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A FÍSICA ATRAVÉS DEEXPERIMENTOS

Volume IMecânica

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Jucimar Peruzzo

A FÍSICA ATRAVÉS DEEXPERIMENTOS

Volume IMecânica

1ª edição

Irani, SCEdição do Autor

2013

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Copyright © 2013 by Jucimar Peruzzo

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzidaou transmitida, por qualquer meio eletrônico, mecânico, fotográfico, gravação, etc.,sem a autorização prévia do autor.

Impresso no BrasilPrinted in Brazil

Ficha Catalográfica

Peruzzo, JucimarA Física Através de Experimentos: Mecânica. V.I / Jucimar Peruzzo.Irani (SC): 2013.

354p.Bibliografia

1. Física Geral. 2. Física Experimental. 3. Experimentos deFísica. 4. Laboratório de Física. I. Título.

ISBN: 978-85-913398-7-7 CDD: 530

Editor: Jucimar PeruzzoE.E.B. Dom Felício C. C. Vasconcelos

E.E.B. Isabel da Silva TellesIrani / SC

e-mail: [email protected]

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Dedico este livro a todos os colegas professores da educação básica que,mesmo diante das inúmeras dificuldades enfrentadas no dia a dia, não

deixam de acreditar no imenso poder revolucionário da educação.

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A vida é o mais engenhoso dos fenômenos.Machado de Assis

Creio que o principal objetivo da educação deve ser encorajar os jovens aduvidarem de tudo aquilo que se considera estabelecido.

Bertrand Russel

A vida esconde nos lugares mais simples sua grande beleza que revela qualo significado de porque persistimos em continuar vivendo.

Pablo Neruda

A coisa importante é não parar de questionar.A curiosidade tem suas próprias razões para existir.

Albert Einstein

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Prefácio

Desde o início de sua existência o ser humano busca respostas para expli-car e compreender os fenômenos da natureza. Inicialmente suas causas foramatribuídas à vontade dos deuses. No entanto, com o tempo, ele foi procurandoentender os fenômenos de maneira racional.

Embora os fenômenos físicos e suas tentativas de compreensão remon-tem à antiguidade, a física como ciência, de modo como a conhecemos atu-almente, surgiu no século XIX. Nesse período e nos séculos anteriores houveum grande desenvolvimento científico, o que fez com que as ciências naturaisse dividissem em física, química, biologia, entre outras.

O objetivo da física é compreender os fenômenos mais elementares danatureza. Neste caso, elementar significa mais básico, mas não, necessaria-mente mais simples. A física estuda fenômenos que vão desde as partículasconstituintes do átomo até grandes estruturas no universo, como as galáxias,ou o próprio universo como um todo. Muitos fenômenos são tão complexosque a física não consegue estudá-los individualmente e utiliza-se de aproxi-mações estatísticas para isso.

A física é muitas vezes considerada uma ciência abstrata, que explica osfenômenos que ocorrem somente em laboratórios. No entanto, estamos ro-deados de fenômenos físicos na natureza e cada vez mais na vida quotidianaaltamente tecnológica. Na sociedade contemporânea o conhecimento cientí-fico é cada vez mais valorizado, devido principalmente à crescente influênciaque a tecnologia exerce no dia-a-dia humano. Por isso, é inconcebível que naeducação formal atual o aluno fique excluído do saber científico.

Nos últimos anos a escola tem sido criticada pela baixa qualidade do seuensino, não conseguindo preparar os estudantes para o mercado de trabalho

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e para a universidade. As aulas de ciências, e em especial as de física, estãomuito aquém do ideal. Os resultados quanto à aprendizagem pelos alunos,em sua grande maioria, não são nada animadores. O desempenho é baixo ehá pouco interesse em entendê-la. Os professores reclamam do desinteressedos estudantes e estes, em grande maioria, se referem às aulas de física comosendo chatas, conduzidas por profissionais despreparados e que ficam falandode coisas totalmente abstratas, coisas estas que não lhes atraem.

No ensino de física em nível médio constata-se que as atividades expe-rimentais são raramente utilizadas pela maioria dos professores. Ao tentarentender o porquê disso, encontramos diversas justificativas, tais como: faltade atividades preparadas, pouco tempo para o professor planejar e montar ex-perimentos, recursos insuficientes para reposição e compra de equipamentose materiais de laboratório, número excessivo de alunos por sala, despreparodo docente, etc. Diante dessa situação começamos a entender o motivo dasdeficiências existentes no ensino em física e na aprendizagem em geral.

Diversas pesquisas têm sido feitas a respeito do uso de experimentos noensino de física. Segundo elas, o ensino centrado nos conceitos teóricos, semincluir situações reais, torna a disciplina desmotivante e chata para o aluno.Nesse sentido, a atividade experimental vem como uma importante ferra-menta pedagógica, apropriada para despertar o interesse dos alunos, cativá-los para os temas propostos pelos professores e capaz de ampliar a capacidadepara a aprendizagem.

As ciências naturais têm em sua base a experimentação. Os fenômenossão explicados e as teorias somente têm êxito pleno se a experiência as con-firmarem. A física, componente desse grupo de ciências, exerce um papelmuito importante no mundo atual. Ela participa do desenvolvimento cien-tífico e tecnológico com importantes contribuições, cujas decorrências têmalcance econômico, social e político imensos.

Apesar de conter aspectos filosóficos, teóricos e matemáticos, a física éessencialmente uma ciência experimental. Portanto, a realização de experi-ências é uma parte essencial para o ensino de física. O uso de atividadesexperimentais como estratégia de ensino tem sido apontada como uma dasmaneiras mais frutíferas de se minimizar as dificuldades de aprender e dese ensinar física de modo significativo e consistente. Deve-se criar oportu-

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nidades para que o ensino experimental e o ensino teórico se efetuem emconcordância.

No entanto, as dificuldades para a prática de atividades experimentais emsala de aula são muitas, como foi comentado anteriormente. Muitos profes-sores até tentam enfrentar esses problemas improvisando aulas práticas e de-monstrações com materiais improvisados. Alguns acabam tendo êxito, masa grande maioria acaba cansando diante do grande trabalho e dos resultadosinsatisfatórios obtidos.

Com o objetivo de contribuir para a melhoria no ensino de física, enfa-tizando as atividades experimentais, foi desenvolvido este livro, com cercade 160 experimentos propostos, o qual é destinado à estudantes de física (emnível médio e superior), ao público em geral e principalmente aos professo-res de ciências e física. O livro A Física através de Experimentos é divididoem 3 volumes: volume I, que aborda experimentos de mecânica; volume II,que contém experimentos de termodinâmica, ondulatória e óptica e; volumeIII, que possui experimentos de eletromagnetismo, física moderna e ciênciasespaciais.

Os experimentos aqui apresentados utilizam materiais, em sua maioriasimples e de fácil obtenção. Além disso, eles não necessitam de um ambientepróprio para serem realizadas, podendo serem efetuados na própria sala deaula (se tiver uma sala ou laboratório próprio, melhor).

Ao descrever cada experimento procurou-se fazer um roteiro mais aberto,mas que possa ser compreendido, de modo que cada experimentador elaboree ajuste certos detalhes à seu critério. Na maioria das vezes pode-se obterresultados semelhantes montando o experimento de uma outra forma, utili-zando materiais diferentes dos citados. A idéia é essa mesma, pois a ver-dadeira experimentação se realiza dessa forma, e não seguindo roteiros dotipo "receita pronta". Em alguns experimentos quantitativos foram coloca-dos dados numéricos de experimentos realizados pelo autor, para facilitar acompreensão do mesmo por parte do leitor.

Os experimentos aqui descritos são baseado em livros, sites e artigos ci-entíficos, os quais estão listados nas referências, e foram aprimorados peloautor (ao seu gosto) em sua prática docente em diversos anos, muitos delescom a ajuda de seus alunos. Evitou-se a apresentação de experimentos mais

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complexos e trabalhosos de se realizarem, pois isso certamente dificultaria asua execução em sala de aula, principalmente devido ao grande tempo queseria gasto para isso.

Em muitos livros e manuais de experimentos existentes atualmente, estádescrita a montagem do experimento, mas que nem sempre é seguida do queocorre e o porquê de tais acontecimentos. Isso, muitas vezes, acaba afu-gentando o experimentador do desafio de estar realizando ou propondo talexperimento. Por isso, neste livro, em todos os experimentos procurou-se fa-zer uma análise detalhada dos fenômenos ocorridos e dos resultados obtidos,para que o leitor possa ter mais confiança na sua prática. No entanto, inici-almente induz-se o leitor à uma realização própria do experimento, de modoque ele obtenha resultados, desenvolva uma análise e tire as suas conclusões.

Com poucas exceções, os experimentos propostos visam descrever e ilus-trar fenômenos e leis físicas, sem importar-se muito com as aplicações práti-cas. Neles procurou-se não dar muito ênfase nos procedimentos matemáticos,mas sim, estabelecer relações de caráter qualitativo e semi-qualitativo. Algu-mas incursões matemáticas desenvolvidas em alguns experimentos quantita-tivos são próprias do autor deste livro, o que não quer dizer que seja a únicaou a melhor. Por isso, é importante um empenho do leitor e do professor paraa utilização de outras fontes bibliográficas e a dedicação para criar variantesdos experimentos aqui propostos bem como o de novos, com o objetivo decriar o "seu experimento".

Espera-se que o livro não contenha experimentos que possa comprometera realização da prática experimental. Isso porque é comum que a decepçãocom um experimento que não funcionou adequadamente possa levar o ex-perimentador a perder o interesse por esse tipo de atividade. Além disso,salienta-se que, muitas vezes a investigação de um experimento que não "deucerto"pode ser muito mais rica para o processo de ensino-aprendizagem doque o experimento perfeito. É recomendável que o professor sempre faça oexperimento antes de levá-lo para sala de aula ou propô-lo para os alunos.Alguns imprevistos ou detalhes mínimos podem comprometer o seu êxito.

As atividades experimentais favorecem o despertar para o maravilhosomundo da ciência e suas aplicações. Ter interesse e dedicar tempo a essetrabalho é uma aventura muito emocionante. As aulas práticas certamente

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vão despertar a atenção dos alunos e fazê-los compreender melhor os porquêsdas coisas, além de desenvolver um pensamento questionador e crítico.

Não aceitar a importância no ensino das aulas experimentais significadestituir o conhecimento físico de seu contexto, reduzindo esta ciência a umsistema abstrato de definições, leis e fórmulas matemáticas. A física é muitomais do que isso. É uma atividade intelectual extremamente viva e interes-sante.

Jucimar Peruzzo

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Estrutura dos ExperimentosPropostos

Todos os experimentos propostos neste livro tem uma mesma apresenta-ção:

Título

Evidencia rapidamente o assunto abordado.

Objetivo(s)

Indica o que se pretende atingir com a realização do experimento pro-posto.

Material Utilizado

Informa os materiais e/ou equipamentos necessários para a realização doexperimento. Alguns materiais sempre podem ser substituídos por outrossimilares ou equivalentes.

Montagem e Procedimento

Orienta na montagem e na realização do experimento.

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Análise e Explicação

Explica em detalhes os resultados do experimento, dando uma boa baseconceitual e matemática.

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Sumário

1 MECÂNICA 11.1 Introdução às Medidas Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Algarismos Significativos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Algarismos Significativos 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Algarismos Significativos 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Velocidade Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 MRU 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 MRU 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Queda Livre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Queda Livre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11 Queda Livre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12 Queda Livre e Resistência do Ar . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 Independência das Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14 Aceleração Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.15 Imponderabilidade da Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . 291.16 Espaço em Função do Tempo em Queda Livre . . . . . . . . 311.17 Determinando a Aceleração da Gravidade . . . . . . . . . . 351.18 Velocidade Inicial de uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . 381.19 Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.20 Relatividade das Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.21 Lançamento Horizontal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.22 Lançamento Horizontal 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.23 Lançador de Projéteis, Ângulo e Alcance . . . . . . . . . . . 49

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1.24 Lei da Inércia 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.25 Lei da Inércia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.26 Lei da Inércia 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.27 Lei da Inércia 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.28 Centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.29 Ação e Reação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.30 Ação e Reação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.31 Skate Movido à Ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.32 Aceleração Vertical e Peso Aparente . . . . . . . . . . . . . 651.33 Lei de Hook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.34 Associação de Molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.35 Forças no Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 731.36 Seguindo pela Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.37 Principio Fundamental da Dinâmica . . . . . . . . . . . . . 781.38 Atrito e Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.39 Atrito Estático e Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.40 Força de Atrito e Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.41 Atrito Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861.42 Força Normal e Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 891.43 Alterando a Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.44 Força de Atrito e Área de Contato . . . . . . . . . . . . . . 921.45 Atrito entre Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.46 Coeficiente de Atrito Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . 951.47 Coeficiente de Atrito de um Calçado . . . . . . . . . . . . . 981.48 Estudo do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.49 Rodas Dentadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.50 Funcionamento de um CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.51 Força Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.52 Força Centrípeta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.53 Força Centrípeta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.54 Looping vertical com um Copo de Água . . . . . . . . . . . 1151.55 A Gangorra e o Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.56 Puxando um Carretel de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.57 Alavanca Interfixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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1.58 Alavanca Inter-resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.59 Alavanca Interpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.60 Vantagem Mecânica de um Macaco . . . . . . . . . . . . . 1291.61 Decomposição de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.62 Roldana Fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.63 Associação de Roldanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.64 Talha Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.65 Sustentação Através de Forças Horizontais . . . . . . . . . . 1411.66 Equilíbrio e Decomposição de Forças . . . . . . . . . . . . 1441.67 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.68 Conceito de Pressão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.69 Conceito de Pressão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.70 Estimando a Massa de um Automóvel . . . . . . . . . . . . 1531.71 Trabalho e Energia numa Mola . . . . . . . . . . . . . . . . 1551.72 Conservação da Energia Mecânica 1 . . . . . . . . . . . . . 1571.73 Conservação da Energia Mecânica 2 . . . . . . . . . . . . . 1581.74 Looping Vertical e Conservação da Energia . . . . . . . . . 1611.75 Quantidade de Movimento Linear 1 . . . . . . . . . . . . . 1631.76 Quantidade de Movimento Linear 2 . . . . . . . . . . . . . 1651.77 Quantidade de Movimento Linear 3 . . . . . . . . . . . . . 1661.78 Quantidade de Movimento Angular 1 . . . . . . . . . . . . 1681.79 Quantidade de Movimento Angular 2 . . . . . . . . . . . . 1701.80 Quantidade de Movimento Angular 3 . . . . . . . . . . . . 1721.81 Quantidade de Movimento Angular 4 . . . . . . . . . . . . 1731.82 Dissipação de Energia por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . 1741.83 Movimento de um Helicóptero . . . . . . . . . . . . . . . . 1751.84 Cadeira Giratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1771.85 Inclinação de Estradas e Ruas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791.86 Pêndulo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1831.87 Lançador Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861.88 Pregando um Prego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891.89 Inércia, Atrito e Quantidade de Movimento . . . . . . . . . 1911.90 Impulso e Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941.91 Rapidez de um Golpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

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1.92 Efeito Estilingue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981.93 Enclinação e Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.94 Duplo Cone Subindo a Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . 2041.95 Salto em Altura e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . 2061.96 Equilíbrio de um Corpo Extenso . . . . . . . . . . . . . . . 2071.97 Equilíbrio Instável, Indiferente e Estável . . . . . . . . . . . 2081.98 Movimento do Centro de Massa 1 . . . . . . . . . . . . . . 2101.99 Movimento do Centro de Massa 2 . . . . . . . . . . . . . . 2121.100Forças Internas e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . 2141.101Equilíbrio de um Martelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.102Centro de Gravidade de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . 2181.103Equilíbrio de uma Pessoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2201.104O João Teimoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.105Centro de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2241.106Pássaro Equilibrista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2261.107Centro de Gravidade de uma Vassoura . . . . . . . . . . . . 2281.108O Problema dos Blocos Empilhados . . . . . . . . . . . . . 2311.109Amplitude de Oscilação e Centro de Massa . . . . . . . . . 2331.110A água que não Cai 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361.111Água que Não Cai 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381.112Segurando Água com uma Peneira . . . . . . . . . . . . . . 2401.113Capilaridade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.114Capilaridade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2431.115Capilaridade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451.116Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2461.117Detergente e Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . 2481.118Redução da Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . 2501.119Forças de Coesão em um Líquido . . . . . . . . . . . . . . 2511.120Entrelaçando 2 Filetes de Água . . . . . . . . . . . . . . . . 2521.121Efeito Coanda 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2541.122Efeito Coanda 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2561.123Variação da Pressão com a Profundidade . . . . . . . . . . . 2571.124Vasos Comunicantes e Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . 2611.125Canudinho de Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

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1.126Pressão Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2651.127Pressão e Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671.128Funcionamento de um Sifão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691.129Sifão Automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.130Chafariz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2731.131Vaso de Tântalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751.132Tempo de Esvaziamento de uma Lata . . . . . . . . . . . . 2771.133Problema da Mangueira Enrolada . . . . . . . . . . . . . . 2801.134Empuxo Exercido por um Líquido . . . . . . . . . . . . . . 2821.135O Paradoxo do Peso do Ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841.136Analisando um Iceberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2861.137Densidade e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2871.138Empuxo e o Sobe e Desce de Esferas . . . . . . . . . . . . . 2901.139Construíndo um Densímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.140Manômetro Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931.141Compressão e Descompressão . . . . . . . . . . . . . . . . 2951.142Elevador Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2971.143Macaco Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3001.144A Balança e o Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031.145Por que o Barco não Afunda . . . . . . . . . . . . . . . . . 3051.146Barco, Carga e Nível da Água . . . . . . . . . . . . . . . . 3061.147Ludião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3081.148Fazendo um Ovo Flutuar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3101.149Viscosidade de um Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3121.150Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151.151Velocidade e Pressão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3191.152Velocidade e Pressão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3201.153Velocidade e Pressão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3221.154Aproximando Garrafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241.155Spray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261.156Asa de Avião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3281.157Estreitamento de um Filete de Água . . . . . . . . . . . . . 3321.158Líquido em Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3351.159Efeito Magnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

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Lista de Figuras

1.1 Haste e arruela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Gráfico de x em função de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Bolha no interior do tubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Esfera rolando sobre o canalete. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Gráfico de x× t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Pedra e a pena no interior da garrafa em queda. . . . . . . . . . 191.7 Garrafas interligadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8 Queda livre e independência das trajetórias. . . . . . . . . . . . 251.9 Tubo, barbante, porca e disco metálico. . . . . . . . . . . . . . 271.10 Garrafa furada com água em queda livre. . . . . . . . . . . . . 291.11 Porcas: a- Igualmente espaçadas; b- Espaçadas á distâncias propor-

cionais à quadrados de números inteiros. . . . . . . . . . . . . . 321.12 Som de impacto com o solo das porcas igualmente espaçadas no

cordão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.13 Som de impacto com o solo das porcas posicionadas a distâncias

proporcionais a quadrados inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . 341.14 Porca em movimento no fio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.15 Decomposição de forças da porca no fio. . . . . . . . . . . . . . 371.16 Carrinho de pilha com haste, eletroimã, copo e argola. . . . . . . 421.17 Esfera lançada horizontalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.18 Lançamento horizontal de uma esfera. . . . . . . . . . . . . . . 461.19 Lançador de projéteis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.20 Lançamento de projétil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.21 Representação de um lançamento oblíquo. . . . . . . . . . . . . 501.22 Bloco e linhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

xxiii

1.23 Moeda no copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.24 Caderno e borracha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.25 Centrífuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.26 Garrafa em rotação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.27 a- Prego sendo atraído pelo imã; b- Imã sendo atraído pelo prego. . 621.28 Skate e ventilador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.29 Forças ~P e ~N agindo sobre um objeto. . . . . . . . . . . . . . . 661.30 Mola suspensa e distendida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.31 Gráfico de ∆x× P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.32 Associação de molas em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.33 Associação de molas em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 711.34 Pedra presa ao barbante: a- Em movimento circular; b- Saindo pela

tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.35 Direções de ~Fc e ~v no movimento circular. . . . . . . . . . . . . 741.36 Esfera girando numa tampa com borda. . . . . . . . . . . . . . 761.37 Carrinhos amarrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.38 Caixa com livro(s) puxada pelo dinamômetro. . . . . . . . . . . 841.39 Forças agindo sobre a caixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.40 Atrito estático entre um objeto e uma rampa. . . . . . . . . . . . 861.41 Decomposição das forças do bloco sobre a rampa. . . . . . . . . 871.42 Livro na parede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.43 Forças atuantes sobre o livro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.44 Caixinhas dispostas: a- Menor área de contato; b- Maior área de

contato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.45 2 livros juntados página por página. . . . . . . . . . . . . . . . 941.46 Blocos interligados por um fio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.47 Calçado: a- Suspenso na vertical; b- Puxado na Horizontal. . . . . 981.48 Discos acoplados num eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.49 Distância percorrida em uma volta. . . . . . . . . . . . . . . . 1011.50 Roda Dentada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.51 Acoplamento de: a- Rodas dentadas; b- Rodas lisas por coreia. . . 1041.52 Raios no cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.53 Rotação de um disco com esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.54 Corpo 1 girando num plano horizontal sustenta o corpo 2 na vertical. 111

xxiv

1.55 Força sobre o corpo girando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.56 Haste com copos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.57 Copo no disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151.58 Forças sobre o corpo no ponto mais alto da trajetória. . . . . . . 1161.59 Esquema de uma gangorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.60 Torque numa barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201.61 Desenrolar do carretel: a- Translação no mesmo sentido de tração;

b- rotação e soltura da linha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.62 Forças que agem no carretel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.63 Esquema de uma alavanca interfixa. . . . . . . . . . . . . . . . 1241.64 Montagem da alavanca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251.65 Alavanca inter-resistente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261.66 Alavanca interpotente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271.67 Macaco tipo joelho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.68 a- Pesando o carrinho; b- Plano inclinado. . . . . . . . . . . . . 1311.69 Decomposição de ~P no plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . 1321.70 Roldana fixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1331.71 Associação de roldanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.72 Diagrama de forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.73 Esquema de uma talha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.74 Roldana móveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381.75 Talha exponencial com 3 polias móveis. . . . . . . . . . . . . . 1391.76 Sustentação de um objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411.77 Forças atuantes sobre o corpo suspenso. . . . . . . . . . . . . . 1421.78 Equilíbrio de Forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441.79 Decomposição de forças no plano xy. . . . . . . . . . . . . . . 1451.80 Tijolo disposto: a- de pé; b- de lado; c- deitado. . . . . . . . . . 1491.81 Pregos no isopor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.82 a- Sistema em equilíbrio; b- Massa acima da posição de equilíbrio;

c- Massa abaixo da posição de equilíbrio. . . . . . . . . . . . . 1581.83 Trilhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.84 Looping numa mangueira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.85 Esquema do looping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621.86 Conservação da quantidade de movimento linear. . . . . . . . . 163

xxv

1.87 Conservação da quantidade de movimento linear. . . . . . . . . 1661.88 a- Blocos separados por uma mola; b- Mola comprimida; c- Blocos

afastados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671.89 Rotacionando ovos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681.90 Corpos pendurados por linhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701.91 Canetas e elásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751.92 Girando na cadeira com os braços: a- abertos; b- Fechados. . . . . 1781.93 Medindo a inclinação de uma estrada. . . . . . . . . . . . . . . 1791.94 Relação triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1801.95 Pêndulo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1831.96 Pêndulo de Newton em ação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841.97 Lançamento horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861.98 Relação trigonométrica no pêndulo. . . . . . . . . . . . . . . . 1881.99 Pregando um prego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891.100Moeda sobre carta colocada sobre um copo. . . . . . . . . . . . 1911.101Forças atuante sobre a carta e a moeda. . . . . . . . . . . . . . 1921.102Golpeando a haste suspensa pelas tiras de papel. . . . . . . . . . 1961.103Efeito estilingue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981.104Velocidade das bolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991.105Inclinação e equilíbrio da torre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.106Duplo cone subindo a rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041.107Placa com hastes em equilíbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081.108Equilíbrio: a- Instável; b- Indiferente; c- Estável. . . . . . . . . . 2091.109Movimento do centro de massa de um martelo. . . . . . . . . . . 2101.110Massas ligadas por uma haste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111.111Canetas dispostas no bloco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121.112Pessoas sobre skates ligadas por uma corda. . . . . . . . . . . . 2141.113Equilíbrio do martelo: a- Pelo cabo; b- Pela base. . . . . . . . . 2161.114Centro de massa de um martelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2171.115Equilíbrio de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181.116Equilíbrio de uma arruela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191.117Construção do João teimoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.118Comportamento do João teimoso. . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.119Equilibrio do conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

xxvi

1.120Pássaro equilibrista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2261.121Equilíbrio da vassoura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281.122Forças atuantes sobre a vassoura. . . . . . . . . . . . . . . . . 2291.123Empilhamento de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2311.124Blocos Empilhados: a- 2 blocos; b- 3 blocos; c- 4 blocos. . . . . . 2321.125Estrutura do Balanço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341.126Variação do comprimento do pêndulo. . . . . . . . . . . . . . . 2351.127Água que não cai do copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361.128Papel segurando a água no copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2371.129Garrafa com água embocada no prato. . . . . . . . . . . . . . . 2381.130Água não cai da pipeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391.131Segurando a água com uma peneira. . . . . . . . . . . . . . . . 2401.132Tubos capilares em copos com: a- Água; b- Água e detergente. . . 2411.133União das lâminas de vidro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2431.134Tensão superficial: a- Clipe plana na água; b- Água não transborda. 2461.135Introdução de detergente nos copos. . . . . . . . . . . . . . . . 2481.136Tensão superficial entre palitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2501.137Filetes de água: a- Paralelos; b- Entrelaçados. . . . . . . . . . . 2521.138Efeito Coanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2541.139Esguichos de água oriúndos da garrafa. . . . . . . . . . . . . . 2571.140Jato de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2581.141Gráfico de x× h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2601.142Vasos comunicantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.143Experimento do canudinho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631.144Placas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2651.145Escoamento de água na garrafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671.146Sifão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691.147Sifão automático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711.148Construindo um chafariz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2731.149Vaso de tântalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2751.150Esvaziamento de uma garrafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2771.151Pequenos cilindros de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2781.152Helicóide na: a- Vertical; b- Horizontal. . . . . . . . . . . . . . 2801.153Corpo mergulhado num líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

xxvii

1.154Balões em: a- Equilíbrio; b- Desequilíbrio. . . . . . . . . . . . . 2841.155Megulhando o corpo no líquido sobre a balança. . . . . . . . . . 2871.156Densímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2911.157Cápsula manômétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2931.158Manômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2941.159Garrafas interligadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2951.160Elevador hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2971.161Principio de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981.162Estrutura da válvula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3001.163Macaco hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.164Esfera mergulhada na água sobre a balança. . . . . . . . . . . . 3031.165Ludião. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3081.166Experimento do Ovo na Água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3101.167Forças atuantes sobre a esfera no interior do líquido. . . . . . . . 3131.168Jato de ar sob a régua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151.169Escoamento de um fluído num tubo. . . . . . . . . . . . . . . . 3161.170Assoprando uma folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3191.171Garrafa e tubo conectados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3201.172Saída mais baixa da água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.173Fluxo de ar do secador de cabelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 3221.174Aproximando 2 garrafas com um jato de ar. . . . . . . . . . . . 3241.175Constituição do Spray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261.176Asa de Avião. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3281.177Linhas de corrente em torno da asa. . . . . . . . . . . . . . . . 3301.178Estreitamento de um filete de água. . . . . . . . . . . . . . . . 3321.179Líquido em rotação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3351.180Componentes de velocidades numa bola em rotação em sentido ho-

rário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

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Lista de Tabelas

1.1 Massa, diâmetro e densidade de esferas. . . . . . . . . . . . . . 81.2 Dados experimentais de densidade de esferas. . . . . . . . . . . 91.3 Posição (x) e tempo (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Dados do MRUV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Dados lei de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.6 Dados lei de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.7 Peso, distância e torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.8 Dados talha exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381.9 Tabela de dados equilíbrio de forças. . . . . . . . . . . . . . . . 1451.10 Tabela de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.11 Densidade de diversas substâncias. . . . . . . . . . . . . . . . 1471.12 Massas e densidades de substâncias. . . . . . . . . . . . . . . . 289

xxix

Capítulo 1

MECÂNICA

1.1 Introdução às Medidas Físicas

Objetivo

Fazer medidas de algumas grandezas físicas, expressando os resultadosem diferentes unidades.

Materiais Utilizados

1 trena (ou 1 régua), 1 cronômetro, 1 balança de precisão.


Com os equipamentos citados realize algumas medidas de comprimento,tempo e massa. Como exemplo podemos citar:

- medir as dimensões de uma carteira, expressando o resultado em centí-metros (cm), metros (m) e milímetros (mm);

- determinar o tempo que um aluno demora para percorrer uma certa dis-tância, e dar o valor em segundos (s), minutos (min) e horas (h);

- medir a massa de uma borracha, obtendo inicialmente o resultado emgramas (g) e depois expressar este mesmo valor em quilogramas (kg) e mili-gramas (mg).

1


Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza édeterminado em termos do valor de uma unidade, estabelecida por um padrão.

Neste experimento basta realizar as medidas e fornecer as respostas emdiferentes unidades para cada grandeza. É bom lembrar como se realizar aconversão de uma unidade para outra. Por exemplo, sabemos que:

1m = 100cm = 1000mm

1h = 60min = 3600s

1kg = 1000g = 1000000mg

2

1.2 Algarismos Significativos 1

Objetivo

Efetuar medidas de grandezas físicas levando em conta os algarismos sig-nificativos.


1 régua, 1 paquímetro.


Faça medidas de grandezas físicas levando em consideração os algaris-mos significativos. Como exemplo sugerimos determinar as dimensões deuma folha de papel. Procure realizar medidas bastante precisas.

Com a régua meça o comprimento (x) e a largura (y). Para medir a espes-sura (z) de uma folha utilize o paquímetro e meça inicialmente a espessurade diversas folhas1. A espessura z é o valor encontrado dividido pelo númerode folhas.


Cada medida deve ser feita utilizando-se o instrumento mais apropriadopara tal. Para medir comprimento, por exemplo, podemos utilizar uma trena,uma régua ou um paquímetro. A escolha do instrumento vai depender do queé que se deseja medir. Se deseja-se medir a largura da sala de aula certamentevai-se utilizar uma trena, mas se o objetivo é saber as dimensões de uma folhade papel geralmente utiliza-se uma régua e um paquímetro.

A medida de uma grandeza física deve conter o valor da grandeza, a in-certeza da medição e a unidade. Toda medição está sujeita a incertezas quepodem ser devidas ao processo de medição, aos equipamentos utilizados, ainfluência de variáveis que não estão sendo medidas e, também, ao operador.

1Aqui deve-se utilizar esse procedimento pois, com um paquímetro é impossível medirdiretamente a espessura de uma única folha de papel.

3

Não se pode medir uma grandeza física com precisão absoluta. Qualquermedição, por mais bem feita que seja, é sempre aproximada. Dessa forma,qualquer medição física, para ser completa, deve incluir informações sobre aconfiança no valor numérico encontrado.

Ao realizar uma medida o resultado deve ser dado pelos números corretosde medida, os quais são obtidos diretamente pela menor escala de medidapresente no instrumento, mais um algarismo duvidoso, o qual é estipuladopelo experimentador. O conjunto dos algarismos corretos mais um algarismoduvidoso formam o conjunto dos algarismos significativos.

Por exemplo, ao medir o comprimento da folha de papel com a régua, cujamenor divisão que possui é o milímetro, obteve-se o seguinte resultado (emcm): x = 29, 65cm. Os três primeiros algarismos são certos, já que a medidaficava entre 29, 6cm (29cm + 6mm) e 29, 7cm (29cm + 7mm), tendo-seprecisão na medida dos 29cm e dos 6mm. O algarismo 5 é estipulado, sendoo algarismo duvidoso. Portanto, a medida é dada com quatro algarismossignificativos. De maneira semelhante, a largura obtida foi de y = 21, 05cm.

Medindo a espessura de um conjunto de folhas com o paquímetro obteve-se o valor de 4, 0mm ou 0, 40cm. Veja que nesse caso escreve-se 0, 40cme não 0, 4cm, pois a medida foi obtida com dois algarismos significativos etal número deve ser mantido. Sendo que o conjunto de folhas era compostopor 67 unidades, obtém-se a espessura (z) fazendo 0, 40/67, donde vem z =0, 005970149cm. Deixando o resultado com dois algarismos significativosvem que z = 0, 0060, sendo que aqui foi feito um arredondamento.

Ao contar os algarismos significativos não considera-se o algarismo 0quando ele for usado para posicionar a vírgula decimal. Isso significa que o 0não será considerado um algarismo significativo quando estiver a esquerda doprimeiro algarismo diferente de 0. Já, quando o 0 estiver posicionado depoisda vírgula ele é considerado significativo. Por exemplo, matematicamentepodemos dizer que 4, 0mm = 0, 4cm, no entanto, essas duas medidas temsignificados diferentes, já que elas têm, respectivamente, 2 e 1 algarismossignificativos cada.

Para fazer um arredondamento, se o algarismo que vai ser desprezado (ouo primeiro entre vários que serão) for menor que 5, conserva-se o algarismoanterior a ele. Se for maior ou igual a 5, soma-se 1 ao algarismo anterior.

4

No caso realizado anteriormente, ao escrever o número 0, 005970149 comapenas 2 algarismos significativos desprezou-se o algarismo 7, somando 1 ao59, donde obteve-se 0, 0060.

No decorrer do livro ao realizar medidas e operações não é extremamentenecessário respeitar à risca os algarismos significativos em todos os cálculos.O que deve-se evitar é o excesso de algarismos (os quais são fornecidos pelascalculadoras) nos resultados.

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Objetivos

Calcular a área, o volume e a densidade de uma folha de papel, realizandooperações que levem em considerações os algarismos significativos.


1 paquímetro, 1 régua, 1 balança de precisão.


Determine a massa de uma folha de papel com a balança de precisão.Em seguida meça as dimensões da folha, as quais podem ser medidas damaneira semelhante ao Exp.(1.2), ou até mesmo utilizar os dados que neleforam obtidos. Tendo conhecimento desses valores calcule a área da folha, oseu volume e a sua densidade.


Nas operações envolvendo algarismos significativos o resultado deve serexpresso de modo que tenha o número de algarismos significativos do valorcom o menor número de algarismos significativos. A massa (m) medida dafolha de papel foi dem = 3, 1g e as dimensões da folha foram x = 29, 65cm,y = 21, 05cm e z = 0, 0060.

Com esses dados vem que a área é A = 29, 65.21, 05 = 624, 1325cm2.Como os valores de x e y tem quatro algarismos significativos cada, o valor deA também deve ter quatro algarismos significativos, de modo que o resultadocorreto da área é expresso como A = 624, 1cm2.

O volume da folha é dado por V = xyz = 29, 65.21, 05.0, 0060 =3, 744795cm3. Como a espessura z tem apenas 2 algarismos significativos,o volume deve ser expresso como V = 3, 7cm3. Muitas vezes tolera-se maisum algarismo além do duvidoso nas multiplicações e divisões, de modo quepodemos escrever V = 3, 74cm3.

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A densidade (ρ) é a grandeza física que relaciona a massa (m) de umcorpo e seu volume (V ):

ρ = m

V(1.1)

Substituindo os valores em (1.1) tem-se ρ = 3, 1/3, 74 = 0, 828877, dondevem que: ρ = 0, 829g/cm3.

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Objetivo

Determinar a densidade de esferas através da medida de suas massas edos seus diâmetros, levando em consideração os algarismos significativos.


1 paquímetro, 1 balança de precisão, bolinhas de gude (de diversos mate-riais).


Com o paquímetro meça o diâmetro (D) de cada esfera e com a balançaencontre as respectivas massas (m). Organize os dados numa tabela, como aTab.(1.2).

Tabela 1.1: Massa, diâmetro e densidade de esferas.m(g) D(cm) ρ(g/cm3)

......

...

Através dessas medidas encontre a densidade (ρ) do material que com-põem cada esfera. Leve em consideração os algarismos significativos nasmedidas e operações.


O volume (V ) de uma esfera é dado por V = (4/3)πr2, onde r é o raioda esfera. Sendo que r = D/2 podemos escrever V como:

V = 13πD

2 (1.2)

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Relacionando (1.2) e (1.1) podemos determinar a ρ de uma esfera, em funçãode m e de D, como:

ρ = 3π

m

D2

Alguns dados experimentais obtidos estão na Tab.(1.2). Sendo que amassa é dada com dois algarismos significativos e o diâmetro com três, adensidade é dada com 2 ou até mesmo com 3 algarismos significativos.

Tabela 1.2: Dados experimentais de densidade de esferas.m(g) D(cm) ρ(g/cm3)3,8 1,45 1,733,3 1,40 1,614,4 0,95 4,664,6 1,55 1,832,9 1,30 1,643,1 1,35 1,622,7 1,30 1,5318,1 1,68 6,12

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1.5 Velocidade Média

Objetivo

Estudar experimentalmente o conceito de velocidade média.


1 giz, 1 trena, 1 cronômetro, 1 carrinho elétrico (movido à pilha).


Com o giz faça duas marcas no chão, de modo a delimitar uma uma dis-tância entre elas. Com a trena meça essa distância. Ligue o carrinho elétricoe, com o cronômetro, marque o tempo que o mesmo demora para percorreressa distância. Repita algumas vezes o mesmo procedimento e determine avelocidade média do carrinho no percurso.


A velocidade média (vm) é determinada pala razão entre o espaço percor-rido (∆x) por um móvel e o tempo (∆t) necessário para percorrê-lo:

vm = ∆x∆t

onde ∆x = x − x0 e ∆t = t − t0. x e x0 são, respectivamente, as posiçõesfinal e inicial, e t e t0 os tempos final e inicial.

Quando o movimento ocorre no sentido da trajetória a velocidade média épositiva, pois nesse caso a variação do espaço (∆x) também é positiva. Nessecaso o movimento é progressivo. Se o movimento ocorre no sentido opostoao da trajetória a velocidade média (vm) é negativa, pois a variação do espaçotambém é negativo. Nesse caso o movimento é retrógrado.

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1.6 Movimento Retilíneo Uniforme 1

Objetivos

Observar e analisar o movimento retilíneo uniforme (MRU).


1 régua, 1 parafuso longo (haste cilíndrica com rosca, com cerca de 0, 5mde comprimento), 1 arruela (compatível com o diâmetro da haste), 1 suporte,1 pincel atômico, 1 cronômetro.


Fixe a haste no suporte, de modo que ela fique na vertical. Com a réguafaça nela alguns traços em intervalos de espaços iguais. Na haste coloque aarruela, de modo que, quando solta na extremidade superior, ela desça lenta-mente e oscilando, num movimento aproximadamente retilíneo e uniforme.Um esquema da montagem do conjunto está na Fig.(1.1). É importante utili-zar uma arruela que tenha um diâmetro conveniente para isso. Se o diâmetrofor muito pequeno ela não escorregará pela haste e se for muito grande, eladescerá rapidamente (quase em queda livre) ou aos saltos.

Utilizando um cronômetro que vai acumulando os tempos2, marque otempo gasto pela arruela para percorrer os intervalos pré-determinados. Oinstante inicial t = 0 é quando solta-se a arruela no topo da haste, em x =x0 = 0. Anote os valores das posições (x) pelas quais a arruela vai passandoe os instantes correspondentes (t). Coloque esses dados em uma tabela, comoa Tab.(1.3).

Com esses dados construa um gráfico da posição em função do tempo domovimento da arruela (x× t). Observe que os pontos se distribuirão ao redorde uma reta, como a da Fig.(1.2).

Primeiro distribua os pontos e depois trace uma reta que tende a se lo-

2A maioria dos alunos atualmente têm celulares que marcam intervalos sucessivos detempo, o que facilita muito a atividade.

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Figura 1.1: Haste e arruela.

Tabela 1.3: Posição (x) e tempo (t).x(cm) t(s)

......

calizar no meio deles3. Através da reta é possível determinar a velocidademédia do movimento estudado. Sendo um ponto da reta média dado pelacoordenada t e x, a velocidade média (v) é dada por:

v = x

t


Neste experimento o movimento da arruela ocorre com velocidade (v)praticamente constante. A posição (x) da arruela na haste no decorrer do

3Uma boa opção é estar usando um software de gráfico para construir o gráfico e encontrara reta.

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Figura 1.2: Gráfico de x em função de t.

tempo (t) depois de solta é dada por:

x = x0 + vt

onde x0 é a posição inicial donde a arruela é solta. Considera-se a velocidadepositiva se o movimento ocorrer no sentido positivo da trajetória, e este éescolhido de maneira arbitrária.

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1.7 Movimento Retilíneo Uniforme 2

Objetivos

Verificar e analisar o movimento retilíneo uniforme.


1 tubo de vidro ou plástico transparente (com cerca de 0, 5m de compri-mento), 2 rolhas (ou algo semelhante para fechar as extremidades), 1 régua(ou trena), 1 cronômetro (um celular que tenha essa função pode também serusado), 1 pincel atômico.


Encha com água o tubo transparente e feche suas extremidades de modoa deixar uma pequena bolha de ar no seu interior. Se inverter o tubo rapi-damente, você verá a rolha subindo lentamente por ele. Se a inclinação forobliqua, a subida da bolha vai ser mais lenta, o que pode facilitar a obtençãode dados (Fig.1.3).

Figura 1.3: Bolha no interior do tubo.

Fixe uma régua ao longo do tubo ou faça traços com uma caneta, de modoa marcar intervalos iguais de espaço (de 5cm em 5cm, por exemplo, a marca-ção seria 0, 5, 10, 15,..., 50. Incline o tubo e com o cronômetro vá registrando

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o tempo necessário para a bolha atingir uma determinada posição. Pode-seiniciar a marcação do espaço a partir de uma certa distância da extremidadedo tubo. Com os dados obtidos preencha uma tabela como a Tab.(1.3).

Com os dados obtidos determine a velocidade da bolha em cada intervalodo percurso e depois a velocidade média em todo o percurso. Desenhe umgráfico de x × t e observe os pontos experimentais distribuírem-se ao redorde uma reta, como na Fig.(1.2). Repita o mesmo procedimento com outrasinclinações no tubo de água e veja como varia a inclinação da reta.


No seu movimento no interior do tubo a bolha executa um movimentoretilíneo uniforme. A explicação é a mesma do experimento (1.6).

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1.8 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Objetivos

Entender o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e evi-denciar que o espaço percorrido é proporcional ao quadrado do tempo gastopara percorrê-lo.


1 esfera (bolinha de gude), 1 trena, 1 cronômetro, 1 pedaço de trilho(esses de cortina, com cerca de 1, 5m de comprimento), fita adesiva.

Pode-se fazer também um canalete com 2 barras retas, colocadas próxi-mas sobre um plano inclinado.


Apóie o trilho de modo a fazer um canalete, por onde a esfera vai rolar(Fig.1.4). Com o auxílio da trena e da fita adesiva anote algumas medidasde distâncias de referência para coletar os dados (por exemplo, de 20cm em20cm).

Figura 1.4: Esfera rolando sobre o canalete.

Solte a esfera e cronometre o tempo que ela demora para fazer o trajeto,desde o início até o ponto desejado, e vá marcando os dados numa tabela,semelhante a Tab.(1.4).

Para uma mesma distância faça mais de uma medida (umas 3 ou 4) edepois faça a média dos tempos. Repita o mesmo procedimento para cadauma das distâncias. Com os dados obtidos, desenhe o gráfico de x em função

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Tabela 1.4: Dados do MRUV.x(m) t(s) tm(s)

......

...

de t (x × t), o qual pode ser feito manualmente ou com o auxílio de umcomputador. Observe que a curva obtida, que passa próximo dos pontos é aparte de uma parábola, como representado na Fig.(1.5). Variando a inclinaçãoda rampa e repetindo todo o procedimento, obtêm-se um outra curva.

Figura 1.5: Gráfico de x× t.

É importante ressaltar que a rampa utilizada deve ser pouco inclinada,pois, caso contrário, fica difícil obter os intervalos de tempo manualmente,devido à rapidez do movimento.


Neste experimento estamos repetindo algumas das idéias dos experimen-tos feitos por Galileu Galilei para estudar o movimento dos corpos, maisprecisamente os movimentos acelerados.

Quando o movimento é acelerado, a posição x de um corpo no decorrer

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do tempo t é dada pela função horária:

x = x0 + vot+ 12at

2

onde x0 é a posição inicial, v0 a velocidade com a qual ele inicia o movi-mento, e a a sua aceleração. No nosso experimento temos que x0 = 0 ev0 = 0, e a função horária fica reduzida à:

x = 12at

2

ou seja, o espaço percorrido ou a posição do objeto é proporcional ao qua-drado do tempo (x ∝ t2). Como a função é do segundo grau, a curva dográfico é uma parábola.

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1.9 Queda Livre 1

Objetivo

Verificar a independência da massa dos corpos num movimento de quedalivre.


1 garrafa PET transparente, 1 pedra (ou objeto semelhante, desde queentre na garrafa), 1 pena (ou algo semelhante, bem leve, como um pedaço depapel).


Coloque a pedra e a pena dentro da garrafa, de modo que elas fiquem ladoa lado no seu fundo. Feche a tampa e em seguida solte o conjunto em quedalivre de uma certa altura. Observe que a pedra a pena chegam juntos ao chão(Fig.1.6).

Figura 1.6: Pedra e a pena no interior da garrafa em queda.

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Uma outra forma de realizar este experimento é dispondo os 2 objetossobre uma capa de caderno. Soltando o conjunto observa-se que os 2 atingemsimultaneamente o solo.


Esta experiência é uma das mais simples, porém, uma das mais importan-tes da mecânica, tendo sido realizada e repensada diversas vezes por grandescientistas, como Galileu Galilei.

Conta-se que Galileu, em torno do ano 1600, subiu na torre de Pisa, naItália, e soltou objetos de massas diferentes, constatando que eles chegavamjuntos ao solo. Isso provava que a velocidade de queda dos corpos indepen-dia de suas massas. No entanto, isso parecia contradizer a crença de que oscorpos caem mais rapidamente quanto mais pesados eles forem.

No nosso cotidiano ainda temos a impressão de que objetos mais pesadoscaem mais rapidamente que os mais leves. Soltando uma pedra e uma penade uma mesma altura, verificamos que a pedra chega ao chão mais rápido quea pena. Contudo, o que retarda a queda da pena é a resistência do ar. Se forno vácuo não haveria resistência do ar e os dois cairiam juntos.

Neste experimento colocamos a pena e a pedra dentro da garrafa para eli-minar o efeito direto do ar externo sobre a queda dos objetos. Dessa forma,constatamos que a queda dos corpos realmente independe de suas proprieda-des, neste caso, mais precisamente de suas massas.

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1.10 Queda Livre 2

Objetivo

Verificar que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.


2 garrafas PET (iguais), água, 1 pedaço de madeira, 2 pregos, 1 pedaçode barbante, 1 tesoura.


Encha bem uma das garrafas com água e a outra coloque somente umpouco. Prenda as duas garrafas com um barbante, de modo que fiquem inter-ligadas e suspenda o conjunto passando o barbante por dois pregos fincadosnum pedaço de madeira, como mostra a Fig.(1.7).

Figura 1.7: Garrafas interligadas.

Coloque o conjunto numa determinada altura, de modo que as garrafasfiquem numa mesmo posição em relação ao solo e corte o barbante. Vocêverificará que as duas garrafas caem juntas, apesar de uma ter massa maiorque a outra.


A explicação é a mesma do experimento (1.9).

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1.11 Queda Livre 3

Objetivo

Verificar que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.


2 objetos pequenos de diferentes massas (1 borracha, 1 pedaço de giz, 1tubo de corretivo, 1 bolinha de gude, por exemplo, desde que eles não tenhamtamanhos muito diferentes).


Segure os dois objetos de diferentes massas com uma mão, lado a lado,e solte-os de uma determinada altura. Tente fazer uma previsão junto comos colegas ou grupo de alunos de qual deles irá tocar primeiramente o solo.Novamente constante que os dois objetos caem com a mesma velocidade echegam simultaneamente ao chão.

Uma variante desse experimento é feita dobrando duas tiras iguais depapel. Prenda nelas números diferentes de clipes e solte-as, simultaneamente,de uma mesma altura. Perceba que as duas chegam juntas ao solo.


A explicação é a que foi dada no experimento (1.9).

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1.12 Queda Livre e Resistência do Ar

Objetivo

Verificar a influência do ar no movimento de queda livre dos corpos.


1 folha de papel, 1 pedra (pequena, ou algo similar).


De uma mesma altura em relação ao solo solte, simultaneamente, a folhae a pedra. Observe que a pedra chega antes ao solo. Em seguida amasse bema folha, de modo que ela fique com o formato aproximadamente esférico, erepita o mesmo procedimento. Constate agora que a folha e a pedra chegamjuntos ao solo. Por que ocorre essa diferença nos tempos de queda da folhaaberta e da folha amassada?


O filósofo grego Aristóteles acreditava que, quanto maior fosse o peso deum corpo, mais rapidamente ele alcançaria o solo. No entanto, o físico itali-ano Galileu Galilei observou que os tempos de queda de objetos independemde suas massas.

Mas, se for solta de uma mesma altura, uma folha de papel e uma pedra, apedra chega ao solo muito antes da folha. A folha cai lentamente, balançandono ar. Isso ocorre por causa da resistência do ar. Devido a diferença deformato entre a folha a e pedra, a força de resistência do ar, que tem sentidooposto à força gravitacional que puxa os objetos para o centro da terra, ébem maior sobre a folha aberta do que sobre a pedra. Agora, se a folha foramassada de modo que adquira o formato esférico, ela chega junto com apedra ao solo. Ambas sofrem a mesma força de resistência do ar.

Se o experimento de soltar, de uma mesma altura, uma pedra e uma folhade caderno aberta for realizado no vácuo, ambos chegarão ao solo no mesmoinstante. Em 1971, numa missão espacial à superfície da lua, o astronauta

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norte-americano David Scott soltou simultaneamente de suas mãos uma penae um martelo, e constatou que ambos chegaram juntos ao solo. Isso ocorreuporque a lua não tem atmosfera, não havendo, dessa forma, resistência do ar.

Quando um corpo move-se em um meio fluído (líquido ou gás), ele so-fre a ação de uma força de sentido oposto ao seu movimento. Essa força deresistência consiste na força de atrito entre o corpo e as partículas que com-põem o fluído. A força de resistência do ar depende da velocidade do objeto,de sua força e da maior área de seção transversal, perpendicular à direção domovimento. A intensidade dessa força de resistência (Fr) é dada por:

Fr = kvn

onde k é uma constante que depende do fluído e do formato do corpo (princi-palmente da sua maior área de seção transversal na direção do movimento),v é a velocidade do corpo e n é uma constante que depende da ordem degrandeza da velocidade, cujo valor é 1 ou 2, sendo geralmente 2.

Na verdade, todos os objetos sofrem forças de resistência quando em mo-vimentos. No entanto, se essa resistência for pequena, ela pode ser despre-zada.

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1.13 Queda Livre e Independência das Trajetórias

Objetivo

Demonstrar que o objetos em queda livre gastam o mesmo tempo paracair uma mesma altura, independentemente de suas trajetórias.


2 moedas (iguais), 1 régua.


A idéia do experimento é fazer um lançamento simultâneo de 2 moedasiguais. Uma delas vai ser abandonada na vertical e o outra vai ser lançadahorizontalmente. Ambas partem da mesma altura e tem velocidade inicialnula na vertical.

Disponhe a régua sobre a mesa de forma que metade dela fique para fora.Coloque uma moeda sobre a régua do lado de fora e a outra entre a régua e amesa, como mostra a Fig.(1.8). Bata na régua de fora para dentro de formaque ela lance uma moeda horizontalmente e deixe que a outra caia em quedalivre verticalmente.

Figura 1.8: Queda livre e independência das trajetórias.

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O principio de independência de movimento foi formulado por GalileuGalilei, e tem comprovação experimental. De acordo com este principio,quando um objeto realiza um deslocamento que é resultante de vários movi-mentos componentes que ocorrem simultaneamente, cada um desses movi-mentos ocorrem de maneira independente, como se os demais movimentosnão existissem.

Em razão da validade desse experimento, em muitas situações é mais con-veniente estudar cada um dos movimentos componentes antes de consideraro movimento resultante.

É comum se pensar que o objeto lançado para cima em curva leva maistempo para voltar ao solo do que se este objeto fosse lançado verticalmente.Esta é uma concepção incorreta decorrente do fato verdadeiro que a distânciatotal percorrida pelo objeto lançado em curva ser maior que daquele lançadoverticalmente. Na verdade o movimento vertical é determinado pela atraçãogravitacional, que é tal que puxa os objetos em relação à Terra com a mesmavelocidade, independentemente da trajetória que eles efetuam. Da mesmaforma, um objeto que cai em curva (lançado horizontalmente) gasta o mesmotempo para chegar ao chão que um objeto idêntico solto ao mesmo tempo damesma altura mas que cai verticalmente em queda livre.

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1.14 Aceleração Relativa

Objetivo

Mostrar que em queda livre os corpos caem com a mesma aceleração.


1 tubo de plástico transparente (ou uma garrafa PET cortada a parte supe-rior), 1 pedaço de barbante, 1 porca (de parafuso), 1 disco metálico (ou algoque faça barulho quando sofre um impacto), 1 tesoura.


Fixe o disco metálico no fundo do tubo e amarre o barbante e a porca deacordo com o esquema da Fig.(1.9). As dimensões dos pedaços de barbantedevem ser tal que, quando rompido na parte superior, a porca possa tocaro disco metálico no fundo do tubo. Estando o conjunto montado corte obarbante com a tesoura, provocando a queda livre do conjunto. Constateque, durante a queda, a porca não toca o disco metálico. Somente ouve-se obarulho do impacto quando o conjunto toca o solo.

Figura 1.9: Tubo, barbante, porca e disco metálico.

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Durante a queda livre a aceleração relativa entre o tubo e a porca é nulapois, mesmo em movimento, a porca mantém fixa sua posição relativa aotubo. Isso porque, tanto a porca como o tubo caem com a mesma aceleraçãog, que é aceleração da gravidade.

Suponhamos que o tubo plástico fosse bem maior, e a porca fosse substi-tuída por um observador. Nessa situação, se o observador não pudesse obser-var o exterior, ele não saberia dizer se estava flutuando no espaço vazio ou seestava caindo em queda livre num campo gravitacional. Isso é semelhante aoque diz o principio da equivalência da teoria da relatividade geral.

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1.15 Imponderabilidade da Queda Livre

Objetivo

Demonstrar que durante a queda livre o peso aparente dos corpos se anula.


1 copo plástico (desses de tomar bebida), 1 caneta ou compasso (ou algosimilar usado para furar), água.


Faça um furo com a ponta da caneta no copo plástico, de modo que,quando com água, ela jorre por ele. Coloque água no copo, segurando o furotapado com o dedo. Em seguida pegue o copo com água e o solte em quedalivre de uma certa altura. Você perceberá que, durante a queda livre a águapara se sair pelo orifício do copo (Fig.1.10).

Figura 1.10: Garrafa furada com água em queda livre.


Durante a queda livre a água para de jorrar pelo orifício do copo, emdecorrência da anulação do peso da água. Durante a queda livre ocorre um

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equilíbrio entre a força de inércia e a força peso.

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1.16 Espaço em Função do Tempo em Queda Livre

Objetivo

Visualizar como varia a posição de um objeto no decorrer do tempo nummovimento de queda livre (uniformemente acelerado).


12 porcas pequenas (essas de parafuso, de mesmo tamanho), 5 pedaços debarbante (de 50cm cada), 1 pedaço de barbante de cada comprimento especí-fico (10cm, 30cm, 50cm, 70cm e 90cm), 1 microcomputador com microfonee o software Audacity (ou outro similar).


Forme um cordão com 6 porcas, espaçadas a distâncias iguais (50cm),e um outro cordão também com 6 porcas, só que posicionadas geometri-camente a distâncias proporcionais a quadrados inteiros: 1, 4, 9, 16, 25 e36 (utilizam-se os barbantes com as medidas descritas anteriormente). Umesquema da disposição das porcas ligadas por barbantes está representadona Fig.(1.11). Na Fig.(1.11-a) temos as porcas igualmente espaçadas e naFig.(1.11-b) as porcas espaçadas à distâncias proporcionais à quadrados denúmeros inteiros4.

Utilize o software Audacity para a captação e a análise gráfica do som.Coloque o microfone rente ao chão e acione o botão gravar no Audacity.Segure o cordão com as porcas igualmente espaçadas na vertical, com a pri-meira esfera próxima ao chão e ao microfone, e largue-o. O microfone captao som das colisões das porcas com o chão e os dados são enviados para ocomputador e analisados pelo Audacity. Faça o mesmo procedimento com ooutro cordão que tem porcas espaçadas a distâncias proporcionais a quadra-dos inteiros. Analise e compare os gráficos gerados.

4Aqui o espaçamento é medido desde o início do fio. Isso porque: 12 = d, 22 = 4 =d + 3d = 4d, 32 = 9 = d + 3d + 5d = 9d, 42 = 16 = d + 3d + 5d + 7d = 16d,52 = 25 = d+ 3d+ 5d+ 7d+ 9d = 25d.

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Figura 1.11: Porcas: a- Igualmente espaçadas; b- Espaçadas á distâncias proporci-onais à quadrados de números inteiros.


A natureza do movimento de um objeto em queda livre tem sido de inte-resse de cientistas e filósofos por muito tempo. Aristóteles dizia que objetosmais pesados caíram mais rapidamente do que os corpos leves. Galileu Gali-lei afirmou que, na ausência de resistência do ar, todos os objetos caem commesma aceleração.

Na época de Galileu não havia meios de se obter um vácuo e equipamen-tos de medição precisa de intervalos de tempo eram inexistentes. A famosaexperiência em que Galileu soltou diferentes objetos da torre de Pisa e ob-servou os seus respectivos tempos de queda, talvez seja apenas lenda. O queGalileu realmente fez foi rolar uma bola em um plano inclinado. Isso porque,neste caso, reduz-se a aceleração em comparação com a aceleração de quedalivre, o que torna mais fácil a medição dos intervalos de tempo. Reduzem-setambém os efeitos da resistência do ar.

Galileu observou em seu experimento que, em intervalos de tempo iguaisa bola percorria distâncias proporcionais a inteiros ímpares: 1, 3, 5, 7, ....Concluiu, então, que as distâncias aumentavam com o quadrado do tempo.Sabemos hoje que isso ocorre somente quando a aceleração envolvida é cons-tante.

O movimento de queda livre de corpos próximos da superfície da terrapode ser descrito pela equação horária da posição (altura h) para um movi-mento uniformemente acelerado:

h(t) = h0 + v0t+ 12gt

2

32

onde h0 e v0 são, respectivamente, a posição e a velocidade iniciais do mo-vimento no instante t = 0. Escrevemos h(t) tomando um referencial verticalcom sentido positivo para baixo. Com essa convenção, a aceleração g temsentido positivo. A velocidade correspondente do corpo, em função do tempoé:

v(t) = v0 + gt

Se o corpo parte do repouso, v0 = 0, e se tomamos como origem a posi-ção inicial do mesmo, h0 = 0, temos, então, que a distância percorrida (h) ea velocidade (v) de um corpo em queda livre, abandonado do repouso são:

h(t) = 12gt

2

v(t) = gt

Como pode-se observar, o deslocamento h do corpo é proporcional ao qua-drado do tempo t de movimento (h ∝ t2), e sua velocidade v aumenta demaneira linear com o mesmo, devido à aceleração da gravidade (g).

Observando-se o gráfico no Audacity (Fig.1.12) verifica-se que, quando oprimeiro cordão é derrubado, as porcas igualmente espaçadas batem no chãoem intervalos de tempo progressivamente mais curtos.

Figura 1.12: Som de impacto com o solo das porcas igualmente espaçadas no cor-dão.

Os intervalos de tempo T entre as colisões das esferas com o solo sãocada vez menores: T1 > T2 > T3 > T4 > T5. Isso ocorre porque cada porcaposterior àquela que colidiu com o solo continua aumentando sua velocidade,

33

o que faz com que ela demore um menor intervalo de tempo para percorrer amesma distância.

Quando o cordão com as porcas posicionadas a distâncias proporcionaisaos quadrados inteiros é derrubado, as mesmas colidem com o solo em in-tervalos de tempo iguais, como pode ser visto na Fig.(1.13). Neste caso, osintervalos de tempo entre as colisões das esferas com o solo são praticamenteiguais: T1 = T2 = T3 = T4 = T5.

Figura 1.13: Som de impacto com o solo das porcas posicionadas a distânciasproporcionais a quadrados inteiros.

Uma maneira semelhante de realizar esse experimento é fazer a filma-gem de um objeto num movimento de queda livre. Capta-se o movimentocom uma câmera digital de qualidade e depois manipula-o num softwareadequado, de modo a visualizar o movimento de uma maneira interessante.Como exemplo, podemos citar o software VirtualDub, que seleciona o trechodo vídeo e o salva numa série de imagens, e o Image J, que sobrepõem essasimagens. Com isso é possível ver como são as posições do objeto no decorrerdo tempo. Recomenda-se realizar a filmagem num ambiente bem iluminado(para não borrar as imagens) e que a cor do fundo contraste bem com a cordo objeto em queda livre.

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1.17 Determinando a Aceleração da Gravidade

Objetivo

Determinar o valor da aceleração da gravidade através de um experimentosemelhante ao realizado por Galileu.


1 cronômetro, 1 trena, 1 porca metálica pequena (ou uma arruela), 1 fiode náilon (com 2m a 3m de comprimento), 1 suporte para amarrar o fio, 1transferidor, óleo de cozinha (ou alguma outra substância com função lubri-ficante).


Passe o fio de náilon por dentro da porca e fixe (amarre) firmemente as ex-tremidades do fio de modo a formar um desnível. Um esquema da montagemdo experimento está na Fig.(1.14).

Figura 1.14: Porca em movimento no fio.

O fio de comprimento l faz um ângulo de inclinação θ com a horizontal(recomenda-se entre 30◦ e 40◦). O ângulo θ pode ser medido diretamentecom o transferidor ou através do seu seno onde, de acordo com o triânguloretângulo senθ = h/L, onde h é o desnível entre os dois pontos fixos do fio.

Lubrifique bem a porca e o fio, passando nele óleo (pode ser com o pró-prio dedo), de modo a reduzir ao máximo o atrito entre eles. Solte a porca doponto superior do fio, acionando simultaneamente o cronômetro, e marque

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o tempo que ela leva para percorrer toda a extensão do fio. Repita o expe-rimento várias vezes e obtenha uma média dos valores obtidos. Com essesdados determine a aceleração sofrida pela porca e, posteriormente a acelera-ção da gravidade.

Uma outra forma de realizar esse experimento é através do rolamento deesferas num plano inclinado (ou num trilho de cortina), de maneira quaseidêntica ao realizado por Galileu. O procedimento é praticamente o mesmoque o aqui abordado.


Despresando o atrito entre a porca e o fio, pode-se dizer que o movimentodescrito pela porca é uniformemente acelerado. A distância x que a arruelapercorre ao longo de um tempo t, partindo do repouso é dado por:

x = 12at

2 (1.3)

Conhecendo-se x e t, encontra-se a partir de (1.3) a aceleração:

a = 2xt2

(1.4)

Fazendo uma decomposição de forças da porca no fio, como represen-tado no diagrama da Fig.(1.15), tem-se que o peso da arruela na direção domovimento (~Pt) é dada por Pt = Psenθ, ou:

Pt = mgsenθ (1.5)

onde mg é a intensidade do peso ~P

Sendo que a força que produz a aceleração é o peso na direção do movi-mento (Pt), pela segunda lei de Newton F = ma, vem que:

Pt = ma (1.6)

Levando as Eqs.(1.4) e (1.5) em (1.6), e considerando que a porca percorre ocomprimento l do fio num tempo t obtem-se:

g = 2lt2senθ

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Figura 1.15: Decomposição de forças da porca no fio.

A terra, assim como todos os corpos celestes, possui um campo gravi-tacional ao seu redor em que todos os objetos aí contidos são atraídos parao centro do planeta. O campo age sobre os objetos, provocando neles umaforça, fazendo com que eles sofram uma aceleração, a chamada aceleraçãogravitacional. A intensidade desta depende da massa e do tamanho do corpoceleste, e varia nele de acordo com a latitude, a altitude e outros fatores. Porexemplo, a aceleração da gravidade é um pouco maior nos pólos (média deg = 9, 83m/s2) do que na linha do Equador (média de g = 9, 78m/s2).Além disso, o valor de g diminui com a altitude. No monte Everest, porexemplo, a um pouco mais de 8.000m de altitude, g = 9, 76m/s2.

No entanto, para a grande parte dos fenômenos que ocorrem, os quaistem pequeno alcance e curta duração, a aceleração da gravidade g pode serconsiderada constante, com valor g = 9, 8m/s2 (em alguns casos arredonda-se para g = 10m/s2).

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1.18 Velocidade Inicial de uma Bola

Objetivo

Determinar a velocidade inicial de uma bola após o chute.


1 bola, 1 superfície plana e 1 parede, 1 trena, 1 notebook com microfonee o software Audacity (ou outro similar).


Estando numa superfície plana e diante de uma parede, deixe a bola emrepouso numa determinada posição. Com a trena, meça a distância d entre abola e a parede. Conecte o microfone ao notebook e coloque-o num pontoaproximadamente equidistante da bola e da parede. Peça para um aluno chu-tar a bola diretamente na parede e grave no computador os sons produzidosno processo e captados pelo microfone.

Grave o áudio no Audacity, que é capaz de controlar a gravação e exibirgraficamente a forma da onda obtida. O registro da onda sonora apresentarádois pulsos distintos, os quais correspondem, respectivamente, ao chute dabola e a colisão desta com a parede. O inicio de cada pulso pode ser deter-minado com precisão de milésimos de segundo. O tempo ∆t que a bola levapara efetuar o trajeto é a diferença entre esses dois pulsos.

O microfone deve estar numa posição equidistante da bola e da parede,pois isso cancela os atrasos associados à propagação do som. É importanteque a bola não bata na parede numa região muito distante da medida. Outramaneira é medir a distância depois de chutar a bola.

O que será determinado nesse experimento é a velocidade média da bolaentre o local em que é chutada e a parede. Se essa distância for pequena, avelocidade média tem valor bem próximo da velocidade inicial.

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Sendo que muitos sistemas mecânicos têm sua evolução temporal mar-cada pela emissão de sons, uma gravação de áudio pode fornecer medidasprecisas de certos intervalos de tempo de interesse, mesmo quando eles sãopequenos. Intervalos de tempo pequenos são difíceis de serem medidos como cronômetro. Embora a precisão dos cronômetros manuais cheguem a mi-lésimos de segundos, o tempo de reação humano é da ordem de décimos desegundo, o que impossibilita a extração de medidas precisas.

No experimento aqui descrito, a velocidade de chute da bola é dada pelarazão entre a distância d e o intervalo de tempo ∆t:

v = d

∆t

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1.19 Tempo de Queda

Objetivo

Fazer uma cronometragem sonora do tempo de queda livre de um corpo.


1 notebook com microfone e o software Audacity (ou outro similar), 1tira de papel, 1 régua rígida (ou algo semelhante), 1 moeda, 1 trena.


Coloque a moeda sobre a tira de papel, que está a uma certa altura do solo.Coloque o microfone a meia altura entre a tira de papel e o solo e acione agravação do som no software citado. Em seguida, com a régua golpeie a tiracom força, de modo a rompê-la. Com isso a moeda perde a sustentação dopapel e cai.

Dois pulsos podem ser ouvidos e vistos na gravação. O primeiro corres-ponde ao golpe dado na tira de papel e o segundo ao choque da moeda como chão (os pulsos seguintes são produzidos pelos quiques após a queda). Ointervalo de tempo ∆t entre os dois primeiros pulsos é o tempo de queda.

Meça a altura entre a tira de papel e o solo com a trena. Utilize uma estacapara manter a tira de papel na altura fixa. Repita o experimento diversas vezesde alturas diferentes e compare os tempos experimentais com os teóricos dequeda.


Partindo do repouso, o tempo de queda ∆t de um objeto que cai de umaaltura h é dado por:

t =√

2hg

onde g é a aceleração da gravidade local.Para alturas de poucos metros o tempo de queda é pequeno demais para

ser medido com precisão com um cronômetro de mão. A determinação desse

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intervalo de tempo através de gravações de áudio é uma alternativa precisa eeconômica, já que utiliza equipamentos simples.

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1.20 Relatividade das Trajetórias

Objetivo

Construir um experimento que demonstre a relatividade das trajetórias.


1 carrinho de pilha, 1 pequeno mastro, 1 esfera de ferro, 1 argola comhaste, 1 copinho plástico (ou algo semelhante), 1 eletroímã, 1 pilha, fios elé-tricos (finos).


Prenda um mastro na vertical no carrinho de pilha. Na parte superior domastro coloque o eletroímã, com capacidade para suspender a esfera quandoativado. A haste com argola é presa no meio do mastro, de modo que aesfera passe por ele. O copinho fica sobre o carrinho, na linha vertical doeletroímã e a argola. Conecte uma pilha para alimentar o eletroímã e engate2 fios compridos para fechar e abrir o circuito, podendo ser controlado àdistância. O esquema da montagem do equipamento para este experimentoestá na Fig.(1.16).

Figura 1.16: Carrinho de pilha com haste, eletroimã, copo e argola.

Com o carrinho em repouso, ligue o eletroimã (fechando o circuito elé-trico) e encoste nele a esfera, a qual ficará grudada. Desligando o eletroímã

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você observa a esfera cair em linha reta, passando pela argola e caindo dentrodo copinho. Ligue o carrinho de maneira que ele se mova com velocidadeconstante e repita o mesmo procedimento de soltar a esfera. Por incrível quepareça, você observará novamente a esfera passar pela argola e cair dentro docopinho.


Para o referencial do carrinho, o movimento da bola é apenas vertical.Para o referencial do solo, a bola descreve uma trajetória oblíqua, que é umacomposição de movimento vertical com movimento horizontal.

Do ponto de vista do carrinho, o movimento da bola ocorre da mesmamaneira, estando ele em repouso ou em movimento em linha reta com velo-cidade constate (movimento retilíneo uniforme).

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1.21 Lançamento Horizontal 1

Objetivo

Determinar a velocidade de lançamento horizontal de uma esfera a partirdo alcance horizontal máximo.


1 esfera, 1 mesa, 1 trena, 1 giz.


Sobre a mesa horizontal de altura h em relação ao solo impulsione aesfera, de modo que ela seja arremessada horizontalmente, como mostra aFig.(1.17).

Figura 1.17: Esfera lançada horizontalmente.

Arremesse a esfera com diferentes velocidades e com a trena meça o al-cance máximo (xmax) delas. Para facilitar a localização do ponto de impactocom o solo é importante que uma outra pessoa fique mais próxima ao locale marque o chão com o giz. Através dos valores de h e xmax encontre avelocidade inicial de lançamento.

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O lançamento horizontal é um caso especial de lançamento oblíquo ecorresponde à situação em que θ = 0. A componente da velocidade ~v0 nadireção horizontal (direção x) é v0x = v0cosθ. Sendo θ = 0, donde vemcos0 = 1, e que nessa direção a velocidade permanece constante, temos:

vx = v0

A componente de ~v0 na direção vertical (direção y): voy = vosenθ, énula, pois senθ = 0: voy = 0.

Um objeto lançado horizontalmente com velocidade v0, de uma alturah, tem como trajetória uma curva voltada para baixo, com velocidade verti-cal inicialmente nula, e que vai aumentando no decorrer do tempo, devido aatuação da aceleração da gravidade (g).

Horizontalmente e verticalmente, as respectivas posições de um objetolançado horizontalmente de uma altura h com velocidade v0, num instante t,são:

x = v0t (1.7)

y = h− 12gt

2 (1.8)

O tempo de queda, ou seja, o tempo que o objeto demora para atingir osolo depende unicamente da altura h da qual ele é lançado. Fazendo y = 0 eisolando t em (1.8), encontra-se:

t =√

2hg

(1.9)

Levando (1.9) em (1.7), encontramos a velocidade inicial de lançamento emfunção do alcance máximo (xmax):

v0 = xmax

√g

2h (1.10)

Sendo que g é constante (g = 10m/s2), substituíndo-se os valores experi-mentais de h e xmax em (1.10) e encontra-se a intensidade da velocidadeinicial de lançamento (v0).

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1.22 Lançamento Horizontal 2

Objetivo

Prever o ponto de colisão com o solo de uma esfera lançada horizontal-mente de uma certa altura.


1 esfera, 1 cronômetro, 1 régua, 1 mesa, 1 trilho, 1 copo plástico pequeno(ou outro recipiente semelhante).


Com o trilho monte uma rampa sobre uma mesa, de modo que sua parteinferior fique a uma distância d da borda da mesa, como representado naFig.(1.18).

Figura 1.18: Lançamento horizontal de uma esfera.

Inicie o experimento soltando a esfera de um determinado ponto do trilho,de modo que ela ganhe velocidade, percorra a trajetória plana e seja lançadahorizontalmente para fora da mesa. Solte várias vezes a esfera da mesmaposição, marcando com o cronômetro o tempo que a esfera demora para per-correr a distância d (trajetória plana)5. Faça uma média dos diversos tempos

5Sempre recolha a esfera ainda no ar, não deixando ela cair no chão. É importante lembrarque um aspecto importante deste experimento é fazer a previsão do alcance.

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obtidos, meça a distância d e calcule a velocidade inicial de lançamento daesfera.

Em seguida use as equações dos lançamentos de projéteis e determine adistância x em que a esfera cai da extremidade da mesa, distância essa medidano chão a partir da projeção de uma linha vertical que passa pela borda damesa. Coloque o copo nesse ponto estimado e, soltando novamente a esfera,da mesma posição no trilho, veja se ela realmente cai dentro do copo.


Quando solta no trilho a esfera ganha velocidade até chegar a mesa plana.Enquanto percorre a região plana, de distância d, a velocidade permanecepraticamente constante. Essa velocidade, que é a velocidade de lançamentov, é determinada por:

v = d

tonde t é o tempo que a esfera demora para percorrer a distância d.

Depois de lançada, os movimentos da esfera nas direções horizontal evertical podem ser considerados independentes um do outro. A equação quefornece a sua posição y na vertical, em função do tempo é y = h + vot −(1/2)gt2. Sendo que a velocidade inicial v0 com a qual a esfera é lançada nadireção vertical é nula:

y = h− 12gt

2 (1.11)

Na direção horizontal a posição x é dada por x = x0 + vt, onde v é avelocidade com a qual a esfera foi lançada da mesa. Fazendo x0 = 0:

x = vt (1.12)

Quando a esfera toca o solo tem-se que y = 0. Dessa forma, isolando otempo de queda t da esfera em (1.11):

t =√

2hg

e substituíndo em (1.12), vem que o alcance máximo xmax de lançamento é:

xmax = v

√2hg

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Conhecendo o valor da aceleração da gravidade g, medindo-se a altura damesa h e determinando a velocidade de lançamento v encontra-se o valor doalcance máximo (xmax).

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1.23 Lançador de Projéteis, Ângulo e Alcance

Objetivo

Construir um lançador de projéteis e verificar o alcance destes em funçãodo ângulo de lançamento.


1 cano de PVC, 1 mola de caderno (com diâmetro tal que passe dentrodo tubo de PVC), barbante, 1 esfera (bola de gude), fita adesiva, 1 trena, 1transferidor.


Inicialmente construa o lançador de projéteis. Fixe a extremidade damola numa das extremidades do tubo, usando fita adesiva (ou um pedaçode arame), se necessário. Prenda o barbante na outra extremidade da mola,passando no meio da extremidade em que a mola está presa. Este barbantetem a finalidade de comprimir e soltar mola, propiciando o lançamento. Puxeo barbante, de modo a comprimir a mola e coloque a esfera dentro do tubo.Um esquema da montagem do lançador está na Fig.(1.19).

Figura 1.19: Lançador de projéteis.

Segure o tubo rente ao plano do chão (ou de uma mesa), meça o ângulode lançamento com o transferidor e solte o barbante. Isso fará com que aesfera seja lançada obliquamente. Em seguida, com a trena meça a distânciaentre o ponto de lançamento e o ponto atingido pela esfera (Fig.1.20).

Repita o mesmo procedimento variando o ângulo θ de lançamento e ve-rifique os respectivos alcances máximos xmax por eles. Procure descobrircomo xmax varia em função do ângulo θ.

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Figura 1.20: Lançamento de projétil.


O lançamento oblíquo é formado por dois movimentos simultâneos e in-dependentes: um movimento retilíneo e uniforme na direção horizontal e ummovimento retilíneo uniformemente variado na direção horizontal. Um corpolançado obliquamente descreve uma trajetória com formato de parábola. NaFig.(1.21) temos uma representação do lançamento oblíquo, juntamente comos principais elementos envolvidos.

Figura 1.21: Representação de um lançamento oblíquo.

A velocidade ~v0 decompõem-se nas direções x e y, respectivamente como:

v0x = v0cosθ

v0y = v0senθ

A posição na horizontal do objeto lançado, considerando x0 = 0 é dadopor:

x = v0cosθ.t (1.13)

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A velocidade na horizontal permanece constante, de modo que:

vx = v0cosθ (1.14)

As equações que descrevem a velocidade e a posição do objeto na direçãovertical são:

vy = vosenθ − gt (1.15)

y = vosenθ.t−12gt

2 (1.16)

O alcance máximo ocorre quando o objeto novamente atinge o solo de-pois de lançado, e nesse momento y = 0. Dessa forma, a partir da Eq.(1.16)tem-se:

vosenθ.t−12gt

2 = 0

Resolvendo esta equação obtem-se t′ = 0, o que significa que o objetoencontra-se no solo quando foi lançado, e:

t′′ = 2v0senθ

g(1.17)

que é o tempo que ele demora para atingir o soloLevando (1.17) em (1.13) vem que o alcance horizontal máximo é dado

por:

xmax = 2v20senθcosθ

g(1.18)

Considerando a relação trigonométrica sen2θ = 2senθcosθ, escreve-se(1.18) como:

xmax = v20sen2θg

Em função do ângulo θ, xmax terá valor máximo quando sen2θ = 1, o quecorresponde6 a θ = 45◦.

Algo importante a ser lembrando é que nunca se deve usar raízes não exa-tas em resultados envolvendo conceitos trigonométricos. Para que os valoresde sen, cos e tg tenham significado físico eles precisam estar na forma deci-mal. Uma velocidade do tipo

√2m/s teria infinitos algarismos significativos,

o que nenhum instrumento de medida é capaz de fornecer.6O ângulo de ancance máximo para objetos pontuais em condições ideais é de 45◦. No

entanto, saltadores em provas de atletismo, por exemplo, no salto em distância decolam entre17◦ e 24◦. Isso deve-se às características do corpo humano, que é um corpo extenso.

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1.24 Lei da Inércia 1

Objetivo

Ilustrar a lei da inércia.


1 moeda, estar dentro de um ônibus (ou num automóvel) em movimento.


Estando de pé dentro do ônibus, ao perceber que ele está se deslocandoem linha reta com velocidade constante, jogue a moeda para cima. Observeque ela retorna às suas mãos. Mas por que ela não cai atrás de você, já que oônibus e você estão se movendo para frente?


Da mesma maneira que o ônibus e você estão se deslocando para frente,a moeda também está se deslocando junto com você. De acordo com a lei dainércia, quando um corpo está em movimento ele tende a continuar em mo-vimento em linha reta com velocidade constante. Por isso, depois de lançadaa moeda se desloca para frente (em relação ao solo) e acaba caindo de voltana sua mão.

O filósofo grego Aristóteles acreditava que um corpo somente poderiapermanecer em movimento se existisse uma força atuando sobre ele. Mui-tos anos depois, através de experimentos cuidadosos Galileu Galilei chegoua conclusão de que, se um corpo estiver em repouso, é necessária a ação deuma força sobre ele para colocá-lo em movimento. Uma vez iniciado o mo-vimento, cessando a ação das forças que atuam sobre o corpo, ele continuaráa se mover infinitamente, em linha reta e com velocidade constante7

A lei da inércia ou primeira lei de Newton nada mais é do que uma síntesedas idéias de Galileu relativas à inércia e diz que, na ausência de forças, um

7O que dificulta a verificação dessa segunda parte das conclusões de Galileu é a existênciade forças de atrito, força esta muitas vezes difícil de ser eliminada.

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corpo em repouso continua em repouso e um corpo em movimento continuaem movimento em linha reta com velocidade constante. Tudo o que possuimatéria tem inércia, de modo que a inércia é uma característica própria damatéria.

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Objetivo

Construir um experimento simples que ilustre a lei da inércia.


1 pedaço de madeira (em forma de bloco), 2 pedaços de linha (linha finade costura), 1 suporte.


Pendure num suporte o bloco de madeira por uma linha de costura (linha1). No outro lado do bloco prenda outro pedaço de linha (linha 2), comorepresentado na Fig.(1.22).

Figura 1.22: Bloco e linhas.

Puxe lentamente a linha 2 e perceba que rompe-se a linha 1. Repita no-vamente o experimento puxando rapidamente a linha 2 e constate que agoraé ela mesma que se rompe. Mas porque ocorre essa diferença?

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Ao se puxar lentamente a linha 2 rompe-se a linha 1, pois a força exercidasobre a linha 1 é maior do que a exercida sobre a 2. Isso ocorre porque sobrea linha 2 age também a força peso exercida pelo bloco.

No segundo caso rompe-se a linha 2 devido à inércia do bloco, que possuigrande massa, quando comparado com a massa total do sistema. O blocode madeira está em repouso e a tendência dele é permanecer em repouso.Como o puxão na linha 2 é rápido a mudança de movimento demora paraser transmitida para o restante do conjunto, o que acaba ocasionando o seurompimento.

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Objetivo

Ilustrar a lei da inércia


1 copo, 1 folha de papel cartolina, 1 moeda.


Coloque um pedaço de papel cartolina na boca de um copo e sobre eleuma moeda. Puxe fortemente o papel numa certa direção horizontal e observeque a moeda cai dentro do copo (Fig.1.23).

Figura 1.23: Moeda no copo.

Uma outra forma de realiza este experimento é colocar uma toalha sobreuma mesa e dispor alguns objetos sobre a toalha. Puxando a toalha rapida-mente, os objetos permanecem sobre a mesa.


A moeda acaba caindo dentro do copo devido à sua inércia: se ela está emrepouso, ela tende a continuar em repouso. Como retira-se o papel, ela acabapor cair dentro do copo. O mesmo ocorre com os objetos sobre a toalha. Seeles estão em repouso eles tendem a continuar em repouso. Como a toalha épuxada rapidamente os objetos acabam ficando sobre a mesa.

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Objetivo

Evidenciar a lei da inércia


1 caderno, 1 borracha (ou um outro objeto semelhante).


Coloque a borracha sobre o caderno. Segure o caderno e movimente-o horizontalmente, e depois pare-o bruscamente. Observe que a borrachaacaba sendo lançada para frente. A sequência desse experimento está esque-matizado na Fig.(1.24).

Figura 1.24: Caderno e borracha.


A borracha é lançada no sentido em que o caderno estava se movimen-tando. Inicialmente o caderno e a borracha estão em movimento e eles ten-dem a continuar em movimento. O caderno é parado e a borracha tende aseguir em linha reta com velocidade constante.

Muitas vezes é difícil verificar a primeira lei de Newton (lei da inércia)com experimentos diretos porque não podemos eliminar todas as forças ex-ternas que agem numa partícula.

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1.28 Centrífuga

Objetivo

Verificar o funcionamento de uma centrífuga.


1 recipiente cilíndrico (uma lata, por exemplo), barbante, 1 suporte, 1pano, água, 1 prego, 1 martelo.


Pegue o recipiente cilíndrico vazio e faça diversos orifícios em sua super-fície lateral, utilizando o prego e o martelo (ou algum outro procedimento).Suspenda o cilindro por meio de 3 pedaços de barbante, como mostra aFig.(1.25).

Figura 1.25: Centrífuga.

Coloque no interior do recipiente um pano bastante molhado e em se-guida gire o recipiente de modo que seja provocada uma torção acentuadanos cordões e abandone o conjunto. Observe as trajetórias das gotas de águaque saem do recipiente através dos orifícios enquanto ele está girando.

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Ao entrar em rotação a tendência do pano molhado que está no interiordo recipiente é sair para fora, devido a força centrífuga atuante sobre ele. Elenão faz isso porque a parede do recipiente exerce uma força centrípeta sobreele, fazendo com que ele mantenha-se em movimento circular. Nos orifíciosexistentes na parede do cilindro não existe essa força centrípeta e as gotas deágua acabam saindo do recipiente.

A força centrífuga é uma força de inércia que é introduzida para justificaro equilíbrio de um corpo em relação a um referencial acelerado quando estecorpo descreve trajetórias curvilíneas em relação a um referencial inercial.Ela é uma força fictícia, já que não é oriunda de nenhuma interação, masapenas de um artifício matemático criado para que a primeira e a segunda leide Newton possam ser usadas em referenciais em que elas não valem.

Do ponto de vista de uma gota de água em contato com o rotor, ela estáem repouso porque a força centrífuga que a puxa para fora é equilibrada pelaforça centrípeta exercida pelas paredes do rotor. Quando a gota entra noorifício passa a não existir a força centrípeta, o que faz com que ela sejalançada para fora.

É importante salientar que a força centrífuga é somente sentida no refe-rencial da gota, não sendo definida no referencial externo, que é o referencialinercial8. Para este referencial as gotas de água situadas nos orifícios do rotorsaem dele (na direção tangente) simplesmente devido à lei da inércia.

8Quando se adota um referencial inercial considera-se a força centrípeta, mas não a forçacentrífuga, enquanto num referencial não inercial considera-se a força centrífuga, mas não aforça centrípeta. Embora tenham o mesmo módulo e direção e sentidos opostos, essas forçasnão são forças de ação e reação.

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1.29 Ação e Reação 1

Objetivo

Explicar a rotação de um corpo através da lei de ação e reação.


1 garrafa PET (de 2L), 1 rolha, 3 pedaços de fio ou linha, 4 tubos de vidrocom formato de L (ou algo similar), 1 suporte, fita adesiva ou cola, água.


Corte o fundo da garrafa e faça 3 furos (distantes igualmente um do outro)próximo à borda, de modo a amarrar 3 pedaços de linha, como na Fig.(1.26).Prenda a linha no suporte fixo, de modo a suspender a garrafa.

Figura 1.26: Garrafa em rotação.

Na rolha faça 2 furos de modo a introduzir 2 tubos L. Em cada um dessestubos conecte outro tubo L (usando fita adesiva, cola, etc.), de modo que elesfiquem como na Fig.(1.26). Prenda firmemente a rolha na boca da garrafa edepois a encha de água. Solte o conjunto e perceba que a saída de água pelostubos de vidro coloca a garrafa em movimento de rotação.

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Devido ao formato em que os tubos de vidro foram dispostos, a saídade água ocorre por jatos laterais. Estes produzem forças de ação e reaçãoque originam um torque, o qual faz o conjunto girar num sentido oposto aosentido dos jatos de água.

Se uma força ~FBA é aplicada por um corpo A sobre um corpo B, então háuma força correspondente ~FAB que é a força aplicada pelo corpo B no corpoA. Essas duas forças relacionam-se como:

~FAB = −~FBA

Apesar de terem a mesma intensidade, as forças de ação e reação nãoproduzirão sempre os mesmos efeitos nos corpos onde são aplicadas. Issodependerá de outras características, como a massa de cada objeto. É im-portante também ressaltar que, embora as forças de ação e reação tenham amesma direção, a mesma intensidade, e sentidos opostos, como elas estãoaplicadas em corpos diferentes, elas não se cancelam entre si.

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1.30 Ação e Reação 2

Objetivo

Evidenciar a lei de ação e reação.


1 prego, 1 imã.


Sobre uma mesa lisa coloque um imã pequeno e um prego. Aproxime os2 objetos até que a atração entre eles possa ser percebida e segure-os nessaposição.

Mantenha o imã fixo e solte o prego. Observe que este é atraído peloimã, deslocando-se em direção à ele (Fig.1.27-a). Agora mantenha fixo oprego e solte o imã. Observe que é o imã que é atraído pelo prego e acabadeslocando-se em direção à ele (Fig.1.27-b).

Figura 1.27: a- Prego sendo atraído pelo imã; b- Imã sendo atraído pelo prego.


Da mesma forma que o imã exerce uma força sobre o prego, o pregoexerce uma força sobre o imã. Quando um deles é fixo o outro é que semovimenta até ele.

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1.31 Skate Movido à Ar

Objetivo

Evidenciar o princípio da ação e reação no movimento de um skate comum ventilador.


1 skate, 1 ventilador (ou aquecedor elétrico9), fita adesiva resistente.


Prenda o ventilador sobre o skate com o auxílio da fita adesiva, como naFig.(1.28).

Figura 1.28: Skate e ventilador.

Coloque o conjunto numa superfície horizontal e ligue o ventilador. Vocêobservará todo o conjunto mover-se num dos sentidos. Inicialmente o venti-lador pode ser deixado desligado. O operador pode controlá-lo, ligando oudesligando o seu cabo de alimentação. Deve-se tomar cuidado para não batere danificar o conjunto.

Este experimento pode ser feito também numa escala menor, utilizandoum ventiladorzinho movido a pilha, preso num carrinho de brinquedo.

9O qual geralmente tem também a função de ventilador.

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O movimento do ar causado pelo ventilador, deslocado num sentido, pro-voca o movimento do carrinho no sentido oposto. Isso ocorre devido à lei deação e reação, ou terceira lei de Newton. As pás do ventilador são levementeinclinadas para que, ao moverem-se, empurrem o ar para trás (para trás em re-lação ao skate, pois em relação ao ventilador elas sempre empurram o ar parafrente). O ar empurrado para trás empurra as pás do ventilador para frente.Como o ventilador está fixado no carrinho, este acaba recebendo a ação dareação do ar, movendo-se para frente.

64

1.32 Aceleração Vertical e Peso Aparente

Objetivo

Verificar a relação entre peso, força normal e aceleração.


1 balança de precisão (pequena), 1 objeto (pequeno).


Coloque o objeto sobre a balança, segure-a na mão e movimente-a navertical. Procure erguê-la e/ou abaixá-la subitamente e acompanhe a medidada massa do objeto. Observe que, quando ergue-se rapidamente a balança amassa do objeto aumenta, e quando ela é abaixada, a massa diminui.


Quando um objeto é colocado sobre a balança, o que ela mede é a inten-sidade do seu peso (~P ) e fornece de maneira indireta a sua massa (m) atravésda relação:

m = P

g

da qual observamos que peso e massa são diretamente proporcionais. NaFig.(1.29) temos as forças que agem sobre um objeto colocado sobre umabalança.

Na verdade, a balança indica a intensidade da reação normal ~N do apoiodo objeto contra a balança, a qual depende também da aceleração da balançana direção vertical, direção esta onde atua a força gravitacional.

O peso real de um objeto é medido quando a aceleração da balança é nula(a = 0), e isso ocorre quando ela está parada ou movendo-se com velocidadeconstante. Em termos de intensidade vem que:

N = P

65

Figura 1.29: Forças ~P e ~N agindo sobre um objeto.

Se a balança é acelerada para cima, de acordo com a segunda lei de New-ton10 ∑F = ma, temos que N − P = ma e constatamos que:

N > P

ou seja, o peso medido pela balança é maior que o peso real do objeto.Se a balança é acelerada para baixo, ela registra um peso do objeto menor

que o real, pois P −N = ma, donde vem que:

N < P

Um objeto (ou pessoa) não pode ter peso, do mesmo modo que não podeter força, porque ele não pode ter ação. Uma ação se faz, exerce ou sofre.Um objeto pode fazer, exercer ou sofrer uma dessas ações. Peso é a ação quea terra exerce sobre alguma coisa ou pessoa. Ele não é uma característica dapessoa, como a massa, mas é a resultante da interação pessoa-terra.

10O termo∑

F é chamado força resultante e representa a somatória de todas as forças.

66

1.33 Lei de Hook

Objetivos

Verificar a lei de Hook e determinar a constante elástica de uma molahelicoidal.


Molas helicoidais de diferentes comprimentos e diâmetros (molas de ca-derno), 1 régua (ou 1 trena), algumas massas conhecidas11.


Suspenda uma mola, de modo que ela possa se distender verticalmentepara baixo. Para facilitar as medidas fixe a régua (ou trena) na parede verti-cal. Vá acrescentando as massas à mola e meça a sua elongação em relação àposição inicial (sem massa suspensa). Um esquema da montagem do experi-mento está na Fig.(1.30).

Figura 1.30: Mola suspensa e distendida.

Com os dados obtidos preencha uma tabela, como a Tab.(1.6). O peso é

11Se foram massas diversas, deve-se utilizar uma balança de precisão para determiná-las.

67

dado por P = mg onde m é a massa suspensa (em kg). Para cada distensãocalcule o valor da constante elástica da mola k.

Tabela 1.5: Dados lei de Hook.P (N) ∆x(m) k(N/m)

......

...

Com os dados da Tab.(1.6) construa um gráfico de ∆x em função de P .


As molas e elásticos são estruturas que possuem a propriedade de deformar-se sob esforços de tração ou compressão, e exercem forças de reação no sen-tido de recuperar as suas dimensões originais.

Quando uma mola está sujeita à uma força ~F de deformação ao longodo seu comprimento, ela passa a exercer uma força elástica ~Fel de mesmaintensidade e sentido oposto ao da força ~F :

~Fel = −~F

A força que uma mola troca com objetos em contato com ela é direta-mente proporcional à sua deformação, de modo que:

~F = k~x (1.19)

onde k é a constante de proporcionalidade característica do material que cons-titui a mola, denominada constante elástica. Perceba que neste caso a força évariável, aumentando de maneira proporcional à deformação da mola. A ex-pressão (1.19) recebe o nome de lei de Hook em homenagem ao físico inglêsRobert Hook que investigou o comportamento de materiais elásticos.

Experimentalmente obteve-se um conjunto de dados, os quais estão repre-sentados na Tab.(1.6). Para cada par de valores de F (ou P ) e ∆x a constantede Hook (k) é dada a partir de (1.19):

k = F

∆x

68

Tabela 1.6: Dados lei de Hook.P (N) ∆x(m) k(N/m)0,479 0,023 20,80,978 0,050 19,61,470 0,074 19,91,957 0,098 20,02,447 0,122 20,02,940 0,148 19,93,430 0,173 19,8

Fazendo uma média aritmética dos valores encontrados obtemos umaconstante elástica da mola como sendo k = 20, 0N/m. O gráfico obtidoé semelhante ao da Fig.(1.31).

Figura 1.31: Gráfico de ∆x× P .

Repita o experimento utilizando outras molas ou altere o comprimento deuma mesma mola. Veja como se comporta o valor de k.

69

1.34 Associação de Molas

Objetivo

Determinar a constante elástica de uma associação de molas helicoidais.


Algumas molas (as usadas no Exp.(1.33)), diversas massas, 1 lápis, bar-bante.


Com 2 molas com constantes elásticas conhecidas (talvez já determinadasno Exp.(1.33)) associe-as em série, como mostra a Fig.(1.32). Se necessárioutilize barbante para prender as molas.

Figura 1.32: Associação de molas em série.

De maneira semelhante, associe as molas em paralelo, interligando-ascom um lápis, como mostrado na Fig.(1.33).

Realize o procedimento semelhante ao Exp.(1.33) e determine a constanteelástica equivalente para cada associação.

70

Figura 1.33: Associação de molas em paralelo.


Na associação em série a intensidade da força aplicada nas 2 molas éigual à deformação total do sistema ∆x, a qual é:

∆x = ∆x1 + ∆x2 (1.20)

onde ∆x1 e ∆x2 são as deformações em cada mola.Através da lei de Hook F = k∆x vem que:

∆x = F

k(1.21)

Sendo ks a constante elástica equivalente da associação em série, relacio-nando (1.21) com (1.20), encontram-se:

1ks

= 1k1

+ 1k2

ou:ks = k1k2

k1 + k2

No caso de n molas associadas em série, vem que:

1ks

= 1k1

+ 1k2

+ ...+ 1kn

Na associação em série a constante elástica ks é sempre menor que amenor constante elástica da associação. Por isso que, para uma força aplicada

71

de intensidade ~F a deformação ∆x é maior que os deslocamentos individuaisem cada mola.

Na associação em paralelo, aplicando-se uma força ~F na barra rígidaque prende as 2 molas, estas sofrem deformações iguais. Cada mola sofre aatuação de uma força, de modo que:

F = F1 + F2 (1.22)

Sendo kp a constante elástica da associação em paralelo, relacionando a leide Hook com (1.22), vem que:

kp = k1 + k2

No caso de n molas associadas em paralelo, kp fica determinada por:

kp = k1 + k2 + ...+ kn

Na associação em paralelo a constante elástica kp é sempre maior queas constantes elásticas de cada mola. Por isso a deformação da associação émenor que a deformação de cada mola.

72

1.35 Forças no Movimento Circular

Objetivos

Verificar quais as forças que atuam sobre um objeto em movimento cir-cular bem como o comportamento de tal objeto quando tais forças deixam deagir.


1 pedra pequena (ou algo semelhante), 1 barbante.


Amarre a pedra bem firme numa das extremidades do barbante. Segu-rando o barbante pela outra extremidade coloque a pedra em movimento cir-cular num plano vertical, como mostrado na Fig.(1.34-a).

Figura 1.34: Pedra presa ao barbante: a- Em movimento circular; b- Saindo pelatangente.

Em seguida solte a linha que segura o objeto e observe que este tende asair da trajetória em linha reta no ponto onde foi solto, como representado naFig.(1.34-b).

73


Estando a realizar um movimento circular com velocidade constante umobjeto tem uma aceleração centrípeta12 (~ac), bem como uma força centrí-peta (~Fc), que apontam para o centro da trajetória, e velocidade vetorial (~v)cuja direção é sempre tangente à posição do móvel, como representado naFig.(1.35).

Figura 1.35: Direções de ~Fc e ~v no movimento circular.

Os vetores ~v e ~ac mudam constantemente de direção durante o movi-mento, mas sempre mantêm-se perpendiculares entre sí (~v⊥~ac). A acelera-ção centrípeta (~ac) faz mudar continuamente a velocidade (~v), não alterandoo seu módulo, mas sim, apenas a sua direção.

Ao soltar a linha, deixa de existir a força centrípeta que aponta para ocentro da trajetória, a qual causa a aceleração ~ac, e o objeto tende a seguir nadireção de ~v, de acordo com a lei da inércia.

A intensidade da aceleração centrípeta é dada por:

ac = v2

r

onde r é o raio da trajetória descrita. ~Fc e ~ac relacionam-se através da ex-pressão ~Fc = m~ac, de modo que a intensidade da força centrípeta é escritacomo:

Fc = mv

r(1.23)

12O termo centrípeta significa aquilo que se dirige ou procura aproximar-se do centro.

74

Sendo v = ωr, pode-se escrever (1.23) como:

Fc = mω2r

75

1.36 Seguindo pela Tangente

Objetivo

Mostrar que um objeto em movimento circular tende a seguir a linha tan-gente à curva quando não há forças atuando sobre ele.


1 esfera (bolinha de gude), 1 tesoura, 1 tampa circular com borda (umaembalagem de pizza, por exemplo).


Recorte um pedaço da borda da tampa circular, de modo a formar umafenda de largura igual ao diâmetro da esfera. Disponha a embalagem sobreuma superfície horizontal e plana e coloque a bolinha em movimento, demodo que ela gire encostada na borda, como representado na Fig.(1.36).

Figura 1.36: Esfera girando numa tampa com borda.

Observe que, mesmo tendo a abertura na borda, a bolinha cruza por elasem sair para fora da tampa.


Quando um objeto percorre uma trajetória circular, há uma força centrí-peta que mantém ele nessa trajetória. Neste experimento a força centrípetaé exercida pela borda da embalagem. Quando a esfera encontra a abertura,

76

a força centrípeta deixa de existir. Mas, mesmo assim, a esfera não sai pelafenda pois, na ausência da força centrípeta ela tende a seguir uma trajetóriaretilínea, tangente à curva.

77

1.37 Principio Fundamental da Dinâmica

Objetivo

Relacionar as grandezas força, massa e aceleração.


2 carrinhos iguais (resistentes), 1 elástico, 1 régua, alguns pesos (paravariar a massa de um dos carrinhos, ou utilize um terceiro carrinho de massadiferente dos outros), fita adesiva, 1 giz.


Amarre os 2 carrinhos com o elástico (não muito forte), afastando-os poruma certa distância e os solte, como mostra a Fig.(1.37).

Figura 1.37: Carrinhos amarrados.

Quando soltos os carrinhos vão acelerar e ir de encontro um do outro.Marque no chão a distância donde eles partem e onde eles se encontram.Verifique que eles percorrem distâncias aproximadamente iguais. Repita omesmo experimento algumas vezes.

Agora aumente a massa de um dos carrinhos amarrando com fita um pesonele (ou substitua um dos carrinhos pelo outro de massa diferente) e realizenovamente o experimento. Verifique que as distâncias percorridas são dife-rentes, sendo maior a distância percorrida pelo carrinho de menor massa.


Os carrinhos estão interligados e trocam as forças ~F1 e ~F2, as quais sãosempre iguais em intensidade: F1 = F2. A atuação da força ~F1 sobre o car-

78

rinho 1 de massa m1 provoca nele a aceleração ~a1. De maneira semelhante,a força ~F2 sobre o carrinho 2 de massa m2 provoca nele a aceleração ~a2.

Se a massa dos carrinhos são iguais m1 = m2, pela segunda lei de New-ton ou principio fundamental da dinâmica ~F = m~a, vem que, em termos deintensidade, a aceleração sofrida pelos dois carrinhos são iguais:

a1 = a2

Quando a massa dos carrinhos é diferente sofre aceleração de maior in-tensidade o de menor massa. Suponha que m1 > m2. Sendo a = F/m, vemque:

a1 < a2

de modo que o carrinho 1 percorra uma distância menor que o 2.

79

1.38 Atrito e Movimento

Objetivo

Comprovar a necessidade da força de atrito no movimento.


1 meia, 1 chão liso.


Coloque uma meia nos pés (se estiver de tênis ou sapato basta tirá-los) etente andar em uma sala com chão bem liso13. Por que movimentar-se nessascircunstâncias parece ser uma tarefa bastante difícil?


Ao caminhar o pé da pessoa empurra o chão para trás e este reage nopé da pessoa, empurrando-o para frente. Pé e solo trocam entre si forças deatrito do tipo ação e reação (mesma intensidade, mesma direção e sentidosopostos). Lembre-se que as forças estão aplicadas em corpos diferentes. Parahaver força de reação que impulsione a pessoa para frente deve existir forçade atrito que impeça o pé de escorregar no chão. A presença da meia no péda pessoa diminui muito a força de atrito com o solo, o que dificulta o seumovimento.

A força de atrito sobre cada corpo ocorre no sentido oposto ao seu movi-mento, em relação ao outro corpo. Elas sempre se opõem a este movimentorelativo e nunca o auxiliam. A força de atrito (fat) é definida como:

fat = µN

onde µ é o coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) e N é a força normal,ou seja, a força que o solo faz sobre o objeto ou corpo que nele toca. Ocoeficiente de atrito (µ) depende dos materiais envolvidos nas superfícies de

13Cuidado para não levar um tombo.

80

contato. A única forma de obtê-lo é através de medidas experimentais, jáque não é possível calculá-lo teoricamente. As leis da força de atrito foramestabelecidas ainda por Leonardo da Vinci, e as expressões matemáticas e ocoeficiente de atrito foram desenvolvidas alguns séculos depois por CharlesCoulomb.

O atrito é muito importante no cotidiano. Sem ele não seria possívelandar, ficar parado, segurar um lápis (e se isto fosse possível, ele não escre-veria), etc.. Seria um caos total. No entanto, em algumas situações ele éinconveniente. Em um automóvel, por exemplo, cerca de 20% da potência domotor é utilizada para contrapor as forças de atrito.

81

1.39 Atrito Estático e Dinâmico

Objetivo

Diferenciar atrito estático e atrito dinâmico.


1 dinamômetro (pode ser 1 elástico ou 1 mola), um bloco (1 caderno, porexemplo).


Prenda o dinamômetro no bloco e coloque o conjunto sobre uma mesaplana. Puxe o bloco pelo dinamômetro e verifique a intensidade da força queele marca, para iniciar o movimento e depois para manter o movimento emlinha reta com velocidade constante. Observe que a força necessária para tiraro bloco do repouso e colocá-lo em movimento é maior do que para mantê-loem movimento retilíneo uniforme.

Repita o procedimento puxando o bloco sobre uma superfície mais ás-pera, ou mais lisa, e compare os resultados.


Atrito é a força de resistência ao movimento relativo, ou a eminência demovimento, entre duas superfícies em contato. O atrito é bastante benéficoem alguns casos e muito danoso em outros. A origem da força de atrito (~fat)está nas irregularidades das superfícies em contato. Ao serem comprimidase postas em movimento uma em relação à outra, elas exercem forças mútuasde atrito.

O atrito pode ser classificado como dinâmico (ou cinético), quando existemovimento entre as superfícies, e estático, quando as superfícies estão emrepouso uma em relação à outra.

A força de atrito ~fat é sempre tangencial à trajetória e tem sentido opostoao movimento (ou a tendência do movimento). A intensidade máxima da

82

força de atrito é dada por:fat = µN

onde µ é a constante de proporcionalidade, chamada coeficiente de atrito,que pode ser µd: coeficiente de atrito dinâmico, ou µe: coeficiente de atritoestático.

Como visto no experimento, necessita-se de uma força maior para tirar ocorpo do estado de repouso e colocá-lo em movimento, do que para mantê-loem movimento com velocidade constante. Isso ocorre por o coeficiente deatrito estático é sempre maior que o coeficiente de atrito dinâmico:

µe > µd

Isso faz com que, para um mesmo corpo, numa mesma superfície, a intensi-dade da força de atrito estática (fate) seja maior que a intensidade da força deatrito dinâmica (fatd

):fate > fatd

83

1.40 Força de Atrito e Peso

Objetivo

Mostrar a dependência da força de atrito com o peso de um corpo.


1 dinamômetro (se não tiver pode ser usado um elástico ou uma mola), 1caixa de sapatos, 2 livros ou cadernos iguais (cujo tamanho os faça caber nacaixa), fita adesiva.


Prenda o dinamômetro à caixa, utilizando uma fita adesiva se necessário.Coloque um livro dentro da caixa e puxe-a, segurando pelo dinamômetro,até chegar na eminência do movimento. Anote a força que foi feita (se usaro elástico ou mola, basta medir com uma régua a distensão). Essa forçaaplicada é igual à força de atrito entre a caixa e a superfície. A caixa deveestar sempre apoiada numa superfície horizontal e a força aplicada tambémdeve estar na direção horizontal.

Um esquema da montagem e realização do experimento está na Fig.(1.38).

Figura 1.38: Caixa com livro(s) puxada pelo dinamômetro.

Repita o mesmo procedimento, mas agora com 2 livros dentro da caixa.Observe que agora a força aplicada é maior, chegando a ser aproximadamenteo dobro da força aplicada anteriormente.

84


A força de atrito entre duas superfícies surge devido as irregularidadesnelas existentes. A intensidade dessa força de atrito, que sempre se opõe aomovimento, depende do tipo de superfície envolvida e do peso do objeto. NaFig.(1.39) temos a representação das forças que agem sobre a caixa (e o seuconteúdo) posta numa superfície horizontal.

Figura 1.39: Forças agindo sobre a caixa.

A força de atrito é dada por:

fat = µeN

onde µe é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal14 que a su-perfície faz sobre o objeto. Estando a caixa na horizontal, tem-se que a forçanormal é igual ao peso da caixa (e o conteúdo que tem dentro): N = P .Sendo P = mg, vem que:

fat = µmg

Dessa forma, aumentando a massa (m) da caixa, a força de atrito (fat) au-menta na mesma proporção.

14Chama-se força normal ou força de reação normal qualquer força de contato nas superfí-cies de dois ou mais corpos quando encostados uns nos outros.

85

1.41 Atrito Estático

Objetivo

Determinar o coeficiente de atrito estático entre dois corpos.


1 corpo (não muito liso), 1 rampa, 1 régua.


Coloque o corpo sobre a rampa e vá inclinando a rampa vagarosamente.Quando o corpo começar a deslizar meça as distâncias h e d, as quais estãoindicadas na Fig.(1.40). Através desses dados calcule o coeficiente de atritoestático entre o bloco e a rampa.

Figura 1.40: Atrito estático entre um objeto e uma rampa.


No corpo sobre a rampa agem as forças ~P , ~N e ~fat, como observado naFig.(1.41).

86

Figura 1.41: Decomposição das forças do bloco sobre a rampa.

Decompondo o peso ~P nas direções paralela ao movimento (Pt) e per-pendicular à rampa (PN ), tem-se15:

Pt = Psenθ (1.24)

PN = Pcosθ (1.25)

Na eminência do deslizamento, em termos de intensidade tem-se que:

Pt = fat (1.26)

Sendo que a força de atrito estático é fat = µeN , onde µe é o coeficiente deatrito estático, e PN = N , a partir da relação de (1.24), (1.25) e (1.26) temosque Psenθ = µePcosθ, donde vem que o coeficiente de atrito estático entreo corpo e a rampa é16:

µe = tgθ (1.27)

Através da Fig.(1.40) tem-se que:

tgθ = h

d(1.28)

15É importante lembrar que os componentes do plano inclinado não são forças reais, masapenas uma artifício matemático.

16O valor de µe pode também ser determinado através da medida do ângulo θ de inclinaçãoda rampa com um transferidor.

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Igualando (1.27) e (1.28) vem que o coeficiente de atrito estático é:

µe = h

d

O coeficiente de atrito estático (ou dinâmico) é um número puro, ou seja,um número sem unidade nem dimensão, pois é obtido a partir da razão deduas forças (µe = fat/FN ) ou de dois comprimentos (h/d).

88

1.42 Força Normal e Força de Atrito

Objetivo

Verificar a relação entre a força normal e a força de atrito.


1 livro (ou um caderno, 1 dicionário, etc.), 1 parede.


Encoste o livro na parede e segure-o em equilíbrio na vertical, aplicandonele uma força horizontal, como mostra a Fig.(1.42).

Figura 1.42: Livro na parede.

Como é possível equilibrar um objeto encostado numa parede verticalaplicando sobre ele uma força cuja direção é perpendicular à direção da pa-rede?


O responsável por equilibrar o livro é a força de atrito entre ele e a parede.Sobre o livro atuam as forças que estão representadas na Fig.(1.43).

onde ~F é a força aplicada pela mão da pessoa, ~N a força de reação normalda parede, ~P a força peso e ~fat a força de atrito.

89

Figura 1.43: Forças atuantes sobre o livro.

Na situação de equilíbrio tem-se que, na horizontal |~F | = | ~N |, e na ver-tical |~P | = |~fat|. Sendo que P = mg e fat = µeN , onde µe é o coeficientede atrito estático, tem-se que no equilíbrio:

mg = µeF (1.29)

Para uma mesma parede (mesmo valor de µe), quanto menor a massa doobjeto, maior a intensidade da força F que deve-se fazer para segurá-lo.

90

1.43 Alterando a Força de Atrito

Objetivo

Verificar como a força de atrito é alterada com a variação do peso docorpo e do coeficiente de atrito entre as superfícies em contato.


1 garrafa PET (600ml, vazia, com formato cilíndrico), óleo de cozinha, 1recipiente com água.


Coloque cerca de 1/3 de água na garrafa, segurando-a na vertical comuma das mãos, mantendo-a em equilíbrio, de modo que ela fique na emi-nência de deslizar. Vá adicionando água dentro dela, de modo a enchê-la.Perceba que, para segurar a garrafa você vai apertando-a cada vez mais.

Agora repita o procedimento anterior, mas esparramando um pouco deóleo na mão que segura a garrafa. Constate que nessa situação a dificuldadepara segurar a garrafa é maior.


A partir da Eq.(1.29) vem que:

F = mg

µe(1.30)

Sendo g e µe constantes, percebe-se que a força aplicada sobre o objeto édiretamente proporcional à massa (m) do mesmo. Isso explica porque, à me-dida que adiciona-se mais água dentro da garrafa deve-se pressioná-la maisfirmemente para conseguir segurá-la.

Ao esparramar óleo sobre a mão torna-se mais difícil segurar a garrafa.A presença de óleo diminui o coeficiente de atrito estático (µe) entre a mão ea garrafa. De acordo com (1.30), se µe diminuir, para uma mesma massa (m)deve-se aplicar uma força (F ) maior.

91

1.44 Força de Atrito e Área de Contato

Objetivo

Mostrar que a força de atrito não depende da área de contato.


3 caixinhas de cd, 1 dinamômetro (se não o tiver pode ser um elástico ouuma mola), fita adesiva.


Utilize uma superfície horizontal plana para realizar o experimento. Em-pilhe as 3 caixinhas de cd colocando-as uma sobre a outra, e as prenda comfita. Conecte o dinamômetro em uma delas (se necessário use um pedaço debarbante) e as puxe, anotando a força necessária para colocar o conjunto emmovimento (Fig.1.44-a). Essa é a força de atrito estático (fate).

Figura 1.44: Caixinhas dispostas: a- Menor área de contato; b- Maior área decontato.

Agora disponha as caixinhas uma encostada na outra sobre a mesa, unindo-as com pedaços de fita, como mostra a Fig.(1.44-b). Usando o dinamômetrorepita o mesmo procedimento para obter a força de atrito estático.

92

Perceba que a força de atrito é aproximadamente a mesma nas duas situ-ações. Repita o experimento utilizando outros materiais e outras superfíciesde contato.


Inicialmente pode-se pensar que a força de atrito entre dois objetos é pro-porcional à área de contato entre eles. Se essa idéia fosse correta, a força deatrito entre a superfície e as 3 caixinhas dispostas em sequência seria 3 vezesmaior que a força de atrito entre a superfície com as 3 caixinhas empilhadas.

Como pode-se constatar, essa idéia está errada. A força de atrito (fat) nãodepende da área de contato. Sendo que o movimento se dá na horizontal, aforça de atrito é dada por:

fat = µmg

onde µ é o coeficiente de atrito entre as duas superfícies, g a aceleração dagravidade local e m a massa do objeto. No experimento das caixinhas, amassa é igual para os dois casos, o que faz com que a força de atrito tambémseja igual.

Ainda em 1508 Leonardo da Vinci descobriu que a força de atrito entre2 corpos depende da força que comprime um contra o outro e não dependeda área de contato das superfícies. Em 1699 G. Amontons descobriu tambémque o atrito não depende da velocidade entre os 2 corpos.

93

1.45 Atrito entre Folhas

Objetivo

Observar a multiplicação da força de atrito entre folhas de papel.


2 livros (ou 2 cadernos).


Una os 2 livros página por página (pode ser mais de uma página por vez),de modo que eles fiquem juntados, como na Fig.(1.45). Depois tente separá-los e perceba que essa tarefa é um pouco difícil.

Figura 1.45: 2 livros juntados página por página.


O que ocorre nesse experimento é que a força de atrito age em cada pá-gina, e acaba produzindo uma força de atrito resultante bem intensa.

94

1.46 Coeficiente de Atrito Dinâmico

Objetivo

Determinar o coeficiente de atrito dinâmico entre duas superfícies.


1 mesa horizontal plana, 1 régua (ou 1 trena), 1 polia com suporte, 1 fiofino e resistente, 2 blocos, 1 balança de precisão.


A montagem deste experimento é feita de acordo com o esquema daFig.(1.46).

Figura 1.46: Blocos interligados por um fio.

Inicialmente prenda o bloco A, de modo que o sistema fique em repousoe meça a altura H do bloco B em relação ao solo. Em seguida solte vaga-rosamente o bloco A, o que faz com que o bloco B desça e atinja o solo,deslocando o bloco A para a direita. O bloco A ganha velocidade, percorreuma certa distância (H +D) e depois pára. Conhecendo as distâncias H e De as massas dos blocos determine o coeficiente de atrito dinâmico (µd) entreo bloco A e a superfície da mesa.

95


Quando solto o bloco B desce sob ação da gravidade, exercendo umatração no fio, que puxa o bloco A. Enquanto o bloco B percorre a altura H ,o bloco A é tracionado e percorre a distância H sobre a mesa. Depois que obloco B atinge o solo, não há mais tração sobre o bloco A, mas esse continuaa se mover por inércia e percorre a distância D, sendo parado pela força deatrito.

Aplicando a segunda lei de Newton∑F = ma para os blocos A e B

obtem-se, respectivamente:

T − fat = mAa (1.31)

PB − T = mBa (1.32)

Somando as Eqs.(1.31) e (1.32), vem que:

PB − fat = (mA +mB)a (1.33)

Sendo que PB = mBg e fat = µdN = µdmAg, a Eq.(1.33) fica:

mBg − µdmAg = (mA +mB)a (1.34)

De acordo com a equação de Torricelli v2 = v20+2ax, o blocoB, partindo

do repouso, bate no solo com uma velocidade v tal que:

v2 = 2aH (1.35)

Essa velocidade é a mesma com que o bloco A começa a percorrer atrajetória D. Nesse início o bloco A possui energia cinética Ec dada por:

Ec = 12mAv

2

Depois de percorrer a distância D o bloco A está parado e sua energiacinética é nula. De acordo com o teorema da energia cinética, o trabalhorealizado pela força de atrito (Wfat) é igual a variação da energia cinética dobloco A: Wfat = ∆Ec.

96

Sendo que o trabalho é o produto da força pela distância W = Fx cos θ,onde θ é o ângulo entre as direções do movimento e da força aplicada, tem-se:

fatD cos 180 = −12mAv

2

µdmAgD(−1) = −12mAv

2

donde vem:µdgD = 1

2v2 (1.36)

Levando (1.36) em (1.35), tem-se µdgD = aH , e isolando a aceleração,resulta:

a = µdgD

H(1.37)

Levando a Eq.(1.37) na Eq.(1.34):

mBg − µdmAg = (mA +mB)µdgD

H

e desenvolvendo, encontra-se que o coeficiente de atrito dinâmico é:

µd = mBH

mAH + (mA +mB)D

97

1.47 Coeficiente de Atrito de um Calçado

Objetivo

Determinar o coeficiente de atrito estático de um calçado com o solo.


1 mola, 1 régua (ou trena), 1 calçado (tênis, sapato, chinelo, etc.).


Meça o comprimento da mola não deformada, o qual será representadopor x0. Fixe uma das extremidades da mola, de modo que ela fique na verticale pendure o calçado na outra extremidade, deixando-o suspenso. Meça agorao comprimento (x1) adquirido pela mola (Fig.1.47-a).

Figura 1.47: Calçado: a- Suspenso na vertical; b- Puxado na Horizontal.

Em seguida apóie o calçado sobre o piso horizontal e conecte a ele amola. Puxe a mola horizontalmente até que o calçado fique na eminência deescorregar e meça o comprimento (x2) da mola (Fig.1.47-b).

Relacionando os valores de x0, x1 e x2 encontre o valor do coeficiente deatrito estático (µe) entre o calçado e o solo em que ele está apoiado.

98


Estando o calçado suspenso pela mola, em situação de equilíbrio tem-seque a intensidade da força elástica exercida pela mola sobre ele (~F1) é igualao peso do calçado (~P ):

F1 = P (1.38)

Aplicando a lei de Hook F = k∆x em (1.38), vem que:

P = k(x1 − x0) (1.39)

onde ∆x = x1 − x0 e k é a constante elástica da mola.Quando a mola puxa horizontalmente o calçado, na situação de equilíbrio

tem-se que a intensidade da força de atrito (~fat) exercida pela superfície deapoio sobre o calçado é igual a intensidade da força elástica ~F2 aplicada pelamola sobre ele:

fat = F2 (1.40)

Aplicando a lei de Hook em (1.40) obtem-se:

fat = k(x2 − x0) (1.41)

Na eminência de deslizar, a força de atrito adquire intensidade máxima, aqual é dada por:

fatmax = µeN (1.42)

onde µe é o coeficiente de atrito estático entre o calçado e a superfície e Né a força normal. Levando (1.42) em (1.41) e sendo que N = P , já que asuperfície é horizontal, vem que:

µeP = k(x2 − x0) (1.43)

Dividindo a Eq.(1.43) pela Eq.(1.39):

µeP

P= k(x2 − x0)k(x1 − x0)

obtem-se a expressão com a qual pode-se encontrar o coeficiente de atritoestático:

µe = x2 − x0x1 − x0

Quanto mais próximo de 0 for o valor de µe mais escorregadio será o calçadono piso em questão.

99

1.48 Estudo do Movimento Circular

Objetivo

Diferenciar velocidade angular de velocidade linear.


2 discos de papelão (raios diferentes), 1 palito de madeira (ou algo seme-lhante), 1 régua, 1 caneta.


Introduza o palito no centro dos dois discos, de modo a formar um eixo,como na Fig.(1.48). O palito deve ficar firmemente preso aos discos.

Figura 1.48: Discos acoplados num eixo.

Gire o eixo e perceba que, a cada volta dada pelo eixo, os discos tambémefetuam uma volta completa.

Retire os discos do palito, faça um sinal nas suas bordas com a caneta erole-os sobre uma superfície plana, marcando e medindo a distância percor-rida por cada um em uma volta (Fig.1.49).

Constate que o disco com maior raio percorre uma distância maior aoefetuar uma volta completa.

100

Figura 1.49: Distância percorrida em uma volta.


Um determinado corpo ou objeto realiza um movimento circular quandomove-se numa trajetória com formato de circunferência. O período T é ointervalo de tempo necessário para a ocorrência de um fenômeno cíclico,como por exemplo, o tempo que uma roda demora para efetuar uma volta.A frequência f é o número de ocorrências de um fenômeno periódico numaunidade de tempo. Relacionando T e f tem-se que:

T = 1f

onde T geralmente é dado em segundos (s) e f em Herz (Hz).A velocidade angular média (ωm) é a razão entre o deslocamento angular

(∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) necessário para efetuá-lo:

ωm = ∆φ∆t (1.44)

φ é o ângulo de fase ou espaço angular. Sendo s = φr, onde s é o compri-mento do arco de circunferência, r seu raio, e φ o ângulo central correspon-dente (dado em rad: radiano17), pode-se escrever o deslocamento linear ∆scomo:

∆s = r∆φ (1.45)17O radiano é a unidade básica de medida angular porque permite que os cálculos matemá-

ticos assumam formas mais simples. O radiano é definido como o ângulo que se estende sobum arco circular de comprimento igual ao seu raio. Por exemplo, sendo a circunferência docírculo igual à 2π vezes o seu raio, um círculo completo compreende um ângulo de 2πrad.

101

Relacionando as Eqs.(1.44) e (1.45) vem que:

ωm = vm

r(1.46)

que relaciona a velocidade angular média com a velocidade escalar média.Para intervalos de tempo pequenos (∆t→ 0), a partir de (1.46) vem que:

v = ωr

Vamos analisar agora o comportamento dos 2 discos acoplados pelo mesmoeixo. Considere os discos A e B, as quais possuem os respectivos raios rA

e rB . Durante a rotação do eixo, os discos possuem a mesma velocidadeangular:

ωA = ωB

e consequentemente a mesma frequência:

fA = fB

Como os discos têm raios (r) diferentes eles apresentam velocidades li-neares (v) diferentes:

vA = ωArA

vB = ωBrB

Para uma mesma velocidade angular (ψ), possui maior velocidade linear (v)o disco com maior raio (r). Por isso que o disco com maior raio percorre umadistância maior numa volta.

102

1.49 Rodas Dentadas

Objetivo

Estudar o acoplamento de rodas dentadas.


1 pedaço de apelão rígido, palitos de picolé (ou algo semelhante parafazer os dentes das polias), 1 régua, 1 tesoura, 1 lápis (ou 1 caneta), 2 tu-bos de caneta, 1 caixa vazia de papelão, 1 compasso. Neste caso pode-setambém utilizar equipamentos (ou partes deles) que tenham polias acopladaspara estudá-las.


Utilizando o lápis, a régua e o compasso, trace alguns círculos de raiosdiferentes no papelão e em seguida recorte-os com a tesoura, de modo a for-mar discos. Ao redor do disco faça cortes para encaixar os palitos de picolé,como representado na Fig.(1.50), de modo a formar uma roda dentada. Parafixar melhor os palitos pode-se usar cola ou fita.

Figura 1.50: Roda Dentada.

O número de palitos encaixados em cada disco, ou seja, o número dedentes, deve ser proporcional ao tamanho do disco, e devem ficar igualmenteespaçados. Por exemplo, se um disco com raio de 4cm tiver 10 dentes, umdisco com 8cm de raio deve ter 20 dentes. As rodas dentadas formadas serãousadas aos pares.

103

Construída as rodas dentadas, passe pelo centro de cada uma o tubo dacaneta, de modo a formar um eixo. Fixe os discos de papelão pelo tubo dacaneta na caixa de papelão, de modo que os palitos se encontrem e os discospossam girar, formando um sistema de 2 engrenagens acopladas, como re-presentado esquematicamente na Fig.(1.51-a). Para os discos ficarem firmese não saírem de alinhamento ao girar, devem-se firmá-los bem à caneta. Gireuma das rodas, contando o número e voltas, e perceba o número de voltasefetuada pela outra.

Figura 1.51: Acoplamento de: a- Rodas dentadas; b- Rodas lisas por coreia.

Uma outra forma, até mais simples, é fazer duas rodas com raios diferen-tes e ligá-las com uma borrachinha, que faz o papel da correia, como mos-trado na Fig.(1.51-b). Aqui relaciona-se o número de voltas com o tamanhodos raios.


Neste tipo de acoplamento as rodas dentadas possuem a mesma veloci-dade linear e giram no mesmo sentido ou em sentidos oposto. Considereas engrenagens A e B, com respectivos raios rA e rB (o número de dentesgeralmente é proporcional ao raio).

As velocidades lineares das rodas dentadas A e B são dadas, respectiva-mente por:

vA = ωArA

vB = ωBrB

104

No acoplamento tem-se que:

vA = vB

de modo que:ωArA = ωBrB

Isso significa que, quanto maior for o raio da polia (ou o número de dentes),menor será sua velocidade angular, e vice-versa.

Sendo ainda que a velocidade angular (ω) relaciona-se com a frequênciaf por ω = 2πf , tem-se que 2πfArA = 2πfBrB , donde vem:

fArA = fBrB

o que mostra que, quanto maior o raio da polia, menor a sua frequência, evice-versa. Quanto maior a diferença entre os valores de rA e rB , maior seráa diferença entre o número de voltas em cada polia.

105

1.50 Funcionamento de um CD

Objetivo

Estudar o movimento de um cd.


1 aparelho leitor de cd, 1 cd, 1 régua.


Coloque o cd no aparelho leitor e visualize o seu funcionamento. A ma-neira mais simples é um cd comum de música posto a funcionar em um apa-relho que possua o compartimento para o disco na parte superior. Isso fazcom que a visualização do cd girando seja possível.

Coloque o cd a funcionar na primeira faixa e observe a sua velocidade an-gular (rotação). Em seguida coloque-o a funcionar na última faixa e observeo que ocorre com a velocidade angular do mesmo.

Sabendo que a velocidade linear do leitor em relação ao cd girando é1, 3m/s (sendo este valor constante), meça com a régua as distâncias en-tre o centro do disco e a primeira (r1) e a última faixa (r2), como mostra aFig.(1.52) e determine o intervalo de rotações em que o cd gira .

Figura 1.52: Raios no cd.

106


Um tipo de movimento de grande importância dentro da física é o movi-mento circular uniforme (MCU), em que a trajetória é uma circunferência eo módulo da velocidade linear instantânea é constante18. Esse tipo de movi-mento está presente em vários equipamentos com que lidamos no dia-a-dia,sendo um deles o aparelho de cd player, que será o nosso objeto de estudo.

O MCU tem características para as quais se definem grandezas físicaspróprias como o período e a frequência. O período (T ) do movimento é otempo necessário para dar uma volta completa (realizar um ciclo), e é definidopor:

T = 2πrv

(1.47)

onde 2πr é o comprimento de uma volta e v a velocidade linear. A unidadede T é o segundo (s).

Sendo que a velocidade linear (v) relaciona-se com a velocidade angularω e o raio r através da equação:

v = ωr (1.48)

a Eq.(1.47) pode ser escrita na forma:

T = 2πω

(1.49)

A freqüência (f ) é o número de ciclos realizados por unidade de tempo,ou o inverso do período f = 1/T , podendo ser definida por:

f = ω

2π (1.50)

A unidade de frequencia e o Hz (Hertz). Utiliza-se também como unidadeprática de medida de f o rpm (revolução por minuto), onde 1rpm = 60Hz.

O objetivo do cd é guardar dados (músicas, arquivos, vídeos, imagens,etc.), os quais podem ser acessados por um computador, um aparelho de som,etc. Para fazer a leitura desses dados o cd é posto a girar e um raio laser faz

18É importante notar que apenas o módulo de ~v é constante, pois a direção varia em cadaponto da trajetória.

107

a varredura da sua superfície, passando pelas trilhas de gravação19, dispostasno disco em forma de espiral.

Durante a reprodução do cd o leitor mantém a velocidade linear (v) cons-tante em relação ao disco. Como o raio (r) varia, para manter v constante,de acordo com (1.48) ocorre a variação da velocidade angular (ω), onde umcircuito eletrônico altera a rotação do motor do disco20.

O cd é um aperfeiçoamento do disco de vinil. Muitas diferenças, no en-tanto, podem ser observadas. Sem levar em conta o formato como os dadossão gravados e lidos, em termos de movimento o disco de vinil girava a ve-locidade angular constante de 33(1/2)RPM . Isso significa que a velocidadelinear da agulha de leitura em relação ao disco era variável, sendo menor maisno centro do disco e maior na parte externa.

Constatou-se experimentalmente que a distância medida do centro do cdao início da primeira faixa (r1) foi de 2, 30cm e até a última faixa (r2),5, 80cm. Sendo v = 1, 30m/s, a partir de (1.48) encontrou-se que ω1 =56, 52rad/s e ω2 = 22, 41rad/s. A partir de (1.49) e (1.50) vem que:T1 = 0, 11s, f1 = 540, 0rpm, T2 = 0, 28s e f2 = 214, 3RPM . Os va-lores técnicos para ω1 e ω2 são, respectivamente, 539rpm e 214rpm.

19Essas trilhas são muito pequenas, sendo que em um cd comum existem cerca de 20.000delas.

20É importante lembrar que num computador, por exemplo, a velocidade linear do cd podevariar, dependendo da atividade que ele está executando.

108

1.51 Força Centrípeta

Objetivo

Verificar a dependência entre a velocidade angular, o raio e a força cen-trípeta necessária para mover uma esfera de sua posição.


1 disco de madeira fino, suporte com eixo e manivela, 3 esferas iguais(bolinhas de gude).


Faça 3 escavações no disco de madeira ao longo de um mesmo raio, enelas coloque as esferas. As escavações não devem ser muito rasas nem muitoprofundas. Acople um eixo ao disco, de modo que ele fique bem justo. Naoutra extremidade do eixo conecte uma manivela, ou algo que possibilitegirar. O esquema deste experimento está na Fig.(1.53).

Figura 1.53: Rotação de um disco com esferas.

Apóie firmemente o eixo na mão, segurando-o na vertical, com as esferascolocadas nos seus lugares e inicie o giro do disco. Aumente lentamente arotação do mesmo e perceba que, inicialmente sai do disco a bolinha 1, depoisa 2 e por último a 3.

109


Para subir o escavado e abandonar o disco, cada esfera tem que vencer amesma força radial mínima. Essa força radial (~Fr) é a força centrípeta (~Fc)em cada esfera, cuja intensidade é dada por:

Fc = mv2

r(1.51)

onde m é a massa da esfera, v a sua velocidade linear e r o raio da circunfe-rência descrita ou distância do escavado ao eixo central.

Sendo que a velocidade angular (ω) relaciona-se com a velocidade linear(v) por:

v = ωr (1.52)

levando (1.52) em (1.51) vem que:

Fc = mω2r

Sendo que a massa (m) e a força radial (Fr) de cada esfera é constante, eque Fr = Fc, tem-se que:

ω2r = k

onde k é uma constante. Isso significa que, para cada r, há um valor de ωpara que atinja-se uma determinada Fr. Conforme vai diminuindo o valor der, deve-se aumentar ω para conseguir expulsar as esferas do disco. A esfera1, que tem maior raio (r) é libertada com o menor valor de ω. Já a esfera3, que tem menor raio (r), necessita de um maior valor de ω. Se uma esferaestivesse sobre o centro de rotação, onde r = 0, mesmo com um valor de ωinfinito, ela não sairia do disco.

110

1.52 Força Centrípeta 2

Objetivo

Estudar a força centrípeta.


2 massas (diferentes), 1 cordão, 1 cilindro (cano de PVC com uns 15cmde comprimento, por exemplo).


Passe o cordão pelo tubo e amarre uma massa (massa 1) numa extremi-dade e a outra massa (massa 2, mais pesada) na outra extremidade. Segure otubo na vertical e faça girar a massa 1 de forma que ela descreva um planohorizontal, como representado na Fig.(1.54). Gire-a com velocidades dife-rentes e observe o que ocorre com o raio da circunferência que ela descreve,bem como a posição da massa 2.

Figura 1.54: Corpo 1 girando num plano horizontal sustenta o corpo 2 na vertical.

111


As forças que atuam no corpo de massa m1, que está girando, estão re-presentadas na Fig.(1.55).

Figura 1.55: Força sobre o corpo girando.

No referencial do corpo de massa m1 a resultante das forças é nula, demodo que a força centrípeta (~Fc) e a força centrífuga (~Fcf ) são iguais emintensidade:

|~Fc| = |~Fcf |

Considerando que neste caso a força centrípeta é exercida pelo peso doobjeto suspenso (de massa m2), tem-se que m2g = m1ω

2r, donde vem:

r = m2g

m1ω2 (1.53)

Analisando (1.53) constata-se que o raio (r) da trajetória descrita pelocorpo 1 diminui com o aumento da velocidade angular (ω) e da massa (m1),e aumenta com o aumento da massa (m2) do bloco suspenso.

112

1.53 Força Centrípeta 3

Objetivo

Estudar a força centrípeta.


2 bolinhas de gude (ou semelhante), 2 copos plásticos, arame, 1 haste demadeira, 1 parafuso (ou prego), 1 furadeira elétrica.


Passe o parafuso pelo centro da haste de madeira e, utilizando arameprenda os 2 copos num dos lados (se necessário pode-se prender algo nooutro lado para dar o contrapeso), como mostra a Fig.(1.56).

Figura 1.56: Haste com copos.

Coloque uma bolinha em cada copo, e fixe o parafuso na furadeira, pondeem seguida o conjunto a girar. Inicialmente mantenha uma rotação (velo-cidade angular) alta, tal que as bolinhas de ambos os copos fique em seusrespectivos lugares. Diminua a rotação e perceba que a bolinha do copo 1

113

cairá primeiro. Repita o procedimento usando as bolinhas de maior massa eperceba a influência.


Na posição mais alta da trajetória circular, quando o copo está virado coma boca para baixo, as forças que agem sobre a bolinha nele contida são a forçapeso (~P ) e a força normal ( ~N ), ambas orientadas para baixo.

De acordo com a segunda lei de Newton para o movimento circular tem-se que:

N + P = Fc (1.54)

onde Fc é a força centrípeta. Sendo P = mg, Fc = mω2r e que na eminênciada bola cair N = 0, a Eq.(1.54) fica mg = mω2r, donde vem que:

ω =√g

r

Dessa forma, para a bola não cair do copo o sistema deve girar com umavelocidade angular (ω) tal que ω >

√g/r. Sendo g constante, percebe-se

que ω depende apenas de r. Quanto maior o valor de r menor é a velocidadeω que deve-se fazer para que a bolinha não caia do copo. Por isso que, estandoo sistema a girar com ω constante, a bolinha do copo 1 cai primeiro porquepossui raio de giro menor.

114

1.54 Looping vertical com um Copo de Água

Objetivo

Realizar um looping21 e explicar as condições em que o mesmo ocorre.


1 pedaço de madeira ou plástico em forma de disco, 3 pedaços de fio denáilon (ou qualquer barbante forte), 1 copo plástico, água.


Amarre os 3 fios no disco, de maneira equidistante um do outro, comomostra a Fig.(1.57).

Figura 1.57: Copo no disco.

Coloque um pouco de água no copo e posicione-o no centro do disco. Co-mece a oscilar o conjunto num plano vertical de maneira que vá aumentandoa amplitude, até chegar ao momento em que se realiza uma volta completa.Neste caso diz-se que o copo realizou um looping, não caindo do disco (e

21Palavra inglesa que significa algo como fazer voltas.

115

nem a água que está dentro do copo) quando estiver no ponto mais alto datrajetória.


Um fato interessante neste experimento é que, desde que tenha certa velo-cidade tangencial mínima, a água não cai do copo (e o copo não cai do disco)quando o conjunto passa pelo ponto mais alto da trajetória circular.

Vamos mostrar porque isso ocorre. No topo da trajetória de raio (r), asforças que atuam sobre o corpo (sendo neste caso constituído pelo disco epelo copo com água) são o peso (~P ) deste corpo e a tração (~T ) do fio, comomostra a Fig.(1.58).

Figura 1.58: Forças sobre o corpo no ponto mais alto da trajetória.

A segunda lei de Newton para o movimento circular afirma que a somadas forças atuantes sobre um objeto é igual ao produto da sua massa pelaaceleração centrípeta: ∑

~F = m~ac

Sendo P = mg e ac = v2/r, no ponto mais alto da trajetória tem-se que:

T +mg = mv2

r(1.55)

A eminência para o corpo cair ocorre quando T = 0. Dessa forma, isolandov em (1.55):

v = √gr

116

Esta é a velocidade tangencial mínima que o conjunto deve ter para a águae o copo não cair do disco. Se v <

√gr, o conjunto cai, mas não na vertical,

pois ele tem uma certa velocidade tangencial. Cairia na vertical somente sev = 0. Se v >

√gr, além do copo não cair, existe a tração (~T ) nos fios, que

é tanto maior quanto maior for a intensidade da velocidade (~v). É a força ~Tque faz o corpo manter-se em movimento circular.

117

1.55 A Gangorra e o Torque

Objetivo

Construir uma mini-gangorra e expor o conceito de torque.


1 suporte, 1 régua graduada, massas conhecidas (se não forem conheci-das, utilizar uma balança de precisão), 2 ganchos.


Faça um furo no centro da régua e monte-a no suporte, como na Fig.(1.59),de modo que ela possa girar livremente ao redor do eixo.

Figura 1.59: Esquema de uma gangorra.

Pendure diferentes massas nos ganchos, fazendo a régua ficar em equi-líbrio somente através do ajuste da posição dos ganhos na régua. Anote osvalores dos pesos das massas e das respectivas distâncias que eles ficam docentro de rotação numa tabela, como a da Tab.(1.7). Encontre os torques pro-vocados por cada uma das forças e verifique as condições de equilíbrio. Opeso da régua deve ser desprezível em relação aos pesos ~P1 e ~P2.

118

Tabela 1.7: Peso, distância e torque.P1(N) d1(m) P2(N) d2(m) τ1(Nm) τ2(Nm)


Um corpo extenso está em equilíbrio quando o seu estado de movimentoou de repouso não se modifica. As condições de equilíbrio são:

- A soma das forças que agem simultaneamente no corpo extenso deveser nula: ∑

~F = 0

de modo que não haja movimento de translação com aceleração;- A soma dos torques que agem simultaneamente no corpo extenso, em

relação a um ponto qualquer, também deve ser nula:∑~τ = 0

de modo que não haja rotação.Da mesma forma que uma força é a causa do movimento de um objeto,

o torque22 é a causa da rotação, combinando força e distância de aplicaçãodessa força em relação ao eixo de rotação.

Quando uma força ~F é aplicada a um corpo rígido que pode girar emtorno de um eixo ela dá origem a um torque ~τ , que tende a provocar a rotaçãodesse corpo. Na Fig.(1.60) temos a representação de um torque provocadopela aplicação de uma força ~F numa barra, à uma distância d do centro derotação.

Sendo a força ~F aplicada perpendicularmente à barra, a intensidade dotorque é dada pelo produto de F pela distância d ao eixo de rotação em que aforça é aplicada:

τ = Fd

22A palavra torque tem origem no latim e significa torcer.

119

Figura 1.60: Torque numa barra.

A força ~F é positiva quando tende a girar a barra no sentido anti-horário,donde vem que o torque τ é positivo; ~F é negativa quando tende a girar abarra no sentido horário, sendo que neste caso τ também é negativo.

No experimento realizado, cujo esquema é representado na Fig.(1.59, ospesos ~P1 e ~P2 exercem as forças ~F1 e ~F2 (neste caso ~P = ~F ). O equilíbriode rotação existe quando

∑~τ = 0, ou F1d1 − F2d2 = 0, donde vem:

F1d1 = F2d2

120

1.56 Puxando um Carretel de Linha

Objetivo

Explicar sobre os diferentes comportamentos de um carretel de linha aoser puxado.


1 carretel com linha (esses de linha para costura).


Com a linha ao redor do carretel, disponha algumas voltas na região cen-tral, de modo que o carretel não atravesse quando puxado. Puxe vagarosa-mente a linha, estando por baixo do eixo do carretel, numa direção rente àsuperfície, e perceba que o carretel translada no mesmo sentido em que alinha é puxada (Fig.1.61-a). Eleve o ângulo formado pela linha com a hori-zontal, e perceba que agora é o carretel que começa a girar, soltando a linha(Fig.1.61-b).

Figura 1.61: Desenrolar do carretel: a- Translação no mesmo sentido de tração; b-rotação e soltura da linha.


Considere o esquema da Fig.(1.62).

121

Figura 1.62: Forças que agem no carretel.

A linha é puxada com uma força de tração T , fazendo um ângulo θ coma horizontal. Na eminência de deslizar (sem rolar), na horizontal tem-se que∑F = 0, ou

T cos θ − fat = 0 (1.56)

Sendo fat = µN , onde µ é o coeficiente de atrito e N a força normal, aEq.(1.56) fica:

T cos θ = µN (1.57)

Duas forças produzem torques τ em relação ao eixo central do carretel.A força T age sobre o raio r1 e a força fat atua sobre o raio r2. Sendo que ocarretel não gira,

∑τ = 0, ou seja:

Tr1 − fatr2 = 0

donde vem:Tr1 = µNr2 (1.58)

Dividindo a Eq.(1.57) pela Eq.(1.58):

T cos θTr1

= µN

µNr2

encotra-se:cos θ = r1

r2

Isso significa que o ângulo crítico que o carretel deixa de deslizar e passa agirar depende somente dos raios r1 e r2.

122

1.57 Alavanca Interfixa

Objetivos

Apresentar o conceito de uma alavanca e descrever uma alavanca inter-fixa.


1 alicate, 1 prego (ou objeto semelhante, para ser segurado pelo alicate).


Pegue o alicate e com ele segure o prego na vertical. Varie a região docabo do alicate onde é aplicada a força pela mão. Perceba que é mais fá-cil segurar o prego quando o alicate é segurado pela extremidade do cabo.Pelo mesmo motivo, necessita-se fazer uma força maior quando o alicate ésegurado na região do cabo próximo ao eixo.


Alavancas são barras (ou um par de barras) utilizadas geralmente paraampliar a intensidade de forças ou manipular objetos. Em todos os casosignora-se a massa da alavanca, pois considera-se que o seu peso é semprebem menor que as forças envolvidas no processo.

A alavanca interfixa é um tipo de alavanca em que o ponto de apoio,denominado fulcro, está entre os pontos de aplicação da força potente ~Fp

(força exercida na alavanca por quem a usa) e da força resistente ~Fr (a forçaque se pretende fazer com a alavanca). Como exemplo de alavancas interfixastem-se o pé de cabra, a tesoura, a alicate, etc. Estes últimos são dispositivosformados por duas alavancas, mas funcionam de maneira semelhante.

Considere o esquema da Fig.(1.63), onde a é o braço de ~Fp em relaçãoao fulcro e b é o braço de ~Fr.

No equilíbrio o torque Fp é, em módulo, igual ao torque de Fr, de modoque:

Fpa = Frb

123

Figura 1.63: Esquema de uma alavanca interfixa.

donde vem:Fp = Fr

(b

a

)Sendo b < a, tem-se que Fp < Fr, de modo que constata-se uma multipli-cação da força. Quanto maior o valor do braço a, menor é a força Fp quedeve-se fazer para um mesmo valor de Fr.

124

1.58 Alavanca Inter-resistente

Objetivo

Estudar uma alavanca do tipo inter-resistente.


2 tábuas, 1 mola (1 mola de caderno23, por exemplo), 1 pedaço de aramerígido.


Monte o experimento de acordo com a Fig.(1.64). Uma das tábuas servecomo base de apoio. O arame rígido é colocado de modo que sirva de eixopara a tábua superior, a qual fará o papel de alavanca.

Figura 1.64: Montagem da alavanca.

Coloque a mola inicialmente na posição A, mais próxima do eixo. Façaentão uma força ~F sobre a tábua (alavanca), de modo a fazê-la abaixar. Repitao mesmo procedimento, colocando a mola nas outras posições, em B e emC. Compare as forças aplicadas com a mola nas diferentes posições.


A alavanca inter-resistente é um tipo de alavanca em que a força resistenteé aplicada entre a força resistente e o fulcro, como representado no esquema

23Esta também pode ser feita enrolando-se um arama ao redor de um objeto cilíndrico.

125

da Fig.(1.65).

Figura 1.65: Alavanca inter-resistente.

Na situação de equilíbrio tem-se:

Fpa = Frb

de modo que:

Fp = Fr

(b

a

)Considerando o valor de Fr constante, pode-se fazer uma força Fp que equi-libre Fr aumentando-se o valor de a ou diminuindo o valor de b.

No experimento proposto o valor de b é variado através da mudança daposição da mola de lugar. Considerando que a (distância do eixo em que éaplicado a força ~F ) e Fr (força de resistência da mola) permanecem constan-tes, constata-se que, quanto maior o valor de b, maior é o valor de ~F aplicado,e vice-versa.

Como exemplo de alavancas inter-resistentes pode-se citar o quebra no-zes, o carrinho de mão e o abridor de garrafas.

126

1.59 Alavanca Interpotente

Objetivo

Estudar uma alavanca do tipo interpotente.


1 vassoura.


Com uma mão (mão 1) segure a vassoura na parte superior do cabo. Coma outra mão (mão 2) imprima uma força no meio do cabo, de modo a executarum movimento de varrer o chão. Varie a posição da mão (2) ao longo do caboe perceba como você varia a força necessária para conseguir varrer o chão.É mais fácil executar o movimento de varrer com a mão 2 mais próxima dabase inferior o que com a mão 2 próxima da mão 1.


A vassoura é um exemplo de alavanca interpotente. Na alavanca interpo-tente a força potente está aplicada entre o fulcro e o ponto de aplicação daforça resistente, como mostra o esquema da Fig.(1.66).

Figura 1.66: Alavanca interpotente.

127

No equilíbrio tem-se:Fpa = Frb

de modo que novamente:

Fp = Fr

(b

a

)Sendo b > a vem que Fp > Fr, o que mostra que nesse tipo de alavancanão ocorre multiplicação da força. Apesar de não multiplicar a força, equipa-mentos e objetos que funcionam com uma alavanca interpotente servem parapegar e manipular objetos e substâncias.

No exemplo da vassoura, considerando que b eFr são constantes, verifica-se que uma diminuição de Fp é conseguida com o aumento do valor de a.

Como exemplos de dispositivos formados por duas alavancas interpoten-tes pode-se citar a pinça, o pegador de massa, o pegador de gelo e a vassoura.

128

1.60 Vantagem Mecânica de um Macaco

Objetivo

Determinar a vantagem mecânica de um macaco de automóvel.


1 macaco de automóvel (do tipo joelho ou do tipo sanfona), 1 régua.


Assente o macaco em uma base horizontal, de modo que ele esteja pre-parado para o uso. Neste experimento não é necessário colocá-lo em funcio-namento, de modo que ele não precisa levantar carga alguma. Vamos apenasretirar apenas alguns dados dele e determinar a sua vantagem mecânica, ouseja, o quanto ele consegue multiplicar a força aplicada na sua manivela.

Considere o macaco de automóvel do tipo joelho, o qual está ilustrado naFig.(1.67).

Figura 1.67: Macaco tipo joelho.

Gire a manivela e perceba que o macaco vai elevando a parte M , queergue a carga disposta sobre ele. Determine a vantagem mecânica (VM ) domacaco medindo-se o valor de r e h ao serem efetuadas n voltas na manivela.

129


Uma das características mais importantes de uma máquina simples, comoum macaco, é a sua vantagem mecânica. Desconsiderando diversos fatores,como o atrito, a vantagem mecânica (VM ) é definida como a razão entre omódulo da força aplicada à máquina (FA) e o módulo da força exercida pelamáquina (FM ):

VM = FM

FA(1.59)

A atuação da força FA realizou um trabalho ao girar a manivela, o qual édado por:

WA = FAdA (1.60)

onde dA é a distância percorrida por essa força ao girar essa manivela. Comoo giro da manivela descreve uma circunferência, tem-se que:

dA = 2πrn (1.61)

onde r é o raio da manivela (raio da circunferência por ela descrita) e n onúmero de voltas realizadas.

O trabalho realizado pela base M de elevação é:

WM = FMh (1.62)

onde FM é a força exercida pelo macaco sobre a carga e h a altura que essacarga foi elevada ao ser dada n voltas na manivela.

Pela conservação da energia tem-se que WA = WM e, de (1.60) e (1.62)vem que:

FAdA = FMh (1.63)

Levando (1.61) em (1.63), encontra-se:

FA2πrn = FMh (1.64)

Relacionando (1.64) com (1.59), tem-se que a vantagem mecânica (VM ) podeser dada por:

VM = 2π(nr

h

)Dessa forma, para aumentar a VM pode-se utilizar um eixo com roscas

mais finas (o que faz com que necessite-se dar um número maior de voltaspara provocar a mesma elevação) e/ou aumentar o raio da manivela.

130

1.61 Decomposição de Forças no Plano Inclinado

Objetivo

Demonstrar como a força paralela ao plano inclinado varia com o ângulo.


1 dinamômetro, 1 carrinho (de brinquedo, que seja pequeno e pesado), 1rampa, 1 transferidor, 1 suporte.


Pese o carrinho com o dinamômetro, de acordo com a Fig.(1.68-a).

Figura 1.68: a- Pesando o carrinho; b- Plano inclinado.

Monte uma rampa, fazendo um plano inclinado, como na Fig.(1.68-b).Verifique o peso do carrinho acusado pelo dinamômetro e com o transferidoranote o ângulo correspondente. Varie o ângulo de inclinação da rampa eveja como varia o peso do carrinho. Compare os resultados teóricos com osexperimentais.

131


Na Fig.(1.69) tem-se a decomposição da força peso (~P ) que age sobre ocarrinho, nas direções perpendicular e tangente ao movimento.

Figura 1.69: Decomposição de ~P no plano inclinado.

Por uma análise trigonométrica tem-se que:

Px = Psenθ

Py = Pcosθ

A força acusada pelo dinamômetro é Px, a qual é paralela à rampa. Estaforça é mínima quando θ = 0◦ (plano horizontal) e máxima quando θ = 90◦

(carrinho na vertical). Quando θ = 0◦ tem-se que Px = 0, pois sen0◦ = 0, equando θ = 90◦ vem que Px = P , pois sen90◦ = 1.

132

1.62 Roldana Fixa

Objetivo

Verificar as condições de equilíbrio de dois corpos interligados numa rol-dana fixa.


1 suporte, 1 roldana (ou polia), 1 fio fino, 2 massas (iguais).


Prenda a roldana no suporte. Passe o fio pela roldana e ligue nas suasextremidades as massas (1 e 2), como mostra a Fig.(1.70).

Figura 1.70: Roldana fixa.

Estando a roldana livre para girar constate que a única forma do sistemaficar em equilíbrio é quando a massa 1 (m1) é igual a massa 2 (m2).


Uma roldana ou polia é uma roda que pode girar em torno do eixo quepassa pelo seu centro e possui um sulco no qual pode passar uma corda oufio.

Roldana fixa é o nome dado à roldana que tem o eixo de rotação fixo.A vantagem de usá-la está no fato dela permitir a aplicação de forças em

133

direções e sentidos convenientes. Por exemplo, se quiser erguer uma cargaaté certa altura utilizando-se de uma roldana fixa pode-se aplicar uma forçade cima para baixo, o que é mais fácil do que aplicar uma força de baixo paracima (sem a polia).

No experimento descrito as forças que agem sobre o corpo 1 são: forçapeso ~P1, orientada verticalmente para baixo e a força de tração na corda ~T ,orientada verticalmente para cima. De maneira semelhante, no bloco 2 agemas forças ~P2 e ~T .

Aplicando a segunda lei de Newton∑F = ma para cada bloco e ado-

tando um sentido arbitrário de rotação dos dois corpos ligados pela corda(aqui foi adotado o sentido horário), tem-se:

T − P1 = m1a (1.65)

P2 − T2 = m2a (1.66)

Somando (1.65) e (1.66) obtem-se que a aceleração (a) do conjunto é:

a = P2 − P1m1 +m2

Para o sistema estar em equilíbrio deve-se ter a = 0, donde vem que:

P1 = P2

oum1 = m2

já que P = mg. Numa polia fixa a vantagem mecânica (VM ) é sempre iguala 1.

134

1.63 Associação de Roldanas

Objetivos

Verificar uma associação de roldanas fixas e roldanas móveis.


1 suporte, 4 roldanas (iguais), massas iguais, barbante.


Realizaremos um experimento com 2 roldanas fixas e 2 roldanas móveis,montando-o de acordo com a Fig.(1.71).

Figura 1.71: Associação de roldanas.

Coloque as massas 1 e 2 e veja em que situação ocorre o equilíbrio.


A Fig.(1.72) representa o conjunto de forças que atuam no sistema.Considerando os fios e as polias ideais, tem-se que, no equilíbrio:

F = P

4

135

Figura 1.72: Diagrama de forças.

Sendo n o número de polias móveis, pode-se relacionar F e P de maneirageneralizada como sendo:

F = P

2n (1.67)

Se essa associação de roldanas for disposta de modo que as roldanas mó-veis tenham o mesmo eixo, assim como as roldanas fixas, tem-se um disposi-tivo chamado talha (também chamado moitão), cujo esquema está represen-tado na Fig.(1.73).

A vantagem mecânica (VM ) de uma talha é dada por:

VM = P

F(1.68)

Levando (1.67) em (1.68) tem-se VM = 2nP/P , donde vem que:

VM = 2n

136

Figura 1.73: Esquema de uma talha.

1.64 Talha Exponencial

Objetivos

Estudar o conjunto de roldana móveis e a multiplicação de forças.


1 suporte, 3 (ou mais) roldanas, massas iguais, barbante.


Prenda uma roldana ao suporte, de modo que ela fique fixa. Coloque 2(ou mais) roldanas móveis ligadas por fios, como ilustrado na Fig.(1.74).

Disponhas as massas de modo à formar os pesos P1 e P2, fazendo comque o sistema fique em equilíbrio. Repita o experimento com diferentes nú-meros (n) de roldanas móveis e verifique a relação entre P1 e P2. Preenchauma tabela como a Tab.(1.8).

137

Figura 1.74: Roldana móveis.

Tabela 1.8: Dados talha exponencial.P1(N) P2(N) n


Conta-se que no século III a.C o matemático grego Arquimedes construiuum dispositivo com várias polias móveis e sozinho puxou um barco que es-tava no mar para a beira da praia. O dispositivo construído por Arquimedesé conhecido hoje como talha exponencial e é constituído por uma polia fixae várias polias móveis, e o mesmo tem a capacidade de multiplicar a forçaaplicada.

Nesse dispositivo verifica-se que (substituindo P2 por P e P1 por F :

P = 2nF (1.69)

A seguir vamos explicar detalhadamente como ocorre a multiplicação daintensidade da força na talha exponencial. Na Fig.(1.75) temos a representa-ção de um talha exponencial com 1 polia fixa (nº4) e 3 polias móveis (nº1,

138

2 e 3). O experimento foi realizado com apenas 2 polias móveis, mas aquiprocuramos apresentar uma explicação mais completa.

Figura 1.75: Talha exponencial com 3 polias móveis.

No equilíbrio, em cada polia móvel agem sempre 3 forças. De acordocom as forças atuantes na polia 1 tem-se:

P = 2T1 (1.70)

Na polia 2:T1 = 2T2 (1.71)

Na polia 3:T2 = 2T3 (1.72)

Na polia 4:F = T3 (1.73)

Como deseja-se relacionar F com P , inicialmente isola-se T1 em (1.70)e substitui-se em (1.71):

P = 4T2 (1.74)

139

Levando T2 de (1.74) em (1.72):

P = 8T3 (1.75)

Substituindo T3 de (1.75) em (1.73), obtem-se F = P/8, ou:

F = P

23 (1.76)

Isso significa que, com 3 polias móveis consegue-se equilibrar um peso Pfazendo uma força F de intensidade 8 vezes menor. Perceba como (1.76)relaciona-se com (1.69).

A vantagem mecânica (VM ) de uma talha exponencial é dada por:

VM = P

F(1.77)

Levando (1.69) em (1.77) tem-se que VM = 2nF/P , donde vem que:

VM = 2n

onde n é o número de roldanas móveis.

140

1.65 Sustentação de um Objeto Através de Forças Ho-rizontais

Objetivo

Verificar que não há como anular a força peso, que é uma força vertical,através da aplicação de forças horizontais.


1 corda, 1 objeto pesado (qualquer coisa que se possa amarrar).


Amarre o objeto no centro da corda, de modo que ela fique com as ex-tremidades livres. Com ajuda de um colega, tente elevar o objeto na verticalpuxando a corda na horizontal, um para cada lado, como representado naFig.(1.76).

Figura 1.76: Sustentação de um objeto.

Perceba que, quanto maior a elevação (alinhamento com o nível das ex-tremidades da corda) que se deseja obter, maior é a força horizontal que deve-se aplicar. A principio parece ser impossível alinhar totalmente o corpo nahorizontal.

141


O peso (~P ) é uma força de direção vertical e com sentido apontando parao centro da Terra. Para anulá-lo é preciso uma força com mesma direção eintensidade e sentido oposto. Não é possível anular o peso de outro modo.Por exemplo, você não consegue levantar uma caixa na vertical, empurrando-a horizontalmente.

Não importa quão pesado seja o corpo preso, a corda nunca se alinharápor completo pela aplicação de forças horizontais. Isso fica mais evidentequanto maior o peso utilizado.

Na Fig.(1.77) temos um esquema das forças que atuam na sustentação docorpo por duas cordas, como no experimento realizado.

Figura 1.77: Forças atuantes sobre o corpo suspenso.

Decompondo as tensões nas extremidades da corda (~T1 e ~T2), nas dire-ções x e y, tem-se:

T1x = T1sen

(φ

2

)T1y = T1cos

(φ

2

)

T2x = T2sen

(φ

2

)T2y = T2cos

(φ

2

)Estando o sistema em equilíbrio, tem-se que:∑

Fx = 0∑

Fy = 0

142

donde vem:T2sen

(φ

2

)− T1sen

(φ

2

)= 0 (1.78)

T1cos

(φ

2

)+ T2cos

(φ

2

)− P = 0 (1.79)

Da Eq.(1.78), e até por questões simétricas, tem-se que:

T1 = T2

Considerando T1 = T2 = T e levando na Eq.(1.79) obtem-se:

2Tcos(φ

2

)= P

ou:T = P

2cos (φ/2) (1.80)

Da Eq.(1.80) percebe-se que, quanto maior é o ângulo de abertura (φ),maior é a tração (T ) que deve-se fazer na corda. Para um ângulo φ = 90◦,por exemplo, tem-se T = 0, 71P . Já, para um ângulo maior, como φ = 150◦,vem que T = 1, 93P .

Com isso, pode-se concluir que, quanto maior é o ângulo de abertura (φ)entre as duas cordas, maior é a força de tração (T ) que elas devem sofrerpara suspender o peso (~P ). Isso porque, quanto maior a elevação, maior éo ângulo φ, de modo que ele tende à 180◦ (φ → 180◦), fazendo com quecos(φ/2)→ 0 e T = P/2cos(φ/2)→∞.

143

1.66 Equilíbrio e Decomposição de Forças

Objetivo

Verificar as condições de equilíbrio de um conjunto de forças.


1 suporte, 2 roldanas, 1 transferidor, 1 fio, massas, 1 balança de precisão.


Monte o conjunto de acordo com a Fig.(1.78).

Figura 1.78: Equilíbrio de Forças.

Determine o valor das massas e coloque-as suspensas nas extremidadesdo fio, as quais são numeradas como 1, 2 e 3. Meça o ângulo formado entre osfios e a horizontal (θ1 e θ2), utilizando o transferidor. Anote os valores numatabela, como a representada na Fig.(1.9). Varie o valor das massas e meça osângulos correspondentes. Calcule os pesos referentes às massas, lembrandoque P = mg.

144

Tabela 1.9: Tabela de dados equilíbrio de forças.m1 m2 m3 P1 P2 P3 θ1 θ2

......

......

......

......


No equilíbrio, a junção entre as 3 cordas está em repouso sob a ação das 3forças de tração ~T1, ~T2 e ~T3. Escolhendo os eixos x (horizontal) e y (vertical)pode-se decompor as forças em termos de suas componentes x e y, conformemostrado na Fig.(1.79).

Figura 1.79: Decomposição de forças no plano xy.

Sendo a = 0, a segunda lei de Newton à junção se reduz à:∑Fx = 0

∑Fy = 0

Sendo que T1 = P1, T2 = P2 e T3 = P3 obtem-se que:

P2cosθ2 − P1cosθ1 = 0

P1senθ1 + P2senθ2 − P3 = 0

145

Tabela 1.10: Tabela de dados.m1(g) m2(g) m3(g) P1(N) P2(N) P3(N) θ1 θ2219,56 221,96 216,73 2,20 2,22 2,17 29,3º 29,5º34,50 29,50 57,00 0,35 0,30 0,57 65,0º 61,0º

Experimentalmente obteve-se os dados que estão na Tab.(1.10).Para a primeiro conjunto de dados tem-se que

∑Fx = 0, 01N e

∑Fy =

0, 00N e para o segundo conjunto∑Fx = 0, 00N e

∑Fy = −0, 01N . As

resultantes não nulas encontradas devem-se, principalmente, as dificuldadesde se obter valores precisos dos ângulos.

146

1.67 Densidade

Objetivo

Determinar a densidade de algumas substâncias.


1 balança de precisão, 1 paquímetro, 1 proveta, 1 béquer, líquidos diver-sos, sólidos (regulares).


Meça com a balança de precisão a massa (m) dos sólidos e dos líquidos.Determine o volume (V ) dos líquidos com a proveta e dos sólidos com opaquímetro.

Com os dados obtidos preencha uma tabela como a Tab.(1.11) e calcule adensidade de cada substância.

Tabela 1.11: Densidade de diversas substâncias.Substância m(g) V (cm3) ρ(g/cm3)

ÁguaÁlcoolFerro

AlumínioMadeira

...


A densidade (ρ) de um corpo é definida como o quociente entre a suamassa (m) e o seu volume (V ):

ρ = m

V

147

Pode-se dizer que a densidade mede o grau de concentração de massa em umdeterminado volume.

Há uma diferença entre densidade (ρ) e massa específica (µ), tambémchamada densidade absoluta. A massa específica é uma propriedade de umasubstância e não de um objeto. Um objeto oco pode ter densidade muitodiferente da massa específica do material que o compõem. A massa específicaµ é determinada por µ = m/V , de modo que ela coincide com a densidadede um corpo maciço e homogêneo formado por essa mesma substância.

148

1.68 Conceito de Pressão 1

Objetivo

Esclarecer o conceito de pressão através de experimentos simples.


1 caneta, 1 bandeja grande, areia fina (ou produto semelhante, como fari-nha, por exemplo), 1 tijolo.


Retire a tampa da caneta, coloque-a entre os dedos e pressione levementenas suas extremidades. Você sentirá a ponta tentando lhe furar o dedo.

Uma outra forma de esclarecer o conceito de pressão é através da dispo-sição de um tijolo sobre uma camada de areia bem fina. Despeje a areia numabandeja e deixe a sua superfície plana. Coloque o tijolo sobre ela de 3 manei-ras diferentes: de pé (Fig.1.80-a), de lado (Fig.1.80-b) e deitado (Fig.1.80-c).Observe que as impressões deixadas na areia são diferentes nas três situações.Se necessário, pode ser colocado uma massa maior sobre o tijolo (a mesmamassa nas 3 situações) para que a marcação fique mais visível.

Figura 1.80: Tijolo disposto: a- de pé; b- de lado; c- deitado.

149


A pressão (p) é definida como a intensidade da força (F ) por unidade deárea superficial (A):

p = F

A(1.81)

A pressão é uma grandeza escalar e por isso não tem direção e sentido.Da mesma forma que a densidade informa sobre a concentração de massa porum certo volume, a pressão informa sobre a concentração de forças em umadeterminada área.

Estando pressionada entre os dedos a caneta exerce a mesma força nasduas extremidades. No entanto, a pressão exercida sobre os dedos é maior naponta da caneta, que tem menor área.

O mesmo ocorre no experimento com o tijolo. A força (F ) exercida pelotijolo sobre a areia é igual ao peso (P ) do tijolo, que é o mesmo nas trêssituações. A impressão deixada na areia depende da pressão (p) que o tijoloexerce sobre ela. Esta é maior na situação em que o tijolo é colocado em pé(menor A) e menor quando o tijolo é colocado deitado (maior A).

150

1.69 Conceito de Pressão 2

Objetivo

Relacionar as grandezas pressão, força e área.


2 balões, diversos pregos pequenos (ou alfinetes), 1 pedaço de isopor.


Atravesse o isopor com pregos de modo a formar dois quadrados: umcom um pequeno número e outro com um grande número deles, como repre-sentado na Fig.(1.81). Verifique para que as pontas dos pregos fiquem todascom a mesma altura.

Figura 1.81: Pregos no isopor.

Encha o balão e pressione-o (com a mesma intensidade) contra cada con-junto de pregos. Verifique que o balão estoura quando pressionado contra oconjunto que contém poucos pregos e não estoura quando pressionado contrao conjunto com um grande número de pregos.


A força aplicada (F ) pelo balão sobre o conjunto de pregos é igual nasduas situações, mas a pressão (p) exercida pelos pregos sobre o balão é maior

151

no quadrado com menor número de pregos, pois a área de contato (A) émenor. Isso é explicado pela relação (1.81). Quando atinge um limite depressão o balão acaba estourando.

A explicação para o fato de pessoas conseguirem deitar-se sobre camasde prego (ou de facas) é a mesma. Para a pessoa sair ilesa é necessário umagrande quantidade de pregos fincados, o que aumenta a área de aplicação daforça (força P ) e leva a diminuição da pressão.

152

1.70 Estimando a Massa de um Automóvel

Objetivo

Determinar a massa de um automóvel através da medida da pressão dosseus pneus.


1 carro, 1 calibrador de pneus, 1 folha de papel milimetrada, 1 barbante.


Pode-se determinar a massa de um automóvel conhecendo-se a pressãode ar contido nos seus pneus e a área de contado entre cada pneu e o solo,num piso plano e horizontal.

Com o calibrador meça a pressão do ar em cada pneu, fazendo uma médiados 4. Determine a área de contado do pneu com o solo contornando o pneucom um barbante, junto ao chão. Em seguida reproduza o mesmo contornosobre uma folha de papel milimetrado, onde pode ser determinada a sua área.Faça uma média das áreas dos 4 pneus. Pode ser feito apenas a medida daárea de um pneu dianteiro e outro traseiro, mas, para isso, é importante quecada par de pneu esteja com a mesma pressão.

Utilizando o conceito de pressão e de área estime a massa do automó-vel. Apesar de ser uma forma não muito precisa, os resultados obtidos sãosatisfatórios. É importante que os pneus estejam bem cheios, pois, caso nãoestejam, a contribuição que as paredes dos pneus exercem sobre a sustentaçãopode diferir nos resultados.


O produto da pressão (p) do ar em cada pneu pela sua correspondente áreade contato (A) com o solo fornece o módulo da força normal (N ) exercidapelo ar sobre a parede interna de cada pneu, que é igual ao módulo da força decontato (F ) de cada pneu com o chão exercido pelas suas paredes externas.

153

Os automóveis têm 4 pneus e pela lei de ação e reação pode-se concluirque o módulo do peso do automóvel é:

P = 4F (1.82)

Sendo que a pressão é definida como p = F/A, tem-se que, em cadapneu:

F = pA (1.83)

Relacionando (1.82) e (1.83) e sendo que P = mg, tem-se que a massa(m) do automóvel pode ser dada por:

m = 4pAg

Em geral os medidores de pressão fornecem a pressão em lb/pol2 (libraspor polegada quadrada). É necessário transformá-la em Pascal, sendo que1lb/pol2 = 6891Pa. Além disso, é preciso somar a ela a pressão atmosfé-rica local, que é da ordem de 1atm = 1, 013.105Pa. A área dos pneus doautomóvel deve ser dada em m2, de modo que o peso do automóvel vai serdado em N e a massa em kg.

154

1.71 Trabalho e Energia numa Mola

Objetivo

Verificar a relação entre trabalho e energia no movimento de uma mola.


1 mola (essas de caderno), 1 bola de papel.


Prenda uma extremidade da mola numa base de madeira ou segure-a coma própria mão, de modo que ela fique na horizontal. Coloque a bola de papelna outra extremidade da mola e comprima o conjunto. Solte esta última ex-tremidade da mola e observe que a bola de papel, inicialmente em repouso,é arremessada horizontalmente com uma certa velocidade. Faça uma análisedo processo ocorrido abordando os conceitos de energia potencial, trabalho eenergia cinética.


Quando a mola é comprimida o esforço feito para isso fica armazenadonela sob a forma de energia potencial elástica (Epel

). Quando é solta da suaposição comprimida a extremidade (a que contém a bola de papel) da molase distende por uma distância (x) e realiza um trabalho (W ) sobre a bola.

O trabalhoW realizado por uma força relaciona-se a idéia de transferir outransformar a energia associada aos corpos. Se uma força aplicada ~F provocao deslocamento de um corpo por ~x (de uma posição A para uma posição B),a intensidade do trabalho realizado por essa força é:

WAB = Fxcosθ (1.84)

onde θ é o ângulo formado entre os vetores ~F e ~x. O trabalho realizado épositivo se a força tiver uma componente no mesmo sentido do deslocamentoe negativo se a força tiver uma componente no sentido oposto. Considerando

155

que ~F e ~x tem a mesma direção, como no experimento realizado, tem-se que(θ = 0◦), donde vem que cosθ = 1 e a Eq.(1.84) se reduz à:

WAB = Fx (1.85)

A velocidade da bola de massa m na posição B é dada por v2B = v2

A +2ax, donde vem:

x = v2B − v2

A

2a (1.86)

Levando (1.86) em (1.85), e sendo F = ma:

WAB = ma

(v2

B − v2A

2a

)

donde vem:WAB = 1

2mv2B −

12mv

2A (1.87)

Sendo que (1/2)mv2 representa a energia cinética (Ec) do corpo, pode-seescrever (1.87) como:

WAB = EcB − EcA = ∆Ec (1.88)

que é o teorema do trabalho-energia, o qual diz que a variação de energiacinética de um corpo é igual ao trabalho realizado sobre esse corpo.

No experimento o trabalho realizado pela mola sobre a bola é igual aenergia cinética que ela adquire ao ser lançada no ponto B. neste casoWAB = EcB , porque EcA = 0, já que a bola tem v = 0 em A.

O teorema do trabalho-energia pode ser escrito em função da energia po-tencial elástica da mola, tendo a forma:

WAB = EpA − EpB = kx2

2

onde EpA e EpB são as energias potenciais da mola, respectivamente nospontos A e B e k é a constante elástica da mola.

156

1.72 Conservação da Energia Mecânica 1

Objetivo(s)

Verificar a conservação da energia mecânica num sistema oscilante massa-mola.


1 mola helicoidal (uma mola de caderno), 1 massa (que possa ser presana mola), 1 suporte.


Prenda a massa na extremidade da mola e pendure a mola num suporte,de modo que a massa possa se movimentar livremente na vertical.

Inicialmente deixe o conjunto em repouso (Fig.1.82-a). Em seguida eleveum pouco a massa na vertical e solte-a (Fig.1.82-b), observando que o sis-tema passa a oscilar verticalmente. Observe as transformações de energia queocorrem nesse processo de oscilação e explique por que a massa, quando soltaacima da posição de equilíbrio, estica a mola além desta posição (Fig.1.82-c).


Ao ser elevada acima de sua posição de equilíbrio a massa adquire ener-gia potencial gravitacional (Epg ). Ao cair a massa ganha energia cinética(Ec) (realiza trabalho), a qual deforma a mola e é transformada em energiapotencial elástica (Epel

) pela mola.Durante o movimento de oscilação a energia muda de uma forma para

outra, de modo que a energia mecânica (EM ) permaneça constante. Sendoque a energia mecânica é a soma da energia cinética, da energia potencialelástica e da energia potencial gravitacional (Epg ), vem que:

Ec + Epel+ Epg = k

onde k é uma constante.

157

Figura 1.82: a- Sistema em equilíbrio; b- Massa acima da posição de equilíbrio; c-Massa abaixo da posição de equilíbrio.

1.73 Conservação da Energia Mecânica 2

Objetivo

Realizar um experimento que demonstre a conservação da energia mecâ-nica.


1 suporte de sustentação, 3 pedaços de trilhos, 3 esferas iguais24 (bolinhasde gude ou esferas de aço), 1 mesa plana, 1 trena.

24Os trilhos e as esferas devem ter diâmetros de tal forma que as esferas possam se movi-mentar livremente pelo interior do trilho.

158


Disponha os 3 trilhos, com formatos diferentes, de acordo com a Fig.(1.83).O trilho 1 é retilíneo, o trilho 2 tem formato cicloidal e o trilho 3 é parabólico.Além disso eles têm comprimentos diferentes, de modo que todos tenham asposições inicial (A) e final (B) nos mesmos níveis.

Figura 1.83: Trilhos.

A esfera solta em A vai rolar por um dos trilhos e sair em B, percorrendoem seguida uma pequena distância sobre a mesa e sendo lançada horizontal-mente. Soltando as 3 esferas pelos diferentes trilhos, você observará que elasatingirão a mesma distância horizontal no solo. Solte as 3 esferas simultane-amente e observe também que elas tem tempos de descida diferentes.


Como as 3 esferas de mesmas massas (m) partem do mesmo nível (pontoA), o qual está numa altura h em relação ao ponto B, elas possuem a mesmaquantidade de energia potencial gravitacional (Epg ), dada por:

Epg = mgh (1.89)

onde g é a aceleração da gravidade.

159

Ao serem abandonadas no ponto A, as esferas rolam pelos trilhos e con-vertem suas energias potenciais gravitacionais em energias cinéticas (Ec),sendo esta dada por:

Ec = 12mv

2 (1.90)

onde v é a velocidade da esfera.Todas as esferas têm o mesmo alcance x em relação à mesa, o que signi-

fica que todas elas foram lançadas com a mesma velocidade inicial v.Considerando que toda a energia potencial gravitacional da esfera no

ponto A é convertida em energia cinética no ponto B, igualando (1.89) e(1.90):

mgh = 12mv

2

vem que a velocidade de lançamento é:

v =√

2gh

Como a altura h é igual para os 3 trilhos, as velocidades que as esferas adqui-rem ao chegar ao ponto B também são iguais.

O trajeto mais rápido é feito pela esfera no trilho com formato cicloidal(trilho 2), seguido pelo parabólico (trilho 3) e pelo trilho retilíneo (trilho 1)25.

25Uma discussão do porque disso está um pouco além do nível deste livro.

160

1.74 Looping Vertical e Conservação da Energia

Objetivo

Verificar as condições de ocorrência de um looping vertical levando emconsideração a conservação de energia.


1 mangueira transparente (ou um trilho), 1 esfera de aço, 1 trena.


Monte o esquema de acordo com a Fig.(1.84).

Figura 1.84: Looping numa mangueira.

Abandone a esfera a partir de uma determinada altura (extremidade A damangueira) de modo que ela percorra toda a trajetória, conseguindo passarpelo ponto B. Se utilizar o trilho a esfera deve passar pelo ponto B semperder o contato com ele. Verifique qual deve ser o desnível mínimo entre ospontos A e B para que isso ocorra.


Considere o esquema da Fig.(1.85).

161

Figura 1.85: Esquema do looping.

De acordo com o principio de conservação da energia mecânica, para aesfera realizar o looping, a energia mecânica no ponto A (EMA

) deve sermaior que à energia mecânica no ponto B (EMB

):

EMA> EMB

Sendo que a esfera parte do repouso em A e que a energia mecânica é igual asoma das energias cinética e potencial, tem-se que:

mghA > mghB + 12mv

2B (1.91)

No ponto B a esfera deve ter velocidade mínima tal que mg = mv2B/r,

donde vem:vB = √rg (1.92)

Levando (1.92) em (1.91) tem-se hA > hB + r/2, donde vem:

hA − hB >r

2ou seja, a diferença de altura entre os pontos A e B deve ser maior que metadedo raio da circunferência. Se hA − hB < r/2 a esfera, solta em A, perderá ocontato com o trilho antes de atingir o ponto B ou não passará por ele; casofor a mangueira, a esfera não realizará o looping.

162

1.75 Quantidade de Movimento Linear 1

Objetivo

Verificar a conservação da quantidade de movimento linear.


1 pêndulo, 1 carrinho de rodas (de brinquedo), 1 haste.


Monte a haste sobre o carrinho e pendure nela o pêndulo. Disponhe ocarrinho sobre uma superfície plana e coloque o pêndulo à oscilar. Observeque o carrinho desloca-se sempre em sentido oposto ao do movimento dopêndulo26, como está representado na Fig.(1.86).

Figura 1.86: Conservação da quantidade de movimento linear.


No caso de um ponto material de massa m que se movimenta com ve-locidade ~v, representamos a quantidade de movimento ou momento linear ~pcomo:

~p = m~v

26O pêndulo deve ter uma massa suficiente para que isso ocorra.

163

onde ~p é uma grandeza vetorial com a mesma direção e mesmo sentido que~v.

Considerando um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, mn,que em determinado instante apresentam as respectivas velocidades ~v1, ~v2,~vn, representa-se a quantidade de movimento linear total do sistema como asoma das quantidades de movimento pontuais:

~p = ~p1 + ~p2 + ...+ ~pn

~p = m1~v1 +m2~v2 + ...+mn~vn

que de maneira mais compacta é escrita como:

~p =n∑

i=1mi~vi

As forças internas podem provocar variações nas quantidades de movi-mento de cada partícula de um sistema, mas não provocam a variação naquantidade de movimento total do sistema. Como não há forças externasagindo sobre o sistema (carrinho + pêndulo), quando o pêndulo adquire umaquantidade de movimento num sentido, o carrinho adquire uma quantidadede movimento em sentido contrário. Dessa forma, sendo que inicialmente osistema estava em repouso, a sua quantidade de movimento total mantém-senula.

Embora a conservação da quantidade de movimento seja um dos principiofundamentais da física, é possível deduzí-la a partir das leis de Newton.

164


Objetivo

Observar a conservação da quantidade de movimento linear.


1 placa de madeira, 3 pregos, elástico, linha, 1 bacia grande, água, tirinhasde papel, fósforo.


Fixe 2 pregos alinhados em uma extremidade da placa e o outro na outraextremidade. Prenda o elástico aos 2 pregos alinhados. Amarre uma linha nomeio do elástico e prenda-a ao prego na outra extremidade, de modo que oelástico fique bem tensionado.

Coloque água na bacia e disponhe o conjunto sobre a água. Queime alinha com um palito de fósforo aceso e perceba que a placa de madeira ficaparada sobre a água.

Repita o procedimento colocando uma tira de jornal sobre o elástico, demodo que ela seja lançada quando queimado a linha. Observe que a placade madeira se desloca em sentido oposto ao que foi lançada a tira de papel.Faça o mesmo procedimento utilizando 2 tiras de papel e perceba que a placase desloca mais intensamente. Um esquema da montagem e da realização doexperimento está na Fig.(1.87).


A explicação deste experimento é a mesma que o Exp.(1.75).

165

Figura 1.87: Conservação da quantidade de movimento linear.


Objetivo

Verificar a conservação da quantidade de movimento linear.


2 blocos (de massas diferentes), 1 mola27, 1 superfície lisa (uma mesa,por exemplo).


Sobre a superfície lisa disponha os 2 blocos de modo que eles fique sepa-rados pela mola, como mostra a Fig.(1.88-a). Aproxime os blocos de modoa comprimir a mola (Fig.1.88-b) e solte-os simultaneamente. Perceba que obloco mais leve se afasta mais rapidamente que o mais pesado (Fig.1.88-c).


Desprezando a ação de forças externas, como a força de atrito e a resis-tência do ar, tem-se que, num sistema isolado, a quantidade de movimento

27Utilize uma mola forte de caderno ou construa uma mola, enrolando um arame ao redorde um cilindro.

166

Figura 1.88: a- Blocos separados por uma mola; b- Mola comprimida; c- Blocosafastados.

total do sistema é conservada, de modo que:∑~p = 0

ou∆~p = 0

Ao soltar os blocos a mola distende-se e empurra um bloco para cadalado, de modo que:

~pA + ~pB = 0 (1.93)

onde ~pA e ~pB são as quantidades de movimento linear, respectivamente dosblocos A e B.

A partir de (1.93) tem-se que ~pA = −~pB , donde vem que, em módulo:

|~pA| = |~pB| (1.94)

Sendo p = mv, escreve-se (1.94) como:

mAvA = mBvB (1.95)

Analisando (1.95) percebe-se que, se mA > mB , vem que vA < vB , e vice-versa, de modo que as velocidades e as massas dos blocos são inversamenteproporcionais.

167

1.78 Quantidade de Movimento Angular 1

Objetivo

Verificar a conservação da quantidade de movimento angular.


1 ovo cru, 1 ovo cozido.


Pegue o ovo cru e faça-o girar sobre uma mesa. Antes que ele pare seumovimento segure-o com os dedos e em seguida solte-o. Observe que elevolta a girar Faça o mesmo procedimento com o ovo cozido e constate queeste não volta a girar depois de parado (Fig.1.89).

Figura 1.89: Rotacionando ovos.


Da mesma forma que a força ~F é a variação temporal da quantidade demovimento linear ~F = ∆~p/∆t, o torque ~τ é a variação no tempo da quanti-dade de movimento angular:

~τ = ∆~L∆t

168

Se o torque externo resultante agindo sobre o sistema for nulo (~τ = 0),vem que:

∆~L∆t = 0

o que significa que a quantidade de movimento angular (~L) do sistema nãovaria com o tempo, ou seja:

L = k

onde k é uma constante.Se o ovo está cru e você o segura brevemente enquanto estiver girando,

o fluido dentro do ovo continua girando por inércia. Quando você o liberta,o atrito entre o fluido e a casca faz com que o ovo inteiro comece a girarnovamente. Se o ovo estiver cozido, não há nenhum fluido dentro dele, poistoda a massa está sólida, e assim, uma vez parado, não começará a girarnovamente.

169


Objetivo

Demonstrar a conservação da quantidade de movimento angular.


1 suporte, 2 corpos (iguais e nos quais possam prender um fio pelos seuseixos centrais), 2 pedaços de linha.


Pendure no suporte os corpos 1 e 2 com a linha, como mostra a Fig.(1.90).

Figura 1.90: Corpos pendurados por linhas.

Mantenha preso o corpo 1 e torça um pouco a linha juntamente com ocorpo 2 e em seguida solte-os. Observe que os corpos 1 e 2 giram em sentidosopostos.


Os corpos 1 e 2 giram em sentidos opostos, devido à conservação daquantidade de movimento angular (L). Sendo que a velocidade angular ini-

170

cial é nula, tem-se que: ∑~L = 0

ou~L1 + ~L2 = 0

onde ~L1 e ~L2 são as quantidades de movimento angular correspondentes res-pectivamente aos corpos 1 e 2. Como os corpos 1 e 2 são iguais a intensidadede suas quantidades de movimento angular também são iguais, mas os vetores~L diferem no sentido de rotação.

171


Objetivo

Verificar a estabilidade de um corpo em rotação.


1 moeda.


Coloque a moeda verticalmente. Em seguida tente tombá-la com um so-pro. Perceba que ela cai facilmente.

Agora mantenha a moeda na vertical com o dedo e faça-a girar com umpiparote28. Tente tombá-la agora com um sopro e veja que é mais difícil.


A rotação de um corpo proporciona uma maior estabilidade devido à suainércia rotacional. A inércia rotacional tende a manter o eixo de rotação numadireção fixa.

28Pancada com a ponta do dedo médio dobrado e apoiado contra a faça interna do polegare solto com força.

172


Objetivo

Verificar a estabilidade de um corpo em rotação.


1 roda de bicicleta (eixo, raias e aro), 2 cabos.


Prenda os 2 cabos no eixo da roda, um em cada lado, de modo que vocêpossa segurá-los e a roda gire livremente.

Coloque a roda em rotação e segure os dois cabos na horizontal. Inclineo eixo e sinta o comportamento da roda. Perceba que, ao girar a roda, vocêconsegue mantê-la com o eixo na horizontal, mesmo segurando por apenasum dos cabos.


A explicação está nos Exp.(1.78) e (1.80).

173

1.82 Dissipação de Energia por Atrito

Objetivo

Observar a dissipação de energia num movimento de rotação.


1 ovo cru, 1 ovo cozido.


Coloque em movimento de rotação os dois ovos sobre uma mesa hori-zontal plana, imprimindo a mesma rotação para ambos. Observe que o ovocru para mais rápido que o ovo cozido.


O ovo cru contém em seu interior uma massa fluida (clara e gema). Quandoele é posto à girar, o fluído não acompanha de imediato a rotação da casca, de-vido à sua inércia, que tende a permanecer em repouso. Dessa forma, ocorreuma dissipação de energia, causada pelo atrito entre a clara e a casca do ovo.

No ovo cozido a massa interna é sólida, de modo que, quando posto emrotação, todas as partes do ovo giram juntas, não dissipando energia por atritono seu interior. É importante lembrar que nos dois casos há dissipação deenergia por atrito entre o ovo e a mesa. Como essa perda é praticamenteigual para os dois ovos, e sendo que o ovo cozido dissipa menos energiainternamente que o ovo cru, o ovo cozido fica mais tempo girando que o ovocru.

174

1.83 Movimento de um Helicóptero

Objetivo

Apresentar e analisar o movimento de rotação das hélices de um helicóp-tero.


1 suporte (1 pedaço pequeno de madeira, ou algo semelhante), 1 barbante,2 elásticos, 2 canetas (iguais).


Suspenda o suporte pelo barbante. Prenda 1 elástico no meio de cada ca-neta e ligue-as ao suporte. Monte o experimento de acordo com a Fig.(1.91).

Figura 1.91: Canetas e elásticos.

Torça os elásticos das duas canetas de forma que, ao soltá-las, elas giremno mesmo sentido. Você observará que o suporte começará a girar.

Agora torça os elásticos de modo que as canetas girem em sentidos opos-tos e observe que o suporte fica estável.


Este experimento simples serve para discutir a rotação das hélices e aestabilidade de um helicóptero. O primeiro projeto de um veículo semelhante

175

a um helicóptero foi elaborado por Leonardo da Vinci em torno de 1500. Noentanto, foi somente no início do século XX que tal projeto saiu do papel.

O primeiro modelo de helicóptero data de 1907. Ele tinha somente ahélice principal e voava até poucos metro de altitude. Ao aumentar a ve-locidade de rotação da hélice, o corpo do helicóptero começava a girar emsentido contrário. Para contornar o problema foi prolongado o corpo do heli-cóptero na forma de uma cauda e nela colocou-se lateralmente uma segundahélice. A função desta hélice lateral, que gira numa direção perpendicular àhélice principal é produzir uma força capaz de compensar o giro do corpo dohelicóptero, proporcionando a estabilidade do mesmo.

Alguns helicópteros de cargas tem 2 hélices principais, as quais giram emsentidos opostos para impedir a rotação do corpo do helicóptero.

Uma explicação mais matemática deste experimento é dada nos Exps.(1.78)e (1.79).

176

1.84 Cadeira Giratória

Objetivo

Verificar a conservação da quantidade de movimento angular numa ca-deira giratória.


1 cadeira giratória, 1 par de halteres29 (este é opcional).


Sente na cadeira giratória, erga os pés do chão, deixe os braços estendidos(abertos para os lados) e peça para um colega girar a cadeira (Fig.1.92-a). Emseguida feche os braços e perceba que você passa a girar mais rapidamente(Fig.1.92-b). Abra novamente os braços e constate que a velocidade diminuinovamente. O efeito fica mais acentuado se você estiver segurando um hal-ter em cada mão. Como é possível que ocorra essa variação da velocidadeangular?


A variação da velocidade angular (ω) ocorre devido a variação do mo-mento de inércia (I) do corpo da pessoa. O momento de inércia é uma gran-deza que leva em conta a distribuição de massa de um corpo em relação aum eixo de rotação. Estando com os braços abertos o momento de inércia dapessoa é maior do que com os braços fechados.

Durante o movimento de rotação, quando não há nenhuma força externaatuando sobre ele, o que permanece constante é a quantidade de movimentoangular ~L, o qual é definido como:

~L = I~ω

29Instrumento para ginástica constituído de duas esferas nas extremidades de uma haste queserve para pegadouro. Pode ser utilizado também um outro tipo de objeto.

177

Figura 1.92: Girando na cadeira com os braços: a- abertos; b- Fechados.

O vetor ~L tem a mesma direção e sentido que ~ω. A direção de ~ω é a do eixode rotação e o sentido é dado pela regra da mão direita: o polegar da mãodireita fornece o sentido de ~ω e os demais dedos semidobrados são dispostosno sentido de rotação.

Sendo que ~L é uma grandeza vetorial, ela pode ser dividida em com-ponentes, as quais podem ser tratadas de maneiras independentes. Para umsistema que consiste em um corpo rígido girando com ω constante em relaçãoà um eixo fixo (eixo z, por exemplo), tem-se que:

Lz = Iω

onde Lz é a componente da quantidade de movimento angular ao longo doeixo de rotação. Sendo que Lz permanece constante, tem-se que:

Iω = k

onde k é uma constante. Dessa forma, se I aumenta, ω diminui e, se I dimi-nui, ω aumenta, como constatado no experimento.

178

1.85 Inclinação de Estradas e Ruas

Objetivo

Determinar a inclinação de uma rua ou estrada e fazer uma análise teóricadas condições de tráfego de veículos.


1 trena, 1 mangueira (vários metros de comprimento), água, 2 estacas.


Escolha uma determinada rua para medir a inclinação, de preferência umaque tenha uma inclinação considerável para facilitar a medida. Encha umamangueira de vários metros de comprimento com água e, com a ajuda de umcolega, encoste cada extremidade da mangueira nas estacas dispostas vertical-mente, separadas por uma distância de alguns metros uma da outra. Controleas alturas das extremidades da mangueira, e marque na estaca o ponto onde aágua fica no nível30. Posteriormente meça essas alturas h1 e h2, como mostraa Fig.(1.93).

Figura 1.93: Medindo a inclinação de uma estrada.

Através dos valores de h1 e h2, bem como da distância L entre as 2 esta-cas, relaciona-se essas dimensões através da Fig.(1.94), onde H = h2 − h1.

30Este é um método muito simples e bastante usado por pedreiros na construção civil.

179

Figura 1.94: Relação triangular.

De acordo com a relação triangular tem-se que senθ = H/L, donde vemque o ângulo de inclinação da rua é dado por:

θ = sen−1(H

L

)


Este experimento é bastante simples de se realizar e ao mesmo tempomuito importante porque mostra os reais graus de inclinação das ruas e estra-das.

É comum imaginarmos que uma rua ou estrada qualquer, um pouco acen-tuada, tenha uns 30◦ ou 40◦ de inclinação, no entanto, experimentalmenteconstata-se que tal inclinação dificilmente ultrapassa os 10◦. Além do que,como veremos adiante, se fossem muito acentuadas, seria impossível o trá-fego de veículos automotores por ela.

A inclinação de uma rampa em relação à horizontal é dada através do ân-gulo de inclinação ou do seno deste ângulo. Uma rampa de 5º, por exemplo,tem uma declividade dada como tg5 = 0, 087 ou 8, 7%, sendo esta últimaconhecida como inclinação percentual. Isso significa que, a cada 100m dedeslocamento sobre a rampa, há 8, 7m de deslocamento vertical31.

Em estradas de rodagem de alto fluxo de veículos o DNIT (DepartamentoNacional de Infra-Estrutura e Transportes) recomenda uma inclinação de nomáximo 3◦. Isso porque, uma maior inclinação impede que caminhões pesa-dos trafeguem com velocidades muito maiores que 20km/h. Vamos comen-tar isso de forma quantitativa.

31Para pequenos ângulos tem-se que tgθ ' senθ.

180

Um veículo com massa m, que se desloca com velocidade constante v,subindo uma rampa com inclinação θ com a horizontal, necessita de umacerta potência desenvolvida pelo motor (Pmotor). Além das forças de re-sistência ao movimento do veículo, há também a componente do peso doveículo paralela à pista (mgsenθ), a qual também se opõe ao movimento.Desprezando as forças de resistência e de atrito, tem-se que, para ocorrer omovimento:

Fmotor > mgsenθ (1.96)

Sendo P = F.v, pode-se escrever a Eq.(1.96) de modo que:

Pmotor > mgsenθ.v

Vamos supor que um caminhão carregado, com massa total de 30000kg,subindo uma estrada com 5◦ de inclinação a uma velocidade de 25km/h(6, 9m/s). A potência que o motor deve desenvolver é:

Pmotor > 30000.9, 8.(sen5).6, 9 = 176804W

ou, sendo 1cv = 736W :Pmotor > 240cv

ou seja, para que o caminhão consiga subir essa rampa com essa velocidade,ele deve ter uma potência grande. E essa potência é somente necessária paraimpulsionar o peso do veículo. Isso mostra que uma estrada que tem umfluxo de veículos pesados mais rápido, deve ter inclinação menor que 5◦, oumotores mais potentes.

A força ~T que traciona o veículo rampa acima é a força de atrito entre ospneus e o solo (estrada de chão, asfalto ou calçamento), e deve ter intensidadetal que:

T > mgsenθ (1.97)

Se os pneus de tração não deslizam sobre a pista, o atrito entre eles seráestático e a força de tração será máxima. Sendo µe o coeficiente de atritoestático e N a intensidade da força normal exercida pela pista sobre as rodasde tração, tem-se que:

T = µeN (1.98)

181

Sendo que a intensidade de N é dada por N = mgcosθ, a Eq.(1.98) fica:

T = µemgcosθ (1.99)

Supondo que as rodas de tração estejam sob a força normal com intensi-dade semelhante às outras rodas, escreve-se (1.99) como32:

T = µemgcosθ

2 (1.100)

Relacionando as Eqs.(1.100) e (1.97):

µemgcosθ

2 > mgsenθ

obtem-se:tgθ <

µe

2ou

θ < tg−1(µe

2

)(1.101)

Considerando um coeficiente de atrito estático alto, µe = 1 por exemplo,da relação (1.101) encontra-se:

θ < tg−1(1

2

)' 26, 6◦

que é a inclinação máxima a ser vencida por um veículo com tração simples(tração e 2 rodas), independentemente da potência do seu motor. Como ovalor de µe é geralmente sempre menor que 1, o valor de θ também é menor.

32Num veículo de 4 rodas geralmente são 2 as rodas de tração.

182

1.86 Pêndulo de Newton

Objetivo

Demonstrar a conservação da quantidade de movimento linear e da ener-gia no pêndulo de Newton.


1 dispositivo conhecido como pêndulo de Newton33.


O pêndulo de Newton está representado na Fig.(1.95). Este dispositivoé constituído por uma série de pêndulos, geralmente 5, encostados uns nosoutros. Cada pêndulo está suspenso à uma armação por duas cordas de igualcomprimento e ângulos opostos formandos entre estas, de modo que elasfiquem equilibradas e se movimentem num mesmo plano.

Figura 1.95: Pêndulo de Newton.

Afaste a esfera 1 e solte-a, deixando-a chocar-se contra a esfera 2. Ob-serve que apenas a esfera 5 ganha movimento e se eleva. No seu retorno aesfera 5 choca-se na esfera 4, o que resulta na elevação da esfera 1. O queocorre é um processo oscilatório entre as esfera 1 e 5, o qual se repete por umcerto período de tempo.

33Este dispositivo também pode ser construído por você.

183

Repita o mesmo procedimento afastando e soltando juntas as esferas 1 e2. Neste caso, passa a ocorrer uma troca de movimento entre as esferas 1 e 2com as esferas de números 4 e 5.


O pêndulo de Newton recebe este nome porque as leis de conservação daquantidade de movimento e energia foram estudadas inicialmente por IsaacNewton.

Deixando apenas a esfera 1 se chocar com as demais, a esfera 5 ganhamovimento, como representado na Fig.(1.96).

Figura 1.96: Pêndulo de Newton em ação.

A energia mecânica e a quantidade de movimento linear são transferidasintegralmente para a esfera 5, que obtém a mesma energia e quantidade demovimento linear da esfera 1. Isso só é possível se apenas uma esfera se mo-vimentar, pois caso as outras também se movessem, não haveria conservaçãosimultânea da duas grandezas citadas.

A energia potencial gravitacional da esfera 1 transforma-se em energiacinética, que é transferida quase integralmente para as outras esferas (2, 3, 4e 5) após as colisões. Na sucessão de choques, uma esfera transfere a energiarecebida e o momento linear à sua esfera vizinha, fazendo com que a esfera daoutra extremidade (esfera 5) se eleve a uma altura quase igual a da primeira.O processo se repete diversas vezes.

Depois de um certo tempo as esferas param se oscilar. Isso ocorre de-vido à existência de forças não conservativas, como a resistência do ar, e aos

184

choques inelásticos entre as esferas.

185

1.87 Lançador Horizontal

Objetivo

Prever o alcance de lançamento de uma esfera a partir da colisão da massade um pêndulo inicialmente afastado de um ângulo θ da vertical.


1 suporte, 1 transferidor, 1 pêndulo, 1 esfera, 1 trena, 1 base de apoio(estreita).


Monte o experimento de acordo com o esquema da Fig.(1.97).

Figura 1.97: Lançamento horizontal.

Solte a esfera 1 do pêndulo a partir de um ângulo θ com a vertical. Aesfera 1 irá colidir com a esfera 2, disposta sobre uma base de apoio, que serálançada à uma distância xmax (pode-se colocar um pequeno recipiente pararecolher a esfera 2). Varie o ângulo θ e observe como varia o alcance xmax.

186

Através de medidas experimentais e de uma análise matemática do casofaça uma previsão do alcance xmax da esfera 2 em função do ângulo θ, daaltura H e do comprimento L do pêndulo que sustenta a esfera 1.


Soltando a esfera 1 da posição A, a uma altura h acima da posição B, elaganha energia cinética e colide com a esfera 2, arremessando-a horizontal-mente, de forma que ela atinja uma distância xmax da sua base de apoio.

De acordo com o principio de conservação da energia mecânica, para aesfera 1 tem-se que: EMA

= EMB, ou:

0 +mgh = mv2

2 + 0

EcA + EpA = EcB + EpB

donde vem que a velocidade da esfera 1 no ponto B é:

v =√

2gh (1.102)

Admitindo-se que a colisão é elástica e que ocorre conservação da quan-tidade de movimento linear, tem-se que a velocidade da esfera 1 emB é igualà velocidade inicial da esfera 2 no lançamento vertical.

O alcance horizontal xmax da esfera 2 é dado por:

xmax = vxt (1.103)

onde vx é a velocidade da esfera 2 na direção x e t é o tempo que essa esferademora para atingir o solo. Sendo que na direção vertical (direção y) a esfera2 descreve um movimento de queda livre, estando situada a uma altura H dosolo, pela relação H = (1/2)gt2 vem que:

t =√

2Hg

(1.104)

A substituição de (1.102) e (1.104) em (1.103) resulta em:

xmax = 2√Hh (1.105)

187

Vamos descrever o valor de h da esfera 1 a partir de L e de θ. A partirdo esquema da Fig.(1.98), que descreve o movimento do pêndulo, tem-secosθ = (L− h)/L, donde vem que:

h = L(1− cosθ) (1.106)

Figura 1.98: Relação trigonométrica no pêndulo.

Substituíndo (1.106) em (1.105) obtem-se o valor de xmax em função deH , L e θ:

xmax = 2√HL(1− cosθ)

188

1.88 Pregando um Prego

Objetivo

Ver qual a diferença em pregar um prego com um martelo leve e ummartelo pesado.


2 pregos (iguais), 1 tábua, 1 martelo leve, 1 martelo pesado.


Pregue 2 pregos numa tábua, sendo um deles com o martelo leve e o outrocom o martelo pesado (Fig.1.99). Veja qual a diferença nos dois casos.

Figura 1.99: Pregando um prego.


Ao utilizar o martelo leve há uma tendência em deformar o prego, sendomais difícil pregá-lo. Com o martelo pesado essa tarefa é realizada maisfacilmente.

Se a função é deformar o prego34, o melhor é utilizar um martelo leve.Quanto mais leve o martelo, mais energia se perde em cada colisão (colisão

34Isso pode ser muito útil em algumas situações.

189

inelástica). Para fincar realmente o prego, evitando a perda de energia, deve-se usar um martelo pesado.

190

1.89 Inércia, Atrito e Quantidade de Movimento

Objetivo

Discutir um experimento que envolve os conceitos de inércia, força deatrito e quantidade de movimento.


1 copo, 1 carta de baralho (ou algo semelhante), 1 moeda.


Coloque a carta de baralho sobre a boca do copo e sobre a carta a moeda,como mostra a Fig.(1.100). Em seguida puxe a carta paralelamente à bocado copo. Inicialmente puxe a carta rapidamente e veja que a moeda cai verti-calmente dentro do copo. Depois puxe a carta vagarosamente e perceba quea moeda acompanha a carta e acaba caindo fora do copo (ou ficando sobre acarta).

Figura 1.100: Moeda sobre carta colocada sobre um copo.

Por que o resultado deste experimento depende da rapidez com que desloca-se a carta sobre a boca do copo?


Uma possível explicação para a moeda ter caído dentro do copo é dadapela lei da inércia, cujo experimentos semelhantes já foram realizados. Já, se

191

a moeda acompanhou o movimento da carta é porque há uma força de atritoentre ambas. Mas isso significa que num caso existe atrito e no outro não?

A carta (B) é puxada com uma forçaF , como representada na Fig.(1.101).A moeda (A) somente pode começar a se mover se existir uma força (~fat) en-tre ela e a carta, cuja intensidade é:

fat = µmg

onde µ é o coeficiente de atrito entre as duas superfícies, m a massa da cartae g a aceleração da gravidade.

Figura 1.101: Forças atuante sobre a carta e a moeda.

Aplicando a segunda lei de Newton∑ ~F = m~a para os corpos A e B,

obtem-se as equações de movimento:

fat = maA

F − fat = MBa

A expressão F = ma pode ser escrita como:

F = m∆v∆t (1.107)

já que a = ∆v/∆t.Sendo a quantidade de movimento ~p definida como ~p = m~v, pode-se

escrever (1.107) como:

~F = ∆~p∆t

donde vem que:~F∆t = ∆~p

192

Definindo o impulso ~I como sendo:

~I = ~F∆t

a segunda lei de Newton pode ser escrita como:

~I = ∆~p

que é conhecida como o teorema do impulso. Isso significa que uma força ~Fatuando durante um tempo ∆t gera uma quantidade de movimento ∆~p.

Puxando rapidamente a carta, observa-se que a moeda cai dentro do copo.Isso ocorre porque a força ~F atua durante um tempo pequeno (∆t → 0),donde vem que I → 0 e ∆p → 0, ou seja, a força não tem tempo de gerarmovimento. Sendo que a força de atrito (fat) entre a carta e a moeda não temtempo de gerar movimento, a moeda fica parada e acaba caindo no copo. Se aaplicação da força atuar sobre um tempo maior (movimento lento), a moedarecebe uma quantidade de movimento maior e move-se na direção e sentidoda força ~F , junto com a carta.

193

1.90 Impulso e Força

Objetivo

Verificar a relação entre impulso, força e tempo de atuação.


2 copos de vidro35 (ou 2 xícaras, ou algo semelhante), 1 tapete macio (ouum pedaço de lã, ou algo semelhante).


De uma mesma altura solte um copo sobre o chão firme (de concreto oucerâmica, preferencialmente) e constate que o mesmo se quebra todo. Repitao mesmo procedimento soltando o copo sobre o tapete macio e observe que,neste caso, ele não quebra36.

Por que há essa diferença no resultado de queda dos corpos se eles atin-gem o solo (chão firme ou tapete) com a mesma velocidade, já que são soltosda mesma altura?


Ao atingir o solo os copos podem receber forças com diferentes intensi-dades. Isso vai depender, por exemplo, do tempo de interação com o solo.

O impulso (~I) sobre um corpo é igual à variação da quantidade de movi-mento linear (∆~p) deste corpo, ou seja:

~I = ∆~p = ~p− ~p0 (1.108)

onde ~p e ~p0 são, respectivamente as quantidades de movimento linear final einicial.

35Aqui utilize, preferencialmente, objetos pequenos e que não são mais úteis.36Não exagere na altura pois, se esta for muito grande, mesmo caindo no tapete o copo pode

quebrar.

194

Dizemos que o impulso (~I) é o efeito temporal da atuação de uma força~F , tal que:

~I = ~F∆t (1.109)

O impulso é uma grandeza vetorial que assume a mesma direção e sentido daforça exercida sobre o corpo. Igualando as Eqs.(1.108) e (1.109), vem que:

~F∆t = ~p− ~p0

No experimento realizado o copo inicia o contato com o solo ou o tapetecom uma certa quantidade de movimento linear ~p0 e entra em repouso depoisde um certo tempo ∆t, de modo que ~p = 0. Dessa forma, em termos deintensidade, tem-se que F∆t = −p0, ou:

|F | = 1∆tp0 (1.110)

O impulso (~I) sofrido pelos copos é igual nas duas situações, já que ~I =~p− ~p0 é constante. No entanto, o tempo de interação (∆t) é diferente, o quefaz com que a força (~F ) trocada entre o chão e o copo ou entre o tapete e ocopo seja diferente.

O tempo de interação (∆t) entre o copo e o chão rígido é pequeno, o quefaz com que a força (~F ) seja grande (de acordo com a Eq.(1.110)). Por issoo copo acaba quebrando.

Na colisão do copo com o tapete macio, o intervalo de tempo ∆t entreeles é bem maior, o que faz com que a intensidade de ~F seja menor, permi-tindo que o copo permaneça íntegro (ou pelo menos diminui a probabilidadedele quebrar).

Essa explicação explica também porque os ginastas olímpicos e bailari-nos executam seus movimentos em pisos de borracha ou de madeira, e não deconcreto (a madeira, apesar de rígida, é mais flexível que o concreto). Neles,o tempo de interação entre os atletas e o solo aumenta, diminuindo as forçastrocadas. Funções semelhantes são exercidas pela rede que sustenta a quedados acrobatas em um circo, ou as embalagens de objetos delicados, sendoestas compostas de papel, plástico flexível ou isopor.

195

1.91 Rapidez de um Golpe

Objetivo

Verificar a diferença em golpear lentamente ou rapidamente uma hastesuspensa por tiras de papel.


Papel de jornal, 1 haste fina de madeira (com cerca de uns 40cm ou 50cme que não seja flexível), 1 barra rígida de ferro, 2 suportes.


Faça 2 alças com papel de jornal e coloque-as nos suportes, de modo queelas sustentem a haste de madeira, como na Fig.(1.102).

Figura 1.102: Golpeando a haste suspensa pelas tiras de papel.

Com a barra de ferro golpeie a haste de madeira no seu meio. Faça issode duas maneiras: golpeando lentamente (pressione a barra contra a haste) egolpeando rapidamente. Na primeira situação as alças de papel se rompem,mas no segundo caso, a haste se quebra e as alças continuam intactas.

Neste experimento pode-se substituir as alças de papel, suspendento a

196

haste de madeira em copos plásticos, copos de vidro37 ou objetos semelhan-tes.


Se a intensidade da força média (~Fm) aplicada no golpe ficar abaixo daresistência mecânica da madeira à tensão, a haste não se rompe e transmite aforça para as alças de papel e estas podem ser romper.

Se a intensidade da força ficar acima da resistência da madeira, a hastese rompe. Se o golpe é lento, a transmissão da quantidade de movimentolinear (~p) é lenta, o que gera uma força média pequena. Se o golpe for rápido,a transmissão da quantidade de movimento linear é rápida, o que gera umaforça média intensa. Quantitativamente isso é explicado pela segunda lei deNewton, que em termos de intensidade é escrita como:

Fm = ∆p∆t

37Ao se utilizar copos deve-se dispor a haste de madeira de modo que ela fique apoiadaapenas por suas extremidades.

197

1.92 Efeito Estilingue

Objetivo

Observar e analisar o efeito estilingue.


1 bola de futebol, 1 bola de tênis (ou semelhantes, sendo 2 bolas de tama-nhos diferentes).


Coloque a bola de tênis (bola pequena) sobre a bola de futebol (bolagrande) e solte-as juntas de uma determinada altura sobre um piso duro. Per-ceba que após bater no chão a bola de cima é lançada até uma altura bemmaior donde ela partiu. Este é o chamado efeito estilingue (Fig.1.103).

Figura 1.103: Efeito estilingue.


No efeito estilingue um corpo transfere quantidade de movimento linear eenergia cinética para outro corpo de menor massa, fazendo com que a energiamecânica desse último aumente bastante.

Acompanhe o esquema da Fig.(1.104). Considera-se inicialmente a des-cida da bola de baixo, com massa M , de uma altura h até o chão. Admitindo

198

que a queda seja livre e orientando o sentido positivo para cima, pela relaçãov2 = v2

0 + 2gh encontra-se que a velocidade v1 com a qual ela colide com osolo é:

v1 = −√

2gh (1.111)

onde g é a aceleração da gravidade.

Figura 1.104: Velocidade das bolas.

Ao colidir com o solo a bola sofre uma mudança de orientação e suavelocidade v2, imediatamente após a colisão é dada por:

v2 = −e1v1 (1.112)

onde e1 é o coeficiente de restituição, em termos de intensidade definidocomo e1 = v2/v1. O coeficiente de restituição não depende da massa masapenas dos materiais dos corpos participantes da colisão. Se a colisão é elás-tica, e1 = e2 e |v1| = |v2|; se for inelástica, e1 < 1 e |v2| < |v1|. Ocoeficiente de restituição é adimensional e possui valor compreendido entre0 e 1: 0 ≤ e1 ≤ 1.

A bola de cima, de massa m, ainda está descendo com a velocidade v1quando encontra a bola de baixo já subindo com a velocidade v2. Na colisãodas duas bolas, pela conservação da quantidade de movimento linear tem-seque

∑~p0 =

∑~p, donde vem:

Mv2 +mv1 = MV2 +mV1 (1.113)

onde V1 e V2 são, respectivamente, as velocidades das bolas de massas m eM após a colisão.

199

Representando por k a razão entre as massas M e m:

k = M

m

pode-se escrever (1.113) como:

kv2 + v1 = kV2 + V1 (1.114)

Sendo e2 o coeficiente de restituição para a colisão entre as duas bolas,tem-se que:

e2 = V1 − V2v2 − v1

(1.115)

Isolando V1 em (1.115):

V1 = e2(v2 − v1) + V2

e substituindo em (1.114):

V2 = kv2 + v1 − e2(v2 − v1)k + 1 (1.116)

Levando (1.112) em (1.116), obtem-se:

V2 =[e2(e1 + 1)− e1k + 1

k + 1

]v1 (1.117)

Isolando V2 em (1.115):

V2 = V1 − e2(v2 − v1)

e substituindo em (1.114):

V1 = kv2 + v1 + e2(v2 − v1)k + 1 (1.118)

Levando (1.112) em (1.118) tem-se que:

V1 = −[e2k(e1 + 1) + e1k − 1

k + 1

]v1 (1.119)

200

Se as colisões forem elásticas38, tem-se que e1 = e2 = 1 e v1 = −|v1|,de modo que as Eqs.(1.117) e (1.119) ficam:

V2 =(k − 3k + 1

)|v1| (1.120)

V1 =(3k − 1k + 1

)|v1| (1.121)

Sendo k = M/m, escrevem-se (1.120) e (1.121) como:

V2 =(M − 3mM +m

)|v1| (1.122)

V1 =(3M −mM +m

)|v1| (1.123)

Analisando (1.123) percebe-se que, sendo M > m, sempre tem-se queV1 > |v1|, isto é, após a colisão a bola de cima, de massam, sempre sobe comuma velocidade maior do que aquela que ela atingiu ao descer. Isso deve-sea transferência de quantidade de movimento linear e energia cinética da bolamaior para a bola menor.

O problema do experimento é provocar uma colisão frontal (ou quasefrontal) entre as duas bolas durante a queda vertical das mesmas. Geralmentetem-se que se fazer diversas tentativas para que a colisão frontal ocorra e oefeito estilingue possa ser verificado.

Uma montagem alternativa é utilizar a bola de silicone (menor) e umade sinuca (maior). Prende-se um fio de linha com cola na bola de sinuca epassa-se o mesmo pelo interior (folgado) da bola de silicone, sendo que nestaé feito um furo. Dessa forma, segurando o fio de linha, suspenda o conjuntoe deixe-o cair sobre o solo. Observe a bola de silicone saltar para cima.

38Uma colisão é elástica quando a energia cinética e a quantidade de movimento linear sãoconservadas, e inelástica quando apenas a quantidade de movimento linear é conservada.

201

1.93 Enclinação e Equilíbrio

Objetivo

Construir uma estrutura e verificar as condições de equilíbrio com o graude inclinação.


3 quadrados de madeira (com cerca de 15cm a 20cm de lado), 4 ripasestreitas (de cerca de 50cm de comprimento), 12 pregos pequenos (ou para-fusos), 1 pedaço de fio, 1 massa pequena (pode ser uma porca de parafuso,por exemplo).


Monte a estrutura de acordo com o esquema da Fig.(1.105). No quadradodo meio faça um pequeno furo no seu centro e prenda o fio com a massana sua extremidade. Fixe as ripas nos quadrados de modo que a estruturaformada, uma espécie de torre, possa permanecer na posição vertical ou serinclinada (por isso os pregos ou parafusos devem ficar um pouco frouxos).

Figura 1.105: Inclinação e equilíbrio da torre.

Observe que a torre permanece em equilíbrio (fica em pé) até certo graude inclinação. A partir de um certo ponto ela se desequilibra e cai.

202


A estrutura fica em pé enquanto a direção do fio e a massa suspensa (esteconjunto funciona como um fio de prumo) ficar projetada sobre a base deapoio. Quando esta projeção sair da base de apoio o sistema se desequilibrae tomba. Pela simetria da estrutura, o seu centro de massa está localizadono local onde foi pendurado o prumo. O prumo indica a direção vertical docentro de massa do conjunto.

203

1.94 Duplo Cone Subindo a Rampa

Objetivo

Mostrar o aparente movimento de um objeto contra a ação da gravidade.


2 funis iguais colados pela base para fazer o cone (o mesmo pode serfeito com papel cartolina e, se ficar muito leve pode colocar uma massa noseu interior), 2 bastões cilíndricos para formar a rampa, apoio para os bastões.Os 2 funis podem ser feitos cortando duas garrafas PET de 2L.


Monte uma pequena rampa com os 2 bastões, deixando-os mais próximosno menor nível e mais afastados no maior nível. Ajuste um desnível na rampa,de modo que o duplo cone possa subir por ele, como na Fig.(1.106).

Figura 1.106: Duplo cone subindo a rampa.

Coloque o duplo cone sobre o plano inclinado e constate que ele rola esobe, indo ao topo da rampa, ao invés de descer. A principio, isso pareceviolar a lei da gravidade.

204

Para o experimento funcionar o ângulo de inclinação do cone deve sergrande, enquanto a inclinação da rampa deve ser pequena.


O experimento do duplo cone subindo a rampa é extremamente popular,estando presente na maioria dos laboratórios de física escolares do mundo.Não há certezas quanto à sua criação, mas os indícios remontam ao séculoXVII na Europa.

O mistério que envolve o seu funcionamento consiste numa aparente vi-olação à lei da gravidade. Colocado na parte mais baixa de uma rampa incli-nada em formato de V, o duplo cone parece subir a mesma.

Um objeto realmente alcança uma altura maior quando seu centro demassa se desloca para uma posição mais alta. Nessa experiência, apesar deparecer que o duplo cone está subindo a rampa, devido ao formato e ao ar-ranjo dos bastões, o seu centro de massa vai ficando mais baixo à medida queele se desloca. Isso está de acordo com as leis da física.

Os corpos reagem à atração gravitacional terrestre como se toda a suamassa se concentrasse num ponto: o seu centro de massa. Como a tendênciade todos os corpos é ficar o mais próximo possível da superfície terrestre,para minimizar a sua energia potencial gravitacional, o centro de massa doduplo cone desce quando ele parece subir a rampa.

Mas por que tem-se a sensação que o duplo cone está subindo? O queatrai a nossa atenção nessa situação são os pontos de contato entre o duplocone e a rampa. Estes, de fato, vão se tornando mais altos à medida que ocone avança pela rampa. Os pontos de contato não são sempre os mesmos,pois o cone está girando e não deslizando sobre a rampa. Eles não são pontosfixos do duplo cone, mas sim pontos que estão continuamente variando.

205

1.95 Salto em Altura e Centro de Massa

Objetivo

Verificar a posição do centro de massa de uma pessoa no salto em altura.


1 pessoa.


Salte verticalmente de maneira a atingir a maior altura possível. Duaspessoas de pé sobre uma cadeira podem segurar uma corda esticada, e veri-ficar a altura que você consegue atingir. Salte erguendo um braço e depoiserguendo os 2 braços (procure dar o mesmo impulso nas duas situações).

Por que, ao saltar com um braço erguido você consegue atingir uma alturamaior do que com os dois braços erguidos? É um fato intrigante, pois oimpulso inicial é o mesmo e não ocorre alteração da massa da pessoa.


Apesar de não haver alteração da massa da pessoa, pode ocorrer alteraçãodo seu centro de massa. Qualquer movimentação de braços ou pernas quea pessoa faça durante o seu pulo vertical altera a posição do seu centro demassa, mas não altera o seu movimento vertical nem a altura máxima que oseu centro de massa irá atingir.

Estando com os dois braços erguidos a pessoa possui centro de massamais elevado do que quando está com apenas um braço erguido. Como ocentro de massa deve atingir a mesma altura máxima, considerando que oimpulso que o chão aplica na pessoa é o mesmo nos dois casos, ao saltar comum braço erguido a pessoa atinge uma altura maior do que com os dois braçoserguidos.

206

1.96 Equilíbrio de um Corpo Extenso

Objetivo

Montar um equipamento para estudar o equilíbrio de um corpo extenso.


1 suporte de madeira, 1 placa de madeira (fina), 1 prego curto, 3 hastesmetálicas, 1 furadeira.


Faça um furo no centro de base de madeira e nela prenda uma haste me-tálica, de modo que ela fique na direção vertical. A extremidade superior dahaste deve ter a superfície bem plana.

Na placa de madeira introduza o prego bem no centro. Próximos às ex-tremidades da placa faça 2 orifícios, de modo que por eles passem as outras2 hastes, que serão hastes ajustáveis. Para prender essas hastes elas devemficar bem justas, ou pode-se fazer 2 pequenos orifícios, sendo um em cadaextremidade, e neles introduzir parafusos com borboletas. A montagem doconjunto está esquematizada na Fig.(1.107).

Ajuste as barras, aumentando ou diminuindo suas alturas, de modo a al-terar as condições de equilíbrio do conjunto.


Quanto mais baixas estiverem as barras ajustáveis, mais estável fica osistema. O equilíbrio é maior quanto mais baixo for o centro de massa dosistema.

O centro de massa deve ser entendido como o ponto em que podemosconsiderar aplicada toda a massa do corpo. Quando um corpo extenso seencontra em um campo gravitacional uniforme, seu centro de massa coincidecom o centro de gravidade desse corpo. O centro de gravidade correspondeao ponto de aplicação da força peso.

207

Figura 1.107: Placa com hastes em equilíbrio.

1.97 Equilíbrio Instável, Indiferente e Estável

Objetivo

Verificar as condições de equilíbrio instável, indiferente e estável de umcorpo.

Material Utilizado

1 régua.


Disponha a régua na vertical e tente mantê-la nessa posição com o dedona sua base inferior (Fig.1.108-a). Perceba que é difícil manter a régua pormuito tempo nessa posição e a tendência dela é tombar.

Em seguida disponhe a régua na horizontal e segure-a entre os dedos pelametade (Fig.1.108-b). Observe que a tendência dela é permanecer horizon-talmente.

Agora segure verticalmente a régua entre os dedos, mas prendendo-a pelaparte superior (Fig.1.108-c). Observe que, ao retirar a régua de sua posição

208

Figura 1.108: Equilíbrio: a- Instável; b- Indiferente; c- Estável.

de equilíbrio ela gira ao redor do ponto de apoio, aproximando-a cada vezmais da posição original. Qualquer perturbação na região faz com que elaoscile em torno de sua posição de equilíbrio.


Quando temos uma situação de equilíbrio onde o centro de gravidade estásituado acima do centro de apoio (Fig.1.108-a), classificamos o equilíbriocomo instável. Quando o ponto de apoio está sobre o centro de gravidade(Fig.1.108-b) o equilíbrio é indiferente. Já, quando o centro de gravidade estásituado abaixo do ponto de apoio (Fig.1.108-c), o equilíbrio é dito estável.

209

1.98 Movimento do Centro de Massa 1

Objetivo

Visualizar o movimento do centro de massa de um corpo.


1 martelo.


Lance um martelo sobre uma superfície horizontal, de modo que ele exe-cute um movimento de rotação e de translação. Verifique e analise este mo-vimento.


Durante a realização de sua trajetória, executando movimentos de rotaçãoe translação o centro de massa do martelo descreve uma trajetória retilínea,como mostra a Fig.(1.109). Embora suas partes descrevam um movimentocomplexo, o centro de massa desloca-se como se fosse um ponto material demassa igual à massa total do corpo e submetido ao peso total do mesmo.

Figura 1.109: Movimento do centro de massa de um martelo.

O movimento de translação de um corpo extenso pode ser analisado uti-lizando as leis de Newton admitindo que toda a massa está concentrada no

210

centro de massa e a força aplicada seja neste ponto.De maneira semelhante ao martelo pode-se utilizar 2 corpos de diferentes

massas, ligados por uma haste de massa desprezível, como na Fig.(1.110).

Figura 1.110: Massas ligadas por uma haste.

Considere duas partículas, 1 e 2, de massas m1 e m2, cujas respectivasposições em relação à origem de um determinado sistema de coordenadas,num determinado instante, são ~r1 e ~r2. A posição do centro de massa (~rcm)nesse instante é:

~rcm = m1~r1 +m2~r2m1 +m2

Num plano pode-se escrever ~rcm na forma de componentes (x e y), tal que:

xcm = m1x1 +m2x2m1 +m2

ycm = m1y1 +m2y2m1 +m2

211

1.99 Movimento do Centro de Massa 2

Objetivo

Visualizar o movimento do centro de massa de um corpo.


1 bloco de madeira, 2 canetas (tipo canetinhas, de cores diferentes), 1furadeira, 1 martelo, 1 folha grande de papel.


Com a furadeira faça 2 furos no bloco de madeira, na vertical, sendo umbem no seu centro e o outro um pouco mais ao lado. Esses furos devem ser dediâmetro tal que possam ser neles colocados as canetas, de maneira que elasfiquem bem presas, e com as pontas saindo pela parte inferior. Um esquemada disposição das canetas no bloco está na Fig.(1.111).

Figura 1.111: Canetas dispostas no bloco.

Coloque o conjunto sobre uma grande folha de papel e com o martelo (ouum objeto que permita realizar a mesma função) dê uma pancada numa dasfaces do bloco. Você notará as trajetórias riscadas pelas canetas no papel.

Repetindo diversas vezes o experimento, variando o local da martelada,você encontrará diferentes trajetórias seguidas pelas canetas. No entanto, acaneta que está no centro sempre segue uma trajetória retilínea e a caneta queestá mais ao lado descreve um movimento ao redor da reta. Se o corpo nãogirar (sofrer translação pura), pode-se obter também duas retas.

212


A explicação é a mesma do Exp.(1.98).

213

1.100 Forças Internas e Centro de Massa

Objetivo

Demonstrar a estabilidade do centro de massa de um sistema sob a açãode forças internas.


2 skates (de preferência de massas iguais), 1 corda, 2 pessoas voluntárias(de massas diferentes), 1 trena, 1 giz.


Coloque os 2 skates numa superfície plana e distantes alguns metros, umde frente para o outro. Faça com que os 2 voluntários posicionem-se sobre osskates, preferencialmente sentadas, cada qual segurando uma ponta da corda.

Conhecendo as massas das pessoas 1 e 2 e com o auxílio da trena, encon-tre o centro de massa do sistema e marque com o giz esse ponto no chão. Umesquema deste experimento está representado na Fig.(1.112).

Figura 1.112: Pessoas sobre skates ligadas por uma corda.

A seguir peça para um dos voluntários puxar lentamente a corda, o quefaz com que eles se aproximem um do outro. Verifique o ponto onde os skatesse encontram.

214


Baseando-se nas medidas representadas na Fig.(1.112), tem-se que o cen-tro de massa (CM) sobre o eixo x do sistema (xc), formado pelas duas pessoassobre os skates é dado por:

xc = m1x1 +m2x2m1 +m2

O CM de um sistema de partículas representa a posição média dessaspartículas. Seria um ponto onde pode-se supor que esteja concentrada toda amassa do sistema.

A pessoa de menor massa está mais afastada do CM do que a pessoa demaior massa. Ao puxar a corda, como não há forças externas na direção domovimento, o CM não será deslocado, enquanto os skates se aproximam.

215

1.101 Equilíbrio de um Martelo

Objetivo

Estudar o equilíbrio de um martelo.


1 martelo.


Equilibre verticalmente o martelo com o dedo, inicialmente apoiando-opelo cabo (Fig.1.113-a). Parece ser relativamente fácil. Agora vire o marteloe tente equilibrá-lo pela base metálica (Fig.1.113-b). Neste último caso adificuldade parece maior.

Figura 1.113: Equilíbrio do martelo: a- Pelo cabo; b- Pela base.

Mas isso parece contrarir as relações de equilíbrio de um corpo com aposição do seu centro de massa (CM). No caso do martelo, o seu CM ficapróximo da sua base metálica, como representado na Fig.(1.114). Portanto,estando mais baixo, no caso (1.113-b), o martelo deveria estar numa posiçãode equilíbrio mais estável do que no caso (1.113-a). Mas os que ocorre éjustamente o oposto.


Conforme o centro de massa se eleva, aumenta também o torque (~τ ) cau-sado pelo peso do martelo, que tende a girá-lo, dificultando a retomada do

216

Figura 1.114: Centro de massa de um martelo.

controle pelo equilibrista. Sendo que uma elevação no centro de massa fazcom que o momento de inércia39 aumente mais rapidamente que o torque, omovimento de rotação que tende a levar ao tombamento é lento, e o equili-brista tem mais tempo para retomar o equilíbrio.

Fenômeno semelhante ocorre ao tentar equilibrar verticalmente duas has-tes de comprimentos diferentes. A haste mais comprida é mais fácil de serequilibrada que a haste mais curta.

39O momento de inércia nos movimentos de rotação é semelhante à massa nos movimentosde translação.

217

1.102 Centro de Gravidade de Figuras Planas

Objetivo

Encontrar o centro de gravidade de figuras planas.


1 lápis (ou caneta), 1 tesoura, 1 compasso, 1 régua, papel cartão, linha.


Faça algumas figuras planas num papel cartão (ou qualquer outro tipo depapel rígido), tais como um círculo, um retângulo e um paralelogramo.

Tente equilibrar cada um deles na horizontal, apoiando-os sobre um su-porte vertical, como na ponta de um lápis fixo na mesa. Observe que a figurafica em equilíbrio somente quando é apoiada pelo seu centro (Fig.1.115).

Figura 1.115: Equilíbrio de figuras planas.

Construa agora uma arruela. Perceba que você não consegue equilibrá-lana horizontal, da forma como fez com as outras figuras. Mas prenda 2 peda-ços de linha, de modo que elas se cruzem no seu centro, como na Fig.(1.116).Agora sim você conseguirá equilibrá-la.


A figura plana fica em equilíbrio somente quando é apoiada pelo seu cen-tro de gravidade (CG). Nessas figuras regulares o CG fica exatamente locali-

218

Figura 1.116: Equilíbrio de uma arruela.

zado no centro geométrico dos corpos.No caso da arruela, o seu CG fica no centro do círculo central. Por isso

que conseguimos equilibrá-la quando apoiamos o lápis pelas linhas que aí secruzam. Nem sempre o CG tem que estar localizado numa porção materialdo objeto. Muitas vezes o CG fica fora do corpo do objeto.

219

1.103 Equilíbrio de uma Pessoa

Objetivo

Verificar as condições de equilíbrio de uma pessoa.


1 pessoa voluntária (ou você mesmo).


Alguns experimentos interessantes podem ser feitos relacionados ao equi-líbrio de uma pessoa.

Solicite à uma pessoa para tocar os pés com as mãos, sem dobrar o joelho.Não é necessário que ele toque os pés (se não conseguir), bastando aproximaras mãos. Ele conseguirá facilmente.

Sugira agora que ele repita o mesmo procedimento, só que estando decostas para uma parede, com os calcanhares nela encostados. Veja que elenão consegue, pois acaba se desequilibrando, tendendo a cair para frente.

Peça para a mesma pessoa (ou outra qualquer) ficar equilibrada sobre umdos pés, afastando lateralmente a outra perna. Após isso sugira que ela façao mesmo procedimento encostada de lado numa parede, com o pé e o ombrojunto dela. No primeiro momento ela consegue facilmente, mas quando estáencostada na parede, isso parece impossível.


Uma pessoa pode variar a posição do seu centro de gravidade (CG) mo-vimentando os braços e as pernas, bem como deslocando todo o seu corpo.Quando ela está em pé, com os braços abaixados lateralmente, o seu CG estáaproximadamente no meio do seu peito. Ela consegue ficar equilibrada en-quanto a projeção vertical do CG estiver dentro da região limitada pelos seuspés. Quando os pés estão afastados (a pessoa abre as pernas), essa regiãoaumenta, fazendo com que a estabilidade de equilíbrio seja ampliada.

220

No experimento em que a pessoa toca os pés com as mãos, a sua cabeçae parte do tronco e membros superiores deslocam-se para frente. Para que aprojeção do CG fique na área ocupada pelos pés, a bunda deve pender paratrás. Quando a pessoa encosta na parede, esta impede que a bunda se afastepara trás, o que faz com que a pessoa perca o equilíbrio e não consiga alcançaro objetivo proposto.

A explicação para o outro experimento é semelhante. A pessoa só con-segue ficar equilibrada sobre um pé com a outra perna afastada lateralmentese inclinar o corpo para o lado oposto, de modo que a projeção do CG fiquesobre o pé que sustenta o peso. Estando encostado na parede, há uma barreiraque impede o deslocamento do corpo para o lado oposto ao afastamento daperna, o que faz com que a projeção vertical do CG saia fora da região do péde apoio, desequilibrando a pessoa.

221

1.104 O João Teimoso

Objetivo

Analisar o comportamento do João teimoso.


2 esferas de isopor (tamanhos diferentes), pedaços de chumbo (ou qual-quer outro material denso), cola, 1 canetão.


O João teimoso ou João bobo é um brinquedinho que sempre fica namesma posição. Vamos construí-lo e verificar o seu comportamento.

Corte a esfera maior pela metade. Introduza no interior de uma das cascas1 ou mais pedaços de chumbo, retirando uma parte do isopor, se necessário,como mostra a Fig.(1.117). Os pedaços de chumbo devem ficar bem firmesno isopor.

Figura 1.117: Construção do João teimoso.

Cole novamente as duas partes da esfera. Com um canetão desenhe umaface (a cara do João teimoso) na esfera de isopor menor, e cole-a sobre a es-fera maior, de modo que os chumbos fiquem na parte inferior. Você construiuo João Teimoso (Fig.1.118).

Movimente o João teimoso de diversas formas, para todos os lados, eperceba que ele sempre acaba voltando para a mesma posição na vertical(Fig.1.118).

222

Figura 1.118: Comportamento do João teimoso.


Na esfera de isopor, o centro de gravidade (CG) fica bem no seu centro.Ao fixar chumbo no fundo de uma das cascas, o CG do conjunto passa a selocalizar entre o chumbo e o centro da esfera.

Mesmo estando as 2 esferas coladas, o centro de gravidade do conjuntofica localizado na metade inferior da esfera maior. Dessa forma, a posição deequilíbrio estável para o João teimoso é com o chumbo na parte inferior, renteao solo pois, nessa situação, o seu CG atinge a posição mais baixa possível.

Quando o João teimoso gira para um lado ou para outro, o seu centrode gravidade acaba se elevando, ficando num estado instável, e ele acabavoltando a posição anterior.

223

1.105 Centro de Equilíbrio

Objetivo

Verificar a ocorrência de equilíbrio num sistema.


2 garfos (iguais), 2 palitos de dente (ou 2 pregos), 1 rolha de garrafa, 1garrafa.


Espete os 2 garfos nas laterais da rolha (1 em cada lado) e o palito aolongo do seu comprimento. Ajuste os garfos de modo que você possa equili-brar o conjunto segurando-o pela ponta do palito com o dedo ou colocando-osobre a boca da garrafa, como mostra a Fig.(1.119).

Figura 1.119: Equilibrio do conjunto.

Para aprimorar este experimento ajuste o outro palito na boca da garrafa,de maneira que ele não caia e apoie nele o conjunto inicial formado pelopalito, a rolha e os 2 garfos.

224


O equilíbrio ocorre quando o centro de gravidade (CG) do sistema estáabaixo do centro de apoio ou ponto de sustentação, que neste caso é o palito.

Inicialmente o CG situa-se na rolha. Ao espetar os garfos e o palito narolha, bem como apoiar o conjunto sobre o gargalo da garrafa pelo palito,o CG do sistema fica abaixo do ponto de apoio. Para esta situação, quantomais baixo estiver o centro de gravidade em relação ao ponto de apoio, maisestável é o equilíbrio.

225

1.106 Pássaro Equilibrista

Objetivo

Utilizar o conceito de equilíbrio estável para fazer um pássaro de papelficar de pé.


1 pedaço de cartolina, 1 pedaço de arame, 1 tesoura, 1 alicate, 1 lápis, fitaadesiva, 1 palito de dente.


Desenhe um pássaro na cartolina e recorte-o com a tesoura. Com a fitaprenda o palito no corpo do pássaro, e este no arame. Utilize o arame emforma de arco, com massa maior que a do pássaro de papel. Dependendo daconfiguração do arco, o pássaro terá diferentes inclinações. Um esquema dopássaro equilibrista está na Fig.(1.120).

Figura 1.120: Pássaro equilibrista.

Equilibre o conjunto colocando um dedo nas patas do pássaro.

226


O equilíbrio do pássaro só é possível devido ao arco de arame preso a ele.Tendo o arame massa maior que a do pássaro de papel, o centro de gravidadedo sistema é deslocado para baixo do ponto de apoio, permitindo o equilíbrio.

Em algumas apresentações de circo, uma bicicleta sem pneus, de modoque o aro fique em contato com o cabo de aço40, faz um passeio na cordabamba. Para evitar que a pessoa caia, uma carga de cerca de 150kg é presa àbicicleta, abaixo do cabo de aço. Isso faz com que abaixe o centro de massado sistema e o equilíbrio seja estável.

40O aro faz com que a bicicleta não escorregue lateralmente.

227

1.107 Centro de Gravidade de uma Vassoura

Objetivo

Determinar o centro de gravidade de uma vassoura.


1 vassoura.


Com os 2 dedos indicadores de suas mãos, equilibre a vassoura, comomostra a Fig.(1.121). Vá aproximando lentamente um dedo do outro, mo-vendo um de cada vez.

Figura 1.121: Equilíbrio da vassoura.

Note que a vassoura não desliza igualmente nos 2 dedos. As vezes eladesliza sobre um, enquanto o outro permanece em repouso. E isso dependede qual dos dedos você esteja forçando.

Repetindo algumas vezes o mesmo procedimento você notará que o pontoonde os dedos se encontram sob o cabo da vassoura é sempre o mesmo. Esseponto é o centro de gravidade da vassoura. Colocando um dedo nesse pontopara sustentar a vassoura você notará que ela fica em equilíbrio.


Um fato interessante do experimento é que, quaisquer que sejam as po-sições iniciais dos dedos e qualquer que seja o que é forçado a se mover,

228

parece ser a vassoura quem decide por qual dos dois dedos deslizar, de modoa manter o equilíbrio.

As forças que agem na vassoura está representado na Fig.(1.122).

Figura 1.122: Forças atuantes sobre a vassoura.

Aplicando a lei de Newton para as forças e para os torques de um corpoem equilíbrio: ∑

F = 0∑

τ = 0

tem-se que:F1 + F2 − P = 0

F1x1 − F2x2 = 0

Percebe-se que a soma das forças aplicadas para sustentar a vassoura nahorizontal é constante pois, depende apenas do seu peso (P ). No entanto, aintensidade de cada uma das forças depende da distância do local de aplicaçãoao centro de gravidade (CG) da vassoura. Se x1 > x2, F1 < F2 e, se x1 < x2,F1 > F2.

A força de atrito máximo (fat) é definida matematicamente como:

fat = µN

onde µ é o coeficiente de atrito e N a força normal. No caso deste expe-rimento, onde os movimentos se dão na horizontal, N = F . Dessa forma,as forças de atrito entre os dedos e a vassoura, provocado pelo deslizamentoentre eles é:

f1(at) = µF1

f2(at) = µF2

229

Então, se inicialmente x1 > x2, tem-se que F1 < F2 e, portanto, f1(at) <

f2(at). Isso faz com que a vassoura deslize sobre o dedo que a sustenta em x1.No entanto, se x1 < x2, tem-se que F1 > F2, o que implica f1(at) > f2(at),fazendo com que a vassoura deslize sobre o dedo que aplica a força em x2.

Por isso, pode-se dizer que são as forças de atrito envolvidas no processoque selecionam o dedo por sobre o qual a vassoura vai deslizar.

230

1.108 O Problema dos Blocos Empilhados

Objetivos

Estudar o conceito de centro de massa de um sistema de partículas (ob-jetos) e resolver o problema dos blocos empilhados de modo a formarem umarco.


Diversos livros iguais, 1 trena.


Empilhe diversos livros (pode-se utilizar também tijolos, azulejos, ou ou-tros objetos semelhantes) de modo a formar um arco, como mostra a Fig.(1.123).

Figura 1.123: Empilhamento de blocos.

O último livro deve ser deslocado o máximo possível em relação ao li-vro mais inferior (maior valor de x), mas sem tombar a pilha. É importantelembrar que não deve-se usar nada que provoque aderência entre eles.

Qual será o valor máximo de x, para uma pilha com n livros, de modoque o sistema permaneça em equilíbrio?


A pilha não cai se o centro de massa (CM) do conjunto de livros que estãosituados por cima de um dado livro ficar sobre uma reta vertical que passe porele.

231

No caso de 2 blocos, o bloco superior (1) não deve apresentar desloca-mento do centro de massa (x), em relação ao bloco 2, tal que x > L, ondeL é o comprimento do bloco (Fig.1.124-a). Como o CM fica na metade dobloco, o deslocamento ∆x1 do bloco 1 em relação ao bloco no qual se apóia(2) deve ser:

∆x1 ≤L

2No caso de 2 blocos da Fig.(1.124-a), o bloco 1 pode se deslocar até L/2 emrelação à 2.

Figura 1.124: Blocos Empilhados: a- 2 blocos; b- 3 blocos; c- 4 blocos.

Vamos ver agora um caso de 3 blocos, como representado na Fig.(1.124-b). A linha vertical que passa pelo CM dos blocos 1 e 2 deve ficar sobre obloco 3. Um conjunto com 4 blocos está representado na Fig.(1.124-c).

De maneira geral, tem-se que o valor máximo de x é dado por:

x = 12 + 1

4 + 16 + ... = 1

2

(1 + 1

2 + 13 + ...

)= 1

2∑ 1

n

232

1.109 Amplitude de Oscilação e Centro de Massa

Objetivo

Construir um experimento que demonstre o aumento da amplitude de os-cilação de um balanço sem a ação de forças externas.


1 mola, 1 eletroímã, 1 pedaço de ferro, 1 suporte de sustentação, 1 fontede energia elétrica (bateria de 9V , por exemplo, por exemplo), fios para cir-cuito elétrico, 1 prego, 1 placa de madeira (ou outro material isolante).


Prenda 2 pedaços de fio à placa de madeira e ao suporte, de modo aformar um balanço. Sobre o balanço prenda o eletroímã. O eletroímã podeser feito com um cilindro metálico, ao redor do qual enrola-se fio esmaltado.No interior do eletroímã coloque um bastão de ferro, envolto por uma molapresa na base, de modo que esse bastão possa se mover ao longo do eixocentral do eletroímã.

Fixe uma das extremidades da mola na placa que forma a base. Para obastão sofrer e ação da mola coloque na sua extremidade superior um pregoatravessado fazendo um furo no núcleo de ferro (ou fazer alguma coisa seme-lhante para não deixar a mola subir, o que acabaria fazendo com que não fosseexercida qualquer força no bastão). Um esquema da constituição e montagemdo balanço está na Fig.(1.125).

Conecte os terminais do eletroímã nos próprios fios que formam o ba-lanço, e estes na fonte de energia. Coloque em série com esse circuito uminterruptor, que vai servir para ligar e desligar o eletroímã. Quando o circuitoé fechado o eletroímã puxa o bastão de ferro para o seu interior. É importanteque o eletroímã usado consiga vencer a força de reação da mola.

O experimento, propriamente dito, começa com o balanço posto a oscilarcom uma pequena amplitude. Quando o balanço estiver no ponto mais alto dopercurso, feche o interruptor, de modo que o eletroímã atraia o núcleo (bas-tão) de ferro para dentro do enrolamento. Ao passar pelo ponto mais baixo

233

Figura 1.125: Estrutura do Balanço.

da trajetória, abra o interruptor, de modo que o bastão de ferro seja empur-rado total ou parcialmente para fora do eletroímã. Prossiga realizando essasequência de procedimentos e note que a amplitude de oscilação do balançovai aumentando.

Dessa forma, aqui estamos reproduzindo um procedimento semelhanteque uma pessoa, a se balançar num balanço, faz-se com o seu corpo paraganhar amplitude de oscilação, sem encostar no chão ou se apoiar em algumobjeto externo.


Suponhamos um pêndulo simples (esfera presa num pedaço de fio), oqual é possível variar o seu comprimento. Pode-se fazer o pêndulo aumen-tar a sua amplitude de oscilação variando o seu comprimento em momentosadequados.

Quando a esfera presa ao fio passar ao ponto mais baixo da trajetória(ponto 2), deve-se encurtar o comprimento do fio. Quando a esfera atingir oseu ponto mais alto (pontos 1 e 3), o comprimento do fio deve ser aumentado,como mostra a Fig.(1.126). A cada oscilação a amplitude aumenta um pouco.Repetindo o mesmo procedimento de amplificação durante várias oscilações,

234

obtêm-se no final uma grande amplitude de oscilação.

Figura 1.126: Variação do comprimento do pêndulo.

No experimento realizado a amplitude de oscilação se faz, não através docontrole do comprimento do pêndulo, mas da elevação ou abaixamento doseu centro de massa. No caso da pessoa no balanço, ela eleva o seu centrode massa encolhendo as pernas ao passar pelos pontos mais altos. Ao passarpelo ponto mais baixo ela solta as pernas, o que faz com que o centro degravidade se abaixe.

A alteração do centro de massa no experimento aqui desenvolvido é feitacontrolando a posição do núcleo de ferro em relação ao eletroímã. Com oeletroímã ligado e a haste de ferro no seu interior, o centro de massa está maisbaixo do que com o eletroímã desligado, quando a haste de ferro encontra-sedeslocada externamente.

235

1.110 A água que não Cai 1

Objetivo(s)

Verificar que a água não sai de um copo, quando este é posto com a bocapara baixo.


1 copo de vidro, 1 pedaço de papel (papel rígido), água.


Encha o copo com água até a borda e coloque sobre ele um pedaço depapel, de modo que o papel grude nas bordas do copo. Cuide para que entre opapel e a água não fique nenhuma bolha de ar. Firme o papel com a palma damão e vire o copo de boca para baixo com a mão segurando o papel. Retirevagarosamente a mão de baixo do papel e observe que a água contida no coponão cai.

No lugar do papel você também pode usar uma carta de baralho, a tampade um pote de margarina, ou algo semelhante. O esquema do procedimentoestá representado na Fig.(1.127)

Figura 1.127: Água que não cai do copo.

Se ao invés do copo for utilizado uma garrafa, pode-se usar um pedacinhode plástico e até mesmo um pedaço de papel higiênico.

236


O interessante deste experimento é que o papel não cai quando o copo évirado, e o mesmo acaba segurando a água dentro dele (Fig.1.128). Isso écausado devido à atuação da pressão atmosférica em todas as direções, a qualfaz com que o líquido não caia.

Figura 1.128: Papel segurando a água no copo.

Como não existe ar aprisionado, a pressão sobre o papel na parte internado copo é a pressão da coluna de água dentro dele. A pressão que atua naparte externa do papel é a pressão atmosférica, maior que a pressão da águadentro do copo. Dessa forma, estabelece-se uma diferença de pressão quegera forças distribuídas sobre a área do papel e que atuam de fora para dentrodo copo. Estas forças empurram o papel para dentro do copo e impedem asua queda e a saída da água.

O papel funciona como uma espécie de película de apoio para a atuaçãoda pressão atmosférica. Sendo larga a boca do copo, sem a folha de papelocorreria a rápida penetração do ar no interior, ocasionando o escoamento daágua.

237

1.111 Água que Não Cai 2

Objetivo

Verificar a ação da pressão atmosférica.


1 garrafa de vidro, 1 prato, água, 1 pipeta (ou canudinho grosso).


Encha a garrafa com água e emboque-a no prato. Inicialmente encostea boca da garrafa diretamente no fundo do prato e depois eleve-a um pouco.Observe que a água cai um pouco, ficando o nível da água no prato pratica-mente na mesma altura da boca da garrafa. Veja a Fig.(1.129).

Figura 1.129: Garrafa com água embocada no prato.

Uma variante dessa experiência pode ser realizada com uma pipeta ouum canudinho grosso. Coloque a pipeta verticalmente dentro do recipientecom água. Tampe a outra extremidade com o dedo e retire-a do recipiente.Perceba que a água não desce da pipeta.

Mas, por que a água não cai, tanto na experiência com a garrafa como noexperimento com a pipeta?

238

Figura 1.130: Água não cai da pipeta.


A água não cai devido a atuação da pressão atmosférica (pat). No casoda garrafa a pat está exercida na superfície da água do prato, e esta acaba sus-tentando a água dentro da garrafa. Na pipeta a pat está exercida diretamentena água dentro da pipeta, e está orientada de baixo para cima.

Nos dois casos, há um equilíbrio entre a pressão atmosférica (pat), a pres-são da água (págua) e a pressão do ar (par) aprisionado dentro da garrafa ouda pipeta, de modo que:

pat = págua + par

Para que este experimento dê certo é importante que a garrafa ou pipetausada não possuam a extremidade inferior muito larga. Caso possuam, podeocorrer a entrada de bolhas de ar, fazendo com que a água escoe mesmo coma parte superior fechada.

239

1.112 Segurando Água com uma Peneira

Objetivo

Segurar água em um copo com uma peneira.


1 copo, 1 peneira fina de plástico (semelhante aquelas usadas em janelaspara proteção contra insetos), fita adesiva, água.


Encha o copo de água e prenda a peneira com fita adesiva, de modo adeixá-la bem firme. Vire o recipiente com a peneira para baixo e perceba quea água não cai (Fig.1.131).

Figura 1.131: Segurando a água com uma peneira.


A explicação do porque a água não sai do copo foi dada no Exp.(1.111).Devido à tensão superficial da água, a peneira de malha fina comporta-se damesma maneira que a folha de papel.

240

1.113 Capilaridade 1

Objetivo

Verificar o fenômeno da capilaridade.


2 copos (pequenos), 2 tubos capilares de vidro41 (com cerca de 1mm dediâmetro), água, detergente.


Coloque água nos 2 copos. Num deles pingue algumas gotas de deter-gente. Em seguida coloque as extremidades dos tubos capilares em cada umdos copos e observe que a água sobe por eles até uma certa altura.

Figura 1.132: Tubos capilares em copos com: a- Água; b- Água e detergente.

Verifique que, mesmo após retirar os tubos de dentro dos copos, a águafica presa dentre deles. A altura da água pura é bem maior que a água com

41Os tubos capilares são usados, por exemplo, em laboratórios de análises clínicas paraexames de sangue.

241

detergente.Uma forma bem mais simples de representar o fenômeno da capilaridade

é encostar a ponta de um guardanapo na superfície de um líquido. Percebacomo o líquido sobe pelo guardanapo.


O fenômeno da capilaridade é resultado da diferença entre a intensidadedas forças de coesão de um líquido42 e a intensidade das forças de adesão43

desse líquido com as paredes do recipiente.No caso da água pura, a intensidade das forças de adesão com as paredes

do capilar é muito maior que a intensidade das forças de coesão. O efeito émais intenso quando as paredes do recipiente então bastante próximas entresí.

Algumas substâncias, como os detergentes, quando dissolvidos na águaprovocam a redução das forças de adesão do líquido. Isso ficou evidente noexperimento, onde a água com detergente subiu uma altura menor no tubocapilar.

42Essas forças tendem a deixar o líquido unido, agrupado.43As forças de adesão são uma espécie de atração molecular que se manifesta entre os

corpos em contato.

242


Objetivo

Demonstrar o fenômeno da capilaridade.


2 lâminas de microscópio (ou 2 lâminas de vidro finas), 1 recipiente rasocom água.


Una as 2 lâminas de vidro por uma de suas arestas, formando um pequenoângulo. Coloque o conjunto num recipiente com água. Observe que a águavai subindo pelo vértice desse ângulo, como mostra a Fig.(1.133).

Figura 1.133: União das lâminas de vidro.


A explicação do fenômeno da capilaridade foi dada no Exp.(1.113). Aágua sobe onde a distância entre as placas é menor e essa altura vai dimi-

243

nuindo conforme o afastamento das lâminas, formando uma curva como a daFig.(1.133).

A rapidez com que ocorre a capilaridade depende do líquido envolvido.Em líquidos como a água e o álcool, a velocidade é alta. Já o óleo, porexemplo, além de subir pouco ele sobe lentamente. Isso deve-se a uma outrapropriedade denominada viscosidade, que é uma espécie de resistência queos líquidos oferecem ao escoamento.

244


Objetivo

Demonstrar o fenômeno da capilaridade.


1 pedaço de papel higiênio, 1 copo com água.


Introduza a ponta do pedaço de papel na água. Observe que a água sobepelo papel.


A subida da água deve-se ao fenômeno da capilaridade, cuja explicaçãoencontra-se no Exp.(1.113).

245

1.116 Tensão Superficial

Objetivo

Mostrar a existência da tensão superficial em líquidos.


1 clipe metálico (ou uma lâmina de barbear), 2 copos, água, 1 seringadescartável com agulha.


Coloque água num copo, e em seguida introduza o clipe na água, de formaque ele plane na sua superfície, como mostra a Fig.(1.134-a). Observe que,apesar de ser bem mais denso que a água, o clipe não afunda.

Figura 1.134: Tensão superficial: a- Clipe plana na água; b- Água não transborda.

Uma outra forma de mostrar o efeito da tensão superficial é enchendocompletamente o copo de água, fazendo-o transbordar. A seguir continueadicionando vagarosamente água com o auxílio da seringa com agulha. Per-

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ceba que a água não mais transborda (até um certo limite), e sua superfícievai ficando curvada (Fig.1.134-b).


Os líquidos apresentam volume definido e, apesar de não terem formatopróprio, tendem a minimizar a sua área superficial. Como exemplo, temosas gotas de água que adotam geometria esferoidal, pois estas exibem menorrelação área/volume.

Uma molécula no interior do líquido experimenta forças atrativas oriun-das de todas as direções, devindo à presença de suas moléculas vizinhas. Issofaz com que sua energia potencial torne-se mínima. No entanto, uma molé-cula situada na superfície fica submetida a uma força de atração não equili-brada, dirigida para o interior do mesmo, já que elas são mais atraídas parabaixo e para os lados. Dessa forma, com uma energia potencial maior e tendoo intuito de minimizar essa energia, as moléculas da superfície se arranjamde modo a ter o número máximo de moléculas vizinhas. Isso provoca umaconcentração de moléculas na superfície, o que cria uma espécie de películacapaz de resistir à penetração de corpos, evitando também o escoamento dolíquido. Essa é a tensão superficial.

A tensão superficial é um fenômeno que ocorre nos líquidos, que é de-corrente da força de coesão entre suas moléculas. É devido à existência datensão superficial que, por exemplo, alguns insetos conseguem caminhar nasuperfície da água.

A superfície de um líquido é aparentemente plana em recipientes de grandediâmetro. No entanto, quando o diâmetro é pequeno, a superfície se apresentacurva. Se as forças de adesão forem maiores que as de coesão, o líquido for-mará uma superfície côncava. Já, se as forças de adesão forem menores queas de coesão, formará uma superfície convexa.

247

1.117 Detergente e Tensão Superficial

Objetivo

Mostrar a influência de um detergente na tensão superficial de um líquido.


1 clipe metálico, 2 copos, água, 1 seringa descartável com agulha, deter-gente.


Este experimento é uma continuação do Exp.(1.116). Encha a seringacom detergente e pingue algumas gotas sobre a água dos 2 copos, como mos-tra a Fig.(1.135). Observe, então, que o clipe afunda num dos copos e umpouco de água acaba derramando no outro copo.

Figura 1.135: Introdução de detergente nos copos.


O detergente age rapidamente sobre a água, reduzindo sua tensão super-ficial. Por isso que o clipe afunda e a água escoa do copo.

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Para limpar uma superfície, a água deve atingir as impurezas que estãopresas a ela, dissolvendo-as ou arrancando-as. No entanto, a tensão super-ficial da água impede parcialmente sua ação, não conseguindo remover resí-duos pequenos, por exemplo. É aqui que entra o detergente como um eficienteagente de limpeza, reduzindo a tensão superficial da água, tornando-a mais"fina".

A água limpa, à temperatura ambiente, por exemplo, possui γ = 0, 073N/m.A adição de sabão à ela reduz essa tensão para γ = 0, 025N/m.

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1.118 Redução da Tensão Superficial

Objetivo

Verificar a diminuição da tensão superficial causada por um detergente.


1 recipiente com água, 2 palitos de fósforo, detergente, 1 cotonete.


Coloque os 2 palitos no recipiente com água, de modo que eles fiquembem próximos e paralelos um ao outro sobre a superfície. Molhe uma daspontas do cotonete no detergente e coloque-a entre os 2 palitos (região B).Observe que eles se afastam rapidamente um do outro (Fig.1.136).

Figura 1.136: Tensão superficial entre palitos.


Quando se adiciona o detergente na superfície da água entre os 2 palitos,ocorre uma diminuição súbita da tensão superficial nessa região. Isso fazcom que os palitos sejam puxados para as regiões A e C, pois nelas a tensãosuperficial é maior do que em B.

250

1.119 Forças de Coesão em um Líquido

Objetivo

Verificar a existência de forças de coesão em líquidos.


1 recipiente (pequeno e transparente), óleo de cozinha, álcool, água.


Coloque cerca de 1 colher de óleo de cozinha no fundo de um recipientetransparente, de modo que ele fique o mais reunido possível. Em seguidaderrame um pouco de álcool até a altura de 1cm à 2cm, aproximadamente.Como o óleo é mais denso que o álcool, ele se mantém no fundo.

Depois disso comece a derramar lentamente água no álcool e observeo que acontece. As partículas do óleo começam a se agregar, elevando-senuma espécie de lombada, desprendendo-se e formando uma gota esférica,que tende a ficar flutuando no interior da mistura.


Quando o óleo começa a se desprender do fundo do recipiente, observa-seuma disputa entre as forças de adesão, que tendem a manter o óleo no fundodo recipiente, as forças de coesão, que tendem a agregar as partículas do óleo,e a mistura de água e álcool sobre a porção de óleo.

À medida que a quantidade e água aumenta na mistura, esta fica maisdensa. Como a densidade da água é maior que a do álcool e a do óleo, o óleoacaba subindo.

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1.120 Entrelaçando 2 Filetes de Água

Objetivo

Entrelaçar dois filetes (dar um nó) de água.


1 garrafa PET, água, 1 prego, fita adesiva.


Com o prego, faça 2 orifícios pouco distantes um do outro (1 a 2cm) naparte lateral inferior da garrafa PET. Feche inicialmente esses orifícios comum pedaço de fita adesiva. Encha a garrafa com água e tire a fita. Veja comosaem os 2 filetes de água em paralelo (Fig.1.137-a). Com a mão, torça essesfiletes de modo que eles se enlacem. Perceba que eles continuam enlaçados(Fig.1.137-b).

Figura 1.137: Filetes de água: a- Paralelos; b- Entrelaçados.

252


O entrelaçamento da água ocorre devido à sua coesão. Depois de entrela-çados os 2 filetes de água tendem a permanecer coesos devido à atração entreas suas moléculas.

Na superfície da água as moléculas se ligam às moléculas vizinhas emtodas as direções. Isso se deve à tensão superficial. Quanto maior a superfícieda água em contato com o ar, maior a energia associada à tensão superficialda água. Uma área de contato menor implica uma menor energia superficialassociada à tensão superficial. Ao juntar os dois filetes de água, produz-se umúnico filete com uma área superficial menor que a soma das áreas dos doisfiletes considerados separadamente, de modo que aumenta a força de coesão.

Por exemplo, quando os seus cabelos estão molhados, eles ficam enro-lados de modo a minimizar a área superficial da água entre eles. Com issoocorre uma minimização da energia superficial da água presente nos cabelos.

253

1.121 Efeito Coanda 1

Objetivo

Demonstrar o efeito Coanda.


1 colher, 1 torneira de água.


Segure levemente a colher com a parte redonda para cima na corrente deágua de uma torneira, como na Fig.(1.138). Perceba que a colher tende a ficarcolada à corrente. Mesmo afastando a mão e deixando a colher num ângulode inclinação considerável, ela continua presa à água.

Figura 1.138: Efeito Coanda.


O efeito Coanda é a tendência de um filete de fluído permanecer unido àuma superfície curva. A camada de água em contato com a colher forma umpequeno redemoinho onde a pressão é reduzida. Como a pressão atmosférica

254

do outro lado da colher é maior do que a pressão do lado voltado para a água,a água é atraída para a corrente.

Esse efeito foi descoberto em 1910 pelo engenheiro aeronáutico romenoHenro Coanda. Ele notou que um fluído tende a seguir o contorno da superfí-cie sob a qual ele incide, se a curvatura da mesma ou o ângulo de incidênciado fluído com a superfície não for muito grande.

255

1.122 Efeito Coanda 2

Objetivo

Demonstrar o efeito Coanda.


1 balão cheio de ar, 1 pedaço de barbante, 1 torneira de água.


Amarre uma ponta do barbante ao pescoço do balão inflado. Segure aoutra ponta do barbante e posicione o balão abaixo da torneira. Abra a tor-neira de modo que a água atinja o balão lateralmente. Observe que o balão éatraído em direção à corrente de água.


Fluxos de água e ar, ao atingirem uma superfície, arrastam o ar à sua volta.À medida que os fluxos avançam sobre a superfície é gerado um vácuo parcialque força os fluxos a seguirem rente á superfície. A diferença de pressãoproduzida pelo fluxo de água faz com que o balão se desloque lateralmente,já que no outro lado atua a pressão atmosférica.

256

1.123 Variação da Pressão com a Profundidade

Objetivo

Verificar o aumento da pressão com o aumento da profundidade em umlíquido.


1 garrafa PET, 1 tesoura, 1 alfinete, água, 1 mesa.


Corte a parte superior da garrafa com a tesoura e, com o auxílio do alfinetefaça uns 3 ou 4 orifícios numa linha vertical da garrafa, igualmente espaçados.

Coloque a garrafa na beirada da mesa e enche-a de água. Observe a for-mação de esguichos de água, os quais alcançam diferentes distâncias, comomostrado na Fig.(1.139).

Figura 1.139: Esguichos de água oriúndos da garrafa.

257


De acordo com a lei de Stevin, quanto maior a profundidade da água,maior a pressão na sua base inferior. Isso significa que, quanto mais baixo oorifício, maior a velocidade com a qual a água é expelida, e maior pode ser oseu alcance.

No entanto, é importante alertar que deve haver um desnível entre o re-cipiente com água e o local onde os jatos de água atingem a superfície. Seos esguichos atingirem o mesmo nível em que está apoiado o recipiente, nemsempre o esguicho que sai do orifício mais baixo atinge a maior distância.O alcance do esguicho depende, além da velocidade inicial com que sai dorecipiente, da altura da queda.

Um detalhe importante para comparar a velocidade de saída desses jatosde água é observar as curvaturas das parábolas por eles descritas. Quantomaior a velocidade mais aberta é a parábola.

Se a garrafa jorrar água no mesmo nível que ela estiver apoiada, o jatodo orifício médio é aquele que alcança a maior distância horizontal.Esse re-sultado pode ser claramente justificado utilizando cálculos de lançamentoshorizontais.

Considere as dimensões representadas na Fig.(1.140).

Figura 1.140: Jato de água.

258

O alcance (x) do jato de água é dado por:

x = vxt (1.124)

onde vx é a velocidade horizontal de saída do jato e t o tempo de sua quedalivre, ou seja, o intervalo de tempo que ele demora para percorrer a distâncial − h. l é a altura do nível da água e h a distância do nível até o orifício desaída.

Em queda livre a distância vertical y que um objeto percorre num tempot é y = (1/2)gt2. Baseado na Fig.(1.140), tem-se que l − h = (1/2)gt2, ouseja, para sair do orifício e atingir o solo demora um tempo:

t =√

2(l − h)g

(1.125)

Vamos determinar agora a velocidade com que o líquido sai do orifício.Numa altura (h) acima do orifício uma quantidade de água possui energiapotencial gravitacional (Epg ) dada por:

Epg = mgh (1.126)

e energia cinética (Ec) nula, já que a velocidade (v) é zero (ponto referente àsuperfície da água). Ao sair no orifício a água possui Epg nula (pois h = 0)e energia cinética dada por:

Ec = 12mv

2x (1.127)

De acordo com a conservação da energia mecânica, a energia potencialgravitacional é totalmente convertida em energia cinética44: Epg = Ec. De(1.126) e (1.127), vem que:

mgh = 12mv

2x

donde encontra-se que a velocidade horizontal vx é:

vx =√

2gh (1.128)44Aqui não vamos considerar as perdas de energia.

259

Levando (1.128) e (1.125) em (1.124):

x =√

2gh√

2(l − h)g

donde vem que o alcance do jato de água é:

x = 2√h(l − h) (1.129)

De acordo com a Eq.(1.129) o alcance x é nulo para h = 0 e h = l,ou seja, respectivamente quando o orifício está no mesmo nível da água ouquando o orifício estiver rente a superfície inferior. Fazendo um gráfico de xem função de h (sendo l constante) obtêm-se uma curva, como a representadana Fig.(1.141). O valor máximo de x ocorre quando h = l/2. Por isso o jatode água que sai do orifício médio é o que alcança maior distância horizontal.

Figura 1.141: Gráfico de x× h.

260

1.124 Vasos Comunicantes e Lei de Stevin

Objetivo

Verificar o fenômeno dos vasos comunicantes e comentar sobre a Lei deStevin.


Recipientes de formatos diferentes (abertos), alguns dutos (para interligaros diversos recipientes), água.


Vasos comunicantes são formados por 2 ou mais recipientes interligadospor dutos. Com os materiais citados, monte um conjunto de acordo com aFig.(1.142).

Figura 1.142: Vasos comunicantes.

Despeje água nos recipientes e observe que a superfície livre da águaatinge sempre a mesma altura nos frascos abertos que se comunicam.


De acordo com o teorema de Stevin, todos os pontos da superfície deum líquido homogêneo, em repouso, se mantém no mesmo plano horizontal

261

porque estão submetidos à mesma pressão atmosférica, independentementeda forma como os recipientes se comunicam.

Considere um recipiente de formato regular, com altura h e área de baseA, cheio de líquido. A pressão (p) exercida pelo líquido no fundo do recipi-ente é dada por:

p = mg

A(1.130)

ondemg é o peso do líquido. O volume do recipiente é V = Ah e a densidadedo líquido ρ = m/V , de forma que pode-se representar a densidade (ρ)como:

ρ = m

Ah(1.131)

Isolando A em (1.131) e levando em (1.130), obtem-se:

p = ρgh (1.132)

A Eq.(1.132) mostra que a pressão exercida por um líquido sobre um corponão depende das características do corpo, mas das características do líquido,da aceleração da gravidade local e da profundidade.

Sendo que a pressão atmosférica (patm) atua sobre a superfície livre dolíquido em equilíbrio, a pressão total (p) exercida no interior do recipiente édada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de líquido dealtura (h) (Eq.1.132):

p = patm + ρgh

A diferença de pressão (∆p) entre dois pontos no interior do líquido édada por:

∆p = ρg∆h

onde ∆h é a diferença de profundidade entre esses dois pontos.Por isso, dois pontos situados num líquido homogêneo e em equilíbrio,

que se encontram num mesmo plano horizontal, estão submetidos à mesmapressão.

262

1.125 Canudinho de Refresco

Objetivo

Demonstrar o funcionamento de um canudinho de refresco.


1 canudinho (ou uma seringa descartável, sem agulha), 1 copo com água.


Introduza o canudinho no copo com água e sugue um pouco dela, apenaspara representar o fenômeno. Isso também pode ser feito utilizando a seringae enchendo-a de água através do movimento do êmbolo. Um esquema doexperimento está na Fig.(1.143).

Figura 1.143: Experimento do canudinho.

Mas como é que a água sobe pelo canudinho ou pelo tubo da seringa?


Um fluído (líquido ou gás) movimenta-se sob ação gravitacional ou di-ferença de pressão. No experimento realizado, para a água subir pelo ca-nudinho ou seringa, em sentido contrário à força de gravidade, é necessário

263

uma diferença de pressão de baixo para cima. Dessa forma, a boca (no casodo canudinho) ou o êmbolo (no caso da seringa) provocam a diminuição dapressão, tornando a pressão (p) no ponto A menor que a pressão no ponto B.

Essa diminuição da pressão é feita pela sucção do ar, tornando-o maisrarefeito. No ponto C, o qual corresponde à superfície do líquido, a pressãoexistente é a pressão atmosférica, pois ela está em contato direto com o arambiente. Sendo pC a pressão atmosférica (pressão na superfície C do lí-quido), tem-se que a pressão na parte inferior do canudinho ou seringa (pontoB) é dada por:

pB = pC + ρg∆hBC

onde ∆hBC é a distância entre os pontos B e C, ρ é a densidade do líquidoe g é a aceleração da gravidade local. No líquido a pressão no nível C étransmitida para o nível B. Como a pressão em A é menor que em B, olíquido acaba sendo empurrado para cima.

264

1.126 Pressão Atmosférica

Objetivo

Demonstrar a atuação da pressão atmosférica sobre duas placas de vidro(ou material semelhante) em contato.


2 placas de vidro (quadradas, bem planas e lisas, podendo ser tambémde plástico ou acrílico, com cerca de 20cm de lado), 2 cilindros de madeira(com 2cm ou 3cm de altura e diâmetro), cola instantânea.


Prenda com a cola instantânea o cilindro no centro de cada placa. Eles vãoservir para facilitar o manuseio das mesmas. Deslize as placas paralelamenteuma sobre a outra, de modo a expulsar o ar entre elas, juntando-as. Depois,puxe as placas em sentidos opostos, na direção perpendicular aos seus pla-nos, tentando separá-las (Fig.1.144). Perceba que você terá dificuldades paraconseguir isso.

Figura 1.144: Placas paralelas.

265


Quando uma das placas está isolada, no seus dois lados existe ar, o qualexerce a pressão atmosférica, deixando a placa em equilíbrio. A expulsão doar entre as placas gera um pequeno vácuo45, e isso produz uma diferença depressão.

Quanto tenta-se separar as placas, puxando-as na direção normal, nota-seas forças de pressão, de modo que é um pouco difícil conseguir isso. Essatarefa é realizada facilmente se for aplicada uma força tangencial, deslizandouma placa sobre a outra.

A pressão (p) exercida por uma força que age sobre uma superfície édiretamente proporcional à sua intensidade (F ) e inversamente proporcionalà área da superfície (A) de contato:

p = F

A

No sistema internacional, a intensidade de medida de pressão é o N/m2

que também é denominado Pascal (Pa). Numa relação com a unidade atmos-fera (atm), tem-se que 1atm = 1, 013.105Pa.

45O vácuo é uma região onde a densidade dos átomos e moléculas é menor que a densidadeatmosférica à pressão e temperatura ambientes. Quanto menor essa densidade, maior é ovácuo. O vácuo total corresponderia à pressão nula.

266

1.127 Pressão e Escoamento

Objetivo

Verificar a influência da pressão no escoamento de líquidos.


1 garrafa PET, 1 prego (pode ser qualquer outra coisa com uma pontafina), água.


Coloque água na garrafa, não tendo necessidade de enchê-la totalmente.Faça um furo com o prego na parte lateral inferior da mesma. Verifique quea água escoa um pouco e para. Quando abre-se a tampa da garrafa, a águapassa a escoar normalmente pelo orifício (Fig.1.145).

Figura 1.145: Escoamento de água na garrafa.


A água escoa um pouco e para porque a sua descida cria uma baixa pres-são na parte superior da garrafa. A água para de escorrer quando a pressão do

267

ar interno (pint) mais a pressão da coluna de água (págua) é igual à pressãoatmosférica (patm) exercida na parte externa do orifício:

pint + págua = patm

Quando se afrouxa ou se abre a tampa, a pressão interna aumenta, igualando-se à pressão atmosférica. Com isso, a pressão da coluna de água não é maisequilibrada e a água escoa pelo orifício inferior.

268

1.128 Funcionamento de um Sifão

Objetivo

Mostrar o funcionamento de um sifão.


1 garrafa PET, água, 1 recipiente, 1 mangueira de plástico transparente.


Coloque água na garrafa. Encha também a mangueira com água, fecheuma das extremidades com o dedo e coloque a outra ponta dentro da garrafa.Baixe a extremidade da mangueira tampada até um nível inferior ao nível daágua na garrafa, próximo ao recipiente, como representado na Fig.(1.146).

Figura 1.146: Sifão.

Tire o dedo e veja a água sair da garrafa, subir pelo sifão e jorrar norecipiente. Varie o desnível h entre a ponta do sifão e o nível de água nagarrafa para perceber a variação do fluxo da saída da água. Perceba que essefluxo aumenta conforme o aumento de h e diminui com a diminuição de h,

269

interrompendo-se quando a extremidade da mangueira fica acima do nível daágua dentro da garrafa.


O sifão funciona devido à existência de uma diferença de pressão na água(∆p), oriunda de um desnível entre a extremidade de saída da mangueira e onível da água no recipiente que a faz escoar. Essa diferença de pressão é dadapor:

∆p = ρgh

onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é o desnívelexistente.

O fato de os sifões funcionarem também no vácuo contradiz a idéia de queo líquido é empurrado para o outro lado do sifão pela pressão atmosférica. Aforça que puxa o líquido para o outro lado do sifão é a sua própria forçaintermolecular.

À medida que o líquido vai subindo num dos lados do sifão a sua pressãovai diminuindo. Se o sifão for bastante alto, esta pressão é reduzida a talponto que as bolhas de ar começam a formar-se no seu interior, limitando aaltura do sifão porque obriga ao rompimento das ligações intermolecularesdo líquido. No entanto, os sifões funcionam melhor sob a ação da pressãoatmosférica do que no vácuo.

270

1.129 Sifão Automático

Objetivo

Construir e explicar o funcionamento de um sifão automático.


1 tubo plástico flexível (mangueira), 2 tubos finos de vidro ou plástico detamanhos diferentes (sendo o mais longo com bico), 2 rolhas de borracha, 1tubo grosso de vidro (ou plástico rígido), 2 recipientes, água.


Passe o tubo maior pelo meio da rolha e encaixe esta na mangueira. Naoutra rolha coloque os 2 tubinhos, de modo que, quando encaixada no tubo,o mais longo penetre um pouco dentro da extremidade da mangueira. Noentanto, neste último caso deve haver um espaço para a entrada de ar. Amontagem do experimento está representado na Fig.(1.147).

Figura 1.147: Sifão automático.

Ao mergulhar esse sistema dentro do recipiente com água, ela começa

271

a subir pela mangueira e sair na outra extremidade. O sifão funciona demaneira automática.


Ao introduzir o tubo dentro da água, esta começa a entra no cilindro.Entrando no cilindro a água tenta expulsar o ar que aí existe. Enquanto issoa água que entra pelo tubinho com bico é empurrada para dentro do tubo damangueira pelo ar que quer sair. Por isso, ocorre a formação de bolhas nessafase inicial do processo.

Quando todo o ar tiver saído do cilindro, o jorro de água que passa pelosifão será contínuo.

272

1.130 Chafariz

Objetivo

Construir e explicar o funcionamento de um chafariz.


1 garrafa PET (transparente de 600ml), 1 funil, 1 tubo de vidro, 1 man-gueira, 1 rolha de borracha (ou plástico), cola de silicone.


Coloque cerca de 200ml de água na garrafa. Faça 2 furos na rolha deborracha para encaixar a mangueira e o tubo de vidro, de acordo com aFig.(1.148).

Figura 1.148: Construindo um chafariz.

Para garantir a vedação, se necessário, use a cola de silicone se a rolhafor de plástico. Encaixe o funil da mangueira e eleve-o num nível superior atampa da garrafa. Em seguida despeje água. À medida que a água entra nagarrafa, começa a aparecer o repuxo do chafariz, o que faz com que a águaseja lançada pelo tubo de vidro.

273


À medida que a água entra na garrafa, o volume de ar nela contido acabadiminuindo. Essa redução de volume aumenta a pressão, a qual é transmitidaà água, que produz o repuxo do chafariz.

Uma explicação mais profunda da ocorrência do repuxo está no princípiode Pascal, no qual a pressão transmitida à um ponto do líquido se transmitea todos os pontos desse líquido. Para a água conseguir entrar na garrafa énecessário que haja um desnível, que forneça uma diferença de pressão. Essadiferença de pressão deve vencer a pressão oposta exercida pelo ar contido nagarrafa.

Para o refluxo ficar forte é necessário que o desnível (h) seja grande osuficiente e a mangueira não seja muito fina.

274

1.131 Vaso de Tântalo

Objetivo

Construir um vaso de tântalo ou vaso mágico, e explicar o seu funciona-mento.


1 mangueira de plástico (transparente), cola de silicone, 1 garrafa PET(transparente).


Corte a parte superior da garrafa e meça o comprimento da mangueirade modo que ela se ajuste dentro da garrafa formando um laço, com a partesuperior alguns centímetros abaixo da borda da garrafa.

Faça um furo na parte lateral inferior da garrafa (há uns 5cm da base), demodo a encaixar uma extremidade da mangueira. Se ocorrer vazamento noencaixe, utilize a cola de silicone para vedar. Um esquema da constituição dovaso de tântalo está na Fig.(1.149).

Figura 1.149: Vaso de tântalo.

Encha o recipiente com água e observe que, enquanto o seu nível não

275

atinge a parte superior do laço da mangueira, ela não sai. Quando o nívelatinge a parte superior, a água começa a sair pela mangueira. Nesse momentopare de despejar água, e observe que a mesma continua saindo até o nívelbaixar até a altura do orifício de saída onde está colocada a mangueira.


O caráter mágico do vaso de tântalo está na saída não constante de água:começa a sair quando o vaso está quase cheio, para quando o vaso está quasevazio e somente volta a sair quando o vaso está quase cheio novamente.

A explicação para o funcionamento do vaso de tântalo é a mesma do sifão.Para haver a saída de água deve haver um desnível entre o nível de água norecipiente e o nível de saída de água na mangueirinha. Mas isso começa aocorrer quando o líquido no vaso fica no mesmo nível do laço da mangueira.

O nome vaso de tântalo é uma referência à Tântalo, deus grego muitocruel, que foi condenado à um castigo eterno. Nesse castigo, mesmo estandonum lago com água até os joelhos ele não mataria a sua sede porque a águaescorreria da sua boca. Mesmo cercado por árvores frutíferas, Tântalo nãomataria sua fome porque as frutas escapariam de suas mãos.

276

1.132 Tempo de Esvaziamento de uma Lata

Objetivo

Medir o tempo de esvaziamento de uma lata furada com líquido, bemcomo fazer uma previsão teórica do mesmo.


1 tesoura, 1 cronômetro, 1 paquímetro, 1 régua, 1 garrafa PET (1L), 1recipiente, 1 mesa, água, 1 prego.


Corte a parte superior da garrafa com a tesoura e com o prego faça umfuro na lateral inferior da mesma. Meça a altura da garrafa com a régua e odiâmetro do prego com o paquímetro (o prego escolhido deve ter diâmetrotal que a garrafa não demore um tempo muito longo, nem muito curto paraesvaziar).

Coloque a garrafa na beirada da mesa, com o orifício voltado para fora.No chão coloque um recipiente de modo a recolher a água que sairá do orifí-cio da garrafa. Um esquema da montagem do experimento está na Fig.(1.150).

Figura 1.150: Esvaziamento de uma garrafa.

277

Através das dimensões da garrafa e do orifício, faça uma previsão teóricado tempo de esvaziamento da mesma. Em seguida obtenha esse resultadoexperimentalmente e compare os valores.


Vamos determinar teoricamente o tempo que a garrafa demora para esva-ziar. Inicialmente dividimos o cilindro de altura h0 e diâmetro D em peque-nos cilindros, cada qual com um diâmetro d e uma altura ∆h, de modo a terum volume Vi (Fig.1.151).

Figura 1.151: Pequenos cilindros de volume.

O volume V é a soma dos volumes Vi:

V =n∑

i=1Vi

Se imaginarmos um volume Vi de água numa altura h, de acordo com aequação h = (1/2)gt2 ele chega ao nível do orifício depois de um tempo:

t =√

2hg

(1.133)

Sendo Vi o volume de água que jorra em cada tempo t, o tempo total tTde queda de um volume V é:

tT = V

Vit (1.134)

278

O volume de um cilindro é dado por V = πr2h. Dessa forma, tem-se queo volume Vi que sai pelo orifício de diâmetro46 d é:

Vi = πd2

4 ∆h (1.135)

corresponde à um volume V que baixou na lata:

V = πD2

4 ∆h (1.136)

Levando (1.135) e (1.136) em (1.134), vem que:

tT = D2

d2 t (1.137)

De acordo com (1.133), o tempo que um elemento de volume Vi, que estáinicialmente na altura h0 (garrafa cheia) demora para chegar ao orifício é:

t =√

2h0g

(1.138)

Levando (1.138) em (1.137), tem-se que o tempo total para a garrafa es-vaziar é:

tT =(D

d

)2√

2h0g

46Lembrando que o diâmetro d é o dobro do raio r: d = 2r.

279

1.133 Problema da Mangueira Enrolada

Objetivo

Verificar o comportamento da água no interior de uma mangueira enro-lada.


1 mangueira (com alguns metros de comprimento), 1 funil, água.


Enrole a mangueira de modo que ela forme um helicóide47 e coloque-ano chão, inicialmente na forma vertical, como mostra a Fig.(1.152-a).

Figura 1.152: Helicóide na: a- Vertical; b- Horizontal.

Eleve uma extremidade da mangueira e, com o auxílio do funil despejeágua no seu interior. Perceba que a água acaba saindo pela outra extremidade.

Repita agora o mesmo procedimento, mas dispondo o helicóide na posi-ção horizontal, como esquematizado na Fig.(1.152-b). Por que, neste caso,a água não sai na outra extremidade da mangueira? Na verdade, pouca águaconsegue entrar na mangueira.

47Que tem o formato helicoidal, espiral.

280


Quando disposta na horizontal a água não sai na outra extremidade damangueira por causa das bolhas de ar que ficam no seu interior. Quandoenche-se a primeira volta da mangueira, a água passa para a segunda volta.A segunda volta fica cheia, mas forma-se bolhas de ar na parte superior daprimeira volta, que impede parcialmente o fluxo de água.

Esse problema pode ser contornado erguendo-se a altura em que a águaé despejada. O mesmo efeito vai ocorrer nas voltas seguintes. Quanto maioro número de voltas na mangueira, mais alto terá que ser o desnível no qual aágua é despejada para conseguir sair na outra extremidade.

281

1.134 Empuxo Exercido por um Líquido

Objetivo

Verificar a existência da força de empuxo exercida por um líquido sobreum corpo nele mergulhado.


1 dinamômetro (ou uma mola), 1 recipiente com água, 1 corpo denso.


Prenda o corpo denso no dinamômetro e suspenda-o livremente na verti-cal, anotando o peso que ele mede. Em seguida mergulhe o corpo no líquidoe observe que o seu peso, marcado pelo dinamômetro, diminui. Um esquemada realização do experimento está na Fig.(1.153).

Figura 1.153: Corpo mergulhado num líquido.


A diminuição do peso marcado pelo dinamômetro é devido à existênciada força de empuxo exercida pelo líquido sobre o corpo. Essa força tem

282

direção vertical, sentido de baixo para cima e intensidade igual à do peso dofluído deslocado pelo corpo. Matematicamente a intensidade do empuxo (E)é dada por:

E = ρgV

onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e V é o volumedo corpo submerso na água.

283

1.135 O Paradoxo do Peso do Ar

Objetivos

Mostrar e explicar um aparente paradoxo envolvendo o peso do ar.


Barbante, 1 haste fina, 2 balões de borracha (iguais).


Suspenda a haste na horizontal, através de um pedaço de barbante amar-rado no seu centro. Com o barbante amarre 1 balão vazio em cada extremi-dade da haste. Você notará que o sistema ficará em equilíbrio (Fig.1.154-a).Agora encha um dos balões que inicialmente estava vazio. Observe então queo sistema se desequilibrará e a haste, que está suspensa e funciona como umabalança, inclinará para o lado do balão cheio (Fig.1.154-b).

Figura 1.154: Balões em: a- Equilíbrio; b- Desequilíbrio.

Inicialmente poderia-se pensar que a balança inclinou para o lado do ba-lão cheio simplesmente porque o ar tem peso. No entanto, seguindo algunsconceitos físicos, poder-se-ia salientar que o ar dentro do balão deveria estarequilibrado pelo empuxo exercido pelo ar externo. E esse empuxo deveriaser igual ao peso do ar deslocado pelo balão. Portanto, a balança ficaria em

284

equilíbrio. Mas deve haver algo de errado nesse argumento, pois o equilíbrionão é verificado.


O que ocorre neste experimento é que o ar contido no balão está maisconcentrado do que o ar do lado externo. Isso acontece devido ao fato do arter entrado no balão sob pressão. Portanto, a densidade do ar interno é maiorque a densidade do ar externo:

ρ(int) > ρ(ext)

Mas é importante aqui destacar que somente a diferença de densidadeou massas específicas dos corpos não pode provocar nenhuma ação. Devehaver um agente responsável para isso. Esse agente de ação é a aceleração dagravidade.

285

1.136 Analisando um Iceberg

Objetivo

Analisar o comportamento, em pequena escala, de um iceberg.


1 recipiente transparente, água, 1 bloco (pedra) de gelo.


No recipiente coloque água e na água coloque o bloco de gelo. Observeque o gelo, quando em equilíbrio, bóia na água, apresentando a maior parte doseu volume submersa. Por que o gelo bóia na água se ele é também formadopor água, apenas encontrando-se no estado sólido?


Um bloco de gelo ocupa um volume maior que a sua correspondentemassa líquida. Isso faz com que ele seja menos denso que a água, podendonela flutuar.

A densidade da água é aproximadamente 1, 0g/cm3, enquanto a do geloé 0, 92g/cm3. Por essa razão, um bloco de gelo bóia na água mantendo 92%do seu volume imerso. É isso o que ocorre com os icebergs.

286

1.137 Densidade e Empuxo

Objetivo

Determinar a densidade de sólidos utilizando o conceito de empuxo.


1 uma balança digital, 1 béquer (ou outro recipiente semelhante) comágua, 1 fio fino, diversos materiais sólidos (zinco, chumbo, alumínio, cobre,latão, vidro, etc).


Com a balança de precisão determine a massa do sólido utilizado. Colo-que o béquer com água sobre a balança e nele mergulhe o sólido, suspendendo-o pelo fio. Faça com que ele afunde totalmente, sem encostar em nenhumaparte do recipiente. Um esquema da montagem e realização do experimentoestá na Fig.(1.155).

Figura 1.155: Megulhando o corpo no líquido sobre a balança.

Estando inicialmente a balança zerada, anote a massa aparente do sólidopor ela medida (sólido mergulhado na água). Conhecendo a massa real eaparente do sólido, bem como a densidade da água (1g/cm3), determine adensidade do solido.

287

Uma observação importante que precisa ser aqui destacada é que o mé-todo para a realização desse experimento somente funciona quando a densi-dade do sólido é maior da densidade do líquido pois, caso contrário, o sólidoflutua, parcial ou totalmente.


A densidade ou massa especifica de uma substância, é a razão entre suamassa pelo seu volume. Se uma substancia de massa (m) ocupa um volume(V ), sua densidade (ρ) é dada por:

ρ = m

V(1.139)

Cada substância apresenta uma densidade característica. Esta, porém, variacom a pressão e temperatura, pois o volume de uma substância depende dograu de agitação e da aproximação entre as moléculas.

De acordo com o principio de Arquimedes, sobre um corpo total ou par-cialmente mergulhado num fluído, age uma forca vertical de baixo para cima,chamada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso do volume do líquidodeslocado pelo corpo, ou:

E = mlg (1.140)

onde g é a aceleração da gravidade e ml a massa correspondente ao volumedo líquido deslocado. Escrevendo m em função da densidade e do volume(usando a Eq.1.139) a Eq.(1.140) fica:

E = ρlgVl (1.141)

onde ρl é a densidade do líquido e Vl o volume do líquido deslocado.A partir do conceito de empuxo pode-se desenvolver um método que faci-

litará muito na determinação da densidade de corpos. Igualando as Eqs.(1.140)e (1.141), vem que:

mg = ρlgV (1.142)

Se o corpo mergulhado no líquido for mais denso, ele acaba afundando to-talmente, de modo que o volume do líquido deslocado é igual ao volume

288

do sólido: Vl = Vs. Sendo Vs = ms/ρs, escreve-se (1.143) como mlg =ρlgms/ρs, donde vem que:

ρs = ρl

(ms

ml

)(1.143)

Se o corpo submerso é apoiado numa balança no fundo do recipiente, abalança indicara uma forca atuante para cima sobre o objeto, que será igual aintensidade P − E. Assim, os objeto submersos aparentam pesar menos doque eles normalmente pesam. Representando ml, que é a massa aparente dosólido (massa do líquido deslocado), por m′s, a Eq.(1.143) pode ser escritacomo:

ρs = ρl

(ms

m′s

)(1.144)

onde ρs é a densidade do sólido, ρl a densidade do líquido, ms a massa realdo sólido e m′s a massa aparente do sólido.

Na Tab.(1.12) temos os dados obtidos em um experimento, considerandoa densidade da água como sendo ρ = 1g/cm3, bem como o erro percentual (oerro percentual é o módulo da diferença entre a densidade de massa tabeladacom a massa medida, dividido pela massa tabelada, vezes 100) em relação àvalores tabelados de densidade de sólidos:

Tabela 1.12: Massas e densidades de substâncias.Substância ms m′s ρexp ρtab Erro (%)

Latão 101, 6 11, 94 8, 51 8, 4 1, 3Alumínio 18, 3 6, 73 2, 72 2, 7 0, 7

Cobre 21, 5 2, 43 8, 85 8, 9 0, 6Zinco 12, 68 1, 79 7, 08 7, 1 0, 3

Chumbo 24, 03 2, 12 11, 3 11, 3 0, 0

Para determinar a densidade de líquidos o procedimento é semelhante.Neste caso basta conhecer a densidade do sólido que, a partir de (1.144) adensidade do líquido passa a ser dada por:

ρl = ρs

(m′sms

)

289

1.138 Empuxo e o Sobe e Desce de Esferas

Objetivo

Verificar a dependência do empuxo para com o volume.


1 recipiente (transparente), água, vinagre, bicarbonato de sódio, esferasde naftalina.


Coloque água no recipiente de modo que ele fique quase cheio. Misturena água um pouco de vinagre e um pouco de bicarbonato de sódio. Em se-guida coloque várias esferas de naftalina no interior da mistura. Perceba que,no decorrer do tempo as esferas de naftalina realizam movimentos de sobe edesce no interior do líquido.


A reação química entre o vinagre e o bicarbonato de sódio produz gáscarbônico (CO2) e uma grande quantidade de bolhas de gás torna-se visível,subindo no interior do líquido.

Inicialmente as esferas de naftalina afundam no líquido. Depois, no en-tanto, várias bolhas de gás aderem às suas superfície e o empuxo da águasobre o conjunto faz com que elas subam à superfície. Na superfície algumasbolhas escapam para o ar e as esferas de naftalina voltam a afundar. Outrasbolhas aderem a elas e o processo volta a se repetir.

290

1.139 Construíndo um Densímetro

Objetivo

Construir um dispositivo simples para comparar e medir densidades delíquidos.


1 seringa (5ml ou 10ml), 3 pedaços de mangueira fina, recipientes comlíquidos diferentes, 1 conexão tipo T , 1 régua, 1 canetão.


Conecte a seringa, as mangueiras e a conexão T , de acordo com a Fig.(1.156).

Figura 1.156: Densímetro.

Depois de colocar cada uma das mangueiras (que seriam os tubos dodensímetro) nos recipientes contendo os líquidos, puxe o êmbolo da seringa,aspirando os líquidos e marque (com o canetão ou alguma outra coisa) a

291

posição alcançada por eles. Observe que os líquidos sobem pelos tubos ealcançam alturas diferentes.

Meça com a régua as alturas alcançadas pelos líquidos e, através dela,determine a densidade relativa entre eles. Conhecendo a densidade de umdos líquidos, determine a densidade do outro.


Sendo h1 e h2 as alturas alcançadas pelos líquidos nos tubos 1 e 2 e ρ1e ρ2 as suas respectivas densidades absolutas (massas específicas), pelo prin-cipio de Stevin tem-se que as pressões (p) nas superfícies dos dois líquidosdentro dos tubos são dadas por:

p1 = ρ1gh1 (1.145)

p2 = ρ2gh2 (1.146)

onde g é a aceleração da gravidade. Sendo p1 = p2, a partir de (1.145) e(1.146) tem-se ρ1gh1 = ρ2gh2, donde vem:

ρ1ρ2

= h2h1

Se o valor de ρ2 é conhecido, por exemplo, a densidade do líquido 1 é encon-trada através de:

ρ1 = ρ2

(h2h1

)

292

1.140 Manômetro Simples

Objetivo

Construir um pequeno manômetro e verificar o aumento da pressão emfunção da profundidade em líquidos.


1 tampa pequena rasa (de metal ou plástico rígido, como de alguns cos-méticos, por exemplo), 1 tubo de látex, 1 vidro em U (ou 1 manguinha trans-parente), 1 balão de borracha, cola instantânea, 1 tubo de caneta (ou algosemelhante), 1 prego, 1 martelo, barbante, água, 1 suporte, tesoura, 1 recipi-ente.


Faça um furo no centro da tampa, batendo o prego com o martelo. O furodeve ter diâmetro tal que passe por ele o tubo de caneta. Encaixe o tubo e colebem as beiradas. Corte um pedaço de borracha e estique-o bem sobre o outrolado da tampa, passando o barbante ao redor para deixá-lo bem firme. Essaborracha vai se comportar como uma membrana. Chamaremos esse conjuntode cápsula manométrica, a qual está representada na Fig.(1.157).

Figura 1.157: Cápsula manômétrica.

Prenda o tubo em U no suporte, de modo a deixá-lo na vertical e encha-ocom cerca de metade de água. A seguir conecte o tubo em látex numa das

293

extremidades do tubo em forma de U e no tubo da cápsula manométrica. Umesquema da constituição do manômetro está na Fig.(1.158).

Figura 1.158: Manômetro.

Introduza a cápsula dentro do líquido contido no recipiente e observe odesnível causado na água no interior do tubo em U .


Quanto maior a profundidade num líquido, maior é a pressão que eleexerce. Esta pressão é sentida pela cápsula manométrica, que é transmitidapara o ar contido no interior do tubo de látex e provoca o desnível no tubo U .

294

1.141 Compressão e Descompressão

Objetivo

Demonstrar como comporta-se um corpo não-rígido ao sofrer variação depressão.


2 garrafas PET (de tamanhos diferentes), 1 balão de borracha, 1 martelo,1 prego, 1 pedaço de mangueira fina, 1 tesoura, cola rápida.


Fure as tampas das garrafas com o prego e o martelo. O furo pode seralargado com a ponta da tesoura. Conecte a mangueira nesses furos, de modoque ela fique bem justa e passe cola para não ocorrer vazamento de ar. Intro-duza no interior da garrafa menor um balão pequeno, parcialmente inflado.

Conecte as tampas nas garrafas de forma que elas fiquem conectadas pelamangueira e amasse a garrafa maior. Observe que o balão no interior da gar-rafa menor reduz de tamanho. Se a garrafa menor for solta, o balão aumentade tamanho. Um esquema deste experimento está na Fig.(1.159).

Figura 1.159: Garrafas interligadas.

295


Estando as garrafas conectadas, ocorre transferência de ar de uma paraa outra. Ao pressionar a garrafa maior, ocorre um aumento de pressão nagarrafa menor que contém o balão, o que faz com que o volume deste dimi-nua. Ao soltar a garrafa amassada, a pressão diminui e o balão aumenta o seuvolume, voltando à situação inicial.

O balão se comporta como qualquer outro objeto não rígido, como ocorpo humano. Somente consegue-se explorar ambientes com pressões ex-tremas, como o fundo do mar ou o espaço cósmico, utilizando equipamentosadequados.

O mesmo experimento pode ser aperfeiçoado, utilizando-se uma bombade encher pneu para aumentar a pressão, e uma seringa grande para diminuira pressão.

296

1.142 Elevador Hidráulico

Objetivo

Demonstrar o funcionamento de um elevador hidráulico.


2 seringas (de diferentes capacidades), 1 base de madeira para apoio, 1mangueirinha, água.


Monte uma base de madeira para fixar as seringas. Retire os êmbolosdas seringas, conectando-as com a mangueirinha e encha o conjunto de água,de modo que, ao colocar os êmbolos, o da seringa menor fique elevado e oda seringa maior fique entre a metade e a parte inferior. Um esquema damontagem do experimento está na Fig.(1.160).

Figura 1.160: Elevador hidráulico.

Pressione inicialmente o êmbolo menor e observe o comportamento domaior. Após, pressione o maior e perceba como se comporta o êmbolo menor.

297


O funcionamento de um elevador hidráulico é baseado no principio dePascal, o qual diz que a variação de pressão aplicada a um fluído contidonum recipiente fechado é transmitida integralmente a todos os pontos dessefluído.

De acordo com o esquema da Fig.(1.161), quando se exerce uma força F1sobre um êmbolo de área A1, o líquido sofre uma acrescimo de pressão (∆p)dado por:

∆p = F1A1

(1.147)

Figura 1.161: Principio de Pascal.

Esse aumento de pressão se transmite integralmente através de todo olíquido, sendo aplicado ao êmbolo de área A2, no qual aparece uma força F2,tal que:

∆p = F2A2

(1.148)

Igualando (1.147) e (1.148), obtem-se a relação entre os módulas dasforças exercidas sobre ou pelos êmbolos em relação as suas respectivas áreas:

F1A1

= F2A2

Suponhamos uma situação em que A2 é 10 vezes maior que A1 (A2 =10A1). Aplicando uma força F1 em A1, a força F2 resultante em A2 será 10vezes maior (F2 = 10F1).

298

Nesse experimento a relação entre forças é difícil de ser verificada porcausa da existência do atrito entre o êmbolo e a seringa. O que não deve-se deixar de perceber é a transmissão de forças entre os líquidos. Grandenúmero de máquinas, como elevadores e sistemas de freios funcionam atravésdesse princípio. Neles, o atrito é bastante reduzido com a utilização de peçasmetálicas e óleos lubrificantes.

A princípio, o deslocamento dos êmbolos no elevador é limitado pelaquantidade de líquido disponível. No entanto, em equipamentos reais (eleva-dores, prensas, etc.), existe um reservatório que, através de um conjunto dedutos e válvulas, fornece o líquido necessário.

299

1.143 Macaco Hidráulico

Objetivo

Construir e explicar o funcionamento de um macaco hidráulico.


1 seringa grande, 1 seringa média, 2 seringas pequenas (seus volumes po-dem ser diversos, desde que mantidas as proporções), 2 êmbolos de borrachade seringa, 1 mangueirinha, 1 recipiente para água, 1 suporte de madeira, colade silicone, alfinetes.


Inicialmente construa 2 válvulas utilizando 2 bases de êmbolos, 2 chum-binhos de pesca e 2 alfinetes. Passe o alfinete pelo meio do chumbinho depesca, perfurando o êmbolo de borracha. Dentro das seringas a ponta do alfi-nete vai manter a válvula na posição correta, enquanto o chumbinho vai fazercom que ela funcione na vertical. A base dos êmbolos deve ser de diâme-tro menor do que o diâmetro das seringas nas quais vão ser utilizadas. Aestrutura da válvula está esquematizada na Fig.(1.162).

Figura 1.162: Estrutura da válvula.

Faça um furo na lateral inferior da seringa grande e da seringa média,cada qual para encaixar a ponta da seringa pequena. Faça um furo na lateralda seringa pequena (no meio delas).

300

Disponha as seringas nas bases de madeira de acordo com o esquemada Fig.(1.163). Conecte a seringa média com a grande por meio de umamangueirinha. A mangueirinha está conectada na saída da seringa grande ena lateral da seringa média. A conexão nesta última seringa é feita com oauxílio de um pedaço do corpo de uma seringa pequena.

Figura 1.163: Macaco hidráulico.

Da saída da seringa média vai uma mangueirinha até o reservatório, oqual está cheio de água. Se necessário pode-se usar cola de silicone ou outrotipo de cola para evitar vazamentos.

Antes de iniciar o experimento deixa-se todos os êmbolos abaixados. Mo-vimente o êmbolo da seringa A (seringa média) para cima e para baixo, eobserve o êmbolo da seringa B subir.


Levantando-se o êmbolo A, a válvula VA se abre e a válvula VB se fecha.Isso ocorre porque a água puxada causa uma diminuição da pressão no inte-rior da seringa A. Estando a seringa cheia de água, comprime-se o êmboloA, o que faz a válvula VA se fechar e a válvula VB se abrir, fazendo deslo-car água para o compartimento B. Repetindo-se o processo, verifica-se que

301

a água vai sendo bombeada do reservatório para a seringa B, fazendo o êm-bolo B subir aos poucos. Perceba que o conjunto funciona como um macacohidráulico, com a vantagem na relação de forças, a qual é proporcional à áreados êmbolos. Uma pequena força aplicada no êmbolo A provoca uma grandeforça em B. Pequenos deslocamentos realizados diversas vezes em A produzum grande deslocamento em B.

Para baixar o êmbolo B, depois que este atingiu a altura máxima, bastapuxar o êmbolo da seringa C e pressionar o êmbolo B, de modo que a águasaia pelo orifício O desta seringa, voltando para o reservatório. Fechando oorifício O, todo o ciclo pode ser recomeçado.

302

1.144 A Balança e o Empuxo

Objetivo

Relacionar a terceira lei de Newton com o empuxo.


1 balança digital, 1 recipiente pequeno com água, 1 massa metálica ou 1pedra (menor que o recipiente), 1 pedaço de fio (barbante).


Coloque o recipiente com água sobre a balança e faça a leitura da medidada massa. A seguir, prenda a massa metálica (que de agora em diante cha-maremos de esfera para facilitar) no barbante e coloque-a no recipiente comágua, mantendo-a submersa e suspensa, sem encostar nas paredes e no fundo,como na Fig.(1.164).

Figura 1.164: Esfera mergulhada na água sobre a balança.

Observe que a medida da balança aumentou. Mas isso, a princípio pareceilógico pois, como a esfera está suspensa, ela não deveria contribuir com amedida da massa pela balança.

303


Quando mergulhada na água a esfera sofre a força de empuxo (E), a qualé dirigida verticalmente para cima, que tenta impedir que ela mergulhe nolíquido.

Pela terceira lei de Newton, a lei de ação e reação, a força que o líquidoexerce sobre a esfera faz com que esta exerça uma força de mesma intensi-dade e sentido oposto. Dessa forma, essa força de reação é transmitida paraa base de apoio, neste caso a balança.

O empuxo sofrido pelo corpo faz com que seu peso (P ) diminua (issopoderia ser verificado colocando um dinamômetro no fio que a sustenta). Noentanto, essa diferença de peso é transmitida para a água, fazendo aumentara leitura na balança. Sendo Pb o peso marcado pela balança48 e Pl+r o pesodo líquido mais o peso do recipiente, tem-se que:

Pb = Pl+r + E

48Na verdade a balança fornece o valor da massa, mas peso e massa são grandezas propor-cionais.

304

1.145 Por que o Barco não Afunda

Objetivo

Verificar por que um barco não afunda.


1 recipiente com água, massa de modelar.


Molde uma certa quantidade de massa de modelar em forma esférica eoutra porção de massa (com uma massa aproximadamente igual) na forma deuma barquinho. Coloque as duas massas moldadas na água e perceba que aesfera afunda e o barquinho flutua. Por que ocorre essa diferença?


Quando é uma porção maciça de massa de modelar, ela afunda. Quandomodelado na forma de barco ela passa a conter uma parte interna oca, comdensidade menor que o líquido. Ao ser colocado na água o barco vai afun-dar um pouco, deslocando uma certa quantidade de água, tal que o empuxoexercido por ela se iguale a força peso.

Embora a densidade do aço, ou o material que constitui um barco real,bem como a massa de modelar do experimento, seja maior que a densidadeda água, a densidade de um navio, assumindo uma estrutura fechada, é menorque a da água49. Por isso ele não afunda. O principio de flutuação é o mesmopara todos os barcos, desde uma simples canoa até os porta-aviões nucleares,com massas maiores que 100.000 toneladas.

49A maior parte do seu espaço interior é preenchida com ar.

305

1.146 Barco, Carga e Nível da Água

Objetivo

Verificar a relação entre a carga num barco e o nível da água em que eleflutua.


Algumas pedras (ou qualquer outro material denso), 1 caixinha de ma-terial impermeável (base retangular), 1 recipiente transparente com água, 1canetão.


Faça da caixinha um barco. Leve o barco no recipiente com água ecarregue-o com as pedras. Coloque uma quantidade tal de modo que elenão afunde. Quando o sistema estiver em equilíbrio anote com o canetão onível da água no recipiente.

Em seguida retire as pedras de dentro do barco e lance-as dentro do reci-piente com água. Perceba o que acontece com o nível da água do recipiente:ele sobe, desce ou continua igual?


Quando as pedras estão dentro do barco elas obrigam a deslocar um vo-lume de água cujo peso é igual ao peso das pedras (condição de equilíbrio).Sendo que as pedras são mais densas que a água, quando elas estão no barcoelas obrigam a deslocar um volume de água superior ao seu próprio volume.Quando caem na água no tanque, as pedras passam a deslocar um volumede água igual ao seu próprio volume. Quando as pedras são atiradas para otanque, elas passam a deslocar menos água e o nível do tanque desce.

Considerando que as pedra são mais densas que a água, elas vão afundare seus pesos serão equilibrado pela resultante do novo empuxo sobre elas ecom a reação normal que ela irá receber no fundo do tanque.

306

Sendo Pba o peso do barco, Pbl o peso do bloco e Eba+bl o empuxo dobarco com o bloco, na condição inicial de equilíbrio (pedra dentro do barco),tem-se:

Pba + Pbl = Eba+bl (1.149)

Depois de o bloco ser lançado no tanque, indo parar no fundo:

Pba + Pbl = Eba + Ebl +Nbl (1.150)

onde Eba é o empuxo do barco, Ebl é o empuxo do bloco e Nbl é a forçanormal do bloco.

Relacionando (1.149) e (1.150):

Eba+bl = Eba + Ebl +Nbl

donde vem:Eba + Ebl = Eba+bl −Nbl (1.151)

A partir da Eq.(1.151) pode-se concluir que:

Eba + Ebl < Eba+bl

Se o empuxo total diminui, o volume total de líquido deslocado também di-minui, o que faz com que o nível da água no tanque diminua.

307

1.147 Ludião

Objetivo

Construir e verificar o funcionamento de um ludião, que seria uma espéciede submarino.


1 garrafa PET transparente (2L), 1 seringa pequena, água, clipes peque-nos.


Coloque água na garrafa PET, enchendo-a completamente. Introduza aseringa dentro da garrafa, de maneira que ela flutue na água, estando na emi-nência de afundar. Se a seringa ocupar muito espaço corte o cabo do êmbolo,de modo a diminuir o seu comprimento. Se necessário, coloque 1 ou 2 clipesdentro da seringa para dar um pouco mais de peso. Seria interessante testarbem o comportamento da seringa em um recipiente com boca maior, comoum béquer, antes de colocá-la dentro da garrafa.

Uma ilustração esquemática do ludião dentro da garrafa está na Fig.(1.165).A introdução dos clipes é um modo para baixar o centro de gravidade do sub-marino e dar-lhe maior estabilidade.

Figura 1.165: Ludião.

308

Feche bem a garrafa com a tampa. Ao pressionar a garrafa perceba que oludião afunda, e ao soltá-la, perceba que o ludião sobe.

Uma outra maneira de construir o ludião é usando uma caneta sem furoslaterais, tampando uma das extremidades e prendendo alguns clipes na outraextremidade. Em seguida coloque a caneta dentro da garrafa de modo que elaflutue. Se isso não ocorrer, reduza o número de clipes ou a massa deles.


Quando aperta-se a garrafa ocorre um aumento de pressão no líquido fa-zendo com que entre um pouco mais de água no ludião. Isso faz com que opeso do ludião se torne maior que o empuxo que a água exerce sobre ele e omesmo acaba afundando. Desapertando a garrafa a pressão da água diminuie o ar contido no ludião se expande, o que faz com que o ludião suba.

Um submarino funciona de maneira semelhante: bombas de água encheme esvaziam tanques em seu interior usando a água que o circunda e o ar quepreenche os tanques são acomodados em tanques de ar comprimido.

309

1.148 Fazendo um Ovo Flutuar

Objetivo

Fazer um ovo flutuar através da alteração da densidade da água.


1 ovo cru, 1 recipiente de vidro ou plástico, 1 colher, água, sal.


Coloque água no recipiente e depois introduza o ovo na água. Observeque inicialmente o ovo vai para o fundo. Na sequência, vá colocando sal aospoucos na água, dissolvendo-o com o auxílio da colher. Você observará que oovo vai subindo, até alcançar a superfície, ficando parcialmente fora da água(Fig.1.166).

Figura 1.166: Experimento do Ovo na Água.


Inicialmente o ovo afunda na água porque o seu peso (P ) é maior que aforça de empuxo (E) que a água exerce sobre ele: P > E.

A força de empuxo que a água exerce sobre um objeto nela posto é dadapor:

E = ρgV

310

onde ρ é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e V é o volumedo líquido deslocado (volume da parte do objeto submersa no líquido).

Estando o ovo inicialmente no fundo do recipiente, o valor do empuxoque a água exerce nele pode ser alterado variando a densidade (ρ) da água (ge V são constantes). Dissolvendo sal na água sua densidade vai aumentando,o que aumenta o valor do empuxo (E > P ), de modo que faz o ovo subir. Oovo fica numa posição estável quando E = P .

311

1.149 Viscosidade de um Líquido

Objetivo

Determinar a viscosidade de um líquido.


1 tubo de vidro ou plástico transparente, 1 paquímetro, 1 trena, 1 cronô-metro, líquidos diferentes (de preferências, bem viscosos, como óleo de co-zinha, por exemplo), esferas de diferentes tamanhos (bolinhas de gude), 1balança de precisão.


No tubo transparente meça com a trena a distância do seu fundo até umaposição (marca) um pouco abaixo da sua extremidade superior. Com o paquí-metro determine o diâmetro de cada esfera e com a balança meça as suasrespectivas massas.

Encha o tubo com o líquido, dispondo-o na vertical e solte as esferas noseu interior, marcando com o cronômetro o tempo que cada uma demora parachegar ao fundo. Procure usar esferas não muito densas, pois isso faz comque o tempo que elas demoram para chegar ao fundo do recipiente seja maior.Com esses dados é possível encontrar a viscosidade do líquido.


Quando solta-se uma esfera dentro do tubo cheio de líquido, ela aceleraum pouco no início e depois passa a descer com velocidade constante até ofundo. Essa velocidade é chamada velocidade limite e é a velocidade máximaque a esfera adquire durante o movimento descendente.

Sobre a esfera dentro do líquido agem 3 forças: a força peso (~P ), o em-puxo ( ~E) e a força de atrito viscoso (~fat). Estas forças estão representadas naFig.(1.167).

312

Figura 1.167: Forças atuantes sobre a esfera no interior do líquido.

Sendo que a esfera desce com velocidade constante (aceleração nula), deacordo com a lei de Newton

∑ ~F = 0, tem-se que:

P − E − fat = 0 (1.152)

A intensidade da força peso (P ) da esfera é dada por:

P = mg (1.153)

onde m é sua massa e g o valor da aceleração da gravidade local. Medindo amassa (m) com a balança e o raio (r) com o paquímetro (na verdade mede-seo diâmetro D e acha-se o raio fazendo r = D/2), e sabendo que o volume deuma esfera é V = (4/3)πr3, pode-se determinar a sua densidade (ρ). Se asoutras esferas são do mesmo material (mesma densidade), podemos calcularas suas massas a partir da densidade do material e dos seus raios:

m = 43πρr

3 (1.154)

Levando (1.154) em (1.153) escreve-se P como:

P = 43πgρr

3 (1.155)

313

O empuxo, que é a força que o líquido exerce sobre a esfera, é definidocomo sendo o peso do volume do líquido deslocado. Sendo que o volume dolíquido deslocado é o volume da esfera, o empuxo é dado por uma expressãosemelhante a Eq.(1.155):

E = 43πgρlr

3 (1.156)

onde ρl é a densidade do líquido.A força de atrito viscoso é dado pela lei de Stokes:

fat = 6πηrv (1.157)

onde η é a viscosidade do líquido, r o raio da esfera e v a velocidade com queesta movimenta-se no líquido.

Levando (1.155), (1.156) e (1.157) em (1.152), vem que:

43πgρr

3 − 43πgρlr

3 − 6πηrv = 0

Isolando η:

η = 2gr2(ρ− ρl)9v (1.158)

A velocidade (v) é determinada medindo o tempo (t) que a esfera demorapara percorrer a distância (h), através da relação:

v = h

t(1.159)

Levando (1.159) em (1.158), vem que:

η = 2g9

(ρ− ρl)r2t

h(1.160)

De acordo com (1.160), para determinar a viscosidade de um líquido é neces-sário conhecer a sua densidade.

314

1.150 Principio de Bernoulli

Objetivo

Estudar o principio de Bernoulli.


1 canudinho (ou 1 tubo de caneta), 1 base de apoio (1 caneta, por exem-plo), 1 régua.


Coloque a régua sobre a base de apoio, de modo que ela fique em equilí-brio na horizontal. Prenda o canudinho na boca e ejete ar sob um dos lados darégua, como mostra a Fig.(1.168). Perceba que a régua abaixa no lado ondefoi ejetado ar.

Figura 1.168: Jato de ar sob a régua.

Um experimento semelhante é prender a parte superior de uma garrafaPET numa mangueira. Coloque uma bolinha de tênis de mesa dentro dagarrafa e assopre na mangueira com a boca. Observe que a bolinha não éejetada para fora, mas sim, fica aí girando. Mesmo virando o copinho parabaixo a bolinha não cai.

315


Inicialmente vamos abordar em detalhes o principio de Bernoulli, o qualtambém servirá de base de explicação de outros experimentos.

Considere na Fig.(1.169) um líquido viscoso e incompressível que escoaem regime permanente através de um tubo, no sentido da esquerda para adireita.

Figura 1.169: Escoamento de um fluído num tubo.

Seja uma porção de fluído compreendida em um determinado instanteentre as seções S1 e S2, com áreas respectivamente iguais a A1 e A2. Essaporção de líquido recebe do resto do fluído as forças ~F1 e ~F2 aplicadas em S1e S2, onde as pressões estáticas valem p1 e p2.

Durante um certo intervalo de tempo o líquido é deslocado da região de-limitada por S1 e S2 para outra delimitada por S′1 e S′2. Um volume V delíquido é transferido da parte baixa para a parte alta do duto, de modo que:

V = A1d1 (1.161)

ouV = A2d2 (1.162)

316

onde d1 e d2 são os deslocamentos da massa m de líquido.Nesse deslocamento de líquido o trabalho (WF ) realizado pelas forças ~F1

e ~F2 é WF = WF1 +WF2 , donde vem:

WF = F1d1 − F2d2 (1.163)

Sendo que a força é o produto da pressão pela área de atuação, F = pA,escreve-se (1.163) como:

WF = p1A1d1 − p2A2d2 (1.164)

Relacionando (1.164) com (1.161) e (1.162), obtem-se:

WF = (p1 − p2)V (1.165)

Sendo que a aceleração da gravidade ~g tem direção vertical e sentido parabaixo, o trabalho realizado por ~g nesse deslocamento de líquido é:

Wg = −mg(h2 − h1) (1.166)

onde h1 e h2 são as alturas dos centros de S1 e S2 em relação a um plano ho-rizontal adotado como referência. Sendo a densidade do líquido (ρ) definidapor ρ = m/V , pode-se escrever (1.166) como:

Wg = −ρV g(h2 − h1) (1.167)

De acordo com o teorema da energia cinética tem-se que o trabalho totalé igual à variação da energia cinética: W = ∆K. Sendo W = WF + Wg eK = (1/2)mv2 = (1/2)ρV v2, vem que:

(p1 − p2)V − ρV g(h2 − h1) = ρV

2 (v22 − v2

1)

Rearranjando os termos obtem-se a equação que representa o teorema ouprincipio de Bernoulli, a qual foi proposta inicialmente por Daniel Bernoulliem 1738:

p1 + ρv21

2 + ρgh1 = p2 + ρv22

2 + ρgh2 (1.168)

317

Outra forma de apresentar o teorema de Bernoulli é escrevendo (1.168)como:

p+ ρv2

2 + ρgh = k (1.169)

onde k é uma constante.Para explicar o experimento proposto inicialmente, consideremos um tubo

horizontal (ou uma região), de modo que h1 = h2. Com isso, a Eq.(1.168) sereduz à:

ρv2

2 + ρgh = k (1.170)

Em cada um dos lados sob a régua o ar tem uma velocidade v e exerce umapressão p. A partir da Eq.(1.170) constata-se que, se a velocidade (v) au-menta, a pressão (p) diminui, e vice-versa. Por isso que, ao soprar ar sob arégua ela se abaixa.

318

1.151 Velocidade e Pressão 1

Objetivo

Verificar a relação entre velocidade e pressão.


1 folha de papel.


Coloque a folha de papel (ou uma tira dela) rente à sua boca e soprenela, de modo que o ar seja ejetado na parte superior da folha. Perceba que,quando você assopra, a folha se eleva, tendendo a ficar alinhada com a direçãohorizontal, como mostra a Fig.(1.170).

Figura 1.170: Assoprando uma folha.


A maior intensidade da velocidade de escoamento do ar sobre a folhafaz com que a pressão nessa superfície fique menor que a pressão exercidasobre a face de baixo, fazendo com que a folha se eleve. Matematicamentea explicação é dada pela Eq.(1.170) e outros comentários já foram feitos noExp.(1.150).

319


Objetivo



5 tubos de vidro (sendo 1 em forma de L, 1 em forma de T e 3 retilíneos)1 garrafa PET (2L), 1 rolha, água, 1 recipiente, tubos de látex.


Monte o esquema de acordo com a Fig.(1.171). Com o estilete corte ofundo da garrafa PET. Passe o tubo L pela rolha e encaixe o conjunto na bocada garrafa. Conecte os outros tubos através de pedaços de tubos de látex.

Figura 1.171: Garrafa e tubo conectados.

Feche com o dedo a saída B e despeje a água dentro da garrafa. Observeque, estando o líquido em repouso, o nível no tubo A é igual ao nível de águana garrafa. Destampe o tubo B e deixe a água escoar. Note que o nível daágua em A abaixa.

Repita agora o mesmo procedimento, mas colocando na saída de águaum tubo longo de látex, fazendo com que a extremidade de saída fique mais

320

baixa, como na Fig.(1.172). Observe que o nível emA não só cai a zero comotambém o ar é aspirado por ele.

Figura 1.172: Saída mais baixa da água.


Em equilíbrio os pontos de uma mesma pressão hidrostática pertencemao mesmo plano horizontal. Quando a velocidade da água aumenta na junçãoT , a pressão nessa região diminui, o que faz com que o nível da água A notubo abaixe. No último caso, uma maior diferença de pressão hidrostática fezo nível A não só cair a zero como também passou a sugar o ar.

Uma explicação mais detalhada está no Exp.(1.150).

321


Objetivo



1 secador de cabelo, 1 copo, 1 bolinha de papel.


Coloque a bolinha de papel dentro do copo. Ligue o secador de cabelo,posicione a saída de ar do secador em frente à parede do copo e eleve-a vaga-rosamente, como representado na Fig.(1.173). Veja o que acontece quando ofluxo de ar começar a cruzar o topo do copo.

Figura 1.173: Fluxo de ar do secador de cabelo.


Quando a corrente de ar incide num obstáculo, ela é freada e ocorre umaumento local da pressão. Para contornar o obstáculo a corrente de ar inci-dente muda de direção, e isso requer uma força com uma componente per-pendicular à direção da corrente de ar.

322

Em torno do obstáculo a pressão fica abaixo da pressão atmosférica, demodo que a força resultante que atua no fluxo de ar o manterá próximo àsuperfície. Essa diferença de pressão em torno do obstáculo faz com que o arseja acelerado ao se mover em direção a pontos de menor pressão. A pressãono topo do copo diminui para que a corrente de ar possa contorná-lo. Isso fazcom que a bolinha de papel se eleve quando o fluxo de ar do secador começaa cruzar a parte superior do copo.

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1.154 Aproximando Garrafas

Objetivo

Aproximar duas garrafas suspensas através da diminuição da pressão en-tre elas.


2 garrafas PET, 2 pedaços de fio ou linha, 1 secador de cabelo, 1 suportepara pendurar as garrafas.


Coloque um pouco de água em cada uma das garrafas e em seguidapendurando-as no suporte com o fio, o qual é preso na sua parte superior.

Deixe as garrafas próximas e, com o secador de cabelos, passe uma cor-rente de ar entre elas. Observe que as garrafas de aproximam (Fig.1.174).

Figura 1.174: Aproximando 2 garrafas com um jato de ar.

O mesmo experimento pode ser realizado de maneira mais simples, so-prando ar com a própria boca, e usando objetos mais leves, como 2 esferasde isopor, por exemplo, no lugar das garrafas com água.

324

Você poderia se perguntar: por que as garrafas se aproximam? Elas nãodeveriam se afastar, já que existe um jato de ar entre elas?


As garrafas de aproximam porque a corrente de ar entre elas faz com quea pressão nessa região seja menor do que o ar em repouso. Dessa forma, apressão entre as garrafas é menor que a pressão atmosférica, e as garrafassão empurradas uma contra a outra. O fato do aumento da velocidade do arentre as garrafas provocar a diminuição da pressão deve-se ao principio deBernoulli.

325

1.155 Spray

Objetivos

Demonstrar e explicar o funcionamento de um spray.


1 copo com água, 2 canudos de refrigerante (1 grosso e 1 fino), fita ade-siva, 1 tesoura.


Com a tesoura faça um pequeno corte no canudo mais grosso, de modoa encaixar a ponta do canudo fino. Firme os dois canudos com fita adesivae coloque a extremidade do canudo fino no recipiente com água. O canudofino deve entrar parcialmente no canudo grosso. Um esquema da montagemdo experimento está na Fig.(1.175).

Figura 1.175: Constituição do Spray.

Sopre pelo canudo grosso, disposto na horizontal, e perceba que a águado copo é expelida pela outra extremidade.

326


A diferença de pressão provocada pela corrente de ar faz com que a águaseja bombeada para cima. Ao atingir o topo a água forma gotículas que sãoarrastadas pela corrente de ar, produzindo assim o spray.

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1.156 Asa de Avião

Objetivos

Construir um modelo de uma asa de avião e verificar os fatores de sus-tentação.


Papel, 2 pedaços de canudinho (grosso), arame, cola, fita adesiva, 1 seca-dor de cabelo (ou ventilador), 1 tesoura.


Corte o papel e cole suas extremidades de modo a formar uma asa, o cha-mado aerofólio. Com a ponta da tesoura faça 2 furos e encaixe os canudinhos.Introduza o arame pelos canudinhos e faça uma estrutura de suporte para aasa que a permita deslizar na vertical, como na Fig.(1.176).

Figura 1.176: Asa de Avião.

Posicione essa estrutura na frente de um secador de cabelo (ou seme-lhante) e observe como o aerofólio se sustenta na vertical. Varie o ângulo deinclinação e acompanhe como a asa se comporta. Coloque a mão na frente einterrompa várias vezes o fluxo de ar, de modo a simular uma turbulência.

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Para o ar poder contornar a asa é preciso que nele atue uma força perpen-dicular à sua velocidade. Ao atingir a parte dianteira da asa o ar é desacele-rado, gerando nesse local uma região de sobrepressão. A sustentação da asaé devido à diferença de pressão existente entre a parede superior e inferior daasa, sendo maior nesta última.

A inclinação da asa é fundamental para a existência da diferença de pres-são e a consequente sustentação. O ar, ao ser forçado a contorná-la tendea descer, sendo acelerado para baixo em ambos os lados. Por reação, a asatende a ser acelerada para cima, contrabalançando o peso do avião.

Quando o ângulo de inclinação da asa ultrapassar um certo valor crítico,surge a turbulência e o ar que contorna a parte superior da asa se descola dela,formando volumes de ar turbulento que gera instabilidade e menor sustenta-ção.

Existem diversos formatos de asas, mas todos tem o estilo semelhante aodeste experimento. A parte da frente do aerofólio é chamada de bordo deataque e a parte traseira de bordo de fuga. A posição do nariz do aerofólio,para cima ou para baixo da asa, é o chamado ângulo de ataque, que é o ânguloentre a linha reta que liga as partes da frente e de trás do aerofólio, e a direçãodo movimento do ar relativa ao aerofólio.

A seguir mostraremos que é mais fácil explicar a sustentação se partirmosdas leis de Newton ao invés do princípio de Bernoulli. Mostraremos tambémque a explicação que mais comumente nos é ensinada é, no mínimo enganosa,e que a sustentação é devido ao fato que a asa desvia o ar para baixo. A maiorparte deste ar desviado é puxada da parte de cima da asa.

A terceira lei de Newton afirma que para cada ação há uma reação igualem magnitude, mas no sentido contrário. A fim de criar sustentação, a asaprecisa fazer algo com o ar. Aquilo que a asa faz com o ar é a ação, enquantoa sustentação representa a reação.

A Fig.(1.177) mostra as linhas de corrente em torno de uma asa, da ma-neira correta como elas realmente devem ser desenhadas.

O ar passa pela asa e é encurvado para baixo. A primeira lei de Newtondiz que deve haver uma força sobre o ar para encurvá-lo (a ação). A terceiralei de Newton diz que deve haver uma força igual, mas em sentido contrário

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Figura 1.177: Linhas de corrente em torno da asa.

(para cima) sobre a asa (reação). Para poder criar uma sustentação, a asaprecisa desviar uma grande quantidade de ar para baixo.

Uma outra maneira de expressar a lei de Newton é dizendo que a susten-tação de uma asa é proporcional à quantidade de ar que está sendo desviadapara baixo multiplicado pela velocidade vertical da mesma. Portanto, paraconseguir um empuxo maior a asa, ou tem que deslocar mais ar para baixoou aumentar a velocidade vertical. Quanto maior o ângulo de ataque50 da asamaior a velocidade vertical do ar. Do mesmo modo, para um ângulo de ata-que fixo, quando maior a velocidade da aeronave maior a velocidade verticaldo ar. Tanto o aumento do ângulo de ataque quanto o aumento da velocidadedo avião fazem aumentar a intensidade da componente vertical para baixo davelocidade. É esta velocidade vertical que dá à asa sua sustentação.

Como, então, a asa desvia tanto ar? Quando o ar se curva ao redor dotopo da asa, ele puxa o ar acima dele acelerando-o para baixo (caso contráriohaveria lacunas no ar acima da asa). Isto faz com que a pressão do ar acimada asa se torne menor. A aceleração do ar acima da asa para baixo é que criaa sustentação.

Esta tendência dos fluidos de acompanharem uma superfície curva é co-nhecida como efeito Coanda. Então, por que o fluido acompanha o perfil dasuperfície? Isso ocorre devido à viscosidade, que é a resistência ao escoa-mento que também faz com que o ar tenha certa aderência. A viscosidade doar é pequena, mas o suficiente para fazê-lo se grudar na superfície.

50A sustentação diminui tipicamente a partir de um ângulo crítico de 15°. As forças neces-sárias para encurvar o fluxo de ar em ângulos tão íngremes são maiores que a viscosidade doar pode suportar, e o ar começa a se desprender da asa. Esta separação entre o fluxo de ar e aparte superior da asa é o chamado estol.

330

E como explicar a sustentação de um avião que faz um vôo invertido(avião virado para baixo)? Não há qualquer problema nisso. O avião simples-mente ajusta o ângulo de ataque da asa invertida para conseguir a sustentaçãonecessária.

331

1.157 Estreitamento de um Filete de Água

Objetivo

Verificar o estreitamento de um jato de água e apresentar a equação dacontinuidade.


1 torneira de água (em funcionamento).


Abra uma torneira de água é observe o formato do jato formado. Por queo jato corrente de água (solta lentamente) de uma torneira vai se estreitandoà medida que cai, como na Fig.(1.178)?

Figura 1.178: Estreitamento de um filete de água.

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Considere um tubo cilindrico de área de seção transversal (A), pelo qualpassa um fluído. Define-se a vazão do fluído ou fluxo (Φ), o volume de fluído∆V que passa pela seção A num intervalo de tempo ∆t:

Φ = ∆V∆t

Supondo que a área A permanece constante, o volume ∆V pode ser dadocomo a quantidade de fluído que percorre uma distância ∆x no condutor nointervalo de tempo ∆t. Pode-se escrever Φ como:

Φ = A∆x∆t

Sendo que ∆x/∆t = v, vem que:

Φ = Av (1.171)

O fluxo (Φ) é proporcional à área de seção transversal (A) do condutor e avelocidade (v) de escoamento do fluído.

Imagine agora um condutor no qual a área da seção transversal não éconstante. Suponha duas áreas de seção transversal, A1 e A2, de modo queA1 > A2. Sendo que o volume do fluído que passa por A1 é o mesmo quepassa por A2, bem como pelas demais seções do tubo, tem-se que:

Φ1 = Φ2 (1.172)

Relacionando (1.171) e (1.172) obtem-se a equação da continuidade:

A1v1 = A2v2

a qual também pode ser escrita como:

Av = k

onde k é uma constante.A equação da continuidade mostra que a área de seção transversal do

condutor é inversamente proporcional à velocidade de escoamento do fluído,

333

de modo que o produto das duas deve permanecer constante. No caso da águacaindo, sua velocidade aumenta durante a queda e isso faz com que sua áreadiminua, estreitando o jato.

Caso semelhante ocorre quando tem-se uma mangueira que está jorrandoágua. Ao tapar com o dedo parcialmente a sua saída, a velocidade da águaaumenta.

334

1.158 Líquido em Rotação

Objetivo

Examinar o formato de um líquido contido num recipiente em movimentode rotação.


1 cilindro transparente (1 garrafa PET, por exemplo), um sistema queprovoque rotação51, água.


Despeje água no cilindro e coloque o conjunto em rotação. Observe acurva formada pelo nível da água, como representado na Fig.(1.179).

Figura 1.179: Líquido em rotação.

51Aqui pode-se usar um sistema acoplado a qualquer motor elétrico, ou simplesmente pen-durar a garrafa PET por 2 cordinhas e torcê-las, de modo que ela gire por um certo tempodepois de solta.

335


Quando um recipiente cilíndrico contendo um líquido é posto em rota-ção ao redor do seu eixo, a superfície de um líquido adquire a forma de umparabolóide.

A equação de descreve a curvatura do líquido vem da equação de Ber-noulli:

p+ 12ρv

2 + ρgh = k (1.173)

onde p é a pressão, ρ a densidade, v a velocidade, g a aceleração da gravidade,h a altura e k uma constante. Sendo v = ωr e considerando que h estáorientada para cima, bem como que g age verticalmente para baixo, pode-seescrever (1.173) como:

p+ 12ρω

2r2 − ρgh = k (1.174)

Tomando a origem no ponto da superfície livre situado sobre o eixo derotação, pode-se fazer r = 0, h = 0 e p = p0, onde p0 é a pressão atmos-férica. Levando esses dados em (1.174) encontra-se o valor da constante kcomo sendo:

p0 = k (1.175)

Relacionando (1.175) com (1.174) tem-se:

p− p0 + 12ρω

2r2 − ρgh = 0 (1.176)

Sendo que em toda a superfície livre do líquido, a qual define a curva, p = p0,a partir de (1.176) vem que:

h = ω2

2g r2

que é uma função de segundo grau (variável r). Posta a girar em torno doseu eixo vertical uma parábola origina o chamado parabolóide de revolução.Quanto maior o valor de ω, mais acentuada é a concavidade do líquido.

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1.159 Efeito Magnus

Objetivo

Verificar e analisar o efeito Magnus.


1 bola de futebol.


Chute uma bola com o lado de fora do pé. Verifique que a mesma nãosegue simplesmente uma trajetória retilínea (no plano vertical), mas acabasofrendo um desvio para um dos lados. Por que isso ocorre?


O que ocorre neste experimento é o efeito Magnus, nome dado em home-nagem ao alemão Heinrich Magnus, que analisou e descreveu o comporta-mento de um corpo dotado de movimento de rotação e translação no interiorde um fluido.

Se uma esfera é lançada ao ar, de modo a possuir apenas movimentode translação, ela descreve uma trajetória retilínea. No entanto, se a esferapossuir movimento de translação e de rotação, ela descreve uma trajetóriacurvilínea. Isso ocorre devido as alterações das linhas de corrente de ar aoredor da esfera. Num dos lados da esfera as velocidades de escoamento doar relativa á rotação e a translação têm o mesmo sentido, e no outro lado,sentidos opostos, o que faz com que as velocidades resultantes nos dois ladossejam diferentes. Onde a velocidade é menor, a pressão é maior, e a boladesvia sua trajetória para esse lado, no mesmo sentido da força resultante,originada pela diferença de pressão.

Vamos fazer uma análise mais detalhada disso. Seja uma bola chutadade forma a girar no sentido horário, de modo que ela descreva uma trajetóriadesviada para a direita. Na Fig.(1.180) temos a representação dos vetoresvelocidades nos dois lados da bola.

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Figura 1.180: Componentes de velocidades numa bola em rotação em sentido ho-rário.

Seja −~v0 a velocidade de translação da bola em relação ao ar. Pode-seconsiderar a bola em repouso e o ar passando por ela com velocidade ~v0. Emrelação a um referencial ligado ao centro da bola as velocidades das partícu-las do ar nas proximidades dos pontos A e B são, respectivamente, −~v1 e~v1. Estas velocidades são impostas às partículas do ar vizinhas á bola devidoao arrastamento provocado por seu movimento de rotação, e podem ser cal-culadas pela relação v = ωr, onde ω e r são, respectivamente, a velocidadeangular e o raio da bola.

Considerando v0 > v1 tem-se que na vizinhança dos pontos A e B o artem, em relação à bola, velocidades dadas por:

vA = v0 − v1 (1.177)

vB = v0 + v1 (1.178)

donde conclui-se que:vB > vA

Dessa forma, de acordo com o teorema de Bernoulli:

pA + ρv2A

2 = pB + ρv2B

2se vB > vA, vem que pB < pA. Por isso, a bola recebe na região do pontoA forças de pressão mais intensas do que no ponto B, o que faz com que sua

338

trajetória seja desviada para a direita. Esse desvio se acentua mais quandoaumenta-se a velocidade angular ω. De acordo com a relação v1 = ωr, sendor constante, aumentando-se ω aumenta-se v1, o que contribui para a diferençanos valores de vA e vB , de acordo com as relações (1.177) e (1.178).

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REFERÊNCIAS

1. AGUIAR, C. E.; PEREIRA, M. M.. O Computador como Cronômetro.Revista Brasileira de Ensino de Física. v.34, n.3, 2012.

2. ANDERSON, David; EBERHARDT, Scott. Como os Aviões Voam:uma Descrição Física do Vôo. Física na Escola. v.7, n.2, p.43-51,2006.

3. ARAÚJO, Mauro S. T. de; ABIB, Maria L. dos S.. Atividades Expe-rimentais no Ensino de Física: Diferentes Enfoques, Diferentes Fina-lidades. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.27, n.2, p.176-194,julho de 2003.

4. ASSIS, André K. T.. Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei daAlavanca. Quebec H2W 2B2, Canadá: Apeiron Montreal, 2008.

5. AXT, Rolando; BONADIMAN, Helio; SILVEIRA, Fernando L. da. OUso de Espirais de Encadernação como Molas. Revista Brasileira deEnsino de Física. v.27, n.4, p.593-597, 2005.

6. BARBOSA, Luis H.; MORA, Cesar E.; TALERO, Paco H.; ORGA-NISTA, José O.. El Soprador Mágico: un experimento discrepante enele aprendizaje de la ley de presión hidrodinámica de Bernoulli. Re-vista Brasileira de Ensino de Física. v.33, n.4, 2011.

7. BERKES, Istvan. A Física do Quotidiano. Tradução de Florbela Fer-nandes. 1ª ed. Lisboa: Gradiva, 1992.

341

8. BISCUOLA, Gualter J.; BÔAS, Newton V.; DOCA, Ricardo H.. Fí-sica. v.1. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

9. BORESI, Arthur P.; SCHMIDT, Richard J.. Dinâmica. Tradução deJoaquim P. N. da Silva. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

10. BORESI, Arthur P.; SCHMIDT, Richard J.. Estática. Tradução de LuisF. de C. Paiva. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.

11. BORGES, A. Tarciso. Novos Rumos para o Laboratório Escolar deCiências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.19, n.3, p.291-313, dezembro de 2002.

12. BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluídos. São Paulo: Pearson Pren-tice Hall, 2005.

13. CAMPOS, Agostinho A. G.; ALVES, Elmo S.; SPEZIALI, Nivaldo L..Física Experimental Básica na Universidade. 2ª ed. Belo Horizonte:Editora UFMG, 2008.

14. CARDOSO, Henrique B; MENDES FILHO, Josué. Improvisando den-tro da Sala de Aula. Física na Escola. v.3, n.2, p.05-06, 2002.

15. CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. Física. v.único. 2ª ed.São Paulo: Moderna, 2003.

16. CATELLI, Francisco; KOLTZ, Alex. Constante Elástica de uma MolaSubmetida ao Próprio Peso. Física na Escola. v.9, n.1, p.33-36, 2008.

17. CERQUEIRA, Francklin E. M.. Ensino Interativo de Física: ativida-des experimentais para ensinar física. 2004. Disponível em: www.leduc.com.br/gratis/docs/livro_fisica.pdf. Acessoem 10/10/2011.

18. CHESMAN, C.; SALVADOR, C.; DE SOUSA, E.; ALBINO JR., A..Colisão Elástica: um experimento didático e lúdico. Física na Escola.v.6, n.2, p.23-25, 2005.

342

www.leduc.com.br/gratis/docs/livro_fisica.pdf

www.leduc.com.br/gratis/docs/livro_fisica.pdf

19. CIVIDINI, Cleison C. Centro de Gravidade. Disciplina de Instrumen-talização para o Ensino de Física I. Curso de Licenciatura em Física.Centro Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR,2006.

20. CIVIDINI, Cleison C. Efeito de Pressão Menor que a Atmosférica.Disciplina de Instrumentalização para o Ensino de Física I. Curso deLicenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano do Sudoestedo Paraná, Palmas, PR, 2006.

21. CORRADI, W.; VIEIRA, S. L. A.; TÁRSIA, R. D.; BALZUWEIT,K.; FONSECA, L.; OLIVEIRA, W. S. de. Física Experimental. BeloHorizonte: Editora UFMG, 2008.

22. COUTO, Francisco P.. Atividades Experimentais em Aulas de Física:repercussões na motivação dos estudantes, na dialogia e nos proces-sos de modelagem. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdadede Educação, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), BeloHorizonte, 2009.

23. CRUZ, Roque; LEITE, Sergio; CARVALHO, Cassiano de. Experi-mento de Física em Microescala. v.1. São Paulo: Scipione, 1997.

24. DELIZOICOV, Demétrio; ANGOTTI, José A.; PERNAMBUCO, MartaM.. Ensino de Ciências: Fundamentos e Métodos. 3ª ed. São Paulo:Cortez, 2009.

25. DIAS, Marco; AMORIM, Helio de; BARROS, Susana. Produção deFotografias Estroboscópicas sem Lâmpada Estroboscópica. CadernoBrasileiro de Ensino de Física. v.26, n.3, p.492-513, dezembro de2009.

26. EASTLAKE, Charles N.. A Visão de um Engenheiro Aeronáutico acercada Sustentação, Bernoulli e Newton. Física na Escola. v.7, n.2, p.52-57, 2006.

27. FELTRE, Ricardo. Química. v.1 e v.2. 6ª ed. São Paulo: Moderna,2004.

343

28. FERNANDES, Bruno; SANTOS, Wilma; DIAS, Penha. Onde está oAtrito? Discussão de dois Experimentos que Exemplificam a Lei deInércia. Física na Escola. v.6, n.2, p.17-19, 2005.

29. FERREIRA, Raphael; SANTOS, Wilma; DIAS, Penha. Construçãodo Conceito de Momento de uma Força a partir de Experimentos Re-lacionados ao Cotidiano. Física na Escola. v.9, n.1, p.37-39, 2008.

30. FIGUEROA, D.; GUTIERREZ, G. Demostraciones de Física: ele-mento motivador en la formación del docente. Revista Brasileira deEnsino de Física. v.14, n.4, p.253-256, 1992.

31. GASPAR, Alberto. Física. v. único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2008.

32. GASPAR, Alberto. Experiências de Ciências para o Ensino Funda-mental. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2009.

33. GASPAR, Alberto. Compreendendo a Física. v.1. São Paulo: Ática,2010.

34. GIORDAN, M. O Papel da Experimentação no Ensino de Ciências.Química Nova na Escola. n°10, Novembro de 1999.

35. GONÇALVES FILHO, Aurélio; TOSCANO, Carlos. Física e Reali-dade. v.1. 1ª ed. São Paulo: Scipione, 2011.

36. GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Leituras de Fí-sica. v.1. São Paulo: Edusp, 1998.

37. GUIMARÃES, Luciana R.. Atividades para Aulas de Ciências: ensinofundamental, 6º ao 9º ano. 1ª ed. São Paulo: Nova Espiral, 2009.

38. JESUS, V. L. B. de; MACEDO JUNIOR, M. A. V.. Uma Discussãosobre Hidrodinâmica Utilizando Garrafas PET. Revista Brasileira deEnsino de Física. v.33, n.1, 2011.

39. JURAITIS, Klememsas R.; DOMICIANO, João B.. Introdução aoLaboratório de Física Experimental: métodos de obtenção, registroe análise de dados experimentais. Londrina: EDUEL, 2009.

344

40. LABURÚ, Carlos E.; SILVA, Osmar da. Determinação da PressãoInterna de Lâmpada Fluorescentes (um Experimento de Baixo Custo).Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.21, p.249-257, Agosto de2004.

41. LABURÚ, Carlos E.; TREVISAN, Fabrícia. Fumaça Sobe ou Desce?Física na Escola. v.4, n.2, 2003.

42. LABURÚ, Carlos E.. Seleção de Experimentos de Física no EnsinoMédio: uma Investigação a partir da Fala de Professores. Investigaçãoem Ensino de Ciências. v.10(2), p. 161-178, 2005.

43. LOPES, Wilson. Velocidade de Escoamento Horizontal de Água porum Condutor. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.27, n.2, p.385-393, agosto de 2010.

44. LUNAZZI, José. Corpos no Interior de um Recipiente Fechado eTransparente em Queda Livre. Caderno Brasileiro de Ensino de Fí-sica. v.24, n.3, p.319-325, dezembro de 2007.

45. MANUAL de Atividades Práticas. Física e Ciências. 4ª ed. AutolaborSoluções Inteligentes, 2006.

46. MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Física - Ensino Médio.v.1. São Paulo: Scipione, 2008.

47. MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. v.1.São Paulo: Scipione, 2010.

48. MEDEIROS, Alexandre; MEDEIROS, Cleide F. de. Desvendando oMistério do Duplo Cone. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.25,n.3, 2003.

49. MENDES, Paulo. Física Experimental: como realizar experiênciasem física. Coimbra: Universidade de Coimbra, 1998.

50. MOSSMANN, V. L. da F.; CATELI, K. B.; LIBARDI, H.; DAMO,I. S.. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético

345

Utilizando-se a Aquisição Automática de Dados. Revista Brasileirade Ensino de Física. v.24, n.2, p.146-149, 2002.

51. PARÂMETROS Curriculares Nacionais (PCNs). Ensino Médio. Bra-sília: Ministério da Educação, 1999.

52. PENTEADO, Paulo C. M.; TORRES, Carlos M. A.. Física - Ciênciae Tecnologia. v.1. São Paulo: Moderna, 2005.

53. PERUZZO, Francisco; CANTO, Eduardo do. Química na Abordagemdo Cotidiano. v.1 e v.2. 4ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.

54. PERUZZO, Jucimar. Densidade de Líquidos com Base na Densidadeda Água. Disciplina de Instrumentalização para o Ensino de Física I.Curso de Licenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano doSudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2006.

55. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Composição e Decom-posição de Forças. Disciplina de Introdução à Física Experimental.Curso de Licenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano doSudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2004.

56. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Movimento Bidimensi-onal: Lançamento de Projéteis na Horizontal. Disciplina de FísicaExperimental I. Curso de Licenciatura em Física. Centro UniversitárioDiocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2004.

57. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Trabalho de uma Mola.Disciplina de Física Experimental I. Curso de Licenciatura em Física.Centro Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR,2004.

58. PERUZZO, Jucimar; SANTOS, Muriel C. dos; CENCI, Rejane; CI-VIDINI, Cleison C.. Densidade de Sólidos e Líquidos. Disciplina deFísica Experimental II. Curso de Licenciatura em Física. Centro Uni-versitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2005.

346

59. PERUZZO, Jucimar. Determinação de g Através da Captação do Somde Impacto de Corpos com o Solo. Caderno Brasileiro de Ensino deFísica. v.27, n.1, p.159-166, abril de 2010.

60. PIACENTINI, João J.. Introdução ao Laboratório de Física. Floria-nópolis, SC: Editora da UFSC, 1998.

61. PIMENTEL, Jorge. Bic: Um Ludião que Funciona. Física na Escola.v.7, n.1, p.34, 2006.

62. RAMALHO JR., Francisco; FERRARO, Nicolau G.; SOARES, PauloA. de T.. Os Fundamentos da Física. v.1. São Paulo: Moderna, 2003.

63. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth. Física.v.1. Tradução de P. M. C. L. Pacheco, L. de S. Xavier, P. P Kenedi eM. A. Savi. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

64. RICETTI, Rodrigo. Construindo um Densímetro. Revista Brasileira deEnsino de Física. v.24, n.3, p.371-373, 2002.

65. SAMPAIO, José L.; CALÇADA, Caio S.. Universo da Física. v.1.2ªed. São Paulo: Atual, 2005.

66. SANT’ANNA, Blaidi; MARTINI, Gloria; REIS, Hugo C.; SPINELLI,Walter. Conexões com a Física. v.1. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.

67. SANTOS, Muriel C. dos. Demonstração da Primeira Lei de Newton eda Força de Atrito Estático e Dinâmico. Disciplina de Instrumentaliza-ção para o Ensino de Física I. Curso de Licenciatura em Física. CentroUniversitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2006.

68. SEBASTIANY, Ana; DIEHL, Nan; HARRES, João; PIZZATO, Mi-chelle. Construção de Três Dispositovos de Baixo Custo para o Es-tudo do Movimento Circular Através da Transferência de Movimento.Física na Escola. v.10, n.2, p.25-28, 2009.

69. SERWAY, Raymond. Física Para Cientistas e Engenheiros. v.1. 3ªed.Rio de Janeiro: LTC, 1996.

347

70. SILVA, Claudio X. da; BARRETO FILHO, Benigno. Física: Aula porAula. v.1. São Paulo: FTD, 2010.

71. SILVEIRA, Fernando L. da; LEVIN, Yan. Pressão e Volume em Balõesde Festas: podemos confiar em nossa intuição. Caderno Brasileiro deEnsino de Física. v.21, n.3, dezembro de 2004.

72. SILVEIRA, Fernando L. da; AXT, Rolando. Podem Molas em QuedaLivre ter Aceleração Maior do que a da Gravidade. Física na Escola.v.6, n.2, p.05-07, 2005.

73. SILVEIRA, Fernando L. da. Inclinação das Ruas e das Estradas. Fí-sica na Escola. v.8, n.2, p.16-18, 2007.

74. SILVEIRA, Fernando L. da; MEDEIROS, Alexandre. O Paradoxo Hi-drostático de Galileu e a Lei de Arquimedes. Caderno Brasileiro deEnsino de Física. v.26, n.2, p.273-294, agosto de 2009.

75. SILVEIRA, Fernando L. da; BRAUN, Luci F. M.; BRAUN, Thomas.Colisão com o "Efeito Estilingue". Revista Brasileira de Ensino deFísica. v.32, n.3, 2010.

76. SISMANOGLU, B. N.; GERMANO, J. S. E.; CAETANO, R.. A Utili-zação da Filmadora Digital para o Estudo do Movimento dos Corpos.Revista Brasileira de Ensino de Física. v.31, n.1, 2009.

77. STUCHI, Adriano. Sugestão de Experimento para a Verificação daTroca de Calor por Convecção. Física na Escola. v.4, n.1, p.15-16,2003.

78. SOUZA, J. A. de. Um Foguete de Garrafa PET. Física na Escola. v.8,n.2, 2007.

79. TORRES, Carlos M. A.; FERRARO, Nicolau G.; SOARES, Paulo A.de T.. Física: Ciência e Tecnologia. v.1. 1ª ed. São Paulo: Moderna,2010.

80. UENO, Paulo. Física. v.único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.

348

81. VALADARES, Eduardo de C.; MATEUS, Alfredo L.. Aerodescober-tas. Física na Escola. v.7, n.2, p.61-65, 2006.

82. VALADARES, Eduardo de C.. Física Mais que Divertida: inventoseletrizantes baseados em materiais reciclados e de baixo custo. 3ª ed.Belo Horizonte: Editora UFMG, 2012.

83. VERTCHENKO, Lev; DICKMAN, Adriana; FERREIRA, José. Trans-ferência de Fluído por meio de um Sifão vs. Aplicação da Equação deBernoulli. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.31, n.3, 2009.

84. VIOLIN, A. G. Atividades Experimentais no Ensino de Física de 1ºe 2º graus. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.1, n.12, p.1-24,1979.

85. WALKER, Jearl. O Grande Circo da Física. Tradução de Jorge A.Valadares. 2ª ed. Lisboa: Gradiva, 2001.

86. WHITE, Franck M.. Fluid Mechanics. 4ª ed. Boston: McGraw-Hill,1998.

87. YAMAMOTO, Kazuhito; FUKE, Luiz F.. Física para o Ensino Médio.v.1. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

88. Baú de Ciências. www.fsc.ufsc.br/baudeciencias. Acessoentre 01/03/2012 e 10/03/2012.

89. Ciência à Mão - Portal de Ensino de Ciências. www.cienciamao.usp.br. Acesso entre 01/06/2011 e 15/06/2011.

90. Experimentoteca-Ludoteca. www.ludoteca.if.usp.br. Acessoentre 10/11/2010 e 15/12/2010.

91. Experimentos de Física. www.fc.unesp.br/experimentosdefisica/.Acesso entre 10/11/2010 e 15/12/2010.

92. Feira de Ciências. www.feiradeciencias.com.br. Acesso en-tre 10/11/2010 e 15/12/2010.

349

www.fsc.ufsc.br/baudeciencias

www.cienciamao.usp.br

www.cienciamao.usp.br

www.ludoteca.if.usp.br

www.fc.unesp.br/experimentosdefisica/

www.feiradeciencias.com.br

93. Mago da Física. www.magodafisica.com. Acesso entre 01/06/2011e 15/06/2011.

94. Sala de Física. www.saladefisica.cjb.net. Acesso entre 10/11/2010e 15/12/2010.

95. Seara da Ciência. www.seara.ufc.br. Acesso entre 10/11/2010 e15/12/2010.

350

www.magodafisica.com

www.saladefisica.cjb.net

www.seara.ufc.br

Índice Remissivo

água que não cai, 236área, 6, 149, 151, 266área de contato, 92ângulo de lançamento, 49iceberg, 286looping vertical, 115, 161spray, 326

ação e reação, 60, 62, 63aceleração, 18, 32, 78aceleração centrípeta, 74aceleração da gravidade, 35, 37aceleração relativa, 27aceleração vertical, 65alavanca inter-resistente, 125alavanca interfixa, 123alavanca interpotente, 127alavancas, 123alcance horizontal, 44, 187algarismos significativos, 3, 6, 8Aristóteles, 23, 52Arquimedes, 138asa de avião, 328associação de molas, 70associação de roldanas, 135atrito, 80, 94, 174, 191atrito dinâmico, 80, 82, 95

atrito e peso, 84atrito estático, 80, 82, 86atrito viscoso, 314

barco, 305, 306Bernoulli, 315blocos empilhados, 231

cadeira giratória, 177canudinho de refresco, 263capilaridade, 241, 243, 245carretel, 121centrífuga, 58centro de equilíbrio, 224centro de gravidade, 218centro de massa, 206, 207, 214, 233chafariz, 273coeficiente de atrito, 80, 95, 229coeficiente de restituição, 199colisão elástica, 201colisão inelástica, 201colisões, 195colisões de bolas, 198compressão, 295conservação da energia, 130, 157, 158,

161, 183

351

conservação da quantidade de movi-mento, 163, 168, 177, 183

constante elástica, 67, 72corpo extenso, 207Coulomb, 81

da Vinci, 81, 93, 176decomposição de forças, 131, 144decomposição de velocidades, 50densímetro, 291densidade, 6, 8, 147, 285, 310densidade e empuxo, 287descompressão, 295direção tangente, 74dissipação de energia, 174duplo cone, 204

efeito Coanda, 254, 256efeito estilingue, 198efeito Magnus, 337elevador hidráulico, 297empuxo, 282, 303energia cinética, 96, 156, 157, 160energia de uma mola, 155energia mecânica, 157, 184energia potencial elástica, 155, 157energia potencial gravitacional, 157,

160equação da continuidade, 332equilíbrio, 144, 208equilíbrio de um martelo, 216equilíbrio de uma pessoa, 220equilíbrio de uma vassoura, 228escoamento, 267esvaziamento de uma lata, 277

figuras planas, 218filete de água, 332filetes de água, 252flutuação de um ovo, 310fluxo, 333força, 78, 149, 151, 266força centrífuga, 59força centrípeta, 74, 109, 111, 113força de adesão, 242força de atrito, 80, 84, 89, 92, 229força de coesão, 242, 251, 253força de inércia, 59força normal, 65, 80, 89, 229força radial, 110forças horizontais, 141forças internas, 164, 214frequência, 101função horária, 18funcionamento de um cd, 106

Galileu, 17, 20, 26, 32, 52gangorra, 118gelo, 286grandezas físicas, 1

helicóptero, 175

imponderabilidade, 29impulso, 193impulso e força, 194inércia, 52, 54, 56, 57, 191inclinação de estradas, 179inclinação e equilíbrio, 202independência das massas, 21, 22independência das trajetórias, 25

352

João bobo, 222João teimoso, 222

líquido em rotação, 335lançador de projéteis, 49lançador horizontal, 186lançamento horizontal, 44, 46lançamento oblíquo, 45, 50lei da inércia, 52, 54, 56, 57, 74lei de ação e reação, 60, 62, 63lei de Hook, 67, 72lei de Stevin, 258, 261lei de Stokes, 314leis de Newton, 229ludião, 308

macaco de automóvel, 129macaco hidráulico, 300Magnus, 337manômetro, 293mangueira enrolada, 280massa, 65, 78, 147massa de um automóvel, 153massa específica, 148MCU, 107medidas físicas, 1mola, 67, 70, 155momento angular, 177momento de inércia, 177, 217movimento circular, 73, 100, 107movimento de rotação, 174movimento de translação, 210movimento de um helicóptero, 175movimento do centro de massa, 210movimento retilíneo, 11, 16

movimento uniforme, 11movimento uniformemente variado, 16MRU, 11, 14MRUV, 16multiplicação da força de atrito, 94

Newton, 184

oscilação do balanço, 233

pássaro equilibrista, 226pêndulo de Newton, 183parábola, 17paradoxo, 284período, 101peso, 65, 142peso aparente, 65peso do ar, 284peso do fluído deslocado, 283plano inclinado, 131posição, 11pregando um prego, 189pressão, 149, 151, 266pressão atmosférica, 237, 262, 265pressão dos pneus, 153pressão e profundidade, 257principio de Bernoulli, 315, 329principio de independência de movi-

mento, 26principio de Pascal, 298principio fundamental da dinâmica, 78

quantidade de movimento angular, 168,170, 172, 173, 177

quantidade de movimento linear, 163,166, 191

353

queda livre, 19, 21, 22, 25, 31

rapidez de um golpe, 196reação normal, 65redução da tensão superficial, 250relatividade das trajetórias, 42resistência do ar, 23rodas acopladas, 103rodas dentadas, 103roldana fixa, 133roldanas móveis, 135

salto em altura, 206seguindo pela tangente, 76segunda lei de Newton, 192segurando água, 240sifão, 269sifão automático, 271sistema massa-mola, 157submarino, 308sustentação de um avião, 328

talha exponencial, 137tempo de interação, 195tempo de queda, 40tensão superficial, 246tensão superficial e detergente, 248teorema da energia cinética, 96teorema de Bernoulli, 318, 338teorema do trabalho-energia, 156terceira lei de Newton, 62, 64, 303,

329torque, 118, 216trabalho, 96, 130, 155trabalho de uma mola, 155

vácuo, 32, 266vantagem mecânica, 129vaso de tântalo, 275vaso mágico, 275vasos comunicantes, 261vassoura, 228vazão, 333velocidade, 10velocidade angular, 100, 106, 177velocidade e pressão, 319, 320, 322velocidade linear, 100, 106velocidade média, 10viscosidade, 312volume, 6, 147

354

a fÍsica atravÉs de -...

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