7º aula: análise de sinais no domínio da freqüênciaantenor/pdffiles/qualidade/b3.pdf ·...

Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio

DSE – FEEC - UNICAMP 1

3. Análise de Sinais no Domínio da Frequência

Para existir um mapeamento entre fenômenos analisados nos domínios do tempo e da

frequência, o comportamento da grandeza no domínio do tempo deve ser periódico, ou seja, repetir-se

em intervalos iguais a T, sendo T o período de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f.

Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento entre os dois domínios: fT

1

.

Um ponto importante é identificar em quais condições se torna mais conveniente analisar um

sinal no domínio da frequência.

3.1 Representação no Domínio do Tempo

No domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros que a

caracterizam, por exemplo:

)2sen(.)( ftAtx

Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo.

Tem-se três parâmetros característicos (A, T, ):

A= amplitude

Tf

1 2

= período

fase inicial

No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função analítica (no

caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do tempo.

3.2 Representação no Domínio da Frequência

No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus parâmetros,

ficando subentendida a função temporal (senoidal) escolhida como referência na decomposição:

x f A f( ) [ , , ]

Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da frequência, a

caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas dos parâmetros

resultantes da decomposição.



Amplitude

f0

Fase

f0

A

Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência.

Nem todas as funções definidas no domínio do tempo apresentam período. Por exemplo, a

função:

será periódica apenas se a relação entre as frequências angulares for um número racional:

, para n e m inteiros.

Desta forma, a função abaixo não é periódica, embora esteja descrita no domínio do tempo e

seja composta por dois sinais periódicos.

Figura 3.3 Forma de onda não periódica.

3.3 Representação de Sinais Periódicos

Um sinal periódico qualquer pode ser expresso como série de senos e cossenos. Por exemplo,

a função:

f t t t t t1 1 1 1 1

1

22

1

33

1

44( ) sen sen sen sen ...

produz uma onda dente de serra, com valor de pico

2.

Por outro lado a função

...t5cos

5

1t3cos

3

1tcos

4)t(f 1112

produz uma onda

quadrada de amplitude unitária.

tcostcos)t(f 21

n

m

2

1

t)10cos(t10cos)t(f



a) b)

Figura 3.4 a) Soma dos primeiros cinco termos da série da onda dente de serra.

b) Soma dos primeiros cinco termos da série de uma onda quadrada.

A função correspondente a uma onda triangular é dada por

f t t t t3 1 1 1

4 1

93

1

255( ) sen sen sen ...

Figura 3.5 Primeiros 3 termos da série da onda triangular.

Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes da denominada Série de

Fourier ou, como é também chamada, série harmônica (pois as componentes possuem frequências

múltiplas inteiras da fundamental):

1 - As séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental )2

f( 11

. As

frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).

2 - Se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno; se a função for ímpar

[f(t) = -f(-t)], contém apenas termos em seno.

3 - Se a função apresentar simetria de meia onda )]()([2Ttftf a série não contém

harmônicas pares.

4 – Se, no tempo, a função tiver descontinuidades, aparece o efeito Gibbs nos pontos de derivada

infinita, devido à impossibilidade de reproduzir esse efeito pela soma de termos finitos em

frequência.



3.4 Como aplicar a Análise de Fourier

As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém é necessário um

procedimento para decompor a função em sua série harmônica. A série de Fourier é uma

decomposição do sinal periódico em um somatório de funções cosseno e seno:

1

1

1

10 )sen()cos()(h

h

h

h thBthAAtf , sendo T

21

A análise pela série de Fourier, no domínio da frequência, para sinais periódicos, resume-se a

determinar os valores dos coeficientes A e B da série, uma vez que se conhece o período T da função

de referência. Sabendo que as funções cosseno e seno são ortogonais, a decomposição de Fourier

pode ser vista como uma operação de projeção em base de sinais ortogonais:

f1

fe

c12.f2 f2

fe

Figura 3.6 Decomposição ortogonal do sinal f1.

C12 é a medida da projeção ortogonal da função f1 sobre a função f2. Para determinar C12

sobre um intervalo de tempo [ta,tb] pode-se utilizar a técnica de erro quadrático médio mínimo para

a função de erro fe , dada por

fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t), ou seja, f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t)

O erro quadrático médio no intervalo será, portanto: dttftt

etb

tae

ab

ab .)(1 2

O mínimo dessa função será encontrado impondo:

e

c

ab

12

0

Por essa técnica chega-se à relação seguinte (ver demonstração): 1

b

a

b

a

dttf

dttftfC

).(

)().(

2

2

21

12

Se f1 e f2 forem ortogonais, então C12 é nulo no intervalo dado. No caso da série de Fourier

1 Demonstração:

b

a

b

a

t

tab

ab

t

tab

ab

dttf

dttftfC

dttftfdttfC

dttfCtftfCtfttCC

e

dttfCtftt

e

b

a

b

a

).(

)().(

0).().(2).(2

0.)(.)()(2)(1

.)()(1

2

2

21

12

21

2

212

2

2122

2112

2

1

1212

2

2121



obtém-se, por analogia, que:

Seja f2(t)=1,

td.)t(f

2

1

td.1

td.1).t(fA0 valor médio no período

Seja f2(t)=cos(h1t),

td).thcos().t(f

1

td).th(cos

td).thcos(.)t(fA 1

1

2

1

h

Seja f2(t)=sen(h1t),

td.)th(sen.)t(f

1

td.)th(sen

td.)th(sen.)t(fB 1

1

2

1

h

Cada coeficiente pode ser interpretado como sendo o dobro do valor médio da função,

ponderado pela respectiva base harmônica. Notar que os coeficientes (das funções seno ou cosseno)

serão números reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os coeficientes, pode-se

dispor o espectro na forma seguinte:

1

-1/2

1/3

-1/4

1/5

f1

2f1

3f1 5f1

4f1 f

A

Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra.

Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem à fase de 180.

3.5 Representação da Série de Fourier na Forma Exponencial

Existem vantagens para a manipulação algébrica em usar a representação da série de Fourier

pela correspondente série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno:

tjh

h

h eatf 1.)(

,...2,1,0 h

onde: ah = coeficiente complexo



Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = 1 resulta a onda fundamental.

Isso pode ser verificado impondo-se as condições de simetria par e ímpar:

se a h = a -h resulta termo cosseno

se a.h = -a -h resulta termo seno

Para verificar, basta considerar que:

e et

j t j t

2cos

e e

jt

j t j t

2sen tjee tjtj sen2

resultando a forma de Euler: e j..t

= cos t + j.sent

Uma vez que h pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é bilateral.

3.5.1 Série Exponencial Complexa Unilateral

Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de série exponencial unilateral:

1

011)(

h

thj

h

thj

h eaeaatf h=1, 2, 3...

Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja,

hh aa 2,

devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo como no da

frequência). Portanto:

1

011 ..)(

h

tjh

h

tjh

h eaeaatf (I)

Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária na forma:

hhh BjAa 2

1 h > 0,

de modo que: hhhh jBAaa

2

1

resulta que a equação (I) pode ser escrita como:

1

110 )sen()cos()(h

hh thBthAatf

que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente.

Portanto, as três formas de representação da série de Fourier:

série de senos e cossenos;

série exponencial complexa bilateral;

série exponencial complexa unilateral,

são equivalentes e intercambiáveis.

Com os coeficientes de uma série pode-se determinar os coeficientes da outra.

2 O símbolo * indica o valor complexo conjugado (possui a mesma parte real e a parte imaginária tem o sinal trocado).



3.6. Da Série de Fourier à Transformada de Fourier

Existe uma relação direta entre a forma exponencial complexa e a forma em termos de senos e

cossenos da série de Fourier. Devido à relação entre os coeficientes das duas formas, para h > 0:

hhh jBAa 2

1 hhh jBAa

2

1

pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos coeficientes reais Ah e Bh:

tdthtfAh ).cos()(

11

tdthtfBh ).sen().(

11

resultando:

tdthjthtfah

.)sen(.)cos()(

2

111

tdetfathj

h

..)(

2

11 h = 0, 1, 2....

Notar que tjh

e 1 é um operador de rotação cuja amplitude é 1. Portanto, cada coeficiente ah

corresponde ao valor médio da função f(t), ponderada pelo operador que gira com velocidade h1, a

qual define a periodicidade harmônica.

3.6.1 Análise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsos

f(x)

x=1tx=0 2

T1

1

-

2/k

Figura 3.8 Trem de pulsos unitários.

Esse sinal é importante para se chegar à Transformada de Fourier. Por conveniência, tome-se

o sinal com período 1

1

2T

, o pulso com amplitude 1 e duração t=

2

k. Notar que k inteiro pode

ser interpretado como uma frequência múltipla de 1, uma vez que t é uma fração de T1.

Sabe-se que os coeficientes da série complexa de Fourier são dados por:

k

k

xhj

h dxea

.

2

1 para x = 1t h=0, 1, 2...

resultando para:

h=0 k

1

kk2

1a0

e para h0 jhx

h ejh

a

2

1k

k

=

khsen

hee

jhk

mhjk

hj

1

2

1



Logo, o trem de pulsos pode ser escrito como sendo a série:

h

xhj

h

h

xmj eae

kh

khsen

kxf ..

)(

.1

)(

h=0, 1, 2....

onde os coeficientes valem:

kh

khsen

kah

)(

.1

A função

kh

khsen

)(

é chamada função sinc(.) e, para argumento contínuo, apresenta a

seguinte forma:

Figura 3.9 Função sinc(.).

Essa função define a envoltória para os valores dos coeficientes ah do trem de pulsos. No caso

do trem de pulsos, verifica-se que os coeficientes são definidos para as abcissas da função sinc apenas

para valores específicos ou discretos, dados por:

....,3

,2

,,0kkkk

h pois h=0, 1, 2, 3....

Pode-se visualizar o que ocorre com os coeficientes ah se os representarmos para dois casos,

por exemplo, k=3 e k=5:

Figura 3.10 Coeficientes ah do trem de pulsos para k=3.



Figura 3.11 Coeficientes am do trem de pulsos para k=5.

Quanto menor a duração do pulso (maior k), mais os coeficientes se aproximam e diminuem

de amplitude. Se, ao invés de reduzir a duração, aumentar o período entre pulsos (T1 ), tem-se, no

limite, um trem de pulsos com período infinito, ou seja, apenas um pulso na origem. Com isso, a

frequência fundamental ( )

1

1

2

T tende a zero, e os componentes se aproximam tanto que formam

um espectro contínuo com amplitudes infinitesimais:

2/

2/1

1

1

1 .).(1

.).(2

1T

T

tjhjhx

h dtetfT

dxexfa

Como ah tende a zero, enquanto T1 tende a infinito, o produto ah.T1 tende a uma constante:

)(.).()

1(

1

dtetfTa tj

hT

A função contínua () é chamada transformada ou integral de Fourier.

A função inversa é obtida da série:

h

thjtmhj

h

thjdeee

Ttf

11

Th

a

.).(

2

1.

2)(.

)()( 11 1

1

notar os limites usados para essas associações de operações contínuas e discretas:

T1

1 d

h.1

Assim, a Transformada de Fourier (TF) mapeia sinais aperiódicos para o domínio da

frequência, resultando um espectro contínuo através da Integral de Fourier:

dt.e).t(f)( tj

detf tj .).(2

1)(



3.6.2 Exemplos de aplicação:

a) Obter a TF da seguinte onda retangular com período 1

1

2T

:

-

A

T1 t

Figura 3.12 Trem de pulsos

Os coeficientes da TF são:

AT

2dt.A

T

1a

11

0

(média do período)

e o termo genérico, de ordem h, vale:

)0()(.2.

...1

1

11111

111

hhsenTh

Aee

Tjh

AdteA

Ta

hjhjthj

h

portanto, multiplicando numerador e denominador por :

1

1

11

1

12

2

.2)(

.2

Th

Thsen

T

A

h

hsen

T

Aah

Esse coeficiente se anula cada vez que o argumento se torna múltiplo de , ou seja, quando

nT

h 1

2.

(inteiro).

Para n=1 temos 21T

h representa o inverso do ciclo de trabalho.

Figura 3.13 Coeficientes da Transformada de Fourier da onda retangular.

Portanto, para a onda periódica resulta um espectro discreto, cuja resolução é dada por

1

1T

2 .

Notar que a duração do pulso (2) define a largura da faixa de frequências (primeiro

cruzamento da função sinc por zero).



b) Transformada de Fourier do pulso isolado:

-

A

t

Figura 3.14 Pulso isolado e respectivo espectro contínuo.

Neste caso, como T1 , o pulso é expresso por:

tjh

h

T

T

tjh

h

tjh

h edtetfeTatf 1

1

1

11 ..).(.)(

2/

2/

1

portanto a TF é dada por: ( )

2/

2/

1

1

1

1 .).(

T

T

tjh

h dtetfTa

e AdttfdttfTa

T

T

.2).().(

2/

2/

10

1

1

Notar que para o pulso isolado o espectro é uma função contínua de .

A duração do pulso (2) continua definindo a largura da faixa de frequência do lóbulo

principal.

No caso do pulso ser estreito, o espectro se alarga na proporção inversa da duração do pulso

(2), enquanto que a amplitude diminui.

-

A

t

Figura 3.15 Pulso isolado estreito e seu espectro contínuo.

No caso de pulso largo, acontece o oposto, o espectro se estreita e aumenta amplitude em

torno da origem:

A



-

A

t

Figura 3.16 Pulso isolado largo e seu espectro contínuo.

Continuando essa expansão da duração do pulso, pode-se, no limite, considerar o degrau

como um pulso de duração infinita, daí o seu espectro de concentrar em um impulso na origem.

0 Figura 3.17 Espectro do degrau.

A questão pendente, que será respondida na sequência é: quanto vale a amplitude da “vareta”

do espectro do degrau?

3.7 Da Transformada de Fourier à Transformada de Laplace

Para existir a TF é preciso que no intervalo - t a integral seja finita, ou seja:

dte).t(f tj

Como e-j..t

tem magnitude 1, uma condição suficiente é que:

dt.)t(f

Porém, essa condição não é satisfeita por várias funções de interesse prático, como as funções

seno, cosseno, degrau, as quais, portanto, não possuem Transformada de Fourier. No entanto,

limitando as funções periódicas entre -T e +T e depois fazendo T pode-se obter a transformada.

Para o degrau u(t), pode-se utilizar outro processo, que é supor decaimento exponencial (e-.t

) do

degrau, e fazer o valor da atenuação tender a zero ( 0) após calcular a transformada.

1

e-t

t0 Figura 3.18 Função atenuação do degrau.

A Transformada de Fourier G() da função atenuação do degrau é:

j

1e.e

)j(

1dt.e.e)(G 0

tjt

0

tjt

( >0)

Para obter o espectro do degrau não basta zerar , pois em =0 ocorre uma singularidade.



Levantando a singularidade, vê-se que para =0, resulta:

1)0(G ; e, para >>0, resulta:

j

1)(G . Ou seja, o espectro é contínuo e decrescente. A fase inicial é zero e atrasa até -90.

1

t0

G( )

G( )

Degrau unitário

1/

-90

Figura 3.19 Transformada de Fourier do degrau unitário.

3.7.1 A Transformada de Laplace

Incorporando-se a técnica de atenuação à Transformada de Fourier, resulta a Transformada de

Laplace.

0

t).j(

0

tjt

a dt.e).t(fdt.e.e).t(f)(G

Designando s j resulta:

0

ts dt.e).t(f)s(L

A integral agora tem que começar em t=0 uma vez que para t<0 a atenuação vira ampliação, e

portanto a integral se torna divergente.

3.7.2 Comparação da Transformada de Laplace e de Fourier

Uma vez que:

dt.e).t(f)(tj

0

ts dt.e).t(f)s(L

percebe-se que, enquanto Fourier expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais tipo ej..t

, que

dão origem a senos e cossenos sobre todo o intervalo - < t < , Laplace expande f(t) em um

conjunto infinito de exponenciais complexas tipo es.t

, que dão origem não apenas a senos e cossenos,

como também a exponenciais crescentes e decrescentes, e combinações deles, resultando modos

oscilatórios decrescentes (amortecidos) e crescentes (instáveis).

Essa é uma importante generalização, mas que só se aplica para t 0. Essa transformação

atende a grande parte dos sinais físicos e por isso encontrou grande aplicação na área de controle



moderno. Neste caso, convertendo cada sinal para o domínio da frequência pela transformada de

Laplace, descobre-se que a função de transferência descreve a relação entrada-saída dos dispositivos

que intervêm no processo.

Sistemas complicados podem ser analisados através das relações matemáticas no domínio da

frequência, gerando funções complexas H(s) que podem ser decompostas em pólos e zeros que são as

raízes dos polinômios do denominador e numerador de H(s). Os pólos e zeros podem ser usados para

caracterizar o comportamento dinâmico do sistema sob diferentes condições de excitação e controle.

Porém esse é assunto para outro curso.



Apêndice: Exemplos de uso do MathCad para análise de Fourier

Ondas periódicas e aperiódicas

t 0 .001 3

s1 t( ) 2 cos 15 t( ) 5 sin 20 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

5

0

5

10

s1 t( )

tO máximo divisor comum entre as frequências de cada onda períodica é 5, logo o período é:

To5

2

1

s1 0( ) 2

s1 To( ) 2To 1.257

Seja outra forma de onda:

s2 t( ) 2 cos 15 t( ) 1 cos 10 t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 34

2

0

2

4

s2 t( )

tEmbora cada sinal, individualmente, seja periódico, como as frequencia não estão em uma

relação RACIONAL, ou seja, NÃO SÃO MÚLTIPLAS inteiras de um fator comum, a onda

resultante não é periódica



Coeficientes da série de Fourier para a onda s1(t)

w1 2

To

Ao1

ToTo

2

To

2

ts1 t( )

d

Ao 0

n 1 10

An2

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]

d

Bn2

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) sin n w1 t( )

d

An0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

Bn0

-1.502·10 -15

0

5

-1.034·10 -15

0

0

-1.612·10 -15

4.736·10 -15

0



Outra forma de ondas1 t( ) sign cos 15 t( )( )

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

s1 t( )

t

w1 15 To 2

w1

To 0.419

Ao1

ToTo

2

To

2

ts1 t( )

d

Ao 0.5

n 1 10

An2

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]

d

An1.273

0

-0.424

0

0.255

0

-0.182

0

0.141

0

Bn2

ToTo

2

To

2


d

Bn0

0

0

0

0

0

0

0

0



Reconstrução do sinal:

x t( ) Ao A1 cos w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( ) A5cos 5 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

0

2

x t( )

tx t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( ) A5cos 5 w1 t( ) A7 cos 7 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0

1

2

x t( )

t



E 2Outra forma de onda

s1 t( ) E cos w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

s1 t( )

t

To 2

w1 To 0.419

Termo geral, para n par:

Ao1

ToTo

2

To

2

ts1 t( )

d

Ao 1.273 An4 1( )

n

2

1 n2

E

n

n 1 10

An2

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]

d

An0

0.849

0

-0.17

0

0.073

0

-0.04

0

0.026

Bn0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Bn2

ToTo

2

To

2


d



Reconstrução do sinal


0 0.5 1 1.5 2 2.5 31.27

1.272

1.274

1.276

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( ) A4cos 4 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

x t( )

t

x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( ) A4cos 4 w1 t( ) A6 cos 6 w1 t( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

x t( )

t



Análise de Trem de Pulsos

Pulso de largura variávelt 0 0.0001 1

w1 2 5

s1 t( )sign cos 2 5 t 0.9 1

2 To 2

w1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

s1 t( )

tTo 0.2

n 1 30

Ao1

ToTo

2

To

2

ts1 t( )

d

An2

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]

d

Ao 0.144

An0.277

0.251

0.209

0.156

0.099

0.045

-1.419·10 -3

-0.036

-0.056

-0.063

-0.057

-0.04

-0.02

1.419·10 -3

0.02

0.032

Bn2

ToTo

2

To

2


d

Bn0

0

0

0

0

0

0

0

0



Reconstrução do sinal


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

0

0.5

x t( )

t

x t( ) Ao

1

5

n

An cos n w1 t( ) Bn sin n w1 t( )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

2

x t( )

t

x t( ) Ao

1

30

n

An cos n w1 t( ) Bn sin n w1 t( )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

0

0.5

1

1.5

x t( )

t



Análise dos coeficientes

n 0 40

an1

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) ei n w1 t

dan

0.144

0.139

0.125

0.104

0.077

0.049

0.022

-7.097·10 -4

-0.018

-0.028

-0.032

-0.028

-0.02

-9.981·10 -3

7.097·10 -4

9.842·10 -3

0.016

0.019

0.017

0.013

6.26·10 -3

-7.096·10 -4

-6.91·10 -3

-0.011

-0.013

-0.012

-9.115·10 -3

-4.468·10 -3

7.095·10 -4

5.393·10 -3

8.722·10 -3

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 400.05

0

0.05

0.1

0.15

an

n



Em direção ao impulso isolado e seu espectro contínuo e constante:

t 0 0.0001 0.2

w1 2 5

s1 t( )sign cos 2 5 t 0.995 1

2 To 2

w1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0

0.5

1

s1 t( )

t

an1

ToTo

2

To

2

ts1 t( ) ei n w1 t

d To 0.2an

0.032

0.032

0.032

0.031

0.031

0.031

0.03

0.029

0.029

0.028

0.027

0.026

0.025

0.024

0.022

0.021

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

0.05

0

0.05

an

n

7º aula: análise de sinais no domínio da freqüênciaantenor/pdffiles/qualidade/b3.pdf ·...

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