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Prof. TALO DE PAULA MACHADO MATEMTICA BSICA

FACMIL 1 ADM Pgina 1

Conjuntos Numricos

I) Nmeros Naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Nmeros Inteiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo nmero natural inteiro, isto , N um subconjunto de Z

III) Nmeros Racionais

- So aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b so inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar 1/2 , 1 , 2,5 ,...

Nmeros decimais exatos so racionais

Pois 0,1 = 1/10

2,3 = 23/10 ...

Nmeros decimais peridicos so racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

Toda dizima peridica 0,9999 ... 9 ... uma outra representao do nmero 1.

IV) Nmeros Irracionais

- So aqueles que no podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

-So compostos por dizimas infinitas no peridicas.

Ex: ,

V) Nmeros Reais



- a reunio do conjunto dos nmeros irracionais com o dos racionais. Resumindo:

Intervalos numricos:

Sendo a e b dois nmeros reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b:

=

Intervalo fechado em a e aberto em b:

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos tambm:



Funo de 1 grau Definio

Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR

dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0.

Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

.

Zero da Equao do 1 Grau

Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o nmero real x tal que f(x) = 0. Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos:

1. Obteno do zero da funo f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

2. Clculo da raiz da funo g(x) = 3x + 6:

3.

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

4. Clculo da abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em que h(x) = 0; ento:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento Estudo de sinais da funo de 1

Consideremos a funo do 1 grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8



Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y tambm aumentam. Dizemos, ento que a funo y = 3x - 1 crescente.

Observamos novamente seu grfico:

Regra geral:

A funo do 1 grau f(x) = ax + b crescente quando o coeficiente de x (a) positivo (a > 0); a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x (a) negativo (a < 0); Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Grfico da funo de 1 grau.

O grfico de uma funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1: Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua:

a) Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.



x y

0 -1

0

J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta. O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox.

O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy

2) a < 0 (a funo decrescente)

y > 0 ax + b > 0 x <

y > 0 ax + b < 0 x < Concluso: y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x maiores que a raiz.

Exerccios

1) Dada a funo f(x) = -2x + 3, determine f(1).



2) Dada a funo f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7.

3) Estude a variao de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funes do 1

grau:

a) f(x) = x + 5 b) f(x) = - 5x c) f(x) = -3x + 9 d) f(x) = 4x e) f(x) = 2 3x f) f(x) = -2x + 10

4) Considere a funo f: IR IR definida por f(x) = 5x 3 determine:

a) Verifique se a funo crescente ou decrescente b) O zero da funo; c) O ponto onde a funo intersecta o eixo y; d) O grfico da funo; e) Faa o estudo do sinal;

5) Dadas s funes f e g, construa o grfico das funes e descubra o ponto de

interseco dessas retas:

a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3 6) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como

vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L ser dado em funo das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei dessa funo f; b) Para que valores de x tm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haver um lucro de $ 315,00? d) Para que valores de x o lucro ser maior que $ 280,00?

7) Encontre o zero da funo das seguintes equaes de 1 Grau:

a) 13(2x 3) 5(2 x) = 5(-3 + 6x)

b) 5

2

5

3

3

1

2

xx

8) Dada a funo afim f(x) = - 2x + 3, determine:

a) f(1) = b) f(0) =

3

1) fc

2

1) fd

9) Dada a funo afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:

a) f(x) = 1 b) f(x) = 0

c) f(x) = 3

1



10) Na produo de peas, uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo

varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero de unidades produzidas:

a) escreva a lei da funo que fornece o custo total de x peas. b) calcule o custo para 100 peas.

11) Dadas s funes f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os grficos

das funes se interceptem no ponto (1, 6).

12) Seja f a funo afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo grfico a reta r. Determinar a funo afim g cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e paralela reta r.



Funo Quadrtica

Definio

Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR

dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, uma curva

chamada parbola.

Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:

Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observao:

Ao construir o grfico de uma funo quadrtica y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo;



Zero e Equao do 2 Grau

Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os

nmeros reais x tais que f(x) = 0.

Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax

2 +

bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:

Temos:

Observao

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o

radicando , chamado discriminante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais e distintas;

quando zero, h s uma raiz real;

quando negativo, no h raiz real.

Coordenadas do vrtice da parbola

Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:



Imagem

O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjunto dos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:

1 - quando a > 0,

a > 0

2 quando a < 0,

a < 0



Construo da Parbola

possvel construir o grfico de uma funo do 2 grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observao seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parbola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x;

3. O vrtice V indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou mximo (se a< 0);

4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetria da parbola;

5. Para x = 0 , temos y = a 02 + b 0 + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbola

corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x

para os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivos.

Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1 - > 0

Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:



quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)

y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2

y < 0 (x < x1 ou x > x2)

2 - = 0

quando a > 0



quando a < 0



Exerccios

1) Dadas as funes, encontrem as razes, construa o grfico e faa o estudo de sinais:

a) y = x2 -7x + 12

b) y = - x2 + 7x 10

c) y = x2 3x

d) y = - x2 + 4

e) y = - x2 + 2x -1

f) y = - x2 + 4

g) y = -3x2 + 4x 2

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