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AGA0293 Astrofísica Estelar

Capítulo 5

A interação de luz e matériaA interação de luz e matéria

5.1 Linhas espectrais

5.2 Fótons

5.3 O modelo do átomo de Bohr

5.4 Mecânica Quântica e a Dualidade Partícula-onda

Slides pela Profa. Jane Gregorio-Hetem e Prof. Jorge Meléndez

Em 1835, o filósofo francês Auguste Comte considerou os limites do conhecimento. No seu livro “Filosofia Positiva” escreveu:

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5.1 Linhas espectrais

“No que diz respeito às estrelas, poderemos determinar suas distâncias, movimentos, [...] mas nunca seremos capazes de determinar a sua composição química”

https://twitter.com/Astro_Ladies/status/1064616777227927552

1925

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1802: Wollaston descobriu 7 linhas escuras sobrepostas ao espectro contínuo do Sol.

Joseph von Fraunhofer (1787-1826)

1817: Fraunhofer catalogou 574 dessas linhas escuras no espectro solar (linhas de Fraunhofer)

descobriu que uma linha proeminente no Sol, tinha a mesma posição que a linha de sódio na Terra (por comparação com o comprimento de onda da luz amarela emitida por sal espalhado em uma chama).

5

a) O espectro de emissão do sódio 2 linhas brilhantes amarelas.

b) O espectro de absorção do sódio 2 linhas escuras na mesma posição

© 2

005

Pea

rson

Pre

ntic

e H

all

Espectro solar original desenhado pelo Fraunhofer

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Três leis de Kirchhoff (~1860)Três leis de Kirchhoff (~1860)Regras que estabelecem a emissão e a absorção de radiação

Espectro contínuo (sem

linhas)

© Cosmic Perspective

1ª: Um objeto denso no estado sólido ou gasoso, produzirá um espectro contínuo, quando aquecido.

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Um gás a baixa pressão a uma temperatura suficientemente alta produzirá um espectro de linhas brilhantes de emissão

2ª Lei de Kirchhoff2ª Lei de Kirchhoff

Espectro de linhas de emissão

© Cosmic Perspective

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Um gás a baixa pressão e temperatura, entre uma fonte de radiação contínua e um observador, produzirá um espectro de linhas de absorção

3ª Lei de Kirchhoff3ª Lei de KirchhoffEspectro de

linhas de absorção

© Cosmic Perspective

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Aplicação da espectroscopia: Espectros de elementos químicos no laboratório

Hélio descoberto no Sol em 1868, só encontrado na Terra em 1895

Hydrogen

Sodium

Helium

Neon

Mercury

650

Wavelength (nm)

600 550 500 450 400

(c) Alson Wong, 3/nov/2013, Uganda

Cromosfera solar e anel de diamante, instantes antes da totalidade

Espectro da cromosfera solar, eclipse de 1999, Hungria

É chamado espectro flash pois as linhas de emissão aparecem por apenas alguns segundos

http://www.eurastro.de/webpages/MRSPECT.HTM

O hélio foi descoberto primeiro no Sol, usando espectros do eclipse solar de 18/8/1868.

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Exemplos de aplicação: linhas de Fraunhofer

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Hubble Makes First Direct Measurements of Atmosphere on World Around another Star. © STScI

The star HD209458, the exoplanet HD209458b, the spectrograph STIS on Hubble, and the resulting spectral signature of sodium

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15

Fonte afasta-se do observador comprimento de onda observado aumenta (2 > 0)

Fonte aproxima-se comprimento de onda

observado diminui (1< 0)

0 é o

comprimento de onda em repouso

Exemplos de aplicação: Efeito DopplerEfeito Doppler

Efeito Doppler

Espectro em repouso

Deslocamento para o vermelho

Deslocamento para o azul

Estrela se afasta (> 0):velocidade positiva

Estrela se aproxima (<0): velocidade negativa

ExemploUma das mais importantes linhas de hidrogênio é a linha de H em 656,281 nm, medida no laboratório.

A estrela Vega tem a linha de H em 656,251 nm. Qual a velocidade radial da estrela?

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c = 299 792 km/s

v = -13,7 km/s

18

v

vr

Components of the star’s velocity: vr is the star’s radial

velocity and v is the star’s transverse velocity

vd

Exemplo A estrela Vega tem a linha de H em 656.251 nm. Qual a velocidade total?

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r = 7,76pc v = 12,9 km/s

Movimento próprio de Vega:

(1.15)

Velocidade total relativa ao Sol:

vrad

= -13,7 km/s

= 0,35077 ” yr-1

Espectrógrafo

20© Roy & Clarke

Fen

da

Prisma ou rede de difração

Det

etor

Melhores espectrógrafos têm uma precisão de 1m/s (HARPS no ESO)

Elemento dispersor da luz: prisma ou rede• Rede de difração:

difração + interferência

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• Prisma: refração diferencial

Se quiser, pode trocar a nota de uma das 3 primeiras provinhas pela construção de um espectrógrafo de “rede” usando um CD ou DVD. Entrega: 21/ago

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http://www.scienceinschool.org/pt/2007/issue4/spectrometer

https://www.exploratorium.edu/snacks/cd-spectroscope

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5.2 Fótonsdescrição da matéria e energia → Mecânica Quântica

Efeito fotoelétrico: na incidência de fótons numa superfície, elétrons são ejetados com energia cinética Kmax, que não

depende da intensidade da luz, porem Kmax varia em função

da frequência (ou ) da luz incidente.

vermelho: baixa (não ejeta e-)

verde: adequada para ejetar e-

azul: alta: e- mais energéticos são ejetados

A constante de Planck h é a base da

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Efeito fotoelétrico

Einstein explicou o efeito fotoelétrico como sendo devido a um “feixe de partículas sem massa” fótons com energia:

A energia do fóton é transferida para um elétron da superfície, superando sua energia de ligação (chamada de “função de trabalho”) elétron ejetado

Efóton = h = hc/

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Exemplo de Aplicação Calcule a energia de um fóton

hc = 1240 eV nm

de luz azul (400 nm), visível (500 nm) e vermelho (700 nm)

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Exemplo de Aplicação Quantos fótons visíveis

Rpta: 2,52x1020 fótons/s

( = 500 nm) são emitidos por uma lâmpada de 100 Watts? Lembrar que 1 eV = 1,602 x 10-19 J

E500 nm

= 2,48 eV x (1,602 x 10-19 J / eV) = 4 x 10-19J

Exemplo de Aplicação

Calcule a frequência (em Hz) e a energia (em eV) para cada comprimento de onda, em diferentes regiões espectrais

Região (Hz) E (eV)

Raios-X 10 Å 3 x 1017 1,24 x 103 Ultravioleta 1216 Å 2,47 x 1015 10,2Visível 5000 ÅInfravermelho 25 m Rádio 15 m

c = 3 1010 cm/s; h=6,63 10-27 erg . s, 1 Å = 0,1nm = 10-8 cm

1 eV = 1,60184 10-12 erg = 1,60184 10-19 J

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Arthur Compton (1892-1962)

Efeito Compton (evidência de que a luz tem natureza de partícula).

Compton mediu a diferença em de “fótons” de raios-X espalhados por elétrons livres.

A energia do fóton relacionada com o momento (p)

Fóton é espalhado no ângulo e elétron no ângulo . Com a perda de energia, o do fóton aumenta:

me = massa do elétron Comprimento de onda de ComptonλC=hme c

=0 ,00243nm

E2 = p2c2 + m2c4

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5.3 Modelo do átomo de BohrJohann Balmer (1825-1898) descobriu empiricamente como reproduzir o comprimento de onda de linhas do hidrogênio:

1λ=RH (

1

m2−1

n2 )onde n = 2, 3,4,... e n > m RH=1,09677583 107 m-1

Os comprimentos de onda do hidrogênio:Diferentes conjuntos de linhas espectrais, em função do nível a partir do qual se dá a transição:

m = 1: série de Lyman, denominadas Ly, Ly, Ly (linhas do UV);

m = 2: série de Balmer: H, H, H… (espectro visível);m = 3: série de Paschen, denominadas P, P... (infravermelho).

Linhas e níveis de energia do átomo de H

pOutermost level

Continuum

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=

Fundamental

L

Lyman

L

L

L

Balmer

H

H

H

H

P

Paschen

P P P

B B

BrackettBrackett

B

B

PfundPfund

F F

F

F

H 656,3 nm

ee

nucleus

1λ=RH (

1

m2−1

n2 )

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Modelo de Átomo de Bohr: elaborado para resolver problema do modelo de Rutherford (elétron em órbita circular perde energia)

Niels Bohr (1885 – 1962)

onde m é a massa do elétron; r o raio do movimento circular com velocidade v, em torno do núcleo.

n = 1, 2, …, etc.

Solução: só certas órbitas discretas são permitidas

e em tais órbitas o elétron não emite radiação.

Órbitas definidas por valores discretos do momento angular:

= 1,054571596 × 10−34J s

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Para avaliar o movimento do sistema elétron-próton, utilizamos a lei de Coulomb atração elétrica entre duas cargas q1 e q2 separadas por distância r:

onde o = 8,85418781710-12 F m-1 (permissividade elétrica) [farads/m]

Considere o elétron e o próton, de massas me e mp, e cargas e- e e+, girando em torno de um centro de massa comum. A massa reduzida será:

e a massa total M = me + mp = me + 1836,15266 me=1,0005446 mp

Como M mp e me , podemos considerar sistema composto de próton de massa M e elétron de massa

= 0,999455679 me

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Da segunda lei de Newton, a aceleração centrípeta:

implica em:

Então a energia cinética:

e a energia potencial será:

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A energia total do átomo será:

Usando a quantização do momento angular:

A expressão da energia cinética pode ser reescrita:

onde ao = 5,291772083 10-11 m = 0,0529 nm é o raio de Bohr

ou seja, apenas algumas órbitas são possíveis (em função de n2)

E = K + U = K – 2K = – K =

L = vr = n

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• A energia do elétron na órbita n pode ser obtida

inserindo o raio r:

• O sistema é considerado ligado enquanto a energia do

nível for En < 0.

• À medida que n , E0

Quando E > 0, o elétron não fica ligado ao núcleo.

estado ionizado

En=−μe4

32 π2 εo2h2

1

n2=−13,6

1

n2eV

E =

Linhas espectrais aparecem quando o elétron muda de nível de energia:

(a) emissão, (b) absorção

F. LeBlanc, Stellar Astrophysics

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Comparando com a expressão de Balmer para linhas de H, temos a constante de Rydberg para o hidrogênio:

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Exemplo: Cálculo do comprimento de onda da linha H

Qual é o do fóton emitido quando um elétron do átomo de H de Bohr passa por uma transição da órbita n = 3 para n = 2?

E = E3 – E2:

Levando a = 656,469 nm no vácuo, que é 0,03% discrepante do valor medido no ar: = 656,281 nm.

Usando o índice de refração = 1,000297

= 656,28 nm

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Após a revolução quântica, as leis de Kirchoff foram melhor explicadas:

1ª. Um gás denso (ou um sólido) a alta temperatura produz um espectro contínuo, descrito por B(T) com máx definido pelo deslocamento de Wien; 2ª. Um gás gente e difuso produz linhas brilhantes de emissão, quando um elétron decai de um nível de energia mais alto para um mais baixo, emitindo um fóton de energia E ;

3ª. Um gás frio em frente a uma fonte de espectro contínuo produz linhas escuras de absorção quando um elétron sobe para um nível de energia mais alto, após absorver um fóton com energia E.

Fig. 5.7. Energy level diagram for the hydrogen atom showing Lyman, Balmer and Paschen lines.

AbsorçãoEmissão

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A visão moderna do A visão moderna do átomo de hidrogênioátomo de hidrogênio

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5.4 Mecânica Quântica e a dualidade partícula-onda

Frequência e comprimento de onda de de Broglie: aplicação da dualidade partícula-onda na natureza.Fótons carregam energia e momento:

Louis de Broglie (1892 – 1987)

Toda a matéria exibe propriedades de onda em sua propagação e pode ser caraterizada por uma frequência e comprimento de onda

Exemplo: uma pessoa de 70 kg correndo a 3 m/s tem = 3,2 10-36 m, que é desprezível nas escalas atômicas e do dia-a-dia → não sofre difração.

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Para um elétron:

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A onda (de amplitude ) não fornece informação sobre a posição de determinado elétron ou fóton, mas sim a “probabilidade” |de encontrar o elétron ou o fóton naquela posição.

Por exemplo: no experimento de dupla fenda, fótons ou elétrons nunca são encontrados nas posições em que as ondas das fendas 1 e 2 têm interferência destrutiva: |

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Princípio de Incerteza de Heisenberg

A onda na fig (a) tem um definido, então o momento p = h/ da partícula é exatamente conhecido. Porém, no intervalo x = ± há um grande número de picos igualmente altos a localização da partícula é incerta.

A fig. (b) mostra a combinação de várias ondas resultando em zero exceto para um certo x posição é melhor definida mas devido à combinação de p incerto

Werner Heisenberg (1901– 1976)

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A incerteza no momento p é inversamente proporcional a x, impedindo que ambos sejam bem definidos simultaneamente.Heisenberg demonstrou:

que pode ser aproximado por:

sendo similar à incerteza na medida da energia e o intervalo de tempo:

O conceito do princípio de incerteza será utilizado no Cap. 9 para definir a largura das linhas espectrais.

Princípio de Incerteza de Heisenberg

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Equação de Schrödinger e o átomo da Mecânica Quântica

Para descrever os orbitais do elétron, Schrödinger propôs dois números quânticos a mais: l e ml , que descrevem o momento angular do átomo:

Erwin Schrödinger (1877– 1961)

onde l = 0, 1,2,3..(n-1) = s, p, d, f, ...n: principal número quântico que determina a energia.

Por exemplo: (n = 2, l = 1) corresponde ao orbital 2p

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Diferentes orbitais, denominados pelos diferentes valores de l e ml são chamados degenerados se eles têm o mesmo valor do número quântico principal n mesma energia. Transições de elétrons para orbitais degenerados uma mesma linha espectral.Mas são sensíveis ao campo magnético (B) orbitais degenerados com pequenas diferenças em E divisão das linhas espectrais Efeito Zeeman normal, assumindo 3 possíveis valores de frequência:

onde o é a frequência na ausência de B eé a massa reduzida

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Exemplo: Campo magnético das nuvens interestelares muito fraco B 210-10 T*

Radiotelescópios permitem medir a variação na polarização por meio das componentes Zeeman das linhas de absorção produzidas pelas nuvens de hidrogênio. Essas linhas apresentam-se “unidas” (blended).

A variação na frequência é:

e a variação total (de um lado ao outro da linha com blend) é 2 = 5,6 Hz

Como comparação, para a linha do hidrogênio medida em rádio = 21cm é = 1,4 109 Hz

(*) relação entre Tesla e Gauss: 1 G = 10-4 T

Δν=eB

4 π me=2,8 Hz

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O Spin e o Princípio de Exclusão de Pauli

Efeito Zeeman Anômalo causa uma divisão adicional das linhas devido ao spin do elétron, cujo momento angular é:

A componente z ée os únicos valores possíveis do 4º número quântico são ms= ±1/2

Wolfgang Pauli (1900– 1958)

Princípio de exclusão de Pauli: dois elétrons não ocupam um mesmo estado quântico (não compartilham um mesmo conjunto de números quânticos).

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Níveis eletrônicos do átomo de He.http://slideplayer.com/slide/5879841/

Os espectros complexos dos átomos

O estado detalhado de cada elétron é descrito por todos os números quânticos:n, l, ml e ms

Sómente são permitidas as transições que seguem algumas regras, como l = ±1.Transições fora dessas regras são chamadas proibidas, que podem ocorrer numa escala de tempo muito maior, em ambientes astrofísicos de muita baixa densidade.

Diagrama de níveis de energia

(term ou Grotrian diagram)

para o Na I

http://128.104.164.100/data/e_sodium.gif

Qual a chance de ocupar (popular) determinado nível?

Provinha #31. A estrela HD 103095 é uma estrela do halo da nossa galáxia. Segundo o SIMBAD (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-fid), HD 103095 tem uma paralaxe de 0,11” e uma velocidade radial de -98,35 km/s (observe o sinal negativo). Qual é o comprimento de onda da linha de H no espectro da estrela devido ao deslocamento Doppler? Dar a resposta em nanometros. A estrela está se afastando ou aproximando?Nota: em repouso, a linha de H tem = 656,281 nm. Adotar uma velocidade da luz de 3x108 m/s.

2. Quantos fótons visíveis (500 nm) são emitidos por uma lâmpada de 50 Watts?Dados. hc = 1240 eV nm, 1 ev = 1,602 x 10-19 J