6-1 6.Influxo de gua Quando um reservatrio de leo ou gs apresenta um aqfero adjacente, a queda de pres-sodoreservatriodecorrentedaproduodosfluidospodeprovocaraexpansodaguado aqferoeoconseqenteinfluxodeguaparaoreservatrio.Oconhecimentodovolumedegua quefluidoaqferoparaoreservatriofundamentalparaarealizaodeestudosdeajustede histricoedeprevisodecomportamentodoreservatrio,conformeserdiscutidoemcaptulos posteriores. Define-seinfluxodegua,We,comosendoovolumeacumuladodeguafornecidopelo aqfero ao reservatrio, atravs do contato reservatrio-aqfero, at um determinado tempo.O modelo mais simples para se estimar o influxo baseia-se na equao da compressibilida-de: ( ) p p W c Wi i t e = ,(6.1) ondectacompressibilidadetotaldoaqfero,Wiovolumeinicialdeguadoaqfero,pia pressoinicialepapressonocontato.Estaequao,porm,saplicvelaaqferosmuito pequenos, pois admite a equalizao imediata de presses entre o reservatrio e o aqfero. Para aqferos maiores torna-se necessrio um modelo matemtico que inclua a dependn-cia do tempo, tendo em vista que demanda um certo tempo para o aqfero responder integralmente a uma mudana de presso no reservatrio. Entre os vrios modelos existentes na literatura, apresen-ta-se aqui o modelo de van Everdingen & Hurst (1949), o modelo aproximado de Fetkovich (1971), o modelo de Hurst modificado (apud Pirson, 1958), o modelo de Carter-Tracy (1960), o modelo de Leung (1986) e o modelo de influxo de fundo de Allard & Chen (1984). 6.1. Modelo de van Everdingen & Hurst As equaes diferenciais que descrevem o fluxo no aqfero so as mesmas que descrevem ofluxodefluidosnoreservatrio1,diferindo-seapenasnosparmetrosdarochaedosfluidos.Os modelosde fluxo no reservatrio normalmente consideram como condio de contorno interna que opooproduzcomvazoconstante.Nocasodoaqfero,entretanto,comonosetemcontrole sobre a vazo no contato reservatrio-aqfero, a equao diferencial que rege o fluxo no aqfero resolvida considerando-se que a presso no contato se mantm constante.

1 Estas equaes so tambm denominadas equaes da difusividade hidrulica (Vide Captulo 3). Influxo de gua 6-2 Na descrio do comportamento de um aqfero h muito mais interesse no clculo da va-zo que o aqfero fornece (ou do influxo acumulado) do que da queda de presso. van Everdingen &Hurst(1949)apresentarammodelosclssicosdeinfluxoparadoistiposdeaqfero:aqfero radial e aqfero linear.Aplicandoo conceito de transformadas de Laplace, van Everdingen & Hurst resolveram a equaodadifusividadedosistemareservatrio-aqferoconsiderandoapressoconstanteno contato. Na prtica, entretanto, espera-se que a presso no contato seja decrescente com o tempo em funodadepleodoreservatrio.Combasenosmodelosclssicosdeinfluxo,queconsideram umaquedadepressoconstantenocontato,pode-se,atravsdoprincpiodasuperposiode efeitos, obter a soluo de casos mais realistas onde se admite que a presso no contato varie com o tempo. 6.1.1.Aqfero radial O sistema reservatrio-aqfero para este caso est representado na Figura 6.1. roreRes. Aqfero Figura 6.1 Modelo de aqfero radial. Inicialmente definem-se as variveis adimensionais do modelo: raio adimensional: oDrrr = , (6.2) tempo adimensional: 2o tDr ct kt=(6.3) e presso adimensional: 0 0pp pp pp ppiiiD== , (6.4) onde 0 0p p pi = a queda de presso constante no contato, tomada como referncia. A vazo que o aqfero fornece, isto , a vazo no ponto r = ro, dada pela lei de Darcy e pode ser escrita como: orrprfkhq ||

\|=2, (6.5) Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-3 onde = 2 f , em radianos. UsandoasdefiniesdevariveisadimensionaisdadaspelasEqs.(6.2)e(6.4),aEq. (6.5) pode tambm ser escrita em termos de variveis adimensionais: ) (201D DrDDDt qp fkhqrprD =|||

\|=, (6.6) onde qD (tD) a vazo adimensional fornecida pelo aqfero, ou seja, a vazo adimensional calculada no contato reservatrio-aqfero (ponto rD = 1). maisconvenienteexpressarasoluoemtermosdoinfluxoacumulado(integraldava-zo)doqueemtermosdavazo.ResolvendoaEq.(6.6)paraavazoeintegrandoemrelaoao tempo obtm-se: ( = DtDDDtedtdtdtqp fkhqdt W0002.(6.7) Da definio de tempo adimensional, dada pela Eq. (6.3), tem-se que: kr cdtdto tD2= .(6.8) Substituindo a Eq. (6.8) na Eq. (6.7) vem: DtD o t edt q p hr c f WD =0022 .(6.9) Finalmente, denominando a integral de qD em relao a tD por WD (tD), a Eq. (6.9) simplifica-se para: ) (0 D D et W p U W = ,(6.10) onde: 22o thr c f U = .(6.11) A constante U geralmente denominada constante de influxo de gua do aqfero e WD o influxo adimensional acumulado para uma queda de presso constante no contato. WD(tD)podeserobtidoresolvendo-seoproblema do fluxo no aqfero. Sero considera-dos trs modelos de aqfero radial: aqfero infinito, aqfero com manuteno de presso no limite externo e aqfero selado no limite externo. A diferena entre estes modelos est apenas na condio de contorno externa, isto , na condio imposta no limite externo do aqfero. O problema do fluxo no aqfero pode ser escrito matematicamente como: E.D.P.: DDDDDDDtprprrp=+ 122(6.12) C.I.:( ) 0 0 ; = =D D Dt r p (6.13) C.C.I.:( ) 1 ; 1 = =D D Dt r p .(6.14) A Eq. (6.12), denominada equao da difusividade hidrulica (Matthews & Russell, 1967), a equao diferencial parcial (E.D.P.) que rege o fluxo no meio poroso, e pode ser obtida usando-seasdefiniesdasvariveisadimensionaisnaequaodadifusividadehidrulicadeduzidaem termosdevariveisreaisnoCaptulo3.Acondioinicial(C.I.)representaacondiodeque inicialmente as presses em qualquer ponto do aqfero esto em equilbrio e iguais a pi. A condio Influxo de gua 6-4 decontornointerna(C.C.I.)impeacondiodequedadepressop0 = pi p0constanteno contato aqfero-reservatrio. Consideram-se trs opes para a condio de contorno externa (C.C.E.): (a)Aqfero infinito: C.C.E.:( ) 0 ; = D D Dt r p .(6.15a) (b)Aqfero finito selado: Neste caso no h fluxo no limite externo e a C.C.E. pode ser escrita como: C.C.E.:0 =|||

\|=o e Dr r rDDrp, (6.15b) onde re o raio externo do aqfero e ro o raio interno. (c)Aqfero finito com presso constante no limite externo: C.C.E.:( ) 0 ; = =D o e D Dt r r r p .(6.15c) Em qualquer dos casos o influxo pode ser calculado com a seguinte equao2: DrtDDD DtD D Ddtrpr dt t q WDDD1 00) (=(|||

\| = . (6.16) Os problemas matemticos formados pelas Eqs. (6.12) a (6.16) so resolvidos aplicando-se o conceito de transformadas de Laplace e as suas solues esto apresentadas no Apndice G. Como assolues,nestecaso,soobtidasanaliticamenteapenasnocampodeLaplace,algumtipode inverso numrica tem que ser utilizado para se obter o comportamento de WD em funo de tD. No Apndice I encontra-se o algoritmo de Stehfest (1970), que normalmente utilizado para a inverso numrica da transformada de Laplace. comum a apresentao dos valores de WD em funo de tD na forma de tabelas. A Tabela K.4 do Apndice K apresenta o resultado para o caso de aqfero radial infinito, enquanto a Tabela K.5 apresenta o influxo acumulado adimensional WD em funo de tD para o caso de aqfero finito paradiferentesvaloresderaioexternoadimensional(reD).ATabelaK.5apresentaosresultados tantoparaaqferoseladoquantoparaaqferorealimentado(isto,compressoconstanteno limiteexterno).UmavezconhecidooinfluxoadimensionalWD, o influxo dimensional We obtido com a Eq. (6.10). AFigura6.2mostraocomportamentodoinfluxoadimensionalWDparaoaqferoradial em funo do tempo adimensional tD e do tamanho do aqfero dado pelo parmetro reD. Note que, inicialmente, independentemente da condio no seu limite externo, o aqfero se comporta como se fosse infinito. Quanto maior o tamanho do aqfero maior o perodo em que o mesmo se compor-ta como aqfero infinito.

2 A vazo adimensional qD est definida pela Eq. (6.6). 3456789Influxo Adimensional, WDreD = 4,0reD = 3,5reD = 3,0reD infinitoreD = 2,53,0reD = 1,5Aqfero Radial:InfinitoSeladoRealimentado2030405060Influxo Adimensional, WDreD = 10reD = 9reD = 8reD infinitoreD = 6reD = 7reD = 5Aqfero Radial:InfinitoSeladoRealimentadoAdalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-5 Figura 6.2a Figura 6.2b Figura 6.2cFigura 6.2d Figura 6.2 Influxo acumulado adimensional DWpara aqfero radial em funo do tempo adimensional Dte do tamanho do aqfero dado pela razo o e eDr r r = . 100 1000 1E+4 1E+5 1E+6Tempo Adimensional, tD0100020003000400050006000Influxo Adimensional, WDreD = 100reD = 75reD = 50reD infinitoreD = 30Aqfero Radial:InfinitoSeladoRealimentadoreD = 3010 100 1000 10000Tempo Adimensional, tD020406080100120140160180200220Influxo Adimensional, WDreD = 20reD = 18reD = 16reD infinitoreD = 10reD = 12reD = 14reD = 10Aqfero Radial:InfinitoSeladoRealimentadoInfluxo de gua 6-6 Paraaqferosseladosexisteumvalormximoparaoinfluxoacumulado.Essevalor m-ximoalcanadoapsaequalizaodaspressesdoreservatrio(nocontato)edoaqfero.A partir da equao da compressibilidade, pode-se mostrar que o influxo mximo dado pela equao: 212=eDmx DrW . (6.17) ___________________________ Exemplo 6.1 Um reservatrio de petrleo com geometria aproximadamente radial tem um raio de 500mecircundadoporumaqferodegrandeextenso,queparaefeitosprticospodeser considerado como se fosse infinito. Durante 50 dias tal reservatrio, cuja presso original era de 100 kgf/cm2, foi mantido a uma presso constante de 90 kgf/cm2. Outros dados so: Porosidade do aqfero ........................................................... = 0,20 Permeabilidade do aqfero ....................................................k = 100 mdEspessura do aqfero .............................................................h = 1,0 m Viscosidade da gua ............................................................... = 1,0 cp Compressibilidade total do aqfero .......................................ct = 105 (kgf/cm2)1 Pede-se calcular o influxo de gua no reservatrio ao final dos 50 dias anteriormente mencionados. Soluo: Eq. (6.10):) (0 D D et W p U W = Eq. (6.11): 22o tr h c f U =2 3 2 5/ 1416 , 3 500 0 , 1 10 20 , 0 1 1416 , 3 2 cm kgf m U = = Eq. (6.3): 2o tDr ct kt=(sistema SI)ou 2008362 , 0o tDr ct kt=(nas unidades do exemplo)62 , 83500 10 0 , 1 20 , 050 100 008362 , 02 5= =DtClculo de WD:3 , 37 ) (K.4 Tabela62 , 83= = =D DDeDt Wtr Clculo de p0: 20 0/ 10 90 100 cm kgf p p pi= = = Finalmente da Eq. (6.10): 3172 . 1 3 , 37 10 1416 , 3 m We= = . Exemplo6.2Umreservatriodeleocom800mderaiocircundadoporumaqferocomas seguintes caractersticas: Raio externo ...........................................................................re = 5.000 m Espessura da formao ...........................................................h = 15 m Porosidade ............................................................................. = 0,20 Permeabilidade ......................................................................k = 150 mdAdalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-7 Viscosidade da gua ............................................................... = 1,0 cp Compressibilidade da gua .....................................................cw = 40106 (kgf/cm2)1 Compressibilidade da formao ..............................................cf = 50106 (kgf/cm2)1 Presso inicial ........................................................................pi = 180 kgf/cm2 Sabendoqueapressonocontatoleo/guaconstanteeiguala150 kgf/cm2desdeoincioda produo do reservatrio, calcule: (a) O influxo acumulado de gua aps 400 dias. (b) O influxo acumulado mximo para a presso no contato de 150 kgf/cm2. Soluo: Parte (a): Clculo de ct: f w tc c c + = 1 2 6 6 6) / ( 10 90 10 50 10 40 = + = cm kgf ct Eq. (6.11): 22o tr h c f U =2 3 2 6/ 7 , 085 . 1 800 15 10 90 20 , 0 0 , 1 1416 , 3 2 cm kgf m U = = Eq. (6.3): 2o tDr ct kt=(sistema SI)ou 2008362 , 0o tDr ct kt=(nas unidades do exemplo) 55 , 43800 10 90 0 , 1 20 , 0400 150 008362 , 02 6= =DtClculo de reD: 25 , 6800000 . 5= = =oeeDrrrClculo de WD:10 , 1625 614 , 18K.5 Tabela55 , 43742 , 15K.5 Tabela55 , 436 = = === ===DDDeDDDeDW,WtrWtreDr Clculo de p0: 20 0/ 30 150 180 cm kgf p p pi= = = Eq. (6.10):) (0 D D et W p U W = 3390 . 524 10 , 16 30 7 , 085 . 1 m We= = . Parte (b): O influxo mximo numericamente igual expanso que o volume inicial de gua do aq-fero,Wi,sofreriaaopassardapressoinicialparaapressodocontatoleo/gua.Utilizandoa equao da compressibilidade pode-se escrever que:Influxo de gua 6-8 ) (1) (10 0p pWW p pWWcimx ei iiit = = , ou ainda que( )0p p W c Wi i t mx e = . O volume inicial de gua do aqfero dado por: 3 8 2 2 2 210 2959 , 2 20 , 0 15 ) 800 000 . 5 ( 1416 , 3 ) ( m h r r Wo e i = = = . Finalmente, 3 8 6890 . 619 ) 150 180 ( 10 2959 , 2 10 90 m Wmx e= =. ___________________________ 6.1.2.Aqfero linear A Figura 6.3 mostra um sistema reservatrio-aqfero para o modelo de fluxo linear.whx0LAqferoReservatrio Figura 6.3 Modelo de aqfero linear. Normalmenteocomprimentodoaqfero,L,utilizadocomocomprimentodereferncianas definies de variveis adimensionais3. Neste caso as variveis adimensionais so dadas por: comprimento adimensional: LxxD= ,(6.18) tempo adimensional: 2L ct kttD=(6.19) e presso adimensional: 0 0pp pp pp ppiiiD== , (6.20) onde 0 0p p pi = a queda de presso constante no contato, tomada como referncia. A vazo que o aqfero fornece, isto , a vazo no ponto x = 0, dada pela lei de Darcy pa-ra o fluxo linear: 0 =||

\|=xxp kAq , (6.21)

3 Para o modelo de aqfero infinito, L passa a ser apenas um comprimento de referncia arbitrrio, sem qualquer significado fsico. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-9 onde A a rea aberta ao fluxo, ou seja, wh A = . UsandoasdefiniesdadaspelasEqs.(6.18)e(6.20),aEq.(6.21)podeserescritaem termos de variveis adimensionais como: ) (00D DxDDt qp kAL qxpD=|||

\|=, (6.22) onde qD(tD) a vazo adimensional fornecida pelo aqfero, isto , a vazo adimensional calculada no contato reservatrio-aqfero (ponto xD = 0). Como o interesse est na soluo em termos do influxo acumulado (integral da vazo), re-solvendo a Eq. (6.22) para a vazo e integrando em relao ao tempo resulta em: (= DtDDDtedtdtdtqLp kAqdt W000.(6.23) Mas da Eq. (6.19) tem-se que: kL cdtdttD2= .(6.24) Finalmente, substituindo a Eq. (6.24) na Eq. (6.23) obtm-se: DtD t edt q p c h L w WD =00(6.25) ou ainda: ) (0 D D et W p U W = ,(6.26) onde: tc h L w U = .(6.27) WD o influxo acumulado adimensional para uma queda de presso p0 constante no con-tato e obtido resolvendo o problema do fluxo no aqfero para os modelos de interesse. Conside-ram-se aqui tambm trs modelos de aqfero linear (associados s mesmas opes para a condio de contorno externa utilizadas no modelo de aqfero radial): aqfero linear infinito, aqfero linear com presso constante no limite externo e aqfero linear selado no limite externo.Utilizando as definies de variveis adimensionais e a equao da difusividade hidrulica em termos de variveis reais apresentada no Captulo 3, neste caso o problema do fluxo no aqfero pode ser escrito matematicamente como (Matthews & Russell, 1967): E.D.P.: DDDDtpxp=22(6.28) C.I.:( ) 0 0 ; = =D D Dt x p (6.29) C.C.I.:( ) 1 ; 0 = =D D Dt x p .(6.30) A condio de contorno externa (C.C.E) depende do modelo considerado: (a)Aqfero infinito: C.C.E:( ) 0 ; = D D Dt x p (6.31a) (b)Aqfero finito com presso constante no limite externo: Influxo de gua 6-10 C.C.E:( ) 0 ; 1 = =D D Dt x p (6.31b) (c)Aqfero finito selado no limite externo: C.C.E:01=|||

\|=DxDDxp. (6.31c) O influxo acumulado adimensional pode ser calculado com a seguinte equao: DxtDDDtD D Ddtxpdt t q WDDD0 00) (=(|||

\| = . (6.32) As solues para os problemas formados pelas Eqs. (6.28) a (6.32) so tambm obtidas a-plicando-seoconceitodetransformadasdeLaplaceeestoapresentadasnoApndiceH.Neste caso,existesoluoanalticanocamporealparaomodelodeaqferoinfinito.Assoluesdos outros modelos so obtidas analiticamente apenas no campo de Laplace. Novamente o algoritmo de Stehfest(ApndiceI)freqentementeutilizadoparainverternumericamenteassolueseobter tabelas de WD versus tD.A Tabela K.6 apresenta o resultado para os casos considerados de aqfero linear. Uma vez conhecidooinfluxoadimensionalWD,oinfluxodimensionalWeobtidocomaEq.(6.26).O comportamentodoinfluxoacumuladoadimensionalemfunodotipodecondiodecontorno externa mostrado na Figura 6.4. 0.1 1 100.1110SeladoInfinitoRealimentado Aqfero LinearTempo adimensional, tDInfluxo adimensional, WD Figura 6.4 Influxo adimensional DWpara aqfero linear em funo do tempo adimensional Dt . ___________________________ Exemplo6.3Soconhecidososseguintesdadosdeumaqferoqueproduzcomgeometriade fluxo linear e com presso constante no contato leo/gua: Largura do aqfero .................................................................w = 600 m Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-11 Comprimento do aqfero ........................................................L = 3.200 m Espessura do aqfero ..............................................................h = 11,5 m Porosidade .............................................................................. = 0,25 Permeabilidade .......................................................................k = 300 mdViscosidade da gua ................................................................ = 1,0 cp Compressibilidade total do aqfero ........................................ct = 78106 (kgf/cm2)1 Queda de presso no contato ...................................................p0= 5,0 kgf/cm2 Considerando os casos de aqfero com limite externo selado, aqfero infinito e aqfero com limite externo realimentado, pede-se calcular o influxo acumulado ao final de um perodo de 100 dias. Soluo: Eq. (6.26): ) (0 D D et W p U W =Eq. (6.27): tc h L w U = 2 3 6/ 56 , 430 10 78 25 , 0 5 , 11 3200 600 cm kgf m U = = Eq. (6.19): 2L ct kttD=(sistema SI)ou 2008362 , 0L ct kttD=(nas unidades do exemplo) 256 , 13200 10 78 0 , 1 25 , 0100 300 008362 , 02 6= =DtClculo de WD:589 , 1265 , 19634 , 0K.6 Tabela256 , 1=== =do realimenta Dinfinito Dselado DDWWWtFinalmente, da Eq. (6.26): . 421 . 3 589 , 1 0 , 5 56 , 430723 . 2 265 , 1 0 , 5 56 , 430074 . 2 9634 , 0 0 , 5 56 , 430333m Wm Wm Wdo realimenta enfinito i eselado e= == == = ___________________________ 6.2. Superposio de Efeitos Na Seo 6.1 esto apresentados os modelos clssicos de influxo de gua, nos quais consi-dera-se que a queda de presso no contato constante. Assim, a expresso ) (D D et pW U W = (6.33) s aplicvel quando a queda de presso no contato, p, constante. Na prtica, entretanto, no se esperaqueapressonocontatosejaconstantedevidodepleodoreservatrio.Oprincpioda superposio,tambmconhecidocomoprincpiodeDuhamel,podeserutilizadoparaexpandira utilizaodassoluesclssicasparaoscasosemqueapressonocontatovariecomotempo.O princpio de Duhamel estabelece que: Influxo de gua 6-12 (= d t ppqWte) () (0 0(6.34) ou, equivalentemente, ( = d ppt qWte) () (0 0,(6.35) onde) (t q a soluo clssica da vazo para uma queda de presso constante, 0p , no contato, We oinfluxoacumuladoparaumavariaodepressoqualquernocontato,) ( ) ( t p p t pi = , e apenas uma varivel muda de integrao. Utilizando as definies das variveis adimensionais tD e qD do modelo radial, dadas pelas Eqs. (6.3) e (6.6), ou do modelo linear, Eqs. (6.19) e (6.22), a Eq. (6.35) pode ser escrita como: =DtD D D D D ed p t q U W0) ( ) ( (6.36) ou ainda: =DtD D D D D ed p t W U W0) ( ) ( ,(6.37) onde DW a derivada do influxo adimensional em relao a tD, ou seja, a prpria vazo adimensi-onal. A constante de influxo do aqfero, U, para os modelos radial e linear est definida pelas Eqs. (6.11) e (6.27), respectivamente.Como era esperado, quando p constante a Eq. (6.37) se reduz soluo do modelo cls-sico dada pela Eq. (6.33). Como a maioria das solues clssicas s tem soluo analtica no campo de Laplace, uma opo fazer a superposio no campo de Laplace. Tomando a transformada de Laplace em relao a tD da Eq. (6.36) ou da Eq. (6.37) tem-se: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u p u W u U u p u q U u WD D e = = ,(6.38) onde u a varivel de Laplace,) (u p a transformada de Laplace de) (t p e) (u WD a soluo nocampodeLaplacedomodelodepressoconstantenocontato(ApndicesGeH).Ainverso numricadaEq.(6.38)feitacomoalgoritmodeStehfest(ApndiceI).Outraopoutilizara superposio na forma discreta, como mostrado na seo seguinte.6.2.1.Discretizao da equao da superposio AutilizaodaequaodeDuhamel,Eq.(6.37),pressupeoconhecimentodaquedade presso no contato ao longo do tempo, p(t) = pi p(t), e da soluo clssica do modelo em questo (caso de presso constante no contato), DW . Uma forma aproximada de tratar o problema discreti-zar a condio de contorno interna, isto , a presso no contato, p(t). A curva contnua da presso dividida numa srie de intervalos de presso constante, como mostrado na Figura 6.5. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-13 t1t2t3t4t50Tempopip2p3p4p5p1p2p3p4p5p10 Figura 6.5 Discretizao da presso no contato. Para a curva de presso discretizada da Figura 6.5 a equao de Duhamel, Eq. (6.37), pode ser escrita como: [ ] , ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (101 11011=+ +=+ = =+njj D n D D j D n D D j injttD D n D D j i n D et t W t t W p p Ud t W p p U t WDjDj(6.39) onde a presso mdia em cada intervalo : 211+++=j jjp pp ,1 , 0 = n j .(6.40) Substituindo a Eq. (6.40) na Eq. (6.39), expandindo a somatria e coletando os termos comuns, obtm-se: =+ |||

\| =101 1) (2) (njj D n D Dj jn D et t Wp pU t W(6.41) ou = =10) ( ) (njj D n D D j n D et t W p U t W , (6.42) onde: 21 11+ += = j jj j jp pp p pe = = . 2 ) (2 ) (2 11 0p p pp p pii(6.43) ___________________________ Exemplo 6.4 Um reservatrio de petrleo com 762 m de raio circundado por um aqfero radial selado com as seguintes caractersticas: Raio .......................................................................................re = 6.096 m Influxo de gua 6-14 Espessura ...............................................................................h = 18,3 m Porosidade ............................................................................. = 0,22 Permeabilidade ......................................................................k = 100 mdViscosidade da gua ............................................................... = 0,30 cp Compressibilidade da formao ..............................................cf = 56,9106 (kgf/cm2)1 Compressibilidade da gua .....................................................cw = 42,7106 (kgf/cm2)1 Calcular, usando o modelo de van Everdingen & Hurst, o influxo acumulado de gua aps 500 dias, baseando-se no histrico de presses mdias no contato leo/gua mostrado na tabela a seguir: t (d)0100200300400500 p (kgf/cm2)246,13245,43244,44243,18242,19240,51 Soluo: Clculo de ct: 1 2 6 6 6) / ( 10 6 , 9 9 10 9 , 56 10 7 , 42 = + = + = cm kgf c c cf w t Eq. (6.3): 2o tDr ct kt=(sistema SI)ou 2008362 , 0o tDr ct kt=(nas unidades do exemplo) tttD2191 , 0762 10 6 , 99 30 , 0 22 , 0100 008362 , 02 6= = ) 500 ( 2191 , 0j j D n Dt t t = Clculo de reD: 8762096 . 6= = =oeeDrrrEq. (6.42): = =10) ( ) (njj D n D D j n D et t W p U t WEq. (6.43): 21 1 + = j jjp ppe = = 2 ) (2 ) (2 11 0p p pp p pii Resumo de clculo: jt (d)p (kgf/cm2) ) (j D n Dt t ) (j D n D Dt t W (Tabela K.5) jp ) (j D n D D jt t W p 00246,13109,528,70,35010,05 Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-15 1100245,4387,627,00,84522,82 2200244,4465,724,31,12527,34 3300243,1843,820,01,12522,50 4400242,1921,912,91,33517,22 5500240,5193 , 99 = Eq. (6.11): 22o tr h c f U =2 3 2 6/ 9 , 462 . 1 762 3 , 18 10 6 , 99 22 , 0 0 , 1 1416 , 3 2 cm kgf m U = = Finalmente, da Eq. (6.42): 3190 . 146 93 , 99 9 , 462 . 1 m We= = . ___________________________ 6.3. Modelo Aproximado de Fetkovich O modelo aproximado apresentado por Fetkovich (1971) se aplica a aqferos finitos e ad-mitequeofluxodoaqferoparaoreservatriosedsoboregimepseudopermanente.Apesarde ser aproximado, o modelo apresentado por Fetkovich tem a vantagem de permitir o clculo do passo seguintesemanecessidadedeserecalculartodosospassosanteriorescomoocorrenomodelode van Everdingen & Hurst. Fetkovich admite o regime pseudopermanente para o fluxo do aqfero para o reservatrio: ( ) p p JdtdWqae = = ,(6.44) ondeJondicedeprodutividadedoaqfero, ap apressomdiadoaqferoepapressono contato reservatrio-aqfero. A partir de umbalano de materiais no aqfero pode-se escrever que: ( )a i i t ep p W c W = ,(6.45) onde f w tc c c + = acompressibilidadetotaldoaqferoeWiovolume inicial de gua. Rearran-jando a Eq. (6.45) tem-se: |||

\| =i i tei ap W cWp p 1 .(6.46) Seja Wei o influxo mximo que um aqfero selado pode fornecer, correspondente expan-so da gua do aqfero ao ser despressurizada de pi para a presso zero. Da Eq. (6.45), i i t eip W c W = .(6.47) Substituindo a Eq. (6.47) na Eq. (6.46) obtm-se: |||

\| =eiei aWWp p 1 ,(6.48) cuja derivada em relao ao tempo dada por: Influxo de gua 6-16 dtdWWpdtp deeii a = . (6.49) Substituindo a Eq. (6.44) na Eq. (6.49) obtm-se: ( ) p p JWpdtp daeii a =(6.50) ou p pp ddtWp Jaaeii= , (6.51) aps separar as variveis. Esta equao pode ser integrada de0 = t(quando0 =eWe i ap p = ) a t, isto , pode-se escrever: (= aipp aateiip pp ddtWp J0.(6.52) Resolvendo as integrais, a Eq. (6.52) simplifica-se para: |||

\|= p pp ptWp Jiaeiiln (6.53) ou ainda: ( )|||

\| = tWp Jp p p peiii aexp .(6.54) Substituindo a Eq. (6.54) na Eq. (6.44): ( )|||

\| = tWp Jp p J qeiiiexp .(6.55) A Eq. (6.55) a equao da vazo com que a gua flui do aqfero para o reservatrio em funodotempoedaquedadepressonocontato,(pi p).Estaequaogeraleindependeda geometria do aqfero. A Eq. (6.55) pode ser integrada para se obter o influxo. Assim, ( ) dt tWp Jp p J qdt Wteiiite (|||

\| = 00exp .(6.56) Finalmente, resolvendo a integral da Eq. (6.56) chega-se a: ( )(((

|||

\| = tWp Jp ppWWeiiiieieexp 1 .(6.57) A Eq. (6.57) fornece o influxo do aqfero em funo do tempo para uma queda de presso constante,(pi p),nocontato.Algumasobservaespodemserfeitasarespeitodasequaesdo modelo de Fetkovich: (a) Observao 1 Note que com o passar do tempo, a vazo fornecida pelo aqfero, Eq. (6.55), decresce ex-ponencialmente tendendo a zero. Ou seja, o influxo dado pela Eq. (6.57) tende a um valor mximo. TomandoolimitedaEq.(6.57)para t eusandoaEq.(6.47),oinfluxomximopodeser escrito como:Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-17 ( ) ( ) p p W c p ppWWi i t iieimx e = = . (6.58) (b)Observao 2 Na prtica a queda de presso no contato no constante e a Eq. (6.57) no diretamente aplicvel. Fetkovich mostrou uma forma de utilizar a Eq. (6.57) quando a presso varia no contato, sem fazer a superposio. O influxo durante o primeiro intervalo de tempo (t1) pode ser expresso por: ( )(((

|||

\| = 1 1 1exp 1 tWp Jp ppWWeiiiieie,(6.59) onde 1p a mdia das presses no contato no intervalo de tempo t1. Para o segundo intervalo de tempo (t2): ( )(((

|||

\| = 2 2 1 2exp 1 tWp Jp ppWWeiiaieie,(6.60) onde 1 ap apressomdiadoaqferonofinaldoprimeirointervalodetempoecalculadaa partir da equao de balano de materiais no aqfero, Eq. (6.48), |||

\| =eiei aWWp p111 (6.61) e 2p a mdia das presses no contato no intervalo de tempo t2. Para um intervalo de tempo tn, ( )(((

|||

\| = neiin n aiein etWp Jp ppWW exp 11,(6.62) onde: |||

\| =|||

\| ==ein einjj eeii n aWWp WWp p1111111 (6.63) e 21 n nnp pp+=.(6.64) Fetkovichmostrouparadiferentesgeometriasqueoseumtodoproduzresultadosseme-lhantes aos do modelo de van Everdingen & Hurst para aqferos finitos. (c)Observao 3 Ao utilizar o ndice de produtividade do aqfero, J, para fluxo permanente, admite-se que oaqferosejarealimentadodemodoqueapressonoseulimiteexternosemantmconstantee igual a pi. A condio de fluxo permanente implica que no h limite para o influxo mximo, isto , eiW infinito. Neste caso, a vazo do aqfero, Eq. (6.55), reduz-se a: ( ) p p JdtdWqie = ,(6.65) cuja integral o influxo acumulado: Influxo de gua 6-18 ( )dt p p J Wti e =0.(6.66) A Eq. (6.66) um caso particular do modelo de Fetkovich e foi apresentada por Schilthuis em 1936. (d)Observao 4 A Tabela 6.1 apresenta o ndice de produtividade do aqfero, J, para os modelos de aq-ferosradialelinear,regimesdefluxopermanenteepseudopermanente.Paraoutrasgeometrias,o ndice de produtividade para o regime pseudopermanente pode ser definido como: |||

\|=24ln22o Ar CAkhJ , (6.67) onde CA o fator de forma de Dietz (1965) (Tabela K.3, Apndice K), A a rea do aqfero, a exponencialdaconstantedeEuler( 78108 , 1 = )erooraiodoreservatriocircularizado.Na Tabela K.3, o tempo adimensional tDA definido como: A ct kttDA= . (6.68) Tabela 6.1 ndice de produtividade do aqfero para os fluxos radial e linear Condio de FluxoAqfero RadialAqfero Linear Pseudopermanente (((

|||

\|=43ln2oerrkh fJLkhwJ=3 Permanente |||

\|=oerrkh fJln2 LkhwJ=___________________________ Exemplo 6.5 Resolva o Exemplo 6.4 utilizando o modelo de Fetkovich.Soluo:Tabela 6.1: (((

|||

\|=43ln2oerrkh fJ(SI) ou (((

|||

\|=43ln05255 , 0oerrkh fJ(nas unidades do exemplo) 23//12 , 24143762096 . 6ln 30 , 03 , 18 100 1 05255 , 0cm kgfd mJ =((

||

\| =Clculo de ct: Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-19 1 2 6 6 6) / ( 10 6 , 9 9 10 9 , 56 10 7 , 42 = + = + = cm kgf c c cf w t Eq. (6.47): i i t eip W c W =3 6 2 210 673 , 462 22 , 0 3 , 18 ) 762 096 . 6 ( 1416 , 3 m Wi = =3 6 6 610 3422 , 11 13 , 246 10 673 , 462 10 6 , 99 m Wei = = Eq.(6.62): ( )(((

|||

\| = neiin n aiein etWp Jp ppWW exp 11 ( )(((

|||

\| = 10010 3422 , 1113 , 246 12 , 241exp 113 , 24610 3422 , 11616n n a n ep p W( )n n a n ep p W = 1774 . 18Eq. (6.63): |||

\| =ein ei n aWWp p111Eq. (6.64): 21 n nnp pp+= Resumo de clculo: t (d) p (kgf/cm2) np(kgf/cm2) n eW (m3) n eW(m3) n ap(kgf/cm2) 0246,13246,1300 100245,43245,7806.570,96.570,9245,9874 200244,44244,93519.757,926.328,8245,5587 300243,18243,81032.829,259.158,0244,8462 400242,19242,68540.575,399.733,3243,9657 500240,51241,35049.108,1148.841,0242,9001 Resposta: Aps 500 dias 3841 . 148 m We= . ___________________________ 6.4. Modelo de Hurst Modificado No modelo de Hurst modificado, descrito por Pirson (1958), a vazo de gua fornecida pe-lo aqfero dada pela expresso: ) ( log) (ctp pCdtdWi e= , (6.69) onde C e c so duas constantes. O influxo acumulado obtido da integral: (=tiedtctp pC W0) ( log) (.(6.70) Influxo de gua 6-20 As constantes C e c so estimadas atravs de um processo de ajuste de histrico, conforme descrito no Captulo 9, Seo 9.1.3. 6.5.Modelo de Carter-Tracy O modelo de Carter-Tracy (Carter & Tracy, 1960) aplicvel a qualquer geometria de flu-xo, desde que se conhea a soluo para a presso adimensional em funo do tempo para a geome-tria de aqfero considerada. Esta abrangncia de tipos de aqfero possveis de serem contemplados umagrandevantagemdestemodeloemrelaoaodevanEverdingen&Hurst.Omodelode Carter-Tracy, assim como o de Fetkovich, no requerer a aplicao do princpio da superposio de efeitos no clculo do influxo. O influxo acumulado de gua pode ser expresso atravs da integral de convoluo: ( =jDtD Dj D eddt dWp U t W0) () ( ) ( ,(6.71) onde tD o tempo adimensional definido para cada geometria de aqfero, U a constante de influxo de gua e que tambm depende da geometria do sistema, p(tD) = pi p(tD) a queda de presso no contato,WD(tD)oinfluxodeguaacumuladoadimensional,umavariveldeintegraoej refere-se discretizao do tempo. As definies de tD e de U so encontradas no Apndice L para oscasosdefluxoradialelinear.OsvaloresdeWD(tD)estoapresentadosnasTabelasK.4eK.5 para fluxo radial, e na Tabela K.6 para fluxo linear. No modelo de Carter-Tracy o valor do influxo acumulado We aproximado pela expresso: ) ( ) ( ) (1 1 1 + =j D j D j j D e j D et t a t W t W , (6.72) onde 1 ja uma constante. Esta equao admite que no intervalo entre 1 j Dte j Dto influxo varia linearmente com o tempo. Combinando-se as Eqs. (6.71) e (6.72) obtm-se: ) ( ) () () (1 1 10 + = ( j D j D j j D etD Dt t a t W ddt dWp UjD.(6.73) Aplicando-se a transformada de Laplace com relao ao tempo adimensional Eq. (6.73) obtm-se: 21 1 1 1) () ( ) (uaut a t Wu W u p u Uj j D j j D eD += ,(6.74) onde u a varivel de Laplace. Para o problema em questo possvel provar que (van Everdingen & Hurst, 1949): ) ( ) (12u W u p uuD D= , (6.75) onde pD (tD) a soluo para a presso adimensional na face interna de um aqfero produzindo com vazoconstanteeWD(tD) oinfluxoadimensionalparaocasodepressoconstantenocontato. Substituindo-se a Eq. (6.75) na Eq. (6.74) e explicitando-se a transformada da queda de presso no contato leo/gua, obtm-se a equao: [ ] { } ) ( ) ( ) (1) (1 1 1 1u p a u p u t a t WUu pD j D j D j j D e + = ,(6.76) cuja inverso resulta em: Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-21 [ ] { } ) ( ) ( ) (1) (1 1 1 1 j D D j j D D j D j j D e j Dt p a t p t a t WUt p + = ,(6.77) onde) (j D Dt p a derivada da presso adimensional em relao ao tempo adimensional. Explicitando-se a constante 1 jana Eq. (6.77): ) ( ) () ( ) ( ) (111j D D j D j D Dj D D j D e j Djt p t t pt p t W t p Ua = (6.78) e substituindo-se a expresso resultante na Eq. (6.72) obtm-se: ) () ( ) () ( ) ( ) () ( ) (1111 + =j D j Dj D D j D j D Dj D D j D e j Dj D e j D et tt p t t pt p t W t p Ut W t W , (6.79) queaequaoparaoclculodoinfluxoacumulado.Conformemencionadoanteriormente,a funopD(tD) representaapressoadimensionalnafaceinternadeumaqferoproduzindocom vazoconstante.Nocasodeumaqferolinearinfinito,isto,deumaqferoquesecomporta ainda no regime transiente de fluxo, a presso adimensional determinada pela expresso (Carslaw & Jaeger, 1959, p. 75): =DD Dtt p 2 ) ( (6.80) e no caso de um aqfero radial infinito essa expresso , aproximadamente (Captulo 3, Seo 3.2.4): [ ] 80907 , 0 ) ln(21) ( + =D D Dt t p .(6.81) ___________________________ Exemplo 6.6 Resolva o Exemplo 6.4 utilizando o modelo de Carter-Tracy. Soluo: Clculo de ct:1 2 6 6 6) / ( 10 6 , 9 9 10 9 , 56 10 7 , 42 = + = + = cm kgf c c cf w t Eq. (6.3): 2o tDr ct kt=(sistema SI)ou 2008362 , 0o tDr ct kt=(nas unidades do exemplo) tttD2191 , 0762 10 6 , 99 30 , 0 22 , 0100 008362 , 02 6= = Clculo de reD: 8762096 . 6= = =oeeDrrrEq. (6.11): 22o tr h c f U =2 3 2 6/ 9 , 462 . 1 762 3 , 18 10 6 , 99 22 , 0 0 , 1 1416 , 3 2 cm kgf m U = =. NomodelodeCarter-TracyoinfluxoacumuladocalculadocomaEq.(6.79).Comoo aqfero radial selado no limite externo, as funes) (D Dt pe) (D Dt pso dadas respectivamente por: Influxo de gua 6-22 Transiente: ( ) 80907 , 0 ln21) ( + =D D Dt t p eDD Dtt p21) ( = ,para 1 , 0 50)oraiodedrenagem, independentemente do comportamento da presso no contato (SIBP ou LIBP), tende assintoticamen-te para a expresso: ( ) 4 3 ln = eD or r . (6.84) ComomostradonaTabela6.1,aEq.(6.84) a expresso do raio de drenagem usado por Fetkovich. A partir de um balano de materiais no aqfero pode-se mostrar que: [ ] ) (t p p W c Wa i i t e =(6.85) e ( )1 + = n a n a i t ep p W c W , (6.86) onde f w tc c c + = acompressibilidadetotaldoaqferoeWiovolumeinicialdeguado aqfero. O subscrito n refere-se ao instante de tempo tn e o subscrito n+1 ao instante tn+1. A vazo do influxo de gua dada pela derivada do influxo acumulado, Eq. (6.85), em re-lao ao tempo: dtt p dW c qai t) ( = .(6.87) Combinando-seasEqs.(6.82)e(6.87),obtm-seaequaoquegovernaofluxopseudo-permanente, isto :[ ] ) ( ) () (t p t pdtt p daa = ,(6.88) onde a constante definida por: = kW cAW cJi t i t. (6.89) NotequeaEq.(6.88)svlidaapsseatingiroregimepseudopermanente(isto,parat>tpss). UmahiptesebsicadomodeloPSSqueaEq.(6.88)sejaumaboa aproximao tambm para o perodo psst t < < 0 .A condio inicial dada pela expresso: i ap t p t p = = = = ) 0 ( ) 0 ( .(6.90) UtilizandoatcnicadetransformadadeLaplaceeacondioinicialdadapelaEq.(6.90),aEq. (6.88) pode ser resolvida para a presso mdia do aqfero: ( ) + = tt ta ad e p e p t p0) ( ) 0 ( ) ( .(6.91) Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-25 SeaEq.(6.91)forintegradaporpartes,obter-se-umaformaalternativadapressomdiado aqfero como uma funo da derivada da presso no contato: ( )( = d eddpt p t ptta0) () ( ) ( .(6.92) Uma vez obtida a presso mdia do aqfero,ap , a partir da Eq. (6.91) ou (6.92), a vazo do influxo de gua, q, e o influxo acumulado, We, so calculados com as Eqs. (6.82) e (6.85), respectivamente. AsEqs.(6.91)e(6.92)soconhecidascomointegraisdeconvoluo(ousuperposio). Pelo fato de o integrando ser expresso como um produto de duas funes, uma avaliada no tempo eaoutraemt ,com variandode0at,aintegralemtn+1noigualintegralemtnmaisum incrementodaintegralnointervalo n nt t t = +1.Conseqentemente,acadatempodeinteressea integraltemqueseravaliadadesde0 = t atotempotconsiderado,oquetornaoprocessocada vez mais ineficiente medida que o tempo cresce. Em vista dessa dificuldade, Leung apresentou um esquemamaiseficientedenominadoFCM(fastconvolutionmethod).Define-seaintegralnaEq. (6.91) como) (t I , sendo que 1 + nI a integral avaliada no tempo 1 + nt . Assim, ( )( ) ( )( ) ( ) ++++ +++ +((

= + = = + +1111 111) ( ) () ( ) () (0001nnnnnnnnnn n nnnttt tttttttt t tttnd e p e d e pd e p d e pd e p I (6.93) ou simplesmente: I e I Itn n + = +1.(6.94) Como mostra a Eq. (6.94), a integral de convoluo no tempo 1 + nt igual soma da inte-gral anterior avaliada em nt , multiplicada pelo fator de decaimento exponencial) exp( t , com a integralentreoslimites nt e 1 + nt .Ohistricodepressesanteriora nt nonecessrioparase avaliar 1 + nI ; logo o esforo computacional e a quantidade de memria requerida so reduzidos. Usando a Eq. (6.94), as Eqs. (6.91) e (6.92) podem ser escritas, respectivamente, como: ( )++ + = +11) (1nnnttt tn a n ad e p e p p (6.95a) e ( )( )( + = + +++d eddpe p p p pnnnttttn n a n n a11) (1 1.(6.95b) A forma expressa pela Eq. (6.95a) prefervel do que a da Eq. (6.95b) porque mais conveniente se avaliar a integral envolvendo presses do que derivadas da presso. Os dados da presso no contato em funo do tempo, necessrios para se calcular a integral de convoluo, Eq. (6.95), so normalmente expressos como valores discretos com o tempo. Logo, paracalcularaintegral,algumaformadeinterpolaoentreosdadosnecessria.Doisesquemas simples de interpolao foram sugeridos por Leung: 1.InterpolaoLineardaPressonoContato,denominadaLIBP(LinearInterpolationof Boundary Pressure). Neste caso os dados discretos de presso so interpolados linearmente: Influxo de gua 6-26 ( )11, ) (++ + ||

\|=n n n nn nLIt t t p t ttp pt p ;(6.96) 2.InterpolaoemDegraudaPressonoContato,denominadaSIBP(StepInterpolationof Boundary Pressure). Neste caso as presses interpoladas entre nte 1 + ntso dadas por: 11,2) (++ < ||

\| +=n nn nSIt t tp pt p .(6.97) Combinando-seasEqs.(6.95b)e(6.96)obtm-seaexpressoparaoclculodapresso mdia do aqfero no tempo 1 + ntpara o esquema LIBP: ( ) ( ) 111 1 + + = + + +t n n tn n a n n aetp pe p p p p . (6.98) Poroutrolado,combinando-seasEqs.(6.95a)e(6.97)obtm-seapressomdiadoaqferono tempo 1 + ntpara o esquema SIBP: ( )t n n tn a n aep pe p p + +++ = 1211.(6.99) OsparmetrosdomodeloPSSdeLeungparaaqferoslineareseradiais,requeridosnas Eqs. (6.82), (6.85), (6.98) e (6.99), esto resumidos na Tabela 6.3. Tabela 6.3 Parmetros do modelo PSS de Leung ParmetroAqfero LinearAqfero Circular J( ) LL A k ( )orkh f 2,onde = 2 fi tW c L A c cf w + ) (f h r r c co e f w) ( ) (2 2 + , onde = 2 f ( ) LLL ckt = 2 ( )1212222= eDooeDo trrrrr ck LIBP, 3L( )(((

|||

\||||

\| 11 341ln122222eDeDeDeDeDorrrrrrSIBP, 24L (((

11 22 21 eD eDor r ar(5)

5 A constante a1 a primeira raiz da equao de Bessel:( ) ( ) ( ) ( ) 01 0 0 1= eD m m m eD mr a Y a J a Y r a J , onde J0 e J1 so as funes de Bessel de primeira espcie e Y0 e Y1 as funes de Bessel de segunda espcie. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-27 Dt2 2LtL ct kt= 2 2o o trtr ct k = LIBP, D psst ) (0,57 225 , 0eDrSIBP, D psst ) (0,15 225 , 0eDr O procedimento de clculo do modelo PSS de Leung consiste dos seguintes passos: Passo 1 Parmetros Bsicos. A partir do valor de (tpss)D e da definio de tD (vide Tabela 6.3)calculetpsseverifiqueset>tpss,paraconfirmaravalidadedomodeloPSSdeLeung.Ento calcule e da Tabela 6.3, alm da) exp( t para cada novo valor de t. Passo 2 Presso Mdia do Aqfero. A partir da condio inicial ou da presso mdia do aqferonointervalodetempoanterior, n ap ,calcule 1 + n ap comaEq.(6.98)(LIBP)ouaEq. (6.99) (SIBP).Passo3Influxodegua.ComasEqs.(6.85)e(6.86)calculeosvaloresde 1 + n eW e eW , usando a presso mdia atual do aqfero, 1 + n ap , obtida no passo 2. ___________________________ Exemplo 6.7 Resolva o Exemplo 6.4 utilizando o modelo PSS de Leung. Considere os esquemas LIBP e SIBP para a interpolao da presso no contato. Soluo:Clculo de ct: 1 2 6 6 6) / ( 0 1 6 , 9 9 10 9 , 56 10 7 , 42 = + == + = cm kgf c c cf w t Clculo de reD: 8762096 . 6= = =oeeDrrrEq. (6.3): 2o tDr ct kt=(sistema SI)ou 2008362 , 0o tDr ct kt=(nas unidades do exemplo) tttD21908 , 0762 10 6 , 99 30 , 0 22 , 0100 008362 , 02 6= = 100 = tdias 91 , 21 100 21908 , 0 = = DtTabela 6.3:16 8 25 , 0 25 , 0 ) (2 2= = =eD D pssr t > = D pss Dt t ) ( 91 , 21 o modelo PSS vlido Tabela 6.3:f h r r c c W co e f w i t) ( ) (2 2 + =Influxo de gua 6-28 2 3 2 2 6/ / 082 . 46 1 3 , 18 ) 762 096 . 6 ( 1416 , 3 22 , 0 10 6 , 99 cm kgf m W ci t= = Esquema LIBP: Tabela 6.2:( ) 3880 , 1 = orTabela 6.3: ( )12 220050107 , 01 823880 , 121908 , 012=== drrreDoo 60588 , 0100 0050107 , 0= = e et 78655 , 0100 0050107 , 01 60588 , 0 1 == tet Resumo de clculo (esquema LIBP): t (d) p (kgf/cm2) n np p +1 (kgf/cm2) 1 + n ap(kgf/cm2) Eq. (6.98) 1 + n eW(m3) Eq. (6.85) eW (m3) Eq. (6.86) 0246,13246,130000 100245,43 0,700245,98066.884,76.884,7 200244,44 0,990245,552326.621,619.736,9 300243,18 1,260244,845059.215,432.593,8 400242,19 0,990243,977599.191,539.976,1 500240,51 1,680242,9144148.181,349.989,8 Resposta: Aps 500 dias 3181 . 148 m We=com LIBP. Esquema SIBP: Tabela 6.2:( ) 4572 , 1 = orTabela 6.3: ( )12 220047727 , 01 824572 , 121908 , 012=== drrreDoo 62047 , 0100 0047727 , 0= = e et 37953 , 0 62047 , 0 1 1 = = teResumo de clculo (esquema SIBP): t (d) p (kgf/cm2) 21 ++n np p (kgf/cm2) 1 + n ap(kgf/cm2) Eq. (6.99) 1 + n eW(m3) Eq. (6.85) eW (m3) Eq. (6.86) 0246,13246,130000 100245,43245,780245,99726.119,76.119,7 200244,44244,935245,594124.695,318.575,7 300243,18243,810244,917055.897,531.202,1 400242,19242,685243,069994.933,539.036,1 Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-29 500240,51241,350243,0376142.504,047.570,4 Resposta: Aps 500 dias 3504 . 142 m We=com SIBP.___________________________ 6.6.2.Modelo pseudopermanente modificado (MPSS model) Leungmostrouque,paraaqferosgrandes(reD > 10),omodeloPSSapresentaumacerta imprecisopelofatodeomodelonolevaremcontaosefeitostransientesqueocorremnocurto tempo.Comoumaalternativaparasanaresteinconveniente,Leungdesenvolveuumnovomodelo simplificado,denominadomodelopseudopermanentemodificado(MPSSmodel).Ofundamento terico do modelo MPSS est apresentado no Apndice D do trabalho de Leung. No modelo MPSS, a presso mdia do aqfero definida como: ( ) ) ( ) ( 1 ) (, 1 1 ,t p t p t ppss a I mpss a + = , (6.100) onde) (t pIapressointerpoladadadapelaEq.(6.96)ou(6.97),e pss ap,apressomdiado aqfero obtida do modelo PSS. O coeficiente-peso 1 dado pela expresso: ( ) 1 1) () (4221 121 0 211(((

= eDeDrr a Ja Ja, (6.101) sendo a1 a primeira raiz da equao de Bessel:( ) ( ) ( ) ( ) 01 0 0 1= eD m m m eD mr a Y a J a Y r a J , onde J0 e J1so as funes de Bessel de primeira espcie e Y0 e Y1 as funes de Bessel de segunda espcie. NaTabela6.4estoapresentadosvaloresdea1e1emfunodosvaloresdereDnormalmente encontrados nos estudos de reservatrio. A Tabela 6.4 apresenta tambm o intervalo de validade dos modelos MPSS e PSS. Como se pode observar, para reD entre 1 e 50, o tempo inicial de validade do modelo MPSS foi reduzido em relao ao do modelo PSS de aproximadamente um ciclo logartmi-co. Tabela 6.4 Parmetros do modelo PSS modificado (Leung, 1986) Modelo vlido para Dt > eDr1a1MPSS PSS 1,115,33480,8105 1,52,88990,84170,040,675 21,36060,87050,081,2 30,62560,90000,352,7 40,39350,91710,84,8 50,28230,93071,37,5 60,21820,9389210,8 70,17670,9441314,7 80,14760,95083,719,2 90,12640,9539524,3 100,11040,9580630 Influxo de gua 6-30 200,04710,972340120 500,01600,9855200750 Obs.: (i) orobtido da Tabela 6.2 (SIBP); (ii) Para o modelo MPSS, o Dtlimite para validade do modelo foi obtido a partir da comparao com a soluo exata, com erro menor que 5%; (iii) Para o modelo PSS, 225 , 0eD Dr t >(vide Tabela 6.3); e (iv) quando eDr ,01 ae 0 , 11 . ___________________________ Exemplo 6.8 Resolva o Exemplo 6.4 utilizando o modelo MPSS de Leung com o esquema SIBP de interpolao da presso no contato.Soluo: Tabela 6.4:( ) < =D mpss Dt t 7 , 3o modelo MPSS vlido 9508 , 01= No Exemplo 6.7 j foram calculados:62047 , 0100 0047727 , 0= = e et 37953 , 0 62047 , 0 1 1 = = teResumo de clculo (esquema SIBP): t (d) p (kgf/cm2) 21 ++n np p (kgf/cm2) 1,+ npss ap(kgf/cm2) Eq. (6.99) 1,+ nmpss ap(kgf/cm2) Eq. (6.100) 1 + n eW(m3) Eq. (6.85) eW (m3) Eq. (6.86) 0246,13246,1300246,130000 100245,43245,780245,9972245,98656.612,86.612,8 200244,44244,935245,5941245,561626.193,019.580,2 300243,18243,810244,9170244,862558.408,938.828,7 400242,19242,685243,0699244,008198.071,759.243,0 500240,51241,350243,0376242,9546146.328,887.085,8 Resposta: Aps 500 dias 3329 . 146 m We= . ___________________________ 6.7. Comparao Entre os Modelos Nas sees anteriores foram apresentados vrios modelos para o clculo do influxo acumu-lado proveniente de aqferos. Cada um dos modelos foi utilizado para estimar o influxo acumulado do aqfero circular limitado apresentado no Exemplo 6.4. Para cada um dos modelos, calculou-se, notempot = 500dias,oinfluxoacumuladofornecidopeloaqferosujeitoaumhistricode pressovarivelnocontato.OsresultadosestoapresentadosnaTabela6.5.Comodiscutido anteriormente,omodelodevanEverdingen&Hurstomaisprecisodelesefoiescolhidocomo referncia para o clculo do erro relativo. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-31 Tabela 6.5 Comparao entre os vrios modelos de influxo de gua para t = 500 dias ModeloWe (m3)Erro(%) van Everdingen & Hurst (Exemplo 6.4)146.190 Fetkovich (Exemplo 6.5)148.841+1,8 Carter-Tracy (Exemplo 6.6)160.705+9,9 Carter-Tracy (Exemplo 6.6 presso em degrau) 134.4488,0 PSS-LIBP de Leung (Exemplo 6.7)148.181+1,4 PSS-SIBP de Leung (Exemplo 6.7)142.5042,5 MPSS-SIBP de Leung (Exemplo 6.8)146.329+0,1 ComopodeserobservadonaTabela6.5,omodeloaproximadodemelhorperformancefoioMPSS-SIBP de Leung, com erro aproximado de 0,1%, seguido dos modelos PSS-LIBP com erro de 1,4%, Fetkovich com erro de 1,8%, PSS-SIBP com erro de 2,5% e Carter-Tracy com erro de 9,9%.6.8. Modelo de Influxo de gua de Fundo Na Seo 6.1 apresentado o modelo de van Everdingen & Hurst (1949) para aqfero ra-dial.Essemodeloasoluodaequaodadifusividaderadialecomotalvlidoparatodosos regimes de fluxo, desde que a geometria de fluxo seja efetivamente radial.A geometria de fluxo radial admitida por van Everdingen & Hurst melhor entendida atravs de uma ilustrao. A Figura 6.6 apresenta a seo transversal de um reservatrio conectado a um aqfero lateral e o modelo de fluxo radial idealizado, que representa este sistema reservatrio-aqfero.hhrroroReservatrioReservatrioowAqferoAqfero Influxo de gua 6-32 Figura 6.6 Modelo idealizado de aqfero radial. Reproduzida de Allard, D. R. & Chen, S. M., Calculation of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs, Copyright 1984, com permisso de SPE-AIME. As linhas de fluxo neste caso so horizontais e a invaso da gua se d atravs de uma su-perfciecilndricaquecircundao reservatrio. Esta situao pode ser comparada com o modelo de influxodefundoilustradonaFigura6.7,ondeaslinhasdefluxotmumacomponenteverticalea invasodagua ocorre atravs de um plano circular horizontal que representa o contato leo/gua. Portanto,omodelodeinfluxodefundodevelevaremcontaofluxovertical,ecomomostradoa seguir, o efeito do fluxo vertical tanto mais pronunciado quanto maior a razo entre a espessura do aqfero, h, e o raio do reservatrio, ro. hz hrroowReservatrioAqferoAqferoroReservatrioow Figura 6.7 Modelo idealizado de aqfero de fundo. Reproduzida de Allard, D. R. & Chen, S. M., Calcula-tion of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs, Copyright 1984, com permisso de SPE-AIME. Allard&Chen(1984),seguindoprocedimentosemelhanteaodomodelodevanEverdin-gen & Hurst, montaram matematicamente o problema que considera o influxo de fundo. Neste caso, porm, a soluo foi obtida com o uso de um simulador numrico.6.8.1.Equaes do problema A equao diferencial parcial que governa o fluxo de um fluido levemente compressvel em um sistema como o mostrado na Figura 6.6 a equao da difusividade, Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-33 tpkcrprrpt =+ 122.(6.102) ParaomodelodeinfluxoilustradonaFigura6.7,umnovotermoadicionadoaestaequao, resultando em: tpkczpkrprrptR =++22221,(6.103) onde kR a razo entre a permeabilidade vertical e a permeabilidade horizontal (k). Existem infinitas solues para a Eq. (6.103), representando todos os possveis sistemas re-servatrio-aqfero.possvelobter-seumasoluogeralaplicvelsvriassituaes,pela introduo das seguintes variveis adimensionais: raio adimensional: oDrrr = , (6.104) distncia vertical adimensional: R oDk rzz =(6.105) e tempo adimensional: 2o tDr ct kt= . (6.106) AsubstituiodestasnovasvariveisnaEq.(6.103)resultanaseguinteforma adimensio-nal para a equao da difusividade: DDD DDtpzprprrp=++22221.(6.107) EmvezdetentarformularumasoluoanalticaparaaEq.(6.107)considerandopresso constantenocontato,Allard&Chenderivaramdiretamenteumaequaoparaoinfluxoeusaram um simulador numrico para obter a soluo desta equao. Paraobteraequaodoinfluxoconvenientedefiniraquedadepressoadimensional como: pqk k rpR oD= .(6.108) Resolvendo-se as Eqs. (6.106) e (6.108) para t e q, respectivamente, obtm-se: Do ttkr ct2=(6.109) e DR oppk k rq= .(6.110) A equao do influxo, We, escrita na forma de diferenas finitas dada por: = t q We.(6.111) Substituindo as Eqs. (6.109) e (6.110) nesta expresso obtm-se: =DDR o t eptp k r c W3. (6.112) Influxo de gua 6-34 Finalmente, para converter esta expresso para uma forma comparvel com aquela de van Everdin-gen & Hurst, definem-se a constante de influxo, U, e o influxo adimensional, WD, como: 22o tr h c U = (6.113) e =DD R oDpthk rW2,(6.114) onde h a espessura do aqfero. Isto reduz a Eq. (6.112) a: D eW p U W = ,(6.115) que idntica expresso formulada por van Everdingen & Hurst, exceto que aqui os valores de WD em funo de tD so, evidentemente, diferentes daqueles do sistema radial. A soluo do problema em termos do influxo adimensional, WD, obtida atravs de um si-mulador numrico. Deve-se observar que neste caso WD no funo somente de tD mas tambm da geometriadosistema reservatrio-aqfero. Allard & Chen introduziram as seguintes constantes ou parmetros adimensionais, que descrevem a geometria do sistema: oeDrrr = (6.116) e R oDk rhz = , (6.117) onde re o raio externo do aqfero. Para valores fixos destes dois parmetros, WD funo somente de tD. 6.8.2.Soluo do problema Antes de descrever o modelo numrico empregado no estudo de Allard & Chen, interes-santereverascondiesdefluxoimpostaspara o caso de presso constante no contato. Admite-se queoreservatrioeoaqferoestejaminicialmenteemequilbrionapressop = pi.Noinstante t = 0, a presso do reservatrio sofre um decrscimo, p, e mantida neste nvel. Em resposta a esta queda de presso, a gua invade o reservatrio a uma vazo tal que o influxo, We, governado pela Eq. (6.115). Para aqferos finitos, We eventualmente atingir um valor mximo quando a presso do aqfero atingir a presso do reservatrio. Se um simulador pode ser ajustado para reproduzir as condies descritas no pargrafo an-terior, ento possvel avaliar numericamente a Eq. (6.115). Isto exatamente o que Allard & Chen fizeram. Omodelonumricodesimulaoquedescreveo aqfero de fundo mostrado na Figura 6.8. As dimenses e propriedades deste modelo so selecionadas para obter os valores desejados de Dr e Dz .Aproduodospoosajustadadetalmodoque,acadatimestep,apressono contatoreservatrio-aqferosemantenhaconstante.Portanto,determinaroinfluxoadimensional torna-sesimplesmenteumaquestoderodarosimuladoregerartabelasdeWeversust.Estes valores so substitudos nas Eqs. (6.115) e (6.106), respectivamente, para obter tabelas de WD versus tD.. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-35 O procedimento anteriormente descrito foi repetido para vrias combinaes de Dre Dz . Os resultados esto apresentados nas Tabelas K.7 a K.11. A Figura 6.9 mostra o comportamento do influxo acumulado adimensional DWpara1 , 0 = Dz em funo do tamanho do aqfero Dr . Figura 6.8 Modelo numrico para o aqfero de fundo. Reproduzida de Allard, D. R. & Chen, S. M., Calculation of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs, Copyright 1984, com permisso de SPE-AIME. rzhroreblocos do reservatriopoos produtoresInfluxo de gua 6-36 1 10 100 10000102030405060rD' = 10rD' = 8AqferoinfinitorD' = 4rD' = 6Aqfero de fundozD' = 0,1Tempo adimensional, tDInfluxo adimensional, WD Figura 6.9 Influxo adimensional DWpara aqfero de fundo em funo do tempo adimensional Dt ,do parmetro Dze do tamanho do aqfero Dr . 6.9. Clculo das Presses Mdia e no Contato Conformefoidiscutidonasseesanterioresdestecaptulo,aaplicaodosmodelosde clculodoinfluxodegua requer o conhecimento da presso no contato reservatrio-aqfero. Por outrolado,oestudodebalanodemateriaisemreservatriosdepetrleo,aserdiscutidonos Captulos 7 e 8, requer o conhecimento da presso mdia do reservatrio, necessria para a determi-nao das propriedades PVT dos fluidos e da rocha. 6.9.1.Clculo da presso mdia do reservatrio AFigura6.10mostraumexemplodereservatriosendodrenadoatravsdediversospo-os, com diferentes vazes de produo. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-37 q2A h2 2, p2A h1 1, q1p1q3A h3 3, p3qipiA hi i, np poos Figura 6.10 Reservatrio produzindo atravs de vrios poos. Areadeinflunciadopooi,cujavazoqi,denominada Ai, onde a espessura mdia da formao ihe a presso mdia ip . A espessura mdia da formao em cada rea de drenagem pode ser estimada atravs de perfis e a presso mdia a partir de testes de presso nos poos. a)Determinao das reas de drenagem de cada poo A determinao das reas drenadas por cada poo em um reservatrio desenvolvido, ou se-ja, em um reservatrio com diversos poos em produo, pode ser feita atravs do mtodo proposto por Rosa & Carvalho (2001), que se baseia no conceito mencionado por Matthews & Russel (1967), segundooqual,noregimepseudopermanentedeumfluxomonofsicoosvolumesdrenadospor cada poo so proporcionais s suas vazes, isto : tid i dqqV V = , (6.118) onde i dV o volume drenado pelo poo i e qt a vazo total do reservatrio. O volume drenado por cada poo dado por: i i i dh A V = .(6.119) A relao entre os volumes drenados por um poo j qualquer e cada um dos poos i dada por: iji dj dqqVV= (6.120) ou ainda: iji ij jqqh Ah A= .(6.121) Tomando j = 1, tem-se: i i iqqh Ah A1 1 1= ,(6.122) ondei=2,3,...,npenponmerototaldepoos.Rearranjando-seostermosdaEq.(6.122), obtm-se: Influxo de gua 6-38 01 1 1= q h A q h Ai i i.(6.123) A Eq. (6.123) gera np 1 equaes. A np-sima equao dada por: t nA A A Ap= + + + L2 1, (6.124) ondeAtareatotaldoreservatrio.Tem-seportantoumsistemadenpequaeslinearesenp incgnitas: == = =pnit ip i i iA A...,n , , i q h A q h A11 1 13 2 0(6.125) cujasoluoresultanadeterminaodasreasdrenadasporcadapoo(Ai).Osvolumesdrenados so calculados pela Eq. (6.119). b)Determinao da presso mdia do reservatrio A presso mdia do reservatrio obtida atravs de uma mdia ponderada das presses nos volumes de drenagem de cada poo: ===ppnii inii i ih Ap h Ap11.(6.126) Usando a Eq. (6.118), a presso mdia pode tambm ser calculada com a expresso: ===ppniinii iqp qp11.(6.127) ___________________________ Exemplo 6.9 Um reservatrio com rea de 1,943 km2 contm trs poos produtores de leo. Aps umcertoperododeproduo,ospoosforamfechadoserealizadostestesdecrescimentode presso para se obter as presses mdias nas suas respectivas reas de drenagem. Outros dados so: Poo 1Poo 2Poo 3 Vazo de produo de leo, iq(m3 std/d) 163213 Espessura mdia da formao, ih(m) 1212,511 Presses mdias obtidas dos testes, ip(kgf/cm2)160,9155,2167,5 Pede-se que sejam calculadas a: (a) rea drenada por cada poo. (b) presso mdia do reservatrio. Soluo: Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-39 Parte (a): As reas drenadas so calculadas a partir do sistema de equaes da Eq. (6.125). Substitu-indo-se os valores de iqe ihdo problema, a Eq. (6.125) pode ser escrita como: = + += = = + += = = + += = 943 , 10 44 390 25 48943 , 1) 4 (: 0 176 156) 8 (: 0 200 384943 , 10 16 11 13 120 16 5 , 12 32 123 2 13 12 13 2 13 12 13 2 13 12 1A A AA AA AA A AA AA AA A AA AA A Da1aequaodosistemadeequaes: 2 14825A A = .Substituindoestaexpressonasdemais equaes, tem-se:= += = + ||

\|+= 943 , 14873044 4825 39943 , 1 148250 444825 393 23 23 23 2A AA AA AA A Logo, 229801 , 0 734425 39481: 943 , 1 km A = ||

\|+= . Substituindo-se o valor de 2Ana 1a equao:22 15105 , 0 9801 , 048254825km A A = = = . Finalmente, da 3a equao:22 1 34524 , 0 9801 , 0 5105 , 0 943 , 1 943 , 1 km A A A = = = . Parte (b): Da Eq. (6.127):211/ 3 , 15913 32 165 , 167 13 2 , 155 32 9 , 160 16cm kgfqp qpppniinii i=+ + + + = ===. Equivalentemente, da Eq. (6.126): 211/ 3 , 15911 4524 , 0 5 , 12 9801 , 0 16 5105 , 05 , 167 11 4524 , 0 2 , 155 5 , 12 9801 , 0 9 , 160 12 5105 , 0cm kgfh Ap h Apppnii inii i i= + + + + = ===. ___________________________ 6.9.2.Clculo da presso no contato O processo de determinao do influxo acumulado de gua proveniente de aqfero requer oconhecimentodapressonaposiocorrespondenteaocontatooriginal(leo/guanocasode Influxo de gua 6-40 reservatrio de leo ou gs/gua no caso de reservatrio de gs). A Figura 6.11 mostra um esquema de reservatrio de leo submetido a influxo de gua oriunda de aqfero. Nessa figura, Li a menor distncia entre o poo i e o contato original.np poosFalha selanteContato leo-gua atualContato leo - gua originalL4234ip3p2p1L3LinpLn1p Figura 6.11 Reservatrio de leo com mecanismo de influxo de gua -Determinao da presso no contato. A presso no contato original pode ser obtida a partir de um grfico como o da Figura 6.12. Emumdeterminadoinstantedavidaprodutivadoreservatrio,socolocadosemumgrficode coordenadascartesianasosvaloresdaspressesmdiasnasreas de drenagem dos poos (ip ) em funodasdistnciasdospoosataposiooriginaldocontato(Li).Ajustando-seumacurva mdiapelospontosdogrfico,ovalordapressomdianocontatoleo/guaoriginal(w op/) estimado como sendo a extrapolao da curva para Li= 0. piLipo/w0 Figura 6.12 Determinao da presso mdia no contato original. As informaes de presso esttica obtidas de testes de presso e, principalmente, de regis-tros de presso esttica em reservatrios com influxo de gua devem merecer um cuidado especial. Porexemplo,umregistrodepressoestticaemumpoosituadonasimediaesdeumaqfero, quetenhapermanecidofechadodurantevriosdias(oumesmohoras)podenoserrepresentativo dapressomdianasuareadedrenagem,devidoinflunciadoaqfero.Ousodessetipode informaopodelevarconclusoerrneadequeapressonocontatomantm-sepraticamente constante. Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-41 Embora a metodologia apresentada nesta seo seja recomendada, na prtica, por simplici-dadenormalmenteutiliza-seapressomdiadoreservatriopararepresentarapressomdiano contato. 6.10.Problemas Problema6.1Ohistricodaspressesnocontatoleo/guaoriginaldeumreservatrio apresentado na tabela a seguir: t (ano)01234 p (kgf/cm2)220180160160160 Outros dados disponveis so: Raio do reservatrio ...............................................................ro = 1.200 m Espessura da formao ...........................................................h = 10 m Porosidade ............................................................................. = 0,15 Permeabilidade ......................................................................k = 50 mdViscosidade da gua ............................................................... = 1,0 cp Compressibilidade da formao ..............................................cf = 55106 (kgf/cm2)1 Compressibilidade da gua .....................................................cw = 45106 (kgf/cm2)1 Admitindo que durante os primeiros 4 anos de produo o sistema real possa ser representado por um reservatrio associado a um aqfero radial infinito, determine o influxo acumulado de gua: (a)Ao final do 1o ano de produo. (b)Ao final do 4o ano de produo. Respostas:(a) 156.892 m3(b) 1.087.117 m3 Problema 6.2 Um reservatrio de leo com 500 m de raio est sendo alimentado por um aqfero radial cujas caractersticas so: Raio ........................................................................................re = 4.000 m Espessura ................................................................................h = 10,3 m Porosidade .............................................................................. = 0,13 Permeabilidade .......................................................................k = 20 mdViscosidade da gua ................................................................ = 1,0 cp Compressibilidade total do aqfero ........................................ct = 93,9106 (kgf/cm2)1 Presso inicial .........................................................................pi = 200 kgf/cm2 Essereservatriofoiproduzidocomumapressode180kgf/cm2nocontatoleo/guadurante1 ano, aps o que esta presso foi reduzida para 150 kgf/cm2 e mantida neste nvel.Calcular: (a)O influxo acumulado de gua no final do 1o ano de produo. (b)O influxo acumulado de gua no final do 2o ano de produo. Influxo de gua 6-42 (c)Aquantidademximadeguaqueesseaqferopoderiaforneceraoreservatrio,parauma presso de abandono de 20 kgf/cm2 no contato leo/gua. Respostas:(a) 47.900 m3(b) 146.700 m3(c) 1,120106 m3 Problema 6.3 O histrico das presses no contato leo/gua original de um sistema reservatrio-aqfero apresentado na tabela a seguir: t (ano)01234 p (kgf/cm2)200150100100100 Dados adicionais: rea transversal do aqfero .................................................A = 10.000 m2 Espessura da formao .........................................................h = 10 m Porosidade ............................................................................ = 0,10 Permeabilidade .....................................................................k = 50 mdViscosidade da gua ............................................................. = 1,0 cp Compressibilidade da formao ............................................cf = 40106 (kgf/cm2)1 Compressibilidade da gua ...................................................cw = 50106 (kgf/cm2)1 Fator volume-formao do leo .............................................Bo = 1,3 m3/m3 std Fator volume-formao da gua ............................................Bw = 1,0 m3/m3 std Admitaqueduranteosprimeiros4anosdeproduoo sistema real possa ser representado por um reservatrioconectadoaumaqferolinear infinito. Determine a vazo de leo ao final do 4o ano, sabendo que 15% da gua de influxo produzida juntamente com o leo. Resposta: 22,1 m3 std/d Problema 6.4 Um reservatrio de leo com um grande nmero de poos produtores est conecta-doaumaqfero linear infinito. Deseja-se produzir o reservatrio de tal maneira que a presso em seu contato leo/gua original seja o dobro da presso de bolha do leo, que de 100 atm. Para isso, admitaqueavazototaldeleoemcondiesdereservatriosejaigualvazoinstantnea fornecida pelo aqfero. Outras informaes do sistema so: Presso original........................................................................pi = 300 atm Permeabilidade do aqfero......................................................k = 100 md Espessura da formao.............................................................h = 100 m Largura do aqfero..................................................................b = 1.000 m Porosidade da rocha................................................................. =0,10 Viscosidade da gua.................................................................w = 0,5 cp Compressibilidade total do aqfero ........................................ct = 100106 atm1 Fator volume-formao do leo................................................Bo = 1,25 m3/m3std Pedem-se: (a)Qualapressonoaqferoaumadistnciade5.000mdocontatooriginalleo/gua,nos instantes 1, 6 e 12 meses aps o incio da produo? (b)Qual dever ser a vazo de leo e a produo acumulada nos instantes citados no item (a)? Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-43 Obs.: Para resolver este problema voc precisar obter a soluo para o comportamento da presso em um aqfero linear infinito que produz com presso constante (vide Apndice G). Respostas: t (ms)p (atm)qo (m3std/d)Np (m3std) 12883.4260,206106 62471.3980,503106 122359890,712106 Problema6.5Umreservatrio de petrleo e um aqfero contguo a ele apresentam as seguintes caractersticas: a) Reservatrio: Presso inicial .......................................................... 250 2/ cm kgfPresso tempo ........................................................ ) ( 30 250 ) / (2ano t cm kgf p =Raio circularizado .....................................................500 m b) Aqfero: Raio ..........................................................................infinito Espessura mdia .......................................................20 m Porosidade ................................................................10% Permeabilidade .........................................................100 md Compressibilidade da formao ................................20106 (kgf/cm2)1 Compressibilidade da gua .......................................10106 (kgf/cm2)1 Viscosidade...............................................................1 cp Admitindoqueoregimedeinfluxosejano-permanenteequeoanotenha365dias,calcularos influxos acumulados de gua aos: (a) 3 (trs) anos aps o incio da produo. (b) 5 (cinco) anos aps o incio da produo. Respostas:(a) 1.114.700 m3(b) 2.322.600 m3 Problema 6.6 A tabela a seguir apresenta os resultados da simulao numrica de um reservatrio hipottico conectado a um aqfero de fundo infinito (Allard & Chen, 1984): t (d)0306090120150180210240 p (kgf/cm2)210,92207,83205,09202,27199,95197,63196,23194,96193,70 Influxo de gua 6-44 Influxo simulado We (103 m3) 017,549,996,4153,3219,7290,8364,9442,8 As caractersticas do sistema reservatrio-aqfero so: Raio do reservatrio ...............................................................ro = 609,6 m Espessura da formao ...........................................................h = 61,0 m Porosidade ............................................................................. = 0,10 Permeabilidade horizontal ......................................................k = 50 mdRazo entre as permeabilidades vertical e horizontal ..............kR = 0,04 Viscosidade da gua ............................................................... = 0,395 cp Compressibilidade total do aqfero .......................................ct = 1,138104 (kgf/cm2)1 Presso inicial... .....................................................................pi = 210,92 kgf/cm2 Admitindo que o sistema possa ser representado por um reservatrio associado a um aqfero radial infinito,determineoinfluxoacumuladodeguaparacadaumdostemposdatabela.Utilizeos modelosdevanEverdingen&Hurst(aqferolateral)edeAllard&Chen(aqferodefundo)e compare os resultados com os dados da simulao numrica. Respostas: t (d)0306090120150180210240 Aqfero lateral We (103 m3) 015,153,4107,8175,4253,4338,0425,5516,8 Aqfero de fundo We (103 m3) 012,644,890,9148,3215,1287,8363,2442,3 Problema6.7Umreservatriodepetrleocircundadoporumaqferoapresentouasseguintes caractersticas durante 20 meses de sua vida produtiva: Presso mdia do reservatrio constante ..................................142 atm Vazo de leo constante ..........................................................7.011 m3 std/d Presso mdia do aqfero constante .......................................155 atm Produo de gua ....................................................................nula Razo gs/leo de produo constante .....................................147 m3 std/m3 std Razo de solubilidade original .................................................107 m3 std/m3 std Fator volume-formao 2 fases (Bt) .........................................1,34 m3/m3 std Fator volume-formao do gs (Bg) .........................................0,00693 m3/m3 std Lei de influxo de gua .............................................................permanente

(a)Calcular a constante de influxo de gua do aqfero. (b)Admitindoqueapsos20mesesapressonazonadeleocaiapara130atmeassimse mantenha por 12 meses, calcular a quantidade de gua que entrar no reservatrio nesse ltimo ano. Respostas:Adalberto J. Rosa, Renato de S. Carvalho e Jos A. Daniel Xavier 6-45 (a) 872 m3/d/atm(b) 7,957106 m3 Bibliografia Allard,D.R.&Chen,S.M.:CalculationofWaterInfluxforBottom-WaterDriveReservoirs.In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 59.Houston, TX, Sept. 16-19, 1984.Pro-ceedings.Richardson, TX, SPE, 1984.(SPE 13170.) Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C.: Conduction of Heat in Solids. Oxford, Great Britain, Oxford Univer-sity Press, 1959. Carter, R. D. & Tracy, G. W.: An Improved Method for Calculating Water Influx. J. Pet. Tech., 58-60, Dec. 1960. Dake,L.P.:FundamentalsofReservoirEngineering.Amsterdam,TheNetherlands,Elsevier Scientific Publishing Company, 1978. Dietz,D.N.:DeterminationofAverageReservoirPressurefromBuild-upSurveys.J.Pet.Tech., 955-959, Aug. 1965; Trans. AIME, 234. Earlougher,R.C.,Jr.:AdvancesinWellTestAnalysis.NewYork,SPEofAIME,1977.(Mono-graph Series, 5.) Fetkovich, M. J.: A Simplified Approach to Water Influx Calculations Finite Aquifer Systems. J. Pet. Tech., 814-828, July 1971. Leung, W. F.: A Fast Convolution Method for Implementing Single-Porosity Finite/Infinite Aquifer Models for Water-Influx Calculations. SPE Res. Eng., 490-510, Sept. 1986. Matthews, C. S. & Russel, D. G.: Pressure Buildup and Flow Tests in Wells. Dallas, TX, USA, SPE of AIME, 1967.(Henry L. Doherty Series, Monograph Volume 1.) Pirson, S. J.: Elements of Oil Reservoir Engineering. New York, McGraw-Hill Book Co. Inc., 1958. (2nd ed..) Rosa, A. J. & Carvalho, R. S.: Previso de Comportamento de Reservatrios de Petrleo Mtodos Analticos. Rio de Janeiro, Editora Intercincia, 2001. Rosa,A.J.&Corra,A.C.F.:AnlisedeTestesdePressoemPoos.Salvador,Bahia,Brasil, PETROBRAS/CENPES/DIVEN/SEN-BA, 1987. (Apostila.) Schilthuis, R. J.: Active Oil and Reservoir Energy. Trans. AIME, 118: 31, 1936. Stehfest,H.:Algorithm386,NumericalInversionof Laplace Transforms - D5. Communications of the ACM, 13 (1): 47, Jan. 1970. Influxo de gua 6-46 vanEverdingen,A.F.&Hurst,W.:TheApplicationoftheLaplaceTransformationtoFlow Problems in Reservoirs. Trans. AIME, 186: 305-324, 1949. 6-47 Tabela de figuras que j foram preparadas em Corel Draw, mas que necessitam de autoriza-o para serem reproduzidas Fonte Figura deste livro Artigo tcnico Figura Pgina Figura 6.6 Allard, D. R. & Chen, S. M.: Calculation of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs. In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 59.Hous-ton,TX,Sept.16-19,1984.Proceedings.Richardson,TX,SPE,1984.(SPE 13170.) 1370 Figura 6.7 Allard, D. R. & Chen, S. M.: Calculation of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs. In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 59.Hous-ton,TX,Sept.16-19,1984.Proceedings.Richardson,TX,SPE,1984.(SPE 13170.) 2370 Figura 6.8 Allard, D. R. & Chen, S. M.: Calculation of Water Influx for Bottom-Water Drive Reservoirs. In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 59.Hous-ton,TX,Sept.16-19,1984.Proceedings.Richardson,TX,SPE,1984.(SPE 13170.) 3370