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Lgica Matemtica B * 2007/2

Prof. Ruth Portanova

O CLCULO DE PREDICADOS DE 1aORDEM(Trabalho realizado com a colaborao da estagiria Ktia Henn Gil)

Introduo

O Clculo de Predicados, dotado de uma linguagem mais rica, tem vriasaplicaes importantes no s para matemticos e !ilso!os como tamb"m

para estudantes das #i$ncias %&atas'

Smbolos da Linguagem

(ara ue possamos tornar a estrutura de sentenas comple&as maistransparente " necessrio a introduo de novos s*mbolos na linguagem do#lculo (roposicional, obtendo+se a linguagem do #lculo de (redicados deaOrdem'-esta nova linguagem teremos, al"m dos conectivos do clculo proposicionale osparnteses, os seguintes novos s*mbolos.

variveis:&,/,z,''''''''constantes. a,b,c,''''smbolos de predicados. p, , r, s, ''

quantificadores. 0universal) , 10e&istencial)

termos. as variveis e as constantes so designadas pelo nome gen"rico determos os uais sero designados por t , t2 , ''',tn '''

as variveisrepresentam ob3etos ue no esto identi!icados no 4niversoconsiderado 05algu"m5, 5algo5, etc')6as constantesrepresentam ob3etos identi!icados do 4niverso 057oo5, 5oponto 85, etc' )6os smbolos de predicadosrepresentam propriedades ou relaes entre osob3etos do 4niverso'

funes proposicionais,proposies abertas ousentenas abertas

%&istem sentenas ue no h como decidir se assumem valor lgicoverdadeiro ou !also' (or e&emplo,

p 0&). 9 &2: 2& ; < = >?

m 0 & ). 9%le " aluno do curso de matemtica?

c 0 & , / ) . 9 %le e ela !ormam um casal de namorados?'

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%las so denominadas de funes proposicionais,proposies abertasousentenas abertas.Os elementos ue a varivel pode assumir tornando+

a uma proposio, !ormam o ue chamamos de universo de discurso, uedenotaremos por 4'

8ssim ao trabalharmos com uma proposio aberta, devemos e&plicitar avarivel e o universo de discurso' Operamos proposies abertas da mesma!orma ue as proposies, utilizando os mesmos operadores'

@uando substitu*mos, nas sentenas abertas, as variveis por constantes!izemos uma interpretao dasentena' 8ssim,

9 22: 2'2 ; < = > 9 " uma interpretao de 9 &2: 2& ; < = >? para asubstituio de & por 26

9 8le&andre " aluno do curso de matemtica? " uma interpretao de 9%le "aluno do curso de matemtica? para a substituio de elepor 8le&andre'

%ssas interpretaes so proposies, cu3o valor lgico " A ou B'

4ma outra !orma de trans!ormar proposies abertas em proposies "utilizando quantificadores'

1. Quantificador Universal

Ce3a p0&) uma sentena aberta em um con3unto no vazio 808 ) ese3a Apo seu con3unto verdade.

Ap= D & E & 8p0&) F

@uando Ap= 8, isto ", todos os elementos de 8 satis!azem a sentena abertap0&), podemos, ento, a!irmar.

0i) 9(ara todo elemento & de 8, p0&) " verdadeira 0A)?0ii) 9@ualuer ue se3a o elemento & de 8, p0&) " verdadeira 0A)?

Ap= 8

-o simbolismo da gica atemtica, indica+se este !ato,abreviadamente de uma das seguintes maneiras.

(1) 0 &, & 8 ) 0p0&))(2)&, & 8, p0&)

(3)& 8. p0&)

&

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Ieve+se notar ue p0&), simplesmente " uma sentena aberta, e, porconseguinte precisa de valor lgico A ou B6 mas a sentena aberta p0&) com o

s*mbolo antes dela, isto ", 0 &, & 8 ) 0p0&)), torna+se uma proposio e,portanto, tem um valor lgico, ue " a verdade 0A) se A p = 8 e a !alsidade 0B)

se Ap8'%m outros termos, dada uma sentena aberta p0&) em um con3unto 8,

o s*mbolo , re!erido J varivel &, representa uma operao lgica uetrans!orma a sentena aberta p0&) numa proposio, verdadeira ou !alsa,con!orme p0&) e&prime ou no uma condio universal no con3unto 8' 8 esta

operao lgica d+se o nome de uanti!icao universal e ao respectivo 0ue " um 8 invertido) o de uanti!icador universal'

@uando, em particular, 8 se3a um con3unto !inito com nelementos

a, a2, ''', an, isto " 8 = D a, a2, ''', anF, " obvio ue a proposio 0& 8 ) 0p0&)) " euivalente J con3uno das n proposiesp0a), p0a2), ''', p0an), ou se3a, simbolicamente.

0 &, & 8 ) 0p0&)) 0p0a) p0a2) ''' p0an))

(ortanto, num universo !inito, o uanti!icador universal euivale ascon3unes sucessivas'

8ssim, por e&emplo, no universo !inito 8 = D,

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Outros exemplos:

0) 8 proposio.

0 n, n - ) 0n : < >)

" verdadeira, pois, o con3unto+verdade da sentena aberta p0n). n : < > ".Ap= Dn E n - n : < >F = D>,, 2, , '''F = -

02) 8 proposio.

0 n, n - ) 0n : >L)

" !alsa, pois, o con3unto+verdade da sentena aberta p0n). n : >L ".Ap= Dn E n - n : >LF = D

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Ieste modo, dada uma sentena aberta p0&) em um con3unto 8, o

s*mbolo , re!erido J varivel &, representa uma operao lgica uetrans!orma a sentena aberta p0&) numa proposio, verdadeira ou !alsa,

con!orme p0&) e&prime ou no uma condio de e&ist$ncia no con3unto8' 8 esta operao lgica d+se o nome de uanti!icao e&istencial e ao

respectivo 0ue " um % invertido) o de uanti!icador e&istencial'@uando, em particular, 8 se3a um con3unto !inito com n elementos a,

a2, ''', an, isto " 8 = D a, a2, ''', anF, " obvio ue a proposio

0 &, & 8 ) 0p0&)) " euivalente J dis3uno das n proposiesp0a), p0a2), ''', p0an), ou se3a, simbolicamente.

0&, & 8 ) 0p0&)) 0p0a) p0a2) ''' p0an))

(ortanto, num universo !inito, o uanti!icador e&istencial euivale asdis3unes sucessivas'

8ssim, por e&emplo, no universo !inito 8 = D, P, < F e sendo p0&) asentena aberta 9& " par?, temos.

0&, & 8 ) 0& " par) 0 " par P " par < " par)

%&empli!icando, a e&presso.

0& ) 0& vive na ua)l$+se 9%&iste pelo menos um & tal ue & vive na ua?, o ue " uma proposio!alsa 0B) no universo H dos seres humanos'

8nalogamente, a e&presso.

0 & ) 0& >&2)l$+se 9%&iste pelo menos um & tal ue & > &2?, o ue " uma proposioverdadeira 0A) em N 098lgum nQmero real " superior ao seu uadrado?), mas!alsa 0B) em - 09-enhum nQmero natural " superior ao seu uadrado?)'

Outros exemplos:

0) 8 proposio.

0n - ) 0n : P

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Ap= Dn E n - n : < 0b) 0!&) 0a& = b))

%&empli!icando, so obviamente verdadeiras as proposies.

0!& - ) 0&2; S = >)0!& ) 0+

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@ualuer ue se3a o elemento de 8, ele " nQmero natural6 %&iste elemento de 8 ue " nQmero *mpar6

%&iste um Qnico elemento de 8 ue " par6

-o e&iste elemento de 8 maior ue

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@ = @ 8 @9 @ 8@ = @ A

x B 7 8 x9 x 8 x B 7 A

#5#-4C4IO'

' %scolher um universo de discurso e trans!ormar as sentenas abertasem proposies verdadeiras usando uanti!icadores.a) 2&2; >& : R = >

b) 0& : ) 0& ; ) = &2;

c) /E : /ER /EP

d)

m

2

: S = 0m : )

E2

e) 0 + &) = &

!) )

c) 0& N) 0& : >&)

d) 0& N) 0&2= &)

e) 0& N) 0& : 2 = >)

!) 0& N) 0&2= &)

' Cendo 8 = D, 2, , P, )

b) 0& 8) 0& :

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P' Cendo N o con3unto dos nQmeros reais, determinar o valor lgico 0A ouB) de cada uma das proposies.

a) 0& N) 02& = &)

b) 0& N) 0&2: < = 2&)

c) 0& N) 0&2: & = 2)

d) 0& N) 02& : & =

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