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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANCENTRO DE ENGENHARIASE CINCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICACURSO DE ENGENHARIA QUMICA

ONDAS ESTACIONRIAS

Toledo/PR2013Bruna Lariane de MedeirosCesar SchadeckTamara Larissa WilhelmTiago FerreiraYohana Torquato dos Santos

ONDAS ESTACINRIAS

Relatrio apresentado disciplina de Fsica Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paran - Campus de Toledo.

Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza Quiones

TOLEDO PARAN2013SUMRIO

1.RESUMO42.INTRODUO52.1.ONDAS 52.2. ONDAS MECNICAS EM CORDAS 62.3. REFLEXO DE ONDAS MECNICAS82.4. ONDAS ESTACIONRIAS82.5. MODOS NORMAIS DE VIBRAO93.MATERIAIS E PROCEDIMENTO123.1. MATERIAIS UTILIZADOS123.1. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL124.RESULTADOS E DISCUSSO144.1. PROPRIEDADES DE CADA FIO144.2. MEDIDA DAS TENSES APLICADAS154.3. CLCULO DAS VELOCIDADES PELOS DOIS MTODOS164.4. RELAO ENTRE AS VELOCIDADES175.CONCLUSO246.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS257.ANEXOS26

1. RESUMO

No experimento seguinte, atravs de uma fonte e um m eletromagntico, pode-se gerar pulsos harmnicos em fios de ao, sendo possvel variar os modos de vibrao da corda atravs da alterao na tenso no fio, alm de associar distncias entre os ventres ou ns da onda estacionria com o comprimento de onda, sendo ento possvel posteriormente descobrir a frequncia do sistema. Alm disso, foi possvel determinar a velocidade de propagao da onda de duas formas, a primeira relacionando a tenso com a densidade do fio e a segunda relacionando o comprimento de onda com a freqncia constante. Foram utilizado fios de cobre com massa de 20, 30, 40 e 50 lb cada um com seu respectivo comprimento. Por fim, atravs de grficos, relacionou-se as duas formas de se obter a velocidade, comparando-as e analisando os mtodos.

2. INTRODUO

a. ONDASUma onda em geral, qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro um meio com velocidade definida, ou seja, quando a transmisso do sinal entre dois pontos distantes ocorre sem que haja transporte direto de matria de um desses pontos a outro, havendo somente o transporte de energia (NUSSENZVEIG,1996).Ao considerar uma onda mecnica, ou seja, aquelas que necessitam de um meio material de modo a propagar a perturbao, pode-se distingui-las levando em considerao como a direo do movimento das partculas do meio que se relaciona com a direo de propagao da onda (HALLIDAY,1993). Sendo assim, pode-se ter ondas transversais, onde as partculas se movimentam na direo perpendicular direo de propagao da onda, e ondas longitudinais, em que a perturbao transmitida pela onda tem lugar ao longo da direo de propagao da onda (HALLIDAY,1993).As ondas podem ainda ser classificadas como uni, bi e tridimensionais, de acordo com o nmero de dimenses em que ela transmite energia.Ao caracterizar uma onda so importantes trs caractersticas fsicas: a velocidade de propagao da onda, a qual depende exclusivamente das propriedades fsicas do meio, e outros dois parmetros relacionados com a periodicidade da onda, tanto espaciais como temporais chamados de comprimento de onda e frequncia, respectivamente.O comprimento de onda indica a distncia entre dois pontos adjacentes na onda que tm a mesma fase. representado por , e esta relacionado com o nmero de onda k (Equaes 1 e 2).

(1)

(2)

A frequncia a taxa de variao temporal na qual a perturbao se repete. representada por , e o inverso do perodo (Equao 3).

(3)

Onde T da onda, o tempo necessrio para que um ponto qualquer, complete um ciclo do movimento transversal. A outra caracterstica da onda a velocidade, representada por , sendo definida como a velocidade de propagao da perturbao dentro do meio e seu valor depende essencialmente das propriedades do meio (Equao 4).

(4)

b. ONDAS MECNICAS EM CORDAS

As ondas mecnicas em uma corda so ondas unidimensionais do tipo transversal que se propagam ao longo da corda. A onda mecnica unidimensional governada pela Equao da Onda, de acordo com a Equao 5.

(5)

Onde a funo de onda Y(x,t) representa a evoluo espao-temporal da onda no meio que no caso de um ponto qualquer do meio mostra o deslocamento dele em relao sua posio de equilbrio. Solues desta equao podem ser do tipo progressiva direita ou esquerda, assim como uma superposio delas (interferncia). O perfil da onda depende da fonte de oscilao do tipo harmnico.Esta equao d uma completa descrio do movimento da onda, e a partir dela podemos derivar uma expresso para a velocidade de propagao da onda.Ao termos uma corda presa e tensionada nas suas extremidades e nela aplica-se uma fora, iremos produzir uma onda que ir se deslocar com uma velocidade (Figura 1).

Figura 1- Corda com uma tenso sendo aplicada em seus extremos(Fonte: Pg.6. QUIONES, F. R. E.)

De acordo com a Equao 6, essa velocidade depende das propriedades fsicas do meio, sendo elas as propriedades elsticas e inrcias.

(6)A propriedade elstica a intensidade de fora de tenso T, e a propriedade inercial a relao entre a massa e o comprimento da corda chamada de densidade linear da massa (Equao 7).

(7)

Assim, a velocidade da onda no depende da amplitude da onda gerada (Equao 8). (8)c. REFLEXO DE ONDAS MECNICASNuma corda, pode-se ter ondas progressivas propagando-se num sentido (para a direita ou para a esquerda) enquanto tais ondas no atingem as extremidades da corda. Ao atingir uma extremidade, uma onda progressiva num sentido geralmente refletida, gerando outra progressiva em sentido oposto (Figura 2). Em geral, tm-se simultaneamente ondas progressivas propagando-se nos dois sentidos, de acordo com a Equao 9. (9)

Figura 2 Descrio do movimento de uma onda progressiva refletida(Fonte: Pg.9. QUIONES, F. R. E.)

d. ONDAS ESTACIONRIAS

Num fio condutor, de comprimento finito , sob tenso T e com seus extremos fixos, podem ser geradas ondas estacionrias que so o resultado da interferncia de ondas progressivas harmnicas direita e esquerda (Equao 10).

(10)Um modo fcil de obter uma onda estacionria sobrepor uma onda progressiva em uma corda com a onda refletida que se move no sentido oposto.A condio de que as duas extremidades da corda permaneam fixas se exprime pelas condies de contorno, seguindo a Equao 11.

para qualquer (11)

Isso implica que , se n um nmero inteiro isto s ser satisfeito quando: (12)

e. MODOS NORMAIS DE VIBRAO

Combinado as Equaes (1) e (12), obtm-se os valores de associados aos modos normais de vibrao da corda, obtendo a Equao 13.

(13)

Assim ao variar os modos de vibrao observa-se as seguintes ondas da Figura 3.

Figura 3 - Relao entre modos de vibrao e o comprimento de onda.(Fonte: Pg. 116. NUSSENZVEIG, M.H.)

A partir dessas ondas pode-se estabelecer que a onda estacionria de comprimento exibe exatamente n semi-comprimentos de onda para o modo de ordem n. O nmero de ventres ou antinodos exatamente n e o nmero de nos n+1, incluindo os extremos. importante ressaltar que para se observar ondas mecnicas em uma corda so necessrios trs parmetros:1- Fonte de perturbao;2- Um meio que possa ser perturbado;3- Alguma conexo fsica que sirva de elo entre partculas do meio.

Logo, nesse experimento a fonte de perturbao foi o resultado da interao da corrente eltrica alternada em um fio e o campo magntico gerado por um im permanente. O meio onde ocorreu essa perturbao foi um fio metlico e a conexo fsica era a tenso do fio metlico.Nesse sentido, o objetivo da prtica foi estudar a variao da velocidade de propagao das ondas em funo da tenso aplicada na corda e o comprimento de onda. Alm de identificar numa corda, ondas estacionrias e determinar as suas caractersticas: nodos, antinodos e comprimento de onda, bem como a identificao de ondas transversais, ondas incidentes e refletidas nos extremos, como tambm a interferncia de ondas que se propagam em sentidos opostos.

3. MATERIAIS E PROCEDIMENTO

a. MATERIAIS UTILIZADOS

Foi utilizado um suporte fixo na bancada com uma roldana metlica de rolamento para passar o fio a ser analisado, sendo que esses fios tinham diferentes comprimentos e eram de ao revestidos de nylon. Sob o fio foi colocado, tambm atravs de um suporte, um m permanente em formato de U. Para acionar o circuito utilizou-se uma chave liga-desliga com bornes e para medir a corrente do mesmo utilizou-se um ampermetro digital na faixa de 0 20 A, sendo que o sistema possua uma fonte de corrente alternada.Para variar a tenso, foram medidos na balana discos metlicos de massas variadas, para coloc-los em um suporte preso na ponta do fio.

b. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Previamente obteve-se a massa de cada fio utilizado, bem como seu comprimento total.Para analisar o modo de vibrao e a tenso na corda, fixou-se os extremos desencapados do fio condutor ao suporte metlico atravs da roldana ao sistema de pesos. Mediu-se o comprimento do fio entre os extremos do contato eltrico (L).Utilizou-se um m permanente perto de um dos extremos para gerar uma fonte magntica no fio de cobre com corrente alternada, foi necessrio nivelar o fio para t-lo no meio entre os polos do m, tomando devido cuidado para que o fio no encostasse ao m. Aps isso, fez-se a conexo em srie da fonte de alimentao da chave liga-desliga ao ampermetro, com suportes dos extremos desencapados do fio metlico. Ao ligar o multmetro colou-se na funo ampermetro para medir corrente alternada. Manteve-se a chave liga-desliga desativada enquanto liga-se a fonte de alimentao, essa chave acionada ao iniciar e terminar a experincia. Como o fio de ao possui certa resistncia, a corrente eltrica foi menor que 1 ampre. O esquema representado na Figura 4. Figura 4 - Montagem do experimento para sistemas de ondas estacionria em cordas vibrantes. (Fonte: KANDUS, A; FRIEDRICH, W. G.; CASTRO, C.M.C; A fsica das oscilaes mecnicas em instrumentos musicais, 2006).

4. RESULTADOS E DISCUSSO

4.1. PROPRIEDADES DE CADA FIO

Os dados experimentais obtidos pela medida da massa e do comprimento de cada fio esto registrados na Tabela 1. Em posse destes valores, calcularam-se a densidade linear, e o erro associado, para cada fio, atravs das Equaes A e B, anexadas ao final do trabalho.

Tabela 1- Propriedades dos fios de nylon utilizados nos experimentos.Tenso MximaMassa total (kg)(x 10-3)Comprimento(m)Densidade Linear (kg.m-1)(10-4)

20 lb1,39 0,011,784 0,0017,79 0,0562

30 lb1,64 0,011,765 0,0019,29 0,0567

40 lb1,89 0,011,786 0,00110,56 0,0562

50 lb1,96 0,011,746 0,00111,22 0,0576

Fora do estado de ondas estacionrias observa-se apenas a vibrao do fio, isso por que as ondas formadas ao se sobrepor formam um movimento quase que aleatrio, j que se somam e se cancelam em diversas partes, no sendo possvel gerar ondas visveis.O fenmeno de ondas estacionrias pode ser observado com o aumento ou diminuio gradativa da tenso sobre o fio condutor, ou seja, a variao da massa associada ao extremo livre do fio condutor provocar esse fenmeno.Durante a observao, ao perceber a formao das ondas estacionrias o intuito foi identificar o nmero de ventres e ns, registrando os valores de tenso correspondentes.Os valores dos comprimentos de onda sero os mesmos para todos os fios, em cada modo de vibrao, j que a distncia entre os extremos fixos dos fios foi mantida constante e o comprimento de onda depende apenas da distncia entre os pontos fixos e do modo de vibrao, conforme Equao C, anexada. A Tabela 2 contm os valores dos comprimentos de onda calculados e que seriam observados durante a experimentao.

Tabela 2 - Distncia entre os pontos fixos do fio e comprimento de onde para cada modo de vibrao a ser observado. Vlido para todos os fios utilizados.Modo de vibraoDistncia entre pontos fixos (m)Comprimento de onda (m)

31,6231,082

41,6230,812

51,6230,649

4.2. MEDIDA DAS TENSES APLICADAS Utilizando as massas de cilindro metlico para variar a tenso aplicada no fio, registraram-se os valores de tenso nos quais foi possvel observar o fenmeno das ondas estacionrias sobre o fio. Os valores de tenso utilizados para gerar cada modo de vibrao esto registrados na Tabela 3. Os erros relacionados so referentes a menor variao possvel de tenso no fio.

Tabela 3 - Tenses aplicadas nos fios de Nylon para observao de cada modo de vibrao requerido.Modo de VibraoTenso aplicada no Fio de 20 lbTenso aplicada no Fio de 30 lbTenso aplicada no Fio de 40 lbTenso aplicada no Fio de 50 lb

32,8 0,13,2 0,13,9 0,13,7 0,1

41,6 0,11,75 0,12,2 0,12,1 0,1

50,8 0,11,17 0,11,4 0,11,3 0,1

No fio de 50lb, foi possvel observar o modo de vibrao 6, aplicando uma tenso de 0,9N, porm no utilizou-se este dado j que no restante dos fios no foi possvel tal observao.

4.3. CLCULO DAS VELOCIDADES PELOS DOIS MTODOS

De posse dos valores das tenses aplicadas e da densidade linear de cada fio, calculou-se a velocidade de cada onda, nos diferentes fios em cada modo de vibrao, utilizando a Equao D. Os erros relacionados a cada velocidade, dependentes do valor da tenso, da densidade e de seus erros associados, foram obtidos pela Equao E. As velocidades e os erros associados esto registrados na Tabela 4.

Tabela 4: velocidades das ondas nos diferentes modos de vibrao, em cada fio, atravs da relao entre tenso e densidade linear.Modo de VibraoVelocidades Fio de 20 lb. (m.s-1)Velocidades Fio de 30 lb.(m.s-1)Velocidades Fio de 40 lb.(m.s-1)Velocidades Fio de 50 lb.(m.s-1)

359,95 1,0958,69 0,9455,05 0,7256,67 0,79

445,32 1,4343,40 1,2545,64 1,0442,69 1,02

532,05 2,0138,82 1,6636,41 1,3033,59 1,29

A frequncia da fonte que causa a oscilao foi frequncia de distribuio da energia eltrica na rede, considerou-se que esta era constante e com valor de .Calcularam-se as velocidades de cada onda formada atravs da relao entre comprimento de onda e frequncia da fonte oscilatria, pela Equao F, do anexo. Essas velocidades esto registradas na Tabela 5.

Tabela 5: velocidades da onda nos diferentes modos de vibrao, determinadas pela relao entre comprimento de onda e frequncia aplicada.Modo de VibraoVelocidades Fio de 20 lb. (m.s-1)Velocidades Fio de 30 lb.(m.s-1)Velocidades Fio de 40 lb.(m.s-1)Velocidades Fio de 50 lb.(m.s-1)

364,9264,9264,9264,92

448,6948,6948,6948,69

538,9538,9538,9538,95

Observa-se que as velocidades so iguais em todos os fios em um mesmo modo de vibrao. Isso porque a frequncia da fonte foi considerada constante e a distncia utilizada entre os extremos fixos dos fios era a mesma.O erro relativo s medidas foi considerado desprezvel e dependia unicamente do erro experimental relacionada medida da distncia entre os pontos fixos do fio, j que no se levaram em conta as oscilaes na frequncia da corrente disponibilizada para o sistema.Construram-se grficos relacionando as medidas de velocidade para cada fio pelos dois mtodos. O intuito da estruturao dos grficos observar quo prximos esto os valores determinados por mtodos distintos.

4.4. RELAO ENTRE AS VELOCIDADES OBTIDAS NOS DOIS MTODOS

Figura 5 - Grfico da relao das velocidades da onda no fio de Nylon de 20lb por dois mtodos distintos. (Grfico obtido no software Origin Pro 6.0, Copyright OriginLab Corporation).

A regresso linear apresentou um coeficiente de correlao R=0,9939, portanto a regresso comporta bem os dados expressos no grfico. A equao linear que representa a reta formada pelo ajuste entre os dados experimentais :

Pode-se observar que as velocidades tem dependncia linear (V1 = a.V2). Como o coeficiente angular a prximo de um, V1 quase igual V2. O resultado foi satisfatrio j que na situao ideal, onde as velocidades so iguais pelos dois mtodos, o coeficiente a deveria ser um, e este est contido no intervalo de possibilidade. Pelo coeficiente linear a situao ideal seria b=0, tendo portanto as velocidades iguais. Apesar de parecer distante de zero na equao dada pelo software, o erro relacionado com o valor do coeficiente linear faz com que o zero esteja dentro do intervalo de concordncia. Portanto o resultado obtido tambm pode ser considerado satisfatrio neste aspecto.

Figura 6 - Grfico expressando a relao entre as velocidades da onda obtidas por dois mtodos distintos sobre o fio de 30lb. (Grfico obtido no software Origin Pro 6.0, Copyright OriginLab Corporation).A equao resultante da regresso linear expressa de modo satisfatrio os dados experimentais j que o coeficiente de concordncia de R=0,99048. Esta equao na forma:

O valor do coeficiente angular no ficou suficientemente prximo de um, para considerar o resultado satisfatrio. Considerando o erro associado, o valor um (tido como ideal para obter linearidade requerida), est fora do intervalo obtido.O coeficiente linear, b, est satisfatrio, visto que o valor ideal, no caso, zero, est contido no intervalo de concordncia determinado.Portanto apesar de no obter a linearidade desejada, as velocidades mantinham certa relao entre elas, sendo que a velocidade determinada pela relao entre a tenso aplicada e a densidade linear do fio tem crescimento menor conforme o aumento do modo de vibrao, comparada a velocidade obtida pela relao entre comprimento de onda e frequncia da fonte.

Figura 7 - Grfico expressando a relao entre as velocidades da onda sobre o fio de 40lb obtidas por dois mtodos distintos. (Grfico obtido no software Origin Pro 6.0, Copyright OriginLab Corporation).Observa-se que o coeficiente de correlao de 0,9920, portanto a regresso linear condiciona de modo eficiente as variveis expressas pelo grfico. No caso do fio de 40lb a equao que expressa o comportamento de dependncia das velocidades na forma:

No caso do fio de 40lb, o coeficiente angular a encontra-se abaixo do esperado, considerando que o valor ideal de linearidade esperado, a=1, no est contido no intervalo de concordncia obtido pelo programa estatstico.O valor do coeficiente linear tambm est distante do ideal, observando que o valor b=0 no est contido no intervalo obtido. Portanto o fio de 40lb apesar de apresentar relao entre as velocidades calculadas nos dois mtodos, no condiz com a situao esperada, que seria a igualdade das velocidades (V1=V2).

Figura 8 - Grfico expressando a relao entre as velocidades da onda sobre o fio de 40lb obtidas por dois mtodos distintos. (Grfico obtido no software Origin Pro 6.0, Copyright OriginLab Corporation).

Observa-se que o coeficiente de correlao de R=0,9998, sendo que a equao resultante expressa muito bem os dados experimentais. Visivelmente no grfico a reta passa sobre todos os dados obtidos. Apesar da concordncia estatstica entre os dados, o coeficiente angular apresentou-se distante da situao ideal esperada, sendo que o valor a=1 no est contido no intervalo de concordncia obtido. Os valores de velocidade obtidos pela relao entre comprimentos de onda e frequncia da fonte so sempre maiores que os obtidos pelo outro mtodo, divergindo da situao ideal que seria a igualdade entre as velocidades.O coeficiente angular neste caso est satisfatrio em relao a situao ideal, j que b=0 est no intervalo de concordncia dos valores.

Figura 9 - Velocidade determinada pela relao entre tenso aplicada e densidade linear, no modo de vibrao 3, para cada fio.

Analisando o grfico da Figura 9 observa-se que as velocidades no modo de vibrao 3, no tm nenhuma relao com a densidade linear, ou seja, apesar de depender da densidade linear a velocidade no segue o mesmo padro de comportamento. Isso ocorre no s no modo de vibrao 3, mas em todos trabalhados no experimento.A inteno ao relacionar as velocidades e as densidades mostrar que o registro da tenso na qual se podem observar os modos de vibrao fundamental para a coincidncia, ou no, dos valores de velocidade. Portanto, a diferena entre as velocidades dos dois mtodos no aumenta, nem diminui, linearmente com a densidade.Sendo assim os erros, e a condio de satisfatoriedade da relao das velocidades, de cada fio no tem relao com a densidade do fio. Tanto que o fio de 20lb teve resultado satisfatrio pela anlise dos dois coeficientes da equao que representa o comportamento das velocidades, os fios de 30 e 50lb, apesar de no condizerem com a situao ideal, tm os coeficientes lineares das equaes que relacionam as velocidades da onda satisfatrios em relao ao caso ideal e o fio de 40lb apresentou-se distante do comportamento ideal nos dois casos analisados (tanto coeficiente angular como linear).

5. CONCLUSO

Ao realizar as oscilaes no sistema montado, observou-se que conforme o aumento do modo de vibrao a ser observado e a consequente diminuio da tenso aplicada, mais difcil era a observao. Isso porque a amplitude da onda era menor, sendo difcil a visualizao dos ns e dos ventres. J modos de vibrao menores que 3 seriam dificultados devido grande tenso que seria necessria para tal observao.A determinao da velocidade atravs da anlise da frequncia no apresentou, durante os experimentos, erros associados. Porm sabe-se da sua existncia, principalmente, pois no havia equipamentos capazes de manter a frequncia da fonte, que causava a oscilao, no valor considerado constante durante os experimentos. Outras fontes de erro e/ou divergncia entre os resultados e que no foram levados em conta so: a possibilidade de movimentao da roldana que mantinha fixo um dos extremos do fio e o erro relacionado medida do comprimento do fio na obteno do valor do comprimento de onda.Conforme registra o grfico da Figura 9, as velocidades obtidas atravs da relao entre Tenso aplicada no fio e densidade linear, dependem primariamente dos valores de tenso. Isso porque as densidades lineares, mesmo que diferentes, so pequenas e no influenciam muito no valor das velocidades. E principalmente, o valor da densidade de cada fio no estava relacionada a possibilidade do fio estar, ou no, prximo da condio ideal.Atravs dos experimentos pode-se observar a validade das duas anlise para obteno da velocidade das ondas harmnicas j que, apesar de no apresentar em todos os casos a possibilidade da condio ideal onde corresponderiam ao mesmo valor, elas apresentaram valores que, grosso modo, podem ser considerados prximos. Sendo, portanto ambos os mtodos teis e satisfatrios na obteno da velocidade de uma onda harmnica sobre um fio.

6. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S..Fundamentos de fsica 2- Movimento ondulatrio e Gravitao.4a edio Rio de Janeiro: Ltc, 1993.

KANDUS, A; FRIEDRICH, W. G.; CASTRO, C.M.c.- A fsica das oscilaes mecnicas em instrumentos musicais, Laboratrio de Astrofsica Terica e Observacional, Universidade Estadual de Santa Cruz, Ilhus, Bahia, Brasil, 2006.

NUSSENZVEIG, M.H..Curso de fsica bsica 2- Oscilaes e Ondas. 3a edio So Paulo: Edgar Blucher Ltda, 1996.

QUIONES, F. R. E. Apostila de Ondas 2013.

7. ANEXO

Equao A: Densidade Linear dos fios ()

Onde: - : massa total do fio.- : comprimento total.

Equao B: Erro associado a Densidade Linear ()

Onde:- : erro associado medida da massa do fio.- : erro associado a medida do comprimento do fio.

Equao C: Comprimento de Onda em um fio ()

Onde:- : modo de vibrao da onda.- : distncia entre os extremos fixos do fio.

Equao D: Velocidade da onda relacionando Tenso aplicada e densidade linear ()

Onde:- : tenso aplicada no fio. Equao E: Erro associado a velocidade calculada pela relao entre tenso aplicada e densidade linear.

Onde:-: erro associado a medida da trao aplicada.

Equao F: Velocidade da onda atravs da relao entre comprimento de onda e frequncia da fonte.

Onde:-: frequncia da fonte.