8.equaÇÕes diferenciais ordinÁrias parte 7a 8.1–introduÇÃo – pvis 8.2–mÉtodos de passo...
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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIASParte 7A
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR
8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.1. Introdução
Seja um PVC de segunda ordem dado por:
onde são constantes reais conhecidas, tais que nem , nem , sejam nulas, simultaneamente.
222
111
)()(
)()(
contorno no condições seguintes as com
,,
bybbya
aybaya
yyxfy
222111 ,, , ,, baba
22 , ba11 , ba
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.1. Introdução
O PVC de segunda ordem dado, tem a forma mais geral possível.
Quando os valores de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Dirichlet. Quando os valores da derivada de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos
um problema de Neumann.
2211 )(a e )( byaya
2211 )(b e )( byayb
P.G. Dirichlet (1805-1858) e K.G. Neumann (1832-1925)
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.1. Introdução
Para o PVC de segunda ordem
onde , dizemos que o PVC é homogêneo e a solução trivialé solução.
0)()(
0)()(
contorno no condições seguintes as com
0
22
11
bybbya
aybaya
y
0 e 0,, 21 yyxf0)( xy
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
A idéia básica do Método de Diferenças Finitas transformar o PVC em um sistema de equaçõ-es algébricas, aproximando as derivadas por Diferenças Finitas.
Considere o intervalo do PVC dado porFazemos . Fazendo uma partição Regular, sejam n subintervalos iguais de compri-mento
.,baxbax n0 xe
n
abh
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
Assim,
Notação:
Se for linear em o sistema algébrico a ser resolvido será linear e podemos utilizar o Método de Lagrange para resolvê-lo.
Se for não-linear em o sistema algébrico a ser resolvido será não-linear e podemos utilizar o Método de Newton para resolvê-lo.
hkxyxyy kk 0
nkhkxk ,...,1,0 com x 0
),,( yyxf yy ,
),,( yyxf yy ,
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
As aproximações mais utilizadas para de-rivadas primeiras são:
h
yyxy iii
1 Diferença avançada
h
yyxy iii
1
h
yyxy iii 2
11
Diferença atrasada
Diferença centrada
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença avançada
h
yyxy iii
1
1ix ix 1ix
Derivada correta
Derivada
aproximaday
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença atrasada
h
yyxy iii
1
1ix ix 1ix
Derivada correta
Derivada
aproximada
y
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença centrada
h
yyxy iii 2
11
1ix ix 1ix
Derivada correta
Derivada
aproximada
y
x
8. PVC’s e Diferenças Finitas8.5.2. Discretização
Note que cometemos um erro ao aproximar a derivada pelas fórmulas discretas apresen-tadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é
Assim:
1
21
11
, onde
!2
ii
iiiiiii
xx
xxyxxxyxyxy
ixy
iiii
i xxhh
yyxy
1
1 onde
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Definição: Dizemos que é , se existeuma constante .
Da definição, se , então a expressão de diferença avançada, para aproxi-mar são de ordem , pois
)(hg phOphCC g(h) que tal0
1, onde ii xxMy
ixy 1O h
hMh
yh
yyxy iii 22
g(h) 1
1, onde ii xx
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Analogamente, da definição, se
então a expressão de diferença atrasada, para aproximar é de ordem , pois
ii xxMy , onde 1
ixy 1O h
hMh
yh
yyxy iii 22
g(h) 1
ii xx , onde 1
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Enfim, para diferença centrada temos que:
Somando as aproximações
hxxhxx iiii 11 e pois
6!2
6!23
1
2
1
3
1
2
1
hy
hxyhxyxyxy
hy
hxyhxyxyxy
iiiii
iiiii
., , , e 1111 iiiiii xxxx
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
De modo que, a aproximação por diferença cen-Trada é de ordem . A fórmula de diferen-ças centradas é mais utilizada.
2O h
11
211
11
3
11
122
62
iiii
i
iiiii
yyh
h
xyxyxy
yyh
hxyxyxy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Discretização de derivadas segundas. Novamen-te a partir da série de Taylor, expandindo até a terceira ordem
Somando as aproximações:
!4!3!2
!4!3!24
14
32
1
4
14
32
1
hy
hxy
hxyhxyxyxy
hy
hxy
hxyhxyxyxy
iiiiii
iiiiii
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
)( ordem da erro com
2
:por dada é segunda derivada a para oaproximaçã uma Logo
!42
22
11
4
14
142
11
hOh
xyxyxyxy
hyyhxyxyxyxy
iiii
iiiiii
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Exemplo 1: PVC linear
Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos decomprimento h, segue que
Como conhecemos
resta calcular
1)1(
0)0( com 2
y
yxxyxyxy
1,....,00 nxx
1)()1(
0)()0( 00
nn yxyy
yxyy
1211 ,.....,,)( nyyxyy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja:
e
sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica
h
xyxyxy iii 2
11
2
211
h
xyxyxyxy iiii
iiiiiii xy
h
yy
h
yyy
112
11 2
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Como reescrevemos a equação discreta
A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno, escreve-se como:
Analogamente, para (i=n-1), temos a equação
hixi
31
21
112
11
121
2
hiyhyhyh
xyh
yy
h
yyy
iii
iiiiiii
321
2 12 hyhyh
31
22 1121 hnhyhyh nn
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear
Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver, vejamos matricialmente:
321
2 12 hyhyh
31
22 1121 hnhyhyh nn
22 para 1121 331
21 niihhnyhyhyh iii
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Reescrevendo matricialmente o sistema linear
onde
11
222
222
11
00000
0000
......
0000
00000
nn
nnn
da
cda
cda
cd
A
11 para 1
21 para 1
11 para 22
n-iha
n-ihc
n-ihd
i
i
i
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Note que matrizes tridiagonais são esparsas e neste caso não é conveniente utilizar métodos diretos para resolvê-las, ou seja, Método de Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos diretos provocam o preenchimento da matriz, ou seja, durante o processo de eliminação, os erros de truncamento, geram não-nulos em posições onde antes, originalmente, tínhamos termos nulos.
Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a técnicas especiais para o armazenamento da matriz, as quais tiram proveito de sua esparsidade.
ija
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss-Seidel, para , temos erros de ordem
x Sol. Numer. Sol. Exata Erro
0.1000 -0.2720 -0.2713 0.0007
0.2000 -0.4911 -0.49 0.0011
0.3000 -0.6641 -0.6629 0.0013
0.4000 -0.7969 -0.7956 0.0013
0.5000 -0.8947 -0.8935 0.0012
0.6000 -0.9620 -0.9610 0.0010
0.7000 -1.0029 -1.0020 0.0009
0.8000 -1.0208 -1.0203 0.0006
0.9000 -1.0190 -1.0187 0.0003
.10 21.0h
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Novamente por Gauss-Seidel, com , e erros de
x Sol. Numer. Sol. Exata Erro0.0500 -0.1428 -0.1427 0.0001
0.1000 -0.2715 -0.2713 0.0002
0.1500 -0.3870 -0.3868 0.0002
0.2000 -0.4903 -0.49 0.0003
0.2500 -0.5821 -0.5818 0.0003
0.3000 -0.6632 -0.6629 0.0003
0.3500 -0.7342 -0.7339 0.0003
0.4000 -0.7959 -0.7956 0.0003
0.4500 -0.8489 -0.8486 0.0003
0.5000 -0.8938 -0.8935 0.0003
.... .... .... ....
0.8000 -1.0204 -1.0203 0.0001
0.8500 -1.0219 -1.0218 0.0001
0.9000 -1.0188 -1.0187 0.0001
0.9500 -1.0114 -1.0113 0.0001
.103 305.0h
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Exemplo 2: PVC não-linear
Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos decomprimento h, segue que
Como conhecemos
resta calcular
5)1(
1)0( com
y
yyxysenxyxy
1,....,00 nxx
5)()1(
1)()0( 00
nn yxyy
yxyy
1211 ,.....,,)( nyyxyy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja:
e
sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica
h
xyxyxy iii 2
11
2
211
h
xyxyxyxy iiii
iiiiiii yxyseny
h
yyy
2
11 2
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Como reescrevemos a equação discreta
A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno, escreve-se como:
Analogamente, para (i=n-1), temos a equação
hixi
02
2
132
1
211
iiii
iiiiii
yyhiysenhy
yihysenyh
yyy
021 213
12 yyhysenh
05)1(2 13
12
2 nnn yhnysenhy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear
Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver. Utilize um método quase-Newton, porexemplo, para resolvê-lo.
22 para 02 132
1 niyyihysenhy iiii
021 213
12 yyhysenh
05)1(2 13
12
2 nnn yhnysenhy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Quando temos condições mistas do tipo
uma idéia é utilizar diferenças avançadaspara descrever e deste modo a com-dição de contorno escreve-se como:
eyy 300
0y
1
3
313
10
1001
0
h
yehy
ehyyheh
yyy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista
Discretizando a EDO
A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno,
com 2 xxyxyxy
eyy 3)0()0(
31
21 121 hiyhyhyh iii
1
3 10
h
yehy
321
2 311 hehyhyh
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista
Discretizando a EDO
A primeira equação (i=1), utilizando as condi-ções no contorno,
com 2 xxyxyxy eyy 3)0()0(
31
21 121 hiyhyhyh iii
1
3 10
h
yehy
1)1( y
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Note que ao aproximar a derivada primeira na condição de contorno por diferença avançada, cometemos erros da ordem de .
Poderíamos ter aproximado a derivada, na condição de contorno, por diferença centrada e com isto garantido erros da ordem Neste caso, temos que incluir um ponto a mais (x-1,y-1) nossa tabela e temos um sistema nxn
)( 1hO
).( 2hO
32232 101
110
ehyhyyeh
yyy
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Então temos o sistema
com a condição
A primeira equação (i=0), utilizando a condição no contorno, escreve-se como:
31
21 121 hiyhyhyh iii
322 101 ehyhyy
31
210
21 121 hxhyhyhyh
Cuidado: deduzida para i=1,2,..,n-1
310
210 12)3(221 hyhyhehyhyh
310
2 )3(12222 hehhyyhh
8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Enfim, temos que resolver o seguinte sistema linear
Temos um sistema de n equações, tridiagonal, a resolver.
31
22 1121 hnhyhyh nn
21 para 1121 331
21 niihhnyhyhyh iii
310
2 )3(12222 hehhyyhh
Trabalho Final
Seção 11.4 – Burden – Faires
Exercício 1 – CarolinaExercício 3 a – EvertonExercício 3 a – José Exercício 3 a – JoãoExercício 3 a – Vinícius