Oficina: Quebra-cabeças Pitagóricos Francisco Dutenhefner

Objetivo: • Apresentar algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras que podem ser obtidas

através da comparação de áreas. Estas demonstrações dão origem a alguns quebra-cabeças interessantes, que serão construídos e resolvidos na oficina.

• Utilizar estas demonstrações para fazer uma revisão de alguns conceitos matemáticos tais como: semelhança e congruência de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, construção com régua e compasso.

• As atividades trabalhadas nesta oficina poderão ser aproveitadas pelo professor em sua sala de aula, pois podem ser trabalhadas como divertidos quebra-cabeças pelos alunos.

Dinâmica de desenvolvimento: • Serão distribuídas folhas de papel para cada um dos participantes recortar as peças e

tentar resolver o quebra-cabeça proposto.• Após todos os participantes conseguirem montar uma solução para o quebra-cabeça

proposto, chega-se ao momento da formalização: os critérios de corte das peças serão caracterizados e a demonstração de que elas se encaixam perfeitamente para dar a solução do problema proposto também será apresentada.

• Ao final de cada atividade, os participantes serão convidados a identificar os objetivos, as conclusões, quais conteúdos matemáticos foram abordados e quais são os pré-requisitos necessários para que eles utilizem estas atividades em suas salas de aula.

Um desafio para motivar a sua participação na oficina:

A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um quadrado 8x8 em quatro partes que podem ser rearrumadas para formar um retângulo. Agora observe que o quadrado tem área igual a 8 x 8 = 64, e o retângulo tem área igual a 13 x 5 = 65. Curioso, não é?

De onde apareceu esta unidade extra de área?

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Atividades iniciais: (folha 1)

Enuncie no quadro abaixo o Teorema de Pitágoras:

O Teorema de Pitágoras possui várias demonstrações. Elas são classificadas como “geométricas” (baseadas em comparações de áreas) e “algébricas” (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos). Vejamos três demonstrações geométricas: calcule as áreas de cada uma das figuras abaixo de duas maneiras diferentes, iguale as expressões encontradas, e observe a relação de Pitágoras.

Utilize este espaço para redigir estas três demonstrações:

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Atividades iniciais: (folha 2)

Nesta atividade, estaremos trabalhando com uma demonstração algébrica do Teorema de Pitágoras: a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo o divide em dois triângulos, que juntamente com o original, formam três triângulos semelhantes. Observe como isto está ilustrado nas figuras a seguir.

A construção desses triângulos semelhantes pode ser realizada concretamente, recortando uma folha de papel A4 ao meio, pela diagonal, e depois recortando um dos triângulos obtidos na altura relativa a hipotenusa.

Escreva as razões de proporcionalidade destes três triângulos e, a partir delas, apresente uma demonstração do Teorema de Pitágoras.

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Atividade 1:

O Teorema de Pitágoras possui a seguinte interpretação geométrica: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo.

Na figura ao lado a área amarela somada com a área azul é igual à área verde.

Uma outra maneira de experimentar este fato é mostra que é possível dividir os dois quadrados construídos sobre aos catetos de um triângulo retângulo em algumas peças que podem ser reorganizadas para formar o quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo.

De fato isso é possível !

A figura ao lado mostra uma maneira de dividir os quadrados construídos sobre os catetos em 5 peças que podem ser perfeitamente encaixadas sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa desse triângulo.

Parte 1: Recortar as 5 peças da figura da próxima página e tentar encaixa-las sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa do triângulo retângulo do centro da figura.

Parte 2: Depois de resolver este “quebra-cabeça”, procure justificar formalmente sua solução, mostrando que as peças se encaixam perfeitamente sobre o quadrado maior. Para isto é importante que as propriedades das linhas de corte dos quadrados construídos sobre os catetos sejam identificadas.

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Atividade 2:

A atividade anterior pode ser modificada para dar origem a um outro quebra-cabeça.

Aqui, vamos explorar o fato de que quaisquer dois quadrados podem ser cortados em 5 pedaços de tal forma que estes cinco pedaços podem ser organizados para formar um novo quadrado. A figura abaixo ilustra como esse corte deve ser feito.

Parte 1: Recortar a figura da próxima página em 5 peças e tentar arranja-las para formar um quadrado.

Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, as linhas pontilhadas já estavam desenhadas. Identifique qual deve ser o critério para desenha-las que permite que este quebra-cabeça tenha solução.

Parte 3: Identifique de que maneira este quebra-cabeça pode fornecer uma demonstração para o Teorema de Pitágoras.

Parte 4: Agora á a hora de justificar este “quebra-cabeça”. Demonstre que realmente as cinco peças da figura acima podem ser encaixadas de tal forma que elas formam um quadrado.

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Atividade 3:

Observando a resolução da atividade 2, caso ela já tenha sido encontrada, observa-se que o quebra-cabeça enunciado naquela atividade pode ser simplificado para um de apenas três peças.

Deste modo, aqui estaremos explorando o fato de que dois quadrados quaisquer podem ser decompostos em três peças, que se adequadamente encaixadas, formam um quadrado. A figura abaixo ilustra como os dois quadrados (da esquerda) devem ser recortados nestas três peças (da direita).

Parte 1: Recortar a figura da próxima página em 3 peças e tentar arranja-las para formar um quadrado.

Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, as linhas de corte já estavam desenhadas. Identifique qual deve ser o critério para desenha-las que permite que este quebra-cabeça tenha solução.

Parte 3: Identifique de que maneira este quebra-cabeça pode fornecer uma demonstração para o Teorema de Pitágoras.

Parte 4: Tente justificar formalmente que o critério identificado na Parte 2 permite que um quadrado pode ser formado a partir das 3 peças recortadas.

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Atividade 4:

O objetivo desta atividade é resgatar o enunciado original do Teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa deste triângulo.

Nas figuras abaixo temos, à esquerda, um triângulo retângulo e os três quadrados construídos sobre os seus lados e, à direita, uma ilustração de como podemos recortar os dois quadrados construídos sobre os catetos (um em 4 peças e o outro em apenas uma peça) de modo que estas cinco peças podem ser perfeitamente encaixadas sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa.

Parte 1: Recortar as cinco peças indicadas na figura da próxima página, e tentar encaixa-las sobre o quadrado maior, construído sobre a hipotenusa do triângulo retângulo.

Parte 2: Na figura utilizada na Parte 1 desta atividade, já estava indicada de que maneira o quadrado construído sobre um dos catetos do triângulo deveria ser dividido em 4 partes. Procure identificar as propriedades das linhas de corte deste quadrado.

Parte 3: Tente justificar formalmente que o critério identificado na Parte 2 implica que as cinco peças deste quebra-cabeça vão se encaixar perfeitamente sobre o quadrado construído sobre a hipotenusa do triângulo.

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Atividade 5:

O objetivo desta atividade é mostrar que uma demonstração matemática não pode ser dada exclusivamente através da interpretação de uma ilustração. Algum tipo de formalismo sempre é necessário.

Parte 1: A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um quadrado 8x8 em quatro partes que podem ser rearrumadas para formar um retângulo. Agora observe que o quadrado tem área igual a 8 x 8 = 64, e o retângulo tem área igual a 13 x 5 = 65.

De onde apareceu esta unidade extra de área?

Parte 2: A figura abaixo ilustra a possibilidade de se dividir um triângulo em 4 peças que podem ser rearrumadas (sem sobreposição), dentro do próprio triângulo, mas deixando uma unidade de área descoberta.

Como isto é possível?

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Soluções e formalizações das construções:

Atividade 1: solução

Uma possível solução para o quebra-cabeça propostoestá ilustrada na figura ao lado. Observe que, nesta solução, a peça 3 foi apenas transladada enquanto que todas as outras além de serem transladadas também foram rodadas.

Vamos agora identificar o critério de corte das peçase apresentar uma demonstração de que a soluçãoaqui apresentada está correta.

Atividade 1: critério de corte das peças

Considere um triângulo retângulo ABC.Construa sobre os seus lados quadradosABDE, BCHI e AFGC. Os pontos P, Q e R, quedefinem o corte das peças deste quebra-cabeça, são tais que os pontos G, C e P são colineares,os pontos F, A e R são colineares e as retasPQ e PC são perpendiculares.

Atividade 1: demonstração

Prolongue as retas PQ e AR até elas seencontrarem num ponto J. Obtemos assim umparalelogramo ACPJ. Da congruência dos triângulosABC e PHC concluímos, de fato, que este paralelogramo é um quadrado congruente ao quadrado AFGC. Deste modo, para resolvermos o quebra-cabeça proposto basta mostrarmos que as suas cinco peças se encaixam perfeitamente no quadrado ACPJ ao invés do AFGC.

A peça 3, o quadrilátero BCPQ, não será movido. Além disso, da congruência entre os triângulos ABC e PHC, podemos mover a peça 5 para ela se encaixar sobre o triângulo ABC.

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Precisamos agora mostra que as peças 1, 2 e 4 se encaixam perfeitamente sobre o triângulo AQJ. Para fazer isso, vamos primeiramente mostra que os pontos E, D e J estão alinhados. De fato, se α é o ângulo do vértice A e β é o ângulo do vértice C do triângulo ABC, relembrando que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90o e observando os ângulos retos já existentes, podemos calcular vários ângulos da figura ao lado.

Agora ligue os pontos E e J, e considere o triângulo EAJ.Pelo caso LAL (EA=AB, ang(EAJ)=ang(BAC) e AJ=AC), obtemos a congruência entre os triângulos AEJ e ABC. Isto implica que o ângulo do vértice E do triângulo EAJ é reto. Logo a reta EJ é perpendicular a reta EA, e portanto os pontos E, D e J são colineares.

Por J agora passe uma reta perpendicular à reta AI. Chamede S a interseção destas duas retas. Considerando os paralelismos envolvidos e o fato de que JS=AB, fica demonstrada a congruência entre os triângulos RBA e QSJ.Deste modo a peça 2 do quebra-cabeça proposto se encaixa perfeitamente sobre o triângulo QSJ.

Falta então somente demonstrarmos que as peças 1 e 4 seencaixam sobre o triângulo ASJ. Como os triângulosASJ e JEA são claramente congruentes, então precisamos demonstrar que as peças 1 e 4 se encaixam sobre o triângulo JEA ao invés do triângulo ASJ. Mas para fazer isto bastademonstrarmos que a peça 4 se encaixa sobre o triânguloRDJ, ou seja, precisamos mostrar que os triângulos QIP e RDJ são congruentes.

Já sabemos que estes dois triângulos possuem os mesmos ângulos internos. Para estabelecer esta congruência basta mostrarmos que eles possuem um par de lados correspondentes congruentes. De fato temos que os segmentos IP e DJ possuem o mesmo comprimento, poisIP = IH - PH = BC – AB e DJ = EJ - ED = BC – AB (lembre-se de que os triângulos PHC e AEJ são ambos congruentes ao triângulo ABC). Portanto os triângulos QIP e RDJ são, de fato congruentes o que implica que a 4 se encaixa perfeitamente no triângulo RDJ.

Isto termina a demonstração.

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Atividade 2: solução

Uma possível solução para o quebra-cabeça propostoestá ilustrada na figura ao lado. Observe que, nesta solução, as peças 2 e 3 não precisaram ser mexidas, a peça 5 sofreuuma rotação ao redor de um de seus vértices e as peças1 e 4 não foram separadas: juntas elas constituem um triângulo que apenas girou ao redor de um de seus vértices.

Vamos agora identificar o critério de corte das peçase apresentar uma demonstração de que a soluçãoaqui apresentada está correta.

É interessante compararmos as soluções dadas aqui para as atividades 1 e 2. Elas são completamente semelhantes.

Isto porque, na atividade 1, as peças 1 e 2 podem sermovidas para que, unidas com as peças 3, 4 e 5, elas formarem a posição inicial do quebra-cabeça proposto

na atividade 2.

Atividade 2: critério de corte das peças

Sejam dados dois quadrados: ABCD, de lado, a e DEFG, de lado b. O ponto P que define o corte das peças deste quebra-cabeça é determinado de tal modo que AP=b, o que implica imediatamente que PE=a.

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Atividade 2: demonstração

Pelo critério de corte, vemos que os triângulos retângulos ABP e EPF são congruentes, ambos com um cateto de medida a e o outro cateto de medida b. Seja c a medida comum das hipotenusas destes triângulos. Desta congruência, e da maneira como a figura é formada, temos que o ângulo ang(BPF) é reto.

Na figura formada pelos quadrados ABCD e DEFG, construa um triângulo BCQ, congruente ao triângulo BAP, sobre o lado BC do quadrado de lado a. Depois disso ligue os pontos Q e F.

Obtemos assim o quadrilátero BQFP. Vamos mostrar que ele é um quadrado e que as peçasdo quebra-cabeça proposto se encaixam perfeitamente sobre ele.

Por enquanto, sobre este quadrilátero, sabemosque FP = PB = BQ = c e que ele tem ângulo retono vértice P.

As peças 2 e 3 não precisam ser mexidas. Já a peça 5 se encaixa, por construção, sobre o triângulo BCQ. Vamos mostrar agora que ostriângulos FEP e FGQ são congruentes. De fato, esta congruência é válida pois o triângulo FGQ é retângulo, possui um cateto FG de medida b e o outro cateto de medida QG = QC + CG = QC + (CD – GD) = b + (a – b) = a.

Desta congruência vemos que as peças 1 e 4 se encaixam perfeitamente sobre o triângulo FGQ e que a medida do lado FQ é c. Deste modo o quadrilátero BQFP possui todos os seus lados de mesma medida, além de possuir um ângulo reto. Isto implica que este quadrilátero é, de fato, um quadrado, como queríamos demonstrar.

Observação: esta atividade demonstra o Teorema de Pitágoras pois mostramos que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos a e b de um triângulo retângulo (quadrado ABCD e DEFG) é igual a área do quadrado construído sobre a sua hipotenusa c (quadrado BQFP). Logo a2 + b2 = c2.

Atividade 3:

Esta atividade é apenas uma simplificação da anterior. A figura abaixo ilustra, de uma outra maneira, o critério de corte das peças.

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Atividade 4: solução

Uma possível solução para o quebra-cabeça propostoestá ilustrada na figura ao lado. Observe que, nesta solução, todas as peças foram simplesmente transladadas; nenhumprecisou ser refletida ou girada.

Vamos agora identificar o critério de corte das peçase apresentar uma demonstração de que esta soluçãoestá correta.

Atividade 4: critério de corte das peças

Considere um triângulo retângulo ABC.Construa sobre os seus lados quadradosABDE, BCHI e AFGC. Seja M o centro do quadradoBCHI, ou seja, M é a interseção das diagonais destequadrado. Os pontos P, Q, R e S, quedefinem o corte do quadrado BCHI nas peças 1, 2, 3 e 4,são tais os segmentos PQ e RS são paralelos aoslados do quadrado AFGC, construído sobre a hipotenusado triângulo inicial. A peça 5 é simplesmente oquadrado ABDE.

Atividade 4: demonstração

Pelo critério de corte das peças, vemos que os segmentosPQ e RS são perpendiculares. Deste modo, as peças 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo reto no vértice M.

Vamos mostrar, inicialmente que M é o ponto médio dos segmentosPQ e RS, e também que estes dois segmentos são congruentes.De fato, sejam X e Y pontos tais que os segmentos XM e YM sãoperpendiculares aos lados BI e BC, respectivamente, do quadradoBCHI. Pelo caso ALA obtemos a congruência dos triângulosMYP e MXS: ambos são triângulos retângulos, XM=YP pois estessegmentos são iguais a metade do lado do quadrado BCHI e osângulos ang(YMP) e ang(XMS) são congruentes pois ambos sãoos complementares do ângulo ang(SMY). Desta congruência concluímos que MP=MS.

Com um raciocínio análogo, podemos mostrar que MP=MQ=MR=MS. Portanto M é o ponto médio dos segmentos congruentes PQ e RS.

Agora, na figura anterior, onde foram definidos os critérios de corte das peças, vemos que o quadrilátero ACRS é um paralelogramo (pois seus lados opostos são paralelos). Isto implica

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que o segmento RS e AC possuem a mesma medida. Do que falamos acima, podemos concluir agora que os segmentos MP, MQ, MR e MS todos são iguais a metade do lado do quadrado AFGC.

O fato dos segmentos MP, MQ, MR e MS serem iguais a metade do lado do quadrado AFGC, e o fato das peças 1, 2, 3 e 4 possuírem ângulo reto no vértice M, implicamque estas quatro peças podem ser deslocadas sobre oquadrado AFGC, para se encaixarem perfeitamente, do modo como está ilustrado na figura ao lado. Assim, mostramos que as peças 1, 2, 3 e 4 cobrem todo o quadrado AFGC, exceto por um quadrilátero central, que possui, claramente, somente ângulos retos. Para terminar esta demonstração, precisamos mostrar que este quadrilátero central é igual a peça 5 deste quebra cabeça, ou seja, que ele é igual ao quadrado ABDE.

Para fazer isso vamos calcular o lado TU deste quadrilátero central (veja figura ao lado). Relembrando queo quadrilátero ACRS é um paralelogramo, temos queCR=AS. Deste modo, podemos escrever a seguinte sequencia de igualdades:

TU = TV – UV = CR – BS = AS – BS = AB.

De modo análogo podemos provar que todos os ladosdo quadrilátero central, em questão, são iguaisaos lados do quadrado ABDE. Isto demonstra que a peça5 encaixa-se perfeitamente sobre o quadrado central, entre as peças 1, 2, 3 e 4, para formar uma configuraçãoque resolve o quebra-cabeça proposto.

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Atividade 5 – Parte 1: solução

A figura ao lado ilustra, de acordo com o enunciado destaatividade, o quadrado 8x8 dividido em quatro peças: dois triângulos retângulos congruentes 1 e 2, e dois trapézios congruentes 3 e 4.

Estas quatro peças podem ser movidas e colocadas dentro deum retângulo 13x5. Entretanto elas não preenchem completamente este retângulo. Fica faltando um paralelogramobem comprido e magrinho (veja a figura abaixo). De fato a áreadeste paralelogramo pode ser calculada como a área do quadrado 8x8 (igual a 64) menos a área do retângulo 13x5 (igual a 65). Portanto a área deste paralelogramo é igual a 1, ou seja, ela é a área extra que, misteriosamente, tinha aparecido na “falsa” montagem proposta nesta atividade.

Para justificarmos o que acabamos de falar devemos provar que os pontos A, C, F e E, da figura abaixo, não estão alinhados: de fato, no triângulo ABC, podemos calcular a tangente do ângulo CAB ˆ como sendo 3/8, e no triângulo ADE, cujo lado AE não está desenhado,

podemos calcular a tangente do ângulo EAD ˆ como sendo 5/13. Como 3/8 é menor do que 5/13, vemos que o ponto C está um pouco acima da reta que liga os pontos A e E (esta reta não está ilustrada na figura). Do mesmo modo podemos demonstrar que o ponto F está um abaixo do segmento AE. Portanto os pontos E, C, F e A não estão alinhados, constituindo assim os vértices de um quadrilátero. Como este quadrilátero possui lados opostos paralelos, vemos que ele é, de fato, um paralelogramo. Isto demonstra a existência do paralelogramo, dentro do retângulo 13x5 que não está coberto pelas peças 1, 2, 3 e 4.

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Atividade 5 – Parte 2: solução

Nesta atividade, havia sido proposta uma divisão do triângulo retângulo ABC, de catetos 13 e 5, em quatro peças, como no corte ilustrado abaixo:

Segundo o critério de corte estipulado, a peça 1 é um triângulo retângulo de catetos 5 e 2, a peça 2 é um triângulo retângulo de catetos 8 e 3, enquanto que as peças 3 e 4 são congruentes entre si.

Entretanto, esta decomposição é impossível, pois os pontos A, D e B não estão alinhados. De fato, no triângulo DAE, a tangente do ângulo EAD ˆ é igual a 5/2, enquanto que no triângulo

BAC, a tangente do ângulo CAB ˆ é igual a 13/5. Como 5/2 é menor do que 13/5, vemos que o ponto D está abaixo do segmento AB. Logo os pontos A, D e B não estão alinhados.

Deste modo, estas quatro peças cobrem apenas parcialmente o triângulo original ABC: fica faltando o triângulo BAD.

Por outro lado, na outra figura proposta na atividade, as peças 1, 2, 3 e 4 foram arrumadas de uma outra maneira, aparentemente sobre o triângulo ABC, mas deixando uma unidade de área descoberta. De fato isto não ocorre, pois naquela figura as quatro peças cobrem uma área fora do triângulo ABC: o triângulo ABT ilustrado abaixo (do mesmo modo como provamos que o ponto D está abaixo do segmento AB, podemos mostrar que o ponto T está acima do segmento AB).

Isto explica a aparente contradição ilustrada nesta atividade.Páginas interessantes na internet:

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Para utilizar as atividades das páginas indicadas abaixo, não é necessário que você tenha nenhum programa especial instalado no computador.

Na página http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ23/pitagoras.htmlexistem modelos dinâmicos para alguns quebra-cabeças semelhantes aos trabalhados nesta oficina: as peças podem ser movimentadas facilmente através do mouse. Alem disso, visitando somente http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/sugest.htm você vai encontrar atividades matemática extremamente interessantes. Algumas delas dedicadas a demonstrações interativas ou generalizações do Teorema de Pitágoras.

Já na páginahttp://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.htmla demonstração original do livro “Os Elementos” aparece em uma versão interativa.

Na páginahttp://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtmlpode-se encontrar mais de 70 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras, quase todas iterativas.

A página http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/geometry/hinge.html contém uma versão dinâmica para a atividade 3 proposta nesta oficina.

Na página http://home.quicknet.nl/mw/prive/wil.laan/transformations/transformations.html a atividade 5, aqui proposta, pode ser visualizada dinamicamente. Esta página ainda ilustra outros quebra-cabeças interessantes, tais como: é possível dividir um quadrado em cinco peças que se, adequadamente arrumadas, dão origem a um triângulo eqüilátero.

O texto desta oficina está disponível em www.mat.ufmg.br/~chico.

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