a irreverssibilidade temporal

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS – UNISINOS

CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA

Jackson Galvão Barbosa

A IRREVERSIBILIDADE DO TEMPO

São Leopoldo

2010



Jackson Galvão Barbosa

A IRREVERSIBILIDADE DO TEMPO

Monografia apresentada à Universidade do

Vale do Rio dos Sinos como requisito parcial

para a obtenção do título de Licenciado em

Física.

Orientador: Professor Dr. Martin Fleck

São Leopoldo

2010



Dedico este trabalho ao meu

avô Silvio, que em muitos

momentos foi como um pai

para mim, a quem toda afamília Galvão sente saudades

e que deixa exemplo de

hombridade e honestidade

incomparáveis... minhas

saudades.



AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por me dar a saúde e a coragem de seguir em frente emtodos os momentos difíceis, a nunca me faltar o pão de cada dia, e as grandes pessoas que

colocou em meu caminho, aos quais sou imensamente grato por fazerem desta trajetória:

Ao professor Fernando Haas, por seu conhecimento e que dentre as aulas, uma deu

origem a idéia inicial deste trabalho.

Professor Carmo Heinemann, pelas oportunidades na monitoria da Física e por seu

exemplo de ética e compromisso.

Professor Armindo Cassol, pelas inesquecíveis aulas de cálculo, por sua paixão pelamatemática a qual é contagiante e motivadora... por ampliar os meus horizontes, dignando-se um

verdadeiro Mestre.

Ao Professor Martin Fleck, pela disponibilidade em orientar este trabalho, onde tenho a

certeza, muito haveria contribuído não fosse minha própria falta de tempo.

A Flavia, por ser quem és..., por existir... e ficar eternamente em meu coração.

A minhas tias, Eunice e Priscila, por todo o amor amizade e carinho... pelo apoio

incondicional em todos os momentos e puxadas de orelha nas horas certas.

Ao meu tio Galvão, a quem a saudade sempre me faz lembrar dos bons tempos.

Ao Fábio e seu pai Alvinho1, por serem verdadeiros amigos cujo tempo e o espaço não

serão suficientes para romper a amizade.

Ao Gabriel, pelos longos anos de amizade verdadeira.

A todos os colegas da Unisinos com quem convivi ao longo desta jornada acadêmica,

onde tenho receio de faltar com algum nome, mas que sem dúvida, não poderiam faltar, Luiz

Bacon, Fabiano Hollweg, Fabiano Pedroso, Diomar Sbardelotto, Leci Xavier, Fernando Shuck,

Daniel da Silveira Maciel, Magali Excel Benedetto, Andressa, Jorge Grudzinski, SandromarKich, Neimar Reichert , Anapaula Keller, Diego Fussieger.

A Caroline, Livane, Carolina, Gustavo e Oséias, pela amizade e carinho.

Aos meus pais pelo sustento e abrigo necessários.

A Unisinos, onde vivi dias inesquecíveis.

1 Esteja com Deus.



O Tempo

“A vida é o dever que nós trouxemos para fazer em casa.

Quando se vê, já são seis horas!

Quando se vê, já é sexta-feira!

Quando se vê, já é natal...

Quando se vê, já terminou o ano...

Quando se vê perdemos o amor da nossa vida.Quando se vê passaram 50 anos!

Agora é tarde demais para ser reprovado...

Se me fosse dado um dia, outra oportunidade, eu nem olhava o relógio.

Seguiria sempre em frente e iria jogando pelo caminho a casca dourada e inútil das

horas...

Seguraria o amor que está a minha frente e diria que eu o amo...

E tem mais: não deixe de fazer algo de que gosta devido à falta de tempo.

Não deixe de ter pessoas ao seu lado por puro medo de ser feliz.

A única falta que terá será a desse tempo que, infelizmente, nunca mais voltará”.

Mario Quintana



SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................... 8 2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE TEMPO NA FÍSICA........................... 11

3 A MECÂNICA E SUA INVARIANCIA EM RELAÇÃO AO TEMPO ............................ 25

3.1 MECÂNICA CLÁSSICA................................................................................................ 26

3.1.1 O formalismo de Newton.......................................................................................... 26

3.1.1.1 Sistemas conservativos .......................................................................................... 27

3.1.2 O formalismo de Lagrange ....................................................................................... 28

3.1.3 O formalismo de Hamilton ....................................................................................... 303.2 A MECÂNICA QUÂNTICA .......................................................................................... 32

3.2.1 O Princípio de Heisenberg ........................................................................................ 32

3.2.2 A Mecânica Quântica de Schrödinger ....................................................................... 33

3.3 A INVARÂNCIA DA MECÂNICA EM RELAÇÃO AO TEMPO ................................. 37

3.3.1 Exemplo Clássico ..................................................................................................... 38

4 A TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA............................................................................. 42

4.1 O MÉTODO ESTATÍSTICO .......................................................................................... 43

4.1.1 A probabilidade de um evento .................................................................................. 43

4.1.2 Valores médios e o desvio padrão............................................................................. 45

4.1.3 O Caminho aleatório................................................................................................. 46

4.1.4 A distribuição Gaussiana .......................................................................................... 49

4.1.5 A distribuição de Boltzmann..................................................................................... 50

4.1.6 A distribuição de Maxwell – Boltzmann ................................................................... 52

4.2 DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DE UM SISTEMA CLÁSSICO DE PARTÍCULAS........ 53

4.3 DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DE UM SISTEMA QUÂNTICO..................................... 554.4 ENSEMBLE ESTATÍSTICO.......................................................................................... 56

4.5 AS LEIS DA TERMODINÂMICA ................................................................................. 57

4.5.1 Lei zero da termodinâmica........................................................................................ 58

4.5.2 Primeira lei da termodinâmica .................................................................................. 62

4.5.3 Segunda lei da termodinâmica .................................................................................. 63



7

4.6 ENTROPIA E PROBABILIDADE ................................................................................. 68

4.7 O TEOREMA H DE BOLTZMANN.............................................................................. 70

5 AS LEIS DO CAOS ............................................................................................................. 74

5.1 PROBABILIDADE OU DETERMINISMO.................................................................... 75

5.2 DINÂMICA CAÓTICA – SÉRIE TEMPORAL.............................................................. 76

6 A QUEBRA DE SIMETRIA TEMPORAL ........................................................................ 80

6.1 AS CADEIAS DE MARKOV......................................................................................... 81

6.2 A IRREVERSIBILIDADE DOS SISTEMAS CAÓTICOS.............................................. 82

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................... 86

8 REFERÊNCIAS................................................................................................................... 90



8

1 INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho é melhor compreender a natureza do tempo, onde ao longo detoda a história do pensamento ocidental na busca da compreensão da natureza, este ente físico foi

interpretado sobre diferentes conceitos, onde que, até os dias atuais, não se tem uma definição

clara ou precisa sobre suas propriedades.

O ser humano, como ser cognocente, observa e interpreta a natureza mediante as

informações que dela recebe. Para Karl Popper (1902 – 1994), nossas observações visão explicar

fenômenos naturais por meio de postulados simples e rigorosos, os quais devem ser corroborados

pela experimentação. Neste processo, seu intelecto da sentido de realidade às informações que danatureza abstrai, descrevendo a natureza por meio de modelos matemáticos, que são nosso

entendimento e observações de um modo lógico.

Para a descrição fundamentalmente mecânica da natureza, não há direção preferencial do

tempo. No entanto, a natureza é composta por elementos em que o passado e o futuro

desempenham papéis diferentes, o que evidencia um paradoxo; o da simetria temporal, onde a

“direcionalidade física” dos eventos torna-se uma ilusão propiciada pelos sentidos, e o da

assimetria temporal, ou “flecha do tempo”, que é evidenciada por estes mesmos sentidos e que

não é contemplado pelas leis da mecânica clássica ou quântica, fundamental à física em sua

intenção de descrever a natureza.

Esta questão leva a um problema filosófico que representa o cerne da filosofia da ciência

e que em momentos dá a devida sustentação aos questionamentos levantados neste trabalho:

“Aquilo que observamos na natureza constitui-se em sua realidade de fato”? [1]. Neste sentido,

o questionamento levantado neste trabalho, e caracterizando seu objetivo principal, é se o tempo,

como ente físico mensurável, constitui-se de fato uma grandeza física real da forma como a

compreendemos no cotidiano e em meio a própria ciência.Este questionamento tambem nos leva a perguntar quanto a mensurabilidade do tempo. Se

somo capazes de medir o tempo, o que é de fato que estamos medindo, caso suas propriedades

sejam outras que não as que conhecemos ou entendemos?

Para realizar esta tarefa, é inicialmente feita uma abordagem histórico – conceitual do

tempo no entendimento da física, mostrando as mudanças que tais conceitos sofreram ao longo



9

dos anos, sua influência nos paradigmas a respeito do entendimento da estrutura da natureza, e os

alicerces do conhecimento científico aos diferentes conceitos que se construiu ao longo desta

trajetória.

Esta parte tem o importante papel de fundamentar o caminho tomado na busca deresponder ao questionamento inicial proposto por este trabalho, bem como introduzir e

contextualizar o tema proposto. Utilizando destes princípios e idéias formadas inicialmente,

damos então início a uma analise da mecânica e da importância do tempo neste importante corpo

da ciência que permitiu o grande avanço científico e tecnológico de que hoje somos testemunhas.

Nesta analise, verifica-se as leis da mecânica, clássica e quântica, que mantem a simetria a

partir da variância de sentido de tempo, que é dado apenas como parâmetro, e posteriormente

aplicamos um exemplo de sistema clássico, onde realizamos uma simulação computacional coma finalidade de caracterizar a reversibilidade deste sistema clássico, simulação esta realizada no

Software Modellus2 versão 4.1, sendo as demais simulações geradas ao longo do trabalho, na

versão 2.5

Após realizada esta tarefa, estabelecemos os princípios da termodinâmica estatística,

iniciando pelos fundamentos do método estatístico, com o objetivo de compreender as

ferramentas matemáticas essenciais para análise dos sistemas termodinâmicos estatísticos. Em

seguida, baseado em tais métodos, estabelecemos as leis fundamentais da termodinâmica e

traçamos aqui as bases para compreensão da irreversibilidade do tempo, mostrando que os

sistemas tornam-se irreversíveis por leis bem definidas.

Apresentamos então o teorema H de Boltzmann, que fornece a descrição do sistema na

sua direção ao equilíbrio e mostra como o sistema, através de colisões incessantes que ocorre

entre as partículas, é levado a um mínimo que corresponde ao simétrico da entropia do referido

sistema, o qual é verificado graficamente por meio de simulação computacional. O teorema H de

Boltzmann é que deu as bases para a termodinâmica estatística, bem como é o fundamento

necessário à compreensão dos processos de não-equilíbrio na termodinâmica.Estabelecido as bases que caracterizam e evidenciam a irreversibilidade dos sistemas

naturais, damos início a breve explanação sobre sistemas dinâmicos complexos, os quais veremos

2 O aplicativo Modellus, versões 2.5 e 4.1, tratam-se de um software destinado à modelagem matemática esimulações computacionais de sistemas físicos por meio de animações. O mesmo é distribuído gratuitamente em seusite da web original http://modellus.fct.unl.pt/.



10

a partir de suas leis, e por meio de simulação computacional, o quão sensível são tais sistemas.

Avaliamos então as perspectivas que tais sistemas possuem. Isto nos permitira compreender a

gama de possibilidades que estes sistemas apresentam em sua dinâmica por meio do mapa

caótico da série temporal.Após estabelecidos o conceito de ensambles e juntamente os princípios de probabilidades,

ambas vistas no capitulo que trata sobre termodinâmica estatística, reunimos informação que nos

possibilita novas conclusões a respeito da irreversibilidade ao verificarmos que os sistemas, em

suas transições de estados microscópicos, juntamente com a dinâmica caótica dos sistemas

complexos, podem sofrer flutuações nestas transições que levem o sistema a estados de

diminuição de entropia. Para tanto, utilizamos a ferramenta matemática conhecida como “cadeias

de Markov”, a qual torna-se eficiente na solução da dinâmica de processos estocásticos.Esta ferramenta nos permitirá tirar novas conclusões a respeito da passagem de tempo e

quanto ao processo criativo da natureza nesta passagem. Cada sistema, na passagem do tempo,

cria um universo de eventos decorrentes da sensibilidade dos sistemas complexos: o que

aconteceria se o sistema pudesse retornar de alguma forma? Além disto, será a passagem do

tempo que permite o movimento da natureza, ou será a natureza em seu movimento que dá ilusão

da existência de tempo?

Busca-se em conjunto com o objetivo específico deste trabalho, estabelecer um texto que

esboce os fundamentos essenciais da mecânica estatística de equilíbrio e que apresente os

princípios que norteiam a mecânica estatística de não-equilíbrio, com a finalidade de estabelecer

um texto introdutório aos sistemas irreversíveis. A bibliografia do tema específico que trata o

trabalho é ainda bastante escassa, e por esta razão, o texto deste trabalho visa uma abordagem

razoavelmente didática, em que os aspectos do tema buscam ser discutidos e apresentados de uma

forma simples e elucidativa, podendo ser usando em cursos de graduação de física em que o tema

venha a ser discutido.



11

2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE TEMPO NA FÍSICA

A Ciência Física, em seu desenvolvimento, sempre se envolveu com inúmeras questões acerca dos princípios fundamentais da natureza (physis). São também inúmeras as explicações de

como o homem, engajado nesta tarefa, como ser cognoscente, abstrai e classifica os elementos

que compõem tais princípios [1].

O filosofar sobre a natureza é a tarefa que permite buscar o entendimento dos diferentes

aspectos da natureza. Muitos ainda são os desafios e os mistérios da Natureza a serem

compreendidos pelo homem. Muitas são as perguntas sem respostas e muitas são as respostas...

sem as devidas perguntas... [2].Entre estes desafios, está a compreensão da natureza do tempo como uma questão

científica e filosófica não resolvida, sendo tema de inúmeras pesquisas atuais, onde as reflexões

sobre sua natureza despertam interesse de vários setores, desde acadêmicos aos que buscam

explicar a problemática da vida cotidiana. Tal preocupação, remonta à filosofia antiga, desde os

hebreus aos gregos, passando pela filosofia cristã e moderna, até os dias atuais [3].

Entre os filósofos da antiguidade, Parmênides (530 a.C. – 460 a.C.) entendia que o tempo

era como um elemento que não poderia pertencer a nada que fosse verdadeiramente real, pois

que, para ele, todas as transformações que observamos na natureza resultam da nossa percepção,

a qual ele não considerava ser um instrumento adequado para o conhecimento verdadeiro. Nesta

mesma linha de pensamento, Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) acreditava que a passagem do

tempo não era uma base intrínseca e suprema das coisas, de maneira que os eventos que

ocorressem na natureza, seriam independentes do tempo [1, 4].

Já para Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.), o tempo era fundamental para o universo, sem o

qual, nada na natureza aconteceria, e seu mestre Platão (427 a.C. – 347 a.C.), deixa evidente em

sua obra o Timeu, que o tempo é o artifício de um ser divino na criação de seu cosmos em darordem ao que existe no espaço [4].

Aqui estão conferidas duas linhas do pensamento ocidental radicalmente opostas a cerca

da idéia de tempo, onde a primeira nega a transcendência do tempo, o que permite outros

pensadores subsequentes a idéia de negação da própria existência real do tempo. Em

contrapartida, a segunda linha de pensamento afirma a existência do tempo e o coloca como



12

elemento incondicional da natureza, o que podemos verificar nas bases do pensamento

newtoniano. [1, 2, 4, 5]

Alguns séculos mais tarde, Santo Agostinho (354 – 430) em sua obra Confesiones3 ,

discute a natureza do tempo, e externa uma perplexidade e fragilidade do ser humano emcompreender seu princípio fundamental [6, p.29]. Ele demonstra a influência de Parmênides em

seu pensamento ao questionar a natureza do tempo [1]:

O que é, pois, o tempo? Se ninguém mo pergunta, sei o que é; mas se quero explicá-lo aquem mo pergunta, não sei: No entanto, digo com segurança que sei que, se nadapassasse, não existiria o tempo passado, e, se nada adviesse, não existiria o tempo futuro,e, se nada existisse, não existiria o tempo presente. De que modo existem, pois, esses

dois tempos, o passado e o futuro, uma vez que, por um lado, o passado já não existe,por outro, o futuro ainda não existe? Quanto ao presente, se fosse sempre presente, e nãopassasse a passado, já não seria tempo, mas eternidade. Logo, se o presente, para sertempo, só passa a existir porque se torna passado, como é que dizemos que existetambém este, cuja causa de existir é aquela porque não existirá, ou seja, não podemosdizer com verdade que o tempo existe senão porque ele tende para o não existir? [6, p.29].

Santo Agostinho utiliza a argumentação lógica de Parmênides refutando a idéia de

realidade do ser do tempo como um elemento pertencente a natureza, também não admitindo a

concepção de Platão de um estado de permanência das coisas para um eterno presente. Para

Parmênides, “o pai da argumentação lógica”, o ser é e não é possível que ele não seja [4, p. 55].

Seu entendimento é de que o tempo não tem existência fora do espírito. No entanto, em sua busca

para unir fé e razão, Santo Agostinho admite a existência do tempo no espírito a estabelecer a

ordem do cosmos, pois que defendia a subordinação da razão em relação a fé 4 [1].

Para o início da idade moderna, Isaac Newton (1643 – 1727) é tido como um dos

pensadores mais afluentes. Chegou a entender que o tempo fosse cíclico, numa nítida concepção

platônica. Contudo, em sua ciência, Newton apresenta o tempo como um elemento que transcorrelinearmente [1, 2, 4, 5]. Todos os eventos naturais em seu Princípia

5, uma das obras mais

3 Confissões4 Para Platão, há um ser divino criador do cosmos, que para Santo Agostinho, é representado pelo Deus Católico.5 O nome da obra revolucionária de Newton é Principia Mathemática Philosophia Naturalis e freqüentemente citadaapenas por Principia.



13

influentes e revolucionárias da ciência e da matemática, são fundamentalmente dependentes deste

elemento, apresentando-se como algo intrínseco a natureza, e de forma absoluta.

O tempo absoluto6 , flui sempre igual por si mesmo e por sua natureza, sem relação comqualquer coisa externa, chamando-se por outro nome “duração”; o tempo relativo,aparente e vulgar é certa medida sensível e externa de duração por meio do movimento(seja exata, seja desigual), a qual vulgarmente se usa em vez de tempo verdadeiro, comosão a hora, o dia, o mês, o ano. [7, p. 8]

A geometrização do espaço e do tempo, a partir da análise de René Descartes (1596 –

1650), permitiu à mecânica newtoniana uma visão privilegiada dos eventos da natureza. Em seu

formalismo, Newton não dá um sentido7 objetivo ao tempo, de tal maneira que nada, no

formalismo dos eventos, lhes permite distinguir um sentido de sucessão de tais eventos do seu

sentido inverso [8, 9]. Desta forma, os eventos ocorridos a qualquer tempo, passado e futuro,

podem ser vislumbrados como em um eterno presente, pois que ele, o tempo, é absoluto [6, 7].

Kant (1724 – 1804) em sua Crítica da Razão Pura, uma das obras mais influentes da

filosofia moderna, mostra em suma que, sem sabermos as verdades sobre o mundo dos objetos

“tal como eles são”, podemos ter certeza de “como eles nos aparecem” [8, p.74]. Neste axioma,

Kant nos revela sua crença num conhecimento intuitivo “a priori” das coisas do mundo [8] e

discorda de Newton ao dizer que “contesta toda pretensão da realidade absoluta do tempo” [8,

p.22].

A que ressaltar ainda que para Kant, a matemática não expressava a realidade do mundo.

Ela faz parte de um conhecimento sintético “a priori” que conecta o mundo ao ser através de suas

representações “a posteriori” [1, 8].

Para Kant, nenhuma experiência pode dar ao tempo a noção de conceito empírico, pois ele

não é uma realidade material; é antes forma do que conteúdo [1]. Ele é apenas uma representaçãoque “serve de base a todas as intuições”. Sua natureza é infinita e sua representação deve se dar

de maneira limitada, uma vez que um instante de tempo somente é possível pelas limitações de

6 Para Newton o tempo e o espaço seriam absolutos. Discute-se muito, porém, qual o verdadeiro sentido destaexpressão[10].7 Entenda-se sentido como o sentido de um vetor, se positivo ou negativo em relação ao um referencial.



14

um único tempo (infinito). Assim, Kant define o tempo como “uma forma pura da intuição

sensível” [8, p.20].

Neste mesmo período, um grande impulso ao desenvolvimento tecnológico vinha

ocorrendo através do desenvolvimento das máquinas a vapor, promovendo a “RevoluçãoIndustrial” que modificou a estrutura da sociedade, onde se destaca o matemático e engenheiro

James Watt (1736 – 1819) [1, 9].

O estudo do Calórico no campo da Física tomava novos rumos. Com características

diferentes da mecânica newtoniana, recebeu o nome de Termodinâmica. Um de seus princípios

fundamentais é o da Conservação da Energia, apresentado de forma precisa por Helmholtz (1821

– 1894) em 1847, propondo ao estudo da natureza do calor8, que se consolidava no meio

científico por suas formulações de base empírica, a condição de que ele não é destruído ouperdido, mas transformado. Este princípio estabeleceu-se como a 1ª Lei da Termodinâmica.

A famosa experiência de James P. Joule (1818 – 1889), que consistia no movimento de

pás imersas na água através da queda de um corpo9, mostrou definitivamente, após muitas

especulações, que o calor também era uma forma de energia.

Ainda no século anterior, estimulado pela busca de melhor eficiência das máquinas

térmicas, Sadi Carnot (1796 – 1832) demonstrara em seu opúsculo Réflexions sur la Puissance

Motrice du Feu10, que o rendimento de tais máquinas, operando em ciclos entre temperaturas

quente e fria, dependem exclusivamente de tais temperaturas. As conclusões de Carnot foram

reformuladas de maneira mais precisa pelos físicos Rudolf Clausius (1822 – 1888) em 1850 e

Lord Kelvin (1824 – 1907) em 1851.

Esta reformulação sustenta que não pode haver uma completa conversão de energia

térmica em energia útil (trabalho mecânico) na máquina que opera em ciclos entre as fontes

quente e fria, demonstrado a impossibilidade da existência de um moto-contínuo11. A este,

aspecto, conjugou-se uma nova função de estado na física denominada Entropia, a qual

representa a 2ª Lei da Termodinâmica, que mede o quanto a energia de um sistema se dissipa demaneira irreversível – em outras palavras; mede o grau de desordem deste sistema [9].

8 O estudo do calor é datado ainda de a.C. com Empédocles e Aristóteles, que o chamavam de calórico, ondeLavoisier, já no séc.9 Joule demonstrou por sua cuidadosa experiência o equivalente mecânico do calor a partir da conversão da energiada queda de um corpo (potencial gravitacional) em energia térmica (aumento de temperatura da água).10 Reflexões sobre a potência motriz do fogo.11 Máquina de movimento perpétuo.



15

Ao passo que suas leis permitiam tamanha mudança em diversos setores, este último

aspecto desenvolvido por Clausius e Kelvin (a entropia), foram intensivamente discutidos pela

comunidade científica, remetendo os pensadores da época, e ainda aos de hoje, a questões de

profundo cunho filosófico e científico [1].Estas reflexões surgiram a partir do entendimento de que a entropia de qualquer sistema,

seja ele qual for, sempre aumenta ou permanece constante. De fato, percebe-se que em todos os

sistemas, de alguma forma, uma parcela da sua energia potencial a um determinado estado é

convertida em alguma outra forma de energia de maneira irreversível, passando a um estado de

equilíbrio definitivo em relação a este sistema observado [9, 11].

Alguns exemplos de fenômenos irreversíveis em que percebemos sempre a entropia do

sistema aumentar:

Um copo com água ao cair e se espatifar no chão. Não vemos os cacos do copo e o

imenso número de moléculas de água que nele estava se reorganizarem e

retornarem ao estado anterior espontaneamente.

Um violinista ao recitar um trecho de uma sinfonia. Jamais vemos o som que sai

do instrumento retornar a ele, fazendo com que o braço do violinista seja posto em

movimento.

O cozimento de um alimento sobre a chama do fogão. Não é de nossa experiência

verificar o alimento ficar novamente cru e seu calor retornar a chama do fogão e

este por sua vez, ao estado de gás no botijão.

Estes diferentes processos mostram claramente a tendência dos sistemas em perdas

irreversíveis na forma de calor. O copo com água ao cair e se espatifar, tem suas moléculas

agitadas, assim como as moléculas do ar pela vibração das cordas do violino, ou então, a agitação

das moléculas do alimento durante seu cozimento. Esta agitação representava, segundo ospressupostos de Claussius e Kelvin, e ainda pelo empirismo de Joule, um aumento da energia

cinética das partículas, refletindo-se no aumento de temperatura e calor [9].

Em 1866, o físico austríaco Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) publica um artigo

intitulado A cerca do significado mecânico da teoria do calor . Até então, Clausius havia

trabalhado em um modelo cinético do calor, desenvolvendo a Teoria Cinética dos Gases (que



16

explica a mudança da temperatura e calor pela energia cinética das partículas, o qual poderá ser

verificada uma análise na seção 4.5.1), mas não chegara a relacionar esta teoria com sua já

consolidada 2ª Lei da Termodinâmica, pois sua formulação em nível matemático demandaria

novos esforços [12, 13].Boltzmann, ao esclarecer a dinâmica do movimento atômico de um corpo a partir do

formalismo da mecânica, relacionou este movimento ao estado macroscópico do corpo em termos

de sua temperatura. Ele considerou a colisão entre as partículas como colisões elásticas12. Para

tanto, fora necessário aplicar o cálculo variacional ao movimento atômico, obtendo a relação

entre a 2ª lei da termodinâmica e o princípio da ação mínima da mecânica 13. Em outras palavras,

Boltzmann obteve uma relação mecânica da entropia do sistema [12]. Para ele, a mecânica era a

“fundação sobre a qual todo o edifício de física teórica é construído” [apud 14, p.41].Evidentemente sua proposta fora baseada em métodos estatísticos, pois seria impraticável

o cálculo da posição e momento de N partículas, visto que tais sistemas são da ordem do número

de Avogadro14. Este procedimento deu origem a Mecânica Estatística, uma teoria reducionista

que procura explicar a dinâmica molecular dos sistemas da forma mais simples possível, tendo

Boltzmann e James Clerk Maxwell (1831 – 1879) como seus fundadores [9, 12, 14].

Pelo fato da entropia possuir nos sistemas em geral, um contínuo e incessante crescimento

(ou no mínimo ser nula), Boltzmann estabeleceu uma relação entre este fenômeno ao sentido em

que transcorre o tempo. Oriundas desta relação deram-se origem a novas e profundas discussões a

cerca do conceito de tempo, e uma nova interpretação à 2ª lei da Termodinâmica; a de que ela

determinaria a direção temporal na qual ocorrem os diferentes processos físicos, entendendo a

irreversibilidade como um sentido preferencial dos processos naturais, a qual Sir Arthur Stanley

Eddington (1882 – 1844) em 1928, denominou de a flecha do tempo [13].

Desta forma, a entropia, em sua síntese mecanicista, caracteriza a passagem dos eventos

como um processo estatístico, onde os eventos mais prováveis são aqueles experimentados pela

nossa experiência ordinária [14], relegando ao tempo o mero papel de uma representaçãointuitiva, segundo uma visão kantiana.

12 Colisões elásticas são aquelas em que o momento das partículas em colisão se conserva.13 O princípio da ação mínima foi proposto por William Rowan Hamilton (1805 – 1865).14 Número de átomos ou moléculas contidos em 1 mol de qualquer substância, proposto por Amedeo Avogrado em1811, correspondente a aproximadamente 6,02 x 1023 [9].



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De fato, ao passo que trabalha num objetivo claro de fundamentar a termodinâmica a

partir de uma teoria cinética, onde a “irreversibilidade deve surgir naturalmente das leis da

mecânica” [13, p.3], Boltzmann propõem uma concepção subjetiva para o esquema da direção do

tempo, argumentando que a direção temporal seria constituída pelos sistemas cognitivos dos seresvivos15.

Segundo esta idéia subjetiva de Boltzmann, em uma região do universo da qual ocorresse

diminuição da entropia, eles observariam processos como a reorganização espontânea dos

fragmentos de um copo com água após se espatifarem em uma queda, mas visualizariam tal

evento como um filme que estivesse sendo rodado ao contrário, pois seus ordenamentos de tempo

consideram como anteriores os estados de menor probabilidade, e posterior os estados de maior

probabilidade [8, 13, 14].Desta forma ficam claras duas direções de tempo. Uma objetiva, que é dada pelo sentido

de crescimento da entropia, a qual obedece então a Mecânica Estatística, e a subjetiva, que nos da

a noção de temporalidade a partir de um estado de menor entropia, caracterizando-se como

passado, e futuro a outro estado de maior entropia [14].

O tempo passa a ter um conceito totalmente diferente do que jamais teve. Sua natureza,

que possuía um caráter absoluto de influência newtoniana ou até mesmo linear de forma intuitiva,

passa a ser compreendido agora como descontinuo e disforme, mostrando que de fato o tempo

que realmente existe, ou que ao menos é experimentado pela nossa experiência ordinária, diria

Kant, na verdade é uma consequência da evolução de processos estatísticos na direção do que

então é chamado de flecha do tempo, o que por nos é conferido aspecto de realidade [1, 7, 8, 9,

14].

Mas a maior de todas as revoluções no conceito de tempo ainda estaria por vir. Ela

realmente aconteceu no século XX, onde foram estabelecidas as bases da física moderna. No ano

de 1905 foram publicados numa revista alemã de publicação científica, Annalen der Physik ,

quatro artigos de autoria de Albert Einstein (1879 – 1955), um jovem físico alemão de origem judaica que trabalhava a este tempo num escritório de patentes em Berna, Suíça. Dentre estes

artigos, um em especial tratava da eletrodinâmica dos corpos em movimento, cujo título original

15 Contudo, para o psicólogo francês Guyau, os animais diferentes do homem não são dotados de esquemasrepresentativos de noção de tempo [1].



18

era Zur Eletrodinamik bewegter körper , o qual propiciou a referida revolução no conceito de

tempo [15, 16].

Os conceitos de espaço e tempo, para fins cotidianos correspondiam a forma newtoniana

de entender o mundo. Todos entendiam estes entes naturais como absolutos, os quais constituíamaos alicerces do senso comum. Devido ao enorme êxito da mecânica newtoniana em explicar o

movimento dos corpos, não é de surpreender que a comunidade científica aceitasse a autoridade

de Newton sem grandes críticas, mesmo diante de algumas discrepantes evidências

experimentais, como era o caso da precessão do planeta Mercúrio, que sua mecânica não previa

[16, 17].

A estrutura do universo era simplesmente assim, e era desta forma que o universo tinha

sido organizado e poucos ousariam em contrapor Newton [1, 15], embora ele já houvera feitoalgumas objeções a respeito do seu próprio trabalho, o Principia, “(...) é impossível que a ação

das forças a distância entre os corpos, como é o caso das forças gravitacionais, seja instantânea

(...)” [p.28, 7]. Assim, tudo permaneceu como estava, até 1887.

Neste ano, uma decisiva experiência, devido seu elevado grau de precisão, conhecida

como experiência de Michelson-Morley16 tornou-se celebre por seu resultado negativo. Nela

concluiu-se que não existe nenhuma prova física do movimento da Terra relativamente ao éter17,

e que por tanto tal elemento não existia. “Estava aberta assim uma das maiores crises da história

da Física” [17, p.139].

Para os princípios newtonianos, o movimento relativo dos corpos era explicado de modo

satisfatório. O passageiro de um trem sentado em uma poltrona poderia ser considerado em

repouso em relação ao vagão em que se encontra, mas para uma pessoa que fica na estação e vê o

trem partir, ele encontra-se em movimento. No entanto, terminava aí a relatividade do

movimento. Uma vez que espaço e tempo eram absolutos, somente há movimento relativo para

estes dois sistemas tomados como referência, ao passo que possuem um movimento absoluto em

relação ao referencial absoluto de espaço e tempo. Tal referencial absoluto era o éter [18, 19].A Teoria Eletromagnética desenvolvida por Maxwell, que havia permitido a unificação de

três importantes ramos da física; a Ótica, a partir dos estudos de Augustin Jean Fresnel (1788 –

1827) que afirmou que a luz possuía um caráter ondulatório, através de uma equação de vibração

16 Produzida pelos físicos Albert Michelson (1852-1931) e Edward Morley (1838-1923).17 Éter, também conhecido por éter luminífero, representava o meio do qual a luz deveria se propagar. Acreditava-seneste tempo que a luz dependia de um meio material para propagar-se, e o éter seria este meio, muito rarefeito.



19

de uma partícula do então éter; e o da Eletricidade e Magnetismo, dando as devidas

interpretações aos conceitos de campo de Michael Faraday (1791 – 1867) e incorporando os

estudos de Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806) e André-Marie Ampère (1775 – 1836),

apresentava uma incompatibilidade com a mecânica clássica [15, 16, 17].Esta teoria apresentou pela solução de suas equações, a formulação da equação de

propagação de uma onda eletromagnética, onde Maxwell já havia sido alertado por Faraday que

poderia haver uma íntima relação entre a luz e os fenômenos eletromagnéticos. Tal previsão foi

corroborada pelos experimentos de Heinrich Hertz (1857 – 1894) em 1888, estabelecendo que tal

fenômeno se tratava de uma onda eletromagnética [17].

Einstein não admitia a existência do éter, deixando claro em cartas e artigos, que julgava

um absurdo sua existência e que não fora a experiência de Michelson-Morley que o estimularamem sua pesquisa. Em verdade, fora o experimento de Fizeau18, conforme seus relatos, que o

instigaram profundamente.

Seu trabalho consistiu em reconhecer que a teoria newtoniana e a maxewliana eram

incompatíveis e mostrou esta incompatibilidade com base no princípio da relatividade de Galileu

Galilei (1564 – 1642), onde as leis da Física, validas para um dado referencial, deveriam ser

validas em qualquer referencial que se movesse uniformemente em relação ao primeiro, os quais

são designados por referenciais de Galileu19.

Em “um ensaio mental” (gedanken), Einstein imaginava-se como um observador à

velocidade da luz junto ao um feixe de luz que se propaga, acompanhando-o. Neste ensaio, ele

observaria que o feixe de luz não se comportaria como uma onda, pois ele estaria junto a uma

região particular desta onda a qual não apresentaria movimento oscilatório devido ao fato dele

estar percorrendo à mesma velocidade, junto ao feixe. Para a teoria de Maxwell, este

comportamento da luz era inaceitável em face de seu caráter ondulatório, e além disto, os

experimentos de Hertz já havia comprovado que a luz se tratava sim de uma onda

eletromagnética, corroborando tal caráter.

18 Armand Hyppolyte Louis Fizeau (1819 – 1896), realizou um experimento em que coloca dois raios luminososprovenientes da mesma fonte interferirem entre si após um deles passar pela água. Seu objetivo era demonstrar ainteração da luz com os corpos, a partir de uma expressão para o arrastamento do éter.19 Este postulado não afirma que os valores medidos das grandezas físicas são os mesmo para todos os observadorese sim as leis da física que devem ser as mesmas.



20

Henry Poincaré (1854 – 1912), assim como Ernst Mach (1838 – 1916) em uma visão

positivista20 que seguia a linha de pensamento de David Hume (1711 – 1776), lançaram dúvidas

acerca das noções de espaço e tempo absolutos. Poincaré chega a propor que talvez se devesse

construir uma mecânica inteiramente nova, em que a velocidade da luz fosse um limiteintransponível.

Por sua vez, pela mecânica de Newton, um observador poderia ser acelerado a ponto de

atingir a velocidade da luz e ultrapassa-la, a partir de uma determinada força a ele empregada, de

maneira que sua teoria não impunha um limite. Novamente poderíamos observar a luz sem o

devido caráter ondulatório, surgindo então um paradoxo [16, 17]. Einstein, por uma influência

positivista21 de sua educação, condena a validade da mecânica newtoniana e opta por preservar a

teoria de Maxwell, que possuía o respaldo empírico [18].Preservando a idéia da existência do éter, e conseqüentemente a idéia do referencial

absoluto newtoniano, Hendrik Lorentz (1853 - 1928) houvera desenvolvido um trabalho que

buscava explicar o fato do experimento Michelson-Morley encontrar sempre a mesma velocidade

de propagação da luz. Este trabalho que ficou conhecido por Transformações de Lorentz,

baseava-se nos referenciais de Galileu, descrevendo que ocorria uma contração do equipamento

experimental através do seu movimento pelo éter e que haveria um aumento da sua massa e uma

dilatação do tempo ao se mover com velocidades próximas à velocidade da luz [17].

Utilizando as próprias transformações lorentzianas, Einstein contrapôs a existência do éter

em termos de seu referencial absoluto e mostrou que na verdade não era o equipamento

experimental que sofria alteração. Seu tratado, que ficou conhecido como Teoria da Relatividade

Restrita, postulava que a velocidade da luz era uma constante universal e quem de fato sofria

mudança era o tempo.

O tempo, ente intrínseco da natureza, estava então condicionado aos referenciais inerciais

de Lorentz, satisfazendo a consistência entre o eletromagnetismo de Maxwell ao princípio da

relatividade de Galileu, de tal maneira que ele se torna relativo na dependência da velocidade do

20 O positivismo defendia que nenhuma proposição das ciências naturais era admissível se não for possível verificá-laempiricamente.21 Aos 16 anos, Einstein já houvera lido três das maiores obras de Kant e na educação germânica que recebera, eracomum a leitura de obras de grandes autores eruditos de maneira que era natural que adotasse uma postura filosóficadiante de seus trabalhos a cerca da investigação da natureza.



21

observador com relação ao que realmente é absoluto e constante na natureza; a velocidade da luz.

Em outras palavras, o tempo é simplesmente relativo [16, 17].

Arraigados ainda aos conceitos de espaço e tempo absolutos, foram poucos os físicos da

época que aceitaram idéias tão inovadoras [16]. Sua teoria modificava completamente o que seentendia por evento simultâneo. No entendimento clássico de simultaneidade, se dois eventos A e

B fossem identificados por um único observador como simultâneos, quaisquer observador destes

eventos em qualquer referencial inercial também o identificariam como simultâneos.

Para a Teoria da Relatividade Restrita, dois eventos distintos A e B somente são

simultâneos a partir de um observador que os identifique como tal. Para isto, ele precisa receber

informações sobre estes eventos distintos. O transporte destas informações se dá através da luz,

representada pela letra c, que possui uma velocidade de propagação finita

22

.Desta forma, se um observador identifica simultaneamente os eventos A e B, estes

eventos estão ocorrendo ao mesmo tempo para este observador [19, 20], onde que para outro

observador que não os perceba como simultâneos, este eventos não estarão de fato ocorrendo ao

mesmo tempo para este último, de modo que “a simultaneidade não é um conceito absoluto, e

sim um conceito relativo, que depende do movimento do observador” [19, p.145].

Einstein ainda ampliou seus trabalhos sobre a relatividade, tornando a publicar novo

artigo em 1916, estendendo suas implicações aos conceitos de campo gravitacional desenvolvido

por Newton, generalizando tais implicações, ao que ficou conhecido por Teoria da Relatividade

Geral. Seus princípios mostraram que o espaço e o tempo eram relativos e interligados,

compondo a estrutura do universo em um único elemento chamado de espaço–tempo, o qual é

distorcido pela massa dos corpos. Indícios sobre as considerações a cerca do espaço–tempo foram

verificadas por analises de fotos tiradas no Brasil23 de um eclipse solar, que possibilitava a

visualização do desvio da luz provinda de estrelas ao passar pelo campo gravitacional do Sol [15,

20].

Suas teorias tornaram-se famosas pelo mundo e modificaram o paradigma do conceito detempo, repercutindo em profundos impactos na filosofia e na ciência. Pela fama que suas teorias

alcançaram, não foram somente especialistas e acadêmicos em geral que discutiam suas idéias,

22 Onde c = 299 792 458 m/s23 Na cidade de Sobral, estado do Ceará.



22

mas todo um público leigo, que mesmo sem entendê-las completamente, era atraído pela beleza

da teoria [21].

No ano de 1895, havia sido publicada na categoria de romance científico como era

chamada na época, a celebre obra de ficção científica, A máquina do tempo, de H.G. Wells (1866– 1946). A fascinante idéia de poder viajar através do tempo é expressa nas palavras do viajante

de Wells [WELLS 1958, apud 21, p.207]:

Eu pareci rodopiar. Tive a sensação de que caía como num pesadelo e, ao olhar ao redor,vi que o laboratório permanecia como antes. Algo teria acontecido? Por um momentosuspeitei de um truque do meu intelecto. Depois reparei no relógio. Um momento antes,parecera-me que marcava cerca de um minuto antes das dez, e agora eram quase três e

meia!.. Empurrei a alavanca até a posição extrema. Fez noite como o apagar de umalâmpada e, no momento seguinte, nasceu o dia.

Era fato que a Teoria da Relatividade Geral, que associa o contínuo espaço tridimensional

aos eventos físicos que ocorrem nele através do tempo formando o contínuo espaço – tempo

quadridimensional de Minkowski24, mostrava o tempo como uma grandeza dimensional e

essencialmente geométrica entrelaçada ao espaço, caracterizando um novo e inovador conceito ao

tempo [20].Interpretações descuidadas destes conceitos, ou simplesmente descomprometidas da

pesquisa científica, deram margem para autores de ficção científica a uma série de obras literárias

e filmes inspirados na possibilidade de viajar através da dimensão temporal, podendo avançar ou

voltar, como quiser, como se faz através das dimensões espaciais.

Na perspectiva desta possibilidade, geram-se discussões a respeito de questões de causa –

efeito, no sentido lógico de que não poderia haver um efeito sem sua respectiva causa, ou de que

então estas condições estão puramente condicionadas a nossa forma de entender a relação de

causalidade entre o que é, e o que há de vir por consequência.

O caso do paradoxo do avô mostra esta relação de causalidade, sugerindo uma

inconsistência lógica da viajem ao passado a partir da premissa de que, se uma pessoa fosse capaz

de voltar no tempo, nestas circunstâncias ela teria a possibilidade de matar seus avós, por

24 Hermann Minkowski (1864 – 1909), fora professor de matemática de Einstein na Universidade Politécnica deZurique.



23

acidente ou não, antes mesmo de se conhecerem. Isto impediria completamente a possibilidade de

sua existência, e por consequência, a possibilidade de que ela fosse capaz de voltar no tempo e

realizar tal delito [21].

Neste sentido, o problema da causalidade mostra uma relação direta com as questõessobre o determinismo e a liberdade, onde a reflexão do filosofo Karl Popper (1902 – 1994) é

expressa em suas palavras ao dizer que “todo evento é causado por um evento que o precede, de

modo que se poderia predizer ou explicar qualquer evento... Por outro lado, o senso comum

atribui as pessoas sadias a capacidade de escolher livremente entre várias vias de ação distintas...”

[apud 22, p.9], ao que William James (1842 – 1910) chamou de “dilema do determinismo”, o

qual ofusca o conceito de senso comum.

Tal dilema nos questiona se o futuro esta pré-determinado ou em contínua construção, e otempo, como dimensão fundamental de nossa existência, encontra-se nas bases da física pelo

esquema conceitual da física galileana, nos mostrando que o tempo “está na encruzilhada do

problema da existência e do conhecimento” [22, p.9].

Embora a física sempre atribui uma simetria temporal para todos os eventos naturais e

Einstein, tenha muitas vezes afirmado, “o tempo é uma ilusão” [22, p.10], de tal maneira que em

uma verdadeira descrição fundamental da natureza não há flecha do tempo, Ilya Prigogine (1917

– 2003), ganhador do prêmio Nobel de química de 1977 por estudos realizados em

termodinâmica, onde formulou a teoria das Estruturas Dissipativas, amplia os horizontes deste

pensamento, alertando que em toda a parte em que se observa a natureza, o passado e o futuro

desdobram-se em papeis distintos.

Este paradoxo do tempo, identificado por Boltzmann que buscou uma descrição

evolucionista dos fenômenos físicos seguindo o exemplo de Charles Darwin25 (1809 – 1882),

transpõem para a física o “dilema do determinismo” em evidente contradição com as leis da física

que admitem a simetria temporal, ou seja, que admitem a equivalência entre passado e futuro.

Com o desenvolvimento da física de não-equilíbrio e da dinâmica dos processos queenvolvem os sistemas dinâmicos instáveis ao longo das últimas décadas, associadas à idéia de

caos, dando surgimento a um novo campo do conhecimento cientifico, impõem-se uma revisão

da noção de tempo tal como é formulada desde Galileu. Esta ciência levou a conceitos novos

25 Naturalista britânico conhecido no meio científico por sua teoria biológica da evolução e seleção natural.



24

como a auto-organização e as estruturas dissipativas, amplamente utilizados hoje em áreas como

a cosmologia, ecologia e as ciências sociais, passando pela química e pela biologia [22].

A física de não equilíbrio estuda os processos dissipativos, caracterizados por um tempo

unidirecional, conferindo uma nova significação à irreversibilidade, onde as questões originais deBoltzmann a cerca do comportamento irreversível dos processos termodinâmicos ainda mantém

atualidade em pesquisas, despertando interesse nas aplicações de métodos estocásticos incluindo

simulações numéricas computacionais para fenômenos fora do equilíbrio [23].



25

3 A MECÂNICA E SUA INVARIANCIA EM RELAÇÃO AO TEMPO

A ciência mecânica promove uma descrição precisa e consistente da dinâmica de umapartícula ou sistema de partículas. Para tanto, descreve o movimento destes sistemas pelas leis da

física em uma descrição matemática que busca ser o mais precisa possível, ao que se pode

chamar de modelagem matemática. A combinação dos conceitos de distância e tempo definem

grandezas tais como a velocidade e aceleração de uma partícula. Já a massa de uma partícula, ou

corpo de prova, é uma grandeza fundamental que representa a dificuldade que um dado objeto

possui em modificar seu estado de movimento.

As leis da Física baseiam-se em geral em fatos experimentados pelo homem com anatureza, estabelecendo uma conexão analítica de sua compreensão sobre a mesma. Isto indica

que as expectativas a priori de uma teoria é a de descrever consistentemente um fato. Quando

este objetivo é atingido, uma teoria assume o status de Lei Física, por descrever de maneira

satisfatória os fatos por nós observados.

Newton quem proveio inicialmente as leis fundamentais da mecânica clássica. O estado

atual da mecânica clássica avançou a tal ponto que suas leis são aplicadas a varias situações. A

mecânica de Lagrange e Hamilton, os quais deram grandes contribuições a sua evolução entre os

séc. XVIII e IXX, tem a mecânica Newtoniana como uma solução particular. Contudo o conceito

original da mecânica continua intacto, exceto pelas mudanças sofridas no séc. XX com a

reformulação relativística [24, 25, 26]. Embora verificamos a evolução das teorias mecanicistas,

tal método de descrição mecânica da natureza ignora o sentido de evolução temporal dos eventos

(a flecha do tempo de Eddington) e ainda permanece em contradição à nossa experiência

ordinária.

Embora a mecânica lagrangeana e hamiltoniana geram os mesmos resultados quando

aplicados a determinadas situações particulares, elas partem de um conceito inicial diferente damecânica newtoniana. Tempos mais tarde, após inúmeras inserções nos campos de aplicação é

que foi provado que as teorias são equivalentes.



26

3.1 MECÂNICA CLÁSSICA

3.1.1 O formalismo de Newton

O princípio fundamental que trata da dinâmica de uma partícula e seu comportamento ao

longo do tempo é dado pela força que nela atua, e é representado pela taxa de variação do

momento linear com o tempo, expresso por

dt d pF , (3.1)

onde vp m é o momento linear da partícula, também chamada de momentum, ou ainda

quantidade de movimento, onde m é a massa da partícula e v é sua velocidade.

A velocidade da referida partícula é por sua vez, a taxa de variação de sua posição ao

longo do tempo, ou seja,

dt

d rv , (3.2)

em que r é um vetor de posição do espaço, tal que k jir z y x e i, j, k vetores unitários do

espaço z y x ,, em coordenadas retangulares.

Usando a notação da derivada temporal de uma grandeza z qualquer como z e

analogamente, a segunda derivada temporal da mesma como z , para uma partícula de massa

constante m e substituindo (3.2) em (3.1), temos que

rF m . (3.3)

Interpretamos que (3.3) é a força que atua numa partícula de massa constante m é o

produto desta massa pela derivada segunda da posição em relação ao tempo, caracterizando o



27

princípio fundamental da dinâmica, também conhecido como 2ª lei de Newton, onde a massa

nada mais é que o coeficiente de inércia do corpo, ou seja, sua dificuldade em modificar seu

estado de movimento.

A mesma força aplicada a diferentes objetos gera diferentes acelerações, cuja diferença édevida à resistência do objeto em modificar seu estado de movimento ou repouso. Tal resistência

é definida como a massa do objeto, ou ainda de forma exata, a massa inercial pela definição da lei

de Newton.

3.1.1.1 Sistemas conservativos

Os sistemas conservativos não são comprovados por experiência direta de modo que as

quantidades que nele se conservam são descritas na forma de um teorema. No entanto, tal

teorema se confirma através das leis originais da dinâmica, ainda que indiretamente, constituindo

uma importante prova das corretas proposições a cerca das leis de Newton na Física Clássica

[24]. Assim, verificamos que para o teorema da conservação a taxa de variação do momento

linear total com o tempo de uma partícula é simplesmente

0p , (3.4)

isto é, a força total que atua na partícula é zero para o sistema conservativo de forças.

Contudo, ao considerar que o sistema é dinâmico, a partícula realiza um trabalho em tal

sistema de forças, ou seja,

r

r

dr W

0

F . (3.5)

Se o trabalho da partícula ao longo do caminho representa a dissipação da energia da

partícula em outra forma de energia, onde a soma total das forças se anula, então temos neste

sistema uma energia potencial t r U U , ao longo do tempo t ao qual ambos, trabalho e energia



28

potencial, pertencem a um universo que seja compreendido por tal sistema. Como a variação da

energia total do sistema é nula, é natural que representemos o sistema por meio do princípio

fundamental da dinâmica, em um campo conservativo de forças, tal que

U

F (3.6)

onde

k ji

z

U

y

U

x

U U

é o gradiente do potencial t r U U , .

Entre as posições inicial e final, a realização do trabalho W de uma partícula se dá através

do potencial U desta partícula, cuja dinâmica é expressa em movimento por meio da força que tal

campo atua sobre a partícula. A energia relativa ao movimento é chamada de energia cinética K ,tal que t r K K , .

3.1.2 O formalismo de Lagrange

A forma lagrangeana da mecânica clássica é definida pela diferença entre as energiascinéticas e potencial de um dado sistema.

U K L (3.7)

A função lagrangeana é escalar e descreve a dinâmica do sistema ao longo trajetória deste

através do espaço configuracional, o qual é composto pelas coordenadas generalizadas e

momentos generalizados q e p respectivamente, num espaço de n graus de liberdade, conforme

figura 3.1.



29

(Figura 3.1 – dinâmica do sistema através do espaço configuracional)

Como o lagrangeano L do sistema é função de i

qU U e iqK K , onde

iq a

velocidade generalizada, então

ii

qq L L , (3.8)

a qual é chamada de funcional, onde i = 1, 2, 3, ...,n.

Considerando então uma partícula compondo um sistema dinâmico, a integral do

lagrangeano L no espaço configuracional nos dará a ação L J desta partícula em sua evolução

temporal, ou seja,

t

t

ii dt qq L J

0

, (3.9)

Devido a função de Lagrange trabalhar unicamente com as energias potencial e cinética

do sistema, o espaço configuracional mostrará tal função imutável, determinando uma lei de

conservação, onde o sistema potencial newtoniano é um caso particular do lagrangeano. Neste

caso, o cálculo variacional mostra que resolver o as equações de Lagrange é o mesmo que

encontrar o caminho que minimiza a ação J da funcional L do sistema, o que nos leva ao



30

princípio de Hamilton. Para as equações resolvidas então, obtem-se a equação de Euler –

Lagrange que define a equação de Lagrange do movimento, ou seja

0

iiq

L

dt

d

q

L

. (3.10)

Onde, a partir do qual,

ii

iq

L

q

L

dt

d F

(3.11)

nos fornece a força generalizada sobre a partícula a [24, 25]. Por outro lado, também temos o

momento generalizado da partícula, onde a integral de (3.11) em relação ao tempo é definido por

i

iq

L p

. (3.12)

A grande vantagem do formalismo de Lagrange da mecânica é a simplicidade das

descrições dos sistemas pelo abandono dos campos vetoriais utilizados por Newton. O

formalismo de Hamilton da mecânica também incorpora esta simplificação realizada a partir da

mecânica de Lagrange, conforme veremos no formalismo de Hamilton da mecânica.

3.1.3 O formalismo de Hamilton

O princípio de Hamilton ou princípio da mínima ação proposto por William Rowan

Hamilton (1805 – 1865), é aquele cuja ação J do sistema é realizada no menor tempo possível

através dos potenciais extremos deste sistema (os quais são máximos e mínimos do mesmo).

Logo, tal princípio baseia-se na formalização de Lagrange da mecânica, onde o hamiltoniano H é



31

função de L, ou seja, a partir de (3.8) iiqq H H , [23, 24]. Para o hamiltoniano H que

representa a energia total deste quando conservativo, é representado por

U K H , (3.13)

o que em termos do Lagrangeano, nos dá

LK H 2 (3.14)

Assim, explicação de Hamilton da dinâmica dos sistemas mecânicos é

i

iq

H p

(3.15)

e

i

i p

H q

(3.16)

que em conformidade com (3.11) nos leva a

ii

iq

L

q

H F

(3.17)

A ação J para o princípio da mínima ação em termos do lagrangeano L, é dado pela

variação da integral de diferença na trajetória do espaço configuracional ao longo do tempo, o

que nos leva a

0,,0

dt t qq Lt

t

ii (3.18)



32

3.2 A MECÂNICA QUÂNTICA

A mecânica quântica promoveu uma grande revolução científica alterando os conceitos

que se tinha a respeito do mundo microscópico até o final do séc. XIX, bem como seus frutos,

uma revolução tecnológica e mudança de paradigma e racionalidade a respeito da natureza.

No início do séc. XX Max Planck (1858 – 1947) elaborou uma hipótese para a radiação

de corpo negro. Tal hipótese impulsionou outras pesquisas, como o efeito fotoelétrico,

desenvolvida por Einstein em 1905. Por outro lado, Niels Bohr (1885 – 1962) elaborara uma

teoria para explicar o espectro do átomo de hidrogênio, baseada na lei de Coulomb pela interaçãoelétrica do elétron com seu núcleo.

Posteriormente Arthur Compton (1892 – 1962) demonstrou experimentalmente o

espalhamento dos fótons na colisão com elétrons, ao passo que alguns anos mais tarde, surgia a

hipótese das ondas de matéria com Louis de Broglie (1892 – 1987) que consistiu em uma das

principais bases da mecânica quântica. Esta última hipótese permitiu que Erwin Schrödinger

(1887 – 1961) desenvolvesse uma equação que ampliava seu entendimento a esta questão, a qual

leva seu nome, enquanto Werner Heisenberg (1901 – 1976) postulava o princípio que leva seu

nome, o qual é considerado o alicerce do que então hoje é concebido como a mecânica quântica.

3.2.1 O Princípio de Heisenberg

A teoria quântica, tal como a mecânica estatística, tem caráter probabilístico e estatístico,

e não deterministico. Na mecânica clássica, posição e velocidade de um corpo em movimento sãograndezas mensuráveis que na prática podem ser realizadas sem grandes desafios. Contudo, o

mesmo não se dá no que se refere a partículas que constituem o mundo microscópico, tais como

os prótons os nêutrons e os elétrons, pois que não seguem a mesma lógica.

Heisenberg estabelece por princípio que há um limite na capacidade de mensuração

simultânea da posição e momento de uma partícula de ordem microscópica, afirmando por este



33

princípio de que é impossível adquirir a total precisão nesta medida, dado o fato de que a própria

medida inviabiliza a precisão do observado. Tal princípio é denominado Principio da Incerteza e

é expresso pela seguinte desigualdade:

2

p x , (3.19)

em que x é a incerteza com relação a posição da partícula e p a incerteza de seu momento, e

2

h , (3.20)

onde h é a constante de Planck e vale Jsh 341064,6 .

O princípio da incerteza levanta a questão da capacidade de mensurabilidade e da conexão

do ser humano com a realidade da natureza. Contudo, ele afirma em verdade que mesmo que

tenhamos instrumentos ideais, nunca poderemos obter resultados melhores do que (3.19), pois

que tal restrição não esta condicionada a capacidade de precisão de um instrumento qualquer,

mas sim ao produto p x numa medida simultânea de ambos.

Outra relação do princípio vem da medida da energia e do tempo necessário a realização

desta medida.

2

t E (3.21)

em que E é a incerteza quanto a energia mensurada e t o intervalo de tempo com que

ocorrem mudanças no sistema.

3.2.2 A Mecânica Quântica de Schrödinger



34

No ano de 1924 na Faculdade de Ciência da Universidade de Paris, Louis de Broglie

propôs em sua tese de doutorado uma hipótese original e inovadora, a qual foi imediatamente

reconhecida. Porem, por falta de evidências experimentais, não fora aceita naquele período. Sua

hipótese propunha a existência de ondas de matéria, isto é, de que o comportamento dual (onda –partícula) da radiação também se aplicava a matéria.

De acordo com o que foi defendido por de Broglie bem como por Einstein, que fica

estabelecido como postulado de de Broglie–Einstein tanto para a matéria quanto para a radiação

emitida por um corpo, a energia total E esta associada com a freqüência relativa ao

movimento dada por:

h E (3.21)

ou ainda com o seu momento

h p , (3.22)

onde é o comprimento de onda associado.

De fato sua proposta fora inovadora e influenciou uma gama de atividades experimentais

cujos resultados concordaram qualitativa e quantitativamente com as previsões de de Broglie,

onde J. G. Thomson (1892 – 1975) em 1927 verificou experimentalmente a difração do elétron,

comprovando que o mesmo também possuía as propriedades de onda. Em 1929, cinco anos após

a apresentação de sua tese, de Broglie recebeu o prêmio Nobel por seu trabalho graças as

confirmações experimentais de Thomson26, que recebeu tambem o premio Nobel por tal feito em

1937.

Tanto o trabalho de de Broglie quanto de Thomson foram fundamentais para estabelecer amecânica quântica como uma teoria ondulatória da matéria, um dos conceitos fundamentais da

mecânica quântica. A teoria de Schrödinger da mecânica quântica aprofunda este conceito e

26 É interessante notar que J. J Thomson (1856 – 1940), pai de J. G. Thomson, havia descoberto o elétron em 1897,recebendo o prêmio Nobel em 1906 por este feito. A este respeito, ironicamente Max Jammer escreveu o seguinte:“Pode-se ficar inclinado a dizer que Thomson, o pai, recebeu o Prêmio Nobel por mostrar que o elétron é umapartícula, e que Thomson, o filho, o recebeu por mostrar que o elétron é uma onda”.



35

mostra a dinâmica das partículas microscópicas em seu princípio dual, introduzindo uma equação

de onda da mecânica quântica.

Tal equação, que não se justifica por meio de dados experimentais, mas sim pela previsão

correta de resultados que podem ser verificados experimentalmente, tem caráter de postulado,cuja a construção pode ser baseada em quatro argumentos fundamentais, onde o primeiro diz que

ela deve ser consistente com os postulados de de Broglie – Einstein, ou seja, devem obedecer a

3.21 e 3.22.

O segundo argumento refere-se a consistência que deve existir na relação da energia total

E de uma partícula de massa m pela equação

V m

p E 2

, (3.23)

onde m p2 é a energia cinética da partícula e V sua energia potencial.

Caracterizando a propriedade ondulatória verificada por J. G. Thomson na análise do

elétron, o terceiro argumento esclarece que a função de onda

t

xsent x 2, (3.24)

deve possuir linearidade, garantindo que as funções de ondas de cada partícula de uma

determinado sistema possam ser somadas nas interferências construtivas e destrutivas das

interações.

O quarto e ultimo argumento é que a energia potencial 0, V t xV é constante para uma

partícula livre. Assim, o seu momento p será tambem constante de acordo com a lei de

movimento de Newton. Portanto de 3.21 e 3.22 associado à 3.23, nos dão:

ht xV m

h ,

2 2

2

, (3.25)

para a qual torna-se conveniente usarmos



36

2k (3.26 a)

e

2 , (3.26 b)

onde k é o numero de onda e é a frequência angular, o que nos permite reescrever (3.25)

como:

t xV m

k h,

2

22

(3.27)

Assim, pelo terceiro argumento, e verificando que temos o fator k 2 em um termo e em

outro de (3.27), sugere-se então que devemos tomar a segunda derivada espacial de t x, e a

primeira derivada temporal de t x, desta equação, o que nos da

t

t xt xt xV

x

t x

,,,

,2

2

(3.28)

em que α e β são parâmetros constantes que permite dar flexibilidade a diversas exigência para a

solução, cuja a determinação nos dá

m2

2 (3.29 a)

e

i . (3.29 b)



37

Com isto, a solução de (3.28) é uma solução que satisfaz as hipóteses relativas à equação

de onda da mecânica quântica, comumente conhecida por equação de Schrödinger.

t

t xit xt xV

x

t x

m

,,,,

2 2

22

(3.30)

A teoria de Schrödinger específica quais as leis do movimento ondulatório que as

partículas de qualquer sistema obedecem, onde cada sistema tem especificada a equação que

controla o comportamento da função de onda. É tambem uma generalização, que inclui a teoria

de Newton como um caso especial e as preposições das ondas de matéria de de Broglie [27].

3.3 A INVARÂNCIA DA MECÂNICA EM RELAÇÃO AO TEMPO

As leis da mecânica, clássica ou quântica, são invariantes em relação ao sentido do tempo,

de tal maneira que este ente físico é considerado como um parâmetro absoluto e linear, que

transcorre de forma independe e alheio às demais grandezas físicas pertencentes à natureza. A

mecânica, por meio do tempo como parâmetro absoluto, é simétrica em todo um intervalo

avaliado T t t 0 .

Isto significa que se tomarmos um sistema mecânico S qualquer, cuja descrição é dada em

função do tempo por t f S , ao atribuirmos a este sistema mecânico a condição de um

parâmetro de tempo t , dado por

0t t T t , (3.31)

o sistema transcorrerá no sentido inverso a partir de T .

O sistema mecânico irá conservar todos os estados ocorridos nos intervalo T t t 0 no

novo intervalo T t t 0 tomado no sentido inverso. Todos os estados mecânicos decorrentes



38

do sentido evolutivo de t , serão idênticos aos estados mecânicos de t , diferindo apenas em sua

ordem sequêncial, que será inversa.

3.3.1 Exemplo Clássico

Para efeitos de exemplificação, adotamos o Software Modellus 4.1 (que por simplicidade

designamos Modellus) como recurso computacional de simulação de um sistema físicos t f S

a partir de interações numéricas realizadas às varias adotadas em nosso sistema, que no caso

serão t e t de (3.31).Seja um oscilador simples cujas oscilações são dadas por

t SS cos0 (3.32)

onde 0S é a amplitude do oscilador, é a frequência angular de oscilação e é sua fase.

Para um sistema oscilatório que seja amortecido, a amplitude vai diminuindo a cada

oscilação a partir de um parâmetro de resistência que causa o amortecimento, o que caracterizauma curva de decremento, a qual é expressa por

t eSd 0 (3.33)

Assim, se nosso sistema físico t f S , é um oscilador harmônico amortecido, ele então

será expresso pela associação de (3.32) com (3.33), ficando

t et SS cos0 (3.33)

A evolução do sistema é representada pelo gráfico da figura (3.1), onde no eixo horizontal

está a variável t e na vertical o estado S, mostrando a variação da amplitude a cada período. Na

figura 3.2 esta o representado o campo de inserção do modelo matemático, onde inserimos a



39

equação (3.33), onde consideramos a fase 0 conforme se verifica no próprio gráfico da figura

3.1.

(Figura 3.1 – Gráfico de iteração do Modellus, apresentando a evolução de S, dado por (3.33))

(Figura 3.2 – Inserção do modelo matemático da equação (3.33) no Modellus)

Para verificar a simetria mecânica deste sistema em relação ao tempo, isto é, sua

invariância em relação ao tempo, tomamos o intervalo T t t 0 correspondente ao gráfico da

figura 3.1 e, em substituição, vamos inserir a variável de tempo t , dado por (3.31), realizando a

iteração no Modellus no intervalo T t t 0 .



40

Com isso, faremos o sistema regredir a partir de T , e encontramos o sistema perfeitamente

simétrico, desenvolvendo os mesmos pontos de instabilidade do gráfico da figura 3.1, porem em

ordem inversa a deste último, o que pode ser verificado no gráfico da figura 3.3, cujo modelo

matemático para reversão, foi inserido no Modellus conforme figura 3.4.

(Figura 3.3 – Gráfico de iteração do Modellus, apresentando a evolução de S no sentido inverso)

(Figura 3.4 – Modelo matemático de reversão do sistema S inserido no Modellus)

É importante notar que o gráfico da figura 3.3, pela iteração do tempo na ordem inversa,

sugere que o sistema poderia retornar de forma espontânea aos estados anteriores. Contudo,



41

sabemos pela equação (3.5) que tal feito requer uma força externa, que no caso deste exemplo, é

a força de resistência que dissipa a energia do sistema amortecido S.

Iremos verificar na seção 4.5.3 que num sistema mecânico de N partículas, a atuação de

uma força externa não é o suficiente para fazer com que o sistema retorne aos seus estadosanteriores. Este feito ira depender da probabilidade dele ocorrer ou não.



42

4 A TERMODINÂMICA ESTATÍSTICA

Historicamente, a termodinâmica construiu-se independente da mecânica por suacaracterística fenomenológica. Nossa observação da natureza não traduz que os sistemas físicos

são completamente conservativos como pudemos verificar claramente em (3.6) e (3.10), o que

nos levará, nestes termos, a um dos princípios fundamentais da termodinâmica em sua tarefa

descritiva dos processos irreversíveis; a entropia.

Com base nos princípios de Carnot, Clausius e Kelvin, donde suas formulações

constituem em teorema à termodinâmica estatística, apresenta-se a termodinâmica em seu

formalismo tradicional estabelecendo uma conexão entre as grandezas macroscópicas que sãodiretamente observáveis com os conceitos e as grandezas de dinâmicas microscópicas.

A mecânica estatística consiste na explicação das leis e resultados da termodinâmica

como teoria fenomenológica através de considerações a cerca da imensa quantidade de partículas

que compõem os corpos macroscópicos. O universo microscópico destas partículas em incessante

movimento é regido pelas leis da mecânica, onde a rigor, são dadas pela mecânica quântica e em

muitos casos com uma excelente aproximação, observando-se o grau de precisão que se deseja,

pela própria mecânica clássica [23].

A mecânica em si, que ocupasse da descrição e análise do movimento, das forças sobre

um corpo e suas variações de energia, explicaria diretamente por suas leis o comportamento dos

corpos macroscópicos. No entanto esta tarefa torna-se inviável para o imenso número de

partículas, da ordem do número de Avogadro (A ≈ 6 x 1023) [23, 24].

Contudo, onde poderíamos esperar uma total incapacidade de definir suas características e

comportamentos, surgem neste imenso número de partículas novas e distintas regularidades.

Estas regularidades são as leis estatísticas que aplicadas à mecânica (clássica ou quântica), dão

fundamentos à mecânica estatística. Boltzmann e Maxwell foram pioneiros na tarefa de descreverclassicamente a mecânica dos sistemas microscópicos, utilizando o método estatístico na busca

de explicar os fenômenos termodinâmicos macroscópicos.

Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903), com uma teoria bem estabelecida a partir dos

chamados ensembles de Gibbs e o potencial termodinâmico, tambem trouxe contribuições à



43

mecânica estatística de equilíbrio e vem sendo utilizada numa série de problemas da física teórica

e aplicada.

4.1 O MÉTODO ESTATÍSTICO

A descrição estatística dos sistemas termodinâmicos conduz a mecânica à métodos bem

estabelecidos que permitem a explicação dos fenômenos observados. A termodinâmica, por ser

uma teoria fenomenológica, requer que o estudo que busque sua descrição possibilite

interpretações que possam ser confrontadas com o observado na natureza. Assim, devemosestabelecer as variáveis e os elementos que definem o método estatístico.

Num sistema termodinâmico clássico uma partícula pode possuir três graus de liberdade,

os quais entendemos classicamente como as três dimensões do espaço e pode encontrar-se em um

determinado estado de energia. O método de se encontrar uma partícula (ou coleção de

partículas) em uma determinada posição do espaço q ou a um determinado estado de energia

proporcional ao momento p é a analise probabilística [23]. Esta análise requer alguns elementos

característicos do método estatístico tais como a probabilidade da ocorrência de um evento em N

eventos possíveis bem como valores médios e desvio padrão, que dão os devidos significados de

tais ocorrências mediante o conjunto total de eventos [9, 23].

4.1.1 A probabilidade de um evento

Seja o lançamento de dados não viciados em que cada lado do dado tem probabilidadeigual de cair com sua face voltada para cima; torna-se imediata a pergunta – qual a probabilidade

de o dado cair com um número específico, o número três por exemplo, voltado para cima? Neste

lançamento, poderia se ter em mente que são inúmeras as variáveis que determinariam a

ocorrência do evento como posição, momento angular etc..., no entanto torna-se útil e

aconselhável que se observe este tipo de evento sobre um olhar probabilístico, de maneira que a



44

tarefa de medir muitas variáveis, e tão sensíveis em sua dinâmica, é impraticável, suscitando um

campo de estudo específico, regido pelas leis do caos [2, 23].

Assim, a probabilidade de um dado cair com a face três voltada para cima é 1/6, pois o

mesmo possui seis lados com igual probabilidade de ficar com sua face voltada para cima. Se juntamente com este dado, houvesse outro dado semelhante e nas mesmas condições, a

probabilidade de obter a face três para os dois dados em um único lançamento é independente, de

modo que a probabilidade é 1/36, pois há 36 arranjos possíveis e somente um destes tem o

arranjo com os dois dados com a face três voltada para cima.

Assim, a probabilidade de uma determinada face depende do número M de dados

envolvidos, bem como a probabilidade fundamental p de cada face.

M p p p ... (4.1)

Se estes M dados separam-se em dois grupos, digamos A e B, onde cada grupo tem um

total de faces diferentes com probabilidade p e q, em que M se subdivide em M = M A + M B, então

B A M M q pqq p p ...... (4.2)

Para um determinado arranjo, temos o fator combinatório que distribui seus M elementos

em grupos distintos;

!!

!

B A M M

M (4.3)

Associando (4.2) à (4.3), tem-se então a probabilidade de um determinado arranjo ocorrer

a partir da distribuição da sua população expressa pela famosa distribuição binomial.

B A M M

B A

q p M M

M M W

!!!

(4.4)



45

4.1.2 Valores médios e o desvio padrão

O espaço amostral27 dos resultados possíveis de sistemas da ordem do número deAvogadro possui um grande subconjunto de eventos possíveis. Assim, torna-se obviamente

necessário representar os resultados de interesse da forma mais significativa possível. A média de

uma variável aleatória u, que pode assumir M valores discretos é expressa por:

M

j

j juPuu

1, (4.5)

em que j j uPP é a probabilidade de u j ocorrer e devidamente normalizada, isto é, 1 juP .

Para uma função de u, teremos então a média da função, tal que:

M

j

j juPu f u f

1

. (4.6)

Assim, com os valores médios de M eventos, pode-se obter uma informação importantesobre o quão homogêneo é o espaço amostral. Tal informação é dada pela dispersão, também

chamada de variância ou segundo momento, dada a ordem de grau 2 a qual é definida como:

222uuu (4.7)

que leva a forma do desvio padrão

22 uu . (4.8)

27 O conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado de espaço amostral.



46

Assim a informação de (4.7) e (4.8), “indica se a distribuição é muito fina, centrada no

valor médio, ou muito espalhada, com grandes flutuações de valores em torno da média” [23,

p.24], conforme se verifica nas figuras 4.1 e 4.2..

(Figura 4.1 – dispersão larga em torno do valor N 1)

(Figura 4.2 – dispersão fina em torno do valor N 1)

4.1.3 O Caminho aleatório



47

As partículas de um sistema dinâmico estão sujeitas a alterações de suas posições e

momentos. Como a coleção de partículas de um sistema macroscópico do qual se deseja

mensurar suas propriedades é da ordem do número de Avogadro, torna-se impraticável a

observação das alterações dos estados de cada partícula. Tal tarefa caberia somente ao demônio

de Maxwell28. Assim, desconsideramos o caráter determinístico que tais partículas poderiam

assumir em presença do ser “mítico” de Maxwell e estabelecemos que seus estados de

movimento são aleatórios.

Considerando inicialmente o caso unidimensional em que uma partícula se desloca um

comprimento L para direita ou para a esquerda a cada passo, com probabilidade p e q

respectivamente. Tal partícula tem a probabilidade W N de dar N 1 passos a direita e N 2 passos a

esquerda, num total de N passos, onde a partir de (4.4), tem-se que

21

!!

!)(

211

N N

N q p N N

N N W , (4.9)

em que 1 q p e N N N 21 . Nota-se também que 10 1 N W N para 10 1 N como

uma distribuição devidamente normalizada29 onde a probabilidade é um número positivo que

varia entre 0 e 1.A probabilidade P N (m) do indivíduo se encontrar numa posição x = mL, onde m é um

número inteiro representado pela diferença m = N 1 – N 2, será dada por

22

!2

!2

! m N m N

N q pm N m N

N mP

. (4.10)

Os fenômenos de difusão no problema do caminho aleatório podem ser expressos por uma

equação estocástica de diferenças, isto é, uma equação de diferenças cujas variáveis são

aleatórias. Neste caso, a probabilidade de uma partícula encontrar-se na posição x = mL num

28 Trata-se de um minúsculo ser inteligente imaginado por Maxwell, cujas faculdades são tão aguçadas que eleconseguiria acompanhar cada molécula, conseguindo classificá-las e separá-las.29 O valor de uma função normalizada é estabelecido como resultado valor igual a 1 (um).



48

dado instante t = N τ segue a relação de recorrência, onde somente será possível atingir tal

posição num dado instante t = ( N + 1) τ, quando a partícula encontrar-se na posição x = (m + 1) L

ou x = (m – 1) L, que é dada por:

111 mqPm pPmP N N N . (4.11)

As sequências em que a probabilidade num dado instante depende unicamente da

probabilidade do instante anterior são conhecidas por cadeias de Markov, discutida na seção 6.1.

Numa relação equiprovável em que p = q = 1/2, considerando o limite em que τ e L são

muito pequenos, temos uma representação contínua que se expressa na famosa equação

diferencial da difusão [23].

2

2

x

P D

t

P

(4.12)

onde 22 2 L D .

Os valores médios de N 1 e N 2 passos no caminho aleatório podem ser obtidossubstituindo-os no lugar de u em (4.5), onde a probabilidade de P (u j) = W N ( N 1) se distribui em N

valores. Assim, para a média de N 1, fazemos o produto de p pela derivada u / p e

analogamente, a média de N 2 será o produto q pela derivada de u / q, o que nos resulta em

pN N 1 (4.13a)

qN N 2 (4.13b)

Procedendo de maneira semelhante, fazendo no entanto p2(2u / p2) e p

2(2u / q2) a N 1

2

e N 22, obtem-se a dispersão em relação a média,

Npq N 21 , (4.14)



49

que leva ao desvio padrão, o qual também chamaremos de ,

N pq N 212

1 , (4.15)

a qual permite tambem verificar o desvio relativo em relação à média,

N p

q

N

121

1

(4.16)

indicando que, a medida em que N é muito grande, a distribuição binomial fica centrada em torno

do valore médio N 1.

4.1.4 A distribuição Gaussiana

Com a variável aleatória u assumindo qualquer valor em um intervalo entre a e b, a

probabilidade pela forma diferencial p(u)du, sugere que tal variável assuma valores que estejam

entre u e u + du, de tal modo que temos uma distribuição contínua de probabilidades

devidamente normalizada expressa por:

1b

a

duu p (4.17)

Assim, podemos escrever uma generalização de (4.6) que representa a média de uma

função discreta, obtendo

b

a

duu pu f u f (4.18)



50

A aproximação gaussiana assume valores contínuos em um extremo relativo de W N ( N 1).

Na realidade, esta aproximação é dada por uma expansão da série de Taylor à (4.1) no limite em

que N em que W N (0) = q N 0 e W N (0) = p N 0 (onde eliminam-se os fatoriais pela

expansão assintótica de Stirling), onde fica conveniente usar 1ln N W N

por sua lenta variação.

Isto nos permite escrever a distribuição gaussiana, tambem chamada de distribuição normal.

2

2

2exp

2

1

uuu p (4.19)

4.1.5 A distribuição de Boltzmann

Um sistema com um grande número de entes físicos do mesmo tipo (elétrons, moléculas,

íons, etc..) em equilíbrio térmico a uma temperatura T , trocam energias entre si em qualquer

instante de tempo, onde alguns tem maior energia e outros menor energia. A distribuição da

energia E do sistema possui probabilidade definida e seu valor médio E é determinado pela

distribuição de probabilidades, possuindo um valor definido pela temperatura T do sistema.

“A presença de um ente em algum estado de energia particular não inibe nem proíbe de

forma alguma a chance de que outro ente idêntico esteja neste estado” [27, p. 858]. Definimos a

probabilidade de encontrar um ente num estado de energia E como sendo P(E). Com isso,

considerando que há diferentes estados de energia, e que estes estados seguem probabilidades

independentes, de acordo com produto das probabilidades independentes dado por (4.1), temos

que:

n E P E P E P E P ...21 . (4.20)

Para definir de forma unívoca a função de probabilidade, usamos a função exponencial,

conforme (4.2), que tem a propriedade de considerar o produto das probabilidades e somar seus



51

expoentes. Assim, o expoente desta função deve ser dado em função de se encontrar um ente num

estado de energia E em razão da energia E 0 do sistema, que é proporcional a sua temperatura T .

Por tanto, considerando

kT E 0 , (4.21)

onde K J k / 1038,1 23 representa a constante de Boltzmann, (4.20) de acordo com (4.2) e

usando (4.21), fica sendo

kT E

ne A E P

, (4.22)

onde a constante A é um parâmetros característicos do sistema.

A probabilidade de encontrara um oscilador harmônico simples com energia entre E e E +

dE , deve ser adquirida pela integral no intervalo de zero a infinito com a total certeza de

encontrar este ente em tal estado energia. Assim, este cálculo deve estar devidamente

normalizado, isto é, seu resultado tem valor igual a um, ou seja

10

dE E P (4.23)

Substituindo (4.22) em (4.23) e resolvendo o cálculo, obtemos o valor do parâmetro A,

que como já mencionado, é característico do sistema, e por isto obtemos

kT

A1

. (4.24)

Desta forma, associando (4.22) a (4.24) encontramos

kT

e E P

kT E

n

, (4.25)



52

Que é a função de distribuição de Boltzmann que tem a propriedade de informar a

probabilidade de encontrar um ente em qualquer estado de energia.

4.1.6 A distribuição de Maxwell – Boltzmann

A distribuição de Maxwell – Boltzmann é um caso particular da distribuição de Boltzmann

e consiste numa distribuição da probabilidade das velocidades dos entes que constituem o sistemanum intervalo de velocidade entre v e vv d que é praticamente constante. Ela corresponde à

velocidade mais provável no sistema de colisões, o qual nos restringimos a um gás ideal

monoatômico clássico, mostrando-a então como uma função da temperatura do sistema.

As partículas de um dado sistema possuem diferentes velocidades no espaço por elas

ocupado, onde cada uma muda sua velocidade devido ao incessante processo colisional que

ocorre entre elas através da transferência de momento. A velocidade do conjunto de partículas

deste sistema esta relacionada com a temperatura do sistema macroscópico.

Em um sistema em equilíbrio ou próximo do equilíbrio térmico, onde temos isotropia do

espaço para as velocidades moleculares, as diferentes direções do espaço possuem probabilidades

iguais, isto é, a média das velocidades das partículas em diferentes direções é igual, ou seja,

z y vvv x . (4.26)

Devido ao sistema ser isotrópico, isto nos leva a teorema da equipartição de energia. Em

verdade, a distribuição de Maxwell – Boltzmann trata-se de uma distribuição de equilíbrio onde a

distribuição de velocidades entre as partículas do sistema não mais se alteram em face a

equipartição de energia, o que pode ser constatado a partir do teorema H de Boltzmann para a

rota do sistema ao equilíbrio na seção 4.7.

As colisões entre as partículas aparecem como o mecanismo microscópico que leva o

sistema ao equilíbrio, o que fica em acordo com (4.33). Assim, simplificamos a distribuição de



53

um sistema clássico de partículas a (4.26) por ser independente da natureza de interação entre as

partículas ou a um campo externo.

T k

m

kT

m f

z y x

z y x

2222 / 3

2exp

2,,

vvvvvv

. (4.26)

onde m é a massa, T é a temperatura eK

J k 231038,1 é a constante de Boltzmann.

4.2 DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DE UM SISTEMA CLÁSSICO DE PARTÍCULAS

Conforme pudemos verificar, um sistema físico de partículas é governado pelas leis da

mecânica (clássica ou quântica). Em se tratando de uma descrição clássica, vimos pela seção

3.1.2 que um dado sistema pode possuir n graus de liberdade a partir de sua n coordenadas

generalizadas q1..qn e momentos p1...pn. Para N partículas no espaço euclidiano30, são 3 N

coordenadas generalizadas de posição e de momento através do espaço configuracional, onde

cada estado microscópico do sistema é representado um ponto pqP , no espaço

configuracional, o qual pode representar um conjunto de partículas no mesmo estado

microscópico.

30 Por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “Geometriaeuclidiana”, que é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.



54

(Figura 4.3 – ponto representado estão microscópico sobre o espaço configuracional)

Já a dinâmica do sistema através do tempo fornece um conjunto de pontos sobre o espaço

configuracional, delineado um espaço contínuo compatível com as condições macroscópicas do

sistema, tal como a energia o volume ou número de partículas.

(Figura 4.4 – conjunto de pontos compatível com as condições macroscópicas do sistema)



55

Assim, temos a função densidade ),,( t pq , em que dpdq fornece o número de

estados microscópicos acessíveis de um determinado sistema em dado instante t . Estes estados

acessíveis do sistema constituem um ensemble estatístico.

4.3 DESCRIÇÃO ESTATÍSTICA DE UM SISTEMA QUÂNTICO

Mesmo para um sistema quântico de partículas, geralmente não é necessário dispor de

uma informação detalhada para determinar suas propriedades mais importantes. Aplicando

princípios gerais da mecânica, tais como as leis de conservação a um sistema de muitaspartículas, poderemos ignorar os detalhes de movimento e interação de cada partícula deduzindo

propriedades simples a partir de considerações exclusivamente estatísticas.

Assim, as trocas de energia das partículas, mesmo flutuando entre valores maiores e

menores que a energia por partícula do sistema, devem distribuir-se de acordo com a distribuição

de Boltzmann dada na seção 4.1.5. [23, 27].

Seja um sistema estacionário caracterizado pela função de onda ,..., 21 qq , podendo ser

escrita pelo hamiltoniano do sistema por suas autofunções completas de tal operador.

n

nnc (4.27)

ou

nnn E H , (4.28)

em que H é o operador hamiltoniano e n são os números quânticos dos auto-estadosn , que

fornecem uma maneira simplificada de contar os “estado microscópicos” do sistema. Importante

observar aqui que a mecânica quântica já possui um carter estatístico intrínseco, mas que é

distinta à distribuição dos microestados do sistema [23].



56

4.4 ENSEMBLE ESTATÍSTICO

O conjunto dos pontos do espaço de fase clássico, acessíveis a um determinado sistema,

constitui um ensemble estatístico. Uma trajetória a partir do instante t 0, com 3 N graus de

liberdade tem, pela mecânica clássica, sua dinâmica governada pelo hamiltoniano do sistema, tal

que t pq H H ,, , o qual obedece as equações (3.15) e (3.16).

As trajetórias jamais se cruzam no espaço de fase, visto serem parametrizadas pelo tempo

t , que a princípio transcorre contínuo e absoluto. O número de pontos numa região do espaço defase num dado instante t , é caracterizado por dt dqt pq ,, nas coordenadas q e dqq , p e

dp p em que a densidade tem a evolução temporal t , definida pelos colchetes de Poisson,

representado na forma diferencial

t

H dt

d

, . (4.29)

Como as trajetórias jamais se cruzam, o número de pontos no espaço configuracional se

conserva, o que pode ser representado pela equação de continuidade

SV S

dvdt

d Sd J

, (4.30)

para o fluxo pqv J

, , em que v

é uma velocidade generalizada e S é uma

hipersuperfície fechada que engloba o hipervolume V . Aplicando o teorema de Gauss à (4.29),

obtem-se a equação diferencial da continuidade (4.30), cujo o hamiltoniano nos dá

t

H p p

qq

, . (4.31)



57

O teorema que apresenta a densidade dos pontos no espaço de fase numa situação de

equilíbrio, depende apenas das coordenadas generalizadas q e p, tal que pq , varia através

de uma função do hamiltoniano pq H H , do sistema, onde então

0,0 H dt

d

. (4.32)

Assim, como todos os microestados acessíveis do sistema constituem um ensemble

estatístico, com os quais representam em seu conjunto, exatamente o sistema macroscópico, a

trajetória deste sistema no espaço de fase deve visitar todos os pontos do ensemble no decorrer do

tempo. Isto fundamenta a hipótese ergódica utilizada por Boltzmann, na substituição da médiatemporal de uma grandeza física f obtida em laboratório por uma média instantânea do ensemble

estatístico conforme se constata no teorema H de Boltazmann, da na seção 4.7.

Com isto, o postulado fundamental da mecânica estatística de equilíbrio, mostra que todos

os microestados acessíveis do sistema são igualmente prováveis em um sistema fechado de

energia fixa, onde a densidade permanece constante e nula na região do espaço de fase

inacessível ao sistema.

A densidade dos pontos no espaço de fase e, portanto, a densidade de probabilidade

associada ao sistema, constitui um conjunto de subsistemas idênticos, isto é, um conjunto

estatístico, ou ensemble, a que designamos por . Todos os subsistemas de um ensemble têm

os mesmos pontos no espaço de fase, pois são constituídos de partículas com as mesmas

coordenadas generalizadas do espaço de fase, estando portanto, no mesmo estado de energia.

4.5 AS LEIS DA TERMODINÂMICA

A Termodinâmica estuda as mudanças de temperatura, pressão e volume em sistemas

físicos a nível macroscópico. Vislumbra de outra forma a maneira como a energia mecânica de

um sistema pode gerar energia térmica, bem como esta energia térmica pode gerar energia

mecânica. A Termodinâmica desenvolveu-se pela necessidade de aumentar a eficiência das



58

primeiras máquinas a vapor com o desenvolvimento da segunda lei da termodinâmica por Sadi

Carnot no século XIX [9, 10].

Um sistema macroscópico a uma temperatura T , um volume V e uma pressão P, constitui

um sistema termodinâmico. A descrição mecânica de suas transformações tornar-se-iaimpraticável sem as devidas ferramentas estática, e tão pouco haveria proveito em suas soluções

caso isto fosse possível.

Portanto, a descrição termodinâmica é sempre uma descrição macroscópica do sistema.

Contudo, nos dá informações empíricas valiosas sobre a média do estado dinâmicos do sistema

[9, 23].

4.5.1 Lei zero da termodinâmica

A lei zero, embora constitua um princípio fundamental e elementar da termodinâmica, ela

foi formulada posteriormente à primeira, e com isso viu-se a necessidade de colocá-la em ordem

às demais leis, sendo denominada por esta razão de lei zero.

Definimos a temperatura como uma propriedade macroscópica do sistema que caracteriza

o estado microscópico do mesmo em termos de sua energia, de tal modo que está diretamente

relacionada com esta. Se dois sistemas tem temperaturas 1T e 2T , com 21 T T , então não há

equilíbrio térmico, o que estabelece uma transferência de energia, o calor, do sistema de maior

temperatura para o de menor temperatura. Supondo 21 T T , temos tal situação expressa pelo

diagrama da figura 4.5



59

(Figura 4.5 – Diagrama da transferência de calor devido diferença de temperatura)

O equilíbrio térmico existe entre os dois sistema na media em que o estado termodinâmico

não varia com o tempo, de tal maneira que

21 T T , (4.33)

e por conta disto, cessando a transferência de calor de um sistema para outro, conforme figura

4.6.

(Figura 4.6 – Equilíbrio térmico entre dois sistemas)

Com o sistema térmico em equilíbrio, não há trocas de calor. Sabendo ainda que a lei

zero, embora fundamental, foi formulada com base na primeira e segunda lei, por não haver

torças de calor, consideramos então em (4.48) 0dQ , o que nos leva a



60

dW dU , (4.34)

que pode ser escrito da seguinte forma a parti de (3.5) e (4.34):

rFd dU . (4.35)

Como não há trocas de calor, a energia U especificada pelo sistema é uma energia

exclusivamente interna que se deve a energia de seus entes, isto é, de suas partículas, onde o

sistema macroscópico possui uma temperatura T . Com o objetivo de verificar a relação da energia

deste sistema com a sua temperatura, fazemos a partir de (3.1)

rd dt

dpdU , (4.36)

o que nos dá

dt

d dpdU

r , (4.37)

que pode ser escrito como

vv d mU , (4.38)

onde a massa m das partículas são constantes. A energia média total do sistema de N partículas

nos trás então a solução

2

2vm

N U . (4.39)



61

Esta comparação nos leva a verificar que o trabalho representado em (4.34) refere-se ao

movimento das partículas do sistema que compõem energia cinética das mesmas. A equipartição

da distribuição das velocidades é a média das velocidades das partículas no sistema pela isotropia

do espaço, dado por (4.26). Portanto

2

2vm

N U . (4.40)

Pela lei geral dos gases, desenvolvida a partir da teoria cinética dos gases, temos

NkT PV (4.41)

e a relação

U PV 3

2 . (4.42)

Associando (4.41) à (4.42), e mantendo a energia U dos sistema como variável isolada,

obtemos

NkT U 2

3 . (4.43)

Por fim, substituindo (4.43) em (4.40) e isolando a temperatura T do sistema, obtemos a

expressão vT T que mostra a temperatura do sistema em função da média das velocidades

das partículas do sistema.

2

3

1vm

k T . (4.44)



62

Este é um resultado que nos dá uma boa noção do estado macroscópico do sistema ao

comparar seu comportamento em termos de sua dinâmica molecular, nos trazendo tambem a

informação da energia cinética média por molécula deste sistema.

Para dois sistemas 1 e 2 em equilíbrio térmico com 21 T T , verificamos que ambos tem a

mesma energia cinética média por molécula e que portanto, o equilíbrio térmico tambem constitui

um equilíbrio mecânico entre os sistemas 1 e 2.

4.5.2 Primeira lei da termodinâmica

A primeira lei da termodinâmica, baseia-se no princípio de Helmholtz e estabelece que na

natureza não há criação nem destruição de energia, ou seja, estabelece a lei de conservação dos

sistemas termodinâmicos.

Seja um micro-sistema com uma coleção de N partículas confinadas num volume V i,

realizando um trabalho ao longo do caminho rd por meio de uma força F , temos que tal

trabalho é dado por

rF d dW (4.45)

Como o caminho se estende por toda a superfície que envolve o macro-sistema de N +nN

partículas (em que 1n ), a pequena coleção N deste conjunto de partículas atuará com a força

F sobre uma superfície elementar sd , estabelecendo com isto, uma pressão p no micro-sistema.

Por esta razão, o conjunto de N partículas estará confinada num pequeno volume dV , tal que o

trabalho realizado ao longo do caminho rd nos leva a

dV pdW , (4.46)

o qual é integralmente realizado no macro-sistema por meio de sua mudança ao volume final V f a

partir de



63

f

i

V

V

dV pW . (4.47)

Através da alteração do volume, o sistema pode receber ou ceder calor, o que vale a

recíproca. De modo independente do processo que leve o sistema de um estado inicial ao seu

estado final por alterações infinitesimais, a sua energia interna não varia, em acordo com a

seguinte lei de conservação

dW dQdU . (4.48)

4.5.3 Segunda lei da termodinâmica

A segunda lei da termodinâmica nos revela a parcela da energia que não pode ser

convertida em trabalho, em que os processos de sistemas termodinâmicos reais são irreversíveis,

ao que também é chamado de morte termodinâmica. Atrito e fluxos de calor, por menores que

sejam, estão sempre presentes e as diferenças de pressão e temperatura entre um sistema e seuambiente provocam alterações que em geral, não podem ser consideradas infinitesimais.

Tal parcela de energia revelada pela segunda lei da termodinâmica é expressa pela

grandeza denominada entropia, a qual mede o grau de desordem a que este sistema se submete na

medida em que evolui por variações infinitesimais, chamadas de quase-estática, a partir de sua

perda de calor Qd , em razão de sua temperatura T , sendo expressa por

T

Qd

dS (4.49)

Não existe procedimento algum que permita a entropia de um sistema diminuir em

relação ao seu ambiente. “As únicas mudanças possíveis num sistema isolado são aquelas em que

a entropia do sistema sempre aumenta ou permanece constante. Processo nos quais a entropia



64

diminui não ocorrem” [11, p. 253] e é somente em processos reversíveis que a entropia poderia

permanecer a mesma.

Caso os sistemas fossem de alguma forma reversíveis, poderia se verificar uma

diminuição da entropia, mas isto resultaria em consequente aumento ainda maior da entropia doambiente relativo ao sistema entre os seus estados inicial e final. Com isto, sabemos que a

variação de entropia de um sistema com sua vizinhança em um estado inicial A, a um estado final

B, é dado por

B

A

A BT

Qd SS , (4.50)

que é sempre maior ou igual a zero, isto é,

0S . (4.51)

Fundamentalmente, a entropia é uma função de estado tal que N V U SS ,, , onde

definimos a partir da primeira lei da termodinâmica por (4.48), a segunda lei da termodinâmica,

ou seja, a entropia, como função de estado tal que

dN N

SdV

V

SdU

U

SdS

. (4.52)

Seja um gás monoatômico ideal em um sistema perfeitamente isolado confinado num

volume inicial iV num instante de tempo inicial t 0 em uma região de volume V , tal que V V

i e

constituído de N partículas a uma temperatura T , onde consideramos que iV V é vácuo,

conforme figura 4.7.



65

(Figura 4.7 – Gás confinado num volume inicial iV – Boltzmann 3D)

Ao remover a partição em t = 0, conforme figura 4.8, o gás estará livre para expandir.

(Figura 4.8 – Gás em t = 0 após remoção da partição – Boltzmann 3D)

iV

V



66

Considerando a expansão livre como quase-estática, onde em uma infinita sequência de

processos em equilíbrio, no sentido em que o gás tem o espaço de V V i conforme figura 4.9,

não há transferência de calor nem a realização de trabalho. Portanto, temos na forma (4.52) da

segunda lei da termodinâmica, que a energia não varia na expansão a partir de

0

dU

U

S. (4.53)

(Figura 4.9 – Aumento de entropia do gás com V V i – Boltzmann 3D)

Considerando ainda que o número de partículas é constante no sistema, isto é

0dN

N S , (4.54)

temos que o aumento de entropia é dado em função da ocupação das N partículas, tal que

dV V

SdS

. (4.55)



67

A entropia permanece então como função de estado, mas apenas na dependência do

volume ocupado pelo gás de N partículas de modo que N V SS , , onde N não varia. Assim, a

partir de (4.55) podemos escrever

f

i

V

V

BV

dV k N S , (4.56)

o que nos resulta em

i

f

BV

V k N S ln , (4.57)

onde K J k B

231038,1 é a constante de Boltzmann.

Esta expressão (4.57) apresenta a entropia como uma proporção à diferença entre os

logaritmos do volume inicial e final. Contudo, o aumento incondicional da entropia, de acordo

com (4.51), alicerçada pelos fatos empíricos, depende da dinâmica de um conjunto de N

partículas, cujas propriedades estocásticas obedecem às leis probabilísticas.

Desta forma, verificamos que a expansão do gás pode ser dada por uma função de

probabilidade, tal como (4.1), onde podemos escrever a probabilidade de que ele ocupe o volume

f V , seja expressa por

N

f

f V

V p

. (4.58)

Como V V f , (4.58) representa a probabilidade máxima de evolução do sistema, isto é

1

N

f

f V

V V p , (4.59)



68

onde para t , teremos que 1 p .

A probabilidade do sistema, após atingir o estado mais provável que corresponde a um

estado de equilíbrio no volume f V , retornar ao estão anterior correspondente ao volume iV ,

esboçado na figura 4.8, é então dado, similarmente à (4.56) por

N

ii

V

V p

. (4.60)

Como f i V V , com N da ordem do número de Avogadro, temos

0

N

ii

V

V p . (4.61)

4.6 ENTROPIA E PROBABILIDADE

Verificamos que o conjunto das N partículas tem a probabilidadei

p de assumir o volume

iV ou f p de assumir o volume f V dado por (4.58) e (4.60), as quais podemos reescrever na

forma

N

f

i

f

i

V

V

p

p

. (4.62)

Se ao assumir que um sistema qualquer pode estar em dado estado 1 com probabilidade

1 p ou num outro estado 2 com probabilidade 2 p , de modo que são eventos independentes, então

a probabilidade de um sistema composto por estes dois estado será, de acordo com (4.2),



69

21 p p p . (4.63)

Com um sistema de N partículas composto por um número de micro-estados acessíveis

e compatíveis com certo macro-estado deste sistema, conforme exposto na seção 4.4, os micro-

estados 1 e 2 , podem ser considerados os micro-estados do sistema . A probabilidade p de

um dado estado ocorrer corresponde ao ensemble , e portanto, de forma análoga, 1 p e 2 p

correspondem 1 e 2 , permitindo-nos então dizer a partir de (4.63) que

21 , (4.64)

o que permite que reescrevamos (4.62) da seguinte forma:

N

f

i

f

i

V

V

(4.65)

Assim, a entropia pode ser interpretada como a medida da probabilidade que um dado

sistema possui de estar em certo macro-estado, cuja a quantidade de micros-estados compatíveis

é caracterizado por , o que nos permite então estabelecer a entropia a partir de (4.57) e (4.65),

levando-se em conta que f i como

ln B

k S . (4.66)

Isto nos permite concluir que as colisões levam o sistema através do processo de difusão

dado por (4.12) à sua configuração mais provável, conforme (4.66). Além disto, (4.56) em

referência a (4.59) e (4.61), nos mostram que a entropia irá aumentar, observando que a desordem

de um sistema isolado só pode crescer ou permanecer igual [9, 10, 11, 23].



70

4.7 O TEOREMA H DE BOLTZMANN

O teorema H fornece a descrição do sistema na sua direção ao equilíbrio, o que deu início

a teorias modernas dos fenômenos irreversíveis e da termodinâmica de não-equilíbrio. Seu

teorema foi muito controvertido e foram inúmeras as objeções. Enquanto buscava mostrar a

natureza num processo evolucionista e irreversível, contraditoriamente, seus resultados

apresentaram uma probabilidade, embora pequena, de um evento se dar em “sentido contrário”, o

que pode ser verificado pelas flutuações do sistema ao longo do tempo no gráfico da figura 4.10.

Isto conferia ao tempo um caráter “ilusório”, preservando sua propriedade mecânica

invariante em relação à direcionalidade do tempo. O teorema H proposto por Boltzmann, que seconstitui numa função t q ,Η Η caracteriza esta propriedade mecânica. A equação

dvt qqt qq f t qV

,,log,,, Η , (4.67)

é uma equação mestra, e mostra o “relaxamento” das partículas do sistema no processo

colisional, o qual leva o sistema à distribuição de equilíbrio de Maxwell – Boltzmann.

Pela equação (4.57), pode-se verificar que a entropia termodinâmica define-se

inteiramente a partir de variáveis macroscópicas. A derivada da função H em relação ao tempo,

nos fornece o simétrico da entropia, contemplando os estados microscópicos de um sistema,

definindo-se a partir dos ensembles estatísticos do mesmo, tal que

0

t

Η . (4.68)

Como o sistema diminui o número de colisões com o tempo, (4.68) nos mostra o aumento

de entropia na tendência do sistema ao equilíbrio com o passar do tempo, o que pode ser



71

verificado no gráfico da figura (4.10) gerado em simulação numérica no Modellus versão 2.531

[13, 14, 23].

(Figura 4.10 – Gráfico da variação da função H com o tempo no processo colisional)

As equações de implementação inseridas no Modellus para gerar o gráfico da figura 4.10,

representam o do modelo matemático da dinâmica de colisões do sistema, pelas variáveis da

equações (4.67) e da condição de (4.68), que podem ser verificadas na figura 4.11

31 Por maior facilidade na implementação do modelo matemático, foi optado para este problemas, o uso da versão 2.5do Software Modellus.



72

(Figura 4.11 – Implementação das variáveis da equação (4.67) e da condição (4.68))



73

As críticas dirigidas aos trabalhos de Boltzmann foram fundamentais para o

desenvolvimento da Mecânica Estatística, como a objeção à “reversibilidade” feita por Johann

Loschmidt (1821- 1895) e a do “retorno”, de Ernst Zermelo (1871-1953), entre outras. Isto

permitiu a Boltzmann não apenas rever posições, mas buscar esclarecer pontos de seu trabalho,bem como aprofundar questões de cunho metodológico, estabelecendo as bases da Mecânica

Estatística tal como hoje a conhecemos [13].



74

5 AS LEIS DO CAOS

Caos é um ramo relativamente jovem da ciência que estuda a dinâmica de fenômenoscomplexos que não eram explicados por outros ramos da ciência a qual chamamos de tradicional.

Em geral é dado a Poincaré os créditos em ser o primeiro a reconhecer a existência de caos, ao

final do século XIX, no estudo da mecânica celeste, onde concluiu que o movimento do sistema

aparentemente simples, como os planetas em nosso sistema solar, pode ser extremamente

complicado. Embora vários investigadores chegaram sozinhos a entender a existência do caos,

nenhum grande avanço havia sido feito até meados de 1970, quando houve computadores

disponíveis para efetuar os cálculos necessários a sua melhor compreensão.Na ciências ditas tradicionais, as leis da natureza mostraram-se bastante eficientes em

resolver problemas práticos, porem, grande parte da natureza parece de fato possuir um

comportamento complexo. O estudo destes sistemas complexos, ou caóticos, ampliou caminhos

em meio à comunidade científica, cujas aplicações se estendem para um grande número de

fenômenos que vem sendo melhor compreendidos e previstos pelas leis da dinâmica caótica. Tais

fenômenos foram encontrados em praticamente todas as áreas da ciência e Engenharia – nos

batimentos cardíacos irregulares, o movimento dos planetas no Sistema Solar, gotas de água de

uma torneira, circuitos elétricos, padrões climáticos, epidemias, mudança de população de

insetos, aves e outros animais, o movimento dos elétrons no átomo, e por ai vai...

O que caracteriza essencialmente um sistema caótico é sua grande sensibilidade às

condições iniciais. Devido esta grande sensibilidade, o sistema poderá evoluir para diversos

estados, que aparentemente não possuem qualquer relação. Cada interação dos elementos que

constituem o sistema é determinante na evolução temporal que este sistema possui, pois permite

que o mesmo ora encontrando-se em um dado estado A, esteja continuamente estabelecendo uma

nova cadeia de eventos possíveis ao longo de sua evolução temporal, a fim de atingir um estadoB qualquer.

A previsão de tais estados tem referência no “caos determinístico”, que está associado a

um sistema não linear; onde esta não linearidade é condição necessária para o caos, porém não

suficiente. Refere-se ainda, à forma como um sistema se desenvolve de um momento para outro,

onde o estado atual do sistema depende apenas do imediato estado anterior de maneira bem



75

determinada pelas leis físicas que regem tal sistema. Contudo, não se trata de um processo

aleatório em que o atual sistema não tem qualquer relação causal com o estado geral anterior.

A medida dos estados de um sistema em um determinado momento não permite prever

seus estados futuros em longa escala, mesmo embora sejam conhecidas as equações que o regemde forma determinística. Contudo, estes estados podem ser melhor vislumbrados através dos

“mapas caóticos”, que permitem a compreensão do sistema como um todo através de suas

possibilidades em termos de sua evolução.

Para tanto, tais sistemas caóticos devem ser resolvidos numericamente, e não há maneira

simples e geral para prever quando ele irá apresentar caos. Por esta razão, podemos dizer que o

advento dos computadores tem permitido um melhor desempenho em calcular propriedades de

um sistema que inclui as pequenas variações das condições iniciais, e consequentemente estudaro caos de maneira produtiva [24, 28, 29, 30].

5.1 PROBABILIDADE OU DETERMINISMO

O determinismo de forma estrita, sugerido pela mecânica clássica, é a tese de que o

presente estado de um sistema, bem como os estados passados, estabelece univocamente o estado

do sistema em qualquer instante do futuro. No início do século XIX, o matemático francês Pierre

Simon de Laplace (1749 – 1827) difundiu esta idéia de um universo em que se poderia conhecer

todo seu estado geral, isto é, seu passado, seu presente e seu futuro a partir de informações

precisas de seus entes:

“Um intelecto que, num momento dado qualquer, conhecesse todas as forças queanimam a Natureza e as posições mútuas dos seres que a compõem, se esse intelectofosse vasto o suficiente para submeter seus dados a analise, seria capaz de condensarnuma única fórmula o movimento dos maiores corpos do universo e o do menor dosátomos: para tal intelecto, nada poderia ser incerto; e tanto o futuro quanto o passadoestariam presentes diante de seus olhos” [29, p.17].



76

Esta é uma visão determinista da natureza, cujo intelecto citado por Laplace fora chamado

de demônio de Laplace por seus biógrafos.

Se a evolução de um sistema for previsível para qualquer estado inicial, isso indica que o

sistema é determinista, contudo o contrário não é válido. Ao defrontar com um sistemaimprevisível, não significa que ele não seja determinista; pode ocorrer que não seja possível

identificar todos os seus parâmetros e variáveis para sua determinação.

Sistemas quânticos são um exemplo de sistemas imprevisíveis. Apesar da

imprevisibilidade para resultados de medições individuais, um sistema quântico permite que se

façam previsões precisas sobre as freqüências estatísticas com as quais diferentes resultados

ocorrem, o que designa um determinismo estatístico [22, 26, 29].

5.2 DINÂMICA CAÓTICA – SÉRIE TEMPORAL

A dinâmica de um sistema caótico é regida por leis determinísticas que permitem

descrever a evolução de um dado sistema complexo ao longo do tempo. Para realizar a descrição

dos eventos deste sistema, notemos a grande sensibilidade às condições iniciais que ele possui a

partir da equação de série temporal

nnn X X X 11 . (5.1)

A expressão (5.1) é recursiva, pois toma o último da função valor para realimentar a

equação, sendo resolvida numericamente, em que ...3,2,1,0n são os passos de iteração

numérica deste sistema. Afim de verificar sua sensibilidade às condições inicias, regida por (5.1),

realizamos a simulação numérica com o Modellus 2.5 com dois valores em 610 de diferença.

Assim, consideremos as condições iniciais

60 101 X (5.2a)

e



77

60 102 X (5.2b)

Utilizando o parâmetro 1.3 , obtemos a evolução do sistema cuja lei é dada por (5.1),

onde a pequena diferença de 0 X e 0 X faz o sistema apresentar uma evolução bem distinta para

estas duas condições, conforme gráfico da figura 5.1. Tal gráfico foi realizado pela iteração de 30

passos no intervalo de 0 à 0.3.

(Figura 5.1 – Simulação comparativa das condições iniciais de (5.1) – Modellus 2.5)

Não há relevância entre qual dos tracejados do gráfico corresponde a (5.2a) ou (5.2b), mas

sim, como o sistema pode evoluir de maneira bastante distinta a partir de uma pequena diferença

em sua condição inicial. Para este mesmo processo, podemos verificar a bifurcação do sistema

entre seus dois estados de instabilidade, no gráfico da figura 5.2, distribuído por pontos,

mantendo-se o intervalo de 0 a 0.3, realizando os passos em uma frequência dez vezes maior, isto

é, num total de 300 passos.



78

(Figura 5.2 – Comparativo das condições iniciais por pontos – Modellus 2.5)

As duas condições iniciais provocam os mesmos estados no sistema, mas ocorrendo em

períodos separados, que neste caso, ocorre a ponto de quando a evolução do sistema na condiçãoinicial de (5.2a) estar num estado, o sistema para condição inicial (5.2b) encontrar-se no estado

oposto. A justificativa de se usar o valor de parâmetro 1.3 , esta no fato de ser um parâmetro

donde o caos esta presente, parâmetro este que corresponde a um sistema fora do estado de

equilíbrio. Isto pode ser verificado no desenvolvimento do diagrama da série temporal, fazendo o

parâmetro da equação (5.1) variar no intervalo 41 , onde cada bifurcação do diagrama

refere-se aos pontos de flutuação do sistema, e cada trajetória existentes entre as bifurcações

correspondem a um estado em que o sistema é determinístico.Para geração de tal gráfico, simulamos o sistema no Modellus 2.5 usando o valor inicial

de (5.2a), realizando a iteração no intervalo mencionado de , numa frequência 10.000 vezes

maior que a simulação do gráfico da figura (5.1), somando um total de passos, buscando com isso

uma maior definição, gerando assim o gráfico da figura (5.3), o qual corresponde ao encontrado

na literatura conforme figura (5.4) [26, 28, 30].



79

(Figura 5.3 – Bifurcação do sistema pela da variação de – Modellus 2.5)

(Figura 5.4 – Bifurcação do sistema pela variação de - [28, p.33])



80

6 A QUEBRA DE SIMETRIA TEMPORAL

Pelas leis determinísticas da mecânica clássica ou quântica, a qual em boa parte sefundamentou no empirismo, um sistema qualquer da natureza, que em geral é descrito por

modelos idealizados, pode ser descrito em qualquer sentido que se dê o tempo [24, 26]. Porem, os

sistemas reais, não são sistemas idealizados, donde se exclui parâmetros e variáveis muitas vezes

imensuráveis [22].

Em sua grande maioria, os sistemas naturais são sistemas dinâmicos complexos, de tal

forma que a natureza não pode ser expressa por leis determinísticas que não contemplem este fato

Ilya Progogine,em seu trabalho sobre as estruturas dissipativas, propõem toda uma revisão naforma de descrever a natureza, sugerindo que as descrições mecânicas não ignorem o fluxo de

direcionalidade temporal dos processos, ou seja, que não ignorem a quebra da simetria temporal

dos sistemas, que na íntegra são dissipativos [1, 14, 22].

O matemático russo Andrei Andreyevich Markov (1856 – 1922), desenvolveu um sistema

que é chamado cadeia de Markov. Tal sistema descreve os processos estocásticos de estados em

que o tempo é um parâmetro que não tem influência na descrição dos eventos. Tal sistema

depende unicamente dos estados imediatamente anteriores que ele possui e perde as informações

dos estados anteriores ao último.

Além das cadeias de Markov estarem relacionadas ao movimento Browniano e à hipótese

ergódica, tópicos importantes da física do início do século XX, se relacionam aos sistemas

caóticos, pois integra a sensibilidade às condições iniciais que este sistemas possuem, e por tanto,

as cadeias de Markov torna-se um importante instrumento na solução de problemas complexos de

ordem diversa [28].

Um sistema que seja descrito por uma cadeia de Markov pode ser considerado um sistema

em que descrevemos continuamente suas condições iniciais. Assim podemos reavaliar ascondição de quebra de simetria do tempo em sistemas reais regidos pelas leis do caos mediante os

processos descritos por sistemas markovianos [22, 28, 30].



81

6.1 AS CADEIAS DE MARKOV

A cadeia de Markov tem a propriedade de tornar os estados anteriores de um sistema deuma função de estado qualquer T V N SS

i ,, , em estados irrelevantes para determinação dos

estados subseqüentes. Na cadeia de Markov, somente o estado atual do sistema S é responsável

pelo estado posterior, desprezando toda e qualquer memória que o sistema possua referente aos

últimos estados, sendo por esta razão, também chamado de memória markoviana.

A cadeia de Markov é uma sequência dada por variáveis aleatórias em que o conjunto de

valores possíveis na cadeia representa o espaço de estados do sistema. Se X é um estado

qualquer do sistema, n X é um estado do sistema no tempo n.Então, para o caso de uma cadeia markoviana, temos que a distribuição de probabilidade

condicional de 1n X que representa o próximo estado conforme, e que é pertinente a (5.1), é uma

função apenas de n X , de modo que

nnnn X X X p X X X X X X p |,...,,,| 12101 (6.1)

é a probabilidade de que o sistema evolua para o estado 1n X no tempo 1n sem a dependência

do tempo n, e sim somente do estado atual n X .

Isto mostra a dinâmica do sistema de forma totalmente independente do tempo,

diferentemente da mecânica. O estado atual através das interações das partículas é que definem a

evolução do sistema, tanto em termos de sua previsibilidade quanto da própria passagem do

tempo. Neste sentido, podemos dizer que o tempo, é a mudança dos estados dos sistemas.

Assim, um espaço de estados discretos de uma cadeia de Markov em qualquer tempo n,

pode ser expresso por uma matriz de probabilidades com elementos ji , , cuja a expressão (6.1)

se torna

j X i X p p nnij |1 , (6.2)



82

mantendo a independência do tempo n e a constância de ij p , que segundo Markov, um processo

estocástico com essa propriedade é chamado de homogêneo.

Como ij p são probabilidades, então 10 ij p , e nos leva a

11

N

j

ij p , (6.3)

confirmando que o processo deve ocupar um dos N estados após cada transição, em

que N j ,...,2,1 .

Assim, as probabilidades de transição ij p que caracterizam o processo de Markov, podem

ser representadas por uma matriz N N que é uma matriz de transição de estados, dada por

NN N N

N

N

p p p

p p p

p p p

P

...

............

...

...

21

22121

11211

(6.4)

Todos os elementos da matriz de (6.4) pertencem ao intervalo [0,1], dada as condições de

probabilidade de cada elemento, além de que somente 1 N N elementos são independentes

[30].

6.2 A IRREVERSIBILIDADE DOS SISTEMAS CAÓTICOS

Suponhamos um sistema macroscópico composto de N elementos microscópicos

constituindo um ensamble, cuja probabilidade de estar em certo estado 1n X é dada pela equação

(6.1), estado o qual, por se tratar de um sistema complexo, é regido por (5.1) em que n .

O número de micro-estados do sistema, correspondente ao conjunto de estados

microscópicos mais prováveis dentre a coleção dos N elementos do sistema macroscópico.



83

Verificamos assim, que no caso de um sistema complexo, do qual a natureza é vasta, pode ser

descrito em termos da probabilidade dada por (6.4), já que o mesmo é composto por processos

estocásticos em que a cadeia de Markov descreve com eficiência seu sistema dinâmico.

A transição de estados com probabilidade P

regidos por sua matriz característica (6.4),

incorpora o sistema complexo na transição do estado n X ao seu imediato estado posterior 1n

X .

Esta definição nos permite descrever um sistema termodinâmico, em que as partículas

comportam-se como um sistema dinâmico complexo, cuja equação da entropia de (4.66) vista na

seção 4.4, torna-se, em termos de (6.4)

Pk S B

ln . (6.5)

Assim, no sistema cujo estado én

X , para um aumento de entropia dado por (6.5), temos

o estado 1n X . Isto nos leva a processos de transição que podem gerar uma sequência de estados

prováveis de universos distintosk

U U U U U ...,,,,| 210 , em que a gama de estadosk

U

correspondem a processos de transição que conduzem o sistema a evoluir conforme o mapa

caótico da série temporal da figura (6.1), onde cada ponto de bifurcação representa um processo

de transição da cadeia de Markov, sendo k apenas um índice que não tem relação imediata com o

passo n das transições.

(Figura 6.1 – Pontos de bifurcação nas transições em cadeia de Markov [28, p.33 – modificado])



84

Se uma determinada coleção particular A de partículas em um estado A

n X pelo processo

de transição evoluir ao estado A

n X 1 , tal coleção obterá o universo A

U , com probabilidade de

ocorrência AP

.

Contudo, a probabilidade P

de (6.4) é uma matriz de transição em que as probabilidades

ij p da matriz são probabilidades condicionais. Assim, a probabilidade de ocorrência de um

universo qualquerK

U do sistema como um todo ocorrer, fica condicionada à ocorrência do

universo AU , tal que

AP

Ak P Ak P

| , (6.6)

é a probabilidade condicional, o que enfatiza a sensibilidade do sistema a cada nova condição na

transição e como o sistema é auto influenciável no seu processo dinâmico [28, 30].

Agora devemos levar em conta que, conforme o teorema H e o que tambem pudemos

constatar pela equação (4.61), existe a pequena probabilidade que o sistema retorne ao estadoanterior, hipótese a qual é fundamentada pela teoria de probabilidades [13, 23]. Assim,

considerando que tal sistema é característico de um processo markoviano, então não poderemos

obter qualquer informação da diminuição de entropia de um sistema qualquer, pois a cada

transição do processo, perde-se a memória do estado anterior ao último [30].

Desta forma, se um sistema ao retorna do estado 1n X para o estado

n X , ele diminui sua

entropia. Esta informação é passível de verificação, pois o sistema conserva a informação do

último estado, que neste caso trata-se de 1n X em seu retorno a n X . Contudo, se o sistema jáhouvesse diminuído sua entropia do estado 2n

X para o estado 1n X , não teríamos qualquer

informação desta diminuição no momento em que o sistema encontra-se no estado n X . Isto

mostra a inviabilidade de medição de um sistema em que a entropia seja um processo constante, e

não apenas uma flutuação de uma iteração do processo na cadeia.



85

Com isso, podemos podemos propor uma hipótese ad hoc de que os sistemas em geral

podem diminuir sua entropia, indicando que a reversibilidade dos sistemas é um processo natural

descrito pelas transições da cadeia de Markov, e que ocorrem continua e espontaneamente na

natureza sem qualquer restrição. Isto permitiria o sistema criar um universo qualquer 0U a partir

de um estado 0n

X , na cadeia de k U universos possíveis, até um estado 0

2n X , tal que

002

0 U X X nn , (6.7)

(para 12 nn com 0n , e o elemento sobrescrito em X é somente o índice k ) e retornar ao

ponto de bifurcação n = 0, digamos, do diagrama da figura 6.1, ao estado 0n

X , com probabilidade

condicional

0

00|

P

k Pk P

. (6.8)

Ao retornar ao ponto de bifurcação n = 0 no estadon

X , tal estado pode assumir, por

flutuação devido a sensibilidade do sistema complexo, um estado

k

nnnn X X X X X ,...,,,|

210

eportanto, definir a evolução de um universo

k U U U U U ...,,,,| 210 .

Contudo, jamais obteremos a informação do retorno de um estado k

n

k

n X X 2 , pois o

sistema markoviano irá perder a memória, de modo que os universosk

U U U U ...,,,, 210 não se

comunicam nem tomam conhecimento um do outro. O sistema markoviano ira seguir somente

uma trajetória em um universo qualquerk

U .



86

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho, em conjunto com o objetivo específico de sua proposta, buscou elaborar umtexto acessível que incorpore os elementos essenciais do tema abordado, em que alunos de curso

de graduação em Física e outros interessados no assunto e que possuam um bom conhecimento

de matemática, possam dar início ao estudo da irreversibilidade temporal tendo em mãos as bases

histórico – conceituais e físicas de que tratam o problema. Neste sentido, acreditamos que o

objetivo foi plenamente atingido, tendo em vista a escassa bibliografia específica.

Pudemos verificar inicialmente no trabalho, que o paradigma conceitual de tempo sofreu

profundas modificações ao longo da história do pensamento ocidental. Estes paradigmas vieramsofrendo alterações por influência de pensadores e filósofos na sua busca de compreender a

natureza que os cercava. Outro aspecto foi o desenvolvimento científico, cuja principal influência

foi a de Newton, em dar a idéia de linearidade ao tempo [1, 4, 14].

As mecânicas, clássica e quântica, evoluíram através deste conceito, e dele se utilizou

para descrever a natureza baseada em fatos experimentados pelo homem com a natureza,

estabelecendo uma conexão analítica de sua compreensão sobre a mesma, conforme pudemos

identificar na seção 3.

O conceito de linearidade do tempo mudou na medida em que a ciência progrediu e novas

teorias da mecânica com o intuito de desmistificar a natureza foram elaboradas. O teorema H foi

o primeiro grande conceito que trouxe uma visão completamente diferente do senso comum na

ciência a respeito do tempo, estabelecendo princípios que conectaram a mecânica à

termodinâmica. O teorema de Boltzmann nos mostrou que o tempo pode ser considerado uma

grandeza física que representa uma abstração da mente humana em unir os processos estocásticos

que exprimem a dinâmica das partículas.

A termodinâmica estatística, fruto em boa parte do trabalho de Boltzmann, quem lançousuas bases, apresentada na seção 4, nos mostrou que os sistemas macroscópicos, dos quais a

dinâmica clássica descreve, são compostos de sistemas microscópicos, cuja a dinâmica pode ser

descrita pela mecânica quântica, onde em ambos os casos, não existe sentido preferencial do

tempo. Porem, a termodinâmica tambem mostrou que tais sistemas possuem uma determinada



87

coleção microscópica que prevê os estados mais prováveis em que as partículas podem se

encontrar, a qual se chama ensamble.

O ensamble do sistema microscópico, mostra a direção preferencial do sistema

macroscópico, pois que a dinâmica das partículas que o constituem, tendem a ocupar os estadosmais prováveis do sistema microscópico compatíveis com o sistema macroscópico. Este

entendimento nos levou ao desenvolvimento das equações (4.59) e (4.61) que esclarecem

analiticamente este fato.

Por sua vez, estas equações que nos mostraram como existe a preferência do sistema

microscópico em ocupar determinados estados descritos pela método estatístico na seção 4.1.1

como sendo os mais prováveis, nos levaram a equação (4.66) que nos da a informação do estado

macroscópico do sistema, a entropia. Esta equação nos trouxe a base primordial da evolução deum sistema físico como sendo o aumento de entropia que rege o passar do tempo, que então

interpretamos como a passagem dos estados menos prováveis aos estados mais prováveis.

Ela também nos mostra que, caso o sistema microscópico direcione-se para um estado

menos provável, ocorrerá uma diminuição da entropia, e isto caracterizaria uma reversibilidade

do sistema. Este conceito nos levou a compreender que a passagem do tempo se dá por meio da

dinâmica do sistema em busca de seus estados microscópicos mais prováveis e que, caso

observássemos um sistema indo em direção aos estados menos prováveis, nosso sistema

cognitivo nos faria entender este processo como um evento que esta acontecendo no sentido

contrário.

Esta idéia, nos permite então responder a pergunta posta no início deste trabalho: será a

passagem do tempo que permite o movimento da natureza, ou será a natureza em seu movimento

que dá ilusão da existência de tempo?

Deixamos claro aqui então, que o que podemos entender de um evento que ocorre em

sentido contrário, como um copo que após ter sido espatifado por cair ao chão, reunindo

espontaneamente seus constituintes e retornando ao estado anterior, nada mais se trata do que aocupação dos N elementos constituintes deste sistemas em arranjos menos prováveis, e que

portanto, neste sentido, a passagem do tempo como o compreendemos torna-se uma mera ilusão

da mente acostumada com a evolução de estados menos prováveis a estados mais prováveis do

sistema, caracterizado pela equação (4.66), isto é, a natureza em seu movimento d´ ilusão da

existência de tempo.



88

A dinâmica caótica, estudada de maneira simplificada na seção 5, nos expôs como os

sistemas complexos são sensíveis às suas condições iniciais, e que associado a isto, esta o

problema da capacidade de medir um sistema, bem como o princípio da incerteza de Heisenberg.

Por esta razão, o sistema caótico é determinístico, porem imprevisível, o que nos leva apossibilidades que o sistema tem em sua dinâmica, e por tanto, recaímos no campo da

probabilidade e não mais da certeza determinística suscitada por Laplace.

A natureza é repleta de sistemas onde encontramos o comportamento caótico, e a

compreensão da dinâmica de tal comportamento, nos permite hoje compreender melhor a

natureza de sistemas reais, e não mais idealizados, como se limita as mecânicas clássica e

quântica, que não contemplam a irreversibilidade ou a característica evolutiva dos sistemas como

já vinha proposto Boltzmann em seu teoremaH

[1, 14, 22, 28].

“Em todos os níveis, tanto no da cosmologia, no da geologia, quanto no da biologia ouda sociedade, o caráter evolutivo da realidade se afirma cada vez mais. Seria de seesperar, portanto, que colocássemos a pergunta: como entender esse carter evolutivo noquadro das leis da física? [22, p.22]”

A situação das leis mecânicas que descrevem a natureza, ficam evidenciadas no

pronunciamento de Prigogine ao afirmar que “precisamos estabelecer um diálogo com a

natureza”, quando propõem que devemos reformular estas leis de maneira que elas incorporem a

“flecha do tempo” em seus modelos descritivos [22].

Assim, para iniciarmos o traçado deste diálogo, no que se refere a flecha do tempo e a

descrição da natureza em seu realismo, propomos no capítulo 6 que o estado de entropia de um

sistema termodinâmico descrito pela equação (4.66), é revisado de acordo com um sistema

complexo. O caminho tomado nesta abordagem, usou o ferramental matemático da cadeia de

Markov, descrevendo probabilisticamente um sistema estocástico, tratando-se portanto de um

sistema complexo com N interagentes.

Assim, tendo em vista que buscávamos quais eram as possibilidades do sistema em seus

processos de transição de um determinado estado a outro estado mais provável, obtemos o

resultado que procurávamos, atingindo o objetivo proposto pelo trabalho. Os sistemas podem

construir-se em uma gama de universos paralelos em que existe a probabilidade da



89

reversibilidade e não somos capazes de dar testemunho desta reversão, pois a informação é

perdida ou destruída cada vez que o sistema, em seu processo de transição, retorna a estados

menos prováveis nos pontos de bifurcação do diagrama, conforme pudemos verificar na seção

6.2, enfatizado na figura 6.1.Isto nos leva a novas indagações: Como podem haver universos paralelos para um dado

sistema, e considerando ainda que nosso universo, o cosmos, é o sistema máximo que

“conhecemos”, será que existem então universos paralelos a este nosso universo, o cosmos?

Contudo, feita esta indagação, este trabalha ora se remete somente aos processos

termodinâmicos em que medimos a entropia do sistema, dando origem a equação (6.5). Como

proposta de sua continuidade, há que se aprofundar na investigação da irreversibilidade,

esmiuçando o que ocorre nos pontos de bifurcação, onde o sistema, aparentemente decide ocaminho a ser tomado. A mecânica quântica aliada aos sistemas complexos, deverá ser o foco

nesta tarefa, buscando o princípio fundamental da complexidade e da irreversibilidade dos

sistemas, bem como uma melhor discussão e fundamentação das ferramentas matemáticas

envolvidas. Outro tema em que podemos desdobrar os resultados simples deste trabalho, é quanto

a inserção da irreversibilidade na Relatividade Especial e Geral, em termos dos próprios

processos termodinâmicos e de sistemas de partículas e campos.

Embora o conhecimento do problema da irreversibilidade do tempo não possua

aparentemente uma aplicação tecnológica imediata e útil à vida cotidiana, remetendo-se a

problemas de cunho puramente filosófico e científico, o entendimento da dinâmica dos processos

irreversíveis, nos possibilita ampliar as técnicas de manipulação destes processos. A

nanotecnologia é uma área promissora que incorporaria com existo tais técnicas, bem como

auxiliaria no seu aprimoramento. Ampliação da vida útil de materiais, substância que reduzem os

processos de dissipação das células, como cosméticos ou cicatrizantes, são algumas das

possibilidades. Para tanto, torna-se necessário a ampliação dos conhecimentos inerentes aos

problemas da irreversibilidade.



90

8 REFERÊNCIAS

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a irreverssibilidade temporal

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