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Introdução ao Controlo Óptimo 1

J. Miranda Lemos IST-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

6.Introdução ao Controlo Óptimo

J. Miranda Lemos

Professor Catedrático do IST

2012



Bibliografia

Luenberger, D. (1979). Introduction to Dynamic Models - Theory, Models

and Applications. Wiley.

Lewis, F. e V. Syrmos (1995). Optimal Control. 2ª ed. John Wiley & sons.

Bryson A. e Ho (1975). Applied Optimal Control. Hemisphere Publishing

Corporation.



Exemplo: Carro de empurrar

Pretende-se acelerar um carro de modo a maximizar a distância total

percorrida num intervalo de tempo fixo T menos o esforço total medido por

Esforço u t dt

T

1

2

2

0

( )

z=0

zu

Qual deve ser a função

u t t T( ) 0 ?



Formulação matemática do problema

Dinâmica do carro (assume-se massa=1):

d z

dtu

2

2

Objectivo: Escolher a função

u t t T( ) 0

que maximiza

J u z T u t dt

T

( ) ( ) ( ) 1

2

2

0

Espaço total

percorrido

Esforço

dispendido

J é uma "função"

que transforma

funções em

números reais

A dinâmica do carro

impõe uma restrição



O funcional J faz corresponder a cada elemento do espaço das funções

seccionalmente contínuas no intervalo [0, T] um número real.

Tt

u

J(u) R

Consoante a "forma" da função, assim o valor de J correspondente.

Repare-se que não podemos

encontrar a função u que máximiza

J resolvendo a equação dJ

du 0

porque u é uma função e existe

num espaço de dimensão infinita



O problema do Braquistocróno foi publicado em 1 de Janeiro

de 1667 por Johann Bernouilli como um desafio à comunidade

científica. Nada é mais atractivo para as pessoas inteligentes

do que um honesto problema que as desafie e cuja solução

traga fama e permaneça como um monumento duradouro,

escrevia ele.

Galileo sabia já, 60 anos antes, que o trajecto de tempo

mínimo não podia ser uma recta, embora pensasse, erroneamente, que era um arco de

circunferência.

Ao desafio de Johann Bernouilli corresponderam seis dos espíritos mais brilhantes da

época: O seu irmão mais velho Jacob, Leibniz, Tschirnhaus, l'Hopital e Newton (que

publicou a solução anonimamente e sobre a qual Leibniz disse a célebre frase

"reconheço o leão pelas suas garras".



Uma perspectiva histórica do problema do Braquistocróno e das suas

relações com o Controlo Óptimo pode ser vista em

Sussmann, H. J. e J. C. Willems (1997). 300 Years of Optimal Control: From

the Brachystochrone to the Maximum Principle. IEEE Control Systems,

17(3):32-44.



Princípio de Pontryagin - Formulação do Problema

Sendo x o estado do sistema com entrada u, que satisfaz a equação de

estado seguinte

Ttxxuxfx ,0)0(),( 0 T fixo u t U( )

pretende-se determinar a função u , definida no intervalo 0, T que maximiza o

funcional de custo J definido por

J u x T L x u dt

T

( ) ( ( )) ( , ) 0



Examinemos a estrutura do funcional de custo

J u x T L x u dt

T

( ) ( ( )) ( , ) 0

Contribuição para J

associada ao estado

terminal x(T)

Contribuição para J , associada

ao que sucede durante o intervalo

de optimização

L denomina-se função

Lagrangeana

Limite superior do intervalo

de optimização, suposto fixo



Para perceber o papel do custo terminal imaginemos que somos donos de um

restaurante que pretendemos gerir por forma a maximizar o lucro.

O lucro obtido com o restaurante depende de duas parcelas

Lucro total = Lucro obtido na venda + Lucro obtido ao longo do

do tempo com a

venda de comida

Valor terminal



Repare-se que há problemas importantes em que:

O valor de T é livre e não fixo à partida

Há restrições no estado terminal

É possível estender o Princípio de Pontriagyn para estes casos.



A variável manipulada u toma valores no conjunto U dos valores admissíveis

para o controlo.

Este conjunto traduz restrições no valor de u.

Por exemplo, no caso em que a variável manipulada é a abertura de uma

válvula, em que 0 corresponde a válvula toda aberta e 100 a válvula toda

fechada, é

U 0 100,

Eventualmente, podemos estar interessados em resolver o problema de

optimização num conjunto de valores admissíveis que é um subconjunto

deste.



Princípio de Pontriagyn

Ao longo da trajectória óptima para x, u e verificam-se as seguintes

condições necessárias para a maximização de J:

( , ) ( ) ,x f x u x x t T 0 00 u t U( )

( ) ( ) , , t t f x t u t L x t u tx x

T xx x x T

( )

Para cada t, a hamiltoniana H definida por

H x u f x u L x u( , , ) ( , ) ( , )

é máxima para o valor óptimo de u(t).

Condição terminal

no co-estado



É utilizada a seguinte notação:

x x x T

x x T n x x T

xx

x

x

x( )

( ) ( )( )

( ) ( )

1

L x uL

x

L

xx

n

( , )

1

f

f

x

f

f

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

x

n

n

n n n

n

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1 2

O vector designa-se por co-

estado e a respectiva equação

diferencial por equação adjunta.



A condição de máximo para a Hamiltoniana significa que, ao longo das

trajectórias de x e definidas pelo controlo óptimo u, se verifica para cada

instante de tempo t

H t x t v H t x t u t( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ( ))

qualquer que seja o valor de v.

O Princípio de Pontriagyn permite pois transformar um problema de

minimização em ordem numa função num problema de minimização em

ordem à variável u(t), para cada instante t.



No caso em que o óptimo da Hamiltoniana é atingido no interior do conjunto

de controlos admissíveis U , a condição de máximo é satisfeita numa das

soluções da equação

dH

du 0

Repare-se que esta equação pode ter outras soluções, correspondentes a

mínimos ou a pontos de estacionariedade.

Se o óptimo fôr atingido na fronteira de U , a equação anterior não pode ser

utilizada para o determinar.



O Princípio de Pontriagyn é uma condição necessária satisfeita pelas

soluções do problema de controlo óptimo.

Pode haver funções de controlo que satisfação o Princípio de Pontriagyn mas

que não correspondem a máximos do funcional de custo.

O interesse do Princípio de Pontriagyn nestes casos consiste em reduzir o

número de hipóteses para as funções de controlo óptimo, tornando então

possível eliminar as soluções não óptimas, por exemplo analisando-as uma a

uma.



Tal como foi formulado, o Princípio de Pontriagyn diz respeito à maximização

de um funcional.

O problema da minimização de um custo pode ser facilmente tratado

multiplicando o respectivo funcional por -1.



Exemplo 1

Pretende-se desenhar uma curva x t( ) que comece em x( )0 0 , cuja

inclinação máxima seja 1 e que atinja a altura máxima para Tt .

O problema pode ser formulado como um problema de controlo óptimo com

dinâmica

( ) ( )x t u t x( )0 0 U u u | 1

e funcional de custo

J x T ( )

Quais as condições impostas pelo Princípio de Pontriagyn?



( ) ( ) , , t t f x t u t L x t u tx x

T xx x x T

( )

Como

f x ux ( , ) 0 e L x u( , ) 0

a equação adjunta reduz-se a

( ) t 0

com a condição terminal

( )T 1 pois ( ( )) ( )x T x T

Logo

( )t t T 1 0



A Hamiltoniana é

H f L u u

Para cada t o valor de u que maximiza H no conjunto U é pois

u topt ( ) 1

x(t)

T t

x(T)

0

Curva óptima

Curvas possíveis

mas não óptimas



O exemplo anterior pode ser facilmente resolvido sem ferramentas

matemáticas avançadas (se queremos subir o mais possível, devemos ter a

derivada sempre no valor máximo). No entanto, é interessante ver a resposta

dada pelo Princípio de Pontriagyn.

Considere-se agora um exemplo simples mas não trivial.



Exemplo 2 - Carro de empurrar

z=0

zu

Objectivo: Escolher a função u t t T( ) 0 que maximiza

J u z T u t dt

T

( ) ( ) ( ) 1

2

2

0

sendo a dinâmica do carro dada por (condições iniciais nulas):

d z

dtu

2

2



Sugestão:

Tomar como variáveis de estado

x z posiçao

x z velocidade

1

2

" "

" "

e escrever o modelo de estado na forma

( )x f x

Escrever as condições impostas pelo Princípio de Pontryagin

Concluir destas condições qual o controlo óptimo



Modelo de estado

x x

x u

1 2

2

( , )

x

xf

x

xu

1

2

1

2

f x u

f x u

x

u

1

2

2( , )

( , )

f

f

x

f

x

f

x

f

x

x

1

1

1

2

2

1

2

2

0 1

0 0



J u x T u t dt

T

( ) ( ) ( ) 1

2

0

1

2

x T x T( ) ( ) 1 donde x x T( ) 1 0

L x u u t( , ) ( ) 1

2

2

donde L x ux ( , ) 0 0

A equação adjunta é f Lx x ou seja

1 2 1 2

0 1

0 0

1

2 1

0

1 2 1 0( ) ( )T T



1

2 1

0

1 2 1 0( ) ( )T T

Neste caso a equação adjunta pode resolver-se independentemente da

equação de estado.

Como

( )1 0t conclui-se 1( )t Cte

Da condição final 1 1( )T conclui-se

1 1( )t



A equação para 2 ( )t é

( ) 2 1t

Como 1 1( )t esta equação escreve-se

( )2 1t

ou seja

2 ( )t C tte

Da condição final 2 0( )T vem

2 ( )t T t



Hamiltoniana:

H x u x u u , , 1 2 2

21

2

Neste caso não há restrições (os valores possíveis para u são todo o conjunto

) pelo que a condição de máximo para a Hamiltoniana se obtém de

H

u 0

ou seja 2 0 u para cada t

O controlo óptimo é, portanto

u t t T topt ( ) ( ) 2

0

T

T t

u(t)



Nestes dois exemplos é possível resolver as equações do co-estado

independentemente das do estado e do valor do controlo óptimo.

Normalmente não é assim. As equações do estado e do co-estado

aparecem acopladas, formando um sistema de 2n equações diferenciais a

2n incógnitas, em que parte das incógnitas é especificada no início e outra

parte no fim do intervalo de integração.

Veremos (por exemplo para dinâmica linear e custo quadrático) que em certos

casos é possível desacoplar estas equações.



Lev Pontryagin (1908-1988) é uma figura controversa.

Matemático brilhante, cegou aos 14 anos num acidente,

o que não o impediu de se distinguir pelos seus

trabalhos na teoria do Controlo Óptimo. O anúncio do

Princípio ao qual o seu nome é ligado, feito no

Congresso Internacional de Matemática de 1958, foi

inicialmente recebido com grande frieza. A isto não foi alheia a motivação

militar por detrás deste resultado relacionada com o planeamento das

trajectórias de mísseis.



Demonstração do Princípio de Pontryagin

Objectivo:

Demonstrarar o Princípio do Máximo de Pontryagin para problemas

sem restrições no estado terminal através de uma técnica de variação.





estado seguinte

Ttxxuxfx ,0)0(),( 0 T fixo u t U( )



J u x T L x u dt

T

( ) ( ( )) ( , ) 0



Estratégia para demonstrar o Princípio de Pontryagin

Se uopt é a função que maximiza o funcional J u( ) qualquer "pequena"

variação através de uma função u leva à diminuição do valor de J u( ) :

J J u u J uopt opt ( ) ( ) 0



Passos na demonstração do Princípio de Pontryagin

Modificação do funcional de custo através de uma funcional de custo por

forma a simplificar o cálculo da sua variação quando o controlo é

perturbado

Cálculo da relação existente entre uma variação "pequena" no controlo

óptimo e a correspondente variação no funcional. Retêm-se apenas

termos de 1ª ordem

Exprimir a condição de que a variação do funcional é negativa através de

uma condição de máximo na Hamiltoniana para cada instante de

tempo.



Modificação do custo

J J t x t f x t u t dt

T

( ) ( ) ( ( ), ( ))0

Como o termo entre parentesis rectos é nulo ao longo das trajectórias do

sistema, J J pelo que o valor de u que optimiza J é o mesmo que

optimiza J .

Assim, podemos escolher por forma a simplificar o problema.

A esta quantidade (vectorial) dá-se o nome de co-estado.



A Hamiltoniana

A função Hamiltoniana é definida por

H x u f x u L x u , , , ,

Com esta definição, o funcional modificado pode pois escrever-se:

J J t x t f x t u t dt x T L x u f x u x dt

T T

( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ) , , 0 0

ou seja

J x T H t x t u t t x t dt

T

( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) 0



Variação do Controlo Óptimo

Seja u t t T( ), 0 a função que traduz o controlo óptimo

Em conjunto com a condição inicial imposta ao estado, ele determina a

trajectória de estado x t t T( ), 0 .

T T0 0t

u(t)x(t)

t



É feita uma variação "pequena" da função u que define o controlo óptimo,

obtendo-se uma função designada por v.

A variação é pequena no sentido em que, para cada uma das componentes

ui e vi dos vectores u e v, se tem

u t v t dti i

T

( ) ( ) 0

sendo um número pequeno.



A trajectória de estado correspondente a v depende essencialmente do

controlo e desvia-se pouco do estado óptimo x correspondente a u.

Seja x t( ) esta variação no estado.

T T0 0t

u(t)x(t)

t

v(t)x(t)+x(t)

Seja J a correspondente variação na função objectivo

J J v J u ( ) ( )

sendo u óptimo esta variação do custo é negativa.



Cálculo da variação do funcional

Recorde-se que

J x T H t x t u t t x t dt

T

( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) 0

A variação é assim

J x T x T x T H x x v H x u x dt

T

( ) ( ) ( ) , , , , 0



Recorde-se a regra de integração por partes:

Como d

dtab ab ab

é ab dt ab ab dt

TT

T

00

0

Aplique-se esta regra com

a x b

( ) ( ) ( ) ( ) xdt T x T x xdt

T T

0 0

0 0

Repare-se que x( )0 0 porque a variação do controlo óptimo não causa

qualquer variação na condição inicial do estado.



( ) ( ) xdt T x T xdt

T T

0 0

Tinha-se concluído que a variação do funcional é

J x T x T x T H x x v H x u x dt

T

( ) ( ) ( ) , , , , 0

Assim:

J x T x T x T T x T H x x v H x u x dt

T

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,

0

Através da integração por partes conseguimos exprimir as variações na

derivada do estado em variações no estado (e derivadas do coestado ).



J x T x T x T T x T H x x v H x u x dt

T

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,

0

Vamos aproximar o efeito da variação do estado na variação dos termos em

e H através de desenvolvimentos em série de Taylor de primeira ordem:

x T x T x T x T x Tx( ) ( ) ( ) ( ) ( )

H x x v H x v H x v xx , , , , , ,



Assim, a menos de termos de ordem superior ou igual a 2:

J x T T x T H x u xdt H x v H x u dtx x

T T

( ) ( ) ( ) , , , , , ,0 0

Escolhendo de modo a que satisfaça a equação diferencial

( ) ( ), ( ), ( ) t H t x t u tx

com a condição final

( ) ( )T x Tx

a expressão da variação do funcional reduz-se a

J H t x t v t H t x t u t dt

T

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )0




T

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )0

Esta expressão traduz o efeito na variação do funcional de uma variação do

controlo óptimo.

Repare-se que , x e u são conhecidos e independentes da variação v .

Em particular, x e são calculados integrando as equações do estado e do

co-estado com o controlo óptimo u .

Perturbado Óptimo




T

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )0

Se u é óptimo, tem então de ser para cada instante t:

H t x t v H t x t u t ( ), ( ), ( ), ( ), ( )

v U

Esta afirmação necessita ser demonstrada.




T

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )0

Suponhamos que existia um instante t1 e uma função tal que

H t x t t H t x t u t ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )1 1 1 1 1 1

Sendo H uma função contínua, existirá um intervalo t t1 1 , em que

esta propriedade se verifica. Escolha-se v t u t( ) ( ) excepto neste intervalo

em que se faz v t t( ) ( ) . Com esta escolha do controlo, a variação é

J H t x t v t H t x t u t dtt

t

( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )

1

1

0

valendo a desigualdade porque a integranda é positiva em todo o intervalo.

Isto contraria a hipótese de u ser o controlo óptimo.



Exemplo: Optimização de um Fermentador

Objectivo:

Aplicação do Princípio de Pontryagin à resolução de um problema

com motivação em aplicações e em que a equação adjunta depende

do controlo óptimo



Fermentador para a obtenção de penicilina

X - Quantidade de fungos

por unidade de volume

P - Quantidade de penicila

por unidade de volume

u - Variável manipulada: taxa de

adição de substracto

(açúcares para "alimentação"

dos fungos).

Os fungos produzem penicilina.

u

água

fria

água

aquecida

ar

agitador

X, P



Um modelo muito simplificado do fermentador

X buX X

( )P c u X 1

Resultados mais realistas requerem modelos mais complexos.

Crescimento devido

ao "alimento"

Mortalidade

Produção dos

fungos

Inibição da

produção

pelo substracto



Efeito inibidor do substracto

A penicilina é produzida pelos fungos cuja população, para tal, deve crescer.

Para tal deve ser adicionado substracto ("alimento").

O substracto tem no entanto um efeito de inibição da produção da penicilina.

Para maximizar a produção de penicilina, há portanto um compromisso na

escolha da taxa de adição de substracto, que vai ser a variável manipulada.

Este efeito está incluído no modelo considerado.



X buX X

( )P c u X 1

Por simplicidade, admite-se que o sistema de unidades é tal que

b c 1 1 05 .

Tem-se assim o modelo:

XuXX 5.0

XuP )1(

Condições iniciais:

X

P

( )

( )

0 1

0 0



Problema de Controlo Óptimo do Fermentador

Modelo de estado e condições iniciais:

XuXX 5.0

XuP )1(

Objectivo:

Determinar u t t T( ) 0 , T fixo, por forma a que J P T ( ) seja máximo,

sujeito à restrição (que define o conjunto dos controlos admissíveis):

0 1 u

Escreva a equação adjunta para este problema.

Condições iniciais:

X

P

( )

( )

0 1

0 0



Recordações úteis:

dx

dtf x u ( , )

x x( )0 0

J x T L x u dtT

( ) ( , )0

Equação adjunta e condição terminal no co-estado:

' ' ( , ) ( , ) f x u L x ux x ( ) ( ( ))T x Tx

Atenção: Neste problema,

x tX t

P t( )

( )

( )



O funcional de custo em geral é

J x T L x u dtT

( ) ( , )0

Neste caso

J P Tfermentador ( )

Conclui-se assim que neste problema a Lagrangiana é nula: L x u( , ) 0

e o custo terminal é: ( ( )) ( )x T P T , pelo que

x

x x T

x Tx x

( ( )

( )

1 2

0 1



O co-estado tem neste caso duas componentes

' ( ) ( ) ( )t t t 1 2

Como a lagrangiana é nula, a sua derivada parcial em ordem ao estado

também o é:

L x ux ( , ) 0

Como f x u

f x x u

f x x u

u x

u x( , )

( , , )

( , , )

( . )

( )

1 1 2

2 1 2

1

2

05

1 é f x u

u

ux ( , )

.

05 0

1 0



Equação adjunta:

' ' ( , ) ( , ) f x u L x ux x

f x uu

ux ( , )

.

05 0

1 0 L x ux ( , ) 0

Neste caso particular a equação do co-estado é pois:

( . ) ( ) 1 1 205 1u u

2 0

Com condição terminal

1 20 1( ) ( )T T



( . ) ( ) 1 1 205 1u u

2 0

1 20 1( ) ( )T T

Tendo em conta as condições terminais

2 1( )t 0 t T

e a equação para a primeira componente do co-estado reduz-se a

( . ) 1 105 1u u

Dificuldade: A equação depende de u t( ) e u t( ) depende de ( )t …



Sugestão:

a) Escreva a Hamiltoniana para este caso particular. Recorde que

H x u f L( , , ) '

b) Admita que conhece ( )t . Determine u t( ) que maximiza H , para cada t .

Tenha em conta a restrição 0 1 u e admita que X 0

c) Da alínea b) conhece a forma de u t( ) em função de t . Em particular, qual

o valor óptimo de u t( ) para t próximo de T ? E qual a correspondente

equação para 1( )t neste período de tempo?

d) Ande "para trás" no tempo. O que acontece a 1( )t ? E a u toptimo ( ) ?



H f L '

H f X P f X P 1 1 2 2 0( , ) ( , )

H u X u X 1 05 1( . ) ( )

Pode ser escrita como

H u X ( ) ( . ) 1 11 1 05

A Hamiltoneana H é uma função linear de u .

Admitindo que a biomassa é positiva ( X 0), H ser crescente ou decrescente

depende apenas do sinal de 1 1 .



H u X ( ) ( . ) 1 11 1 05

Intervalo de valores

admissíveis para u

0 1 u u10

Neste caso

u =0opt

Neste caso

u =1opt

H(u)H(u)

1 1

1 1



Como se tem a condição terminal

1 0( )T

para t próximo de T é, neste período de tempo, 1 0( )t . Logo, como

1 1( )T , o controlo óptimo correspondente é:

u topt ( ) 0

A equação adjunta (neste período, próximo do fim) fica

( . ) 1 105 1u u

( ) . 1 105 1t

=0 =0



A equação adjunta próximo do final do intervalo de optimização é

( ) . ( ) 1 105 1t t 1 0( )T

Tem por solução

1

0 51

051( )

.

. ( )t e t T

u =0 Tt

(t)1

(t)1

opt

Evolução do coestado

e controlo óptimo

próximo do fim do

intervalo de

optimização



u =0 Tt

(t)1

(t)1

opt

"Andando" neste sentido u

passa a ser 1 no instante ts em

que

1 1( )ts

1

051 1

05

05 05

2 5 139

0 5

0 5.

.

log . . ( )

log . .

. ( )

. ( )

e

e

t T

t T o T

t T

t T

s

s

s

s



Exemplo para a situação em que T=5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7

t

Lambda

uopt



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

Tempo

X

Puoptimo

uoptimo

A solução óptima admite a seguinte

interpretação: Inicialmente, todo o

esforço é para fazer crescer a

população de fungos. Devido ao efeito

inibidor do substracto não há

produção de penicilina.

A partir do instante de comutação o

controlo é escolhido por forma a

maximizar a produção de penicilina



É interessante ver que, admitindo a forma "tudo ou nada" da função de

controlo, o instante de comutação calculado corresponde de facto a um

máximo. Repare-se que o

Princípio de Pontryagin nos deu

não apenas o instante de comutação,

mas também a forma da

função de controlo óptimo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

ts

P(T

)



O modelo à partida é muito simplificado. A utilização de modelos mais

realistas (em que as taxas de crescimento dependem, elas próprias, do

estado) conduz a um problema de Controlo Óptimo dito "Singular", em que

a Hamiltoniana não depende explicitamente de u.

Num problema real de optimização de fermentadores, T não é à partida fixo,

mas deve resultar da optimização. isto conduz aos problemas de tempo

terminal livre.

A existência de um modelo é crítica. Em processos de fermentação é muito

difícil dispor de bons modelos devido à variabilidade genética dos fungos (a

qual é encorajada para aumentar a produção).



Embora baseado num modelo muito simples, este exemplo ilustra alguns

aspectos importantes:

A maneira backwards (do fim para o princípio) de integrar as equações do

co-estado

A solução bang-bang (tudo ou nada) do controlo óptimo, que implica a

existência de restrições




com restrições de igualdade no estado terminal


estado seguinte T fixo ( , ) ( ) ,x f x u x x t T 0 00 u t U( )



J u x T L x u dt

T

( ) ( ( )) ( , ) 0

sujeita às restrições no valor terminal do estado

x T xi i( ) i r n 1 2, , ,



Recorde-se a expressão para a variação do funcional de custo

J x T T x T H x u xdt H x v H x u dtx x

T T

( ) ( ) ( ) , , , , , ,0 0

Para estas componentes, não existem assim condições terminais no co-

estado ou seja i T i r( ) , , , 1 2 são livres.

A variação é zero para as componentes

especificadas x T x i ri i( ) , , , 1 2



Exemplo: Transferência entre órbitas com naves de pequeno impulso

Um exemplo de aplicação de problemas de controlo óptimo com restrições no

estado terminal é a transferência entre órbitas com naves em que está

disponível um pequeno impuldo. A figura mostra um exemplo.



A resolução destes problemas implica métodos numéricos para a resolução

do problema de valores na fronteira. Para naves fora da atmosfera terrestre

pode ser utilizado o shooting method. Neste método, a condição inicial do co-

estado vai sendo ajustada por forma a gerar trajectórias que respeitem a

condição final. Para aeronaves em que há termos de atrito o shooting method

fica instável (numericamente) e é necessárioo recorrer a um método de

gradiente.

Referências:

A. E. Bryson Jr. (1996). Optimal Control - 1950 to 1985. IEEE Control Systems, 16(3)26-33.



O Problema Linear Quadrático

Objectivo:

Introduzir o Problema Linear Quadrático e os elementos básicos da sua

solução. Mostrar que o controlo resultante estabiliza a cadeia fechada.



Formulação do Problema Linear Quadrático

Dinâmica:

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t

x x( )0 0 u t Rm( )

Funcional de custo:

J x t Qx t u Ru dt

T

1

20

( ) ( ) Q Q 0 R R 0

Pretende-se minimizar o funcional J pelo que a Lagrangiana deve ser

L x u x Qx u Ru( , ) ( ) 1

2

T fixo



Equação adjunta

f Lx x

( ) ( ) ( ) t t A x t Q sujeita à condição terminal ( )T 0

Hamiltoniana

H x u f x u L x u( , , ) ( , ) ( , )

H x u t Ax t t bu t x t Qx t u t Ru t( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

2

1

2



Condição (necessária) de mínimo da Hamiltoniana

A Hamiltoniana

H x u t Ax t t bu t x t Qx t u t Ru t( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

2

1

2

é uma função quadrática. Uma condição necessária de mínimo é pois

H

u 0

ou seja

( ) ( )t b u t R 0

pelo que o controlo óptimo verifica

u t R b t( ) ( ) 1



A trajectória óptima do estado verifica pois

( ) ( ) ( )x t Ax t bR b t 1

( ) ( ) ( ) t Qx t A t

sujeiro às condições

x x( )0 0 ( )T 0

Trata-se de um problema em que as incógnitas (x e ) estão específicadas

em dois pontos (0 e T). Diz-se um problema de valores na fronteira em dois

pontos (Two point boundary value problem). Como resolvê-lo?

u topt ( )



As equações do estado e do co-estado, com o controlo óptimo, são:

x Ax bR b 1

Qx A

Admita-se que existe uma matriz P t( ) , tal que

Px

Sendo assim, as equações do estado e do co-estado escrevem-se:

x A bR b P x 1

Q A P x

Repare-se que, se conhecermos a matriz P t( ) , a equação de estado fica

desacoplada da do co-estado, podendo ser resolvida separadamente.



Vamos então tentar obter uma equação verificada pela matriz P t( ) . Tem-se

Px

Derivando

Px Px

Usando as equações diferenciais do estado e do co-estado:

Q A P x Px P A bR b P x 1

ou seja, pondo x em evidência:

P PA A P PbR b P Q x 1 0



P PA A P PbR b P Q x 1 0

Para que esta identidade seja satisfeita para todo o x , o termo entre

parêntesis tem de ser nulo.

Obtém-se assim a equação diferencial de Riccati:

P PA A P PbR b P Q1

P T( ) 0 (porquê?)



Problema Linear Quadrático (LQ) - Resumo

Dado sistema com dinâmica linear

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t x x( )0 0 u t Rm( )

O controlo que minimiza o custo quadrático de horizonte finito

J x t Qx t u Ru dt

T

1

20

( ) ( ) Q Q 0 R R 0

é dado pela retroacção do estado de ganho variável no tempo:

u t K t x t( ) ( ) ( ) K t R B P t( ) ' ( ) 1

em que P(t) é a matriz simétrica definida positiva que satisfaz a equação

diferencial de Riccati

P PA A P PbR b P Q1 P T( ) 0



Exemplo (Controlo LQ de um Sistema de 1ª ordem)

Considere-se o sistema de primeira ordem, instável em cadeia aberta

( ) ( ) ( )x t x t u t x( )0 1

Pretende-se determinar a lei de controlo que minimiza

J u x t ru t dtT

( ) ( ) ( ) 1

2

2 2

0 T r 0 0,

A solução é dada por

( ) ( ) ( )p t p tr

p t 21

12

p T( ) 0

u t K t x t( ) ( ) ( ) K tr

p t( ) ( )1



0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0u(t)

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(t)

0 2 4 60

1

2

3

4

5K(t)

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5P(t) para vários T

r=0.1

r=1

r=1

r=0.1

r=0.1

r=1



Como se pode observar, diminuindo o peso no custo da acção de controlo,

r , o sistema fica mais rápido (o transitório do estado extingue-se mais

rapidamente), o mas o ganho aumenta (compare-se com a situação que se

tem no Controlo de Variância Mínima dessintonizado).

Aumentando o horizonte, a solução da equação de Riccati é inicialmente uma

constante bem definida, tendo um transitório próximo do intervalo de

optimização.

Isto sugere que, quando o horizonte T a solução da equação de Riccati

fica constante para todo o t.



O exemplo anterior sugere que se considere o problema de minimizar o custo

quadrático sobre um horizonte infinito

J x t Qx t u t Ru t dtLQ

' ( ) ( ) ' ( ) ( )0

A solução deste problema vem dada pelo controlo por retroacção do estado

u t Kx t( ) ( ) K R B P 1 '

em que P é a solução da equação algébrica de Riccati, dada por

PA A P PbR b P Q 1 0



Se o sistema

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t

fôr estabilizável, i. e., se existir um vector de ganhos F tal que o sistema em

cadeia fechada

( ) ( )x t A bF x t

é estável, então a solução da equação de Riccati algébrica é semidefinida

positiva (pelo menos) e corresponde ao limite da solução da equação

diferencial de Riccati quando o horizonte T é sucessivamente aumentado.



Problema: Dado o sistema definido pelo diagrama de blocos

1

s+1

1

s

xxu0

k k

2 1

2 1

-

+

+

Determinar os valores de k1 e k2 que optimizam

J x Qx t u Ru t dt

' ( ) ' ( )0

Q

1 0

0 01. R 1



Modelo de estado do sistema em cadeia aberta

X ss

X s1 2

1( ) ( )

donde ( ) ( )x t x1 2

X ss

U s2

1

1( ) ( )

ou sX s X s U s2 2( ) ( ) ( ) donde ( ) ( ) ( )x t x t u t2 2

O modelo de estado é portanto

x

x

x

xu

1

2

1

2

0 1

0 1

0

1



A equação Algébrica de Riccati:

PA A P PBR C P Q ' '1 0

neste caso é

p p

p p

p p

p p

p p

p p

p p

p p

11 12

12 22

11 12

12 22

11 12

12 22

11 12

12 22

0 1

0 1

0 0

1 1

0

1

1

10 1

1 0

0 01

0 0

0 0

.

ou seja

0

0

0 0 1 0

0 01

0 0

0 0

11 12

12 22 11 12 12 22

12

2

12 22

12 22 22

2

p p

p p p p p p

p p p

p p p

.



0

0

0 0 1 0

0 01

0 0

0 0

11 12

12 22 11 12 12 22

12

2

12 22

12 22 22

2

p p

p p p p p p

p p p

p p p

.

Igualando as entradas correspondentes destas matrizes, obtêm-se as

equações seguintes:

p12

2 1

p p p p11 12 12 22 0

2 01 012 22 22

2p p p .

A equação p12

2 1 é verificada por p12 1 . No entanto, apenas a raíz positiva

leva a uma matriz P definida positiva. Assim, é p12 1 .



p p p p11 12 12 22 0

2 01 012 22 22

2p p p .

Sendo p12 1 , estas equações reduzem-se a

p p11 22 1

p p22

2

222 19 0 .

A segunda equação tem como raízes 1 2 9. . Uma vez mais deve ser

tomada a raiz positiva para que a matriz P seja sefinida positiva. Assim:

P

17 1

1 0 7

.

.



P

17 1

1 0 7

.

.

O vector de ganhos óptimo vem dado por

K R B P 1 '

K

0 1

17 1

1 0 71 0 7

.

..

A lei de controlo óptimo LQ é pois:

u t x x( ) . 1 2076



Regulação Quadrática da Saída com horizonte infinito

Há situações em que se pretende regular a saída do sistema. Modelo:

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t y t Cx t( ) ( )

com o funcional de custo:

J y t u t dt

2 2

0( ) ( )

Repare-se que, como

y t x t C Cx t2 ( ) ' ( ) ' ( )

este problema reduz-se ao anterior fazendo a seguinte escolha da matriz Q :

Q C C '



A solução do problema de minimizar

J y t u t dt

2 2

0( ) ( )

em que o sistema é modelado por

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t y t Cx t( ) ( )

é dada por

u t Kx t( ) ( ) K R B P 1 '

em que P é a única solução definida positiva da seguinte equação algébrica

de Riccati

PA A P Pbb P C C 1

0

'



Relativamente a esta lei de controlo tem-se o seguinte teorema:

Se o par (A, B) fôr estabilizável (ver definição acima) e o par (A, C) fôr

observável, a solução definida positiva da equação algébrica de Riccati existe

e é única, e o sistema em cadeia fechada é assimptoticamente estável.

O par (A,C) é observável se

car

C

CA

CA

n n x

n

1

dim( )



Uma matriz P diz-se definida positiva se

x Px' 0 x 0

Diz-se semidefinida positiva se

x Px' 0 x 0



Questão: Qual a colocação dos pólos da cadeia fechada que corresponde a

minimizar J (no caso em que o sistema é SISO)?

Resposta [Chang/Letov]: Os pólos do sistema realimentado óptimo (com

T ) são as n raízes estáveis do polinómio )(s de grau n2 dado por

)()(1

)()()( sbsbsasas

em que

BAsIadjCsb )()(

)det()( AsIsa

Zeros do sistema

Pólos do sistema



)()(1

)()()( sbsbsasas

Se 1ss é uma raiz de )(s , então:

0)()(1

)()()( 11111 sbsbsasas

Neste caso, também se tem para 1ss :

0)()(1

)()()( 11111 sbsbsasas

ou seja, se 1ss é uma raiz de )(s , então 1ss também o é.



As raízes de )(s são simétricas relativamente ao eixo imaginário.

Como os pólos do sistema controlado são dados pelas raízes estáveis de

)(s , o sistema em cadeia fechada com controlo óptimo LQ de horizonte

infinito é estável.

Podemos sempre

escolher n pólos

estáveis



Solução do Problema LQ ( T ) por colocação de pólos

A solução do problema LQ de horizonte infinito pode ser feita do seguinte

modo:

1. Determinar

)()(1

)()()( sbsbsasas

2. Determinar )(san raízes estáveis de )(s .

3. Calcular o vector de ganhos de retroacção do estado tal que o sistema em

cadeia fechada tem os pólos na posição dessas raízes.



Exemplo

Dado o sistema

uxx

1

0

04

10

xy 01

Qual a lei de controlo por retroacção do estado que minimiza

10)()(0

22

dttutyJ



Em primeiro lugar é necessário obter a função de transferência em cadeia

aberta. Em geral, isso pode ser feito com as expressões

BAsIadjCsb )()( )det()( AsIsa

Neste caso, é fácil obter a função de transferência recorrendo à manipulação

de diagramas de blocos. As equações de estado são representadas

graficamente através de um diagrama de blocos, que é simplificado até se

obter a função de transferência.

Os alunos são convidados a resolver o mesmo problema recorrendo às

expressões acima.



Equações de estado:

21 xx

uxx 12 4

Diagrama de blocos equivalente:



Us

s

sY )1(4

1

1

2

2

Us

sY

4

12

)1()( ssb

4)( 2 ssa



Os pólos óptimos são as duas raízes estáveis de

)()(1

)()()( sbsbsasas

4)( 2 ssa )1()( ssb

)1)(1(1

)4()( 22 ssss

2sz 0)1(1

)4( 2 zz

01.161.82 zz 6.41 z 5.32 z

14.21 s 14.22 s 87.13 s 87.14 s

21 s

Mudança de

variável



O vector de ganhos óptimos é determinado por forma a que os pólos da

cadeia fechada sejam –2.14 e –1.87

O polinómio característico desejado para a cadeia fechada é pois

401.4)87.1)(14.2()( 2 sssss



Diagrama de blocos do sistema em cadeia fechada com retroacção (genérica)

do estado:

uy

4

1 1s s

+

-1+s

kk

xx

1

21

2

-

+

+

-

1

s1+s

4-k -k s

2

1 2



Equação característica da cadeia fechada

11

4 02 1 2

sk k s

Polinómio característico da cadeia fechada

K s s k s k( ) 2

2 1 4

Comparando com o polinómio característico desejado

( ) .s s s 2 4 01 4

Obtêm-se os ganhos óptimos

k kopt opt

1 28 4 01 .



O "root square locus"

As frequências naturais ("pólos") do sistema em cadeia fechada com controlo

LQ de horizonte infinito são dadas pelas raízes estáveis de

a s a s b s b s( ) ( ) ( ) ( ) 1

0

A esta equação pode dar-se a forma

11

b s b s

a s a s

( ) ( )

( ) ( )

O que acontece a estas raízes quando o peso no controlo varia?



a s a s b s b s( ) ( ) ( ) ( ) 1

0

Quando o peso no controlo é muito grande ( grande) a equação fica

aproximadamente:

a s a s( ) ( ) 0

Assim, neste caso, os pólos da cadeia fechada, ou são os pólos da cadeia

aberta se estes forem estáveis ou os seus simétricos se estes estiverem no

semiplano complexo direito.



a s a s b s b s( ) ( ) ( ) ( ) 1

0

Analogamente, se fôr muito pequeno, os pólos da cadeia fechada

aproximam-se dos zeros da cadeia aberta se estes forem de fase mínima (ou

seja, se estiverem à esquerda do eixo imaginário) ou dos seus simétricos se

os zeros estiverem à direita.

Se houver mais pólos do que zeros, os pólos restantes tendem para .

Repare-se que não se pode ter 0 para o problema LQ em tempo contínuo

pois os ganhos do controlador seriam infinitos. Esta situação é diferente em

tempo discreto, onde é possível ter 0 .



Para valores intermédios de os pólos do sistema com controlo óptimo

podem obter-se traçando o root-locus de

11

b s b s

a s a s

( ) ( )

( ) ( )

e tomando a sua parte estável.

É a isto que se chama o root-square-locus.



Root square locus - exemplo

Considere-se o modelo do sistema instável em cadeia aberta correspondente

à linearização do pêndulo invertido:

.

x x u

0 1

0 25 0

0

1

y 1 1

A função de transferência em cadeia fechada é

b s

a s

s

s

( )

( ) .

1

0 252



O root square locus correspondente é

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

Axi

s

-1 -0.5



Estabilidade relativa do Controlador LQ

Considere-se o sistema descrito pelo modelo de estado linear:

( ) ( ) ( )x t Ax t bu t

)()( tCxty

Têm-se as seguintes definições:

Transformada de Laplace da Matriz de Transição de estado do sistema em

cadeia aberta:

1)(

AsIs



Ganho de malha:

Obtido interrompendo a cadeia de controlo à entrada e multiplicando todos os

ganhos.

(sI-A) b-1

-

k

u x

bsksL )()(

Desigualdade de Kalman:

1)(1 jL



Consequência da Desigualdade de Kalman:

1)1()(1)(1 jLjL

1

|L(j )-(-1)|

Re

Im

L(j )

-1

Conclusão: O diagrama de

Nyquist de )( jL nunca entra

dentro da cirdunferência de raio 1,

centrada em –1.



-2

Re

Im

-1

No caso mais desfavorável, o

controlador LQ tolera uma redução do

ganho de ½ até que o ganho de malha

atinja o ponto –1.

A margem de ganho é pois de pelo

menos 0.5.



Re

Im

-1

60o

No caso mais desfavorável o

controlador LQ tolera uma redução

da fase de pelo menos 60o até que o

ganho de malha atinja o ponto –1.

A margem de fase do controlador LQ

é de pelo menos 60o.



O Filtro de Kalman-Bucy

Objectivo: Dimensionar os ganhos do observador usando um critério de

optimização.

Modelo do processo:

)()()()( twtbutAxtx

)()()( tvtCxty

Os sinais v e w são sinais grancos e Gaussianos tal que

)()()( o

T QtwtwE )()()( o

T RtvtvE

Sinais de ruído

branco gaussiano



O filtro de Kalman-Bucy dá recursivamente a estimativa x̂ do estado que é:

Centrada:

0)(ˆ)( txtxE

Minimiza:

0

2)(ˆ)( dttxtx

ou seja o erro tem energia mínima.



Equações do filtro de Kalman-Bucy

A estimativa x̂ é propagada no tempo resolvendo a equação diferencial:

))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ txCtyLtbutxAtx o

O vector de ganhos óptimo é dado por

1 o

T

o RCL

A matriz é a solução simétrica e semidefinida positiva da equação de Riccati

algébrica do filtro, dada por:

01 CRCQAA o

T

o

T



O filtro de Kalman-Bucy é um observador óptimo em que a larguira de banda é

ajustada por forma a optimizar a relação sinal/ruído, escolhendo um ganho adequado.

Repare-se que se não houver ruído de observação ( 00 R ), o problema fica

singular, sendo o vector de ganhos infinito.



Regulador Linear Quadrático Gaussiano (LQG)

Combina:

A estimação do estado com um filtro de Kalman

com

A realimentação da estimativa x̂ com um controlador óptimo LQ,

projectado supondo que se tem acesso ao estado.

Processo

Filtro K-B k

yu

-

O Teorerma de Separação é válido para o controlador LQG.



Rudolph Kalman nasceu em 1930, em Budapest na Hungria.

Emigrou para os U.S.A., onde estudou no MIT e, posterior-

mente, na Universidade de Colúmbia, onde fez o seu

doutoramento. No início dos anos 60, o seu nome ficou

ligado aos artigos que estabeleceram os fundamentos do

Controlo LQ e LQG e à filtragem óptima linear com base no

modelo de estado, que desenvolveu em conjunto com Richard Bucy.

Foi Kalman que “trouxe” para a comunidade do Controlo os métodos

desenvolvidos por Lyapunov 70 anos antes e que os aplicou ao estudo da

estabilidade de sistemas descritos por modelos de estado lineares.



Equações do Regulador LQG

Equações do estimador:

))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ txCtyLtbutxAtx o

1 o

T

o RCL

01 CRCQAA o

T

o

T

0 T

Equações do regulador

)(ˆ)( txKtu PBK T

1

0

1 QPPBBPAPA TT



Função de transferência do regulador LQG

ooCLQG LCLBKAsIKsG1

)(

É semelhante à do compensador baseado em observador que se estudou no

capítulo sobre RLVE.

A diferença reside no modo como são calculados os ganhos K e oL , que

aqui são calculados por forma a optimizar um funcional (cada um deles).



Recuperação do Ganho de Malha

Loop Transfer Recovery (LTR)

Não há qualquer garantia sobre as margens de estabilidade (margem de

ganho e margem de fase) do regulador LQG. Estas margens podem ser

perigosamente baixas, dependendo das características estatísticas do ruído.

Idéia: Usar os parâmetros que definem a estatística do ruído, oR e oQ como

parâmetros de ajuste para recuperar o ganho de malha que se obteria com

um regulador LQ (e que tem boas características de estabilidade relativa).

É nisto que consiste o controlo LQG-LTR (LQG com recuperação do ganho

der malha).



Pode demonstrar-se que se:

1) )(sG é de fase mínima;

2) 10 R e TBBqQ 2

0

Então

)()(lim sLsL LQLQGq

Isto sugere que se projecte um filtro de Kalman-Bucy em que o parâmetro q

é muito elevado.



Exemplo: Controlo de um integrador duplo

Este e outros sistemas podem ser modelados como um integrador duplo,

tomando como variáveis de estado

zx 1 zx 2



Modelo do integrador duplo

Modelo de estado do integrador duplo:

xy

ux

x

x

x

01

1

0

00

10

2

1

2

1

Função de transferência do integrador duplo:

2

1)(

ssG



Integrador duplo com regulador LQ

-1/s 1/s

k k1

2 xx1

2

Pretende-se esciolher os ganhos 1k e 2k por forma a minimizar o custo

quadrático de horizonte inifinito:

0

22 )()(2

1dttutyJLQ

Assume-se que se tem acesso directo à medida de 1x e 2x .



Equação Algébrica de Riccati (ARE):

0'1

' PPBBQPAPA

00

10A

1

0B

01C

00

0101

0

1'CCQ

A ARE fica:

00

00

10

00

00

01

00

10

01

00

32

21

32

21

32

21

32

21

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

02

1

2

32

321

2

2

pp

ppp

p

21

12P



Ganho óptimo:

PBKLQ '1

Como

10'B

21

12P

Vem

21LQK



Com os ganhos óptimos, a dinâmica do sistema em cadeia fechada fica:

21

10LQBKA

Equação característica da cadeia fechada:

012det 2 ssBKAsI LQ

Pólos da cadeia fechada

)1(2

22,1 js

O sistema em cadeia fechada fica estável e com um coeficiente de

amortecimento 707.0 .



Resposta ao escalão do sistema com controlo LQ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time

x1



Ganho de malha com controlo LQ:

BAsIKBsKsLLQ

1)()(

2

12)(

s

ssL

1/s 1/s

+skk1 2

L (s)LQ

-4 -3 -2 -1 0 1

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Como esperado, o ganho de malha não entra no círculo de raio 1.



Modelo do integrador duplo com ruído:

)(

)()(

1

0

)(

)(

00

10

)(

)(

2

1

2

1

2

1

tw

twtu

tx

tx

tx

tx

)()(

)(01)(

2

1tv

tx

txty

Os sinais v , 1w e 2w são sinais estocásticos mutuamente independentes,

cujas características estatísticas são usadas para ajustar o ganho de malha:

oQtwtwtw

twE

)()(

)(

)(21

2

1

oRtvE )(2



Diagrama de blocos do integrador duplo com ruído:

1s

1s

ux

w w v

xy

+ +1

12

2+

Vamos assumir

10

010Q

1oR



Integrador duplo com controlador LQG

1s

1s

ux

w w v

x y+ +

1

12

2+

1s

1s

x x

+ +12

+

+

-

-L L12

kk12

1k , 2k projectados tal

como no regulador LQ.

1L , 2L projectados de

acordo com o

dimensionamento do

filtro de Kalman-Bucy



Cálculo dos ganhos do filtro de Kalman-Bucy

Equação de Riccati para o filtro:

01 CRCQAA o

T

o

T

Assumindo

32

21

e usando o método dos coeficientes

indeterminados obtém-se a solução definida positiva:

31

13



Ganhos óptimos do filtro:

1

31

o

T RCL

Função de transferência do compensador LQG:

LLCBKAsIKG LQLQCLQG

1)(

4.157.1

)31.0(14.3

js

sGCLQG



Pólos da cadeia fechada do integrador duplo com LQG:

j12

2

2

3 j

Pólos do sistema

controlado com LQ,

supondo acesso ao estado

Pólos do filtro



Comparação dos reguladores LQ e LQG

1. O LQ tem maiores margens de estabilidade.

2. Nas baixa frequência o ganho de malha do LQ é maior do que o do LQG.

Isto implica que o LQ tem melhores propriedades de seguimento do que o

LQG.

3. A frequência de corte é maior no LQ do que no LQG

a. O LQ é mais susceptível ao ruído

b. O LQ é mais rápido a responder

4. Na alta frequência, a inclinação da curva de ganho é –20dB/déc no LQ e

–60db/déc no LQG. O LQ é mais susceptível ao ruído do que o LQG, mas

tem melhor estabilidade relativa.



Recuperação do ganho de malha no integrador duplo com controlo LQG

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50G

ain

[db]

10-1

100

101

102

-250

-200

-150

-100

freq. [rad/s]

Phase [

º]

1000,100,1q

6.introdução ao controlo Óptimo - fenix.tecnico.ulisboa.pt · j. miranda lemos ist-Área...

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