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  • Oficina: Quebra-cabeas Pitagricos Francisco Dutenhefner

    Objetivo: Apresentar algumas demonstraes do Teorema de Pitgoras que podem ser obtidas

    atravs da comparao de reas. Estas demonstraes do origem a alguns quebra-cabeas interessantes, que sero construdos e resolvidos na oficina.

    Utilizar estas demonstraes para fazer uma reviso de alguns conceitos matemticos tais como: semelhana e congruncia de tringulos, relaes mtricas no tringulo retngulo, construo com rgua e compasso.

    As atividades trabalhadas nesta oficina podero ser aproveitadas pelo professor em sua sala de aula, pois podem ser trabalhadas como divertidos quebra-cabeas pelos alunos.

    Dinmica de desenvolvimento: Sero distribudas folhas de papel para cada um dos participantes recortar as peas e

    tentar resolver o quebra-cabea proposto. Aps todos os participantes conseguirem montar uma soluo para o quebra-cabea

    proposto, chega-se ao momento da formalizao: os critrios de corte das peas sero caracterizados e a demonstrao de que elas se encaixam perfeitamente para dar a soluo do problema proposto tambm ser apresentada.

    Ao final de cada atividade, os participantes sero convidados a identificar os objetivos, as concluses, quais contedos matemticos foram abordados e quais so os pr-requisitos necessrios para que eles utilizem estas atividades em suas salas de aula.

    Um desafio para motivar a sua participao na oficina:

    A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um quadrado 8x8 em quatro partes que podem ser rearrumadas para formar um retngulo. Agora observe que o quadrado tem rea igual a 8 x 8 = 64, e o retngulo tem rea igual a 13 x 5 = 65. Curioso, no ?

    De onde apareceu esta unidade extra de rea?

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  • Atividades iniciais: (folha 1)

    Enuncie no quadro abaixo o Teorema de Pitgoras:

    O Teorema de Pitgoras possui vrias demonstraes. Elas so classificadas como geomtricas (baseadas em comparaes de reas) e algbricas (baseadas nas relaes mtricas nos tringulos retngulos). Vejamos trs demonstraes geomtricas: calcule as reas de cada uma das figuras abaixo de duas maneiras diferentes, iguale as expresses encontradas, e observe a relao de Pitgoras.

    Utilize este espao para redigir estas trs demonstraes:

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  • Atividades iniciais: (folha 2)

    Nesta atividade, estaremos trabalhando com uma demonstrao algbrica do Teorema de Pitgoras: a altura relativa hipotenusa de um tringulo retngulo o divide em dois tringulos, que juntamente com o original, formam trs tringulos semelhantes. Observe como isto est ilustrado nas figuras a seguir.

    A construo desses tringulos semelhantes pode ser realizada concretamente, recortando uma folha de papel A4 ao meio, pela diagonal, e depois recortando um dos tringulos obtidos na altura relativa a hipotenusa.

    Escreva as razes de proporcionalidade destes trs tringulos e, a partir delas, apresente uma demonstrao do Teorema de Pitgoras.

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  • Atividade 1:

    O Teorema de Pitgoras possui a seguinte interpretao geomtrica: a soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos de um tringulo retngulo igual rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa desse tringulo.

    Na figura ao lado a rea amarela somada com a rea azul igual rea verde.

    Uma outra maneira de experimentar este fato mostra que possvel dividir os dois quadrados construdos sobre aos catetos de um tringulo retngulo em algumas peas que podem ser reorganizadas para formar o quadrado construdo sobre a hipotenusa desse tringulo.

    De fato isso possvel !

    A figura ao lado mostra uma maneira de dividir os quadrados construdos sobre os catetos em 5 peas que podem ser perfeitamente encaixadas sobre o quadrado construdo sobre a hipotenusa desse tringulo.

    Parte 1: Recortar as 5 peas da figura da prxima pgina e tentar encaixa-las sobre o quadrado construdo sobre a hipotenusa do tringulo retngulo do centro da figura.

    Parte 2: Depois de resolver este quebra-cabea, procure justificar formalmente sua soluo, mostrando que as peas se encaixam perfeitamente sobre o quadrado maior. Para isto importante que as propriedades das linhas de corte dos quadrados construdos sobre os catetos sejam identificadas.

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  • Atividade 2:

    A atividade anterior pode ser modificada para dar origem a um outro quebra-cabea.

    Aqui, vamos explorar o fato de que quaisquer dois quadrados podem ser cortados em 5 pedaos de tal forma que estes cinco pedaos podem ser organizados para formar um novo quadrado. A figura abaixo ilustra como esse corte deve ser feito.

    Parte 1: Recortar a figura da prxima pgina em 5 peas e tentar arranja-las para formar um quadrado.

    Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, as linhas pontilhadas j estavam desenhadas. Identifique qual deve ser o critrio para desenha-las que permite que este quebra-cabea tenha soluo.

    Parte 3: Identifique de que maneira este quebra-cabea pode fornecer uma demonstrao para o Teorema de Pitgoras.

    Parte 4: Agora a hora de justificar este quebra-cabea. Demonstre que realmente as cinco peas da figura acima podem ser encaixadas de tal forma que elas formam um quadrado.

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  • Atividade 3:

    Observando a resoluo da atividade 2, caso ela j tenha sido encontrada, observa-se que o quebra-cabea enunciado naquela atividade pode ser simplificado para um de apenas trs peas.

    Deste modo, aqui estaremos explorando o fato de que dois quadrados quaisquer podem ser decompostos em trs peas, que se adequadamente encaixadas, formam um quadrado. A figura abaixo ilustra como os dois quadrados (da esquerda) devem ser recortados nestas trs peas (da direita).

    Parte 1: Recortar a figura da prxima pgina em 3 peas e tentar arranja-las para formar um quadrado.

    Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, as linhas de corte j estavam desenhadas. Identifique qual deve ser o critrio para desenha-las que permite que este quebra-cabea tenha soluo.

    Parte 3: Identifique de que maneira este quebra-cabea pode fornecer uma demonstrao para o Teorema de Pitgoras.

    Parte 4: Tente justificar formalmente que o critrio identificado na Parte 2 permite que um quadrado pode ser formado a partir das 3 peas recortadas.

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  • Atividade 4:

    O objetivo desta atividade resgatar o enunciado original do Teorema de Pitgoras: a soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos de um tringulo retngulo igual rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa deste tringulo.

    Nas figuras abaixo temos, esquerda, um tringulo retngulo e os trs quadrados construdos sobre os seus lados e, direita, uma ilustrao de como podemos recortar os dois quadrados construdos sobre os catetos (um em 4 peas e o outro em apenas uma pea) de modo que estas cinco peas podem ser perfeitamente encaixadas sobre o quadrado construdo sobre a hipotenusa.

    Parte 1: Recortar as cinco peas indicadas na figura da prxima pgina, e tentar encaixa-las sobre o quadrado maior, construdo sobre a hipotenusa do tringulo retngulo.

    Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, j estava indicada de que maneira o quadrado construdo sobre um dos catetos do tringulo deveria ser dividido em 4 partes. Procure identificar as propriedades das linhas de corte deste quadrado.

    Parte 3: Tente justificar formalmente que o critrio identificado na Parte 2 implica que as cinco peas deste quebra-cabea vo se encaixar perfeitamente sobre o quadrado construdo sobre a hipotenusa do tringulo.

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  • Atividade 5:

    O objetivo desta atividade mostrar que uma demonstrao matemtica no pode ser dada exclusivamente atravs da interpretao de uma ilustrao. Algum tipo de formalismo sempre necessrio.

    Parte 1: A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um quadrado 8x8 em quatro partes que podem ser rearrumadas para formar um retngulo. Agora observe que o quadrado tem rea igual a 8 x 8 = 64, e o retngulo tem rea igual a 13 x 5 = 65.

    De onde apareceu esta unidade extra de rea?

    Parte 2: A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um tringulo em 4 peas que podem ser rearrumadas (sem sobreposio), dentro do prprio tringulo, mas deixando uma unidade de rea descoberta.

    Como isto possvel?

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  • Solues e formalizaes das construes:

    Atividade 1: soluo

    Uma possvel soluo para o quebra-cabea propostoest ilustrada na figura ao lado. Observe que, nesta soluo, a pea 3 foi apenas transladada enquanto que todas as outras alm de serem transladadas tambm foram rodadas.

    Vamos agora identificar o critrio de corte das pease apresentar uma demonstrao de que a soluoaqui apresentada est correta.

    Atividade 1: critrio de corte das peas

    Considere um tringulo retngulo ABC.Construa sobre os seus lados quadradosABDE, BCHI e AFGC. Os pontos P, Q e R, quedefinem o corte das peas deste quebra-cabea, so tais que os pontos G, C e P so colineares,os pontos F, A e R so colineares e as retasPQ e PC so perpendiculares.

    Atividade 1: demonstrao

    Prolongue as retas PQ e AR at elas seencontrarem num ponto J. Obtemos assim umparalelogramo ACPJ. Da congruncia dos tringulosABC e PHC conclumos, de fato, que este paralelogramo um quadrado congruente ao quadrado AFGC. Deste modo, para resolvermos o quebra-cabea proposto basta mostrarmos que as suas cinco peas se encaixam perfeitamente no quadrado ACPJ ao invs do AFGC.

    A pea 3, o quadriltero BCPQ, no ser movido. Alm disso, da congruncia entre os tringulos ABC e PHC, podemos mover a pea 5 para el