6_fluxo_fluidos_v2

Instrutor: Renato [email protected]

Curso de Engenharia de Petrleo

Disciplina: Eng. de Reservatrios

O estudo do fluxo de fluidos em meios porosos tem como ponto central a chamada equao da difusividade hidrulica, a partir da qual so desenvolvidas solues para as diversas situaes em que os reservatrios podem se encontrar.

O comportamento das presses dos diversos modelos de fluxo em meios porosos e as hipteses adotadas na obteno dos mesmos so essenciais no estudo da previso de comportamento de reservatrios (em termos de presses, vazes de produo, etc.), bem como na compreenso de conceitos utilizados na anlise de testes de presso em poos.

IntroduoIntroduoIntroduoIntroduo

A equao diferencial que descreve a distribuio de presso no reservatrio obtida com a combinao dos seguintes princpios:

1. Princpio da conservao da massa;

2. Lei de Darcy;

3. Equao de estado.

Este procedimento vlido tanto para o fluxo monofsico quanto para o fluxo multifsico.

Neste curso, vamos nos concentrar no estudo do fluxo monofsico em meios porosos.

Equao da difusividadeEquao da difusividadeEquao da difusividadeEquao da difusividade

Massa que saido V.C. no intervalo de

tempo t

Massa que entra no V.C.

no intervalo de tempo t

Variao da acumulao de massa no V.C. no intervalo t

++++- = 0

O princpio da conservao da massa aplicado a um volume de controle V.C. estabelece que:

O volume de controle est associado a um dado sistema de coordenadas (ex. cartesiano, cilndricas, etc.)

Conservao da massaConservao da massaConservao da massaConservao da massa

A lei que relaciona as velocidades com os gradientes de presso a lei de Darcy.

Desprezando-se a gravidade (ex. fluxo horizontal), a lei de Darcy pode ser escrita na forma diferencial como:

x

pkvx

=

= vvreal

A velocidade de Darcy v no uma velocidade real porque no h distino entre slido e espao poroso. Assim:

Lei de fluxoLei de fluxoLei de fluxoLei de fluxo

1. Meio poroso homogneo e isotrpico;

2. Fluxo 2-D isotrmico;

3. Fluxo monofsico;

4. Sistema com um nico fluido (saturao igual a 100%);5. Fluido de compressibilidade pequena e constante;

6. Foras gravitacionais desprezveis (fluxo horizontal);7. Fluido e rocha no reagem entre si.

O problemaO problemaO problemaO problema

Vamos aplicar o princpio da conservao da massa em um volume de controle de dimenses x, y, 1 (altura unitria normal ao plano da tela).

x (x,y)

x

y r

Gx

rGy

y

rG G Gx y==== ( , ) o fluxo de massa, [massa/rea x tempo].

Equao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidade

a) Massa que entra:

b) Massa que sai:

c) Variao de massa no intervalo t:

( ) txGyG yx + 11( ) txGyG yyxx + ++ 11

( ) ( )[ ]tttyx +1Princpio da conservao da massa: (b) (a)+ (c)=0

Obtm-se: ( ) 0=

+

+

tyG

x

G yx

Equao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidadeAplicando o princpio da conservao da massa no V.C. da figura anterior, obtm-se:

onde e

A aplicao do princpio da conservao da massa no V.C. da figura produz:

( ) 0=

+

+

tx

Gx

G yx

xx vG = yy vG =

Assumindo que a lei de Darcy vlida, esta equao reduz-se chamada equao da continuidade:

(1)( )

=

+

typk

yxpk

x

Equao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidadeEquao da continuidade

Equao da compressibilidade isotrmica (c):

Fluido de compressibilidade isotrmica pequena e constante:

Gases reais:

(2)

, (3)( )[ ]00 1 ppc +=

znRTpV =

Equao de estadoEquao de estadoEquao de estadoEquao de estado

pV

Vpc

=

=11

onde a massa especfica de referncia na presso .0 0p

Neste ponto, temos que assumir uma equao de estado para o fluido (i.e., uma lei que relaciona com a presso). H uma distino clara entre o fluxo de lquidos e de gases.

Vamos considerar que se trata de fluxo de lquido de compressibilidade pequena e constante (por exemplo, o fluxo de leo com )SATpp

Equao da difusividadeEquao da difusividadeEquao da difusividadeEquao da difusividade

Substituindo a equao de estado de um fluido de compressibilidade pequena e constante (Eq. 3) na equao da continuidade (Eq. 1) e assumindo que k, e so constantes, temos:

tp

kc

yp

x

p

=

+

2

2

2

2 (4)

tp

kcp t

=2

.fwwoot cScScc ++=

tp

kc

x

p t

=

2

2

tp

kc

r

prr

pr

pr

rr

t

=

+

=

11

2

2

tp

kc

r

pr

rr

t

=

2

21

Fluxo linear:

Fluxo radial:

Fluxo esfrico:

onde

Eq. da difusividade generalizadaEq. da difusividade generalizadaEq. da difusividade generalizadaEq. da difusividade generalizada

1. Meio poroso homogneo e isotrpico;

2. Fluxo radial isotrmico;

3. Fluido escoante de compressibilidade pequena e constante;

4. Foras gravitacionais desprezveis (fluxo horizontal);5. Fluido e rocha no reagem entre si;

6. Fluxo monofsico (saturao irredutvel de gua conata);7. Rocha e gua com compressibilidades pequenas e constantes.

Hipteses fundamentaisHipteses fundamentaisHipteses fundamentaisHipteses fundamentais

E.D.P.: ; e

Neste caso, o fluxo ocorre radialmente e a eq. da difusividade dada por:

tp

r

prr

p

=

+

112

2

tc

k= ),( trpp =

),( trpp ====

Eq. da difusividade Eq. da difusividade Eq. da difusividade Eq. da difusividade fluxo radialfluxo radialfluxo radialfluxo radial

Busca-se conhecer . A soluo pode ser encontrada integrando-se a EDP trs vezes: duas vezes em relao a r e uma vez em relao a t. Os parmetros de integrao devem ser conhecidos para determinar completamente a soluo.

Tais parmetros de integrao correspondem s chamadas condies de contorno e condio inicial.

Regimes de Fluxo:

Permanente (sistema realimentado no limite externo); Pseudopermanente (sistema selado no limite externo); Transiente (sistema infinito, i.e., no h influncia do limite externo).

Obs: todas as solues a serem apresentadas foram obtidas considerando que a vazo no ponto (isto , no poo) constante.

wrr ====

Solues da eq. da difusividadeSolues da eq. da difusividadeSolues da eq. da difusividadeSolues da eq. da difusividade

Renato Carvalho 2014

Modelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialFluxoRadial

Este modelo idealiza a produo com vazo constante (na face da formao) de um reservatrio infinito atravs de um poo (fluxo radial)

,

1tp

kc

r

pr

rr

t

=

( )rtppp i ,=E.D.P.:E.D.P.:E.D.P.:E.D.P.:

C.I.:C.I.:C.I.:C.I.: 0),0( == rtp

C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.:kh

qBr

pr

wrpi

=

2

C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.: 0),( =

rtpimrl

Vazo constante

Reservatrio infinito

=

tkCrcE

khBqCptrp tii

1

22

421),(

==

X

y

ii ydyeXEXE )()(

=

D

DiDDD t

rEtrp42

1),(2

Em termos de variveis adimensionais:

A soluo:

onde Ei a funo integral exponencial, definida por:

502 >DD rt

Modelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radial

para

(tabelada)

IP

bblm 3cm 3m 3volumebbl/dm 3/dcm 3/sm 3/svazo de leocpcpcpPa.sviscosidadepsiKgf / cm 2atmPapressomdmddarcym 2permeabilidadehhsstempo

oRKKKtemperatura absoluta

lbkggkgmassaftmcmmcomprimento

AMERICANO PETROBRASDARCYSIVarivel ou Parmetro

IP





Pas/m3

atm

s/cm32

3

cm/kgfd/m

psid/bbl

Sistema de unidadesSistema de unidadesSistema de unidadesSistema de unidades


Variveis adimensionaisVariveis adimensionaisVariveis adimensionaisVariveis adimensionais( )[ ] ,,

22

=

=

qBCpkh

rtppqBCkhp iD

221

wwtD

r

t

rc

ktCt

== wD r

rr =

PressoPressoPressoPresso::::

TempoTempoTempoTempo:::: RaioRaioRaioRaio::::

SISTEMA DE UNIDADES C2 C1Compatvel 1/2pi 1Petrobras 19,03 0,0003484Americano 141,2 0,0002637

025,0DD rtpara

Modelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialAproximao logartmica da funo integral exponencial :

( ) ( )[ ]80907,021

, += DDDD tnrtp lNo poo (rD=1):

Sabe-se que para podemos escrever.

Modelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radialModelo transiente radial

( ) ( )[ ]80907,021

, += DDDD tnrtp lNo poo (rD=1):

Em termos de variveis dimensionais:

ou

( )

= 2

12 2458,221

wtiw

rc

ktCn

khqBCptp

l

( )

++= 80907,0

21

212

wtiw

rc

kCnt

khqBCptp

l


raio

presso

t Sistema infinito(sem limites)

Regime transiente radialRegime transiente radialRegime transiente radialRegime transiente radial

( )

=

ktCrcE

khqBCprtp tii

1

22

421

,Perfil de presso:

No poo:

Radial infinitot

dc

ktCr =

150,1

rw

pi

( )

++= 80907,0)(

21

212

wtiw

rc

kCtn

khqBCptp

l


Exemplo 3.4Exemplo 3.4Exemplo 3.4Exemplo 3.4Exemplo 3.4 Considere um sistema infinito que esteja produzindo atravs de um nico poo, com as seguintes caractersticas:

Permeabilidade efetiva ao leo..................... ko = 100 md Viscosidade do leo no reservatrio............ o = 3,0 cp Fator volume-formao do leo.................... Bo = 1,25 m3/m3std Espessura da formao.................................. h = 4 m Porosidade da rocha...................................... = 0,20 Compressibilidade total do sistema.............. ct = 130106 (cm2/kgf) Vazo de leo................................................ qo = 35 m3std/d Raio do poo................................................. rw = 0,10 m

Calcular: (a) A queda de presso no poo nos instantes 0,1; 1; 10 e 30 dias aps o

incio da produo. (b) A queda de presso em um ponto afastado 300 m do centro do poo,

para os mesmos tempos de produo do item (a).


Modelo radial realimentadoModelo radial realimentadoModelo radial realimentadoModelo radial realimentadoFluxoRadial

Neste caso, idealiza-se um poo produzindo com vazo constante no centro de um reservatrio circular em cujas fronteiras a presso permanece constante

,

1tp

kc

r

pr

rr

t

=


C.I.:C.I.:C.I.:C.I.: 0),0( == rtp

C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.:kh

qBr

pr

wrpi

=

2

C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.:

Vazo constante

Reservatrio realimentado( ) 0, == errtp

re


t Presso constante no limite externo(sistema realimentado)

Regime permanente:

Modelos radial realimentadoModelos radial realimentadoModelos radial realimentadoModelos radial realimentado0

tp

=

Perfil estabilizado

( )

+

= s

r

rn

khqBCptp

w

eiw l

2Fluxo radial:

raio

presso transiente

rw

pi

re


Modelo radial seladoModelo radial seladoModelo radial seladoModelo radial seladoFluxoRadial

Neste caso, idealiza-se um poo produzindo com vazo constante no centro de um reservatrio circular em cujas fronteiras a presso permanece constante

,

1tp

kc

r

pr

rr

t

=


C.I.:C.I.:C.I.:C.I.: 0),0( == rtp

C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.:C.C.I.: khqB

r

pr

wrpi

=

2

C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.:C.C.E.:

Vazo constante

Reservatrio selado

re

( ) 0== err

rp


Regime pseudopermanente:

raio

presso

tselado no limite externo (q =0)

Modelos radial seladoModelos radial seladoModelos radial seladoModelos radial seladoconstante

tp

=

tet cAhqBCC

rchqBCC

tp

pi

== 21

221 22Caracterstica:

transiente (soluo de curto tempo, sem efeito dos limites)

constante tp

=

( )

+

+

=

43lnln

22

, 2

2

212

w

e

weeti

r

r

r

r

r

r

rc

ktCkhqBCptrp

regime pseudopermanente (soluo de longo tempo)

rw

pi

re


Regime pseudopermanente generalizadoRegime pseudopermanente generalizadoRegime pseudopermanente generalizadoRegime pseudopermanente generalizado

( )

+

+

pi= s

rCA

AcktC

khqBCptp

wAtiw 2

12 2458,2ln212

ttp cAhqBCC

cVqBCC

tp

pi

=pi

= 2121 22

Caracterstica: a presso declina linearmente com o tempo de produo

( ) SrC

Attp

wADADwD +

+pi= 2

2458,2ln212

AC Art

t wDDA2

=Fator de forma de Dietz (tabelado)

Var. adimensionais:

Variveis reais:


Modelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrio

t

pwf

pi

00

Fluxo Transiente Transiente

TardioFluxo Pseudo-

Permanente

reta

Exemplo:

funo logartmica


Modelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrioModelos de limites de reservatrio

2

1

2

1

AcktC

tt

DA =1

AC fator de forma de Dietz (tabelado)A rea em planta do reservatrio

Geometrias(sistemas selados) CA

PP (Pseudopermanente)

exato para tDA >>>>

PP com erro < 1< 1< 1< 1%

para tDA >>>>

Transiente com erro < 1< 1< 1< 1%para tDA


A1

A2A3

A4

q1

q4

q2

q3

np poos

Ackt

At

Ar

r

tAr

ttt

w

w

wDDA =

=

=

=

2

2

2

O tempo necessrio para se alcanar o regime pseudopermanente em um reservatrio com uma geometria qualquer pode ser obtido

utilizando-se o conceito de tempo adimensional



Geometria de fluxo radialGeometria de fluxo radialGeometria de fluxo radialGeometria de fluxo radial Curva de fluxo Poo surgente

Durante o regime transiente radial a presso de fluxo dada por:

A presso de fluxo cai com o logaritmo do tempo

( )

+

= src

ktCn

khqBCptp

wtiw 2

12 2458,221l

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

Pi kg/cm 250 250 250 250 250

q m/d 100 100 100 100 100

Bo m/Sm 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

Visco cp 6 6 6 6 6

k mD 500 500 500 500 500

Phi frao 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Ct 1/kg/cm 0,00014 0,00014 0,00014 0,00014 0,00014

rw m 0,108 0,108 0,108 0,108 0,108

S adim 0 0 0 0 0

h m 2 2 2 2 2

Regime de fluxo radialRegime de fluxo radialRegime de fluxo radialRegime de fluxo radial


Presso de Fluxo versus Tempo

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26Tempo (horas)

P

r

e

s

s

o

d

e

F

l

u

x

o

(

k

g

/

c

m

)

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4Caso 5



Pi kg/cm 250 250 250 250 250

q m/d 100 110 130 160 200

Bo m/Sm 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

Visco cp 6 6 6 6 6

k mD 500 500 500 500 500

Phi frao 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Ct 1/kg/cm 1,40E-04 0,00014 0,00014 0,00014 0,00014

rw m 0,108 0,108 0,108 0,108 0,108

S adim 0 0 0 0 0

h m 2 2 2 2 2

Regime de fluxo radialRegime de fluxo radialRegime de fluxo radialRegime de fluxo radialPresso de Fluxo versus Tempo

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26Tempo (horas)

P

r

e

s

s

o

d

e

F

l

u

x

o

(

k

g

/

c

m

)

Caso 1 - q=100Caso 2 - q=110Caso 3 - q=130Caso 4 - q=160Caso 5 - q=200

Quanto maior a vazo, menor a presso de fluxo



Pi kg/cm 250 250 250 250 250

q m/d 100 100 100 100 100

Bo m/Sm 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

Visco cp 6 6 6 6 6

k mD 500 600 800 1100 1500

Phi frao 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Ct 1/kg/cm 1,40E-04 0,00014 0,00014 0,00014 0,00014

rw m 0,108 0,108 0,108 0,108 0,108

S adim 0 0 0 0 0

h m 2 2 2 2 2


0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26Tempo (horas)

P

r

e

s

s

o

d

e

F

l

u

x

o

(

k

g

/

c

m

)

Caso 1 - k=500Caso 2 - k=600Caso 3 - k=800Caso 4 - k=1100Caso 5 - k=1500

Para uma vazo constante, quanto maior a permeabilidade, menor a diferena entre a presso de fluxo e a esttica.



Pi kg/cm 250 250 250 250 250

q m/d 100 100 100 100 100

Bo m/Sm 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

Visco cp 6 6 6 6 6

k mD 500 500 500 500 500

Phi frao 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Ct 1/kg/cm 1,40E-04 0,00014 0,00014 0,00014 0,00014

rw m 0,108 0,108 0,108 0,108 0,108

S adim -2 0 1 5 10

h m 2 2 2 2 2


0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Tempo (horas)

P

r

e

s

s

o

d

e

F

l

u

x

o

(

k

g

/

c

m

)

Caso 1 - S=-2Caso 2 - S=0Caso 3 - S=1Caso 4 - S=5Caso 5 - S=10

Para uma vazo constante, quanto maior o dano, maior a diferena entre a presso de fluxo e a esttica.

No fluxo, reservatrio de baixa k sem dano (50mD, S=0)

semelhante ao de alta k danificado (500md,

S=45) !!!

Mas na esttica, o de alto dano apresenta

crescimento em ngulo mais prximo a 90 graus.


A

0

x

qw

0====x

Modelo transiente linearModelo transiente linearModelo transiente linearModelo transiente linearReservatrio linear semi-infinito, inicialmente em repouso, produzindo com vazo constante da face .

KAq

x

px

pkAq wtxx

w

=

=

== ,00

0),(),( ==

txpimptxpimx

ix

ll

0)0,()0,( ==== txpptxp i

tp

kc

x

p t

=

2

2 ),( txppp i =,EDP:

CI:

CCE:

CCI: Vazo constante:

O problema pode ser escrito matematicamente como segue:

Modelo transiente linearModelo transiente linearModelo transiente linearModelo transiente linear

pi

=

tx

Lx

txL

tAkLqptxp wi 4

erfc)4/exp(4),( 22

pi

=

tx

xtxt

Akqptxp wi 4

erfc)4/exp(4),( 2

ou

A soluo:


Difusividade hidrulica ()

Queda de presso adimensional (pD)(fluxo radial)

Queda de presso adimensional (pD)(fluxo linear)

Tempo adimensional (tD)(fluxo radial)

Tempo adimensional (tD)(fluxo linear)

Americano Petrobras SI ou CGS Varivel / Equao

Difusividade hidrulica ()

Queda de presso adimensional (pD)(fluxo radial)

Queda de presso adimensional (pD)(fluxo linear)

Tempo adimensional (tD)(fluxo radial)

Tempo adimensional (tD)(fluxo linear)

Americano Petrobras SI ou CGS Varivel / Equao

2Lckt

t 200034840

Lckt,

t 200026370

Lckt,

t

2wtrc

kt 2

00034840

wtrc

kt, 2

00026370wtrc

kt,

pLq

kA pLq,

kA 6119

pLq

kA,

3101271

pq

kh

pi2p

q,kh

0319p

q,kh

2141

tc

k

tc

k,

00034840tc

k,

00026370

Sistemas de unidadesSistemas de unidadesSistemas de unidadesSistemas de unidades

IP





IP





Pas/m3

atm

s/cm32

3

cm/kgfd/m

psid/bbl

Sistemas de unidadesSistemas de unidadesSistemas de unidadesSistemas de unidades

pi==

tAk

qptptp wiw4),0()(

0====x

pi==

yz zdeyy

0

22)(erfc1)(erf

pi=

y

z zdey22)(erfc

pi

=

tx

xtxt

Akqptxp wi 4

erfc)4/exp(4),( 2

onde erfc a funo erro complementar (tabelada):

A soluo:

e


Na face :

bf

x f

Fratura

Poo

Limitesimpermeveis

h

Fluxo radial Fluxo radial Fluxo radial Fluxo radial exemplo de fratura verticalexemplo de fratura verticalexemplo de fratura verticalexemplo de fratura vertical

Fratura

(a) Fluxo linear na fratura (b) Fluxo bilinear

(d) Fluxo pseudoradial(c) Fluxo linear na formao

Fratura Fratura

Poo

Poo Poo

Fratura

Fluxo radial Fluxo radial Fluxo radial Fluxo radial exemplo de fratura verticalexemplo de fratura verticalexemplo de fratura verticalexemplo de fratura verticalPerodos de fluxo:

Exemplo 3.3Exemplo 3.3Exemplo 3.3Exemplo 3.3

Exemplo 3.3 Um reservatrio est sendo produzido com vazo constante atravs de um poo verticalmente fraturado. Outros dados so:

Permeabilidade da formao..................................................... k = 20 md Viscosidade do leo no reservatrio.......................................... = 0,8 cp Fator volume-formao do leo................................................ Bo = 1,2 m3/m3std Comprimento total da fratura................................................... W = 200 m Espessura da formao............................................................. h = 20 m Porosidade da rocha................................................................. = 0,18 Compressibilidade total do sistema........................................... ct = 150106 (kgf/cm2)1 Vazo de leo........................................................................... qo = 400 m3std/d

Calcular: (a) A queda de presso no poo nos instantes 0,1; 1 e 10 horas aps o incio da produo. (b) A queda de presso a 100 m do poo, medidos perpendicularmente ao plano de fratura, nos

instantes mencionados em (a).


As solues da equao da difusividade apresentada at este ponto foram desenvolvidas admitindo-se que o

reservatrio esteja produzindo com vazo constante. Na prtica, no entanto, muitas

vezes essa condio no satisfeita. Nesse caso, a soluo do problema pode ser

encontrada aplicando-se o chamado princpio da superposio de efeitos, a ser discutido na

prxima seo


O princpio da superposio de efeitos constitui uma particularidade matemtica aplicvel s equaes diferenciais lineares. Qualquer combinao linear de solues desse tipo de equao tambm uma soluo da equao.

Superposio de Efeitos(equao parcial)

tempo...

espao...

Superposio de efeitosSuperposio de efeitosSuperposio de efeitosSuperposio de efeitos


Um exemplo de superposio no tempo conseguido quando se altera a vazo de um poo

qN

tNtN1t3t2t10

V

a

z

o

q1

q2

q3

Tempo de fluxo

Superposio de efeitos no tempoSuperposio de efeitos no tempoSuperposio de efeitos no tempoSuperposio de efeitos no tempo


Para se determinar a queda de presso deve-se superpor os efeitos das diversas variaes. Isto pode ser imaginado como

sendo vrios poos produzindo de um mesmo ponto com vazes (q1-q0), (q2-q1), (q3-q2),...(qN-qN-1), durante os tempo tN,

(tN-t1), (tN-t2), .... (tN-tN-1), respectivamente.

Para um sistema compatvel temos:

=

ktrcE

khqptrp tiwi 42

12

),(2

pi


==

ktrcE

khq

trpptrp tiwi 421

2),(),(

2pi

Assim:


Para o esquema de vazo ao lado, a superposio de efeitos fornece para a queda de presso no instante tN:

+

+

pi

= )(42

1)(42

12

),(1

2

12

2

1 ttkrcEqq

ktrcEq

khtrp

N

ti

N

tiN

++

+

)(421)(...)(42

1)(1

2

12

2

23NN

tiNN

N

ti ttk

rcEqqttk

rcEqq

qN

tNtN1t3t2t10

V

a

z

o

q1

q2

q3

Tempo de fluxo



Superposio de efeitos no poo:

+

pi

== s

ktrc

Ekh

qtptrrp wti

www 42

12

)(),(2

No caso de ser utilizada a aproximao logartmica a equao acima substituda por

+

pi

= src

ktkh

qtp

wt

ww 2

4ln21

2)(

Aplicando-se o princpio da superposio de efeitos ao esquema de vazo varivel

+

pi

=

=

sqrc

ttkq

khtp N

wt

jNN

jjNw 2

1

1

)(4ln

21)(

2)(



Vale ressaltar que o princpio da superposio vlidopara qualquer ponto do reservatrio e qualquer geometriade fluxo, desde que se conhea a soluo para vazoconstante e que esta seja soluo de uma equaodiferencial linear. Assim, denominando pc a soluo devazo constante, podemos escrever:

ou

Superposio de efeitos no tempo

),(),(),(),()(

11

2231121

++++=

NNNNc

NcNcNcN

ttqqpttqqpttqqptqptp

L

[ ]=

=N

jjNjjcN ttqqptp

111 )(),()(


Para exemplificar a superposio de efeitos no espao, pode-se considerar a situao de dois poos distintos A e B, estejam produzindo com vazes constantes qA e qB de um reservatrio infinito.

Qual a queda de presso no ponto C ?

Superposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espao


BCACC ppp +=

==

ktrcE

khq

trppp ACtiAACiAC 421

2),(

2pi

==

ktrcE

khq

trppp BCtiBBCiBC 421

2),(

2pi

+

=

ktrcEq

ktrcEq

khp BCtiBACtiAC 42

142

12

22 pi

Superposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espaoSuperposio de efeitos no espao


DescontinuidadesDescontinuidadesDescontinuidadesDescontinuidades


Consiste em se colocar tantos poos quantos forem necessrios, de tal modo que

a configurao das linha de fluxo seja idntica real.

Mtodo das imagensMtodo das imagensMtodo das imagensMtodo das imagens


Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!


Apesar da ansiedade para aproveitar essa grande oportunidade, voc comeou a refletir sobre as informaes...

Quais foram as condies de produo?

Quanto tempo de produo tinha cada poo?

Qual a condio de cada poo?

Afinal, ser que tudo isso influenciar a deciso?

Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!Exerccio 01: oportunidade!


Relaciona a vazo com a presso de fluxo correspondente.

Permite estimar a vazo em funo da presso de fluxo no reservatrio.

Juntamente com a presso esttica, uma varivel importante para o dimensionamento dos equipamentos de elevao.

O IP costuma ser dado de entrada do simulador de fluxo.

wfest ppQIP

=

ndice de produtividade do poondice de produtividade do poondice de produtividade do poondice de produtividade do poo


Definio: a produtividade do poo calculada em funo da queda de presso causada pelo fluxo, em relao presso esttica.

Presso esttica: aquela que seria atingida se o poo permanecesse fechado por um tempo muito longo (teoricamente infinito).

Consequentemente, em cada regime de fluxo:

Presso esttica no transiente: presso inicial

Presso esttica no pseudo-permanente: presso mdia

Presso esttica no permanente: presso externa

wfi ppQIP

=

wfppQIP

=

wfe ppQIP

=

Qual a Qual a Qual a Qual a ppppestestestest utilizada no clculo do utilizada no clculo do utilizada no clculo do utilizada no clculo do IPIPIPIP????


Informaes complementares Aps mais investigaes, voc descobriu:

Com base no exposto, qual o poo mais promissor (de maior produtividade)? Qual a vazo mxima alcanvel em cada caso?

E agora? Voc j pode escolher a fazenda certa?

Fazenda So Jorge

Presso esttica: 200 kgf/cm;Vazo de prod.: 20 m/d;Presso registrada durante o teste: 179 kgf/cm.

Fazenda So Pedro


Fazenda So Jorge


Fazenda So Pedro


Exerccio 01: continuaoExerccio 01: continuaoExerccio 01: continuaoExerccio 01: continuao


Curto tempo regime transiente

Longo tempo

+

=

=

809070

2

21

2 ,rc

ktClnBC

khpp

QIP

wt

wfi

Regime pseudo-permanente

=

=

w

ewfer

rlnBC

khpp

QIP2

Regime permanente

=

=

43

2w

ewfr

rlnBC

khpp

QIP

O IP de um poo constante?

IP nos diferentes regimes de fluxo (radial)IP nos diferentes regimes de fluxo (radial)IP nos diferentes regimes de fluxo (radial)IP nos diferentes regimes de fluxo (radial)


Evoluo do IP

0,0

0,0

0,1

1,0

10,0

100,0

1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09

tD

pDu pDu'

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

IP

Pseudo-permanente

Evoluo do IP aps abertura do pooEvoluo do IP aps abertura do pooEvoluo do IP aps abertura do pooEvoluo do IP aps abertura do poo


Depende da geometria do reservatrio e das caractersticas do fluido e do reservatrio.

A determinao do regime usualmente feita em funo de um tempo adimensional:

J leva em considerao as propriedades do fluido e do reservatrio.

Permite a anlise do regime de fluxo em funo da geometria do problema.

AcktC

tt

DA 1

= A a rea do reservatrio em planta.

Quanto tempo leva at o IP estabilizar?Quanto tempo leva at o IP estabilizar?Quanto tempo leva at o IP estabilizar?Quanto tempo leva at o IP estabilizar?


Geometrias(sistemas selados) CA

PP (Pseudo permanente)

exato para tDA >>>>

PP comerro < 1< 1< 1< 1% para tDA >>>>

Transiente com erro < 1< 1< 1< 1% para

tDA >



tDA


Identificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoGeometrias

(sistemas selados) CAPP (Pseudo

permanente) exato para tDA >>>>



tDA >



tDA


Identificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoIdentificao do regime de fluxoGeometrias

(sistemas selados) CAPP (Pseudo permanente)

exato para tDA >>>>



tDA >



tDA


Para uma geometria de reservatrio qualquer:

CA depender da geometria do reservatrio e da localizao do poo em relao s fronteiras.

Valores tabelados (calculados a partir do mtodo das imagens).

=

=

22245832

2

wA

wfrC

A,lnBC

khpp

QIP



Aps a sua anlise preliminar sobre as fazendas, voc recebe algumas informaes adicionais sobre o reservatrio e sobre as operaes realizadas nos poos:

Fazenda So Jorge

Tempo do registro da presso (aps a abertura do poo): 72h;

Vazo medida: 20 m/d;

Geometria aproximada do reservatrio (dado da geologia):

Fazenda So Pedro

Tempo do registro da presso (aps a abertura do poo): 15 min;



Fazenda So Jorge

Tempo do registro da presso (aps a abertura do poo): 72h;



Fazenda So Pedro

Tempo do registro da presso (aps a abertura do poo): 15 min;



400 m

4

0

0

m

400 m

4

0

0

m

800 m

2

0

0

m

800 m

2

0

0

m

Qual ser ento o poo de maior produtividade?

Exerccio 01: novas informaesExerccio 01: novas informaesExerccio 01: novas informaesExerccio 01: novas informaes


xe 800ye 200xw 200yw 100 rw 0,1

tf 0,25

q 45k 12,5Cs 0,000001s 0

B 1,1 3

h 18 0,17ct 3,00E-04

Unidades: Petrobrs

IPPP 0,38 IPPP/IPT 39%

0,230,97IPT CA

Evoluo do IP

0,1

1,0

10,0

100,0

1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09tD

pDu pDu'

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

IP

050

100150200

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Planilha elaborada por Conrado Keidel

Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Fazenda So PedroFazenda So PedroFazenda So PedroFazenda So Pedro


xe 400ye 400xw 200yw 200 rw 0,1

tf 72

q 20k 20Cs 0,000001s 0

B 1,1 3

h 20 0,2ct 3,00E-04

Unidades: Petrobrs

30,720,97IPT CA

IPPP 0,91 IPPP/IPT 94%

Evoluo do IP

0,1

1,0

10,0

1,0E-01 1,0E+00 1,0E+01 1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07tD

pDu pDu'

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

IP

0100200300400

0 200 400

Planilha elaborada por Conrado Keidel

Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Ex. 01: concluso Fazenda So JorgeFazenda So JorgeFazenda So JorgeFazenda So Jorge


E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?


Mapa de porosidade

Poo A

rea drenada pelo poo A

wfppQIP

=

E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?E na prtica, como se avalia tudo isso?


=

=

22245832

2

wA

wfrC

A,lnBC

khpp

QIP

E s isso?

+

=

=

srC

A,lnBC

khpp

QIP

wA

wf 22458322

22

No caso de reservatrios estratificados, a espessura

(rea aberta ao fluxo) funo da penetrao do poo.

Efeito de pelcula: dano ou estmulo

formao.Raio do poo: depende

do projeto do poo (broca utilizada na ltima

fase).

Qual a influncia do poo no IPQual a influncia do poo no IPQual a influncia do poo no IPQual a influncia do poo no IP????


Trata-se de um aumento da resistncia ao fluxo localizado na regio do poo.

Causado pela interveno humana: condies de poo ou operaes no poo.

Grande causador de prejuzos: ordem de grandeza de 2 bilhes de dlares por ano.

O tratamento pode ser muito caro: acidificao, fraturamento.

Dano formaoDano formaoDano formaoDano formao

rwra

ka kk kaka ka


Mecanismos de danoMecanismos de danoMecanismos de danoMecanismos de dano


Alterao do padro de fluxo nas proximidades do poo (geometria)

A geometria do poo e o canhoneado podem causar um efeito semelhante aos anteriores, ao alterar o padro de fluxo nas proximidades do poo produtor.

Canhoneio ou penetrao parcial.

Canhoneio ineficaz.

Variao da rea perpendicularao fluxo

Mesmo modelo de reservatrio.

Mecanismos de danoMecanismos de danoMecanismos de danoMecanismos de dano


Poo danificadoPoo danificadoPoo danificadoPoo danificadorw

Presso do poo com dano

Presso do poo sem dano

ra

r

w'p

wp

pap


rw

Presso do poo com estmulo

Presso do poo sem estmulo

ra

r

w'pwp

p

ap

Poo estimuladoPoo estimuladoPoo estimuladoPoo estimulado


pw

pw

pi

lnrw ln r

ps

No Transiente:

De onde se chega a:

( ) ( ) ( )wwwiwi pppppp += ( )

++

= s,

rc

ktClnppqBCkh

wtwi 28090702

12

1

2

( )

+

= 809070

21

212

,

rc

ktClnkhqBCpt'p

wtiw

Define-se o fator de pelcula(skin factor) como:

Tem-se ento:

( ) spqBCkhpp

qBCkh

sww = 22

Toda a perda de carga adicional ocorre numa pelcula de

espessura infinitesimal na parede do poo.

Toda a perda de carga adicional ocorre numa pelcula de

espessura infinitesimal na parede do poo.

Modelo de efeito pelculaModelo de efeito pelculaModelo de efeito pelculaModelo de efeito pelcula


Curto tempo regime transiente

Longo tempo

++

=

=

s,rc

ktClnBC

khpp

qIP

wt

wfi 2809070

2

21

2

Regime pseudo-permanente

+

=

=

sr

rlnBC

khpp

qIP

w

ewfe 2

Regime permanente

+

=

=

srC

A,lnBC

khpp

qIP

wA

wf 22458322

22

Clculo do IP de um poo danificado ou Clculo do IP de um poo danificado ou Clculo do IP de um poo danificado ou Clculo do IP de um poo danificado ou estimuladoestimuladoestimuladoestimulado


A queda de presso entre os pontos r = ra

e r = rw

no caso de permeabilidade constante e regime permanente dada por:

No caso da regio alterada, tem-se:

( )

=

w

awa

r

rln'ppqBCkh

2

( )

=

w

awa

a

a

r

rlnppqBC

hk2

rw

k

kaara

E como se calcula o E como se calcula o E como se calcula o E como se calcula o ssss????


Este resultado independente do tempo e varia diretamente com a intensidade e com a extenso do dano.

( )

=

w

awa

r

rln'ppqBCkh

2

( )

=

w

awa

a

a

r

rlnppqBC

hk2

( )

=

w

a

a

aww

r

rlnkkp'p

qBCkh

s 12

E como se calcula o E como se calcula o E como se calcula o E como se calcula o ssss????


kka

ra

rw

Modelo de efeito pelculaModelo de efeito pelculaModelo de efeito pelculaModelo de efeito pelcula

No caso de alterao da permeabilidade, o fator de pelcula pode ser calculado por:

ka < k s > 0 (dano)

ka > k s < 0 (estmulo)

=

w

a

a r

r

kk

s ln1


Definio:

RD > 1 poo danificado;

RD = 1 poo sem dano ou estmulo;

RD < 1 poo estimulado.

Pode-se definir ainda a razo de produtividade ou a eficincia de fluxo de um poo como o inverso da razo de dano: RP=EF=1/RD.

Outra varivel utilizada o fator de dano, definido por FD=1RP.

( )( )

( )( )

swesttica

westtica

westtica

swesttica

s

s

pppppRD

ppqpppq

IPIPRD

=

==

=0

Razo de danoRazo de danoRazo de danoRazo de dano


O ndice de produtividade do poo no regime transiente, considerando a presena de dano ou estmulo (efeito pelcula), dado por:

Substituindo a equao da queda de presso devida ao efeito pelcula na definio de RD, tem-se:

809070

21

21

,

rc

ktCln

sRD

wt

+

+=

khqBC

sps2

=

++

= s,

rc

ktClnkhqBCpp

wtwi 28090702 2

12

++

=

=

s,rc

ktClnBC

khpp

qIP

wt

wfi 2809070

2

21

2

IP e RD no regime transienteIP e RD no regime transienteIP e RD no regime transienteIP e RD no regime transiente


IP no regime pseudo-permanente:

A partir da definio da razo de dano, tem-se:

( )( )

+=

+

=

+

==

=

2

2

2

2222

0

24583221

245832

2245832

22458322

2458322

wA

wA

wA

wAwA

s

s

rCA,ln

sRD

rCA,ln

srC

A,ln

srC

A,lnBC

kh

rCA,lnBC

khIP

IPRD

+

=

=

srC

A,lnBC

khpp

qIP

wA

wf 22458322

22

IP e RD no regime pseudopermanenteIP e RD no regime pseudopermanenteIP e RD no regime pseudopermanenteIP e RD no regime pseudopermanente


IP no regime permanente:

Partindo novamente da definio de razo de dano, tem-se:

( )( )

+=

+

=

+

==

=

w

e

w

e

w

e

w

e

w

es

s

r

rln

sRD

r

rln

sr

rln

sr

rlnBC

kh

r

rlnBC

khIP

IPRD

1

22

0

+

=

=

sr

rlnBC

khpp

qIP

w

ewfe 2

IP e RD no regime permanenteIP e RD no regime permanenteIP e RD no regime permanenteIP e RD no regime permanente


Outra forma de modelar a perda de carga nas proximidades do poo trabalhar com um raio efetivo ou raio equivalente(reduzido) deste.

onde rw

o raio efetivo do poo.

Poo danificado: s > 0 rw

< rw.

Poo estimulado: s < 0 rw

> rw.

s

ww er'r

=

Raio efetivo de um pooRaio efetivo de um pooRaio efetivo de um pooRaio efetivo de um poo


Estimulao de poos

Conceito semelhante, mas com efeito oposto ao dano

Acidificao

Fraturamento

Estimulao trmica

0


Melhora as caractersticas permoporosas ao redor do poo.

Muito importante para a produo de reservatrios carbonticos. Heterogeneidade Formao de Wormholes

Efeito Estimulao nas proximidades do poo

Raio de ao: 0,5m a 0,9m; Efeito de pelcula alcanado (s): 0 a 2

Estimulao intermediria Raio de ao: 0,9m a 1,8m; Efeito de pelcula alcanado (s): -2 a -3

Estimulao intensiva Raio de ao superior a 1,8m; Efeito de pelcula alcanado (s): -3 a -5.

Exemplos de wormholes formados em uma rocha calcria

AcidificaoAcidificaoAcidificaoAcidificao


Altera os padres de fluxo ao redor do poo.

Quando se atinge um fluxo pseudo-radial, o efeito pode ser modelado a partir de um efeito de pelcula negativo.

Exemplos:

Fraturamento hidrulico

Fraturamento cido

Efeito: pode chegar a provocar efeito pelcula negativo da ordem de -7.

Fratura

(a) Fluxo linear na fratura (b) Fluxo bilinear

(d) Fluxo pseudoradial(c) Fluxo linear na formao

Fratura Fratura

Poo

Poo Poo

Fratura

FraturamentoFraturamentoFraturamentoFraturamento


Muito utilizado em reservatrios de leo pesado em campos onshore.

comumente tratado como um mtodo especial de recuperao.

Os modelos mais rigorosos levam em considerao o efeito trmico causado.

Equao de balano de energia acoplada de balano de massa e de transporte.

O fenmeno pode ser compreendido a partir de um modelo simplificado de efeito de pelcula (reduo de viscosidade).

leo pesado

Zona quente

Zona quente

Vapor cond. Vapor injetado

vapor

Estimulao trmicaEstimulao trmicaEstimulao trmicaEstimulao trmica


Considere um poo de raio 0,11m, cuja rea drenada aproximadamente um quadrado com lado de 400m. Qual seria o impacto na produtividade do poo da presena de dano formao, capaz de reduzir a mobilidade do leo em dez vezes? O que ocorreria com a produtividade, caso fosse realizada uma operao de estimulao que resultasse numa mobilidade dez vezes maior ao redor do poo, quando comparada com a do reservatrio?

Poo danificado Poo estimuladoExtenso

(raio)s RD

0,7m1,5m2,0m

Extenso (raio)

s RD

0,7m1,5m2,0m

Exerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmulo


Exerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloEfeito do dano na produtividade do poo

0

5

10

15

20

25

30

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Extenso do dano (m)

s

0

1

2

3

4

5

6

R

D

s

RD

Poo danificadoExtenso

(raio)s RD

0,7m 16,7 3,421,5m 23,5 4,41

2,0m 26,1 4,79

Extenso (raio)

s RD

0,7m 16,7 3,421,5m 23,5 4,41

2,0m 26,1 4,79


Exerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloExerccio 2: dano versus estmuloEfeito do estmulo na produtividade do poo

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Extenso do dano (m)

s

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

R

D

s

RD

Poo estimuladoExtenso

(raio)s RD

0,7m -1,7 0,761,5m -2,4 0,662,0m -2,6 0,62

Extenso (raio)

s RD

0,7m -1,7 0,761,5m -2,4 0,662,0m -2,6 0,62

6_fluxo_fluidos_v2

Documents