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250 MurphyÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑTeora Electromagntica

7 ELECTRODINçMICA

7.1 INTRODUCCIîN

En los captulos anteriores estudiamos la dependencia de los campos elctrico y magnticocon las coordenadas espaciales, considerando situaciones en las que el tiempo no jugaba unpapel relevante; el caso esttico. Pero la aplicacin fundamental del electromagnetismo escuando los campos tambin dependen del tiempo; el caso dinmico. En este caso, loscampos; los potenciales; las densidades de carga y corriente; la polarizacin y lamagnetizacin son funciones de cuatro variables; las tres espaciales, que denotaremos por r,y el tiempo. Tambin tenemos situaciones en las que el campo (o densidades, etc.) esconstante con respecto a posicin, pero variable en el tiempo.

El objetivo de este captulo es estudiar lo que sucede cuando existe la dependencia temporal.Por ejemplo, inmediatamente recordamos la ecuacin de continuidad, y vemos que si ρ=f(t),la divergencia de la densidad volumtrica de corriente libre no puede ser igual a cero.

Dado que los alfabetos romano y griego son limitados, en este captulo tendremos quereusar muchos de los smbolos que hemos definido en los captulos anteriores para nuevascantidades. En todos los casos, sin embargo, el significado del smbolo se puede deducirclaramente.

7.2 CONDUCTIVIDAD Y RESISTIVIDAD

Si tenemos una partcula cargada en el espacio libre, en presencia de campos elctrico ymagntico, sabemos que sta sentir una fuerza y se acelerar:

F E v B aEM q= + ×( )[ ] = m ⇒

a

E v B=

+ ×( )[ ]qm

La velocidad de la partcula aumenta al aumentar el tiempo, y ya que una corriente soncargas en movimiento (J = ρv), esperamos que J aumente con el tiempo. En la materia, sinembargo, sabemos que si aplicamos una diferencia de potencial constante, medimos unacorriente constante. Para que esto sea cierto, la aceleracin de la partcula debe ser cero para

Murphy 251ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ


mantener la velocidad constante y la densidad de corriente constante. Para aplicar laecuacin anterior en un material, debemos incluir un trmino que considere la interaccin conel material. Este puede ser anlogo a la fuerza de friccin en la atmsfera; proporcional a lavelocidad, de manera que si tenemos una partcula en un material movindose por lainfluencia de una fuerza electromagntica, tengamos:

F vEM d+ =ζ 0 (7.1)

Donde definimos a vd como la velocidad de deriva (o de arrastre en algunos textos. Esanloga a la velocidad lmite en la atmsfera). Resolviendo para vd:

v

Fd

EM=ζ

La velocidad de deriva es un promedio de la velocidad de los portadores en el medio. stosson acelerados por los campos, pero sufren colisiones con otros portadores y tomos en elmaterial. La distancia promedio que un portador viaja entre colisiones se llama trayectorialibre media; el tiempo entre cada colisin es el tiempo libre medio y la velocidad dederiva es la razn de la trayectoria libre media al tiempo libre medio. Substituyendo estevalor en la definicin de la densidad volumtrica de corriente tenemos:

J v

FE v B= =

=

+ ×( )[ ]ρ ρ ζρζd

EM q

El factor ζ incluye la informacin sobre el medio; es decir, ζ se determina de la estructura ypropiedades del medio. Todos los factores de inters se pueden agrupar definiendo laconductividad del medio, σ, para escribir:

J E v B= + ×( )[ ]σ d (7.2)

Esta expresin se conoce como la Ley de Ohm. De sta se deduce la forma conocida paralos electrnicos, que trataremos ms adelante. La conductividad es una propiedad intrnsecade cada material. Los medios conductores tienen alta conductividad mientras que la de losdielctricos es muy baja. Es funcin de la temperatura, la estructura del medio, la presin yla frecuencia de la corriente a travs del material; modelos adecuados se pueden deducir deprincipios fundamentales si se conocen los mecanismos de dispersin de portadores en elmaterial. En semiconductores, la conductividad se puede variar controlablemente al cambiarla densidad y tipo de impurezas en el material. Los valores tpicos de conductividad dealgunos materiales se muestran en la Tabla 7.1. La unidad fundamental de la conductividades el Siemens/m (S/m; antes mho/m), definido por:

Sm

mhom

AVm m

= = =Ω

1(7.3)



Material σ (S/m) Material σ (S/m)Plata 6.098 X 107 Fierro colado Å1.000 X 106

Cobre 5.747 X 107 Agua de mar Å4.000 X 100

Oro 4.098 X 107 Tejido animal Å4.505 X 10-1

Aluminio 3.953 X 107 Si intrnseco (300K) 4.878 X 10-4

Tabla 7.1

En un conductor normal (o semiconductor), adems de la velocidad de deriva, los electrones(y huecos) tienen otra velocidad, debida a la temperatura, llamada velocidad trmica, vt. Elorden de magnitud de vt se puede encontrar de un anlisis clsico, considerando a loselectrones como un gas de electrones. Del Teorema de Equiparticin de la Energa tenemosque la energa cintica en trminos de la temperatura es (para tres grados de libertad):

12

32

2mev KTt =

Donde K es la constante de Boltzmann (K=1.3807 X 10-23 J/K = 8.6170 X 10-5 eV/K).Resolviendo para vt tenemos:

v

KTt =

3me

(7.4)

A temperatura ambiente, vt = 1.1682 X 107 cm/s. Un refinamiento cuntico da un valorsimilar:

v

KTt = π

8me

(7.5)

A temperatura ambiente, vt = 1.0760 X 107 cm/s. La velocidad trmica vista como unvector es cero (el valor anterior es ÒrapidezÓ), ya que los electrones tienen la mismaprobabilidad de moverse a izquierda o derecha (o arriba o abajo, etc.), y el desplazamientoneto es nulo. En presencia de una fuerza electromagntica, los electrones se desplazarn enuna direccin dada, a la velocidad de deriva. La velocidad total es:

u v vt d= + (7.6)

El siguiente ejemplo nos da una idea de la magnitud de la velocidad de deriva en casostpicos.



Ejemplo 52.- Un alambre de cobre de seccin transversal uniforme de 7 X 10-3 cm2 llevauna corriente de 50 mA. Suponiendo que hay 2.3 electrones libres por tomo, calcule lavelocidad de deriva de los electrones.

Ya que el alambre es de seccin uniforme, podemos definir:

J

IA

=

Donde A es el rea seccional del alambre. Encontramos la velocidad de deriva de:

J v nevd d= =ρ ⇒ v

Jne

IAned

= =

La densidad de electrones, n, est relacionada al nmero de tomos. ste se obtiene de:

N

NMm A

A= ρ (7.7)

Donde NA=6.022 X 1023 at/mol es el Nmero de Avogadro, ρm es la densidad de masa yMA es la masa atmica del material. Para el cobre, ρm=8.96gm/cm3 y MA=63.5gm/mol, yN es entonces:

N

NM

Xm AA

= =ρ 8 4972 1022. tomos/cm3

Y la densidad de electrones est dada por:

n N X= =2 3 1 9544 1023. . electrones/cm3

Usando este valor, la velocidad de deriva es:

v

IAne

X cm sd = = = µ2 2813 10 2 28134. / . m/s-

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ*

De este ejemplo vemos que la velocidad de deriva es mucho menor a la trmica en magnitud,y aunque no tiene una direccin aleatoria, en muchos casos el trmino

v Bd ×( ) se desprecia.

Adems, si el campo magntico es cero, ste desaparece y la ley de Ohm se escribe:

J E= σ (7.8)



Sin embargo, hay situaciones en las que vd es comparable a vt (en circuitos integrados, porejemplo), y el trmino magntico tambin se debe considerar si B0. Una de lasaplicaciones de (7.8) en la electrnica se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 53.- Se aplica una diferencia de potencial constante a los extremos de una barra dematerial con conductividad σ, de seccin cilndrica uniforme A y longitud l, como se muestraen la Figura 7.1. Calcule la corriente en la barra en funcin del potencial aplicado.

A

l

σ

E

IV

Figura 7.1

Tenemos que partir de la ley de Ohm para resolver el problema. Para una barra de seccinuniforme y propiedades homogneas:

J

IA

= y E

Vl

=

Y la ley de Ohm se puede escribir:

IA

Vl

= σ

Resolviendo para I:

I

Al

V=

σ



Sin embargo, es ms comn expresar la diferencia de potencial en trminos de la corriente:

V

lA

IlA

I RI=

=

=1σ

ρ (7.9)

Donde ρ se define ahora como la resistividad del material, en unidades de ½m, y el trminoentre parntesis es la resistencia, definida en Ohms:

VA

JC

Cs

Js

C= = ≡

2Ω (7.10)

La ecuacin (7.9) es la forma ms conocida de la ley de Ohm (para diferenciarla, lellamaremos ÒcircuitalÓ), especialmente para los electrnicos, pero es una particularizacin dela expresin general (7.2). Muchos materiales y geometras la cumplen, pero tambin haymuchos que no; como ejemplos tenemos el diodo de vaco del Ejemplo 26, y losdispositivos semiconductores activos en general.


La resistencia depende de la resistividad del material y de factores geomtricos. Usando laley de Ohm circuital podemos obtener una relacin general para la resistencia de medioshmicos (que son los que obedecen (7.8)):

RVI

d

d

d

d

= =

•

•

=

•

•

∫∫

∫∫

E l

J a

E l

E aσ

(7.11)

La resistencia de un material de conductividad σ y permitividad ε est relacionada a lacapacitancia del material. Recordando la definicin general de capacitancia (4.32):

C

d

d

=

•

•

∫∫+

−

ε E a

E l

Vemos que podemos obtener una relacin entre la resistencia y la capacitancia si resolvemosambas ecuaciones para la integral de lnea del campo, las igualamos y resolvemos para el



producto RC:

RC = ε

σ(7.12)

Este producto tiene unidades de tiempo, se conoce como el tiempo de relajacindielctrica, y es una medida de cunto tarda una densidad de carga libre en distribuirse a lasuperficie en un material. En un buen conductor, por ejemplo, es del orden de 10-18s, peroen medios dielctricos puede ser muy largo. En Xerografa se usan materiales con tiemposde relajacin dielctrica muy cercanos al minuto, lo que permite realizar copias fotostticascon nitidez.

7.3 FUERZA ELECTROMOTRIZ

La resistividad de un material est relacionada a las colisiones Ñdebidas a distintosmecanismos de dispersinÑ de los portadores con los tomos del material o con otrosportadores. En estas colisiones, los portadores ceden energa al material, desacelerndosepara ser nuevamente acelerados por el campo. La energa cedida al material se presenta enforma de un aumento en la temperatura del medio. Esta transferencia de energa se llamacomunmente Òprdidas por efecto JouleÓ.

En consecuencia, al mantener una corriente uniforme circulando por un conductor, o msgeneralmente en un circuito, parte de la energa que le suministramos al circuito aparece enforma de calor, y por lo tanto la integral de lnea del campo no puede ser cero alrededor delmismo. Esto nos lleva a concluir que un campo electrosttico no puede realizar el trabajonecesario para hacer circular una corriente alrededor del circuito, y debemos encontrar unagente capaz de hacer circular la corriente. Este agente es otro campo; un campo elctricono conservativo. Este campo se puede definir en trminos de una fuerza por unidad decarga:

f ls • =∫ d E (7.13)

Donde E se conoce como la fuerza electromotriz (fem), aunque tiene unidades depotencial (Volts). La fuerza electromotriz es la encargada de hacer circular la corriente en uncircuito, y es ÒgeneradaÓ por la batera o el agente que proporciona la energa (generador,gradiente de temperatura, presin, etc.).

La fuerza total sobre los portadores, por unidad de carga, es entonces:

f E fs= + (7.14)

El campo electrosttico, E, se encarga de que la corriente tenga el mismo valor en todas laspartes del circuito: si en algn lugar hubiese acumulacin de carga, el campo generado por



sta se opondra a que llegara ms carga y acelerara a la carga alejndose del lugar deacumulacin, reducindola hasta alcanzar el equilibrio. Ilustraremos el concepto de fem conun par de ejemplos.

Ejemplo 54.- Se tiene un aro conductor, de resistencia R, parcialmente inmerso en uncampo magntico uniforme B i= −BÃ , como se muestra en la Figura 7.2. Si el aro es jalado ala derecha con velocidad uniforme u j= uÃ , calcule la corriente que circula en el aro.

B=-Bî

R

uIind

A

B

h

l

+

-

Figura 7.2

Al jalar el aro, los electrones en el segmento AB sienten una fuerza magntica dada por:

F u B j i kM = − ×( ) = − × −( )[ ] = −e e u B euBÃ Ã Ã

Y la fuerza por unidad de carga es:

f ks = −uB Ã

La fem se encuentra de (7.13):

E = • = −( ) •∫ ∫f l k ls d uB dÃ

La nica parte de la trayectoria dl que produce un producto punto distinto de cero es elsegmento AB, de longitud h:



E = −( ) • = −∫ uB d uBhA

B

Ãk l

La corriente que circula en el aro ir en la direccin de las manecillas del reloj (los electronesse mueven en contra de las manecillas), y su magnitud se obtiene de la ley de Ohm circuital:

E = IR ⇒ I

R= E

I

uBhR

= (7.15)

Pero sabemos que una fuerza magntica no puede efectuar trabajo, y el hacer circular unacorriente obviamente representa un trabajo (si no hubiese prdidas por efecto Joule, lacorriente circulara indefinidamente sin aplicar energa). El trabajo lo tiene que realizarentonces el agente que proporciona el movimiento. Al haber una corriente, los electrones sedesplazan con una velocidad w; la suma de la velocidad a la que es jalado el aro, u, y lavelocidad de los electrones en el alambre, v, como se muestra en la Figura 7.3:

u

h

l

v w

β

Figura 7.3

La fuerza magntica sobre los electrones es:

F

i j k

j k j kM = − −−

= − +[ ] = − −[ ]e u vB

e Bv uB e Bv uB

Ã Ã Ã

Ã Ã Ã Ã0

0 0



Y la fuerza por unidad de carga es entonces:

f j k= − −Bv uBÃ Ã

El mecanismo jalando el aro tiene que efectuar trabajo en contra de la componente −Ãj de lafuerza magntica, esto es:

Wq

d Bv dl Bv dl Bvl= • = • = =∫ ∫ ∫f l j jÃ ÃDe la Figura 7.3 podemos deducir las siguientes relaciones:

l h= tanβ y v

u=tanβ

Por lo que el trabajo por unidad de carga realizado por el agente que jala el aro es:

Wq

Bvl Bu

h Buh= =

( ) =tan tanβ β

Que es igual en magnitud a la fuerza electromotriz.


7.4 LA LEY DE INDUCCION DE FARADAY

Tenemos otra forma de expresar la fuerza electromotriz. Refirindonos al ejemplo anterior,vemos que al jalar el aro fuera del campo, el rea del mismo en la regin de campo disminuye(si todo el aro est en la regin de campo, no hay corriente inducida). El flujo del campomagntico es:

B a• = =∫ ∫d Bhdy Bhl

Al mover el aro, el rea del aro en el campo cambia con el tiempo, por lo que el flujo cambiatambin:

ddt

dddt

Bhl Bhdldt

BhuB a• = =

= −∫Donde el signo negativo se debe a que la distancia l en la regin de campo decrece con el



tiempo (y dl/dt = u). Este resultado es idntico al obtenido en el Ejemplo 54, y podemosgeneralizar:

E = − •∫ddt dB a (7.16)

Esta expresin es conocida como la Ley de Induccin de Faraday, que podemos expresaren estas palabras: La variacin temporal del flujo del campo magntico induce una diferenciade potencial (un campo elctrico).

La direccin de la diferencia de potencial est determinada por la Ley de Lenz: La feminducida tiene la direccin requerida para que se oponga al cambio que la est produciendo.Esto es consecuencia de la conservacin de energa, como veremos en los ejemplossubsecuentes.

Antes de ejemplificar estas leyes, sin embargo, es recomendable analizar qu pasa con elrotacional del campo elctrico cuando tenemos variaciones temporales. Inicialmentepodemos definir a E como la integral de lnea de un Òcampo elctrico inducidoÓ, EIND:

E = • = − •∫ ∫E l B aIND d ddt d

Y usando el Teorema del Rotacional tenemos:

E l E a B a B aIND INDd d

ddt

dt

d• = ∇ × • = − • = − •∫ ∫ ∫ ∫ ∂∂Y ya que la superficie definida por da es la misma, tenemos:

∇ × = −E BIND t

∂∂

Podemos usar superposicin para sumar los dos campos elctricos; el electrosttico (EES) yel inducido:

E E E= +ES IND

El rotacional de este campo es:

∇ × = ∇ × +( ) = ∇ × + ∇ × = + ∇ ×E E E E E EES IND ES IND IND0



Por lo que podemos concluir, en general:

∇ × = −E B∂

∂t(7.17)

Esta es la Ley de Faraday, y es la generalizacin del rotacional del campo elctrico, ahoraincluyendo la dependencia temporal. Obviamente, si no hay variacin temporal, laexpresin se reduce a ∇ × =E 0 .

Es importante recalcar que es la variacin temporal del flujo magntico lo que induce uncampo elctrico. Podemos pensar en situaciones en que el campo sea constante, pero el reano, o en situaciones en que el campo y el rea no varen con el tiempo, pero el productopunto en la definicin del flujo s. Como ejemplo de este ltimo caso vale la pena mencionarel dinamo; en ste, el rea del lazo de corriente (embobinado) es constante, y el campomagntico se obtiene de un imn permanente, pero al girar el embobinado cambia elproducto punto con el tiempo, generndose as una fem.

Ejemplo 55.- Se tiene un aro rectangular, coplanar al plano xy, de resistencia R, y centradoen el origen. En esta regin existe un campo magntico que vara con el tiemposinusoidalmente: B k( ) ( )

Ãt B sen to= ω . Calcule la direccin y magnitud de la corrienteinducida en el aro.

z

y

x

B(t)

dl

da

Figura 7.4

Si tomamos el elemento diferencial de rea d daa k= Ã , entonces dl ir en contra de lasmanecillas del reloj (de la regla de la mano derecha: el pulgar apunta en direccin de dl



positiva y los otros dedos en direccin de da positiva). El flujo del campo magntico es:

B a k k( ) ( ) Ã Ã ( ) ( )t d B sen t da B sen t da AB sen to o o• = • = =∫ ∫ ∫ω ω ω

Donde A es el rea del aro. La variacin temporal del flujo es:

ddt

t dddt

AB sen t A B to oB a( ) ( ) cos( )• = ( ) =∫ ω ω ωY la corriente inducida en el aro es entonces:

I

R Rddt

t dA B t

Rindo= = − •

= −∫E 1 B a( ) cos( )ω ω

Que se puede escribir:

I t I tind o( ) cos( )= − ω

Con:

I

A BRo

o= ω

Para determinar exactamente la direccin de la corriente, podemos analizar el problema porcuadrantes:

Primer cuadrante: 0

2≤ ≤ω πt

En este cuadrante, el campo es positivo y est aumentando, por lo que el flujo magntico espositivo y la derivada temporal del flujo tambin es positiva. El flujo del campo magnticogenerado por la corriente inducida se debe oponer al cambio temporal del flujo inicial deacuerdo a la Ley de Lenz, por lo que tendr que ir en direccin de las manecillas del relojÑen dl negativo.

Segundo cuadrante:

π ω π2

≤ ≤t

El campo magntico sigue siendo positivo, pero la derivada temporal del flujo es negativa yaque en este cuadrante el campo disminuye de su valor mximo a cero. La corriente inducidatendr que ir en direccin de dl Ñen contra de las manecillas del reloj.



Tercer cuadrante: π ω π≤ ≤t 3

2

En esta parte del ciclo, el campo es negativo, variando de cero a su valor mximo negativo,por lo que la derivada temporal del flujo ser negativa y la corriente inducida ir en contra delas manecillas del reloj.

Cuarto cuadrante:

32

2π ω π≤ ≤t

El campo es todava negativo, pero la derivada temporal del flujo es ahora positiva, por loque la corriente inducida ir en direccin de las manecillas del reloj.

En conclusin, la corriente inducida est 90¡ fuera de fase con respecto al campo magntico,como se ilustra en la Figura 7.5.

0 90 180 270 360ωt (¡)

B

Iind

0

Bo

-Io

Figura 7.5




La Ley de Lenz es consecuencia de la conservacin de energa. Si por ejemplo, en el primercuadrante la corriente inducida fuese en direccin de dl Ñen contra de las manecillas delrelojÑ, el flujo a travs del aro aumentara, por lo que aumentara la corriente inducida, queaumentara el flujo, etc. Tendramos as un mecanismo que al aplicar una pequea cantidadde energa nos regresara una cantidad infinita, ya que Iind → ∞.

Ejemplo 56.- Antena de ferrita. Se tiene un solenoide ideal de seccin uniforme de reaA, formado por N vueltas de alambre sobre un material de permeabilidad µ. Calcule la feminducida si el solenoide se expone a un campo magntico que vara con el tiempo, y estorientado a lo largo del eje del solenoide.

La variacin temporal del flujo del campo magntico es:

ddt

t dddt

NB t da NAdBdt

B a( ) ( )• = =

∫ ∫

Y la fem inducida es:

E = − • = −

∫ddt t d NA dBdtB a( )

Este es el principio de operacin de una antena para AM (antena de ferrita), que es unsolenoide con ncleo de ferrita (para minimizar corrientes parsitas). El campo dentro delsolenoide ser varios cientos de veces mayor al campo en el espacio libre, y la fem inducidaser mayor mientras ms vueltas de alambre tenga el solenoide. Si la antena est expuesta auna onda electromagntica, el campo magntico de la onda induce una diferencia de potencialen los extremos de la antena, que se amplifica subsecuentemente.


7.5 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

La corriente de desplazamiento es consecuencia de la variacin temporal de un campoelctrico. Maxwell la introdujo al darse cuenta que la Ley de Ampere era inconsistente, ydesde entonces, esta relacin se conoce como a Ley de Ampere-Maxwell.

De la ecuacin de continuidad tenemos:

∇ • = −J ∂ρ

∂t



Y de la Ley de Ampere:

∇ × =H J

Tomando la divergencia en ambos lados:

∇ • ∇ ×( ) = ∇ • = −H J ∂ρ∂t

Pero sabemos que la divergencia de un rotacional es siempre cero, y la expresin anterior nosdira entonces que la variacin temporal de la densidad de carga es siempre cero, lo que no eslgico ya que podemos pensar en muchas situaciones en las que no es cierto. Para corregirla,se intoduce la densidad volumtrica de corriente de desplazamiento, JD:

∇ × = +H J JD (7.18)

Si tomamos la divergencia a ambos lados de esta expresin tenemos:

∇ • ∇ ×( ) = ∇ • +( ) =H J JD 0

Y evidentemente:

∇ • = −∇ • =J JD t

∂ρ∂

Ya que la densidad volumtrica de carga libre est relacionada a la divergencia del vectordesplazamiento por la Ley de Gauss, podemos escribir:

∇ • = ∇ •( ) = ∇ •J D DD t t

∂∂

∂∂

De donde identificamos:

J

DD t

= ∂∂

(7.19)

Y de esta definicin vemos el origen del nombre de la corriente de desplazamiento. La ley deAmpere-Maxwell es entonces:

∇ × = +H J D∂

∂t(7.20)



Y en forma integral:

H l I I• = +∫ d enc Denc (7.21)

En pocas palabras, la variacin temporal del vector desplazamiento induce un campomagntico.

Ejemplo 57.- Se tiene un capacitor de placas paralelas, circulares, de radio R, separadas unadistancia d, como se ilustra en la Figura 7.6. El capacitor est inicialmente descargado, y secarga a una razn constante dQ/dt. Calcule la corriente de desplazamiento en el capacitor.

z

y

x

I II I

IIIi=dQ/dt

d

R

Figura 7.6

En el caso esttico, el vector desplazamiento entre las placas del capacitor, en el espaciolibre es:

D E j j= = =ε σ

πo

Q

RÃ Ã

2

En esta expresin se supone que la carga est uniformemente distribuida en las placas.Podemos usar la misma expresin en el caso dinmico, siempre y cuando la carga estuniformemente distribuida. Esto se cumple si la razn a la que se carga el capacitor, dQ/dt,es lenta comparada con el tiempo de relajacin dielctrica; ε/σ. La corriente de



desplazamiento es entonces:

I J a

Da j jD D d

ddt

dddt

Q

Rda

R

dQdt

RdQdt

= • = • =

• =

=∫ ∫ ∫ π π π2 2 21Ã ÃQue es lo que esperamos para que se cumplan las Leyes de Kirchoff. Podemos obtener msinformacin de este ejemplo:

Podemos cargar al capacitor conectndolo a una fuente que suministre una corrienteconstante i=dQ/dt. Despreciando efectos de borde, sabemos que el vector H escircunferencial al alambre (al eje y). Usando un lazo amperiano en las regiones I obtenemos,de la Ley de Ampere-Maxwell:

H l I I I• = + = = =∫ d i dQdtenc Denc enc

Ya que la corriente de desplazamiento es cero en esta regin.

En la regin II, con un lazo amperiano de radio mayor a R (z>R):

H l I I I• = + = =∫ d dQdtenc Denc Denc

Y si el radio es menor a R (z²R), regin III:

H l I J a

Da j j• = = • = • =

• =

=

∫ ∫ ∫ ∫d d ddt d ddt QR da R dQdt z zR iDenc D π π π2 2 2

21Ã Ã

Ya que:

H l• =∫ d H z( )2π

La magnitud del vector H, en cada una de las regiones, es:

I H

iz

=2π

II H

Iz

iz

D= =2 2π π



III H

Iz z

zR

iiz

RD= =

=2

12 2

2

2π π π

H tiene el mismo valor en las regiones I y II, pero la fuente del campo magntico es distinta.En el primer caso, son cargas en movimiento en los alambres, mientras que en II, es lavariacin temporal del vector desplazamiento.


La corriente de desplazamiento es fundamental para la radiacin de ondas electromagnticas,pero complica las matemticas. Se pueden definir situaciones en que este trmino se puededespreciar comparado con la corriente libre; estas son situaciones cuasi-estticas. Nospodemos dar una idea de qu queremos decir con esto si analizamos un material LIH deconductividad σ y permitividad ε, al que le aplicamos un campo elctrico variable en eltiempo, E t E sen to( ) ( )= ω . La densidad de corriente libre est dada por (7.8):

J t E t E sen t J sen to( ) ( ) ( ) ( )max= = =σ σ ω ω

Por otro lado, la corriente de desplazamiento es:

J t

tE t E t k E t J tD o e o o D( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( )max= ( ) = − = − = −∂∂ ε ωε ω ω ε ω ω

Y la razn del valor mximo de la corriente libre al correspondiente de la corriente dedesplazamiento es:

JJ

Ek E kD

o

e o o e o

max

max= =σ

ω εσ

ω ε(7.22)

Para el cobre, por ejemplo, podemos tomar ke=2.78 y σ=5.88 X 107S, lo que nos da:

JJ

X

D

max

max

.= 2 39 1018

ω

En otras palabras, la frecuencia debe ser muy alta para que la corriente de desplazamientosea comparable a la corriente libre. Pero, en regiones donde slo existe la corriente dedesplazamiento (como entre las placas de capacitor del ejemplo anterior), no se puededespreciar.



7.6 CORRIENTE DE POLARIZACION

Al definir la corriente de desplazamiento, usamos:

J

DD t

= ∂∂

Si incluimos la forma ms general de D, sta es:

J E P

E PD o ot t t

= +( ) = +∂∂ ε ε∂∂

∂∂

(7.23)

El primer trmino a la derecha se conoce como la corriente de desplazamiento en e lespacio libre, mientras que el segundo es la corriente de polarizacin, que yamecionamos en conexin con la ecuacin de continuidad en (5.22). Como fuentes delcampo elctrico tenemos dos; las densidades de carga libre y las de carga de polarizacin.Para el campo magntico, tenemos tres fuentes; las densidades de corriente libre, las decorriente de magnetizacin y la corriente de desplazamiento, que a su vez se puede expresaren estos dos trminos.

7.7 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL

Al definir el potencial escalar en el Captulo 2 nos basamos en el hecho que el rotacional delcampo electrosttico es cero, pero ahora vemos que en el caso dinmico, el rotacional delcampo elctrico es el negativo de la derivada temporal del campo magntico, yaparentemente no podemos definir un potencial escalar. Sin embargo, s podemos definir alcampo elctrico en trminos de un potencial escalar y el potencial vectorial. De la Ley deFaraday:

∇ × + =E B∂

∂t0

Y expresando el campo magntico en trminos del potencial vectorial, B A= ∇ × :

∇ × + ∇ × = ∇ × + ∇ ×

= ∇ × +

=E A E A E A∂∂

∂∂

∂∂t t t

0

Y podemos definir al trmino entre parntesis como el negativo del gradiente de una funcinescalar, V:

−∇ = +V

tE

A∂∂

(7.24)



El campo elctrico es entonces:

E r

A( , )t V

t= −∇ − ∂

∂(7.25)

En el caso general, cuando el campo depende de las coordenadas espaciales y el tiempo, lopodemos determinar de un potencial escalar y de la derivada temporal del potencialvectorial. Si A no es funcin del tiempo, el campo tampoco lo ser, y se puede calcularnicamente del potencial escalar. Pero, Àqu si el potencial escalar es funcin del tiempo? SiV es funcin del tiempo, se induce un campo magntico funcin del tiempo y por lo tanto elpotencial vectorial tambin ser funcin del tiempo (distinto de cero). En otras palabras, sitenemos un campo, elctrico o magntico, que vara con el tiempo, necesariamentetendremos el otro, como se puede ver de las leyes de Faraday y de Ampere-Maxwell.

7.8 INDUCTANCIA PROPIA

Si en un inductor cualquiera hacemos circular una corriente que vara con el tiempo, el campomagntico en el inductor tambin ser funcin del tiempo, por lo que el flujo del campomagntico variar con el tiempo, y una fem se inducir en los extremos del inductor. Estafem hace que circule una corriente inducida en el inductor, iind. La magnitud de iind serproporcional a la variacin de la corriente original, y para cumplir con la ley de Lenz estaren direccin opuesta. Si consideramos un solenoide ideal, que lleva una corriente I(t), lamagnitud del campo es:

B t nI t( ) ( )= µ

Y el flujo del campo es:

B a( ) ( )t d nI t NA• = [ ][ ]∫ µ

Donde N es el nmero total de vueltas, n es el nmero de vueltas por unidad de longitud(n=N/l), y A es el rea seccional de cada vuelta. La fem inducida es:

E = − • = −[ ]∫ddt t d nNA I ttB a( ) ( )µ ∂∂

E = −

LI t

t∂

∂( )

(7.26)

La constante de proporcionalidad, L, se conoce como la inductancia propia del solenoide, oinductor. La unidad fundamental de la inductancia es el Henry, definido por:



H

Nm

A

JsCA

VsA

= = =2

(7.27)

El signo negativo nos indica que la diferencia de potencial inducida en los extremos delsolenoide genera una corriente que se opone a la original. Sumando estas corrientesvectorialmente encontramos entonces que la resultante es menor conforme aumenta la raznde cambio de la corriente original. Esto lo podemos representar por una reactanciainductiva, XL, dada por:

X j LL = ω (7.28)

Donde j = −1 . Un capacitor presenta una reactancia capacitiva, que se encuentra de:

X

j CjCC

= = −1ω ω

(7.29)

Al aumentar la frecuencia, la impedancia de un inductor aumenta, mientras que la de uncapacitor disminuye.

La inductancia depende nicamente de factores geomtricos. Para el inductor ideal, sta es:

L nNA

N Al

n lA= = =µ µ µ2

2 (7.30)

Vemos de esta expresin que la inductancia ser mayor mientras mayor sea el volumen delsolenoide (Al), mientras ms vueltas por unidad de longitud tenga, y mientras mayor sea lapermeabilidad del ncleo.

Podemos obtener otras relaciones con la inductancia. De la Ley de Faraday:

− •( ) = −

∫ ∂∂ ∂∂t t d L I ttB a( ) ( )

B a( ) ( ) ( )t d B t A LI t• = =∫ (7.31)

B t

LI tA

( )( )= o

L

B t AI t

= ( )( )

Conociendo la inductancia (que se puede medir usando un puente de impedancias),calculamos el campo, o alternativamente, conociendo el campo, podemos obtener la



inductancia.

La diferencia de potencial inducida en los extremos del inductor ser mayor mientras msrpido vare la corriente. En la casa hemos observado muchas veces esta fem inducida alapagar un interruptor: observamos que hay una chispa dentro del apagador; sta se debe aque al interrumpir la corriente, su variacin temporal es grande, lo suficiente para ionizar elaire y formar un arco entre los electrodos del apagador. Observaremos algo similar si al estaroperando un aparato electrodomstico en base a resistencia (que tiene una inductanciaasociada) como sera una plancha, tostador, hornilla elctrica, etc., lo desconectamossbitamente: hay una descarga en arco entre la clavija y el contacto, ya que el campoelctrico inducido es mayor al de rompimiento dielctrico del aire.

7.9 INDUCTANCIA MUTUA

Supongamos ahora que tenemos dos aros, y que por uno de ellos circula una corriente I1(Figura 7.7). Esta corriente produce un campo magntico, B1, y algunas de las lneas de B1pasan por la superficie delimitada por el aro 2. Si le llamamos Φ2 al flujo de B1 a travs delaro 2:

Φ2 1 2= •∫B ad

B1

da2

dl1

dl2E 2

I1

ξ

Figura 7.7



Si la corriente I1 vara con el tiempo, Φ2 tambin lo hace, y por la Ley de Faraday se induceuna diferencia de potencial en el aro 2, que genera una corriente inducida en el segundo aro.Para una geometra arbitraria, el campo magntico B1 est dado por:

B

I1

1

4= ×∫µπ ξo Ãξ2

Y el flujo a travs del aro 2 es:

Φ2 1 24= ×

•∫∫ µπ ξo dI aÃξ2Esta integral es por lo general difcil de evaluar analticamente, a no ser para geometras muysimples. Sin embargo, notamos que el flujo a travs del rea 2 es proporcional a la corrienteI1:

Φ2 21 1= M I (7.32)

La constante de proporcionalidad, M21, es la inductancia de los dos aros o la inductanciamutua. Podemos encontrar una relacin para la inductancia mutua haciendo uso delpotencial vectorial:

Φ2 1 2 1 2 1 2= • = ∇ ×( ) • = •∫ ∫ ∫B a A a A ld d d

Donde usamos el Teorema del Rotacional para el ltimo paso. El potencial A1 est dadopor:

A l1

114

= ∫µπ ξo I dSubstituyendo en la expresin para Φ2:

Φ2 1 1 24=

•∫∫ µπ ξo I d dl l

El vector ξ es el que va del elemento dl1 al elemento dl2. Si suponemos que la corriente I1no tiene dependencia espacial, podemos escribir:



Φ2 1 1 2 1 2 14 4=

• = •

∫∫ ∫∫µπ ξ µπ ξo oI d d d d Il l l l

Y comparando con la expresin (7.32), vemos que:

Md do

211 2

4= •

∫∫µπ ξl l

Adems, notamos que si hacemos un anlisis similar para obtener el flujo a travs del aro 1debido a la corriente I2 circulando en el 2, obtenemos:

Md do

122 1

4= •

∫∫µπ ξl l

Y ya que el producto punto es conmutativo, tenemos que concluir:

M M M12 21= = (7.33)

La inductancia mutua es entonces:

Md do= •

∫∫µπ ξ4 1 2l l (7.34)

Esta expresin es conocida como la frmula de Neumann. Desafortunadamente, como elEjemplo 58 nos indica, es difcil de resolver an en casos de geometra muy simple. Eseejemplo, y el siguiente, nos ensean formas de obtener la impedancia mutua sin calcularladirectamente de (7.34).

La fem inducida en un aro debida a una corriente en el otro es:

E 2 1= −M

dIdt

y E 1 2= −M

dIdt

Ejemplo 58.- Calcule la inductancia mutua entre dos aros circulares de radios R1 y R2,coaxiales, coplanares al plano xy y separados una distancia z, como se muestra en la Figura7.8.



da2

dl1

dl2E 2

I1

ξ

z

y

x

R1

R2

r2

r1

Figura 7.8

Trataremos de obtenerla directamente de la frmula de Neumann (7.34):

Md do= •

∫∫µπ ξ4 1 2l l

De la figura podemos deducir las siguientes relaciones:

d R sen dl i j1 1 1 1 1= − +( )φ φ φÃ cos Ã

d R sen dl i j2 2 2 2 2= − +( )φ φ φÃ cos Ã

d d R R sen sen d dl l1 2 1 2 1 2 1 2 1 2• = +( )φ φ φ φ φ φcos cos

d d R R d dl l1 2 1 2 1 2 1 2• = −( )cos φ φ φ φ

ξ = −r r2 1



r i j1 1 1 1= +( )R sencos Ã Ãφ φ

r i j k2 2 2 2= +( ) +R sen zcos Ã Ã Ãφ φ

ξ φ φ φ φ= − = −( ) + −( ) +r r i j k2 1 2 2 1 1 2 2 1 1R R R sen R sen zcos cos Ã Ã Ã

ξ φ φ φ φ= + + − +( )R R z R R sen sen12 22 2 1 2 1 2 1 22 cos cos

ξ φ φ= + + − −( )R R z R R12 22 2 1 2 1 22 cos

Substituyendo estos valores en la frmula de Neumann, tenemos:

MR R d d

R R z R R

o=−( )

+ + − −( )∫∫µπφ φ φ φ

φ φ

ππ

4 2

1 2 1 2 1 2

12

22 2

1 2 1 20

2

0

2

cos

cos

La integral no tiene solucin analtica, y se tiene que evaluar numricamente para casosparticulares. Podemos resolver el problema, sin embargo, si consideramos que uno de losaros es de dimetro mucho menor que el otro; por ejemplo R2



Ejemplo 59.- Se tienen dos solenoides coaxiales, el exterior de radio R2, N2 vueltas,longitud l2, y el interior de radio R1, N1 vueltas, longitud l1. Calcule el flujo a travs delsolenoide exterior debido a una corriente en el solenoide interior, considerando que l2>>l1.

En principio, resolvemos el problema si evaluamos:

Φ2 1 2= •∫B ad

Pero no podemos considerar el solenoide interior como uno ideal, ya que l2>>l1, y el flujodel campo magntico B1 no ser interceptado en su totalidad por el solenoide exterior. Sitratamos de evaluar la integral:

Md do= •

∫∫µπ ξ4 1 2l l

Para calcular el flujo de Φ2=N2MI1, tendremos ms dificultades que en el ejemplo anterior.Aparentemente no hay mucho que hacer, pero basndonos en el ejemplo anterior, lo que spodemos hacer es calcular el flujo magntico a travs del solenoide interior, haciendocircular una corriente I2 en el exterior, y considerarlo como uno ideal. As, B2 ser uniformedentro del solenoide interior:

Φ1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2= • = = ( ) =∫B ad B N A n N A I N MIoµ

De donde reconocemos la inductancia mutua como:

M n Ao= µ 2 1

Y el resultado al problema original es entonces:

Φ2 2 1 2 2 1 1= = ( )N MI n N A Ioµ


7.10 EL TRANSFORMADOR

El mejor ejemplo de la aplicacin prctica de la inductancia mutua es el transformador. Estedispositivo se hace con dos (o ms) embobinados distintos sobre un solo ncleo, por lo



general de fierro o ferrita. El transformador es de gran importancia en la electrnica y laelectricidad, y prcticamente todo aparato electrnico tiene al menos uno. En la transmisinde corriente elctrica, es fundamental, como veremos en el Ejemplo 60. Empezaremos con ladescripcin del transformador ideal, para despus incluir los efectos que se presentan en undispositivo real.

7.10.1 EL TRANSFORMADOR IDEAL

Un transformador ideal es aquel que no presenta prdidas de energa por corrientesparsitas, y en el que todo el flujo producido por un embobinado es interceptado por elotro. Llamaremos a los embobinados primario, con N1 vueltas, y secundario, con N2vueltas (Figura 7.9).

primario

secundarioN1

N2

ncleo

V1 V2

Figura 7.9

Al considerar que todo el flujo de un embobinado es interceptado por el otro, estamosdiciendo que el flujo a travs de cada vuelta de cada embobinado es exactamente el mismo(Φ1=Φ2=Φ), por lo que las fems inducidas en primario y secundario son:

V N

ddt1 1 1

= = −E Φ

y V N

ddt2 2 2

= = −E Φ

Resolviendo stas para la variacin temporal del flujo encontramos la razn de lasdiferencias de potencial en primario y secundario:

VV

NN

1

2

1

2= (7.36)

Variando la razn de vueltas, podemos obtener un transformador que aumente o disminuyael voltaje, hecho donde radica la importancia del transformador. Pero el transformador es unelemento pasivo, y no puede proporcionar ms potencia en el secundario que la provista enel primario (por conservacin de energa). En el transformador ideal, la potencia en el



secundario es igual a la potencia en el primario:

P V I V I P1 1 1 2 2 2= = = (7.37)

Resolviendo para la razn de las corrientes:

II

NN

1

2

2

1= (7.38)

Esto lo podemos ver desde otro punto de vista: si conectamos una resistencia R en el

secundario, se pierde energa a razn de I R22

2 , y esta potencia debe ser provista por elprimario; V1I1. Si el transformador est conectado a una fuente de voltaje ideal, V1 nopuede cambiar, por lo que la corriente I1 tendra que variar para suministrar la energarequerida por el secundario. Suponiendo que todo el flujo de un embobinado es interceptadopor el otro tenemos:

Φ Φ1 1 1= = N MI y Φ Φ2 2 2= = N MI

Al resolver para las razones de corriente obtenemos (7.38). Un transformador tambin sepuede utilizar como un igualador de impedancias. Esto es prctico ya que al igualar lasimpedancias, se obtiene la mxima transferencia de potencia. Dado que la corriente en elsecundario es determinada por la resistencia de carga, R:

I

VR2

2=

Usando:

I I

NN2 1

1

2=

y V V

NN2 1

2

1=

I

NN

VR

NN1

1

2

1 2

1

=

Resolviendo para la diferencia de potencial en el primario:

V R

NN

I11

2

2

1=



El primario ve una resistencia equivalente:

R R

NNeq

=

1

2

2

(7.39)

Ejemplo 60.- La energa elctrica para consumo domstico o industrial se transporta enforma de corriente alterna, debido principalmente a que es fcil generar corriente alterna conun generador haciendo uso de la ley de Faraday, pero principalmente a que se puedenreducir las prdidas por efecto Joule al transmitirla de esta manera. Pongamos por ejemploque una planta generadora de electricidad quiere transmitir 100 kW una distancia de 10 km,usando cable de cobre de 26mm de dimetro.

La potencia recibida en el destino (PF) ser la potencia a la que es mandada la energa (PI)menos las prdidas por efecto Joule en el cable:

P P I RF I= −2

La resistencia del cable se obtiene de:

R

lA

= ρ

Donde l es la longitud del cable y A el rea seccional. En este ejemplo podemos considerarque la corriente se distribuye en todo el cable, aunque ms adelante veremos que slo viajaen la superficie, en un espesor determinado de la Òprofundidad de pielÓ. As, A=5.309 X10-4 m2, y la resistividad del cobre es ρ=1.7 X 10-8 ½m, por lo que la resistencia del cablees:

R l X m= ( )−3 202 10 5. / Ω

Si la transmisin se hace en corriente directa, a 100 volts por decir algo, la corriente seraI=1,000A, y las prdidas por efecto Joule seran:

I R l X A X m l W m2 6 2 51 0 10 3 202 10 32 02= ( )( ) = ( )−. . / . / Ω

Ya que la mxima potencia que se puede perder es la inicial, se podra transmitir esta energauna distancia:

l

WW m

m km= = =100 00032 02

3 123 3 123,

. /, .



Las prdidas por efecto Joule dependen del cuadrado de la corriente, por lo que es deseablereducir esta cantidad. Esto se puede hacer con un transformador, transmitiendo la energa enforma de corriente alterna. Supongamos que la planta tiene un transformador que eleva elvoltaje a 100,000 V para transmitirla con 1 A de corriente. Las prdidas por efecto Jouleson en este caso:

I R l A X m l X W m2 2 5 51 0 3 202 10 3 202 10= ( )( ) = ( )− −. . / . / Ω

Y la distancia a la que se puede transmitir la potencia total es:

l

W

X W mX m X m= = =

−100 000

3 202 103 123 10 3 123 10

59 6,

. /. .

k

Al transmitir 100 kW una distancia de 10 km, las prdidas son:

I R km X W m W2 510 3 202 10 0 3202= ( )( ) =− . / .

Es decir, en el destino se recibe prcticamente toda la potencia inicial.

Al llegar al destino, se tiene un transformador que baja el voltaje a valores aceptables para elconsumo, elevando a la vez la capacidad de manejo de corriente de la lnea. Si en este caso,el voltaje se baja a 100V, la lnea podr suministrar 1,000A.


Es evidente que al aumentar el voltaje se reducen las prdidas, pero no se puede aumentararriba del voltaje de rompimiento dielctrico. En los cables de transmisin, ste estar dadopor la separacin de los cables, y en el transformador por la separacin entre los alambresdel embobinado y la permitividad dielctrica del aislante.

7.10.2 EL TRANSFORMADOR REAL

En la prctica, no todo el flujo de un embobinado es interceptado por el otro, y no toda lapotencia del primario se transfiere al secundario, ya que en un transformador real se tienenprdidas por corrientes parsitas en el ncleo.

Nos podemos dar una idea de estas corrientes si colocamos una placa conductora en uncampo magntico variable con el tiempo, mostrada en la Figura 7.10a. El campo magnticoinduce un campo elctrico en la placa, que hace circular una corriente (iind), que a su vezgenera un campo magntico que se opone al cambio del flujo con el tiempo; si B(t) estaumentando en magnitud dirigido a lo largo del eje x negativo, la corriente inducida ir encontra de las manecillas del reloj, formando trayectorias cerradas (por esto, tambin se



conocen como Òcorrientes en remolinoÓ). La carga circulando en la placa sufre colisiones, yhay prdidas de energa por efecto Joule (la energa se disipa en forma de calor, por lo que secalienta la placa). Si se reduce el rea de la placa, la trayectoria de la corriente inducida esmenor, y por lo tanto se reducen las prdidas. Una forma de hacerlo es cortar la placa enforma de peine, como se muestra en la Figura 7.10b. En un transformador real, los ncleosse hacen de lminas cortadas en esta forma, aisladas una de otra para disminuir an ms ladensidad de corriente. En aplicaciones de alta frecuencia se usan ncleos de ferrita paraminimizar las corrientes dado que las ferritas son de alta resistividad.

B=-Bî

a) b)

Figura 7.10

Otras prdidas de energa se presentan por la resistencia finita de los alambres de losembobinados. Adems, el transformador es dependiente de la frecuencia de operacin, dadoque existe capacitancia parsita entre cada capa de vueltas y cada embobinado tiene unainductancia propia. Un modelo para un transformador real se muestra en la Figura 7.11.

Las inductancias L1 y L2 representan la parte del flujo no interceptado por el otroembobinado; R1 y R2 son las resistencias de los embobinados; y C1 y C2 las capacitanciasde los mismos. La inductancia Lm es la asociada con el flujo de corriente en situacin decircuito abierto en el secundario.

Ya que las reactancias capacitiva e inductiva son:

X

i CC= 1

ωy X i LL = ω

A bajas frecuencias, la mayor parte de la energa se pierde en magnetizacin del ncleo ypor la capacitancia parsita, mientras que a altas frecuencias la mayora se pierde por efectosde las inductancias L1 y L2. As, los transformadores reales son diseados para operar enun cierto rango de frecuencia, considerando las impedancias del primario y del secundario.Tambin se presentan prdidas en el ncleo por el ciclo de histresis, ya que no toda la



energa usada para la magnetizacin se recupera (los dipolos magnticos son ÒgiradosÓ a lafrecuencia de operacin, y parte de la energa se disipa en forma de calor debido a colisionesde los dipolos). Para minimizar estas prdidas, un transformador debe ser diseado paraoperar en la regin lineal del ciclo y no en la de saturacin.

En transformadores de alta potencia, para disipar la energa se requiere de otro medio que elaire, y por lo general van inmersos en un lquido de alta conductividad trmica.

La potencia entregada al secundario por el primario en un transformador real se puedeexpresar:

P P2 1= η (7.40)

Donde η es el Òfactor de eficienciaÓ, y es una cantidad menor a uno. Dependiendo de laaplicacin (y el costo), un transformador se puede disear para tener η=0.99, pero en loscasos prcticos, el factor de eficiencia est alrededor de 0.8.

Transformador ideal

R2L2

C2

R1 L1

C1 Lm

Primario Secundario

Figura 7.11



7.11 ENERGêA Ñ CASO CUASI-ESTçTICO

Una inductancia se puede usar para almacenar energa en el campo magntico anlogamente acomo almacenamos energa en un capacitor en el campo elctrico. Podemos obtener unarelacin sencilla partiendo de la ley de Faraday:

E = • = −∫E lIND d L dI tdt( )

El campo inducido es no-conservativo, por lo que su integral en una trayectoria cerrada serdistinta de cero e indicar cunta energa se suministr al inductor por unidad de carga.Podemos despreciar el signo negativo ya que slo indica la direccin de la fem inducida.Para expresar esta relacin en una forma ms prctica, multiplicamos ambos lados porI(t)dt:

E lIND d I t dt L

dI tdt

I t dt LI t dI t•( ) = [ ] =∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )La cantidad I(t)dt es un diferencial de carga, dq, mientras que la integral de lnea del campoinducido es la cantidad de trabajo por unidad de carga:

E l E lIND INDd I t dt d dq dq

Wq

LI t dI t•( ) = •( ) = =∫ ∫( ) ( ) ( )El trmino dq(W/q) = dU es un diferencial de energa, por lo que:

dU LI t dI t= ( ) ( )

Si despreciamos prdidas por efecto Joule, la cantidad de trabajo realizada por el campoelctrico inducido se almacena en forma de energa en el campo magntico:

U dU LI t dI t LI tM = = =∫ ∫ ( ) ( ) ( )12 2 (7.41)En otras palabras, en un inductor podemos almacenar energa (en el campo magntico), de lamisma manera que en un capacitor podemos almacenar energa en el campo elctrico. Unadiferencia fundamental, sin embargo, es que el campo (o el flujo del campo magntico) debeser funcin del tiempo; si ΦM es constante con el tiempo, no hay una diferencia depotencial inducida en el solenoide y ste se comporta como un alambre.

Es ilustrativo expresar la densidad de energa en trminos del campo magntico. Partiendode (7.31):



LI t t d t d t d( ) ( ) ( ) ( )= • = ∇ ×[ ]• = •∫ ∫ ∫B a A a A l

Donde estamos usando el Teorema del Rotacional para el ltimo paso. Multiplicandoambos lados por (1/2)I(t), donde la corriente depende arbitrariamente del tiempo, podemosusar la definicin de energa (7.41):

U t d I t t t dlM = •[ ] = •[ ]∫ ∫12 12A l A I( ) ( ) ( ) ( )

sta se puede generalizar para distribuciones de corriente:

U t t dM = •[ ]∫12 A J( ) ( ) τ

Si consideramos situaciones cuasi-estticas, podemos usar la Ley de Ampere-Maxwell,despreciando el trmino de la corriente de desplazamiento:

U t t dM = • ∇ ×[ ]{ }∫12 A H( ) ( ) τ

Y usando la identidad (A.57) podemos expresar el integrando:

A H H A A H H B A H• ∇ ×[ ] = • ∇ ×[ ] − ∇ • × = • − ∇ • ×( ) ( )

Por lo que la energa es:

U d dM = •( ) − ∇ • ×[ ]∫ ∫12 12H B A Hτ τ( )

Usando el Teorema de la Divergencia, la segunda integral se puede transformar a una desuperficie:

U d dM = •( ) − × •∫ ∫12 12H B A H aτ ( )

Dado que A y H disminuyen al aumentar la superficie, si integramos sobre todo el espacio,



esta integral desaparece, quedando:

U dM

Todo

= •( )∫12 H B τ el

Espacio

Y obviamente es infinita, por lo que necesitamos definir la densidad de energa magntica:

u

d

M ≡

•( )= •

→

∫limτ

τ

τ0

12 1

2

H B

H B

uM = •

12H B (7.42)

La densidad de energa electromagntica es la suma de sta con (4.33):

u u uEM E M= + = • + •

12

12

D E H B (7.43)

7.12 ENERGIA Ñ CASO GENERAL

Se puede obtener una relacin general para la energa electromagntica partiendo de las leyesde Faraday y de Ampere-Maxwell, si multiplicamos la primera por el vector H a travs deun producto punto y la segunda por el campo elctrico tambin a travs de un productopunto, y le restamos la segunda a la primera:

H E H

B• ∇ ×( ) = − •

∂∂t

E H E J E

D• ∇ ×( ) = • + •

∂∂t

H E E H H

BE J E

D• ∇ ×( ) − • ∇ ×( ) = − •

− • − •

∂∂

∂∂t t

Usando (A.57) de nuevo reconocemos:

H E E H E H• ∇ ×( ) − • ∇ ×( ) = ∇ • ×( )



Y entonces:

∇ • ×( ) = − •

− • − •

E H HB

E J ED∂

∂∂∂t t

Integrando con respecto a volumen:

∇ • ×( ) = − •( ) − •

+ •

∫ ∫ ∫E H E J E D H Bd d t t dτ τ ∂∂ ∂∂ τ

Y usando el Teorema de la Divergencia para la integral en el lado izquierdo tenemos:

E H a E J E

DH

B×( ) • = − •( ) − •

+ •

∫ ∫ ∫d d t t dτ ∂∂ ∂∂ τ (7.44)

Esta expresin se conoce como el Teorema de Poynting. Las cantidades tienen unidadesde J/s=Watt, por lo que este teorema relaciona la potencia con los campos. Para ver larelacin ms claramente, podemos suponer que los medios son lineales, isotrpicos yhomogneos, de manera que:

E

DE D•

= •( )

∂∂

∂∂t t

12

HB

H B•

= •( )

∂∂

∂∂t t

12

Substituyendo en (7.44):

E H a E J E D H B×( ) • = − •( ) − • + •[ ]∫ ∫ ∫d d ddt dτ τ12 (7.45)

La ltima integral es la variacin temporal de la energa almacenada en los campos; la energaelectromagntica.

La segunda integral en (7.45) indica las prdidas de energa en el medio por efecto Joule. Siconsideramos al medio como hmico, podemos usar (7.8) para representar la densidad decorriente:

E J E E•( ) = •( ) =∫ ∫ ∫d d E dτ σ τ σ τ2 (7.46)

Y vemos que la disipacin de energa en el medio es directamente proporcional a laconductividad. Al mencionar los materiales ferrimagnticos en el Captulo 6 hicimoshincapi en su baja conductividad, y ahora podemos ver porqu.



La integral en el lado izquierdo de (7.45) es el flujo de energa por unidad de tiempo a travsde la superficie (da) que encierra el volumen dτ; representa la potencia que se puede obtenerde los campos una vez que se han considerado las prdidas en el medio. El integrando seconoce como el Vector de Poynting, definido por:

S E H= × (7.47)

El vector de Poynting tiene unidades de potencia por unidad de rea:

NC

Am

Nm

m CCs

Js m

W

m

=

=

=2 2 2

1 1

En el siguiente captulo veremos que el vector de Poynting apunta en la direccin depropagacin de una onda electromagntica.

7.13 LAS ECUACIONES DE MAXWELL

Durante lo que va del curso, hemos deducido y usado las ecuaciones de Maxwell, pero yaque son fundamentales para la Teora Electromagntica, les debemos dedicar una seccin eneste momento.

En su forma ms general, stas son:

∇ • =D ρ (7.48)

∇ × = −E B∂

∂t(7.49)

∇ • =B 0 (7.50)

∇ × = +H J D∂

∂t(7.51)

En forma integral, stas se escriben:

D a• =∫ ∫d dρ τ (7.52)

E l

Ba• = −

•∫ ∫d t d∂∂ (7.53)



B a• =∫ d 0 (7.54)

H l J a

Da• = • +

•∫ ∫ ∫d d t d∂∂ (7.55)Los campos estn relacionados a los vectores D y H por las ecuaciones de los materiales:

D E P= +εo (7.56)

H

BM= −

µo(7.57)

Y se requiere de una relacin funcional para P y M antes de poder obtener los campos. Entrminos de las fuentes de los campos, las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar:

∇ • = − ∇ •( )E P1ε ρo (7.58)

∇ × = −E B∂

∂t(7.59)

∇ • =B 0 (7.60)

∇ × = + ∇ × + +

B J ME Pµ ε ∂

∂∂∂o o t t

(7.61)

En el espacio libre (de cargas y corrientes):

P = 0 D E= εo

M = 0 H B= 1

µo

Y las ecuaciones de Maxwell son:

∇ • =E 0 (7.62)

∇ × = −E B∂

∂t(7.63)



∇ • =B 0 (7.64)

∇ × =B Eµ ε ∂

∂o o t(7.65)

Para medios lineales, isotrpicos y homogneos (LIH):

P E= ε χo e D E= ε

M H= χm H B= 1

µ

Y las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir para estos medios:

∇ • =E ρ

ε(7.66)

∇ × = −E B∂

∂t(7.67)

∇ • =B 0 (7.68)

∇ × = +B J Eµ µε ∂

∂t(7.69)

Y en las regiones donde no hay densidades de carga o corriente libre:

∇ • =E 0(7.70)

∇ × = −E B∂

∂t(7.71)

∇ • =B 0 (7.72)

∇ × =B Eµε ∂

∂t(7.73)

En todos los casos, notamos que las ecuaciones son diferenciales lineales, por lo quepodemos usar el principio de superposicin para obtener los campos.



En trminos de los potenciales escalar y vectorial, los campos son:

E

A= −∇ −Vt

∂∂

(7.74)

B A= ∇ × (7.75)

Con V V t= ( , )r , A A r= ( , )t . Usando stos, las ecuaciones de Maxwell en medios LIH setransforman a:

−∇ + ∇ •( ) =2V

t∂∂

ρε

A (7.76)

Que se reduce a la ecuacin de Poisson en el caso esttico, y:

∇ − − ∇ ∇ •( ) +

= −

22

2A

AA Jµε ∂

∂µε ∂

∂µ

t

Vt

(7.77)

Para obtener la solucin a cualquier problema, los campos deben satisfacer las ecuaciones deMaxwell, lo que implica caluclar al menos seis componentes; tres para E y tres para B (ylos correspondientes para D y H). En trminos de los potenciales, el problema se reduce aencontrar cuatro componentes; uno para V y tres para A. La reduccin en el trabajo es del33.3%, por lo que se prefiere usar las ecuaciones (7.76) y (7.77) para encontrar lospotenciales y de stos los campos usando (7.74) y (7.75). La siguiente seccin ilustra unamanera comn de resolver las ecuaciones en trminos de los potenciales.

7.14 TRANSFORMACIONES DE NORMA

Como hemos visto, el potencial escalar electrosttico est indefinido hasta en una constante;es decir, si tenemos dos potenciales distintos, que slo difieren en una constante,obtendremos el mismo campo electrosttico, ya que ste se obtiene del negativo delgradiente del potencial. El potencial vectorial est indefinido hasta un gradiente, ya que elcampo magntico se obtiene del rotacional del potencial magntico, y el rotacional de ungradiente es siempre cero. Ya que el campo electrodinmico se determina de ambospotenciales, de acuerdo con (7.25), podemos obtener el mismo campo a partir depotenciales escalar y vectorial distintos. Esto nos proporciona un grado de libertad ms enla solucin de las ecuaciones (7.76) y (7.77), ya que seleccionando juiciosamente laindefinicin en los potenciales las podemos transformar a formas ms fciles de manejar ointerpretar. Las manipulaciones vlidas se agrupan en Òtransformaciones de normaÓ, yaqu se presenta la regla general que estas transformaciones deben seguir.



Si partimos de dos potenciales escalares:

V y V V©= + β

Y de dos potenciales vectoriales:

A y A A©= + α

De manera que representen el mismo campo elctrico:

E

A= −∇ −Vt

∂∂

y E

A= −∇ −Vt

©©∂

∂

Y el mismo campo magntico:

B A= ∇ × y B A= ∇ × ©

Entonces el objetivo es encontrar los escalares β y los vectores α que satisfagan estascondiciones. De la ltima:

B A A A= ∇ × = ∇ × +( ) = ∇ × + ∇ ×© α α

Vemos que el vector α debe ser el gradiente de una funcin escalar, que llamaremos por lopronto γ:

α = ∇γ

Por otro lado, del campo elctrico encontramos:

E

A A A= −∇ − = −∇ − = −∇ − ∇ − −Vt

Vt

Vt t

∂∂

∂∂

β ∂∂

∂∂

©© α

Que slo se cumple si:

0 = ∇ + = ∇ + ∇

= ∇ +

β ∂∂

β ∂γ∂

β ∂γ∂

αt t t

Por lo que el argumento del gradiente:

β ∂γ

∂+

t

No puede ser una funcin de las coordenadas espaciales, aunque s del tiempo. Es



importante notar, sin embargo, que γ s es una funcin de la posicin, pero que al sumarlela derivada temporal de γ a β, se cancela la dependencia espacial. Podemos entonces definir:

f t

t( ) = +β ∂γ

∂

Resolviendo para β:

β ∂γ∂

∂∂

γ= − = −

∫f t t t f t dt( ) ( )

Donde estamos usando el Teorema Fundamental del Clculo para definir la integral. Sidefinimos una nueva funcin, ahora de posicin y tiempo:

ϑ γ( , ) ( )r t f t dt= − ∫

Entonces la funcin β es:

β ∂

∂ϑ( , ) ( , )r rt

tt= − (7.78)

Y notamos que la dependencia con las coordenadas espaciales en ϑ est nicamente incluidaen γ, por lo que:

∇ = ∇ϑ γ

Y por lo tanto, el vector α se define por:

α = ∇ϑ (7.79)

Por lo que la indefinicin en los potenciales est limitada a:

V V

t©= − ∂ϑ

∂(7.80)

A A©= + ∇ϑ (7.81)

Transformando los potenciales simultneamente, podemos cambiar de forma las ecuaciones(7.76) y (7.77) para resolverlas ms fcilmente sin perder validez. Las dos transformacionesms comunes son las siguientes:



7.14.1 LA NORMA DE COULOMB

En este caso, se selecciona ϑ de manera que ∇ • =A 0, al igual que en magnetosttica. Lasecuaciones (7.76) y (7.77) son entonces:

−∇ =2V ρ

ε

∇ − + ∇

= −22

2A

AJµε ∂

∂∂∂

µt

Vt

La primera se reduce a la Ecuacin de Poisson, pero en contraste con el caso esttico, nodefine completamente al campo elctrico.

7.14.2 LA NORMA DE LORENTZ

En esta transformacin se selecciona ϑ de manera que la divergencia de A sea:

∇ • = −A µε ∂

∂Vt

Con lo que las ecuaciones a resolver se reducen a:

∇ − = −2

2

2V

V

tµε ∂

∂ρε

∇ − = −2

2

2A

AJµε ∂

∂µ

t

La ventaja clara de esta transformacin es que las ecuaciones son isomrficas, y al tener elresultado de una obtenemos el de la otra con la correcta substitucin de signos. De estanorma se define el operador dÕAlambert, que acta en 4 coordenadas; tres espaciales y eltiempo:

o2 2

2

2≡ ∇ − µε ∂

∂t(7.82)



7.15 RESUMEN

En este captulo obtuvimos la forma general para las ecuaciones de Maxwell, aplicables a loscasos en que los campos, los potenciales, o las densidades de carga o corriente seanfunciones del tiempo, o de las coordenadas espaciales y el tiempo. Estas son:

∇ • =D ρ (Ley de Gauss)

∇ × = −E B∂

∂t(Ley de Faraday)

∇ • =B 0 (sin nombre)

∇ × = +H J D∂

∂t(Ley de Ampere-Maxwell)

De stas vemos que la variacin temporal del campo magntico induce un campo elctrico, yque la variacin temporal del campo elctrico induce un campo magntico, por lo que altener un campo que vara con el tiempo, necesariamente tendremos el otro; es decir, en elcaso dinmico siempre tendremos los dos campos.

En un conductor, parte de la energa que se suministra para mover las cargas se disipa enforma de calor, que aqu llamamos globalmente prdidas por efecto Joule. As, la corrienteen un material es constante para un campo elctrico constante, ya que los portadores semueven a velocidad constante. Esto est expresado en la Ley de Ohm:

J E v B= + ×( )[ ]σ d

La constante de proporcionalidad es la conductividad del medio, y su inverso es laresistividad; ρ. Adems de la velocidad de deriva, los portadores se mueven por efectos dela temperatura a una Òvelocidad trmicaÓ, que es aleatoria en direccin y estadsticamente sepromedia a cero. En muchos de los casos, la velocidad trmica es varios rdenes demagnitud mayor a la de deriva, y se puede despreciar el trmino magntico de la ley de Ohm,para expresarla:

J E= σ

Que evidentemente es la forma vlida tambin cuando el campo magntico es despreciable.Para muchos materiales, llamados hmicos, la ley de Ohm se puede escribir en funcin delpotencial aplicado y la corriente:

V IR=

Y esta expresin se conoce como la Ley de Ohm Circuital. La resistencia de la muestra, R,depende de factores geomtricos y las propiedades del medio.



Si el flujo del campo magntico vara con el tiempo, se induce una diferencia de potencialÑllamada fuerza electromotriz o femÑ, que hace que circule una corriente. La direccin dela corriente inducida ser a manera de oponerse a la causa que la origina, de acuerdo con laLey de Lenz.

En regiones donde el vector desplazamiento depende del tiempo, se define la Òcorriente dedesplazamientoÓ, y es otra fuente del campo magntico. sta se puede sub-dividir en lacorriente de desplazamiento en el espacio libre y la corriente de polarizacin.

En el caso dinmico, el campo elctrico no est totalmente definido por un potencial escalar,sino que tambin hay que considerar al potencial vectorial:

E r

A( , )t V

t= −∇ − ∂

∂

Al tener una corriente variable con el tiempo en un solenoide, se induce una diferencia depotencial en los extremos del mismo, lo que induce una corriente en direccin opuesta a laoriginal. La constante de proporcionalidad entre la diferencia de potencial y la corrienteinducida es la Òinductancia propiaÓ:

E = −

LI t

t∂

∂( )

La unidad de L es el Henry, definido por:

H

Nm

A

JsCA

VsA

= = =2

Tambin, si tenemos una corriente variable con el tiempo en un circuito, se induce unadiferencia de potencial en otro circuito cercano. Si la corriente se hace circular en el segundocircuito, se induce una diferencia de potencial en el primero. La constante deproporcionalidad es la Òinductancia mutuaÓ, y es igual para ambos circuitos. sta se puedecalcular de la frmula de Neumann:

Md do= •

∫∫µπ ξ4 1 2l l

La aplicacin ms comn de la inductancia mutua es en el transformador; un dispositivo quecambia el voltaje siempre y cuando ste dependa del tiempo. El transformador esprincipalmente til en la transmisin de energa elctrica, ya que se pueden minimizar lasprdidas por efecto Joule en los cables al elevar el voltaje y reducir la corriente.



Un inductor almacena energa en el campo magntico:

U LI tM =

12

2( )

Pero en general, siempre que haya un campo magntico que vara con el tiempo podemosdefinir una densidad de energa:

uM = •

12H B

El Teorema de Poynting relaciona las densidades de energa (elctrica y magntica), y lasprdidas de la misma por efecto Joule, con el flujo de energa:

E H a E J E

DH

B×( ) • = − •( ) − •

+ •

∫ ∫ ∫d d t t dτ ∂∂ ∂∂ τ

Para medios lineales, isotrpicos y homogneos, esta expresin se reduce a:

E H a E J E D H B×( ) • = − •( ) − • + •[ ]∫ ∫ ∫d d ddt dτ τ12

La cantidad S E H= × se define como el Vector de Poynting, e indica la densidad de flujo deenerga por unidad de tiempo por unidad de rea; es decir, la potencia por unidad de rea.

Ya que los potenciales estn indefinidos Ñel escalar hasta en una constante, y el vectorialhasta en un gradienteÑ se pueden manipular matemticamente para obtener la solucin a lasecuaciones de Maxwell. Las transformaciones que dejan a las ecuaciones de Maxwellincvariantes se agrupan en ÒTransformaciones de NormaÓ, de las cuales las dos mscomunes son la norma de Coulumb y la norma de Lorentz.

7.16 EJERCICIOS

7.1 Deduzca una relacin para la variacin temporal de la densidad volumtrica de cargalibre en un medio LIH de permitividad ε y conductividad σ a partir de las ecuacionesde Maxwell y la Ley de Ohm, despreciando el trmino con el campo magntico.

7.2 En relacin al Ejemplo 54, calcule la cantidad de energa que es disipada por laresistencia del aro y justifique su origen.

7.3 Un lazo cuadrado de lado S y resistencia R se encuentra a una distancia S de unalambre infinitamente largo, como se muestra en la Figura 7.12, por el que circula



una corriente:

I j( ) exp( / )Ãt I t To= 3

donde Io y T son constantes con las unidades apropiadas.a) Calcule la magnitud e indique la direccin de la corriente inducida en el lazo.b) Calcule la carga total que pasa por un punto dado del lazo en el intervalo t=0a t=T.

z

x

y

S

S

I

S

Figura 7.12

7.4 Un disco de metal de espesor d, radio R y conductividad σ se coloca en un campomagntico uniforme dado por: B i( ) ( )

Ãt B sen to= ω . Si la normal del disco es paralelaal campo magntico, determine la direccin y calcule la magnitud de la densidad decorriente inducida en funcin de la distancia del eje del disco.

7.5 Calcule la inductancia propia por unidad de longitud de un cable coaxial considerandoque ste consiste de dos conductores concntricos infinitos, el interior de radio ÒaÓ yel exterior de radio ÒbÓ. Cada uno de los conductores lleva una corriente I de igualmagnitud pero en direccin contraria.

7.6 La Òprofundidad de pielÓ es una medida de qu tanto penetra una ondaelectromagntica en un medio conductor. Conociendo que sta disminuye alaumentar la frecuencia de la onda, Àcmo ser la inductancia del cable coaxial delejercicio anterior a altas frecuencias comparada con el valor a bajas frecuencias?

7.7 Determine la forma de la funcin ϑ(r,t) para las normas de Coulomb y de Lorentz.

7 electrodinçmica · 250 murphy...

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