UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Departamento de Estruturas

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

FASCÍCULO II

Dagoberto Dario Mori

Eduardo José Pereira Coelho

São Carlos, 1979

Publicação 083/91 Reimpressão

I I,

i !i

I ..

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Departamento de Estruturas

EXERCICIOS RESOLVIDOS DE

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

FASCÍCULO 11

Dagoberto Dario Mori

Eduardo José Pereira Coelho

São Carlos, 1979

Publicação 083/91 Reimpressão

l '

(.) (/) - \ w - I

V> w (O l!)

o r--~ C") o G) ..-~ o o ..-

INTRODUÇÃO (/) ..-:J C") ..J

:Í N D I C E

LISTA N9 lO (LlO) - ESTADOS DE TENSÕES

LISTA N9 11 (Lll) - ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

LISTA N9 12 (L12) - CRITÉRIOS DE RESISTf:!NCIA,

LISTA N9 13 (Ll3) ~ FLEXÃO GERAL

LISTA N9 14 (L14) - TORÇÃO LIVRE DE BARRAS DE SEÇÃO QUALQUER

LISTA N9 15 (LlS) - FLAMBAGEM

LISTA N9 16 (Ll6) - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E CÃLCULO DE

DESLOCAMENTOS

-~

'

' . ..,.

l.J 1()

Ll0-1

ESTADOS DE TENSÕES

As fórmulas que se seguem prestam-se à determinação de

tensÕes que atuam em um plano que forma um ângulo genérico a com

a direção do eixo y, usada como referencial.

y

Ol>O

ou

ou

/ /

/ /

/

ii

FIG. 10. i- ROTAÇÃO OOS EIXOS COORDENADOS

cr +cr cr- ~

X

T--xy =

X y + 2

cr -cr y X

2

cr -cr X y

2 cos2a + 1" sen2a

xy

sen2a + 1" xy

cos2a

2 2 , __ = (cr -cr )sena cosa + 1" (cos a-sen a) xy y x xy

!roço do plano yy

y

....

......

~ . . .. .....

(10,1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

o OBS P Calcula ~ ~- usa se o -angulo S. Sendo S=a+90 tem-se: ,: arase -v -- y

cr-Y

2 = cr s en a. + X

2 cos a - 21" xy

cosa sena

~= a) o ângulo a e marcado positivamente a partir de urna vertical (eixo y) e no sentido anti-horirio ate o traço do plano

em que atua a tensao a ser calculada,

b) cr , cr = tensões normais que atuam nas X y

direçÕes dos

eixos perpendiculares x e y, consideradas positivas se traciona

rem as faces do elemento,

c) 1" xy = tensão de cisalhamento aue atua .nas faces do e . -

lementol) paralelas aos eixos x e y. Esta tensão ~ considerada

sitiva se o seu sentido coincidir com o eixo que lhe for paralelo,

desde que, na face onde atua, uma tensão normal de tração tiver

sentido coincidente com o outro eixo, ou seja, para crx positivo e

Ll0-2

concordante com o sentido de x, T ~ositivo e aquele que concor xy

da com o sentido de y.

cujos.

(eixo

d) cr-, cr-, T7- = tensÕes normais e tangenciais a planos X y ~y O

traços formam angulos a e a+90 com uma direção vertical

y). Os ingulos ·a e a+90° são considerados positivos quando

marcados no sentido anti-horário. A convenção de sinais e mantida para estas tensoes, respeitando os sentidos dos eixos que

correspondem (~e y). lhes

Observe-se, pela expressão (10.3), que existe um ingulo

particular a , que anula o valor.de T--, levando à equação p xy

2 T XY tg ( 2a ) =

p cr -o X y

.... (10.5)

de cujas infinitas soluçÕes, interessam dois valores de a que p

correspondem a duas direçÕes perpendiculares entre si, as quais

são chamadas de direçÕes principais. Estas direçÕes principais d~

finem dois planos, nos quais atuam tensões cr 1 e cr 2 (tensÕes urin

cipais) dadas por:

= cr +cr

X y ± 2 .... (10.6)

OBS.: Os ingulos a calculados através da expressao (10.5) sao p

marcados positivamente a partir de uma vertical (eixo y) e

no sentido anti-horário.

Uma vez determinados os valores das tensoes principais cr1

e

cr 2 podem-se obter analiticamente as POSiçÕes dos eLXOS prin

cipais 1.1 e 2.2, relativamente aos eixos x e y, utilizando

na expressao (10.1)

(10.5) e comparando

o ângulo a encontrado na expressao p

os valores de cr- ou cr- aos resultados X y

de cr 1 ou cr 2 já conhecidos.

Ll0-3

I) Solução Analitica

r7y = q f

; ·J

X

FI G. lO. 2 - CORTE !·!

y

,II

/-!/ tq 150~~···

CTrr= 1,6 tf /cm2 \ ·j-,....:.--,

"}· t .·· n~~ soo

/I[

FIG. 10.3- CORTE JI .Ir

Para o plano representado pe!o corte I-I tem-se, com

base na Fig. 10.2 e nas expressies (10.1) e (10.3):

a • I

(p+q) + (p-q) cos(90°) + T sen(90°) 2 2

. . a = I • • • • (A)

T • -o 8 = (q-p) sen 90° + T cos 90° I ' 2

p - 9 - 1,6 • • • • (B)

Para o plano representado pelo corte II-II tem-se:

110-4

(p+q) + 2

3p + q - 6,4

(q-p) sen(-60°) + T cos(-60°) 'II = 2

•

OBS.: T • T • 0 xy

'u = o,43 (p-q)

• • • • (c)

• • • • (D)

O sistema de equaçoes (B) e (C) resolvido leva a

2 p • 2,0 tf/cm

2 q • 0,4 tf/cm

Utilizando os valores p e q em (A) e (D) obtêm-se:

a • 1,2 tf/cm2 I

2 'II = 0,69 tf/cm

II) Solução Gráfica (eirculo de Mohr)

p t t t t

L --- X ---

q

p -------t I ~ f q I '

FIG. 10.4- ESTADO DE TENSO-ES

,, ,, . -~

,,,., '., . ~

Ll0-5

o (1( tf /em2 l

q

0,8

I 6

p

FIG. 10.~- CIRCULO DE MOHR

Nas faces paralelas aos eixos x e y tem-se~ = O, sendo portanto p e q tens~es principais; usando G conceito de pelo, co~

~ase na Fig. 10.4, conclui-se que o pelo tem coordenadas (p;O).

Admitindo conhecido o pelo, atravis dele, paralelamente

ao corte I-I, e.ncoat.zar-se-ia o ponto A, cujas coordenadas serram-

e = 0,8,-esta Última i~ual ao raio R do cÍrculo.

'' '. E.:S 2

2 = R = 0,8 tf/cm

Pelo poio, se se tirasse uma paralela ao corte II-II, ., encontra\r-se-ia o ponto B, de coordenadas c;II = 1,6 e 'II"

Atravis da Fig. 10.5, pode-se concluir que:

ox = 1,6 = q + R+ R cos 60° = q + 0,8(1+ t> ~

••• q = 0,4 tf/cm~

Dessa forma resulta

2 p = 2, O tf I em

o

Ll0-6

t

Ll0-7

I

o

=-------------r - . - p l = ----- t -

tat

I o. I at

'

r :: ________ l_ __ J tampa rt

FIG. 10.8 - TENSÃO 0 1 FI G. 10.9- TENSÃO cr1

Ftampa = for;a na tampa • p • a · 1TD • t i

• • •

Com D = 100 em, t p 2em e p • 50 kgf/em 2 resultam

I) Solução Analrtica

2 oi = 625 kgf/cm

No plano do corte II-II atuam as tensoes o1

I e 'II' ob-

tidas por:

CORTE II • ll

= - 60"

X

30"

F!G. lO -10

-r II =

Ll0-8

2 = 1093,8 kgf/cm

crt-cri o 2 (

2 )sen(-120 ) = -270,6 kgf/cm

No plano da solda (corte II-II), as tensoes podem ser

representadas.por:

i

FIG. 10. li

O sentido de -r11

concorda com o sentido de y pelo fato

da mesma ser negativa; verifica-se que uma tensão normal ?Ositiva

nesse plano, discorda do outro eixo x.

II) Solução atravis do crrculo de Hohr

62!5 +-CTn

1250

FIG. 10.12

Portanto: '· . .

Ll0-9

R • raio do circulo • 1250- 625 • 312,5 kgf/cm2 2

13 --. 2

o • R sen 60 • 312,5 270,6 kgf/cm 2

crii • 625 + R+ R cos 60° • 625+312,5(1+ i) • . I 2 • 1093,8 kgf Ct:l

FIG.IO. 13

~o plano da_~, as tensoes normal e tangencial devem

obedecer ãs seguintes restriçÕes:

a) cr cc ~ O (a cola não suporta tração)

. 2 . 2 :!'(0,4 tf/cc ou seja, -r .:S;; 0,4 tf/cm para - CC

1: positivo e 1: ~ CC CC

-0,4 tf/cm 2 para 1: negativo, CC

')

- 0,4 o 0,4 z. ----+-----+----1----- "C(tf/CITJI

faixa de valores

1 Que "Ccc pode assumir'

FIG. 10.14

Ll0-10

I) Solução AnalÍtica

Orientando a peça colada com os e~xos x e y da Fig.

10.13 e respeitando a orientação para as tens;es, impostas na Fig.

10.1, ~em-se:

T = o xy

-0,5 t f I em 2 cr = X

;

!1êêl "'i'fll~l ~f?l~ H!êll''=

I R ~~~@ êY =~•ª

• • •

(; +0,5 = I c Y~ )§ên(=~r,©)!

=

• • • • •

A soluçio que satisfaz as 3 condiç~cs encontradas para

cry é dada por:

LlO•ll

• -1 3 o

k·oee·e=e·u o • e e o e e e o e c. e o e 4

-- e e e :e ,.. e e e o e e o ~ ,as ~ c •

-1.,3 0,3

....----------------- a-1 ltf/cm)

(j y

FIG. IO.IS

~

0,3 tf/CT!l~

Observe ·que estes resultados sao igualmente encontrados

se se considerar que r;y pode ser negativo.

li) Solução Gráfica

Utilizando-se 6 crrculo de Mohr com base no estado de

tens~es da Fig. 10.13, obtem-se inicialmente o ponto P (polo) de

coordenadas r; • -0,5 tf/cm 2 e T • O. Através do polo, uma dir_e x xy

ção paralela ao corte cc, cortará o crrculo em um ponto de coord~

nadas r; e T • A 1! restrição (r; ~ O) é respeitada através do CC CC CC

crrculo CD. ao qual pertencem o polo p e o ponto A, de coordena-das a • O e I• I • 0,5 tf/cm2. A 2! restrição

110-12

'tltf/cm2 ) CORTE CC ( 2'l restri çõo)

( 1~ restrl~o)

circulo 3 circulo 2

_reto 1

0,4

0,4

roto 2

0,4 04

iintervolo em que O' pode Yori ar

FIG. 10.16

45

' /

~~ P(tl

~~' P(t) / "' 45°

4

o

FIG. 10.17 ESFORÇOS NO PARALELEPIPEDO

Ll0-13

a) Esforços no Paralelepipedo

Isolando os nós C2) e ~. seus equilrbrios fornecem:

FIG. 10.18 NÓS (i) E @ ISOLADOS

NlS p

•P/2 • cos45°

N1Z • N lS • co s 45° .. 'p

N26 .. Nl2 cos45°

• P/2

Dada a simetria do sistema, resultam

e portanto. o paraleleprpedo fica sujeito apenas aos esforços da

Fig. 10.19, uma vez que não é considerado o atrito existente en-)

tre suas faces ·e as sapatas.

Os esforços normais às faces do paraleleprpedo são

considerade-s uniformemente.distriburdos em suas respectivas á-reas, atuando como tensÕes principais a, supondo aceitável a hi- ·

pÓtese d~ "inexistência"· de tensÕes de cisalhamento.

Ll0-14.

FI G. 10.19 -PARALELEPJPEDO ISOLADO

Um elemento de volume do sólido, fica portanto, sujeito

a um estado triplo de tensoes, como se representa esquematicamen-

te na Fig. 10.20, tomando-se cr 1 ~ a 2 ~ cr 3 .

I"IG 10.20 ESTADO DE TENSÕES NO SÓLIDO

Cl'j, .. ()

02 " = rl2 ~ " =

r/1 2!1. ~

03 .. - 1'11' .. - r/1 .!1 ;r 2.:1 "2

Ll0-15

trada na Fig. 10.21, na q~al se pode determinar o valor de T · max

com base no círculo de maior diâmetro, correspondente. ao estado

de tensÕes de uma face sujeita ãs tensÕes cr1

e cr3

•

I

-t-I : "tmox

+--=0'-'-----+-

I 1 . !T - = -z

Ll0-16

No estado de tensoes em torno de um ponto interno de u-

ma viga, de maneira geral pode-se considerar que a tensão o é nu - y

la, admitindo que as tensoes o provenientes da açao do carrega-y

mento externo causam somente perturbaçÕes locais, que' se dissipam

à medida que se consideram pontos afastados das faces externas da viga, segundo o Principio de Saint-Venant.

Cl

FIG. 10. 23 -ESTADO DE TENSOES NA

VIGA

tor e as

As tensoes normais ox

tensões de cisalhamento

sao provocadas pelo momento fle-

1 são provocadas pelo esforço xy

cortante, como segue:

1 xy

M (x) • -J- ·y

z

onde y i a distância da Linha Neutra ao ponto considerado, Ms e z

o momento estático, em relação ao eixo z, da área hachurada si-tuada abaixo do ponto e b i a largura da seção transversal ao nr vel do ponto (Fig. 10.22.a)

a) Cálculo das TensÕes

Um elemento em torno do ponto P, segundo a orientação

das direçÕes a-a e b-b, fica sujeito às tensÕes indicadas na Fig.

10.24.

' !. ..

L10-17

Cl b

CTll LI 'l:xy "':xy

b

Flt. 10.24 ESTADO OI! TENso·ES EM TORNO CO PON'rO P

Usando a expressao (10.1), com ay • O

obtém-ma:

o e •::1 • :1: ·45 ,

(] a a

(]X O O 2 2 cos(90 )+ Txy·sen(90) • 750 kgf/cm

ou seja:

(] - 2T = 1000 x xy

(] + 2T = 1500 x xy

e portanto:

\

CJ = 1250 kgf/cm 2 X

.......====:; 1250

12 !'i ====:--:--1

125kg/cm2

1250 kg/cm2 ----FI G. 10.25 ESTADO DE

TENSÕES

T.l0-18

b) Cálculo dos Esforços Solicitantes

~r = zz 6x12 3

12

Yp = 3, O em

a • J X ZZ

y p =

= 864 4 em

1250x864 3,0 = 360.000 kgf.cm = 360 tf·cm

Como a tensao r:Jx resultou positiva e o ponto P situa-

se abaixo da Linha Neutra, pode-se concluir q*e o momento encon-

trado traciona a viga em baixo.

M8 • 3 X 6 X 4,5 = p 3 em

'b • 6 ~O em

Q = 125x6,0x864,0 = 81,0 8000 kgf = 8,0 tf

A força cortante encontrada tem direção e sentido iguais

aos da tensao T , ficando a seçio transversal solicitada pelos es xy

forços Me Q indicados na Fig. 10.26.

Q= sp ti

-+:_-_·_-_---~----_-_-_·~~~~-----·V·· . .,.,.~ ,

FIG.I0.26-ESFORÇOS SOLICITANTES Me Q

Observe que este esforço cortante, proveniente de uma

tensao T considerada positiva segundo a convenção adotada, teria xy um sinal negativo segundo a convenção de esforços solicitantes(dia

gramas de Q), que considera positiva a cortante que percorre a se-

çao no sentido horário.

Ll0-19

Este problema deve ser resolvido em duas etapas, a pri-

meira isotitica e a segunda hiperestitlca, isto i, a primeira ati a situação em que a viga, ao se deformar, encosta no apoio móvel

B, e a segunda a partir dessa situação.

Sendo de 0,5 em a folga existente entre o eixo indefor-

mado e o apoio B, procura-sé o valor de uma parcela p1 da carga total, necessária para produzir no centro da viga uma flecha de

0,5 em. Sabe-se que essa flecha i dada por

onde

ou seja

f ~ max s pl~ 4

• 3a4 E J

b h 3

z

·-· 6xl2 3 ~m4 • 864 ~ 12 12 0,5 - 384x2000x864 r 1 • 2,59xl0-

3 tf/cm : 0,26 tf/m

Pode-se concluir, com isso, que da carga total p • 0,6

tf/m, uma parcela p1 • 0,26 tf/m trabalha para encostar o centro

da viga BO apoio B, sobrando portanto, para a segunda etapa, uma

carga p 2 • 0,34 tf/m.

Essa etapa, hiperestãtica, i resGlvida por superposição de efeitos, sendo a estrutura real(l), substituÍda pela soma das

estruturas (2) e (3).

( l )

(2)

'3)

rrr1 'i 11 'I'L'L-_,'1_1' ...... '' 'Lll"-_'1 .,.D..,. . ..,I-.'1 ,..1 -r1..,...,1 [ .... ~~~ • o,34 11/m

RJ fRa rRe

,I

I I I

111

1:~' ;;:;1 =1=1 ::1 ;::i ;;:;!::;!:::;1 ::::;;:[::::';:;;! -;;:;] :;;:;1·~-L=I-::' ;:I::';Ç;}-P2 • o,:s4tt/m mr l

'

+

! '

' I'ICII. lO. 27 • UTAUTUIIIA HIIIIUUTÁTICA

Ll0-20

No cálculo de RB usa-se a condição de que a flecha em

B (na segunda etapa) vale zero. No problema 2 , a flecha em B

vale:

4 5 p2

t

384 E J z =

-2 4 5x0,34xl0 x400 384x2000x864 = 0,656 CI:l

e no problema 3 , a flecha em B vale:

e portantcl

3 R8

·400 3

fB3 RE·Q.

o, 772 RB = 48 = = E J 48x2000x864

A nulidade da flecha e~ R permite escrever aue

- ! B = O 3

0,772 R8 - 0,656 = O

R, = 0,85 tf

Portanto, para o problema em questao tem-se

H =O vert

""'- p =0,6tf/m

~~:::::::::::::::;;:==:::=~/A@

·'·t'~A l 0,65 H j R c ~ 2m l, 2m I !

FIG. 10.26

+ R x4 + 0,85 X 2 - 0,6 X 4 X 2 = 0 c

R = O, 77 5 tf c

RA + 0,85 + 0,775 - 0,6 x 4 = C

RA = \1,775 t!

Ll0-21,

Conhecidas as reaçoes de apo~o traçam-se os diagramas

de força cortante e momento fletor.

@ 0.77511'

10,425 tf

0,775 !'F

@

0.3tf.m

FIG. 10.29

O cilculo das tensoes principais no ponto D da seçio

transversal localizada i direita do apoioB, ; feito com os esfor ços M

I

z

= 0,35 tfm (tração embaixo) e Q = 0,425 tf. bs6cm

y

3em

y = 3em o

6 em

= 3 X 6 X 4,5 = 81

FIG.I0.30- SEÇÃO TRANSVERSAL

cr X

= 35x3 2 y 0 =-'8"64 =-0,1215 tf/cm

3 em

Como o ponto D estã acima da Linha Neutra e o momento

-1 " · f'b · f · s a tensa-o o comprimirá r etor ctB trac1ona as 1 ras 1n er1ore , x

o elemento plano em torno do ponto D.

Ll0-22

0 • 425 xSl a 0,0066 tf/cm 2 6x864

Portanto, o elemento plano em torno do ponto D tem o se

guinte estado de tens;es

X

FIG. 10.31- ESTADOS DE TENSÕES EM 'D

.Note-se que na convençao adotada para tensoes, 1 xy

e

negativo e corresponde, na convenção

uma força cortante Q positiva.

de .esforços solicitantes, a

Conhecidas as tensoes o e 1 , as tensoes principais x xy

podem ser calculadas com base na expressão (10.6), como segue:

= o +o

X Y.. 2

o -o (_x _ _::, 2 2 .

2 = 0,0004 tf/cm

2 o 2 =-0,1219 tf!cm

4.0 em

Ll0-23

I i e

--t·-1

1 3. 0 Clft

1 I

\ 1 3. O em

0.5tflcm~

4.0 em l FIG. 10. 32

Para calcular-se as tensoes principal.s que solicitam a

chapa, utiliza-se a expressão (10,6),

cr +cr X y ±

2

cr -cr 2 ( X y)

2

na qual ê necessário que as tensoes cr e cr atuem em planos perpe_n X y

diculares entre si. As tensÕes cr , cr e T serao obtidas utilizan x y xy

do-se equações de equill:brio sobre os trechos triangulares ACD e

ADE, retirados da chapa através dos cortes I-I e II-II.

a) Cálculo de crx e T (Corte I-I) -xy

As forças F 1 , F 2 , FT e Fcrx sao provenientes da ação das

tensoes que atuam nas ãreas das faces da chapa ACD e devem equili-

brar-se.

/ 6rea • A

Ll0-24

li A I/ are o: 2 Asen 8

L YL o I F a I I

I

c I li

FUI. lO. 33 o

Sendo A a area das faces AD e CD, resultam:

Fl • 0,5 •• A

F2 • 1,0 .: A

F't" 't" • (2Asen9) 3 1,2 A•'t" • • 't". 2A. 5 ..

F a ax. (2Asen9) 2A 3 1,2 A•a • • a • - .

X 5 X X

As projeçÕes destas forças segundo os eixos

Flx = r 1 .cos9 0,5 A 4 0,4 A • -. 5

Fly .. r 1 .sene - 0,5 A 3 5 .. 0,3 A F2x F2 ·cose 1,0 A

4 0,8 A - • .. - .. 5 F2y • F2 ·sene • 1,0

.. A . 3 0,6 A - . 5

L Fax

.c lx

X e y

.-

Ll0-25

tF • 0 + A(0,3+T•l,2) • A.0,6 'I

T • 0,25 tf/cm2

c FlS. 10. 53. b

b) Cálculo de a1

(Cortes I-I e II-II)

0.4A

CORTE I-I I I I

: tfreo A sen e

"/ F~ =0.25 x(0.6)•0.15A ---~Fx•I.Olt I0.6AI

li --0·.~-:::::=:;:==-nly -·-·-·- CORTE n.- n. F 1: • O. 2 5 x (O ..i A l J rreo A c os e

F a • CTy x 10.81 y

FI 8. lO. 34

O equilrbrio deste novo trecho de chapa leva a:

A(0,3+0,15) • A(0,8 a ) y

2 a • O , 56 2 5 t:!/ em y

Ll0-26

Conhecidos os valores

estad~ de tensÕes, tirado de um

de cr , cr e 'T , X y

ponto qualquer

l 0,5625 r=-=====,'' :0,2 5 tf I c:tn:2

tem-se o desejado

pertencente i chapa.

a. o __ _ 1---,.ox• I.Ott/c:m2 "'=======""

L lt

L:J., = 0,5 625 tf I c:m2 FIG. 10. 35

OBS.: Verifique-se que nas faces perpendiculares, conforme CAUCHY,

atuam tensoes de cisalhamento de mesmo valor.

O'l} = 1,0+0 ,5625 ± cr2 2

cr1

= 1,11 tf/cm2

J (1,0-~,5625)2+ 0,252 2 cr 2 = 0,45 tf/cm

c) Os plancos onde atuam estas tensoes podem ser obtidos com o au-

xilio da circulo de Mohr, utilizando-se o conceito de polo,se~

do ep e (6p+90°) os ângulos formados entre as direçÕes princi-

pais e a face A.A (Fig. 10.37}.

"tU fiem"~

Analiticamente, esse ângulo

uso da expressao (10.5), ou seja:

FIG. 10- 36

e pode ser obtido pelo p

dos @ e estado as

Ll0-27

tg(26p) 2-r

" 2x0,25

1,143 " • Cl -c; l,Õ-Õ,Sil25 X J7

e o 114,4° tt 24,4· 6 = pl P2

-Portanto, os resultados obtidos sao os seguintes:

Y IA

ta •0,5625

' ' 0.25 ' '

C!~ ----l a. •I,O u~eoo'

0,25

10,5625

I I :A

F!G.IO. 37- ESTADOS DE TENSÕES

O, I

! 0,4tf /cm2 --'-:~

0.4---JI::J Lo.l

l0i fiEl. !O.SS- ESTADOS DE TENSÕES @e{[)

No estado de tensoes @, resultante da soma ® atuam as tensoes mostradas na Fig. 10.39 tensÕes principais não devem ultrapassar 0,8

dos esta-

e neste

tf/cm 2 .

110-28

( 0,4 + "t l

0,4- j [~] _ 0,4tflcm2 r o.4+"tl

tO, I H/cm 2

FIG.I0.39·ESTADO DE TENSOES RESU l TAlHE

Sendo T = (0,4+T) obté~-se, com base na expressao c

~10.6), que fornece o 1 e o 2

Ambas 2 as tensoes devem ser ~enores que 0,8 tflcm . A

tensao o1

serã positiva, como se

o 2 poderá ser positiva (o~~ 0,8

pode ver na expressão e a tensao ? tf/cm-) ou negativa (o

2 ~ -0,8

~

tflcm 4 ).

2 a) o 1 ~o,R tflcM

co,4;o,l)+ yco;s/ ... 2 T c

? ~

< ..._ 0,8

~ O,fi tflc~ 2

T c ? "!- ~ o' 3 6 t f I Cr.1- + c l T >-- -0,6 t f/ em-

(0,4+T) ~ n, 6 +

(0,4+T) ~-o, 6 +

c

T ~ 0,2 2 tf I em

T 2

~ -1, O tf/ c~

? o - 1 , O t f I c~- .:::;. T !'S O , 2 t f I em-

!'S0,8

• •

L10-29

V (0. 25)2

+ 2 - -o, 8 tf/cm··

0,15- v (0,25) 2

Jco,2s) 2 ,

+ , .. c

,2 €l

s ~- 0,84

(O,It+T) ~ o' @ 2

(0,4+T) ~ -0,92

""

>--o,r:

~ -0,95

't" ~ 0,92 c

Tg ~ ~0,9';;

'f ~ ""' l'l,:\2 tf hm :l

-1,".' tf/cm2 -~ ~ -O 5' tf/•m 2 "' ·~·- •. Os casos (a) e (b), cujas soluções coincidem,e o ca-

so (c) terio, portanto, como soluçio conjunta para e tensio T, os \ 2

valores 'compreendidos entre -1,0 e 0,2 tf/cm

' ~ 0,2 tf/crn·

Ll0-30

A obtençio das tensoes principais nos pontos 1 e 2

da seçao transversal do apoio R , exige a determinaçio do momen -to fletor e da cortante nessa seçao, obtidos como segue:

a-I

I l I l I I I I I l l l l , I l I I lj l I l

2.0 m 0.511'1

e ....I FIG.\0.40- VIGA CARREGADA

a) Obtençio das Reações

. 1 tf /m

l I I l I l I I I I i :. I I I I I I i I i I 1 I":

..j...l R-A--·-2·..Q._I!!_ _______ l :~.j FIG. 10.41

R 2 O 1 O 2 5 ~.s ~ .. -.E X , - , X , X - 2- = " RE = 1,563 tf

RA = 0,937 tf

b) Traçado dos diagra~as

Q(em til

M [em tf. m l

.~0,5

0,937 '$.'.

·-1,063

0,125

a • • a .. ;; 1,063 u IIICl

----- .... P!.z ~~~~~~~~~~~llil~~, !!=

" • lx 0,5

e = 0,03

'\'-.Pl..z: 0,5 8

M8 = 0,125 tf.m

FIG. 10. 42- TRACADO DOS DIAGRAMAS ..

Ll0-31

e) Características C~ometricas da Seção Transversal

- Centro:de Gravidade

s,

Usando como referincia os eixos z e y tem-se:

ZC.G = O (simetria em relação ao eixo y) L:S.y.

:t l. Yc.G = L:S.

l.

=

I 10om y

t_IO 9"!

10x20xl0+10x30x25 10x20+10x30 = 19 • 0 em

y = 19 .... 1 I

10 •m

I I

! -l-

i

- ~20cm

I i I O em I

FICI.I0.4ll• C:INTRO Dlt UAVIOADi

- !tomento de Inércia &I Homontou Ea.s_iit:!.cos

M • lO X 15 x 11,5 • 1725 s (2)

) - i' d) Calculo das TensÕes (Seção B.B)

- Ponto l

• o

+ l0x20x9 2 •

3 em

Ll0-32

.cr(l) •

~

ser a to~ada negativa porque o ponto

esti abaixo da Linha Neutra, zona da seçio em que MBB causa com-

pressao. Dessa forma, o uso da expressao (10.6) fornece

-3 Cl 2 ..., (--'-0) +()'' 2 . 2 cr 2 = -3,8 kgf/cm

Esse resultado era esperado, uma vez que, sendo ~(l)

igual a zero, a prÓpria face do elemento de tensio em que atuam

cr(l) e ~(l)' tem direçio principal.

~·---· -----o, . D o,= 3,Stf/cm2 FIG.\0.44- ESTADO DE TENSÕES

- Ponto 2

1,063xl725 10x36167,0

-3 ? ~ = 5,07xl0 tf/cm- = 5,07 kgf/cm-

v 2 ''"lB 1° 5 -3 ° ~ = ~ = -, x 4 = 1,38xl0 tf/cm- = 1,38 kgf/cm v(2) Jz J2 36167,0

-t- --' I i

" ! i

. 120 a@-t--"-

em

+ ...l. Semi· ~-·---....,. ·- . ·-r-- -

.I em

~:10

~- ' + em

-

'\

® -. -- - - ---e. e

(:) 3,8 rtl @ (kgf~) (ki{/cn2 l

FIS.\0.45-V!STA LATERAL DA VIGA E DIAGRAMAS DE TENSÕES

Ll0-33

O estado de tensoes em torno do ponto @ pde ser re presentado por um elemento de ãrea como se mostra na :~ig. 10.46,

e portanto, respeitadas as convençÕes de sinais para •esforços so

licitantes e tensÕes, resultam os sentidos indicados.

AG.I0-46- ESTADO OE TEHSÕES (PONTO 21

2 °1 2 =5,81 kgf/cm

(-l-2_3_8) + (5,07)2 +

cr 2 = -4, 43kgf I cm2

Através do círculo de Mohr podem-se obter as: direçÕes

principais em que atuam cr 1 e cr 2, para os esta dos de tems ao em

torno dos pontos @ e @ . No caso do ponto Q), isto não e necessário, jã que,

como 1: (1) e cry(l) são nulos, o cÍrculo de, Mohr reduz-se a um

ponto e portanto as direçÕes principais são·paralelas is dos

eixos y e z. No caso do ponto 2 , obtim-se as direçÕes princi-

pais mostradas na Fig. 10.47, que podem também ser obtidas ana-

liticamente, como· segue:

tg(2C!) = 2 1:

xy = cr -cr

X y

2x5,07 = 7 , 348 1,38

o C! = 41,12

Ll0:34

1! O'{kgf ,.,J)

\ \ \,.....;o, ·'l \

.--====:=...--,5,07

FIG.I0.47- CiRCUL.O DE MOHR E DIREÇÕES PRINCIPAIS

As direç;es principais sio encontradas utilizando-se o

conceito de polo, sendo paralelas às retas PA e PB, como mostra a Fig. 10.•~7.

c:::::;==:::J :t 2 em ·-t-- 50 em +- 20 em

FIG. 10.48

A força oblÍqua P pode ser decomposta segundo as dire-

çoes vertical e horizontal, em forças PV e PB' sendo esta ~ltima

transladada para o C.G. da seçio, criando assim um momento fle-

tor Mz' que provoca traçao nas fibras inferiores.

Ll0-35

a) Esforços no Engastamento

! • 50 em

FIEl. 10. 4t

50 200 -;::::::::;:::=;.-. 3,81 tf ~ 502+162' 52,5

16 PV • 4·sena • 4x 52 , 5 • 1,22 tf

M • -M +P •I = -p •e +P ·I • -3,8lx8+1,22x50•30,52(traçio em cima) e z V H y V

b) Cálculo das tensoes nos pontos A e B (seçio do engastamento)

A força ~orizontal PH' atuante no Centro de Gravidade,

provoca o aparecimento de tensÕes normais CN uniformemente distri

buidas na seçio. O momento fletor Me' po~ sua vez, introduz ten-

soes eM' e a força cortante Q • Pv, introduz tensÕes de cisalha-

mento 1, cujas distribuiçÕes na seçio sio indicadas na Fig.lO.SO

M : 30,52 tt. em

ll

fiG.IO.!IO- ESFORÇOS SOLICITANTES E DIAGRAMAS DIE TENSÕES

L10-3&

b 1 ) Características Geométricas

J • 2 [ 20xZ3

+ 20 X 2 X .9 2J + z 12 2xl6 3 cm4 12 • 7189,3 li • MS • 2 X 20 X 9 • 360 cm 3

5 A B

5 • 2 X 2 X 20 + 2 X 16 • 112 cm 2

b 2 ) Cilculo das Tens;es Princiuais

Ponto A

H e :r;

Ponto B

li e :r;

o • - ~ + 30,52 • 8. o,o A 112 7189,3

o •- 3,81 30,52 ·S•-0,068tf/cm2 r, ~- 7189,3

1,22x360 • 2x7189 ,3

-2 2 • 3,0Sx10 tf/cm •

• 3o,;, kgf/cm 2

q_ __,H~ 0 r-q_=o "-==::::;;:-'"tA : 30, ~ kgf/lmf

o, ] vc3o,s) 2 • = ± 02

01 • 30,5 kgf/cn 2

02 • :.·30 ,5 kgf/cm 2

2 OB • -68 kgf/cm

2 TB • TA • 30,5 kgf/cm

........ _.........,

O' e

® ~

01 -68 I (-~8/ +(30,5)2. = -- ± 2

o, L

01 11,7 kgf/cm 2

=

-79,7 kgf/cm 2 02 =

. ' •,

LlP-37

o3

) RireçÕes Priucipais

'\...

• . ' a • -'fl/4

'11 ""~em•, tlt; iiCI,a I

P!! polo

FIG. 10.51

.. ~(1+50)

I I

~ i.~

I

a (k-af/ell'h

0,9

Oi

FIG. lO. 52

A fim de calcular as tens~es principais nos pontos A e

B deve-se inicialmente determinar o respectivo estado de tensão,

com base nos esforços solicitantes da seção central da viga.

a) Cálculo do momento fletor e da força cortante na seçao I

a 1 ) Cálculo das ReaçÕes

\

r ' ! Zlf.m C? Cl t R, se oi f Rz '. I 2m ' 2m

FIG. 10.53

110-38.

= o 2+1x2-R 2x4 = o R2 = 1 tf

Traçado dos Diagramas de H e Q

Q (Ofll tf l li li i li t§i: I i I! I r-,u

Mleattml 2 11il!!l!llll\lll~

FKI.IO. 54· DI A GRAMAS DE Q e lol

Na seçao I encontram-se M a 2 tf·m e Q = 1 tf

b) Câlcul·~ das tensÕes normais .e de eisalha!!!ento

-+L 0 I • ' E'

% ~I c.G.iiB

.=}em ' I ® I

I 'Sem

-l y I 2 em

FIG. 10. 55

8 X 12 3 3

J -Z(3x8 ) 896 4 = = em z 12 12

'! = 2 8 5 = 80 3 "'s X X em A

M SB = 80 + 2 X 4 X 2 = 96 em

3

110-39

crA., ~~~x4., 0,893tf/cm 2 = 893tf/cm 2 (compressão)

lOOOx~é ~1\B~-p- -·

Cama as pontos •seio ~ituado~ na $@;ia l, i di~eita da car~a ~aneent~ada, o sentida da !ar;a ea~tante & a indicado na Fi$• 10.56 e po~tanto os ªffltados de tensões dos pontos A e B são os seguintes:

11tm l I r ~ Q • I ti

-· Ot ·-44,6 kgf/cm2 e>3 ,s I

L 10-40

Pelo cl:rculo de :Iohr resulta:

I I

I I

/i§ Cf f 2

2 "t (llgl/cm )

I I I

i----"e.u.z l , I 2,2

FIG. 10.57- CÍRCULO DE MOHR

Analiticamente pode-se obter a por:

2T tg2a " cr--=:-cr =

X y

2(-44,6) o _ 893 = 0,10 .•. 2a = 5,70

c2

) Para o ponto (B)

' I

e a = 2, 8 5°

~

cr 2 = -53,6kgf/cm~

ou

Pelo círculo de !lohr tero-se 2

"t(kgf/em)

P: polo

"'- _ex= 45°

"' L "< . '. I 2 '- cr( kgf /em )

FIG. 10.56- CIRCULO DE MOHR

analiticamente: tg2a = Z(-53,6) o

Jj 11

Lll-1

ESUDOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

De um sÕlido sujeito a um estado triplo de tensões, po-

de-se isolar um elemento de volume dx dy dz, o qual tem suas fa-

ces referidas aos eixos coordenados x, y e z como se mostra na

Fig. 11.1. Faces opostas são solicitadas pelas mesmas tensÕes, u-

ma vez que se desprezam posstveis forças volumétricas.

11

FIG.II.I- ELEMENTO DE VOLUME

As convençÕes de sinais adotadas para o estado plano de

tensÕes são aqui mantidas. Por exemplo, sendo o sentido de uma

tensão a positiva (de tração) concordante com o de x, as tensões X . T~y e Txz serão igualmente positivas se os seus respectivos senti

.dos concoriarem com os de y e z.

As deformaçÕes & desse sllido, medidas se~undo as dire-=

çoes dos eixos x, y e z, são dadas pelas expressões (11.1), nas

quais E e 1.1 são respectivamente mÕdulo de elasticidade longitudi-

nal e coeficiente de .P.oisson.

- 1.1 (a +a ) X Z • ••• (11.1)

&z • l [a - 1.1 (a +a ) J E Z X Y

Lll-2

As distorçÕes y sao, por sua vez, dadas pelas expres-

soes (11.2), onde G ê o modulo de elasticidade transversal.

Yxy • Lxy

G

Lxz Yxz • G

y - -~ yz G E G • 2 (l+>J)

.. ~ . (11.2)

Conhecidas as deformações segundo as direçÕes x, y e z,

é poss!vel determinar, analogamente ao que foi feito para as ten-

s9es, as deformações que ocorrem segundo direçÕes ortogonais x, y e z, obtidas por rotações dos eixos coordenados.

No caso de um estado plano de tensÕes (CJ • O, L e L • z . xz yz • O) como o da Fig. 11.2, ê válido escrever

1 [crx cry J &· .. - >I X E 1 [cry cr J (11.3) e • - >I . . . . '1 E X

T

Yxy • 2Z G

1 ay ' ' .. , y '

'I X " " CTX ~? CTX a>o

a- •--' x xy , X ' '

•xy '

Ly ' dlrecão ' •

H F1G_II.2 -ROTAÇÃO DOS EIXOS

As deformaçÕes e a distorção segundo as novas direçÕes

x e y sao dadas pelas formulas:

e:- = X

e: +e: X y

2

e: -e: +( xz Y)cos2o: + sen2o: .... (11.4)

Lll-3

QU

•••• (11.5)

y-- = (E -E ) sen2a + y cos2a xy yx xy •••• (11.6)

ou

2 2 y-- = 2{E -E ) sena cosa + y (cos a-sen a) xy y x xy . . . . (11.7) .2!!.:_: Para se calcular E;: usa-s e o ângulo Ih Sendo 8 = a+9 o0

tem-se:

e:-y

2 2 = E sen a + E cos a - E cosa sena x y xy

' .2!!.:_: a) O ângulo a é marcado positivamente a partir de uma hori zontal (eixo x) e no sentido anti-horãrio até o eixo cu

já direção é a da deformação a ser calculada.

b) Note que as f6rmulas (11.4), (11.5), (11.6) e (11.7) p~

dem ser obtidas a partir das f6rmulas (10,1),

(10.3) e (10.4), trocando-se nestas: a por X

e 't xy

= Yxx -2-

(10.2)'

a por e: y y

Portanto, as direçÕes principais, segundo as quais se

tem as deformaçÕes principais, são obtidas através de

tg2a p • • • •

(11.8)

e os valores das deformações principais sao obtidos através de:

.. E +E X y ± 2

(11.9)

Lll-4

p•I.O U/cm2

30 em E• 100 tf/c:m 2

1-1•0,25

30 em

FIG. 11.3

No problema em questao, o cilculo das tens;es que atuam

nas direç;es A-A e B~B i necessirio, uma vez que as de formaç;es pedidas ocorrem segundo essas direç;es, Tais

tensões foram ji enco.ntradas no exemplo Ll0/20, seme

lhante a este, e valem!

- c; X

2 ., l,O tf/cm

'AB = 'xy = 0,25 tf/cm 2

___ 1.0 tf/cm2

'=======:--I O. 2 !S tf I cm2

Jo. ss2s t f/em" FIG. 11.4

Lll-5

ConQecidas essas tensões, resultam, com base nas expre~

sões (11,1), com = o, z..

1 =-100 l,0-0,25(0,5625)

1 = Tõõ 0,5625-0,25(1,0)

e portanta~

-3 • 8,6 X 10

-3 • 3,1 X 10

De acordo com o enunciado, a deformação e- deve X

ser

igual a zero (Fig •. 11.5)

-~·

p

i

L 'i

Lll-6

Conforme as expressoes

sao dados por:

(11.1), os valores de e e e X y

do que

e X

.. f [ p -

~ ,._El [-E-2-~y

O valor de e-, com base na expressao X

~

Yxy • O, uma vez que Txy • O, e

e- • X

e +e X y +

2

e: -e: ( \ y) cos (29)

(11.4), e lembran

Substituindo na expressao de e:x as expressoes de ex e

e e impondo e- • O obti~-se: y X

ou seja:

o = L [cr. - H. 2E 2 2

lF. 3\J l p)+( 2 + 2- p)(-cos29)

1 e • 2

(1-)J) , • cos29 = 3 ( 1+\J)

[ 1-)J ]

are cos JO+lJ)

O cubo, colocado dentro da câmara, eatarà sujeito a

um estado hidrostático de tensões, conforme Fi8• ll.ó,

li

Lll-7

p

I I I

1

p

--- p -------- ........ I I I I

p ______ L ___ f __ ------ -~ '-".;:;,..._ ___ l--_...= -~ J.

rr FIG. 11.6 - ESTADO DE TENSÕES

Sendo t o comprimento da aresta do cubo, tem-se que

e: •e: =e:= X y Z

t:..t = O Ol"' • _ O,Olt = _10-4 l!. ' " 1 O Ot

O uso das express;es (11.1) ao caso em questio leva a

Sendo e; X

= e; z =

= e; z

![ l-2)l]

resulta

-10- 4 = 2 ~toO

FI G. 11. 7

Lll-8

a) Obtenção das TensÕes

-Sendo os eixos y e z indicados na seçao transversal e x um eixo longitudinal da viga, resultam

-5 E =E = 7,14 x 10

a Y

o -5 Eb = Ex (para a = 30 ) = 16,07 x 10

e com bases nas expressoes (11.4) tem-se

E +e · e -e yxy xy+(xy (o o =

2 -

2)cos 60 )+ --

2- sen(60 )

Sendo a y

nulo por hipótese e a nulo porque não exis-z tem tensÕes segundo

M) atravês de

a direção z, pode-se obter a (que fornecerá X

. 2 a = -0,5 tf/cro

y

O valor de ~ = 0,3 foi obtido por meio de

G = ....,,.:E:_....,... 2 (l +jl) = 808 =

2100 2 ( 1 +~)

Encontrado o , o valor de e pode ser obtido com X X

.. = l [a J = ~ ~~ - i "~ -~ _ Cê•bêêi!ê§ 6•' êy' I êfiê•llliê dê plã•ê ~=~ ê ã dêfêl

mãç~o •§§§ã dilêliê, pêdê=§ê ê~lêl y~,, •êêꧧltiê I dêlêlmi••= ÇÃO dê ÍOIÇã ~êlll.lê,

cb • 16,07 • la=• = t=l.~~•1a=•.,,14•1D=I, •

+ C-2,3Sxl0-:-7,14x10-l) eo§(2x30ª)• Y2y §êH(2x~a~)

Lll-9

- -4 Essa equaçao fornece y • 7,42 x 10 e portanto :'y

-4 2 txy • Yxy'G • 7,42 x 10 x 808 • 0,6 tf/cm

/

dire~ão b.by

/. 2 ,_.:===::;::==:::.~,; x.y ;' O. 6 tf I em

' o ' C\1 60 .--·/. ,_ r • a

\ I ••

(;.Jo'-- ---\

2 o1 a -0.5 tf/cm

I

I

,..--;a= 30° I

\ ' \J FIG. 11. 8 ESTADO DE TENSO-E$ NO PONTO ~

Observe-se ~ue 1 defor~aç;o Eb ocorre segundo uma dire

çao que forma um ân2ulo de 30° co~ a direção x-x, feita uma rota

çao em sentido anti-horirio (;ositivo).

b) Obtencão dos Esforços Solicitantes

b 1 ) Caracteristicas Geomitricas da Seção Transversal

J z

4xl2 3 = ~-- = 576 12

4 em

'3 :f = 4 X 3 X 4,5

s = 54 C L:;

(ponto O)

b = 4 em

b .J • T

'"Q -z xy •

M so

y = 3 C!:\ o

4x576x0,6 • 25 , 6 tf 54

OBS.: Si orientado da mesma forma que

tive se for considerada a convenção de sinais de

tantes.

~ , sendo nega •xy -esforços solici

I cr I · J IMI • X z = Yo

0,5x576 3 = 96,0 tf•cm

OBS.: Dada a posição do ponto O (abaixo da L.N.) e se~

do cr negativo, conclui-se que M traciona as fibras superiores. X

X

I

I !

J o:. y I

d • 10 em ~ E•2100tf/cm

j.L•0,3

FIG.II.9.o- ESTADO DE TENSÃO FIG. 11. 9. b- TUBO DE PAREDE FINA

a) Cálculo de !ensÕ~s e DeformaçÕes

O tubo, estando engastado em uma de sues extremidades,

livre na outra e 8endo 8clicltado pelos e8!or;oa He e z,, C$tari

3ujeito, ªm qua~~ue~ um doê ponto~ de uma ªeção transversal gen~ rica, ao estado de tensÕes da Fi~. 11.9.a.

-4 s = s = -1,4 X lO •• y

= L,8 •. I' -4 X • ,J C:ara c. = 45° a partir à e x-x)

Senào e c nulcs, roCe-se cbter 0 por ne~o àe € Z X y

(ex p. ( 11. 1 ) ) .

2 t:f /.cr::

Lll-11

Com este valor de cr , encontra-se € que, J"unto aos de-. X X

mais dados, possibilitará encontrar y através da ex!>ressão xy . (11.4).

e: = e:- = bb X -4

4,8xl0 = -4 -4

(4,67xl0 -1,4xl0 )+ 2

-4 -4 y . +(4,67xl0 +1,4xl0 )cos(2x45o)+2L sen(2x45o)

2 2

Y = 6,33 X 10~4 xy

E -4 2l00 2 Txy • yxy·G • yxy 2 (l+u) •(6,33xl0 ) 2 (l+0, 3) • 0,5ltf/cm

b) 'cilculo dos Esforços Solicitantes

b 1 ) Momento torçor

El:l tubõs de rarec!e fina sujeitos ã torção sabe-se que

2 'i t

2 • 0,5lxwxl0 x0,2 2

t = 16 , 0 tf • CM

b2

) Esforço Normal

N • cr •S • cr ·~·d·t = 0,98xwxl0x0,2 X X

. . :; 111 6 '16 t f

Lll-12

c) Sentidos dos Esforços

-Sendo cr e T valores positivos, seus sentidos sao mos-x xy trados na Fig. ll.lO.a, que representa o estado de tensÕes em tor-

ne de um ponto genérico representado na Fig. ll.lO.b, onde também

estio indicados os sentidos de N e Mt.

VIG, !I, 10."' I'IG, IL lO, b

I'IG, 11, li

í i lb@Otf;l~~ !"i! O, I

LH-1·3

A obten~ão de cr , cr e •

das "% v ~· :;: v

expressões (ll.l) c cú.z), i?&~~ deverá ser feita com o uso

o que é necessário conhecer

os valores de ty (dado), ~x e Yxy'

A expressão (ll.l) aplicada ao problema conduz a

. . cr - 0,30cr • 0,6 y X • • • • (A)

Com o uso de (11.4) tem-se

t +300xl0- 6 t -300xl0- 6

ta • ti = 2 O O ~ 1 O- 6 • ( x 2

) + ( x 2

) co s (2x

0 x60°)+ yxy sen(2x60°) 2

ou seja

E + 1,732 y = -100 X 10-6 x xy

.... (B) - - - o Como a direçao principal e obtida por rotaçao de 60 do

eixo x-:z:, tem-se, usando a expressao (11.5)

-6 E -300x10

X

= -1,732

-& - 0,577 Y = -300 X 10- 6 x xy .... (C)

O sistema de equaçoes

t X

• 500 X 10-G

e!"1 t e y resolvido c~uduz x xy

O~a vez conhecidas essas deformaçies, tem-se

E -6 2000 'xy • Yxy·G = Yxy 2(1+~) =(-346 x 10 )2(1+0,3)

a

ou seja

2 1: c 0,27 tf/cm

xy

€ X

Lll-14

a - 0,3 cr = 1 1 0 X y

500 X 10-6

. . . .

Usando as equaçoes (A) e (D) chega-se a

2 a .. 1,30 tf/cm X

2 a • 0,99 tf/cm y

e ao estado procurado de tens;es

t ay = 0,99 t!/cm2 2 r--====:....,"C'ay• 0,2'1' tf/cm

t a. • 1.s tt 1crl-

FIG. ll. 12- ESTADOS DE TENSÕES

(D)

A título de ilustração, mostra-se como ~e podem encon-

trar novas equaçoes que

de tensÕes ao invés das

tilizada.s.

relacionem c , cr e 1: , usando rotação x y xy

rotaç;es de deformaçÕes anteriormente u~

~ [cr--~cr-J 1 0,3 ay] € = E:- = = 2000 [cr- - = a X l:. X y X = 200 ~ 10-6 (E)

O uso da expressao· (.10. 1 ), com a = 60° (Fig. 11.11)

leva a

Lll-15

cr +cr cr -cr ( x

2 7 )+( x

2 7 }cos(l20°)+ o CJ- • 't sen(l20 )

X xy

(J +CJ o -o CJ- • ( X y)+( X 7 )cos(300°)+ 't ·sen(300°) y 2 2 xy

Sendo x eixo principal, para a • 60°, tem-se

2 't xy cr -cr

X y • -1,732

-r • (o -o ) 0,866 xy y x (F)

Substituindo as equaçÕes de crx e oy em Ea (eq. E), e tomando o valor de 't de (F) obtêl!l-se: xy

0,4 • -0,95 ox + 1,65 o7

Essa equação e mais a equaçao (A) anteriormente obtida

constituem um sistema de equaçoes em crx e cr7

cuja solução ê

2 a1

• 0,99 tf/cm

A equaçao (F) permite a obtenção de T xy

2 T • 0,27 tf/cm

XY

Lll-16

\ I \ 1 ....

\ ' ... \ ' ...

f- -·- _:~/ .:::':J !._ -'i\

,..,..... I \ / I \

_..... \ - ... ~,. ____ .._....;' .... --.1 X_.."'

~C!y \\ y

/ /

i I posicllo ... . ...

resultam

e portanto

que

ou seja

111-17

2 cos(26+180) = -cos26 = l-2cos e

a- = X

a +a cr -a 2 X y X v ()+( )(2cos 6-l)= 2 2 cr cos S+a (1-cos 6) 2 2 X y

a- = y

2 2 a (1-cos 6)+a cos e

E e- = X

E E:- = X

X y

2 2 2 2 (a cos 6+a sen e)-~(a sen S+a cos 6) X y X y

2 2 2 . 2 a (cos 6-]..lsen 6)+ a (sen e-~cos e) X . y .

-Para que crx seja apenas proporcional a ex , e preciso 2 2 sen e - ]..lcos e = o

e 2

tg e = 1-1

e = are tg 1\l

2 cos e = 1 1+~

Se o extens;metro for colocado na direçio de x, a = X

• R e- onde R i a constante de proporcionalidade que vale: X

R = E E 2 2 (1-~ )cos e

2 2 cos 6-].Jsen e =

L 1 3a 4o

FIG. 11. 15. O

Lll-18

FIG. 11.15 b

são dados:

E = 2000 ?

tf/cm- (J y

= 2 cr X

">1 = 0,3

EAD = 0,07% = 7 X 10-4

EBC = 0,03% = 3 X 10-4

I) Solução por Rotação de TensÕes

Sendo (com base na Fig. 11.15),

cr 4 , a 6 • tensoes normais, respectivamente, is faces AD e BC.

cr5

,

Lll-19

30' O' a 6 • (~)+(~)cos(2a)- Txyson(2a)

30' O' a7 • (~)·Czl>cos(2a)+Txy••n(2a)

Sendo sena • 0,8 e cosa • 0,6 obtém-se:

cos2a • -0,28

sen2a • 0,96

e portanto:

(J

0'4 • zZc3-o,zs)+0,96 '!" • 1 • 3 6 (J + 0,96 . xy y xy

(J

cs • zZC3+0,2S)-0,96 '!" • 1,64 (J - 0,96 1: xy y xy (J

(J6 • zZC3-0,28)~0,96 '!" = 1,36 (J - 0,96 '!" xy y xy (J

(J7 • zZC3+0,28)+0,96 '!" = 1,64 (J + 0,96 '!" xy y xy

Com a substituição destes

-se um sistema de duas equaçoes em

valores em ~AD e ~BC

'!" e c , como segue, xy y

1,232 (J - 1,248 '!" = 1,4 y xy

1,232 C + 1,248 T = 0,6 y xy

com soluções

2 c = 0,812 tf/cr:.

y

~

'!" = -0,321 tf/cm~ xy

obtém-

Lll-20

II) Soluçio por Rotaçio de Deformaç~es

-Usando a expressao (11.4) tem-se

- 4 E +E E -e Yxy X y X y EBC • 3 x 10 · = ( 2 )+( 2 )cos(28)+ - 2- sen(28)

ouq~ sen8 • 0,6 e cos8 = Q,8, do que decorre

sen28 = 0,96

cos28 • 0,28

Como a = 2 a , resultam X y .

1, 7 a

2.000 -4 = 8,5 x 10 · CJ

y

= 2,0 x 10-4 a y

Substituindo eetee vãlcreB nas expressões de eDC 1 1: AI) oh iim· u

cuja ao :Lu c; io í

"ày • ~x • 0,812 tf/cm2

txy • -0,321 tf/cm2

p

30cm

I I I

~ I

Lll-21

E= I o o tf/cm1 fJ: o. 4

o. o ai.-_-:: '

20cm

CAIXA RÍCUD

o.o 1 20 em 11·~1 ti ,, " "

FIG. 11.16 CORPO DE PROVA

A carga P de compressao, centrada no corpo de prova,

provocara encurtamento segundo a direção y e alongamento segundo

as direçÕes x e z.

Na direção y, a tensão existente serâ

a -p

s - - p 20x20 - - p 400 e nas direçÕes x e z sÕ aparecerao tensÕes normais,(as de cisalh~

manto não existem pois se supÕe não haver atrito), a partir do

ponto em que o corpo de prova, deformado, encostar nas paredes da

caixa rrgida, tendo OCOrrido deslocamentOS e!'l X e_ z, pelo menos i

guais ãs folgas existentes nessas direções.

Fase. 1: Corpo de Prova na iminincia de encostar na caixa, segundo

a direção x

Seja P1 uma parcela cia carga crescente P, que faz com

que o.corpo de prova, por ela deformado, encoste na caixa segun-

do a direção x, na qual a folga existente de O,Olcm (de cada la-

do) i menor do que a existente sesundo z (0,02 em). Nessa situa-

çao

(1 .. tellsao X

(1 - tens ao z De

de contato entre corpo de prova e caixa, segundo x.

de contato entre corpo de prova e caixa, segundo z.

pl (11. 1) (J (J nulos -vem, com e e (J =

X z y 400

1 100

-P [o- o,4( 40~)]

p1 = 100 tf

t = 1 x 10-3 x 20 = 0,02 em z

1 --E . t = 1 [ -100] 30 = 100 400 • -0,075cm Fase 2: Corpo de Prova na iminência de encostar na caixa segundo

direção z

Procura-se agora, uma parcela P2 da carga, que leve o

corpo de prova, jã encostado segundo a direção x, a encostar tam

bem segundo a direção z, o que ocorrerã se P2

provocar, nessa di

reção, um deslocamento 61 z2

61 - 0,04 - 61 = 0,04 -z2 zl 61

e: z2 0,02 = 1 =-r-= X z2 20 z

= _l [o -100

0,4 (cr x2

1 = --100 [

(J - 0,4 x2

De (A) e (B) resultam

2 cr = -0,071 tf/cm ;:2

2 cr • -0,179 tf/cm y2

10-3

0,02 • 0,02 em

-3 = 1 X 10

= O (a caixa e

(A)

ri:gida)

(B)

.. 1 ~ 5 [-o,ta-a, • s • •0,179 x 400 • 71,6 tf

2

o,4 c-o,on>J " ·t,so6 x l.o-3

Nessa ai=ua~~o, •ualquer valor de ~ar~a ~ 3 , naior que zero, tencarl empurrar as paredea da caixa, aparecendo então ten a;ea de compressio a,, a

11 e a

1 no corpo de prova, as duas ~ltimas

resultantes das ações entre o corpo a a caixa rígida.

D •

. .

. • •

o ,4 (a >'3

a • 0,4 ax + 0,4 a z3 3 Y3

e:,3 = 1~0 [ a,3- 0,4(ax3 + az3)]

•••• (C)

"" (D)

• • • lOOe:,.•a -0,4a -0,4a •••• (E) 3 Y3 x3 z3

aesolvendo (C), (D) e (I:) resultam

a • 0,677 x3

a • 0,667 Z3

::) (só devido ã carga P3)

OBS - 1

:Lfl-24

-near P3

x e: ) y3

= e: ·i = -1,165 X 10-5 P3

X 30 • -3,50x10- 4 P3 y3 y

. .

P(tf I

- 2861,2

toa3 • 2861,2 a a • at.te•

171.6 ------

100

?.1 12.0

FIG. 11. 17· GRÁFICO I P x AI)

Um conceito que pode ser subtra!do de sráficos deste

tipo é qu~, à medida que P crescente aumenta as defo~ maçÕes, superando gradativamente as folgas iniciais,

com corpo de prova e caixa encaixados, o sistema fica

mais r!gido, o que pode ser notado pelo aumento da in

. -

Lll-25

clinação da curva da fase 1 para a fase 3, com a conse

quente diminuição de ~t relativo.

OBS.- 2 - Sj nas express~es C e D, o valor de ~ for igual a 0,5, p3 ~

com a = - s-• obtem-se a Y3 x3

-P3 =a •-z 3 S '

que produzem uma deformação e y3

nula. Por

tensões estas

esta razão, o

limite superior para o coeficiente de Poisson ê 0,5.

OBS.-3 - No cálculo de deslocamentos e tens~es, foram tomados os

valores iniciais da área da seçao e dos comprimentos,

os quais, devido a ocorrência das deformaç~es, sofrem

alteraç~es desprezíveis •

• / \_ I I ~ I I '////// //// - r-

CORPO li P=40tf 10-li. CORPO I

,. ----- i IEz,l!al ·- ----- ~ ~ i! IE1 ,iJ 1l 10 eM I

~ i I - ,.. I 'l I I Sce Isca I ' I h

" 30 em 30 em I CORTE B. B I FIG. 11.18

Procura-se o deslocamento do ponto de aplicaç.ão da ca_::

ga P, e qual se sup~e transmitir, para toda a barra, uma tensão

a (de compressão) constante. Esse ponto sofrerá um deslocamento X

igual à soma dos deslocamentos, segundo a direção do eixo x, dos corpos I e II. Nos corpos I e parte do II, a chapa rÍgida reage

com tensõe~.a de compressão. Tens~es a ocorrem somente na par-y z te do ·corpo II colocada ã esquerda do corte C.C (são aplicadas) .

a)

Lll-26

(à direita do corte B.B)

!:::.9..,_ = s .!.. x,..

•

2 E, = 200 tf/cm

J.

)..! = 0,3 1

FlS. 11.19 CORPO I

40 2 = ~o,2. ~f/çm

2 a = -0,06 tf/cm yl

= -Cl 1 -, . + a )] =

z1

-4 X 10

1 200

- 0,3(-0,2)1

[-0,2-0,3(-0,06)] =

S., = -9,1 I

-4 x 10 x 30 = -0,0273 em

b) CJR?O r: (~ esquerda do corte B.B)

('o direita do earte c-e l

1"liE.i1.20· CORPOI!:

Lll-27

a) a esquerda do corte C.C

[J = o Yz

2 = 1,0 tf/crr..

e:~;) = 4 ~ 0 r~O ,2-0 ,4 (l, O)]=

a -15 X 10-4 .

-4 = -15x10 x30 =

m-:.:-0 :'J 045 em

b) a direita do corte C.C

o rJ = -0,2 tf/cm~

X

[J >fo o Yz

2 = -0,08 tf/cc

4 ~ 0 [-o,2-0,4(-o~~s)J = • -4.2 X 10

-4 -4 1 2 X 10 X 30 =

• -0 1 0126 C!!:.

c) Portanto o deslocamento /::,'1., na direção do eixo x val:

ói = /::,2._ total - xl

l!.tt = -O, 02 7 3 - O, 045 - O 1 012 6 = -O 1 085cm (enc:urtamento)

-~em pensar, inicialmente, no.resfriamento do tubo de~

ço 1 pode~se dizer que o pilar cilindrico de concreto, ao ser lo~

gitudinalmente comprimido, alongar-se-i transversalmente, traci~

nando o tubo de aço, com tens~es radiais rJ , e sendo igualmen~e r c

comprimido por este.

111-28

O resfriaiT.ento imposto ao tubo G.e aço o -... ara cor:. que este

diminua de diimetro, co~primindo o concreto, c;ue reace . "' sobre o tubo com tensÕes radiais 0 . Es~as rt

tensoes irão somar-se às ten

de compressio que solicitavam o -soes ~ilar, resultando no esquema de solicitação mostrado na Fi1. 11.21.

z l l I l l I i P I - : - - -- I - -C\-t+ 0 rc I ~t+ O"rc -- I -c;.t~t-I - lx -- -- Pl LAR -Tuec DE-- - ACO -

-" - ' -- I t f t t 1 t -. v/1v I crx=-p ' ' t•0.5un 50.0 em o:s c•

FIG.il.21

a) No Pilar de Concreto

Com base na solicitação da Fig. 11.21 e na expressao

(11.1) pode-se escrever

or:..de

s = ..!:... [cr - ll (cr +cr )) X E X c y z

c

(5 = -p X

cr = cr = -(cr +cr ) y z rt rc

:Ül-29

OBS.- O sinal negativo indica que as tens~es sio consideradas co--mo de compressao.

e: = __!__ .r -p X 200 + 0,4 x 2(cr +cr )J rt rc Na iminência da ruptura, e:

X

pressão) e portanto

-200 x 10-3

= [-p + O,S(crrt+crrc)J

(deformaçio por

(cr +cr ) = (p-0, 2 ) = 1,25p - 0,25 rt rc 0,8 ....

com

(A)

O sinal negativo de e:x provém do fato deste ser considera do como encurtamento.

e:

e: z

r c

= e: = ...!.._ [cr rc E z c - \l (cr +cr )J

C X y

= , 1oo[-ccr t+cr )+0,4(cr +cr +p)J ~ r rc rt rc

e:rc = 2 ~ 0 [-0,75 p + 0,15 + 0,4 p] = (-1,75p+0,75)xl0- 3

b) No Tubo de Aço

Em tubos de parede fina, de diâmetro médio ~ , espessu-

ra constante E. e sujeitos ·a uma pressio interna q, sabe-se que,P.! ra um comprimento unitário, a deformaçio pode ser dada por

e: = q•d 2 E t

e portanto, neste caso,

e:· = e: y z = e: = r a

(cr +cr t)x50,5 rc r . 2x2000x0,5

_-:.1 = 25,25 x 10 ·ca +cr ) rc rt

ou seja, substituindo em funçio da pressao p dada, expressao (A):

= (31,563 p- 6,313) X 10-3

Lll-30

Por 0utro lado, o resfriamento de temperatura imposto

ao tubo de aço provocara no mesmo. uma diminuição de seu perrmetro,

a qual segue a lei

rf = r(l+a AT)

-onde r e rf sao respectivamente, os raios do tubo, antes e depois da deformação. Assim sendo,

Ar • rf - r = r a AT

e portanto a deformação radial vale

E = Ar r

2TI Ar = = 2Tir

onde a é o coeficiente de dilatação térmica e AT e o gradiente

de temperatura, negativo neste caso. Assim,

-s -3 Era = 2 X 10 X (-30) • -0,6 X 10

Essa deformação radial, somada algebricamente ã deform~ çao provocada pelo concreto, resulta numa deformação final que,

por compatibilidade, deve ser igual ã prÓpria deformação do con-creto, ou seja

E r c

(31,563 p-6,313)x 10-3 - 0,6 x 10-3 =

2 p = 0,23 tf/cm

Obtido p, a equação (A) fornece

(a +a ) = -a = -a rt rc y z 2 = 0,038 tf/cm

-3 (-1,75p+0,75)10

Essa tensão, que atua no concreto, atua como pressão

interna no tubo de aço, encontrando-se portanto, a tensão de tra -çao no aço (aa) com a equaçao

(cr +cr ) ··d rc rt

2 t

.Lll-31

= 0,038x50,5 = 2x0,5

2 1,92 tf/co

o.s ... 50 .o em O.ScM

FIG. 11.22

Essa terisio e a 6nica tensio existente, constituindo-se

portanto, em tensao principal, do que decorre

As tensoes cry e crz, que comprimem transversalmente o

corpo, tenderia a along;-lo longitudinalmente, empurrando-o con-

tra as chapas r!gidas, que r~agindo, provocam no mesmo o apareci

mento de tensÕes de compressão cr . X

Alim disso, por compatibilidade de deslocamentos segu~

~o o eixo x, pode-se dizer que o deslocamento que.ocorre nas 4·

barras,.deve ser ig~al ao deslocamento do corpo solicitado por

Aquelas tens;es.

VISTA LATERAL ..........,A I I I I

Lll-32

CORTE A-A

-+-----,........-~ '""~'""-.:......._:......,:__;__;__;c__+,;__"'-f__;...:.......-.:,-_:_......!d.

Olldl!

o

' ' '

Lll-33

lJC! .. l/3

Com esses dados resulta

= -1-[-o 6 - .!.c-o 9-cr )J 210 • 3 ' z X 40

Igualando os valores dos deslocamentos obtêm-se

2 - -crz = 1,2 tf/cm (tensao de compressao)

FIG. 11. 24

Lll-34

As restriçÕes a sere~ obedecidas sao:

a) r;_> O para qualquer valor de a. X

b) Je: I$ 1,4 X 10-4 y

A restrição (a) é obedecida para qualquer a. desde que

a menor tensao normal, que é a tensão principal cr2, seja no mrni

mo nula, o que leva, usando a expressão (10.6), a

cr = 2

0,5+cr

( 2

• •• cr ~O ,32 tf/cm2 y

~o

A restrição (b) é obedecida quando:

b1

) gy -0,155 tf/cm 2 y

Solução Final

2 o-;32 tf/cm < cr y

< 0,405tf/cm2

Lll-35

rb to.s +-ab 1.2 L O a 1.2+-aa \ 1.2~0a

tll u -- ·~ -

Ll2-l

CRITfRIOS DE RESIST!NCIA

Os critirios nais usados sao:

a) CRITfRIO DE COULOMt

A seGurança contra a· rup~ura de materiais sujeitos a

um estado triplo de tensoes, e verificada pela posiçio do corres

pendente círculo de l:OER de maior diâT'letro ;cr1-a

3j, em relaçio ã

regiio sem ruptura c:;ue define o CRITfP.IO, sendo·cr1 ~a2 ~a3 , "c

a cha~r.ada coesio do material e Ç; o ângulo de atrito -interno.-

de ru.ptura

FIG.I2.1- CRITÉRIO DE COULOMB

Se ao invis de verificar a segurança contra a ruptura,

for de interesse verificar se un c~rto estado de tensoes e

admissível, basta dividir 'r pelo adotado coeficiente de c

ça, obtendo T . c

Tal critirio pode ser particularizado para os

seo-uran v -

estados

planos de tens~es, obtendo-se o grifico da Fig. 12.2, no c:;ual ~T

e a s~~ respectivamente as iens~·es de ruptura i. traçio e cocpre~ c -sao do material estudado. As coordenadas (o1 a~) desses estados planos de ten-" soes, no caso de nio. haver ruptura, deveR pertencer ·i regiio in-

terna do grifico (zona sem ruptura).

L12-2

,(zona sem rupt o r de r..pto ra l, ,

FIG. 12.2 • CRITÉRIO DE COUI.OMB(eslado plano de tensõol

b) CRIT!:P,IO DA ENVOLTÕRIA DE !:OHR

E semelhante 'ao critério anterior, só que, em lu~ar das retas que definem a segurança contra a ruptu'ra, têr::-se curvas en-

voltõrias aos ctrculos de HO!ir.. obtidos J!r> ensaios de ruptura dos respectivos materiais.

1:

w. , envoltório do MOHR. ,, s

\ \ I I,

zoiiG sem ruptura \ '. ~ a J

\

w·

FIG. 12.3 - CRITÉRIO DE MOHR

c) CRIT!:r..IO DA ENERGIA DE ~isTORÇIO OU DE VON ~ISES

Para a an~li'e de.um material sujeito a um estado tri-

plo de tens~es, para o qtial são iguai.s as tens~es de ruptura a

tração e compressao, define-se uma tensão ideal cr. dada pela ex-~

pressao

.... (12.1)

Ll2-3

a qual deverá ser comparada com os respectivos valores das ten-

sÕes ideais de ruptura ou admissrveis desse ~aterial.

Uma particularização deste critério pode ser feita no

caso de estados_ planos de tensÕes sujeitos a tensÕes normais ~

numa única direção e de cisalhamento T (nas vigas por exemplo),

obtendo-se a expressao (12.2), na qual a tensão i dada por:

~- = l.

, I ----2 2 v ~ + 3 ' .... (12.2)

O ~aterial segue· o ·critirio de Coulomb defin:ldo pelos

parimetros r0

e • conforme Fig. l2.4.a.

14 k9f/c...Z )!Jj)))

--

---

1 l l I f 1 1 1 14 l

Ll2-4

Portanto, traçado o circulo de MORR corre~pondente ao

estado de tensio fornecido, deve-se veri~icir se as retal do cri

terio são tangentes ou secantes ao ~es~o.

O circulo de :!WRR traçado deve sempre ser o de maior

diâmetro dentre os correspondentes ao estado triplo de tensões,

isto e, o de diâmetro igual a lcrl- cr3!~ Para o estado de tensao em questao, tem-se:

' ' ·i I

I.

J

2 cr = -14 kgf/cm · l

c

80

a) Equaçio da reta (~ • a cr + b)

Obtenção de a e b

Substituindo na equaçio

e ~ • ~ = 5 kgf/cm2 , resulta b • c

outro ponto, de coordPn~das

-~ = O e cr = ~ = 5

fornece o valor de a.

.FIG. 12-5

da reta as 2

5 kgf/cm •

coordenadas cr = O Analogamente, um

L12-S

-S•tg20° a • 5 • -0,364

-Portanto a equaçao da reta e 1" • -0,364 (J + 5 • ' " ' (A)

Para o c!rcu1o de MOH2 correspondente ao estado de ten são dado tem-se, conforme Fig, 12.5,.

d • o

c •

r •

-14 + (-BO+l 4 ) • -47 kgf/cm2 2

80;

14 • 33 kgf/cm2

'"' (B)

Substituindo o valor de 1" da expressão (A) em (El es

tar-se-~ procurando uma poss[ve1 intersecção das ~urvas que pos-suem essas equaçoes, obtendo-se

1,132 a2 + 90,36 a + 1145 • o

Verifica-se agor~ se este polinamio tem ou não raizes

reais, pela pesquisa do vaior do determinante~.

Se 6

Ll2-ti

6 • (90 1 36)2 - 4 X 1,132 X 1145 ~ 29,80 > 0

e portanto o estado de tens~ea levar; o material i reuptura,

A figura 12,6,a) il~stra o caso de carregamento em que

a carga P estã situada.na extremidade A; Na Fig. l2,6.b) mostre--se o caso em que a carga P estã situada no meio do vão,

a I

r•Z.Otl 0.'? 11/01

A A a t a.o ..

I I. O ..

I

b J roZ.OI!

O.?lf/.,

I '*· lc •

I z.o" G.OO 11t ~

I

FJG.I2.6- CARREGAMENTOS ADOTADOS

Os diagramas de esforços solicitantes, momento fletor

e força cortante, para a carga P situada na extremidade A esti~ mostrados nas figuras 12,7 e 12,8.

Ll2-7

5,4tf.m 3,43 m

1,03 tf.m

1,72m

FIG.I2.7-DIAGRAMA DE M

3,0 ti +

2,0 tf I, 2tf

3,4 ti

FIG.J2.S • DJÂGRAMA DE Q

Os ~iagramas de esfo~ços solicitantes para eargs P si tuada no meio do vio estio mostrados nas figuras 12.9 e 12,10,

5,57 1'11 14 tl.m

5,46 tf. m

FIG.I2. 9- DIAGRAMA DE 1\f

,.2, 97 tf

FIG.I2.10- DIAGR~iMA DE Q

b) Verifieaçio das tensÕes

Na anilise da segurança desta viga, seri usada a ex-

pressio (12.2) sendo os valores a e TObtidos para tris pontos das jeçÕes transversais eritieas (i, fig. 12.11), Assim para o

ponto B onde a é miximo e T é nulo as seçÕes transversais errti

eas serao aquelas em que o momento fletor atinge um valor mixi-

I.l-2-8

mQ. PQr outro lado, ao n[v~l do centro de gravidade a tensao de

cisalhamento é mãxima e a tensão norma·l é .nula, sendo portanto

cr[ticas as seçoes em que a força cortante ·.é m.ã:dina. Rã ainda a

necessidade de verificar o ponto T da seção, ~a qtial as tensoes

rJ e T apresentam valores menores porém prÕximos dos res·pectivos

máximos. Neste caso, a seção crttica deve ser pesquisada em fun-

ção das combinações mais desfavoráveis .. de momento. fletor e for-

ça cortante. •• T

c.s .

FIG .. 12 .• li

• • • .. ..

b~l) Ponto B (borda da. se~ão)

Neste ponto como rJ e máximo e T é nulo, a expressao (12.2) se reduz a

cr. ~ rJ ~ rJ = 1,4 tf/cm2 ~

Para o perfil mefálico adotado, 6om especificação I 10" (37,80

kgf/m·). da tabela de perffs obtém-se o valor do modulo de resis

tência â flexão.

w = 405 z

em 3

A partir daÍ segue que

(J =

ou

M -max -= l.J

z

M -~:< 405 "

1,4

M - ~ 567,0 tf~cm = 5,67 tfm · -max

Para a carga P posicionada na extremidade A, o valor do máximo

momento é 5,4 tfm, sendo portanto menor que o valor admissível.

- Para a carga P posicionada no centro do vão, o valor do máximo

mQ11!ent:c> é 5,46 tfm, sendo também este valor menor que o mâximo

ad11!is s r v e 1.

Ll2-9

b.2) Centro de gravidade

Ao nlvel do centro de _gr~vid.~de ~a seçao, a tensio a i riula e a tensio T ~ mixima, resultando da expressao (12.2):

ou

cr. = l.

= T ~ max

. . 2 Tmix ~ O,.S08 tf/c.m

• ,13 ~ cr = l , 4 t f I em 2

Para o perfil utilizad~, e.ncontra-se .na tabela de perfis I lami-

nados

J = 5140 z 4 em

Al~m disso, o momento estâtico no centro de gravidade

~ obtido por:

Portanto

ou

T ~ max

. 2 •

0 • 79 x~ 11 • 45 ) +(ll,8xl,25xl2,08) • 230

Q ~ •M max s

b J z

Q ~ x230 ·max • 0,79x5146 ~ 0 • 808

3 em

Atrav~s do exame dos diagramas de forças cortantes,

tanto para o caso da carga P posicionada na extremidade A como

para o caso da carga P colocada no centro do vio, em nenhuma se

ção ao longo da viga·o esforço cortante máximo é ultrapassado.

b,3) Ponto T ·(ligação entre alma e aba do perfil)

Para o ponto T~deve-se ~rocurar em ~mbos os casos de

carregamento, a seçio critica na qual os valores de cr e T, uti-

lizados nas express;es (l2,2),lev~m i tensio ideal máxima, No ponto T, de acordo com as caracteristicas geométri

cas do perfil utilizado, valem:

J - 5140 z 4

em

YT • 11,45 em

Ll2-10

Analisando os··diagramas· de· esforços solicitantes para .· ' . . ' o caso em que a carga P situa~~e n~.eitremidade A, a seçio do a. poio B torna-se .a mais soli.cita~a;. A:p~r~ir. daÍ. segue que: -

T •

cr. • l.

Q:Ms .. · 3,4xl78. 18. 2 - 1 • 0,149 tf/cm · bJ. · 0,79x51 O ·

J (1,203) 3 + 3 x (0,149) 2 • 1,23 tf/cm2

Com a carga P si'tuad-a '.no· centro do· v ao, a .partir da

análise dos diagramas de esforços. solicii:~ntes, ·duas seções de-vem ser analisadas, res_pe'ctivamente, as. ~eções do apoio B e do meio do vao.

Assim, no apoio te·m-.se

M 140 · . 2 cr • J • -YT = 5T'4õ x 11,45 • 0,312 tf/cm

Q•M ·. . s .. 3133x17S1 1& • 0 1 ~6 T • b:r o, 7§x5l40 · • ·.· . '"'2

tf/cm

c: 111: l.

Jco,312) 2 • 3 x co,l46) 2 • . 2 0,402 tf/cm

ou.

No meio do vao, valem

546 2 r:J = mõ X 11,45 = 1,2·16 tf/cm

T =

(J. = l.

1.23xl78ll8 = 0 , 054 tf/cm2 0,79xSl O

r:;. < cr l.

Portanto, a carga P ~dotada e um valor admiss[vel.

VIGA .DE FERIOO FUIIDICO

/ '/.1---~·-~--~ ; ;

I

,

' . '

' ' . '

J. • lO, O em

FIG. 12 .. 12

I I

: lo.2cm 0,52cm 1

ly

i

lu.zcm i I

-t (se

a) Cálculo das Tensões Principais

As tensoes serão calculadas aos níveis dos pontos G), ®. ~.e do C.G. da seção transversal do engastamento, na qual os

esforços solicitantes são máximos e valem:

}i = p • t - 10 'o . p X

Q = p

-As tensoes principais pressao (10.6).

ser ao calculadas com o uso da ex-

Ponto (i)

Ponto @

Ponto ~I

Q M

'r (1) = s (1)

= o b J z

M

O' (1) = X = :r . y (1) X

cr1

B 115,33 p

H s (2)

'r (2)

0'(2)

'1} o· 2

M (s)

-r (3)

= 0,2x0,8x0,42

p .. o! 067 = = 0,2 0,0763

.. lO,O·P··0,32 = -o,076'3

J 41,94 p

= ± 2

= o

= o

10,0·P·0 2 88 • O' {1) = 115,33 F o' (}7 63 . •

0,067 3 - Clll

4,40 p

41,94 p

0'1 = 42,40 (41294P)2+ (4,40Pl ....

-0,46 0'2 =

" = 10 !~_: . o.52 = 68,15 P .... cr, = 68.15 P

:··

F

Ll2-13

lij (l,@, .. (j

~v ., ) (.5 ,O?r)2 lij1 "' ~.oi' r " () • a2 a~ " =~,07 i' ..

0.1

FI e. 12. 13- CRITE.RIO DE COUlOiílll ( estoH Jll- dtt tensd"o)

Ponto (i)

Na Fig. 12,13 observa-se que, sendo a2 • O, a1• 115,33·P1 poderá, no oãximo, assumir o valor 0,8, ou seja:

ll5,33P 1 ~ 0,8 • •

Ponto (2)

-~omo al e positivo e a2 e negativo, o ponto de c:oorden.!. das (a1 ;cr2 ) deve pertencer à reta A-B e portanto a geometria da Fig. 12.13 leva a

o 4 0,4-crl tg y • ~ • 0,5 •

' a 2

Ponto & Como cr

1 é positivo, seu valor mãximo serã 0,4

.,. -3 -68,15P < 0,4 ou r3

< 5,87•10 tf ou P 3 • 5,87 kgf

- -3 p2 = 9,5 • 10 tf - 9,5 kgf

Centro de Gravidade

Para cr1

= 5,07P e cr2

= -5,07P, procede-se analogamente

ao que foi feito para o ponto@ obtendo-se

•tg y = o' 5 = o,4-5,07 P"c.G •

-5,07 Pc,G PcG= o,0526tf = 52,6kgf

Portanto o valor admissível da carga P sera 5,87 kgf.

a) Obtenção dos Esforços Solicitantes

Na Fig. 12.14 mostram-se os esforços solicitantes sc:.re

a seçao do engastamentc, on.de ocorrem seus respectivos valores ::â ximos, que serão utilizados para as verificaçÕes das tensões i-

deais.

1,5tf

...-l!:::>l' .. o_, !> tt --r !>,o ""' . ----·íofZ"' !),O""'

----r-

X

FIG\.12.14-ESFORÇOS SOLICITANTES NA SEÇÃO DO ENGASTE

112-15

!1 = ... f X 't = 0,5 x 10,0 • 5,0 tf•cm (momento torçor)

liz • 1,5 x.30,0 • 45,0 tf•cml

(momento& fletores)

M • 0,5 x 30,0 = 15,0 tf•cm y

Qy = 1,5 tf (esforços cortantes)

Q = 0,5 tf z

b) Cilculo das Tens~es Ideais crrticas

Os esforços solicitantes calculados provocam, na viga,

o aparecimento "'" mento fletor H

de tens~es a e T.

(resultante de .. " .. y

As tens~es a, provocadas pele ""~ .. e H), alcançam seu ~alor mixi~o

z nos pontos A e B indicados na Fig. 12.15, distribuindo-se na se-

çio da forma como se indica. As tens~es T, por sua vez, devido ao

momento torçor tim igualmente valor miximo em toda a borda, e de--+ '

vido ã resultante Q dos esforços cortantes, distribue..,-se na se-ção de forma que, nos pontos A e B, seus valores serão nulos.

Oz • O, 51f

My = 15 ti. em

A

Q = .1.5tf y

FIG.I2.15- DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES (J e l: NA SEÇÃO DE ENGASTE.

b.l) Tensão cr nos pontos A e B

H ·r z

=

4 - 'lr.:lO = 490 87 64 •

4 em

D . - -2 47 •43 x 5,0 - 0,483 tf/cma 490,87

47,43 tf•cm

b.2) Tensão T devido ao momento torçor (pontos de borda)

T -max = 16 .. ,·5, o

3 11"·10,0

2 = 0,025 tf/cm

b,3) Tensão -r devido ã cortante (Centro de Gravidade)

Q - v (0,5) 2 + (1,5) 2 i - 1,58 tf

't - -max

Q H s -max •

2 'Ir o lO

1,58x --a- x 490,87

b.4) Tenaão Ideal nos pontos A e B

. I 2 • .Q ,054 tf em

Utilizando a expressão (12.2) do criterio de energia

de distorção, obtem•se

cr. ].

. . cr. ].

~2 + 3 2 v 'u =

t

- 2

L12-17

a ) .::C~ã~l:.;c:.:u:.:l:.:o:-__:d::.;e:._cr:..t

Para calcular-se o oãxitio valor de crt deve-se lançar,

no critirio admissivel, o estado de tensio (A), cujo círculo de

MCHR correspondente d.eve tangenciar as retas que definem ó cri-

tério.

ou ainda:

2 "t( kgf/em l

lft . T

a,. ãt O"t= o as= o

FI G. 12. 16- CRITÉRIO DE COULOIUI

De acordo com a Fig,l2.16 pode-se escrever:

o 2 • tg 30 = 4

(2-(Jt 2)sen 30°

(6,92-(J ~) 2

0,5

(Jt = 2

(Jt = 2

2 2 = 6,92 kgf/cm

2 cr t = "4 , 6 kg f I em

b) Câlculo-·do valor de p

O estado de tensio (B) nao i admissivel pois cem rJT = " 9,2

2 -kg/cm • Com a soma deste estado ao estado (C) obt

:U2-18

19 Caso 29 Caso

r j p p- 9,2 ~ p- 9,2 ~ 8 9.2 -p ---

lp I p FIG. 12.17- ESTADOS DE TENSÕES

b.l) Para o 19 caso tec-se:

()"2 = -(p-9,2)

()"3 = -p

Levando-se o círculo de MOHR deste estado de tensoes no critério "btém-se:

1'16. 12 . 18- C I'! ITÊ RI O Dt: COUI.DMB

Portanto

t.l-Z-19

Pela Fig. 12.18 pode-se escrever:

(6,92+ .l:.2 )~en 30° • .1:. . 2

' p • ll,S( kgf/c~·

b,2) Para o 29 caso tem-se:

Levando•se o ctrc~lo de MOI& deste estado da tens~es no cric;rio obc;m-se:

ou ainda:

r

F I G. 12 • 19.- CltiTr'IIIO DI COUI.OMIII

Pela Fig. 12.19 tem-se•

2r • p + (9,2-p) ... r • 4,6.

[6,92 + r- (9,2-p)J sen 30° • r

Substituindo o valor de r obtém-se:

p • 6 ,se ks·t/-cm·2

Ll2-ZO

c} Resposta

Portanto o valor de p deve satisfazer ãs seguintes con

.;f~çÕes: )~

6' 88

r

r c

_, o l

FIG. 1.2. 20 • C lltCULO Cl MOHR

A ~quaçao da eirc~nfarincia qu~ rapraaanta o circulo da MOHR do estado da tanaõas fornecido ê, conforma Fig. 12.20,

onde

d • o

ou seja:

(a+(O,Sp-0,1)) 2 + T2 • (0,5p + 0,1) 2 • • • • (B)

Substituindo em (A) o valor de T2 calculado através de

(B) obtêm-se:

a2 + (p-0,6)a + (O,l6-0,2p) • o

Se esta equaçao nao tiver raízes reais (Ll < O), parábo-

la e éircunferência não terão pontos. em. comum, o que significa que

o estado de tensão não ê de ruptura.

Se ~sta equação tiver apenas uma raiz (Ll•O), serao tan-

gentes a .parábola e a circunferência e o estado de tens:iio estará

na iminência de ruptura.

Portanto, para que não haja ruptura deverá occHrer À~ O,

ou seja!

lll! ,. ©,4 ll = ©,a ~ fl

ll = = §,it § i,U '* ! (J~?§ H/~ml! nãEJ êél!ilve!m

A Un§âEJ'Mlf!i!ãl ll €lê €€lllllllfꧧâ€l pêl!ê lêêl1 1 êlll m~1!1üF! 1 ª §€1Yi!il~ê 9ãliã~i€J!

ProCYf㕧C O VâlOI ~O ; llâlâ Câ~â Yl!l ~06 A§~A~O§ piAnO§

4o tonaõea in4ico~oa, Euoo valor, em eA~A CAso, dovcri fAICf co~ qua o etrculo àc MOHR de diÂmetro igual a le1-a3 ! sojA tongoncio• 4o pelas ratas do CRit!RlO,

a) Cuo l

I ,

"'' 1~1 '' I p fl:/ 20 ' Cl'lqr~2 1 I

I

I

FIG. 12.21

crl m 0'2 • o

0'3 m -p

icr 1-cr3 i .. D .. p

b) Caso 2

c) Caso 3

!.12-23

lO t

l..l2~24

Co~o ~~tstem t~ni~es ·de cisalhamento, i necessário usar a expresslo (10.~) para obter-se as tensoes principais, sendo

o = o X

.o = o y

'r = p xy

Com estes .valores resultam:

o = p 1

-p

o = o 2

I o -o I • D • 2p-l . 3 .

o - -p 3

n . un .e~ .. o , 441

!il) Cuo 4

p/2

FIG. lt~.- 24

e) Caso 5

t'

o --R. 2 2

03 = -:p

Apesar das tensoes nas faces do ele

mento serem diferentes das indicadas no

Caso 1, os ctrculos de MOHR de maior diâ

metro, nos dois casos são iguais, o que

leva a

2 p = 32,33 kgf/cm

= o

p ·o., - .-Este caso i análogo ao Caso 2 por

estar sujeito ãs mesmas tens~es

principais o1

e o3

• Dessa forma

pode-se escrever que

·l, FIG. !"2.25

2 p = 12,36 kgf/cm

!"":

!.12-25

FJG. 12.26

a) Ssforços Solicitantes e TensÕes

Transladando a carga P excintrica para o Centro de Gra

vidade do pilar, atuam os esforços indicados na Fig. 12.~6, ou

seja:

onde

N = -P = -40 t:f

N = P • d = 40 x 5 = 200 tf•em y

As tensões provenientes da açio destes esforços valem

s

..J. y

p

s

=2[2xl8

22xl2 3 = 12

Z - = 6,0 em max

IJ ,. "1 (máx)

+ 12 x 2]= 120

18x8 3 =2400 12

40 2 120 = -0,333 tf/cm = -

M --L

J y

2 em

4 em

z -max

200 v J! = 2 4 0 0 X 6 ' Q = J:taX

t.12-26

r 5 f'/ 2 u, t_ em

A tensio normal devido a N distribui-se uniformemente

sobre toda a seçio e a outra, devido

bordas mais afastadas, na direçio do

., a ~.:.,

eixo

tem valor máximo nas

z. Na borda pr6xina do

ponto de aplicaçio da car,a P, ambas as tensoes sio de compres-

s·ão, resultando

v= -(v .. +v.,) = -(0,333+0,500) !,\ .i:J.

b) Cálculo da Tensio Ideal

2 = -0,833 tf/cm

. Isolando um elenento em torno do ponto mais solicitado,

o mesmo estará sujeito às tensÕes principais

2 = -0,833 tf/cm

-e portanto a máxima tensao ideal, com base na expressao (12.1) vale

2 = 0,833 tf/cr;:.

A análise de ruptura de solos coesivos (T + O) ê feita c

pelo CRITfRIO DE COULOHB. Obtidos, no instante da ruptura, os ciE_

culos de MQBR· correspondentes aos estados de tensoes dos ensaios

I e II, a i::eta do CRIT:ÉRIO deverá tangenciar esses dois ci:rculos,

conforme .a Fig. 12.28.

L12-27

Po

FIG. 12..2.7

Tomando-~" cr1 > cr2 > cr3 .• para os dois ensais tem-se:

ENSAIO I ENSAIO II

-1,0 kgf/ em 2 -2,0 kgf/cm 2

crl a 0'2 " p = 0'1 = 0'2 = ~

" -5,0 kgf/cm 2 -8,0 kgf/cm 2 0:3 - Pa 0'3 -

4,0 kgf/cm 2 6 ,O kgf/cm 2

0'1 - 0'3 = crl - 0'3 =

-~ 1/l.- z

?.0 &.0 5.0 4.0 3.0

·FIG. 12.28- CRITERIO DE COULO'WB

Ll2-28

Conr has.e na Fig. 12. 28, po.de-:-se. es-crever

·~ + 5' o = = sen a t+3,0' .

Sendo R1 = 2,0 \

a . T

2

f, -

b) Cálculo de p

b .1) (2õ'T-p) > O

Ll2-29

o = sen 30 = 0,5

1: (kgf/.,.,.zl

2 aT = 2, 3 O kgf I c1n

t---=-1 -t

o

. I I ' ! êÇ2! ~ .

I .~

FIG. 12.30- CÁLCULO OE éf"T

O c!rculo de HOHR de diâmetro Ja1-a

3J, neste caso, pa-

ra encontrar-se p,poderã tangenciar tanto uma quanto a óutra re-

ta do CRIT~RIO, levando a d~as análises.

I) o circulo tansencia a reta inclinada de 30°

• (fl9t.fcm2

(Jl = 2ãT - p

a2 = o

a3 = -p er fl't1' ,.,..,

~

p 2~-p

FIG. 12.31

Ll2-30

a·= R- p = - p

sen 30°. = = 2,30 3,46-2,30+p

P- >. 2 • 3,45 kgf/cm

li) O. Circulo tangencia a reta inclinada de 15°

I I b

--p---

-..-:--. __

' -----~-p'

FIG. 12.32

= o

-- ------150 --d

(J = -p 3

--CT(II\gttcr/) ' I I

tg 15° = 2d0 = 0,268 d = 7,464 kgf/cm2

b = p-R

o sen 15 R = b+d = = 2 30

---=-~:::.__--. ·= o , 2 58 8 p-2,30+7,464

p / 3,72 kgf/cm2

·Tnterpretação dos valores calculados para p

Para (2ÕT~p) > O, foram encontrados os seguintes inte~

valos de variação de p, provenientes dos casos I e II.

Ll2-=,:31

o 3,45

•= e 6 e A •••• 3,72.

A análise desses resultados leva, matematicamente,ã re~

posta p::::. 3,72 kgf/cm2; fisicamente pode-se verificar que a ten-

sao p não pode assumir valores entre 3,45 e 3,72, pois os crrcu-

los de liOHR correspondentes a estes valores são secantes ã reta do critério de inclinação 15°, conforme a Fig. 12.33, na qual ve-

rifica-se que, para p ~ 3,45 kgf/cm2 , o círculo de MOHR tangencia ,;1 retl! inr;litHI,d.\1 de 30° e ·intercepta a inclinada de 1.5° em dois pQntQa.

MCOIIIU

-fl(ktf/cJ)

!1. 45

FIG, 12.35

Neste caso, as tensões principaís usadas para a constr~

çao do círculo de MOHR e consequentemente para: determinar p, são:

a • o 1

a • 2a -p 2 T

a • -p 3

p

Sen

Ll2-32

I R=/p/2 ---15~

P/2 d • 7,464

FIG. 12.34

~ t +7,464 15° = 0,2588 =

-. a i (kgf/cm2 l

? ,::::, 5,21 kgf/ cm2

c) Resposta: Pela superposição dos valor.es encont-rados nos casos

@ e (~ chega-se ao. seguinte intervalo de ~ariação de p

3,72

O corpo rigido impede os deslocamentos segundo a dire-

çao y (& •O), o que induz o aparecimento, no corpo II, de tens~es

cr , em a~rescimo às tens~es cr aplicadas externamente e as ten-~ z .

soes crx transmitidas em sua interação com o corpo I.

p 2 cr - - = - 100,0 c -1,0 tf/cm X SI lO,OxlO,O

1 & -- [cr -IJ(cr +cr ~ - 2ioo [ cr7-o,3(-l,o-o,6)J = o y

• . . .

E y X . Z

2 cr· = -o·,48 tf/cm y

)es•a forma, dada a inexist;ncia de tens~es de cisalha-

mento, pode-se escre~-r que no corpo II atuam as tensoes princi-

pais

cr • cr • -l O tf/cm2 3 X 1

c cr z

? = -0,60 tf/co-

Utilizando estes valores na expressao 12.1 do CRIT~RIO

DA ENERGIA DE DISTORÇÃO encontra-se

cr. • l.

't[c..:o ,48+0, 60) 2 +

Uma viga de ferro fundido, que tem tensoes de ruptura a

traçao e compressio diferentes, pode ter sua performance quanto a

ruptura, analisada através do CRIT!:'.RIO DE COULOllB para o estado

nlano de tensoes.

1: xy

~~ l / a, Oi ',; xy

ap• 42.:s•

o;. o .. s tftcrn2

.crx

I/I / I 1

(I l i ' ---I o

( I! l

0,414

I I

AG, Í2.36- CRITÉRIO DE COULOMB (estado plano de tensões)

!:'. dito que, para a.p=42,3°, encontra-se uma tensao prin-

cipal igual a 0,5 tf/cm2 • A outra tensão principal, c;ue ocorre na

iminincia da rupttira, deveri ser obtida para que o ponto de coor-

denadas (a1 ;cr2 ) seja colocado no CRIT!:'.RIO e possam ser obtidos at

e cr • c -Utilizando as expressoes (10.1) e (10.3) e lembrando

que, neste caso, cr ê suposto nulo obtim-se as equaç;es y

a X

cr- = - + :K- 2

cr

2x cos(2x42,3°)+ ' sen(2x42,3°) = xy

2• tg(2x42,3°) = ~ = 10,579 a

X

0,5

cujas soluçÕes são

2 crx = 0,086 tf/cm

Ll2-35

2 T • 0,455 tf/cm xy

Obti~o~ cr e T , com base na expressao (10.6) obtim-se x xy

as coordenadas do ponto R da Fig. 12.36, correspondentes ã ruptu--ra, cujos valores sao

2 cr 1 • 0,5 tf/cm .

2 cr

2 •-0,414 t:f/cm

Os valores de crT e crc sao obtidos com base no para1eli~

mo das retas ÃB e ·eiS, é:;ue ocorre porque se usa o mesmo coeficien-te de segurança.~ para tração e. comp.ressão, ou seja

(j c

(j c

- s 0,4

= s

Da geometria da Fig. 12.36 resultam

tgS = o' 4 = 0,8

s =-- 0,707 = 1,768 o ,4.

2 crT = 0,707 tf/cm

(J - s O' c c = 1,768 X Q·:tg • 1,414 tf/cm2

Ll:2-,36

FJG. 12.37- ESTADO DE TENSÕES

a) SOLICITAÇÃO EXTERNA DA CEA~A

z E= 1000 tf/cm

f-1. = 0.25

o ea.tado de tensões interno ã chapa e o chamado "cisa-lhamentC>.puro", que ocorre em faces sujeitas somente a tensoes

. ' de cisal.hamento •--.• Sabe-se que na direção A.A onde ocorre, o~. xy tida girando as eixos de 45° no sentido anti-horirio, a distor-

ção Yxy vale 0,001 e portanto usando a expressão (11.2) obtém-se

'T--xy T-- . 2(1+)1)

= 0,001·- xy = -c; '--X

E

T--. xy = 0,001-E =

2(l+)l) O,OOlxlOOO = 2(1+0,25)

? 0,4 tf/cm-

Externamente ã ,chapa, s.ão três as incógnitas a sere::o determinadas (cr , cr e

X y. T ), o que exige a obtenção de três equ_a xy . .

ç~es independenies, em tens~es ou deformaç~es.

Equacionando em termos de tensÕes, sabe-se que para

a. = ,

45° e a= 135°, respectivamente, as tensões normais são nulas 2

= 0,4 tf/cm e portanto, o uso das expressões (cr- e 0"--) e T--x y xy (10.1) •• (10.3) permite escrever

cr +o o -cr o X y +( X Y)cos(90°) + (~Co) ("'-) 0- = = ' sen X 2 2 xy

cr +o cr -o o X y +( X Y)cos(270°)+ T (270°) •• (E) 0- = = sen y 2 2 xy

o -o ( y x)sen(90°)+ o (C) T-- = 0,4 = T cos(90 ) xy 2 xy ~

L12-37

A solução das equaçoes (A), (B) e (C) leva a

(J X

2 = -0,4 tf/cm

O 4 . ;· 2 cr =. , · t f em y

1" =o. xy

2 0.4tt/cm

10.4 tf/cnn2

. 2 0.4 tf/em

l 0.4 tt/cm2 FI G. 12. 38 E·STADO DE TENSO-ES

b) CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES e:x =-e:y

De (1(.1) tem-se, para essa chapa plana sujeita as

tens~es encontradas

é: = 1 .· [~0,4-0,25 (0,4)] -5,0 10-4 1000 = X X 1

[o,4-0,25(-0,4)] =· 5 'o 10-4

é: = 1000 X y

. c) OBTENÇÃO DAS TENSÕES DE RuPTURA E COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Sendo este estado correspondente a ruptura, um ponto

da chapa sujeito ãs tens~es cr 1 e cr 2 , no CRITfRIO DE COULOHB, peE

tencerã ã reta AB (Fig. 12.39),

= (-0,4+0,4) 2

cr =a =.0,4 tf/cm 2 1 y

= (J X

2 = -0,4 tf/cm

Admitindo que o coeficiente de segurança e o mesmo a

traçao e à ·compressão (razão pela aual a reta ÃB é paralela ã re ta correspnndente do criteTio), pode-se concluir, tom base na

2eometria da Fig. 12.39 aue

Ll2::38

cr -o "' o' 4. T ' . tg"( = 0,8 = o' 4-" crT = 0,6 tflcm"

(J~ o, 6 . " = 1,5 s = = crT 0,4

l cr I = s . I c i = 1 , 5 z O , 8 = 1 , 2 t f I em 2 • c c

0.4 I I

-I

! I

t o.4 !A C7. . -·~Q~.--------------+-----+,~Y-IF---------~·

i'Y y I I I 1/ o.• --4ccr,;0'2 l

I

8

I f

I f

I

I I

I I

I I

I

FIG. 12. 39 - CRITÉRIO O.E COULOM