1

8. Campos Magnéticos

8.1. Definição e propriedades do campo magnético.

8.2. Força magnética num condutor percorrido por uma corrente.

8.3. Momento sobre uma espira de corrente num campo magnético uniforme

8.4. Movimento duma partícula carregada num campo magnético.

2

Historial

• Magnetismo: conhecido dos gregos, ~ 800 A.C.

certas pedras (magnetite, Fe304) atraíam pedaços de ferro.

• 1269, Pierre de Maricourt → pólos do íman. Os pólos de mesmo nome repelem-se; os pólos de nomes opostos atraem-se.

• 1600, William Gilbert sugeriu que a própria Terra fosse um imã permanente.

• 1750, John Michell: os pólos magnéticos exercem forças atractivas ou repulsivas, uns sobre os outros, e tais forças variam com o inverso do quadrado da respectiva separação.

3

• 1819, Hans Oersted: uma corrente eléctrica num condutor desviava uma

agulha magnetizada: relação entre o magnetismo e a electricidade.

• 1820, Faraday e J. Henry: uma corrente eléctrica pode ser induzida num

circuito, seja pelo movimento de um íman perto do circuito, seja pela

alteração duma corrente num outro circuito, vizinho ao primeiro. Um campo

magnético variável cria um campo eléctrico.

• 1873, J.C. Maxwel: as Leis do Electromagnetismo. Um campo eléctrico

variável cria um campo magnético.

• 1888, Heinrich Hertz: ondas electromagnéticas no laboratório. Verificação

das previsões de Maxwell.

• Aplicações tecnológicas do magnetismo: medidores eléctricos, transformadores, motores, aceleradores de partículas, alto-falantes. Registo de som, registo de imagens de TV, memórias de computadores ...

4

8.1. Definição e Propriedades do Campo Magnético.

• Vamos definir o vector campo magnético num certo ponto do espaço em termos de uma força magnética que seria exercida sobre um corpo de prova

mF

gqFE ge

rr

rr

== ;

Br

Uma partícula carregada que se desloca com uma velocidade vr

• Admitimos que não existem campos eléctricos ou gravíticos na região onde se encontra a partícula.

grEr

5

As experiências com o movimento de diversas partículas carregadas num

campo magnético levam aos seguintes resultados:

1. e

2. O módulo e a direcção da força magnética dependem da

velocidade da partícula e do módulo e da direcção do campo magnético.

3. Se uma partícula carregada se move numa direcção paralela ao ⇒ a

sobre a partícula é nula.

4. Quando fizer um ângulo θ com , actua numa direcção ⊥ a e

a . é ⊥ ao plano definido por e .

qFm ∝r

vFmrr

∝

mFr

Br

mFr

Br

vr

Br

vr

mFr

vr Br

+q θvr

BrmF

r

mFr

6

5. sobre uma carga (+) está no sentido oposto ao sentido da sobre uma

carga (-) que se mova com o mesmo .

mFr

vrmFr

- +Br

mFr

mFr

vrvr

6. Quando fizer um ângulo θ com ⇒vr θsenFm ∝r

Br

(produto vectorial)

BvqFm

rrr×= Força Magnética1

! ⇒ ; o sentido de é a direcção de se q for positiva e é a direcção oposta se q for negativa (ver figuras e , respectivamente, da página seguinte).

( ) BevBvrrrr

⊥⊥× BevFm

rrr⊥⊥ mF

r

Bvrr

×b

a

7

Bvrr

×! Regra da mão direita para a determinação da direcção do

Valor da força magnética em módulo:

! Fm = 0 se (θ = 0 ou 180°)

! Fm = qυB (valor máximo) se (θ = 90°)

Bvrr //

Bvrr

⊥

Fm = q · v · B·senθ 1

é uma definição operacional do num ponto do espaço: O campo magnético define-se em termos duma força lateral que actua sobre uma partícula carregada.

1 Br

+q θvr

BrmF

r

-q θvrBr

mFr

a b

8

Força magnética sobre uma carga em movimento

sinm mF q v B F qvB θ= × ⇒ =r r rr

0mF q v B= × =r rr

v Brr

9

(a) A força eléctrica ao actuar numa carga positiva é paralela ao campo eléctrico (E) e faz com que a trajectória dessa carga encurve no plano horizontal.

(b) A força magnética é perpendicular quer ao vector velocidade (v) quer ao campo magnético (B), fazendo com que a trajectória da partícula encurve no plano vertical.

10

Diferenças importantes entre as forças eléctricas e as magnéticas:

• está sempre na direcção do ;

• actua sobre uma partícula carregada, independentemente da da partícula

• actua sobre uma partícula carregada somente se ≠ 0

Er

BFm

rr⊥eF

r

mFreFr

vr

vr

efectua trabalho ao deslocar uma q, enquanto a associada a um permanente, não efectua trabalho quando a partícula édeslocada.

( ) ( )vFtdvFsdFW mmmrrrrrr

⊥=⋅=⋅= 0

eFr

mFr

Br

A energia cinética (K) de uma carga não pode ser alterada por um isolado. Isto é, quando uma carga se deslocar com velocidade v, um campo magnético aplicado pode alterar a direcção do vector velocidade mas não o seu módulo.

Br

11

BvqFm

rrr×= 1

Unidade SI de : Weber por metro quadrado (Wb/m2) também designado Tesla (T).Br

Eq. : Uma carga de 1 C, movendo-se num campo de 1 T, com a velocidade de 1 m/s, ⊥ ao campo, sofre uma força de 1N.

1

[ ]mA

NsmC

NmWbTB

⋅=

⋅===

/2

• Muitas vezes, na prática, usa-se o Gauss (G) (unidade cgs)

1 T = 104 G

• Ímanes de laboratório ~ 25.000 G, ou 2.5 T• Ímanes supercondutores ~ 250.000 G, ou 25 T• Campo magnético da Terra, nas vizinhanças da superfície

terrestre ~ 0.5 G ou 0.5×10- 4 T► Exercício 8.1

12

8.2. Força Magnética num Condutor Percorrido por uma Corrente.

• Caso exista uma força sobre uma carga (q) em movimento num ⇒ um fio condutor percorrido por uma corrente também sofre uma nesse

• I: conjunto de muitas q em movimento ⇒ a resultante no fio deve-se àsoma das individuais sobre as q.

mFr

Br

Br

mFr

mFr

x x x

x xx xx

x xx xx

x x

B

I = 0

B B vrvr

I I

O campo magnético é perpendicular ao plano da folha e aponta para dentro desta.

13

• Fio condutor rectilíneo de secção recta uniforme, num externo uniforme:Br

Aq

l

Br

dvr

Segmento condutor rectilíneo; comprimento l; área da secção recta A; percorrido por uma corrente I, num campo magnético externo B

r

mFr

sobre uma carga q com a velocidade de migração : ⇒dv F Bvq dm

rrr×=

r

total sobre o condutor: ( ) multiplicado pelo número de cargas q no segmento.

A força sobre as cargas é transmitida ao fio condutor através das colisões dessa cargas com os átomo do material do fio.

mFr

Bvq d

rr×

14

• A·l: volume do segmento;

• n: nº de cargas por unidade de volume (densidade de cargas);

• nA l = nº de cargas no segmento.

( ) lrrr

AnBvqF dm ×=BIFm

rlrr×=⇒

1

AnqvI d= (Capítulo 5)

lr

: é um vector na direcção de I

lr

= comprimento l

só se aplica a um fio condutor rectilíneo, num externo e uniforme.1 Br

15

Força magnética sobre um condutor inserido num campo magnético

Fio condutor de comprimento

BIFm

rlrr×=

16

• Fio condutor, de forma arbitrária e secção recta uniforme, num externo uniforme:

Br

sdr

Br

mFdr

b

aa

Eq anterior ⇒ sobre um segmento muito pequeno , na presença de , é dada por:

sdrmFd

r1

Br

BsIdFd m

rrr×= 2

é uma outra definição de : em termos duma força mensurável sobre um elemento de corrente.

é máxima quando ⊥ ; = 0 se

2 Br

Br

sdBrr

//mFdr

sdr

mFdr

• Força magnética total sobre o fio condutor:

sinb b

m a aF I ds B IB dsθ= × =∫ ∫r rr

a, b: pontos terminais do fio condutor.

17

Ao longo do percurso, o ângulo entre a direcção do campo e o vector pode variar de ponto para ponto.

Consideremos dois casos com constante em módulo e direcção:

fio condutor curvo; espira fechadaI II

sdr

Br

Br

polígono fechado⇒ a soma vectorialdeve ser nulaII

Br

sdr I

b

BrI

a

sdr

I

lr

BsdIFb

am

rrr×

= ∫

soma vectorial de todode a até b = l (pela Leide adição de vectores)

sdr

( ) BsdIFm

rrr×= ∫⇒=∫ 0

rrsd 0

rr=mF

A magnética total sobre qualquerespira de corrente, fechada, num campomagnético uniforme é igual a zero.

mFr

BIFm

rlrr×=⇒

► Exercício 8.4

18

8.3. Momento sobre uma Espira de Corrente num Campo Magnético Uniforme.

• uniforme no plano da espira

• As sobre os lados “a” são nulas

• O sobre os lados “b” ⇒ F1 = F2 = I⋅b⋅B⋅sin90º=IbB

0//rrrrr

=×⇒ BsdBsd

Br

mFr

mFr

b

a

I

Br

BIFm

rlrr×=• A direcção de F1 (lado esquerdo) :

• A direcção de F2 (lado direito):

• Essas duas forças provocam um momento (torque) em relação a O, que provoca uma rotação no sentido horário.

2a

Br

1Fr

2FrI IO

(vista inferior da espira)

19

• O módulo desse momento de rotação é dado por:

( ) ( ) IabBaIbBaIbBaFaF =+=+=2222 21maxτ

é o braço de cada força em relação a O

Como A = ab ⇒

2a

I A Bτ = ⋅ ⋅

! Só válido quando // ao plano da espira

! Sentido de rotação horário

! Se a I for invertida ⇒ as forças são invertidas ⇒ rotação anti-horária.

Br

20

Momento sobre uma espira de corrente

esquerda

direita

I

I

eixo

a/2

(a) Espira percorrida por uma corrente (I) inserida num campo magnético produzido por um íman. A espira pode rodar em torno de um eixo vertical.

(b) Vista de cima da espira. As forças em ambos os lados são opostas, e conjuntas produzem um momento no sentido horário.

21

BAIrr

×=r

τVectorialmente podemos escrever:

τmax = IAB se θ = 90° ( // ao plano da espira)τ = 0 se θ = 0 ( ⊥ ao plano da espira)B

r Br

é um vector ⊥ ao plano da espira, = área da espira

Sentido de : regra da mão direita

O produto é definido como o momento magnético

da espira:

Ar

IAIrr

=µ

[ ] [ ] 22 : mASILI ⋅→=µ

Ar

AIr

Ar

Ar

Brrr

×= µ ∀ orientação de em relação à espira e para

uma espira de qualquer forma!Br

τ⇒

22

• Se uma bobina tiver N espiras com as mesmas dimensões e a mesma I :

BNrrr

×= µτ espiraT N 1µµ rr=⇒

Eprrr

×=τ

Resultado análogo ao obtido para um dipolo eléctrico , p, num campo

eléctrico!

► Exercício 8.6

23

Exercício:

Um bobina rectangular com 125 espiras é suspenso no prato direito de uma balança, conforme ilustrado na figura. Com o campo magnético desligado, um corpo de massa M é colocado no prato esquerdo da balança de modo a equilibrar o peso do bobina. Quando o campo magnético uniforme (B=0,2 T) for ligado e circular uma corrente de 8,5 A através do bobina, qual será a massa do corpo m adicional que teremos que colocar no prato esquerdo para equilibrar novamente a balança?

Resolução:campo desligado:

0 0

0

campo ligado:

0

pratoesquerdo pratodireitoi bobinaM

pratoesquerdo pratodireitoi M m

P PF PPO O O O O

i

prato prato bobina bobina

bobina

P PF PO O O O

i

M M M M M

P l Mgl P l P l Mgl P l

Mgl P l

M M M M+

= ⇔ + + + =

+ − − = − =

⇒ =

= ⇔ + +

∑

∑

r r r r r

r r r r

( )( ) ( )

bobina 0

0

0 08,5 125 0,015 0,2 0,325 kg

9,8

magnéticaFPO O

prato prato bobina

bobina bobina

M M

P l Mgl mgl P l P l INLB l

P l mgl P l INLB l mgl INLB lINLBm

g

+ + =

+ + − − − =

+ − − = ⇔ − =

⋅ ⋅ ⋅⇒ = = =

r r

24

8.4. Movimento de uma Partícula Carregada num Campo Magnético.

! logo o trabalho (W) efectuado pela é nulo ( ) ⇒ um estático altera a direcção da , mas não afecta nem a energia cinética(K) duma partícula carregada (W=∆K).

Consideramos o caso especial: +q, uniforme, inicial ⊥ ;

vFmrr

⊥ sdFrr

⊥

vr

mF Br

Br

Br

vr

vr

r

A partícula carregada positivamente move-se

num circulo cujo plano é perpendicular a

⇒ ocorre em virtude da fazer um ângulo

recto com e com . = qυB.

Quando desvia a q ⇒ as direcções de e

alteram-se continuamente.

Para o caso de uma partícula positiva, o

movimento é no sentido anti-horário.

Br

mFr

mFr

mFr

mFrv

rBr

vr

25

é uma força centrípeta, que só altera a direcção de , mas = cte.

Sentido da rotação: anti-horário → +qhorário → -q

mFr

vr

vr

Bqmvr =radial;

rvmqvBFm

2

≡=r

mFr

momento linear!

mqB

rv==ωA frequência angular da carga q:

qBm

vrT π

ωππ 222===O período de movimento:

26

• Cinturas de radiação de VanAllen: partículas carregadas que envolvem a Terra em regiões com formato de espirais.

• Auroras boreais e austrais.

N

S

A partícula carregada sofre uma força eléctrica e também uma força magnética

emF qE qv B= + ×r r rr

Eqr

Bvqrr

×

Uma partícula carregada que se movimenta na presença dum campo magnético e dum campo eléctrico, fica sujeita à força electro-magnética total que é a força de Lorentz:

27

Exemplos: