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Profº Lucas de Oliveira Matemática Financeira com HP 12C www.professorlucas.zip.net 1

Í N D I C E

1. Finalidade e Importância da Matemática Financeira.............................................................................. 02

2. Conceitos Fundamentais • Função Primária...................................................................................................................................02• Funções Alternativas............................................................................................................................02• Revisão de Porcentagem......................................................................................................................04

4. Regimes de Capitalização

• Capitalização Simples......................................................................................................................... 05• Taxas Proporcionais ........................................................................................................................... 06• Taxas Equivalentes...............................................................................................................................06• Capitalização Composta.......................................................................................................................07• Expressão Matemática dos Juros Compostos.......................................................................................07• Taxas Equivalentes para Juros Compostos..........................................................................................11

4. Série de Pagamentos Uniformes ..................................................................................................................13

5. Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Constante (Francês ou Price) Pré-Fixado.....................................................18• Sistema de Amortização Constante (Francês ou Price) Pós Fixado.....................................................19• Sistema de Amortização Constante – SAC ........................................................................................ 19• Sistema com Carência ........................................................................................................................ 20• Sistema Americano..............................................................................................................................20

• Sistema de Pagamento Único..............................................................................................................21• Fluxo de Caixa ....................................................................................................................................21

6. Taxa Interna de Retorno ..............................................................................................................................22

7. Análise da Viabilidade Financeira de um Projeto• Hot Money...........................................................................................................................................25• CDB Pré-Fixado .................................................................................................................................25• CDB Pós Fixado.................................................................................................................................25• Operação 63 ........................................................................................................................................25• Desconto Comercial Simples ou Bancário .........................................................................................26• Leasing ................................................................................................................................................27

8. Desconto de Duplicatas com vários Prazos e várias Taxas• Taxa Média ..........................................................................................................................................27• Prazo

Médio...................................................................................................................................................27

9. Empréstimo com Flat e Float.......................................................................................................................28


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MATEMÁTICA FINANCEIRA

FINALIDADE E IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA FRENTE ÀS DIVERSASFUNÇÕES DA EMPRESA:

Na negociação com fornecedores e clientes.

Prazos de pagamento, negociação de juros e descontos.

Empresa tomadora de recursos – procurar crédito com juros e prazos mais adequados à situação.

Empresa aplicadora – maximizar o rendimento do excedente de caixa.

É utilizada para medir o retorno de um investimento. Ex. : Compra de um equipamento ou uma aplicaçãofinanceira.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Operação (Compra, venda, empréstimo, etc.) Mercadoria (Dinheiro) Duração (Prazo) Juros (Remuneração)

Durante uma operação envolvendo dinheiro, aparecerão os juros que são o custo ou remuneração da operação.Matematicamente falando, os juros são diretamente proporcionais ao capital e ao prazo de aplicação. Estadefinição de juros é necessária para evitar a confusão entre juros e taxa de juros. Os juros são a remuneraçãodo capital aplicado no início da operação, e, portanto vem expresso em unidades monetárias. A taxa de juros éa razão (medida) entre os juros pagos e o capital. É um número normalmente expresso em porcentagem ouforma decimal.É importante o conceito de juros como remuneração ou rendimento, pois daí teremos as características daeventual operação de emprestar, ou investir um certo ativo em algum negócio. Quanto maior for o risco, maiorserá a remuneração (juro) e, conseqüentemente, maior será a taxa de juros.

HP 12C - USO E FUNÇÕES BÁSICAS

1 - As teclas da HP 12 C podem realizar de uma a três funções.

Função Primária Caracteres indicados em branco

Funções Alternativas Caracteres indicados em amarelo e azul.Para acionar os amarelos pressionamos e para os azuis pressionamos

Se pressionadas por engano, pode-se cancelar a operação digitando clear

.

2 – Introdução dos números Se negativo, após a digitação do número, digita-se; se o número possuir casas decimais usa-se o ponto.

Exemplo: - 8 8 ; ; 3,25 3 25

f

f

prefix

CHS

CHS

g


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3 – Para realizar uma operação aritmética, devemos sempre pressionar após o primeironúmero, não havendo necessidade de após o segundo, porque as outras teclas encerrarão aoperação.

Exemplo : 20 – 9 – 3 + 5 = 13

Na HP 20 9 3 5

4 – Além do número do visor, a HP acumula mais 3 números.

Exemplo : (5x4) + (10x2) + (9x5) + 10 = 95

Na HP 5 4

10

2

9

5

10

5 – Casas Decimais – Para determiná-las usamos a tecla , em seguida o número decasas desejadas.

Exemplo: 5,327 – Se a HP estiver com duas casas, o visor mostrará 5,33. Pressionando3, aparecerá 5,327.

6 – Armazenar e recuperar números – Para armazenar um número, utilizamos a teclaPodemos armazenar até 10 números. Para recuperar o número armazenado, basta pressionar

e o número onde o registramos.

Exemplo : armazenar o número 5 na memória 8.

Pressionamos 5 8 ; para recuperar 8.

7 – Teclas que apagam os registradores.TECLA APAGA

O número do visor.

Os registradores estatísticos.

Os registradores financeiros.

Todos menos os de programação

A memória de programação se estiverno modo PRGM.

ENTER

ENTER

ENTER +

ENTER X

ENTER X

ENTER X

+ + +

f

f

STO

RCL

STO RCL

CLX

f ∑

f FIN

f REG

PRGMf

_ _


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REVISÃO DE PORCENTAGEMPorcentagem trabalha com grupo de frações com denominador 100.

X % = X100

Exemplos :

a) 20 % = 20 20/100 = 0,20100

Taxa Percentual Taxa Unitária

b)100 % = 100 100/100 = 1100

Exercícios

I)Transforme os números em taxa unitária.

1) 21 % = 5) 1,5 % =

2) 7,1 % = 6) 6/9 =

3) 9615 %= 7) 1000 % =

4) 50/200= 8) 600/2500 =

II)Transforme os números em taxa percentual.

9) 0,256 = 14) 0,025 =

10) 0,05 = 15) 0,30 =

11) 9/3 = 16) 0,99 =

12) 0,003 = 17) 1/2 =

13) 32,15 = 18) 1,5 =

III)Calcular a porcentagem DE um número (DE neste caso significa multiplicação)

19 ) 21% de 5700 = NA HP5700 21

20) 2 de 92 =5

21) 2,7 % de 710 =

22) 9 % de 27 % de 2500 =

ENTER %


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23) Apliquei R$ 9.000,00 em um CDB que rendeu uma taxa bruta de 1,6%. O imposto de renda tem alíquota de 15 %sobre os juros. Calcule:

1 -Os juros brutos

2 -O IR na fonte

3 -Os juros líquidos

4 - O resgate bruto

5 - O resgate líquido

6 - A taxa líquida

24) Apliquei uma certa quantia a uma taxa líquida de 13% por um determinado período e obtive R$ 750,00 de juros.Quanto apliquei?

25) O ICMS de uma nota fiscal é de R$ 323,00. Calcule o valor da nota sabendo que a alíquota é de 18% do valor damesma.

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

É através do processo chamado capitalização que os juros se formam e são incorporados ao capital inicial.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Quando somente o capital inicial produz juros, ou seja, quando o capital inicial permanece constante durante oprazo de aplicação, tem-se um caso de capitalização simples, produzindo juros simples.

FV = PV + JFV = PV + PV. i . n

J = PV . i . n

Onde :J

FV = capital final ou montante

PV = capital inicial PV FVn

J = juros

n = prazo

i = taxa de juros

J = PV . i . n PV = Jin

i = JPV . n

n = J

PV. i


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Exemplo :Qual montante terei se aplicar R$ 1.500,00 por 7 meses a taxa de 3,5% a . m . ?

PV = R$ 1.500,00 FV = 1.500,00 .+ 1.500,00 . 0,035 . 7

n = 7 meses FV = 1.867,50

i = 3,5% a m

TAXAS PROPORCIONAISConsideremos duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2, relacionadas respectivamente aos períodos n1 e n2.Estas taxas se dizem proporcionais se houver uma proporção entre as taxas e seus respectivos períodos.

i1 = i2 ====== i1.n2 = i2.n1n1 n2

Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.i1 = 5% at = 0,05 at

i2 = 20% aa = 0,20 aa

n1 = 3 meses

n2 = 12 meses

0,05 = 3 0,20 . 3 = 0,05 . 12 ,60 = ,600,20 12

TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo intervalo detempo, ambas produzirem o mesmo juro.

Exemplo: Um capital de R$10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% am ou 24 % aa.Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.

J1 = PV . i . n1 J1 = 10000,00 . 0,02 . 24 = 4800,00

J2 = PV . I . n2 J2 = 10000,00 . 0,24 . 2 = 4800,00

Exercícios I - Suponhamos que se tome emprestada a quantia de R$ 1.000,00 pelo prazo de 2 anos à taxa de 10% a a .Qual será o valor a ser pago como juro?

II - Um principal de R$ 2.000,00 é aplicado durante 3 meses à taxa de 5% a m , em regime de capitalizaçãosimples. Determinar os juros gerados mensalmente, o montante ao final do prazo da aplicação e a taxa de jurosdo período de 3 meses.

III – Calcular o juro simples referente a um capital de R$ 1.000,00 aplicado conforme hipótese abaixo:1 – 15% a a por 1 ano 2 – 17% a a por 4 anos

3 – 21% a a por 5 meses 4 – 26,8 a a por 30 meses


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IV – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5.000,00 se as hipóteses de taxas deaplicação e respectivos prazos forem?

1 – 18% a a por 6 meses 2 – 31,8% a a 2 anos e 7 meses.

V – Qual é a taxa de juros anual cobrada se uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.000,00 e recebeu R$1.150,00 em 10 meses?

VI – Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras?

1 – Capital inicial R$ 800,00, montante R$ 832,00 e taxa de juros de 16% aa.

2 – Capital inicial R$ 1200,00, montante R$ 2366,00 e taxa de juros de 22% aa.

VII – Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas:

a) 24% a a b) 36% ao biênio c) 6% ao semestre

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

A capitalização composta ocorre quando os juros de cada período são incorporados ao capital, de forma que oresultado renda juros no próximo período. Costuma-se dizer que nesse caso ocorre a existência de juros sobre juros. São os chamados juros compostos. É importante observar que o regime de juros simples tem uso restritoem nossa economia, tendo a capitalização composta maior utilidade prática.

EXPRESSÃO MATEMÁTICA DOS JUROS COMPOSTOS

Sendo i a taxa de juros por período e n o número de períodos financeiros teremos, no regime de capitalizaçãocomposta, o seguinte :

Valor Futuro após um período : FV 1 = PV.(1+i)

2Valor Futuro após dois períodos : FV 2 = FV1.(1+i) = PV.(1+i)3

Valor Futuro após três períodos : FV 3 = FV2.(1+i) = PV.(1+i)Por indução concluímos que o valor Futuro após n períodos será :

Esta fórmula é a fórmula fundamental de juros compostos. O processo de calcular FV a

npartir de PV é chamado acumulação, e o fator (1+i) é chamado fator de acumulação.

nFV = PV.(1+i)


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DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA ASSOCIADO A ESSA FÓRMULAFV

J1 J2 J3FV1 FV2 FV3

PV + J1 FV1 + J2 FV2+J3 ............... FVn + Jn

PV

1 - Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses abaixo :

Taxa Prazo

a) 20% a a 5 anosb) 5% a s 3 anos e meioc) 2,5% a m 1 ano

Resolução :

A) 5FV = 10000,00.(1+0,2)

PV = R$ 10000,00FV = 10000,00 . 2,488320

i = 20% a a

FV = 24883,20n = 5

NA HP

10000 20 5

2 - Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00, aplicado segundo as hipóteses abaixo?

Taxa Prazo

a) 10% a a 10 anosb) 8% a t 18 mesesc) 1% à semana 2 meses

Temos que :n

J = PV[(1 + i) - 1]

CHS PV i n FV


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Resolução :A)

10

PV = 1.500,00 J = 1.500,00 [(1 + 0,1) - 1]

i = 10% a a J = 1.500,00[(2,593742)-1]

n = 10 J = 1.500,00(1,593742) = 2.390,61

NA HP

1500 10 10 1500

3 - Se eu quiser um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor?Considerar as seguintes taxas de aplicação :

a) 2,5% a mb) 10% a sc) 20 aa

Devemos calcular o capital inicial :n

Se FV = PV(1+i) então PV = FVn

(1+i)

Resolução :A)

PV = 60.000,00FV = 60.000,00

24i = 2,5% a m (1 + 0,025)

n = 2 anos ou 24 mesesPV = 60.000,00 = 33.172,52

1,808726NA HP

60000 2,5 24

4 Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os montantes abaixo?

a) R$ 1.076,89 3 mesesb) R$ 1.125,51 4 mesesc) R$ 1.340,10 6 meses

CHS PV i n FV -

FV i n PV


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Resolução : A)

31.076,89 = 1.000,00(1 + i)

FV = 1.076,893

PV = 1.000,00 1.076,89 = (1 + i)1.000,00

n = 3 meses 31,07689 = (1 + i)

3 1/3(1 + i) = 1,07689 ou (1,07689)

(1 + i) = 1,025 i = 1, 025 – 1 = 0,025 ou 2,5% a mNA HP

1000 1.076,89 3

5) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% am. Após certo período de tempo, ele recebeuR$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiroaplicado?

Resolução :

PV = 25.000,00 FV = 35.644,02i = 3 % am

n

35.644,02 = 25.000,00(1,03)

n n35.644,02 = (1,03) 1,425761 = (1,03)25.000,00

log 1,425761 = n . log 1,03 NA HP

0,154047 = n(0,012837) 25000 35.644,02

0,154047 = n 30,012837

n = 12 meses

CHS PV FV n i

CHS PV FV

i n


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EXERCÍCIOS

1 - Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200.000,00 por 5 meses com pagamento integral no final. O custo doempréstimo é de 6% ao mês. Qual o valor a ser pago pela empresa ao final do prazo.

2 - Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos e à taxa de 10% aa. Calcule o montante para os seguintes

prazos:

a) 1 ano b) 2 anos c) 3,4 anos d) 4 anos e) 5,5 anos

3 - Qual o capital que aplicado a 2% a m produz um montante de R$ 50.000,00 após 18 meses?

4 - O emitente de uma NP deseja fazer o resgate antecipado da mesma. Sabendo que faltam 4 meses para o vencimento;que o custo do capital é de 10% a m; e que o valor nominal da NP é de R$ 15.000,00, determinar seu valor paraliquidação antecipada.

5 - Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado durante 5 meses produzindo um montante de R$ 3.570,15. Qual a taxa mensaldessa aplicação?

6 - O valor da cota de um fundo de investimento era 35,734. Seis meses depois, esse valor aumentou para 57,174. Qual ataxa média mensal de rentabilidade desse fundo? Qual a taxa de rentabilidade no período de 6 meses?

7 - Apliquei R$ 50.000,00 num fundo de ações e após 3 meses resgatei as cotas do fundo por R$ 36.450,00. Calcule aperda mensal média nesse fundo.

8 - Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 à taxa de 24% aa O empréstimo será pago de uma vezao final de 2,5 anos. Determine o montante a ser pago no final desse prazo.

9 – Uma aplicação financeira de R$ 4.800,00 a uma taxa de juro de 1,6 % ao mês resultou em um montante resgatado deR$ 5.196,49. Qual o prazo de aplicação?

TAXAS EQUIVALENTES PARA JUROS COMPOSTOS

Duas ou mais taxas são equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital durante um mesmoprazo, resultarem num mesmo montante no final do prazo.loVamos considerar um principal de R$ 200,00 e as taxas i1 = 10% e i2 = 21% aos dois meses. Quandoaplicadas ao principal de R$ 200,00, ambas resultam no montante de R$ 242,00 após 2 meses.

21%FV = R$ 242

|0 1 2

PV = R$ 200 10% 10%

200 . 1,10 . 1,10 = 242 200 . 1,21 = 242


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Considerando o fluxo abaixo, i2 é a taxa de todo o período e i1 é a taxa do período menor e n é o número devezes em que i1 está contido no período total.

FVi2

0 | | | |

1 2 3..............nPV i1 i1 i1 i1

Capitalizando pela taxa i2, temos : FV = PV.(1+i2) n

Capitalizando pela taxa i1, temos : FV = PV.(1+i1)

Comparando : ou ou

Exemplo :

1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês ?12

(1+i2) = (1 + 0,05)

12

i2 = 1,05 - 1

i2 = 1,7959 – 1 = 0,7959 79,59 % ao ano.

NA HP

1 .0 0,05 12 1 100

2 – Um CDB paga uma taxa bruta de 4,3% aos 37 dias. Qual a taxa bruta equivalente aos 123 dias?1/37

Taxa ao dia = 1,043 = 1,001139 ou 0,1139% ao dia

NA HP

1.043 37 1 100

n 123i2 = (1+i1) – 1 i2 = (1+0,001139) - 1 i2 = 1,1502 – 1 i2 = 15,02%

NA HP1.001139 123 1 100

n(1+i2) = (1+i1)

ni2 = (1+i1) - 1

1/ni1 = (1 + i2) -1

ENTER +X

Y - X

ENTER 1/X XY

- X

ENTER XY

- X


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Formula prática iq = taxa que queroq = período da taxa que queroit = taxa que tenhot = período da taxa que tenho

q/t 123 / 37iq = (1+it) – 1 iq = (1+0,043) - 1 = 0,1502 15,02 %

NA HP

1.043 123 37 37 1 1 100

3 – Calcule as seguintes taxas equivalentes :

a) 2,5 % ao mês para 67 dias

b) 7,8 % ao ano para 2 anos e meio

c) 2 % ao trimestre para 1 ano e nove meses

SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES

É toda série de valores iguais que acontecem em intervalos regulares de tempo (dia, mês, ano,...).Podem ser

postecipadas ou antecipadas. Será postecipada quando o primeiro valor ocorrer na data UM e antecipadaquando ocorrer na data ZERO.

POSTECIPADA

0 1 2 3 n| | | | |

......................................................

PMT

VALOR PRESENTE DA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA

PMT PMT PMTPV = + 2 + ………. + n

(1 + i) (1 + i) (1+i)

-n -nPV 1-(1+i) a 1 – (1+i)

= n i = iPMT i

ENTER ENTERX

Y_ X::::


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EXEMPLO :

1 –Um carro é comprado em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de2% ao mês. Qual o preço do carro à vista?

2.626,24 2.626,24 2.626,24 2.626,24

|

0 1 2 3 4 meses

Soma do valores atuais (PV)

2.626,24 2.626,24 2.626,24 2.626,24PV =

1 2 3 4(1,02) (1,02) (1,02) (1,02)

PV = 2.574,75 + 2.524,26 + 2.474,76 + 2.426,23

PV = 10.000,00Usando-se a fórmula :

-na 1 - (1 + i)

n i = i

-4a 1 – (1+0,02) 1 – 0,923845426 0,076154574

4 2 = = = = 3,8077290,02 0,02 0,02

Portanto, como PMT = 2.626,24

PV = 2.626,24 . 3,807729 = 10.000,00

NA HP

Certifique-se que a HP está no modo pressionando

Em seguida pressione 4 2.626,24 2

2 – Emprestei um determinado valor a um amigo que me pagará em 9 parcelas mensais de R$ 717,66. A taxa de juroscombinada foi de 1,5 % ao mês. Quanto emprestei?

END g END

n CHS PMT i PV


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3 – Um computador é vendido por 15.000,00 à vista, podendo ser adquirido em prestações mensais de R$885,71, a juros de 3% a m . Calcular o número de prestações.

PV = PMT . a 15.000 = 885,71 . an i n 3

-na 15.000 1 - (1,03)

n 3 = = 16,935566 16,935566 =885,71 0,03

-n -n1 – (1,03) = 0,508067 (1,03) = 0,491933

-n log(1,03) = log (0,491933)

log (0,491933)n = -

log(1,03)

- 0,308094n = - = 24 meses

0,012837

NA HP

15000 885.71 3

4 – Uma concessionária de veículos está com a seguinte promoção: Fiat Uno com valor a vista de R$ 10.700,00 oufinanciado à taxa de 0,99 % ao mês e parcelas de R$ 354,78.Qual o prazo de financiamento?

5 – Um carro é vendido por R$ 20.000,00 à vista, ou em 12 prestações mensais de R$ 1.949,74. Qual é a taxade juros mensal que está sendo cobrada?

PV = PMT . a 20.000 = 1.949,74 . a

n i n i

logo a 20.000= = 10,257778

12 i 1.949,74

-12 -12a 1 – (1+i) 1 – (1+i)

= 10,257778 =12 i i I

Como não conseguimos determinar a taxa através da fórmula, devemos proceder por tentativa e erro.

PV CHS PMT i n


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Como já temos o valor de a , o problema é determinar uma taxa inicial que sirva de p n i

ponto de partida.a

12 i

12

10,26

0 i0 i

Para a aproximação de uma primeira estimativa, usamos:

1 ai0 = - n i i0 = 1 - 10,2577782

a 2 10,257778 12n i n

i0 = 0,097487 – 0,071235

i0 = 0,0262252 ou 10 = 2,62 a m-12

Calculando-se o valor de a 1 – (1,0262)12 2,62 = = 10,183630

0,0262112

10,2610,18

0 i 2,62 taxa mensal

A taxa de juros obtida tem valor superior à taxa de juros (i) que queremos obter.


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7 – Qual a prestação de um financiamento com as seguintes condições:

Valor financiado R$ 5.500,00Taxa 2,7 % ao mêsPrazo 15 meses

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Sistema de amortização é o processo de devolução do principal mais os juros.Nos sistemas de amortização, as parcelas são desmembradas em juros e amortizações.Os juros de determinada data são calculados com base no saldo devedor antes do pagamento da prestação.

PRINCIPAIS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (FRANCÊS OU PRICE) PRÉ - FIXADO

As prestações destinadas ao pagamento de juros e amortização do principal são iguais.

Taxa = 2% a.m.Principal = R$ 50.000,00

MÊS SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 0 50.000,00 -1 50.000,00 1.000,00 12.131,19 13.131,192 37.868,81 757,38 12.373,81 13.131,193 25.495,00 509,90 12.621,29 13.131,194 12.873,71 257,47 12.873,72 13.131,19

TOTAL 2.524,75 50.000,00

NA HP

50000 2 4 1 1 1

1 1 1 1

Exercício

Construir uma tabela com o exercício número 2 anterior.

PV i n PMT f AMORT R f

AMORT R f AMORT R f AMORT R


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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (FRANCÊS OU PRICE)PÓS - FIXADO

Neste sistema, as prestações e o saldo devedor são corrigidos por algum indicador, seja de inflação ou cambial.

Taxa = 2% a.m. + IGP-MPrincipal = R$ 50.000,00

MÊS IGP-M SALDO

DEVEDOR PRESTAÇÃO PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO

CORRIGIDO CORRIGIDA 2%

0 50.000,00 - 1 1,2% 50.600,00 13.131,19 13.288,76 1.012,00 12.276,76 13.288,76 2 0,7% 38.591,50 13.131,19 13.381,79 771,83 12.609,96 13.381,79

3 1,0% 26.241,36 13.131,19 13.515,60 524,83 12.990,78 13.515,60

4 0,4% 13.303,58 13.131,19 13.569,67 266,07 13.303,58 13.569,67

TOTAL

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC

Neste sistema as amortizações são constantes e seu valor é a divisão do principal pelo número de prestações.

Taxa = 10% ªm.Principal = R$ 10.000,00

MÊS SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO 0 10.000,00 - -1 10.000,00 1.000,00 2.000,00 3.000,002 8.000,00 800,00 2.000,00 2.800,003 6.000,00 600,00 2.000,00 2.600,004 4.000,00 400,00 2.000,00 2.400,005 2.000,00 200,00 2.000,00 2.200,00

TOTAL 3.000,00 10.000,00 13.000,00


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SISTEMA COM CARÊNCIA

Entende-se por carência o período em que o tomador não paga nada.

Taxa = 10% ªm.Principal = R$ 10.000,00As prestações e os juros têm dois meses de carência para começar o pagamento.

MÊS SALDO DEVEDOR JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO

0 10.000,00 - - 1 10.000,00 1.000,00 - - 2 11.000,00 1.100,00 - - 3 12.100,00 1.210,00 4.033,33 5.243,334 8.066,67 806,67 4.033,33 4.840,005 4.033,34 403,33 4.033,34 4.436,67

TOTAL 4.520,00 12.100,00

SISTEMA AMERICANO

Neste sistema apenas os juros são pagos. A amortização do principal é efetuada de uma única vez no final doempréstimo.

Taxa = 5% a.m.Principal = R$ 100.000,00


0 100.000,00 -1 100.000,00 5.000,00 - 5.000,002 100.000,00 5.000,00 - 5.000,003 100.000,00 5.000,00 - 5.000,004 100.000,00 5.000,00 - 5.000,005 100.000,00 5.000,00 - 5.000,006 100.000,00 5.000,00 100.000,00 105.000,00

TOTAL 30.000,00 100.000,00 130.000,00


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SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO

Por este método, o tomador paga tudo no final do prazo. Juros e amortização.

Taxa = 5% a.m.Principal = 100.000,00


0 100.000,00 - -1 100.000,00 5.000,00 - -2 105.000,00 5.250,00 - -3 110.250,00 5.512,50 - -4 115.762,50 5.788,13 - -5 121.550,63 6.077,53 - -6 127.628,16 6.381,41 127.628,16 134.009,57

TOTAL 34.009,57 127.628,16 134.009,57

: FLUXO DE CAIXA

MODELO PADRÃO DE FLUXO DE CAIXA – SÉRIE DE PAGAMENTOS NÃO UNIFORMES -ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

NPV – VALOR PRESENTE LÍQUIDO

NPV ou valor presente líquido é o valor equivalente na data zero, de um capital numa data qualquer.Podemos calcular o valor atual de qualquer fluxo de caixa com parcelas únicas, uniformes ou variáveis.Exemplo 1 : Um investimento tem o seguinte fluxo de caixa :

Compra de um equipamento à vista por R$ 6.000,00.Receitas geradas por este equipamento:1º mês = R$ 2.400,002º mês = R$ 2.160,003º mês = R$ 8.640,00

86402400 2160

meses

x1 x2 x3

x0 6000

Se adotarmos que a taxa ideal de retorno do investimento é de 20% ao mês, temos:

NPV = -x0 + x1 + x2 + x3 NPV = -6000 + 2400 + 2160 + 86402 3 2 3

(1+i) (1+i) (1+i) (1+0,20) (1+0,20) (1+0,20)

NPV = -6000+2000+1500+5000 NPV = -6000+8500 = 2500


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O valor presente líquido do fluxo de caixa é positivo, isso significa que as receitas (entradas de caixa) sãomaiores que as despesas (saídas de caixa) descontadas à taxa de 20% ao mês.

NA HP

6000 2400 2160 8640

20

Exercício: A Arinos decide investir na compra de novos equipamentos. O fluxo de caixa gerado de gastos e receitas é oseguinte :

Data 0 = R$ (52.000,00) = compra de novas máquinas.Data 1 = R$ 7.000,00 = aumento do lucro.Data 1 = R$ (1.500,00) = gastos com manutenção.

Data 2 = R$ 12.000,00 = aumento do lucro.Data 3 = R$ 25.000,00 = aumento do lucro.Data 3 = R$ (2.600,00) = parcela do seguro.Data 4 = R$ 8.000,00 = aumento do lucro.Data 4 = R$ 2.600,00 = parcela do seguro.Data 5 = R$ 5.000,00 = aumento do lucro.Data 5 = R$ (2.600,00) = parcela do seguro.Data 5 = R$ (4.000,00) = manutenção.Data 6 = R$ 13.000,00 = aumento do lucro.

Sabendo-se que uma aplicação financeira remunera em torno de 1,5% ao mês, a empresa quer um retorno mínimo de 3%ao mês para cobrir os demais gastos, mais o lucro.

TAXA INTERNA DE RETORNO

Taxa interna de retorno de um investimento é a taxa para qual o NPV (Valor presente líquido) do fluxo decaixa é nulo, ou seja, é a taxa para qual o valor presente das entradas de caixa é igual ao valor presente dassaídas de caixa. A TIR é a taxa de remuneração do capital investido. É um dos principais indicadores paraanálise de projetos de investimento.

Exemplo 1 :

Um banco emprestou a uma empresa, a quantia de R$ 71.040,00. A empresa pagará em quatro prestaçõesanuais de R$ 38.416,00 cada uma.O banco diz que sua taxa é de 40% ao ano. Verificar se tal taxa éverdadeira.

Fluxo de caixa. 38416 38416 38416 38416

71040

CHS g CFO g g CFJ

g CFJ i f NPV

CFJ


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Interpolando:i – 0,05 = 0 - 28290,16

0,05 28290,16i 0 0,10 – 0,05 -4651,63 – 28290,16

0,10 - 4651,63

i – 0,05 = - 28290,16

0,05 - 32941,79

i – 0,05 = 0,858792 i – 0,05 = 0,042940 i = 0,09294

0,05

Calculando o NPV para a taxa de 9,9294% temos:

NPV = -150000 + (50000) + (10000) + 160000 + 70000 + 50000

2 3 4 5(1+0,09294) (1+0,09294) (1+0,09294) (1+0,09294) (1+,09294)

NPV = -150000 – 45748,17 – 8371,58 + 122555,00 + 49058,33 + 32061,84 = - 444,58

Interpolando novamente este resultado, chegaremos à TIR de 9,22% que é a taxa que zera o NPV. Como aTIR é positiva, este projeto é viável e além de tudo oferece um retorno maior do que os 5% esperado.

NA HP

150000 50000 10000

1 160000 70000 50000 5 5

CHS g CFO CHS g CFJ CHS

g CFJ g CFJ g CFJ g CFJ

i f IRR


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ALGUNS PRODUTOS DO MERCADO FINANCEIRO

HOT MONEY

Empréstimo de curtíssimo prazo (um dia ou um pouco mais). A garantia é uma NP (Nota promissória)

assinada previamente. A taxa do Hot Money tem como base o CDI (taxa de operações entre bancos). Exemplo: taxa ao mês 9,3%

Taxa ao dia 9,3%= 0,31% ao dia

30 dias5

por 5 dias úteis 1,0031 = 1,0156 1,56 % aos 5 dias úteis

CDB PRÉ-FIXADO

Exemplo: Aplicação prazo 32 dias taxa (i) 35 % aa

32360

Cálculo da taxa bruta 1,35 = 1,027 2,7 % aos 32 dias

Taxa líquida 2,7% - 15% de Imposto de Renda = 2,3% aos 32 dias

Exercício : Um CDB paga 23,5 % aa. Calcule as taxas bruta e líquida para 29 dias, sabendo que o IR é de 15 %.

CDB PÓS FIXADO

Exemplo anterior mais TR de 16% no período de 32 dias.

Taxa bruta => 1,027 . 1,16 = 1,1913 19,13 % aos 32 dias

Taxa líquida => 19,13 – 15% de Imposto de renda = 16,26 % aos 32 dias

OPERAÇÃO 63É uma operação de empréstimo com variação cambial. Chama-se 63 devido a norma do banco Central número63.

Flat Fee = Taxa de 2% sobre o valor da operação, paga no ato do empréstimo.Juro = Cobrados a cada 6 meses. O principal é pago no final junto com a última parcela dos juros.

Exemplo:

Empréstimo de US$ 300.000,00Taxa nominal = 16 % a a cobrados semestralmente = 8% ao semestreFlat Fee : 2 %

Prazo = 18 meses.


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300000

semestres

1 2 3

6000 24000 24000 24000

300000

Calcule o NPV (Valor presente líquido) e a taxa interna de retorno desta operação.

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU BANCÁRIOEsta operação corresponde a juros antecipados que são deduzidos do valor do título apresentado junto aobanco para saque antecipado.

Sendo :n = prazo a decorrer até o vencimento do título.N = valor nominal ou futuro do título.d = taxa mensal de juros antecipados (taxa de desconto)D = juros antecipados (desconto)dn = taxa de juros antecipados para o prazo n do títuloVc = valor presente do título ou valor creditado ao cliente.

dDn = . n D = N . dn Vc = N - D

30

Exemplo : Uma duplicata com prazo de 30 dias foi descontada à taxa de desconto bancário de 8% a m . Ovalor nominal da duplicata é de R$ 2.000,00. A alíquota de IOF é de 0,0041% a d. e a TAC é de 0,2% dovalor do título. Calcular:

a) o desconto bancário (D)b)

o imposto sobre operações financeiras (IOF)c) o valo da taxa de abertura de crédito (TAC)d)

o valor colocado à disposição da empresae) a taxa efetiva no período da operação

a) D= N.dn 2.000,00 .8,00% = 160,00

b) IOF =0,0041%.30 = 0,1230% 0,1230% . 2000,00 = 2,46

c) TAC 0,2% . 2000,00 = 4,00

d) Vc = N – D – IOF –TAC Vc = 2.000,00 –160,00 – 2,46 – 4,00 = 1.833,54

e) TAXA EFETIVA = N - 1 2.000,00 - 1 = 0,0908 ou 9,085 a mVc 1.833,54

Vc = N – D – IOF - TAC


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LEASING

Operação de aluguel com opção de compra.

Exemplo:

Valor do equipamento R$ 50.000,00Prazo 40 meses1º após 30 diasValor residual 5 %Prestações R$ 1.746,05

DESCONTO DE DUPLICATAS COM VÁRIOS PRAZOS E VÁRIAS TAXAS

DUPLICATA TAXA PRAZO

2000 9 % a m 37 dias4000 12 % a m 69 dias6000 13,5 % a m 90 dias

Taxa média

d = 2000 x 0,09 x 37 + 4000 x 0,12 x 69 + 6000 x 0,135 x 90 = 12,66 % a m2000 x 37 + 4000 x 69 + 6000 x 90

NA HP2000 0,09 37 4000 0,12 69 6000

0,135 90 1 1

2000 37 4000 69 69 6000 90 90

2 2 1 1 2 2

Prazo médio

n = 2000 x 37 + 4000 x 69 + 6000 x 90 = 74 dias2000 + 4000 + 6000

NA HP

37 2000 69 69 4000 4000 90 6000

ENTER x x ENTER x x

ENTER x x + + STO

ENTER x ENTER x ENTER

+ + STO RCL RCL :

ENTER ENTER ENTER

g X W

+ +

+

x


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Taxa para 74 dias 12,66 %x 74 = 31,23 %

30Valor do desconto = 12.000,00 x 0,3123 = 3.747,60

Líquido creditado = 12.000,00 – 3.747,60 = 8.252,40

Cálculo da taxa exata

8252,40

37 69 90

36 dias 31 dias 20 dias

2000 4000 6000

A taxa efetiva é de 0,5127 % ao dia, ou 16,58 % ao mês ou 46,00 % aos 74 dias

EMPRÉSTIMO COM FLAT E FLOAT

Float : Permanência de parte do dinheiro no banco para reciprocidade = 4 Dias;

Flat : Taxas e comissões do empréstimo normalmente pagas no início = R$. 100.000,00.

Exemplo : Empréstimo para 93 dias à taxa de 8% a m e flat de 2 % sobre o empréstimo.

EXERCÍCIOS PARA REVISÃO

1) Se Tenho uma taxa de 7,6% ao mês (juros compostos), em quanto tempo triplicarei meu capital?

2) Qual o montante que terei se aplico um capital de R$ 10.000,00 com taxa de 6,5 % ao trimestre, por um prazo de2 anos e 9 meses.

3) Após 17 meses, uma aplicação de R$ 75.000,00 chegou ao montante de R$ 82.320,00. Se após um ano adiferença entre os montantes se calculados por juros simples e compostos for de R$ 52,20 a favor do composto,

determine a taxa nas duas formas de cálculo.

4) Um imóvel foi adquirido por R$ 150.000,00. Se eu vendê-lo daqui a 17 meses à taxa de 24% ao ano, qual será ovalor da venda.

5) Qual a taxa nominal equivalente a 14% ao semestre? E a efetiva anual?

6) Qual a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa de 24% ao ano?

7) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 20.000,00, aplicado durante 5 anos a juros nominais de20% a a, capitalizados:

a) Semestralmente;b) Trimestralmente;

c) Mensalmente;d) Diariamente.


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8) Qual montante de um capital de R$ 80.000,00, aplicado por 27 meses a juros nominais de 30% a a ,capitalizados trimestralmente? Pede-se, ainda, a taxa efetiva no período de capitalização e a taxa efetiva anual.

9) Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de R$52.320,00, sendo R$ 7.896,50 referente aos juros?

10) Um apartamento é vendido por R$ 220.000,00 a vista. Se o comprador optar por pagar após um certo período detempo, o dono do imóvel exigirá R$ 61.618,59 de juros, pois quer uma taxa de 2,5 % a m. Qual é esse período.

11) Um investidor tem duas opções : aplicar a uma taxa de 43% ao ano ou 9,5 % ao trimestre. Qual a melhor opção.

12) Um televisor é vendido por R$ 1.500,00 em uma única parcela após 3 meses da compra. Se a opção for à vista, ocomprador tem 5% de desconto.Sabendo-se que a taxa de mercado é de 18% ao ano, vale a pena comprar a vistaou a prazo?

13) Um carro pode ser comprado por R$ 10.000,00 e pago daqui a 5 meses sem nenhum acréscimo. No entanto se ocomprador pagar a vista terá um desconto de 8%.O custo de um empréstimo pessoal é de 2,3 % ao mês.Vale apena comprar a prazo?

14) Um apartamento e colocado à venda por R$ 40.000,00 de entrada e R$ 100.000,00 daqui a 1 ano. A outra opçãoé a compra à vista por R$ 115.000,00. Se a taxa de mercado é de 2,5 % ao mês, qual a melhor alternativa?

15) Uma moto é vendida por R$ 5.000,00 a vista ou por R$ 1.000,00 de entrada mais prestações mensais de R$480,97. Se a taxa de juros é de 3,5 a m , qual é o número de prestações?

16) Qual é o depósito trimestral durante 5 anos consecutivos à taxa de 5% a t, que produz o montante de R$200.000,00 após o último depósito?

17) Se eu precisar fazer retiradas mensais de R$ 100.000,00 nos meses de setembro, outubro e novembro, quantodevo depositar mensalmente de janeiro a agosto para que seja possível estas retiradas? Considerar uma taxa de3% ao mês, com o primeiro depósito no início do mês.

18) Um carro é comprado em 24 prestações de R$ 630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Se ataxa de mercado é de 4% a m , qual o preço à vista?

19) Os coeficientes para financiamento apresentados pelo vendedor em uma loja são:a) 6 meses 0,18707 Qual a taxa de juros de cada coeficiente?b) 12 meses 0.10086c) 18 meses 0,07230d) 24 meses 0,05819

20) Uma aplicação de R$ 15.000,00 rendeu, após 3 anos, o montante de R$ 61.558,99. Que depósitos mensais nesseperíodo produziriam o mesmo montante, se considerarmos a mesma taxa da primeira hipótese.

21) Qual o preço à vista de um bem financiado em 24 prestações de R$ 300,00, se o primeiro pagamento ocorrer

após 4 meses da compra e a taxa mensal é de 2,5% a m ..

22) Um equipamento é vendido à vista por R$ 100.000,00 ou a prazo com 20% de entrada e mais três parcelasmensais de R$ 50.000,00, R$ 30.000,00, R$ 20.000,00, sendo que os vencimentos serão respectivamente a 5, 6 e7 meses do início do financiamento.Qual a taxa de juros deste financiamento?

23) Foi oferecido a um gerente uma taxa para desconto de duplicata de 4,5% por seis meses ou a mesma taxa pordoze meses. O gerente preferiu a de 12 meses e perdeu o emprego.Por que?

24) O desconto de uma duplicata de r$ 5.000,00 é feito a uma taxa de 10% ao mês por 2 meses. Qual a taxa efetivade juros se o banco pede um saldo médio de 20% como reciprocidade?

25) Um tomador obteve um empréstimo para pagar em 30 dias. A taxa acertada foi de 11% no período.O contrato foi

assinado em 05/12, porém o dinheiro só foi liberado no dia 09/12.Calcule a taxa efetiva ao mês nesta operação.


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26) Uma loja vende faturado a 90 dias e dá um desconto de 23,5% para pagamento à vista. Qual a taxa que a lojaembute nas vendas a prazo?

27) Posso comprar um produto e pagar daqui a 60 dias com 12% de desconto ou daqui a 30 dias com 21% dedesconto.Se a taxa de juros é de 6% a m , qual a melhor alternativa?

28) Qual o rendimento trimestral de um fundo de aplicação financeira, se as taxas são de 1,5% , 0,94 e 1,1%?29) Apliquei um certo valor a juros compostos por 13 meses e tive um rendimento igual ao valor aplicado. Qual a

taxa desta aplicação?

30) No ano de 1997 uma empresa vendeu 1500 unidades de seu produto e em 2002 o nível de vendas chegou a 7200unidades. Qual a taxa média anual de crescimento das vendas?

31) Apliquei R$ 52.000,00 e resgatarei após 90 dias o valor de R$ 54.375,28. Se eu precisar do dinheiro aos 62 diasda aplicação e a instituição financeira pagar pela taxa equivalente, quanto será o valor do resgate?

32) Uma aplicação de R$ 13.630,00 produz um montante de 13.998,01 aos 57 dias. Qual a taxa de rentabilidademensal desta operação?

33) Uma aplicação de R$ 6.970,00 por 72 dias é faita à taxa de 1,5% a m . Qual o montante no vencimento?

34) Um capital de R$ 650,00 é aplicado a uma taxa de 0,7% a m por 85 dias.Qual o valor dos juros no vencimentoda operação?

35) Para uma aplicação no valor de R$ 85.000,00 em um CDB de 32 dias à taxa de 18,75 a a, determine os seguintesitens, sabendo-se que o IR na fonte é de 15% sobre os juros :

a) A taxa bruta no período de operação;b) O montante bruto;c) O rendimento bruto;d) O imposto de renda;e) O resgate líquido;

f) A taxa líquida.

36) Qual a melhor alternativa de investimento : A) uma que me ofereça uma taxa de 20% a a ou uma que me ofereça1,3% a m .

37) Tomei um empréstimo HOT MONEY no valor de R$ 350.000,00 por 5 dias úteis com as seguintes taxasnominais : 2,0% , 2,3%, 1,9%, 1,8% e 2,4%. Quanto pagarei?

38) O banco em que a empresa X pretende fazer um HOT MONEY no valor de R$ 32.000,00 cobra 3,5 % a m paraoperações de 6 dias.Quanto a empresa pagará se fizer a operação?

39) Em um período de 30 dias corridos em que há 21 dias úteis, as taxas nominais dos CDIs foram :1,44%, 1,505,1,30%, 1,44%, 1,42%, 1,41%, 1,39%, 1,38%, 1,40%, 1,40%, 1,40%, 1,35%, 1,20%, 1,44%, 1,50%,

1,50%, 1,49%, 1,48%, 1,47%, 1,41% e 1,38%. Qual a taxa efetiva no período.

40) Ao iniciar um mês com 21 dias úteis, a taxa nominal de um CDI era de 2,3%. Quanto esta taxa projeta para omês?

41) Um comprador de uma grande empresa recebe a seguinte proposta de um fornecedor:a) Pagar o preço à vista de uma só vez em 90 dias;b) Dividi-lo em quatro vezes iguais 30/60/90/120 dias;c) Pagar a 30 dias do pedido com 8% de desconto;d) Pagamento na data do pedido com desconto de 10%.

Qual a melhor alternativa, sabendo que a taxa de captação que a empresa consegue no bancoé de 2,5 a m ?

42) Recebi uma proposta de compra de um imóvel com valor a vista de r$ 50.000,00 tendo as seguintes condiçõespara financiamento:


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- Entrada de R$ 15.000,00- 4 parcelas trimestrais de R$ 4.500,00- O saldo será pago em 18 prestações corrigidas pelo IGPm,sendo a primeira em janeiro.

Qual o valor da prestação mensal se a taxa de juros ao mês é de 2,5% a m + IGPm?Qual o valor da 5º parcela corrigida?

JAN FEV MAR ABR MAI JUN1,00% 0,85% 1,10% 1,20% 0,92% 1,05%

43) Terei gastos de R$ 3.500,00 , R$ 6.700,00 e R$ 9.500,00 dentro de 3, 7 e 9 meses respectivamente.Quantopreciso aplicar hoje a uma taxa de 1,44% a m para poder realizar estes gastos?

44) Uma empresa faz um HOT MONEY no valor de R$ 350.000,00 renovado por 4 dias úteis às taxas de 1,9%,2,2%, 1,7%, 2,45%.Qual a taxa efetiva ao dia no final da operação. Quanto a empresa pagará?

45) Uma financeira quer um ganho real de 1,5% em operação de empréstimo por um mês.Se a estimativa de inflaçãopara este mês for de 0,87% para este mês, qual deve ser a taxa de juros cobrada?

46) Construir uma tabela de coeficientes de financiamento para uma loja que opera com taxa de 6,5% a m

(Pagamentos antecipados) e prazos que variam de 1 a 12 pagamentos.

76619323-praticas-de-matematica-financeira-com-hp-12c.pdf

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