do paralelogramo anterior.

Resoluo

1. = + = (4 3) + (1 2) (3 0) = (2 5)

63

64 CAPTULO 5. REAS E VOLUMES

2. = (3 0) (1 2) = (22) = (2 5) (1 2) = (1 3) = (22) (1 3) = 2 6 = 4 = 8 = 10

Ento,

cos =4810 =

445= 1

5

Logo, 1 + tan2 = 5, donde se conclui que tan = 2, uma vez que o ngulo obtuso.Ento,

tan = 4 (2) = 8, que a rea do paralelogramo.

Observemos que h um outro processo de calcular a rea dum paralelogramo, o qual consisteem criar um terceiro eixo, de modo a considerarmos o paralelogramo em R3.Assim, em vez de

= (22) e = (1 3), consideramos = (22 0) e = (1 3 0) e

calculamos o chamado produto externo:

(22 0) (1 3 0) =1 2 32 2 01 3 0

= 1 2 03 0

2

2 01 0

+ 1

2 21 3

= 01 + 02 + 83 = (0 0 8)

A rea do paralelogramo a norma do vector (0 0 8), ou seja, 8.

Teorema 60 Teorema de Carnot (ou lei dos cosenos). Consideremos um tringulo [] qual-quer. Ento:

2=

2+

2 2 cosDemonstraoComecemos por observar que a igualdade anterior costuma ser escrita do seguinte modo:

2 = 2 + 2 2 cosAlm disso, o Teorema de Pitgoras um caso particular deste teorema (caso em que o ngulo

recto).

65

Como =

+

, temos:

2= =

+

+

= + + +

= 2+ 2 + 2

= 2+

2+ 2 cos

b

= 2+

2 2 cos

Problema 61 Considere o tringulo rectngulo [] da figura seguinte:

Suponhamos que = 3 cm e = 4cm. Determine o volume do slido que se obtm, quandoo tringulo d uma volta completa em torno de:

1. recta

2. recta

3. recta

Resoluo

1. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um cone (de rev-oluo) com 3 cm de altura e cuja base um crculo de 4 cm de raio. Ento, o volume do cone de 13 42 3 cm3, ou seja, o volume do cone de 16 cm3.

2. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um cone com 4 cm dealtura e cuja base um crculo de 3 cm de raio. Ento, o volume do cone de 13324 cm3,ou seja, o volume do cone de 12 cm3.

3. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um slido formadopor dois cones com a mesma base. A base comum dos cones um crculo cujo raio a alturado tringulo [], relativa ao lado [].

A rea do tringulo [] 342 cm2 = 6 cm2, sendo = 5 cm (aplicando o Teorema de

Pitgoras). Supondo que = cm, temos que 52 = 6, donde se conclui que =125 .

Suponhamos que = cm. Ento, = (5 ) cm. Logo, o volume do cone gerado pelotringulo [] , em cm3, dado por 1 = 13

125

2 = 4825.


O volume do cone gerado pelo tringulo [] dado por 2 = 13125

2 (5 ) = 4825 (5 )

Ento, o volume total dado por

= 1 + 2 =48

25+

48

25 (5 ) = 48

25 5 = 48

5

Observemos que no foi necessrio calcular e , para podermos calcular o volume total,embora seja necessrio calcul-los, se desejarmos saber os valores de 1 e 2.

Problema 62 Considere o tringulo rectngulo [] da figura seguinte:

Suponhamos que = cm e = cm e que [] []. Determine o volume do slidoque se obtm, quando o tringulo d uma volta completa em torno de:

1. recta

2. recta

3. recta

Resoluo

1. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um cone (de rev-oluo) com cm de altura e cuja base um crculo de cm de raio. Ento, o volume do cone de 13 2 cm3, ou seja, o volume do cone de

23 cm

3.

2. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um cone com cm dealtura e cuja base um crculo de cm de raio. Ento, o volume do cone de 132 cm3,ou seja, o volume do cone de

2

3 cm3.

3. Quando o tringulo d uma volta completa, em torno da recta , gera um slido formadopor dois cones com a mesma base. A base comum dos cones um crculo cujo raio a alturado tringulo [], relativa ao lado [].

A rea do tringulo [] 2 cm2, sendo =

2 + 2 cm (aplicando o Teorema de Pit-

goras). Supondo que = cm, temos que 2 =2 , donde se conclui que =

=

2+2

.

Suponhamos que = cm. Ento, = ( ) cm. Logo, o volume do cone gerado pelotringulo [] , em cm3, dado por 1 = 13 2.O volume do cone gerado pelo tringulo [] dado por 2 = 13 2 ( )Ento, o volume total dado por = 1 + 2 = 13 2+ 13 2 ( ) = 132.

67

Substituindo por 2+2

e por2 + 2, obtemos

=1

3

2 + 2

2p2 + 2 =

22

32 + 2

Problema 63 Considere o trapzio issceles da figura seguinte:

Suponha que = 30 cm, = 20 cm e = 60 . Determine o volume do slido que se obtm,quando o trapzio d uma volta completa em torno da:

1. mediatriz das bases do trapzio

2. recta

3. recta

Resoluo

1. Quando o trapzio d uma volta completa, em torno da mediatriz das bases, define um troncode cone em que as bases esto contidas em planos paralelos.

O volume desse tronco de cone pode ser obtido pela diferena entre os volumes dos conesgerados pelos tringulos [ ] e [].

Ora, tan =

=

= tan 60 =

15 cm=

10 cm=

= 15

3 cm

= 103 cm


Ento, o volume do cone gerado por [] , em cm3, dado por 1 = 13 100 103 e o

volume do cone gerado por [ ] , em cm3, dado por 2 = 13 225 153

O volume do tronco de cone , em cm3, dado por:

= 2 1 = 13 225 15

3 1

3 100 10

3 =

2375

3

3

2. Quando o trapzio d uma volta completa, em torno da recta , gera um slido formadopor um cilindro de revoluo (cujo raio a altura do trapzio e cuja altura ) e por doiscones de revoluo de alturas e e cujas bases so as bas

a matemática, da minha varandapedronoia.net/varandajulho2018.pdf · 26 ternos pitagóricos 495 ......

Documents