comparaÇÃo da previsÃo do comportamento...

COMPARAO DA PREVISO DO COMPORTAMENTO DE

RESERVATRIOS DE LEO PRODUZINDO SOB INFLUXO DE

GUA UTILIZANDO A EQUAO DO BALANO DE

MATERIAIS E SIMULAO NUMRICA

Ivan Landim Frota Leito Junior

Projeto de Graduao apresentado ao Curso de

Engenharia de Petrleo da Escola Politcnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessrios obteno do

ttulo de Engenheiro.

Orientadores: Paulo Couto

Abelardo de S Neto

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL

FEVEREIRO, 2010

ii

COMPARAO DA PREVISO DO COMPORTAMENTO DE

RESERVATRIOS DE LEO PRODUZINDO SOB INFLUXO DE

GUA UTILIZANDO A EQUAO DO BALANO DE

MATERIAIS E SIMULAO NUMRICA


PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA DO PETRLEO DA ESCOLA POLITCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

INTEGRANTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO

GRAU DE ENGENHEIRO DO PETRLEO.

Aprovado por:

__________________________________________

Prof. Paulo Couto, Dr. Eng. (Orientador)

__________________________________________ Prof. Abelardo de S Neto, Ph.D.

(Co-orientador)

__________________________________________ Prof. Armando Celestino Gonalves Neto, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL

FEVEREIRO, 2010

iii

Leito Junior, Ivan Landim Frota

Comparao da Previso do Comportamento de

Reservatrios de leo Produzindo Sob Influxo de gua

Utilizando a Equao do Balano de Materiais e Simulao

Numrica / Ivan Landim Frota Leito Junior. Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politcnica, 2010.

XIII, 39p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Paulo Couto, Abelardo de S Neto

Projeto de Graduao UFRJ/ Escola Politcnica/

Curso de Engenharia do Petrleo, 2010.

Referencias Bibliogrficas: p. 39.

1. Modelagem de Reservatrios. 2. Reservatrio com Influxo de gua. 3. Comparao com Modelagem computacional. I. Couto, Paulo et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politcnica, Curso de Engenharia do Petrleo. III. Titulo.

iv

Agradecimentos

minha famlia, por acreditar em mim todo o momento e sempre me apoiar,

mesmo quando discordavam da deciso.

Computer Modeling Group (CMG Canad), pelo suporte dado a este

trabalho atravs da cesso da sute de softwares de simulao de reservatrios.

Aos professores Paulo Couto e Abelardo S, por estarem sempre a disposio,

terem pacincia e confiana em mim e por todos os ensinamentos que me foram

passados.

todos da turma de Engenharia de Petrleo, por terem feito os cinco anos da

faculdade serem inesquecveis, por tudo que me ensinaram, no s sobre engenharia, e

ainda vo ensinar.

todos que participaram do CR, por tudo que estudamos, decoramos e

esquecemos juntos, por me tornarem a pessoa que sou hoje e por me ensinarem o

companheirismo.

v

Resumo do Projeto de Graduao apresentado Escola Politcnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Engenheiro de Petrleo.

Comparao da Previso do Comportamento de Reservatrios de leo Produzindo Sob

Influxo de gua Utilizando a Equao do Balano de Materiais e Simulao Numrica


Fevereiro/2010

Orientadores: Paulo Couto

Abelardo de S Neto

Curso: Engenharia do Petrleo

No Brasil a quantidade de reservatrios que produzem sob influxo de gua grande.

funo do engenheiro de reservatrios realizar a anlise dos mesmos para previso do

comportamento. Sendo assim, esse trabalho tem como objetivo analisar as equaes de

previso de produo para um reservatrio com mecanismo de influxo de gua,

verificando sua consistncia entre elas e em comparao com um caso prximo ao real.

Para criao desse caso foi utilizado o simulador comercial IMEX da CMG (Computer

Modeling Group Canada). A verso utilizada a 2008.10. Os resultados encontrados

so debatidos de maneira a analisar as limitaes do modelo de clculo.

Palavras-chave: Equao do Balano de Materiais, Influxo de gua, Previso da

Produo, Simulao numrica.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Comparison of Production Forecast of a Oil Reservoir Producing by Water Influx

Using Material Balance Equation and Numerical Simulation


February/2010

Advisor: Paulo Couto

Abelardo de S Neto

Course: Petroleum Engineering

In Brazil there is a large number of reservoirs producing by water influx. The reservoir

engineer is the responsible for production forecast. This work has the objective to

analyze the equations of production forecast for water influx reservoir, verifying there

consistency with themselves and with a case near to real. For this case it was used the

IMEX of CMG (Computer Modeling Group Canada). The version used is the 2008.10.

The results are discussed analyzing the limitations of the math model.

Keywords: Material Balance Equation, Water Influx, Production Forecast, Numeric

Simulation.

vii

Sumrio

Lista de Figuras.......................................................................................................... ix

Lista de Tabelas ......................................................................................................... xi

Nomenclatura ............................................................................................................ xii

1. Introduo ........................................................................................................... 1

1.1. Relevncia do tema........................................................................................ 1

1.2. Objetivos e metodologia ................................................................................ 1

1.3. Estrutura ........................................................................................................ 2

2. Engenharia de Reservatrios .............................................................................. 3

2.1. Mecanismos de Produo de Reservatrios .................................................... 3

2.1.1. Mecanismo de Influxo de gua ............................................................. 3

2.2. Equao de Balano de Materiais .................................................................. 5

2.3. Clculo do Influxo de gua ........................................................................... 6

2.3.1. Modelo de van Everdingen & Hurst ....................................................... 6

2.3.1.1. Equao da Difusividade Hidrulica .................................................. 7

2.3.1.2. Influxo de gua ............................................................................... 10

2.3.1.3. Superposio de Efeitos ................................................................... 11

2.3.2. Modelo de Carter-Tracy ....................................................................... 12

2.3.3. Comparao entre Modelos .................................................................. 12

2.3.4. Previso da Diferena de Presso no Contato ....................................... 15

3. Simulao Numrica no IMEX ......................................................................... 17

3.1. Simulador .................................................................................................... 17

3.2. Builder ........................................................................................................ 17

viii

3.2.1. Reservatrio......................................................................................... 17

3.2.2. Componentes ....................................................................................... 19

3.2.3. Interao Rocha-Fluido ........................................................................ 21

3.2.4. Condies Iniciais ................................................................................ 23

3.2.5. Poos e Recorrentes ............................................................................. 23

3.3. IMEX .......................................................................................................... 23

3.4. Results......................................................................................................... 23

4. Comparao Entre a EBM e a Simulao Numrica ....................................... 26

4.1. Dados de Entrada......................................................................................... 26

4.2. Clculos da EBM do Reservatrio ............................................................... 29

4.3. Simulao do Reservatrio .......................................................................... 32

4.4. Comparao ................................................................................................ 35

5. Concluses ......................................................................................................... 37

6. Referncias Bibliogrficas................................................................................. 39

ix

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Reservatrio com Mecanismo de Influxo de gua (Rosa et al., 2006) ........ 4

Figura 2.2 - Modelo de Aqfero Radial (Rosa et al., 2006) .......................................... 7

Figura 2.3 - Grfico da presso adimensional em funo do raio e do tempo

adimensionais. ( 10eDr = ) ....................................................................................... 9

Figura 2.4 - Grfico do influxo adimensional em funo do tempo adimensional para

diferentes raios do aqfero. ................................................................................ 11

Figura 2.5 - Comparao entre os modelos de Everdingen & Hurst e Carter-Tracy para

21,91Dt = . ........................................................................................................ 13


4,382Dt = . ....................................................................................................... 14


1,0955Dt = . ...................................................................................................... 14


0, 4382Dt = . ..................................................................................................... 15

Figura 3.1 Vista superior de um reservatrio com Grid Top ..................................... 18

Figura 3.2 Vista tridimensional de um reservatrio com Grid Top ............................ 18

Figura 3.3 Grfico da razo de solubilidade (sR ) e do fator volume-formao do leo (

oB ) em funo da presso ( p ) ............................................................................ 19

Figura 3.4 Grfico do fator de expanso do gs (g

E ) em funo da presso ( p ) ...... 20

Figura 3.5 Grfico das viscosidades do leo e do gs (o e g ) em funo da presso

( p ) ..................................................................................................................... 20

Figura 3.6 Grfico da permeabilidade relativa da gua (rwk ) e do leo em relao

gua (rowk ) em funo da saturao de gua ( wS ) ................................................ 21

Figura 3.7 Grfico da permeabilidade relativa do gs (rg

k ) e do leo em relao ao gs

(rog

k ) em funo da saturao de lquido ( lS )...................................................... 22

x

Figura 3.8 Grfico de 3 fases com a permeabilidade relativa do leo (rok ) em funo

das saturaes (wS , gS e oS ) ............................................................................... 22

Figura 3.9 Exemplo de grfico do Results Graph ...................................................... 24

Figura 3.10 Exemplo de grfico do Results 3D ......................................................... 25

Figura 4.1 Vista superior do modelo de comparao com Grid Top .......................... 27

Figura 4.2 Vista tridimensional do modelo de comparao com Grid Top ................ 27

Figura 4.3 Grfico da vazo obtida pelo mtodo de clculo ...................................... 32

Figura 4.4 Grfico da vazo obtida pelo IMEX ........................................................ 35

Figura 4.5 Grfico de vazes para comparao entre mtodos .................................. 36

xi

Lista de Tabelas

Tabela 2-1 Variao da presso com o tempo ........................................................... 13

Tabela 4-1 Dados utilizados na soluo da EBM ...................................................... 28

Tabela 4-2 Tabela PVT ............................................................................................ 29

Tabela 4-3 Resultados da EBM ................................................................................ 31

Tabela 4-4 Resultados da simulao numrica .......................................................... 34

xii

Nomenclatura

B Fator volume-formao ..............................................................................[]

c Compressibilidade .................................................................... [(kgf/cm2)-1]

dg Densidade do gs .......................................................................................[]

E Expanso em soluo .................................................................................[]

F Total de fluidos produzidos e injetados ................................................. [m3]

G Volume de gs ...................................................................................... [m3]

h Espessura ................................................................................................ [m]

IPinicial ndice de produtividade inicial .............................................................. [mD]

k Permeabilidade .................................................................................... [mD]

kr Permeabilidade relativa ..............................................................................[]

m Quociente entre volume original da capa de gs e de leo ..........................[]

N Volume de leo total ............................................................................. [m3]

p Presso ......................................................................................... [kgf/cm2]

pb Presso de bolha ............................................................................ [kgf/cm2]

pb Presso mnima do poo ................................................................ [kgf/cm2]

q Vazo ............................................................................................. [m3/dia]

R Razo de solubilidade ................................................................................[]

r Coordenada radial ................................................................................... [m]

W Volume de gua .................................................................................... [m3]

We Volume do influxo de gua ................................................................... [m3]

S Saturao ................................................................................................ [m]

T Temperatura ........................................................................................... [K]

xiii

t Tempo .................................................................................................. [dia]

U Constante de influxo de gua do aqfero ............................... [m3/(kgf/cm2)]

Smbolos Gregos:

Diferena ............................................................................................... [psi]

Porosidade .................................................................................................[]

Viscosidade ........................................................................................... [cp]

Massa especfica .................................................................................. [ppg]

Subscritos:

( )D Adimensional

( )e Aqufero

( )i Condies Iniciais

( )w Fase gua

( )g Fase gs

( ) o Fase leo

( ) f Fase formao

( )inj Injetado

( )p Produzido

( )t Total

1

1. Introduo

1.1. Relevncia do tema

Atualmente, o mundo se encontra em uma grande dependncia das energias

fsseis, principalmente o petrleo. Para melhorar obter essa energia e possibilitar o

desenvolvimento necessrio o estudo aprofundado de suas formas de produo para

prev-las e otimiz-las.

No setor de E&P existe uma grande incerteza sobre a produo total dos poos.

Sendo assim de grande importncia qualquer informao que possibilite a obteno de

parmetros nos reservatrios de leo. No Brasil um grande nmero de reservatrios tem

como mecanismo o influxo de gua, tornando-se essencial seu estudo. O

desenvolvimento destas tcnicas pode trazer desenvolvimento para a rea e um aumento

na produo de poos desse tipo.

Uma das funes do engenheiro de petrleo a engenharia de reservatrios, que

tem como objetivo a previso do comportamento do reservatrio, principalmente prever

a produo do mesmo, e a otimizao desta. Devido s diferenas entre os vrios tipos

de reservatrios, esse estudo focar nos reservatrios com influxo de gua, principal

ocorrncia na Bacia de Campos.

Com as vrias equaes, que se encontram nos livros, e softwares, que se esto

no mercado, a verificao destes essencial antes da utilizao. de extrema

importncia que se confie nas equaes e softwares utilizados. No caso de um erro na

sada desses dados milhes de dlares podem ser perdidos devido uma previso mal

realizada.

1.2. Objetivos e metodologia

O principal objetivo do estudo a checagem das equaes do balano de materiais

mais utilizadas para previso do comportamento de reservatrios com influxo de gua.

2

Uma comparao entre equaes tambm realizada. Para isso, o software Wolfram

Mathematica, verso 7.0, utilizado.

Para a comparao com o caso que se aproxime do real utilizado um simulador

comercial para gerar dados sintticos de produo. utilizado o software IMEX da

CMG (Computer Modeling Group Canada). A verso utilizada a 2008.10.

Obtendo-se os resultados tanto para a Equao do Balano de Materiais e a

Simulao Numrica sero comparadas os dados de sada para verificar essa previso, e

verificar a confiabilidade dos clculos com um caso mais prximo do real possvel.

As diferenas de resultados sero discutidas buscando-se encontrar o motivo para

essa limitao. Esse motivo pode ser tanto uma incerteza devido limitao de dados de

entrada, como algo que no estava previsto no modelo.

1.3. Estrutura

A estrutura utilizada para organizao do trabalho feita seguindo a diviso de

captulos, que sero detalhados abaixo.

O Captulo 2 apresenta e explica todos os modelos e equaes que sero utilizadas

para os clculos. Nele tambm sero comparados diferentes mtodos de soluo entre si,

para verificar-se a preciso dos mtodos.

O Captulo 3 resume a metodologia adotada para a implementao do modelo e

mostra os dados de entrada que so necessrios, permitindo notar a preciso do mesmo

em relao ao modelo de clculo. Desta forma, os resultados da simulao tambm so

apresentados, mostrando assim a estrutura que se utiliza.

O Captulo 4 mostra uma comparao entre os modelos. Uma situao prtica

apresentada e ambos os modelos so utilizados para obteno de resultados. Esses

resultados so comparados e justificativas so apresentadas.

O Captulo 5 expe as concluses encontradas em todo o trabalho, fechando assim

a discusso.

3

2. Engenharia de Reservatrios

2.1. Mecanismos de Produo de Reservatrios

Um reservatrio de petrleo, normalmente, possui um mecanismo primrio de

produo. Esses mecanismos so naturais e so resultantes de todas as circunstncias

pelas quais a jazida passou.

Os cinco mecanismos primrios de produo, como explicado em Rosa et al.,

2006, so:

I. Mecanismo de Gs em Soluo;

II. Mecanismo de Capa de Gs;

III. Mecanismo de Influxo de gua;

IV. Mecanismo Combinado;

V. Mecanismo de Segregao Gravitacional.

Neste trabalho somente ser descrito o mecanismo de influxo de gua.

2.1.1. Mecanismo de Influxo de gua

Para que este tipo de mecanismo ocorra necessrio que a formao que contem

o leo esteja ligada a uma grande acumulao de gua.

4

Figura 2.1 - Reservatrio com Mecanismo de Influxo de gua (Rosa et al., 2006)

A influncia do aqfero no reservatrio se d com a queda de presso do

mesmo. Quando isso ocorre, a gua sofre uma expanso tomando parte do espao que

antes era ocupado pelo leo.

Vale ressaltar que a compressibilidade da gua muito pequena e a influncia

do aqfero s relevante quando esse de grandes propores.

O aqfero pode ser classificado de diferentes maneiras dependendo do seu

tamanho e da sua interao com o exterior.

I. Aqfero Infinito: quando a proporo do aqfero muito maior que a do

reservatrio de leo.

II. Aqfero Finito Selado: quando o aqfero proporcional ao reservatrio.

Como mostrado na Figura 2.1.

III. Aqfero Finito Realimentado: quando o aqfero proporcional ao

reservatrio, porm existe uma entrada externa de gua que o alimenta

quando sua presso cai.

O aqfero aqui citado ser o finito selado, por ser mais freqente e, alm disso,

poder ser facilmente extrapolado para o aqfero infinito.

5

2.2. Equao de Balano de Materiais

Como explicado em Rosa et al., 2006, uma das equaes mais importantes para

previso do comportamento de um reservatrio a Equao de Balano de Materiais

(EBM). Dela pode-se obter o volume total de leo tendo conhecimento das principais

propriedades do reservatrio e do fluido, alm de seu histrico de produo e de

presso.

,( )o g f w eF N E mE E W= + + + (1)

Sabemos que

[ ( ) ]p t p si g p w inj winj inj ginj

F N B R R B W B W B G B= + + (2)

onde, N o volume de leo total, oE a expanso do leo e do gs em soluo, m o

quociente entre o volume original da capa de gs e o volume de leo, g

E a expanso

do gs na capa, ,f wE a expanso da formao e da gua conata e eW o influxo de

gua. F a representao dos fluidos produzidos e injetados no reservatrio.

pN o volume de leo produzida, tB o fator volume-formao total do leo,

pR razo gs/leo acumulado, siR a razo gs/leo de soluo inicial, gB o fator

volume-formao do gs, pW o volume de gua produzido, wB o fator volume-

formao da gua, inj

W o volume de gua injetado, winj

B o fator volume-formao da

gua injetada, inj

G o volume de gs injetado e ginj

B o fator volume-formao do gs

injetado.

No caso estudado pode-se simplificar a equao removendo a existncia de capa

de gs ( 0m = ) e desconsiderando a compressibilidade da formao e da gua conata

( , 0f wE ).

eo o

WFN

E E= + (3)

6

Considerando que no poo no temos nenhuma espcie de injeo ( 0inj

W = e

0inj

G = ) e o gs em soluo irrelevante em considerao ao influxo e se mantm

constante durante toda a produo (si s p

R R R= = ). Alm disso, o fator volume de

formao total pode ser escrito da forma:

( )t o si s g

B B R R B= + (4)

onde oB o fator volume-formao do leo. Ento, pode-se dizer que:

t oB B= (5)

O que define o sistema de fluidos do reservatrio de forma:

p o p w

F N B W B= + (6)

Juntando as equaes (3) e (6) tem-se:

p o p w e

o o

N B W B WN

E E

+= + (7)

2.3. Clculo do Influxo de gua

Vale lembrar que todos os modelos apresentados adiante so uma forma de

soluo para a EBM, eles so fontes de estudos e testes que possuem validaes que

podem ser checadas em suas referncias.

2.3.1. Modelo de van Everdingen & Hurst

O modelo de van Everdingen & Hurst, foi criado pelos prprios em van

Everdingen & Hurst, 1949 e considerado o mais preciso para o clculo do influxo de

gua. Para sua soluo utiliza-se a Equao da Difusividade Hidrulica prevendo assim

a queda de presso e conseqente movimentao dos fluidos no interior no reservatrio

de petrleo.

7

2.3.1.1. Equao da Difusividade Hidrulica

A Equao da Difusividade Hidrulica uma Equao Diferencial Parcial

(E.D.P.) que prev a alterao da presso em funo do raio e do tempo. Para

simplificao ser utilizado a equao com as variveis adimensionais.

O modelo adimensional modelo gerado por algumas operaes matemticas de

maneira que simplifique e generalize a Equao da Difusividade Hidrulica. Dessa

forma, ela fica s em funo da presso adimensional (Dp ), do raio adimensional ( Dr ) e

do tempo adimensional (Dt ).

Figura 2.2 - Modelo de Aqfero Radial (Rosa et al., 2006)

iD

o

p pp

p

=

(8)

D

o

rr

r= (9)

2D

t o

ktt

c r= (10)

onde, ip a presso inicial no reservatrio, op a queda de presso no contato leo-

gua e p a varivel da presso. or o raio do reservatrio de leo e r a varivel

8

radial. k a permeabilidade, a porosidade da formao, a viscosidade do leo,

tc a compressibilidade total ( t w fc c c= + , soma da compressibilidade da gua e da

formao) e t a varivel do tempo.

A Equao da Difusividade Hidrulica fica:

2

2

1D D D

D D D D

p p p

r r r t

+ =

(11)

Para solucionar a E.D.P. utiliza-se a Condio Inicial, que impem no incio

( 0t = ) a presso no reservatrio sendo a inicial (ip p= ), a Condio de Contorno

Interna, que assume a diferena de presso no contato igual queda de presso no

contato ( ( )i o op p r p = ).

( ; 0) 0D D Dp r t = = (12)

( 1; ) 1D D Dp r t= = (13)

Alm dessas condies utilize-se a Condio de Contorno Externa, essa varia

nos trs diferentes tipos de aqferos. No caso utilizaremos a condio para aqfero

finito selado, que impem a inexistncia de fluxo no limite externo do reservatrio.

1e

Do

D

rD rr

p

r=

=

(14)

Para resolver a E.D.P. foi utilizado a mtodo de Laplace em relao ao tempo

adimensional, deixando a equao da forma:

2

2

1D DD

D D D

ps pss ps

r r r

+ =

(15)

sendo Dps a presso transformada e sendo funo somente do raio adimensional ( Dr )

e s a varivel de Laplace. A Equao (15) conhecida como Equao Modificada de

Bessel e sua soluo no domnio de frequncias conhecida na literatura (Ozisik, 1968):

( ) 1 2, (0, ) (0, )D D D Dps r s BesselI r s C BesselK r s C= + (16)

9

onde 1C e 2C so constantes obtidas pela aplicao das condio de contorno.

Para inverso de Laplace utiliza-se o mtodo de Stehfest, como pode ser visto

em Stehfest, 1970. A soluo da forma:

( ) ( )1

(2) (2), , ,

Ni

D D D D D

iD D

Ln Lnp r t V i Ni ps r i

t t=

=

(17)

onde

( ) ( )( )

( ) ( )

, 12 2

2

21int

2

2 !, 1

! ! ( )! 2 !2

Ni NiMin i

Nii

ik

k kV i Ni

Nik i k k i

k

+

+

+ =

=

(18)

onde k e i so simplesmente contadores e Ni uma constante entre 8 e 16, no caso foi

utilizada como 8.

Desta soluo obteve-se o grfico da presso adimensional em funo do raio e

do tempo adimensionais, como na Figura 2.3. Esse grfico diferente para cada raio

adimensional do aqfero (eDr ).

Figura 2.3 - Grfico da presso adimensional em funo do raio e do tempo

adimensionais. ( 10eDr = )

10

2.3.1.2. Influxo de gua

O influxo de gua fica dependente de sua forma adimensional, da queda no

contato leo-gua e da constante de influxo de gua do aqfero (U ).

( )e o D DW U p W t= (19)

22t o

U c hr= (20)

0

1

D

D

tD

D D D

D r

pW r dt

r=

=

(21)

Para soluo da equao (21) necessrio resolver da mesma maneira que a

presso, utilizando a Transformada de Laplace a transformada do influxo fica da forma:

( ) 1, D

D

D r

D D

ps

rWs r s

s

=

= (22)

onde DWs a transformada do influxo.

O mtodo de Stehfest tambm utilizado para a inverso da Transformada de

Laplace.

( ) ( )1

(2) (2), , ,

Ni

D D D D D

iD D

Ln LnW r t V i Ni Ws r i

t t=

=

(23)

onde

( ) ( )( )

( ) ( )

, 12 2

2

21int

2

2 !, 1

! ! ( )! 2 !2

Ni NiMin i

Nii

ik

k kV i Ni

Nik i k k i

k

+

+

+ =

=

(24)

Pode-se analisar o comportamento do influxo adimensional em funo do tempo

para diferentes raios adimensionais do aqfero. Como se pode observar na Figura 2.4.

11

Figura 2.4 - Grfico do influxo adimensional em funo do tempo adimensional para

diferentes raios do aqfero.

Com isso pode-se calcular o influxo do aqfero, contudo, a considerao

utilizada de que a queda de presso no contato leo gua no pode ser feita, sendo assim

ser corrigida pelo princpio da superposio.

2.3.1.3. Superposio de Efeitos

O Princpio da Superposio de Efeitos realiza a soma dos diferentes influxos

para cada tempo. Isso ocorre devido alterao da presso no contato.

0

( ) ( )Dt

e D D D D DW U W t p d = (25)

Temos que DW a vazo adimensional (a derivada do influxo adimensional) e

( ) ( )ip t p p t = a variao entre a presso inicial e a presso do contato no tempo t .

12

2.3.2. Modelo de Carter-Tracy

O modelo de Carter-Tracy, como apresentado em Carter & Tracy, 1960,

derivado do modelo de van Everdingen & Hurst, j considerando a superposio de

efeito. Porm, devido suas aproximaes a forma de clculo extremamente mais

simples e rpida.

Esse modelo no se restringe a uma geometria especfica de reservatrio, sendo

somente necessrio saber o comportamento da presso adimensional em funo do

tempo, o que varia com o tipo de fluxo e geometria. Essas equaes da presso

adimensional podem ser encontradas como soluo da Equao de Difusividade

Hidrulica.

O clculo do influxo de gua no modelo de Carter-Tracy da forma

11 11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )Dj e Dj D Dj

e Dj e Dj Dj Dj

D Dj Dj D Dj

U p t W t p tW t W t t t

p t t p t

= +

(26)

Precisa-se, contudo, determinar o melhor time step (Dt ) a ser usado, pois isso

afetar a preciso do modelo. Para a comparao sero utilizados diferentes tempos

adimensionais.

2.3.3. Comparao entre Modelos

Os dois modelos apresentados sero comparados na resoluo de um caso

especfico, no modelo de Carter-Tracy sero checados diferentes time steps.

Os dados foram tirados de Rosa et al., 2006 e so:

6096er m=

762or m=

18,3h m=

0, 22 =

13

100k md=

0,30cp =

( )16 299,6 10 /tc kgf cm

=

Tabela 2-1 Variao da presso com o tempo

( )t d 0 100 200 300 400 500

( )2/p kgf cm 246,13 245,43 244,44 243,18 242,19 240,51


21,91Dt = .

14


4,382Dt = .


1,0955Dt = .

15


0, 4382Dt = .

A instabilidade existente nos grficos para tempos muito pequenos gerada pelo

modelo de Everdingen & Hurst. Essa instabilidade devido ao mtodo de Stehfest

utilizado, que para tempos muito pequenos gera problemas com o somatrio presente

neste.

Pode-se notar uma grande diferena entre os dois modelos para 21,91Dt = ,

contudo ela diminui com a diminuio de Dt , sendo mnima j em 1,0955Dt = .

Contudo, nota-se pouca diferena, quando se compara 4,382Dt = e 1,0955Dt = .

Sendo assim utilizou-se, no mnimo, 4,382Dt = para as anlises seguintes.

2.3.4. Previso da Diferena de Presso no Contato

O modelo de Carter-Tracy, assim como os outros, possui uma maneira de prever

a diferena de presso no contato leo/gua (op ) em funo do tempo. Isso

importante, pois permite que se obtenha o influxo (eW ) e a presso ( p ) tendo como

entrada a produo de leo, pN .

16

1

1

1

1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

D Dj Dj D Dj

p Dj oi p Dj e Dj

D Dj Dj D Dj

Dj

Dj Dj

oi eo p Dj o

D Dj Dj D Dj

p t t p tN t B W t W t

p t t p tp t

t tB Nc N t c U

p t t p t

+

=

+

(27)

onde oiB o fator volume de formao inicial, eoc a compressibilidade efetiva do leo

e dada pela equao:

1

o o w w f

eo

w

c S c S cc

S

+ +=

(28)

onde oS a saturao de leo, wS a saturao de gua, oc a compressibilidade do

leo e wc a compressibilidade da gua.

17

3. Simulao Numrica no IMEX

Para realizao da simulao numrica utilizaremos o software IMEX da CMG

(Computer Modeling Group Canada) verso 2008.10. Para isso ser necessrio a

preparao do modelo anteriormente discutido no software.

3.1. Simulador

O software da CMG possui trs simuladores nele:

IMEX;

GEM;

STARS.

Como a produo ser realizada devido ao influxo de gua, o simulador

utilizado ser o IMEX. Os outros simuladores servem para mtodos de recuperao

especiais, como injeo de vapor ou surfactantes.

3.2. Builder

Para rodar o simulador da CMG necessrio preparar o reservatrio em um

software chamado de Builder. Nesse software damos entrada a todas as propriedades e

configurao do reservatrio.

3.2.1. Reservatrio

O formato do reservatrio e as subdivises utilizadas (grid) o primeiro dado de

entrada pedido pelo Builder. Os dados de permeabilidade e porosidade entram na etapa

de determinao do reservatrio, assim como o tipo de aqfero simulado.

18

Figura 3.1 Vista superior de um reservatrio com Grid Top

Figura 3.2 Vista tridimensional de um reservatrio com Grid Top

19

3.2.2. Componentes

Para definir os componentes utilizados precisa-se escolher o modelo que ser

utilizado para os clculos. No caso o modelo o Black Oil, j que simula-se um

reservatrio de leo, com o influxo de gua. A outra opo seria Gas/Water, caso fosse

um reservatrio de gs.

Nesse ponto necessrio entrar com propriedades dos fluidos envolvidos, leo,

gs e gua. Como o modelo Black Oil est sendo utilizado, as propriedades requeridas

no so as composies, mas densidades e temperatura, por exemplo.

Dos dados de entrada o prprio programa imprime a tabela PVT do leo e do

gs. Disponibilizando a razo de solubilidade (sR ), o fator volume-formao do leo (

oB ), o fator de expanso do gs ( gE ), as viscosidades do leo e do gs ( o e g ) e a

compressibilidade do leo (oc ) para diferentes valores de presso ( p ).

Abaixo seguem alguns exemplos dos grficos gerados pelo Builder.

Figura 3.3 Grfico da razo de solubilidade (sR ) e do fator volume-formao do leo (

oB ) em funo da presso ( p )

20

Figura 3.4 Grfico do fator de expanso do gs (gE ) em funo da presso ( p )

Figura 3.5 Grfico das viscosidades do leo e do gs (o e g ) em funo da presso

( p )

21

3.2.3. Interao Rocha-Fluido

Nesta etapa os dados de saturao e permeabilidades relativas so acrescentados

a simulao. comum, nesta etapa, a entrada de dados para alimentar correlaes que

fornecem as permeabilidades relativas em funo das saturaes.

Figura 3.6 Grfico da permeabilidade relativa da gua (rwk ) e do leo em relao

gua (rowk ) em funo da saturao de gua ( wS )

22

Figura 3.7 Grfico da permeabilidade relativa do gs ( rgk ) e do leo em relao ao gs

(rogk ) em funo da saturao de lquido ( lS )

Figura 3.8 Grfico de 3 fases com a permeabilidade relativa do leo (rok ) em funo

das saturaes (wS , gS e oS )

23

3.2.4. Condies Iniciais

As condies iniciais so estabelecidas de acordo com os fluidos no reservatrio,

no caso, somente leo e gua. Os dados de entrada so a presso original do

reservatrio, a profundidade e a profundidade do contato leo/gua, alm de definir o

ponto de bolha.

3.2.5. Poos e Recorrentes

Nesta fase so definidas as posies dos poos, que no caso somente um, e as

datas onde ocorrem eventos, por exemplo, abertura ou fechamento de um determinado

poo. Nesse momento se definem em quais camadas o poo vai produzir, sua vazo

mxima e presso mnima.

3.3. IMEX

Aps a construo do modelo no Builder, gerando um arquivo com extenso dat,

se passa o arquivo para o IMEX e esse ser simulado. A simulao realizada vai at a

ltima data definida na parte de Poos e Recorrentes, sendo assim importante defini-la

com ateno.

O IMEX libera trs arquivos de sada, com as extenses irf, mrf e out. O arquivo

com extenso irf utilizado para ver os grficos desejados e o out para verificao de

dados especficos de cada perodo.

O arquivo de extenso out pode ser visualizado pelo bloco de notas do

Windows, no possuindo nenhuma dificuldade. O arquivo irf precisa ser aberto em um

programa do CMG chamado Results.

3.4. Results

24

Existem dois tipos de arquivos para a leitura dos dados com extenso irf, seus

nomes so Results Graph e Results 3D. O Results Graph apresenta os grficos do

reservatrio possuindo, por exemplo, vazo e produo acumulada. O Results 3D

permite a visualizao do reservatrio em 3D e a alterao dos parmetros com o

tempo, por exemplo, saturao dos fluidos e presso em cada regio.

Figura 3.9 Exemplo de grfico do Results Graph

25

Figura 3.10 Exemplo de grfico do Results 3D

26

4. Comparao Entre a EBM e a Simulao Numrica

Para realizao da comparao, ser utilizado um modelo simples. Esse modelo

foi escolhido por permitir uma melhor comparao com a equao dado que a mesma

regida para tal tipo de interao. Como a inteno estudar de maneira mais exata

possvel a frmula de Carter-Tracy no se utilizou mais de um poo, que ampliaria os

erros e incertezas na anlise.

4.1. Dados de Entrada

O caso utilizado foi gerado no IMEX e preparado para clculo na EBM. Os

dados utilizados para o modelo esto apresentados a seguir.

A Figura 4.1 mostra o reservatrio em vista superior, vale ressaltar que o IMEX

no representa o aqfero, ficando assim s com a zona de leo. A Figura 4.2 uma

representao tridimensional do reservatrio. Ambas as figuras so de Grid Top, que a

profundidade onde se encontra a parte superior do grid.

27

Figura 4.1 Vista superior do modelo de comparao com Grid Top

Figura 4.2 Vista tridimensional do modelo de comparao com Grid Top

28

Tabela 4-1 Dados utilizados na soluo da EBM

er 6092m

or 750m

h

8,0m

0,22

k

100md

w 0,75cp

fc ( )16 248,3 10 /kgf cm

wc ( )16 242, 45 10 /kgf cm

( 0)p t =

2246,13 /kgf cm

o 3813 /kg m

w 31097 /kg m

gd 0,834

wB 1,01

bp 2101,97 /kgf cm

min pp 22,039 /kgf cm

IPinicial

3 20,2( / ( ( / ))m d kgf cm

29

Tabela 4-2 Tabela PVT

P (kPa) P (kgf/cm2) Bo o (cp)

10000 101,97 1,25 0,649

11000 112,16 1,27 0,614

12000 122,36 1,28 0,579

13000 132,56 1,31 0,517

14000 142,76 1,32 0,506333

15000 152,95 1,33 0,495667

16000 163,15 1,34 0,485

17000 173,35 1,35 0,474333

18000 183,54 1,36 0,463667

19000 193,74 1,37 0,453

20000 203,94 1,38 0,442333

25000 254,92 1,43 0,389

27500 280,41 1,46 0,362333

30000 305,90 1,48 0,335667

35000 356,89 1,53 0,2823333

No foi utilizada uma vazo de produo mxima devido ao ndice de

Produtividade ( IPinicial ) muito pequeno e porque a inteno dessa anlise puramente

terica.

O modelo apresentado ser rodado por 30 anos. Sendo os dados obtidos anuais,

para ambos os mtodos, tanto pelo clculo quanto pelo simulador.

A produo acumulada de gua ( pW ) ser desconsiderada por ser insignificante

em um modelo de tal simplicidade.

4.2. Clculos da EBM do Reservatrio

Para realizao dos clculos do reservatrio sero realizadas algumas iteraes

da seguinte maneira.

30

Primeiro ser calculado o p , usando como entrada a pN do tempo anterior.

Com isso, se calcula ep para o clculo da q , pela equao de Darcy. Com a vazo

calcula-se pN ( pN qdt= ). Isso se repete at a variao de p ser suficientemente

pequena. Aps encontrar p , acha-se eW e o ltimo pN . Esses clculos sero

realizados para cada tempo, que no caso anual.

Os resultados das contas se encontram a seguir:

31

Tabela 4-3 Resultados da EBM

Ano Vazo de leo

(m3/d) Np (m3) Delta P (kgf/cm2) P (kgf/cm2) We (m3)

1 48,36 17651 1,559 244,570 23800

2 48,27 35272 1,846 244,28 48616

3 48,23 52878 1,987 244,14 73530

4 48,20 70474 2,084 244,04 98466

5 48,18 88061 2,158 243,97 123410

6 48,16 105642 2,219 243,91 148356

7 48,15 123218 2,270 243,86 173303

8 48,14 140789 2,314 243,81 198249

9 48,12 158356 2,352 243,77 223193

10 48,11 175920 2,387 243,74 248136

11 48,10 193480 2,418 243,71 273077

12 48,10 211037 2,446 243,68 298016

13 48,09 228591 2,473 243,65 322953

14 48,08 246142 2,497 243,63 347888

15 48,08 263692 2,519 243,61 372821

16 48,07 281239 2,540 243,58 397752

17 48,06 298783 2,560 243,56 422682

18 48,06 316326 2,579 243,55 447609

19 48,05 333867 2,596 243,53 472535

20 48,05 351407 2,613 243,51 497459

21 48,04 368944 2,629 243,50 522381

22 48,04 386480 2,644 243,48 547303

23 48,03 404014 2,660 243,46 572230

24 48,03 421547 2,677 243,45 597192

25 48,02 439077 2,696 243,43 622205

26 48,02 456606 2,712 243,41 647254

27 48,01 474133 2,728 243,40 672334

28 48,01 491658 2,745 243,38 697466

29 48,01 509182 2,758 243,37 722615

30 48,01 526705 2,768 243,36 747754

32

O grfico da vazo ser utilizado para comparaes por ser o mais preciso. Sabe-

se que o mais importante saber a produo acumulada, porm a produo ter uma

discrepncia cada vez maior, devido s vazes diferentes. Como essa diferena s

gerada pela vazo ser utilizado esse grfico.

Figura 4.3 Grfico da vazo obtida pelo mtodo de clculo

Pode-se notar uma queda muito sutil na vazo e de maneira continua, no

apresentando distores.

4.3. Simulao do Reservatrio

Poucos dados foram inseridos no simulador, usando-se o modelo simples para a

comparao. A nica diferena a unidade de presso que o simulador utiliza como

kPa. A converso utilizada foi 21 / 98,07kgf cm kPa= .

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25 30 35

Va

zo

(m

3/d

)

Tempo (anos)

Vazo pela EBM

33

Os resultados encontrados se apresentam na tabela abaixo. O foco foi dado na

vazo e na produo acumulada.

34

Tabela 4-4 Resultados da simulao numrica

Ano Vazo de leo (m3/d) Np (m3)

1 45,91 16765

2 45,90 33520

3 45,89 50272

4 45,88 67067

5 45,88 83813

6 45,87 100558

7 45,87 117301

8 45,87 134089

9 45,86 150829

10 45,86 167569

11 45,86 184307

12 45,86 201091

13 45,85 217827

14 45,85 234563

15 45,85 251298

16 45,85 268078

17 45,84 284812

18 45,84 301545

19 45,84 318278

20 45,84 335056

21 45,84 351788

22 45,84 368519

23 45,84 385249

24 45,84 402025

25 45,83 418755

26 45,83 435484

27 45,83 452213

28 45,83 468987

29 45,83 485715

30 45,83 502443

35

J se pode notar a diferena entre as vazes dos dois modelos.

Figura 4.4 Grfico da vazo obtida pelo IMEX

4.4. Comparao

Antes de qualquer comentrio importante a visualizao das duas vazes em

um mesmo grfico, de maneira que se facilite a comparao.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25 30 35

Va

zo

(m

3/d

)

Tempo (anos)

Vazo pelo Simulador

36

Figura 4.5 Grfico de vazes para comparao entre mtodos

Pode-se perceber que o mtodo de clculo funcionou praticamente como o

esperado. A diferena que se apresenta no to grande se compararmos a capacidade

de resoluo de variveis que o simulador tem em comparao com os clculos simples

apresentados no outro mtodo. Essa diferena produto de uma melhor preciso que o

simulador possui por receber mais variveis.

Nota-se que a queda na vazo praticamente a mesma, o que s demonstra a

capacidade de resoluo do problema.

Dessa forma checou-se a preciso do mtodo existente em comparao com o

simulador que j consagrado na indstria.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15 20 25 30 35

Va

zo

(m

3/d

)

Tempo (anos)

Vazes Comparadas

Vazo dada pelo simulador numrico Vazo dada pela EBM

37

5. Concluses

Para escolha de modelos para influxo de gua o modelo de Carter-Tracy se

mostrou bastante preciso comparando-se com o modelo de Everdingen & Hurst. Os

clculos realizados posteriormente fazendo parte do modelo criavam a possibilidade de

uma iterao para obteno dos dados desejados. Utilizando um nmero razovel de

perodos de tempo os clculos pelo modelo tornavam-se quase to exatos quanto o mais

preciso.

Comparando-se os resultados encontrados nos clculos e no simulador pode-se

notar que o modelo de Carter-Tracy cumpre perfeitamente seu objetivo, dando de

maneira aproximada o que se propem a prever.

possvel se utilizar o Carter-Tracy, sem nenhuma dvida, mas necessrio

saber as limitaes do modelo e utilizar outro modelo caso seja necessrio. Um estudo

prvio, verificando essas limitaes necessrio para todas as simulaes que forem

feitas.

O simulador apresentou os dados com preciso, mostrando ser condizente com o

esperado e com as equaes consagradas. Assim a confiabilidade do simulador

manteve-se em alta.

Por no possuir dados reais no se pde checar o simulador, porm seus

resultados atuaram de maneira esperada, dando assim credibilidade ao mesmo. A

quantidade de dados de entrada mostra a preciso com que os clculos devem estar

sendo feitos.

possvel prosseguir com esses estudos analisando todos os parmetros por

algumas vises diferentes e principalmente de maneira mais prtica. Verificando no s

o estudo at o momento, como ampliando os horizontes do mesmo.

A possibilidade de anlise para mais poo uma maneira interessante de

verificar o comportamento do Mtodo de Carter-Tracy, sofrendo interferncia dos poos

prximos.

38

Verificar como Carter-Tracy se comporta em modelos de diferentes formatos

pode ser uma opo para o estudo, verificando o quanto confivel o mesmo. Pode-se

tambm alterar o tipo de aqfero, para infinito e para realimentado, verificando as

limitaes.

Esse mesmo estudo poderia ser feito para os diferentes mtodos existentes, j

que se sabe que o mtodo de van Everdingen & Hurst e o Carter-Tracy no so os

nicos utilizados.

Uma anlise de um reservatrio real comparando-se ambos os modelos seria

uma oportunidade para chegar no s como Carter-Tracy segue a EBM, como tambm

de verificar a simulao do IMEX. Certamente teria que ser um poo bem conhecido,

para garantir que nenhum dado de entrada estivesse errado, mesmo assim essa

experincia daria credibilidade aos resultados.

Por ltimo, seria de grande importncia um mtodo que utiliza-se as equaes

apresentadas para realizar uma regresso, obtendo-se os parmetros de entrada.

comum, para licitao de poos marginais que a empresa s possua os dados de

produo, isso permitiria que pela regresso esta obtivesse dados que de maneira

contrria precisaria de testes de formao que custariam muito mais, alm de diminuir o

risco j que esses dados podem ser obtidos antes de ser feito o leilo para concesso do

bloco.

39

6. Referncias Bibliogrficas

CARTER, R. D. & TRACY, G. W. An Improved Method for Calculating Water

Influx. J. Pet. Tech., 1960.

OZISIK, N. M. Boundary Value Problems of Heat Conduction. Dover Phoenix

Editions, International Textbook Co., 1968.

ROSA, A. J., CARVALHO, R. S., XAVIER, J. A. D. Engenharia de Reservatrios de

Petrleo. 1. ed. Rio de Janeiro: Editora Intercincia, 2006.

STEHFEST, H. Algorithm 386, Numerical Inversion of Laplace Transforms D5.

Communications of the ACM, 1970.

THOMAS, J. E. (org.) Fundamentos de Engenharia de Petrleo. 2. ed. Rio de

Janeiro: Editora Intercincia, 2004.

VAN EVERDINGEN, A. F. & HURST, W. The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs. Trans. AIME, 1949.

ANEXO 1

In[1]:= Off@General::spellDOff@General::spell1D

In[3]:= SetDirectory@"C:\\Users\\Owner\\Desktop\\Faculdade\\Projeto Final\\Aquiferos\\Comparao Everdingen

Carter"DOut[3]= C:\Users\Owner\Desktop\Faculdade\Projeto Final\Aquiferos\Comparao Everdingen Carter

Definio do problema

Considerando que rE e rO so constantes. Preferi defin-los agora.

In[4]:= EDP = rD,rDPD@rD, tDD +1

rD rDPD@rD, tDD tDPD@rD, tDD;

In[5]:= CI = PD@rD, tDD 0 . tD 0;

In[6]:= CCI = PD@rD, tDD 1 . rD 1;

In[7]:= CCE = rDPD@rD, tDD 0 . rD reD;

Vamos aplicar Laplace.

In[8]:= LaplaceTransform@EDP, tD, sD

Out[8]=

LaplaceTransformAPDH1,0L@rD, tDD, tD, sErD

+ LaplaceTransformAPDH2,0L@rD, tDD, tD, sE

s LaplaceTransform@PD@rD, tDD, tD, sD PD@rD, 0D

In[9]:= Unprotect@LaplaceTransformD;LaplaceTransform@PD@rD_, tD_D, tD_, sD := PS@rDDLaplaceTransform@Derivative@n_, 0D@PDD@rD_, tD_D, tD_, sD := Derivative@nD@PSD@rDD;Protect@LaplaceTransformD;

In[13]:= EDPs = LaplaceTransform@EDP, tD, sD . ToRules@CID;

In[14]:= EDP

Out[14]=

PDH1,0L@rD, tDDrD

+ PDH2,0L@rD, tDD PDH0,1L@rD, tDD

In[15]:= EDPs

Out[15]=

PS@rDDrD

+ PS@rDD s PS@rDD

In[16]:= CCIs = LaplaceTransform@CCI, tD, sDCCEs = LaplaceTransform@CCE, tD, sD

Out[16]= PS@1D 1

s

Out[17]= PS@reDD 0

In[18]:= DSolve@EDPs, PS@rDD, rDD FullSimplify

Out[18]= ::PS@rDD BesselIB0, rD s F C@1D + BesselYB0, rD s F C@2D>>

In[19]:= Unprotect@BesselYD;BesselYBn_, rD_ s_ F := BesselKBn, rD s F;Protect@BesselYD;

In[22]:= Sol = DSolve@EDPs, PS@rDD, rDD FullSimplify Flatten

Out[22]= :PS@rDD BesselIB0, rD s F C@1D + BesselKB0, rD s F C@2D>

In[23]:= PS1@rD_D = PS@rDD . Sol

Out[23]= BesselIB0, rD s F C@1D + BesselKB0, rD s F C@2D

In[24]:= PS1@1D

Out[24]= BesselIB0, s F C@1D + BesselKB0, s F C@2D

In[25]:= Plot@BesselI@0, xD, 8x, 0, 10

Mtodo Stehfest

In[29]:= Ni = 8;

In[30]:= V@i_, NN_D =

H1Li+NN2 k=Floor@Hi+1L2D

Min@i,NN2DIk1+NN2 H2 kL!M IHNN 2 kL! Hk!L2 Hi kL! H2 k iL!M;

In[31]:= PD@rD_, reD_, tD_D = Log@2D tD i=1

Ni

V@i, NiD PSf@rD, reD, HLog@2D tDL iD;

In[32]:= PDrDtD = Plot3D@PD@rD, 10, tDD, 8rD, 1, 10

In[43]:= P1 = LogLinearPlot@WD@t, 1.5D, 8t, 0.1, 100

In[53]:= Pa = Interpolation@DadosPD;

In[54]:= P2 = Plot@Pa@txD, 8tx, 0, 550

In[81]:= PEverdingen = Plot@We@t 0.2191, reDD, 8t, 0, 500

In[188]:= PCarter = Plot@WeaCT@jD, 8j, 0, Jmax tCT

ANEXO 2

Off@General::spellDOff@General::spell1D

SetDirectory@"C:\\Users\\Ivan\\Desktop\\Outro PC\\Faculdade\\Projeto Final\\Parte Escrita"D

C:\Users\Ivan\Desktop\Outro PC\Faculdade\Projeto Final\Parte Escrita

Pini = 246.13;

API = 60;

Nori = 3.1953 106;

Tres = 70;

= 0.22;

Sw = 0.2;

k = 100;

IPini = 0.2;

Pwfmin = 2.039;

Bo = [email protected], 1.53

Plot@Bo@PD, 8P, 61.93, 356.89

U = 2 h ct ro2

564.497

tD@t_D :=0.0003484 k t H365 24L

@P@tDD ct ro2

pD@tDv_D =1

2 HLog@tDvD + 0.80907L

1

2H0.80907 + Log@tDvDL

tDv pD@tDvD

1

2 tDv

t = 1;

ttotal = 30;

We@0D = 0;Np@0D = 0;p@0D = 0;

Wp = InterpolationA980, 0

Tabela = TableForm@Table@8cont, qw@cont tD, Np@cont tD,Wp@cont tD, p@contD, P@cont tD, We@contD

comparaÇÃo da previsÃo do comportamento...

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